60 PHÚT HC TOÁN MI NGÀY
HÌNH HC KHÔNG GIAN
BN C TH
LI TA
Hình hc không gian luôn là mt ni dung khó trong kì thi i hc. c bit là i vi nhng
bn lên lp 12 mi bt u ôn thi, vì hình hc không gian i vi nhiu bn là “cc kì khó tng
tng”. Thêm vào ó, ây là phn kin thc bt u t kì 2 lp 11, khong thi gian này hc sinh
vn cha thc s chú tâm vào vic ôn thi i hc.
Hiu c nhng vn các bn hc sinh gp phi, Bschool.vn cùng hai tác gi là thy Vn
c và cô Huyn M ã biên son mt cun sách vi nhiu tâm huyt, dành riêng cho vic hc
hình hc không gian, giúp các em t ôn luyn kin thc, hng các em n vic gii nhanh các
câu trc nghim. Nu chm ch dành ra 30 ngày c sách các em s có th t x lý c các bài toán
hình không gian trong kì thi THPT Quc gia mt cách n gin và d dàng. Trong cun “60 phút
hc Toán mi ngày – Hình hc không gian” các em có th thy c các u im ni tri ca cun
sách
• Th nht: Khác vi các quyn sách thông thng c vit theo chuyên , cun sách này
vit theo tng ngày hc, lng kin thc c thy cô tính toán mt cách va phi mi
ngày ch mt 60 phút c sách mà các bn hc sinh vn có th nm c y kin thc.
Nh vy, ây là mt cun sách t hc nhng vn m bo cung cp cho các em l trình và
phng pháp hc phù hp.
• Th hai: Phn lý thuyt ã c thy cô “bin hóa” thành nhng bc gii cc kì nhanh
gn và d hiu dành cho tng dng bài, nó ging nh các v khí cc kì “sc bén” giúp các
bn hc sinh có th gii quyt c mi bài toán.
• Th ba: Cun sách lu ý mt s k nng c bit tr li nhanh câu hi trc nghim, phn
ví d minh ha bám sát lý thuyt, c gii thích mt cách cn k, t ó hc sinh có th
ng dng lý thuyt vào gii bài tp.
Cui cùng, phn bài tp có trong “60 phút hc Toán mi ngày – Hình hc không gian” u là
nhng bài tp trng tâm, quan trng, có nhiu bài toán xut hin nhiu ln trong các kì thi th, kì
thi THPT Quc gia ca các nm trc và là nhng bài toán c thy cô phát trin phù hp vi
xu hng i mi ca kì thi tuyn sinh i hc hàng nm.
Vi cun sách này, các em có th xua tan ni lo v các bài tp hình hc. Sau khi dành 60 phút
mi ngày trong 30 ngày chm ch c sách và vn dng vào làm bài tp, chúc các em s tr thành
nhng “master” hình hc không gian và vt qua kì thi THPT Quc gia mt cách d dàng nhé!
Trong quá trình biên son, dù các tác gi ã rt c gng nhng cun sách khó tránh khi thiu
sót. Bschool.vn rt mong nhn c s phê bình; góp ý ca các thy, cô giáo và các em hc sinh
cht lng cun sách ngày c tt hn.
Mi ý kin óng góp xin vui lòng gi trc tip cho Bschool.vn qua email: hotro@bschool.vn
Trân trng cm n!
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Ngày hc Chuyên Trang
1 Hai bc xác nh góc gia ng thng và mt phng 5
2 Phng pháp xác nh góc gia hai mt phng 20
3 Phng pháp xác nh góc gia hai ng thng 35
4 Tính khong cách t im n mt phng bng phng pháp trc tip 48
5 Tính khong cách t im n mt phng bng phng pháp gián tip 62
6 Khong cách gia hai ng thng chéo nhau 74
7 S dng khong cách tính góc 83
8 Luyn ôn tp góc và khong cách 93
9 Th tích khi chóp 113
10 Th tích khi lng tr 121
11 Mt s công thc tính nhanh th tích t din 130
12 Khi a din 138
13 Max – Min th tích 146
14 T s th tích khi chóp áy là tam giác 164
15 T s th tích khi chóp áy là hình bình hành 178
16 T s th tích hình lng tr tam giác 192
17 T s th tích hình hp – phân chia hình hp 203
18 Luyn : Ôn tp th tích khi a din 216
19 nh ngha, tính cht mt cu 229
20 Mt cu ngoi tip – Phn 1 237
21 Mt cu ngoi tip – Phn 2 245
22 Mt cu ni tip – Toán ng dng mt cu 250
23 Mt tr − Hình tr - Phn 1 256
24 Mt tr − Hình tr - Phn 2 262
25 Mt nón – Hình nón – Phn 1 270
26 Mt nón – Hình nón – Phn 2 277
27 Luyn : Ôn tp khi tròn xoay 286
28 tng ôn VD – VDC s 1 297
29 tng ôn VD – VDC s 2 316
30 tng ôn VD – VDC s 3 337
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
5
NGÀY 1: HAI BC XÁC NH GÓC GIA NG THNG VÀ MT PHNG
LÝ THUYT (15 phút)
PHN 1 – NH NGHA GÓC GIA NG THNG VÀ MT PHNG
• Nu ng thng d vuông góc vi ( )P thì ta nói góc gia d và ( )P bng 90° .
• Nu ng thng d không vuông góc vi ( )P thì góc gia d và ( )P bng góc gia ng
thng d và ng thng d′ là hình chiu ca d lên ( )P .
• Chú ý: ( )( ),0 d P 90° ≤ ≤ ° .
PHN 2 – PHNG PHÁP GII BÀI TP Loi 1: Góc gia cnh bên và mt áy Bc 1: Xut phát t S h ng vuông góc xung áy Bc 2: Gi H là chân ng vuông góc, khi ó ta s có góc gia cnh bên SM và mt áy ( )P là góc SMH .
Loi 2: Góc gia cnh bên và mt ng Bc 1: Xut phát t E h ng vuông góc xung giao tuyn HM Bc 2: Gi F là chân ng vuông góc, khi ó ta s có góc gia cnh bên SE và mt ng ( )SHM là góc ESF
(Lu ý: Mt ng là mt cha ng cao, mo nh: “ng thng SE và mt phng (SHM) chung nhau nh S nên góc to bi s là góc ti nh S”)
(P)
d'
d
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
6
Loi 3: Góc gia ng cao và mt bên Bc 1: Xut phát t chân ng vuông góc H h ng vuông góc xung EM . Bc 2: Gi G là chân ng vuông góc h t H khi ó ta s có góc gia ng cao SH và mt bên ( )SEM là góc HSG .
(Mo nh: “ng cao SH và mt bên (SHM) chung nhau nh S nên góc to bi s là góc ti nh S”.) Loi 4: TNG QUÁT (i vi trng hp tng quát, chúng ta s xét sau khi hc xong bài khong cách)
VÍ D MINH HA (15 phút) Ví d: Cho hình chóp .S ABC có áy ABC là tam giác vuông cân ti ,C AC BC a= = . SA vuông góc vi áy, SA a= .
a) Tính góc gia SC và ( )ABC
b) Tính góc gia SB và ( )SAC
c) Tính góc gia SA và ( )SBC
Hng dn: a) u tiên, các em s nhn thy SC óng vai trò là cnh bên,
( )ABC óng vai trò là mt áy, vì th chúng ta s thc hin các bc
làm i vi “Loi 1”: Bc 1: Xut phát t S h ng vuông góc xung áy. Bc 2: Chúng ta nhn thy ngay chân ng vuông góc lúc này li chính là im A , vì th góc gia SC và mt phng ( )ABC
chính là góc SCA . Trong trng hp này, d thy SAC là tam giác vuông ti A , có
AS AC= SCA 45⇒ = ° .
C
BA
S
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
7
b) Chúng ta nhn thy SB óng vai trò là cnh bên, ( )SAC óng
vai trò là mt ng ( Vì ( )SAC cha ng cao SA ), t ây chúng
ta li thc hin các bc làm i vi “Loi 2”: Bc 1: Xut phát t B h ng vuông góc xung cnh AC . Bc 2: Nhn thy C chính là chân ng vuông góc h t B ,
t ó góc gia SB và mt phng ( )SAC chính là góc BSC (SB
và ( )SAC chung nhau nh S ).
Vic còn li ca chúng ta là tính góc BSC :
Ta có: ( )BC AC BC SAC BC SC
BC SA ⊥
Xét SBC vuông ti C có:
⇒ = = ⇒ ≈ °
T ó chúng ta kt lun ( )( ), ,SB SAC 35 26≈ °
c) Trong trng hp này SA óng vai trò là ng cao, ( )SBC là mt
bên, t ây chúng ta li thc hin các bc làm i vi “Loi 3”: Bc 1: Xut phát t chân ng vuông góc A h ng vuông góc xung BC . Bc 2: Nhn thy C là chân ng vuông góc t A suy ra góc
gia SA và ( )SBC chính là góc ASC (SA và ( )SBC chung nhau
nh S ). Vì vy vic còn li cn làm là tính góc ASC : D thy SAC là tam giác vuông ti A , có AS AC= ASC 45⇒ = ° .
T ó chúng ta kt lun ( )( ),SA SBC 45= ° .
BÀI TP T LUYN (30 phút)
Câu 1: Cho hình vuông ABCD tâm ,O cnh bng .2a Trên ng thng qua O và vuông góc vi mt phng ( )ABCD ly im .S Bit góc gia ng thng SA và mt phng ( )ABCD
bng .045 dài cnh SO bng
A. .SO a 3= B. .SO a 2= C. .a 3SO 2
= D. .a 2SO 2
=
Câu 2: Cho hình chóp .S ABCD có áy ABCD là hình vuông cnh a . Hai mt phng ( )SAB và
( )SAC cùng vuông góc vi áy ( )ABCD và SA 2a= . Gi φ là góc gia ng thng SB
và mt phng ( )SAD . Mnh nào sau ây úng?
C
BA
S
C
BA
S
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
= C. .0φ 60= D. .0φ 30=
Câu 3: Cho hình chóp .S ABCD có áy ABCD là hình vuông cnh a , cnh bên SA a 6= và vuông góc vi áy. Gi α là góc gia SC và mt phng ( )SAB . Chn khng nh úng trong các
khng nh sau?
=
Câu 4: Cho hình chóp .S ABCD có áy ABCD là hình ch nht có cnh AB a= , BC 2a= . Hai mt bên ( )SAB và ( )SAD cùng vuông góc vi mt phng áy ( )ABCD , cnh SA a 15= . Tính
góc to bi ng thng SC và mt phng ( )ABD .
A. 030 . B. 045 . C. 060 . D. 090 .
Câu 5: Cho hình chóp .S ABCD có áy ABCD là hình vuông cnh a , tâm O . Cnh bên SA 2a= và vuông góc vi mt áy ( )ABCD . Gi φ là góc gia SO và mt phng ( )ABCD . Mnh
nào sau ây úng?
A. tan .φ 2 2= B. .0φ 60= C. tan .φ 2= D. .0φ 45=
Câu 6: Cho hình chóp .S ABC có áy ABC là tam giác vuông ti A , ABC 60= , tam giác SBC là tam giác u có cnh bng 2a và nm trong mt phng vuông vi áy. Tính góc gia ng thng SA và mt phng áy ( )ABC .
A. 030 . B. 045 . C. 060 . D. 090 .
Câu 7: Cho hình chóp .S ABCD có áy ABCD là hình vuông cnh a . Tam giác SAB u cnh a và nm trong mt phng vuông góc vi áy ( )ABCD . Gi φ là góc gia SD và mt phng
( )ABCD . Mnh nào sau ây úng?
A. cot .5φ 15
= B. cot .15φ 5
=
Câu 8: Cho chóp u .S ABCD có cnh áy bng 2 , cnh bên bng 3 . Gi φ là góc gia gia cnh bên và mt áy. Mnh nào sau ây úng?
=
Câu 9: Cho t din ABCD u. Gi α là góc gia AB và mt phng ( )BCD . Chn khng nh
úng trong các khng nh sau?
A. cos 3α 3
= . B. cos 3α 4
= .
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
9
Câu 10: Cho hình chóp .S ABCD có áy ABCD là hình vuông cnh 2a . Cnh bên SA vuông góc vi áy, góc ga SC và mt áy ( )ABCD bng 045 . Gi φ là góc gia ng thng SD
và mt phng ( )SAC . Mnh nào sau ây úng?
A. tan .5φ 5
= B. tan .φ 5= C. .0φ 60= D. .0φ 45=
Câu 11: Cho hình chóp .S ABCD có áy ABCD là hình vuông cnh 2a , SA vuông góc vi mt
phng ( )ABCD . Bit rng góc gia SB và ( )SAC bng α vi tan 6α 3
= . Tính dài SA
A. SA a= . B. .SA 5= C. SA 3= . D. SA 4a= . Câu 12: Cho hình chóp .S ABCD có áy là hình vuông cnh 2a . Mt bên ( )SAD là tam giác vuông
ti S và không cân, nm trong mt phng vuông góc vi mt áy ( )ABCD , cnh bên SC
to vi mt áy ( )ABCD góc φ , tan 1φ 5
= . Gi H là hình chiu vuông góc ca S trên
AD . Tính góc gia SH và mt phng ( )SBC .
A. , 030 1 . B. , 064 76 . C. 060 . D. 090 .
Câu 13: Cho lng tr . 1 1 1ABC A B C có góc ACB 135= ° ; 1 a 10CC
2 = , AC a 2= ; BC a= . Hình chiu
vuông góc ca 1C trên mt phng ( )ABC trùng vi trung im M ca on AB . Tính
góc to bi 1C M và ( )1 1ACC A .
A. , 030 1 . B. , 064 76 . C. , 052 43 . D. , 013 26 .
Câu 14: Cho hình hp ch nht . ' ' ' 'ABCD A B C D có áy ABCD là hình vuông cnh bng 2 2 , 'AA 4= . Tính góc gia ng thng 'A C vi mt phng ( )' 'AA B B .
A. 030 . B. 045 . C. 060 . D. 090 . Câu 15: Cho hình chóp .S ABCD có áy ABCD là hình vuông cnh a . Tam giác SAB u và nm
trong mt phng vuông góc vi áy. Gi , H K ln lt là trung im ca các cnh AB và AD . Gi φ là góc gia ng thng SA và mt phng ( )SHK . Mnh nào sau ây
úng?
= C. tan .7φ 7
= D. tan .14φ 4
=
Câu 16: Cho hình chóp .S ABCD có áy ABCD là hình thang vuông ti A và B , AB BC a= = , AD 2a= . Cnh bên SA a 2= và vuông góc vi áy. Tính góc gia ng thng SC vi mt phng ( )SAD .
A. 030 . B. 045 . C. 060 . D. 090 .
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
10
Câu 17: Cho hình chóp .S ABCD có áy ABCD là hình vuông tâm O , cnh bng 4a . Cnh bên SA 2a= . Hình chiu vuông góc ca nh S trên mt phng ( )ABCD là trung im ca H
ca on thng AO . Gi α là góc gia SD và mt phng ( )ABCD . Mnh nào sau ây
úng?
A. tan .α 5= B. tan .α 1= C. tan .5α 5
= D. tan .α 3=
Câu 18: Cho lng tr . ' ' ' 'ABCD A B C D có áy là hình thoi cnh a , 0BAD 60= . Hình chiu vuông góc ca 'B xung mt áy trùng vi giao im hai ng chéo ca áy và cnh bên
'BB a= . Tính góc gia cnh bên và mt áy.
A. 030 . B. 045 . C. 060 . D. 090 .
Câu 19: Cho hình chóp .S ABCD có áy ABCD là hình ch nht vi ,AB a= AD a 3= . Hình chiu
vuông góc H ca S trên mt áy trùng vi trng tâm tam giác ABC và aSH 2
= . Gi ,M
N ln lt là trung im các cnh BC và SC . Gi α là góc gia ng thng MN vi mt áy ( )ABCD . Mnh nào sau ây úng?
A. tan .4α 3
= B. tan 3α 4
= . C. tan 2α 3
= . D. tanα 1= .
Câu 20: Cho hình chóp .S ABCD có áy ABCD là hình vuông tâm O cnh bng a , SO vuông góc vi áy. Gi M , N ln lt là trung im SA và BC . Tính góc gia ng thng MN
vi mt phng ( )ABCD , bit a 10MN 2
= .
A. 030 . B. 045 . C. 060 . D. 090 .
Câu 21: Cho hình lp phng .ABCD A B C D′ ′ ′ ′ . Gi α là góc gia 'AC và mt phng ( )' ' .A BCD
Chn khng nh úng trong các khng nh sau?
A. .0α 30= B. tan .2α 3
= C. .0α 45= D. tan .α 2=
Câu 22: Cho hình lng tr ABC A B C′ ′ ′⋅ có áy là tam giác u cnh 2a , cnh bên a 5AA 2
′ = . Hình
chiu vuông góc ca A′ trên mt phng ( )ABC là trung im H ca cnh AB . Tính góc
gia ng thng A H′ và mt phng ( )BCC B′ ′ .
A. 60° . B. 30° . C. 90° . D. 45° . Câu 23: Cho hình chóp .S ABC có áy là tam giác vuông cân ti A , cnh BC 2 3a= . Tam giác SBC
cân ti S và nm trong mt phng vuông góc bi mt phng áy. Gi H là hình chiu vuông góc ca S trên mt phng áy. Bit SH a= , tính tan góc gia SH và mt phng ( )SAC .
A. 6 2
. B. 6 3
. C. 6 6
. D. 6 4
.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
11
Câu 24: Cho hình chóp u .S ABCD áy ABCD là hình vuông cnh a , cnh bên SA to vi mt
phng ( )SBD mt góc α . Bit tan 6α 6
= . Tính dài SO theo a .
A. a 3 9
. B. a 3 6
.
Câu 25: Cho lng tr . ' ' ' 'ABCD A B C D có áy ABCD là hình thoi cnh a . Bit 'A ABC là hình chóp u và 'A D hp vi áy mt góc 45° . Tính chiu cao h t nh A′ ca khi lng tr.
A. a 3 . B. a 6 3
. C. a 6 12
. D. 2a 3 3
.
Câu 26: Cho t din .S ABC có áy ABC là tam giác u cnh a . ng thng SA vuông góc vi áy. Góc gia SB và mt phng ( )SAC bng 30° . Tính dài cnh SA theo a .
A. 2a . B. a 5 . C. a 6 . D. a 2 . Câu 27: Cho t din .S ABC có áy là tam giác ABC vuông cân ti C , AB a= . Tam giác SAB cân
ti S nm trong mt phng vuông góc vi áy, H là trung im AB , a 3SH 2
= . Gi α là
góc gia SH và mt phng ( )SBC . khi ó sinα nhn giá tr nào trong các giá tr sau?
A. 10 5
. B. 4 3
. C. 2 3
. D. 1 5
.
Câu 28: Cho hình chóp .S ABCD có áy ABCD là hình vuông. Mt bên SAB là tam giác u có ng cao SH vuông góc vi mt phng ( )ABCD . Tính góc gia BD và mt phng
( )SAD .
A. 60° . B. 30° . C. 82° . D. 37° . Câu 29: Cho hình chóp .S ABCD có áy ABCD là hình vuông tâm O , cnh a và SO vuông góc
vi áy. Gi M và N là trung im ca SA và BC . Bit rng góc gia MN và mt phng áy bng 60° . Tính tan góc gia MN và mt phng ( )SBD .
A. tanα 3= . B. tan .2α 3
= C. tan 1α 2
= . D. tan .α 2=
Câu 30: Cho hình chóp .S ABC có các tam giác SBA và SCA vuông ti B và C , tam giác ABC là tam giác vuông cân vi AB AC a= = . Bit rng góc gia SB và ( )ABC bng 045 . Tính sin
góc gia SA và ( )SBC .
A. sin 1α 3
= . B. sin .2α 3
= C. sin 1α 2
= . D. sin .α 2=
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B B B C A C A D A A
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
A B D A C A C C B C
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
D A A C D D A D C A
LI GII BÀI TP T LUYN
Câu 1: Vì O là hình chiu ca S trên mt phng ( ) .ABCD
Khi ó ( )( ) ( ) , , 0SA ABCD SA OA SAO 45= = =
⇒ tam giác SAO vuông cân. ( )1
Tam giác ABC vuông cân ti ,B có .AC AB 2OA a 2 2 2
= = = ( )2
T ( ) ( ),1 2 suy ra .SO OA a 2= = Chn B.
Câu 2: Ta có ( )BA AD BA SAD
BA SA ⊥
Tam giác vuông SAB , ta có cos . 2 2
SA SA 2 5BSA SB 5SA AB
= = = +
BC SA ⊥
Do ó ( ) ( ) , , .SC SAB SC SB CSB= =
Tam giác vuông SAB , có .2 2SB SA AB a 7= + =
Tam giác vuông SBC , có tan .BC 1CSB SB 7
= = Chn B.
O
D
CB
A
S
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
13
Câu 4: Do ( )SA ABCD⊥ nên ( )( ) ( )( ) ( ) , , ,SC ABD SC ABCD SC AC SCA= = = .
Xét tam giác vuông SAC , ta có tan 2 2
SA SASCA 3 AC AB BC
= = = +
.
Suy ra 0SCA 60= . Chn C.
Câu 5: Vì ( )SA ABCD⊥ nên hình chiu vuông góc ca SO trên mt áy ( )ABCD là AO . Do ó
( )( ) ( ) , , .SO ABCD SO OA SOA= =
= =
Vy SO hp vi mt áy ( )ABCD mt góc nhn φ tha mãn tanφ 2 2= . Chn A.
Câu 6: Gi H là trung im ca BC , suy ra ( )SH ABC⊥ .
Do ó ( )( ) ( ) , ,SA ABC SA AH SAH= = .
Tam giác SBC u cnh 2a nên .SH a 3=
= =
= = , suy ra
.0SAH 60= Chn C.
Câu 7: Gi H là trung im AB , suy ra SH AB⊥ ( ) .SH ABCD⇒ ⊥
Do ó ( ) ( ) , , .SD ABCD SD HD SDH= =
=
= + =
Tam giác vuông SHD , có cot .DH 5SDH SH 15
= = Chn A.
Câu 8: Gi O là tâm mt áy ( )ABCD , suy ra ( )SO ABCD⊥ .
Do ó ( )( ) ( ) , , .SA ABCD SA AO SAO= =
Tam giác vuông SOA , có tan . 2 2SO SB BO 14SAO
AO AO 2 −
H
A
C
B
S
C
D
H
B
A
S
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
14
⇒ =
= ⇒ = = Chn A .
Câu 10: Xác nh ( ) , ,045 SC ABCD SC AC SCA= = = , suy ra
SA AC 2a 2= = .
Gi O AC BD= ∩ , ta có ( )DO AC DO SAC
DO SA ⊥
⇒ ⊥ ⊥ . Do ó
Ta có 1DO BD a 2 2
= = ; 2 2 2 2SO SA AO SA DO a 10= + = + =
Tam giác vuông SOD , có tan OD 5DSO OS 5
= = . Chn A.
Câu 11: Gi O là tâm ca áy ⇒ Góc gia SB và mt phng
( )SAC là góc BSO α= . Khi ó ta có:
= = ⇔ = ⇒ =
( ) ( )2 2 2 2SA SO OA a 3 a 2 a⇒ = − = − = . Chn A.
Câu 12: Gi K là hình chiu ca H trên BC , khi ó ta có góc
gia SH và mt phng ( )SBC là góc HSK .
t DH x= 2 2HC 4a x⇒ = + .
Li có tan . 2 21 SH 1 4a xSCH SH
HC5 5 5 +
= ⇒ = ⇒ =
( ) ( )
2 x a L
= + = ⇔ = − ⇔ =
= tan2 2 HK 3 2SH a HSK 3 SH 2
⇒ = ⇒ = = ,HSK 64 76⇒ ≈ ° . Chn B.
O
D
CB
A
S
S
O
D
CB
A
S
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
15
Câu 13: Gi H là hình chiu ca M trên cnh AC . Khi ó ta
có góc to bi 1C M và ( )1 1ACC A là 1MC H .
Ta có: . .sinABC 1S CA CB ACB 2 = = 1
2 .
Gi Bh là chiu cao xut phát t nh B ca tam giác, khi ó ta có:
ABC B
2S h
AC = 2
= ⇒ = .
Ta có: . .cos2 2
+ + = = ⇒ = .
⇒ = = ⇒ ≈ ° . Chn D.
BC AA ⊥
⇒ ⊥ ⊥ .
Do ó ( ) ( ) ' , ' ' ' , ' 'A C AA B B A C A B CA B= = .
Vì ( )' 'BC AA B B⊥ 'BC BA⇒ ⊥ nên tam giác 'A BC vuông ti B .
Tam giác vuông 'A BC , có tan ' . ' '2 2
BC BC 1CA B A B 3AA AB
= = = +
Vy 'A C to vi mt phng ( )' 'AA B B mt góc .030 Chn A.
Câu 15: Gi .I HK AC= ∩ Do , H K ln lt là trung im ca AB và AD nên HK BD . Suy ra HK AC⊥ . Li có AC SH⊥ nên suy ra ( )AC SHK⊥ .
Do ó ( )( ) ( ) , , .SA SHK SA SI ASI= =
Tam giác SIA vuông ti I , có
tan . 2 2
= = = −
H
M
C
B
A
C1
B1
A1
D
CB
A
D'
C'B'
A'
K
I
C
D
H
B
A
S
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
16
Câu 16: M là trung im AD , suy ra ABCM là hình vuông nên CM AD⊥ .
Ta có ( )CM AD CM SAD
CM SA ⊥
Tam giác vuông SMC , có
tan 0
2 2
= = = → = +
( ) ( ) , , .SD ABCD SD HD SDH= =
Tính c .2 2SH SA AH a 2= − =
Trong tam giác ADH , có
. .cos .2 2 0DH AH AD 2AH AD 45 a 10= + − =
Tam giác vuông SHD , có tan .SH 5SDH HD 5
= = Chn C.
Câu 18: Gi O AC BD= ∩ . Theo gi thit ( )'B O ABCD⊥
Do ó ( ) ', ', 'BB ABCD BB BO B BO= = .
= = .
cos ' ' '
= = ⇒ = . Chn C.
Câu 19: Ta có MN SB . Do ó ( ) ( ), ,MN ABCD SB ABCD= .
Do ( )SH ABCD⊥ nên
( ) ( ) , , ,MN ABCD SB ABCD SB HB SBH= = = .
= = .
= = . Chn B.
D M
B'A'
N
M
H
D
CB
A
S
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Suy ra ( )MK ABCD⊥ .
Ta có 3 3a 2CK CA 4 4
= = .
c 2 2 2
+ − = = ⇒ = .
Tam giác vuông MNK , có .cos 0NK 1MNK MNK 60 MN 2
= = ⇒ = Chn C.
Câu 21: Gi ' ' ; ' 'A C AC I C D CD H∩ = ∩ = .
Ta có ( )' ' ' ' '
⇒ ⊥ ⊥ .
Do ó ( ) ( ) ', ' ' ' , ' ' ' , ' .AC A BCD C I A BCD C I HI C IH= = =
Trong tam giác vuông 'C HI , có

ABIH 2
= = = Chn D.
Câu 22: Gi E A H BB′ ′= ∩ . K HF BC⊥ ti F .
K HK EF⊥ ti K . Ta có ( ),BC HF BC A E BC A EF BC HK′ ′⊥ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ .
Li có ( )HK EF HK BCC B′ ′⊥ ⇒ ⊥ .
Suy ra ( )( ) ( ) , ,A H BCC B HE EK HEK HEF′ ′ ′ = = = .
= .
′ ′ ′ ′
′ ′ ′⇒ = = ⇒ = = − = .
= = .
°⇒ = = ⇒ = . Vy ( )( ),A H BCC B 60°′ ′ ′ = . Chn A.
E
K
F
M
D
CB
A
S
HI
B'
D
CB
A
D'
C'
A'
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
18
Câu 23: Ta có: H là trung im BC , SH là ng cao chóp.
, .2 ABC
= = =
Vy tan 6HSK 2
= . Chn A.
= ⇒ = = ⇒ = .
Chn C. Câu 25: Ta có: H là trng tâm tam giác ABC u. Khi ó ( ) ' 'A H ABC A DH 45°⊥ ⇒ = .
= = + = = = .
Ta có: ( )( )
,SB SAC BSH 30 SB a 3 SA a 2= = ⇒ = ⇒ = .
Chn D.
= = . K HM BC⊥ .
= ⇒ = ⇒ sin HM 10α SM 5
= = .
Chn A.
Câu 28: K ( )BK SA K SA⊥ ∈ , khi ó ta có:
( )( ) ( ) BK SA
⊥ ⇒ ⊥⊥ ⊥
2 ⇒ = ; BD a 2=
⇒ = = =
K
H
D
CB
A
S
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
19
Câu 29: Gi I là chân ng vuông góc h t M xung áy ( )ABCD I⇒ là trung im AO .
( )( ) ,MN ABCD MNI 60⇒ = = °
Gi d là ng thng qua I và song song vi BD ct ,AB AD ln lt ti ,P Q ,P Q⇒ ln lt là trung im
,AB AD / / ,
a 21 PN PQPN AC PN AC 22
⊥= ⇒ ⇒ = = =
.
= + = . tan a 30MI IN MNI 4
⇒ = = 2 2PM PI MI 2⇒ = + =
Ta có ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) / / , , .MPQ SBD MN SBD MN MPQ NMP⇒ = =
( )tan PN 1MNP PM 2
= = ( )( )tan , 1MN SBD 2
⇒ = . Chn C.
Câu 30: Gi H là hình chiu vuông góc ca S xung ( )ABC , khi
ó ta có: ( )AC SH AC SHC AC CH
AC SC ⊥
HCAB⇒ là hình vuông
Gi O là tâm hình vuông HCAB .
K ( )HK SO HK SBC⊥ ⇒ ⊥ , gi I là hình chiu ca A xung
( )SBC AI HK⇒ =
2 2SA SH HA a 3= + = , . 2 2
HO SH aHK 3SH SO
= = +
.
Ta có ( )( ) sin , sin AI HK 1SA SBC ASI SA SA 3
= = = = . Chn A.
Q
P
I
N
M
O
D
CB
A
S
I
K
O
B
AC
H
S
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
20
NGÀY 2: PHNG PHÁP XÁC NH GÓC GIA HAI MT PHNG LÝ THUYT (15 phút) PHN 1 – NH NGHA GÓC GIA NG THNG VÀ MT PHNG
Xét hai mt phng ( )P và ( ) .Q Gi 1d và 2d là 2 ng thng tha mãn ( ) ( )
.1
2
⊥ Góc gia hai
mt phng ( )P và ( )Q là góc gia hai ng thng 1d và 2d .
• Ta có: ( ) ( )( ) ( ); ; .1 2P Q d d α= =
• Nhn xét: .0 α 90° ≤ ≤ ° • Nu ( )P và ( )Q là hai mt phng song song hoc trùng nhau thì góc gia hai mt phng
này bng .0° • Nu ( )P và ( )Q vuông góc vi nhau thì góc gia hai mt phng này bng .90°
PHN 2 – XÁC NH GÓC GIA HAI MT PHNG THEO GIAO TUYN Gi s hai mt phng ( )α và ( )β ct nhau theo giao tuyn là ng thng .d Ly im M bt k
thuc .d Qua M k ng thng a nm trên ( ) ,α ng thng b nm trên ( )β sao cho . d a d b ⊥ ⊥
Khi ó góc gia hai ng thng a và b là góc gia hai mt phng ( )α và ( )β .
T ó, ta có cách xác nh góc gia hai mt phng ( )α và ( )β ct nhau:
• Bc 1: Tìm giao tuyn chung ca 2 mt phng ó (ng thng d ). • Bc 2: Tìm hai ng thng ;a b ln lt thuc ( )α và ( )β và cùng vuông góc vi d ti
1 im. • Bc 3: Góc gia ( )α và ( )β là góc gia hai ng thng a và b .
b
a M
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
21
* T phng pháp trên, ta s chia làm hai dng toán thng gp nh sau: Loi 1: Góc gia mt bên và mt áy Bc 1: Xut phát t S h ng cao SH xung áy. Bc 2: K HG vuông góc vi EM ( )G EM∈ .
Bc 3: Ni S vi G , khi ó ta s có góc gia mt bên
( )SEM và mt áy ( )P chính là góc SGH .
Chng minh: Ta có ( )SH ABCD SH EM⊥ ⇒ ⊥ , mà ta li có:
( )HG EM EM SHG⊥ ⇒ ⊥ SG EM⇒ ⊥ .
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
∩ =
⊥ ⇒ = = ⊥
.
Loi 2: Góc gia hai mt bên có cnh song song Bc 1: Xut phát t S h SH vuông góc vi AB , SK vuông góc vi CD Bc 2: Khi ó ta s có góc gia hai mt bên ( )SAB và
( )SCD có cha hai cnh AB //CD chính là góc HSK .
Chng minh: Gi ( ) ( ) / / / /d SAB SCD d AB CD= ∩ ⇒ .
Mà SH AB SH d⊥ ⇒ ⊥ ; SK CD SK d⊥ ⇒ ⊥ . ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) , ,
∩ =
⊥ ⇒ = = ⊥
.
PHN 3 – TÍNH GÓC DA VÀO DIN TÍCH HÌNH CHIU Cho a giác ( )H nm trong mt phng ( )α có din tích là S . Gi ( )H′ là hình chiu ca ( )H
xung ( )β có din tích S′ . Khi ó .cos cos SS S φ φ S ′
′ = ⇒ = , vi φ là góc hp bi ( )α và ( )β .
Nhn xét: ây là mt tính cht cc k quan trng trong vic chuyn i các bài toán tìm góc gia hai mt phng thông qua tìm din tích ca hai a giác, nm c tính cht này s giúp cho chúng ta có th gii quyt mt s bài toán tìm góc gia hai mt phng mà vic tính toán gp khó khn nu gii quyt theo cách thông thng. Chú ý: Chúng ta còn phng pháp tính góc da vào khong cách s c hc sau bài khong cách.
d
(P)
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
22
PHN 4 – MT S TRNG HP C BIT Trng hp 1: ΔABC ΔDBC= :
Gi I là hình chiu ca A lên BC . Vì ΔABC ΔDBC= nên DI BC⊥ , do ó góc gia hai mt phng ( )ABC và
( )DBC là góc gia hai ng thng AI và DI .
Trng hp 2: ΔMAB và ΔNAB cân ti M và N :
Gi I là trung im ca AB , d thy MI AB⊥ và NI AB⊥ nên góc gia hai mt phng ( )MAB và ( )NAB
là góc gia MI và NI .
VÍ D MINH HA (15 phút) Ví d 1: Cho hình chóp .S ABCD có áy là hình thang vuông ti A và ,B ΔACD vuông cân ti C và SA vuông góc vi mt phng ( ) .ABCD Góc gia hai mt phng ( )SAC và ( )SAB là:
Hng dn:
DA SA ⊥
DC SA ⊥
⇒ ⊥ ⊥
Do ó góc gia hai mt phng ( )SAB và ( )SAC là góc gia hai
ng thng DA và .DC Vì ΔACD vuông cân ti C nên góc gia hai ng thng DA và DC bng .45° Ví d 2: Cho hình chóp .S ABCD có áy là hình vuông tâm O , cnh a . ng thng SO vuông góc vi áy ( )ABCD và SO a= .
a) Tính góc gia hai mt phng ( )SBC và ( )ABCD .
b) Tính góc gia hai mt phng ( )SBC và ( )SAD .
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Hng dn:
a) u tiên chúng ta s nhn thy ( )SBC óng vai trò là mt bên,
( )ABCD óng vai trò là mt áy, vì vy chúng ta s áp dng các bc
làm trong “Loi 1”: Bc 1: H ng cao xung áy trong trng hp này chính là SO . Bc 2: T O k OE BC⊥ , vì ABCD là hình vuông nên E chính là trung im ca BC . Bc 3: Ni S vi E , khi ó ta s có góc gia hai mt phng ( )SBC
và ( )ABCD chính là góc SEO .
Công vic tip theo ca chúng ta ch còn là tính góc SEO na mà thôi:
Xét SOE vuông ti O có: ; 1 aSO a OE BC 2 2
= = = ( ) tan ,SOSEO 2 SEO 63 43 OE
⇒ = = ⇒ ≈ °
, ,SBC ABCD SEO 63 43= ≈ ° .
b) Trong trng hp này hai mt phng ( )SAD và ( )SBC óng vai
trò là hai mt bên cha hai cnh AD // BC , vì vy ta thc hin các bc: Bc 1: Xut phát t S k SF vuông góc vi AD , SE vuông góc vi BC , trong trng hp này E và F ln lt là trung im ca BC và AD vì d thy SA SB SC SD= = = . Bc 2: Khi ó ta s có góc gia mt phng ( )SAD và ( )SBC
chính là góc ESF . Bây gi chúng ta s tính góc ESF :
= = ⇒ ≈ °⇒ = ≈ ° .
BÀI TP T LUYN (30 phút)
Câu 1: Cho hình lp phng .ABCD A B C D′ ′ ′ ′ . Tan ca góc gia ( )mp BDC′ và ( )mp ABCD là
A. .1 2
B. .1 3
C. .2 D. .3
Câu 2: Cho hình hp ch nht .ABCD A B C D′ ′ ′ ′ có , , .AB a BC a 2 AA a 3′= = = Gi α là góc gia hai mt phng ( )ACD′ và ( ) .ABCD Giá tr ca tanα là
A. .2 6 3
C. .2 D. .3 2 2
Câu 3: Cho hình chóp t giác u .S ABCD có tt c các cnh bng nhau. Côsin ca góc gia hai mt phng ( )SAB và ( )SAD là
O E
D C
F
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
A. .1 2
B. .1 3
C. .2 3
D. .2 2
Câu 4: Cho hình chóp .S ABCD có áy ABCD là hình vuông cnh bng ,a SA a= và vuông góc vi ( ) .mp ABCD Gi M là trung im ca .BC Tính cos ca góc gia hai mt phng
( )SMD và ( )ABCD .
A. .3 10
B. .2 5
C. .2 3
D. .1 5
Câu 5: Cho hình chóp .S ABC có áy ABC là tam giác vuông ti A , ABC 60= , tam giác SBC là tam giác u có bng cnh 2a và nm trong mt phng vuông vi áy. Gi φ là góc gia hai mt phng ( )SAC và ( )ABC . Mnh nào sau ây úng?
A. .0φ 60= B. tan .φ 2 3= C. tan .3φ 6
= D. tan .1φ 2
=
Câu 6: Cho hình chóp .S ABC có áy ABC là tam giác u cnh a . Cnh bên SA a 3= và vuông góc vi mt áy ( )ABC . Gi φ là góc gia hai mt phng ( )SBC và ( )ABC . Mnh nào
sau ây úng?
= C. .0φ 60= D. sin .2 5φ 5
=
Câu 7: Cho hình chóp .S ABCD có áy ABCD là hình vuông tâm O , cnh a . ng thng SO
vuông góc vi mt phng áy ( )ABCD và a 3SO 2
= . Tính góc gia hai mt phng ( )SBC
và ( )ABCD .
A. 030 . B. 045 . C. 060 . D. 090 . Câu 8: Cho hình chóp .S ABCD có áy ABCD là hình thoi tâm I , cnh a , góc 0BAD 60= ,
a 3SA SB SD 2
= = = . Gi φ là góc gia hai mt phng ( )SBD và ( ) .ABCD Mnh nào
sau ây úng?
= C. tan .3φ 2
= D. .0φ 45=
Câu 9: Cho hình chóp .S ABCD có áy là hình thang vuông ABCD vuông ti A và D , ,AB 2a= AD CD a= = . Cnh bên SA a= và vuông góc vi mt phng ( ) .ABCD Gi φ là góc gia
hai mt phng ( )SBC và ( )ABCD . Mnh nào sau ây úng?
A. tan .2φ 2
= B. .0φ 45= C. .0φ 60= D. .0φ 30=
Câu 10: Cho hình chóp u .S ABCD có tt c các cnh bng a . Gi M là trung im SC . Tính góc φ gia hai mt phng ( )MBD và ( )ABCD .
A. .φ 90= ° B. .φ 60= ° C. .φ 45= ° D. .φ 30= ° Câu 11: Trong không gian cho tam giác u SAB và hình vuông ABCD cnh a nm trên hai mt
phng vuông góc. Gi ,H K ln lt là trung im ca AB , CD . Gi φ là góc gia hai mt phng ( )SAB và ( )SCD . Mnh nào sau ây úng?
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
= C. tan .3φ 3
= D. tan .3φ 2
=
Câu 12: Cho hình chóp .S ABC có áy ABC là tam giác vuông ti A , AB AC a= = . Hình chiu vuông góc H ca S trên mt áy ( )ABC trùng vi tâm ng tròn ngoi tip tam giác ABC và
a 6SH 2
= . Gi φ là góc gia hai ng thng SB và AC . Mnh nào sau ây úng?
A. cot .2φ 4
= D. cot .14φ 4
=
Câu 13: Cho hình chóp .S ABC có áy ABC là tam giác vuông ti ,B cnh bên SA vuông góc vi áy. Gi ,E F ln lt là trung im ca các cnh AB và .AC Góc gia hai mt phng
( )SEF và ( )SBC là
A. .CSF B. .BSF C. .BSE D. .CSE Câu 14: Cho hình lng tr t giác u .ABCD A B C D′ ′ ′ ′ có áy cnh bng ,a góc gia hai mt phng
( )ABCD và ( )ABC′ có s o bng .060 dài cnh bên ca hình lng tr bng
A. .2a B. .3a C. .a 3 D. .a 2 Câu 15: Cho hình chóp u .S ABC có cnh áy bng ,a góc gia mt bên và mt áy bng .060
Tính dài ng cao SH ca khi chóp.
A. .a 3SH 2
= B. .a 2SH 3
=
Câu 16: Cho hình chóp .S ABC có áy ABC là tam giác vuông ti B , AB 2a= , BC 2a 3= ;
a 3SA 2
= và vuông góc vi áy. Gi M là trung im AB . Tính tan góc gia hai mt
phng ( )SMC và ( )ABC .
= C. tan .3φ 3
= D. tan .3φ 2
=
Câu 17: Cho hình chóp .S ABC có áy ABC là tam giác vuông cân ti A , AB AC a= = ; SA a= và vuông góc vi áy. Tính cos góc gia hai mt phng ( )SAC và ( )SBC .
A. cos .2φ 4
= D. cos .14φ 4
=
Câu 18: Cho hình chóp .S ABC có áy là tam giác vuông cân ti ,A AB AC a= = , tam giác SAB u
và nm trong mt phng vuông góc vi áy. Tính góc gia mt phng ( )SAC và ( )ABC .
A. .φ 90= ° B. .φ 60= ° C. .φ 45= ° D. .φ 30= ° Câu 19: Cho lng tr tam giác u .ABC A B C′ ′ ′ có tt c các cnh u bng a . Tính góc gia ( )B AC′ và ( )ABC .
A. .φ 49= ° B. .φ 60= ° C. .φ 45= ° D. .φ 30= ° Câu 20: Hình lp phng .ABCD A B C D′ ′ ′ ′ có tt c các cnh bng a . Tính góc gia ( )A BC′ và
( )ACD′ .
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
26
A. .φ 48= ° B. .φ 35= ° C. .φ 62= ° D. .φ 13= °
Câu 21: Cho hình lng tr ng .ABC A B C′ ′ ′ có , .AB AC BB a BAC 120′= = = = ° Gi I là trung
im ca .CC′ Tính côsin ca góc gia hai mt phng ( )ABC và ( )AB I′ .
A. .2 2
C. .30 10
D. .3 2
Câu 22: Cho hình lng tr ng .ABC A B C′ ′ ′ có áy là tam giác cân vi ,AB AC a= = cnh bên
.BB a′ = Gi I là trung im ca .CC′ Tính cosin ca góc gia ( )mp ABC và ( ) ,mp AB I′
bit khong cách ca hai ng thng chéo nhau AA′ và BC là .a 2
A. .3 5
B. .3 10
C. .7 10
D. .1 2
Câu 23: Cho hình chóp .S ABC có ( )SA ABC⊥ , SA 2BC= và BAC 120= ° . Hình chiu ca A trên
các on ,SB SC ln lt là M và N . Tính góc gia hai mt phng ( )ABC và ( )AMN
A. 15° . B. 45° . C. 30° . D. 60° . Câu 24: Cho hình chóp .S ABCD có áy ABCD là hình ch nht vi AB 3= , BC 4= , tam giác SAC
nm trong mt phng vuông góc vi mt phng áy và khong cách t C n SA bng 4. Tính côsin ca góc to bi hai mt phng ( )SAB và ( )SAC .
A. 5 34
. B. 3 17
.
Câu 25: Cho hình chóp .S ABC có SA là ng cao và áy là tam giác ABC vuông ti .B Bit
.
= C. .AB 3 2 SB 9
= D. .AB 1 SB 5
=
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
C D B C B D C A A C
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
B C C C C A C B A B
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
C B C D A
LI GII BÀI TP T LUYN
Câu 1: Không mt tính tng quát, gi s cnh hình lp phng bng 1. Gi O là tâm ca hình vuông .ABCD Ta có
( ) . AC BD
′ ′⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ′ ⊥
Hai mt phng ( )BDC′ và ( )ABCD có giao tuyn ,BD
ta có BD AC BD OC ⊥
⇒ ′⊥ góc hp bi hai mt phng này là .COC′
Ta có: tan .CCC OC 2 CO
′ ′ = = Chn C.
Câu 2: Gi H là hình chiu ca D lên .AC Vì AC DD′⊥ nên .AC HD′⊥
Do ó ( ) ( )( ) ,ACD ABCD DHD α′ ′= = .
Ta có: ; tan .a 6 DD 3 2DH DD a 3 α 3 DH 2
′ ′= = ⇒ = = Chn D.
Câu 3: Không mt tính tng quát, gi s các cnh ca hình chóp .S ABCD bng nhau và bng .1
Gi M là trung im ca ,SA vì ΔABS và ΔADS là các tam giác u
nên BM SA DM SA ⊥ ⊥
suy ra ( ) ( )( ) ( ), , .SAB SAD BM DM=
Ta có: ;3BM DM BD 2 2
= = = suy ra
cos cos . .
2 2 2BM DM BD 1 1BMD α 2BM DM 3 3 + −
= = − ⇒ = Chn B.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
28
Câu 4: Gi H là hình chiu vuông góc ca A lên ,MD d thy ( ) .MD SAH MD SH⊥ ⇒ ⊥
Do ó ( ) ( )( ) ,SMD ABCD SHA α= = .
Ta có cos . .AH 2 5 5 2α SH 5 3 3
= = = Chn C
Câu 5: Gi H là trung im ca BC , suy ra ( )SH BC SH ABC⊥ ⇒ ⊥
Gi K là trung im AC , suy ra HK AB nên HK AC⊥ .
Ta có ( ) . AC HK
⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ⊥
Do ó ( ) ( )( ) ( ) , , .SAC ABC SK HK SKH= =
= = ⇒ = =
Tam giác vuông SHK , có tan SHSKH 2 3 HK
= = . Chn B.
Câu 6: Gi M là trung im ca BC , suy ra AM BC⊥ .
Ta có ( )AM BC BC SAM BC SM
BC SA ⊥
Do ó ( ) ( )( ) ( ) , , .SBC ABC SM AM SMA= =
=
SA SA 2 5SMA SM 5SA AM
= = = +
Chn D.
Câu 7: Gi Q là trung im BC , suy ra OQ BC⊥ .
Ta có ( ) . BC OQ
⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ⊥
Tam giác vuông SOQ , có tan .SOSQO 3 OQ
= =
Vy mt phng ( )SBC hp vi mt áy ( )ABCD mt góc .060 Chn C.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
29
Câu 8: T gi thit suy ra tam giác ABD u cnh a . Gi H là hình chiu ca S trên mt phng ( )ABCD . Do
SA SB SD= = nên suy ra H cách u các nh ca tam giác ABD hay H là tâm ca tam gác u ABD .
Suy ra 1 a 3HI AI 3 6
= = và .2 2 a 15SH SA AH 6
= − =
Vì ABCD là hình thoi nên HI BD⊥ . Tam giác SBD cân ti S nên SI BD⊥ .
Do ó ( ) ( )( ) ( ) , ,SBD ABCD SI AI SIH= = .
Trong tam vuông SHI , có tan .SHSIH 5 HI
= = Chn A.
= = = .
Suy ra tam giác ACB có trung tuyn bng na cnh áy nên vuông ti C .
Ta có ( ) . BC SA
⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ⊥
Do ó ( ) ( )( ) ( ) , , .SBC ABCD SC AC SCA= =
Tam giác SAC vuông ti A tan .SA 2φ AC 2
⇒ = = Chn A.
( )' ' .MM SO MM ABCD⇒ ⇒ ⊥
Theo công thc din tích hình chiu, ta có ' cos .M BD MBDS φS =
' .cos . . ' '
MBD

T ó suy ra ( ) ( )( ) ( ) , , .SAB SCD SH SK HSK= =
Trong tam giác vuông SHK , có tan .HK 2 3HSK SH 3
= = Chn B.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
30
Câu 12: Gi H là trung im BC . Tam giác ABC vuông ti A nên H là tâm ng tròn ngoi tip tam giác ABC . Theo gi thit, ta có
( )SH ABC⊥ .
Qua B k Bx AC . Khi ó ( ) ( ), ,SB AC SB Bx= .
K HE Bx⊥ ti E , ct AC ti M .
Suy ra AMEB là hình ch nht nên
= = =
= = =
.
Bx SH ⊥
BE AM 7SBE SE 7SH HE
= = = +
AB BC
BC SB ⊥
Suy ra ( ) ( )( ) ( )( ) , , . SE EF
⇒ = = ⊥ Chn C.
Câu 14: Vì .ABCD A B C D′ ′ ′ ′ là lng tr t giác u.
( )AB BB AB BB C B
AB BC ′ ⊥
ABC ABCD AB
( ) ( )( ) ( )( ) , , .0ABC ABCD BC BC C BC 60′ ′ ′= = =
t ,AA x′ = tam giác BCC′ vuông ti ,C có: tan tan . .0CCC BC x 60 a a 3 BC
′ ′ = ⇒ = = Chn C.
E
F
B
CA
S
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
31
Câu 15: Gi H là chân ng cao k t nh S xung mt phng ( ) .ABCD
Vì .S ABC là hình chóp u có SA SB SC= = nên suy ra H chính là tâm ng tròn ngoi tip tam giác .ABC
Gi M là trung im ca ,BC ta có ( )BC AM BC SAM
BC SH ⊥
Khi ó ( ) ( )( ) ( )( ) , , 0SBC ABC SM AM SMA 60= = = .
= − = ⇒ = =
= ⇒ = =
= Chn C.
Câu 16: Trong tam giác AMC , k ng cao AK vi K thuc ng thng MC .
Ta có ( )MC AK MC SAK MC SK
MC SA ⊥
AK ABC AK MC
= = .
Trong tam giác vuông SAK , ta có tan SASKA 1 AK
= = . Chn A.
Câu 17: Gi H là trung im SC . Tam giác SAC có SA AC a= = nên AH SC⊥ .
Tam giác SBC có SB BC a 2= = nên BH SC⊥ .
Ta có ( ) ( )
BH SBC BH SC
∩ = ⊂ ⊥ ⇒ = ⊂ ⊥
.
t AHB β= . Bây gi ta i tính các cnh trong tam giác AHB .
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
32
= = .
= .
Áp dng nh lí hàm s côsin, ta có cos .
2 2 2HA HB AB 3AHB 2HA HB 3 + −
= = . Chn C.
Câu 18: Gi H là trung im AB ( )SH ABC⇒ ⊥ .
( ) ( )( ) ,SAC ABC SAH 60⇒ = = ° . Chn B.
Câu 19: Gi I là hình chiu ca B trên AC ( ) ( )( ) ,B AC ABC B IB′ ′⇒ = .
tan BB a 2B IB BI a 3 3
2
′ ′ = = = ( ) ( )( ) , ,B AC ABC B IB 49 1′ ′⇒ = ≈ ° . Chn A.
Câu 20: Gi ,I K ln lt là trung im ca ,CD A C′ ′ , khi
ó ta có: ,AI CD KI CD′ ′⊥ ⊥ .
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) , ,A BC ACD A BCD ACD AIK′ ′ ′ ′ ′⇒ = = .
′ ′ ′= = = = .
= − = .
⇒ = =
( ) ( )( ) , ,A BC ACD AIK 35 26′ ′⇒ = ≈ ° . Chn B.
Câu 21: Không mt tính tng quát, gi s .a 1=
Ta có: . .sin ;ABC 1 3S AB AC A 2 4
= = li có:
. .sin .2 2BC AB AC 2AB AC 120 3= + − ° =
′ ′= + = = + =
′ ′ ′ ′= + =
Nhn xét 2 2 2AI AB B I′ ′+ = suy ra .AB I 1 10S AI AB 2 4′ ′= = .
T
IK
D
CB
A
D'
C'B'
A'
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
33
(Có th áp dng công thc Hê-rông: ( )( )( ) .AB I 10S p p a p b p c 4′ = − − − = )
ΔABC là hình chiu ca ΔAB I′ lên mt phng ( )ABC suy ra côsin ca góc gia hai mt phng
( )ABC và ( )AB I′ là cos .ABC
AB I
= = = Chn C.
Câu 22: Không mt tính tng quát, gi s .a 1= Gi M là trung im ca BC thì AM BC⊥ (do )AB AC= và
,AM AA′⊥ do ó AM là ng vuông góc chung ca AA′ và .BC Theo
bài, ( ), .1d AA BC AM 2
′ = =
= = − = ⇒ =
= =
′ = 5AI 2
= 2 2 2AI AB B I′ ′⇒ + = , do ó
.AB I 1 10S AI AB 2 4′ ′= =
ΔABC là hình chiu ca ΔAB I′ lên mt phng ( )ABC suy ra côsin ca góc gia hai mt phng
( )ABC và ( )AB I′ là cos .ABC
AB I
= = = Chn B.
Câu 23: Không mt tính tng quát, gi s .SA 2BC 2= = K ng kính AD ca ng tròn ngoi tip tam giác ABC thì
sin sin BC 1 2AD
A 120 3 = = =
⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ⊥ do ó ( ) .AN SCD⊥
.AN SD⇒ ⊥ Tng t: ( ) .AM SD SD AMN⊥ ⇒ ⊥ Mà ( )SA ABC⊥ nên ta có:
= = ⇒ = ° .
Chn C.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
34
Câu 24: Gi H là hình chiu ca B lên AC và K là hình chiu ca H lên .SA T gi thit ( ) ( ) ( ) ,SAC ABCD BH SAC BH SA⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ mà
( )SA HK SA BHK⊥ ⇒ ⊥ suy ra .SA BK⊥
Do ó ( ) ( )( ) ( ) , , .SAB SAC KB KH BKH α= = =
ΔBKH vuông ti H nên cos .KHα KB
= Ta ln lt tính KH và .KB
Ta có: ΔABC vuông ti ,B có BH là ng cao suy ra . . 2 2
AB BC 12BH 5AB BC
= = +
2 2
= ⇒ = =
= + = suy ra cos .KH 3α BK 34
= = Chn D.
Câu 25: Gi I và J ln lt là hình chiu ca B lên AC và .SC
Ta có: ( ) , BC AB
vuông cân ti .B
Ta có ( ) , BI AC
⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ⊥ mà
( ) ,BJ SC SC BIJ SC IJ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ do ó góc hp bi hai mt phng
( )SAC và ( )SBC là ( ) ; .BJ IJ BJI 60= = °
Do ó sin ;BI 360 BJ 2
= ⇒ = ⇒ = ⇒ =
= = = Chn A.
bt
Sách 60 phút hc Toán mi ngày - Tp 2 - Y -trang-1-34
bs