5강: 우주의 이해

(운동궤도와 중력)

운동궤도와 중력

1. 행성운동의 법칙

2. 뉴턴의 위대한 통합

4. 태양계너머의

궤도 궤도운동과 질량

중력법칙

티코브라헤

뉴턴의 운동법칙

뉴턴의 법칙

행성운동 법칙

3. 만유인력 케플러

화성궤도

5. 위성궤도와 우주선

6. 2체 이상인 계에서의 중력

질량, 체적,밀도 각운동량

궤도

행성의 궤도

소행성대와 혜성의 궤도

행성간 우주선

우주비행과 위성궤도

다체의 상호작용

해왕성의 발견

3

자연을 과학적으로 이해하기 위해 . . .

자연의 기본 규칙이나 법칙들을 알아내야

고전천문학 “어떻게”가 중요

천체들의 움직임을 관측

행성운동의 특성을 추론

행성운동에 대한 이론 성립

4

행성의 역행을 설명한 프톨레마이오스

아리스토텔레스의 세계관과 사상의 통합

코페르니쿠스 이후

우주가운데 가장 타락한 행성인 지구의 중심까지 9개의 원을 통과하는 여행은 타락의 길이며, 신의 권좌에 도달하기 위해 각 행성의 천구를 통과하는 여행은 천상으로 가는 길이다. 단테 <신곡 Divine Comedy 中>

5

행성들의 운동을 관측 티코 브라헤

(1546-1601) 티코의 관측자료를 분석해서 행성의 운동법칙을 유도 (경험적)

케플러 (1571-1630)

화성에 대한 관측연구를 1609년 신천문학에 발표

1. 행성운동의 법칙

6

케플러의 화성궤도연구

행성궤도가 원이라는 가정에서 연구시작

관측과 맞지 않음

궤도는 타원임을 발견

두 점에서 거리의 합이 같은 점들의 모임

7

초점

장반경

이심률

장축

두초점간거리/장축

타원궤도

C

Y

X

b

ae

① · · · · · r + r´ = 2a = 일정

② · · · · · 이심률(e) = FC/a, FC=ae 장반경 = AC = a 단반경 = BC = b 근일점 (Perihelion) = A´ 원일점(Aphelion) = A

F´ F

B

A A ´

r´ r

P

③ · · · · · r = r´= a ④ · · · · · b2 = a2 － a2e2 = a2(1－e2)

r r´

a

𝑒 = 1 − (𝑏2

𝑎2)

𝑒 = 1 + (𝑏2

𝑎2)

케플러의 화성궤도연구

티코의 화성관측자료를 연구하던중 행성이 태양에 가까이 갈수록 속도가 빨라지고 태양에서 멀어질 수록 줄어든다는 것을 발견

면적속도 일정법칙

케플러의 화성궤도연구

수년 간 행성들의 공간배열과 태양둘레를 도는 공전주기를 결정하는 수학적 상관관계를 찾으려 노력

거리^3 ~주기^2

P2=ka3

P는 행성의 항성주기 a는 그 행성의 태양에서의 평균 거리(타원 궤도의 긴 반지름) k는 상수, 태양을 도는 모든 천체에 동일한 값

케플러의 행성운동에 관한 법칙

각 행성은 태양을 초점으로 하는 타원궤도를 따라 태양주위를 회전한다 제 1법칙

행성과 태양을 잇는 동경은 같은 시간간격에서 같은 면적을 지나간다 제 2법칙

행성의 공전주기의 제곱은 궤도 장반경의 세제곱에 비례한다 제 3법칙

코페르니쿠스 체계의 틀에서 행성운동을 기하학적으로 정확히 설명해 준다

12

행성들의 운동을 관측 티코 브라헤

(1546-1601) 티코의 관측자료를 분석해서 행성의 운동법칙을 유도 (경험적)

케플러 (1571-1630)

행성의 운동법칙을 이론적으로 설명 (중력법칙, 천체역학)

뉴턴

행성들을 이런 특정한 규칙 체계를 따르도록 통제하는 자연의 힘이 무엇인지를 설명해 주지는 못함

2. 뉴턴의 위대한 통합

뉴턴의 운동법칙

모든 물체는 만약 외력에 의해 변화를 받지 않는다면, 그들은 기존의 상태－정지상태에 있던 또는 균일한 직선운동을 하던－를 계속 그대로 유지하려 한다

제 1법칙

물체의 운동의 변화는 그것에 작용하는 힘에 비례하고 또 그 힘이 작용하는 방향으로 이루어진다

제 2법칙

모든 작용에는 크기가 같고 방향이 반대인 반작용이 있다. (또는 두 물체 간에 서로 미치는 상호 작용은 항상 크기가 같으면서 반대 방향으로 작용한다)

제 3법칙

관성

가속도

작용/반작용

뉴턴의 운동법칙

운동량보존 제 1법칙

정지상태의 물체는 놓여진 상태를 그대로 유지하고 움직이는 물체는 그 운동을 계속 유지한다

운동량에 관계되는 3가지 인자

속력 물체가 얼마나 빨리 움직이는가?

방향 물체가 어느 쪽으로 움직이는가?

질량 물체에 들어있는 물질의 양의 척도

속도

뉴턴의 운동법칙

운동량을 변화시키는 능력으로 힘을 정의 제 2법칙

힘은 크기와 방향을 갖는다

힘이 물체에 가해질때 운동량은 힘이 가해진 방향으로 변화

가속도 물체의 운동상태의 변화

물체의 가속도는 가해진 힘에 비례한다 (F = ma)

뉴턴의 운동법칙

첫번째 법칙의 일반화 제 3법칙

외부의 영향을 받지않고 고립된 입자시스템은 제1법칙에 따라 총운동량은 일정하게 유지된다

만약 시스템내에서 운동량의 변화가 생기면, 크기가 같고 방향이 반대인 다른 변화와 평형을 이루어야 전체 총운동량은 변하지 않는다

자연에서 힘은 스스로 발생하지 않는다!

크기가 같고 방향이 서로 반대인 한쌍의 힘이 항상 존재

질량, 체적, 밀도

물체에 들어있는 물질의 양의 척도 질량

얼마나 많은가의 척도

물체가 점유하고 있는 공간의 척도 체적

얼마나 큰가의 척도

단위부피안에 들어 있는 질량의 척도 밀도

얼마나 단단히 채워져 있는가의 척도

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혜성꼬리: 10-16 g/cm3, 중성자별: 1015 g/cm3

각운동량

물체가 회전하거나 어떤 고정된 한점 주위로 회전하는 물체가 가지고 있는 운동량의 척도

질량*속도*거리 자전하는 행성에서 은하에 이르기까지 물체의 공전을 다룰 때마다 고려해야

행성이 태양에 접근할 때 행성공전속도가 증가하는 이유

회전중심까지의 거리가 짧으면 각운동량을 동일하게 유지하기 위해 속도가 증가

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중력법칙

가장 자연스러운 운동상태는 원이 아닌 직선!

물체를 그대로 두면 정지상태를 유지하고 움직이는 물체는 균일하게 운동을 한다

행성의 경우 경로가 직선에서 타원으로 구부러지게 하는 어떤 힘이 작용해야!

중력

3. 만유인력

21

뉴턴 당시

지구는 표면에 있는 물체에 중력을 가하는 것으로 경험됨

중력은 단지 지구와 연관되는 힘으로 여겨짐

22

뉴턴 당시

뉴턴의 통찰력: 지구의 중력이 달까지 멀리 확장하여 가속도를 발생시켜서 달의 경로를 직선에서 곡선으로 바뀌어 현재의 궤도를 유지한다:

중력은 지구에 한정되지 않고 모든 물체사이에 끌어당기는 일반적인 힘이 존재한다고 추측

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뉴턴의 가정

중력의 정확한 수학적 표현이 설명해야 했던 것!

우주 어느 곳에서나 모든 물체간에 만유인력이 존재

1. 케플러가 관측했던 행성운동

2. 갈릴레오가 관측했던 낙하하는 물체의 정확한 행동

두 물체간에 작용하는 힘 221

RMGM

=힘

24

만유인력

25

태양과 행성 사이의 만유인력

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뉴턴의 가정

케플러 법칙으로 기술되는 궤도를 수학적으로 표현

221

RMGM

=힘

지구 표면 위의 물체가 아래로 떨어질 때 가속도

9.8 m/s^2

지구 반지름의 60배 떨어진 거리에 있는 달의 가속도

지구표면가속도의 (1/60)^2, 0.00272 m/s^2

달의 궤도에서 실제 관측됨!

27

뉴턴법칙의 암시

1. 질량이 있는 곳에서는 어디서나 중력을 통해 상호작용한다

221

RMGM

=힘

질량을 가진 모든 것은 우주내의 어떤 다른 곳에 있는 질량을 가진 다른 것을 끌어당긴다

2. 중력은 결코 0이 될 수 없다

거리가 멀어지면 그 힘이 빠르게 약해지지만 0은 아니다

태양의 끌어당김은 명왕성에서 보다 수성에서 강하다

명왕성너머 먼 곳에도 태양의 인력이 작용한다!

뉴턴법칙의 암시

우주선을 탄 우주인이 무중력으로 떠다니는 것처럼 보일까?

221

RMGM

=힘

우주 선은 지구 위의 수백km정도에 있다 -> 아주 먼 곳이 아님 (상당한 지구 중력이 작용)

우주선 안에 있는 사람은 자유낙하속도로 낙하하게 됨

끈이 떨어져 낙하하는 엘리베이터 속의 사람처럼 무중력을 느끼게 됨

우주선에 대해 어떤 부가적인 힘을 느끼지 못함

우주인은 낙하하는 엘리베이터 승객과는 달리 지구 주위로 떨어지고 있다

궤도운동과 질량

케플러 법칙은 뉴턴의 운동법칙과 중력법칙에 따라 움직이는 천체의 궤도를 설명

뉴턴은 중력이 태양 쪽으로 행성들을 끌어 당기는 힘이라는 것을 알고 케플러 제3법칙을 다시 음미, 수학적으로 표현

PMMD 221

3 )( ×+= D:태양-행성거리 [AU], P:주기 [년], M_1,M_2:태양질량,행성질량 [M_Sun]

케플러가 질량 항을 왜 빠뜨렸을까?

태양질량단위로 했을때 M_1 + M_2~1

뉴턴공식과 케플러공식이 같아짐

천문학에서는 두 별의 질량을 포함시켜야 하는 경우가 많다

천문학에 응용

서로 중력을 미치는 물체의 운동(거리와 주기)를 측정하면 질량을 구할 수 있다

행성의 거리와 주기를 이용하여 태양질량 추정

PMMD 221

3 )( ×+=

목성위성의 운동을 조사하여 목성질량 추정

물체의 운동으로부터 질량을 추정할 수 있다는 것은 많은 천체들의 성질과 진화를 이해하는 열쇠가 됨

천문학에서 가장 강력한 개념중의 하나가 됨

중력을 이용하여 천체의 운동을 연구하는 천체역학

궤도묘사

궤도 물체의 운동경로

궤도가 결정되면 그 물체의 미래의 위치가 계산 됨

단지 2개 천체만 관련될 때 궤도결정에 필요한 인자

궤도 크기 (장반경)

궤도 모양 (이심율)

궤도 공전 주기

4. 태양계에서 궤도

궤도

궤도상의 2점

근일점과 원일점 근지점과 원지점

행성의 궤도

놀라운 정확성으로 행성의 궤도를 계산하고 예측하게 해 줌

평균궤도속도

PMMD 221

3 )( ×+=

수성: 48km/s 명왕성: 5km/s

모든 행성들이 비교적 이심율이 작은 궤도

지구궤도(황도)면에 가까운 하나의 공통평면내에 국한 (명왕성을 제외하고 태양계 공통평면에 대해 10도내)

소행성과 혜성의 궤도

태양계 생성 과정에서 버려진 물체의 작은 덩어리들(12장)

소행성

혜성 소행성보다 큰 궤도 이심율이 큰 궤도(>0.8)

태양에서 먼곳에서 움직이다 근일점을 빨리 통과할 때 우리에게 밝게 관측됨

혜성보다 작은 장반경 2.2AU – 3.3AU사이

4개의 가장 큰 소행성 1:세레스, 2:팔라스 4:베스타,10:히게이아

중력법칙과 케플러법칙은 행성과 마찬가지로 지구 위성과 행성간우주선의 운동을 규정

우주비행과 위성궤도

인공위성궤도로 총알 발사

A와 B의 경우는 중력이 총알을 지면으로 끌어당김

총알 속도가 작다!

C의 경우는 총알 속도가 중력을 이겨낼 정도 크다

원궤도 운동 지구 원궤도 속도: 8km/s

5. 위성궤도와 우주선

매년 50개 이상의 위성이 지구궤도로 발사되고 있다

대부분의 인공위성은 낮은 지구궤도로 발사

발사에너지가 최소로 들기때문에

8km/s의 궤도속도로 약 90분마다 한번씩 지구 주위를 돈다

낮은 궤도 위성의 경우 지구 상층대기와의 마찰로 에너지 손실을 겪어 궤도손실이 됨

행성간 우주선

위성이 지구를 벗어나려면 이탈속도 이상이 되어야 11.2km/s

지구를 이탈하면 우주선에 내장된 작은 분사 제어로케트로 진로를 바꾸며 목표물에 접근

목표행성에 가까워지면: 우주선은 행성의 중력에 끌림

궤도가 바뀌어지면서 운동에너지를 잃거나 얻게 됨

목표지점을 잘 선택하여 두 번째 목표물로 비행하도록 방향을 바꿀 수 있다.

실제 행성들은 서로간에 중력을 행사하고 있다

다체의 상호작용

2개 이상의 천체들의 상호작용을 포함한 운동을 다루는 문제는 아주 복잡해서 대형컴퓨터의 도움을 받아야. . .

N-body 문제: 한 별에 미치는 다른 모든 천체들의 결합중력을 계산 그 별에 미치는 힘을 알고 그 별의 가속도 계산 -> 별의 운동을 추적

다른 별들도 움직이므로 그 효과도 감안하여 복잡한 계산수행

6. 다체 시스템에서의 중력

다체의 상호작용

태양계 내의 행성과 우주선의 궤도를 계산하는 문제는 좀더 간단하다

한 행성의 궤도에 미치는 다른 행성들의 중력적 효과를 고려하지 않는 케플러 법칙들이 실제로 잘 적용되고 있기에 . . . (태양의 중력효과가 크다)

다른 천체들의 효과를 태양 인력에 미치는 작은 섭동으로 취급 가능

18세기와 19세기 많은 수학자들의 섭동계산법을 이용 행성들의 위치를 아주 정확하게 예측할 수 있었다

이런 섭동계산으로 1846년에 새로운 행성이 발견!

해왕성의 발견

중력이론의 발전에 있어 매우 중요한 가치를 지님

1781년 허셀이 천왕성 발견

1세기 이전에 이미 관측되었지만 행성으로 분류되지 않았다

1790년 경 천왕성의 운동관측자료를 이용 천왕성 궤도 계산

1843년 영국의 아담스: 천왕성의 불규칙 운동이 미지의 행성에 의해 야기될 수 있다고 판단하여 새로운 계산시작

목성과 토성의 섭동효과를 고려하더라도 1690년 이후 관측과 일치하지 않는 이론 계산결과

1840년 경 천왕성의 관측위치와 계산된 궤도의 차이는 0.03도

해왕성의 발견

1843년 영국의 아담스: 천왕성의 불규칙 운동이 미지의 행성에 의해 야기될 수 있다고 판단하여 새로운 계산시작

물병자리영역의 최신 성도가 없었던 찰리스는 발견 실패

1846년 프랑스의 르베리에: 아담스와 같은 문제를 다루어 미지의 행성위치 예측

에이레 (영): 두 천문학자들의 행성위치 예측이 1도범위 내에서 일치함을 발견하고 캠브리지 천문대의 찰리스에게 관측을 요청

갈레(독): 드베리에가 베를린 천문대의 갈레엑 행성관측을 요청

정확한 성도를 지녔던 갈레가 1846년 9월 23일 새로운 행성 발견