6 Derivada Funciones Trigonometricas

87

CAPTULO 6

FUNCIONES TRIGONOMTRICAS

6.1 FUNCIONES TRASCENDENTES (reas 1, 2 y 3)

Las funciones trascendentes se caracterizan por tener lo que se llama argumento. Un ar-gumento es el nmero o letras que lo simbolizan que hacen que una funcin adquiera un valor, esdecir, que se convierta en un nmero. Sin l, la funcin es vaca, o sea, no tiene valor.

Por ejemplo, la funcin sen (seno) es vaca, no tiene ningn valor porque le falta el argu-mento, le falta ese nmero que la transforme en una cantidad concreta. Si a la funcin anterior sele agrega el nmero 26 para tener sen 26 entonces esto ya adquiere un valor, el cual es

. A este nmero 26 que hizo que sen adquiriera un valor se le llama argu-26 0 4383711sen .=mento.

Otro ejemplo: la funcin log (logaritmo) es vaca, no tiene asociado ningn valor, pero sise le agrega 107 para tener log 107 entonces as ya adquiere el valor . En107 2 029383log .=este caso el 107 es el argumento de la funcin logaritmo.

De la misma forma, arc tan (arco tangente o tangente inversa) es vaca, no tiene asocia-do ningn valor, pero si se le agrega el nmero 1.23 para tener arc tan 1.23 ya adquiere el valor

. En este caso el nmero 1.23 es el argumento de la funcin arc tan.1 23 50 8886arc tan . .=

Funciones trigonomtricas

88

Las principales funciones trascendentes son:

a) trigonomtricas;b) trigonomtricas inversas yc) logartmicas y exponenciales.

No son todas, pero las que se van a estudiar en este curso sern sas. Dos caractersticasinteresantes en todas las frmulas de derivacin de las funciones trascendentes son que el argu-mento est representado siempre por la letra u y la segunda es que todas las frmulas terminan

multiplicando por la derivada del argumento, o sea por .dudx

Es conveniente tener presentes las reglas de escritura matemtica para identificar el argu-mento en una funcin trascendente, en las que el smbolo de la funcin se refiere a la escrituracon la que se invoca la funcin correspondiente. Por ejemplo, sen es el smbolo de la funcinseno; cos es el smbolo de la funcin coseno; log es el smbolo de la funcin logaritmo, etc.

Dichas reglas son:

1) El argumento comienza con el smbolo escrito inmediatamente despus del smbolo de lafuncin.

Ejemplos:

a) ( )3 1cos x + El argumento comienza con el parntesis por ser lo que est

escrito inmediatamente despus del smbolo de la funcin cos.Por razones obvias, termina donde cierra el parntesis.


89

b) 2 7tan x x El argumento comienza con la raz cuadrada por ser lo que est

escrito inmediatamente despus del smbolo de la funcin tan.

c) 22arc sec x y

El argumento comienza con el nmero 2 por ser lo que est

escrito inmediatamente despus del smbolo de la funcinarc sec.

d) 4tan cos x

El argumento comienza con la funcin coseno por ser lo que

est escrito inmediatamente despus del smbolo de la funcintan , es decir, el argumento de la tangente es cos 4x.

2) Todos los factores monomios pertenecen al argumento. En el caso de que alguno no seaparte del argumento, ste debe escribirse antes de la funcin trascendente.

Ejemplo:a) 3 53sen ab xy

Todos stos son factores monomios, por lo tanto el argu-

mento de la funcin seno es 3ab3xy5. En caso de que, porejemplo, y5 no fuera parte del argumento, as est mal es-crito y debe escribirse .

5 33y sen ab x


90

3) Solamente el primer trmino pertenece al argumento. En caso de que otros trminos seanparte del argumento, deben encerrarse entre parntesis. O en caso de que no lo sean, debenescribirse antes de la funcin trascendente.

Ejemplo:Una escritura as provoca la duda 6x - 3 son tambin parte42 6 3csc x x+ del argumento? Conforme a esta regla, no son y deberaescribirse como 6x - 3 + csc 2x4. O en todo caso, si lo sonsu escritura correcta sera csc(2x4 + 6x - 3).

4) Solamente el 1er factor polinomio es parte del argumento. En caso de que un 2 factor poli-nomio no sea componente del argumento, debe escribirse antes de la funcin trascendente.

Ejemplo:

Esta escritura es incorrecta porque se presta a dudas: El( )( )2 5 6 4 1cot x x x+ factor (4x - 1) es parte del argumento? Para evitar estas am-bigedades existe la regla anterior que dice que no y quea d e m s o r d e n a e s c r i b i r l o c o m o

; pero en el caso de que fuera( ) ( )24 1 5 6x cos x x + parte del argumento, su escritura correcta sera

( )( )2 5 6 4 1cos x x x + 5) Un exponente escrito sobre el smbolo de la funcin indica que toda la funcin est elevada

a dicha potencia.

Ejemplo:Este exponente indica que la funcin cotangente es la que( )3 5 6cot x est elevada al cubo, o sea que


91

( ) ( ) ( ) ( )3 5 6 5 6 5 6 5 6cot x cot x cot x cot x = 6) Un exponente escrito sobre el argumento indica que es el argumento el que est elevado a

dicha potencia.

Ejemplo

Este exponente indica que el argumento (5x - 6) es el que( )35 6cot x est elevado al cubo, o sea que

( ) ( )( )( )35 6 5 6 5 6 5 6cot x cot x x x = Ntese como se cumplen las reglas de escritura anteriores.

7) Todo argumento negativo debe escribirse entre parntesis.

Ejemplo:La razn de esta regla es para evitar confusiones en los( )2sen xinexpertos que interpretan como resta cuando se escribe

, a pesar de que carece de sentido una resta as,2sen xpues la funcin sen estara vaca (sin argumento), ya quese estara tomando como un trmino a sen y como otrotrmino a - 2x.

8) Cuando una funcin trascendente est dividida entre cualquier cantidad, debe escribirse lafraccin que indica la divisin antes de la funcin trascendente. En caso de que sea sola-mente el argumento el que est dividido, debe encerrarse el argumento entre parntesis o encaso extremo debe escribirse la lnea de fraccin claramente a la mitad del smbolo de lafuncin.

Ejemplos


92

Lo que pide esta regla es que se evite escribir el ejemplo ante-( )1 6 13

log x

rior como , pues es frecuente una escritura defi-( )6 1

3log x

ciente como que provoca la duda: El 3 divide( )6 1

3log x

a toda la funcin o solamente al argumento?.

Para evitar las confusiones sealadas en el ejemplo anterior,6 1

3xsec

con un parntesis en el argumento se deja en claro qu divideel 3.

6.2 FRMULAS PARA FUNCIONES TRIGONOMTRICAS (reas 1, 2 y 3)

Las frmulas de derivacin de las seis funciones trigonomtricas son:

(9)d dusen u cos udx dx

=

(10)d ducosu sen udx dx

=

(11) 2d dutanu sec udx dx

=

(12) 2d ducot u csc udx dx

=

(13)d dusecu tanu secudx dx

=


93

(14)d ducscu cot u cscudx dx

=

Debe notarse que la derivada de una funcin trigonomtrica es otra, u otras, funcin trigo-nomtrica con el mismo argumento. Esto es muy importante: el argumento nunca cambia. Ade-

ms todas las frmulas terminan multiplicando por la derivada del argumento dudx

Ejemplo 1: Hallar la derivada de 5y sen x=

Solucin: El argumento es 5x, o sea que u = 5x. Aplicando la frmula (9) se obtiene

N5 5dy dcos x xdx dx

=

cos u d udx

5 5dy cos xdx

=

Ntese que el argumento 5x no cambia de la funcin original al resultado de la derivada.

Ejemplo 2: Hallar la derivada de y= cos x2.

Solucin: El argumento es x2, o sea que u = x2. Aplicando la frmula (10) se obtiene


94

2 2dy dsen x xdx dx

=

- sen u d udx

22dy x sen xdx

=

Ejemplo 3: Hallar la derivada de y = tan (x2 - 3x + 5)

Solucin: El argumento es (x2 - 3x + 5), o sea que u = x2 - 3x + 5. Aplicando la frmula (11) se obtie-ne:

( ) ( )2 2 23 5 3 5dy dsec x x x xdx dx= + +

sec 2 ud udx

( ) ( )2 22 3 3 5dy x sec x xdx = +

Ejemplo 4: Hallar la derivada de 7y cot x=


95

Solucin: El argumento es , o sea que . Aplicando la frmula (12):7x 7u x=

2 7 7dy dcsc x xdx dx

=

( )1 22 7 7 /dy dcsc x xdx dx

=

-csc 2 ud udx

La derivada pendiente es de la forma un, por lo que

N( )NN2 1 217 7 72 /

dy dcsc x x xdx dx

=

n u n - 1d udx

2 772 7

dy csc xdx x

=

Finalmente ordenando conforme a las reglas de escritura matemtica

27 72 7

dy csc xdx x

=


96

Ejemplo 5: Hallar la derivada de 41y secx

= Solucin: El argumento es , o sea que . Aplicando la frmula (13):4

1x 4

1ux

=

4 4 4

1 1 1dy dtan secdx dxx x x

=

( )44 41 1dy dtan sec xdx dxx x = 5

4 4

1 1 4dy tan sec xdx x x

=


5 4 4

4 1 1dy tan secdx x x x

=

Ejemplo 6: Hallar la derivada de 4 5

3

6 1y csc

x

=

Solucin: El argumento es , o sea que . Aplicando la frmula (14):54

3

6 1x 43

6 1u

x=

5 5 54 4 4

3 3 3

6 1 6 1 6 1

dy dcot cscdx dxx x x

=


97

( ) 1 455 54 4

3 3 3 6 16 1 6 1

/dy dcot csc xdx dxx x

=

La derivada pendiente es de la forma un, por lo que

( ) ( )5 45 55 54 4

3 3 3 6 1 6 146 1 6 1

/dy dcot csc x xdx dxx x

= ( )

( )4

5 45 54 4 5

3 303 3

6 1 6 1 4 6 1/

xdy cot cscdx x x x

=


( )4

5 4 5 54 45

90 3 3

6 1 6 14 6 1/

dy x cot cscdx x xx

=

Ejemplo 7: Hallar la derivada de ( )524 4 7y sen x x= +Solucin: El argumento es (4x2 - 4x + 7)5 , por lo que u = (4x2 - 4x + 7)5. Empleando la frmula (9):

( ) ( )5 52 24 4 7 4 4 7dy dcos x x x xdx dx= + +La derivada pendiente es de la forma un, por lo que


98

( ) N ( )N ( )42 2 24 4 7 5 4 4 7 4 4 7dy dcos x x x x x xdx dx = + + +

n u n - 1 d udx

( ) ( ) ( )5 42 24 4 7 5 4 4 7 8 4dy cos x x x x xdx = + + finalmente, ordenando conforme a las reglas de escritura matemtica:

( ) ( ) ( )4 52 25 4 4 7 8 4 4 4 7dy x x x cos x xdx = + +

Ejemplos con potencias

Ejemplo 8: Hallar la derivada de 4 5y cos x=Solucin: Como la funcin es lo mismo que , tiene la forma de un, en

4 5y cos x= ( )45y cos x=donde u = cos 5x y n = 4. Entonces aplicando la frmula (6) correspondiente a un de lapgina 69 se obtiene:

N ( ) N3

4 5 5dy dcos x cos xdx dx

=

n - 1

n u d udx


99

La derivada pendiente es de la forma cos u , de manera que aplicando ahora la frmula (10)del coseno:

( )34 5 5 5dy dcos x sen x xdx dx

=

- sen ud udx

( )34 5 5 5dy cos x sen xdx

=

Finalmente, ordenando conforme a las reglas de escritura matemtica se llega a

320 5 5dy cos x sen xdx

=

Ejemplo 9: Hallar la derivada de ( )3 27 5 7y x tan x= Solucin: La funcin tiene la forma del producto uv, en donde y . Enton-

37u x= ( )25 7v tan x= ces aplicando la frmula (7) del producto uv de la pgina 77:

N ( ) ( )3 2 2 37 5 7 5 7 7dy d dx tan x tan x xdx dx dx= +

u v dvdx

dudx


100

La primera derivada pendiente es de la forma tan u, en donde u = 5x2 - 7:

( ) ( ) ( )3 2 2 2 2 27 5 7 5 7 5 7 21dy dx sec x x tan x xdx dx = +

sec2ud udx

( )( ) ( )3 2 2 2 27 5 7 10 5 7 21dy x sec x x tan x xdx = + Ntese que el factor se escribi con un parntesis de diferente forma al del argu-221x mento de la tangente para evitar confusiones y dejar claro que no pertenece al argumento.Finalmente, ordenando conforme a las reglas de escritura matemtica:

( ) ( )4 2 2 2 270 5 7 21 5 7dy x sec x x tan xdx = +

Ejemplo 10: Derivar 4

2

5sen xysec x

=

Solucin: La funcin tiene la forma de un cociente, es decir, de , en donde u que representa al nu-uv

merador es y v que representa al denominador es . De manera4 5u sen x= 2v sec x=

que empleando la frmula del cociente:


101

v u dudx

dvdx

P

( )2 4 4 2

22

5 5d dsec x sen x sen x sec xdy dx dxdx sec x

=

v2

La primera derivada pendiente o indicada es , la cual se deriva con la frmula4 5d sen xdx

de un (ver ejemplo 8), ya que sen45x = (sen 5x)4; en donde ahora por cambiar de frmula

y n = 4, mientras que la segunda derivada pendiente es , la cual es5u sen x= 2d sec xdx

de la forma sec v, en donde v = x2 . Ntese que aunque la frmula original est expresada entrminos de la variable u, es decir,

, d dusecu tanu secudx dx

=

en este caso se est empleando la variable v , esto es

d dvsec v tan v sec vdx dx

=

en virtud de que la variable u se utiliz en la primera derivada pendiente. Realizando lasderivadas indicadas:


102

n u n - 1 tan v sec v dudx

dvdx

P ( ) P PP2 3 4 2 2 22 2

4 5 5 5d dsec x sen x sen x sen x tan x sec x xdx dx

dydx sec x

=

Como la derivada del seno es :d dusen u cos udx dx

=

[ ]( )2 3 4 2 22 2

4 5 5 5 5 2dsec x sen x cos x x sen x tan x sec x xdy dxdx sec x

=

Finalmente, multiplicando y ordenando conforme a las reglas de escritura se llega a

2 3 4 2 2

2 2

20 5 5 2 5dy sec x sen x cos x x sen x tan x sec xdx sec x

=

Ejemplo 11: Derivar .4y tan sen x=

Solucin: En este caso debe distinguirse en primer lugar que el argumento de la funcin trigonomtrica tangente es a su vez la funcin trigonomtrica seno; y que el argumento de este seno es 4x.Significa que la funcin a derivar tiene la forma de tan u, en donde u = sen 4x.. Utilizandoentonces la frmula de derivacin de la tangente se obtiene que


103

2 4 4dy dsec sen x sen xdx dx

=

sec 2 ududx

2 4 4 4dy dsec sen x cos x xdx dx

=

cos ududx

24 4 4dy sec sen x cos xdx

=

aunque para evitar confusiones en el argumento de la secante, es preferible escribirlo con elcoseno por delante:

24 4 4dy cos x sec sen xdx

=

Ejemplo 12: Obtener la derivada de .( )5 23 3y tan x=

Solucin: Obsrvese que la funcin a derivar puede escribirse tambin como ,( ) 52 33y tan x = por lo tanto es de la forma un, en donde u = tan (x 2 - 3) y . Empleando dicha fr-53n =mula se obtiene:


104

N( ) ( )5 12 235 3 3

3dy dtan x tan xdx dx

=

n u n -1dudx

( ) ( ) ( )22 2 2 235 3 3 33

dy dtan x sec x xdx dx

=

( ) ( )2 2 2 235 3 3 23

dy tan x sec x xdx

=

( ) ( )2 2 2 2310 3 33

dy x tan x sec xdx

=

( ) ( )2 2 2 2310 3 33

dy x sec x tan xdx

=


105

EJERCICIO 12

Hallar la derivada de las siguientes funciones trigonomtricas:

1) 2)8y sen x= ( )2 6y cos x= 3) 4)( )2y tan x x= ( )42 6y cot x x= +5) 6)53y sec x= 71y csc x

=

7) 8)2y senx

= 83

2y cos

x =

9) 10)( )6 4 5y tan x= ( )75

3 5y cot

x

=

11) 12)2y sec xx

= + ( )3 2 6y csc x x x= +

13) 14)4 2y sen x= 3 6y cos x=

15) 16)5 7y tan x= 7y sec x=

17) 18)( )2 5y csc x= ( )24y sen x x=


106

19) 20)4

1

6y

cos x= ( )9 8 3y cot x=

21) 22)3 5y cot x sec x= ( )7 4 9y x cot x= 23) 24)( ) 15y x csc

x = ( )

723 1y tan x x =

25) 26)2

3 1xy cos

x = 5

2sen xyx

=

27) 28)( )1xy

sec x= 4 6

5

7y

cot x=

29) 30)2y tan cos x= 5y csc sen x=

31) 32)( )75 2 3y tan x= 22cot xy x=

Documents

6 Derivada Funciones Trigonometricas