6-teoriadedecisionesu-1210559336242331-9

5/9/2018 6-teoriadedecisionesu-1210559336242331-9 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/6-teoriadedecisionesu-1210559336242331-9-559ca2dcde423 1/65

TEORIA DE DECISIONESProfesor: Gabriel Conde A.

Escuela de Ingeniería Industrial yEstadística

UNIVERSIDAD DEL VALLECALI



INTRODUCCION

Análisis de decisiones: Es una herramienta cuyoobjetivo es ayudar en el estudio de la toma dedecisiones en escenarios bajo una gran incertidumbre.

Estudiaremos dos formas:

•Toma de decisiones sin experimentación

•Toma de decisiones con experimentación



TOMA DE DECISIONES SINEXPERIMENTACIÓN



ESQUEMA

ALTERNATIVAS FACTIBLES(Estrategias del tomador de decisiones. Selecciona sólo una)

VSESTADO DE LA NATURALEZA

(Estrategias de la naturaleza. Sucesos inciertos, se conocen o se tiene

idea de sus probabilidades)



MARCO CONCEPTUAL

• El tomador de decisiones necesita elegir una delas alternativas posibles.

• La naturaleza elegirá uno de los estados de la

naturaleza.• Cada combinación de una acción y un estadode la naturaleza da como resultado un pago,que se da por medio de una tabla de pagos.

• La tabla de pagos se usa para encontrar unaacción óptima para el tomador de decisionessegún un criterio adecuado.



MODELO DE TABLA DE PAGOS PARAEL ANÁLISIS DE DECISIONES

ESTADOS DE LA NATURALEZA

ALTERNATIVAS N1 N2 … Nn

A1 Q11 Q12 … Q1n

A2 Q21 Q22 … Q2n

… … … …

Am Qm1 Qm2 … Qmn



NOTA:

El tomador de decisiones elige su estrategia parapromover su propio beneficio. Por el contrario lanaturaleza es un jugador pasivo que elige sus

estrategias de manera aleatoria.

El tomador de decisiones tiene información para teneren cuenta sobre la posibilidad de los estados de la

naturaleza. Esta información se traduce en unadistribución de probabilidad. El estado de la naturaleza

es una variable aleatoria (distribución a priori).



MODELO DE TABLA DE PAGOS PARA ELANÁLISIS DE DECISIONES CON

PROBABILIDADES A PRIORI


ALTERNATIVAS N1 N2 … Nn

A1 Q11 Q12 … Q1n

A2 Q21 Q22 … Q2n

… … … …

Am Qm1 Qm2 … Qmn

PROB. A PRIORI P1 P2 … Pn

1Pn

1i i



DOS CONCEPTOS IMPORTANTES

a priori: Independiente de la experiencia, es decir, queésta supone pero no puede explicar, aunque seanecesario a la posibilidad de la experiencia; a

priori no designa, pues, una anterioridadpsicológica, sino una anterioridad lógica o devalidez.

En la filosofía escolástica, [razonamiento] quedesciende de la causa al efecto, o de la esenciade una cosa a sus propiedades.



a posteriori

Que proviene o depende de la experiencia.

En la filosofía escolástica, [razonamiento]que asciende del efecto a la causa o de laspropiedades de una cosa a su esencia.



FORMULEMOS UN EJEMPLO

Un ingenio es dueño de unos terrenos en los quepuede haber petróleo. Un geólogo consultor hainformado que piensa que existe una posibilidad

entre cuatro de encontrar petróleo. Otra

posibilidad es sembrar caña en estos terrenos. Elcosto de la perforación es de 100.000 dólares. Siencuentra petróleo el ingreso esperado será de800.000 dólares. Si no se encuentra petróleo seincurre en una pérdida de 100.000 dólares. Por

otro lado la caña producirá un ingreso de 90.000dólares.



TABLA DE PAGOS PARA EL ANALISIS DEDECISION DEL PROBLEMA DEL INGENIO

ESTADOS DE LA

NATURALEZAALTERNATIVA Petróleo SecoPerforar 700 -100

Sembrar caña 90 90Probabilidad a priori 0.25 0.75



CRITERIO DEL PAGO MÁXIMO

Para cada acción posible, encuentre el pago

mínimo sobre todos los estados de lanaturaleza. Después encuentre el máximo deestos pagos mínimos. Elija la acción cuyo

pago mínimo corresponde a este máximo.



EXPLICACIÓN

Este criterio elige la acción que proporciona elmejor pago para el peor estado de la naturaleza.

Proporciona la mejor garantía del pago que seobtendrá. Sin importar cual sea el estado de lanaturaleza el pago por vender el terreno nopuede ser menor que 90.



Este razonamiento es válido cuando se está

compitiendo con un oponente racional.

Este criterio casi no se usa contra la naturaleza.



CRITERIO DE LA MÁXIMA

POSIBILIDAD

Identifique el estado más probable de la

naturaleza (aquel que tenga la probabilidad apriori más grande). Para este estado de la

naturaleza, encuentre la acción con máximo

pago.



En nuestro ejemplo, el estado seco tiene lamayor probabilidad a priori. En la columnaseco el pago máximo corresponde a lasiembra de caña.



EXPLICACIÓN

La acción elegida es la mejor para el estadomás importante de la naturaleza.

Desventaja: Ignora otra información. Noconsidera otro u otros estados de la

naturaleza distintos al más probable.



REGLA DE DECISIÓN DE BAYES

Usando las mejores estimaciones disponiblesde las probabilidades de los respectivos

estados de la naturaleza (en este caso lasprobabilidades a priori), se calcula el valoresperado del pago de cada acción posible. Se

elige la acción con máximo pago esperado.



Para nuestro ejemplo

E[pago (perforar)] = 0.25*700 + 0.75*(-100)= 100

E[pago (sembrar)] = 0.25*90 + 0.75*(90)= 90

Como 100 > 90, la decisión es perforar.



RESUMEN DE LOS CALCULOS PARA ELCRITERIO DE BAYES


ALTERNATIVAS PETRÓLEO SECO ESPERANZA

PERFORAR 700 -100 100 MAX

SEMBRAR C. 90 90 90 MIN

PROB. A PRIORI 0,25 0,75



EXPLICACIÓN

La mayor ventaja de este criterio es queincorpora toda la información disponible (pagos,

estimaciones de las probabilidades de losestados de la naturaleza).

La mayor crítica es que las probabilidades apriori no dejan de ser subjetivas.



ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD

Nos centraremos en el análisis de sensibilidadsobre las probabilidades a priori. Queremossaber cómo cambia nuestra decisión al

cambiar las probabilidades a priori.Supongamos que sabemos con buenacerteza que 0.15 < P(petróleo) < 0.35. Esto

implica que 0.65 < P(seco) < 0.85.Comenzamos el A. de S. aplicando el criteriode Bayes para los dos casos extremos.



A. de S. continuación



PERFORAR 700 -100 20 MIN

SEMBRAR C. 90 90 90 MAX




A. de S. continuación



PERFORAR 700 -100 180 MAX

SEMBRAR C. 90 90 90 MIN




Conclusión:

La decisión es muy sensible a la

probabilidad a priori de encontrar petróleo.

Lo cual nos dice que “debemos de hacer

algo más” para tomar nuestra decisión.



CAMBIO DEL PAGO ESPERADO EN FUNCIÓNDE LA PROBABILIDAD A PRIORI

Si p es la probabilidad a priori de

encontrar petróleo entonces el pagoesperado por perforar será:E(pago perforar) = 700p – 100(1-p)

= 800p - 100



GRÁFICA DEL CAMBIO DEL PAGOESPERADO



PUNTO DE CRUCE

E(pago perforar) = E(pago caña)

800p – 100 = 90p = 190/800 = 0.2375

Se debe cultivar caña si p < 0.2375Se debe perforar en busca de petróleosi p > 0.2375



GENERALIZACIONES



MAS DE DOS ALTERNATIVAS

Si se tiene más de dos alternativas entonceshabrá más de dos rectas. Las partessuperiores (para cualquier valor de la

probabilidad a priori) seguirán indicando quealternativa debe elegirse. Los puntos de corteindica en donde la decisión cambia de una

alternativa a otra.



MAS DE DOS ESTADOS DENATURALEZA

Se centra el análisis de sensibilidad en dosestados de la naturaleza. Esto significainvestigar que pasa cuando la probabilidad

a priori de un estado aumenta mientras ladel otro disminuye en la misma cantidad yse mantienen fijas las probabilidades a priori

de los estados restantes. Esteprocedimiento se repite para los pares deestados que se deseen.



TOMA DE DECISIONES CONEXPERIMENTACIÓN



INFORMACION COMPLEMENTARIA

PARA TOMAR UNA DECISIÓNUna exploración sismológica obtienesondeos sísmicos que indican si la

estructura geológica es favorable o no ala presencia de petróleo. Con estomejoramos la estimación de laprobabilidad de que haya petróleo.Supongamos que el costo de esteestudio es de 30.000 dólares.



RESULTADOS DE LA EXPLORACIÓN

DOS RESULTADOS POSIBLES:

Es poco probable encontrar petróleoSSD (Sondeo sísmico desfavorable)

Es bastante probable encontrar petróleoSSF (Sondeo sísmico favorable)



Por experiencia (datos históricos) tenemoslas siguientes probabilidades condicionales:

P(SSD estado = petróleo) = 0.4

P(SSF estado = petróleo) = 1 - 0.4 = 0.6

P(SSD estado = seco) = 0.8

P(SSF estado = seco) = 1 - 0.8 = 0.2



PROBABILIDADES A POSTERIORI

Quisiéramos saber más bien las siguientesprobabilidades, llamadas probabilidades a

posteriori (Seguramente son más útiles quelas anteriores)

P(estado = petróleo resultado = SSD)P(estado = seco resultado = SSD)

P(estado = petróleo resultado = SSF)P(estado = seco resultado = SSD)



EL TEOREMA DE BAYES NOS PERMITECALCULAR ESTAS PROBABILIDADES

Definición: Si A y B son eventos en un espacio deprobabilidad la probabilidad condicional de A dado Bdenotada por P[AB] se define mediante la relación:

P[AB] = , con P[B] 0

Definición: Dos eventos A y B en un espacio deprobabilidad son independientes si la ocurrencia de

uno de ellos no influye en el valor de la probabilidaddel otro. Esto se expresa escribiendo:P[AB] = P[A]

De lo anterior se deduce que P[AB] = P[A].P[B] si

A y B son independientes.

P[B]

B]P[A



CONTINUACIÓN. T. BAYES

Una fórmula que se deriva de la definición deprobabilidad condicional es la siguiente:P[AB] = P[A]P[BA] = P[B]P[AB] y relaciona lasprobabilidades condicionales en términos de lasprobabilidades no condicionales P[A] y P[B].

Probabilidad total: Sea S un espacio muestral y B1,B2, ...,Bn, eventos tales que definen una partición (*)en S y A cualquier evento en Fs entonces:

P[A] = P[ABi ]P[Bi]

n

i 1



CONTINUACIÓN. T. BAYES

Teorema de Bayes:

Sea S un espacio muestral y B1, B2, ...,Bn, eventostales que definen una partición en S y A cualquier

evento en Fs entonces se cumple la relación:

P[BkA] =

n

1i

ii

k k

]]P[BBP[A

]]P[BBP[A



TEOREMA DE BAYES COMO HERRAMIENTA

EN LA TOMA DE DECISIONES

n

1k

k)P(estado*k)estado| joP(resultad

i)P(estado*i)estado| joP(resultad j)resultado|iP(estado



CÁLCULO DE LAS PROBABILIDADESA POSTERIORI



P(estado = petróleo resultado = SSD)

P(estado = seco resultado = SSD)

14.01429.07

1

75.0*8.025.0*4.0

25.0*4.0

0.860.85717

6

7

11tambiéno

86.08571.07

6

75.0*8.025.0*4.0

75.0*8.0



P(estado = petróleo resultado = SSF)

P(estado = seco resultado = SSF)

5.021

75.0*2.025.0*6.025.0*6.0

0.52

1

2

11tambiéno

5.0

2

1

75.0*2.025.0*6.0

75.0*2.0

DIAGRAMA DE ÁRBOL PARA EL CÁLCULO



DIAGRAMA DE ÁRBOL PARA EL CÁLCULODE LAS PROBABILIDADES A POSTERIORI



CÁLCULO DEL PAGO ESPERADO

TENIENDO EN CUENTA LASPROBABILIDADES A POSTERIORI



Pago esperado si el resultado es unsondeo desfavorable

E(pago[perforar|SSD])

E(pago[s. caña|SSD])

7.1530)100(*7

6700*

7

1

603090*7

690*

7

1



RESUMEN DE LOS CALCULOS PARA ELCRITERIO DE BAYES (SSD)



PERFORAR 700 -100 -15.7

SEMBRAR C. 90 90 60

PROBABILIDAD APOSTERIORI(SSD) 1/7 6/7



Pago esperado si el resultado es unsondeo favorable

E(pago[perforar|SSF])

E(pago[s. caña|SSF])

27030)100(*2

1700*

2

1

603090*2

190*

2

1



RESUMEN DE LOS CALCULOS PARA ELCRITERIO DE BAYES (SSF)



PERFORAR 700 -100 270

SEMBRAR C. 90 90 60

PROBABILIDAD APOSTERIORI(SSF) 1/2 1/2



DECISIÓN, BAJO EXPERIMENTACIÓN,CON LA REGLA DE BAYES

SONDEO ALTERNATIVA

OPTIMA PAGO SIN COSTO

EXPLOTACION

PAGO CONCOSTO

EXPLOTACION

DESFAVO-RABLE(SD)

SEMBRARCAÑA 90 60

FAVORABLE(SF)

PERFORARPOR

PETROLEO 300 270



VALOR DE LA EXPERIMENTACION

Antes de realizar cualquier experimento, debedeterminarse su valor potencial. Veremos dosmétodos para evaluar este potencial, a saber:

•Valor esperado de la información perfecta.

•Valor esperado de la experimentación.

VALOR ESPERADO DE LA



VALOR ESPERADO DE LAINFORMACIÓN PERFECTA (VEIP)

Aquí se supone que la experimentación eliminatoda incertidumbre sobre cual es el estadoverdadero de la naturaleza y se hace un cálculosobre cual sería la mejora en el pago esperado.

Esta cantidad se llama valor esperado de lainformación perfecta. (cota superior para el valordel experimento)

Pago esperado con información perfecta =

0.25*700+0.75*90 = 242.5VEIP = PECIP – pago esperado sin experim.

VEIP = 242.5 – 100 = 142.5

VEIP ti ió



VEIP continuación

Si el VEIP fuera menor que 30 entonces no

se llevaría a cabo la experimentación.

En nuestro caso el VEIP > 30, lo cual indicaque puede valer la pena llevar a cabo laexperimentación.Entramos a confirmar esto estudiando un

segundo método: Valor Esperado de laExperimentación = VEE



VALOR ESPERADO DE LAEXPERIMENTACIÓN (VEE)

En este caso no se calcula una cota superiorpara el incremento del pago esperado. Secalcula de manera directa este incremento

esperado:Pago esperado de la experimentación =P(resultado j)*E(pago|resultado j), j

En esta expresión el cálculo de lasesperanzas debe hacerse con lasprobabilidades a posteriori

j

VEE continuación



VEE continuación…

De los cálculos anteriores sabemos que losvalores de P(resultado j) son:

P(SSD) = 0.7 y P(SSF) = 0.3

Así mismo los valores de E(pago|resultado j),que se calcularon teniendo en cuenta lasprobabilidades a posteriori, son:

E(pago|resultado = SSD) = 90E(pago|resultado = SSF) = 300

VEE ti ió



VEE continuación…

El pago esperado con experimentación =

0.7*90 + 0.3*300 = 153

El VEE será entonces:VEE = El pago esperado con experimentación -El pago esperado sin experimentación =

153 – 100 = 53 > 30Como este valor excede a 30.000 entonces

debe llevarse a cabo el sondeo de sismología



ÁRBOL DE DECISIÓN

Es una manera de visualizar un problema

de decisión mediante un esquema de árbol(red sin ciclos). Su objetivo es facilitar lacomprensión del problema y los cálculos.

CONSTRUCCIÓN DEL ÁRBOL DE DECISIÓN



CONSTRUCCIÓN DEL ÁRBOL DE DECISIÓN

-30

0

0.3

0.7 -100

90

0

800670

-130

60

-100

90

0.5

0.5

800

0

670

-130

90

-100

90

0.75

0.25

700

-100

90

0.14

0.86

0.5

0.5

Á



ELEMETOS DEL ÁRBOL

• Los arcos = Ramas

• Puntos de ramificación = Nodos

Nodo de decisión = Indica que debe tomarseuna decisión (cuadrado)

Nodo de probabilidad = Indica que ocurre unevento aleatorio (círculo)

CÁLCULOS PRIMERA ETAPA



CÁLCULOS, PRIMERA ETAPA



LOS NÚMEROS EN EL ÁRBOL

Números debajo de ramas = Flujos de efectivo

Números arriba de las ramas = Probabilidad(después de un nodo de probabilidad) (a priori o a posteriori)

Números en cada nodo = Pagos esperados(Surgen del procedimiento de análisis)

CÁLCULOS SEGUNDA ETAPA



CÁLCULOS, SEGUNDA ETAPA

ANÁLISIS



ANÁLISISUna vez calculado el árbol se hace el siguiente

procedimiento de análisis

• 1. Iniciar en el lado derecho, moverse a la izquierdauna columna a la vez, realizar el paso 2 o el 3según los nodos sean de probabilidad (NP) o dedecisión (ND).

• 2. Para cada NP calcular su pago esperado -PE-[(pago de c/rama) * (probabilidad de c/rama)]

• 3. Para cada ND, compare los PE de sus ramas yseleccione la alternativa cuya rama tenga mayorpago esperado.

BIBLIOGRAFÍA



BIBLIOGRAFÍA

Peña Daniel, “Fundamentos de Estadística”. Alianza Editorial, Madrid 2001

H. TAHA, “Investigación de Operaciones”, Ed. Alfaomega, México 1998.

F. HELLIER, G. LIEBERMAN, “Introducción a la investigación deoperaciones”, Ed. McGraw-Hill 2001.

KENNEDY y NEVILLE. (1982) "Estadística para Ciencias e Ingeniería".México: Harla.

SCHEAFFER y MCCLAVE. (1993) "Probabilidad y Estadística paraIngeniería". México: Grupo Editorial Iberoamérica.

BRETÉS A. P, LLABRÉS X. T., GRIMA PERE y POZUELA L. (2000)“Métodos estadísticos. Control y mejora de la calidad” México: AlfaomegaGrupo Editor

Documents

6-teoriadedecisionesu-1210559336242331-9