5to Secundaria razonamiento matemático

Alfonso Rojo sPuerno pe

RAZONAMIENTO

m tematico,

EDUCACION SECUNDARIA

RAZONAMIENTO

ma ematico,

EDUCACION SECUNDARIA

Derechos de autor reservados.Alfonso Rojas Puemape

Derechos de edicion y artes graficas reservados.2012, Editorial Tercer Milenio S.A.7300 North Kendall Drive, Suite S21Miami, Florida 331S67840. [email protected]

Director Editorial:Antonio Sabogal

Editora General:Marife Vargas-Ccrbacho

Editor de Matematica:Alfonso Rojas Puemape

Especialistas del Area:Giovanna RojasJorge ChavezJohnny LegufaEddy ChirinosEdson Tacanga

Disello de portada: Delfin Blanco ComunicacionesComposici6n de interfores: Jorge Huamani, Ivan Tejada, Maria Isabel FloreslIustraciones: Jorge Huamani, Giulianno Delgado

Preprensa e impresi6n:QuadGraphicswww.QG.com

Impreso en Colombia- Printed in Colombia

Impreso en papel bond con certificaci6n FSCcon cadena de custodia "Bosques Controlados".

Reservados todos los derechos. No esta permitida la reproduccion total 0 parcial de esta obradldacttca, ni su tratamiento lnformattco, ni la transrnistcn de ninguna forma 0 por cualquiermedio, ya sea electr6nico, mecantco, por fotocopia, por registro u otros metodos, sin elpermiso previo por escrito de los titulares del copyright.

Desarrollar la inteligencia y aprender a pensar, para resolver dificultadesdecidiendo por las mejores alternativas de resoluci6n y con alta velocidadde procesamiento mental son tareas pendientes en todos las institucionesescolares.

Nuestra colecci6n para la Educaci6n Secundaria presenta una propuestade razonamiento logico - maternatico por medio de la cual se pone alalcance de estudiantes y docentes, cientos de ejercicios, problemas,juegos, rnaternatica recreativa y todo tipo de materiales relacionados consituaciones 16gicas, busqueda de regularidades y habilidad operativa,que permiten desarrollar las capacidades de observaci6n, abstracci6n,generalizaci6n, comprensi6n, analisis y sintesis.

Se aprende a pensar, pensando; se aprende a razonar, razonando, es decirafrontando muchas situaciones que permitan pasar del nivel literal a losniveles inferencial y/o critico, En esta edici6n se ha disefiado en la partefinal de cada unidad una secci6n denominada AUTOEVALUACION, queha sido dividida en cuatro niveles. De los cuales los tres primeros sonacumulativos parciales, cuya ternatica cubre aleatoriamente los tres temasde la unidad correspondiente, mientras que el nivellV es acumulativo total,cuya tematica es todo el contenido desarrollado en el texto hasta esaposici6n.

La colecci6n de RAZONAMIENTO MATEMATICO de ETM ofrece diversospersonajes y mufiecos. Entre los primeros aparecen Skanito y sus amigosMaite, Dalma y Luchfn, quienes realizan el papel de mediadores delaprendizaje. Entre los muriecos hemos dado vida a elementos tecnol6gicoscomo una laptop, un USB, un celular y una tableta, asl como amateriales quelos estudiantes emplean a diario en sus quehaceres escolares como unaregia, un block, un clip; adernas, los acompafia una ilustraci6n del planetaTierra que promueve transversalmente su cuidado y conservaci6n.

De estas ilustraciones, algunas hacen el papel de direccionadores y otrosde sintetizadores. Los primeros aparecen en tarnano pequerio e indicanque alguna idea del contenido se aclarara en un cuadradito de margen. Esaaclaraci6n se ve precedida por un sintetizador en tarnano mas grande.

Esperamos que este cuaderno de trabajo sea de mucha utilidad para lapractica del razonamiento 16gico-matematico ya que 10consideramos unexcelente material que permite un intense entrenamiento para exarnenesde admisi6n a cualquier centro superior de estudios.

Alfonso Rojas Puemepe

Nombre de unidad

Problema motivador

Contenido (tamas)

NUMERODEL TEMA-

NOMBREDEL TEMA '"""'\

D111!CC1ONADOR!8

II'n4sJawt que reladonln IIc:am..nldo en un tImI canun IintdZaclCII

_.'"-=====-:::-_._-

, . I

:s.~'"r-:,_...-- ' ..-..:.... -.... ::

...._ ..-..... -r ~ ..... ~~:~~...... -: ,.,. .-:::r.;... ,.... .. .'_- ~..

ConjuntlO de ejerddOlY probl.".. reeuelliDedleei\1d0l p rnoetr.bmu de reeolud6n deuna gran dIvertIdad delituaclon .. que exIa-

razonamlento.I

Conjunto de situac:iones hidicasque permiten eI desarrollo

del pensamiento rnaternatico.

Conjunto de tecnicas quenos gu{an en la resolucionde problemas diversos.

SINTETIZADOR

j INTERESANTE!

Ideas Queresumen,subrayan 0 recuer-dan conceptos Quenos ayudan a resol-ver un problema .

ConjLntD de ejerc:icios 0problemas para d.. ~

en~.

Una gura 0 ayudaQuepermitedesarrollar elproblema.

Conjunto de 12 ejercicios 0problemas elaborados paraevaluar parcialmente en aulalos niveles de razonamientodel tema tratado.

Procedimientos 0 artificios de calculo basados enpropiedades matematicas elementales que nospermiten desarrollar c81culosmentalmente.

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Claves de respuestas. . . . .I 'ij,h"'ijliJ#:fi_

1) 92) 123) 104) 405) 406) 0

7) 68) 42

9) 310) 2

11) 712) 6

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Ejercicios de Matematica ludica concebidospara desarrollar pensamiento creativo.

JC:tI. ~-;o;I--J

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.:"::::::-..:.~ oJ~':'"....:::"":';;: :~::::.-

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Paginas con problemas variadosde los tres temas que conformanla unidad, de los cuales los tresprimeros son acumulativos par-ciales (nivel I, II Y III) Y eI ultimoes acumulativo total (nivellV).

'il AJcancesy Adelantos, atrasos t.Utiplicaci6n deM6vilesy encuentros y calendarios ntimeros que empiezanen unorelojes iMueve solo uno! PRYPP* PRY PP* t.UtiplicaciOn dePag.8 Control 1 Control 2 ntimeros que lIIrminan

en uno

~

Certezas - maximos y Variaciones ,

Combinatorias y IBuscando el men or! mfnimospermutaciones y Mlltiplicaci6n decombinaciones numeros que lIIrminanprobabilidades PRY PP*

PRYPP* en5Control 4

ControlS

Planteo de Leyes de exponentesy ecuaciones MJltiplicaciOn por 75

Ecuaciones y ISiempre 100! ecuaciones exponenciales 8evando II cuaaadoexponentes PRYPP

PRY PP*un nUmero que

Pag.68 Control 7 lIIrmina en 5Control 8

Regia de tres simple y Porcentaje Iproblemas

Regia de tres y ILos pu entes! compuesta comerciales Mlltiplicando por 5/2porcentaje PRY PP*

PRYPP* Mlltiplicando por 7/2Pag.96 Control 10 Control 11

Triangulos y Distancias y ~do 2 rUnerosRazonamiento ICorto, uno y calculo! circunferencias perimetros cuya ciferencia es 2geometrico PRY pp. PRY PP* Cuadrado de rUneros

Control 13 Control 14 que comienzan an 5

Juegos l6gicos Inducciones graticas Mlltiplicando por 12Razonamiento y nurnericasanalftico

IKen ken! PRY PP*PRY PP* MJItipIicando por

Control 16 1,5; 2,5; 3,5; ele.Control 17

UNlOAD TITULO JUEGO

~pag.208

Comparacionescuantitativas

IRectangulos!

Suficienciade datos

IA formar triangulos!

TEMA 1 TEMA2

Comparaciones cuantitativas

Control 19 DivisiOn por 4 DivisiOn por 8

Suficiencia de datos

Control 20

Mlltiplicandopor 3/4

Mlltiplicandopor 4/5

Q Problemas propuestos en concursos interescolaresQ Pruebas de evaJuaci6n

TEMA3

Angulos entremanecillasPRY PP*Control 3

ProbabilidadesPRY PP*Control 6

LogaritmosPRY PP*Control 9

Variacionesporcentuales y

mezclasPRY PP*Control 12

Area de regionessombreadasPRY PP*Control 15

Sucesiones yanalogfasPRY PP*Control 18

MATEMAnCAAECAEAnVA

iProductos interesantes! Palitos numericcs iLas porciones de pan! Ciudades y carreteras

----:===: iSumas para pensarl iEquisumas! POOemosa1canzar eI infinito... En equilibrio tOOoes mejor

Una manera facildeobtener 100

iCuatro operaciones! Juntos, pero no revueltos ... La torre triangular

i La ruleta magical IEnteros y fracciones! Las ecuaciones no mienten Cliente muy inteligente

iNueve son suficientes! IMayor y menor! Ayudemos aI granjero EI enano y eI gigante

iTOOosa uno! i Dos fracciones interesantesl La culebrita nurnerica EI ano mas grande

ISoio potencias de 2! IPotencias de 3! Aparentemente absurdo Los palitos Y los mimeros

AUTOEVALUACION

ACUMULATIVO PAR::C:.:::IA::L:__~ _ _;"A_C~U_M_U_LA_T1_V_O_T_O_T._A_L__

Nivel I (20 problemas)Nivelll (19 problemas)Nivel III (16 problemas)

Nivel I (22 problemas)Nivelll (22 problemas)Nivellll (17 problemas)

Nivell (21 problemas)Nivelll (23 problemas)Nivel III (22 problemas)

NivellV (16 problemasde unidad 1)


Nivell (15 problemas)Nivelll (19 problemas)Nivellll (14 problemas)

NivellV (16 problemasde unidad 1 y 2)

Nivell (16 problemas)Nivel II (20 problemas)Nivellll (14 problemas)

Nivel I (24 problemas)Nivelll (23 problemas)Nivel III (18 problemas)

Nivel IV (20 problemasde unidad 1, 2 Y 3)

NivellV (17 problemasde unidad 1, 2, 3 Y 4)

NivellV (14 problemasde unidad 1, 2, 3, 4 Y 5)

Nivel IV (15 problemasde unidades 1, 2, 3, 4, 5 Y 6)

NivellV (19 problemasde unidades 1, 2, 3, 4, 5, 6 Y 7)

IPuros ochos! lUna pequeria equisumal EIverdadero mentiroso

.cue~6nd=e~c=m=CU=I~O_~==~~==================~~===-~_-=~======~

* PR: Problemas resueltosPP: Problemas propuestos


Nivel IV (15 problemasde unidades 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Y8)

Si amvos mantienensus velocidades, el verde

logY'aY'(lotconzcrto.

.... AlCANCES Y ENCUENTROS

.... ADElANTOS. ATRASOS Y CALENDAR lOS

.... ANGUlOS ENTRE MANEClllAS

iMueve solo uno!

Aqur te planteamos algunos desafios.En cada caso, cambia de lugar un dfgito para obtener una igualdad correcta:

J U v

ALFONSO ROJAS PUEMAPE

La trayectoria es launion de todos lospuntos por dondeha pasado el m6vil;puedeser curviH-nea 0 rectilfnea.

Eneste tema solotrataremos losproblemas en losQueel movirnientoes rectilfneo y lavelocidad es cons-tante (no varia).

ALCANCES Y ENCUENTROS I~------

Referencia

VELOCIDAD (v): Es una cantidad cuya medi-da nos indica que tan rapido un rnovil cambiade posicion.En un movimiento rectilfneo a velocidad cons-tante se cumple que:___ t------...

L IATENCION!

Donde:d: distancia en

metros (m).I: tiempo en segun-

des (5).Luego, la unidad de lavelocidad es:

mS

Aanque en la vidacotidiana se usa, conmayor frecuencia:

kmT

D La casa de Rodrigo esta a 72 km de su tra-bajo. Si el tard6 2 horas en lleqar, l.cual fuela velocidad que emple6?

fdentifica fas cantidades que intervie-nen para fuego usar fa ecuecion quere/aciona a, t Y II.'--

Del enunciado, planteamos:

>: 2h ~fiifmi :

72km

D Un auto viaj6 a 40 km/h durante 2 h, luegoaument6 su velocidad a 50 km/h y as! con-tinu6 durante 3 h. l.Cuar fue la distancia querecorri6 dicho auto aI cabo de las 5 h?

L

De fa ecuecion: v - ~ ,

se puede obtener: d - vt Y dt--v

Ahora relacionamos v = 72 km. 2h

Luego, viaja a I 36 km/h I.

Ahora: d1 = (40)(2) Y d2 = (50)(3)d1 = 80km d2= 150km

Luego, recorri6: d, + d2 = I 230km I

Anallzamos el problema por tram os:

___ 2h__ __3h---...

~~", ~~krrVh ~

En ocasiones sera necesario expresar aI-gunas magnitudes en unidades equivalen-tes. Recordemos algunas:

Longltud1 m = 100cm = 1000mmt dam s torn1 hm = 100m1 km = 1000m

Tlempo1 h = 60 min = 3600 s

Ejemplos:

II Convierte 1,05 km a metros.1,05km 1~mm =I1050m I

II Convierte 4,2 h a segundos.4 2 h . 60 min . 60 ~ = " -15-1-2-0-S-',' 1 h 1min .

Ahora trataremos problemas relacionados a las velocidades y orientaciones de dos m6viles.Veamos los siguientes casos:

Tiempo de encuentro (telSi dos m6viles estan separados una distan-cia d y parten aI mismo tiempo, tal comose muestra:

se encontraran luego de un tiempo iguala:

Tiempo de alcance (to)Si dos m6viles sstan separados una dis-tancia d y parten aI mismo tiempo, en lamisma direcci6n, tal como se muestra:

el m6vil Atiempo:

alcanzara aI m6vil B en un

I t VA ~ Va i -. JDos m6viles separados una distancia de500 km parten, aI mismo tiempo, aI en-cuentro uno de otro con velocidades de60 km/h y 40 km/h. i.Cuantos minutos tar-daran en encontrarse?

Usamos la ecuecion del caso corres-pondiente, luego expresamos el tiempoen minutos.

Dos m6viles separados una distancia de400 km parten al mismo tiempo y en la mis-ma direcci6n con velocidades de 50 km/h y30 km/h. i.Cual es la distancia que recorreel auto mas lento antes de ser alcanzado?

I Determina el tiempo de alcance y tue-lgo calcula la distancia que recorre unode los autos en ese tiempo.--------------------~/

Del enunciado:

t, ~d~vA500km

500 Se encuentran: te ~ 60 + 40 =;> te ~ 5h

En minutes: 5 h . 60 min. 1h

Tardaran en encontrarse I 300 minutos I.

Analizamos:

400 hta ~ 50 _ 30 =;> ta ~ 20

Luego: d, ~30 x 20 ~ I 600 km I

D Dos m6viles parten aI mismo tiempo y delmismo punto en direcciones opuestas. Sisus velocidades son 40km/h y 20km/h,i,luego de cuanto tiempo sstaran separa-dos 300km?

Del enunciado:t t

~~ ;300km

= 40 t + 20 t ~ 300 =;> t = ~~O= Luego de I}E].

Para que ocurra elalcance se debecumplir que:

VA> Va

Esle tiempotambien eslIamado tiempo deseparacion (Is) Y secalcula como el r,


.. -.: ........ _-.. ., ..... {lO.".Go iATENCU1NI

Si se tiene lavelocidad enkmjh podemosconvertirla amjsmultiplicandola

5por 18'

km 5v~36-x-h 18

=>v~10~ s

D Un auto recorre una distancia de 72 000 men 11/3 h. Determina la velocidad del autoen m/s.

Resolvemos:

Nos pi den la velocidad del auto en mjs;para ello trasformamos el tiempo a se-gundos.

11h ~ ih x 3600s = 4800s3 3 1h

Luego: v = 7:8~ = 115m/s I

D Un motociclista recorre una distancia de7,5 km en 12 minutos 30 segundos.l.CuaJes la velocidad a la que viaja la moto?

Resolvemos:

Expresamos la distancia en metros y eltiempo en segundos:

d = 7,5km => d = 7500mt~12min. 60s +30s

1mint ~ 750s

Rnalmente: v~ 7755~ => v=110m/sl

D Convierte cada una de las velocidades akm/h.

- 20m/s- 30m/s

15m/s- 10m/s

Resolvemos:

Para convertir la velocidad de mjs akm/h, multiplicamos por 18/5.

= 20P'f x 3600, 1km-s;: --:;t1 x ~20 x 18 x km = 72 km/h

5 h

Entonces:

_30mx1.s 5

_15m)(18s 5

_10mx18s 5

=> 108kmh

= 54kmh= 36km

h

D Dos corredores parten de los extremosde una pista atletica de 480 m, uno al

encuentro del otro, con velocidades de18 km/h y 7m/s. l.Luego de cuanto tiem-po se encuentran?

Resolvemos:Los atletas van al encuentro, entoncesaplicamos la ecuacion correspondiente,pero antes expresamos una de las velo-cidades en metros por segundo.

18x~= 5mjs18

Ahora: t = 480 => t9 = 40se 5+ 7

=0> Se encuentran luego de 140 s I.Dos autos parten al mismo tiempo ydel mismo punto, pero en direccionesopuestas. Si uno viaja a 90 kmjh Y el otroa 72 kmjh, l.cuaJ es la distancia que losseparara luego de 30 minutos?

Resolvemos:30min 30min

~~r::~'-=JlfaJlY;:'--.JIS,;.r-=lfCIf';.IS.-=.IIS.'--"-.-=lr=Jl(;

------d------ Del grilfico: d = 90 t + 72 t ...G) ~asamos el : t = 3Omin. ~ = lh

tiempo a horas 60 min 2

Entonces: de 90G) + 72G)

d = 181 km 1

Del problema anterior, si los autoshubieran seguido la misma direccion,l.cuaJ serfa la distancia de separaci6n, enel mismo tiempo?

Resolvemos:

.tII'EiI/faAniiJlf'a .... I/If&I&.rclliial/niliD.-_,,_,_.--.1/1f6

---d. d-- ..---..:..._--d2---- ....

La distancia: d = d2 - d.

d=90a)-72(~) = d=19km I

Dos m6viles estan separados 640 m yparten aI mismo tiempo y aI encuentrocon velocidades proporcionales a 3 y5. Si el encuentro ocurrira luego de 8 s,lcual es la velocidad mayor?

Rpta.: 50 ml

Dos m6viles estan separados 1000 m yparten hacia el encuentro con velocida-des de 60m/s y 40m/s. Si el mas lentoparti6 10 s despuss, lcuaJ es la distanciaque recorri6 el auto mas rilpido hasta encontrarse con el otro auto?

Rpta.: 840m

velocidad con stante de 120km/h. Si losdelincuentes Ie lIevaban una ventaja de3 km a una patrulla y fueron atrapadosluego de 6 minutos, lcuaJ es la veloci-dad a la que viaj6 la patrulla?

Rpta.: 150 kmlh

Mario y Juan son dos ciclistas y estan separados una distancia de 300 m. Si Juanva a una velocidad de 10m/s y Mario 10a1canza luego de 30 segundos, lcuaJ esla velocidad de Mario?

Rpta.: 20 mls

Una moto Ie lIeva una ventaja de 500 m aun taxi. Si la moto va a una veloddad de15 m/s y el taxi a 20 mIs, lcuaJ es la dis-tancia que recorre la moto antes de sera1canzada?

Dos buses interprovindales sal en de lasciudades A y B; distanciadas 1020km,con velocidades de 110km/h y 9Okm/h,respectivamente. Si el que sale de A par-te a las 8:00 a.m. y el que sale de B 10hace a las 10:00 a.m., determina la horaa la que ocurre el encuentro.

Rpta.: 2:00 p.m.

Dos ciudades, M y N, estsn conectadaspor una carretera recta de 1240 km. Unaempresa de transporte tiene unidades enambas ciudades y todos los dras, a las9:00 a.m., sale un auto de una ciudadcon destino a la otra. Hoy, de la ciudadM, parti6 un auto con una velocidad de80 km/h y el auto que sali6 de la otra ciu-dad parti6 3 horas despues a 120 km/h.lA cuantos kil6metros de la ciudad Mocurri6 el encuentro?

Rpta.: 1500 m

Dos automovilistas parten de un mismopunto con direcciones opuestas. Si susveloddades suman SOmis, calcula ladistancia que estaran separados luegode 2 minutos. Rpta.: 6 km

Un avi6n realiz6 un aterrizaje de emer-gencia. Inmediatamente despuss detocar tierra, una ambulancia parti6 a sua1cance. Si la velocidad de la ambulanciafue 20m/s mayor que la del avi6n y tar-d6 5 minutos en alcanzarlo, la cusntoskil6metros de la ambulancia el avi6n toc6tierra?

Rpta.: 6km

Dos ciclistas estan separados 200m. Sifuesen aI encuentro uno del otro, tardarian10 s en encontrarse; pero si el mas velozpersiguiese aI otro, 10 a1canzaria en 20 s.Determina la velocidad del mayor.

Rpta.: 15 m/s

En cierto instante, en una carrera elcorredor que va primero Ie lIeva unaventaja de 30 m al segundo. Si elloscorren con velocidades de 6 y 8 mIs,respectivamente; y aI que va primerosolo Ie faltan 100m para lIegar a la meta,llograra el corredor que va segundoremontary ganar lacarrera? leon cuantosmetros de ventaja lograrfa ganar?

"-,,_ . ,..,. " .-

Rpta.: 640 km

Se observaron 3 m6viles: A, B Y C, convelocidades de 72 km/h, 1,2 km/min y20 mIs, respectivamente. Indica cuaJ delos tres m6viles es el mas veloz.

Rpta.: Las ve/ocldades son fgua/es.

Tres cidistas: A, B Y C, recorren 36km,36 ooom y 3600 ooocm en 18 ooos.300min y 5h, respectivamente. lQuienes el mas veloz?

Rpta.: T/enen la mlsma ve/ocidad.

Unos delincuentes fugaron en un auto a

PISTA2

Averiguala distan-cia querecomo elprimer auto durantelos 105 y luegoanalizael tiempo deencuentro.

1

Parapoder compararlas velocidades,debenestar en lasmismas unidades.


Parapodercomparar,expresaenlasmismasunidades.

Noolvidesquelavelocidaddelosme-vileses consideradaconstante.

"fI'"'' ~',",oJ III

Rodrigo, Carlos y Saul viajan en sus au-tos a velocidades de 54 km/h, 12m/s y1,2 km/min, respectivamente. ~Quien delos tres va mas rapido?

~uelve oqui! )

;(i( IDavid, en su auto, puede recorrer 450 km

en 5 horas; mientras que Roy puede re-correr 175m en 7 segundos. Podemosasegurar, respecto de las velocidades delos autom6viles, que:

I. Vo> VA II. Vo 8 VA III. Vo < VA

Un bus interprovincial recorre, avelocidad constante, una carretera rectala cual tiene un letrero cada kil6metro. Sia las 10:00 a.m. pas6 por un letrero y alas 11:30 a.m. ya habra pasado por 61letreros, ;'cuaJ es la velocidad a la queviaja el bus, en km/h?

Dos atletas se encuentran en los extre-mos de una pista de 4,8 km y parten aImismo tiempo uno aI encuentro del otro.Si uno va a una velocidad de 13m/s y elotro a 12m/s, ~Iuego de cuanto tiempose encontraren?

Dos autos parten aI mismo tiempo dedos ciudades, A y B, distantes 84 km. Siel que sale de A va a 15km/h Y el otroa 13km/h, ;'cuaJ es la distancia querecorre el auto que sale de B hasta quese encuentra con el otro?

Dos ciclistas parten al mismo tiempo y aIencuentro desde dos ciudades distantes120km. Si las velocidades de los ciclis-tas estsn en la relaci6n de 3 a 2 y tardan2 h en encontrarse, ~cuaJes la velocidadmayor?

Ante nue'lOsconceptos, 10....eromendable ss ....eladooo ....los

ron 10"ue sobes.

Dos ciclistas estim separados 900 m yr- parten al mismo tiempo uno al encuentro

del otro, con velocidades de 48 m/miny 52 m/min. "AI cabo de cuanto tiempodespuss de encontrarse, su separaci6nsera de 400 m?Expresa tu respuesta en minutos.

En una carrera, Roberto sale desde elpunto de partida cuando Jose Ie lieva100m de ventaja. Si Roberto es 4m/smas rapido que Jose, "cuanto tiempotardsra en alcanzarlo?

Dos trenes de igual longitud se encuen-tran en rieles paralelos y tardan 45 se-gundos en cruzarse completamente. Sisus velocidades son 54km/h y 18km/h,"cua! es la longitud de los trenes, en me-tros?

~. Dos autos deben partir del mismo punto y~ en la misma direcci6n, pero uno de ellos

se retrasa 15 minutos por fallas tecnicas,mientras que el otro parte a 36 km/h."Cua! es la velocidad a la que debe par-tir el auto retrasado para alcanzar al otroen los siguientes 15 minutos? Expresa turespuesta en m/s.

Un delincuente fuga en una moto y Ie lIe-va una ventaja de 1200m a una patrullaSi la moto es atrapada luego de 5 minu-tos, "cuanto mas rapida es la patrulla?

Dos m6viles estan separados 48km ytardan 3 horas en encontrarse, pero sicon la misma separaci6n el mas velozpretendiese alcanzar aI otro, necesitaria 6horas. "CuaJes la velocidad del m6vil masrapido? Expresa tu repuesta en km/h.

No olvides que paradeterminar el nempode alcance no esnecesario conocercada una de lasvelocidades.

JL

Considera las longi-tudes de los trenescomo el espacio deseparacion.

IJ/Ullt u (us/w ~ (Hs/w oz (OlWOSt (6SSl (S

U!wt (L

IJ/Ullt 9 (9

Ullt 6 (Ssl6l (i'

IJ/Ullt O~ (II (Z

1~1!S(l


:~~,.-----------I~ ~~ELANTOS, ATRASOS Y CALENDARIOS

iRECUERDAI

se esta usandoelmism0 criterioqueempleamosalrestar.

Como:1d - 24h

Dividimos:

121 h lli.!!_1h 5d

X5d + 1h

EL TIEMPO:Es un perametro de medida; segun el sistemainternacional de unidades (SI), su unidad es elsegundo (s), pero tarnbien se puede utilizar :- EIminuto- EI dla

- Lahora Adernas sabemos que:1 minuto = 60 segundos1 hora = 60 minutos1 hora = 3600 segundos1 dia = 24 horas

D i.Cuanto resulta al sumar 3 h 39min 20 scon 5h 28min 45s? Colocamos en formavertical y de maneraordenada:

Resulta: 8h 67min 65s. Ahora fijate que:

65s 60s + 5s => 1min 5sCo/oca los sumandos en forma verti-cal, manteniendo el orden de las uni-dades y subunidades.

D i.Culmto resulta al restar 7h 40min 50s de9h 20min 30s?

Procedemos de igual manera que enel caso anterior, peto esta vez consi-deteremos el criterio de prestar unida-des a la unidad inmediata inferior.

Ordenamos: 9h 1 20min 1 30s -7h i 40min 1 50s

3h ; 39min ;20s +5h 128min 145s8h 167min ;65s

- 67min 60min + 7min => 1h 7minEntonces: 8h (1h 7min)(1 min 5s)

(8 + 1)h (7 + 1)min 5s

Rnalmente obtenemos: 19h 8min 5s 1

En la parte de minutos y segundos notamosque el minuendo es menor que el sustraendo.

Procedemos asl:1h 60nin 1nin 60s--- ~9 h 20 min 20 s = 8h 79min 80s

.1Ahora: 8h 79min 8Os- w

7h 40min 50s1h 39min 30s

Luego, obtenemos: 11h 39min 30s I

II Expresa 436 236 s en unidades de minu-tos, horas y dlas,

Recuerda las equivalencias y usadivisiones sucesivas.

Calculamos la cantidad de minutos dividiendopor 60 (1 min = 60s)

436 236 s 1..,;1 6::,::0:.___ 7270min Dividimos 7270 min por 60 ( 1 h = 60 min)

7270 min l.Q__~121h

Iv ~

Rnalmente: 121h L1..1h@)

~~------------------------ Entonces: 436 236s = I 5d 1h 10min 36s 1 J

Ahora veremos algunos problemas de apncacion relativos a adelantos, atrasos y calendarios.

D Un reloj se adelanta 3 minutos cada hora.Si a las 10:00 a.m. marcaba la hora exac-ta, determina la hora que marcara a las6:00p.m.

Encuentra el adelanto total que tendrae/ re/oj en el tiempo indicado.

EJ Un reloj se atrasa 2 minutos cada 4 horas.Si a las B:OO a.m. el reloj indica la horaexacta, (,cua! es la hora que marcara a las10:00p.m.?

iVamos ...!Intentaloes mU!j faeil

De las 10:00 a.m. a las 6:00 p.m.transcurren Bh.Usamos una regia de tres simple para de-terminar el adelanto total:

Adelanto Tiempo

3min>< 1hx sh

En 8h se adelanta: x = 24min

Luego, marcaral6:24 p.m. I

Un reloj se adelanta 5 minutos cada 3horas. Si a las 10:00 a.m. del 1 del agostoel reloj marcaba la hora exacta, (,cuandovolvera a marcar la hora exacta?

I Para que un re/oj que se adelanta vue/-I ~~:marcar /a hora exacta, terdr que\___,antarse 12h.

DelasB:OOa.m. alas 10:00p.m. transcurren14 horas.Entonces:

Atraso Tiempo

2min>< 4hx 14h"* x= 7min

Luego, el reloj marcara.10:00 - 7 min = 'I 9'-:-=-53'-p-.m---'.1

D Rodrigo nacio en mayo del 2003. Si en el2015 su cumplsanos sera un martes, (,cuales el dia de la semana en el que nacioRodrigo?

Considera: En dos siios consecuti-vos, no bisiestos, /a fechaaumenta un dia.

Cada siete anos e/ diaserfa e/ mismo, de no serpor los anos bisiestos.

Calculamos:Adelanto Tiempo

5min 3h12h = 12 x 60min >< x

x = 432h Marcara la hora exacta dentro

de 432 h 0 18 dias.

Luego, el119 de agosto I.

Del 2003 aI 2015 han transcurrido 12 anos,entonces dividimos 12 por 7.

12 I.!... Coincide con el5 ;..1.)- dia martes.L Dias previos a la

coincidencia.

= juev. vier. sab, dom. lun. mar.~

Resultaria jueves si no fuera porque cadaana bisiesto implica un dla menos y losalios bisiestos son: 2004, 200B Y2012Tres dfas menos:

lun. mar. mier, juev.~

Las 6:00 p.m.equivale a las18:00 h, de estamanera es masrapido obtener eltiempo transcurrido.

" *0* J

IATENCII1NI

Para convertir unida-des usamos:

_ 432 h x ~~~a

l -18 dias J

I Luego, nacio un Ilunes I. J


Las 5:00 p.m.tambien sepuede expresarcomo las 17:00horas.

IATENCUlNI

Un ano bisiestotiene 366 dias yocurre cada 4 anos.

D Determina el resultado de sumar4h 45min 38s con 7h 35min 50s.Resolvemos:

Ordenamos: 4 h : 45 min: 38 s +: :

7 h i 35 min i 50 s11 h i 80min! 88s

Ahora: 80min < > 1h < > 20min88 s < > 1min < > 28 s

Finalmente: 11 h 80 min 88 s(1'h2O;in) (1~s)

Luego: 'I -12--:h-2-1-m-i-n-28-S~1

B l.Cuanto se obtiene aI restar 2h 55min 55sde 9h 18min 11 s?Resolvemos:

Ordenamos: 1h 1minf'\f'\

9 h : 18 min : 11 s _: :

2 h i 55 min i 55 s

Ahora: 8 h : 77 min: 71 s -2 h i 55 min i 55 s6 h i 22 min i 16 s

Luego, resulta: 1 6h 22min 16s

II Un rei oj se adelanta 3 minutos cada 3horas. Si dicho reloj se sincroniza a las5:00 a.m., l.cual es la hora que rnarcara alas 5:00 p.m.?

Resolvemos:

De las 5 de la maliana a las 5 de latarde han trascurrido 12 horas. ~

Usamos una regia de tres para determi-nar el adelanto total.

Adelanto Tiempo3min 3hx X 12h "'" x% 12min

Luego,marcara: 1 5:12p.m. 1

D Un reloj se atrasa 7 minutos cada 4 horas.Si a las 7:00 a.m. el reloi marco la hora

Resolvemos:

De las 7 de la manana a las 11 de la no-che transcurren 16 horas.

Usamos una regia de tres simple paradeterminar el atraso total.

Atraso Tiempo7min X 4hx 16h = x= 28min

Luego, el rei oj rnarcara;11: 00 - 28 min = 1'1-0-:3-2-p.-m-'.I

Un reioj se adelanta5 minutos cada 6 horas.Si hoy a las 10: 00 a. m. el reloj marcabala hora exacta, l.dentro de cuantos dias elreloj volvera a indicar la hora exacta?

Resolvemos:

Para que el reloj vuelva a marcar la horaexacta debera adelantarse 12 h.

Adelanto tiempo5min 6h

12h12x60min X xx= 12 x 60 min x 6h "'" x= 864h

5min Ahora convertimos a dias:

864h x 1 dia = 36 dias24h

Finalmente, dentro de 136 dias I.

Raul nacic en el ano 1995. Si en el 2010su cumplealios fue un dia martes, halla eldia en el cual nacio Raul.

Resolvemos:

Mos transcurridos: 2010 - 1995 = 15 aliosCada siete alios debio caer martes:

15 LZ._2

(1":J

Hay que retroceder un dia:lunes martes'---.--/

Pero como entre 1995 y 2010 hay 4 alios ~, bisiestos, retrocedemos 4 dias mas: . '

juev. vier. sab. dom. lun.,

exacta, l.cuaJ es la hora que rnarcara alas 11:00 p.m.?

"---" "---" "---" "---"

= Naci6 un dia 1 jueves I.

D Calcula el resultado de sumar:3 h 51 min 17 s y 9 h 37 min 22 s

Rpta.: 13h 28min 39sII Determina el resultado de sumar:

4 h 18 min 25 s y 11 h 35 min 52 s

Rpta.: 15h 54mln 17s

zcuando volvera a indicar la hora exacta,nuevamente?

mRpta.: 20 de mayo

Se tiene 2 relojes, uno se adelanta 5 mi-nutos cada 3 horas y el otro se atrasa 4minutos cada 3 horas. Si se sincronizanambos relojes, l.aI cabo de cuantos diasambos relojes marcaran la misma hora?

Rpta.: 10 diasII Si: A-10h22min15sB ~ 4h 45min 38s,

calcula: A-B.Un reloj se atrasa 4 minutos por hora yotro se adelanta 2 minutos por hora. Sihoy los dos relojes se sincronizan, l.den-tro de cuantos dfas los relojes rnarcaranla misma hora?

Rpta.: 5h 36min 37s

A ~ 2 h 25 min 35 sB ~ 8h 10min 15sC ~ 3h 51 min 55s,

determina: A + B - C.

D Si:Rpta.: 5 dias

Moises naci6 en el ano 1981. Si en el 2012su cumpleanos fue un dia lunes, l.cuaJ fueel dia de la semana en el que naci6?

Rpta.: Jueves

Un reloj se atrasa 5 minutos cada 2 horasy media. Si el reloj se sincroniza un lu-nes a las 10:00 a.m., l.cuaJ es la hora quemarcara el martes a las 9:00 p.m.?

Rpta.: 7:50 p.m.

Un reloj se adelanta 3 minutos cada 2horas. Si se sincroniz6 elide mayo alas 8:00 a.m., l.cuaJ es el dia en el quevolvera a marcar la hora correcta?

Rpta.: 21 de mayo

Un reloj se atrasa 6 minutos cada 3 horas.Si se sincroniz6 un jueves a las 6:00 p.m.,l.cuaJ sera el dia y la hora a la que volveraa marcar la hora correcta?

Rpta.: Viernes a las 6:00 p.m.

Sim6n tiene 26 anos de casado y su ani-versario en el 2011 fue el viemes 1 demayo. l.CuaJ fue el dia de la semana en elque se cas6 Sim6n?

Rpta.: 6h 43min 55sUn reIoj se adelanta 4 minutos cada 3horas. Si a las 8:30a.m. marc6 la horaexacta, indica la hora que marcara a las11 :30p.m.

DRpta.: 11:50p.m.

Com pre un reloj a las 11 :40 a.m. y luegome di cuenta de que el relo] se adelanta30s cada 1,5h. Si cuando 10com pre mar-caba la hora exacta, l.cuaJ es la hora quemarcara a las 8:40p.m.?

Rpta.: 8:43 p.m.

Un reloj se atrasa 2 minutos cada 4 horas.Si a las 6:30a.m. el relo] marc61a horaexacta, l.cuaJ es la hora que mercara alas 6:30 p.m.?

D

Rpta.: 6:24p.m.

Un reIoj se atrasa 3 minutos cada 2horas. Si a las 5:00 a.m. marc6 la horacorrecta, l.cual es la hora que rnarcara alas 7:00p.m.?

Rpta.: 6:39p.m.

Un relo] se atrasa 6 minutos cada 5 horas.Si hoy a las 8:00 a.m. marc6 la horaexacta, l.dentro de cuantos dfas volveraa marcar la hora exacta?

Rpta.: Lunes

Un futbolista decide retirarse, despussde haber jugado desde 1992, el mismodia en el que inicio su carrera. Si su ul-timo partido 10jug6 el viemes 1 de juniodel 2012, hall a el dla en el cual empez6

Rpta.: 25 dfas

Se tiene un reloj que se adelanta 5 mi-

EI adelanto:30s cada 1,5h

se puede expresarcomo:

1min cada 3h

Para que ambosrelojes marquenla misma nora, ladiferencia de lashoras que senalandebe ser 12.

L.._- ,.J

nutos caoa ;j noras. ::'1 noy, ~ ae mayo,marc6 la hora exacta a las to.oo a.rn.,


u

Recuerda las equi-valencias:1 min 60s1h < > 60 minlh 3600s

PISTA 5

Recuerda que paraque vuetva a marcarla nora exacta debeadelanlarse 12h.

'"''''\,.tWT ....'U.

Rpta.: Lunes

Determina el resultado de sumar:5h 34 min 32s y 8h 28 min 34s.

(iResuelve aquil )

{:Si: A-10h 15min 18s

B _7h 35 min 19s,

determina: A-B.

Susana Ie cornpro un relo] a su novioy no se percato de que este relo] seadelantaba 7 minutos cada 3 horas. Sihoy a las 6:00 a.m. sus relojes estabansincronizados y quedaron en verse alas 9:00p.m., icon cuantos minutosde adelanto, segun su reloj, negara elnovio?

Carlos note que su rslo] se atrasa 3 mincada 4 horas. Si a las 7: 00 a.m. el relojmarcaba la hora exacta y el tiene que sa-lir de su casa a las 7: 00 p.m., pues tie-ne una cita con su medico, ia que horadeberia saJirde su casa, segun su relojpara negar puntuaJmente a la cita?

I-

Un reloj se adelanta 3 minutos cada 2horas. Si hoy a las 11: 00 a.m. el relo]marc61a hora exacta, identro de cuantosdfas volvera a marcar la hora exacta?

Lucia compr6 un reloj y luego note que elrelo] se atrasaba 8 minutos cada mediahora. Si hoy a las 5: 00 a.m. el relo] marcola hora exacta, identro de cuantas horasvolvera a marcar la hora exacta?

l.__ _....J l...._ J

Resolver- pr-oi:Jlemas nos hacesentir- i:Jien !J nos motiva

a r-esolver- nuevos pr-oi:Jlemas.

E Un reloj se atrasa 5 minutos cada 3- horas. Si dicho reloj se sincroniza el 8

de diciembre a las 10:00 a.m., i.en quefecha volvera a marcar la hora exacta?

r:t Un reloj se adelanta 6 minutos cada 5... horas. Si dicho reloj se sincroniza un 25

de febrero a las 12: 00, len que fechavolvera a marcar la hora exacta?

Considera un ano bisiesto.

Se tiene 2 relojes, uno se atrasa 3 rninu-tos cada 4 horas y el otro se adelanta 2minutos cada 4 horas. Si hoy se sincroni-zaron, ldentro de cuantos dias votverana marcar la hora exacta?

I Marfa tiene 2 relojes y ella sabe que unose atrasa 5 minutos cada 3 horas y el otrose adelanta 4 minutos cada 3 horas. Siella los sincroniza el4 de julio a las 12:00,len que fecha volvera a indicar la horaexacta?

Roberto naci6 el 24 de junio de 1990. Si~ en el 2010 celebr6 su cumpleanos un dia

viemes, i.que dla de la semana naci6?

Marlene naci6 el 8 de octubre de 1996. Siella naci6 un dia lunes, lque dia de la se-mana festej6 su cumpleanos en el 2012?

En un ana bisiesto elmes de febrero tiene29 dfas.

PISTA 11

Cada 7 alios, deno existir los anosbisiestos, deberfacoincidir el mismodfa de la semanacon la fech a.

06u!woa (Usaum (ll

O!ln!ap ~ l (OlS1!JP ~l (S

OZJeW ap II (SaJqwa!:l!p ap sz (L

4~~ (9S1!JP oz (~

'urd l~:9 (~

u!W~ (sS~ U!WS 4l (lsa 111111(' 11101 (I

l _....Jl...__ _...J V83nUdWO:J. . . . .


Este artificio soloes para numerosde dos cifras.

-- .:. --- ...,V ...,.iI .... Cir"g.IATENCIDN!

Acabo de explicaraqul las razonesdel artificio que enform a pracuca seaplica ast sumamosel prim er numero yla cifra de unidadesdel segundo numero.Este resultado semultiplica por 10(agregando un cero)y Ie agregamosfinalmente elproducto de lasunidades de ambosnumeros.iF~ .~Pll"illn'

MULTIPLICACION DE NUMEROS QUE EMPIEZAN EN UNO

Multiplica 1a x 1b.Descomponiendo polinomicernente: (10+ a)(10 + b)

Operando y arreglando:

Otambiem:

Ejemplo:

1. Un salon de clase tiene 19 metros de lar-go y 13 metros de ancho.Se desea colocar un tapizon que cuestaSl 10 el metro cuadrado.i.Cuanto dinero necesitamos para realizartal operacion?

[(10+a)+b)10+ab

[1a + b)10 + ab

17x18= [17+8)10+56=306

Resolvemos:

Calculamos menta/mente el area de la re-gion rectangular:

19 x13 = [19+3)10+27

= 247m2

Respondemos:Para realizar el tapizado necesitamos:

247 x 10 = I Sl2470 I

Un colegio tiene una capacidaddeterminada de alumnos de primariay secundaria. Si se sabe que hay 18aulas con 15 carpetas en cada una deelias, i.cuantos alumnos hay en primariasabiendo que son la mitad del total?

Un vendedor de relojes gana $ 18diariamente. Si en 15 dfas obtuvo el dinerosuficiente para comprar un televisor ysun sobraron $ 30, zcuanto Ie coste eltelevisor?

En una pesquera procesan 160 toneladasde pescado semanalmente. Si trabajarondurante 14 semanas, zcuantas toneladasse procesaron?

Para colocar grama en un jardfn de formarectangular se cuentan con 180 metroscuadrados de grama. Si las dimensionesde dicho jardfn son de 14m de largopor 12m de ancho, i.cuantos metroscuadrados de grama sobraran?

Una librerfa tiene en su alrnacen 17 ca-jas con 18 archivadores en cada una,los cuales se deb en transportar a otroalrnacen en un carnion, pero aI subirlossolo se pudo contabilizar 270. i.Cuantosarchivadores se quedaron en el primeralmacen?

A los cines STU asisten diariamente 1300personas. Si las entradas cuestan Sf. 10,zcuanto recauda en 16 dfas?

iCompruebalo!

Efeclwr operaciones mentaJmente desarrollanlRstras habilidades para el calcUo.

MULTIPLICACION DE NUMEROS QUE TERMINAN EN UNO

8. Un comerciante compra, aI por mayor, 81camisas a Sf. 31 cada una. Si aI venderlasdesea ganar Sf. 1000, (,cua! sera el total arecaudar luego de vender to do ellote?

Resolvemos:

Para saber cuanto invirtio aI comprar ca-misas, multiplicamos menta/mente81 x 31, asf:

1. Cifra de unidades del resultado: 1

2. Cifra de decenas del resultado: sumamoslas decenas de los factores y escribimossolo la cifra de la izquierda (lIevamos lade la derecha).

3. Cifras de centenas yfo millares: muttiplica-mos las decenas de los factores y Ie agre-gamos 10 que "lievamos' en la operadonanterior: 81 x 31 - Sf. 2511.

Respondemos:

Un grupo de estudiantes recauda Sf. 5500para su viaje de promocion. EI gasto porpersona es de Sf. 61, destin ados a los pa-sajes, comida y estadfa. Si en total son 91alumnos, zcusnto dinero les falta reunir?

Un banco realiza prestamos hipoteceriospara financiar la adquisiclon de viviendasy paga el 91 % del valor del inmueble. Lavivienda que Carlos quiere comprar cues-ta $ 8100. ('Cua! sera el monto del dineroprestado por el banco?

Un distribuidor de artfculos de vidrio ven-dio 41 cajas de copas que contienen 81copas cada una. Si durante el transportede dicha mercaderfa se rompieron 121 co-

. . . ..

Antonio y Carlos realizan una caminatadiana por separado. EI primero la realizaen 21 minutos y el ritmo de su corazon esde 91 latidos por minuto. EI segundo lahace en 31 minutos y su corazon va a 81latidos por minuto. i.Quien tuvo el mayornumero de latidos aI finalizar la caminata?

Una fabrica de chocolates reporta su pro-ducto en 21 tiendas de Uma. Si por tiendadeja 41 cajas de chocolates y el resto desu produceion va a provincias, i.a cuantoequivale 10que se lIeva a provincias. si suproduccion total es de 900 cajas de cho-colates?

Una botella contiene 1.1 litros de gaseo-sa. En un cemion se transportan 2100 deestas botellas. i.Cuantos litros de gas eo-sa se transportan?

iCUIDADO!

Este artificio seaplica solo paramlmeros de doscifras.

'71 DESAFfO

18 x 14 19x12

18 x 17 16 x 13

15 x 1113 x 19

11 x 18 71 x 31 91 x 51

61 x 41 81 x 71

pas, zcuentas lIegaron en ouenas conor-ciones a su destino?


i U~_A_N_G_U_L_O_S_E_N_T_R_E_M_A_N_E_C_IL_L_A_s 1

iRECUERDAI

EI horario estarepresentado porla manecilla mascorta.

EI minutero estarepresentado porla manecilla maslarga.

iATENCIONI

EI arco recorridopor la manecilla delhorario correspon-diente a una horamide 30.rm

En este tema estudiaremos la relacion quehay entre las manecillas de un reloj (horarioy minutero) con sus anqulos correspondien-tes.

Analicemos el movimiento de las manecillas:

12

8 horario recorre un arco de 30 en cada hora,entonces recorre 300/hora.

8 minutero recorre 360 en cada hora, enton-ces recorre 360 /hora.

En minutos:

- Horario: 300/60min -(~pmin

- Minutero: 3600/60min - eo/min

De 10 anterior conduimos que: en un minuto elhorario avanza (tf y el minutero avanza 6".

~ En x minutos la diferencia de grados sera:

D Determina el angulo que tormaran lasmanecillas del reloj a las 12: 10.

Dibuja el reloj, representa la hora indicaday luego analiza el angulo de giro en cadamanecilla.

D Calcula el {mgulo que tormaran las manecillasdel reloj a las 4: 40.

Debes tenet en cueme que el angulo degiro del minutero se mide desde las 12,mientras que el angulo de giro del horariosa mide a partir de la hora indicada.

Representamos la hora en un grafteo y luegoanalizamos eI angulo de giro de cada manecilla:

Para 10 minutos, giraron:

Minutero: 60Horario: 5

Lueqo, forman: (1 = 60 - 5 => (1 = 1550I

Representamos la hora:

l \__/J ......... :::f' _ ..... _. \""~Jx = 40 => 240 - 120 + 20 + (X~ ~J

11 Entre las 7 y las 8, la que hora las manecillasdel reloj tormaran un angulo de 34?

Tomllmos como reterencie une bore ini-ciel y de IIhi buscemos III bore pedide.

iVamos ... 1Tii puedes

D Entre las 4 y las 5, la que hora las maneci-lias del reloj forrnaran un angulo de 90 porsegunda vez?

Se formllrs un sngulo por segundll vezcuendo et minutero pase III borerio.

---) Un angulo de 90 por primera vez:

1@1112 129 3

-,8 '4.

7 6 5

" . \2J .-

Determina el angulo en la hora inicial, en estecaso a las 7:00.

1~'"

Ahora, de la condici6n:

(~r+ [210 - (6X)] - 34x -32

Formaran 34 alasI7:321.

Un angulo de 90 por segunda vez:

1~

9

.......... Del gratico y la condici6n:

(6x) - 90 + (~r+ 120x - 38.1. min

11

Luego, sera a las 14: 38 1~ ,.

D Entre las 8 y las 9, la que hora las manecillasdel reloj determinaran un angulo de 180?

IQue fadll ...Proudemos como enlos cases a nteriore s.

Del enunciado:

Del grilfico: (6x) - 60 + (~r

~ - 30(7)~ _ 210

.(6x)

3

'lCT,2

l. iRECUEROAI

EI horario cada horagira 30, se deducepues que a las 4:00la medida del anguloes:

l4(30) _ 120

Dos angulosopuestos por elverlice lien en lamisma medida.

x _ 10 1011

Entonces, sera a las I 8: 10 ~~ I


10BSERVACU)N!

En cada nora,los anqulos querecorren el horarioy el minuteroestan en larelaci6n de 1 a 12,respectivam ente,

Las manecillas delreloj tormaran 70por segunda vezcu ando el minuteropase al horario.

D Determina el angulo que forman las rna-necillas del reloj a las 3: 30.Resolvemos:

Hacemos un grafico para representar lahora y luego determinar el angulo. ~?-

Del grafico y para 11 1~

X=30min:(30)0 ~(BbY! 2.~!l~X.180=90+ - +a a. x= 30

Luego, sera a las 18: 30 I.

i.A que hora, entre las 6 y las 7, las mane-cillas del reloj determinan un angulo de700 por segunda veZ?

";-

Resolvemos:

Por 1: vez: Por 2: vez:

11 12 1.~ 10 i 2

O~'8 l : 4 (6x)': 5.:~(ID'

Del 2. grafico:

(6Xt = 180 + (~r+ 70

\"&./5x-45- 11

Luego, a las 16: 451~ I

Entre las 8 y las 9, l.a que hora las mane-cillas del reloj determinan un angulo de86?

l.Cual es la medida del angulo que formanlas manecillas del ralo] a las 8:20 arn.? ~

Rpta.: 130

Determina el angulo que forman las ma-necillas del relo] a las 12: 24.

Rpta.: 132

Calcula el angulo que forman las maneci-lias del reloj a las 11 :52.

Rpta.: 440

l.Cuai es la medida del angulo que for-man las manecillas del reloj a las 8: 12?

Rpta.: 1740

l.A que hora, entre las 2 y las 3, las mane-cillas del reloj formaran un angulo de 38"?

Rpta.: 2:04

l.A que hora, entre las 4 y las 5, las mane-cillas del reloj formaran un angulo de 43?

Rpta.: 4:14

Entre las 6 y las 7, l.a que hora las mane-cillas del reloj forman un angulo de 15?

Rpta.: 6:30

Entre las 3 y las 4, l.a que hora las mane-cillas del reloj torrnaran un angulo de 53por segunda vez?

Rpta.: 3:26

Entre las 4 y las 5, l.a que hora las mane-cillas del reloj forman un angulo de 450por segunda vez?

Rpta.: 4:30

I l.A que hera, entre las 8 y las 9, las ma-necillas del reloj forman un angulo de 3SOpor segunda vez?

Rpta.: 8:50

l.A que hora, entre las ioy las 11, las ma-necillas del relo] forman un angulo de 190por segunda vez?

Rpta.: 10:58

Entre las 7 y las 8, l.a que hora las mane-cillas del reloj forman un angulo de 90por primera y segunda vez, respectiva-t"Il"U'\f"\t,,?

Entre las 9 y las 10, l.a que hora las rna-necillas del reloj forman un angulo de1800?

Rpta.: 9: 16 _i_11

Despuss de las 5, l.a que hora las mane-cillas del reloj tormaren por primera vezun angulo de 18O?

Rpta.: 6:00

lA que hora, entre las 3 y las 4, el menorangulo formado por las manecillas del re-loj sera la octava parte del mayor?

Rpta.: 3:9 /1

Entre las 6 y las 7, la que hora la retacionentre el menor y el mayor angulo for-mado por las manecillas del reloj serade 4 a 5?

Rpta.: 6:31~

Laura salio de su casa entre las 6 y las7 de la noche, cuando las manecillasdel reloj formaban un angulo de 30. Sesupo que regreso entre las lOy las 11 dela misma noche, cuando las manecillasformaban un angulo recto. lCuanto tiem-po estuvo tuera de casa?

2Rpta.: 3h 38rr min

Mauricio sale a trabajar entre las 9 y lOdela manana, cuando las manecillas del re-loj se encuentran superpuestas, y regre-sa entre las 8 y las 9 de la noche, cuandolas manecillas del reloj se encuentran enprolonqacion. lCuanto tiempo permane-ce Mauricio tuera de casa?

Rpta.: 10h 21191 min

lA que hora, entre las 5 y las 6 de la tar-de, las manecillas del reloj se superpo-nen?

3Rpta.: 5:27rr p.m.

____ ; A ..... J.. .............. __ t ...... 1__ .. n .* 1_ ......... ..J_ 1_

rw1q,lI!;iP1Lasmanecillasdelrelojsiempredeterminan2angulos,perosedacomorespuestaelmenor,amenosqueespecifiqueny pidanel angulomayor.

l J

Cuandono seespe-cificalaposici6ndelasmanecillas,sedebeentenderqueesel cinguloforma-doporprimeravez.

PlSTA 18

Lasmanecillasdelrelolestanenpro-

"'..,IUg:

Rpta.: 7:21191

Rpta.: 7:54 ;1 c,,1"\ '1UC IIVIO, ~IIU'CI IO~ IV Y IQ.., I I U'CI 10

manana, las manecillas del reloj estan enprolongaci6n?

longaci6ncuandoformanunangulode 180.


En 1 hora,elhorariogiraun angulode30 mientrasque,enel mismotiempo,elminuterogirauncingulode360.

Cuandono seespe-cifica ta posiciondelasmanecillas,seentiendequeeselcinguloqueseformaporprimeravez.

Determina la medida del angulo que for-man las manecillas del reloj a las 5:20.

Halla la medida del angulo que forman~ las manecillas del reloj a las 4: 36.

Calcula la medida del angulo que formanlas manecillas del reloj a las 2: 08.

3

Entre las 5 y las 6, (.a que hora las ma-l- necillas del reloj tormeran un angulo de

84?

('A que hora, entre las 6 y las 7, las rna-necillas del reloj tormaren un angulo de48?

('A que hora, entre las 2 y las 3, las mane-cillas del reloj tormaran un angulo de SO?

l..__...J r....'

t:mplear con frec:uencia10aprenado for1

oSL (l.OV (l


1. IPRODUCTOSINTERESANTES!

En cada caso, escribe el producto.iTantos

1 x 1 = unos!11 x 11 =

111 x 111 =1111 x 1111 =

111 ... 1 x 111 ... 1 =t.... 9 cifras C/U _}

2. PALITOS NUMERICOS

Cambia de lugar solo dos palitos para obtener unaigualdad correcta.

3. iLAS PORCIONES DE PAN!

Skanito, Maite y Dalma fueron de excursion y elultimo dia, Skanito se qusdo sin provisiones, por10 que Maite aporto 3 panes y Dalma 5 panes,para que sean repartidos en partes iguales,entre los tres.

Si en cornpensaoion Skanito dio S/8 paraque se repartieran Maite y Oalma, 6cuanto Iecorresponde a cada una?

4. CIUDADES Y CARRETERAS

Cada cfrculo representa una ciudad y el numero

escrito en el, indica la cantidad de carreteras quede ahi salen. Las carreteras van solo en lineas0 0 0 rectas, horizontales 0 verticales, sin cruzarse.

ITt'"ozolos

0 (2) wrrerel'os!

0 0e 0 0


II~"'_Acumulativo parcialD Dos ciclistas se encuentran en losextremos de una pista recta de 1200m.

Si partieran al mismo tiempo, endirecciones opuestas, se encontrarianen 15 minutos. Si partieran al mismotiempo, en la misma direcci6n, el masveloz alcanzaria al otro en 20 minutos.i,CuaJ es la velocidad del ciclista masveloz?

a) 70 m/minc) 40 m/mine) 35 m/min

b) 60m/mind) 18 m/min

D i,A que hora, entre las 8 y las 9, lasmanecillas del reloj determinaran unangulo de 75?

a) 8:20d) 8:36

b) 8:28e) 8:40

c) 8:30

II i,A que hora, entre las 9 y las 10, lasmanecillas del reloj determinan unangulo de 180?

a)9:137/11c) 9: 12 8/11e)9:164/11

b) 9:119/11d) 9:228/11

D Dos m6viles, distantes 10 km, seencuentran en una pista recta. Par-ten al mismo tiempo y en la mismadirecci6n con velocidades de 20 y18km/h. i,AI cabo de cuanto tiempoestaran separados 6 km, por segun-da vez?

a) 6h b) 7h c) 8h d) 9h e) 10h

EI 1 de mayo del ario 2009 fue vier-nes. En el ario 1991, i,que dia de lasemana coincidi6 con esta fecha?

a) Lunesd) Jueves

b) Martes c) Miercolese) Viernes

II i,A que hora, entre las 4 y las 5, lasmanecillas del reloj dsterminaran unangulo de 180?

a) 4:36 4/11c) 4:52 8/11

b) 4:428/11d) 4:537/11

po, en la misma direcci6n, con velo-cidades de 30km/h y 24km/h. i,AIcabo de euanto tiempo el mas velozatcanzara al mas lento?

a) 1h b) 2h c) 3h d) 4h e) 5h

III EI 1 de junio de 1996 fue sabado.i,Que dia de la semana fue el 1 dejunio de12010?

a) Sabado b) Lunes c) Domingod) Jueves e) Martes

i,A que hora, entre la 1 y las 2, lasmanecillas del reloj determinaran unangulo recto?

a) 1 :182/11c) 1:137/11e) 1 :21 9/11

b) 1 :055/11d)1:246/11

Dos atletas se encuentran en los ex-tremos de una pista recta de 3600 m.Parten al mismo tiempo, en direccio-nes opuestas, con velocidades de8m/s y 12m/s. i.AI cabo de cuantossegundos la distancia entre los atle-tas sera de 400 m, por segunda vez?

a) 180 b) 190 c) 200 d) 220 e) 240

m Un reloj se adelanta 5 minutos cada4 horas. i.AI cabo de euantos dias elreloj marcara la hora exacta, luegode sincronizarlo?

a) 20 dias b) 22 dias c) 24 diasd) 21 dias e) 30 dias

i.A que hora, entre las 5 y las 6, lasmanecillas del reloj determinaran unangulo de 92, por segunda vez?

a) 5:40d) 5:43

b) 5:41e) 5:44

c) 5:42

Dos atletas se encuentran en los ex-tremos de una pista recta de 3200 m.Parten al mismo tiempo, uno al en-cuentro del 011'0, con velocidades de7m/s y 9m/s. i.AI cabo de cuantotiempo la distancia que los separa

m Un reloj se adelanta 2 minutos cada3 horas. Luego de sincronizaJio, i.aIcabo de cuantos dias el rei oj rnarcarala hora exacta?

a) 45 dias b) 32 elias e) 35 eliasd) 36 dias e) 40 dias

i.A que hora, entre las 4 y las 5, lasmanecillas del reloj determinarim unangulo de 34, por segunda vez?

a) 4:20d) 4:32

b) 4:26e) 4:40

c) 4:28

Dos atletas se encuentran en losextremos de una pista recta de2800 m. Parten al mismo tiempo, unoaI encuentro del 011'0, con velocida-des de 18m/s y 10m/s. i.AI cabo decuantos segundos los atletas se en-confraran?

a) 80sd) 95s

b) 85se) 100s

c) 90s

II Un reloj se atrasa 3 minutos cada 2horas. Se sincroniza a las 9:00 a.m.i.Que hora marcara a las 11 :00 p.m.?

a) 10:30 p.m.c) 10:38 p.m.e) 10:41 p.m.

b) 10:36 p.m.d) 10:39p.m.

i.A que hora, entre las 3 y las 4, lasmanecillas del reloj deterrninaran unangulo de 130?

a) 3:32d) 3:40

b) 3:34e) 3:48

c) 3:36

Un reloj se adelanta 7 minutos cada4 horas. Hace 16 horas se puso enfuncionamiento y ahora marca las9:16 p.m. i.CuiIJ es la hora exacta?

a) 8:40 p.m.c) 8:08p.m.e) 8:52 p.m.

b) 8:44p.m.d) 8:48p.m.

i.A que hora, entre las 2 y las 3, lasmanecillas del reloj determinaran un

D~) ..,..'-'.,.01 I I

Dos m6viles que se encuentran dis-tantes 18 km, parten al mismo tiem-

sera de solo 400 m?

a) 170 sd) 190 s

b) 175 se) 200 s

cJ 180 s

angulo de 1;jlj"!

a) 2:30d) 2:36

b) 2:32e) 2:40

cJ 2:34

D Un ciclista pensaba: 'Si mi velocidadfuera de 10 km/h lIegaria a mi destinea las 13 horas, pero si mi velocidadfuera de 15 km/h lIegaria a mi desti-no a las 11 horas". i.Cual debe ser lavelocidad del ciclista para que puedalIegar a su destine a las 12 horas?

a) 12,5km/hc) 10km/he) 13,5km/h

b) 12km/hd) 13km/h

D Un reloj se atrasa 3 minutos cada 2horas. Si se sincroniza a las 8: 00 a.m.,i.que hora marcara el reloj cuando lahora exacta sea las 10:00 p.m.?

a) 9:30 p.m.c) 9:39 p.m.e) 9:40 p.m.

b) 9:31 p.m.d) 9:20p.m.

B i.A que hora, entre las 6 y las 7, lasmanecillas del reloj formaran un an-gulo de 90', por segunda vez?

a) 6:42 5/11cJ 6:36 4/11e)6:491/11

b) 6:41 9/11d) 6:47 3/11

D Una embarcaci6n con motor fuerade borda desarrolla una velocidadde 50 km/h en aguas tranquilas. AIrealizar un viaje de ida y vuelta a 10largo de un rio, cuyas aguas tienenuna velocidad de 10 km/h, i.cual esla velocidad promedio del viaje deida y vuelta?

a) 50 km/h b) 48 km/h c) 44 km/hd) 42 km/h e) 36 km/h

D Un reloj se atrasa 5 minutos cada 6horas. i.AI cabo de cuantos dlas elreloj volvera a marcar la hora exactaluego de sincronizarlo?

a) 30 dias b) 32 dias c) 36 diasd) 40 dias e) 45 dias

D i.A que hora, entre las 7 y las 8, lasmanecillas del reloj determinan unangulo de 90', por segunda vez?

a) 7:43 7/11c) 7:48 2/11

b) 7:451/11d) 7:42 8/11

Acumulativo parcialbala en eI blanco. Si la velocidad dela bala es de 60m/s y la velocidaddel sonido es de 340 mis, calcula ladistancia desde el punto de disparohasta el blanco.

b) 144me) 288m

a) 112md) 204m

c) 180m

Un reloj se adelanta 5 minutos cada 3horas. Si se sincronizaa las 6:00 a.m.,i.que hora marcara a las 9:00 p.m.?

a) 9:15p.m.c) 7:35 p.m.e) 9:25p.m.

b) 8:20 p.m.d) 8:35p.m.

Un rei oj se adelanta 10 minutos cada3 horas. i.Luego de euantos dias elrei oj volvera a marcar la hora exacta?

a) 9 dias b) 12 dias cJ 15 diasd) 18 dias e) 20 dias

Dos m6viles se encuentran en unpunto A. EI primero parte a las9:00 a.m. con una velocidad cons-tante de 20 km/h y 3 horas despuesparte el otro a su alcance con una ve-locidad constante de 30km/h. i.A quedistancia del punto A, el m6vil masveloz alcanzara al otro?

a) 100km b) 120km c) 140kmd) 160km e) 180km

m Hace 16 horas que esta funcionandoun reloj que se atrasa 5 minutos cada2 horas. Si el reloj marca las 10:32,i.cual es la hora exacta?

a) 9:52d) 11: 10

b) 9:58e) 12:00

c)11:12

m i.A que hora, entre la 1 y las 2, lasmanecillas del reloj astaran en senti-dos opuestos?

a) 1:346/11c) 1:428/11e) 1 :382/11

b) 1:391/11d) 1:28 2/11

Dos m6viles se encuentran se-parados 24km. Si partieran almismo tiempo en direccionesopuestas, se en contrarian en 40

a) 20km/h b) 22km/h c) 24km/hd) 28 km/h e) 30 km/h

IIMariela naci6 el dia 7 de abriJ del afio19n. Si el7 de abril del ario 2007 fuesabado, i.que dia de la semana naci6Mariela?

a) Lunes b) Martes c) Juevesd) Sabado e) Domingo

Un avi6n desarrolla una velocidaden tierra aproximada de 144 km/h.i.AI cabo de cuanto tiempo recorrera200m?

a) 1sd) 4s

b) 2se) 5s

c) 3s

Un reloj malogrado se adelanta 7 mi-nutos cada 3 horas. Si hace 2 diasque se puso en funcionamiento yahora marca las 8:42 p.m., i.cuaJ esla hora exacta?

a) 6:50p.m.c) 7:42p.m.e) 10:12 p.m.

b) 7:52 p.m.d) 8:02p.m.

m En el ano 2010, un empleado cele-brara sus 14 anos de labor en unaempresa. Esta celebraci6n la reali-zara el sabado 1 de julio del 2010.i.CuaJ fue el dia de la semana en elcual iniei6 sus labores?

a) Lunesd) Jueves

b) Martes c) Miercolese) Viemes

i.Que hora marca el reloj?

a) 2:33b) 2:35c) 2:32d) 2:34e) 2:31

Un reloj se adelanta 6 minutos cadahora y cuarto, mientras que otro seatrasa 2 minutos cada cuarto dehora. Si ambos se sincronizan unmartes a las 7:00 p.m., i.que dia y aque hora volveran a marcar la horacorrecta?

a) Jueves 3:15 a.m.&..\ .,.I")n _

e} I .o+ 011 I minutes. ::>1 parneran en ra mrs-ma direcci6n, el mas veloz alcan-zaria al otro en 2 horas.

II Son mas de las 5 p.m. sin ser las 6 Ip.m.; pero desde las 4p.m. hasta

~~~~~~~~~~~~~~~

hora, mientras que el segundo seadelanta 40 segundos cada mediahora. i.Cual es la diferencia de tiem-po entre estos relojes a las 9 p.m.?

d) 25s e) 30s

a) 161d) 161,S-

b) 160,5e) 162,5

c) 162,75

D Despues de las 3 p.m., i.a que horael numero de minutos transcurridosdesde las 3 p.m. es igual al nurnerode grados que adelanta el minutero aJhorario?

a) 3:19p.m.c) 3:24p.m.e) 3:30p.m.

b) 3:20p.m.d) 3:25p.m.

D Cuando un auto, que se dirige haciaun muro alto, se encuentra a 170 mde este, toca el elaxon. Si su velo-cidad es de 72 m/s y la del sonido340 mis, i.luego de cuanto tiempo elchofer oye el eco?

a) S5 s b) S5 s c) ~ s206 103 103

d) ..!!Z. s206

e) 75 s103

D Estefani, al lIegar a casa de su tia,observe en su reloj que el horario es-taba entre el 5 y 6, y el min utero entreel 9 y 10. Cuando parte de regreso asu casa las man ecillas habian inter-cambiado de posiciones, entoncesEstefani lIego a casa de su tia a las:

a) 5h 47min b) 5h 46 15:3min

d) 5h 47 ?:3minc) 5h 46 min

e) 5h 45min

D Determina el angulo que forman lasmanecillas de un reloj a las S:50.a) 25,5d) 25

b) 35e) 30,5

c) 27,5

D i.A que hora, entre las 9 y 10 am., lasagujas de un raloj se superponen?1 2a) 9:4911 a.m. b) 9:4S TI a.m.3c) 9: 47 TI a.m.

e) 9:49a.m.

d) 9:45a.m.

II Un reloj se adelanta 1,5 minutoscada cuarto de hora. Si ahora estamarcando las 3:45p.m. siendo en

Acumulativo totalDos trenes, uno de SOm y otro de60 m de longitud, van aJ encuentro,en neles paralelos con velocidadesde 60 m/s y 40 tnl, respectivamente.Si estan distanciados 600 m, i.dentrode cuanto tiempo se cruzaran total-mente?

a) 6,5s b) 6,4s c) 6,Ss d) 7s e) 7,4s

Indica a que hora despues de las 2 seforma un angulo de 90 por primera

Determina la hora que marca el relo].

a) 1 h 41 9min

b) 1 h 42;min

c) 1 h 43~min

d) 1h 431min

e) 1 h 429min

vez.

a) 2h 251~ min

c) 2h 27~min

e) falta informaciOn

D12

6

b) 2h 25f1 min

d) 2h 27 1~ min

3

Un bus viaja de una ciudad M a otraciudad N, distantes X kilOmetros.Si en el trayecto hace Y paradas,las cuales demoran Z minutos cadauna, determina al tiempo que tardaen realizar dicho viaje si avanza a SOkm/h.

a) (fa + YZ)hc) (io+XZ)h

e) (3X + 4YZ)h240

b) ra~+ X)hd) (4X + 3YZ)h

240

Determina a que hera, entre las 7 ylas S, las manecillas de un reloj for-man un angulo de 155.

a) 7h 10min b) 7h simin

c) 7h 20 min d) 7h stmin

II

raloj forman 40, i.cuantos gradoshabra recorrido la punta del minuterocuando sea mas de las 7 y las agujasformen un angulo de 30, por primeravez?

b) (420 10)" c) 2250'11

e) (2345.Lr11

10rJ\fs 6nVs- -2(j)= 8rJ\fs-@=-SOm 300m

En eI instante mostrado, los tres m6-viles se estan moviendo, pero cuandoCD alcanza a , @ se empieza amover en direceion opuesta hasta queCD 10alcanza. En este ultimo instante,i.cuantos metros dista de @?a) 30m b) 40m c) 50md) 60m e) SOm

Para ir de mi casa aI coIegio me de-moro a minutos, pero si quisiera de-morarme solo b minutos tendria queaumentar mi velocidad en c m/min.Si en la misma direcciOn se encuen-tra una iglesia que esta a ac metrosdel colegio, i.cual es la distancia en-tre mi casa y la iglesia?

a) (aa~) m b) (aa.cb)m q(:~~) md) ( b2c ) m e)( bC

2) m

a-b a-b

Dos eiclistas estan separados 30 km.Si se desplazan en direcciones con-trarias se encuentran en 1 hora, perosi 10 hacen en la misma direccion,uno alcanza al otro en 5 horas. i.Cuales la velocidad de uno de ell os?

a) 10 km/h b) 11 km/h c) 12 km/hd) 15km/h e) 20kmjh

Son mas de las 9 pero menos de laslOde la manana. Si hubieran pasado15 minutos mas, faltarian para las11 a.m. los mismos minutos que

verdad las 3:00 p.m., i,a que horaempez6 a adelantarse?

a) 7:20p.m. b) 7:25a.m. c) 7:30a.m.d) 7:30p.m. e) 7:45a.m.

IIAhora son mas de la 1p.m. pero me-nos de las 2p.m. y las manecillas del

e) 7 h 15minpasaron aesae las IIa.m., nasta nace5 minutos. Luego, la hora es:

a) 9.55 a.m. b) 9:50 a.m. c) 9:45 a.m.d) 9:40 a.m. e) 9:30 a.m.

s,__L 9

A ver, Jque eligen?

CERTEZAS - MAxlMOS Y MjNIMOS

VARIACIONES, PERMUTACIONES Y

vVIVID 1I'Il-\vIVI'IC';'

.... PROBABILIDADES

I II

I I.

iBuscando el menor!

Necesitamos tres dados.Pueden partidpar dos, tres 0 mas jugadores.

Las reglas del juego son:

1. Cada participante lanza los tres dados, cuando Ie toea jugar.

2. Los numsros obtenidos en las caras superiores de los dados son distribuidos adecuadamente enlos casilleros de la expresion, formando el menor resultado posible.

3. Se anotan los resultados en la cartilla y aI final se suman todos.4. Gana aquel que tiene la menor suma total.


ilMPORTANTE!

Unamanera muysenciila de analizarlos enunciados,bajo ciertas condi-ciones, es poner-nos en el peor delos casos, es decir,no oblener 10quedescribe el eventoo suceso, sino 10contrario.

Como los Irestipos de fichas seencuentranen igualcantidad, nos esindiferente el colorde la primera ficha.C"': I : ...

CERTEZAS - MAxlMOS Y MiNIMOS I~------CERTEZASSon todas aquellas situaciones en las cuales debemos determinar, con plena seguridad, la ejecu-cion de un evento 0 suceso.Los problemas con estas caracteristicas se debsran resolver partiendo del an8lisis de las diversassituaciones que se derivan de tal evento 0 suceso.

D En una bolsa de papel hay 24 fichas deigual forma y tamario, pero de tres coloresdiferentes (8 de cada color). Determina lamenor cantidad de fichas que debe extraer,aI azar, para tener la plena seguridad deobtener:

I. 3 fichas de un mismo color.II. 2 fichas de cada color.III. 3 fichas de diferentes colores.

Analizamos el enunciado, partiendodel tipo de evento 0 suceso.

Nos ponemos en el caso donde talevento 0 suceso no ocurre como de-seamos.

D En un antora hay guantes de box, 6 paresde guantes blancos (gb) , 5 pares de guan-tes negros (gn) y 4 pares de guantes rojos(gr). l.Cuantos pares de guantes debemosextraer al azar de tal antora, para tener lacerteza de haber obtenido un par de guan-tes usables del mismo color?

Para I:Loideal Lo no ideal

0 00\0 00-00 OOJ

(3 extracciones) TOTAL: 17 extracciones IPara II:Loideal Lo no ideal ~ ~ "00 o0 0 ...0 (8 extracciones)00 o0 0 ...0 (8 extracciones)00 o0 (2 extracciones)

(6 extracciones) TOTAL: 118 extraccioneslPara III:Loideal Lo no ideal

0 o0 0 ...0 (8 extracciones)0 o0 0 ...0 (8 extracciones)0 o (1 extracci6n)

(3 extracciones) TOTAL: 117 extraccionesl

Nos ponemos en el peor de los casos:Extraemos guantes de una misma mano yde aquel color que se encuentre en mayorcantidad.

Q Q Q Q Q Q-69b". '-5gn

"I Id~ \'dIiIiUdUC~

fuesendiferen-tes, el color de laprimera ficha serael de aquellaque seencuentreenmayorcantidady astsucesivamente.

Para que seanusobles uno debeser para Ia mono

derecho (d) !:lotro para

Ia izqlieroo (j).

_4gr

Con los guantes extrafdos no hemos formadoun par usable; pero con la siguiente extrac-cion obtendremos necesariamente un guan-te derecho, que con cualquiera de los dernastormara una pareja usable.

- 6 + 5 + 4 + 1 _1r-1-6-e-xtr-a-cc-j-on-e-s-'1

MAxIMOS Y MfNIMOSEn estos problemas, debemos calcular un maximo 0 un minimo valor dentro del conjunto deposibilidades de ocurrencia de un evento 0 suceso.

D Para formar 5 filas de 4 alumnos cada una,zcuantos alumnos como minimo se re-quieren?

Debes re/acionar la mayor cantidad defilas can un mismo alumno.

Si los formamos como en el colegio, setendrian: . . . . .

C 20alumnos

Ahora crucemos algunas filas:

~ C 13-n alumnos Pen sando un poquito mas:

=Segun el grafico, el minimo nernero dealumnos sera: 0:].

D Siendo a y b dos nerneros reales, tales quea + b _ 5, determina el maximo valor de abo

Tomacomo referencia algunos nUmerosenteros para cada una de las letras yanaliza el producto.

Analizando:

a+b=5; a; bEIR-{O}

~ ~1 x 4 .. 41 Observamos que, amen or2 x 3 .. 6 diferencia entre ambos3 x 2 .. 6 nurneros, el producto se4 x 1 .. 4 hace mayor.

Ahora:a + b - 5 - 2,5 + 2,5 - 5

Luego; el maximo valor de ab es:

ab - (2,5)(2,5) -16,251

Se tienen 12 bolas de igual tamafio y color,pero una de elias es menos pesada quelas dernas, que presentan igual peso. Sidisponemos de una balanza de platillos,i.cuantas pesadas, como minimo, debesrealizar, para tener la plena seguridad deencontrar dicha bola?

Analizamos, forman do dos grupos de 6 yluego tres grupos de dos:

Un a1umnopodriapertenecerados 0mas filas.

(1.0 pesada) (2.0 pesada) (s.o pesada)

NOTITA

La menor diferen-rj:l nllp. ~p nliPtip

(1.0 pesada)

Ademas, se pueden formar 3 grupos de 4 yluego dos grupos de 2, vearnos:

dar entre dos

Dividir /a cantidad total de bolas en gru-pos que contengan /a misma cantidad.

._ ..-. '-_y----

numeros es cero,es decir cuandotales numerussean iguales.

=En tres pesadas se encuentra la bola.

(2. pesada) (3. pesada)


l. LIATENCION!

Comienza con lapeor situaci6n, esdecir, con la que noobtengas el resulta-do que quieres.

Con lin eslab6n,unimos dos trozos.

D En una caja hay 18 canicas: 7 arnarillas,5 marrones y el resto verdes. i.Cuantascanicas debe extraer aI azar como mini-mo, para tener la seguridad de haber ob-tenido cuatro canicas del mismo color?

Resolvemos:

Considerando el peor de los casos, sa-caremos:

000.000-0

\,AQI ""'II Q.;JIC:UJVII \"VUI c:u I '>J/. U. '>JI ..-:tv yv..-:tQQ

Para obtener la mayor ganancia se com-pra aI menor precio posible y se vende aImayor precio:- costo - 5 x 25 .. SI. 125- venta - 5 x 65 - SI. 325Luego, la mayor ganancia sera:

325 - 125 .. ISI. 200 I

Dformar una cadena continua, i.cuanto segastara como minimo?

Resolvemos:t

En una carretilla de helados hay 8 pal etasde helado de chocolate y 12 paletas dehelado de vainilla. Si deseo comer un he-lado de chocolate y uno de vainilla, i.cuan-tas pal etas debe sacar como mlnimo?

Rpta.: 13paletas

Para una t6mbola se han impreso 1200boletos que tienen un costo de S/. 2 cadauno, adsmas 650 de los boletos estanpremiados. Si una persona qui ere obte-ner necesariamente uno de los premios,i.cuanto dinero debe invertir?

tenido un par de zapatillas utiles de cadacolor?

Rpta.: ~3zapatlllas

En una bolsa hay 6 pares de guantes azu-les, 7 pares de guantes marrones, 8 paresde guantes blancos y 5 pares de guantesnegros. i.Cuantos guantes se deben ex-traer aI azar de la bolsa, como minimo,para tener la plena seguridad de haber ob-tenido 3 pares Utiles de un mismo color?

Rpta.: 3~guantesEn el interior de una secadora de ropahay 9 pares de medias celestes, 11 paresde medias verdes, 13 pares de mediasnegras y 15 pares de medias blancas.i.Cuantas medias debe extraer, sin ver,para tener la seguridad de haber obteni-do un par util de medias?

Rpta.: ~ medias

D

Rpta.: Sf. 1102

De un juego de naipes, zcuantos se de-ben extraer aI azar, como minimo, paratener la seguridad de haber obtenido unpar de espadas y un trebol?

Rpta.: 41 naipes

En una urna hay 9 bolas negras, 11 bo-las azules, 7 bolas rojas y 14 bolas bla1cas.i.Cua,tas bolas, como mlnimo, se deben ex-traer de la uma, paa tener la seguridad dehaber obtenido 4 bolas de colores diferen-tes, si todas son del mismo tamaiio?

Rpta.: 3~bolas

En una bolsa hay 28 lapiceros de la rnis-ma marca, pero de diferentes colores;hay 8 azules, 11 negros y el resto rojos.i.Cuantos lapiceros debe extraer sin ver,como mlnimo, para tener la plena se-guridad de haber obtenido cinco lapice-ros de un solo color?

Rpta.: 13 laplceros

En un anfora hay 32 caramel os con sa-bor a fresa, 26 de naranja y 42 de Iim6n.Si todos tienen la misma presentaci6n,i.cuantos, como mlnimo, debe extraer delantora oara tener la seauridad de haber

Si la suma de dos numeros reales es 7,i.cua! sera su maximo producto?

Rpta.: 12,2~

En una galerfa funcionan 8 tiendas y dantrabajo a 40 personas. Si ninguna tiendatiene menos de 4 empleados, i.cua! es elmayor nurnero de empleados que podrfatener una de las tiendas?

Rpta.: 12emp/eados

Si 15 dura2l1os pesei desde 1,8I

-obtenido 10 caramel os de cada saber?Rpta.: 84 carame/os

En un caj6n hay 12 pares de zapatillasblancas, 10 pares de zapatillas negras y8 pares de zapatillas amarillas. lCuantaszapatillas debe sacar aI azar, como mini-mo, para tener la seguridad de haber ob-

D

...,~-t'~_-_..__ . _.. -":;J'Rpta.: 45 duraznos

Se compran relojes cuyos precios variandesde 25 hasta Sf. 40 Y se venden a pre-cios que varian de 42 aSf. 60. lCuaJ es laminima ganancia que se puede obteneren la venta de 12 relojes?

Rpta.: SI. 24


PISTA 1

Consideramos elpeor de los casos,extrayendo 10que noes lltil.

Podemos sacarprimero todos loszapatos de un mis-mo pie.

PISTA 5

EI mfnimo numerode personas se

AI interior de una caja hay 15 bolas ro-jas, 17 bolas amarillas y 21 bolas verdes.lCuantas debe extraer aI azar, como mini-rno, para tener la plena seguridad de haberobtenido 3 bolas de diferentes colores?

~ En una tacho hay 13 chapas de la mar-~t:I I ca A, 15 de la marca B, 9 de C y 6 de

D. lCuantas chapas debo extraer comominimo del tacho, aI azar, para tener laseguridad de haber obtenido 4 chapasde una misma marca?

Una caja grande contiene 24 pares dezapatos marrones y 8 pares de zapatosnegros. lCuantos zapatos debe extraercomo minimo de la caja, sin verios, paratener la seguridad de haber obtenido unpar de zapatos utiles?

K:~ En una caja se guardan 4 pares de guan-_. tes blancos, 6 pares de guantes azules

y 5 pares de guantes verdes. lCuantosdebemos extraer aI azar, para tener laseguridad de haber obtenido un par deguantes usables de cada color?

~. lCuantas personas como minimo se ne-cesitan, para formar 7 filas de 6 personascadauna?

Si se divide el nurnero 159 en dosnumeros de dos digitos cada uno, siendouno de ellos el menor posible, zcuantosuman las cifras de dicho numsro?

oara cuanoo una 0mas filas conten-gan a una mismapersona.

lt

Forma patrones 0 eusco regularidadescomoparte de Ia estrate~ade solucionde unprovlema.

Se tienen 20 bolillas numeradas del 1 aJzo.zcuantas de estas bolillas se deberanextraer de un antora, aJazar, para tenerla plena seguridad de haber obtenido 3bolillas con numeros pares?

De un juego de cartas, lcuantas se de-ben extraer al azar, como minimo, paratener la certeza de haber obtenido unaJ?

La edad promedio de tres hermanos es27 anos. Si ninguno de ellos es menor de24 anos, lcuaJ es la edad maxima quepodria tener uno de ellos?

~ EI promedio de las edades de 4 amigos~ es de 36 anos. Si ninguno de ellos es ma-

yor de 40 anos, lcuaJ es la edad minimaque podria tener uno de ellos?

EI senor Vasquez tiene 4 candados dediferentes marcas y solo dos lIaves. Sa-biendo que cada lIave abre solamente uncandado, lcuaJ es el minimo nurnero deintentos que debera reaJizar,tratando deabrir el candado correspondiente, paradeterminar con seguridad los candadosque se abren con dichas lIaves?

En un estante hay 36 copas, todas delmismo tamailo y forma, pero una de eliascon mas peso. Con una baJanzade dosplatillos, lcuantas pesadas como minimoserian necesarias para identificar dicha,..,,..,. ......

~~....~.(99

SIWOSJ3d ~e:: (SS3lUen6 a (t>SOllldeZ (sedeuo ~ (e::seioq 6 (L


Y83nHdWO:l

~ ~ .........__ V_A_A_I_A_C_I_O_N_E_S_'_P_E_A_M_u_'t_a_C_I_O_N_E_S _~ ~ Y COMBINACIONES

Se definen:

lQ.=1

01-1

IIMPORTANTE!

I. FACTORIAL DE UN NUMERO (n! 0 l.!!.)EI factorial de un numero entero posifivo nesta definido como el producto de los enterosconsecutivos desde 1, hasta el mismo nurneron.As[:

n! - l!l. - 1 x 2 x 3 x ... x (n - 1) x nEjemplos:

1! - 12! = 1 x 2 = 2

3! = 1 x 2 x 3 = 6

4! = 1 x 2 x 3 x 4 - 24

5! - 1 x 2 x 3 x 4 x 5 - 120

6! - 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 - 720 7! - 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 _ 5040

8! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 = 40 320

Propiedad: I n! - (n -1)! x n I ...

de eoleetivo, i.de cuantas maneras distintaspuede efeetuar el viaje?

Descomponiendo unfactorial:a! - a.(a -1)!b! - b.(b -1).(b - 2)!

tiene a disposici6n 5 tipos de gaseosas y4 tipos de jugos, i.de cuantas maneras sepodra refrescar?

Como toma solo una bebida, esta podrla sergaseosa 0 jugo, entonees:

JN.Ode maneras - 5 + 4 -0

~aseosa t 1Juga

Es evidente que si viaja en microbus, no po-drs viajar en colectivo, en eonsecuencia, soneventos exeluyentes, es decir, si oeurre unono ocurre el otro sirnultanearnente, entonees:

N de maneras = 4 + 3 =[2]microbuses t tcalectivos ==...__j

o Principio de multiplicacionSi un evento A puede ocurrir de m manerasdiferentes y despues de ocurrido dicho evento,otro evento B puede ocurrir de n manerasdiferentes, entonces ambos eventos podranocurrir de m )( n maneras.

Para ir a una fiesta, dispongo de 4 camisasde diferentes colores y 3 pantalones dediferentes colores. i.Oe cuantas manerasdiferentes me podre vestir?

o Una camisa se puede usarcon cualquiera de los trespantalones, luego con las 4camisas me podre vestir de:

N.o de maneras - 4 x 3 - ~

Camisas

I:Pantalones

III. VARIACIONES (V)

Son los diferentes grupos que se puedenformar con m elementos, tornados de n enn, de tal manera que cada grupo se diferen-cia de otro por 10 menos en un elemento,o por el orden en el cual se han dispuestodiehos elementos.Sean los elementos a, bye, las variacio-nes de estos elementos tornados de dos endos, seran:

o Considerando la diferencia de por 10menosun elemento: ab, ac, be.

Considerando el orden de los elementos:ba, ca, cb.

o Entonces el total de variaciones sera 6.o Numero de variaciones de m elementos to-

rnados de n en n: Vm m!n - (m _ n)!

Estrategia

o Obsetv si el orden de los elementosen los grupos genera nuevos grupos.

o Analiza si los eventos son 0 noexeluyentes.

Oosetv si uno puede ocurrirprimero y luego el otro.

D Para ir del Rimae a) Cereado, puedo em-plear 5 rutas diferentes y para ir del Cer-eado a JesUs Maria puedo emplear 4 rutasdiferentes. i.De cuantas maneras diferentespodre ir del Rimae a Jesus Marfa, pasandopor el Cercado?

Si por eada camino para ir del Rimae al Cer-eado puedo tomar 5 caminos para ir a Je-sus Marfa, el total de maneras en que podrerealizar el trayecto seran:

N.o de maneras: 5 x 4 - ~ )

IV. PERMUTACIONES (P)

Son los diferentes grupos que se puedenformar con todos los elementos que presen-ta cierto eonjunto, de tal manera que eadagrupo se diferencia de otro solamente en elorden en el que se ubican los elementos.

Sean los elementos a, bye, las permuta-ciones de estos elementos seran:abc,acb,bac,bca,eab y eba.

Numero de permutaciones de n elementos:

Pn = n!

i.De cuantas maneras diferentes se podranestacionar 4 autom6viles en el borde deuna aeera, si estan en el mismo sentido yuno a eontinuaci6n del otro?

Sean los alumnos a,b, c. dye; tenemos:

.1J.' fE .~a b cb c dC d ed e ae a ba c b

-~-I

-NOTITA

Variaciones CODrepeticion de melementos tomadosde n en n.Son los dlferentesgrupos que puedenformarse con mplpmpntn~rl~rln~

u.u.oou .. ._u ;

Como solo se trata de 4 autom6viles, elorden en el que se estacionen genera lasdiferentes posibilidades, es decir, solo inter-cambiando las posiciones de los autom6-viles generamos las diferentes maneras deestacionar, entonces estamos ante una per-mutaci6n.

P

del mismo modelo,solo se diferencianen el color:3 autos blancos,4 autos negros.

Son aquellos grupos formados por ciertonurnero de elementos, entre los cuales al-gunos ocupan lugares fijos.

Sean los elementos a, b, e, dye. donde ay b ocupan lugares fijos, las permutacionesseran:

abede, abeed, abeedabede, abdae, abdca

Numero de permutaeiones de n elementoscon k elementos fijos: PnFk= (n - k)1

V. COMBINACIONES (C)

Son los diferentes grupos que se pueden for-mar con m elementos tomados de n en n detal manera que dos grupos se ditereneienen-tre sf, aJ menos en un elemento. No se tomaen cuenta el orden en el que estan ubicadoslos elementos.

Sean los elementos a, bye, las eombinacio-nes de estos elementos tomados de dos endos seran: ab, ae, be.

Entonees el total de eomblnaciones sera 3.

Numero de eombinaeiones de m elementostomados de n en n: '

Cm m!n-n!{m -n)1

ubi car en una fila a 6 alumnos, si los dosprimeros deben ser respeetivamente el de-leg ado y el presidente del aula?

Como los dos primeros tendran un lugar fijo,los que se pueden intereambiar son los res-tantes, as!:

~~~~~~fijas Se pueden Irtercambiar

Pl2- (6-2)! -4!-~

Clara debe haeer la tarea de historiareferente a 3temas diferentes. Si eI profesorIe da para escoger 5 temas, lde cuantasmaneras podra escoger dichos temas?

Observamos que solo se requiere deter-minar cuaJes son los temas que se van aemplear, mas no eI orden, entonces esta-mos ante una combinaci6n:

C5 5!3- 3!(5-3)!

VI. COMBINACIONES CON REPETICI6N (CR)

Son los diferentes grupos que se pueden for-mar con m elementos, tomados de n en n, enlos que pueden apareeer elementos repeti-dos, de modo que dos grupos se difereneienentre sf, euando al menos un elemento seadiferente.

Sean los elementos a, bye, las combinacio-nes con repetiei6n de estos elementos toma-dos de dos en dos seran:

aa, abo ae, bb, be, ee.

Entonees, el total de eombinaciones con re-peticion sera 6.

Numero de eombinaciones con repeticion dem elementos tomados de n en n:

lCuantos productos diferentes, cada unode tres factores, se podran determinar conlas cifras: 3; 4; 6 Y 8?

Como deben ser 3 factores donde algu-nos 0 todos ellos se podran repetir y pues-to que el orden de los factores no altera elproducto, estamos ante una combinaci6ncon repetici6n:

CR4 C4.3-1 C63- 3 - 3

Efectuando:

C6 6!3- 3!{6-3)!

C~_ 6 x 5 x 4 x 3! _ f2013! x 1 x2x 3 ~

VII. PROPIEDADES DE LAS COMBINACIONES

..CD_m Im\ _m-I

Red 5 12uee: T2C 5

Por propiedad :~ W C12-1 ~Cll"';7>C-;:rX "_1-IC_4-1

La combinacicntambien se deno-mina NUMEROCOMBINATORIO.

C~ -(~)t

NlimerocombinatOlio

n C1 -n

Combinatoriasnotables:

iIMPORTANTE! L

m mCn =Cm-n

... \6)

Ejemplos:

Efecrua: C~ + C~

. Ii\ 8+1 9 ~Por propiedad I.!;: C 4 - C 4 = ~

C~ -1Efecrua: C~

Per propiedad @:

C~_32_C~5 -165451

nCn = 1n

Cn -1 - n

7 7 Halla x, en: Cx - c,

Per propiedad @: x - 0o X+5=7=>X=0


IRECUERDAIL L

Propiedad:

[n!-n.(0-1)! I

'lMau;lWillAplicando la pro-piedad del factorial,Ilc::tnc: (:4) nll4)rllln

Etsctua: 12! _ 11!11! 10!

Resolvemos:Expresamos los factoriales de los numera-dores en terminos del denominador:

12 x 11! 11 x 10!11! 10!

Reducimos y efectuamos:

;12-11;0]

D Hallan, en:[(2n - i)!)! ; 720

Resolvemos: Dando forma de factorial al nurnero:

[(2n - 1)!)! - 720[(2n - i)!)! e 6!

Entonces se cumple que:(2n-1)!~6~3!ee- 2n -1 ~3

n~2Luego, el valor de n sera: [II.

EI Efectua: (a - 5)!(a + 4)! - 1(a + 3)!(a - 4)!Resolvemos:

Empleando propiedad:(a- 5)!(a+ 4)(a+ 3)! -1(a + 3)!(a - 4j(a - 5)!

a+4 1 ~a-4 - -L8J

D Reduce: 7 x 101 x 20! x 71 x 33131 x 301 x 81 x 211 x 111Resolvemos:

Resolvemos: Como los cortes son diferentes, son even-

tos excluyentes, entonces aplicamos elprincipio de adicion:

N.o de cortes = 2 + 3 + 4 + 5 = 114 cortes IRaul tiene, para ir de paseo, 5 buzos dediferentes model os, 7 pares de zapatillasde diferentes colores y 2 gorras de diferen-tes model os. lDe cusntes maneras se po-dra vestir Raul para ir de paseo?

Resolvemos:Con un modelo de buzo puede usarcualquiera de los pares de zapatillas quetiene y con un par de zapatillas puedeusar cualquiera de las gorras, en conse-cuencia, el total de maneras de vestir secalculara aplicando el principio de multi-plicacion:

Buzos:

Zapatillas:'-1L.J ..... L..J ..... ,'-' L..J

Gorras: /i'6,N.O de maneras m 5 x 7 x 2 - [2Q]

Una junta directiva debe estar conforma-da por un presidente, un secretario y unvocal. Si hay 8 personas para formar ladirectiva, lcuantas juntas directivas di-ferentes se podran formar?

Resolvemos:

Solo 3 personas pueden ocupar estos car-gos, adem as el orden de las personas encada grupo determina directivas diferentes,luego estamos ante una vertaoon.

vv ..vv vv r .......v~u ..

descomponer demanerasucesiva.

33!-33.32!~

33! - 33x32 x31!L,

33! - 33x32x3i:'3o!

Dando forma a los factoriales y reduciendo:7 x).0f" ~f Jr" 33 x32 x..J'( x~.2'(x..201 x 8 x,Jr. 21 x;wf x 11 )(%.

'(

Calculando el numero de variaciones de8 elementos, tomados de 3 en 3:

VB __ 8_'__ 8)( 7)(6 )(5! ;133613 (8 _ 3)1 51

Wi hermana visita cuatro peluquerfas enlas que realizan respectivamente 2, 3, 4 Y5 diferentes cortes de cabello. iDe cuan-tas maneras distintas se poora cortar elcabello mi hermana?

Se disponen de 7 jugadores de basquetpara formar un equipo, ocupando 5 posi-ciones diferentes en el campo. i.Cuantosequipos diferentes se podran formar, sllos 2 defensas son siempre los mismos,en dichas posiciones?

Resolvemos:Como los dos defensas son los mismos,las dernas posiciones solo poeren ser ocu-padas por los dernas jugadores, y como elorden 0 disposici6n en el campo determi-nan los diferentes equipos, estamos anteuna variaci6n con elementos fijos.

Calculando las variaciones de 7 elemen-tos tom ados de 5 en 5 con 2 elementosfijos, tenemos: V~ F2 = V~:~; vg

Efectuando:V5 __ 5_1__ 5.4x3)(2! =1601 ~,3 (5 _ 3)1 2! ..

iCuantos numerales de tres cifras se pue-den formar con los digitos 1, 3, 4, 5 Y 7?

Resolvemos:EI orden que ocupan las tres cifras deter-mina los diferentes nurneros, pero comoestos se pueden repetir, estamos anteuna variaci6n con repetici6n.Calculamos la variaci6n con repeticionde 5 elementos tom ados de 3 en 3:

VR~ _ 53 -1125 numeros I ..En una reunion de la Comision de Eco-nomla conformada por 7 miembros, sesolicita hacer uso de la palabra. iDecuantas formas diferentes podran haceruso de la palabra todos los miembros dela comisi6n?

Resolvemos: Como todos los miembros de la comi-

si6n deben hacer uso de la palabra, losgrupos se diferenclan solo en el orden enel que se presentan, luego estamos anteuna PERMllTACI6N.

Calculando la permutaci6n de 7 elementos:

P7 - 71 - 150401

iDe cuantas maneras diferentes puedoubicar en un estante 9libros, uno a conti-nuaci6n de otro, si 4 son de matemaucas,3 son de razonamiento rnatematico y 2son de quimica?

Resolvemos:Como todos los libros se cotocaran unoa continuacion del otro y algunos se repi-ten, estamos ante una permutacion conrepeticion.Calculando el nurnero de permutadonesde 9 elementos con 4, 3 Y 2 elementosrepetidos:

9 9!PU 2 - 4! 3! )(21

iDe cuantas maneras diferentes se po-dran distribuir 6 jugadores en un campode fulbito, si el arquero y el mediocampis-ta son siempre los mismos?

Resolvemos: Solo habra un intercambio de posiciones,

excepto en aquellas posiciones fijas paradertos jugadores, entonces estamos anteuna permutaci6n con elementos fijos.Calculando el nomerc de permutacionesde los elementos, considerando 2 ele-mentos fijos:

Pl2 - P(6-21- P4 - 41

-~Un campeonato de fulbito se realiza entre6 equipos. iCuantos partidos se deberanefectuar para que jueguen todos contratodos?

Resolvemos:

Variaciones conelementos fijos..5i en una variaciondem elementostomados de n enn, hay x elementosfijos, el numero devariaciones sera:

iRECUERDA!,

Forma practicaParadeterminar lacanlidad demime-ros que se puedenformar con ciertacantidad de cifras,tenemos:

at)

lOe cuantas maneras se podran sen-tar alrededor de una mesa circular los 6miembros de una familia?

Resolvemos: Va que se trata de una mesa circular y los

elementos son los mismos, estamos anteuna permutaci6n circular.Calculando una permutaci6n circular para6 elementos:

PC6- (6-1)1- 5!-~

Como juegan todos contra todos, el or-den no es importante para la formaci6nde los partidos, adernas, en un partidosolo participan 2 equipos, luego, esta-mos ante una COMBINACION.Calculando el nurnero de combinacionesde 6 elementos tomados de 2 en 2:

C6 6! 6x5x412- -2!(6-2)1 1 x2x41

. 6 30 ~Entonces. C2 - 2"" - ~

~ lm mn n

5 P P 6Q Q

s~ ~5 x 6 = 30

numeros


EfectUa' 181 25!. 17! + 24!

EfectUa: 151 - 14113!

EfectUa: 36! x 17!18! x 35! Rpta.: 2

Rpta.:43

Rpta.: 196

Simplifica: (2n + 7)!(311- 7)!(311- 8)!(2n + 8)! 3 7

Rpta.: ....!!.=._2n+8

PISTA 1 90 x 4! x 11! x 29!Simplifica: -.-..,.-....,..,..,--...,..,...6! x 8! x 30! x 99 Rpta.: 1

n!-n(n-1)!

(n-3)!-(n-3)(n -4)!

(n+8)!-(n + 8)(n +7)!

Simplifica: (n + l)!(n + 3)! 1(n + 4)!n! Rpta.: ~

"+4Si: (3x + 1)! - 5040, halla x.

Rpta.: 2

Si: (xl + 1)! - 6, halla x.Rpta.: 2

Hay 4 empresas que me pueden lIevar aICuzco y 5 empresas que me pueden lie-var a Cajamarca. lOe cuantas maneraspodrla efectuar un viaje, comprando unpasaje en estas empresas? Rpta.: 9

I Sabiendo que hay 3 canadatos para direc-tor y 5 candidatos para subdirector, ldecuantas maneras se puede elegir estoscargos? Rpta.: 15

U1a persona desea viajcr a Trujllo y tiene adisposid6n 4 Ifneas aereas y 7 lineas terres-tres. We cuanas m~eras podra viajar dj-cha persona a Trujillo? Rpta.: 11

Un estudiante desea comprar un libro derazonamiento matematico, el que se ven-de solamente en tres distritos: en Ate hayA lik ..~...(,.u'~ n .... I ;....,..,..h,..u 0 li....r""'~,.. " "n

. PISTA 15

I"", ml

En una carrera partidpan 6 corredores .lDe cuantas maneras diferentes podranlIegar los tres primeros a la meta, si no hayempates? Rpfa.: 120

Se dispone de 9 jugadores de fulbito paraformar un equipo de 6 jugadores que ocu-pen diferentes posidones en el campo.lCuantos equipos dlferentes se po

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5to Secundaria razonamiento matemático