6 Obtención de la solución de referenciabibing.us.es/proyectos/abreproy/70578/fichero/Capítulo+6...La definición de los criterios de chequeo anteriores se recoge en el apartado

Métodos Analíticos para la Estimación de los Tensores de Tensión y Deformación Elasto-Plásticos en las Inmediaciones de una Entalla

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Máster en Diseño Avanzado en Ingeniería Mecánica - PFM 37

6 Obtención de la solución de referencia

6.1 Descripción del modelo FEM

Puesto que no se cuenta con resultados experimentales, para la obtención de la solución de referencia contra la que comparar los resultados proporcionados por los métodos descritos en el apartado 4 se ha creado un modelo de elementos finitos. Este mismo modelo se utilizará para la obtención de la solución elástica lineal necesaria para la estimación de la solución elasto-plástica requerida por los métodos anteriores.

Para a generación del modelo, análisis y post-proceso del mismo se ha empleado el software comercial Ansys.

La imagen siguiente muestra el modelo FEM generado.

Figura 6-1.- Probeta. Modelo FEM. Vista global.

Para la generación de la malla se han usado hexaedros lineales. Más concretamente, se han usado los elementos SOLID185 de Ansys, bricks lineales de 8 nodos con 3 grados de libertado por nodo. Además, para la resolución del problema plástico se ha activado la opción de integración reducida y control de hourglassing, que ayuda a prevenir el bloqueo volumétrico en los casos incompresibles.

El número total de nodos y elementos empleado es 133193 y 128493 respectivamente.

Se ha llevado a cabo un refinamiento de la malla entorno a la zona de la probeta objeto de estudio mediante el uso de secciones de apoyo. Estas secciones han permitido imponer el número de elementos a usar en cada zona y establecer en las mismas el tipo de transición en el tamaño de los elementos. La imagen siguiente muestra las divisiones realizadas sobre el volumen de la probeta para el control del refinamiento de malla a partir de ¼ de la probeta.


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Figura 6-2.- ¼ de la probeta. Perspectiva. Secciones auxiliares.

El refinamiento de la malla se ha controlado mediante la imposición de tamaños y evolución de los tamaños de malla a lo largo de los bordes generados sobre la probeta como resultado de las particiones. La imagen siguiente muestra en control de malla realizado.

Figura 6-3.- Probeta. Perspectiva. Edge seeding.

El número de elementos generado por cada línea indicada en la imagen anterior se resumen en la tabla siguiente:

L1

L2

L3

L4

L5

L6

L8

L7

L9


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Línea Nº Elm

1 14

2 8

3 15

4 8

5 10

6 14

7 15

8 25

9 15

Tabla 6-1.- Número de divisiones por línea en modelo FEM.

Las imágenes siguientes muestran el resultado de la malla obtenida en la zona de estudio.

Figura 6-4.- Probeta. Modelo FEM. Detalle zona de estudio.


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Figura 6-5.- Probeta. Modelo FEM. Detalle zona de estudio. Corte 90º.

La aplicación de la carga impuesta sobre el modelo se ha llevado a cabo mediante el reparto de ésta sobre toda la sección recta de la probeta a la altura del punto de aplicación a través de una región rígida. De esta forma se evitan concentraciones de tensiones locales entorno a este punto y se fuerza a la distribución de la carga sobre toda la sección antes de la llegada a la zona de estudio. Además, dado que la distancia desde el punto de aplicación de la carga hasta la zona entallada es de 150mm (>2D=120mm), el principio de Saint Venant asegura la independencia de los resultados obtenidos en esta zona del incremento de rigidez local asociado a la inserción de la región rígida.

6.2 Definición de la ley de comportamiento del mate rial

La definición de la ley de comportamiento del material se ha hecho mediante el comando TB,PLAS,,,,MISO de Ansys. Este comando permite la definición de una ley de comportamiento elasto-plástica multi-lineal con endurecimiento isotrópico y para materiales de Von Mises a través de la relación tensión – deformación plástica.

La definición de la ley se hace de forma tabular, de modo que Ansys aproxima la ley de comportamiento real mediante una sucesión de leyes lineales. El error en la definición de la función real dependerá del número de puntos que definan esta ley y de la distribución de los mismos sobre la ley real. En este caso se han impuesto un total de 100 puntos de definición de la ley multiaxial (máximo permitido por Ansys) equiespaciados sobre el eje de tensión.

La imagen siguiente muestra la superposición de la ley multilineal empleada (en color rojo) y la ley de comportamiento real definida por la ecuación de Ramberg-Osgood. Nótese que la desviación entre ambas leyes es despreciable con la consecuente irrelevancia a efectos de cálculo.


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Figura 6-6.- Superposición de la ley de Ramber-Osggod real y la ley multilineal empleada

Tal y como se ha descrito en el apartado 5.5, dado que la desviación entre las leyes de comportamiento definidas en términos de magnitudes nominales y reales no es significativa hasta niveles de tensión superiores a 500-600MPa, y puesto que se han elegido valores de carga que aseguran esta condición, la definición de la ley de comportamiento se ha hecho en términos de magnitudes nominales.

6.3 Validación del modelo

El objetivo del modelo FEM es proporcionar una herramienta que pueda ser utilizada para el estudio del comportamiento de la probeta en régimen elasto-plástico. Es necesario por tanto verificar que la solución proporcionada por el modelo FEM es suficientemente representativa de la realidad en estas condiciones. Para que la solución en régimen elasto-plástico sea representativa de la realidad es necesario que se cumplan los requisitos siguientes:

- El modelo FEM debe representar con suficiente exactitud la solución en régimen elástico-lineal

- La ley de comportamiento introducida debe ser representativa del comportamiento real del material

- Los pasos de integración deben elegirse lo suficientemente pequeños como para asegurar la convergencia de la solución con errores numéricos suficientemente bajos

De los puntos anteriores, la exactitud de la ley de comportamiento empleada se ha descrito en el apartado 5.5 de este informe, y la aproximación numérica queda condicionada por el software empleado siempre que se llegue a una solución convergente. Dado que en este caso se utilizará un software comercial reconocido como Ansys, solo queda la verificación del comportamiento elástico-lineal ofrecida por el modelo FEM.

La exactitud de la solución elástico-lineal proporcionada por un modelo FEM está directamente relacionada con la calidad de la malla y el nivel de refinamiento de malla empleado en las zonas de tensiones máximas. De este modo, la verificación del modelo en régimen elástico se llevará a cabo haciendo una comprobación de los criterios de malla y

0

100

200

300

400

500

600

700

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03

σ[M

Pa

]

ɛp []

Ramberg-Osgood Ley multilineal


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verificando, para casos de carga simples, la solución proporcionada por el modelo FEM para ciertos casos de carga frente a la solución teórica ofrecida por la resistencia de materiales.

6.3.1 Calidad de malla

El primer paso llevado a cabo para la validación del modelo FEM descrito es la comprobación de la calidad de la malla. Para ello, se han utilizado los criterios de mallado por defecto de Ansys. Estos criterios establecen lo siguiente:

ASPECT RATIO 20

DEVIATION FROM PARALLEL OPPOSITE EDGES IN DEGREES

70º

MAXIMUM CORNER ANGLE IN DEGREES

155º

WARPING FACTOR 0.2

Tabla 6-2.- Criterios de calidad de malla por defecto de Ansys para bricks.

La definición de los criterios de chequeo anteriores se recoge en el apartado 10.2 de este informe.

De manera adicional y a fin de reportar la calidad real usada, se ha determinado el valor mínimo de estos criterios para la malla generada para la probeta. Los resultados se muestran en la tabla siguiente.

ASPECT RATIO 5

DEVIATION FROM PARALLEL OPPOSITE EDGES IN DEGREES

40º

MAXIMUM CORNER ANGLE IN DEGREES

140º

WARPING FACTOR 0.15

Tabla 6-3.- Calidad de malla mínima de la probeta.

6.3.2 Tamaño de malla

El tamaño de elemento por defecto usado para la generación de la malla es de 3mm. En la zona de la entalla el tamaño de elemento queda condicionado por el seeding impuesto. En concreto, los elementos de esta zona poseen un tamaño medio aproximado de 1mm.

6.3.3 Solución elástico lineal

La comprobación de la calidad de la malla permite verificar que la distorsión de los elementos es suficientemente baja. Una distorsión elevada de los elementos puede llevar asociada una mala aproximación numérica de la solución. Sin embargo, a través de los criterios de calidad de malla no se pueden establecer criterios mínimos suficientemente genéricos como para asegurar que la solución numérica aproximada proporcionada por un modelo de elementos finitos es suficientemente buena en cualquier caso de carga.

A fin verificar la calidad de los resultados proporcionados por el modelo FEM generado se han resuelto dos supuestos de carga simples en régimen elástico-lineal y comparado los resultados ofrecidos por el modelo FEM con los resultados teóricos dados por la resistencia de materiales.

Los supuestos de carga analizados son los siguientes:


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ID Descripción Solicitación Valor de la

solicitación

T1 Flexión pura �� 105Nmm

T2 Torsión pura �� 105Nmm

Tabla 6-4.- Casos de carga elástico-lineales para chequeo de malla.

Las unidades utilizadas para la obtención de los resultados son N,mm.

La solución teoría dada por la resistencia de materiales para estos casos establece lo siguiente:

- Flexión pura

La distribución de tensiones normales,��, en la sección de un cilindro sometido a un esfuerzo de flexión pura �� pueden obtenerse como:

�� =��

��

�2=

32 · ��

� · �

Ec. 6.1

…donde �� es el momento de inercia de área de la sección alrededor del eje OX.

Teniendo en cuenta el valor de solicitación dado en la Tabla 6-4 para el caso T1 y considerando un diámetro de 40mm correspondiente al diámetro menor de la zona objeto de estudio de la probeta, se tiene:

�� =32 · 100000

� · 40 = 15.915��

Ec. 6.2

En el caso particular de la entalla de la probeta objeto de estudio que puede ser representado por la situación genérica siguiente:

Figura 6-7.- Entalla de radio � por cambio de sección en un cilindro circular.

…el nivel de tensiones máximo se establece en la entalla y puede calcularse a partir del coeficiente de concentración de tensiones, ��, como7:

Ec. 6.3

…donde.

7 Información extraída de Ref-9.


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Ec. 6.4

Los coeficientes �� que aparecen en la expresión anterior se determinan experimentalmente. La tabla siguiente recoge su valor en función de la geometría del problema.

Tabla 6-5.- Coeficientes geométricos para el cálculo de ��. Probeta circular con cambio de sección. Flexión pura.

Concretando para una probeta circular de diámetro 40mm con un cambio de sección representado por un radio de 5mm como el de la probeta objeto de estudio, el valor de la tensión máxima resulta, aplicando las ecuaciones anteriores:

�� = 25.171��

Los resultados obtenidos mediante el modelo de elementos finitos se muestran en las imágenes siguientes:

Figura 6-8.- Distribución de tensiones normales �� obtenida mediante FEA. Flexión pura. Rebanada d=40mm.

De acuerdo a la imagen anterior, la distribución de tensiones normales es prácticamente lineal con el radio de acuerdo con la expresión teórica y el valor máximo obtenido es de �� = 15.984��. Esto supone un error del 0.4% con respecto al valor teórico proporcionado por la resistencia de materiales


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Figura 6-9.- Distribución de tensiones normales �� obtenida mediante FEA. Flexión pura. Zona objeto de estudio.

De acuerdo con la imagen anterior, para el caso de las tensiones normales en la zona de la entalla, el modelo FEM ofrece un valor máximo de 24.819MPa, lo que supone un error del 1.4% con respecto la solución teórica proporcionada por la resistencia de materiales.

- Torsión pura

Lo esfuerzos de torsión solo provocan tensiones tangenciales. La distribución de tensiones tangenciales en dirección circunferencia, , en la sección de un cilindro sometido a un esfuerzo de torsión pura �� pueden obtenerse como:

=��

!�2=

16 · ��

� · �

Ec. 6.5

…donde ! es el módulo de torsión de la sección.

Teniendo en cuenta el valor de solicitación dado en la Tabla 6-4 para el caso T2 y considerando un diámetro de 40mm correspondiente al diámetro menor de la zona objeto de estudio de la probeta, se tiene:

=16 · 100000

� · 40 = 7.958��

Ec. 6.6

En este caso, la tensión máxima en la entalla viene dada por la expresión siguiente:

Ec. 6.7

El valor de �� vuelve a estar definido por la ecuación Ec. 6.4, pero el valor de los coeficientes experimentales en función de la geometría es el siguiente:


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Tabla 6-6.- Coeficientes geométricos para el cálculo de ��. Probeta circular con cambio de sección. Torsión pura.

Para el caso concreto de una probeta circular de diámetro 40mm con un cambio de sección representado por un radio de 5mm como el de la probeta objeto de estudio, el valor de la tensión máxima resulta, aplicando las ecuaciones anteriores:

�� = 10.302��

Los resultados obtenidos mediante el modelo de elementos finitos se muestran en las imágenes siguientes:

Figura 6-10.- Distribución de tensiones tangenciales �� obtenida mediante FEA. Torsión pura. Rebanada d=40mm.

De acuerdo a la imagen anterior, la distribución de tensiones normales es prácticamente lineal con el radio de acuerdo con la expresión teórica y el valor máximo obtenido es de �� = 7.993��. Esto supone un error del 0.4% con respecto al valor teórico proporcionado por la resistencia de materiales


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Figura 6-11.- Distribución de tensiones tangenciales �� obtenida mediante FEA. Torsión pura. Zona objeto de

estudio.

De acuerdo con la imagen anterior, para el caso de las tensiones tangenciales en la zona de la entalla, el modelo FEM ofrece un valor máximo de 10.103MPa, lo que supone un error del 1.9% con respecto la solución teórica proporcionada por la resistencia de materiales.

6.3.4 Conclusiones

De acuerdo con lo obtenido en el punto anterior y a modo de resumen se tienen los resultados siguientes:

Descripción Zona de

postproceso

Tensión

máxima teórica

Tensión

máxima FEM Error

Flexión pura ��=105Nmm

Rebanada d=40mm 15.915MPa 15.984MPa 0.4%

Entalla 25.171MPa 24.814MPa 1.4%

Torsión pura ��=105Nmm

Rebanada d=40mm 7.958MPa 7.933MPa 0.4%

Entalla 10.302MPa 10.103MPa 1.9%

Tabla 6-7.- Resumen comparativo de resultados teóricos y obtenidos mediante FEM para casos elástico-lineales

Se puede concluir por tanto que el modelo de elementos finitos generado ofrece resultados suficientemente aproximados tanto en el cuerpo de la probeta (zona de diámetro 40mm) como en la entalla. En consecuencia, se podrán utilizar los resultados obtenidos por el modelo de elementos finitos como representativos de la rea lidad en el estudio de los métodos de estimación de los tensores de tensión y deformación elasto-plásticos en la entalla descritos en el punto 4 de este informe.


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6.4 Tensión nominal

Según el apartado anterior, el modelo de elementos finitos generado es suficientemente representativo de la realidad en condiciones elasto-plásticas. Una vez hecho esto, se procederá a obtener la solución de referencia ofrecida por el modelo FEM en los casos de carga descritos en la Tabla 5-1.

Para la obtención de la solución de referencia se definirá como tensión nominal el valor de la tensión equivalente según el criterio de Von Mises despreciando el efecto del esfuerzo cortante y de acuerdo a los valores teóricos dados por la resistencia de materiales a 150mm del punto de aplicación de la carga, esto es, en la sección A-A mostrada en la imagen siguiente de la zona de estudio:

Figura 6-12.- Sección de definición de la tensión nominal.

De este modo, la tensión nominal #, quedará definida como:

# = $�% + 3 %

Ec. 6.8

…donde:

� = �''|)* =4��

�+ =4,�-.�+

Ec. 6.9

= |)/ =2��

�+

Ec. 6.10

…donde a su vez:

+� Radio de la sección de la probeta en la sección estudiada, +=20mm

-.� Distancia desde el punto de aplicación de la carga a la sección de medida, -.=150mm

6.5 Solución de referencia

La solución ofrecida por el modelo FEM para cada uno de los casos de carga descritos en la Tabla 5-1 se ha obtenido teniendo en cuenta las consideraciones de cálculo siguientes:

- Número de pasos de resolución � 100 - Frecuencia de extracción de resultados � 4 pasos

Los resultados se han obtenido en el nodo 12786 del modelo FEM. En este nodo es máximo el valor de la tensión equivalente máxima en los casos analizados en el punto 6.3.3.

L2=50mm

A

A


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La localización del nodo 12786 se muestra en la imagen siguiente:

Figura 6-13.- Punto de post-proceso.

De acuerdo a estos datos y teniendo en cuenta la definición de la solución de referencia dada por la Ec. 6.8, los apartados siguientes muestran los resultados obtenidos para cada caso de carga en el nodo indicado.

6.5.1 LC1: Flexión + Cortadura

Los resultados ofrecidos por el modelo FEM para el caso de flexión + cortadura se muestran en las imágenes siguientes.

Figura 6-14.- Evolución de # 0 123y �23 0 123. LC1. Solución mediante FEA.

10

100

1000

0.01 0.10 1.00

Str

ess

[M

pa

]

Strain [%]

Eq strain-Nominal stress Eq strain-Eq stress

Y

X

Z


____________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________


La imagen anterior muestra en primer lugar la evolución de la tensión nominal con la deformación equivalente y posteriormente la evolución de la tensión equivalente con la deformación equivalente. De este modo, entrando en el eje de ordenadas de esta gráfica con la tensión nominal asociada a la carga aplicada definida de acuerdo a Ec. 6.8, la primera de las curvas permite obtener sobre el eje de abscisas el valor de la deformación equivalente dada por el modelo FEM en el punto de tensión máxima. Una vez hecho esto, entrando en la segunda curva sobre el eje de abscisas con el valor devuelto por la curva anterior, es posible determinar el valor de la tensión equivalente en el punto de tensión máxima de acuerdo a los resultados ofrecidos por FEA. Nótese que la curva roja representa la ley de comportamiento del material en términos de magnitudes equivalentes.

Nótese que el comportamiento de la solución deja de ser cuasi-lineal en torno a los 200MPa. A pesar de la definición de la ley de comportamiento a través de la ecuación de Ramberg-Osgood, este resultado concuerda con los resultados mostrados en las Figura 5-6 y Figura 5-7.

Tal y como se describió en el punto 5.5, el análisis se ha efectuado hasta unos niveles de tensión máximos de en torno a 500-600MPa.

Figura 6-15.- Evolución de # 0 1.y �. 0 1.. LC1. Solución mediante FEA.

Las curvas representadas en la imagen anterior permiten obtener la tensión y deformación máximas en ejes principales a partir de la tensión nominal asociada a la carga aplicada de acuerdo con la definición establecida en la Ec. 6.8. Efectivamente, entrando en el eje de ordenadas con el valor de la tensión nominal, la curva azul devuelve el valor de la tensión principal máxima en el punto de tensión máxima de la probeta de acuerdo a los resultados obtenidos mediante FEA. Entrando ahora con el valor de tensión anterior en el eje de abscisas, la curva roja devuelve el valor de la deformación principal correspondiente de acuerdo a la solución de referencia.

10

100

1000

0.01 0.10 1.00

Str

ess

[M

pa

]

Strain [%]

Max strain-Nominal stress Max strain-Max stress


____________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________


Figura 6-16.- Evolución de # 0 �%/�., # 0 1 /1.y # 0 1%/1.. LC1. Solución mediante FEA.

La curva anterior permite obtener el resto de términos del tensor de deformaciones en ejes principales y la evolución de la relación entre las dos primeras tensiones principales a partir de la tensión nominal asociada a la carga aplicada y los resultados obtenidos en la Figura 6-158.

6.5.2 LC2: Torsión pura

Los resultados ofrecidos por el modelo FEM para el caso de torsión pura se muestran en las imágenes siguientes.

8 Estas curvas coinciden con las representadas en Ref-2 para los distintos casos de carga analizados y pretenden

servir de comparativa entre los resultados obtenidos en este proyecto y los mostrados en dicho artículo.

0

100

200

300

400

500

600

-0.80 -0.60 -0.40 -0.20 0.00 0.20 0.40 0.60

Str

ess

[M

pa

]

Ratio

s2/s1 e3/e1 e2/e1


____________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________


Figura 6-17.- Evolución de # 0 123y �23 0 123. LC2. Solución mediante FEA.


10

100

1000

0.01 0.10 1.00

Str

ess

[M

pa

]

Strain [%]


10

100

1000

0.01 0.10 1.00

Str

ess

[M

pa

]

Strain [%]



____________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________



La imagen anterior muestra un resultado esperado a priori. La torsión pura deriva en una distribución de tensiones tangenciales de dirección circunferencial. De este modo, en el punto de post-proceso, situado sobre el plano Y=0, la tensión tangencial irá en dirección del eje X, por lo que �% = 0, 1% = 0 y 1. = 01 .

6.5.3 LC3: Flexión + Cortadura + Torsión

Los resultados ofrecidos por el modelo FEM para el caso de flexión + cortadura + torsión se muestran en las imágenes siguientes.


0

50

100

150

200

250

300

350

-1.20 -1.00 -0.80 -0.60 -0.40 -0.20 0.00 0.20

Str

ess

[M

pa

]

Ratio

s2/s1 e3/e1 e2/e1

10

100

1000

0.01 0.10 1.00

Str

ess

[M

pa

]

Strain [%]


s2/s1 & e2/e1


____________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________




10

100

1000

0.01 0.10 1.00

Str

ess

[M

pa

]

Strain [%]


0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

-0.50 -0.40 -0.30 -0.20 -0.10 0.00 0.10

Str

ess

[M

pa

]

Ratio

s2/s1 e3/e1 e2/e1

Documents

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