Embed Size (px)
Citation preview
Jan Rusinek
60 ZADAŃZ RACHUNKU
PRAWDOPODOBIEŃSTWAZ ROZWIĄZANIAMIdla studentów informatyki
UWAGA!Ten tekst jest w trakcie przygotowania i sprawdza-
nia. Może zawierać błędy. Jest sukcesywnie poprawiany iumieszczany pod aktualną datą! Proszę o przysyłanie uwagpod adresem:
Obecna data 14.4.2014
Wstęp
Zbiorek ten zawiera 60 elementarnych zadań z rachun-ku prawdopodobieństwa z przykładowymi rozwiązaniami.Są one wybrane z zadań przerabianych na ćwiczeniach iwykładach oraz na egzaminach na kierunku informatyka wWyższej Szkole Menedżerskiej w Warszawie. Są tak wybra-ne, Wykorzystywane wzory, definicje i tabele są umieszczo-ne na końcu zbiorku. Mam nadzieję, że zbiorek ten pomożestudentom lepiej opanować omawiany materiał i przygoto-wać się do egzaminu. Niektóre zadania wymagają napisa-nia odpowiedniego algorytmu demonstrującego omawianytemat. Rozwiązanie jest zaprezentowane w pascalu, aleoczywiście można wykorzystać dowolny inny język progra-mowania.
5
Zadania
6
ZADANIE 1. W finale rzutu dyskiem startuje 12 zawod-ników. Ile jest wszystkich możliwych wyników?
Rozwiązanie.
Jest to liczba permutacji, czyli 12! = 479001600.
7
ZADANIE 2. Pewien salon samochodowy ma w sprzedaży8 modeli samochodów. Ma miejsce na wystawienie 5 mo-deli. Na ile sposobów może wystawić samochody?
Rozwiązanie.
Jest to liczba kombinacji(85
)= 8!5!·3! = 56.
8
ZADANIE 3. W pewnej grze liczbowej skreśla się 4 liczbyspośród 21. Ile jest wszystkich możliwych skreśleń?
Rozwiązanie.
Podobnie jak w poprzednim zadaniu trzeba obliczyć(214
)= 5985.
9
ZADANIE 4. Opera kameralna wystawia operę w obsa-dzie 2 soprany, 1 alt, 2 tenory i 3 basy. Zespół liczy 6 so-pranów, 3 alty, 6 tenorów, 6 basów. Ile różnych obsad możezestawić dyrektor opery?
Rozwiązanie.
Będzie to iloczyn kombinacji(62
)·(31
)·(62
)·(63
)= 15 · 3 · 15 · 20 = 13500.
10
ZADANIE 5. Drużyna piłkarska gra w ustawieniu: 1 bram-karz, 4 obrońców, 3 pomocników i 3 napastników. Trenerma do dyspozycji 2 bramkarzy, 6 obrońców, 5 pomocnikówi 5 napastników. Ile różnych składów może wystawić?
Rozwiązanie.
Rozwiązanie podobne jak w zadaniu poprzednim(21
)·(64
)·(53
)·(53
)= 3000.
11
ZADANIE 6. Wykorzystując procedurę random podaj przy-kład programu losującego k liczb spośród n.
Rozwiązanie.
var n,i,j,k,l:integer;a:array[1..n] of integer;beginrandomize;for i:=1 to n do a[i]:=i;for j:=n downto n-k+1 do beginl:=random(j)+1;write(a[l],’,’);for i:=l to j-1 do a[i]:=a[i+1];end;end.
12
ZADANIE 7. W biegu na 1500 m. startuje 9 biegaczy. Naile sposobów można rozdać medale?
Rozwiązanie.
Jest to zadanie na wariacje bez powtórzeń. Wynik bę-dzie równy
9!(9− 3)!
= 9 · 8 · 7 = 504.
13
ZADANIE 8. Trzydziestu studentów zapisuje się na trzyspecjalizacje. Na ile sposobów mogą się zapisać?
Rozwiązanie.
Trzeba zastosować wariacje z powtórzeniami. Otrzy-mamy wynik 330.
14
ZADANIE 9. Rzucamy dwa razy kostką do gry. Wyznaczzbiór Ω. Ile elementów ma ten zbiór? Oblicz prawdopo-dobieństwo zdarzenia, że suma wyrzuconych oczek będziewiększa od 10.
Rozwiązanie.
Ω = (i, j) : i, j ∈ 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Stąd Ω = 6 · 6 = 36. Niech A oznacza interesujące naszdarzenie. Wtedy
A = (5, 6), (6, 5), (6, 6).
Stąd
P (A) =336=112.
15
ZADANIE 10. Z talii 52 kart losujemy kolejno bez zwra-cania 2 karty. Ile elementów będzie liczył zbiór Ω? Jakiejest prawdopodobieństwo zdarzenia: „za pierwszym razembędzie pik, a za drugim dwójka”?
Rozwiązanie.
Za pierwszym razem możemy wylosować jedną z 52kart, a za drugim jedną z 51. Stąd Ω = 52 · 51 = 2652.Dalej możemy rozumować tak. Gdyby to było losowanie zezwracaniem, to wszystkich sprzyjających możliwości było-by 13 · 4 (za pierwszym razem mamy do dyspozycji 13 pi-ków, a za drugim 4 dwójki). Przy losowaniu bez zwracaniaodpada jedna możliwość: dwójka pik i dwójka pik, a zatemjest możliwości 13 · 4− 1 = 51. Zatem nasze prawdopodo-bieństwo jest równe 512652 .
16
ZADANIE 11. W pewnej chłodni pracuje 10 agregatów.Średnio co 10 minut następuje rozruch agregatu, który trwasekundę i w czasie niego agregat potrzebuje prądu o mo-cy 10kW. W czasie normalnej pracy agregat pobiera tylko1KW. Korek automatyczny wyłącza się przy obciążeniu po-nad 40kW. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w ciągu 10minut korek się wyłączy?
Rozwiązanie.
Możemy podzielić 10 minut na 600 sekundowych od-cinków. Każdy agregat losowo „wybiera” na rozruch jedenz tych odcinków. Zatem wszystkich możliwości jest tyle ilewariacji z powtórzeniami, czyli 60010. Zdarzenie sprzyjają-ce to takie, że co najmniej 4 agregaty „wybiorą” ten samodcinek. Możemy je otrzymać w następujący sposób: naj-pierw losujemy 4 agregaty z 10 na
(104
)= 210 sposobów,
umieszczamy je w jednym ze 600 odcinków, a pozostałeagregaty „wybierają” odcinki dowolnie, czyli na 6006 spo-sobów. Zatem poszukiwane prawdopodobieństwo wynosi
p =600 · 210 · 6006
60010>= 0.000000972.
17
ZADANIE 12. Rzucamy trzy razy kostką do gry. Ile ele-mentów będzie miał zbiór Ω? Wypisz zbiory:a) A: „suma wyrzuconych oczek jest mniejsza od 5”;b) B: „iloczyn wyrzuconych oczek jest mniejszy od 4”.
Oblicz ich prawdopodobieństwa. Ile elementów będzie miałzbiór C: „za każdym razem wypadła inna liczba oczek”?Oblicz jego prawdopodobieństwo.
Rozwiązanie.
Ω = (i, j, k) : i, j, k ∈ 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Stąd Ω = 63 = 216.
a) A = (1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 1), (2, 1, 1).Zatem P (A) = 4
216 =154 .
b)B = (1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 1, 3), (1, 2, 1), (2, 1, 1), (3, 1, 1), (1, 3, 1).
Zatem P (B) = 7216 .
c) Aby policzyć liczbę elementów zbioru C należy za-stosować wzór na wariacje bez powtórzeń 6!3! = 120. StądP (C) = 120216 =
59 .
18
ZADANIE 13. W pewnym zakładzie stan osobowy za-trudnionych według płci i wykształcenia przedstawia ta-belka:
wykształceniepłeć
wyższe średnie podstawowe razem
kobiety 5 17 21 43mężczyźni 8 7 52 67Razem 13 24 73 110
Oblicz prawdopodobieństwo tego, że losowo napotka-ny pracownik: a) jest kobietą; b) jest kobietą z wyższymwykształceniem; c) nie ma wyższego wykształcenia; d)jest mężczyzną bez wyższego wykształcenia.
Rozwiązanie. a) 43110 , b)5110 , c)
97110 , d)
59110 .
19
ZADANIE 14. Egzamin z matematyki zdawało 620 stu-dentów. Liczby studentów, którzy otrzymali odpowiedniestopnie podaje tabelka:
ocena 2 3 3+ 4 4+ 5liczba studentów 117 223 93 85 72 30
Oblicz prawdopodobieństwo, że:a) losowo spotkany student zdał egzamin;b) losowo wybrany student otrzymał co najmniej oce-
nę dobrą?
Rozwiązanie. a) 620−117620 =503620 , b)
85+72+30620 = 187620 .
20
ZADANIE 15. Rzucamy dwa razy monetą. Niech A ozna-cza zdarzenie „w pierwszym rzucie padł orzeł”, B zdarzenie„przynajmniej raz padła reszka”. Oblicz P (A|B) i P (B|A).Rozwiązanie.
Ω = 4, A = (o, o), (o, r), B = (o, r), (r, o), (r, r),A ∩B = (o, r). Zatem
P (A|B) = P (A ∩B)P (B)
=1434
=13.
P (B|A) = P (A ∩B)P (A)
=1424
=12.
21
ZADANIE 16. Rzucamy dwa razy kostką do gry. A ozna-cza zdarzenie „suma wyrzuconych oczek jest większa od 10”,a B zdarzenie „iloczyn wyrzuconych oczek jest większy od20”. Oblicz P (A|B) i P (B|A).Rozwiązanie.
Ω = 36, A = (5, 6), (6, 5), (6, 6),B = (5, 4), (5, 6), (6, 5), (4, 6), (6, 4), (6, 6), A ∩ B =
A. Stąd
P (A|B) = P (A ∩B)P (B)
=336636
=12.
P (B|A) = P (A ∩B)P (A)
=P (A)P (A)
= 1.
22
ZADANIE 17. Z talii 52 kart losujemy jedną. Jeśli wy-ciągniemy asa, to rzucamy monetą i wygrywamy gdy wy-padnie orzeł, a jeśli wyciągniemy inną kartę, to rzucamykostką do gry i wygrywamy gdy wypadnie szóstka. Obliczprawdopodobieństwo wygranej.
Rozwiązanie.
Niech B1 będzie zdarzeniem „wylosowaliśmy asa”, aB2 zdarzeniem „wylosowaliśmy inną kartę”, a A zdarze-niem „wygraliśmy”. Wtedy P (B1) = 1
13 , P (B2) =1213 . Po-
nadto P (A|B1) = 12 , P (A|B2) =16 . Z wzoru na prawdopo-
dobieństwo całkowite otrzymujemy
P (A) =12· 113+16· 1213=526.
23
ZADANIE 18. Podaj przykład algorytmu imitującego do-świadczenie z poprzedniego zadania.
Rozwiązanie.
var k,n,u,v:integer;procedure moneta;begink:=random(2);if k=0 then writeln(’wygrywamy’);end;procedure kostka;beginu:=random(6);u:=u+1;if u=6 then writeln(’wygrywamy’);end;beginn:=random(52);if n<4 then moneta;if n>3 then kostka;end.
24
ZADANIE 19. Mamy trzy urny. W pierwszej są same białekule, w drugiej połowa białych i połowa czarnych, a w trze-ciej 30% białych i 70% czarnych. Rzucamy kostką do gry.Jeśli wypadnie jedynka, to losujemy z pierwszej urny, jeślidwójka lub trójka, to z drugiej, w pozostałych przypadkachz trzeciej. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosowana kulabędzie czarna.
Rozwiązanie.
Niech B1 oznacza zdarzenie „wypadła jedynka”, B2zdarzenie „wypadła dwójka lub trójka”, B3 zdarzenie „wypa-dła czwórka, piątka lub szóstka”, A zdarzenie „wylosowanakula jest czarna”. Wtedy P (B1) = 16 , P (B2) =
13 , P (B3) =
12 . Ponadto P (A|B1) = 0, P (A|B2) =
12 , P (A|B3) =
710 .
ZatemP (A) =
16· 0 + 1
3· 12+12· 710=3160.
25
ZADANIE 20. Rzucamy kostką do gry. Jeśli wypadnieszóstka, to wygrywamy. Jeśli wypadnie piątka, to mamyprawo do następnego rzutu. Jeśli wypadnie liczba mniejszaod piątki, to przegrywamy. Rzucamy dopóki nie wygramylub przegramy. Oblicz prawdopodobieństwo wygranej.
Rozwiązanie.
Niech Bn oznacza zdarzenie „wygraliśmy w n-tym rzu-cie”. Wtedy zdarzenie „wygraliśmy” jest nieskończoną su-mą rozłącznych zdarzeń Bn. Zdarzenie Bn oznacza, że wpierwszych n−1 rzutach wypadła piątka, a w n-tym szóst-ka. W takim razie P (Bn) =
(16
)n−1· 16 =
(16
)n. Stąd
P (A) =∞∑n=1
(16
)n=16· 11− 16
=15.
26
ZADANIE 21. Podaj przykład algorytmu imitującego gręz poprzedniego zadania.
Rozwiązanie.
var n:integer;procedure losuj;beginn:=random(6);n:=n+1;if n=6 then writeln(’wygrana’);if n=5 then losuj;if n<5 then writeln(’przegrana’);end;beginrandomize; losuj; end.
27
ZADANIE 22. Rzucamy dwa razy symetryczną monetą.Niech A oznacza zdarzenie „za każdym razem padł innywynik”, a B zdarzenie „w drugim rzucie padł orzeł”. Czyzdarzenia A i B są niezależne?
Rozwiązanie.
Ω = 4, A = (o, r), (r, o), B = (r, o), (o, o), A∩B =(r, o). Zatem P (A ∩ B) = 1
4 , P (A) · P (B) =12 ·12 =
14 .
Stąd zdarzenia są niezależne.
28
ZADANIE 23. Rzucamy kostką do gry, A oznacza zda-rzenie „wypadła liczba podzielna przez 2”, a B zdarzenie„wypadła liczba podzielna przez 3”. Czy zdarzenia te są nie-zależne?
Rozwiązanie.
Ω = 6, A = 2, 4, 6, B = 3, 6, A ∩B = 6,
P (A ∩B) = 16=13· 12= P (A) · P (B).
Zdarzenia są niezależne.
29
ZADANIE 24. Wiemy, że P (A) = 12 , P (B) =
13 oraz
P (A ∪B) = 23 . Czy zdarzenia A i B są niezależne?Rozwiązanie.
Wiadomo, że
P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B).
Stąd23=12+13− P (A ∩B).
Zatem P (A ∩ B) = 16 = P (A) · P (B). Zdarzenia są nieza-leżne.
30
ZADANIE 25. W pewnym zakładzie stan osobowy za-trudnionych według płci i wykształcenia przedstawia ta-belka:
wykształceniepłeć
wyższe średnie podstawowe razem
kobiety 4 3 5 12mężczyźni 8 3 13 24Razem 12 6 18 36
Sprawdź, czy zdarzenia A i B, „losowo wybrana osobajest mężczyzną” i „losowo wybrana osoba ma wyższe wy-kształcenie” są niezależne.
Rozwiązanie. P (A) = 2436 =
23 , P (B) =
1236 =
13 .
P (A ∩B) = 836 =
29 . Zdarzenia są niezależne.
31
ZADANIE 26. W pewnej miejscowości przeprowadzonobadania zgonów według przyczyny i płci. Otrzymano ze-stawienie:
przyczynapłeć
chorobyukładukrążenia
nowotwory inne razem
kobiety 22 19 88 129mężczyźni 45 18 40 103Razem 67 37 128 232
Sprawdź czy zdarzenia A i B: „przyczyną śmierci jestchoroba układu krążenia” oraz „zmarła osoba jest mężczy-zną” są niezależne.
Rozwiązanie.
P (A) = 67232 , P (B) =
129232 , P (A∩B) =
22232 6= P (A)P (B).
Zdarzenia są zależne.
32
ZADANIE 27. 90 studentów podzielonych jest na trzygrupy po 30 osób. Wyniki egzaminu z matematyki wedługgrup przedstawiają się następująco:
ocena 2 3 3+ 4 4+ 5grupa A 3 11 11 3 1 1grupa B 5 9 7 4 3 2grupa C 9 7 10 2 1 1
a) Oblicz prawdopodobieństwo tego, że student zdałegzamin pod warunkiem, że był w grupie C.
b) Losowo napotkany student twierdzi, że dostał piąt-kę. Oblicz prawdopodobieństwo faktu, że był w grupie B.
c) Napotkany student twierdzi, że dostał co najmniejocenę dobrą. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że chodziłdo grupy A.
d) Czy zdarzenia A i B, „student dostał czwórkę” oraz„student chodzi do grupy A” są niezależne?
Rozwiązanie.
Trzeba skorzystać z wzorów na prawdopodobieństwocałkowite i z wzoru Bayesa.
a) 7+10+2+1+19+7+10+2+1+1 .
b) 25+9+7+4+3+2 .
c) 3+1+13+11+11+3+1+1 .
d) P (A) = 3+4+290 =
990 , P (B) =
3+11+11+3+1+190 = 30
90 ,natomiast P (A ∩B) = 3
90 .
Porównując otrzymujemy wniosek, że zdarzenia są nie-zależne.
33
ZADANIE 28. Prawdopodobieństwo, że klient wchodzącydo sklepu komputerowego dokona jakiegoś zakupu wynosi0.4. Do sklepu wchodzi czterech klientów. Jakie jest praw-dopodobieństwo, że:
a) dokładnie jeden klient dokona zakupu,
b) żaden z nich nie dokona zakupu,
c) co najmniej dwóch klientów dokona zakupu.
Rozwiązanie.
a) b(4, 1, 0.4) =(41
)· (0.4)1 · (0.6)3 = 0.3456.
b) b(4, 0, 0.4) =(40
)· (0.4)0 · (0.6)4 = 0.1296.
c) b(4, 2, 0.4)+b(4, 3, 0.4)+b(4, 4, 0.4) = 1−b(4, 0, 0.4)−b(4, 1, 0.4) = 1.5248.
34
ZADANIE 29. Napisz procedurę liczącą b(n, k, p) dla da-nych n, k i p.
Rozwiązanie.
Żeby uniknąć liczenia silni czyli bardzo dużych liczblepiej najpierw policzyć logarytm docelowej liczby, a potemzastosować funkcję exp. Oto przykładowa procedura.
var n,k,i:integer;a,p,b:real;begina:=0;for i:=1 to n-k do begina:=a-ln(i);end;for i:=k+1 to n do begina:=a+ln(i);enda:=a+k*ln(p)+(n-k)*ln(1-p);b:=exp(a);end.
35
ZADANIE 30. Wiemy, że 5% zapałek jest wadliwych. Ja-kie jest prawdopodobieństwo, że w pudełku z 50 zapałkamijest więcej niż 2 wadliwe?
Rozwiązanie.50∑n=3
b(50, n, 0.05) = 1− b(50, 0, 0.05)
−b(50, 1, 0.05)−b(50, 2, 0.05) = 1−(500
)·(0.05)0 ·(0.95)50−(
501
)·(0.05)1·(0.95)49−
(502
)·(0.05)2·(0.95)48 = 1−0.077−
0.200− 0.260 = 0.463.
36
ZADANIE 31. Prawdopodobieństwo, że stan konta wzro-śnie w ciągu dnia wynosi 0.12, a prawdopodobieństwo, żestan konta zmaleje wynosi 0.10. Jakie jest prawdopodo-bieństwo, że:a) w ciągu trzech dni stan konta dokładnie jednego
dnia zmaleje,b) w ciagu trzech dni stan co najmniej w jednym dniu
wzrośniec) w ciagu trzech dni stan ani razu się nie zmieni?
Rozwiązanie.
a) b(3, 1, 0.1) =(31
)· (0.1)1 · (0.9)2 = 0.243.
b) 1− b(3, 0, 0.12) = 1−(30
)· (0.12)0 · (0.88)3 = 0.32.
c) b(3, 0, 0.22) =(30
)· (0.22)0 · (0.78)3 = 0.47.
37
ZADANIE 32. Rozpatrzmy jeszcze raz zadanie 11. Jakiejest prawdopodobieństwo, że korek wyłączy się w ciągu ro-ku?
Rozwiązanie.
Rok ma 52560 dziesięciominutowych odcinków. „Suk-ces”, że wyłączenie nastąpi w takim jednym odcinku wyno-si p = 0.000000972. Korek się wyłączy, przy przynajmniejednym sukcesie w 52560 próbach, czyli z prawdopodobień-stwem
52560∑k=1
b(52560, k, p) = 1− b(52560, 0, p)
= 1− (1− 0.000000194)52560 = 0.01.
38
ZADANIE 33. Rzucamy n razy symetryczną monetą. Ileco najmniej razy powinniśmy rzucić, aby prawdopodobień-stwo zdarzenia „przynajmniej raz padł orzeł” było większeniż 0.95?
Rozwiązanie.
Mamy rozwiązać nierówność
n∑k=1
b(n, k, 0.5) > 0.95,
czylib(n, 0, 0.5) < 0.05.
To znaczy (n
0
)· (0.5)0 · (0.5)n < 0.05,
czyli(0.5)n < 0.05,
skąd2n > 20,
a zatemn = 5.
39
ZADANIE 34. Rzucamy n kostkami. Jakie powinno byćnajmniejsze n, aby prawdopodobieństwo zdarzenia „na żad-nej kostce nie padła szóstka” było mniejsze niż 0.25.
Rozwiązanie.
Trzeba rozwiązać nierówność
b(n, 0,16
)< 0.25,
czyli (65
)n> 4.
Logarytmując otrzymujemy
n ln65> ln 4,
czyli
n >ln 4ln 65= 7.6.
Odpowiedź: n = 8.
40
ZADANIE 35. Rzucamy 100 razy dwoma kostkami do gry.Ile razy najprawdopodobniej wyrzucimy dwie szóstki?
Rozwiązanie.
Szukamy takiego m naturalnego, że
(100 + 1)p− 1 < m ¬ (100 + 1)p.
W naszym przypadku p = 136 , skąd
2.80 < m ¬ 3.80.
Zatem m = 3. Najprawdopodobniej dwie szóstki pojawiąsie trzy razy.
41
ZADANIE 36. Prawdopodobieństwo, że dorosły mężczy-zna nosi brodę wynosi 0.08. W pewnym zakładzie pracuje28 mężczyzn. Ilu z nich najprawdopodobniej nosi brodę?
Rozwiązanie.
Szukamy takiego m, że
(28 + 1) · 0.08− 1 < m ¬ (28 + 1) · 0.08,
czyli1.32 < m ¬ 2.32.
Najprawdopodobniej dwóch mężczyzn nosi brodę.
42
ZADANIE 37. Rzucamy kostką do gry. Niech X będziezmienną przyjmującą wartość równą kwadratowi liczby wy-rzuconych oczek. Podaj rozkład tej zmiennej.
Rozwiązanie.
xk 1 4 9 16 25 36pk
16
16
16
16
16
16
43
ZADANIE 38. Rzucamy dwa razy kostką do gry. Niech Xbędzie zmienną przyjmującą wartość równą sumie wyrzu-conych oczek. Podaj rozkład tej zmiennej.
Wszytkich zdarzeń elementarnych jest 36. Dwójkę mo-żemy uzyskać na jeden sposób (1+1), trójkę na dwa (1+2i 2 + 1 itd. Stąd otrzymujemy rozkład.
xk 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12pk
136
236
336
436
536
636
536
436
336
236
136
44
ZADANIE 39. Rozkład zmiennej losowej X jest dany ta-belką:
xk 1 2 3 4pk
14
16
13
14.
Wyznacz rozkład zmiennej losowej Y = X2 − 3X + 2.Rozwiązanie.
Zmienna losowa Y przyjmuje następujące wartości: dlax = 1 wartość 12 − 3 · 1 + 2 = 0, dla x = 2 wartość 22 − 3 ·2 + 2 = 0, dla x = 3 wartość 32 − 3 · 3 + 2 = 2 i dla x = 4wartość 42−3 ·4+2 = 6. Zatem Y przyjmuje trzy wartości0, 2 i 6, co daje następujący rozkład:
yk 0 2 6pk
512
13
14.
45
ZADANIE 40. Zmienna losowa X ma rozkład o gęstości
g(x) =12x dla x ∈ (0; 2),0 dla x 6∈ (0; 2).
Wyznacz gęstość rozkładu Y =√X.
Rozwiązanie.
Niech h(y) oznacza gęstość rozkładu zmiennej Y . Po-nieważ gęstość X jest różna od zera tylko dla x > 0, mo-żemy przyjąć a, b > 0. Wówczas
b∫a
h(y)dy = P (a < Y < b) = P (a <√X < b) =
= P (a2 < X < b2) =b2∫a2
12xχ(0;2)dx.
Stosując zamianę zmiennych y =√x, czyli y = t2, dx =
2ydy mamy
b2∫a2
12xχ(0;2)dx =
b∫a
y3χ(0;√2)dy.
Ostatecznie otrzymujemy odpowiedź. Zmienna losowaY =√X ma gęstość
h(y) =y3 dla y ∈ (0;
√2),
0 dla y 6∈ (0;√2).
46
ZADANIE 41. Zmienna losowa X ma rozkład o gęstości
g(x) =12x dla x ∈ (0; 2),0 dla x 6∈ (0; 2).
Wyznacz wartość oczekiwaną i wariancję tej zmiennej.
Rozwiązanie.
E(X) = 1 · 14+ 2 · 1
6+ 3 · 1
3+ 4 · 1
4= 2712.
D2(X) =(1− 2 7
12
)2· 14+(2− 2 7
12
)2· 16+
+(3− 2 7
12
)2· 13+(4− 2 7
12
)2· 14=21481728
≈ 1.243.
Odchylenie standardowe jest równe w przybliżeniu 1.115.
47
ZADANIE 42. Niech X będzie zmienną losową daną wtabelce:
xk 0 1 2pk
512
13
14.
Bez wyznaczania rozkładu zmiennej Y = X2 wyznaczjej wartość oczekiwaną, wariancję i odchylenie standardo-we.
Rozwiązanie.
E(Y ) = 02 · 512+ 12 · 1
3+ 22 · 1
4=43.
D2(Y ) =(02 − 43
)2· 512+(12 − 43
)2· 13+
+(22 − 43
)2· 14=5827.
Odchylenie standardowe jest równe√5827 .
48
ZADANIE 43. Zmienna losowa X ma rozkład o gęstości
g(x) =12x dla x ∈ (0; 2),0 dla x 6∈ (0; 2).
Bez wyznaczania rozkładu Y =√X wyznacz wartość ocze-
kiwaną i wariancję zmiennej Y .
Rozwiązanie.
E(Y ) = E(X2) =∞∫−∞
√xg(x)dx =
=2∫0
√x12xdx =
15x52
∣∣∣∣20=45
√2.
D2(Y ) =∞∫−∞
(√x− 45
√2)2 12xdx =
=2∫0
(12x2 − 2
5
√2x
32 +1625x)dx =
=(16x3 − 4
5
√2x
52 +825x2) ∣∣∣∣20= 0.52.
Odchylenie standardowe 0.72.
49
ZADANIE 44. Rozwiąż poprzednie zadanie przy pomocymetody Monte Carlo.
Rozwiązanie.
var k,n:longint;x,srednia:real;
f: function(x:real):real;beginf:=sqrt(x)*x/2;end;
h:function(x:real):real;beginh:=(sqrt(x)-srednia)*(sqrt(x)-srednia)*x/2;end;
procedure int(f:function):real;beginint:=0;for k:=1 to n do beginx:=2*random;int:=int+1/n*f(x);end;end;
beginint(f);writeln(’srednia=’,int);srednia:=int;int(g);writeln(’wariancja=’,int);end.
50
ZADANIE 45. Rzucamy dwa razy kostką. Sprawdź czyzmienne losowe opisujące sumę i iloczyn otrzymanych oczeksą niezależne.
Rozwiązanie.
Łatwo pokazać, że są zależne. Niech S oznacza zmien-ną losową opisującą sumę, a I iloczyn wyrzuconych liczb.Wtedy np.
P (S = 2 ∧ I = 2) = 0,
natomiast
P (S = 2) · P (I = 2) = 136· 236.
51
ZADANIE 46. Rzucamy trzy razy monetą. Czy zmiennelosowe opisujące liczbę orłów w pierwszych dwóch rzutachi liczbę reszek w ostatnich dwóch rzutach są niezależne?
Rozwiązanie.
Niech O oznacza pierwszą a R drugą zmienną losową.Zmienne te są zależne, bo np.
P (0 = 2 ∧R = 2) = 0,
natomiastP (0 = 2) · P (R = 2) = 1
4· 14.
52
ZADANIE 47. Losujemy bez zwracania dwie liczby spo-śród liczb 1, 2, 3. Niech X będzie zmienną losową opisującąsumę wylosowanych liczb, Y zmienną losową opisującą ilo-czyn wylosowanych liczb, a Z zmienną losową opisującąmoduł różnicy wylosowanych liczb. Wyznacz corr(X, Y ),corr(X,Z), corr(Y, Z).
Rozwiązanie.
Oznaczmy wylosowane liczby przez a, b Najpierwwyznaczymy rozkłady zmiennych X, Y i Z i podamy jewe wspólnej tabelce
a, b 1, 2 1, 3 2, 3xk 3 4 5yk 2 3 6zk 1 2 1pk
13
13
13
.
Analogicznie utworzymy rozkłady zmiennychXY ,XZi Y Z.
a, b 1, 2 1, 3 2, 3xkyk 6 12 30xkzk 3 8 5ykzk 2 6 6pk
13
13
13
.
Liczymy potrzebne wartości średnie i wariancje:
E(X) =13· (3 + 4 + 5) = 4.
53
D2(X) =13· (12 + 02 + 12) = 2
3.
E(Y ) =13· (2 + 3 + 6) = 11
3.
D2(Y ) =13·((−53
)2+(−23
)2+(73
)2)=269.
E(Z) =23· 1 + 1
3· 2 = 4
3.
D2(Z) =23·(13
)2+13·(23
)2=29.
E(XY ) =13(6 + 12 + 30) = 16.
E(XZ) =13· (3 + 8 + 5) = 16
3.
E(Y Z) =13· 2 + 2
3· 6 = 14
3.
W takim razie mamy
Cov(X, Y ) = 16− 4 · 113=43.
corr(X, Y ) =43√23 ·269
≈ 0.96.
Cov(X,Z) =163− 4 · 4
3= 0.
54
corr(X,Z) = 0.
Cov(Y, Z) =143− 113· 43= −29.
corr(Y, Z) =−29√269 ·29
= −0.27.
55
ZADANIE 48. Podaj przykład algorytmu opisującego zmien-ne losowe X, Y , Z, XY , XZ, Y Z z poprzedniego zadania.
Rozwiązanie.
var n,k,X,Y,Z,XY,XZ,TZ:integer;beginrandomize;n:=random(3);k:=random(2);n:=n+1;if n=1 then k:=k+2;if n=2 then k:=2*k+1;if n:=3 then k:=k+1;X:=n+k;Y:=n*k;Z:=abs(n-k);XY=X*Y;XZ:=X*Z;YZ:=Y*Z;end.
Najpierw losujemy jedną liczbę z trzech. Procedurarandom(3) losuje 0, 1 lub 2. Dlatego dodajemy jedynkę.Następnie losujemy jedną z dwóch i tak zmieniamy war-tości, aby przyjęła wartość jednej z niewylosowanych liczbw pierwszym losowaniu. Naturalnie można ten fragmentalgorytmu zrealizować na wiele innych sposobów.
56
ZADANIE 49. Zmienna losowa X ma rozkład normalny,w którym µ = 600 i σ = 120. Oblicz P (X < 550), P (550 <X < 650), P (700 < X < 800).
Rozwiązanie.
Mamy µ = 600, σ = 120, w pierwszym przypadkua = −∞, b = 550. Stąd c = −∞, d = 550−600
120 = −0.42.Korzystając z tablicy 1 lub z komputera Φ(−0.42) = 1 −Φ(0.42) = 1− 0.66 = 0.34.W drugim przypadku a = 550, b = 650. Stąd c =
−0.42, d = 0.42. Stąd
P (550 < X < 650) = Φ(0.42)−Φ(−0.42) = 2Φ(0.42)−1 = 0.32.
W trzecim przypadku a = 700, b = 800. Stąd c =700−600120 = 0.83, d =
800−600120 = 1.67. Zatem
P (600 < X < 800) = Φ(1.67)−Φ(0.83) = 0.95−0.79 = 0.16.
57
ZADANIE 50. Zmienna losowa X ma rozkład normalnyN(200, 70). Wyznacz takie x, że P (X < x) = 0, 76, P (X >x) = 0.63, P (210 < X < x) = 0.01.
Rozwiązanie.
Mamy µ = 200, σ = 120. Wiemy, że P (X < x) =Φ(c), gdzie c = x−µ
σ. Otrzymujemy w pierwszym punkcie
równanie Φ(c) = 0.76. Korzystając z tablicy 2 mamy c =0.7063, stąd x = c · σ + µ = 251.87.W drugim przypadku mamy P (X > x) = 1− P (X <
x) = 1 − Φ(c) = 0.63. Stąd Φ(c) = 0.37. W tablicy 2podane są tylko argumenty większe od 0.5, czyli takie p,że u(p) > 0. Ale wiadomo, że u(p) = −u(1 − p), skądc = −u(0.63) = −0.3319.W trzecim przypadku mamy P (1 < X < x) = Φ(d)−
Φ(c), gdzie c = 210−µσ, d = x−µ
σ. Stąd c = 0.14 i otrzym-
jemy równanie 0.01 = Φ(d) − Φ(0.14) = Φ(d) − 0.5557.Stąd Φ(d) = 0.5657. Korzystając z tablicy albo komputeraOtrzymamy d ≈ 0.165. Zatem x = dσ + µ = 211.55.
58
ZADANIE 51. Zakładając, że mamy procedurę pod na-zwą calka(f,a,b) liczącą całki z funkcji f w przedziale[a; b] podaj przykład programu obliczającego dla zmiennejX o rozkładzie N(u, v) i danych a i b P (x < X < y)
Rozwiązanie.
var a,b,c,d,u,v,wynik:realprocedure calka(f:function;a,b:real):realbegin....end;function f(var t:real):real;beginf:=(1/sqrt(2*pi))*exp(-x*x/2);end;beginreadln(u,v,x,y);c:=(a-u)/v;d:=(b-u)/v;wynik:=calka(f,c,d);end.
59
ZADANIE 52. Zaobserwowano, że waga noworodków w pew-nym szpitalu ma rozkład normalny z wartością średnią 3.6kg i odchyleniem standardowym 0.26 kg. Jakie jest praw-dopodobieństwo, że dziecko urodzone w tym szpitalu waży:a) więcej niż 4 kg?; b) mniej niż 3 kg?
Rozwiązanie.
a) a = 4, b =∞. Stąd c = 4−3.60.26 , d =∞. Zatem
P (4 < X) = 1− Φ(c) = 0.40.
b) a = −∞, b = 3, Stąd c = −∞, d = 3−3.60.26 = −2.31.Zatem
P (X > 3) = Φ(−2.31) = 1−Φ(2.31) = 1− 0.989 = 0.0.11.
60
ZADANIE 53. Czas pracy żarówek produkowanych w pew-nym zakładzie ma rozkład normalny z wartością średnią700 godzin i odchyleniem standardowym 220 godzin. Ja-kie jest prawdopodobieństwo, że żarówka zepsuje się przedupływem 500 godzin pracy?
Rozwiązanie.
Mamy µ = 700, σ = 220, a = −∞, b = 500. Stądc = −∞, d = 500−700220 = −0.91. Zatem
P (X < 500) = Φ(−0.91) = 1− Φ(0.91) = 1− 0.82 = 0.18.
61
ZADANIE 54. Plony zboża w gospodarstwach rolnych ma-ją rozkład normalny z wartością średnią 45 kwintali/hai odchyleniem standardowym 14 kwintali/ha. Jaki procentgospodarstw ma wydajność większą niż 50 kwintali z hek-tara?
Rozwiązanie.
Dane: µ = 45, σ = 14, a = 50, b = ∞. Stąd c =50−4514 = 0.36, d =∞. Zatem
P (50 < X) = 1− Φ(.36) = 1− 0.64 = 0.36.
Odp. 36%.
62
ZADANIE 55. Wzrost żołnierzy ma rozkład normalny ześrednią 177 cm i odchyleniem standardowym 13 cm. W jed-nostce wojskowej służy 1050 żołnierzy. Do kompanii hono-rowej zostanie wybranych 90 najwyższych. Ile trzeba miećwzrostu, aby zostać wybranym?
Rozwiązanie.
W tym zadaniu mamy dane prawdopodobieństwo P (X >a) = 90
1050 = 0.086, a musimy wyznaczyć a. Mamy
0.086 = P (X > a) = 1− Φ(c),
gdzie c = a−17713 . Stąd Φ(c) = 0.914. W tablicach rozkładunormalnego znajdujemy, że c = 1.35. Stąd mamy równanie
1.35 =a− 17713,
skąd a = 194.5.
Odp. Trzeba mieć co najmniej 194 cm wzrostu.
63
ZADANIE 56. Zbadano, że wypłaty z pewnego bankoma-tu mają rozkład normalny ze średnią 700 zł i odchyleniemstandardowym 300 zł. Jakie jest prawdopodobieństwo, że100 klientów wypłaci w sumie więcej niż 75000 złotych?
Rozwiązanie.
Trzeba skorzystać z twierdzenia o sumach zmiennychlosowych o rozkładach normalnych. Wynika z niego, że su-maryczna kwota wypłacona przez 100 klientów ma rozkładnormalny z wartością średnią 100 ·700 = 70000 oraz odchy-leniem standardowym równym
√100 · 3002 = 3000. Mamy
obliczyć P (X > 75000), zatem a = 75000, b = ∞, skądc = 75000−700003000 = 1.67. zatem
P (X > 75000) = 1− Φ(1.67) = 1− 0.95 = 0.05.
64
ZADANIE 57. Rozważamy ten sam bankomat, co w po-przednim zadaniu. Ile pieniędzy powinno być w bankoma-cie, każdego dnia, aby z prawdopodobieństwem 0.99 star-czyło gotówki dla dwustu klientów.
Rozwiązanie.
Kwota wypłacona przez 200 klientów ma rozkład nor-malny ze średnią 140000 oraz odchyleniem standardowym√200 · 3002 = 4242.. Niech a oznacza kwotę, o którą siepytamy w zadaniu. Chcemy aby
P (X > a) = 0.01.
AleP (X > a) = 1− Φ(c),
gdzie c = a−1400004242 , przy czym Φ(c) = 0.99. Z tablic kwantylirozkładu normalnego znajdujemy c = 2.33. Stąd
a = 2.33 · 4242 + 140000 = 149884.
Odp. Bank powinien zabezpieczyć w bankomacie kwo-tę 149884 złote.
65
ZADANIE 58. Wiadomo, że 80% osób odwiedzających su-permarket dokonuje zakupów. Pewnego dnia odwiedziło su-permarket 1355 osób. Jakie jest prawdopodobieństwo, żewięcej niż 1100 dokonało zakupów?
Rozwiązanie.
Zastosujemy przybliżenie rozkładu dwumianowego roz-kładem normalnym (twierdzenie Moivre’a-Laplace’a).
P (X > 1100) ≈ 1− Φ(c),
gdzie c = 1100−0.8·1355√1355·0.8·(1−.0.8)
= 1.09. Zatem 1 − Φ(1.09) =1− 0.86 = 0.14.
66
ZADANIE 59. Ile razy powinniśmy rzucić monetą, aby zprawdopodobieństwem 0.9 wypadło mniej niż 51% orłów?
Rozwiązanie.
Niech n oznacza potrzebną liczbę rzutów. Chcemy aby
P (X < 0.51n) = 0.9.
Stosując przybliżenie Moivre’a-Laplace’a otrzymujemy
Φ(c) = 0.99,
gdzie c = 0.51n−0.5n√n0.25
. Z tablicy 2 znajdujemy c = 1.28. Stąd
1.28 = 2 · 0.01√n.
Otrzymujemy n = 4096.
67
ZADANIE 60. W pewnym osiedlu jest sklep spożywczy.Wiadomo, że 600 mieszkańców osiedla dokonuje codzienniezakupu chleba wybierając losowo z prawdopodobieństwem0.5 albo ten sklep albo sklep w pobliżu miejsca pracy winnej dzielnicy. Ile bochenków chleba powinien zamawiaćcodziennie właściciel sklepu, aby z prawdopodobieństwem0.9 nie mieć zwrotów?
Rozwiązanie.
Możemy potraktować wybór przez mieszkańców osie-dla sklepu jako jedną próbę Bernoulliego z p = 0.5. Uznaj-my za sukces wybór przez mieszkańca osiedla sklepu osie-dlowego. Oznaczmy liczbę zamawianych przez właścicielabochenków przez k. Właściciel nie będzie miał zwrotówz prawdopodobieństwem 0.9 jeśli liczba sukcesów będziemniejsza niż k z prawdopodobieństwem 1−0.9 = 0.1. Czy-li gdy
P (X < k) = 0.1.
AleP (X < k) = Φ(d),
gdzie d = k−600·0.5√600·0.5·0.5 =
k−30012.24 . W tablicy kwantyli rozkładu
normalnego znajdujemy Φ(d) = 0.1 = 1 − Φ(−d). StądΦ(−d) = 0.9. Zatem −d = 1.28, czyli d = −1.28. stąd
k = −1.28 · 12.24 + 300 = 284.
Odp. Właściciel powinien zamawiać 284 bochenki.
68
Definicje, wzory i tablice
Liczba permutacji:
Pn = n! = 1 · 2 · . . . · n.
Liczba kombinacji:
Ckn =(n
k
)=
n!k!(n− k)!
.
Liczba wariacji bez powtórzeń:
Akn =n!
(n− k)!.
Liczba wariacji z powtórzeniami:
W kn = nk.
P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B).
Prawdopodobieństwo zdarzenia A pod warunkiem B:
P (A|B) = P (A ∩B)P (B)
.
Wzór na prawdopodobieństwo całkowite:
P (A) =∑n
P (A|Bn) · P (Bn),
gdzie Bi rozłączne zdarzenia w sumie dające całe Ω.
Wzór Bayesa:
P (Bk|A) =P (A|Bk) · P (Bk)∑n P (A|Bn) · P (Bn)
,
gdzie Bi rozłączne zdarzenia w sumie dające całe Ω.
69
Zdarzenia A i B są niezależne, jeśli:
P (A ∩B) = P (A) · P (B).
Prawdopodobieństwo k sukcesów w n próbach w schemacieBernoulliego:
b(n, k, p) =(n
k
)pk(1− p)n−k.
Najbardziej prawdopodobna liczba sukcesów w n próbach Bernoul-liego: jest to liczba naturalna m taka, że
(n+ 1)p− 1 < m ¬ (n+ 1)p.
Przez rozkład zmiennej losowej X rozumiemy podanie praw-dopodobieństwa wszystkich zdarzeń postaci:
x : a < X(x) < b.
Dystrybuantą zmiennej losowej nazywamy funkcję F okre-śloną następująco:
F (x) = P (X ¬ x).
Rozkład jednostajny na przedziale [0; 1]. Jest to rozkład, dlaktórego funkcja gęstości g jest dana wzorem:
g(x) =1 dla x ∈ (0; 1)0 dla x 6∈ (0; 1).
Wartością oczekiwaną (średnią lub przeciętną) zmiennej lo-sowej X o rozkładzie punktowym nazywamy liczbę:
E(X) =∑i
xiP (X = xi).
70
Jeśli zmienna X ma rozkład ciągły o gęstości ρ, to wartościąoczekiwaną tej zmiennej nazywamy liczbę;
E(X) =
∞∫−∞
xρ(x)dx.
Własności wartości oczekiwanej:
1) E(X + Y ) = E(X) + E(Y ),
2) E(aX) = aE(X), a ∈ IR,3) Jeśli X 0, to E(X) 0.Wariancją zmiennej losowej X nazywamy liczbę D2(X) zde-finiowaną następująco:
D2(X) = E((X − E(X))2) = E(X2)− (E(X))2.
Dla rozkładu punktowego wyraża się ona wzorem
D2(X) =∑k
(xk − E(X))2pk,
a dla rozkładu ciągłego o gęstości ρ wzorem
D2(X) =
∞∫−∞
(x− E(X))2ρ(x)dx.
Liczbęσ(X) =
√D2(X)
nazywamy odchyleniem standardowym.
Niech X będzie zmienną losową przyjmującą wartości w zbio-rze B ⊂ IR, a h funkcją, h : B → IR. Wtedy zmienna losowai wariancja zmiennej losowej h(X) wyraża się wzorem:
E(h(X)) =∑k
h(xk)pk,
orazD2(h(X)) =
∑k
(h(xk)− E(h(X))2pk,
71
dla rozkładu punktowego.
E(h(X)) =
∞∫−∞
h(x)ρ(x) dx,
oraz
D2(h(X)) =
∞∫−∞
(h(x)− E(h(X)))2 ρ(x)dx,
dla rozkładu ciągłego o gęstości ρ.
Wyznaczanie prawdopodobieństw w dowolnym rozkładzienormalnym przy pomocy standardowego rozkładu normal-nego N(0, 1). Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie normal-nym N(µ, σ). Wtedy
P (a < X < b) = Φ(d)− Phi(c),
gdzie c = a−µσ , d =b−µσ , a Φ dystrybuantą rozkładu N(0, 1).
Sumy niezależnych zmiennych o rozkładach normalnych. Je-śli X1, ·, Xn są niezależnymi rozkładami typu N(µi, σi), to zmien-na X1 + · · · + Xn ma rozkład N(µ, σ), gdzie µ = µ1 + · · · + µn,σ =
√σ21 + · · ·+ σ2n.
Obliczanie prawdopodobieństw w rozkładzie dwumianowymprzy pomocy standardowego rozkładu normalnego N(0, 1):Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie Bin(n, p). Wtedy
P (a < X < b) ≈ Φ(d)− Φ(c),
gdzie c = a−np√np(1−p)
, d = b−np√np(1−p)
.
72
Tablica 1. Wartości Φ(u) rozkładu normalnego N(0, 1)u 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,090,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,53590,1 ,5398 ,5438 ,5478 ,5517 ,5557 ,5596 ,5636 ,5675 ,5714 ,57530,2 ,5793 ,5832 ,5871 ,5910 ,5948 ,5987 ,6026 ,6064 ,6103 ,61410,3 ,6179 ,6217 ,6255 ,6293 ,6331 ,6368 ,6406 ,6443 ,6480 ,65170,4 ,6554 ,6591 ,6628 ,6664 ,6700 ,6736 ,6772 ,6808 ,6844 ,68790,5 ,6915 ,6950 ,6985 ,7019 ,7054 ,7088 ,7123 ,7157 ,7190 ,72240,6 ,7257 ,7290 ,7324 ,7357 ,7389 ,7422 ,7454 ,7486 ,7517 ,75490,7 ,7580 ,7611 ,7642 ,7673 ,7704 ,7734 ,7764 ,7794 ,7823 ,78520,8 ,7881 ,7910 ,7939 ,7967 ,7995 ,8023 ,8051 ,8078 ,8106 ,81330,9 ,8159 ,8186 ,8212 ,8238 ,8264 ,8289 ,8340 ,8340 ,8365 ,8389
1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,86211,1 ,8643 ,8665 ,8686 ,8708 ,8729 ,8749 ,8770 ,8790 ,8810 ,88301,2 ,8849 ,8869 ,8888 ,8907 ,8925 ,8944 ,8962 ,8980 ,8997 ,90151,3 ,9032 ,9049 ,9066 ,9082 ,9099 ,9115 ,9131 ,9147 ,9162 ,91771,4 ,9192 ,9207 ,9222 ,9236 ,9251 ,9265 ,9279 ,9292 ,9306 ,93191,5 ,9332 ,9345 ,9357 ,9370 ,9382 ,9394 ,9406 ,9418 ,9429 ,94411,6 ,9452 ,9463 ,9474 ,9484 ,9495 ,9505 ,9515 ,9525 ,9535 ,95451,7 ,9554 ,9564 ,9573 ,9582 ,9591 ,9599 ,9608 ,9616 ,9625 ,96331,8 ,9641 ,9649 ,9656 ,9664 ,9671 ,9678 ,9686 ,9693 ,9699 ,97061,9 ,9713 ,9719 ,9726 ,9732 ,9738 ,9744 ,9750 ,9756 ,9761 ,9767
2,0 0,9772 0,9779 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,98172,1 ,9821 ,9826 ,9830 ,9834 ,9838 ,9842 ,9846 ,9850 ,9854 ,98572,2 ,9861 ,9864 ,9868 ,9871 ,9875 ,9878 ,9881 ,9884 ,9887 ,98902,3 ,9893 ,9896 ,9898 ,9901 ,9904 ,9906 ,9909 ,9911 ,9913 ,99162,4 ,9918 ,9920 ,9922 ,9925 ,9927 ,9929 ,9931 ,9932 ,9934 ,99362,5 ,9938 ,9940 ,9941 ,9943 ,9945 ,9946 ,9948 ,9949 ,9951 ,99522,6 ,9953 ,9955 ,9956 ,9957 ,9959 ,9960 ,9961 ,9962 ,9963 ,99642,7 ,9965 ,9966 ,9967 ,9968 ,9969 ,9970 ,9971 ,9972 ,9973 ,99742,8 ,9974 ,9975 ,9976 ,9977 ,9977 ,9978 ,9979 ,9979 ,9980 ,99812,9 ,9981 ,9982 ,9982 ,9983 ,9984 ,9984 ,9985 ,9985 ,9986 ,99863,0 ,9987 ,9987 ,9987 ,9988 ,9988 ,9989 ,9989 ,9989 ,9990 ,99903,1 ,9990 ,9991 ,9991 ,9991 ,9992 ,9992 ,9992 ,9992 ,9993 ,99933,2 ,9993 ,9993 ,9994 ,9994 ,9994 ,9994 ,9994 ,9995 ,9995 ,99953,3 ,9995 ,9995 ,9995 ,9996 ,9996 ,9996 ,9996 ,9996 ,9996 ,99973,4 ,9997 ,9997 ,9997 ,9997 ,9997 ,9997 ,9997 ,9997 ,9997 ,9998
73
Tablica 2. Kwantyle rozkładu normalnego N(0, 1), u(p) = Φ−(p)
p Φ−(p)0.50 0.00000.51 0.02510.52 0.05020.53 0.07530.54 0.10050.55 0.12570.56 0.15100.57 0.17640.58 0.20190.59 0.22760.60 0.25340.61 0.27940.62 0.30550.63 0.33190.64 0.35850.65 0.38540.66 0.41250.67 0.44000.68 0.46770.69 0.49590.70 0.52440.71 0.55340.72 0.58290.73 0.61290.74 0.6434
p Φ−(p)0.75 0.67450.76 0.70630.77 0.73890.78 0.77220.79 0.80650.80 0.84170.81 0.87790.82 0.91540.83 0.95420.84 0.99450.85 1.03650.86 1.08040.87 1.12640.88 1.17500.89 1.22660.90 1.28160.91 1.34080.92 1.40510.93 1.47580.94 1.55480.95 1.64490.96 1.75070.97 1.88080.98 2.05370.99 2.3263
Tablica 2.5 Uproszczone kwantyle u(p) rozkładu normalnego N(0, 1)p 0,90 0,95 0,975 0,99 0,995u(p) 1,28 1,64 1,96 2,33 2,58
74
![Wykład 4. Zmienne losowe i ich rozkładyhome.agh.edu.pl/~zak/downloads/4-Elektronika-2015.pdf3)Rzut kostką wyrzucenie ‘1’ – 1, ‘2’ – 2 itd… 4)Odcinek [a, b] na osi](https://img.pdfslide.tips/doc/110x75/60e65b5ba494d20ca9380884/wykad-4-zmienne-losowe-i-ich-rozk-zakdownloads4-elektronika-2015pdf-3rzut.jpg)
