6 DIVISIBILIDAD ALGEBRAICA

7/31/2019 6 DIVISIBILIDAD ALGEBRAICA

1/11

DIVISIBILIDAD ALGEBRAICADIVISIBILIDAD ALGEBRAICA

Este captulo tiene por finalidad determinar poli-nomios desconocidos, dadas ciertas condiciones, ytambin obtener restos que no se puede obtenerfcilmente por divisin o por aplicacin directa delteorema del resto.

Para tal efecto, se necesita conocer los siguientesprincipios:

PRINCIPIOS DE LA DIVISIBILIDADALGEBRAICA

1 Para determinar la suma de coeficientes de un po-linomio se hace la variable, o variables, igual a 1.Es decir:

de coeficientes de P(x,y) = P(1,1)

donde: significa sumatoria.

2 Para determinar el trmino independiente de unpolinomio se hace la variable respecto a la cual se

refiere el polinomio, igual a cero. Esto es:

T.I. del polinomio P(x) = P(0)

3 Si un polinomio es divisible separadamente entredos o ms binomios, ser divisible entre el pro-ducto de ellos.

Si P(x) (x - a), R = 0

P(x) (x - b), R = 0

P(x) (x - c), R = 0

entonces:

P(x) (x - a)(x - b)(x - c), R = 0

4 Si un polinomio es divisible entre el producto devarios binomios, ser divisible separadamente porcada uno de ellos. Esto significa que:

Si P(x) (x - a)(x - b)(x - c), R = 0

entonces:

P (x) (x - a), R = 0

P (x) (x - b), R = 0

P (x) (x - c), R = 0

5 En toda divisin, si al dividendo y divisor se lemultiplica por una misma cantidad el resto quedamultiplicado por dicha cantidad. Para determinarel resto verdadero se divide el resto obtenido

entre la cantidad por la cual se multiplic divi-dendo y divisor.

En general: D = dq + R

multiplicando por m:

D . m = d . m . q + R . m

Resto obtenido R . mResto verdadero = = = Rm m

6 En toda divisin, si al dividendo y divisor se ledivide por una misma cantidad, el resto quedadividido por dicha cantidad. Para determinar el

L G E B R A


2/11

resto verdadero, se multiplica el resto obtenidopor la cantidad por la cual se dividi dividendo ydivisor.

En general: D = dq + R

dividiendo entre m:

D d R = . q + m m m

El resto verdadero = Resto obtenido . m

R= . m = R

m

EJERCICIOS RESUELTOS

1.- Hallar la suma de coeficientes del polinomio:

P(x) = (8x3-7x + 2)n+3 (5x5 - 3x + 7)n-1

- (10x - 1)n+1(4x - 1)n-1

Solucin:

Como se pide calcular la suma de coeficientes delpolinomio, se halla su valor para x = 1:

P(1) = (8 - 7 + 2)n+3 (5 - 3 + 7)n-1

- (10 - 1)n+1(4 - 1)n-1

P(1) = (3)n+3(9)n-1 - (9)n+1(3)n-1

P(1) = (3n+3) (32)n-1 - (32)n+1(3)n-1

P(1) = 3n+3 . 32n-2 - 32n+2 . 3n-1

P(1) = 33n+1 - 33n+1 = 0

coeficientes = P(1) = 0

Rpta.: coeficientes = 0

2.- Si el polinomio:

P(x) = (5x - 1)2n-1 (2x + 5)n

+ [(3x + 1)(x + 5)]n + (x2 + n)(x - 2)

tiene como trmino independiente (-36)

Calcular n.

Solucin:

Se halla el T.I., para lo cual se hace x = 0:

P(0) = (-1)2n-1 (5)n + [(1)(5)]n + (n)(-2)

2n - 1 es nmero impar, por lo tanto:

(-1)2n-1 = -1

entonces:

P(0) = (-1) (5)n + 5n - 2n = -5n + 5n - 2n

P(0) = -2n

Este es el T.I., segn el enunciado su valor es -36.Luego:

-2n = -36n = 18

Rpta.: n = 18

3.- Determinar E = abc si el polinomio:

x5 - 2x4 - 6x3 + ax2 + bx + c

es divisible entre (x - 1)(x + 1)(x - 3)

Solucin:

si el polinomio es divisible entre (x -1)(x +1)(x - 3),ser divisible separadamente entre (x-1), (x + 1) y(x-3).

Dividiendo tres veces consecutivas por Ruffini:

1 -2 -6 +a +b +c

1 +1 -1 -7 +a-7 +b+a-7

1 -1 -7 a-7 b+a-7 a+b+c-7

-1 -1 +2 +5 -a+2

1 -2 -5 a-2 b-5

3 +3 +3 -6

1 +1 -2 a-8

Los restos deben ser cero, as:

a + b + c - 7 = 0 ()

b - 5 = 0 ()

a - 8 = 0 ()

De (): a = 8

De (): b = 5

De (): 8 + 5 +c - 7 = 0

c = -6

E = (8)(5)(06) = -240


3/11

4.- Determinar a y b si el polinomio:

ax8 + bx7 + 1

es divisible entre (x-1)2

Solucin:

Como es divisible entre (x - 1)2 ser divisibledoblemente por (x - 1). Dividiendo consecutiva-mente entre (x - 1), por Ruffini:

a b 0 0 0 0 0 0 1

1 a a+b a+b a+b a+b a+b a+b a+b

a a+b a+b a+b a+b a+b a+b a+b a+b+1

1 a 2a+b 3a+2b 4a+3b 5a+4b

6a+5b 7a+6b

a 2a+b 3a+2b 4a+3b 5a+4b 6a+5b

7a+6b 8a+7b

Por ser divisible debe cumplirse que:

i) a + b + 1 = 0 a + b = -1 ()

-7bii) 8a + 7b = 0 a = ()

8

Sustituyendo en () en ():

-7b + b = -1

8

b = -8

Sustituyendo en ():

-7ba = (-8)

8

a = 7

5.- Hallar el cociente entre q y r si el cociente esexacto:

x5 - 5qx + 4r

(x-c)2

Solucin:

Si el cociente es exacto, el polinomio dividendoes divisible entre (x - c)2 y tambin dos veces esdivisible entre (x - c), dividiendo por Ruffini:

1 0 0 0 -5q +4r

c c c2 c3 c4 -5qc+c5

1 c c2 c3 -5q+c4 4r-5qc+c5

c c 2c2 3c3 +4c4

1 2c 3c2 4c3 -5q+c4+4c4

Como el cociente es exacto, debe cumplirse que:

i) 4r - 5qc + c5 = 0 ()

ii) -5q + 5c4 = 0

c4 = q ()

Sustituyendo () en ():

4r - 5c5 + c5 = 0

r = c5 ()

De () a la quinta y () a la cuarta potencia, seobtiene:

c20 = q5 ()

r4 = c20 ()

de estas dos ltimas relaciones:

r4 = q5

6.- Hallar n y a si la divisin es exacta:

(x2 + x + 2)4 - a [(x + 1)2 - x + 1]3 - nx4(x + 1)4

x3 - 1

Solucin:

Como el divisor es:

x3 - 1 = (x - 1)(x2 + x + 1)

Por productos notables, el dividendo ser divisi-ble entre (x - 1)(x2 + x + 1) y tambin entre cadauno de ellos. Si es divisible por (x - 1), aplicandoel Teorema del resto se obtiene:

L G E B R A


4/11

R = P(1)= (1+1 +2)4 - a(4- 1+ 1)3 - n(1)4(2)4 = 0

256 - 64a - 16 n = 0

4a + n = 16 ()

Si es divisible entre (x2 + x + 1), aplicamos el Teore-ma del Resto, previo cambio de forma del dividen-do, de esta manera:

(x2 + x + 2)4 - a(x2 + 2x + 1 - x + 1)3 - n(x2 + x)4

o: (x2 + x + 2)4 - a (x2 + x + 2)3 - n(x2 + x)4

(Dividendo)

Igualando a cero el divisor:

x2 + x + 1 = 0 x2 + x= -1

Sustituyendo en el dividendo:

R = (-1 + 2)4 - a(-1 + 2)3 - n(-1)4 = 1 - a - n

Como la divisin es exacta el resto es cero, esto es:

1 - a - n = 0

a + n = 1 ()

Restando () - ():

3a = 15

a = 5

Sustituyendo en ():

n = -4

7.- Calcular a y b si el polinomio:

2x4 + ax3 + bx2 + 27x - 10

es divisible entre x2 - 6x + 5

Solucin:

Transformando a producto el divisor por produc-tos notables, entonces el polinomio ser divisible

separadamente por (x - 5) y (x - 1)

x2 - 6x + 5 = (x - 5)(x - 1)

Dividiendo por Ruffini dos veces:

2 +a +b 27 -10

1 2 a+2 a+b+2 a+b+29

2 a+2 a+b+2 a+b+29 a+b+29-10

5 10 5a+60 30a+5b+310

2 a+12 6a+b+62 31a+6b+339

Por condicin del problema:

a + b + 29 - 10 = 0

a + b = -19 ()

Tambin:

31a + 6b + 339 = 0

31a + 6b = -339 ()

De ():

b = -19 - a

sustituyendo en ():

31a + 6(-19 - a) = -339

a = -9

sustituyendo en ():

-9 + b = -19

b = -10

8.- Un polinomio de tercer grado cuyo primer coefi-ciente es 1, es divisible por (x - 2) y (x - 1) y al

ser dividido por (x - 3) da resto 20. Hallar su tr-mino independiente.

Solucin:

Datos:

i) P(x) es de tercer grado

ii) Primer coeficiente es 1

iii) P(x) (x - 2), R = 0

iv) P(x) (x - 1), R = 0

v) P(x) (x - 3), R = 20

Incgnita: T.I. = P(0)


5/11

De los datos (3) y (4) se obtiene:

P(x) (x - 2)(x - 1), R = 0

En toda divisin:

D = dq + R

si R = 0, la divisin es exacta, para este problema,por lo tanto:

P(x) (x - 2)(x - 1) q(x)

Por dato (1), P(x) es de tercer grado:

P(x) (x - 2)(x - 1) q(x)123 14243 123

3er.grado 2do.grado 1er.grado

se concluye que q(x) es de primer grado y es dela forma:

q(x) = ax + b

Luego: P(x) (x - 2)(x - 1)(ax - b)

Por dato (2) el primer coeficiente es 1, luego:

a = 1

Por lo tanto se puede escribir:

P(x) (x - 2)(x - 1)(x + b) ()

Por dato (5); P(3) = 20

Sustituyendo x = 3 en () e igualando a 20:

(3 - 2) (3 - 1) (3 + b) = 20

b = 7El polinomio buscado es:

P(x) (x - 2)(x - 1)(x + 7)

P(0) = (0 - 2)(0 - 1)(0 + 7) = 14

9.- Un polinomio P(x) divisible entre:

(xn-1 + 1)

tiene como T.I. -3 y grado n. Calcular el valorde n si se sabe que al dividirlo separadamenteentre (x - 1) y (x - 3), los restos que se obtienenson: -2 y 732 respectivamente.

Solucin:

Datos:

i) P(x) (xn-1 + 1), R = 0

ii) P(x) es de grado n

iii) P(x) (x - 1), R = -2

iv) P(x) (x - 3), R = +732

v) T.I. de P(x) es -3

Incgnita: n

Por el dato (1):

P(x) (xn-1 + 1) q(x)

Por el dato (2):

P(x) (xn-1 + 1) q(x)123 14243 123

grado n grado (n-1) grado (1)144424443

grado n

por lo tanto, q(x) es de primer grado y de la forma:

q(x) = ax + b

y, el polinomio adopta la forma:

P(x) (xn-1 + 1) (ax + b)

Por dato 5:

T.I. = P(0) = -3 ()

P(0) (0 + 1)(0 + b) ()

Igualando () y ()

(0 + 1)(0 + b) = -3

b = -3

Con lo cual el polinomio hasta este momentotiene la forma:

P(x) (xn-1 + 1) (ax - 3)

Por el dato (3):

P(1) = -2

P(1) = (1n-1 + 1)(a - 3) = -2

L G E B R A


6/11

Esto es:

(1n-1 + 1)(a - 3) = -2

a = 2

El polinomio finalmente ser:

P(x) (xn-1 + 1)(2x - 3)

Por el dato (4):

P(3) = 732 ()

P(3) = (3n-1 + 1)(6 - 3) ()

Igualando () y ():

(3n-1 + 1)(6 - 3) = 732

3n-1 + 1 = 244 ; 3n-1 = 243 3n-1 = 35

Como las bases son iguales, los exponentes tam-bin sern iguales:

n - 1 = 5 ; n = 6

10.- Un polinomio P(x) de sexto grado tiene raz

cuadrada exacta, es divisible separadamentepor (x2 +1) y (x + 3) y si se le divide por (x + 2)el resto es 225.

Hallar la suma de sus coeficientes.

Solucin:

Datos:

i) P(x) es de sexto grado

ii) P(x) tiene raz exacta

iii) P(x) (x2 + 1), R = 0

iv) P(x) (x + 3), R = 0

v) P(x) (x + 2), R = 225

Por los datos (2), (3) y (4):

P(x) (x2 + 1)2, R = 0

P(x) (x + 3)2, R = 0

de aqu se concluye que:

P(x) (x2 + 1)2 (x + 3)2, R = 0

luego:

P(x) (x2 + 1)2 (x + 3)2 q(x)

Por dato (1):

P(x) (x2 + 1)2 (x + 3)2 q(x)123 123 123 123

6to. grado 4to. 2do. 0144424443

6to.grado

se concluye que q(x) es de grado cero y toma laforma de:

q(x) = A

el polinomio ser:

P(x) (x2 + 1)2 (x + 3)2 A

Por el dato (5):

P(-2) = 225

P(-2) (4 + 1)2 (-2 + 3)2 A = 225

(5)2 (1)2 A = 225

A = 9

El polinomio es:

P(x) = (x2 + 1)2 (x + 3)2 (9)

La suma de coeficientes ser:

P(1) = (1 + 1)2 (1 + 3)29 = (4)(16)9 = 576

P(1) = 576

11.- Determinar el polinomio P(x) de 5to. grado quesea divisible entre (2x4 - 3) y que al dividirloseparadamente entre (x + 1) y (x - 2) los restosobtenidos sean 7 y 232 respectivamente.

Solucin:

Datos:

P(x) 5to. grado

P(x) (2x4 - 3), R = 0

P(x) (x + 1), R = 7

P(x) (x - 2), R = 232


7/11

a) Como P(x) (2x4 - 3), da R = 0

P(x) = (2x4 - 3) q(x)

b) Como P(x) es de 5to. grado, q(x) es de primer

grado:

q(x) = ax + b

Luego: P(x) = (2x4 - 3) (ax + b) ()

c) Aplicando el Teorema del resto:

P(x) (x + 1)

haciendo: x + 1 = 0

x = -1

R = P(-1) = 7

En ():

P(-1) = [2(-1)4 - 3][a(-1) + b] = 7

(-1)(-a + b) = 7

+a - b = 7 ()

d) P(x) (x - 2)

haciendo: x - 2 = 0

x = 2

R = P(2) = 232

En ():

P(2) = [2(2)4 - 3][a(2) + b] = 232

29(2a + b) = 232

2a + b = 8 ()

Sumando () y ():

3a = 15

a = 5

En ():5 - b = 7

b = -2

e) Reemplazando valores en (a):

P(x) = (2x4 - 3)(5x - 2)

efectuando:

P(x) = 10x5 - 4x4 - 15x + 6

12.- Hallar el resto de la divisin:

(x - 3)8 + (x - 4)5 + 6

(x - 3)(x - 4)

Solucin:

En toda divisin se cumple:

D = dq + R

En este caso:

(x -3)8 + (x - 4)5+ 6 (x - 3)(x - 4) q(x) + ax + b

Como es una identidad, se cumple para cualquiervalor de x, as:

para x = 3 se obtiene:

(3 - 3)8+(3 - 4)5 + 6 (3 - 3)(3 - 4) q(3) + 3a + b

-1 + 6 = 3a + b

3a + b = 5 ()

para x = 4 se obtiene:

(4 -3)8

+ (4-4)5

+ 6 (4 - 3)(4 - 4) q(4) + 4a + b

4a + b = 7 ()

restando () - ():

a = 2

En (): 6 + b = 5

b = -1

R = ax + b

R = 2x - 1

13.- Hallar el resto en:

(x - 5)3 (x + 4)2 (x3 - 3x - 17)n

(x - 2)(x + 4)(x - 5)

Solucin:

Dividiendo al dividendo y al divisor entre (x- 5)(x + 4),

se obtiene:

(x - 5)2 (x + 4) (x3 - 3x - 17)n

(x - 3)

L G E B R A


8/11

Aplicando el Teorema del resto:

x - 3 = 0

x = 3

Sustituyendo en el dividendo:

R =(3 - 5)3 (3 + 4)(27 - 9 -17)n = (4)(7)(1)n = 28

Como previamente se dividi, dividendo y divi-sor entre el producto (x-5) (x+4), para obtener elresto verdadero se tendr que multiplicar el resto28 por (x-5) (x+4), as:

R.verdadero = 28(x - 5)(x + 4)

efectuando:R = 28x2 - 28x - 560

14.- Hallar el resto en:

x102 - x51 -x4 + 2

x2 - x + 1

Solucin:

Multiplicando el dividendo y divisor por (x+1) se

obtiene:

(x102 - x51 - x4 + 2)(x + 1)

(x2 - x + 1)(x + 1)

efectuando:

x103 - x52 - x5 + 2x + x102 - x51 - x4 + 2

x3 + 1

descomponiendo parcialmente en potencias de x3:

(x3)34(x) - (x3)17(x) - (x3)(x2) + 2x + (x3)34

x3 + 1

- (x3)17 - (x3)(x) + 2

aplicando Teorema del resto:

x3 + 1 = 0

x3 = -1

R = (-1)34 (x) - (-1)17(x) - (-1)(x2) + 2x

+ (-1)34 - (-1)(x) + 2 - (-1)17

R = x + x + x2 + 2x + 1 + x + 2 + 1

R = x2 + 5x + 4 = (x + 1)(x + 4)

Como se ha multiplicado dividendo y divisor por

(x + 1), se tendr que dividir por este mismovalor el resto para obtener el verdadero.

El resto verdadero ser:

(x + 1)(x + 4)R. verdadero =

(x + 1)

R. verdadero = x + 4

15.- Si se divide un polinomio P(x) entre (x - 1) se

obtiene un resto que es 3; al cociente se divideentre (x + 1), el resto es 5; al nuevo cociente sedivide entre (x + 2), el resto es 8. Hallar el restode la divisin P(x) entre (x - 1)(x + 1)(x + 2)

Solucin:

Datos:

i) P(x) (x - 1) = q(x), R = 3

ii) q(x) (x +1) = q1(x), R = 5

iii) q1(x) (x + 2) = q

2(x), R = 8

Operando para resolver el ejercicio:

Por el dato (1):

P(x) = (x - 1) q(x) + 3 ()

Por el dato (2):

q(x) = (x + 1) q1(x) + 5 ()

Por el dato (3):

q1(x) = (x + 2) q

2(x) + 8 ()

Sustituyendo () en ():

q(x) = (x + 1) [(x + 2) q2(x)+8] + 5

q(x) = (x + 1) (x + 2) q2(x) + 8(x + 1) + 5 ()

Sustituyendo (

) en (

):

P(x) = (x - 1) [(x + 1)(x + 2) q2(x)

+ 8(x + 1) + 5] + 3


9/11

L G E B R A

efectuando:

P(x) = (x - 1)(x + 2)(x + 1) q2(x)

+ 8(x + 1)(x - 1) + 5(x - 1) + 3

P(x) = (x - 1)(x + 1)(x + 2) q2(x)

+ 8x2 - 8 + 5x - 5 + 3

P(x) = (x - 1)(x + 1)(x + 2) q2(x)

+ 8x2 + 5x - 10

La divisin completa ser en consecuencia:

P(x)(x -1)(x + 1)(x + 2) = q2(x)+ (8x2 + 5x -10)

Rpta.: 8x2 + 5x-10

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Un polinomio P(x) de tercer grado y de primercoeficiente la unidad, al ser dividido entre elpolinomio:

(x2 + 3x + 1)

deja de residuo cero. Entre cules de los siguientesbinomios es divisible P(x) si al dividir P(x) entre(x+1) deja de residuo -1?

a) x + 4 b) x = 2 c) x + 3

d) x - 1 e) x - 3

2. Cul es la suma de los coeficientes del polinomiof(x) si se sabe que es de tercer grado, su primercoeficiente es la unidad, es divisible entre:(x - 2)(x + 1) y carece de trmino cuadrtico?

a) 4 b) 1 c) 2

d) -3 e) -4

3. Al dividir dos polinomios enteros en x seobserva que el trmino independiente del divi-dendo es 5 veces el trmino independiente deldivisor y el residuo 2 veces el del divisor. Hallarel trmino independiente del cociente.

a) 1 b) 3 c) 2

d) 4 e) 5

4. Hallar el valor de (m-n) sabiendo que el poli-nomio:

P(x) = 10x5 + x4 - 9x3 +16x2 + mx + n

es divisible entre (x - 1)(2x + 3)

a) 4 b) -4 c) 0

d) 8 e) -18

5. Cul es el valor de m si el polinomio:

P(x) = x3 + m(a - 1)x2 + a2 . (mx + a - 1)

es divisible entre x - a +1?

a) a b) a2 + 1 c) a + 1

d) -1 e) -a

6. Qu valor deber asignarse a para que elpolinomio:

5x3 - (x2 + x - 1)

admita como divisor a : 5x2 + 2x - 4?

a) -4 b) 6 c) 8

d) 8 e) 7

7. Al dividir un polinomio P(x) entre x3 + 1, seobtiene como resto:

6x2 + 2x - 3

Hallar la suma de los coeficientes del resto dedividir P(x) entre (x - 1)(x + 1), sabiendo que lasuma de los coeficientes de P(x) es 8.


10/11

a) 6 b) 12 c) 4

d) 8 e) 5

8. Averiguar el valor de (a2

- b2

) si la diferenciaentre los restos que se obtienen al dividir sepa-radamente el polinomio:

ax4 + bx3 + c

entre (x2+ 1) y (x3 + 1) respectivamente es:

2x - 12

a) -24 b) -16 c) -20

d) -12 e) -8

9. Hallar el resto que se obtiene al dividir:

x3a + 2x3b+1 + x3c+2 + 1

x2 + x + 1

a) x - 1 b) x c) x + 1

d) -x e) faltan datos

10. Hallar el resto de la divisin:

(x + 2)6 + 2x3 + 6

(x + 3) (x + 1)

a) 3x + 1 b) 26x + 31 c) 4x + 1

d) 1 e) 2

11. Un polinomio P(x) al dividirlo entre x2 + x + 1 yx 2- x + 1 nos da como resto 1 - x y 3x + 5. Hallarel resto que dara al dividirlo entre:

x4 + x2 + 1

a) 1 b) 4 c) 6

d) 12 e) -6

12. El resto de dividir un polinomio M(x) entre (x - 2)5 es:

x3 -2x + 1

Otro polinomio N(x) al dividirlo entre (x - 2) dacomo resto:

2x2 + 3x - 6

Si en ambos casos el polinomio es el mismo, Cules el resto de dividir M(x) + N(x) entre x2- 4x + 5?

a) 20x - 25 b) x + 5 c) 4x =2

d) 3x +1 e) x

13. Hallar a y b de manera que:

x3 + ax2 +11x + 6 y x3 + bx2 + 14x + 8

sea divisible por x2

+ mx + n

a) a = 1 b) a = 5 c) a = 8

b = 3 b = 7 b =10

d) a = 6 e) a = 4b = 7 b = 3

14. Un polinomio de 4to. grado en x, cuyo primercoeficiente es la unidad es divisible por (x2 - 1)y por (x - 4) y al dividirlo por (x + 3) da como

residuo 56. Calcular cunto dar de residuo aldividirlo por (x - 2).

a) 48 b) 12 c) 24

d) 50 e) 15

15. Encontrar un polinomio de sexto grado, cuyoT.I. es 100, que tenga raz cuadrada exacta, quesea divisible entre (x2 + 2) y que al dividirloentre (x - 1) el resto obtenido sea 81. Hallar elresto del mencionado polinomio cuando se ledivide por (x + 1).

a) 36 b) 144 c) 225

d) 324 e) 441

16. Un polinomio de grado n + 1 cuyo primer coefi-ciente es 1 es divisible entre (xn + 2). Si el resto dedividirlo separadamente entre (x + 1) y (x + 2)son respectivamente 12 y 258. Calcular n.

a) 2 b) 4 c) 6

d) 8 e) 5


11/11

17. Tres nmeros reales y diferentes verifican lascondiciones siguientes:

a3 + pa + q = 0

b3 + pb + q = 0

c3 + cp + q = 0

q ab + ac + bcCalcular : E = ()p abca) 1 b) -1 c) a

d) b e) c

18. Un polinomio P(x) de 2do. grado y el primer coe-ficiente la unidad al ser dividido entre (x - 2) dacomo resultado un cierto cociente Q(x) y unresto 6. Si se divide P(x) entre el cocienteaumentado en 3 la divisin resulta exacta. Hallarel resto de dividir P(x) entre (x - 5).

a) 5 b) 20 c) 10

d) 4 e) 12

19. Calcular a si se cumple la siguiente identidad:

3x5 - 2x4 + 3x - 7 a(x - 1)5 + b(x - 1)4

+ c(x - 1)3 + d(x - 1)2 + e(x - 1) + f

a) 22 b) 18 c) 10

d) 13 e) 8

20. Hallar el resto de la siguiente divisin:

a(x - b)2n + b(x - a)2n

(x - a)(x - b)

a) ax - b b) bx - a

c) (a + b)2nx + b d) (a - b)2nx

e) (a + b)2nxCLAVE DE RESPUESTAS

1) B 2) E 3) B 4) C 5) D

6) C 7) D 8) A 9) C 10) B

11) C 12) A 13) D 14) A 15) E

16) C 17) B 18) B 19) B 20) D

L G E B R A

Documents

6 DIVISIBILIDAD ALGEBRAICA