1

6 장 순환 디지털 필터의 설계6 장 순환 디지털 필터의 설계

2

• 순환 디지털 필터 - 하나 혹은 그 이상의 이전 출력 값에 의존한다 ( 출력의 feedback)

- 무한한 임펄스 응답 (IIR)

장점 : 이전 출력 값을 이용하여 계산의 양을 줄인다 .

단점 : 피드백 계수가 잘못 선택되어지면 불안정해진다 .

비선형 위상 응답 (Causal (h(n)=0 for n<0) => 우함수가 아니므로 대칭적이지 않다 )

순환 디지털 필터 순환 디지털 필터

][...]1[][][...]1[][

....)())((

.....)())(()(

1010

321

321

0

0

MnxbnxbnxbNnyanyanya

pzpzpz

zzzzzzK

za

zbzH

MN

N

k

kk

M

k

kk

• 순환 필터=> 강력한 이점 : H(z) 의 분자와 분모를 분리해서 조절할 수 있다 . 분모의 크기를 특정 주파수가 작아지도록 조절 -> 첨예한 최고점의 응답 극점이 단위원 가까이 이동하면 최대이득 증가 , 대역폭 감소

전달함수의 일반형

3

• 순환 필터를 설계하는 방법은 z 평면에서 극점과 영점을 먼저 선택 => 이산 방정식 => 주파수 응답 계산• 단위원 위에 있는 여러 극점과 영점에서 임의의 한 점까지의 벡터의 크기를

계산함으로써 선형 시불변 프로세서의 주파수 응답을 나타냄• 극점이 단위원에 가까울수록 첨예한 최고점을 갖는 응답• 영점이 단위원에 가까울수록 깊은 골• 극점이 z 평면 실수축의 어느 위치에 놓이느냐에 따라 저역 필터 또는 고역 필터 ,

공액 복소 극점쌍의 위치에 따라 대역 필터

z 평면에서 극점과 영점을 이용한 간단한 설계z 평면에서 극점과 영점을 이용한 간단한 설계

• 주파수 응답 H() 는 exp(j )-zn 형태의 분자 요소들의 곱을

exp(j )-pn 형태의 분모 요소들의 곱으로 나눈 형태

• Z = 에서 극점이 있으면

- H() 의 분모는

- 진폭의 크기는

• Z = 에서 영점이 있으면

- | H() | 의 분자를 나타낸다는 것이 차이

sincos)exp()(1 jjF

2/122/1221 cos21sincos)( F

4

• 공액 복소 극점쌍 또는 영점쌍의 경우 극좌표가 (r, ) 를 가진 극점쌍

- H() 의 분모는

- 진폭의 크기는

sincos22sincoscos22cos

expcos22exp

expexpexpexp)(

2

2

2

rjrr

rjrj

jrjjrjF

2/1222

2 sincos22sincoscos22cos)( rrrF

z 평면에서 극점과 영점을 이용한 간단한 설계z 평면에서 극점과 영점을 이용한 간단한 설계

5

실수 극점 z = 0.9 저역통과 필터 실수 영점 z = - 0.8 저역통과 필터

스펙트럼 진폭 함수스펙트럼 진폭 함수

복소수 극점 쌍 r = 0.975, = 150 대역통과 필터 복소수 영점 쌍 r = 1, = 50

대역저지 필터

6

z = 0.9 에서의 실수 극점을 갖는 1 차 시스템

z = - 0.8 에서의 실수 영점을 갖는 2 차 시스템

r = 0.975, = 150° 에 공액 복소 극점쌍

r = 1, = 50 ° 에 공액 복소 영점쌍

스펙트럼 진폭 함수스펙트럼 진폭 함수

(a) – (d) 를 조합

7

순환 디지털 대역 필터의 설계 ( 필터의 이산 방정식을 구하라 )

(a) 대역 중심 : = /2, -3dB 사이에서 대역폭 : /40, 최대 이득 : 1

(b) = 0, = 에서 안정상태로 차단된 필터

예제 6.1예제 6.1

- BC 가 직선에 근접하다 가정 (PAB 가 직각 삼각형 )

- d = 1 - r (r > 0.9 인 경우 이러한 가정은 합당 )

- 2d = 2 (1-r)

- 2 (1-r) [rad] = /40 = 3.14/40, r = 0.961

- = 0 과 = 에서 주파수 값이 차단되므로 두 개의 영점이 z = +1, -1 에 위치

05.440

rad r

원점

최대진폭 응답과 관련

8

• 최대이득 : 26.15(28.35dB)

• 방정식에서 K = (26.15)-1 = 0.03824

• 응답하는 차분방정식 : y[n+2] + 0.9235y[n] = 0.03824x[n+2] - x[n]

y[n] = -0.9235y[n-2] + 0.03824x[n] - x[n-2]

9235.0

)1(3824.0

)2

(exp961.02

(exp961.0

)1()1(03824.0

)(

)()(

2

2

z

z

jzjz

zz

zX

zYzH

프로그램에서 계산

9

심전도 신호를 1.2kHz 에서 샘플링할 때의 60Hz 전원 잡음을 차단하기 위한 -3dB 점에서10Hz 의 저지 대역폭을 가지며 아래 그림의 극점과 영점으로 구성된 대역 저지 필터 설계( 필터의 이산 방정식 , 주파수 응답 진폭 특성 )

예제 6.2예제 6.2

( 풀이 )

- fs = 1.2 kHz

- fmax 는 최대 600Hz

- 2 : 1200 = o: 60

- o (60Hz) = 0.1 97382.0

1201,

600

10)1(2

rr

94833.08523.1

19021.1

94833.0)1.0cos(9476.1

1)1.0cos(2

)1.0(exp97382.0)1.0(exp97382.0

)1.0(exp)1.0(exp

)(

)()(

2

2

2

2

zz

zz

zz

zz

jzjz

jzjz

zX

zYzH

y[n+2] - 1.8523 y[n+1] + 0.94833 y[n] = x[n+2] - 1.9021 x[n+1] + x[n]

y[n] = 1.8523 y[n-1] - 0.94833 y[n-2] + x[n] - 1.9021 x[n-1] + x[n-2]

10

아날로그 필터의 전달함수 (Laplace 변환 )

...

...)(

321

321

pspsps

zszszsKsH

아날로그 설계에 의한 필터아날로그 설계에 의한 필터

jezjwsz

zs

1

1쌍 1 차 변환 (bilinear transformation) H(s) H(z) 일 때

0 0

11

저역 필터의 주파수 응답 vs 진폭 크기저역 필터의 주파수 응답 vs 진폭 크기

12

• 버터워스 필터 1) 가장 평탄한 통과 대역 2) Cutoff 주파수 3) 만약 필터의 차수가 증가한다면

- 통과대역 , 정지대역 기능향상 - 천이 날카롭게 된다 .

• 쳬비셰프 1) 통과대역에서의 리플 2) 1.0 사이에서의 떨림 3) 차수의 증가 리플의 증가 4) 큰 리플 더 나은 정지대역 5) 버터워스보다 더 날카로운 천이대역을 가진다 .

• 엘립틱 필터 1) 리플 정지대역 통과대역 둘 다 있음 2) 좁은 천이대역

parameterripple:)1(1 2

Butterworth, Chebyshev, Elliptic 필터Butterworth, Chebyshev, Elliptic 필터

13

2/122/12

1

)2

tan(

)2

tan(1

1|)(|

1

1)(

n

C

nHH

2/1

22

2/1

1

22

)2

tan(

)2

tan(1

1|)(|

1

1)(

Cn

nC

H

C

H

2/1

1

221

1)(

LR

H

n

버터워스

체비셰프

엘립틱

아날로그 디지털

Butterworth, Chebyshev, Elliptic 필터Butterworth, Chebyshev, Elliptic 필터

)()(2)(

)( 1)(

)1(1

21

10

2/12

xCxCxxC

xxCxC

nnn

및

맥류의 양

14

analog filter

입력이 일 때 filtering 된 출력을 구하라

아날로그 필터아날로그 필터

12

1)(

2

sssH

ttx cos10)(

특성방정식 0122 ss 707.0707.02,1 js Stable

10,1 1 X 이므로

2

2 2

1

22

1

12

1|)(

j

jjs ej

jjjsH

t

t

t

jHteyj

ss

sin07.7

2cos707.0

2cos

2

110

cos2

110 2

j0

11 tan0

1tan

15

필터 설계에서 쌍 1 차 변환이 중요한 이유

- 주파수 축이 압축될 때 필터의 진폭 특성인 최대 평탄과 등맥류 특성은 보존

- aliasing 이 없으므로 저역 필터의 응답은 = 에서 0 이 되며 실제 응용에 많이 사용

Bilinear TransformationBilinear Transformation

)2/tan(

)2/tan()2/cos(2

)2/sin(2

)(

)(

1

12/2/2/

2/2/2/

w

jj

eee

eee

e

ejw

jjj

jjj

j

j

14

tan2/2

tan

0

0

16

- 원주 위에 n 개의 극점 (ideal)

- z = -1 에 n 차의 영점- 극점들은 단위원 안쪽에 있는 Pm 값에 의해 주어짐

- Pm 의 실수부와 허수부는 별개

n 차 Butterworth 저역 필터n 차 Butterworth 저역 필터

)12...(,1,0,sin2

tan2

2tan1

1

12

nmdn

mPI

dPR

m

m

2

tancos2

tan21 121

n

md

극점의 실수 , 허수 크기

17

1cos2

tan12 1

daPRm

sin2

tan2 1

bPIm

2122

2

1 sin2

tancos2

tan1

bad

)12(...,1,0 nmnm

2/121

/1/1/1/1

1

5.0;5.0

c

ccbcca nnnn

n 차 Chebyshev 저역 필터n 차 Chebyshev 저역 필터

- 원주 위에 놓이지 않는 n 개의 극점- z = -1 에 n 차의 영점

18

차단 주파수 1= 0.2 이며 주파수 응답이 = 0.4 에서 30 dB 이하가 되도록 하는

(a) 필터의 최소 차수 계산(b) z 평면의 극점과 영점을 21 번 프로그램을 사용하여 구하고 극점과 영점을 표현(c) 필터의 이산 방정식(d) 21 번 프로그램을 사용하여 주파수 응답을 데시벨로 표현

예제 6.3예제 6.3

풀이 (a)

5,29.4,1000236.21

03162.0236.21

1

03162.0)20

30(log

236.21

1

]1.0tan2.0tan

[1

1)4.0(

2

2/12

110

2/122/12

nn

H

n

n

nn

x10log2030

20

30

10

x

2

21

19

(b) 5 차의 필터가 z = -1 에서 5 차의 실수 영점

r 0.50953 0

0.83221 34.644

0.59619 23.125

20

v[n] = v[n-1] + x[n] + x[n-1]

- 2 차 필터의 전달함수

w[n] = 2r cos w[n-1] - r2w[n-2] + v[n] + 2v[n-1] + v[n-2]

v[n] = 0.50953v[n-1] + x[n] + x[n-1] w[n] = 1.3693w[n-1] - 0.69257w[n-2] + v[n] + 2v[n-1] + v[n-2] y[n] = 1.0966y[n-1] - 0.35544y[n-2] + w[n] + 2w[n-1] + w[n-2]

22

2

2

cos2

12

)exp()exp(

)1(

)(

)(

rzrz

zz

jrzjrz

z

zV

zW

(c) - 1 차와 2 차 필터를 직렬로 연결 - 1 차 필터는 단일 실수 극점과 영점 - 2 차 필터는 복소 극점쌍과 2 차의 영점 포함 - 5 개 극점과 5 개의 영점 - 중간 출력 v[n], w[n]

)(

)1(

)(

)(

z

z

zX

zV

21

(( 그림 6.7))

(d)

22

(a) 3dB 의 통과 대역 맥류와 0.2(36) 에서 차단 주파수를 가진 3 차의 Chebyshev 저역 필터의 주파수 응답을 구하라 . 이 필터는 예제 6.3 의 차단 특성과 같은가 ?(b) 0.7 의 차단 주파수를 가진 6 차 Butterworth 고역 필터의 극점과 영점의 분포와 주파수 응답의 진폭 함수를 그려라 .

풀이(a) 영점 : z = -1 에서 3 개 극점 : r 0.82343 0 0.91467 32.794

예제 6.4예제 6.4

(b) 영점 : z = 1 에서 6 개 극점 : r 0.80853 126.95

0.52174 135.78

0.35026 160.39

23

• Chebyshev 대역 필터 ( 2 : 하위 차단 주파수 , 3 : 상위 차단 주파수 )

- 차단주파수 1 = ( 3 - 2 ) 인 저역 필터의 극점 , 영점 계산

- 에 위치한 극점 또는 영점은 2 개의 극점 또는 영점을 나타낸다 ( 두 배의 극점과 영점 )

2/122 125.015.0 AAz

Chebyshev 대역 필터Chebyshev 대역 필터

2cos

2cos 2323Awhere

- 2dB 대역 맥류 리플

- 차단주파수 :

0.2778(500), 0.5222(940)

z

저역 필터의 영점은 항상 z = -1 에 존재

고역 필터의 영점은 항상 z = +1 에 존재

24

• 아날로그 필터로부터 디지털 필터를 유도하는 또 다른 방법• 아날로그 필터의 impulse 응답이 샘플된 형태

임펄스 - 불변 필터임펄스 - 불변 필터

샘플링 간격이작을 때

aliasing 에 의한 최종 결과

주파수 중첩 현상

25

임펄스 - 불변 필터임펄스 - 불변 필터

13

3

2

2

1

1

321

321

)(

)()(

i i

i

ps

K

ps

K

ps

K

ps

K

pspsps

zszszsKsH

단점 : 샘플된 임펄스 응답이 비순환 필터의 계수로 사용된다 ( 비효율적 )

아날로그 필터는 전달함수로 표현되므로 디지털의 극점 , 영점으로 변환해야 한다

아날로그 필터의전달함수

임펄스 - 불변디지털 필터

26

• 각각의 아날로그 부필터의 임펄스 응답은 단순한 지수함수의 형태를 가짐• i 번째 부필터의 경우

00

0)exp(|)(][

00

0)exp()(

n

nTnpKthnh

t

ttpKth

iinTtii

iii

)exp()exp(1

])[exp()exp()(

1

0

1

0

Tpz

zK

zTp

K

zTnpKzTnpKzH

i

i

i

i

n

nii

n

niii

z 평면의 원점에서 영점

에서 극점

임펄스 - 불변 필터임펄스 - 불변 필터

Tpz iexp

27

아날로그 선형 시불변 프로세서에서 가장 기본적인 형태는 전달함수가 1 차인 저역 필터

ssH

1

1)(

예제 6.5예제 6.5

: 시정수 (time constant)

(a) = 1 일 때 주파수 응답의 진폭 크기 , 임펄스 응답(b) 0.05 초의 샘플링 간격을 가진 임펄스 불변 디지털 필터의 전달함수와

이산방정식 (c) 샘플링 간격이 0.5 초인 경우의 이산방정식 (d) 두 디지털 필터의 진폭 크기 응답 그래프풀이

(a) τ = 1, s = jω 를 대입하면

단일 -극점 필터이므로 i = 1 일 때만 존재

｜ H(ω)｜와 h(t) 는 ω = 1 일 때 (-3dB) ｜ H(ω)｜=1/√2

jH

1

1)(

2/12 )1(

1)(

H

0,0

0),exp()(

t

ttth

28

(b) 전달 함수는

이산 방정식은

(c) T = 0.5초인 경우 , 이산 방정식은

11 9512.01

1

)exp(1

1

)(

)()(

zzTzX

zYzH

][]1[9512.0][ nxnyny

][]1[9512.0][ nxnyny

- T = 0.05초일 때 , 주파수 Ω = π에 대응하는 각 주파수는 ω = π/T = 62.8 rad/sec

- T = 0.5초에서 주파수 Ω = π에 대응하는 각주파수는 ω = 6.28 rad/sec- -3dB 차단 특성은 아날로그 필터와 같이 1 라디안 / 초에 가깝게 발생하지만 aliasing 효과는 낮은 샘플링율에서 보다 심각하게 발생- 샘플링율이 비례적으로 변한다면 상대적으로 차단주파수도 변한다

29

1 라디안 / 초의 차단 주파수를 가진 3차의 Butterworth 저역 필터의 전달 함수는

(a) 샘플링 간격 0.5 초인 임펄스 불변 디지털 필터를 설계하고 이산 방정식을 구하라 .(b) 쌍 1차 변환 방법에 의해 설계된 설계된 3차의 Butterworth 필터의 주파수 응답과

비교(c) 임펄스 -불변 필터의 극점과 영점을 구하고 임펄스 응답을 그려라 .

)866.05.0)(866.05.0)(1(

1)(

jsjsssH

예제 6.6예제 6.6

풀이(a) 병렬 형태의 H(s) 를 표현하기 위해 부분 분수법을 사용하면 ,

T = 0.5초일 때의 디지털 전달 함수는

)866.05.0()866.05.0()1()( 321

js

K

js

K

s

KsH

2887.05.0;2887.05.0;1 321 jKjKK

))433.0exp(7788.0(

)2887.05.0(

))433.0exp(7788.0(

)2887.05.0(

)6065.0()(

jz

zj

jz

zj

z

zzH

30

z = 0.6065, z = rexp(±jθ) 에 세 개의 극점 (r = 0.7788, θ = 0.433 rad(24.8°))

1차와 2차 부 시스템들이 병렬로 연결된 형태를 직렬 형태로

따라서 , 임펄스 불변 필터의 이산방정식은

)6065.0414.1(

)8956.0(

)6065.0()(

2

zz

zz

z

zzH

)6065.04138.1)(6065.0(

)6065.0)(8956.0()6065.0414.1()(

2

2

zzz

zzzzzzzH

)3678.0438.10203.2(

)7315.0(08701.0)(

23

zzz

zzzH

]2[06365.0]1[08701.0]3[3678.0]2[464.1]1[0203.2][ nxnxnyynyny

31

Ω = π에 대응하는 각 주파수는 ω = π/T = 6.28 rad/sec

이산방정식의 계수

순환 : 2.0203, -1.464, 0.3678

비순환 : 0,0.08701, 0.06365

(b)

(c)

- 차단 주파수는 Ω = ωT = 0.5 rad(28.65°)

- z = 0.5932 에서 실수극점 , r = 0.7831, = ±25.32° 에서 복소

극점쌍

- z = -1 에서 3차의 영점- 주파수 응답은 낮은 주파수에서 유사

- 임펄스 불변 필터의 차단 경사는 aliasing 때문에 고 주 파 수 에 서 덜

가파름

32

아날로그 필터의 이론과 직접 관련되지 않음

필터 진폭 크기 특성의 선택이 유동적

선형 위상 응답을 갖는 유한 임펄스 응답 필터를 만들 수 있음

디지털 공진기 : 단위원상에 복소수의 극점쌍 , 원점에 2 차의 영점

극점의 위치에 대응하는 주파수에서 계속된 진동

주파수 샘플링 필터주파수 샘플링 필터

][]2[]1[][60

][]2[]1[cos2][

1cos2)exp()exp()(

2

22

nxnynynyif

nxnynyny

zz

z

jzjz

z

zX

zYzH

임펄스 응답은 무한대로 갈수록 극점 위치에 대응하는 주파수에서 연속적으로 진동

Fig. 6.16 (a)

33

주파수 샘플링 필터 – comb 필터주파수 샘플링 필터 – comb 필터][]2[]1[][ nxnynyny

Comb 필터의주파수 응답

comb 필터의 주파수 응답은 하나의 양수 출력 임펄스와 하나의 음수 출력 임펄스이며 , m 샘플링 간격들로 분리되어 있음

comb 필터의 전달함수

m

mm

z

zzzH

11)(

)1(

11

1)(

222

2

zzz

z

z

z

zz

zzH

m

m

m

m

zm - 1 = 0 m 개의 영점들은 단위원

주변에 등간격으로 분포 (comb 필터 )

z2 - z + 1 = 0 정확히 두개의 comb

필터의 영점들에서 상쇄됨

전체 필터에서 공진기의 극점은 comb

필터의 영점에 의해 없어지고 , z 평면에는

영점들만 가짐

m=24 인 경우 : y[n] = y[n-1] - y[n-2] + x[n] - x[n-24]

대역 통과 특성 , m 주 대역

전체 주파수 응답 공진기의 극점과 영점

34인접한 공진기들의 출력들간에 위상 역전이 있으므로 +, - 가중치들이 반전

주파수 샘플링 필터주파수 샘플링 필터

샘플링 주파수에 따른sinc 함수의 집합이

중첩

경제성을 높이기 위해한 개의 comb 필터만

사용

주파수 함수를 샘플링

35

그림 6.18(a) 의 주파수 응답에 근접하는 주파수 샘플링 필터를 설계 (이산 방정식 )75° 에서 93° 사이 (Ω = 1.309 에서 1.623 라디안 ) 에서 3° 간격으로 주파수영역에서

샘플링 하고 , z- 평면의 r = 0.999 에 극점들과 영점들을 위치

풀이 7개의 샘플에 대하여 7개의 공진기가 필요 그림 (c) : 주파수 -샘플링 필터3°간격으로 샘플을 구하기 때문에 z- 평면에서 360/3 = 120 개의 영점을 가져야 하며 반지름 0.999에 영점을 놓으면 전달함수는

주어진 이산 방정식은

120120

120120

886867.01)999.0(

)(

)()(

z

z

z

zX

zWzH

예제 6.7예제 6.7

]120[886867.0][][ nxnxnw

36

단위원보다 작은 반지름에 놓인 극점에 대해 수정된 공진기 : 식 (6.37)

각각의 7개의 공진기들은 고유각 θ를 가지며 , 샘플의 가중치는 이득인자이고 그림 6.18(c) 에서 주어진 신호 특성과 r = 0.999 을 사용하면 , 7개의 공진기 식을 얻는다

완벽한 필터를 구현하기 위해서 , 이미 주어진 컴 필터 수식을 사용하고 , 마지막 출력은 공진기의 수직을 중첩해서 나타내며

9개의 전체식은 프로그램의 루프와 연결되어 짐

][]2[]1[cos2][ 2 nxnyrnyrny

][333333.0]2[998001.0]1[104567.0][

]2[666667.0]1[998001.0][

][]2[998001.0]1[104567.0][

][]2[998001.0]1[208848.0][

][]2[998001.0]1[312556.0][

][]2[998001.0]1[415408.0][

][5.0]2[998001.0]1[517121.0][

nwnvnvnv

nwnunu

nwntntnt

nwnsnsns

nwnrnrnr

nwnqnqnq

nwnpnpnp

][][][][][][][][ nvnuntnsnrnqnpny

37

38

mnxnxnynyny 21 θcos2

θ 2cosθ 중심 주파수

60°90°

120°

10-1

Ω =π /3Ω =π /2Ω =2π /3

pass)-(high 1

pass)-(low 1

mnxnxnyny

mnxnxnyny

nxnynyny 21 θcos2단위원에 극점을 가진 공진기

m 개의 샘플 지연을 갖는 comb 필터와 연결된 이산 방정식

정수형

이산 방정식

39

디지털 적분기 디지털 적분기

연속합

11

1

][

)(][

)()1()(

1

z

z

zzX

zYzH

nxnyny

사다리꼴

12

1

1

12

1

)(

]1[][2

1)1()(

1

1

z

z

z

zzH

nxnxnyny

심슨의 법칙

1)2exp(3

1)exp(4)exp()(

j

jjH

13

14

1

413

1

)(2

2

2

21

z

zz

z

zzzH

]2[]1[4][3

1]2[][ nxnxnxnyny

이상 연속합

사다리꼴 심슨

40

디지털 적분기 디지털 적분기

41

그림 6.22

0.05 < < 0.95 의 범위에서 네개의 디지털 적분기들의 주파수 응답

(a) 이상적인 경우 (b) 연속합 (c) 사다리꼴 (d) 심슨 (횡축 : 320 샘플들)

디지털 적분기 디지털 적분기

42

HW #5

1 분반 : due 11/27, Wednesday

5 분반 : due 11/26, Tuesday

CHAPTER 6Problems Q6.4 Q6.5 Q6.8 Q6.10 Q6.15 Q6.18 Q6.21