Analisis Real

- Fungsi-funpi Kontinu

FUNGST-FUNGSI KONTINU

55.1 Fungsi-fungsi KontinuPada bagian ini akan dibahas mengenai perilaku dau sifat-sifat yang dimiliki oleh sekelompok fungsi yang sangat berperan dalam Analisis Real yaitu fungsi-fungsi kontinu. Kekontinuan fungsi merupakan salah satu topik inti dalam

Bagian pertama, pada uraian di bawah ini, dibahas mengenai di satu titik dan kekontinuan fungsi pada suatu himpunan. Selanjutqa diperlihatkan kombinasi dri fungsi-fungsi kontinu yallg mengftasilkan fungsi baru yang juga kontinu. Selain itu terdapat suatu sifat yang mendasar dan penting, bahwa suatu fungsi png kontinu pada suatu intervalkekontinuan fungsi tertutup terbatas mempunyai nilai maksimum dan minimum. Demikian pula akan dituqiukkan, bahwa untuk suatu firngsi kontinu, jika diberikan sebarang dua nilai fungsi itu, maka terdapat suatu titik pada daerah asalnya sehingga nilai fungsi di titik itu merupakan nilai pertengahan dari dua nilai fungsi yang diberikan. Sifatsifat seperti yang diuraikan di atas tidak dimiliki oleh fungsi-fungsi secara umun. Pada bagian selanjutnya, diperkenalkan istilah kekontinuan serag:rm

Istilah kontinu sudah dipokenalkan sejak jaman Isaac Newton ( 16421747) yang mengaitkan dengan grafik kurva yang tak terputus. Tetapi pengungkapmnya masih belum tepat. Kerrudian pada tahun 1817 Bernhard Bolzano ,lan tahun 1821 Augustin Louis Cauchy mengidentifikasi bahwa kekontinuan sebagai suatu sifd yang sangat berarti dari fungsi dan mencoba membuat definisi yang lebih tepat. Tetapi pendefinisiannya dikaitkan dengan konsep limit. Oleh kaena itu pada tahun 1870 Karl Weierstrass mencoba menyempumakan pengertian atau ide/gagasan mengenai kekontinuan ini.

Analisis Real.

dengan beberapa aplikasiny4 salah satu diantaranya adalah mernbuat aproksimasi firngsi kontinu dengan menggunakan fungsi-firngsi elementer(misalnya fungsi polinom).

Pada bagian terakhir, dibahas mengenai kaitan antara kekontinuan,kernonotonan dan fungsi invers.

5.1.1 Definisi

Misallan Ac R,fungsi f :A+ Rserta c e A Fungsif disebut kontinu di titik c jika dan hanya jika untuk setiap e> 0 terdapat 6> 0, sehinggajikax A dan lx-.1 .6, maka l(*) -(.) I .".

Jika fungsi f tidak kontinu di c, dikatakan bahwa fungsi f diskontinu di c. Seperti halnya dengan definisi limit, definisi kekontinuan di satu titik dapat diformulasi dengan menggunakan notasi/istilah lingkungar-L seperti diungkapkan dalmr teorema di bawah ini.Kosim Ruhneta

- hrDikMa UPI 2006

r21

An ulisis Real

- Fangsi'f*ngsi Kontinu

5.1,2 TeorcmaStatu fungsi

f : A -+ R lantinu di titik ce A iika dan hanya iika diberilran sebarang linglatngan-e %(f(c) dari f(c\ terdapat lingkungan-E Vs(c), maka f(x) e Y"(f(c)) atau Y6(c) dari c, sehingga jika x e A ^ q V*((c)) dengan kata lain (A.t %(c))

Ilustrasi dari teorema di atas dapat dilihat pada gambar di bawah ini.

y: (x)

Gambar5.I.l

Lingkungan

%(f(c)

menentukan lingkungan Vs(c)

Catatan: (1) Jika c e A dan c titik limit dari A maka dengan membandingkan definisi 4.1.4 dan definisi 5.1.1, dapat dikatakan bahwa, fungsi f kontinu di c

jika dan hanya jika f(c) = limf(x)

x-+cJadi,

jika c titik limit dari

,\

maka tiga kondisi berikut harus dipenuhi supaya

funggsi f kontinu di c: (i) f terdefinisi di c (f(c) nilainya ada) (ii) limit dari f di c ada ( i m f(x) ada di R)

: I i m f(x)) x-)c (2) Jika c e A dan c bukan titik limit dari A maka(iii) nilai di (i) dan (ii)harus sama (f(c)

x->c

terdapat suatu lingkungan-6 Vs(c) daric sehinggaAnVs (c) =c. Jadi jikac e Adan c bukan titik limit dari A "secara otomatis" fiurgsi f kontinu di c. Ini menjadi kurang menarik, sehingga kondisi (1) dipandang sebagai suatukarakteristik untuk kekontinuan fungsi dititikc.

Dengan sedikit modifikasi dari bul$i teorerna lfunit fungsi 4.1.8, berikut ini diberikan teorema kriteria barisan untuk menguji kekontinuan fungsi di satu titik.

t22

Kosim Rubnnna

- JurDikMn WI 2006

Anatitis Real

-

Fanpi'fungsi Kontka

5.1.3 Krtteria barisan untuk KekontinuanSuatu fimgsi

ika untuk j f : A' -+ R kontinu di titik c e L ika dan lgya i

setiapbaisant*"la,Ayangkotwergenlrea,barisan(f(x"))konvergenket(c).

Berikut

ini

suatu konnsekuensi 4.1.9 (a) dengm L =

d* ;;e;ta(c) ).

teorema yang merupakar -( -o

triteria kediskontinuan

ua, uu"ai"gt*

sebagai dengan kriteria divergensi

5.1.4 Kriteria Kediskontinuan MisalkanAcR,f:A+R'danceAFungsifdiskontinudititikcke A'yang konvergeniika dnl norryo'ii*o'i)a'yi "c, baisan (xJ ai tetapi barisan (f(c)) tidak k'onvergen kc f(c)'

io'"

suatu fungsi di Iika semua pembahasan di aus mengeryr,\e'koryinual kekontinuan fungsi pada suatu satu titik, maka berikut ini akan rlibahas mengenai

himpunar.jika

formal pada hi-pllq'P' il*v" jin" firngsi itu kontinu di setiap titik nada himmrnan itu-.lSecara

dan

Secara sederhana, suatu fungsi disebut

.. _- _r^ kontinu pada suatu himpunan

kekontinuann,"g'ipuau'"utoht-p,*-rlinyaakmolehddrnisiberikutini'

5.1.5 DefinisiMisaltanesR,danf:A-+R.FungsifkontinupadaA'iikadanhanyafungsif kontinu di setiap

titikx e A'

5.1.6 Contoh

I.

Fungsi konsan f(x)

: b kontinu pada R +.t.1 (a) dapat dilihat bahwa' jika c Pada contoh lim f(x)=b.

e R' maka

x-tc

Krcna f(c) = b, maka I i m f(x) = f(c)'

Jadi fungsi

f kontinu di

x->c

kontinu Pada R 2. Fungsi d*gu, aturaxr g(x) = x kontinu pada R' jika e R' c Parla cont& 4.1.7 (b) dapat dilihat bahwa'

setiaptitikcdiRBerdasrkaudefinisi5.l'5diatas,makafungsifmaka

lim g(x):c. x-)c

Karena g(c) = c, maka I i

m g(x) = g(c)'

Jadi fungsi g kontinu di

x-)c123

Kosim Rnhlfluna

- JurDiklWst WI 20M

Analhis Real

-

Fangsi-fungsi Kontinu

setiap titik c di R. Berdasarkan ddrnisi 5.1.5 di atas, maka fungsi g kontinu pada R.

3.

Fungsi dengan atur:m h(x): x2 kontinu pada R. Pada contoh a.I.7 (c) dapat dilihat, jika c e R, maka I iKarena h(c)

:

c2, maka

I i m h(x)

:

x-)c

m

h(x)

: 62.

h(c). Jadi fungsi h kontinu diatas, maka fungsi h

x-)Csetiap

titik c di R. Bqdasarkan definisi 5.1.5 di

kontinu pada R.

4.

Fungsi

f terdefinisi pada R dengan atuan: r/*\ r\^'' _ [ t iika x bilanganrasional | o lita x bilangan irrasional

bilangau rasional yang konvergen ke b. Karena f(yo) = 1 untuk setiap n e N, diperoleh lim (f(y,) = 1, sedangkan (b) = O. Oleh karEra itu fungsi f diskontinu di setiap bilangan irasional b. Jadi ftssinpulannya funggsi f diskontinu di setiap titik di R.

Fungsi dengan aturan seperti di aas disebut/angsi Diichlet. Fungsi Dirichlet di_skontinu di setiap titik di R. Sebagai bukti, jika c bilangan rasional, misalkan ( x, ) suatu baiisan bilangan irasional yang konvergen ke teorema kepadatan menjamin keberadaan barisan seperti ini Karqa f(x,) = 0 untuk setiap n e N, diperoleh lim sedangkan f(c) 1. Oleh karena itu fungsi f diskontinu di setiap bilangan rasional c. Di sisi laiq jika b bilangan irasional, misalkan ( y" ) suatu barism

(""):0,

c( ).

:

5. Misalkan A = { x e R I x > 0 }. Untuk setiap bilmgm irasional x > 0 definisikan h(x) = g. Untuk bilangan rasional di A dengan bentuk rnln, dimana bilangan asli m, dan n tidak mempunyai faktor posekutuan kecuali 1, definisikan h(nr/n) : l/n ( kadang-kadang tlidefinisikan juga h(0) = 1). Fungsi h kontinu disetiap bilangan irasional di ,\ dan diskontinu disetiap bilangan rasional di A Sebagai bukti, misalkan a > 0 bilangm rasional sembarang, dan ( x"

suatu barisan bilangan irasional di A yang konvergen ke a. Kaena lim (h(x") = 0, sedangkan h(a) > 0, maka h diskontinu di a. Di sisi

)

lain, misalkm

kecil dari no. Jika!* -bl -fiOil.e. Jadi dengan demikian ftngsi h kontinu di bilangan inasional b. 124Kosim Rabnma

Berdasarkan sifat Archimedes terdapat bilangan asli ne sehingga l/no < e. Terdapat hanya sejumlah hingga bilangan rasional dengan penyebut lebih kecil dari no pada interval (b 1, b + 1). ( Mengapa?). Oleh karena itu 6 > 0 dapat dipilih cukup kecil sehingga lingkungan O - 6, b - 6) tidak memuat bilangan rasional dengan penyebut lebih

b

bilangan irasional senrbrang dan

a>

0.

-

- JurDi*Md

UPI 2006

Analitis Real

-

Fnngsi-fu ngsli Kontinu

5.1.7 Bahan Diskusi 1. Buktikm teorema 5.1.3 tenAng

kritoia barisan untuk kekontinuauTunjukkanbahwa

2. MisalkanAc R dan f : A+ R kontinudititikc e A.

jika x, y e A untuk setiap e > 0, terd4at suatu lingkungan-8 vo (c) sehingga < e. n vs (c) maka lfu) - f0) Ikontinu di c dan(c) > 0. Tunjukln, bahwatodapat > 0' suatu lingkungm$ Vs (c) sehinggajika x e Vs (c), maka (x)

3.

\disalkan

f :R + R

5.{.8

LatihanMisalkan pula frrngsi f kontinu pada [q b], dan fungsi g o] serta f(b): g(b). Definisikan h pada [a, c] oleh h(x) =

1. l4isalkan

a lingkungan-S %(c) dari c sehingga jika x e V6(c), maka (x) 0' R dan g adalah restriksi dari f pada A ( g(x) Misalkan A c B c & f : B

+

:

(x)

6.7.

mermgakibatkar f kontinu di c. Misalkan f : R + R kontinu pada R dan f(r) = 0 untuk setiap bilangan rasional r. Buktikan, bahwa (x) = 0 untuk setiap x e R' Misalkan A = (0, @) dan k: A -+ R didefinisikan sebagai berikut, untuk x e d x irrasional didefinisikan k(x) = 0, dan untuk x e A x rasional dengan bentuk m/n dengan m, n bilangan asli, m dan n tidak mempunyai faktor pada sekutu kecuali t, Aaennisltan k(D = n. Buktikan, bahwa k tak terbatas Tunj r kkan pula bahwa k diskontinu di sebarang titik dali setiap interval di A: (0,1)

untuk setiap x e A). (a) Jikafkonyinu di c e A" tunjukkan bahwa g kontinu di cini tidak perlu g G) r*j,'tt- dengan contoh bahwa jika o kontinu di c, maka

A 8. Misalkm f

0 terdapat dua barisan (x") dan (yJ di (0,1) dengan masing-masing limitrya masing-masing ada tetapi tidak sama. teapilim ((xJ) dan lim ( f(y")

-+ R terbatas tetapi limimya di x = 0 tidak ada Tunjukkan,

Kosim Rt&lnans

- JurDiHtId UPI 2006

125

Analisis Real

-

Fungsi-fungsi Kontinu

5.2 Kombinasi Fungsi-fungsi KontinuMisalkan A c R, f dan g masing-masing adalah fungsi yang didefinisikan pada A ke R ssta b e R. Jumlah, selisih, hasilkali, dan kelipatan fungsi yang boturut-turut dinyaakan oleh f + g f - g, fg, dan bg pada bab terdatrulu telah diddrnisikan. Demikian pul4 jika h: A + R sehingga h(x) * 0 untuk semua x A telah didefinisikan hasil bagi fungsi yang dinyatakan

Di bawah ini diperlihatkan suatu teorema yang berkaitan dengan penddnisian di atas. Jika diperhatikan, teorema ini serupa dengan tgorema 4.2.4pada bab 4 mengenai

oleh flh.

limitfungsi.

52.1

TeorcmaMisalkan A c R, f dan g masing-masingfungsi dari Ake R serta cr e R. Jika c e d f dan g kontinu di o, maka : (a) f + g, f - g,fg, dan af kontinu di c

(b) Jika h: A-+ Rkontinu dic e Adanh(x) + 0untukmaka flh kontinu di c

setiap

xe

d

Bukti: (a) Jika

c e A bukan titik limit dari A

maka secara 'ootomatis"

kesimpulan terbukti. Oleh karena itu misalkan c adalah Karena f, dan g kontinu di c, maka '

titik limit dari A.

lim(x) = (c) dan limg(x)=g(c) x-+c x-)cgXx): limf(x)+ lim

Berdasarkan teorema I .2.4 (a), maka:

tim (f+

x-+c

x-+c x-)c

g(x):(c)

+ g(c) = (f + gxc)

Oleh karena itu f + g kontinu di c. Dengan cara yang serupa, untuk yang lainnya silakan penrbaca mernbuktikan sendiri sebagai latihan. (b) Karena c A, makah(c) * 0. Teapi karenah(c;berdasarkan teorerna 4.2.4

:1i-

h(x), dan

x -+c(b) diperoleh: (flexc) = f(c/h(c) = lim (x)Aimx

oleh karena itu flh kontinu di

c.

-) c

x

-) c

.F(x) =

limx

(

flhXx)c

-)

Teorema berikut ini merupakan konsekwensi dari teorema 5.2.1, digunakan untuk setiap titik dari himpunan A Secaa formal, teorema tersebut dinyaakan sebagai berikut:126Kosim Ruhrnana - JurDikMot UPI 2006

Analitis Real

-

Ftngsi-fingsi

Kofiiw

5.2.2 Teoremayang kontinu dari A ke R' Jika Ae R' dan f, gmasing-masing fungsi serta b eRmaka: kontinu pada A (a) Fungsi-fui6, * E, f - E, fg' danbf masing-masing @)

A fungsi hasilb agi flh lwntimr Pada

A"maka Jikah: e'+ yiintto" pia" ldanh(x)*0 untukxe

Catatan: Jikarp:

A+R,

Ar =

didefinnisikan pada hinopunan ArJika

ceAr

I

kontinnu

igqXrl = 1x/9(x) untukxeAr """"""(-') ,*urortri 9r dari a pada Ar iugakontinu di di titik;A;

oleh:

{ x e AIQ(X) t0 }'

makahasilbagiflrp,,*\

Berdasarkan teorema 5.2.1

eA (b) digunakan pada gr' maka flrpr fontinu di c e Ar flrp kontinu di c e-er' Karcna (f/q)(x) = (Agt)l;i;*i x .mata ppada A maka fimesi f/o yang tdan.q. kontinu

Dengan.*u.r.*pu,'i* 5.2.3 Gontoh

aiAehnisitan pada At, kontinu pada

A1

1.

';}.l1*d^iri* rii"it untuk tungsi polinim vaitu p(c) untuksetiaPxeR,= I i mp(x)

p(x) = aoxo + Jika P suatu firngsi oolinom sehingga

a"-tx"-t * '."' * a1x*

8o

x-+cuntuk sembarang c

&

pada R maka fungsi polinim p kontinu

2. Jika p da q masing-masing fuirgsi polinomhinggatl,r,...,+

pada R' maka terdapat sejumlahcr1'

0

ryang dinlatakan oleh: sehinggu Ouput OiJtn'isikan firngsirasional cr.' } untukx 4 { ct'1,r(x)

*'rt*-'t*;d;tiq'

Jikax # {

"''cuo}

makaq(x)

=p(x/q(x),

"',

Oleh karena itu diPeroleh:

R(c) = P(c)/q(o) =

lim P(x/q(x)=limr(x) x ->c x-)c

sehingga fungsi rasional

Karena

, .*uu*og"tl*g* r*"r yang bukan

r

kontinu di c'

disimpulkan

bah;;;;i;;d

merupakan akar dari q, dapat r-kontinu di setiap bilargan real vang

merupakan domainnYa.

3,

pada R' Akan ditunjukkan bahwa fungsi sinus kontinu Untuk setiaP x, r,, dan I cos sendiri ) (buktiuntuk lsinrl < lzl silahtan penrbaca membuktikan

jrt rtruti,

,l 0 3.2.10 dm teore,ma Dari teorema brisan kontinu di sebarang c > 0.

5.1.3

maka diperoleh bahwa h

Jikaf:A+RkontinupadaAdanjika(x)>0untuksetiapxed maka dari teorema 5.2.7 ;kandiperoleh hasil bahwa h o f = { f kontinupada

A

Ini

merupakan sebuah bukti lain dari teorema 5'2'5

Kosim Rubnqna - JurDikMd UPI 2006

r29

Analhis Reol - Fungsi-fungsi Kontinu sin x untuk x e R. Dalam contoh 5.2.3 Q) terlihat bahwa s kontinu pada R. maka bardasarkan teorema 5.2.7, fungsi Jika f : A -+ R kontinu pada s o kontinu pada A. Secara khusus, jika (x) = llx uutuk x * 0, maka fungsi g(x) = sin (1/x) kontinu di setiap titik c * 0

Misalkan s(x)

:

f

A

,

52.9

Bahan Diskusi

1.

Pulal im

Misalkan

f,g

masing-masing didefinisikan padaR dan f(x) =b dan gkontinu di b.

ceR.

Misalkan

x -+c

Tunjukkan, bahwa I i m (g o 0(x)

:

gO)

Bandingkan dengan teorema 5.2.7 dan soal latihan 5.2.10 dapat dikomentari dari hasil ini?

x -)c

(4),

apa yang

2. Misalkan f, g-

masing-masing kontinu dari R ke R, dan Benarkah pernlataan bahwa f(x) setiap bilangan rasional setiap x e R.

r.

(r) :

g(r) untuk

= g(x) untuk

3.

{ f(x), g(x)

h kontinu di c.

{ g : R + R masing-masing kontinu di titik c, dan h(x) = sup } untuk x e R. Tunjukkan bahwa h(x) = %(f(x) + g(x)) + yrlf$) - g(x) | untuk setiq x e R. Gunakan ini untuk menunjukkan bahwaMisalLan

4.

Misalkan g : R -+ R mernenuhi hubungan g(x + y) = g(x)g(y) untuk setiap x, y di R. Tunjukkan, jika g kontinu di x = 0, maka g kontinu di setiap titik dari R. Juga tuqfukkan, jika g(a) : 0 untuk suatu a e R, maka g(x) : 0

untuksetiapxeR.

5.2.10 Latihan

1. Tunjukkanbahwajikaf

2.

:A+ Rkontinupada Ac R, n e N, makafungsi f " yang didefinisikan oleh f "(x) : (f(x))" untuk x e A, kontinu pada A Berikan contoh suatu fungsi f dan g keduaqa diskontinu di titik c e Rsehingga:

(a) jurnlah f + g kontinu di c. (b) hasil kdi fg kontinu di c.

3. Misalkan x -+ [ x ]xeR.130

menyatakan fungsi bilangan bulat terbesar

( lihat soal

latihan 5.1.S (2) ). Tentukan titik-titik kekontinuan dari firngsi f(x) = x - [

*]

,

Kosim Rulonana - JurDihMa UPI 20M

Anolisis Real * Fungsi-fanpi Kontinu

4.

jika x * 1' Misalkan firngsi g diddlrisikan pda R oleh g(1) = 0, dan g(x) = 2 Misalkan pula f(x) = x * I untrksetiap x e R' Tunjukkan I i m (g o 0G) * G o 0(0). Mengapatidak berte,ntangan dengan

x +0

teorcma5.2.6?

5.

Berikan contoh suatu fungsi f : [0, l] tontinu Pada [0, ll. [0, 1] tetapi

+ R yang diskontinu

di setiap titik dari

lfl

6.

Misalkan h : R

m e Z,n e N.

R kontinu pada R dan menrenuhi h(rrtlr) = 0 untuk setiap Tunjul&ao, bahwah(x):0 untuk setiap x e R'

+

?. Misalkanf:R+RJika c e

kontinupadaR, danmisalkanP={xebahwa terdapat suatu lingkungan Vo(c)

n I (x)>0}'cP'

P, tunjukkan,

g. 9.

Jikafdang keduanyakontinupad4& danmisalkanS=txen g(x) ). Jika (s,) c S dan lim (s") = s, tunjukkaq bahwa s e S'

I

f(x) >

*additivd' jika dan hanya jlta Suatu fungsi f : R + R disebut frram f(x + y) = rtx) + f(y) untuk setiap x, y di R Buktikan, jika f kontinu di suat, titik xo, maka f kontinu di seti4 titik dari R.tunjul&an suatu fungsi additive kontinu pada R' Jika c = ( Peunjuk Terlebih dahulu, tunj'rkkan bahhwa cx untuk setiap x e R. jika r bilangan rasional, maka (r) = cr. ). f(x) :

10. Misalkan f

(l),

5.3 Kekontinuan Fungsi pada lntervalFungsi-firngsi yang kontinu pada interval

u**"yrl

sifat yang sangat

yaog tiaak dimiliki oleh fungsi-fungsi kontinu paaa Uanasan Ai Ui*uU ini, akan dibahas beberapa sifat-sifat penting

perti"g

,

nnempunyai sejumlah sifat-

itu dengan beberapa aPlikasinYa.

5.3.1 Definisisuatu fungsi f : A + R disebut terbatas pada Aiika dan hanya iika terdapat suatu bilangan realM> 0 sehingga l(x) I < M , untuk setiap

xeAjika Dengan perkataan lain, suatu firngsi terbatas pada suatu himpunan R. Ilntuk mengatakan bahwa suatu fungsi rangenya (dieralr,hasil) terbatas dalam At terlaEs pada himpunan ymg diberikan adalah dengan mengatakan bahwaKosim Rthmana -

JurDikMd UPI 2006

131

An alisis Real

- Fungsi-fungsi Kontina

tidak terdapat bilangan yang menjadi batas untuk rangenya Secara matematis formal, suatu fungsi tak terbatas p@ himpunan A jika diberikan sernbarang M > 0, terdapat titik xr.,r e A sehingga l(x) I > M. Sebagai contoh, fungsi f yang diddefinisikan pada interval A = (0, oo) oleh f(x) = l/x adalah tak terbaas pada Ao sebab untuk setiap M > 0 terdapat (dapatdiammbil)xua: l/(M+ l) sehinggaf(xy):l/xu=M+ I >M. Contoh ini menunjulkan bahwa fungsi kontinu tidak perlu terbatas. Pada teorema di bawah ini, ditunjukkan bahwa suatu fungsi kontinu padasuatu interval totentu perlu terbatas.

5.3.2 Teorcma Keterbatasan Jikal=[a"bl interval tertutupmalu fungsi f terbatas padaI.

terbatas danf

:I->R

kontinupadal,

Bukti:Andaikan fungsi f ak terbatas pada I. Ini berarti untuk sembarang n e sehingga lr(*Jl terdappat Karena I terbatas, maka barisan X = (*") terbatas. Menurut teorema Bolzano-Weierstrass yang konvergen ke (untuk barisan) terdapat baisan bagian X' (x-) dri suatu bilangan x. Kemudian, karena I tertutup dan unsur-unsur dri X' tedetak pada maka x e I (torema barisan dalam Bab 3). Karena f kontinu di x e I, maka baisan ( (&") konvergen ke Oleh karena itu barisan ( (x*) ) haruslah terbatas. Tetapi ini konfiadiksi dengan I fG-) + > untuk r e N. Jadi pengandaian ftakterbatas padaladalah salah, yangbenaradatah fterbatas

N,

x,eI

to.

:

X

I,

)

(x).

l,

r

padaI. Dapatlah pembaca memberikan beberapa contoh, bahwa invers dari teorema di atas belum tentu berlaku.

Teorcma Maksimum-Minimumbawah

ini

Sebelum sampaibpada t@rema mengenai maksimum-minimum, di terlebih dahulu diberikan definisi yang menerangkan pengertian

maksimum mutlak dan minimum mutlak.

5.3.3 DefinisiMisalkan A c & dan f : A -+ R. Fungsi f disebut mempunyai malaimum mutlak pada Ajika dan hanya jika terdapat suatu titikx* e Asehingga (x*) > f(x), untuk setiap x e A. Fungsi f disebut mempunyai minimum mutlak pada A jika dan hanya jika terdapat suatu titik x. e A sehingga (x.) < f(x) , untuk setiap x e A Titik x* adalah titik nalaimum mutlak untuk f pada A dan titik xadalah titik minimum mutlak untukf pada A" jika masing-masing titikada.

t32

Kosim Rukrnqna

- hrDikMa UPI

2006

An alisis Reol - FungsLfangsl Kontina Perlu dicaUt bahwa suatu ftngsi kontinu pada A tidak perlu memrpunyai tidak Sebagai contoh, f(x) maksimum atau minimum mutlak pada

A

: l/x

mempunyai maksimum mutlak dan minimun mutlak pada himpunan/interval A = ( 0, co ) ( lihat gambar 2.3.1). Fungsi f tidak merrpunyai maksimummutlak dan tidak mmuat titik 0 ( 0. co krena f tak tobatas di atas pada oada inf { f(D [ * e A Fungsi di atas juga tidak mempunyai maksimum mutlak teapi firngsi itu dan minimum mutlak.jika dibatasi pada himpunan (0,

:

A:

)

A

].

mempunyai maksiiltum mutlak dm minimum mutlak bila dibatasi pada tr, z]. selanjunya fungsi (x) = l/x mempunyai rnaksimum mutlak * tetapi tidakme,mpunyai minimum mutlak bila dibatasi pada himpunan [1' ) dT tiAui -atsi*r* mutlak it41 minimum mutlak bila dibatasi pada

l),

ni^p**(1, .o ).

...p*ya

Jika suatu fungsi fungsi mempunyai titik maksimum mutlak, maka titik ini tidak perlu nik (tuigeal).iebagaicontoh fungsi g(x) = x2 yan di4efial5ikan yangmasinguntukx e A= [-1, I merrpunyaiduatitikx=-l danx= mana titik dan titik x = 0 mutlak pada masing muupakan titit matsimum -di pada A ( lihat gmbar 5.3.2). Suatu contoh itu meiupakan titik minimum mutlak setiap titik x e R merupakan titik khusus/&sdms yaitu ftngsi konstan h(x) = maksimummutlak dan minimum mutlak dai h

]

A

-l

l,

Gambar 5.3.1 Fungsi

(x>o)

f(x): l/x

Gambar 5.3.2 Fungsi g(x) =

r

l*l < t;

12

5.3.4 Teorcma Maksimum-minimum Jikal= [ a, b ] interval tertutup terbatas danf :lBukti:

-+ R kontinu padaI, malraf mempinyai mataimum mutlalc dan minimum mutlak'

Misalkan f(D { f(x) I x e I }. Menurutteorema 5'3'2, f(D terbatas pada R. Selaniutrya, misalkan s* = sup (D dan s. = inf f(f)' Akan tlitunjukkan, terdQat titik x+ dan titik x' di I sehingga s* = f(x*)

:

dmKosim

s,

= f(x,).133

Rubnsta-JwDikllld WI 20M

Analisis Real

- Fungsi-fangsi Kontinu

Karena s* = sup (D, iika n e N, maka s* - l/n bukan batas atas dari F(t). Akibahya terdryatbilangan x" e I sehingga : ........,(1) s*-iln 0 dapat d-ipilih sehingga tidak tergantung dri titik u e A ( hmya tergantung dari : 2xe ). Sebagai mntoh" jika f(x) = 2x untuk setiap x e R, maka lf(x) - (u) |

2u

6=el2 untuksetiape>

0

... (-) lrir.>-iir>l = l(r-xyuxl =.I/ux 6=inf {%i,yro'e}, *aiadari lx-ol .6 diperoleh l*-ol. Jikadiaurbil Z u sehinnesayzu 0, terdapal 6 > 0 sehingga iika x, y lka untuk setiap ed l*-yl H. Ini mmgakibatkan l(*J - f(uJ I < e. Oleh karena itu d4at disimpulkan bahwa barisan ( f(x") ) adalah barisan Cauchy.

Amernenuhi

f kontinu seragrm pada d

dan misalkan e > 0 diberikan. maka dapat dipilih 6 > 0 se.hingga jika x, u

A

[*-ul 0,terdapat suatu fungsi g; : A R sehingga g" kontinu seragampadaA aan l(x) - g"(x) | < e untuk seti4 x e Buktikar bahwa

A+

+

A

fkontinu seragam pada A

5.4.10latihan

1. 2. 3.

Tunjrrkkan bahwa firngsi f(x) = l/x kontinu seragam pada himpunan A = [u, .o ), di mana a konstanta positif.A = [1, o

Tunjulkan bahwa fungsi f(x) = 1/x2 kontinu seragam pada himpunan ), tetryi tidak kontinu seragam pada B : (0, oo ).

Tunjukkan bahwa firngsi f(x)pada R.

: ll(* + 1) untuk xeR kontinu seragammakaf + g kontinu

4. Tunj,lkkan, jika f dan g kontinu seragampadaAc R, seragam pada A

5. 6.7. 8.

Tuqi,kkan, jikaterbatas pada

f dan g kontinu

seragan pada

A

A

maka perkalian fg kontinu seragam pada

c R, dan jika keduanya A

Jika f(x) = x dan g(x) = sin x , tunjukkan f dan g keduanya kontinu seragam pada R, tetapi perkalian fg tidak kontinu seragam pada R

Jrkafkontinu seragampada A c R, Oan l(x) I tunjukkm, bahwa l/f kontinu seragampada A

>t,

0

untuk setiap x e

d

Bultikan jika f kontinu seragam pada suatu himpunan bagian A dari R yangterbatas, maka fterbatas pada A.

9.

f kontinu pada [0, o ) dan kontinu seragam pada [a, untuk suatukonst nta positif a, maka f kontinu seragam pada [0, o ).Tuqinlrk6, jika

o

)

10. Suatu fungsi f: R -+ R disebut periodik pada R jika terdapat bilangan p > 0 sehingga (x + p) = (x) untuk setiap x e R. Buktikan, bahwa fungsi periodik yang kontinu pada R terbatas dan kontinu seragam pada R.

Kosim Ryhnana.

- JarDihMd UPI 2A06

143

An alisis Reol

* Fun pi-fangsi Kontinu

5.5 Fungsi Monoton dan Fungsi lnversPada bagian ini akan dibahas kaitan antara kekontinum suatu ftngsidengan sifat-sifat kemonotonan fungsi inr, dilanjutkan kaitan antaxa kekontinuan suatu ftngsi dengan keberadaan fimsi invasnya.

5.5.1 DefinisiMisalkanA-cR,dan Xr (xz maluf(x) < f(xz). (i) Fungsi f disebut naik lwat pada Aiika dan hanyaiika untuk setiap xt,Y,ze A'dan Xt (xz nakaf(x) < (xr). (iiD Fungsi f disebut turun pada Aiika dan hanya jika untuk setiap x1, x2 c A dan xt f(xz). (rO Fungsi f disebut turun kuat pada A jika dan hmya jika untuk setiap X1, x2 Adan xr