1

6 장 순환 디지털 필터의 설계6 장 순환 디지털 필터의 설계

2

• 순환 디지털 필터 - 하나 혹은 그 이상의 이전 출력 값에 의존한다 .

- 피드백 (feedback)

- 무한한 임펄스 응답 (IIR)

• 장점 : 이전 출력 값을 이용하여 계산의 양을 줄인다 .

• 단점 1) 순환 필터는 피드백 계수가 잘못 선택되어지면 불안정해진다 .

2) 비선형 위상 응답• 만약 n , h[n] 은 무한히 연속적이다 .

Causal (h(n)=0 for n<0) => 더 이상 대칭적이지 않다 .

3

][...]1[][][...]1[][

....)())((

.....)())(()(

1010

321

321

0

0

MnxbnxbnxbNnyanyanya

pzpzpz

zzzzzzK

Za

ZbzH

MN

N

k

kk

M

k

kk

• 순환 필터

=> 강력한 이점 : H(z) 의 분자와 분모를 분리해서 조절할 수 있다 .

=> 분모의 크기를 특정 주파수가 작아지도록 조절 -> 첨예한 최고점의 응답

4

6.2 Z 평면에서 극점과 영점을 이용한 간단한 설계

• 순환 필터를 설계하는 방법은 z 평면에서 극점과 영점을 먼저 선택 => 이산 방정식을 구함 => 주파수 응답을 계산• 단위 원 위에 있는 여러 극점과 영점에서 임의의 한 점까지의 벡터의

크기를 계산함으로써 선형 시불변 프로세서의 주파수 응답을 나타냄• 극점이 단위 원에 가까울수록 첨예한 최고점을 갖는 응답• 영점이 단위 원에 가까울수록 깊은 골• 극점이 z 평면 실수축의 어느 위치에 놓이느냐에 따라 저역 필터 또는

고역 필터로 설계 (4.3.3 절 )

• 공액 복소 극점쌍의 위치에 따라 대역 필터

5

• 주파수 응답 H() 는 exp(j )-zn 형태의 분자 요소들의 곱을

exp(j )-pn 형태의 분모 요소들의 곱으로 나눈 형태 ( 종속 표준형

연결가능 )

• Z = 에서 극점이 있으면

- H() 의 분모는

- 진폭의 크기는

• Z = 에서 영점이 있으면

- | H() | 의 분자를 나타낸다는 것이 차이

sincos)exp()(1 jjF

2/122/1221 cos21sincos)( F

6

• 공액 복소 극점쌍 또는 영점쌍의 경우 극좌표가 (r, ) 를 가진 극점쌍

- H() 의 분모는

- 진폭의 크기는

sincos22sincoscos22cos

expcos22exp

expexpexpexp)(

2

2

2

rjrr

rjrj

jrjjrjF

2/1

2)sincos22(sin

2)

2coscos22 (cos)(2 rrrF

7

• 실수 극점 z = 0.9 저역통과 필터• 실수 영점 z = - 0.8 저역통과 필터

( 그림 6.1(a)(b))

8

• 복소수 극점 쌍 r = 0.975, = 150 대역통과 필터• 복소수 영점 쌍 r = 1, = 50 대역저지 필터

( 그림 6.1(c)(d))

9

• 원하지 않은 주파수의 좁은 대역을 제거하기 위한 대역저지 필터 켤레 복소수 영점 쌍을 단위원 위의 적당한 점에 놓는다 .

(( 그림 6.2))

z = 0.9 에서의 실수 극점을 갖는 1 차 시스템z = - 0.8 에서의 실수 영점을 갖는 2 차 시스템r = 0.975, = 150° 에 공액 복소 극점쌍r = 1, = 50 ° 에 공액 복소 영점쌍

10

예제 6.1 다음의 특징을 가진 순환 디지털 대역 필터를 설계하라 .

(a) 대역 중심이 = /2 에 위치하고 -3dB 사이에서 진폭은 /40 이며 , 최대 이

득이 1 이다 .

(b) = 0, = 에서 안정상태로 차단된 , 즉 0 인 필터진폭 특성을 구하기 위해 부록 A1 에서 20 번 프로그램을 사용하여 필터의

이산 방정식을 구하라 .

11

• 최대이득 : 26.15(28.35dB)

• 방정식에서 , K = (26.15)-1 = 0.03824

• 응답하는 차분방정식 :

y[n+2] + 0.9235y[n] = 0.03824x[n+2] - x[n]

괄호 안의 각각의 항에 대해서 2 씩 빼면 ,

y[n] = -0.9235y[n-2] + 0.03824x[n] - x[n-2]

9235.0

)1(3824.0

)2

(exp961.02

(exp961.0

)1()1(03824.0

)(

)()(

2

2

z

z

jzjz

zz

zX

zYzH

- BC 가 직선에 근접하다 가정- PAB 가 직삼각형이라 가정- d = 1 - r (r > 0.9 인 경우 합당 )

- 2d = 2 (1-r)

- 2 (1-r) = /40, r = 0.961

12

그림 6.4 간단한 대역 필터의 극점 - 영점 구성과 진폭 응답 ( 횡좌표 : 320 샘플 )

13

예제 6.2( 풀이 )

- fs 2 fmax

- fs = 1.2 kHz

- fmax 는 최대 600Hz 까지 될 수 있다 .

- 2 : 1200 = o: 60

- o = 0.1

-

97382.0120

1,600

10)1(2

rr

94833.08523.1

19021.1

94833.0)1.0cos(9476.1

1)1.0cos(2

)1.0(exp97382.0)1.0(exp97382.0

)1.0(exp)1.0(exp

)(

)()(

2

2

2

2

zz

zz

zz

zz

jzjz

jzjz

zX

zYzH

14

y[n+2] - 1.8523 y[n+1] + 0.94833 y[n] = x[n+2] - 1.9021 x[n+1] + x[n]

y[n] = 1.8523 y[n-1] - 0.94833 y[n-2] + x[n] - 1.9021 x[n-1] + x[n-2]

15

6.3 아날로그 설계에 의한 필터

- 라플라스 변환 : 아날로그 신호- z 변환 : 디지털 신호

...2

...)(

311

321

pspsps

zszszsKsH

16

쌍 1 차 변환

jezjwsz

zs

1

1

17

18

• 버터워스 필터1) 가장 평탄한 통과 대역2) Cutoff 주파수3) 만약 필터의 차수가 증가한다면

통과대역 , 정지대역 기능향상천이 날카롭게 된다 .

• 쳬비셰프1) 통과대역에서의 리플2) 1.0 사이에서의 떨림 3) 차수의 증가 리플의 증가4) 큰 리플 더 나은 정지대역5) 버터워스보다 더 날카로운 천이대역을 가진다 .

• 엘립틱 필터1) 리플 정지대역 통과대역 둘다 있음2) 좁은 천이대역

)3(2

1 dB

parameterripple:)1(1 2

19

2/122/12

1

)2

tan(

)2

tan(1

1|)(|

1

1)(

n

C

nHH

2/1

22

2/1

1

22

)2

tan(

)2

tan(1

1|)(|

1

1)(

Cn

nC

H

C

H

2/1

1

221

1)(

LR

H

n

버터워스

체비셰프

엘립틱

아날로그 디지털

20

)2/tan(

)2/tan()2/cos(2

)2/sin(2

)(

)(

1

12/2/2/

2/2/2/

w

jj

eee

eee

e

ejw

jjj

jjj

j

j

21

- 주파수 축이 압축될 때 필터의 진폭 특성인 최대 평탄과 등맥류 특성은 보

존됨 .

- 아날로그 주파수 응답의 경우 에일리어싱 (aliasing) 이 없으므로 저역 필터의

응답은 = 에서 0 이 되며 실제 응용에 많이 사용됨 .

디지털 Butterworth 와 Chebyshev 필터를 설계하는 데 쌍 1 차 변환이 중요한 이유

디지털 Butterworth 와 Chebyshev 필터를 설계하는 데 쌍 1 차 변환이 중요한 이유

22

- 원주 위에 n 개의 극점- z = -1 에 n 차의 영점- 극점들은 단위원 안쪽에 있는 Pm 값에 의해 주어짐

- Pm 의 실수부와 허수부는 별개

)12...(,1,0,sin2

tan2

2tan1

1

12

nmdn

mPI

dPR

m

m

2

tancos2

tan21 121

n

md

23

1cos2

tan12 1

daPRm

sin2

tan2 1

bPIm

2122

2

1 sin2

tancos2

tan1

bad

)12(...,1,0 nmnm

2/121

/1/1/1/1

1

5.0;5.0

c

ccbcca nnnn

24

예제 6.3 차단 주파수 1= 0.2 이며 주파수 응답이 = 0.4 에서 30 dB 이하가 되도록 하는

(a) 필터의 최소 차수를 계산하라 .

(b) z 평면의 극점과 영점을 찾기 위해 21 번 프로그램을 사용하여 구하고 극점과 영점을 그려라 .

(c) 필터의 이산 방정식을 구하라 .

(d) 21 번 프로그램을 사용하여 주파수 응답을 데시벨로 그려라 .

25

풀이(a) 0.2 차단 주파수 = 0.4

(b) 5 차의 필터가 z = -1 에서 5 차의 실수 영점 r 0.50953 0

0.83221 34.644

0.59619 23.125

29.4,1000236.21

03162.0236.21

1

03162.0)20

30(log

236.21

1

]1.0tan2.0tan

[1

1)4.0(

2

2/12

110

2/122/12

n

H

n

n

nn

26

(c)

- 1 차와 2 차 필터를 직렬로 연결- 1 차 필터는 단일 실수 극점과 영점- 2 차 필터는 복소 극점쌍과 2 차의 영점을 포함- 5 개 극점과 5 개의 영점- 중간 출력 v[n], w[n]

)(

)1(

)(

)(

z

z

zX

zV

27

V[n] = v[n-1] + x[n] + x[n-1]

2 차 필터의 전달함수

w[n] = 2r cos w[n-1] - r2w[n-2] + x[n] + 2x[n-1] + x[n-2]

v[n] = 0.50953v[n-1] + x[n] + x[n-1]

w[n] = 1.3693w[n-1] - 0.69257w[n-2] + v[n] + 2v[n-1] + v[n-2]

y[n] = 1.0966y[n-1] - 0.35544y[n-2] + w[n] + 2w[n-1] + w[n-2]

22

2

2

cos2

12

)exp()exp(

)1(

)(

)(

rzrz

zz

jrzjrz

z

zV

zW

28

(d) 프로그램 20 번의 입력

No. of separate real poles: 1

value, order, of pole: 0.50953, 1

No. of separate real zeros: 1

value, order, of zero: -1, 5

No. of complex pole-pairs: 2

radius, angle, of each: 0.83221, 34.644

0.59619, 23.125

No. of complex zero-pairs: 0

29

(( 그림 6.7))

30

예제 6.4

(a) 3dB 의 통과 대역 멱류와 0.2(36) 에서 차단 주파수를 가진 3 차의 Chebyshev 저역 필터의 주파수 응답을 구하기 위해 20 번과 21 번

프로그램을 사용하라 . 이 필터는 예제 6.3 의 차단 특성과 같은가 ?

(b) 0.7 의 차단 주파수를 가진 6 차 Butterworth 고역 필터의 극점과 영점의

분포와 주파수 응답의 진폭 함수를 그려라 .

풀이(a) z = -1 에서 3 개의 영점을 가짐 .

극점은 다음과 같다 .

r 0.82343 0

0.91467 32.794

31

(b) 21 번 프로그램에 의해 r 0.80853 126.95

0.52174 135.78

0.35026 160.39

32

• Chebyshev 필터2 : 하위 차단 주파수

3 : 상위 차단 주파수

1 = ( 3 - 2 )

두개의 극점과 영점

(( 그림 6.9))

2cos

2cos

125.015.0

23

23

2/122

A

AAz

여기서

33

6.3.2 임펄스 - 불변 필터

• 아날로그 필터로부터 디지털 필터를 유도하는 또 다른 방법• 참조한 아날로그 필터의 impulse 응답의 샘플된 형태

(( 그림 6.10))

34

• 주파수 영역에서 아날로그와 디지털 필터간의 다른 관계는 , bilinear 변환에 비교됨 .

• 실제 문제 쌍 1 차 변환보다 사용하기에 덜 효율적이고 더 불편함 .

• h(nTs) = h A(t) | t = nTs

h A(t) : 아날로그 필터 , h(nTs) : h A(t) 의 샘플된 형태 ‘

h1[n] = h(nT1) n = 0, 1, 2, …

h2[n] = h(nT2)

T1<T2 h(nTs) : 에일리아싱 ( 겹침 )

• 적절한 샘플링율에 의존 .

• 제한된 대역폭의 아날로그 기준 필터를 선정하는데 의존 .

35

(( 그림 6.11))

1

3

3

2

2

1

1

321

321

)(

)()(

i i

i

ps

K

ps

K

ps

K

ps

K

pspsps

zszszsKsH

36

• 각각의 아날로그 부필터의 임펄스 응답은 단순한 지수적 형태를 가짐 .

• i 번째 부필터의 경우

00

0)exp(|)(][

00

0)exp()(

n

nTnpKthnh

t

ttpKth

iinTtii

iii

37

z 평면의 원점에서 0.

z = exp(piT) 에 극점

)exp()exp(1

])[exp()exp()(

1

0

1

0

Tpz

zK

zTp

K

zTnpKzTnpKzH

i

i

i

i

n

nii

n

niii

)exp()(

Tpz

zKzH

i

ii

38

예제 6.5 아날로그 선형 시불변 프로세서에서 가장 기본적인 형태는 전달함

수가 1 차인 저역 필터이다 .

여기서 는 시정수 (time constant) 라고 부른다 . ( 이러한 필터는 저항과 커패시

터를 사용하여 설계할 수 있다 .)

ssH

1

1)(

39

풀이(a) τ = 1 미고 s 에 jω 를 대입하면

이는 단일 - 극점 필터이므로 병렬 분해할 필요가 없으며 ,. 식 (6.32) 는 다음과 같이된다 .

｜ H(ω) ｜와 h(t) 는 그림 6.12 와 같으며 ω = 1 일 때 , -3dB 점 즉 ｜ H(ω)｜ =1/√2 이 된다 .

2/12 )1(

1)( ,

1

1)(

H

jH 이로부터

0,0

0),exp()(

t

ttth

40

(b) 식 (6.35) 를 사용하면 전달 함수는

이산 방정식은

(c) T = 0.5 초인 경우 , 이산 방정식은 다음과 같다 .

11 9512.01

1

)exp(1

1

)(

)()(

zzTzX

zYzH

][]1[9512.0][ nxnyny

][]1[6065.0][ nxnyny

41

20 번 프로그램을 이용하면 , (b) 에서의 필터는 z = 0.9512 에서 단일 극점을 가지며 , 또한 (c) 는 z = 0.6065 에서 극점을 갖는다 . 그림 6.13에 각각에 대한 주파수 응답을 나타내었다 .

T = 0.05 초일 때 , 주파수 Ω = π 에 대응하는 각 주파수는 ω = π/T = 62.8 라디안 / 초이다 . T = 0.5 초에서 주파수 Ω = π 에 대응하는 각주파수는 ω = 6.28 라디안 / 초이다 . 각각의 경우 -3dB 차단 특성은 아날로그 필터와 같이 1 라디안 / 초에 가깝게 발생한다 . 그러나 에일리어싱 효과는 낮은 샘플링율에서 보다 심각하게 나타난다 .

실제적으로 1 라디안 / 초와 같은 낮은 차단주파수를 가진 필터는 실용성이 없다 . 그러나 위의 결과로 샘플링율이 비례적으로 변한다면 상대적으로 차단주파수도 변한다는 것을 알 수 있다 . 예에서 각각 T = 5×10-5 초와 T = 5×10-4 초에 대하여 1000 라디안 / 초의 차단 주파수에 적용하였다 .

42

43

예제 6.6 1 라디안 / 초의 차단 주파수를 가진 3 차의 Butterworth 저역 필터의

전달 함수는

(a) 샘플링 간격 0.5 초인 임펄스 불변 디지털 필터를 설계하고 이산 방정식을 구하라 .

(b) 부록 A1 의 20 번과 21 번 프로그램을 사용해서 쌍 1 차 변환 방법에 의해 설계된 설계된 3 차의 Butterworth 필터의 주파수 응답과 비교하라 .

(c) 임펄스 - 불변 필터의 극점과 영점을 구하고 4 번 프로그램을 이용해서 임펄스 응답을 그려라 .

)866.05.0)(866.05.0)(1(

1)(

jsjsssH

44

풀이(a) 병렬 형태의 H(s) 를 표현하기 위해 부분 분수법을 사용한다 .

복소수를 포함하고 있기 때문에 대수적인 주의가 필요하다 .

T = 0.5 초라 하면 , 식 (6.35) 을 사용하여 디지털 전달 함수의 구성 성분을 찾을 수 있다 .

)866.05.0()866.05.0()1()( 321

js

K

js

K

s

KsH

2887.05.0;2887.05.0;1 321 jKjKK

))433.0exp(7788.0(

)2887.05.0(

))433.0exp(7788.0(

)2887.05.0(

)6065.0()(

jz

zj

jz

zj

z

zzH

45

z = 0.6065, z = rexp(±jθ) 에 세 개의 극점이 있다 . 여기서 r = 0.7788 이고 θ = 0.433 라디안 (24.8°) 이다 . 두 복소 표현을 결합해 보면 ,

1 차와 2 차 부 시스템들이 병렬로 연결된 형태로 직렬 형태로 바꿀 수 있으며 ,20 번 프로그램을 사용하여 주파수 응답을 나타낸다 . 그리고 프로그램은 직렬 형태를 가정하였으므로

이며 , 간소화하면

그러므로 임펄스 불변 필터의 이산방정식은

)6065.0414.1(

)8956.0(

)6065.0()(

2

zz

zz

z

zzH

)6065.04138.1)(6065.0(

)6065.0)(8956.0()6065.0414.1()(

2

2

zzz

zzzzzzzH

)3678.0438.10203.2(

)7315.0(08701.0)(

23

zzz

zzzH

]2[06365.0]1[08701.0]3[3678.0]2[464.1]1[0203.2][ nxnxnyynyny

46

No. of separate real poles: 1value, order, of pole: 0.6065, 1

No. of separate real zeros: 1value, order, of zero: -0.7315, 1

No. of complex pole pairs: 1value, order, of pole: 0.7788, 24.8°

No. of complex zero pairs: 0

프로그램은 그림 6.14(a) 와 같이 주파수 응답을 나타내며 , 이 경우에 Ω = π 에 대등하는 각 주파수는 ω = π/T = 6.28 라디안 / 초이다 . 특성에 의해 -3dB 차단점은 ω = 1 에서 발생한다 .

입력

47

20 번 프로그램을 사용하여 쌍 1 차 변환 방법에 의해 설계된 3 차의

Butterworth 필터의 응답과 비교한다 . 차단 주파수는 Ω = ωT = 0.5 라디안 , 즉 28.65° 이다 . z = 0.5932 에서 실수극점을 , 반지름 0.7831 과 각 ±25.32° 에서의 복소 극점쌍을 가지며 이 프로그램은 z = -1에서 3 차의 영점을 갖는다 . 20 번 프로그램에 대한 입력 데이터로 사용되는 정보는 그림 6.14(b) 에 나타내어져 있다 .

두 개의 주파수 응답은 낮은 주파수에서 매우 유사하며 임펄스 불변

필터의 차단 경사는 아날로그 필터 특성의 에일리어싱 때문에 고주파수에서 덜 가파르다 .

48

49

순환 : 2.0203, -1.464, 0.3678

비순환 : 0,0.08701, 0.06365

50

아날로그 필터의 이론에서 직접적인 부분이 없음 .

필터 크기 특성의 선택이 유동적 .

유한 임펄스 응답 필터를 만듦 . ( 유한 임펄스 응답 선형 위상 응답 )

디지털 공명 장치들 : 단위원상에 복소수의 극점쌍 , 원점에 2 차 영점 .

극점의 위치에 대응하는 주파수에서 계속된 진동 .

6.4 주파수 샘플링 필터6.4 주파수 샘플링 필터

][]2[]1[][

5.0cos ,60

][]2[]1[cos2][

1cos2)exp()exp()(

2

22

nxnynyny

if

nxnynyny

zz

z

jzjz

z

zX

zYzH

51

디지털 공명 장치들은 불안정 .

주파수 샘플링 필터 comb 필터와 공명 장치의 조합 .

Comb 필터의 주파수 응답은 하나의 양수 출력 임펄스와 하나의

음수 출력 임펄스인데 , 그것들은 m 샘플링 간격들로 분리되어

있음 . x(n)-x(x-m)

comb 필터의 전달함수

공명 장치는 정확하게 두개의 comb 필터의 영점들에서 상쇄됨 .

m

mm

z

zzzH

11)(

52

종합적으로

zm - 1 = 0 m 개의 영점들은 단위원 주변에 등간격으로 분포 . (comb

필터 )

z2 - z + 1 = 0 정확히 두개의 comb 필터의 영점들에서 상쇄됨 .

따라서 , 전체 필터는 단지 z 평면의 영점들만을 가짐 .

m=24 인 경우에 y[n] = y[n-1] - y[n-2] + x[n] - x[n-24]

대역 통과 특성

m 주 대역

)1(

11

1)(

222

2

zzz

z

z

z

zz

zzH

m

m

m

m

53

Comb 필터와 공명 장치의 조합 .

교대의 가중치들이 반전되어야 한다 . 왜냐하면 , 인접한 공명 장치들의

출력들간에 위상 역전이 있기 때문이다 .

54

예제 6.7 그림 6.18(a) 의 주파수 응답에 근접하는 주파수 샘플링 필터를 설계하라 . 75° 에서 93° 사이 (Ω = 1.309 에서 1.623 라디안 ) 에서 3°간격으로 주파수영역에서 샘플을 하고 , z- 평면의 r = 0.999 에 극점들과 영점들을 위치시킨다 . 필터를 실행하기 위한 이산 방정식을 구하라 .

풀이 그림 6.18(b) 와 같이 7 개의 샘플에 대하여 7 개의 공진기가 필요하며 ,

그림 (c) 는 주파수 - 샘플링 필터를 나타낸다 . 3° 간격으로 샘플을 구하기 때문에 컴 필터는 z- 평면에서 360/3 = 120

개의 염점을 가져야 하며 반지름 0.999 에 영점을 놓으면 전달함수는 다음과 같다 .

주어진 이산 방정식은

120120

120120

886867.01)999.0(

)(

)()(

z

z

z

zX

zWzH

55

단위원보다 작은 반지름에 놓인 극점에 대해 수정된 공진기 식 (6.37) 과 같다 .

각각의 7 개의 공진기들은 여기서 고유각 θ 를 가지며 , 또한 샘플의 가중치는 이득인자이며 그림 6.18(c) 에서 주어진 신호 특성과 r = 0.999을 사용하면 , 7 개의 공진기 식을 얻을 수있다 .

완벽한 필터를 구현하기 위해서 , 이미 주어진 컴 필터 수식을 사용하고 ,

마지막 출력은 공진기의 수직을 중첩해서 나타내며

9 개의 전체식은 프로그램의 루프와 연결되어 진다 .

]120[886867.0][][ nxnxnw

][]2[]1[cos2][ 2 nxnyrnyrny

][333333.0]2[998001.0]1[104567.0][

]2[666667.0]1[998001.0][

][]2[998001.0]1[104567.0][

][]2[998001.0]1[208848.0][

][]2[998001.0]1[312556.0][

][]2[998001.0]1[415408.0][

][5.0]2[998001.0]1[517121.0][

nwnvnvnv

nwnunu

nwntntnt

nwnsnsns

nwnrnrnr

nwnqnqnq

nwnpnpnp

][][][][][][][][ nvnuntnsnrnqnpny

56

57

mnxnxnynyny 21 θcos2

θ 2cosθ 중심 주파수

60°90°

120°

10-1

Ω =π /3Ω =π /2Ω =2π /3

pass)-(high 1

pass)-(low 1

mnxnxnyny

mnxnxnyny

58

6.5 디지털 적분기 6.5 디지털 적분기

이동합

11

1

][

)(][

)()1()(

1

z

z

zzX

zYzH

nxnyny

사다리꼴

12

1

1

12

1

)(

]1[][2

1)1()(

1

1

z

z

z

zzH

nxnxnyny

심슨의 법칙

1)2exp(3

1)exp(4)exp()(

j

jjH

13

14

1

413

1

)(2

2

2

21

z

zz

z

zzzH

]2[]1[4][3

1]2[][ nxnxnxnyny

이상연속합

사다리꼴 심슨

59

그림 6.20 디지털 적분기 : (a) 이동합 , (b) 사다리 법칙 , (c)Simpson 의 법칙

60

그림 6.21 이동합 , 사다리 , Simpson 적분기의 극점과 영점 위치

61

그림 6.22

0.05 < < 0.95 의 범위에서 네개의 디지털 적분기들의 주파수 응답

(a) 이상적인 경우 (b) 연속합 (c) 사다리꼴 (d) 심슨 (횡축 : 320 샘플들)