6 variables aleatorias

7/26/2019 6 variables aleatorias

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Variables Aleatorias

En el captulo 4, de estadstica descriptiva, se estudiaron las distribuciones de frecuencias de conjuntosde datos y en el captulo 5 se trataron los fundamentos de la teora de probabilidades. Es posiblecombinar estas ideas para obtener distribuciones de probabilidad que se parecen bastante a lasdistribuciones de frecuencias relativas, la diferencia ms importante entre las distribuciones deprobabilidad y las de frecuencia relativa, es que las distribuciones de probabilidad son probabilidadestericas (modelo), mientras que las distribuciones de frecuencias relativas son probabilidades empricas(muestras).

En el captulo anterior vimos que los espacios muestrales no son necesiriamente numricos. !uando porejemplo lan"amos una moneda tres veces, podemos re#istrar un resultado como ccs.En estadstica, sinembar#o nos interesan los resultados numricos, tal como el n$mero de caras al lan"ar una moneda tresveces.

%e tiene el experimento aleatorio& 'an"ar una moneda veces

El espacio muestral que corresponde a este eperimento es& %*+ccc, ccs, css, csc, sss, ssc, scc, scs

%ea - * n$mero de caras, qu valores puede tomar la variable -/Espacio 0uestral 1ariable aleatoria -

sss 2 * 3css, ssc, scs * 2ccs, csc, scc * ccc 4 *

%ea * n$mero de caras menos n$mero de sellos, qu valores puede tomar /

Definicin&6na variable aleatoria es un n$mero que depende del resultado aleatorio de un eperimento.

6na variable aleatoria es una re#la que asi#na un valor numrico (slo uno) a cada punto en el espaciomuestral de un eperimento aleatorio.

%upon#a que se aplicar una encuesta a los estudiantes de la 67al donde se pre#untar por el n$merode cursos inscritos este semestre. 8dentifique la variable aleatoria de inters y enumere sus valoresposibles.

Nota:normalmente se usan letras may$sculas, y del final de abecedario, (-, , o 9) para denotarvariables aleatorias.

:;ora nos interesa aprender cmo asignar probabilidades a eventosy para eso vamos a distin#uir dostipos de variables aleatorias&

6na variable aleatoria discretapuede tomar valores finitos o contables.

6na variable aleatoria continuapuede tomar cualquier valor en un intervalo.

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Variable

aleatoria

X

Discreta

Continua

Funcin de distribucin

P(X=x)Altura

Funcin densidad

f(x)=P(a


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1. 'os valores de las probabilidades estn entre 3 y 2 ( 2)(3 xp ) para todox

2. 'a suma de las probabilidades es 2 ( 2)( = xp )

!ama"o familiar%eaXel n$mero de personas de ;o#ares en el censo 33 (;ttp&CCDDD.ine.clCcd33Cinde.p;p )

2 4 5 F y ms

p() 3,22 3,2@ 3, 3, 3,24 3,3F

a) !unto debe ser la probabilidad de que el tamaGo familiar sea de F y ms personas para que esta sea

una distribucin de probabilidades discreta le#tima/

b) 0uestre #rficamente la distribucin de probabilidades.

c) !ul es la probabilidad de que un ;o#ar ele#ido al a"ar ten#a un tamaGo familiar de ms de 5

personas/

d) !ul es la probabilidad de que un ;o#ar ele#ido al a"ar ten#a un tamaGo familiar de no ms de

personas/

e) !ul es P X( ) 4< /

No todas las tablas representan un modelo discreto

6n modelo discreto puede servir para describir la distribucin de una variable cualitativa, pero nocualquier tabla representa una variable aleatoria. !onsidere por ejemplo la si#uente tabla que contieneinformacin acerca del tipo de mascota que poseen en cierto barrio&

0ascota =erro Hato Itras=roporcin 3,F3 3,43 3,3

Es esta una distribucin discreta le#tima/
http://www.ine.cl/cd2002/index.phphttp://www.ine.cl/cd2002/index.php


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%i X es una variable aleatoria discreta que toma valores x2, x, . . . x


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6.% Variables aleatorias continuas

Definicin:6na funcin de densidad es una funcin o curva que describe la forma de una distribucin.

El rea total bajo la curva es i#ual a uno y calculamos probabilidades como reas bajo la curva dedensidad.

ropiedades de una funcin densidad:

'a funcin densidad de una variable aleatoria continua X es una funcin, denotada por f(x), quesatisface&

2. 3)( xf 'a densidad es siempre mayor o i#ual a cero.

. El rea bajo la curva de densidad es uno

3. )()( bXaPbXaP =


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'aracter(sticas:

- %u #rfico semeja una campana simtrica, cuyas colas se etienden ;acia el infinito tanto en direccinne#ativa como en la positiva.

- El promedio, la mediana y la moda de la distribucin tienen el mismo valor.- 'a distribucin queda completamente definida por elpromedio y ladesviacin est$ndar. El promedio

nos informa sobre la posicino ubicacin de la distribucin en el eje ;ori"ontal y la desviacin estndarrefleja la dispersinde los valores con respecto al promedio.

3 533 43 E3 F3 @3 J3 233

Kormal con media 53

>esviacin estndar 23

Kormal con media @3

>esviacin estndar 5

Distribucin )1:

Distribucin )*:

Kormal con media @3

>esviacin estndar 23

Distribucin )%:

'os puntajes del test de inteli#encia para niGos N8%! (Nesc;ler 8ntelli#ence %cale for !;ildren)si#uen una distribucin Kormal con media 233 y desviacin estndar de 25(;ttp&CCnicolo#ic.free.frCO:?.;tm). Kos interesa saber qu proporcin de niGos tendrn un !8 menorque 23/

233 225@5 23F3

rea a la i"quierda de 23/

t+e ',

(100, 15)


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'$lculo de $reas de una Distribucin Normal:

Definicin:

%i ),(L NX , la variable normal estandari#ada es&= XZ y tiene distribucin Kormal con

media cero y varian"a i#ual a uno& )2,3(L NZ .

9 es el n$mero de desviaciones estndar quexdifiere de la media &

%i ZP 3 entoncesxes mayor a la media .

%i ZQ 3 entoncesxes menor a la media .

%i Z* 3 entoncesxes i#ual a la media .

F


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-./01

62/*1

--/31

4 * 4 % 4 5 % 5 *5

3

=ara cualquierdistribucin Kormal ( ),N se cumple que&

62/*de las observaciones se encontrarn a unadesviacin estndar de la media, es decir dentrodel intervalo&

( M , R )

-/0de las observaciones se encontrarn a dosdesviaciones estndar de la media, i.e. dentro delintervalo&( M , R )

--/3de las observaciones se encontrarn a tresdesviaciones estndar de la media, i.e. dentro delintervalo&

( M , R )

:unque tericamente la distribucin lle#a a M y a R, en la prctica es muy raro encontrar valores a msde desviaciones estndar del promedio.

@


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J

!abla:reas de la distribucinNormal estandar


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'$lculo de $reasa) Encuentre el rea de la distribucin Kormal estndar que se encuentra a la i"quierda dez * 2,b) Encuentre el rea de la distribucin Kormal estndar que se encuentra a la derec;a dez * 2,c) Encuentre el rea de la distribucin Kormal estndar que se encuentra entrez* 3 yz*2,d) Encuentre el rea de la distribucin Kormal estndar que se encuentra a la i"quierda dez * M,55e) Encuentre el rea de la distribucin Kormal estndar que se encuentra entrez * M2, yz * 2,

unta+es de ',%upon#a que definimos a Xcomo los puntajes de !8 del test de inteli#encia N8%!, con distribucin

( )25,233N

a) ?u proporcin de niGos tendr un !8 menor a @5/b) ?u proporcin de niGos tendr un !8 mayor a @5/c) ?u proporcin de niGos tendr un !8 entre @5 y 225/

!ontinuando con el modelo ( )25,233N para el puntaje de !8 para niGos, considere la si#uientepre#unta& ?u puntaje de !8 debe tener un niGo para ubicarse entre el 2S con ms alto puntaje/

El tiempo que demoran los nadadoresde 233 metros mariposa si#ue una normal con media 55se#undos y desviacin estndar de 5 se#undos.

a) 'os or#ani"adores de un campeonato deciden dar certificados a todos los nadadores que terminenantes de 4J se#undos. %i ;ay 53 nadadores en los 233 metros mariposa, cuntos certificados senecesitarn/

b) !on qu tiempo debe terminar un nadador para estar entre el S ms rpido de la distribucin detiempos/

%eaX es ( )4,N &a) 0uestre #rficamente esta distribucin en particularb) Encuentre el ran#o entre cuartiles de la distribucin

c) Encuentre )( >XP

d) Encuentre )( =XP

%e cree que la altura de los pinosen un bosque tiene distribucin Kormal. ?ueremos docimar lassi#uientes ;iptesis&

),25(L&3 NXH

),23(L&2 NXH

'as alturas de los pinos son medidas en metros. >ecidiremos rec;a"ar la ;iptesis nula si la altura de unpino seleccionado al a"ar del bosque mide menos de @ metros.

a) !alcule la probabilidad del Error 7ipo 8,

b) !alcule la probabilidad del Error 7ipo 88, c) !alcule el valor p si la altura del pino seleccionado fue de @,5 metros.

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