6 Drallsatz - hakenesch.userweb.mwn.dehakenesch.userweb.mwn.de/fluidmechanik/k6_folien.pdf · Moment infolge von M A1,2 r Druckkräften im Ein- und Austritt M W r Wandkräften M S

Fluidmechanik Drallsatz __________________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________________ Folie 1 von 25

6 Drallsatz ..........................................................................................................................................2

6.1 Drallerhaltung bzw. Drehimpulserhaltung...................................................................................2

6.1 Anwendung des Drallsatzes auf Strömungsmaschinen ...........................................................17

6.2 Übungen zum Drallsatz Bsp. Laufrad einer Kreiselpumpe....................................................24


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6 Drallsatz

6.1 Drallerhaltung bzw. Drehimpulserhaltung Linearer Impuls I

r eines Massepunktes ist definiert durch seine Masse und seine Geschwindigkeit cr

cmI rr⋅=

Für diese punktförmige Masse m ergibt sich mit dem Ortsvektor rr der Drall oder Drehimpuls Lr

( ) IrcrmLrrrrr

×=×⋅=

Der Drehimpuls hängt immer davon ab, auf welchen Ursprung er bezogen wird

Analog zur zeitlichen Änderung des Impulses Ir

dtIdFr

r=∑

ergibt sich für die zeitliche Änderung des Dralls Lr

dtLdMr

r=∑

d.h. die Summe aller auf die Masse wirkenden Momente bewirkt eine zeitliche Änderung des Dralls


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Starrer Körper

Ein starrer Körper kann als ein System einzelner

Massepunkte betrachtet werden, deren räumlicher

Abstand zueinander zeitlich konstant bleibt

.constsrr ijji ==−rr

und 0=dtdsij


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Starrer Körper in Rotation

Beschreibung des Bewegungszustandes des

starren Körpers im ruhenden Intertialsystem

Gesamtdrehimpuls des starren Körpers

∑=

×=N

iii IrL

1

rrr

mit cmI rr⋅= folgt

∑=

×⋅=N

iiii crmL

1

rrr

Rotiert der Körper mit ωr

um eine feste Achse, so

gilt für die Geschwindigkeit icr des Massepunktes mi

ii rc rrr×=ω


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Gesamtdrehimpuls des starren Körpers

( )∑∑==

××⋅=×⋅=N

iiii

N

iiii rrmcrmL

11

rrrrrrω

Für eine Rotation um die z-Achse gilt bei einer symmetrischen Masseverteilung

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⋅⋅−

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛×⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=×⇒

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

000

00

i

i

i

i

i

i xy

zyx

r ωω

ωω

ωω rrr

( )

( )⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

+⋅⋅⋅−⋅⋅−

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⋅⋅−

×⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=××

220 ii

ii

ii

i

i

i

i

i

ii

yxzyzx

xy

zyx

rrω

ωω

ωω

ω rrr

Mit dem senkrechten Abstand ⊥,irr

des Masseelements mi zur Drehachse gilt für den Drehimpuls

ωvr

⋅⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⋅= ∑

=⊥

N

iii rmL

1,


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Massenträgheitsmoment des starren Körpers

Der Ausdruck

∑=

⊥⋅=N

iii rmJ

1,

bezeichnet das Massenträgheitsmoment des starren Körpers um seine Drehachse

Der Drehimpuls lautet somit

ωω vv

43421

r⋅=⋅⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛⋅= ∑

=⊥ JrmL

JomentTrägheitsm

N

iii

1,

Bei homogener Massenverteilung gilt für das Massenträgheitsmoment

( ) ( )

∫∫ ⋅⋅=⋅=Vm

dVrdmrJ 22 ρ


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Bewegungsgleichung des starren Körpers

Aus der Ableitung des Drehimpulses

IrLrrr

×=

nach der Zeit folgt

IrIrdtLd &rrr

&rr

×+×=

wegen

IrrmcmIr

&r&rrr⇒⋅=⋅= , d.h. Impuls- und Geschwindigkeitsvektor sind parallel

gilt

0rr

&r =× Ir

und somit

{ IrIrIrdtLd &rr&rrr

&rr

r

×=×+×== 0


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Wegen des 2. Newton'schen Axioms gilt

IF &rr=

und somit ergibt sich aus der zeitlichen Änderung des Drehimpulses ein Drehmoment

MFrIrdtLd rrr&rrr

=×=×=

bzw. ein Drehmoment bewirkt eine zeitliche Änderung des Drehimpulses

Analogie zwischen Impuls und Drehimpuls

FdtId rr

= und MdtLd rr

=

Aus der Beziehung MdtLd rr

= folgt, daß der Gesamtdrehimpuls des Systems konstant bleibt, solange

keine äußeren Momente auf das System wirken, d.h.

00 =⇒=dtLdMr

rr bzw. .constL=

r


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Drehimpulserhaltung bedeutet, es gilt .constJL =×= ωrrr

⇒ Veränderung des Trägheitsmoments J bewirkt somit eine Änderung der Drehgeschwindigkeit ω

Bsp.: Pirouetteneffekt

.2211 constJJ =⋅=⋅ ωω

1212 ωω >⇒< JJ

ice_skater_pirouette.mpeg


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Bsp.: Drehimpulserhaltung beim Reckturnen

.2211 constJJ =⋅=⋅ ωω

1212 ωω >⇒< JJ


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Versuch zur Drehimpulserhaltung

(Physikalisches Institut Universität Dortmund)


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Versuch zur Drehimpulserhaltung, Drehimpuls als Vektor

Horizontaler Drehimpuls durch rotierendes Drehung des Schwungrades in die Vertikale Schwungrad ⇒ Person bleibt in Ruhe ⇒ Rotation der Person Gesamtdrehimpuls bleibt nach wie vor gleich Null


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Einfluß der Drehimpulserhaltung bei Wetterphänomenen – Tornado


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Einfluß der Drehimpulserhaltung bei Wetterphänomenen - Tornado

Voraussetzung Zusammentreffen trocken-kalter Luftmassen (aus Kanada) mit feucht-warmen Luftmassen (aus dem

Golf von Mexiko) z.B. im Mittelwesten der USA

⇒ Kalte Luft schiebt sich trotz ihrer größeren Dichte über die warme Luftmasse

⇒ Bildung einer instabilen Schichtung mit großem Temperaturunterschied

⇒ Kondensation des Wasserdampfes, Wolkenbildung mit starkem Niederschlag

⇒ Freisetzen zusätzlicher Wärme infolge der Kondensation

⇒ Ausbildung einer nach oben gerichtete Luftbewegung


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Einfluß der Drehimpulserhaltung bei Wetterphänomenen - Tornado

Am Boden bildet die horizontal nachströmende Luft aufgrund der Corioliskraft einen Linkswirbel

(Nordhalbkugel) mit einem Durchmesser von lediglich einigen 10 m

⇒ große Rotationsgeschwindigkeit im Wirbelkern aufgrund der Drehimpulserhaltung

⇒ Große Zentrifugalkraft bedingt hohen Unterdruck im Zentrum des Wirbels (Δp ≈ 50-100 hPa)

⇒ Kaltluft wird infolge des Unterdrucks und ihrer größeren Dichte als die unten liegende Warmluft

nach unten gesaugt (ähnlich einem Abflußrohr)

⇒ Kondensation der feucht-warmen Luft um diesen Wirbel

⇒ Ausbildung des charakteristischen dunklen Rüssels des Tornados

⇒ Destruktive Wirkung infolge des starken Druckgefälles von 50–100 hPa und Windgeschwindig-

keiten von bis zu 400 km/h


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Versuch zur Drehimpulserhaltung - Tornado in der Wasserflasche

Wasser in der oberen Flasche wird durch eine Anfangsbeschleunigung in eine Rotation mit einer Umfangsgeschwindigkeit rrfc ⋅=⋅⋅⋅= ωπ2 versetzt Aufgrund der Drehimpulserhaltung gilt

rcRc ⋅=⋅ 21 ⇒ rRcc ⋅= 12 ⇒ 2

2

12 rRff ⋅= ⇒ 22

1r

f ∝

d.h. Je mehr man sich dem Zentrum nähert, um so mehr nimmt die Umfangsgeschwindigkeit zu Flasche: R ≈ 40 [mm] = Anfangsradius r ≈ 4 [mm] = Wirbelinnendruchmesser f1 ≈ 1 [s-1] = Anfangsdrehfrequenz ⇒ [ ]1

12 100100 −=⋅= sff


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6.1 Anwendung des Drallsatzes auf Strömungsmaschinen

Für eine punktförmige Masse m ergibt sich mit dem Ortsvektor rr und dem Geschwindigkeitsvektor cr der Drall, Drehimpuls oder auch das Impulsmoment L

r

( ) IrcrmLrrrrr

×=×⋅=

Analog zur zeitlichen Änderung des Impulses Ir

⇒ Impulsstrom Ir&

IdtIdF

r&

rr

==∑

ergibt sich für die zeitliche Änderung des Dralls Lr

⇒ Drallstrom Lr&

LdtLdM

r&

rr

==∑

d.h. die Summe aller auf die Masse wirkenden Momente bewirkt eine zeitliche Änderung des Dralls


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Drallstrom Lr&

( )crmdtLdL rr

&

rr& ×⋅== ( ) ∑=×−×⋅=− McrcrmLL

rrrrr&

r&

r&

112212

d.h. Differenz zwischen aus- und eintretendem Drallstrom entspricht der Summer aller im

Kontrollraum auf das Fluid wirkenden Momente

⇒ Drallstrom entspricht der Drehenergie der Fluidmasse um einen Bezugspunkt


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Anwendung des Drallsatzes auf einen mit m& durchströmten Schaufelkanal

Summe aller Momente

GSWAA MMMMMMrrrrrr

++++=∑ 21

Moment infolge von

2,1AMr

Druckkräften im Ein- und Austritt

WMr

Wandkräften

SMr

Stützkräfte an Einbauten

GMr

Gewichtskräften

nc Projektion der Geschwindigkeit in die dargestellte Ebene

uc Umfangskomponente der Geschwindigkeit, senkrecht auf dem Radius r


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Gesucht werden die Drehmomente um eine Bezugsachse durch den Bezugspunkt O,

Beiträge werden hierzu lediglich von Geschwindigkeitskomponenten geliefert, die in einer Ebene

normal zur Bezugsachse und senkrecht auf dem Radius stehen

⇒ uc Umfangskomponente der Geschwindigkeit c

Unter Vernachlässigung der Gewichtskraft und der Momente im Ein- und Austritt lautet das

resultierende Moment zur Bezugsachse, welches auf das Fluid ausgeübt wird

{ { {( ) McrcrmMMMMMMMM uuSWGSWAA =⋅−⋅⋅=+=++++=

===

∑ 112200

20

1 &

Reaktionsmoment des Fluids auf die körpergebundene Fläche der Stromröhre KM ( )1122 uuK crcrmMM ⋅−⋅⋅−=−= &

Reibungsfreie Strömung ( 0=WM ) ohne Einbauten ( 0=SM )

( ) 11221122 00 uuuu crcrcrcrmM ⋅=⋅⇒=⋅−⋅⋅−⇒= & bzw. 2

112 r

rcc uu ⋅=

Gleichung des Potentialwirbels (Ringräume ohne Schaufeln, Behälter und Kanäle)


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Anwendung des Drallsatzes auf das Laufrad einer Strömungsmaschine (z.B. Verdichter)

2,1A Ein- und Austrittsebene

2,1 aaT Tangentialebenen zu 2,1A

2,1c Absolutgeschwindigkeiten

2,1 uuc Umfangsgeschwindigkeiten

2,12,12,1 cosα⋅=cc uu

2,1w Relativgeschwindigkeiten

2,1 mmc Gemittelte Geschwindigkeiten

2,1Wε Neigungswinkel der Tangentialebenen

Axialmaschine °≈02,1Wε

Radialmaschine °≈902,1Wε

Für Radialmaschinen ( °≈902,1Wε ) gilt

11 ccn = , 22 ccn =


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Moment auf das Fluid im Kontrollraum

( )1122 umum crcrmM ⋅−⋅⋅= &

Übertragene Leistung P12 vom Laufrad auf das Fluid

Mit dem mittleren Radius rm der Stromfläche

2m

mDr = und 2

22NG

mDDD +

=

und der Umfangsgeschwindigkeit u und der Drehzahl n

nDru ⋅⋅=⋅= πω bzw. nDru mmm ⋅⋅=⋅= πω

ergibt sich für die auf das mit ω rotierende Laufrad übertragene Leistung P12

( ) ωω ⋅⋅−⋅⋅=⋅= 112212 umum crcrmMP &

⇒ ( )112212 umum cucumP ⋅−⋅⋅= &


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Spezifische technische Arbeit wt12

Leistung bezogen auf den Massestrom ergibt spezifische technische Arbeit wt12

( )11221212

umumt cucuwmP

⋅−⋅==&

Momente, die von feststehenden Leiträdern auf das Fluid ausgeübt werden

Ersetzen der Umfangsgeschwindigkeiten 2,1 uuc durch die Absolutgeschwindigkeiten 2,1c am Ein- und

Austritt des Leitrades

Leitrad steht fest, d.h. ω = 0, d.h. an den Leiträdern wird keine Leistung mit dem Fluid ausgetauscht

⇒ 01212 == twmP&

( )1122 crcrmM mm ⋅−⋅⋅= &

Leitrad nimmt das Reaktionsmoment MM K −= auf


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6.2 Übungen zum Drallsatz Bsp. Laufrad einer Kreiselpumpe

[ ]smc 15.101 =

[ ]smc 05.262 =

[ ]°=801α Winkel zu 1uc

[ ]°= 6.222α Winkel zu 2uc

[ ]1min2950 −=n

[ ]mmDN 701 =

[ ]mmDG 901 =

[ ]mmDN 1742 =

[ ]mmDG 1802 =

[ ]skgm 98.24=&


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Bsp. Laufrad einer Kreiselpumpe

ges.: (1) Drehmoment M und innere Leistungsübertragung P12 vom Rotor auf das Fluid

(2) Spezifische technische Arbeit wt12 und geleistete spezifische Strömungsarbeit yt am Fluid bei

einem Gesamtwirkungsgrad von ηt = 0.7

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