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Lois de Comportement des Sols
M EL GONNOUNI -EHTP-
- 1 -
LOIS DE COMPORTEMENT DES SOLS
1. Rappel : contraintes et déformations dans les sols
1.1 Etat de contraintes en point d’un milieu continu
1.1.1 Tenseur des contraintes
Le vecteur de contrainte f d’obliquité α s’exerçant sur un planΠ passant par le point M, plan
repéré par les cosinus directeurs de sa normale n (figure 1a), se décompose de la manière suivant :
- suivant la norme nM à la facette on une contrainte normale σ ;
- suivant le plan de la facette on une contrainte de cisaillement τ .
Figure 1 – Etat de contraintes en un point d’un milieu continu
Au point M passe une infinité de facette, donc une infinité des contraintes. Ainsi la distribution des
contraintes autour du point M est une distribution tensorielle. Le tenseur de contrainte au point M est
noté :
[ ]
=
=
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
στττστττσ
σσσσσσσσσ
σ
zzyyxx σσσ , , contraintes normale aux facettes principales du repère,
zyzxyz , , , , , σσσσσσ yxxzxy contraintes de cisaillement sur ces mêmes facettes
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Figure 2 –Contrainte en un point M d’un milieu continu
Il existe en tout point M du milieu trois plans privilégiés, pour lesquels la contrainte se réduit à une
contrainte normale. Ces plans sont appelés plans principaux, on leur associés des axes principaux, leur
normale sont appelées directions principales et les contraintes correspondantes sont appelées contraintes
principales (appelées aussi contrainte majeure, intermédiaire et mineur), on les notes 321 et , σσσ avec
321 σσσ ≥≥ .
Dans les axes principaux le tenseur de contrainte s’écrit :
[ ]
=
3
2
1
00
00
00
σσ
σσ
Les contraintes principales (σ1, σ2, σ3) sont les racines du polynôme caractéristique :
[ ] [ ]( ) 0det =− Iλσ soit ( )( )( ) 0.. 321 =−−− σλσλσλ (1)
ou 0.. 322
13 =−+− σσσ λλλ III
avec
[ ] zzyyxxTrI σσσσσσσσ ++=++== 3211
[ ] [ ]( )
222
13322122
2
2/
zxyzxyxxzzzzyyyyxx
TrTrI
σσσσσσσσσ
σσσσσσσσσ
−−−++=
++=−=
[ ]
222
3213
2
det
xyzzzxyyyzxxzxyzxyzzyyxx
I
σσσσσσσσσσσσ
σσσσσ
−−−+=
==
[ ]
=100
010
001
I matrice unité
σ1, σ2 et σ3 sont indépendants du repère de description. Ainsi I1σ, I2σ et I3σ sont des invariants du tenseur
des déformations [σ] par une transformation orthogonale de coordonnées.
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On obtient les trois vecteurs propres, donnant les directions principales en coordonnées cartésiennes par :
=
3
2
1
3
2
1
3
2
1
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
n
n
n
00
00
00
n
n
n
σσ
σ
σσσσσσσσσ
avec, puisque la base est orthonormée :
213
23
22
21 1
nnn
nnn
∧=
=++
1.1.2 Décomposition du tenseur de contrainte
Le tenseur des contraintes est souvent décomposé en la somme d’un tenseur sphérique et d’un tenseur
déviatorique :
[ ] [ ] [ ]
[ ]
−−+
=
+=
mzyzxz
yzmyxy
xzxymx
m
DS
σσσσσσσσσσσσ
σσ
σ
-
100
010
001
Le terme σm est la moyenne arithmétique des termes de la diagonale du tenseur des contraintes
(premier invariant), appelée contrainte moyenne (ou contrainte moyenne octaédrique σoct) :
33
321 σσσσσσσ ++
=++
= zyxm
La relation (1) rattachée au tenseur déviateur des contraintes s’écrit :
[ ] [ ]( ) 0det =− ID Dλ soit 0. 323 =−− σσ λλ JJ DD
avec
mD σλλ −=
[ ] 01 == DTrJ σ
[ ] ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )
6
62
222222
2
213
232
221
2
2
zxyzxyxxzzzzyyyyxx
J
DTrJ
σσσσσσσσσ
σσσσσσ
σ
σ
+++−+−+−
=
−+−+−==
[ ]DI det3 =σ
Le tenseur déviatorique a une trace nulle et est souvent représenté par le déviateur des contraintes,
noté q et égal au second invariant du tenseur déviatorique. En termes de contraintes principales, ce
déviateur des contraintes est égal à :
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( ) ( ) ( )( )
6
213
232
221 σσσσσσ −+−+−
=q
Remarque : En mécanique des sols, toute contrainte de compression est considérée comme positive. En
mécanique des milieux continus, une contrainte positive concerne un effort de traction.
1.1.3 Représentation de Mohr. Cercle de Mohr
La représentation de Mohr est une représentation plane du tenseur des contraintes [σ]. Cette
représentation est à la base de tous les calculs classiques de plasticité en mécanique des sols (figure 3) :
- l’axe des abscisses est confondu avec la contrainte normale ;
- l’axe des ordonnés est confondu avec la contrainte tangentielle.
Les points représentative des contraintes qui forment le tenseur au point M sont situés à l’intérieur du
triangle curviligne (partie hachurée) délimité respectivement par trois cercle : (C1), (C2) et (C3), appelé
cercle fondamentaux. Ces cercles ont pour diamètre (σ1- σ3), (σ1- σ2) et (σ2- σ3). Chacun de ces cercles est
le lieu des états de contraintes (σ, τ) lorsque le plan Π tourne autour de la direction de l’autre contrainte
principale (par exemple, le cercle de diamètre σ1 – σ3 correspond aux états de contraintes sur les plans Π
tournant autour de la direction de la contrainte principale σ2). Le plus grand de ces cercles est appelé
cercle de Mohr.
Ce cercle est très utilisé en mécanique des sols pour l’interprétation des essais de cisaillement en
laboratoire et pour l’analyse des problèmes dans lesquels l’une des directions principales reste constante
(calculs bidimensionnels, par exemple).
Le cercle de Mohr (figure 4) possède des propriétés géométriques utiles :
- lorsque le plan Π tourne d’un angle β autour de l’axe Mσ2 (figure 3a), le point F se déplace sur le
cercle de Mohr d’un angle -2 β ;
- si l’on trace par le point F’, symétrique de F par rapport à l’axe Oσ, la parallèle à la trace du plan Π
dans le plan des contraintes principales Mσ1 σ3, cette droite recoupe le cercle de Mohr en un point P
appelé pôle, dont on démontre qu’il est fixe quand le plan tourne autour de l’axe Mσ2 ;
- connaissant le pôle du cercle de Mohr, on obtient les traces des plans sur lesquels s’exercent les
contraintes principales majeure et mineure en traçant les droites PA et PB (les directions des
contraintes principales correspondantes sont perpendiculaires à ces plans, de sorte que la contrainte
principale majeure σ1 est dirigée selon PB et la contrainte principale mineure est dirigée selon PA)
(figure 4b) ;
- le rayon du cercle de Mohr est égal à (σ1 – σ3)/2, et son centre C a pour abscisse (σ1 + σ3)/2.
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Figure 3 – Représentation de Mohr : état de contraintes possibles
Figure 4 –Cercle de Mohr
1.1.4 Contraintes totales et contraintes effectives
Suivant les circonstances, différents systèmes de contraintes sont utilisés pour l’étude des problèmes
de mécanique des sols. Dans les sols saturés, on distingue classiquement :
- les contraintes totales[ ]σ ;
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- les pressions interstitielles [ ]I .u ;
- les contraintes effectives [ ] [ ] [ ]I .' u−= σσ .
Les définitions données dans les paragraphes précédents peuvent être appliquées aux contraintes
totales comme aux contraintes effectives.
Dans la représentation de Mohr, les cercles de Mohr en contraintes effectives se déduisent des cercles
de Mohr en contraintes totales par une translation d’amplitude égale à la pression interstitielle u,
parallèlement à l’axe des contraintes normales (figure 5). On a en effet :
σ’ = σ – u
τ’ = τ
Dans les sols secs, la pression interstitielle n’existe pas et l’on utilise un seul système de contraintes.
On peut formellement définir des contraintes effectives identiques aux contraintes totales et une pression
interstitielle identiquement nulle.
Figure 5 – Contraintes totales et contraintes effectives
1.2 Etat de déformation en point d’un milieu continu
1.2.1 Tenseur de déformation
Dans les conditions habituelles de la mécanique des sols, où les déformations restent petites (au plus
de 10 à 20 %), l’état de déformation en un point peut être caractérisé par le tenseur des déformations :
[ ]
=
=
zzyzxz
yzyyxy
xzxyxx
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
εγγγεγγγε
εεεεεεεεε
ε22
22
22
Les six composantes du tenseur des déformations s’expriment en fonction des composantes (u, v, w)
du vecteur de déplacement par les relations :
xuxx ∂∂=ε yuxvxy ∂∂+∂∂=γ
yvyy ∂∂=ε zvywyz ∂∂+∂∂=γ
zwzz ∂∂=ε xwzuxz ∂∂+∂∂=γ
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Il existe également trois directions principales orthogonales (un repère principal), par rapport
auxquelles le tenseur des déformations s’écrit sous la forme :
[ ]
=
3
2
1
00
00
00
εε
εε
Les déformations ε1, ε2 et ε3 sont appelées déformations principales. La déformation volumique εvol est
égale à la trace du tenseur des déformations :
321 εεεεεεε ++=++= zzyyxxvol
L’intérêt de se placer dans les directions principales est de déterminer la plus grande, la plus petite et
la valeur intermédiaire des déformations (dilatations), qui sont évidemment indépendantes des repères
choisis.
Remarque : Le classement des déformations principales sera différent suivant la convention de signes
adoptée : raccourcissement positif et allongement négatif en mécanique des sols, le contraire en
mécanique des milieux continus et dans les logiciels de calcul.
1.2.2 Décomposition du tenseur de déformation
En mécanique des sols, il est intéressant de décomposer le tenseur [ε] en un tenseur sphérique [εs] et
un tenseur déviatorique [εd].
[ ] [ ] [ ][ ] [ ]( )[ ][ ] [ ] [ ]sd
s
ds
Itr
εεε
εε
εεε
−=
=
+=
.3
1
La trace du tenseur déviatorique est nulle, ce tenseur n’entraîne qu’une variation de forme. Par contre le
tenseur sphérique est seul responsable du changement de volume.
2. comportements plastique
2.1 Définition de la plasticité
Le comportement plastique correspond à l’apparition de déformations irréversibles et s’appuie sur les
deux concepts fondamentaux suivants :
- le critère de plasticité ou surface de charge, qui est la frontière entre le domaine élastique et le
domaine plastique ;
- la règle d’écoulement plastique, qui définit la façon dont évoluent les déformations plastiques.
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2.1.1 Surface de charge
La surface de charge divise l’espace des contraintes en deux parties : l’intérieur de la surface de
charge correspond à des états de déformations réversibles (élastiques) et à l’extérieur de la surface de
charge, les déformations se composent d’une partie réversible (élastique) et d’une partie irréversible
(plastique). On écrit alors :
pe ddd εεε +=
Dans l’espace des contraintes, le domaine d’élasticité initial ou actuel est en général défini par une
fonction scalaire f de la contrainte σij, appelée surface de charge du matériau telle que :
- f(σij) < 0 corresponde à l’intérieur du domaine,
- f(σij) = 0 corresponde à la frontière du domaine,
- f(σij) > 0 corresponde à l’extérieur du domaine.
2.1.2 . Règle d’écoulement plastique
Soit σij un état de contraintes correspondant à une étape de chargement donné. Si cet état est tel que
f(σij) < 0, σij est à l’intérieur du domaine d’élasticité actuel, donc la variation de déformation est purement
élastique : eijij dd εε = .
Si cet état est tel que f(σij) = 0, σij se trouve sur la frontière du domaine. Pour décrire dans ce cas le
comportement, il convient de distinguer selon que le point matériel est en chargement ou en
déchargement. Si le sol est en déchargement, la variation de déformation est purement élastique :
eijij dd εε = , et si le sol est en chargement, la variation de déformation comprend en plus la composante
plastique : pij
eijij ddd εεε += .
La règle d’écoulement plastique a pour objet d’exprimer pijdε en fonction de σij et dσij.
Le principe du travail plastique maximal (Hill, 1950) permet de qualifier la règle d’écoulement. Ainsi, en
un point régulier de la frontière d’élasticité, la déformation plastique est de la forme :
σλε
∂∂= fp
où λ est un scalaire appelé multiplicateur plastique (0≥λ ). On ferme le modèle sur le plan mathématique
en écrivant la condition de cohérence : 0: =∂∂= σσf
f si 0≥λ
Toutes les vitesses de déformation possibles sont alors coaxiales à la normale extérieure à la frontière et
ne dépendent que du scalaire λ, non nul si et seulement si le point matériel est en état de chargement.
L’expérience montre que, dans le cas des sols, les vitesses de déformation ne sont pas bien décrites par le
principe du travail maximal. On est alors amené à introduire et à écrire la règle d’écoulement sous la
forme :
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σλε
∂∂= gp
où g est une fonction du tenseur des contraintes appelée potentiel plastique. La règle d’écoulement est
alors dite non associée.
2.2 Critères de plasticité usuels en mécanique des sols
Les principaux critères de plasticité employés pour décrire la rupture des sols sont présentés dans le
tableau 1.
2.2.1 . Critère de Tresca
Le critère de Tresca est utilisé pour l’étude des sols fins (argile, limon) saturés, non drainés, en
contraintes totales à court terme, durant lesquelles la variation de volume est nulle. La surface de charge f
est mathématiquement donnée par la relation :
( ) ( ) 0231 =−−= kf ij σσσ
où σ1 et σ3 représentent les contraintes principales extrêmes 321 σσσ ≥≥ et k une constante
correspondant à la contrainte maximum de cisaillement à la rupture (pour les sols cohérents, ce paramètre
correspond à la cohésion non drainée cu).
2.2.2 Critère de Von Mises
Afin de prendre en compte l’influence de la contrainte intermédiaire, Von Mises a proposé que la
surface de charge dépende du deuxième invariant du tenseur des contraintes déviatoriques, J2 :
( ) 02 =−= kJf ijσ
où k est la résistance maximale du matériau au cisaillement simple.
Ce critère a été formulé pour étudier le comportement des métaux et il n’est pas bien adapté à la
représentation du comportement des sols dans la mesure où il ne fait pas intervenir la contrainte moyenne
dans son expression.
2.2.3 Critère de Mohr-Coulomb
Le critère de Mohr-Coulomb est utilisé pour les sols pulvérulents (sables) et pour les sols
cohérents à long terme (argiles et limons). Le critère de Tresca est un cas particulier du critère de
Mohr-Coulomb.
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La surface de charge f(σij) s’exprime de la façon suivante :
( ) ( ) ( ) 0cos C 2 - sin 3131 =+−−= ϕϕσσσσσ ijf
où σ1 et σ3 représentent les contraintes principales extrêmes( )321 σσσ ≥≥ .
Le paramètre C est la cohésion du matériau et ϕ l’angle de frottement interne. Lorsque ϕ = 0,
on retrouve le critère de Tresca.
2.2.4 Critère de Drucker-Prager
Le critère de Drucker-Prager constitue une généralisation du critère de Von Mises aux matériaux
pulvérulents, prenant en compte le premier invariant du tenseur de contraintes I1 et le deuxième invariant
du tenseur des contraintes déviatoriques J2. Son expression est la suivante :
( ) 012 =−−= kIJf ij ασ
où α et k sont deux paramètres qui peuvent être déterminés à partir de résultats d’essais. Si le paramètre α
est nul, la loi se réduit à celle de Von Mises.
3. Lois de comportement des sols
3.1 Notion de loi de comportement
Toute relation liant le tenseur des contraintes au tenseur des déformations signifie que le milieu, avec
sa cohésion propre ou sa capacité de déformation propre, s’oppose d’une certaine manière aux actions
appliquées. Ces relations entre tenseur des contrainte et tenseur des déformations sont appelées loi de
comportement. Elles peuvent être bijective (cas de l’élasticité) ou non. Elles peuvent être linéaires
(linéarité mécanique) ou non linéaires.
3.2 Lois classiques de la mécanique des sols
3.2.1 Loi de comportement élastique linéaire
Le sol aura un comportement élastique si ses déformations sont réversibles, la relation contrainte
déformation sera biunivoque, sans qu’elle soit linéaire. Si en plus il existe une relation linéaire entre les
contraintes et les déformations on dira que le sol a un comportement élastique linéaire. Ce ne sera
généralement pas le cas des sols qui très rapidement, mêmes pour de faibles déformations, ont un
comportement élastique non linéaire. Néanmoins les lois de comportement en élasticité linéaire étant bien
connues on les utilisera souvent en faisant l’hypothèse forte que la réalité ne s’éloigne pas trop du modèle.
Dans le cas de l’élasticité linéaire, si le massif de sol est homogène et isotrope, on montre en calcul
tensoriel que dans ces conditions [σ] est une fonction linéaire tensorielle isotrope de [ε]. Deux
coefficients suffisent pour décrire la loi.
[ ] [ ]( )[ ] [ ]εµελσ 2 I tr += (2)
avec
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[ ]I matrice unité et µλ coefficient de LAME
3.2.1.1 Modules et coefficient d’élasticité
On définit les modules et le coefficient d’élasticité à partir des essais de compression ou traction
simple, de cisaillement et de compression hydrostatique.
a- Compression simple ou traction simple
On définit les modules et les coefficients d’élasticité à partir des essais en compression simple (Figure
6) ou en traction simple pour lesquels :
σ1 est la contrainte principale axiale, σ2 = σ3 = 0
ε1 est la dilatation principale axiale, 032 ≠= εε
Figure 6 – Contrainte et déformations de l’essai de compression simple
Sous un effort de compression (traction) simple la contrainte normale σ1 entraîne une dilatation ε1 de
même signe, raccourcissement (allongement pour la traction) et une dilatation de signe contraire dans la
direction perpendiculaire ε3, allongement (raccourcissement pour la traction).
La contrainte σ1 est reliée à la dilatation ε1 par le module d’élasticité axiale de YOUNG E, qui a la
dimension d’une contrainte :
1
1
εσ
=E (3) avec
++=
λµλµµ 32
E
Le coefficient de POISSON ν est le rapport, en valeur absolue de la dilatation transversale sur la
dilatation longitudinale, il est sans dimension :
1
3
εεν −= (4) avec ( )λµ
λν+
=2
b- Cisaillement simple
On définit le module de cisaillement de COULOMB G par le rapport de la contrainte de
cisaillement sur la distorsion. G a la dimension d’une contrainte.
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xy
xy
xy
xyG
γσ
εσ
==2
(5) avec µ=G
On a la relation suivante entre G, E et ν :
( )ν+=
12
EG (6)
G a les dimensions d’une contrainte. Comme on verra que 0>ν , G sera toujours inférieur à E.
c- Compression hydrostatique
Toutes les facettes supportent la même contrainte normale p négative avec les conventions de la
mécanique (elle serait positive avec les conventions de la mécanique des sols). Toutes les directions sont
principales.
On utilise la relation (2) avec les coefficients de Lamé :
[ ] [ ]( )[ ] [ ]εµελσ 2 I tr +=
On calcule ensuite la trace du tenseur des contraintes
[ ] ( ) [ ] ptr 3 tr23 −=+= εµλσ
Puisque la contrainte moyenne p est égale à :
3321 σσσ ++
=p
La dilatation cubique est :
[ ] 0<∆=V
Vtr ε
donc 023 >+ µλ
soit K : module de compression hydrostatique
VVP
K∆
−= (7)
avec 3
23 µλ +=K
En remplaçant λ et µ par leur valeurs en fonction de E et ν , on obtient :
( )ν213 −=
∆−= E
VVP
K (8)
K est donc positif et 021 >− ν , ce qui entraîne que 5,0<ν
Le coefficient de POISSON sera toujours compris entre 0 et 0,5 :
5,00 <<ν (9)
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3.2.1.2 Loi de HOOKE
Dans le cas de contraintes multiaxiales et en général pour les cas tridimensionnels on établit la loi de
Hooke qui sont les équations complètes en élasticité linéaire.
On préférera transformer les équations de LAME en fonction de E et ν pour écrire les équations de
HOOKE . En tridimensionnel, elles s’expriment par les relations tensorielles suivantes :
[ ] [ ] [ ]( )[ ]
[ ] [ ] [ ]( )[ ]I 1
I 211
σνσνε
εν
νεν
σ
trEE
trE
−+=
−+
+=
(10)
Elles permettent de calculer les 6 composantes des tenseurs de contrainte et de déformation, par exemple
en coordonnées cartésiennes :
( )
xyxy
zzyyxxxxxx
E
E
εν
σ
εεεν
νεν
σ
+=
++
−+
+=
1
211
3.2.1.3 Décomposition des tenseurs [[[[σ]]]] et [[[[εεεε]]]] en tenseurs sphériques et déviatoriques
D’après la relation (10) on peut écrire :
[ ] [ ] [ ]
−+
+=
21
3
1ε
ννε
νσ trtr
Etr
d’où [ ] [ ]εν
σ trE
tr21−
=
et d’après (8) : [ ] [ ]( )εσ trKtr 3= (11)
On peut décomposer [σ] et [ε] en un tenseur sphérique (contrainte hydrostatique) et un tenseur
déviatorique (contrainte déviatorique) dont la trace est nulle donc ∆V/V = 0 :
[ ] [ ] [ ]ds εεε +=
avec [εs] et [εd], respectivement tenseur de déformation sphérique et déviatorique
[ ] [ ] [ ]DS +=σ
avec [S] et [D], respectivement tenseur de contrainte sphérique et déviatorique
On a :
[ ] [ ][ ]
[ ] [ ][ ] [ ]DItr
Itr
d
+=
+=
3
3σσ
εεε
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avec [ ] [ ] 0 Det tr =dtr ε
d’où les relations d’après (6, 10 et 11) :
[ ] [ ][ ] [ ]v
d
3
2
εε
KS
GD
==
Les tenseurs sphériques et déviatoriques des contraintes et des déformations sont proportionnels.
3.2.2 Loi de comportement élastique linéaire parfaitement plastique
3.2.2.1 Critère de plasticité de Mohr-Coulomb
Le modèle élastique linéaire parfaitement plastique avec critère de plasticité de Mohr –Coulomb est
encore le modèle le plus utilisé dans la pratique courante de la géotechnique, en principe seulement pour
les chemins monotones (sans cycles de chargement – déchargement), pour décrire de manière approchée
le comportement des sols pulvérulents (sables), des sols cohérents à long terme (argiles et limons) et de
certaines roches. La loi de Tresca, qui est un cas particulier de la loi de Mohr-Coulomb, est utilisée pour
l’étude des sols à court terme.
On étudie d’abord le critère de plasticité qui permettra de définir ensuite le domaine d’élasticité.
Il se caractérise, pour le modèle complet, élastique – parfaitement plastique par une élasticité linéaire
isotrope ( 'E , 'ν ) et un seuil de plasticité (Figure 7) tel que :
( ) ( ) ''3
'1'
'''3
'1' sin cos c 2 ϕσσϕσσ ++=−
Si ( ) ( ) ''3
'1'
'''3
'1' sin cos c 2 ϕσσϕσσ ++<− , le sol est dans le domaine élastique ;
Si ( ) ( ) ''3
'1'
'''3
'1' sin cos c2 ϕσσϕσσ ++=− , le sol est dans le domaine plastique ;
Il est impossible que ( ) ( ) ''3
'1'
'''3
'1' sin cos c 2 ϕσσϕσσ ++>− .
Figure 7 – Caractéristiques de la loi élastique-linéaire parfaitement plastique. Critère de rupture Mohr-
Coulomb
( ) ''
3'1'
' sin cos C 2 ϕσσϕ ++
( ) ''
3'1'
'' sin cos C 2 ϕσσϕ ++
1ε
1ε
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La contrainte principale intermédiaire '2σ ne joue aucun rôle.
'ϕ , 'c ,ψ ont les définitions suivantes :
'ϕ : angle de frottement interne du sol, correspond à un frottement solide dans un squelette de
grains ou de particules.
'C : cohésion entre les particules fines du sol, « colle » entre les particules qui existe sous
certaines conditions
ψ : angle de dilatance du sol, il représente l’augmentation de volume du squelette du sol qui
se produit pendant le cisaillement du sol, le contraire est la contractance
Les valeurs de 'ϕ et 'c sont calculées dans les axes de Mohr.
• Détermination de 'ϕ et 'c dans les axes de Mohr
Les courbes déviateur ( )'3
'1 σσ − en fonction de la déformation axiale1ε permettent de déterminer le
déviateur à la rupture, soit au pic, soit pour une déformation donnée, soit à l’état critique.
Si on soumet plusieurs échantillons de sol, à des contraintes de confinement '3σ différentes, jusqu'au
critère de rupture, les enveloppes des différents cercles de Mohr, à la rupture, sont, en première
approximation, 2 droites symétriques (Figure 8).
Figure 8 – Droites de rupture de Mohr-Coulomb
Le critère de plasticité de Coulomb dans les axes de Mohr s'exprime donc par la formule générale :
''' tanϕστ += c
Le critère de plasticité de Coulomb couplé au postulat de Terzaghi donne :
( ) '' tanϕστ uc −+=
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3.2.2.2 Détermination de E’, ν’ et ψψψψ
Le seuil de plasticité ayant été défini on détermine les paramètres des relations entre le déviateur et la
déformation volumique en fonction de la déformation axiale (cf. figure 7) dans le domaine élastique. On
complète par la détermination de l’angle de dilatance ψ dans le domaine plastique qui permet d’obtenir
une courbe complète de la déformation volumique en fonction de la déformation axiale (cf. figure 7).
a- Détermination du module de Young E’
Il suffit d’appliquer la loi d’élasticité linéaire en considérant que dans l’essai triaxial :
0ddet 3232 === σσεε dd
En appliquant l’équation (10) on obtient :
1'
31 d Edd εσσ =−
La figure 7 montre sur la courbe déviateur ( )'3
'1 σσ − en fonction de la déformation axiale ε1, comment
déterminer le module de Young E’.
En fait la détermination d’un module E’, réaliste, est une opération très délicate, l’élasticité étant
rapidement non linéaire même pour de faibles déformations.
En réalité le module de Young E’ diminue quand la déformation augmente et augmente avec la contrainte
de confinement '3σ .
b- Détermination du coefficient de Poisson ν’
Il suffit d’appliquer la loi d’élasticité linéaire en considérant que dans l’essai triaxial :
0ddet 3232 === σσεε dd
En appliquant l’équation (10) on obtient:
'
1
21 νεε
−=d
d v
La figure 7 montre sur la courbe déformation volumique εv en fonction de la déformation axiale ε1
comment déterminer le coefficient de Poisson υ.
c- Détermination de l’angle de dilatance
Pour calculer l’angle de dilatance ψ, on montre que le rapport de la variation volumique plastique de
l’échantillon de sol pvdε sur la variation de la déformation verticale pd 1ε est égal à :
ψψ
εε
sin1
sin2
1−
−=p
pv
d
d
La figure 7 montre sur la courbe déformation volumique εv en fonction de la déformation axiale ε1
l’angle de dilatance ψ qui caractérise l’augmentation de volume du sol pendant le cisaillement.
Lois de Comportement des Sols
M EL GONNOUNI -EHTP-
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La dilatance est fonction évidemment de la compacité du sol mais également de la contrainte
moyenne p’.
Pour une contrainte moyenne donnée la dilatance sera d’autant plus forte que la compacité des sols grenus
ou la surconsolidation des sols fins sera forte. Mais la dilatance dépend également de la contrainte
moyenne, à compacité ou surconsolidation initiale égale la dilatance diminuera avec l’augmentation de la
contrainte moyenne. Ainsi un sable lâche peut être dilatant sous faibles contraintes et un sable compact
contractant (diminution de volume) sous fortes contraintes.
Pour les ouvrages courants Vermeer a proposé une règle simple, pour les sols grenus, qui ne dépend
que de l’angle de frottement 'ϕ , en proposant °−= 30'ϕψ
3.2.2.3 Critère de plasticité de Tresca
Ce modèle est utilisé pour l’étude des sols fins (argile, limon) saturés, non drainés, soumis à des
sollicitations brèves, en contraintes totales à court terme, durant lesquelles la variation de volume est
nulle.
Il se caractérise pour le modèle complet par une élasticité linéaire isotrope (Eu, νu), et un seuil de
plasticité tel que (Figure 9) :
( ) u31 c 2=− σσ
Si ( ) u31 c 2<− σσ , le sol est dans le domaine élastique ;
Si( ) u31 c 2=− σσ , le sol est dans le domaine plastique ;
Il est impossible que ( ) u31 c 2>− σσ .
Figure 9 – Caractéristiques de la loi élastique-linéaire parfaitement plastique
Critère de rupture de Tresca
0=uϕ et cu ont les définitions suivantes
0=uϕ : angle de frottement , à court terme, d’un sol fin saturé
cu : cohésion à court terme, d’un sol fin saturé.
Ces deux caractéristiques d’un sol fin saturé à court terme sont donc des valeurs transitoires qui ne
sont valables qu’à court terme. Elles ont été introduites pour faciliter les calculs, en particulier en phase
de chantier, la connaissance des contraintes effectives étant plus difficiles à calculer tout au long de la
Lois de Comportement des Sols
M EL GONNOUNI -EHTP-
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consolidation du massif de sol fin saturé. On gardera à l’esprit que dès le début de la consolidation on
s’éloigne de ces hypothèses de court terme, d’autant plus évidemment si le sol n’est pas très imperméable.
Les courbes déviateur ( )31 σσ − en fonction de la déformation axiale ε1 permettent de déterminer le
déviateur à la rupture, soit au pic, soit pour une déformation donnée, soit à l’état critique.
Si on soumet plusieurs échantillons de sol, à des contraintes de confinement '3σ différentes, jusqu'au
critère de rupture, les enveloppes des différents cercles de Mohr, à la rupture, sont, en première
approximation, 2 droites symétriques (cf. figure 8).
Si on soumet plusieurs échantillons de sol, sans consolidation préalable, à des contraintes de
confinement '3σ différentes jusqu'à la rupture de chaque éprouvette (Figure 10), on obtient des déviateurs
q à la rupture tous identiques, la résistance de tous les échantillons étant la même puisqu’ils n’ont pas été
consolidés. Les enveloppes des différents cercles de Mohr, à la rupture, sont 2 droites de rupture parallèles
à l’axe des contraintes normales σ .
Le critère de Tresca dans les axes de Mohr s’exprime donc par :
uc=τ
Figure 10 – Critère de rupture de TRESCA (Argile saturée non drainée)
On peut également déterminer le module de Young et le coefficient de Poisson non drainés.
Puisque εv = 0 le coefficient de Poisson ν est égal à 0,5 et on peut calculer Eu, module de Young non
drainé en fonction du module de Young drainé E’, en écrivant que le module de cisaillement de Coulomb
est le même dans les deux cas γττ ' G==
( ) ( )( )( )'
'
'
''
1
1
1212
υν
νυ
++
=
+=
+==
uu
u
uu
EE
EEGG
( )( )'
'
1
1
υν
++
= uu EE
Le module de Young non drainé Eu sera donc toujours plus élevé que le module de Young drainé E’.