6. DÖNEN MAKİNALARIN DENGESİ F=mr 2 - dicle.edu.tr · DENGELEME Dönen bir makinadaki istenmeyen atalet kuvvetleri ve momentlerinin düzeltilmesi veya ortadan kaldırılması işlemidir

Dr. Mesut HÜSEYİNOĞLU-

2018

BMMZ 308-Makina Dinamiği 1

6. DÖNEN MAKİNALARIN DENGESİ

DENGESİZLİK: Bir rotorun kütle dağılımındaki düzensizlik nedeniyle kütle merkezinin rotorun dönme ekseninden uzaklaşması olarak tarif edilebilir.

e

F=mr2

t

F Fx=Fsint

DENGESİZLİĞİN NEDENLERİ • İmalat toleransları • Düzensiz malzeme dağılımı • Simetrik olmayan tasarımlar • ...

m

Dönme merkezi

Kütle merkezi

e: Kaçıklık


2018


DENGELEME Dönen bir makinadaki istenmeyen atalet kuvvetleri ve momentlerinin düzeltilmesi veya ortadan kaldırılması işlemidir. Bir başka deyişle rotorun dönme ekseniyle kütle merkezinin çakıştırılmaya çalışılmasıdır.

e

Dengeleme işlemi

Kütle merkezi, Dönme merkezi

Dönme merkezi

Kütle merkezi


2018


e

M

m kütle merkezi

Dönme ekseni

Asal atalet

ekseni

M

m kütle merkezi

Dönme ekseni

m

Asal atalet

ekseni

Dengesizlik tipleri

Statik dengesizlik

Moment dengesizliği

Statik olarak

dengede!!

2F M m e

e

2

F

2

F

F FF

F

M


2018


M

m1

Dönme ekseni

m2

Asal atalet

ekseni

Dinamik dengesizlik

1F

2FAF BF

M


2018


(6.1) 0; 0 F M

Statik Dengeleme 2

1 1m r

1r

cr

2

c cm r

2 2

1 1

1 1

0c c

c c

m m

m m

r r

r r

mc: Düzeltme (dengeleme) kütlesi

rc: Düzeltme kütlesinin yeri

2r

1m1r

3r

2m

O

3m

1m

2m

3mO

O

(6.2)

2 2 2 2

1 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3

0

0

c c

c c

m m m m

m m m m

r r r r

r r r r

1

0n

i i c c

i

m m

r r


2018


Örnek 6.1. Şekilde aynı düzlemde 3 dönen kütleye sahip O ekseni etrafında dönen

rijid bir rotor görülmektedir. Rotoru düzeltmek için gerekli mcrc dengeleme miktarını ve

konumunu hesaplayınız.

1 1

2 2

3 3

1,5 20 cos 45 sin 45 21,2 21,2 kg-cm

2,5 30 75 kg-cm

2,0 15 cos30 sin 30 26 15 kg-cm

m

m

m

r i j i j

r j j

r i j i j

1

1 1 2 2 3 3

0

0

21,2 21,2 75 26 15 0

4,8 111,2 kg-cm

n

i i c c

i

c c

c c

c c

m m

m m m m

m

m

r r

r r r r

i j j i j r

r i j

2 2

4,8 111,2 111,3 kg-cmc cm r 1 111,2

tan 267,54,8

c

2r1m

1r 3r

2m

O

3m

y

x30

451m

2m

O O

3m

1 2 3

1 2 3

1,5kg; 2,5kg; 2kg;

20cm; 30cm; 15cm;

m m m

r r r

1m

2m

O

3m

y

x

c

cm

cr

Çözüm:


2018


0; 0 F M

Dinamik Dengeleme

mR , rR : Sağ Düzeltme (dengeleme) kütlesi ve konumu

mL , rL : Sol Düzeltme (dengeleme) kütlesi ve konumu

2r1m1r

3r

2m

O

3m

1m 2m

3mO

O

(6.3)

2 2 2 2 2

1 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3

0

0

R R L L

R R L L

m m m m m

m m m m m

r r r r r

r r r r r

L R

1l

2l

3l

l

x

z

y


2018


(6.5)

1 1 1 2 2 2 3 3 3

1 1 1 2 2 2 3 3 3

31 21 1 2 2 3 3

0

0

0

L

R R

R R

R R

l m l m l m l m

l m l m l m lm

ll lm m m m

l l l

M

i r i r i r i r

r r r r

r r r r (6.4)

31 21 1 2 2 3 3

0R

L L

ll lm m m m

l l l

M

r r r r

Buradan bulunan mRrR değeri (6.3) denkleminde yerine yazılarak mLrL değeri

bulunabilir. Ancak alternatif olarak mLrL değeri R düzlemine göre moment

alınarak da hesaplanabilir. (6.4) ‘e benzer olarak:

elde edilir. Burada:

(6.6) i il l l


2018


iR R i i

i

lm m

l r r (6.7a)

DİKKAT!! Bu denklemler dengesiz

kütlelerin iki düzeltme düzlemi (L

ve R) arasında olduğu durum için

elde edilmiştir. Eğer bir düzeltme

düzleminin diğer tarafında bir

dengesiz kütle var ise bu kütlenin

düzeltme düzlemine olan uzaklığı

“–” işaretli olarak dikkate

alınmalıdır. Şekilde L ‘ye göre

moment alınırken l4 “-” işaretli

olarak alınmalıdır.

iL L i i

i

lm m

l

r r (6.7b)

(6.4) ve (6.5) denklemleri aşağıdaki gibi genelleştirilebilir:

1m 2m

3mO

O

L R

1l

2l

3ll

4m

4l


2018


2 2 1; tanR R z

R R R R R R Ry z

R R y

m rm r m r m r

m r

(6.8a)

(6.7) denklemleri ile elde edilen düzeltmeler vektörel büyüklüklerdir. Bunların

genlikleri ve konumları da aşağıdaki gibi hesaplanabilir:

2 2 1; tanL L z

L L L L L L Ly z

L L y

m rm r m r m r

m r

(6.8b)

Rm

z

yR

Lm

Rr

L Lr


2018


Örnek 6.2. Şekildeki sistem dönen dengesiz bir sistemin idealize edilmiş

halidir. Rotoru dengelemek için L ve R düzlemlerine eklenmesi gereken

düzeltme kütlelerini ve konumlarını bulunuz.

1m

2m

3mL

R

2010 25 55

4m

4m

1m30

45

2m

3m

x

z

y30

10 15

1 2 3 4

1 2 3 4

3kg, 4kg, 2kg, 3kg

40mm, 30mm, 50mm, 50mm

m m m m

r r r r

1 2 3 4

1 2 3 4

120cm,

30cm, 55cm, 110cm, 155cm

90cm, 65cm, 10cm, 35cm

l

l l l l

l l l l

30


2018


Çözüm: Rotor üzerindeki dengesizlikler vektörel olarak aşağıdaki gibi yazılabilir:

iR R i i

i

lm m

l r r

iL L i i

i

lm m

l

r r

30 55 110 155

120 103,9 60 50 86,6 106,1 106,1120 120 120 120

43,6 55,2 kg-mm

R R

R R

m

m

r k j k j k j k

r j k

90 65 10 35

120 103,9 60 50 86,6 106,1 106,1120 120 120 120

91,4 95,7 kg-mm

L L

L L

m

m

r k j k j k j k

r j k

1 1

2 2

3 3

4 4

3 40 120 kg-mm

4 30 cos30 sin 30 103,9 60 kg-mm

2 50 sin 30 cos30 50 86,6 kg-mm

3 50 cos 45 sin 45 106,1 106,1 kg-mm

m

m

m

m

r k k

r j k j k

r j k j k

r j k j k

(6.7a) ve (6.7b) denklemleri yardımıyla:


2018


(6.8a) ve (6.8b) denklemleri yardımıyla da düzeltmelerin değerleri ve yönleri

bulunabilir:

2 2 1; tanR R z

R R R R R R Ry z

R R y

m rm r m r m r

m r

2 2 1; tanL L z

L L L L L L Ly z

L L y

m rm r m r m r

m r

Rmz

yR

Lm

Rr

L Lr

2 2 1 95,7

91,4 95,7 132,3 kg-mm; tan 46,391,4

L L Lm r

2 2 1 55,2

43,6 55,2 70,3 kg-mm ; tan 128,343,6

R R Rm r


2018


Örnek 6.3. Şekildeki üç diski taşıyan mil A ve B yataklarında =100 rad/s hızla

dönmektedir. Disklerdeki dengesizliklerin A ve B yataklarında oluşturacağı

reaksiyon kuvvetlerini hesaplayınız.

zy

30 15

20cm 40 cm 20 cm

3m2m

40 cm

1m

A B

x

3r

1m

152m

3m

z

y30

1r

2r

1m

2m 3m

x

BFAF

A B

1 2 3

1 2 3

Disklerin kütleleri: 9,7kg 6,5kg, 6kg

Eksantriklikler: 10mm, 5mm, 10mm

m m m

r r r


2018


Çözüm: Disklerdeki dengesizlikten kaynaklanan atalet kuvvetleri:

2 2

1 1

2 2

2 2 2

2 2

2 3 3

9,7 0,01 100 970 N

6,5 0,005 cos30 sin 30 100 281,5 162,5 N

6 0,01 sin15 cos15 100 155,3 579,6 N

m

m

m

1F r k k

F r j k j k

F r j k j k

2 3

0

20 60 80 120 0

20 970 60 281,5 162,5 80 155,3 579,6 120 0

37 306 N 308 N

A

B

B

B B

M

1

i F i F i F i F

i k i j k i j k i F

F j k F

2 3

0

100 60 40 120 0

100 970 60 281,5 162,5 40 155,3 579,6 120 0

89 534 N 541 N

B

A

A

A A

M

1

i F i F i F i F

i k i j k i j k i F

F j k F

A ya göre toplam moment:

B ye göre toplam moment:


2018


Örnek 6.4. Bir önceki örnekteki rotoru dengelemek için m1 ve m3 kütleli disklere

eklenmesi gereken dengeleme kütlelerini ve yerini bulunuz. (Dengeleme kütleleri

diskler üzerinde rL= rR= 100mm uzaklığa yerleştirilecektir).

3r

1m

152m

3m

z

y30

1r

2r

1 2 3

1 2 3

Disklerin kütleleri: 9,7kg 6,5kg, 6kg

Eksantriklikler: 10mm, 5mm, 10mm

m m m

r r r

20 cm40 cm

1m

2m 3m

xA B

L R

1 2 3

1 2 3

60cm,

0cm, 40cm, 60cm

60cm, 20cm, 0cm

l

l l l

l l l


2018


Çözüm: Rotor üzerindeki dengesizlikler vektörel olarak aşağıdaki gibi yazılabilir:

iR R i i

i

lm m

l r r

iL L i i

i

lm m

l

r r

40 60

0 28,15 16,25 15,53 57,9660 60

3,236 68,79 kg-mm

R R

R R

m

m

r j k j k

r j k

1 1

2 2

3 3

9,7 10 97 kg-mm

6,5 5 cos30 sin 30 28,15 16,25 kg-mm

6 10 sin15 cos15 15,53 57,96 kg-mm

m

m

m

r k k

r j k j k

r j k j k

(6.7a) ve (6.7b) denklemleri yardımıyla:

60 20

97 28,15 16,25 060 60

9,38 91,58 kg-mm

L L

L L

m

m

r k j k

r j k


2018


Düzeltme kütleleri ve konumları:

688 gRm z

y87,3

920gLm

Rr

276 Lr

2 2 1 91,58

9,38 91,58 92,06 kg-mm; tan 275,89,38

92,06100 mm için 0,920 kg 920 g

100

L L L

L L

m r

r m

2 2 1 68,8

3,24 68,8 68,87 kg-mm ; tan 87,33,24

68,87100 mm için 0,688 kg 688 g

100

R R R

R R

m r

r m

Documents

6. DÖNEN MAKİNALARIN DENGESİ F=mr 2 - dicle.edu.tr · DENGELEME Dönen bir makinadaki istenmeyen atalet kuvvetleri ve momentlerinin düzeltilmesi veya ortadan kaldırılması işlemidir