5Fluidos Ranald Giles Mecanica Fluidos e Hidraulica

UNIVERSITAT POLlTECNICA CATALUNYA Biblioteca111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

1400480638

PrlogoEste libro ha sido concebido con el principal propsito de complementar los textos ordinarios (de mecnica de los fluidos e hidrulica. Se basa en la conviccin del autor de que el esclarecimiento y comprensin de los principios fundamentales de cualquier rama de la mecnica se obtienen mejor mediante numerosos ejercicios ilustrativos. La anterior edicin de este libro ha sido acogida muy favorablemente. En esta segunda edicin, muchos de los captulos han sido revisados y adicionados con objeto de poner al da determinados temas de acuerdo con los ms recientes conceptos, mtodos y terminologa. Se ha dedicado especial atencin al anlisis dimensional recogiendo los nuevos materiales en el Captulo 5. La revisin ms extensa se ha llevado a cabo en los captulos que tratan los fundamentos del flujo de fluidos, flujo de fluidos en tuberas y flujo en canales abiertos. La materia se divide en captulos que abarcan reas bien definidas de teora y estudio. Cada captulo se inicia con el establecimiento de las definiciones pertinentes, principios y teoremas, junto con el material ilustrativo y descriptivo al que sigue una serie de problemas resueltos y problemas propuestos. Los problemas resueltos ilustran y amplan la teora, presentan mtodos de anlisis, proporcionan ejemplos prcticos e iluminan con aguda perspectiva aquellos aspectos de detalle que capacitan al estudiante para aplicar los principios fundamentales con correccin y seguridad. El anlisis del cuerpo libre, los diagramas vectoriales, los principios de trabajo y energa de la cantidad de movimiento y las leyes de Newton se utilizan a lo largo de todo el libro. No se ha regateado esfuerzo para presentar problemas originales desarrollados por el autor en los largos aos dedicados a la enseanza de .esta materia. Entre los problemas resueltos se incluyen numerosas demostraciones de teoremas y deducciones de frmulas. El elevado nmero de problemas propuestos asegura un repaso completo del material de cada captulo. Los alumnos de las Escuelas de Ingeniera reconocern la utilidad de este libro al estudiar la mecnica de los fluidos y, adicionalmente, aprovecharn la ventaja de su posterior empleo como libro de referencia en su prctica profesional. Encontrarn soluciones muy detalladas de numerosos problemas prcticos y, cuando lo necesiten, podrn recurrir siempre al resumen de la teora. Asimismo, el libro puede servir al ingeniero profesional que ha de recordar esta materia cuando es miembro de un tribunal examinador o por cualesquiera otras razones. Deseo expresar mi agradecimiento a mi colega Robert C. Stiefel, que ha comprobado cuidadosamente la solucin de muchos de los nuevos problemas. Tambin he de expresar mi gratitud a la redaccin de la Schaum Publishing Company y, muy particularmente, a Henry Hayden y Nicola Miracapillo, por sus inestimables sugerencias e inapreciable cooperacin. RANALD V. GILES

Tabla de materiasPginas

Captulo

1

PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS

1

La mecnica de los fluidos y la hidrulica. Definicin de fluido. Sistema tcnico de unidades. Peso especfico. Densidad de un cuerpo. Densidad relativa de un cuerpo. Viscosidad de un fluido. Presin de vapor. Tensin superficial. Capilaridad. Presin de un fluido. La presin. Diferencia de presiones. Variaciones de la presin en un fluido compresible. Altura o carga de presin h. Mdulo volumtrico de elasticidad (E). Compresin de los gases. Para condiciones isotrmicas. Para condiciones adiabticas o isoentrpicas. Perturbaciones en la presin.

Captulo

2

FUERZAS HIDROSTTICAS SOBRE LAS SUPERFICIES. . . . . . . .Introduccin. Fuerza ejercida por un lquido sobre un rea plana. Tensin circunferencial o tangencial. Tensin longitudinal en cilindros de pared delgada.

22

Captulo 3

EMPUJE Y FLOTACIN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Principio de Arqumedes. Estabilidad de cuerpos sumergidos y flotantes.

36

Captulo

4

TRASLACIN Y ROTACIN DE MASAS LIQUIDAS. . . . . . . . . . .

42

Introduccin. Movimiento horizontal. Movimiento vertical. Rotacin de masas fluidas. Recipientes abiertos. Rotacin de masas fluidas. Recipientes cerrados.

Captulo

5

ANLISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA HIDRULICA . . . . . . .

50

Introduccin. Anlisis dimensional. Modelos hidrulicos. Semejanza geomtrica. Semejanza cinemtica. Semejanza dinmica. La relacin entre las fuerzas de inercia. Relacin de las fuerzas de inercia a las de presin. Relacin de las fuerzas de inercia a las viscosas. Relacin de las fuerzas de inercia a las gravitatorias. Relacin de las fuerzas de inercia a las elsticas. Relacin de las fuerzas de inercia a la de tensin superficial. Relacin de tiempos.

Captulo 6

FUNDAMENTOS DEL FLUJO DE FLUIDOS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

Introduccin. Flujo de fluidos. Flujo permanente. Flujo uniforme. Lneas de corriente. Tubos de corriente. Ecuacin de continuidad. Red de corriente. Ecuacin de la energa. Altura de velocidad. Aplicacin del teorema de Bernoul-li. Lnea de energas o de alturas totales. Lnea de alturas piezomtricas. Potencia.

TABLA DE MATERIAS

Pginas

Captulo

7

FLUJO DE FLUIDOS EN TUBERAS.Introduccin. Flujo laminar. Velocidad crtica. Nmero de Reynolds. Flujo turbulento. Tensin cortante en la pared de una tubera. Distribucin de velocidades. Prdida de carga en flujo laminar. Frmula de Darcy-Weisbach. Coeficiente de friccin. Otras prdidas de carga.

96

Captulo 8

SISTEMAS DE TUBERAS EQUIVALENTES, COMPUESTAS, EN PARALELO Y RAMIFICADAS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115Sistemas de tubejas. Sistemas de tuberas equivalentes. Sistemas de tuberas compuestas o en serie, en paralelo y ramificadas. Mtodos de resolucin. Frmula de Hazen-Williams.

Captulo

9

MEDIDAS EN FLUJO DE FLUIDOS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

133

Introduccin. Tubo de Pitot. Coeficiente de descarga. Coeficiente de velocidad. Coeficiente de contraccin. Prdida de carga. Vertederos de aforo. Frmula terica de un vertedero. Frmula de Francis. Frmula de Banzin. Frmula de Fteley y Stearns. Frmula del vertedero triangular. La frmula del vertedero trapezoidal. Para presas empleadas como vertederos. E! tiempo de vaciado de depsitos. El tiempo para establecer el flujo.

\

Captulo 10

FLUJO EN CANALES ABIERTOS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Canal abierto. Flujo uniforme y permanente. Flujo no uniforme. Flujo laminar. La frmula de Chezy. El coeficiente C. El caudal Q. La prdida de carga. Distribucin vertical de la velocidad. Energa especfica. Profundidad crtica. Caudal unitario mximo. En canales no rectangulares y para un flujo critico. Flujo no uniforme. Los vertederos de aforo de pared gruesa. Resalto hidrulico.

160

Captulo

//

FUERZAS DESARROLLADAS POR LOS FLUIDOS EN MOVIMIENTO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

192

Introduccin. El principio de impulso-canidad de movimiento. El coeficiente de correccin de la cantidad de movimiento. Resistencia. Sustentacin. Resistencia total. Coeficientes de resistencia. Coeficientes de sustentacin. Nmero de Mach. Teora de la capa lmite. Placas planas. Golpe de ariete. Velocidades supersnicas.

Captulo 12

MAQUINARIA HIDRULICA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

225

Maquinaria hidrulica. En el caso de rodetes. Ruedas hidrulicas, bombas y soplantes. Velocidad especfica. Rendimiento. Cavitacin. Propulsin por hlices. Los coeficientes de la hlice.

TABLA DE MATERIAS

APNDICESTabla 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.

Pginas

Propiedades aproximadas de algunos gases.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Densidad relativa y viscosidad cinemtica de algunos lquidos. . . . . . . Coeficiente de friccin / para agua solamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prdidas de carga en accesorios.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Valores de K*. Contracciones y ensanchamientos.. . . . . . . . . . . . . . . . . . Algunos valores del coeficiente Cl de Hazen-Williams. . . . . . . . . . . . . . Coeficientes de desage para orificios circulares de arista viva.. . . . . . Algunos factores de expansin Y para flujo.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Algunos valores medios de n empleados en las frmulas de Kutter y de nning y de m en la frmula de Bazin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Valores de C de la frmula de Kutter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Valores del factor de descarga K para canales trapezoidales. . . . . . . . . Valores del factor de descarga K' para canales trapezoidales. . . . . . . . reas, de crculos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .256 Pesos y dimensiones de tuberas de fundicin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

246 247 248 249 250 250 251 252 Ma 252 253 254 255 256

DIAGRAMASDiagramas A-l. Diagrama de Moody para coeficientes de friccin f. . . . . . . . . . A-2. Diagrama de Moody modificado para coeficientes de friccin / (solucin directa para el flujo Q). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B. C. Nomograma de caudales, frmula de Hazen-Williams (C\ = 100). 1 Coeficiente para orificios medidores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D. Coeficientes para boquillas de aforo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E. Coeficientes para venturmetros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F. Coeficiente de resistencia en funcin de RE. . . . . . . . . . . . . . . . . . G. Coeficientes de resistencia para placas planas y lisas.. . . . . . . . . H. Coeficientes de resistencia a velocidades supersnicas. . . . . . . . . 257 258 259 260 261 262 263 264 265

NDICE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

267

Captulo 1Propiedades de los fluidosLA MECANICA DE LOS FLUIDOS Y LA HIDRAULICA

La rama de la mecnica aplicada que estudia el comportamiento de los fluidos ya sea en reposo o en movimiento constituye la mecnica de los fluidos y la hidrulica. En el desarrollo de los principios de la mecnica de los fluidos algunas de las propiedades de los fluidos juegan un papel preponderante, mientras que otras o influyen muy poco o nada. En la esttica de los fluidos, el peso especfico es la propiedad importante, mientras que en el flujo de fluidos la densidad y la viscosidad son las que predominan. Cuando tiene lugar una compresibilidad apreciable es necesario considerar los principios de la termodinmica. Al intervenir presiones manomtricas negativas la tensin de vapor pasa a ser importante y la tensin superficial afecta a la esttica o cinemtica de los fluidos cuando las secciones de paso son pequeas.

DEFINICION DE FLUIDO

S

Los fluidos son sustancias capaces de fluir y que se adaptan a la forma de los recipientes que los contienen. Cuando estn en equilibrio, los fluidos no pueden soportar fuerzas tangenciales o cortantes. Todos los fluidos son compresibles en cierto grado y ofrecen poca resistencia a los cambios de forma. Los fluidos pueden dividirse en lquidos y gases. Las diferencias esenciales entr lquidos y gases son (a) los lquidos son prcticamente incompresibles y los gases son compresibles, por lo que en muchas ocasiones hay que tratarlos como tales y (b) los lquidos ocupan un volumen definido y tienen superficies libres mientras que un:.l masa dada de gas se expansiona hasta ocupar todas las partes del recipiente que lo contenga.

I

SISTEMA TECNICO DE UNIDADES

Las magnitudes fundamentales seleccionadas son la longitud, fuerza y tiempo. Las tres unidades fundamentales correspondientes son el metro para la longitud, el kilogramo fuerza (o kilogramo peso) yel segundo. Las otras unidades pueden deducirse a partir de stas. As, la unidad de volumen es el m 3 , la unidad de la aceleracin el m/seg 2 , la de trabajo el kgm y la unidad de presin el kg/m 2 Algunos datos pueden venir dados en otras unidades y deben convertirse al sistema metro-kilogramo fuerza-segundo antes de aplicarlos a la solucin de los problemas. La unidad de masa en este sistema, la UTM (unidad tcnica de masa), se establece a partir de las unidades de fuerza y de aceleracin. Para un cuerpo que cae en el vaco la aceleracin a que est sometido es la de la gravedad (g = 9;81 m/seg 2 al nivel del mar) y la nica fuerza que acta es su peso. A partir del segundo principio de Newton, fuerza en kg = masa en UTM x aceleracin en m/seg 2 De aquo

peso en kg = masa en UTM x g(9,81 m/seg 2 ) __ peso W en kg masa M en UTM g(9,81 m/seg 2 )

(1)

2PESO ESPECIFICO


[CAP. I

El peso especfico w de una sustancia es el peso de la unidad de volumen de dicha sustancia. En los lquidos, w puede considerarse constante para las variaciones ordinarias de presin. El peso especfico del agua para las temperaturas ms comunes es de 1000 kg/m 3 . Vase el Apndice, Tablas l(C) y 2, para valores adicionales. ' Los pesos especficos de los gases pueden calcularse mediante la ecuacin de estado de los gases o

o

R.(1eyes de Charles y Boyle)

(2)

donde p es la presin absoluta en kg/m z, Vs el volumen especfico o volumen ocupado por la unidad de peso en m 3 /kg, T la temperatura absoluta en grados Kelvin (OK = oC + 273) Y R la constante del gas en mOK. Como w = l/v s ' la ecuacin anterior puede escribirseP

RTDENSIDAD DE UN CUERPO p (ro) = masa por unidad de volumen = w/g.

(8)

En el sistema tcnico de unidades, la densidad del agua es 1000/9,80665 = 101,972 (~ 102) UTM/m 3 o kg seg Z /m 4 En el sistema cgs la densidad del agua es 1 g/cm 3 a 4 C. Vase Apndice, Tabla l(C).

DENSIDAD RELATIVA DE UN CUERPOLa densidad relativa de un cuerpo es un nmero adimensional que viene dado por la relacin del peso del cuerpo al peso de un volumen igual de una sustancia que se toma como referencia. Los slidos y lquidos se refieren al agua a 4 C, mientras que los gases se refieren al aire libre de COz e hidrgeno a 0 C y Atm de presin, como condiciones normales. Por ejemplo, . . . densIdad relatIva de una sustancIa = peso de la sustancia . d' lid peso e gua va umen e agua peso especfico de la sustancia peso especfico del agua As, si la densidad relativa de un aceite es 0,750 su peso especfico ser 0,750(1000 kg/m 3 ) = 750 kg/m 3 La densidad relativa del agua es 1,00 y la del mercurio 13,57. La densidad relativa de una sustancia viene dada por el mismo nmero en cualquier sistema de unidades. Vase Apndice, Tabla 2.

S

I

(4)

VISCOSIDAD DE UN FLUIDOLa viscosidad de un fluido es aquella propiedad que determina la cantidad de resistencia opuesta a las fuerzas cortantes. La viscosidad se debe primordialmente a las interacciones entre las molculas del fluido. Con referencia a la Fig. 1-1, se consideran dos placas planas y paralelas de grandes dimensiones, separadas una pequea distancia y, y con el espacio entre ellas lleno de un fluido. Se supone que la placa superior se mueve a una velocidad constante U al actuar sobre ela

Fig.l-l

~AP. 1]


3

una fuerza F, tambin constante. El fluido en contacto con la placa mvil se adhiere a ella movindo~e a la misma velocidad U, mientras que el fluido en contacto con la placa fija permanecer en reposo. ,:Si la separacin y y la velocidad U no son muy grandes, la variacin de las velocidades (gradiente) vendr dada por una lnea recta. La experiencia ha demostrado que la fuerza F vara con el rea de la placa, ~on la velocidad U e inversamente con la separacin y. Como por tringulos semejantes, U/y = dV/dy, . tenemos~.

F

ex:

AV y

Ady

dV

o

F A

T

ex:

dV dy

;donde ; = F/A = tensin o esfuerzo cortante. Al introducir la constante de proporcionalidad /l (mi), llamada viscosidad absoluta o dinmica,dVfJ-

dy

o

T

dV/dy

(.5)

. kg seg kg/m 2 kg seg Las umdades de /l son - - 2 - ' ya que ( / )/ = - - 2 - ' Los fluidos que siguen la relacin (5) se m m seg m m . llaman fluidos newtonianos (vase Problema 9). Otro coeficiente de viscosidad, lIamado viscosidad cinemtica, viene definido por .) viscosidad absoluta /l viscosidad cinemtica v (m = -----:c-~,----;-- densidad,)

S

I(6)

v

!::p

fJ w/g

fJg w

m2 (kg seg/m 2 )(m/seg 2 ) Las unidades de v son - , ya que seg kg/m 3

m2 seg

Las viscosidades en los manuales vienen dadas normalmente en poises y stokes (unidades del sistema cgs) y en ocasiones en grados o segundos Saybolt, a partir de medidas en viscosmetros. Algunas Gonversiones de un sistema a otro de unidades se dan en los Problemas 6-8. En las Tablas 1 y 2 del Apndice se dan algunos valores de viscosidades. En los lquidos la viscosidad disminuye al aumentar la temperatura, pero no se ve.afectada apreciablemente por las variaciones de presin. La viscosidad absoluta de los gass aumenta al aumentar la temperatura, pero casi no vara con la presin. Como el peso especfico de los gases vara con la presin (a temperatura constante), la viscosidad cinemtica es inversamente proporcional a la presin. Sin empargo, de la ecuacin anterior, /lg = wv.PRESION DE VAPOR

Cuando tiene lugar el fenmeno de la evaporacin dentro de un espacio cerrado, la presin parcial que dan lugar las molculas de vapor se lIama presin de vapor. Las presiones de vapor dependen de la temperatura, aumentando con ella. En la Tabla l(C) se dan valores para el agua.~.

fENSION SUPERFICIAL

Una molcula en el interior de un lquido est sometida a la accin de fuerzas atractivas en todas las direcciones, siendo la resultante nula. Pero si la molcula est en la superficie del lquido, sufre la ~ccin de un conjunto de fuerzas de cohesin, cuya resultante es perpendicular a la superficie. De aqu ~ue sea necesario consumir cierto trabajo para mover las molculas hacia la superficie venciendo la j~sistencia de estas fuerzas, por lo que las molculas superficiales tienen ms energa que las interiores. La tensin superficial de un lquido es el trabajo que debe realizarse para llevar molculas en nmero suficiente desde el interior del lquido hasta la superficie para crear una nueva unidad de super-

4


[CAP. I

ficie (kgm/m 2 ). Este trabajo es numricamente igual a la fuerza tangencial de contraccin que actuara sobre una lnea hipottica de longitud unidad situada en la superficie (kg/m). En la mayora de los problemas presentados en las mecnicas de fluidos elementales la tensin superficial no es de particular importancia. En la Tabla 1(C) se dan valores de la tensin superficial (J (sigma) para el agua en contacto con el aire.CAPILARIDAD

La elevacin o descenso de un lquido en un tubo capilar (o en situaciones fisicas anl.ogas, tales como en medios porosos) vienen producidos por la tensin superficial, dependiendo de las magnitudes relativas de la cohesin del lquido y de la adhesin del lquido a las paredes del tubo. Los lquidos ascienden en tubos que mojan (adhesin> cohesin) y descienden en tubos a los que no mojan (cohesin > adhesin). La capilaridad tiene importancia en tubos de dimetros aproximadamente menores de 10 mm. .PRESION DE UN FLUIDO

La presin de un fluido se transmite con igual intensidad en todas las direcciones y acta normalmente a cualquIer superficie plana. En el mismo plano horizontal, el valor de la presin en un lquido es igual en cualquier punto. Las medidas de presin se realizan con los manmetros, que pueden ser de diversas formas. De no advertir lo contrario, a travs de todo el libro las presiones sern las presiones relativas o manomtricas. La presin manomtrica representa el valor de la presin con relacin a la presin atmosfrica.LA PRESION vien~ expresada por una fuerza dividida por una superficie. En general,I

S

2 dP (kg) p (kg/m ) = dA (m 2 )

I

Cuando la fuerza P acta uniformemente distribuida sobre una superficie, tenemos2 P (kg) p (kg/m ) = A (m 2 )

y

DIFERENCIA DE PRESIONES

La diferencia de presiones entre dos puntos a distintos niveles en un lquido viene dada pt>. en kg/m 2(7)

donde w = peso especfico de lquido (kg/m 3 ) y h 2 - h = diferencia en elevacin (m). Si el punto 1 est en la superficie libre del lquido y h es positiva hacia abajo, la ecuacin anterior se transforma enp = wh

[en kg/m 2 (man)]

(8)

Para obtener la presin en kg/cm 2 , [en kg/cm 2 (man)](9)

Estas ecuaciones son aplicables en tanto que w se mantenga constante (o vara tan ligeramente con h, que no introduzca un error significativo en el resultado).

CAP. 1J


5

VARIACIONES DE LA PRESION EN UN FLUIDO COMPRESIBLE Las variaciones de presin en un fluido compresible son, por lo general, muy pequeas ya que los pesos especficos son pequeos, como tambin lo son las diferencias en elevacin consideradas en la mayora de los clculos en la hidrulica. Cuando se han de tener en cuenta para pequeas diferencias en elevacin dh, la ley de variacin de la presin puede escribirse en la formadp

= -w dh

(10)

El signo negativo indica que la presin disminuye al aumentar la altitud, con h positiva hacia arriba. En los Problemas 29-31 se dan aplicaciones de esta frmula.

ALTURA O CARGA DE PRESION h La altura de presin h representa la altura de una columna de fluido homogneo que d la presin dada. Ash (m de flUIdo)

'.

= w (kg/m 3 )

p (kg/m 2 )

(11)

MODULO VOLUMETRICO DE ELASTICIDAD (E) El mdulo volumtrico de elasticidad expresa la compresibilidad de un fluido. Es la relacin de la variacin de presin a la variacin de volumen por unidad de volumen. (12)

SCOMPRESION DE LOS GASES La compresin de los gases puede tener lugar de acuerdo con diversas leyes de termodinmica. Para la misma masa de gas sujeta a dos estados diferentes,WR

I

y

= R

(13)

donde p = presin absoluta en kg/m 2 , v = volumen en m 3 , W = peso en kg, w = peso especfico en kg/m 3 , R = constante del gas en mOK, T = temperatura absoluta en grados Kelvin (OC + 273).

PARA CONDICIONES ISOTERMICAS (temperatura constante) la expresin anterior (13) se transforma en

yTambin

WWz

constante

(14)

Mdulo volumtrico E = P (en kg/m 2 )

(15 )

PARA CONDICIONES ADIABATICAS O ISOENTROPICAS (sin intercambio de calor) las ex:'presiones anteriores se convierten' en

y

constante

(16)

6


[CAP. 1

Tambiny

(17)

Mdulo volumtrico E = kp (en kg/m 2 )

(18)

donde k es la relacin de calores especficos a presin constante y a volumen constante. Se le llama tambin exponente adiabtico. La Tabla l(A) del Apndice da algunos valores tpicos de R y k. Para muchos gases, el producto de R por el p~so molecular es aproximadamente 848.PERTURBACIONES EN LA PRESION

Cualquier perturbacin en la presin de un fluido se propaga en forma de ondas. Estas ondas de presin se mueven a una velocidad igual a la de propagacin del sonido a travs del fluido. La velocidad de propagacin o celeridad, en m/seg, viene dada por

e

= VE/ p

(19)

donde E viene medido en kg/m 2 Para los gases, la velocidad de sonido es(20)

S1.Solucin:

Problemas resueltos

I

Calcularel peso especfico w, el volumen especfico D. y la densidad p del metano a 38 C y 8,50 kg/cm 2 de presin absoluta.De la Tabla I(A) del Apndice, R=

53.p

8,5

X

Peso especfico w = RT = 53(273 Volumen especIfico.Vs

+

104

38) = 5,16 kg/m

3

=- = w

l

l = 0,194 m 3 /kg 5,16

. w 5,16 Densidad p = - = = 0,527 UTM/m 3 g 9,81

2.

Si 6 m 3 de un aceite pesan 5080 kg, calcular su peso especfico w, densidad p y densidad relativa.Solucin:

Peso especfico w Densidad p= -

= --3- =

5080 kg 6m

848 kg/m 3 86;5 UTM/m 3

wg

=

848 kg/m 3 2 9,81 m/segwag

=

i ' = Wac 848 = 0,848 Densl'dad re atlva = ~1 00

CAP. 1]

PROPIEDADES DE LOS FLUIDOSVs

7

3. A 32 C y 2,10 kgjcm 2 , el volumen especfico te del gas R y su densidad p.Solucin:

de cierto gas es 0,71 m 3/kg. Determinar la constan-

Como w D en SI'd a d p

=~,RTwg= -

R=

L

=

wT

pvs = T

~~?_J(O.~ 273 + 32

=

688 ' .

= -

I/v s 1 = --.---1 = = 0,1436 UTM/m 3 g vs g 0,71 x 9,81

4.

Determinar la variacin de volumen de 1 m 3 de agua a 27 C al aumentar la presin en 21 kg/cm 2 (b) A partir de los siguientes datos experimentales determinar el mdulo de elasticidad volumtrico del agua: a 35 kg/cm 2 el volumen era de 30 dm 3 y a 250 kg/cm 2 de 29,70 dm 3.(a)

Solucin:(a)

De la Tabla tiC) del Apndice, E a 2r C es de 22,90 x 103 kg/cm 2 . Mediante la frmula (12),v dp' dv = - - - = E

1 x 21 X 104 = -915 x 10- 4 m 3 ' 22,9 x 10 7

(b)

La definicin asociada con la frmul (12) indica que las variaciones correspondientes en la presin y volumen son las que deben considerarse en la frmula. De aqu, un aumento en la presin se corresponde con una . disminucin de volumen.

E=

dp' dv/v

(250 - 35) x 104 ~ 21 50 x 10 7 kg/m 2 (29,70 - 30) x 10 3 /30; 10 3 = ,

S.

S

Un cilindro contiene 356 dm 3 de aire a 49 C y una presin absoluta de 2,80 kg/cm.l. Se comprime el aire hasta 70 dm 3. (a) Suponiendo condiciones isotrmicas, cules la presin en el nuevo volumen y cul el mdulo de elasticidad volumtrico? (b) Al suponer condiciones adiabticas, cul es la presin final, la temperatura final y el mdulo de elasticidad volumtrico?(a)

I

Solucin: Para condiciones isotrmicas,

De aqu, El mdulo volumtrico E(b)

2,80 x 104

X

0,356 =

p;

x 104 x 0,070

y

p

=

14,20 kg/cm 2 (ab)

= p' =

14,20 kg/cm 2 y la Tabla I(A) del Apndice da ky

Para condiciones adiabticas, PiV~

= P2V~

=

1,40. De aqu,

p

=

27,22 kg/cm 2 (ab).

La temperatura final se obtiene a partir de la ecuacin (17):T 2 = (PITI P2)(k-1l1k

--'!2._ ='=

273

+ 49

(27,22 ), 40 / 1 ,40 2,80 '

T = 616" K = 343 C0

2

El mdulo volumtrico E

kp' = 1,40 x 27,22 = 38,10 kg/cm 2

6. De las International Critical Tables, la viscosidad del agua: a 20 C es 0,01008 poises. Calcular (a) la viscosidad absoluta en kg segjm 2 (b) Si la densidad relativa a 20 C es 0,998, calcular el valor de la viscosidad cinemtica en m 2 /seg.0

0

Solucin:

El poise est medido en dinas seg/cm 2 . Como 1 kg

=

9,81

X

10 5 dinas y 1 m = 100. cm, obtenemos

9,81 x 10 5 dinas seg . kg seg 1 --2- = 4 2 = 98,1 pOlses m 10 cm

8(a)(b)

PROPIEDADES DE LOS FLUIDOSJI en kg seg/m 2 = 0,01008/98,1 = 10,28 x 10- s2

[CAP. 1

v en m /seg

=

JI

p= w/g = -;

JI

Jlg

=7

10,28 x lO-s x 9,81 0,998 'x 1000

=

1,01

x lO-s

7.

Hallar la viscosidad cinemtica de un lquido cuya viscosidad absoluta es de 15,14 poises y su densidad relat..tva 0,964 dando el resultado en m 2 jseg.Solucin: Procediendo como en el Problema 6, 15,14 x 9,81 v=----98,1 x 964 1,57X

'.'

10- 3 m2 /seg.

8.

Convertir una viscosidad de 510 segundos Saybolt a 15,5 C en viscosidad cinemtica ven m 2 jseg.Solucin: Cuando para la determinacin se ha utilizado un viscosmetro universal Saybolt, para la conversin se utiliza uno de los dos grupos de frmulas siguientes:(a) (b)

para t ~ 100, para t> 100, para t ~ 100, para t> 100,

JI en poises JI en poises

v en stokes v en stokes

= = = =

(0,00226t - 1,95/t) x densidad relativa (0,00220t - 1,35/t) x densidad relativa (0,00226t - 1,95/t) (0,00220t - 1,35/t)

donde t mide los segundos Saybolt. Para convertir stokes (cm 2/seg) en m 2/seg solo es necesario dividir por 104 1,35 Mediante el segundo grupo (b) de frmulas, ya que t > 100, v = (0,00220 x 510 - - ) x 510 = 1,1194 x 10- 4 m 2 /seg.

9. Estudiar las caractersticas de velocidad de de-

S

formacin bajo esfuerzo cortante, que se representan para diversos tipos de fluidos en la Figura 12.Solu~in:

I

t~

SOLIDO RIGIDO IDEAL SOLIDO REAL

(a)

Los fluidos newtonianos se comportan de acuerdo con la ley, = JI(dV/dy), o bien que la tensin cortante es proporcional al gradiente de velocidades o velocidad de deformacin tangencial. Por tanto, para estos fluidos, la grfica de la tensin cortante en funcin del gradiente de velocidades es una lnea recta que pasa por el origen. La pendiente de esta recta determina la viscosidad. En un fluido ideal la resistencia a la deformacin cortante o tangencial es nula, de aqu que su grfica coincida con el eje de abscisas. Aunque los fluidos ideales no existen, en ciertos anlisis est justificada y es til la hiptesis de fluido ideal.

';:

~dV/dyFLUIDO NEWTONIANO

1

jGradiente de velocidades dVd

! ~~~::=======~~FL~U~12DO;I~D~EA~L~

5

(b)

Fig.I-2

(e)

Para un slido rgido ideal no hay deformacin bajo ningn estado de carga, y la grfica coincide con el eje y de ordenadas. Los slidos reales sufren siempre alguna deformacin y, dentro del lmite de proporcionalidad (ley de Hooke), la grfica es una lnea recta casi vertical. Los fluidos no newtonianos se deforman de manera que la tensin cortante no es proporcional a la velocidad de deformacin tangencial, excepto quiz a tensiones cortantes muy pequeas. La deformacin de estos fluidos pudiera clasificarse como plstica. Los materiales plsticos' ideales pueden soportar cierta cantidad de esfuerzo cortante sin deformarse, y , a partir de un cierto valor de aqul se deforman con una velocidad proporcional a la tensin cortante.

(d)

(e)

CAP. 1]


9

10. Con referencia a la Fig. 1-3, el fluido tiene unaviscosidad absoluta de 4,88 x 10 - 3 kg seg/m 2 y una densidad relativa de 0,913. Calcular el gradiente de velocidades y el mdulo de la tensin cortante en el contorno y en los puntos situados a 25 mm, 50 mm y 75 mm del contorno, suponiendo (a) una distribucin de velocidades lineal y (b) una distribucin de velocidades parablica. La parbola en el dibujo tiene su vrtice en A. El origen est en B.Solucin: (a) Para la hiptesis de distribucin lineal, la relacin entre la velocidad y la distancia y es V = 15y. De aqu dV = 15 dy, Y el gradiente de velocidades es dV/dy = 15. Para y = 0, V = 0, dV/dy = 15 seg- I yt=

1,125

m/seg--:i

Fig.I-3

..(dV/dy) = 4,88 x 10- 3 x 15

= 7,32 x 10- 2 kg/m 2=

Anlogamente, para los otros valores de y, tambin se obtiene t(b)

7,32

X

10- 2 kg/m 2 .

La ecuacin de la parbola debe satisfacer la condicin de que la velocidad sea cero en el contorno B. La ecuacin de la parbola es V = 1,125 - 200(0,075 - y)2. Luego dV/dy = 400(0,075 - y) y la tabulacin de los resultados conduce a lo siguiente:

y

X

10 3

V

dV/dy

t 4,88 x 10- 3(dV/dy) 0,1464 kg/m 2 0,0976 kg/m 2 0,0488 kg/m 2

S

25 50 75

0,625 1,000 1,125

30 2010

I

Se observar que en los puntos en que el gradiente de velocidades es nulo (cosa que ocurre en el eje de las tuberas en conduccin forzada, como se ver ms adelante) la tensin cortante es cero. Las unidades del gradiente de velocidades son seg- 1 y el producto ..(dV/dy) = (kg seg/m 2 )(seg- 1 ) = kg/m 2 , dimensiones correctas de la tensin cortante t.

11. Un cilindro de 12 cm de radio gira concqtricamente en el interior de un cilindro fijo de 12,6 cmde radio. Ambos cilindros tienen una longitud de 30 cm. Determinar la viscosidad del lquido que llena el espacio entre los cilindros, si se necesita un par de 9,0 cm kg para mantener una velocidad angular de 60 revoluciones por minuto.Solucin:(a)

El par se transmite al cilindro exterior a travs de la capa de fluido. Como el espaciado entre los cilindros es pequeo, los clculos pueden realizarse sin integracin. Velocidad tangencial del cilindro interior = rw ~ (0,12 m)(2n rad/seg) = 0,755 m/seg. En el pequeo espacio entre los cilindros puede suponerse lineal el gradiente de velocidades y utilizar el radio medio. As, dV/dy = 0,755/(0,120 - 0,126) = 125,8 (m/seg)/m o seg- 1 Par aplicado=

par resistentey

0,09 = t(rea)(brazo) = t(2n x 0,123 x 0,30)(0,123) De aqu, .. = t/(dV/dy) = 3,15/125,7 = 0,02500 kg seg/m 2

r = 3,15 kg/m 2 .

10(b)


[CAP. 1

En un mtodo matemtico ms exacto se utiliza el clculo como sigue: Como antes, 0,09 = r(2rrr x 0,30)r, de donde r = 0,0476/r 2.dV Ahora bien, dy= - = ~-2-'

r

0,0476W

. . donde las vanables son la velocidad V y el radio r. La velocidad es

J.l

cero en el radio mayor e igual a 0,755 m/seg en el radio menor. Ordenando la expresin anterior y sustituyendo -dr por dy (el signo menos indica que r disminuye cuando y aumenta), se obtiene

Vex

Vin

0,0476fo.120 -dr dV= - -1 J.l

1,1261

y

r

Vin

_

Vex

-

_ 0,0476 [~JO'120 J.l r 0,126

Por tanto,

(O 755 - O) =~~(-- - - - ) , J.l 0,120 0,126'

0,0476

1

de donde

J.l = 0,02500 kg seg/m 2 .

12.

Demostrar que la presin en un punto es la misma en todas las direcciones.Solucin:

Considrese un pequeo prisma triangular de liquido en reposo, bajo la accin del fluido que lo rodea. Los valores medios de la presin sobre las tres superficies son PI' P2 Y P3' En la direccin z, las fuerzas son iguales y opuestas y se anulan entre ellas. Sumando las fuerzas en las direcciones x e y se obtiene

LX = 0,o

P2

-

P3 sen O =

P2(dy dz) - P3(ds dz) senLY = 0, PI - P 3COS

e=

S

0- dW =(J d~

==

Fig.1-4

o

PI (dx dz) - P3(ds dz) cos

w(! dx dy dz) =

I(1) (2)

Como dy = ds sen O y d-r =

cos

(J,

las ecuaciones se reducen a las siguientes:

P2 dy dz - P3 dy dz y PI dx dz - P3 dx dz - w(! dx dy dz)

o

P2

= P3=

o

PI - P3 - w(! dy)

Cuando el prisma tiende a contraerse sobre un punto, dy tiende a cero en el limite, y la presin media se . vuelve uniforme en la superficie que tiende a cero y queda definida la presin en un punto. Por tanto, al poner dy = en la ecuacin (2) se obtiene PI = P3 Y de aqu PI = P2 = P3' .

13.

Deducir la expresin (P2 - p) = w(h 2 - h}.Solucin:

Considrese una porcin de liquido AB (Fig. 1-5) como un cuerpo libre de seccin recta transversal dA que se mantiene en equilibrio bajo la accin de su propio peso y la accin de las otras partculas de liquido sobre el cuerpo AB. En A la fuerza que acta es PI dA (la presin en kg/m 1 por el rea en m2 ); en B es P2 dA. El peso del cuerpo libre AB es W = wv = wL dA. Las otras fuerzas que actan sobre el cuerpo libre AB son normales a sus lados, de las que se muestran solo unas pocas en la figura. Al establecer LX = 0, dichas fuerzas normales no es necesario considerarlas en la ecuacin. Por consiguiente, P1 dA - PI dA - w L dA sen 0= Como L sen 0= h 2 - h l , la ecuacin anterior se reduce a (P2 - p)

Fig.1-5

=

w(h 2 - hj.

:AP. 1]


11

14. Determinar la presin en kgjcm 2 sobre una superficie sumergida a 6 m de profundidad en una masa de agua.Solucin: Utilizando el valor medio de 1000 kgjm 3 para w,p'

=-

wh 1000 x 6 = = 060 kgjcm 2 (man) 104 104 '

15. Determinar la presin en kgjcm 2 a una profundidad de 9 m en un aceite de densidad relativa de 0,750.Solucin:p

, = wh = (0,750 x 1000)9 = 0675 kg/cm 2 (man)104 104'

16.

Encontrar la presin absoluta en kgjcm 2 en el Problema 14 si la lectura baromtrica es de 75,6 cm de mercurio (densidad relativa 13,57).Solucin: Presin absoluta = presin atmosfrica=

+

presin debida a los 6 m de agua

(13,57 x 1000)(0,756) 104

+

1000 x 6 2 104 = 1,628 kg/cm (ab)

17. A qu prof~.mdidad de un aceite, de densidad relativa 0,750, se producir una presin de 2,80 kgjcm 2 ? A cul si el lquido es agua?

S18.

Solucin:p

hac

=

W

ac

2,80 X 104 = 0,750 x 1000 = 37,30 m,

p

hag

=

Wag

=

2,80 X .10 4 1000 = 28,00 m

I

Convertir una altura de presin de 5 m de agua en altura de aceite, de densidad relativa 0,750. Convertir una altura de presin de 60 cm de mercurio en altura de aceite, de densidad relativa 0,750.(a) (b)Solucin:(a)

h

ac

=

hag 5 = - - = 633 m den. rel. aceite 0,750 '

(b)

hac

=

den. rel. aceite

hag

13,57 x 0,60 0,750 = 10,85 m

19. Preparar un grfico de forma que puedan compararse fcilmente las presiones manomtricas (man) y absolutas (ab) con las limitaciones que se harn notar.Solucin: Sea A un punto, Fig. 1-6, a una presin absoluta de 3,85 kgjcm 2 La presin manomtrica depender de la presin atmosfrica reinante. Si tal presin es la atmosfrica normal al nivel del mar (1,033 kgjcm 2 ), la' presin manomtrica en A ser 3,850 - 1,033 = 2,817 kgjcm 1 . La lectura baromtrica ms corriente equivale a una presin de 1,014 kgjcm 2 , con lo que la presin manomtrica obtenida sera 3,850 - 1,014 = 2,836 kgjcm 2 (man).

A(PRESIONES EN kg

cm2~2)06 roan

T1I2.817 man).85 ab

,

P. almos. normal

=

1.1)33

r- 0.544 man

1- 0.563 man

-

-

..., \.. P. atms. reinante~

---.L.-+B

1.014

1.0)) ab

cero abs

0.47 ab

+e aoabsolutoivaci IOlal)

tFig. }-6

I

/e

- 1.0)) man o-1.014 man

.J

12


[CAP.

Sea B un punto a una presin absoluta de 0,47 kgJcm 2 Este valor viene representado grficamente por d( bajo de la presin atmosfrica normal 1,033 kg/cm 2 y la presin manomtrica para B ser 0,470 - 1,033 = - 0,563 kg/cm 2 (man). Si la presin atmosfrica reinante es de 1,014 kgJcm 2 , la presin manomtrica para est valor ser 0,470 - 1,014 = -0,544 kgJcm 2 (man). Sea e un punto a una presin absoluta igual a cero. Esta condicin es equivalente a una presin manom trica normal negativa de -1,033 kg/cm 2 ya una presin manomtrica, representativa del valor ms corripn te, de -1,014 kgJcm 2 Las conclusiones que se pueden sacar son importantes. Las presiones manomtricas negativas no pueder exceder de un lmite terico de la presin manomtrica reinante o del valor normal de -1,033 kgJcm 2 Las pre siones absolutas no pueden tomar valores negativos.

20.

Con referencia a la Fig. 1-7, las reas del pistn A y del cilindro B son, respectivamente, de 40 y 4000 cm 2 y B pesa 4000 kg. Los depsitos y las conducciones de conexin estn llenos de aceite de densidad relativa 0,750. Cul es la fuerza P necesaria para mantener el equilibrio si se desprecia el peso de A?Solucin:

Se determina primero la presin que acta sobre A.Lomo XL y X R estn al mismo nivel en la misma masa de lquido, se tiene presin en XL en kgJcm 2o=

Fig.l.7

presin en X R en kgJcm 2

.. b' preSlOn aJo A

. . deb'd + preslOn I a a Ios

S

5 m de aceIte . = peso de B =-,~~area de B

IP~ = 0,625

Sustituyendo,P~

PA750 x 5

+

wh 4000 kg 104 = 4000 cm2=

+ ~ kg/cm 2

1,0 kgJcm 2

y

kg/cm 2

Euerza P = presin uniforme x rea = 0,625 kgJcm 2 x 40 cm 2 = 25,0 kg.

21.

Determinar la presin manomtrica en A en kg/cm 2 debida a la columna de mercurio (den. rel. 13,57) en el manmetro en U mostrado en la Figura 1-8.Solucin: B y e estn al mismo nivel y en el mismo lquido, el mercurio; D _3,80m

por tanto, podemos igualar las presiones en B.y

e en kg/m 2

(man).

Presin en B = presin en e PA + wh (para el agua) = PD + wh (para el mercurio) PA + 1000(3,60 - 3,00) = O + (13,57 x 1000)(3,80 - 3,00) Al despejar,PA = 10.256 kg/m 2 y p~ = 10.256/104 = 1,0256 kgJcm 2 (man). Otro procedimiento de resolucin consiste en emplear las alturas de presin en metros de agua, lo que conduce por lo general a menos operaciones aritmticas, como se ve a continuacin: Altura de presin en B PA/W + 0,60 m de agua= =

B

e

3,00 m

altura de presin enX

e

Fig.l.8

0,80 x 13,57 m de agua 10,256)/104 = 1,0256 kgJcm 2 (man), como antes.

Al despejar PA/W = 10,256 m de agua y p~ = (1000

:AP 1]


13

t2.

Aceite de densidad relativa 0,750 est fluyendo a travs de la boquilla mostrada en la Fig. 1-9 y " desequilibra la columna de mercurio del manmetro en U. Determinar el valor de h si la presin en A ~s de 1,40. kgjcm 2 . .Solucin:

Presin en B = presin en o, al utilizar como unidad kgjcm 2 , PA 140,

e

+ 104 (aceite) + h)

wh.

= Po

+ 104 (mercurio)x 1000)h 104yh = 1,14 m

wh

,

+

(0,750 x 1000)(0,825 i0 4

= (13,57

Otro mtodo: Al utilizar ahora como unidad la altura de presin en m de agua, Altura de presin en B = altura de presin en 1 40 X 104 , 1000 - (0,825 - h)O,750=

e

13,57h

y

h = 1,14 m, como antes

SAire 0,825 m 3,38 m

I

;---0::01I-- D

t

h

B

e

3,00 mLiquido B

Dr 1,60

Fig.t-9

Fig.II0

13. Para una presin manomtrica en A de - O, 11 kg/cm 2 , encontrar la densidad relativa (Dr) del lquido manomtrico B de la Figura 1-10.Solucin:= presin en D PA - wh = PD (1,60 x 1000)0,45 = PD = -380 kgjm 2

Presin en

e

o, en kgjm 2 , -0,11 Ahora bien, PG = PD = apreciable. Adems PE = PF Por tanto,X

104

+

- 380 kg/m 2 , ya que el peso de los 0,68 m de aire pueden despreciarse sin error = O en kgjm 2 (man).

o

presin en G = presin en E - presin de (3,38 - 3,00) m del lquido manomtrico PG = PE - (Dr x 1000)(3,38 - 3,00) -380 = 0- (Dr x 1000)0,38 y Dr = 1,00

14


[CAP. I

24.

Para una lectura manomtrica en A de -0,18 kg/cm 2 , determinar (a) la elevacin en las ramas abiertas de los piezmetros E, F YG Y (b) la lectura del manmetro en U de mercurio de la Figura 1-11.Solucin: (a) Como el peso especfico del aire (aproximadamente 1,28 kgjm 3 ) es muy pequeo comparado con el de los lquidos, la presin en la elevacin de 15 m puede considerarse igual a -0,18 kgjcm 2 sin introducir error apreciable en los clculos. Para la columna E: Supuesta la elevacin de L, como la mostrada, se tiene en kg/m 2 (man) Por tanto, o bien-0,18X

El. 20

In _

~

A

E F

G

Aire

PK = PL PH

+ wh

=

O

10

4

+

(0,700 x 1000)h = O

y h = 2,57 m.

e

-LD h.

De aqu, la elevacin de L ser 15,00 - 2,57=

T

El. 4

In

12,43 m.

Fig.l-ll

Para la columna F:

S

Presin en El. 12 m

=

presin en El. 15 m

+

presin del lquido de Dr 0,700

I4

=

-O 18 ,

+

(0,700 x 1000)(15 - 12) k 2 -- = OO 3 g/cm " 104

30 m d e = O, 1000 agua, y la columna F ascender 0,30 m por encima de M o bien la elevacin en N es igual a 12,30 m.

. . en M. P or tanto, la altura d ' . en M ser 0,03X 10 que d ebe ser gual a la preslOn e preslOn -

Para la columna G: Presin en El. 8 m o bien,Po=

presin en El. 12 m0,03

+ presin de 4 m de agua2

=

+

1000 x 4 104

=

0,43 kgjcm

. l a la preslOn . . en R . Por tanto, l ' . en R sera . - 0,43 x 10 a ai turad e preslOn que d ebe ser gua

4

1,600 x 1000 lquido y la columna G ascender 2,69 m sobre R o hasta una elevacin de 10,69 m en Q.

=

2, 69 m d el

(b)

Para el manmetro de tubo en D, al utilizar como unidades metros de agua, altura de presin en D=

altura de presin en C.

13,57h = altura de presin en El. de 12 m 13,57h = 0,30

+

altura de presin de 8 m de agua

+

8,00

de donde h

=

0,61 m.

AP. 1]


15

25.

Un manmetro diferencial est unido a dos secciones rectas A y B de una tubera horizontal por la que circula agua. La lectura en el manmetro de mercurio es de 0,60 m, siendo el nivel ms cercano a A el ms bajo. Calcular la diferencia de presiones entre A y B en kg/cm 2 Vase la Figura 1-12.Solucin:Nota: Un croquis o dibujo ayuda a esclarecer el anlisis de todos los problemas y a reducir las equivocaciones. Aun un simple diagrama de una lnea puede servir.

Altura de pre,sin en o, al utilizar como unidad el m de 'agua, De aqu,y

e=

altura de presin en D

PA/W - Z = [PB/W - (z

+ 0,60)] + 13,57(0,60)

PA/W - PB/ W = difrencia en alturas de presin = 0,6003,57 - 1) = 7,54 m de agua p~ - P~ = (7,54 X 1000)/104 = 0,754 kg/cm 2 .

Si (p~ - p~) fuera negativa, la interpretacin correcta del signo sera que la presin en B era 0,754 kg/cm 2 mayor que la presin en A. Los manmetros diferenciales deben ser purgados del aire de todos los tubos antes de tomar lecturas.

D 4,50 m3,60 m

E

3,00 m

eAgua

D

0,60 m

TIB

SAFig.1-12 Fig.l-13

26. Se quiere medir la prdida de carga a travs del dispositivo X mediante un manmetro diferencial cuyo lquido manomtrico tiene una densidad relativa de 0,750. El lquido que circula tiene una densidad relativa de 1,50. Hallar la cada en altura de presin entre A y B a part,r de la lectura manomtrica en el aceite, mostrada en la Figura 1-13.Solucin: Presin en e en kg/m 2 PB - (1,50 x 1000)0,60 - (0,750 x 1000)0,90 De aqu, PA-

= =

presin en D en kg/m 2 PA - (1,50 x 1000)3,30 3375W

PB

=

.. .. 3375 kgjm 2 y la diferenCIa en alturas de preSlOn

= ---

=

3375 1,50 x 1000

= 2,25 m de lquido.

Otro mtodo: Al utilizarCOffi0

unidad el m de lquido (Dr

=

1,50),

altura de presin en

e=

altura de presin en D

PB 0,750 x 0,90 PA --- - 0,60 - = - - 3,30 W 1,50 W

De aqu, PA/W .. PB/W = diferencia en alturas de presin = 2,25 m de lquido, como antes.

16


[CAP. I

27. Los recipientes A y D contienen agua a las presiones respectivas de 2,80 y 1,40 kg/cm 2 Cul esla lectura en el manmetro diferencial de mercurio, mostrado en la Figura 1-14?Solucin:Altura de presin en 2,80 X 10 10004

e=

altura de presin en D4 X

+

x

+h

= 1,40

1000

10

_

y

+

1357h ,

(en m de agua)

Ordenando, (104 /1000)(2,80 - 1,40) + x + y = (13,57 - l)h. Al sustituir x + y = 2,00 m y despejar se obtiene h = 1,27 m. El lector habr observado que empleando como unidades el kgjm 2 o el kgjcm 2 se hacen ms operaciones aritmticas, pero como la probabilidad de cometer errores de concepto es menor se recomienda el uso de tales unidades en lugar de las alturas de presin.

Agua

Lh

E

-p-T xS_S,OOm 90m

T Leh

1y

_ 3,00 m

1Fig.1-15

I

D

Fig.l-14

28.

La altura de presin al nivel A-A es de 0,09 m de agua y los pesos especficos del gas y del aire son, respectivamente, 0,560 y 1,260 kg/m 3 . Determinar la lectura en el manmetro de agua . de t.ubo en D, que mide la presin del gas al nivel D, segn se muestra en la Figura 1-15.Solucin: Se supone que tanto el peso especfico del aire como el del gas permanecen constantes en los 90 m de diferencia en elevacin. Como los pesos especficos del gas y del aire sqn del mismo orden de magnitud, debe tenerse en cuenta el cambio en la presin atmosfrica, con la altitud. Se utilizarn presiones absolutas.(absoluta) Pe = (absoluta) PD (kg/m 2 ) (atmosfrica) PE + 1000h = (absoluta) PA. - 0,560 x 90

(A)

Se calcula ahora la presin absoluta en A en funcin de la presin atmosfrica en E, obteniendo primero la presin atmosfrica en F y luego PA.(absoluta) PA. = [(atmos.) PE

+

1,260(h

+ 90 - 0,09)J + 0,09 x 1000 (kg/m 2 )

Sustituyendo este valor en (A), eliminando PE y despreciando los trminos muy pequeos, se obtiene 1000h = 90(1,260 - 0,560) + 0,09(1000)yh = 0,153 m de agua

~P.

1]


17

29. Cul es la presin en el ocano a una profundidad de 1500 m, suponiendo (a) que el agua salada es incompresible y (b) el agua del mar es compresible y tiene un peso especfico en la superficie de 1025 kgjm 3 ? E = 21:000 kgjcm 2 (constante).Solucin:(a)(b)

Presin P = wh = 1025 x 1500 = 15,375 x 10 5 kg/m 2 (man). Como la masa no vara al comprimirla ni su peso, dW = O; de aqudW

= d(wv) = w dv + v dw = O

o

-dv/v = -dw/w -dp/E. Sustituyendo en (A),

(A)

De las ecuaciones (JO) y (l2), dp

=

-w dh y dv/v dp/E = dw/w

=

(B)Wo:

Integrando, p = E lo&, wP

=

E

+ c. En la superficie, I lo&, w + Po - E lo&, W o

p = Po' w =

de aqu, C = Po - E lo&,

Wo

Y(C)

o

(p - Po)Edw

=

E log. (w/w o)

-wdh dw Poniendo dp = -w dh en (B), - E - = -w o dh =

w2

o

Integrando,(D)

hEn la superficie, h = O, w == wWo;

=

E/w

+ CI4

entonces, C I = -E/wo, h = (E/w - E/wo) y, por tanto, (1025)(21.000 x 10 ) (1025)( -1500) + (21.000 x 104 )2

woE w"h + E

=

=

10326 kg/m3,

recordando que h es positiva hacia arriba y dando E en kg/mp = (21.000X

104 ) lo&, (1032,6/1025) = 15,476 x 105 kg/m 2 (man)

30. Calcular la presin baromtrica en kgfcm 2 a una altitud de 1200 m si la presin al nivel del mar es de 1,033 kgjcm 2 Supnganse condiciones isotrmicas a 21 0 C.Solucin: El peso especfico del aire a 210

C es w =

29,3(2~ + 21)'o

Por tanto, de la ecuacin (JO),(A)

Slo&, p

dp=-wdh=-

P dh 29,3(294)

dp = -0,000116 dh p

I

Integrando (A), lo&, p = -0,000116h

+

C, donde C es la constante de integracin.X

Para calcular C: cuando h = O, p = 1,033

=

-0,0001l6h

+

104 kg/m 2 (ab). De aqu, C ,= lo&, (1,033 X 104 ) y lo&, (1,033 x 104 ) o 0,0001l6h = log. (1,033 x 104 /p)

(B)

Pasando (B) a logaritmos decimales 2,3026 log (1,033 x 104 /p) = 0,0001/6(1200), log (1,0334

X.

104 /p) = 0,06045,

1,033 x 104 /p = antilog 0,06045 = 1,14935

de la cual p =

1,033 x 10 O 3 2 2 1,14935 = 9, x 10 kg/m = 0,90 kg/cm .

31 Deducir la expresin general que da la relacin entre la presin y la elevacin, cuando las condiciones son isotrmicas, mediante dp = - w dh.Solucin: .para con d'IClones . . .. la ecuaClOn . . -P = Po o P Po P Isotermlcas, - se translorma en = o w = Wo ' wT woTo w Wo Po Por tanto. dh = - dp. = _ po x dp Integrando, (h dh = _ ~ (P dp Y W o Jvo W lAJa P Jh o plog, p) = ~ log, po Wo p En realidad, la temperatura de la atmsfera disminuye con la altitud. De aqu, que una solucin exacta requiera el conocmiento de la~ variaciones de la temperatura con la altitud para utilizar la ley de los gases p/wT = constante. h - ho -1!:'.-(lOg, p - log, po)Woo

=

= + 1!:'.-(log, po W

18


[CAP. I

32.

Desarrollar una expresin que relacione la presin manomtrica p que reina en el interior de una gota de lquido y la tensin superficial (J.Solucin:

La tensin superficial que acta sobre la superficie de una gota de lquido da lugar a que la presin en el interior de la gota sea superior a la presin exterior. La Fig. 1-16 muestra las fuerzas que producen el equilibrio en la direccin X de media gota de dimetro d. Las fuerzas a dL se deben a la tensin superficial que acta sobre el permetro y las fuerzas dPx son las componentes en la direccin X de las fuerzas p dA (vase Captulo 2). Por tanto, de ~X = O, suma de fuerzas hacia la derechaa= = =

=;:.dL---udL'Fig.1-16

1d

1y }-xz

suma de fuerzas hacia la izquierda

SdL

S dPxpresin x proyeccin del rea

tensin superficial x permetro

a(nd) = p(nd 2/4)

o p

4a/d en kg/m 2 (man). Las unidades de la tensin superficial son kgJm. Se observa que cuanto menor es la gota, mayor es la presin.=

33.

Una pequea gota de agua a 27 C est en contacto con el aire y tiene un dimetro de 0,50 mm. Si la presin en el interior de la gota es 5,80 x 10- 3 kg/cm 2 mayor que la atmosfrica, cul es el valor de la tensin superficial?Solucin:

S34.

a = ipd =

i

(58) kgJm 2 x (0,5 x 10- 3 ) m = 0,029 kgJm

I

Calcular la altura aproximada a la que ascender un lquido que moja el vidrio en un tubo capilar en contacto con la atmsfera.Solucin:

La elevacin en un tubo de dimetro pequeo puede calcularse aproximadamente considerando como cuerpo libre la masa de lquido ABCD que se muestra en la Figura 1-17. Como ~ Y debe ser igual a cero, se obtiene componentes verticales de las fuerzas debidas a la tensin superficial - peso del volumen ABCD hacia abajo + fuerza de la presin sobre AB hacia arriba - fuerza de la presin sobre CD hacia abajo = O.

o

+

(a

S dL) sen a -

w(nd 2 /4 x h)

+ p(rea

AB) - p(rea CD) = O

Se ve que las presiones en los niveles AB y CD son iguales ambas a la atmosfrica. Por tanto, los dos ltimos trminos del primer miembro se anulan entre s y, como a S dL = a(nd), se obtieneh =

4a sen awd

en metros

Para un mojado total, como ocurre con el agua en contacto con vidrio muy limpio, el ngulo a es prcticamente 90. No puede garantizarse una mayor aproximacin. En los trabajos experimentales, para evitar errores de consideracin debidos a la capilaridad deben utilizarse tubos de dimetro de aproximadamente 10 mm o mayores.

:AP. 1]


19

35.

Calcular la altura a la que ascender en un tubo capilar, de 3,00 mm de dimetro, agua a 21 0 C.Solucin: De la Tabla l(e),h(J

= 0,00740 kg/m. Suponiendo un ngulo

C(

= 90, supuesto el tubo limpio,

=-

4(J

wd

=

4 x 0,00740 kg/m = 0,0099 m = 9,90 mm. 1000 kg/m 3 x 3 x 10 3 m i

SSol.

Problemas propuestos3 ,

I

36. Si la densidad de un lquido es de 85 UTM/m834 kg/m 3 , 0,834

determinar su peso especfico y su densidad relativa.

37. Comprobar los valores de la densidad y del peso especfico del aire a 30 C dados en la Tabla 1(B). 38. Comprobar los valores de los pesos especficos del anhidrido carbnico y del nitrgeno dados en la TablaI(A).

39. A qu presin tendr el aire un peso especfico de 1,910 kg/m 3 si la temperatura es de 50 C?Sol.

1,80 kg/cm 2 (ab)

40.

Dos metros cbicos de aire, inicialmente a la presin atmosfrica, se comprimen hasta ocupar 0,500 m 3 Para una compresin isotrmica, cul es la presin final? Sol. 4,132 kg/cm 2 (ab)

41. En el problema precedente, cul ser la presin final si no hay prdidas de calor durante la compresin? Sol. 7,20 kg/cm 2 (ab) 42. 43. Determinar la viscosidad absoluta del mercurio en kg seg/m 2 si en poises es igual a 0,0158. Sol. 1,61 x 10- 4 kg seg/m 2 Si la viscosidad absoluta de un aceite es de 510 poises, cul es la viscosidad en el sistema kg-m-seg? Sol. 5,210 kg seg/m 2

4.q viene dado por v(t>.A n ). De la Fig. 6-4(b), A'B' = t>.A n = t>.y cos rx. De donde q = L v(t>.y cos rx) = L l'xt>.y por unidad de anchura.

13.

(a)

Explicar brevemente el procedimiento para dibujar la red de corriente en el caso de un flujo bidimensional permanente de un fluido ideal entre los contornos dados en la Figura 6-5. Si la velocidad uniforme en la seccin 2 es igual a 9,0 m/seg y los valores de ~n2 son iguales a 3 cm, determinar el caudal q y la velocidad uniforme en la seccin 1, donde los An 1 son iguales a 9 cm.

(b)

CAP. 6]

FUNDAMENTOS DEL FLUJO DE FLUIDOS

79

Solucin:(a)

El procedimiento para dibujar la red de corriente en este caso puede aplicarse a casos ms complejos. Para un fluido ideal se procede como sigue: En una seccin entre contornos paralelos se divide el flujo en un cierto nmero de bandas de igual anchura /);n (supuesto que se ha tomado del flujo una capa, de espesor unidad, perpendicular al dibujo). Cada banda representa un tubo de corriente limitado por lFig.65 neas de corriente o bien por lneas de corriente y uno de los contornos. As, el flujo total queda dividido en flujos parciales iguales'por cada una de las bandas y /);q ~ t:{/);n) ~ constante, donde /);n se mide normalmente a la velocidad local. Como /);q ~ l'/);n ~ l'z/);n z , se deduce vlvz ~ /);nzl/);n ~ /);5 zl/);5. Cuanto menores son los valores de /);n y /);5 ms exactas son las relaciones anteriores. Se escogen el nmero suficiente de lneas de corriente para que la exactitud sea aceptable, sin entrar en innecesarios refinamientos y detalles en el dibujo. 2. Para determinar las direcciones de las lneas de corriente se dibujan las lneas normales a aqullas o lneas equipotenciales. Estas lneas estn espaciadas de forma que /);5 = /);n. Las lneas equipotenciales son ortogonales a las lneas de corriente en cada punto de interseccin y a los contornos ya que stos son lneas de corriente. De esta forma el diagrama obtenido se asemeja a un grupo de cuadrados (aproximadamente) a travs de toda la red de corriente. 3. En las zonas prximas y all donde los contornos cambian de forma na se pueden mantener los cuadrados, variando la configuracin de la red de corriente, y para obtenerla de la manera ms correcta sera necesario comprobarla dibujando las diagonales a travs de todos los cuadrados (curvilneos). Las dos familias de diagonales formarn tambin una red aproximadamente cuadrada. 4. Muchas veces los mismos contornos son lneas de corriente verdaderas. Si no sucede as, la red de corriente no representa la configuracin real del flujo. Por ejemplo, cuando el flujo se separa del contorno, en esta regin no puede utilizarse el contorno como una lnea de corriente. En general, cuando las lneas de corriente son divergentes se dan las condiciones para que se pueda producir el fenmeno de la separacin. La solucin matemtica de los flujos irrotacionales est basada en la definicin de lajuncin de corriente, cuya definicin incluye el principio de continuidad y las propiedades de una lnea de corriente. El caudal ijJ entre dos lneas de corriente cualesquiera es constante (ya que el flujo no puede atravesar las lneas de corriente), y si ijJ puede expresarse en funcin de x e y pueden dibujarse las lneas de corriente. Anlogamente, las lneas equipotenciales pueden definirse por 4>(x, y) = constante. A partir de estas expresiones es factible deducir queu=y

l.

S

I

3ijJI3y

Y

v = -3ijJ13x v = -34>13y

para las lneas de corriente para las lneas equipotenciales

u = -34>!3x

y

Estas ecuaciones han d satisfacer a la ecuacin de Laplace, es decir,cJ'f cJx'

+

cJ'f_ cJy'

o~ cJx

o

o o

y la ecuacin de continuidad

+ avay

En general, se determinan y dibujan las funciones equipotenciales. A continuacin se trazan las lneas de corriente, ortogonales a las anteriores, obteniendo la red de corriente. Este tipo de soluciones exactas pueden verse en textos de Mecnica de Fluidos Superiores, en Hidrodinmicas o en los de Teora de Funciones de Variable Compleja.(b)

Caudal/unidad de anchura = q = I: /);q = qa

+ qb + qc + qd + qe =

5(t: z )(A n,)

Para 1 unidad de anchura, A n , = 1(/);nz) y q = 5(9,0)(1 x 0,03) = 1,35 m 3 /seg por unidad de anchura. Por tanto, para fuI = 0,09 m, 5 v(0,09 x 1) = 1,35, de donde V = 3,0 m/seg.VI puede determinarse tambin a partir de: vjv z~ ~

/);nzlful, vj9,0

0,03/0,09, v

=

3,0 m/seg.

8014.


[CAP.

Dibujar las lneas de corriente y equipotenciales para las condiciones de contorno dadas en Fig. 6-6. (Las reas que estn sin terminar de dibujar se dejan para que las utilice el lectOr.)Solucin:

Fig. 6-6

l.

En las zonas donae el flujo tiene lugar entre contornos paralelos se divide la anchura total en 4 partes igual, o tubos de corriente (en AA y en BB). Hay que tratar de dibujar la trayectoria de una partcula a lo largo ( una de estas lneas de corriente, dibujando, por ejemplo, la lnea 1-1 (vase el problema precedente). Se pn cede en igual forma con el resto de las lneas de corriente. Las lneas equipotenciales han de ser ortogonales, tanto a las lneas de corriente como a los contornos, e todos los puntos. Se han de esquematizar de manera que formen aproximadamente cuadrados. Partiend de la seccin centraL se dibujan estas lneas ortogonales en cada direccin. Antes de obtener una red de C( rnente de manera satisfactoria ser necesario utilizar con frecuencia la goma de borrar. Se dibujan las diagonales (a trazos en la figura) para comprobar la bondad de la red de corriente. Estas di;: gonales deben formar tambin una red cuadrada. En la figura la zona e se ha dividido en 8 tubos de corriente. Se observa que los cuadrilteros curvilneo ms pequeos se aproximan en su forma a cuadrados ms que los de mayor tamao. Cuanto mayor sea ( nmero de tubos de corriente, la red de corriente ser ms cuadrada.

2.

3. 4.

S15.

IEn la Fig. 6-7 se representa una lnea de corriente correspondiente a un flujo bidimensional y las lneas equipotenciales, ortogonales a las primeras, y representadas por los segmentos numerados del 1 al 10. La separacin entre las lneas equipotenciales se da en la segund~ columna de la tabla que figura ms adelante. Si la velocidad media entre 1 y 2 es 0,500 m/seg, calcular (a) las velocidades medias entre cada dos lneas equipotenciales y (b) el tiempo que tardar una partcula fluida en recorrer el espacio entre 1 y 10 a lo largo de la lnea de corriente.Solucin:(a)

1

Fig.6-7

Utilizando las relaciones entre la velocidad y f1n del Problema 13,

Adems Por tanto, V 2 - 3 ~ Vl-2(~Sl-2/~S2-3) = 0,500(0,500/0,400) = 0,625 m/seg. Anlogamente, V 3 - 4 = 0,500(0,500;0,300) = 0,833 m/seg, etc. Los valores as obtenidos para las velocidades medias se dan en \; siguiente tabla.

CAP. 6]


81I =(~S)!V

v=Posicin1-2 2-3 3-4 4-5 5-6 6-7 7-8 8-9 9-10~S(m)

0,500(O.500!~S)

~Sl-2!~S

m!seg0,500 0,625 0,833 1,250 2,500 3,571 5,56 8,33 12,00

seg1.000 0,640 0.360 0,160 0,040 0,020 0,008 0,004 0,002

0,500 0,400 0,300 0,200 0,100 0,0700 0,0450 0,0300 0,0208

1,000 1,250 1,667 2,500 5,000 7,143 11,11 16,67 24,00

L(b)

=

2,234 seg

El tiempo que tarda una partcula en recorrer de 1 a 2 es igual a la distancia entre 1 y 2 dividida por la velocidad media entre 1 y 2 o bien /1-2 = (0,500/0,500) = 1,000 seg. Anlogamente, /2 -3 = (0,400/0,625) = 0,640 seg, El tiempo total que tarda en recorrer la distancia entre l y 10 es igual a la suma de los trminos de la ltima columna, es decir, 2,234 seg.

16.

Deducir la expresin del coeficiente rx de correccin de la energa cintica para un flujo permanente e incompresible,Solucin: La energa cintica de una partcula es

t dM v2 ,

y la energa total de un flujo fluido serW

!z

JA

((dM) v 2

= -Zl

J"

(

~(dQ)V2 =g

Zg

fA=

(v dA)v 2

Para calcular esta expresin debe extenderse la integral a toda el rea A. La energa fintica calculada mediante la velocidad media en una seccin transversal es t(wQ/g)V';' = t(wA/g)V;v' Aplicando a esta expresin un coeficiente de correccin ex e igualando el resultado a la energa cintica verdadera, se obtiene

S17.

a (wA)(V;v)

Zg

=

w Z f(VdA)V 2 g A

o

a

1 -A

SA

v ( --)" dA V av

I

Un lquido est fluyendo a travs de una tubera circular, Para una distribucin de velocidades dada por la ecuacin v = vmax(r~ - r2 )/r~, calcular el coeficiente de correccin de la energa cintica rx,

dA-rF;)?r

~(a)

(b)Fig. 68

Solucin: Es necesario calcular la velocidad media para aplicar la frmula obtenida en el Problema 16, A partir de la ecuacin de continuidad, f (vm,,/r~)(1'~ - 1 2)(Z".1' d1') = 2V max ' 1 V max v" = .!l = f v dA - o (1' o 1'-1")(1' = , A ;r1'~ 2

-r:

r:

f'O 2

Este valor podra haberse obtenido tambin al considerar que la ecuacin dada representa una parbola y que el volumen del paraboloide generado por dicha distribucin es igual a la mitad del volumen del cilindro circunscrito, Por tanto, ~(r.1'~)vmax _ volumen/seg V max rea de la base 1Tr~ 2

82


[CAP. 6

Utilizando el valor de la velocidad media en la ecuacin que da=

IX,

a

~ A

S(-~)3dAA

_1__ S'O(1'max(r~;ro2

V av

o

:2 V max

I

-

r2)1r~)3 2- d..

r

r

2,00

(Vase Flujo laminar en el Capitulo 7.)

18.

A travs de una tubera de 15 cm de dimetro est fluyendo aceite de densidad relativa 0,750 a una presin de 1,05 kg/cm 2 Si la energa total respecto de un plano de referencia situado 2,40 m por debajo del eje de la tubera es de 17,6 kgm/kg, determinar el caudal de aceite en m 3 /seg.Solucin: Energa por kg de aceite=

energa de presin

+

energa cintica (altura de velocidad)

energa

+ potencial

17 6 ,

= ------

1,05 X 104 0,750 x 1000

+ -- + 2402g ,

V~5

de donde V I5 = 4,85 m/seg. Por tanto, Q = A I5 V I5 = !n(0,15Z x 4,85 = 86 x 10- 3 m 3 /seg.

19.

Una turbina produce 600 CV cuando el caudal de agua a travs de la misma es de 0,60 m 3 /seg. Suponiendo un rendimiento del 87 %, qu altura acta sobre la turbina?Solucin: Potencia de salida (CV) = potencia consumida (CV) x rendimiento = (wQH T /75) x rendimiento 600 = (1000 x 0,60 x Hrl75)(0,87)

y

H T = 86,3 m.

S20. Deducir las ecuacIOnes del movimiento para un flujo permanente y un fluido cualquiera.Solucin: Se considera como cuerpo libre la masa elemental de fluido dM mostrada en la Fig. 6-9(a) y (b). El movimiento tiene lugar en el plano del papel y se escoge el eje x paralelo a la direccin del movimiento. No se han representado las fuerzas que actan sobre el cuerpo libre dM en direccin normal al movimiento. Las fuerzas que actan en la direccin x se deben a (1) las presiones que actan sobre las caras de los extremos, .(2) la componente del peso y (3) las fuerzas cortantes (dFs en kilogramos) ejercidas por las partculas fluidas adyacentes.

I

Fig. 6-9(a)

Fig. 6-9(b)

De la ecuacin del movimiento l:.Fx = Ma x ' se obtiene[-~

p dA - (p

+ dp)dA

-

1!'

dA di sen eL - dFs]

10

dA dl(~~)g dt

(1)

Dividiendo (1) por w dA y sustituyendo dl/dt por la velocidad V,[ E._E.._dP-dlsene 10 10 10I

dFsJ10dA

=

VdV g

(2)

CAP. 6]dF


83

El trmino __s_ representa la resistencia que se opone al movimiento en la longitud dI. Las fuerzas corwdA

tantes dFs pueden sustituirse por el producto de la tensin cortante rpor el rea sobre la que acta (perimetro x longitud), es decir, dFs = T dP dI. dFs T dP dI T dI As, - - = - - - = ._, donde R se conoce con el nombre de radio hidrulico y se define como el cow dA w dA wR ciente del rea de la seccin recta por el perimetro mojado o.. en este caso, dA/dP. La suma del trabajo realizado por todas las fuerzas cortantes mide la prdida de energia debida al flujo, y, medida en kgm/kg, ser prdida de carga dh L = Para futuras referencias, Volviendo sobre la expresin (2), como dI sen Oxdp VdVT

dI

wR

=

kg/m 2 x m kg/m 3 x m 2 /mdhL)

= m(3)

T

wR ( dI

=

dz, adopta finalmente la formadz

+ -+ W g

+

dh L

o

(4)

Esta expresin se conoce con el nombre de ecuacin de Euler cuando se aplica a un fluido ideal (prdida de carga = O). Al integrar la ecuacin anterior, para fluidos de densidad constante, se obtiene la lImada ecuacin de Bernoulli. La ecuacin diferencial (4), para flujos permanentes, es una de las ecuaciones fundamentales del flujo de fluidos. CASO I.

Flujo de fluidos incompresibles

Para fluidos incompresibles la integracin es como sigue:

JS

'1'2Pi

dp + W

J''"2 - - + J"2VI

V dV g

dz

+

52I

dh L

o

(A)

zl

Los mtodos de clculo del ltimo trmino se discutirn en los captulos sguientes. El trmino de la prdida de carga total se representa por H v Al integrar y sustituir lmites,

_ ( E!.. W

E!.) + (V; _ V;) +W

2g

2g

(Z2 -

Zl)

+ HL + V; +2gZ2)

O

I

( P2W

que es la forma ms conocida del teorema de Bernoulli, aplicable al flujo de fluidos incompresibles (sin adicin de energa exterior). CASO 2.

Flujo de fluidos compresibles.

Para fluidos compresibles el trmino

5

"2 d .-E no puede integrarse hasta no conocer la expresin de w enW

PI

funcin de la variable p. La relacin entre w y p depende de las condiciones termodinmicas implicadas.(a)

Para condiciones isotrmicas (temperatura constante) la ecuacin general de los gases puede expresarse en la forma pdw = p/w = 'constante o w = (wdh)P donde wdp es una constante y p viene en kg/m 2 , siendo presin absoluta. Sustituyendo en la ecuacin (A),

' '2 (WI/P)P dp + J'''2 V -dV - + J'~2 dz + J'2 dh g J -.,------'-.-;-PI VI '1 I

L

O O o bien puesta

Integrando y sustituyendo lmites, ~ In E3.. en la forma ms conocida, WI Pi

+ (V; _ Vi) +2g 2g

!!.!- In 11)1

PI

+ ---'+ 2g

V2

2, -

H,

(B)

84


[CAP. 6

Al combinar esta ecuacin con la de continuidad y 1 utilizando el valor de v para el agua a 21 C.)0

19.

S

Los puntos e y D, con la misma elevacin, estn unidos por una tubera de 150 m de longitud y 20 cm de dimetro y conectados a un manmetro diferencial mediante dos tubos de pequeo dimetro. Cuando el caudal de agua que circula es de 178 l/seg, la lectura en el manmetro de mercurio es de 193 cm. Determinar el factor o coeficiente de friccin fSolucin:

I

(PeW

+ V~o +2g

O) _ /

~ V~o0,20 2g

=

(PDW

+ V~o +2g=

O)

o

(Pe _ PD) = /(750) ~ W W 2g

V2

(1)

Del .manmetro diferencal (vase Captulo 1), PLPe/W

PR oy

+ 1,93 =

PD/W

+ 13,57(1,93),

(Pe/W - PD/W) = 24,3 m

(2)

Igualando (1) y (2), 24,3 = /(750)(5,66)2/2g

de la cual/ = 0,0198.

20.

Un fuel-oil medio a 15 C se bombea al depsito e (vase Fig. 7-2) a travs de 1800 m de una tubera nueva de acero roblonado de 40 cm de dimetro interior. La presin en A es de 0,14 kg/cm 2 , cuando el caudal es de 197 l/seg. (a) Qu potencia debe suministrar la bomba a la corriente de fuel-oil? y (b) qu presin debe mantenerse en B? Dibujar la lnea de alturas piezomtricas.Solucin:V40

A

BFig.7-2

= Q _ 0,197 _ A - n(0,4)2 /4 - 1,565 m/seg

y

RE = L565 x 0,4 x 106 = 121.000 5,16

CAP.

7J

FLUJO DE FLUIDOS EN TUBERIAS

107

Del Diagrama A-l, para t/d = 0,18/40 = 0,0045, f = 0,030.(a)

La ecuacin de Bernoulli entre A y e, con plano de referencia el horizontal que pasa por A, da 0,14 x 10 4 (1,565)2 1800 (1,56W (1,565)2 ( - - - - + - - - + O) + H - 0 , 0 3 ( - ) - - ~ --"--- = (O + + 24) 0,861 x 1000 2g p 0,40 2g 2g

De donde,

H p = 39,3 m

p y potencIa (ey) = ---= 75

.

wQH

0,861 x 1000 x 0,197 x 39,3 = 88 ey. 75

El ltimo trmino del primer miembro de la ecuacin de la energa representa la prdida de carga en la seccin de desage de la tubera en el depsito (vase Tabla 4 del Apndce). En la prctica, cuando la relacin de longitud a dimetro (L/d) es superior a 2000 se desprecian las alturas de velocidad y las prdidas menores en la ecuacin de la energa (en el caso presente se eliminan entre s). La precisin de los resultados obtendos al tener en cuenta las prdidas menores es fictcia ya que f no se conoce con ese grado de precisin.(b)

B y C.

La altura de presin en B puede determinarse estableciendo la ecuacin de la energia entre A y B o entre En el primer caso los clculos son ms reducidos; as (1,62

+~+2g

V2

O)

+ 39,3X

=

P (~ w

+~+2g

V2

O)

Por tanto, PB/W = 40,92 m y p~ = wh/l0 4 = (0,861

1000)(40,92)/104 = 3,52 kg/cm 2.

La lnea de alturas piezomtricas aparece dibujada en la Figura 7-2. En A, (30,0 + 1,62) m = 31,62 m En B, (30,0 + 40,92) m = 70,92 m (o 31,62 En e, elevacin = 54 m

+ 39,3)

S

I

21. En el punto A de una tubera horizontal de 30 cm (j

= 0,020) la altura de presin es de 60 m. A una distancia de 60 m de A, la tubera de 30 cm sufre una contraccin brusca hasta un dimetro de 15 cm de la nueva tubera. Auna distancia de esta contraccin brusca de 30 m la tubera de 15 cm (j = 0,015) sufre un ensanchamiento brusco, conectndose con una tubera de 30 cm. El punto F est 30 m aguas abajo de este cambio de seccin. Para una velocidad de 2,41 m/seg en las tuberas de 30 cm, dibujar la lnea de alturas piezomtricas. Referirse a la Figura 7-3.Solucin:

Las alturas de velocidad son V~o/2g = (2,41)2/2g = 0,30 m y Vfs/2g = 4,80 m. La lnea de. alturas totales cae en la direccin del flujo en cantidades iguales a las prdidas de carga. La lnea de alturas piezomtricas est por debajo de la de alturas totales en una cantidad igual a la altura de velocidad correspondiente a cada seccin. Obsrvese en la Fig. 7-3 que la lnea de alturas piezomtricas puede elevarse cuando tiene lugar un ensanchamiento brusco.60.3 m59.1 m 60.0

m

38,1 m

~:=======d 39,6.m39.9 m

39.3 m

1I

Fig.73

108


[CAP.

Tabulando los resultados con una aproximacin de 0,1 m, Prdidas de carga en m En Desde (Elev.O,O) Clculos Alturas totales, m60,3 0,020 x 60/0,3 x 0,3 = 1,2K c * x 4,8 = 0,37 x 4,8 = L8

V22gm0,3 0,3 4,8 4,8 0,3 0,3

Alturas piezomtricas, m60,0 58,8 52,5 38.1 39,9 39,3

A BC

AaB BaC CaD DaEEaF

59.1 57,3 42,9 40,2 39,6

D EF

0,015 x 30/0.15 x 4,S = 14,4

(~L-:- V3~ _ (9,6 - 2,4)2 = 2,7 2g 19,60,020 x 30/0,3 x 0,3 = 0,6

* [Kc se ha obtenido de la Tabla 5; el trmino correspondiente al ensanchamiento brusco (de D a E) se ha te mado de la Tabla 4.J22. Est fluyendo un aceite desde el depsito A a travs de una tubera nueva de fundicin asfaltada de 15 cm y 150 m de longitud hasta el punto B, a una elevacin de 30,0 m, como se muestra en la Fig. 7-4. Qu presin, en kg/cm 2 , tendr que actuar sobre A para que circulen 13,0 l/seg de aceite? (Dr = 0,840 y v = 2,10 X 10- 6 m 2/seg.) Utilizar e = 0,012 cm.Solucin:

Fig.7-4

S

V I5 =

A

Q

= 1,77

13,0 x 10- 3 X 10-2 = 0,735 m/seg

y

RE

=

Vd v

= ..0,735 x2,10

0,15 x 106 = 52.500.

I

Del Diagrama A-I, f = 0,0235 Y aplicando la ecuacin de Bernoulli entre A y S, con plano de referencia el horizontal que pasa por A, se obtiene

(PA

+

O + O) _ 0,50 (0,73W _ 0,0235

wDespejando, PA/W = 6,7 m de aceite

2gy P~ = wh/10 4

~0,15

(0,73W = (O

+

(0,73W

+

6)

2gX

2g1000)(6,7)/104

= (0,840

= 0,56 kg/cm 2.

23.

Lq presin en el punto A de una tubera nueva horizontal de fundicin, de 10 cm de dimetro interior, es de 3,50 kg/cm 2 (ab), cuando el caudal que circula es de 0,34 kg/seg de aire en condiciones 'isotrmicas. Calcular la presin que reina en el interior de la tubera en la seccin B, situada 540 m aguas abajo de la seccin A. (Viscosidad absoluta = 1,90 x 10- 6 kg seg/m 2 y t = 32 C.) Utilizar e = 0,009 cm.0

Solucin: La densidad del aire varia a lo largo del flujo al ir variando la presin. En el Captulo 6 se aplic el teorema de Bernoulli a fluidos compresibles cuando las condiciones no implicaban prdidas de carga (flujo ideal). La ecuacin de la energa, teniendo en cuenta la prdida de carga, para una longitud de tubera dL y cuando Z I = Z 2 ser dp w Dividiendo por 2g

+ V ~l': + f riL V'g2 dV

d 2g

oO

V2

2g dp V' ;;

+ V- + d dL ==

f

Para un flujo permanente, el nmero de kg/seg que estn fluyendo es constante; por tanto, W = wQ = wAV y puede sustituirse V por W/wA en el trmino que da la altura de presin, obtenindose2gw'A' -W~~dp

+

2 dV

V

+ l dL d ==

O

CAP. 7]

FLUJO DE FLumos EN TUBERIAS

109w = p/RT.Sustituyendoelvalordt:w,=

Comolascondicionessonisotrmicas,p/w = P2!W 2 = RT o bien W'RT en la que2gA' [",.. PI

p

dp

-1-

2..

f'l"\ 1

V

dV

-+ d..

f

j'L dI,o

O

f puede considerarse constante, como se ver ms abajo. Integrando y sustituyendo lmites,(A)

Para compararla con la forma ms comn (con 2(Kp; + 2

=

22) se pone en la forma(B)

In

V,I -

fU,ld)

= (K]J; -1- 2 In V,)

donde K = - - ' Ordenando trminos, W1RT]Ji

gA

2

W'RT[ - 2 In V, '- -1- tgA'= w~V~

V,' d

.LJ~: f~J

(e)

Ahora bien, W 2 /A 2 = w~A~VUA~

y RT=p/w; de aqug (D)

UA'Entonces (C) se puede poner(/i, .. ]J,)(p, .c.. p,)

W'RT

WI;' V; [2In

In

-1-

ip..:-=-1J~) =w,

~: + f~Jri

Prdida de carga

(E)

Los lmites de las presiones y las velocidades se estudiarn en el Captulo 11. Antes de sustituir valores en esta expresin es importante estudiar la posible variacin de f ya que la velocidad V no se mantiene constante en los gase3 cuando su densidad vara.

S

RE -

-

V~ .ulp -

Vde.11

-!!'c!I'-

wA,u'

Como g = ~, luego RE = Wdp

Ag.

(F)

I

Se observar que el nmero de Reynolds es constante para el flujo permanente ya que J.l solo vara cuando lo hace la temperatura. De aqu, el coeficiente de rozamiento f es constante en este problema a pesar de que la velocidad aumentar al disminuir la presin. Sustituyendo valores en (E), utilizando la viscosidad absoluta dada,RE =

0,34 x 0,10 x 106 2 = 232,000. Del Diagrama A-l, para e/d = 0,0009, (n/4)(0,1O) x 9,8 x 1,90

f = 0,0205.

Mediante la (C) anterior, despreciando 21n V1/V, que es muy pequeo comparado al trminof(L/d),4 2 2 (0,34)2 x 29,3(32 + 273) 9,8[(n/4)(0,lW]2 [desp. (3,50 x 10) - Pl =

+ (0,0205) 0,10]

540

de la cual P2 En B:

=

3,22

X

104 kg/m 2 y

p;

=

3,22 kg/cm 2 (ab).W 0,34 V 2 = w A = 3,61 x 7,87 x 102

3,22 X 104 w = =361 kg/m 3 , 2 29,3(32 -1- 273) ,w =

3

=

12,0 mjseg.

En A:

3,50 X 104 ' 29,3(32 -1- 273)

=

3,92 kg/m 3 ,

0,34 V = 3,92 x 7,87 x 10

3 =

11,0 mjseg.trminof(L/d)

De aqu, 21n V1/V = 21n (12,0/11,0) = 2 x 0,077 = 0,157, que es despreciable frente al = 111. Por tanto, la presin en la seccin B es P; = 3,22 kg/cm 1 Si el aire se supone incompresible, se tienep - P2W

- - - =f- -

L V2 d 2g

=

540 (11,0)2 0,0205 x x -0,10 2g

=

687 m/seg

t1p = wh' = 3,92 x 687 = 2680 kg/m 1 = 0,268 kg/cm 2

y

p;

= 3,50 - 0,27 = 3,23 kg/cm 2, acuerdo poco frecuente.

110


[CAP.

24.

Una tubera horizontal de hierro forjado, de 15 cm de dimetro interior y algo corroda, tran: porta 2,00 kg de aire por segundo desde A a B. En A la presin absoluta es 4,90 kgjcm 2 y en debe mantenerse una presin absoluta de 4,60 kg/cm 2 . El flujo es isotrmico a 20 C. Cul es I longitud de la tubera que une A con B? Utilizar E = 0,039 cm.0

Solucin:

Se calculan los valores de partida (vase Apendice para 20W

ey

1,033 kg/cm 2),=

= 1,205(4,90/1,033) = 5,70 kg/m 3 ,W

W2

=

1,205(4,60/1,033)

5,35 kg/m 3

V

= --- =wA

2,00 5,70X

= 19,8 m/seg,

!n:(0,15)2

V2

=.

~~~-

2,00

= 21,2 m/seg~

5,35 x !n:(0,15)2

RE

=

19,8 x 0,15 . . = 943.000. Del DIagrama A-l, f = 0,025, para (1,033/4,90)(1,499 x 10 s)

/d =, 00026 .

Mediante la ecuacin (E) del Problema 23, (4,90 - _4,60)10 4 , ~ 2[2 In 21,2/19,8 5,70 (1

+ 0,025(L/0,15)](19,8)2/2g + 4,60/4,90)

y

L = 152 m

Nota: Para el flujo de gases en tuberas, cuando el valor de P2 no es menor del 10 % que el valor de PI' se comete un error menor del 5 %en la prdida de presin al utilizar la ecuacin de BernouJli en su forma habitual, suponiendo el fluido como incompresible.

25.

Las elevaciones de las lneas de alturas totales y de alturas piezomtricas en el punto G son, rel'pectivamente, 13,0 m y 12,4 m. Para el sistema mostrado en la Fig. 7-5 calcular (a) la potencia extrada entre G y H, si la altura total en H es de 1,0 m y (b) las alturas de presin en E y F, cuya elevacin es de 6,0 m. (e) Dibujar, con aproximacin de 0,1 m, las lneas de alturas totales y de alturas piezomtricas, suponiendo para la vlvula en K = 0,40 Y f = 0,010 para las tuberas de !5 cm.

S211= 0,6 m

Ivs

30 m -30 cmn

f ~ 0,030

Fig.7-5

Solucin:~La corriente debe de circular hacia G, desde el depsito, ya que la lnea de alturas totales en G est por debajo de la superficie libre del depsito. GH es una turbina. Antes de poder determinar la potencia extrada es necesario calcular el caudal Q y la prdida de altura en la turbina. .

(a)

En G, V;o/2g

=

0,6 m (diferencia entre las lneas d alturas totales y piezomtricas).

Adems V: s/2g = 16 x 0,6 =;.9,6 m y V~o/2g = -16(0,6) = 0,04 m. Para obtener Q,V30

= 3,43 m/seg

y

Q = !n:(0,3)2 x 3,43 = 0,242 m 3 /seg

Potencia (eV) = wQHT /75 = 1000(0,242)(13,0 - 1,0)/75 = 38,8 ev extrados(b)

De Fa G, cota cero:

(Energa en F) - 0,030(30/0,3)(0,6) Energa en F

=

(Energa en G

=

13,0)

=

13,0

+

1,8

=

14,8 m

A.P. 7]


111

De E a F, cota cero:

(Energa en E) - (13,72 - 3,43)2/2g = (Energa en F = 14,8) Energa en E = 14,8

+

5,4 = 20,2 m

z Altura de presin en E = 20,2 - (6,0 Altura de presin en F = 14,8 - (6,0(e)

+ V 2 /2g + 9,6) = 4,6 + 0,6) = 8,2

m de agua. m de agua.

Yendo hacia atrs desde E: Prdida Prdida Prdida Prdida (Elev. (Elev. (Elev. (Elev. de de de de altura altura altura altura total total total total de D a E = 0,010(7,5/0,15)(9,6) = 4,8 m de e a D = 0,40(9,6) = 3,8 m de B a e = prdida de D a E = 4,8 m de A a B = 0,50(9,6) = 4,8 m en E = 20,2, en D = 25,0, en e = 28,8, en B = 33,6, Elev. D = 25,0 m Elev. e = 28,8 m Elev. B = 33,6 m Elev. A = 38,4 m

en D - 4,8) en e - 3,8) en B - 4,8) en A - 4,8)

= = = =

Elev. Elev. Elev. Elev.

La lnea de alturas piezomtricas est situada por debajo de la lnea de alturas totales una cantidad igual a V 2/2g: 9,6 m en la tubera de 15 cm, 0,6 m en la de 30 cm y 0,04 m en la de 60 cm. Estos valores se han representado en la figura.

Un conducto rectangular usado, de 30 cm x 45 cm de seccin, y 450 m de longitud transporta aire a 20 e y a una presin en la seccin de entrada de 1,07 kgjcm 2 (ab) con una velocidad media de 2,90 m/seg. Determinar la prdida de carga y la cada de presin, suponiendo el conducto horizontal y las imperfecciones superficiales de un tamao igual a 0,054 cm.Solucin: La frmula que da la prdida de carga debe escribirse de forma conveniente para poderla aplicar a conductos de seccin recta, no circular. La ecuacin resultante se aplica a flujos turbulentos con una precisin razonable. Se sustituye el dimetro, en la frmula, por el cudruplo del radio hidrulico, que se define por el cociente del rea de la seccin recta por el permetro mojado, es decir, R = a/p. Para una tubera circular, R = !nd2 /nd = d/4, Y la frmula de Darcy puede escribirse en la forma

S'4R, as

f L V2 Prdida de carga = - - 4 R 2gParafen relacin con la rugosidad del conducto y el nmero de Reynolds se emplea en lugar de d el valorRE = Vd/v = V(4R)/v

I

Para el conducto de 30 cm x 45 cm,

R =

P= 2(0,30 + 0,45) = 0,09

a

0,30 x 0,45

m .y

RE = 4V~ = ~~x 0,09_ x JOS = 72.600 v (1,033/1,070)(1,499)

Del Diagrama A-I,

f =

0,024 para e/d = e/4R = 0,054/(4 x 9) = 0,0015. Por tanto,

0,024 450 (2,90)2 Prdida de carga = - - x ~ x - - = 12,9 m de aire 4 0,09 2g Y la cada de presin = wh/10 4 = (1,070/1,033)(1,205)(12,9)/10 4 = 1,60 x 10- 3 kg/cm 2. Puede observarse que la hiptesis de densidad constante en el aire es satisfactoria.

112


[CAP. 7

Problemas propuestos27. Si la tensin cortante en la pared de una tubera de 30 cm es de 5,0 kg/m 2 y f = 0,040, cul es la velocidad media (a) si fluye agua a 21 C, (h) si fluye un lquido de densidad relativa 0,70'1 Sol. 3,13 m/seg, 3,74 m/segSol.

28. Cules son las velocidades de corte en el problema precedente?29.

0,221 m/seg, 0,264 m/seg

A travs de una tubera de 15 cm y 60 m de longitud est fluyendo agua y la tensin cortante en las paredes es 4,60 kg/m 2 Determinar la prdida de carga. Sol. 7,36 m2

30. Qu radio ha de tener una tubera para que la tensin cortante en la pared sea de 3.12 kg/m cuando al fluir agua a lo largo de 100 m de tubera produce una prdida de carga de 6 m? Sol. r = 10,4 cm 31. Calcular la velocidad crtica (inferior) para una tubera de 10 cm que transporta agua a 2T C. Sol. 1,730 x 10- 2 m/seg

32. Calcular la velocidad crtica (inferior) para una tubera de 10 cm que transporta un fuel-oil pesado a 43" C. Sol. 0,892 m/seg 33. Cul ser la cada de la altura de presin en 100 m de una tubera nueva de fundicin, horizontal, de 10 cm de Sol. 1,26 x 10- 2 m dimetro, que transporta un fuel-oil medio a lO" C, si la velocidad es de 7,5 cm/seg? 34. Cul ser la cada de la altura de presin en el Problema 33 si la velocidad del fuel-oil es de 1,20 m/seg? Sol. 2,20 m 35. Considerando nicamente las prdidas en la tubera, qu altura de carga se necesita para transportar 220 l/seg de un fuel-oil pesado a 38 C a travs de 1000 m de una tubera nueva de fundicin de 30 cm de dimetro interior? Utilizar E = 0,024 cm. Sol. 47,70 m

S

36.

En el Problema 35, qu valor mnimo de la viscosidad cinemtica del fuel-oil producir un flujo laminar? Sol. 4,67 x 10- 4 m 2/seg

I

37. Al considerar las prdidas en la tubera nicamente, qu diferencia en la elevacin de dos depsitos, que distan 250 m, dar un caudal de 30 l/seg de un aceite lubricante medio a 10 C, a travs de una tubera de 15 cm de Sol.. 16,60 m dimetro? 38. Un aceite de densidad relativa 0,802 y viscosidad cinemtica 1,86 x 10- 4 m 2 /seg fluye desde el depsito A al depsito B a travs de 300 m de tubera nueva, siendo el caudal de 88 l/seg. La altura disponible es de 16 cm. Qu tamao de tubera deber utilizarse? Sol. 60 cm Mediante una bomba se transporta fuel-oil pesado, a 15 C, a travs de 1000 m de tubera de 5 cm de dimetro hasta un depsito 10 m ms elevado que el depsito de alimentacin. Despreciando las prdidas menores, determinar la potencia de la bomba en CV si su rendimiento es del 80 %para un caudal de 3,5I/seg. Sol. 78,4 CV Agua a 38 C est fluyendo entre A y B a travs de 250 m de tubera de fundicin (E = 0,06 cm) de 30 cm de dimetro interior. El punto B est 10 m por encima de A y la presin en B debe mantenerse a 1,4 kg/cm 2 . Si por la tubera circulan 220 l/seg, qu presin ha de existir en A? Sol. 3,38 kg/cm 2 Una tubera comercial usada de 100 cm de dimetro interior y 2500 m de longitud, situada horizontalmente, transporta 1,20 m 3 /seg de fuel-oil pesado, de densidad relativa 0,912, con una prdida de arga de 22,0 m. Qu presin debe mantenerse en la seccin de entrada A para que la presin en B sea de 1,4 kg/cm 2 ? Utilizar E = 1,37 .cm. Sol. 3,41 kg/cm 2 Una tubera vieja, de 60 cm de dimetro interior y 1200 m de longitud, transporta un fuel-oil medio a 2T C desde A a B. Las presiones en A y B son, respectivamente, 4,0 kg/cm 2 y 1,4 kg/cm 2 , y el punto B est situado 20 m por encima de A. Calcular el caudal en m 3 /seg utilizando E = 0,048 cm. Sol. 0,65 m 3 /seg Desde un depsito A, cuya superficie libre est a una cota de 25 m, fluye agua hacia otro depsito B, cuya superficie est a una cota de 18 m. Los depsitos estn conectados por una tubera de 30 cm de dimetro y 30 m de longitud (f = 0,020) se

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