PROBLEMA DE ÁNGULOS COMPUESTOS (NIVEL FÁCIL)

De la siguiente igualdad:

sen(x +y) = senx + seny, calcular el valor de M.

M= cscx+cotxcscy+coty

A) -1 B) 0 C) 1 D) 2 E) 3

SOLUCIÓN:

M= cscx+cotxcscy+coty

M=( 1+cosxsenx )( 1+cosyseny )

Luego tenemos:

M=seny (1+cosx )senx (1+cosy )

Del dato inicial:

sen(x +y) = senx + seny = senxcosy + cosxseny

-senx (1 – cosy) = seny (1 – cosx)

Multiplicamos ambos miembros de la ecuación por (1 + cosy)(1 + cosx):

-senx (1 – cosy)(1 + cosy)(1 + cosx) = seny (1 – cosx)(1 + cosy)(1 + cosx)

-senxsen2y (1 + cosx) = senysen2x (1+cosy)

-seny (1 + cosx) = senx (1 + cosy)

−1=seny (1+cosx )senx (1+cosy )

=M

PROBLEMA DE TRANSFORMACIÓN DE SUMA PRODUCTO (NIVEL INTERMEDIO)

De la siguiente condición:

tan (A + B) = 3tanA , encontrar una expresión equivalente a N.

N = sen (2A + 2B) + sen2A – 2sen2B

A) 0 B) senA C) cosA D) senAcosB E) senA – cosB

SOLUCIÓN:

Recordar que:

senA+senB=2 sen ( A+B2 )cos( A−B

2 )2 senxcosy=sen ( x+ y )+sen (x− y )

De la condición:

tan (A + B) = 3tanA

sen ( A+B )cos ( A+B )

=3 sen Acos A

2sen (A + B)cosA = 3.2senAcos (A + B)

Transformando a suma:

sen (2A + B) + senB = 3 (sen (2A + B) + sen (-B))

2senB = sen (2A + B)

Ahora acomodamos convenientemente a N:

N = sen (2A + 2B) + sen2A – 2sen2B

Transformando a producto:

N = 2sen (2A + B) cosB – 2sen2B, 2senB = sen (2A + B)

N = 2 (2senB) cosB – 2sen2B, sen2B = 2senBcosB

N = 2sen2B – 2sen2B

N = 0

PROBLEMA DE CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA (NIVEL INTERMEDIO)

Si θ ∈ ⟨5π /4 ;3 π /2 ⟩ , halle los valores de h, siendo:

h = √(1−cosθ)/ (1+cosθ) + cscθ + cotθ

A) <0; 2> B) <0;1> C) <1;2> D) <√3; 2> E) [ 0 ;2 ⟩

SOLUCIÓN:

Reducimos h

h = √ 2 sen2 θ22cos2θ2

+ cotθ2

h = |tanθ2 | + cot

θ2

5π8 ¿

θ2 <

3π4 tan

θ2 es negativo

Entonces

h = - tanθ2 + cot

θ2

h = 2cotθ; 5π4

¿θ < 3π2

Analizando la variación de h en la C.T.:

Del gráfico anterior de la C.T.:

cot3π2

< cotθ < cot5π4

0 < cotθ < 1

0 < 2cotθ < 2; 2cotθ = h

0 < h < 2

Por lo tanto h ∈ <0; 2>

PROBLEMA DE FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA DIRECTA (NIVEL INTERMEDIO)

Siendo T1 y T2 los periodos de ƒ(x) y g(x) respectivamente, definidas por:

ƒ(x) = cot2x – 2cot3x y g(x) = ¿; calcular T 1T 2

.

A) 2 B) 1 C) 0 D) 4 E) 3

SOLUCIÓN:

Para ƒ(x), calculamos T1 con la definición de periodo ƒ(x+T1) = ƒ(x)

cot2 (x + T1) – 2cot (3x + 3T1) = cot2x – 2cot3x

Ahora comparamos los términos semejantes:

cot2 (x + T1) = cot2x T1 = nπ; n ∈ Z (I)

cot (3x + 3T1) = cot3x 3T1 = kπ; k ∈ Z, T1 = kπ3

; k ∈ Z (II)

De (I) y (II)

nπ = kπ3

nk=13

Debido a que T1 > 0 y T1 es mínimo, entonces n= 1 y k = 3:

T1 = π (III)

Ahora para g(x), g(x + T2) = g(x)

¿ = ¿

Analizando 2T2 = nπ; T2 = nπ2

; n ∈ Z

Debido a que T2 > 0 y T2 es mínimo, entonces n = 1.

T2 = π2 (IV)

De (III) y (IV)

T1 = π y T2 = π2

T 1T 2

= 2

PROBLEMA DE FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA INVERSA (NIVEL DIFÍCIL)

Determine el rango de la función ƒ, cuya regla de correspondencia es:

ƒ(x) = 2arcsec (|senx| + |cosx|)

A) [0 ; π2 ] B) [0 ; π4 ] C) [ π4 ; π2 ] D) [0 ;2π ] E) [0 ; π3 ] SOLUCIÓN:

Sea E = |senx| + |cosx|, y = ƒ(x) = 2arcsec (E)

Para la existencia de la función arcosecante, se debe cumplir que:

E≤ -1 v E ≥ 1 (I)

Además

E = |senx| + |cosx|, elevamos al cuadrado ambos miembros

E2 = |senx|2 + |cosx|2 + 2|senx||cosx|

Recordar que:

|a|2 = a2; ∀ a ∈ R |a||b| = |ab|; a,b ∈ R

Por lo anterior, E queda expresado de la siguiente manera.

E2 = sen2x + cos2x + 2|senxcosx|

E2 = 1 + |sen2x|

Se sabe que 0 ≤|sen2x| ≤ 1; ∀ x ∈ R

1 ≤1+¿|sen2x| ≤ 2 1 ≤ E≤ √2

Por otro lado, recordemos que la función arcosecante es creciente en todo su dominio, entonces tomaremos la función arcosecante a cada parte de la desigualdad, esto es:

arcsec (1) ≤ arcsec (E) ≤ arcsec (√2)

0 ≤ arcsec (E) ≤ π4

0 ≤ 2arcsec (E) ≤ π2 , y = ƒ(x) = 2arcsec (E)

0 ≤ y ≤ π2

Ran ƒ = [0 ; π2 ]PROBLEMA DE ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSA (NIVEL DIFÍCIL)

Calcule la solución general de la ecuación:

(tanx + cotx)2 = 2√2(senx + cosx); n ∈ Z.

A) {(8n+1) π4 } B) {(4n+1) π8 } C) {(4n+1) π4 }D) {(2n+1) π } E) {(8n+1) π8 } SOLUCIÓN:

Debido a la presencia de las funciones tanx y cotx, aplicaciones las restricciones para los valores de x:

x ≠ nπ2

; n ∈ Z

Por teoría

tanx + cotx ≤ -2 v tanx + cotx ≥ 2

(tanx + cotx)2 ≥ 4

Reemplazamos en la condición inicial de igualdad del problema

2√2(senx + cosx) ≥ 4

senx + cosx ≥ √2

senx + cosx > √2 v senx + cosx = √2

I. senx + cosx > √2 , no tiene soluciones reales, porque por propiedad de ángulos compuestos se cumple que:

-√2≤ senx + cosx≤ √2

II. senx + cosx = √2

(1

√2 ) senx + (1

√2 ) cosx = 1

cosπ4

senx + senπ4

cosx = 1

Por identidades de ángulos compuestos

sen (x + π4

¿ = 1

x + π4 = (4n + 1)

π2; n ∈ Z

x = (8n+1)π4