609.электричество и магнетизм учебное пособие

1

Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова

Н.А. Рудь, А.Н. Сергеев

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ

Учебное пособие

Ярославль 2004

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

2

ББК В33 я 73 Р83 УДК 537.1 Рудь Н.А., Сергеев А.Н. Электричество и магнетизм: Учеб. Пособие Н. А. Рудь, А. Н. Сер-

геев; Яросл. гос. ун-т. Ярославль, 2004. 206 с. ISBN 5-8397-0168-8 В данном пособии рассмотрены базовые понятия современного кур-

са "Базовые понятия электрических и магнитных взаимодействий", предлагаемого для инженерно-физических специальностей классиче-ских и технических университетов. Отличительной чертой пособия яв-ляется наличие подробных решений важнейших типов задач и 20 вари-антов подобранных задач из базовых понятий разделов курса "Базовые понятия электрических и магнитных взаимодействий" для самостоя-тельного решения.

Пособие предназначено для студентов физических и инженерно-физических специальностей университетов вечерней и заочной формы обучения. Оно будет полезно также и для студентов дневной формы обучения.

Ил. 99. Библиогр.: 8 Рецензенты: кафедра физики Ярославского государственного тех-

нического университета; В.П. Глушаков, канд. физ.-мат. наук. ISBN 5-8397-0168-8 © Ярославский государственный университет, 2004 © Н.А. Рудь, А.Н.Сергеев, 2004


3

Введение

Опыт показывает, что между электрически заряженными и намаг-ниченными телами, a также телами, по которым текут электрические токи, действуют силы, называемые электродинамическими, или элек-тромагнитными. Относительно природы этих сил в науке выдвигались две противоположные точки зрения. Более старая из них исходила из представления о непосредственном действии тел на расстоянии, без участия каких бы то ни было промежуточных материальных посредни-ков. Другая, более новая точка зрения, принятая в настоящее время, ис-ходит из представления, что взаимодействия передаются с помощью особого материального посредника, называемого электромагнитным полем.

Основная идея теории действия на расстоянии в учении об электри-ческих и магнитных явлениях была заимствована из учения о всемир-ном тяготении и господствовала примерно до последней четверти XIX века. Огромные успехи небесной механики, основанной на законе все-мирного тяготения Ньютона (1643–1727), с одной стороны, и полная не-удача как-то объяснить тяготение, с другой - привели многих ученых к представлению, что тяготение, а также электрические и магнитные силы не нуждаются в объяснении, а являются неотъемлемыми, врожденными свойствами материи. По мнению этих ученых, задача теории электриче-ства состояла в том, чтобы установить элементарные законы электриче-ских и магнитных сил и на их основе объяснить все электрические и магнитные явления. Под элементарными законами понимали законы, определяющие силы взаимодействия на расстоянии между точечными электрическими зарядами, точечными магнитными полюсами и эле-ментами тока, т.е. между бесконечно короткими участками бесконечно тонких проводов, по которым текут электрические токи. По своему со-держанию и форме эти законы напоминали, а часто прямо копировали ньютонов закон всемирного тяготения. Таковы были, например, законы Кулона (1736–1806) о взаимодействии электрических зарядов или маг-нитных полюсов.

Благодаря трудам великих математиков и физиков (Лапласа, Ампе-ра, Пуассона, Гаусса, Остроградского, Грина, Франца Неймана, Карла Неймана, Вильгельма Вебера, Кирхгофа и других) в математическом отношении теория действия на расстоянии достигла высокой степени совершенства. Эта теория отличалась формальной простотой и ясно-стью исходных математических положений, математической строго-стью, стройностью и конкретностью. Она совершенно не вводила со-мнительных гипотетических представлений относительно физической


4

природы электрических и магнитных сил, а основывалась только на эм-пирически прочно установленных фактах и их обобщениях. Количест-венные выводы теории были прочно обоснованными и достоверными (разумеется, в пределах той области, в которой элементарные законы подтверждены опытом). Не удивительно, что теории действия на рас-стоянии придерживалось большинство физиков вплоть до последней четверти XIX века. Однако количественное согласие теории с опытом в исследованной области явлений не может считаться достаточным дока-зательством правильности концепции непосредственного действия на расстоянии.

Для некоторых физиков 19 века концепция непосредственного дей-ствия на расстоянии была неприемлема. Среди них возвышается фигура гениального Фарадея (1791–1867) – основоположника физической тео-рии электромагнитного поля. Над ним не довлели формальные идеи ма-тематиков. Его самобытный ум был свободен от укоренившихся пред-ставлений и не мог примириться с мыслью, что тело может производить непосредственное действие в тех местах, в которых оно не находится и которые отделены от него абсолютно пустым пространством. Согласно Фарадею, действие одного тела на другое может осуществляться либо непосредственным соприкосновением, либо передаваться через проме-жуточную среду.

Для электромагнитных взаимодействий роль такой среды играл гипотетический мировой эфир, заполняющий все пространство между телами и мельчайшими частицами, из которых они состоят. При элек-тризации и намагничивании тел в окружающем эфире возникают, со-гласно Фарадею, какие-то изменения, напоминающие упругие дефор-мации и связанные с ними натяжения и давления. Такими натяжениями и давлениями Фарадей и объяснял электромагнитные взаимодействия тел. Центр тяжести с изучения зарядов и токов, являвшихся в теории действия на расстоянии центрами сил, переносился на изучение окру-жающего пространства. Это пространство с действующими в нем сила-ми называется электромагнитным полем.

Используя изложенные воззрения к конкретным случаям, Фарадей ограничивался преимущественно качественной стороной явлений. Он никогда не пользовался точным языком математических формул. Рас-суждения и доказательства Фарадея воспринимались с трудом и даже отвергались его современниками. Однако среди убежденных последова-телей Фарадея был гениальный Максвелл (1831–1879), который в со-вершенстве владел математическими методами своего времени. Мак-свелл облек основные идеи Фарадея в математическую форму. Он обобщил имеющиеся опытные факты и пополнил их новыми. Таким пу-тем в начале 60-х годов XIX века ему удалось сформулировать систему уравнений, в которой в сжатой и точной форме содержатся все количе-ственные законы электромагнитного поля. Установление этих уравне-ний, пожалуй, является наиболее крупным открытием физики 19 века.


5

Вначале теория Максвелла не получила признания. Это обусловле-но главным образом тем, что вплоть до последней четверти XIX века электродинамика занималась изучением только постоянных или почти постоянных электрических и магнитных полей. А в этих случаях урав-нения Максвелла переходят в уравнения теории действия на расстоя-нии, поэтому фактические выводы обеих теорий совпадают. По этой причине никакие опыты с постоянными электромагнитными полями не могут ответить на вопрос, какое из двух представлений о силах взаимо-действия верно или, точнее, заведомо неверно. Для этого надо было об-ратиться к изучению переменных полей. Максвелл показал, что из его уравнений следует существование электромагнитных волн, и вычислил скорость их распространения. Оказалось, что в вакууме эта скорость совпадает со скоростью света (300 000 км/с), т.е. очень велика. Громад-ный круг явлений воспринимается так, как если бы скорость распро-странения электромагнитных возмущений была бесконечна, т. е. так, как если бы была справедлива теория действия на расстоянии. Электро-магнитные волны впервые были получены и экспериментально иссле-дованы в знаменитых опытах Герца в 1887–1888 гг. Их свойства оказа-лись в точности такими, какие предсказывала теория Максвелла. С точ-ки зрения теории действия на расстоянии существование электромаг-нитных волн абсолютно непонятно. Поэтому после опытов Герца вопрос о характере электродинамических взаимодействий был одно-значно решен в пользу теории поля. Громадную роль в деле распро-странения и развития теории Максвелла сыграло великое изобретение радио А. С. Поповым (1859–1905), которое в конце концов преобразило науку, технику и саму жизнь человека.

Долгое время физики считали, что явления электричества и магне-тизма могут быть поняты до конца только тогда, когда они будут сведе-ны к механическим причинам, например к упругим натяжениям, давле-ниям или каким-то другим механическим изменениям в окружающей среде. Таковой в теории Фарадея — Максвелла считался мировой эфир. Было затрачено много усилий для построения механической теории электрических и магнитных явлений. Сам Максвелл положил этому на-чало. В первых работах по теории электричества он широко пользовался механическими моделями для представления электромагнитного поля. Однако для представления различных свойств поля потребовались раз-ные модели, противоречащие друг другу. Механические же модели в теории Максвелла сыграли лишь роль лесов строящегося здания. После того как здание построено, леса убираются. Так и в завершенном вари-анте теории Максвелла, опубликованном им в «Трактате по электриче-ству и магнетизму» (1873), механические модели совсем не использу-ются. Все усилия построения непротиворечивой механической теории


6

электрических и магнитных явлений потерпели неудачу. Они убедили физиков последующих поколений в принципиальной невозможности механической картины мира. Атомно-молёкулярная теория показала, что упругие силы сами являются результатом электрического взаимо-действия между электрически заряженными частицами, из которых по-строены тела. Упругость была сведена к электричеству. После этого программа сведения электрических сил к упругим потеряла всякий смысл. Электрические силы оказались более «простыми» и «понятны-ми», чем силы упругие. Современная физика не связывает с понятием электромагнитного поля никаких «наглядных» картин типа упругих де-формаций, напряжений, давлений и пр. Она утверждает лишь, что поле реально существует и в этом смысле, наряду с веществом, является од-ним из видов материи. Поле обладает энергией, импульсом и другими физическими свойствами. Посредством полей осуществляются элек-тромагнитные взаимодействия тел. Заряженное тело А возбуждает в ок-ружающем пространстве электрическое поле. Оно проявляется в силе, действующей на другое заряженное тело В, вносимое в это поле. Но по-ле, возбуждаемое зарядами тела А, реально существует в каждой точке пространства, даже если в нее не помещено никакое другое тело В. В этом отличие точек зрения теории поля и теории непосредственного действия на расстоянии. Последняя также пользуется понятием поля. Однако в ней поле выступает не как физическая реальность, а как вспо-могательное математическое понятие, вводимое лишь для удобства описания электромагнитных взаимодействий. По теории действия на расстоянии не имеет смысла говорить о поле в той или иной точке про-странства, пока в нее не внесено заряженное тело, на которое действует электромагнитная сила. Первоначальная теория Максвелла не вводила принципиального различия между материальными средами и вакуумом (эфиром). Вакуум рассматривался в ней как одна из сред, отличающаяся от других сред только количественно: значениями диэлектрической и магнитной проницаемости и электропроводности. Более глубокую и яс-ную картину дала электронная теория, творцом которой был великий голландский физик Г. А. Лорентц (1853–1928), Она была создана и де-тально разработана еще до открытия электрона и установления структу-ры атома. [Электрон был открыт Дж. Дж. Томсоном (1856–1940) в 1897 г., модель атома Резерфорда (1871–1937) появилась в 1911 г., а теория Бора (1885–1962) – в 1913 г.]. На современном языке основную идею электронной теории можно сформулировать следующим образом. Ве-щество состоит из положительно заряженных атомных ядер и отрица-тельно заряженных электронов. Для наших целей пока нет необходимо-сти вдаваться в детали строения атомов и их ядер. Важно заметить лишь, что вакуум является универсальной средой, в которой воз-


7

буждается электромагнитное поле. С точки зрения теории электри-чества всякое вещество следует рассматривать как вакуум, испорченный вкрапленными в него атомными ядрами и электронами. Заряды этих частиц возбуждают электромагнитные поля, накладывающиеся на внешнее поле, в которое внесено вещество. Наложением таких полей и определяется электромагнитное поле в веществе. С этой точки зрения изучение электромагнитного поля в веществе сводится к изучению поля в вакууме. Так мы и поступим в дальнейшем. Сначала изучим электри-ческое и магнитное поля в вакууме (1, 6 разделы), а затем исследуем, как поле искажается зарядами атомных ядер и электронов вещества (2 - 4, 7, 8 главы). Таким путем электронная теория привела к более глубо-кому пониманию уравнений Максвелла в веществе. Она явилась рацио-нальной основой для понимания электрических и магнитных свойств вещества с атомистической точки зрения, хотя Лорентц и его последо-ватели пользовались классическими представлениями.

Уравнения Максвелла являются обобщениями опытных фактов. Их доказательство надо искать в сопоставлении с опытом выводимых из них следствий. Эти уравнения составляют стержень всей электро-динамики. Они могут рассматриваться как основные аксиомы электро-динамики, играющие в ней такую же роль, какую законы Ньютона иг-рают в классической механике. Мы глубже проникнем в сущность элек-тродинамики Максвелла, если изберем индуктивный метод изложения, т.е. от к простейших опытных фактов и явлений к постепенным обоб-щениям законов этих явлений.

1. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ

1.1. Электрическое поле

Электрический заряд. В настоящее время известно, что в основе всего разнообразия явлений природы лежат четыре фундаментальных взаимодействия между элементарными частицами – сильное, электро-магнитное, слабое и гравитационное. Каждый вид взаимодействия свя-зывается с определенной характеристикой частицы. Например, гравита-ционное взаимодействие зависит от масс частиц, электромагнитное – от электрических зарядов.

Электрический заряд частицы является одной из основных, перво-начальных ее характеристик. Ему присущи следующие фундаменталь-ные свойства:


8

1) электрический заряд существует в двух видах: как положитель-ный, так и отрицательный;

2) в любой электрически изолированной системе алгебраическая сумма зарядов не изменяется, это утверждение выражает закон сохране-ния электрического заряда;

3) электрический заряд является релятивистки инвариантным: его величина не зависит от системы отсчета, а значит, не зависит от того, движется он или покоится.

Эти фундаментальные свойства электрического заряда имеют, как мы увидим, далеко идущие последствия.

Электрическое поле. Согласно современным представлениям, взаи-модействие между зарядами осуществляется через поле. Всякий элек-трический заряд q изменяет определенным образом свойства окружаю-щего его пространства – создает электрическое поле. Это поле проявля-ет себя в том, что помещенный в какую-либо его точку другой «пробный» заряд испытывает действие силы.

Опыт показывает, что сила F, действующая на неподвижный точеч-ный пробный заряд q′, всегда может быть представлена как:

F = q′E, (1.1) где вектор Е называют напряженностью электрического поля в данной точке.

Вектор Е, как видно из (1.1), можно определить как силу, дейст-вующую на единичный положительный неподвижный заряд. Здесь предполагается, что пробный заряд q′ должен быть достаточно малым, чтобы его внесение не вызвало заметного искажения интересующего нас поля (вследствие возможного перераспределения создающих поле зарядов).

Поле точечного заряда. Из опыта (закон Кулона) непосредственно следует, что напряженность поля неподвижного точечного заряда q на расстоянии r от него можно представить как:

,rq

r2 e04

1πε

=Ε (1.2)

где ε₀ - электрическая постоянная; er - орт радиус-вектора r, проведенного из центра поля, в котором

расположен заряд q, до интересующей нас точки. Формула (1.2) записана в СИ. Здесь коэффициент

1/4πε₀ = 9·109 м/Ф. Заряд q выражается в кулонах (Кл), напряженность поля Е - в воль-

тах на метр (В/м). В зависимости от знака заряда q вектор Е направлен так же, как и r, или противоположно ему.


9

По существу формула (1.2) выражает не что иное, как закон Кулона, но в «полевой» форме. Весьма важно, что напряженность Е поля точеч-ного заряда обратно пропорциональна квадрату расстояния r. Вся сово-купность экспериментальных фактов показывает, что этот закон спра-ведлив для расстояний от 10-13 см до нескольких километров, и пока нет никаких оснований ожидать, что этот закон не выполняется и при больших расстояниях.

Заметим еще, что в поле, создаваемом неподвижным точечным зарядом, сила, действующая на пробный заряд, не зависит от того, по-коится пробный заряд или движется. Это относится и к системе непод-вижных зарядов.

Принцип суперпозиции. Другой опытный факт, кроме закона (1.2), заключается в том, что напряженность поля системы точечных непод-вижных зарядов равна векторной сумме напряженностей полей, кото-рые создавали бы каждый из зарядов в отдельности:

,qri2

i

ii r eΕΕ ∑∑ ==

041πε

(1.3)

где ri – расстояние между зарядом qi и интересующей нас точкой поля. Это утверждение называют принципом суперпозиции (сложения)

электрических полей. Он выражает одно из самых замечательных свойств полей и позволяет вычислять напряженность поля любой сис-темы зарядов, представив ее в виде совокупности точечных зарядов, вклад каждого из которых дается формулой (1.2).

Распределение зарядов. Для упрощения математических расчетов во многих случаях бывает удобно игнорировать тот факт, что заряды име-ют дискретную структуру (электроны, ядра), и считать, что они «разма-заны» определенным образом в пространстве. Другими словами, удобно заменить истинное распределение точечных дискретных зарядов фик-тивным непрерывным распределением. Это позволяет значительно уп-рощать расчеты, не внося сколько-нибудь значительной ошибки.

При переходе к непрерывному распределению вводят понятие о плотности зарядов – объемной ρ, поверхностной σ и линейной λ. По оп-ределению:

,Vq

ddρ = ,

Sq

ddσ = ,

lq

ddλ = (1.4)

где dq – заряд, заключенный соответственно в объеме dV, на поверхно-сти dS и на длине dl.

С учетом этих распределений формула (1.3) может быть представ-лена в другой форме. Например, если заряд распределен по объему, то надо заменить qi на dq = ρ dV и ∑ на интегрирование, тогда:


10

,r

Vr

V∫∫ == 3

02

0

dρ4

1dρ4

1 eeEπεπε

(1.5)

где интегрирование проводится по всему пространству, в котором ρ от-лично от нуля.

Таким образом, зная распределение зарядов, мы можем полностью решить задачу о нахождении напряженности электрического поля по формуле (1.5) и аналогично ей, если распределение непрерывно. В об-щем случае расчет сопряжен со значительными трудностями (правда, не принципиального характера). Действительно, для нахождения вектора Е надо вычислить его проекции Еx, Еy, Еz, а это по существу три интегра-ла типа (1.5). И только в тех случаях, когда система зарядов обладает той или иной симметрией, задача, как правило, значительно облегчает-ся.

Геометрическое описание электрического поля. Зная вектор Е в ка-ждой точке, можно представить электрическое поле с помощью линий напряженности, или линий вектора Е. Эти линии проводят так, чтобы касательная к ним в каждой точке совпадала с направлением вектора Е, а густота линий, т.е. число линий, пронизывающих единичную площад-ку, перпендикулярную линиям в данной точке, была бы пропорцио-нальна модулю вектора Е. Кроме того, этим линиям приписывают на-правление, совпадающее с направлением вектора Е. По полученной картине можно легко судить о конфигурации данного электрического поля – о направлении и модуле вектора Е в данных точках поля.

Об общих свойствах поля Е. Определенное выше поле Е обладает, как выяснилось, двумя чрезвычайно важными свойствами, знание кото-рых помогло глубже проникнуть в суть самого понятия поля и сформу-лировать его законы, а также открыло возможность решить ряд вопро-сов весьма просто и изящно. Эти свойства, определяемые теоремой Га-усса и теоремой о циркуляции вектора напряженности поля Е, связаны с двумя важнейшими математическими характеристиками всех вектор-ных полей: потоком и циркуляцией. Как мы увидим, пользуясь этими двумя понятиями, можно описать все законы не только электричества, но и магнетизма.

1.2. Теорема Гаусса

Поток вектора Е. Для большей наглядности воспользуемся геомет-рической картиной электрического поля (с помощью линий вектора Е) и, дабы упростить рассуждения, будем считать, что густота линий Е равна модулю вектора Е. Тогда число линий, пронизывающих элемен-тарную площадку dS, нормаль n к которой составляет угол α с вектором


11

Е, определяется согласно рис. 1.1 как EdS cosα. Эта величина и есть по-ток dФ вектора Е сквозь площадку dS. В более компактной форме:

dФ = Еn dS = EdS n α E dS

Рис. 1.1

где Еn – проекция вектора Е на нормаль n к площадке dS; dS – вектор, модуль которого равен dS, а направление совпадает с нормалью n к площадке. Заметим, что выбор направления вектора n (а следовательно, и dS) условен, его можно было бы направить и в противоположную сто-рону.

Если имеется некоторая произвольная поверхность S, то поток век-тора Е сквозь нее:

.s∫= SE dФ (1.6)

Эта величина алгебраическая: она зависит не только от конфигура-ции поля Е, но и от выбора направления нормали. В случае замкнутых поверхностей принято нормаль n брать наружу области, охватываемой этими поверхностями, т.е. выбирать внешнюю нормаль, что в дальней-шем будет всегда и подразумеваться.

Хотя здесь речь шла о потоке вектора Е, понятие потока в равной степени относится к любому векторному полю.

Теорема Гаусса. Поток вектора Е сквозь произвольную замкнутую поверхность S зависит только от алгебраической суммы зарядов, охва-тываемых этой поверхностью, и обратно пропорционален ε₀. А именно:

,qвнутр0

1dε

=∫ SE (1.7)

где кружок у интеграла означает, что интегрирование проводится по любой замкнутой поверхности.

Это выражение и составляет суть теоремы Гаусса: поток вектора E сквозь замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов внутри этой поверхности, деленной на ε₀.


12

Доказательство теоремы. Сначала рассмотрим поле одного точечно-го заряда q.

Окружим этот заряд произвольной замкнутой поверхностью S (рис. 1.2) и найдем поток вектора Е сквозь элемент dS:

,qSrqSE Ω==== d

4αcosd

41αcosdddФ

02

0 πεπεsE (1.8)

где dΩ - телесный угол, опирающийся на элемент поверхности dS, с вершиной в точке расположения заряда q. Интегрирование этого выра-жения по всей поверхности S эквивалентно интегрированию по всему телесному углу, т.е. замене dΩ на 4π, и мы получим Ф = q/εο, как и тре-бует формула (1.7).

Заметим, что при более сложной форме замкнутой поверхности углы α могут быть больше π/2, а значит, cos α и dΩ в (1.8) принимают, вообще говоря, как положительные, так и отрицательные значения. Итак, dΩ - величина алгебраическая: если dΩ опирается на внутреннюю сторону поверхности S, то dΩ > 0, если же на внешнюю сторону, то dΩ < 0.

Отсюда, в частности, следует: если заряд q расположен вне замк-нутой поверхности S, то поток вектора Е через нее равен нулю. Для это-го достаточно провести из заряда q коническую поверхность так, чтобы она оказалась касательной поверхности S. Тогда интегрирование выра-жения (1.8) по поверхности S эквивалентно интегрированию по Ω (рис. 1.3): внешняя сторона поверхности S будет видна из точки q под углом Ω > 0, а внутренняя - под углом Ω (оба угла по модулю равны). В сумме получим нуль, и Ф = 0, что также совпадает с утверждением (1.7). На языке линий вектора Е это означает: сколько линий входит в объем, ог-раничивающий поверхность S, столько и выходит.

Теперь обратимся к случаю, когда электрическое поле создается системой точечных зарядов q1, q2 и т.д. В этом случае согласно принци-пу суперпозиции Е = Е1 + Е2 + …, где Е1 - поле, создаваемое зарядом q1, q2 и т. д. Тогда поток вектора Е можно записать так:

∮EdS = ∮(Е₁ + Е₂ + …) dS = ∮E₁dS + ∮E₂dS + … = Ф₁ + Ф₂ + … Согласно предыдущему каждый интеграл в первой части равен q¡/ε₀,

если заряд q¡ находится внутри замкнутой поверхности s, и нулю, если снаружи поверхности S. Поэтому в правой части останется алгебраиче-ская сумма только тех зарядов, которые находятся внутри поверхности S.


13

Ds S α N Q Рис. 1.2 Рис. 1.3

Для завершения доказательства теоремы остается учесть случай, ко-гда заряды распределены неравномерно с объемной плотностью, зави-сящей от координат. В этом случае можно считать, что каждый элемен-тарный объем dV содержит точечный заряд ρdV. Тогда в правой части (1.7) получим:

∫= ,Vqвнутр ρd (1.9)

где интегрирование происходит только по объему, заключенному внут-ри замкнутой поверхности S.

Необходимо обратить внимание на следующее важное обстоятель-ство: в то время как само поле Е зависит от конфигурации всех зарядов, поток вектора Е сквозь произвольную замкнутую поверхность S опре-деляется только алгебраической суммой внутри поверхности S. Это зна-чит, что если передвинуть заряды, то поле Е изменится всюду, в частно-сти и на поверхности S, изменится, вообще говоря, и поток вектора Е через S. Однако, если передвижка зарядов произошла без пересечения поверхности S, поток вектора Е через эту поверхность останется преж-ним, хотя, повторяем, само поле Е может измениться, причем весьма существенно.

1.3. Теорема Гаусса в дифференциальной форме

Замечательное свойство электрического поля, которое выражает со-бой теорема Гаусса, побуждает представить эту теорему в иной форме, расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета.

В отличие от формы (1.7) – ее называют интегральной – мы будем искать дифференциальную форму теоремы Гаусса, в которой устанавли-вается связь между объемной плотностью заряда ρ и изменениями на-пряженности Е в окрестности данной точки пространства.

Ω dΩ

q r

S


14

Для этого представим сначала заряд q в объеме V, охватываемом замкнутой поверхностью S, как qвнутр = <ρ>V, где <ρ> - среднее по объему V значение объемной плотности заряда.

Затем подставим это выражение в уравнение (1.7) и разделим обе части его на V.

В результате получим:

1/V∮ ./ 0ε>=< ρd SE (1.10) Теперь устремим объем V к нулю, стягивая его к интересующий нас

точке поля. Очевидно, при этом <ρ> будет стремиться к значению ρ в данной точке поля, а значит, отношение в левой части уравнения (1.10) будет стремиться к ρ/ε₀. Величину, являющуюся пределом отношения

∮EdS к V при V→0, называют дивергенцией поля Е и обозначают div E. Таким образом, по определению:

Vlimdiv 1

=E ∮EdS. (1.11)

Аналогично определяется дивергенция любого другого векторно-

го поля. Из определения (1.11) следует, что дивергенция является ска-лярной функцией координат. Чтобы получить выражение для диверген-ции поля Е, надо согласно (1.11) взять бесконечно малый объем V, оп-ределить поток вектора Е сквозь замкнутую поверхность, охватываю-щую этот объем, и найти отношение этого потока к объему. Полученное выражение для дивергенции будет зависеть от выбора системы коорди-нат (в разных системах координат оно оказывается разным). Например, в декартовой системе координат

.zy

Ex

Ediv zyx

∂∂

+∂∂

+∂∂

=EE (1.12)

Итак, мы выяснили, что при V→0 в выражении (1.10) его правая

часть стремится к ρ/ε₀, а левая - к div E. Следовательно, дивергенция поля Е связана с плотностью заряда в той же точке уравнением:

div E = ρ/ε₀. (1.13)

Это уравнение и выражает теорему Гаусса в дифференциальной

форме. Написание многих формул и действия с ними значительно уп-


15

рощаются, если ввести векторный дифференциальный оператор ∇ (на-бла). Оператор ∇ в декартовых координатах имеет вид:

,zyx ∂∂

+∂

∂+

∂∂

=∇ kji (1.14)

где і, ј, k – орты осей X, Y, Z. Сам по себе вектор ∇ смысла не имеет. Он приобретает смысл только в сочетании со скалярной или векторной функцией, на которую символически умножается. Так, например, если вектор ∇ умножить скалярно на вектор Е, то получим:

,Ez

Ey

Ex

EEE zyxzzyyxx ∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇+∇+∇=⋅∇ E

а это есть не что иное, как div E, согласно (1.12). Таким образом, дивергенция поля Е может быть записана как div E

или ∇ ∙ Е (в обоих случаях читается как «дивергенция Е»). Мы будем пользоваться вторым, более удобным обозначением. Тогда, например, теорема Гаусса (1.13) будет иметь вид:

∇ ∙ Е = ρ/ε ο . (1.15)

1.4. Циркуляция вектора Е. Потенциал

Теорема о циркуляции вектора Е. Из механики известно, что любое стационарное поле центральных сил является консервативным, т.е. ра-бота сил этого поля не зависит от пути, а зависит только от положения начальной и конечной точки. Именно таким свойством обладает элек-тростатическое поле – поле, образованное системой неподвижных заря-дов. Если в качестве пробного заряда, переносимого из точки 1 заданно-го поля Е в точку 2, взять единственный положительный заряд, то эле-ментарная работа сил поля на перемещении dl равна Edl, а вся работа сил поля на пути от точки 1 до точки 2 определяется как:

∫2

1

d .lE (1.16)

Этот интеграл берется по некоторой линии (пути), поэтому его на-зывают линейным.

Как мы сейчас покажем, из независимости линейного интеграла (1.16) от пути между двумя точками следует, что по произвольному замкнутому пути этот интервал равен нулю. Интеграл (1.16) по замкну-

тому пути называют циркуляцией вектора Е и обозначают ∮. Итак, мы


16

утверждаем, что циркуляция вектора Е в любом электрическом поле равна нулю, т.е.:

∮Edl = 0. (1.17) Это утверждение и называют теоремой о циркуляции вектора Е.

Для доказательства этой теоремы разобьем произвольный замкнутый путь на две части 1а2 и 2в1 (рис. 1.4).

Ясно, что:

( ) ( )

∫∫ =ва

1212

.

С другой стороны, ( ) ( )

∫∫ −=ва

2112

.

Поэтому ( ) ( )( ) ( )

∫∫ ∫∫ =−=+вв аа

1221 1212

,0

что и требовалось доказать.

Рис. 1.4

Поле, обладающее свойством (1.17), называется потенциальным. Значит, любое электростатическое поле является потенциальным.

Потенциал. До сих пор мы рассматривали описание электрического поля с помощью вектора Е. Существует, однако, и другой адекватный способ описания – с помощью потенциала ϕ (заметим сразу, что оба эти способа однозначно соответствуют друг другу). Как мы увидим, второй способ обладает рядом существенных преимуществ.

Тот факт, что линейный интеграл (1.16), представляющий собой ра-боту сил поля при перемещении единичного положительного заряда из точки 1 в точку 2, не зависит от пути между этими точками, позволяет

2 а

1

в


17

утверждать, что в электрическом поле существует некоторая скалярная функция координат ϕ(r), убыль которой:

∫=−2

121 ,dlЕϕϕ (1.18)

где ϕ₁ и ϕ₂ - значения функции ϕ в точках 1 и 2. Определенная таким образом величина ϕ(r) называется потенциалом поля. Из сопоставления выражения (1.18) с выражением для работы сил потенциального поля (которая равна убыли потенциальной энергии частицы в поле) можно сказать, что потенциал – это величина, численно равная потенциальной энергии единичного положительного заряда в данной точке поля.

Потенциалу какой-либо произвольной точки О поля можно условно присвоить любое значение ϕ₀. Тогда потенциалы всех других точек поля определяются согласно (1.18) однозначно. Если заменить ϕ₀ на некото-

рую величину ∆ϕ, то на такую же величину изменятся и потенциалы во всех других точках поля.

Таким образом, потенциал ϕ определяется с точностью до произ-вольной аддитивной постоянной. Значение этой постоянной не играет роли, так как все электрические явления зависят только от напряженно-сти электрического поля. Последняя же определяется, как мы увидим, не самим потенциалом в данной точке поля, а разностью потенциалов в соседних точках поля.

Единицей измерения потенциала является вольт (В). Потенциал поля точечного заряда. Формула (1.18) содержит не

только определение потенциала ϕ, но и способ нахождения этой функ-ции. Для этого достаточно вычислить интеграл ∫Edl по любому пути между двумя точками и представить полученный результат в виде убы-ли некоторой функции, которая и есть ϕ(r). Можно поступить проще. Воспользуемся тем, что формула (1.18) справедлива не только для ко-нечных перемещений, но и для элементарных dl. Тогда согласно этой формуле элементарная убыль потенциала на этом перемещении есть:

− dϕ = Edl. (1.19) Другими словами, если известно поле Е(r), то для нахождения ϕ на-

до представить Edl (путем соответствующих преобразований) как убыль некоторой функции. Эта функция и есть ϕ.

Найдем таким способом потенциал поля неподвижного точечного заряда:

,rq

rq

rq

re

+−=== const

41dd

41d

41d

02

02

0 πεπεπεllE


18

где учтено, что rdl = 1⋅(dl) r, ибо проекция вектора dl на вектор r, а значит, и на r равна приращению модуля вектора r, т.е. dr. Величина, стоящая в круглых скобках под знаком дифференциала, и есть ϕ(r). Так как присутствующая здесь аддитивная константа никакой физической роли не играет, ее обычно опускают, стремясь выражение для ϕ сделать проще. Получаем потенциал поля точечного заряда:

.rq

041πε

ϕ = (1.20)

Отсутствие в этом выражении аддитивной константы означает, что мы условно полагаем потенциал на бесконечности (r→∞) равным нулю.

Потенциал поля системы зарядов. Пусть система состоит из непод-вижных точечных зарядов q1, q2, … Согласно принципу суперпозиции в любой точке поля напряженность Е = Е1 + Е2 + …, где Е1 - напряжен-ность поля заряда q

1 и т.д. Тогда можно записать, используя формулу

(1.19):

Edl = (Е₁ + Е₂ + …)dl = Е₁dl + Е₂dl + … = - dϕ₁- dϕ₂-…=-dϕ,

где ϕ = Σϕ¡, т.е. принцип суперпозиции оказывается справедливым и для потенциала. Таким образом, потенциал системы неподвижных то-чечных зарядов:

,rq

i

i∑=04

1πε

ϕ (1.21)

где r¡ - расстояние от точечного заряда q¡ до интересующей нас точки. В выражении (1.21) произвольная аддивная постоянная также опущена. Это полностью соответствует тому факту, что всякая реальная система зарядов ограничена в пространстве, поэтому ее потенциал на бесконеч-ности можно принять равным нулю.

Если заряды, образующие систему, распределены непрерывно, то, как обычно, мы считаем, что каждый элементарный объем dV содержит «точечный» заряд ρ dV, где ρ - объемная плотность заряда в месте на-хождения объема dV. С учетом этого формуле (1.21) можно придать иной вид:

,rV

∫=dρ

41

0πεϕ (1.22)


19

где интегрирование проводится или по своему пространству, или по той его части, которая содержит заряды. Если заряды расположены только на поверхности S, то:

,rV

∫=dσ

41

0πεϕ (1.23)

где σ - поверхностная плотность заряда; dS – элемент поверхности S. Аналогичное выражение будет и в том случае, когда заряды распреде-лены линейно. Итак, зная распределение зарядов (дискретное, непре-рывное), мы, в принципе можем найти потенциал поля любой системы.

1.5. Связь между потенциалом и вектором Е

Электрическое поле, как известно, полностью описывается вектор-ной функцией Е(r). Зная ее, мы можем найти силу, действующую на ин-тересующий нас заряд в любой точке поля, вычислить работу сил поля при каком угодно перемещении заряда и др. А что дает введение потен-циала? Прежде всего, оказывается что, зная потенциал ϕ(r) данного электрического поля, можно достаточно просто восстановить и само поле Е(r). Рассмотрим этот вопрос более подробно.

Связь между ϕ и Е можно установить с помощью уравнения (1.19). Пусть перемещение dl параллельно оси X, тогда dl = i dx, где i – орт оси X; dx – приращение координаты x. В этом случае:

Edl = Ei dx = Exdx, где Ex – проекция вектора Е на орт i (а не на перемещение dl!). Сопоста-вив последнее выражение с формулой (1.19), получим:

Ex = − ∂ϕ/∂x, (1.24)

где символ частной производной подчеркивает, что функцию ϕ(x, y, z) надо дифференцировать только по x, считая y и z при этом постоянны-ми.

Рассуждая аналогично, можно получить соответствующее выраже-ние для Еy и Еz. А определив Ex, Еy, Еz, легко найти и сам вектор Е:

.zyx

ji

∂∂

+∂∂

+∂∂

−=ϕϕϕE (1.25)

Величина, стоящая в скобках, есть не что иное, как градиент по-тенциала ϕ (grad ϕ или ∇ϕ). Мы будем пользоваться вторым, более удобным обозначением и рассматривать формально ∇ϕ как произведе-ние символьного вектора ∇ на скаляр ϕ. Тогда уравнение (1.25) можно представить в более компактной форме:


20

Е = − ∇ϕ, (1.26) т.е. напряженность Е поля равна градиенту потенциала со знаком ми-нус.

Эквипотенциальные поверхности. Введем понятие эквипотенциаль-ной поверхности – поверхности, во всех точках которой потенциал ϕ имеет одно и то же значение. Убедимся в том, что вектор Е направлен в каждой точке по нормали к эквипотенциальной поверхности в сторону уменьшения потенциала ϕ. В самом деле, из формулы Еl = - ∂ϕ/∂l следу-ет, что проекция вектора Е на любое направление, касательное к экви-потенциальной поверхности в данной точке, равна нулю. А это значит, что вектор Е нормален к данной поверхности. Далее, возьмем переме-щение dl по нормали к поверхности в сторону уменьшения ϕ, тогда ∂ϕ<0, следовательно, Еl >0, т.е. вектор направлен в сторону уменьшения ϕ или в сторону, противоположную вектору ∇ϕ.

Эквипотенциальные поверхности наиболее целесообразно прово-дить так, чтобы разность потенциалов для двух соседних поверхностей была бы одинаковой. Тогда по густоте эквипотенциальных поверхно-стей можно наглядно судить о значении напряженности поля в разных точках. Там, где эти поверхности расположены гуще («круче потенци-альный рельеф»), напряженность поля больше.

Далее, ввиду того что вектор Е всюду нормален к эквипотенциаль-ной поверхности, линии вектора Е ортогональны к этим поверхностям.

О преимуществах потенциала. Ранее было отмечено, что электро-статическое поле исчерпывающим образом характеризуется векторной функцией Е(r). Какая же польза от введения потенциала? Существует несколько весомых причин, убедительно свидетельствующих о том, что потенциал – понятие действительно весьма полезное, и не случайно, что этим понятием широко пользуются не только в физике, но и в технике.

1. Зная потенциал ϕ(r), можно предельно просто вычислить работу сил поля при перемещении точечного заряда q′ из точки 1 в точку 2:

А₁₂ = q′ (ϕ₁ - ϕ₂), (1.27)

где ϕ₁ и ϕ₂ - потенциалы в точках 1 и 2. Значит, искомая работа равна убыли потенциальной энергии заряда q′ в поле при перемещении его из точки 1 в точку 2.

2. Во многих случаях оказывается, что для нахождения напряженно-сти Е электрического поля легче сначала подсчитать потенциал ϕ и за-тем взять градиент от него, нежели вычислять Е непосредственно. Это весьма существенное преимущество потенциала. Действительно, для вычисления ϕ нужно взять один интеграл, а для вычисления Е – три


21

(ведь это вектор). Кроме того, обычно интегралы для определенной ϕ проще, чем для Ex, Еy, Еz.

Сразу же заметим, что это не касается сравнительно большого числа задач с достаточно хорошей симметрией. В этих случаях нахождение поля Е непосредственно или с помощью теоремы Гаусса часто оказыва-ется значительно проще.

Электрический диполь

Поле диполя. Электрический диполь – это система из двух одинако-вых по модулю разноименных точечных зарядов +q и –q, находящихся на некотором расстоянии l друг от друга. Когда говорят о поле диполя, то предполагают сам диполь точечным, т.е. считают расстояния r от ди-поля до интересующих нас точек поля значительно больше l.

Поле диполя обладает осевой симметрией, поэтому картина поля в любой плоскости, проходящей через ось диполя, одна и та же, и вектор Е лежит в этой плоскости.

Найдем сначала потенциал поля диполя, а затем его напряженность. Согласно (1.20) потенциал поля диполя в точке Р (рис. 1.5, а) определя-ется как:

( ) .rr

rrqrq

rq

−+

+−

−+

−=

−=

00 41

41

πεπεϕ

Так как r≫l, то, как видно из рис. 1.5, а, r₋ - r₊ = lcos θ и r₋ - r₊ =

r², где r – расстояние от точки Р до диполя (он точечный!). Учитывая это,

,cos4

1

02r

р θπε

ϕ = (1.28)

где р = ql – электрический момент диполя. Этой величине сопоставляют вектор, направленный от отрицательного заряда к положительному:

p = ql, (1.29)

где q >0 и l – вектор, направленный в ту же сторону, что и р.


22

а) б)

Рис. 1.5

Из формулы (1.18) видно, что поле диполя зависит от его электриче-ского момента р. Как мы увидим далее, и поведение диполя во внешнем поле также зависит от р. Следовательно, р является важной характери-стикой диполя. Следует также обратить внимание на то, что потенциал поля диполя убывает с расстоянием r быстрее, чем потенциал поля то-чечного заряда (1/r² вместо 1/ r). Для нахождения поля диполя следует воспользоваться формулой (Еl = - ∂ϕ/∂l), вычислив с ее помощью проек-ции вектора Е на два взаимно перпендикулярных направления – вдоль ортов r и υ (рис. 1.5, б).

Сила, действующая на диполь. Поместим диполь во внешнее неод-нородное электрическое поле. Пусть Е₊ и Е₋ - напряженности внешнего поля в точках, где расположены положительный и отрицательный заря-ды диполя. Тогда результирующая сила F, действующая на диполь, рав-на:

F = qЕ₊ − qЕ₋ = q (Е₊ − Е₋). Разность Е₊ − Е ₋ есть приращение ΔЕ вектора E на отрезке, равном

длине диполя l.

,l

p∂∂

=ΕF (1.30)

где р = ql – электрический момент диполя. Входящую в это выражение производную принято называть производной вектора по направлению.

Момент сил, действующих на диполь. Рассмотрим, как ведет себя диполь во внешнем электрическом поле в своей системе центра масс –

υ

р

r р α Е

υ

р

r₊ r₋

+q

-q

υ l


23

будет он поворачиваться или нет. Для этого мы должны найти момент внешних сил:

М = [r₊F₊] + [r ₋ F ₋] = [r₊, q Е ₊] - [r ₋, q Е ₋]. M = [pE] (1.31)

Этот момент сил стремится повернуть диполь так, чтобы его элек-трический момент р установился по направлению внешнего поля Е. Та-кое положение диполя является устойчивым.

Энергия диполя в поле. Мы знаем, что энергия точечного заряда q во внешнем поле равна W = qϕ, где ϕ - потенциал поля в точке нахождения заряда q. Диполь – это система из двух зарядов, поэтому его энергия во внешнем поле:

W = − pE. (1.32) Из этой формулы следует, что минимальную энергию диполь имеет

в положении p↑↑Е (положение устойчивого равновесия). При отклоне-нии из этого положения возникает момент внешних сил, возвращающий диполь к положению равновесия.


24

2. ПРОВОДНИК В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ

2.1. Поле в веществе

Микро- и макрополе. Истинное электрическое поле в любом вещест-ве – его называют микрополем – меняется весьма резко как в простран-стве, так и во времени. Оно различно в разных точках атомов и проме-жутках между ними. Чтобы найти напряженность Е истинного поля в некоторой точке в данный момент, нужно было бы сложить напряжен-ности полей всех отдельных заряженных частиц вещества – электронов и ядер. Решение этой задачи, очевидно, является совершенно нереаль-ным. Да и сам результат оказался бы настолько сложным, что его про-сто нельзя было бы использовать. Более того, для решения макроскопи-ческих задач такое поле и вовсе не нужно. Для многих целей достаточно более простое и несравненно более грубое описание, которым мы и бу-дем пользоваться в дальнейшем.

Под электрическим полем Е в веществе – его называют макрополем – мы будем понимать пространственно усредненное микрополе (поле пространственного усреднения, для которого временное усреднение уже не требуется). Это усреднение проводится по так называемому физиче-ски бесконечно малому объему – объему, содержащему большое число атомов, но имеющему размеры во много раз меньше, чем те расстояния, на которых макрополе меняется заметно. Усреднение по таким объемам сглаживает все нерегулярные и быстро меняющиеся вариации микропо-ля на расстояниях порядка атомных, но сохраняет плавные изменения макрополя на макро-скопических расстояниях.

Итак, поле в веществе: Е = Емакро = ⟨Емикро⟩. (2.1)

Влияние вещества на поле. При внесении любого вещества в элек-трическое поле в веществе происходит смещение положительных и от-рицательных зарядов (ядер и электронов), что в свою очередь приводит к частичному разделению этих зарядов. В тех или иных местах вещества появляются некомпенсированные заряды различного знака. Это явление называется электростатической индукцией, а появившиеся в результате разделения заряды – индуцированными зарядами.

Индуцированные заряды создают дополнительное электрическое поле, которое вместе с исходным (внешним) электрическим полем обра-зуют результирующее поле. Зная внешнее поле и распределение инду-


25

цированных зарядов, можно при нахождении результирующего поля уже не обращать внимания на наличие самого вещества – его роль уже учтена с помощью индуцированных зарядов.

Таким образом, результирующее поле при наличии вещества опре-деляется просто как суперпозиция внешнего поля и поля индуцирован-ных зарядов. Однако во многих случаях дело усложняется тем, что мы заранее не знаем, как распределяются в пространстве все эти заряды – задача оказывается далеко не такой простой, как могло бы показаться вначале. Как мы увидим далее, распределение индуцированных зарядов в решающей степени зависит от свойств самого вещества – от его физи-ческой природы и формы тел. С этими вопросами нам и предстоит озна-комиться более подробно.

2.2. Поле внутри и снаружи проводника

Внутри проводника Е = 0. Поместим металлический проводник во внешнее электрическое поле или сообщим ему какой-нибудь заряд. В обоих случаях на все заряды будет действовать электрическое поле. Та-кое перемещение зарядов (ток) будет продолжаться до тех пор (практи-чески это происходит в течение малой доли секунды), пока не устано-вится определенное распределение зарядов, при котором электрическое поле во всех точках внутри проводника обратится в нуль. Таким обра-зом, в статическом случае электрическое поле внутри проводника от-сутствует (Е = 0).

Далее, поскольку в проводнике всюду Е = 0, то плотность избыточ-ных (некомпенсированных) зарядов внутри проводника также всюду равна нулю (ρ = 0). Это легко понять с помощью теоремы Гаусса. Дей-ствительно, так как внутри проводника Е = 0, то и поток вектора Е сквозь любую замкнутую поверхность внутри проводника также равен нулю. А это значит, что внутри проводника избыточных зарядов нет.

Избыточные заряды появляются лишь на поверхности проводника с некоторой плотностью σ, вообще говоря, различной в разных точках его поверхности. Заметим, что избыточный поверхностный заряд находится в очень тонком поверхностном слое (его толщина около одного-двух межатомных расстояний).

Отсутствие поля внутри проводника означает согласно (1.26), что потенциал ϕ в проводнике одинаков во всех его точках, т.е. любой про-водник в электрическом поле представляет собой эквипотенциальную область и его поверхность является эквипотенциальной.

Из того факта, что поверхность проводника эквипотенциальна, сле-дует, что непосредственно у этой поверхности поле Е направлено по нормали к ней в каждой точке. Если бы это было не так, то под действи-


26

ем касательной, составляющей Е, заряды пришли бы в движение по по-верхности проводника, т.е. равновесие зарядов было бы невозможным.

Поле у поверхности проводника. Напряженность электрического по-ля непосредственно у поверхности проводника связана, как мы сейчас увидим, простым соотношением с локальной плотностью заряда на по-верхности проводника. Эту связь можно легко установить с помощью теоремы Гаусса.

Пусть интересующий нас участок поверхности проводника грани-чит с вакуумом. Линии вектора Е перпендикулярны поверхности про-водника, поэтому в качестве замкнутой поверхности возьмем неболь-шой цилиндр, расположив его так, как показано на рис. 2.1. Тогда поток вектора Е через эту поверхность будет равен только потоку через «на-ружный» торец цилиндра (потоки через боковую поверхность и внут-ренний торец равны нулю), и мы имеем Еn ∆S = σ ∆S / ε₀, где Еn – проек-ция вектора Е на внешнюю нормаль n (по отношению к проводнику), ∆S – площадь сечения цилиндра, σ - локальная поверхностная плот-ность заряда на проводнике. Сократив обе части этого равенства на ∆S, получим:

Еn = σ /ε₀. (2.2) dS

Рис. 2.1

Если σ > 0, то и Еn > 0, т.е. вектор Е направлен от поверхности про-водника – совпадает по направлению с нормалью n; если же σ < 0, то Еn < 0 – вектор Е направлен к поверхности проводника.

В связи с соотношением (2.2) может возникнуть ошибочное заклю-чение, что Е вблизи поверхности зависит только от локальной плотно-сти σ заряда. Это не так. Напряженность Е определяется всеми зарядами рассматриваемой системы, как и само значение σ.


27

2.3. Силы, действующие на поверхность проводника

Рассмотрим случай, когда заряженный участок поверхности про-водника граничит с вакуумом. На малый элемент ∆S поверхности про-водника действует сила

∆F = σ ∆S ∙ E₀, (2.3)

где σ ∆S – заряд этого элемента, E₀ - напряженность поля, создаваемого всеми остальными зарядами системы в месте нахождения заряда σ ∆S. Сразу же заметим, что E₀ не равно напряженности Е поля вблизи данно-го элемента поверхности проводника, однако между ними имеется про-стая связь. Найдем ее, т.е. выразим E₀ через Е. Пусть Еσ – напряжен-ность поля, создаваемого зарядом на площадке ∆S в точках, очень близ-ких к этой площадке – здесь она ведет себя как бесконечная равномерно заряженная плоскость. Тогда Еσ = σ / 2ε₀.

Рис. 2.2

Рис.2.2.

Результирующее поле как внутри, так и вне проводника (вблизи площадки ∆S) является суперпозицией полей E₀ и Еσ. По разные сторо-

ны площадки ∆S поле E₀ практически одинаково, поле же Еσ имеет про-тивоположные направления (рис.2.2, где для определенности взято σ > 0). Из условия Е = 0 в проводнике следует, что Еσ = E₀, тогда снаружи проводника у его поверхности Е = Еσ + E₀ = 2E₀. Итак:

E₀ = Е / 2 (2.4)

Е=2E₀

n E₀ Еσ

∆S

E₀ Еσ

Е=0


28

и уравнение (2.3) примет вид:

∆F = ½ σ ∆S ∙ E. (2.5) Разделив обе части этого уравнения на ∆S, получим выражение для

силы, действующей на единицу поверхности проводника: Fед = ½ σ E. (2.6)

Это выражение можно переписать в другой форме, ибо входящие в него величины σ и Е являются взаимно связанными. Действительно, со-гласно (2.2):

,Eед nnF

22

20

0

2 εεσ

== (2.7)

где учтено, что σ = ε₀Еn и Еn² = Е². Величину Fед называют поверх-

ностной плотностью сил. Независимо от знака σ, а значит, и направле-ния Е, сила Fед всегда направлена, как видно из (2.7), наружу проводни-ка, стремясь его растянуть.

1.1. Свойства замкнутой проводящей оболочки

Мы выяснили, что в состоянии равновесия избыточных зарядов внутри проводника нет – вещество внутри проводника электрически нейтрально. А поэтому удаление вещества из некоторого объема внутри проводника (создание замкнутой полости) поля нигде не изменится, т.е. никак не отразится на равновесном расположении зарядов. Это значит, что избыточный заряд распределяется на проводнике с полостью так же, как и на сплошном – по его наружной поверхности.

Таким образом, если в полости нет электрических зарядов, электри-ческое поле в ней равно нулю. Внешние заряды, в частности заряды на наружной поверхности проводника, не создают в полости внутри про-водника никакого электрического поля. Именно на этом основана элек-тростатическая защита – экранирование тел, например измеритель-ных приборов, от влияний внешних электрических полей. Практически сплошной проводник-оболочка может быть заменен достаточно густой металлической сеткой.

Доказать отсутствие электрического поля в пустой полости можно и иначе. Возьмем замкнутую поверхность S, которая охватывает полость и целиком находится в веществе проводника. Так как поле Е всюду в проводнике равно нулю, то и поток вектора Е через S тоже равен нулю. Отсюда, согласно теореме Гаусса, равен нулю и суммарный заряд внут-ри S. Это, правда, не исключает ситуации, показанной на рис. 2.3, когда на поверхности самой полости имеются равные количества положи-


29

тельного и отрицательного зарядов. Такое предположение, однако, за-прещает другая теорема – теорема о циркуляции вектора Е. В самом де-ле, пусть контур Г пересекает полость по одной из линий вектора Е и замыкается в веществе проводника. Ясно, что линейный интеграл век-тора Е вдоль этого контура не равен нулю, чего согласно теореме о цир-куляции быть не может.

Теперь обратимся к случаю, когда полость не пустая, а в ней есть какой-то электрический заряд q (может быть, и не один). Представим себе также, что все внешнее пространство заполнено проводящей сре-дой. Поле в ней при равновесии равно нулю, значит, среда электрически нейтральна и не содержит нигде избыточных зарядов.

Так как всюду в проводнике Е = 0, то равным нулю будет и поток вектора Е сквозь замкнутую поверхность, окружающую полость. По теореме Гаусса это означает, что алгебраическая сумма зарядов внутри этой замкнутой поверхности тоже будет равна нулю. Таким образом, алгебраическая сумма индуцированных зарядов на поверхности полости равна по модулю и противоположна по знаку алгебраической сумме за-рядов внутри этой полости.

При равновесии заряды, индуцированные на поверхности полости, располагаются так, чтобы полностью скомпенсировать снаружи полости поле зарядов этой полости.

Рис. 2.3 Рис. 2.4

Поскольку проводящая среда внутри всюду электрически нейтраль-

на, то она не оказывает никакого влияния на электрическое поле. По-этому, если ее удалить, оставив только проводящую оболочку вокруг полости, от этого поле нигде не изменится и вне оболочки оно останется равным рулю.

+++++

-----

+

++ + + + + + +

+ +

+ + + + + + + + + + + + + +

+

О q

P r


30

Таким образом, поле зарядов, окруженных проводящей оболочкой, и зарядов, индуцированных на поверхности полости (на внутренней по-верхности оболочки), равно нулю во всем внешнем пространстве.

Мы приходим к следующему важному выводу: замкнутая проводя-щая оболочка разделяет все пространство на внутреннюю и внешнюю части, в электрическом отношении совершенно не зависящие друг от друга. Это надо понимать так: после любого перемещения зарядов внутри оболочки никаких изменений поля во внешнем пространстве не произойдет, а значит, распределение зарядов на внешней поверхности оболочки останется прежним. То же относится и к полю внутри полости (если там есть заряды) и к распределению индуцированных на стенках полости зарядов – они также останутся неизменными в результате пе-ремещения зарядов вне оболочки. Все сказанное справедливо, разумеет-ся, только в рамках электростатики.

1.2. Общая задача электростатики. Метод изображений

Очень часто приходится иметь дело с задачами, в которых распре-деление зарядов, их форма и относительное расположение заранее неиз-вестны. Требуется определить потенциал ϕ(r) в любой точке поля меж-ду проводниками. Напомним, что, зная ϕ(r), можно легко восстановить поле Е(r) и по значению Е непосредственно у поверхности проводников найти распределение поверхностных зарядов на них.

Уравнения Пуассона и Лапласа. Найдем дифференциальное уравне-ние, которому должна удовлетворять функция ϕ - потенциал. Для этого подставим в левую часть (1.15) вместо Е его выражение через ϕ, т.е. Е = − ∇ϕ. В результате получим общее дифференциальное уравнение для потенциала – уравнение Пуассона:

∇ ² ϕ = − ρ / ε₀, (2.8)

где ∇² - оператор Лапласа (лапласиан). В декартовых координатах он имеет вид:

,zyх 2

2

2

2

2

22

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇

т. е. представляет собой скалярное произведение ∇⋅∇. Если между проводниками нет зарядов (ρ = 0), то уравнение (2.8)

переходит в более простое – уравнение Лапласа:

∇ ² ϕ = 0. (2.9) Определение потенциала сводится к нахождению функции ϕ, кото-

рая во всем пространстве между проводниками удовлетворяет условиям


31

(2.8) или (2.9), а на поверхностях самих проводников принимает задан-ные значения ϕ₁, ϕ₂ и т.д.

В теории доказывается, что эта задача имеет единственное решение. Это утверждение называют теоремой единственности. С физической точки зрения этот вывод довольно очевиден: если решение не единст-венно, то будет не один потенциальный «рельеф», следовательно, в ка-ждой точке поля Е, вообще говоря, не однозначно – мы пришли к физи-ческому абсурду.

По теореме единственности можно также утверждать, что заряд на поверхности проводника в статическом случае распределяется тоже единственным образом. Действительно, между зарядами на проводнике и электрическим полем вблизи его поверхности имеется однозначная связь (2.2) σ = ε₀ En. Отсюда сразу следует, что единственность поля Е определяет и единственность распределения заряда на поверхности проводника.

Решение уравнений (2.8) и (2.9) в общем случае – задача сложная и кропотливая. Аналитические решения этих уравнений получены лишь для немногих частных случаев. Использование же теоремы единствен-ности весьма облегчает решение ряда электростатических задач. Если решение задачи удовлетворяет уравнению Лапласа (или Пуассона) и граничным условиям, то можно утверждать, что оно является правиль-ным и единственным, каким бы способом (хотя бы путем догадки) мы ни нашли его.

Метод изображений. Это искусственный метод, позволяющий в ря-де случаев (к сожалению, немногих) рассчитать электрическое поле достаточно просто. Рассмотрим идею этого метода на самом простом примере, когда точечный заря q находится около безграничной прово-дящей полости (рис. 2.5, а).

a)

б)

в)

Рис 2.5

q

-q

q q

q’ = - q


32

Идея метода заключается в том, что нужно найти другую задачу, ко-торая решается просто и решение которой или часть его может быть ис-пользована. В нашем случае такой простой задачей является задача с двумя зарядами q и -q. Поле этой системы известно (его эквипотенциал и линии вектора Е показаны на рис. 2.5, б).

Совместим со средой эквипотенциальной поверхности (ее потенци-ал ϕ = 0) проводящую плоскость и уберем заряд –q. Согласно теореме единственности поле в верхнем полупространстве останется прежним. Действительно, на проводящей полости и всюду в бесконечности ϕ = 0, точечный заряд q можно рассматривать как предельный случай малого сферического проводника, радиус которого стремится к нулю, а потен-циал – к бесконечности. Таким образом, в верхнем полупространстве граничные условия для потенциала остались теми же, стало быть, тем же осталось и поле в этой области (рис. 2.5, в). Заметим, что к этому вы-воду можно прийти, исходя из свойств замкнутой проводящей оболоч-ки, поскольку оба полупространства, разделенные проводящей плоско-стью, в электрическом отношении независимы друг от друга, поэтому удаление заряда q никак не скажется на поле в верхнем полупростран-стве, оно останется прежнем. Итак, в рассматриваемом случае поле от-лично от нуля только в верхнем полупространстве, и для вычисления этого поля достаточно ввести фиктивный заряд-изображение q′ = − q, противоположный по знаку заряду q, поместив его по другую сторону проводящей плоскости на таком же расстоянии от нее, что и заряд q. Фиктивный заряд q′ создает в верхнем полупространстве точно такое же поле, как и индуцированные заряды на плоскости. Именно это подразу-мевают, когда говорят, что фиктивный заряд заменяет собой «действие» всех индуцированных зарядов. Надо только иметь в виду, что «дейст-вие» фиктивного заряда распространяется только на то полупространст-во, в котором находится действительный заряд q. В другом полу - про-странстве поле отсутствует.

Резюмируя, можно сказать, что метод изображения по существу ос-нован на подгонке потенциала под граничные условия: мы стараемся найти другую задачу (конфигурацию зарядов), у которой конфигурация поля в интересующей нас части пространства была бы такой же. Если это удается сделать с помощью достаточно простых конфигураций, то метод изображений оказывается весьма эффективным.

1.3. Электроемкость. Конденсаторы


33

Электроемкость уединенного проводника. Рассмотрим какой-либо уединенный проводник, т.е. проводник, удаленный от других проводни-ков, тел и зарядов. Опыт показывает, что между зарядом q такого про-водника и его потенциалом ϕ (потенциал на бесконечности мы услови-лись считать равным нулю) существует прямая пропорциональность: ϕ ∼ q. Следовательно, q/ϕ не зависит от заряда q, для каждого уединенно-го проводника это отношение имеет свое значение. Величину:

С = q/ϕ (2.10) называют электроемкостью уединенного проводника (сокращенно

емкость). Она численно равна заряду, сообщение которого проводнику повышает его потенциал на единицу. Емкость зависит от размеров и формы проводника.

За единицу емкости принимают емкость такого проводника, потен-циал которого изменяется на 1 В при сообщении ему заряда 1 Кл. Эту единицу емкости называют фарадой (Ф).

Фарад – очень большая величина: емкостью 1 Ф обладал бы уеди-ненный шар радиусом 9 млрд. км, что в 1 500 раз больше радиуса Земли (емкость Земли С = 0,7 мФ). На практике чаще всего приходится встре-чаться с емкостями в интервале от 1 мкФ до 1пФ.

Конденсаторы. Если проводник не уединен, то его емкость будет существенно увеличиваться при приближении к нему других тел. Это обусловлено тем, что поле данного проводника вызывает перераспреде-ление зарядов на окружающих телах – появление индуцированных за-рядов.

Пусть заряд проводника q>0. Тогда отрицательные индуцированные заряды оказываются ближе к проводнику, нежели положительные. По-этому потенциал проводника, являющийся алгебраической суммой по-тенциала собственных зарядов и зарядов, индуцированных на других телах, уменьшится при приближении к нему других незаряженных тел. А значит, его емкость увеличится.

Это позволило создать систему проводников, которая обладает ем-костью, значительно большей, чем уединенный проводник, и притом не зависящей от окружающих тел. Такую систему называют конденсато-ром. Простейший конденсатор состоит из двух проводников (обкладок), расположенных на малом расстоянии друг от друга. Чтобы внешние те-ла не оказывали влияния на емкость конденсатора, его обкладки распо-лагают так относительно друг друга, чтобы поле, создаваемое накапли-вающимися на них зарядами, было сосредоточено практически полно-стью внутри конденсатора. Это означает, что линии вектора Е, начинающиеся на одной обкладке, должны заканчиваться на другой, т.е. заряды на обкладках должны быть одинаковыми по модулю и противо-положными по знаку (q и -q).


34

Основной характеристикой конденсатора является его емкость. В отличие от емкости уединенного проводника под емкостью конденсато-ра понимают отношение заряда конденсатора к разности потенциалов между обкладками (эту разность называют напряжением):

С = q / U. (2.11) Под зарядом q конденсатора имеют в виду заряд, расположенный на

положительно заряженной обкладке. Естественно, емкость конденсато-ра измеряют также в фарадах.

Емкость конденсатора зависит от его геометрии (размеров и формы обкладок), от зазора между ними и от заполняющей конденсатор среды. Найдем выражения для емкости некоторых конденсаторов, считая, что между обкладками находится вакуум.

Емкость плоского конденсатора. Этот конденсатор состоит из двух параллельных пластин, разделенных зазором шириной h. Если заряд конденсатора q, площадь одной пластины – S, то после подстановки в (2.11) получим:

С = ε₀ S / h . (2.12) Этот расчет был проведен без учета искажения поля у краев пластин

(без учета краев эффектов). Емкость реального плоского конденсатора определяется полученным выражением тем точнее, чем меньше зазор h по сравнению с линейными размерами пластин.

Емкость сферического конденсатора. Пусть радиусы внутренней и внешней обкладок конденсатора равны соответственно a и в. Если заряд конденсатора q, то напряженность поля между обкладками определяет-ся по теореме Гаусса:

.rqЕ 2r

0πε41

=

Напряжение на конденсаторе:

.rEU r

−== ∫ в

1a1

41d

0

в

а πε

Отсюда легко видеть, что емкость сферического конденсатора:

.4C 0 а-вав

=πε= (2.13)

Полезно убедиться, что в случае малого зазора между обкладками, т.е. при условии в – а ≪ a (или в), полученное выражение переходит в (2.12) – выражение для емкости плоского конденсатора.

Емкость цилиндрического конденсатора. Рассуждая так же, как и в случае со сферическим конденсатором, получим


35

( ) .ln2

C 0

в/аlπε

= (2.14)

где l – длина конденсатора; а и в – радиусы внутренней и наружной обкладок. Здесь так же, как и в предыдущем случае, при малом зазоре между обкладками полученное выражение переходит в (1.12).

2. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ДИЭЛЕКТРИКЕ


36

3.1. Поляризация диэлектрика Диэлектрик. Диэлектриками (или изоляторами) называют вещества,

практически не проводящие электрического поля. Это значит, что в ди-электриках, в отличие, например, от проводников, нет зарядов, способ-ных перемещаться на значительные расстояния, создавая ток.

При внесении даже нейтрального диэлектрика во внешнее электри-ческое поле обнаруживаются существенные изменения как в поле, так и в самом диэлектрике; последнее следует хотя бы из того, что на диэлек-трик начинает действовать сила, увеличивается емкость конденсатора при заполнении его диэлектриком и др.

Чтобы знать, почему это происходит, надо, прежде всего, учесть, что диэлектрики состоят либо из нейтральных молекул, либо из заря-женных ионов, находящихся в узлах кристаллической решетки (ионные кристаллы, например, типа NaCl). Сами же молекулы могут быть поляр-ными и неполярными. У полярных молекул центр «тяжести» отрица-тельного заряда сдвинут относительно центра тяжести положительных зарядов, в результате чего они обладают собственным дипольным мо-ментом р. Неполярные же молекулы собственным дипольным момен-том не обладают: у них центры тяжести положительного и отрицатель-ного зарядов совпадают.

Поляризация. Под действием внешнего электрического поля проис-ходит поляризация диэлектрика. Это явление заключается в следующем. Если диэлектрик состоит из неполярных молекул, то в пределах каждой молекулы происходит смещение зарядов – положительных по полю, от-рицательных против поля. Если же диэлектрик состоит из полярных мо-лекул, то при отсутствии внешнего поля их дипольные моменты ориен-тированы абсолютно хаотично (из-за теплового движения). Под дейст-вием же внешнего поля дипольные моменты ориентируются преимущественно в направлении внешнего поля. Наконец, в диэлектри-ческих кристаллах типа NaCl при включении внешнего поля все поло-жительные ионы смещаются по полю, отрицательные – против поля*

Таким образом, механизм поляризации связан с конкретным строе-нием диэлектрика. Однако для дальнейшего существенно лишь то, что независимо от механизма поляризации в этом процессе все положи-тельные заряды смещаются по полю, а отрицательные – против поля. Заметим, что смещения зарядов в обычных условиях весьма малы даже по сравнению с размерами молекул. Это связано с тем, что напряжен-

.

* Существуют ионные кристаллы, поляризованные даже при отсутствии внешнего по-

ля. Этим же свойством обладают диэлектрики, называемые электретами (они подобны постоянным магнитам).


37

ность внешнего поля, действующего на диэлектрик, значительно мень-ше напряженности внутри электрических полей в молекулах.

Объемные и поверхностные связанные заряды. В результате поля-ризации на поверхности диэлектрика, а также, вообще говоря, и в его объеме появляются нескомпенсированные заряды (особенно объемные). Обратимся к следующей модели. Пусть имеется пластина из нейтраль-ного неоднородного диэлектрика (рис 3.1, а), с ростом координаты x. Обозначим ρ′₊ и ρ′₋ - модули объемной плотности положительного и отрицательного зарядов в веществе (эти заряды связаны с ядрами и электронами).

А)

б)

в)

Рис. 3.1

При отсутствии внешнего поля в каждой точке диэлектрика ρ′₊ =

ρ′₋, ибо диэлектрик электрически нейтрален, но в силу неоднородности

диэлектрика как ρ′₊, так и ρ′₋, увеличивается с ростом х (рис. 3.1, б). Из этого рисунка видно, что если внешнего поля нет, то оба распределения в точности накладываются друг на друга (распределение ρ′₊(х) показано

сплошной линией, а распределение ρ′₋(х) – пунктирной). Включение внешнего поля Е приведет к смещению положительных

зарядов по полю, отрицательных – против поля, и оба распределения сдвинутся друг относительно друга (рис. 3.1, в). В итоге появятся не-скомпенсированные заряды на поверхности диэлектрика и в его объеме (на нашем рисунке в объеме появился отрицательный нескомпенсиро-ванный заряд). Заметим, что изменение направления поля на обратное приведет к изменению знака всех этих зарядов. Нетрудно также видеть,

Е = 0

х

ρ′±

- - - - -

+

+ + + + +

ρ′± ρ

′₋ ρ′₊

х


38

что в случае пластины из однородного диэлектрика каждое распределе-ние ρ′₊(х) и ρ′₋(х) имело бы П-образную форму, и при их относитель-ном смещении в поле Е возникли бы только поверхностные нескомпен-сированные заряды.

Нескомпенсированные заряды, появляющиеся в результате поляри-зации диэлектрика, называют поляризационными, или связанными. По-следним термином хотят подчеркнуть, что свобода перемещения таких зарядов ограничена. Они могут смещаться лишь внутри электрически нейтральных молекул. Связанные заряды мы будем отмечать штрихом (q′, σ′, ρ′).

Итак, при поляризации диэлектрика в нем могут возникать в общем случае и объемные и поверхностные связанные заряды.

Заряды, которые не входят в состав молекул диэлектрика, называют сторонними*

Поле в диэлектрике. Полем Е в диэлектрике мы будем называть ве-личину, являющуюся суперпозицией поля Е₀ сторонних зарядов поля Е′ связанных зарядов:

. Эти заряды могут находиться как внутри, так и вне ди-электрика.

Е = Е₀ + Е′, (3.1)

где Е₀ и Е′ представляют собой макрополя, т.е. усреднение по физи-чески бесконечно малому объему микрополя соответственно сторонних и связанных зарядов. Ясно, что определенное таким образом поле Е в диэлектрике является также макрополем.

3.2. Поляризованность Р Определение. Для количественного описания поляризации диэлек-

трика естественно взять дипольный момент единицы объема. Если внешнее поле или диэлектрик (или то и другое) неоднородны, степень поляризации оказывается различной в разных точках диэлектрика. Что-бы охарактеризовать поляризацию в данной точке, мысленно выделяют физически бесконечно малый объем ∆V, содержащий эту точку, затем находят векторную сумму дипольных моментов молекул в этом объеме и составляют отношение:

.V ∑∆

= iPP 1 (3.2)

* Сторонние заряды часто называют свободными, но последнее название для ряда

случаев является неудачным: сторонние заряды бывают и несвободными.


39

Определенный таким образом вектор Р называют поляризованно-стью диэлектрика. Этот вектор равен дипольному моменту единицы объема вещества.

Есть еще два полезных представления вектора Р. Пусть в объеме ∆V содержится ∆N диполей. Умножим и разделим правую часть выражения (3.2) на ∆N. Тогда можно записать:

Р = n <p>, (3.3) где n = ∆N/∆V – концентрация молекул (их число в единице объема);

<p> = (∑рi) / ∆N – средний дипольный момент одной молекулы. Другое выражение для Р соответствует модели диэлектрика как со-

вокупности положительной и отрицательной «жидкостей». Выделим очень малый объем ∆V внутри диэлектрика. При возникновении поля-ризации входящий в этот объем положительный заряд ρ’₊∆V сместится относительного заряда на величину l, и эти заряды приобретут диполь-ный момент ∆р = ρ’₊∆V·l. Разделив обе части этого равенства на ∆V, по-лучим выражение для дипольного момента единицы объема, т.е. вектор Р:

Р = ρ’₊l. (3.4) Единицей поляризованности Р является кулон на квадратный метр

(Кл/м²). Связь между Р и Е. Как показывает опыт, для широкого класса ди-

электриков и обширного круга явлений поляризованность Р зависит ли-нейно от напряженности Е поля в диэлектрике.

Если диэлектрик изолированный и Е не слишком велико, то:

Р = χε₀Е, (3.5) где χ - безразмерная величина, называемая диэлектрической вос-

приимчивостью вещества. Эта величина не зависит от Е, она характери-зует свойства самого диэлектрика. Всегда χ > 0.

В дальнейшем, если специально не оговорено, мы будем иметь в ви-ду только изолированные диэлектрики, для которых справедливо соот-ношение (3.5).

Существуют, однако, и диэлектрики, для которых (3.5) не примени-мо. Это некоторые ионные кристаллы и электреты, а также сегнето-электрики. У сегнетоэлектриков связь между Р и Е линейная и зависит, кроме того, от предыстории диэлектрика, т.е. от предшествующих зна-чений Е (это явление называют гистерезисом).

3.3. Свойства поля вектора Р


40

Теорема Гаусса для поля вектора Р. Как мы сейчас покажем, поле вектора Р обладает следующим замечательным свойством. Оказывается, поток вектора Р сквозь произвольную замкнутую поверхность S равен взятому с обратным знаком избыточному связанному заряду диэлектри-ка в объеме, охватываемом поверхностью S, т.е.:

∮P dS .'q внутр−= (3.6) Это уравнение и выражает теорему Гаусса для вектора Р. Доказательство теоремы. Пусть произвольная замкнутая поверх-

ность S охватывает часть диэлектрика (рис. 3.2, а), где диэлектрик за-штрихован). При включении внешнего электрического поля диэлектрик поляризуется – положительные заряды сместятся относительно отрица-тельных. Найдем заряд, который проходит через элемент dS замкнутой поверхности S наружу (рис. 3.2, б).

а)

б)

Рис. 3.2

Пусть l₊ и l₋ − векторы, характеризующие смещения положительно-го и отрицательного связанных зарядов в результате поляризации. Тогда ясно, что через элемент поверхности dS наружу поверхности S выйдет положительный заряд ρ′₊l₊dS cosα, заключенный во «внутренней» части косого цилиндра (рис. 3.2, б). Кроме того, через элемент dS войдет внутрь поверхности S отрицательный заряд ρ′₋l₋dS cosα, заключенный во «внешней» части косого цилиндра. Но мы знаем, что перенос отри-цательного заряда в некотором направлении эквивалентен переносу по-ложительного заряда в противоположном направлении. Учитывая это, можно записать суммарный заряд, выходящий наружу поверхности S через элемент dS, как:

р n

α

l₋ l₊ S dS


41

dq′ = ρ′₊ (l₊ + l₋)dS cos α, = ρ′₊ldS cos α , (3.7)

где l = l₊ + l₋– расстояние, на которое сместились относительно друг друга положительные и отрицательные связанные заряды диэлектрика при поляризации.

Далее, согласно (3.4): dq′ = PndS = P dS, (3.8) Проинтегрировав это выражение по всей замкнутой поверхности S,

мы найдем весь заряд, который вышел при поляризации из объема, ох-

ватываемого поверхностью S, он равен ∮ Р dS. В результате внутри по-верхности S останется некоторый избыточный связанный заряд q′.

Ясно, что внешний заряд должен быть равен с обратным знаком ос-тавшемуся внутри поверхности S избыточному связанному заряду, и мы приходим к (3.6).

Дифференциальная форма уравнения (3.6). В дифференциальной форме уравнение (3.6) – теорема Гаусса для поля вектора Р – имеет сле-дующий вид:

∇•Р = − ρ′, (3.9) Дивергенция поля вектора Р равна с обратным знаком объемной

плотности избыточного связанного заряда в этой точке. Это уравнение можно получить из (3.6) точно таким же путем, как и аналогичное урав-нение для вектора Е. Достаточно в проводимых там рассуждениях за-менить Е на Р и ρ на ρ′.

Когда в диэлектрике ρ′ = 0? Как мы сейчас покажем, объемная плотность избыточных связанных зарядов внутри диэлектрика будет равна нулю при одновременном выполнении двух условий:1) диэлек-трик должен быть однородным; 2) внутри него не должно быть сторон-них зарядов (ρ = 0).

Действительно, из основного свойства поля вектора Р (3.6) следует, что в случае однородного диэлектрика можно, заменив Р на χε₀Е со-гласно (3.5), вынести χ из-под знака интеграла и записать:

χ∮ '.q−=SE d0ε Оставшийся интеграл есть не что иное, как алгебраическая сумма

всех зарядов – сторонних и связанных – внутри рассматриваемой замк-нутой поверхности S, т.е. q + q′. Поэтому χ(q + q′) = - q′, откуда:

.q'qχ

χ+

−=1

(3.10)


42

Это соотношение между избыточным связанным зарядом q′ и сто-ронним зарядом q справедливо для любого объема внутри диэлектрика, в частности и для физически бесконечно малого, когда

q′ →dq′ = ρ′ dV и q→dq = ρdV. Тогда (3.10) после сокращения на dV примет вид:

.1

' ρχ+

χ−=ρ (3.11)

Отсюда следует, что в однородном диэлектрике ρ′ = 0, если ρ = 0. Таким образом, если в произвольное электрическое поле поместить

однородный изотропный диэлектрик какой угодно формы, можно быть уверенным, что при его поляризации появятся только поверхностные связанные заряды, которые во всех точках такого диэлектрика будут равны нулю.

Граничные условия для вектора Р. Рассмотрим поведение вектора Р на границе раздела двух однородных изотропных диэлектриков. Мы только что установили, что у таких диэлектриков объемного избыточно-го связанного заряда нет и в результате поляризации появляется только поверхностный заряд.

Рис. 3.3

Найдем связь между поляризованностью Р и поверхностной плот-ностью σ’ связанных зарядов на границе раздела диэлектриков. Для это-го воспользуемся свойством (3.6) поля вектора Р.

Возьмем в качестве замкнутой поверхности небольшой плоский ци-линдр, торцы которого расположены по разные стороны границы разде-ла (рис. 3.3). Высоту цилиндра будем предполагать ничтожно малой, а

n

2 1

n ∆S n’


43

площадь ∆S каждого торца настолько малой, что во всех точках каждого торца цилиндра вектор Р был бы одинаков (это же касается и поверхно-стной плотности σ’ связанного заряда). Пусть n – общая нормаль к гра-нице раздела в данном месте. Условимся всегда проводить вектор n от диэлектрика 1 к диэлектрику 2.

Пренебрегая потоком вектора Р сквозь боковую поверхность вы-бранного нами цилиндра, запишем согласно (3.6):

Р₂n∆S + P₁n∆S = σ′∆S , где Р₂n и P₁n - проекции вектора Р в диэлектрике 2 на нормаль n и в

диэлектрике 1 на нормаль n’ (рис. 3.3). Учитывая, что проекция вектора Р на нормаль n’ равна с обратным знаком проекции этого вектора на противоположную (общую) нормаль n, т.е. Р₁n’ = - P₁n, перепишем пре-дыдущее уравнение после сокращения на ∆S в следующем виде:

Р₂n - P₁n = - σ′. (3.12) Это значит, что на границе раздела диэлектриков нормальная со-

ставляющая вектора Р испытывает разрыв, величина которого зависит от σ′. В частности, если среда 2 вакуум, то Р₂n = 0, и условие (3.12) при-обретает более простой вид:

σ′ = Pn, (3.13) где Pn - проекция вектора Р на внешнюю нормаль к поверхности

данного диэлектрика. Знак проекции Pn определяет и знак поверхност-ного связанного заряда σ′ в данном месте. Последнюю формулу можно представить в другом виде, а именно в соответствии с формулой (3.5) можно записать:

σ′ = χε₀Еn, (3.14)

где Еn – проекция вектора Е (внутри диэлектрика вблизи от его по-верхности) на внешнюю нормаль. Здесь также знак Еn определяет знак σ′.

Замечание о поле вектора Р. Соотношения (3.6) и (3.13) нередко дают основание ошибочно думать, что поле вектора Р зависит от свя-занных зарядов. На самом деле это не так.

Поле вектора Р, как и поле Е, зависит от всех зарядов, как связан-ных, так и сторонних, об этом говорит хотя бы уже тот факт, что векто-ры Р и Е связаны друг с другом соотношением Р = χε₀Е. Связанные за-ряды определяют не поле вектора Р, а лишь поток этого вектора сквозь замкнутую поверхность S. Более того, этот поток определяется не всеми


44

связанными зарядами, а только теми, которые охватывают поверхность S.

3.4. Вектор D Теорема Гаусса для поля вектора D. Поскольку источниками поля Е

являются все электрические заряды – сторонние и связанные, теорему Гаусса для поля Е можно записать так:

∮ ( ) ,'qq внутр+=SE d0ε (3.15) где q и q′ – сторонние и связанные заряды, охватываемые поверхно-

стью S. Появление связанных зарядов q′ усложняет дело, и формула (3.15)

оказывается малополезной для нахождения поля Е в диэлектрике даже при «достаточно хорошей» симметрии.

Действительно, эта формула выражает свойства неизвестного поля Е через связанные заряды q′, которые в свою очередь определяются не-известным полем Е.

Это затруднение, однако, можно обойти, если выразить заряд q′ че-рез поток вектора Р по формуле (3.6).Тогда выражение (3.15) можно преобразовать к такому виду:

∮ .qвнутр=+ SPE )d( 0ε (3.16) Величину, стоящую под интегралом в скобках, обозначают буквой

D. Итак, мы нашли вспомогательный вектор D:

D = ε₀E + Р , (3.17) поток которого сквозь произвольную замкнутую поверхность равен

алгебраической сумме сторонних зарядов, охватываемых этой поверх-ностью:

∮ .qвнутр=SDd (3.18) Это утверждение называют теоремой Гаусса для поля вектора D. Заметим, что вектор D представляет собой сумму двух совершенно

различных величин: ε₀E и Р. Поэтому он действительно вспомогатель-ный вектор, не имеющий какого-либо глубокого физического смысла. Однако свойство поля вектора D, выражаемое уравнением (3.18), оправ-


45

дывает введение этого вектора: во многих случаях он значительно уп-рощает введение поля в диэлектриках∗

Соотношения (3.17) и (3.18) справедливы для любого диэлектрика, как изотропного, так и анизотропного.

.

Как видно из выражения (3.17), размерность вектора D та же, что и вектора Р. Единицей величины D служит кулон на квадратный метр (Кл/м²).

Дифференциальная форма уравнения (3.18): ∇ ⋅ D = ρ, (3.19)

т.е. дивергенция поля вектора D равна объемной плотности сторон-него заряда в той же точке.

Это уравнение можно получить из (3.18) тем же способом, как это было проделано в случае поля Е. Достаточно в проводимых там рассу-ждениях заменить Е на D и учесть лишь сторонние заряды.

В тех точках, где дивергенция D положительна, мы имеем источни-ки поля D (ρ>0), а в тех точках, где она отрицательна, - стоки поля D (ρ<0).

Связь между векторами D и Е. В случае изотропных диэлектриков поляризованность Р = χε₀Е. Подставив это выражение в (3.17), получим

D = (χ + 1)ε₀Е, или:

D = ε₀εЕ , (3.20) где ε - диэлектрическая проницаемость вещества:

ε = (χ + 1) . (3.21) Диэлектрическая проницаемость ε (как и χ) является основной элек-

трической характеристикой диэлектрика. Для всех веществ ε >1, для ва-куума ε = 1. Значения ε зависят от природы диэлектрика и колеблются от величин, весьма мало отличающихся от единицы (газы) до несколь-ких тысяч (у некоторых керамик). Большое значение ε имеет вода (ε = 81).

Из формулы (3.20) видно, что в изотропных диэлектриках вектор D коллинеарен вектору Е. В анизотропных же диэлектриках эти векторы, вообще говоря, не коллинеарны.

Поле вектора D наглядно можно изобразить с помощью линий век-тора D, направление и густота которых определяются точно так же, как и для линий вектора Е. Линии вектора Е могут начинаться как на сто-ронних, так и на связанных зарядах; мы говорим, что источниками и

∗ Величину D часто называют электрическим смещением или электрической индукци-

ей, однако мы не будем пользоваться этими терминами, чтобы лишний раз подчеркнуть вспомогательный характер вектора D.


46

стоками поля Е являются любые заряды. Источниками же и стоками вектора D являются только сторонние заряды: только на них могут на-чинаться и заканчиваться линии вектора D. Через области поля, где на-ходятся связанные заряды, линии вектора D проходят не прерываясь.

Замечание о поле вектора D. Поле вектора D зависит, вообще гово-ря, как от сторонних, так и от связанных зарядов (как и поле вектора Е). Об этом говорит уже соотношение D=ε₀εЕ. Однако в некоторых случаях поле вектора D определяется только сторонними зарядами. Именно для таких случаев вектор D является особенно полезным. Вместе с тем это дает повод довольно часто ошибочно думать, что поле D якобы зависит всегда только от сторонних зарядов и неверно трактовать законы (3.18) и (3.19). Эти законы выражают только определенное свойство вектора D, само же поле этого вектора они не определяют.

3.5. Условия на границе Рассмотрим поведение векторов Е и D сначала на границе раздела

двух однородных изотропных диэлектриков. Пусть для большей общно-сти на границе раздела этих диэлектриков находится поверхностный d сторонний заряд. Искомые условия нетрудно получить с помощью двух теорем: теоремы о циркуляции вектора Е и теоремы Гаусса для вектора D:

∮ Еdl=0, ∮ Ddl=q .внутр Условие для вектора Е. Пусть поле вблизи границы раздела в ди-

электрике 1 равно Е₁, а диэлектрике 2 – Е₂. Возьмем небольшой вытя-нутый прямоугольный контур, ориентировав его так, как показано на рис. 3.4. Стороны контура, параллельные границе раздела, должны иметь такую длину, чтобы в ее пределах поле Е в каждом диэлектрике можно было считать одинаковым, а «высота» контура должна быть пре-небрежимо малой. Тогда согласно теореме о циркуляции вектора Е:

Е₂τl + E₁τ′i = 0, где проекции вектора Е взяты на направление контура, указанное на

рис 3.4 стрелками. Если на нижнем участке контура проекцию вектора Е взять не на

орт τ′, а на общий орт τ, то Е₁τ = - E₁τ′ и из предыдущего уравнения сле-дует, что:

Е₂τ = E₁τ’ (3.22) т.е. тангенциальная составляющая вектора Е оказывается одинако-

вой по обе стороны границы разделения (не претерпевает скачка).


47

Условие для вектора D. Возьмем очень малой высоты цилиндр, рас-положив его на границе раздела двух диэлектриков (рис. 3.5). Сечение цилиндра должно быть таким, чтобы в пределах каждого его торца век-тор D был одинаков. Тогда согласно теореме Гаусса можно получить уравнение:

D₂n – D₁n = σ. (3.23)

Рис. 3.4

Рис. 3.5

Из этого соотношения видно, что нормальная составляющая вектора

D, вообще говоря, претерпевает скачок при переходе границы раздела. Однако, если сторонние заряды на границе раздела отсутствуют (σ = 0), то:

D₂n = D₁n , (3.24) в этом случае нормальные составляющие вектора D скачка не испы-

тывают, они оказываются одинаковыми по разные стороны границы раздела.

Таким образом, если на границе раздела двух однородных изотроп-ных диэлектриков сторонних зарядов нет, то при переходе этой границы составляющие Еτ и Dn изменяются непрерывно, без скачка. Составляю-щие же Еn и Dτ претерпевают скачок.

Преломление линий Е и D. Полученные нами условия для состав-ляющих векторов Е и D на границе раздела двух диэлектриков означа-ют, как мы сейчас увидим, что линии этих векторов испытывают на

l τ 2 τ 1 τ’

n

2 1

n ∆S n’


48

этой границе излом, преломляются (рис. 3.6). Найдем соотношение ме-жду углами α₁ и α₂.

Рис. 3.6

Если сторонних зарядов на границе раздела нет, то из рис. З.6 сле-дует:

tg α₂

tg α₁

Е₂τ /Е₂n

E₁τ /E₁n

Отсюда с учетом предыдущих условий получаем закон преломления линий Е, а значит, и линий D:

tg α₂

tg α₁

₂

₁

. (3.25)

Это означает, что в диэлектрике с большим значением ε линии Е и D будут составлять больший угол с нормалью к границе раздела (на рис. 3.6 ε₂>ε₁).

Условие на границе проводник – диэлектрик. Если среда 1 - провод-ник, а 2 – диэлектрик (см. рис. 3.5), то из формулы (3.23) следует, что:

Dn = σ , (3.26) где n – внешняя нормаль по отношению к проводнику (двойка в ин-

дексе здесь опущена, поскольку она не существенна в данном случае). Убедимся в справедливости формулы (3.26). В состоянии равновесия

Е₂τ Е₂n α₂ Е₂

E₁ α₁ E₁n

E


49

электрическое поле внутри диэлектрика Е = 0, значит, и поляризован-ность Р = 0. А это, в свою очередь, означает согласно (3.17), что и век-тор D = 0. Внутри проводника, т.е. в обозначениях формулы (3.23) D₁ =

0 и D₁n = 0. Остается D₂n = σ. Связанный заряд у поверхности проводника. Если к заряженному

участку поверхности проводника прилегает однородный диэлектрик, то на границе этого диэлектрика с проводником выступают связанные за-ряды некоторой плотности σ′ (напомним, что для однородного диэлек-трика объемная плотность связанных зарядов ρ′ = 0). Применим теперь теорему Гаусса к вектору Е – аналогично тому, как это было сделано при выводе формулы (2.2). Имея в виду, что на границе раздела провод-ника с диэлектриком есть как сторонние, так и связанные заряды (σ и σ′), придем к следующему выражению: Еn = (σ + σ′) /ε₀. С другой сторо-

ны, согласно (3.26) Еn = Dn/εε₀. Из этих двух уравнений находим: σ/ε = σ + σ′, откуда:

.1' σε−ε

−=σ (3.27)

Видно, что поверхностная плотность σ′ связанного заряда в диэлек-трике однозначно связана с поверхностной плотностью σ стороннего заряда на проводнике, причем знаки этих зарядов противоположны.

3.6. Поле в однородном диэлектрике Ранее было отмечено, что определение результирующего поля Е в

веществе сопряжено с большими трудностями, поскольку мы не знаем заранее, как распределяются индуцированные заряды в веществе. Ясно только, что распределение этих зарядов зависит от природы и формы вещества, а также от конфигурации внешнего поля Е₀. Поэтому в об-щем случае решение вопроса о результирующем поле Е в диэлектрике наталкивается на серьезные трудности: определение макрополя Е’ свя-занных зарядов в каждом конкретном случае представляет собой, вооб-ще говоря, сложную самостоятельную задачу – универсальной формы для нахождения Е′, к сожалению, нет. Исключение составляет случай, когда все пространство, где имеется поле Е₀, заполнено однородным изотропным диэлектриком. Рассмотрим этот случай более подробно. Представим себе заряженный проводник (или проводники) в вакууме – обычно сторонние заряды располагаются на проводниках. Как мы уже знаем, в состоянии равновесия поле внутри проводника Е = 0, это при определенном и единственном распределении поверхностного заряда σ.


50

Пусть в окружающем проводник пространстве создано при этом поле Е₀. Теперь заполним все пространство, где есть поле, однородным ди-электриком. В таком диэлектрике вследствие его поляризации появятся только поверхностные связанные заряды σ′ – на границе с проводником, причем заряды σ′ однозначно связаны со сторонними зарядами σ на по-верхности проводника согласно (3.27). Внутри же проводника поле по-прежнему будет отсутствовать (Е = 0). Это значит, что распределение поверхностных зарядов (сторонних σ + связанных σ′) на границе разде-ла проводника будет подобно прежнему распределению сторонних за-рядов σ, и конфигурация результирующего поля Е в диэлектрике оста-нется той же, что и при отсутствии диэлектрика. Изменится только зна-чение поля в каждой точке. Согласно теореме Гаусса:

σ + σ′ = σ / ε. (3.28) Но если заряды, создающие электрическое поле, всюду на границе

раздела уменьшились в ε раз, значит, и само поле Е тоже стало всюду меньше поля Е₀ во столько же раз:

Е = Е₀/ε. (3.29)

Умножив обе части этого равенства на εε₀, получим:

D = D₀. (3.30) Поле вектора D в рассматриваемом случае не меняется. Формула (3.29) и (3.30) оказывается справедлива и в общем случае,

когда однородный диэлектрик целиком заполняет объем между эквипо-тенциальными поверхностями поля Е₀ сторонних зарядов (или внешне-

го поля). И здесь внутри диэлектрика Е = Е₀/ε и D = D₀. В указанных случаях напряженность Е поля связанных зарядов находится в простой связи с поляризованностью Р диэлектрика, а именно:

Е’ = - Р/ε₀. (3.31) В других случаях, как уже было отмечено, дело обстоит значительно

сложнее, и формулы (3.29) – (3.31) становятся несправедливыми. Следствия. Итак, если однородный диэлектрик заполняет все про-

странство, занимаемое полем, то напряженность Е поля будет в ε раз меньше напряженности Е₀ поля тех же сторонних зарядов при отсутст-вии диэлектрика. Отсюда следует, что потенциал ϕ во всех точках уменьшается в ε раз:

ϕ = ϕ₀/ε, (3.32)


51

где ϕ₀ - разность потенциалов в вакууме без диэлектрика. Это же относится и к разности потенциалов:

U = U₀/ε, (3.33)

где U₀ - разность потенциалов в вакууме без диэлектрика. В простейшем случае, когда однородный диэлектрик заполняет все

пространство между обкладками конденсатора, разность потенциалов U между его обкладками будет в ε раз меньше, чем при отсутствии ди-электрика (разумеется, при том же значении заряда q на обкладках). А раз так, то емкость конденсатора (С = q/U) при заполнении его диэлек-триком увеличится в ε раз:

С’ = εС, (3.34) где С – емкость конденсатора без диэлектрика. Следует обратить

внимание на то, что эта формула справедлива при заполнении всего пространства между обкладками конденсатора и без учета краевых эф-фектов.


52

4. ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ 4.1. Электрическая энергия системы зарядов Энергетический подход к взаимодействию. Энергетический подход

к взаимодействию электрических зарядов является, как мы увидим, весьма плодотворным по своим практическим применениям, а кроме то-го, открывает возможность по-иному взглянуть и на само электрическое поле как физическую реальность.

Прежде всего, мы выясним, как можно прийти к понятию об энер-гии взаимодействия системы зарядов.

1. Сначала рассмотрим систему из двух зарядов 1 и 2. Найдем алгеб-раическую сумму элементарных работ сил F₁ и F₂, с которыми эти за-ряды взаимодействуют. Пусть в некоторой К-системе отсчета за время dt заряды совершили перемещение dl₁ и dl₂. Тогда соответствующая ра-бота этих сил:

δА₁‚₂ = F₁ dl₁ + F₂ dl₂. Учитывая, что F₂ = - F₁ (по третьему закону Ньютона), перепишем

предыдущее выражение:

δА₁‚₂ = F₁ (dl₁ - dl₂). Величина в скобках – это перемещение заряда 1 относительно заря-

да 2. Точнее, это есть перемещение заряда 1 в К’-системе отсчета, жест-ко связанной с зарядом 2 и перемещающейся вместе с ним поступатель-но по отношению к исходной К-системе.

Действительно, перемещение dl₁ заряда 1 в К-системе может быть

представлено как перемещение dl₂ К’-системы плюс перемещение dl₁’

заряда 1 относительно этой К’-системы: dl₁ = dl₂ +dl₁’. Отсюда dl₁ - dl₂

=dl₁’ и

δА₁‚₂ = F₁ dl₁′. Итак, оказывается, что сумма элементарных работ в произвольной

К-системе отсчета всегда равна элементарной работе, которую соверша-ет сила, действующая на один заряд, в системе отсчета, где другой заряд покоится. Иначе говоря, работа δА₁‚₂ не зависит от выбора исходной К-системы отсчета.

Сила F₁, действующая на заряд 1 со стороны заряда 2, консерватив-ная (как сила центральная). Поэтому работа данной силы на перемеще-


53

нии dl₁’ может быть представлена как убыль потенциальной энергии взаимодействия рассматриваемой пары зарядов:

δА₁‚₂ = - dW₁₂, где W₁₂ - величина, зависящая только от расстояния между этими

зарядами. 2. Теперь перейдем к системе из трех точечных зарядов (полученный

для этого случая результат легко будет обобщить на систему из произ-вольного числа зарядов). Работа, которую совершают все силы взаимо-действия при элементарных перемещениях всех зарядов, может быть представлена как сумма работ всех трех пар взаимодействий, т.е. δА=δА₁‚₂+δА₁‚₃+δА₂‚₃. Но для каждой пары взаимодействий, как толь-

ко что было показано, δАi‚k = - dW ik, поэтому:

δА = - d(W₁₂ + W₁₃ + W₂₃) = - dW, где W – энергия взаимодействия данной системы зарядов:

W = W₁₂ + W₁₃ + W₂₃. Каждое слагаемое этой суммы зависит от расстояния между соот-

ветствующими зарядами, поэтому энергия W данной системы зарядов есть функция ее конфигурации.

Подобные рассуждения, очевидно, справедливы и для системы из любого числа зарядов. Значит, можно утверждать, что каждой конфигу-рации произвольной системы зарядов присуще свое значение энергии W и работа всех сил взаимодействия при изменении этой конфигурации равна энергии W:

δА = - dW. (4.1) Энергия взаимодействия. Найдем выражение для энергии W. Снача-

ла снова рассмотрим систему из трех точечных зарядов, для которой мы показали, что W = W₁₂ + W₁₃ + W₂₃. Преобразуем эту сумму следующим образом. Представим каждое слагаемое Wik в симметричном виде:

Wik=½(Wik+Wki), поскольку Wik = Wki. Тогда:

W = ½(W₁₂+W₂₁+W₁₃+W₃₁+W₂₃+W₃₂). Сгруппируем члены с одинаковыми первыми индексами:

W = ½[(W₁₂+ W₁₃)+(W₂₁+ W₂₃)+(W₃₁+W₃₂)]. Каждая сумма в круглых скобках – это энергия Wi взаимодействия

i-го заряда с остальными зарядами. Поэтому последнее выражение можно переписать так:


54

Обобщение полученного выражения на систему из произ-

вольного числа зарядов очевидно, ибо ясно, что проведенные рассужде-ния совершенно не зависят от числа зарядов, составляющих систему. Итак, энергия взаимодействия системы точечных зарядов:

(4.2)

Имея в виду, что Wi = qiϕi, где qi – i-й заряд системы; ϕi – потенци-ал, создаваемый всеми остальными зарядами системы, получим оконча-тельное выражение для энергии взаимодействия системы точечных за-рядов:

(4.3) Полная энергия взаимодействия. Если заряды распределены нерав-

номерно, то, разлагая систему зарядов на совокупность элементарных зарядов dq = ρdV и переходя

от суммирования в (4.3) к интегрированию, получаем:

(4.4)

где ϕ - потенциал, создаваемый всеми зарядами системы в элементе объемом dV. Аналогичное выражение можно записать для распределе-ния зарядов, например, по поверхности; для этого достаточно в формуле (4.4) заменить ρ на σ и dV на dS.

Можно ошибочно подумать (и это приводит к недоразумениям), что выражение (4.4) – это только видоизмененное выражение (4.3), соответ-ствующее замене представления о точечных зарядах представлением о

Рис. 4.1

( ) .WWWWW ∑=

=++=3

1ii321 2

12

1

.WW ∑= i21

∫= ,dVW ρϕ21

.qW ii21 ϕ∑=

q q q q


55

непрерывно распределенном заряде. В действительности это не так: оба выражения отличаются по своему содержанию. Происхождение этого различия – в разном смысле потенциала ϕ, входящего в оба выражения.

4.2. Энергия заряженного проводника и конденсатора Энергия уединенного проводника. Пусть проводник имеет заряд q и

потенциал ϕ. Поскольку значение ϕ во всех точках, где имеется заряд, одинаково, ϕ можно вынести из-под знака интеграла в формуле (4.4). Тогда оставшийся интеграл есть не что иное, как заряд q на проводнике, и:

(4.5) Эти три выражения написаны с учетом того, что С = q/ϕ. Энергия конденсатора. Пусть q и ϕ₊ - заряд и потенциал положи-

тельно заряженной обкладки конденсатора. Согласно формуле (4.4) ин-теграл можно разбить на две части – для одной и другой обкладок.

Тогда:

W = ½(q₊ϕ₊ + q₋ϕ₋). Так как q₋ = q₊, то:

W = ½q₊(ϕ₊ + ϕ₋) = ½qU,

где q = q₊ - заряд конденсатора, U – разность потенциалов на его об-кладках. Приняв во внимание, что С = q/U, получим следующее выра-жение для энергии конденсатора:

.qCUqUW222

22

=== (4.6)

Здесь надо заметить, что эти формулы определяют полную энергию взаимодействия: не только энергию взаимодействия зарядов одной об-кладки с зарядами другой, но и энергию взаимодействия зарядов каж-дой обкладки.

А если есть диэлектрик? Мы сейчас убедимся, что формулы (4.5) и (4.6) справедливы и при наличии диэлектрика. С этой целью рассмот-рим процесс зарядки конденсатора как перенос заряда малыми порция-ми dq’ с одной обкладки на другую.

Элементарная работа, совершенная нами при этом против сил поля, запишется как:

.C

qCqW222

22

===ϕϕ


56

δА = U’dq’ = (q’/C) dq’, где U’ – разность потенциалов между обкладками в момент, когда

переносится очередная порция заряда dq’. Проинтегрировав это выражение по q’ от 0 до q, получим:

А = q²/2C, (4.7) что совпадает с выражением для полной энергии конденсатора. Зна-

чит, совершаемая нами работа против сил электрического поля целиком идет на создание энергии W заряженного конденсатора. Кроме того, по-лученное выражение для работы А справедливо и в том случае, когда между обкладками конденсатора имеется произвольный диэлектрик.

Этим самым мы доказали справедливость формул (4.6) и при нали-чии диэлектрика.

Все сказанное относится, очевидно, и к формулам (4.5). 4.3. Энергия электрического поля О локализации энергии. Формула (4.4) определяет электрическую

энергию W любой системы через заряды и потенциалы. Но, оказывается, энергию W можно выразить также и через величину, характеризующую само электрическое поле, - через напряженность Е.

Убедимся в этом сначала на простейшем примере плоского конден-сатора, пренебрегая искажением поля у краев пластин (краевым эффек-том).

Подстановка в формулу W = CU²/2 выражения С = εε₀S/h дает:

.ShhU

hSUCUW

20

20

2

222

===

εεεε

Поскольку U/h = Е и Sh = V (объем между обкладками конденсато-

ра), то:

W = ½ε₀εΕ²V. (4.8) Полученная формула справедлива для однородного поля, запол-

няющего объем V. В общей теории доказывается, что энергию W можно выразить через

Е (в случае, если диэлектрик изотропный) по формуле:

.VVEW d2

d2

20 ∫∫ ==

EDεε (4.9)

Подынтегральное выражение в этом уравнении имеет смысл энер-гии, заключенной в объеме dV. Это подводит нас к весьма важной и плодотворной физической идее о локализации энергии в самом поле.


57

Данное предположение нашло опытное подтверждение в области пере-менных во времени полей. Только там встречаются явления, которые можно истолковать на основе идеи о локализации энергии в поле. Именно переменные поля могут существовать независимо от возбудив-ших их электрических зарядов и распространяться в пространстве в ви-де электромагнитных волн. И опыт показывает, что электромагнитные волны переносят энергию – уже это заставляет нас признать, что носи-телем энергии является само поле.

Из последних двух формул следует, что электрическая энергия рас-пределена в пространстве с объемной плотностью:

.E22

20 ED

==εεϖ (4.10)

Заметим, что эта формула справедлива только в случае изотропного диэлектрика, для которого выполняется соотношение Р = χε₀Е. Для анизотропных диэлектриков дело обстоит сложнее.

Работа поля при поляризации диэлектрика. Анализируя формулу (4.10) для объемной плотности энергии, мы замечаем, что при одном и том же значении Е величина ϖ при наличии диэлектрика оказывается в ε раз больше, чем при отсутствии диэлектрика. На первый взгляд это кажется странным: ведь напряженность поля в обоих случаях мы под-держиваем одной и той же. Как мы сейчас увидим, все дело в том, что при создании поля в диэлектрике оно совершает дополнительную рабо-ту, связанную с поляризацией. И под энергией поля в диэлектрике сле-дует понимать всю энергию, которую нужно затратить на возбуждение электрического поля, а она складывается из собственной электрической энергии и той самой дополнительной работы, которая совершается при поляризации диэлектрика.

Чтобы в этом убедиться, подставим в (4.10) вместо D величину ε₀Е + Р, тогда:

.E22

20 EP

+=εϖ (4.11)

Первое слагаемое здесь совпадает с плотностью энергии поля Е в вакууме. Остается проверить, что «дополнительная» энергия ЕР/2 свя-зана с поляризацией диэлектрика.

Подсчитаем работу, которую совершает поле при поляризации еди-ницы объема диэлектрика, т.е. при смещении зарядов ρ′ + и ρ′ - соответ-ственно по направлению и против направления поля – при возрастании напряженности от Е до Е + dE.

dl- l- l+ dl+


58

Рис. 4.2 Пренебрегая членами второго порядка малости, запишем:

δА = ρ′ + Edl+ + ρ′ - Edl- = ρ′ + dl⋅Е, где dl = dl+ - dl- - дополнительное смещение положительных заря-

дов относительно отрицательных. Согласно (3.4): δА = Е dР. (4.12)

Проведя несложные преобразования, получим, что вся работа на поляризацию единицы объема диэлектрика равна:

А = ЕР/2, (4.13) что совпадает со вторым слагаемым формулы (4.11). Таким образом, объемная плотность энергии ϖ = ED/2 включает в

себя собственную энергию поля и энергию ЕР/2, связанную с поляриза-цией вещества.

4.4. Система двух заряженных тел Представим себе систему из двух заряженных тел в вакууме. Пусть

одно тело создает в окружающем пространстве поле Е₁, а другое – поле

Е₂. Результирующее поле Е = Е₁+Е₂, квадрат этой величины:

Е² = Е²₁+Е²₂+2 Е₁Е₂. Поэтому полная энергия W данной системы согласно (4.9) равна

сумме трех интегралов:

,VVEVEW dd2

d2 0

220

210

21EE∫∫∫ ++= εεε (4.14)

что совпадает с W = W₁ + W₂ + W₁₂ и раскрывает полевой смысл входящих в нее слагаемых. Первые два интеграла (4.14) представляют собой собственную энергию первого и второго заряженных тел (W₁ и

W₂), последний интеграл – энергию их взаимодействия (W₁₂). Отметим следующие важные обстоятельства в связи с формулой

(4.14): 1.Собственная энергия каждого заряженного тела – величина суще-

ственно положительная.

l = l+ - l-


59

Положительной является всегда и полная энергия (4.9) – это сразу видно из того, что под интегралом находятся существенно положитель-ные величины. Энергия же взаимодействия может быть как положи-тельной, так и отрицательной.

2. При всех возможных перемещениях заряженных тел, не изме-няющих конфигурации зарядов на каждом теле, собственная энергия тел остается полной, и поэтому ее можно считать аддитивной постоян-ной в выражении для полной энергии W. В этих случаях изменения W определяются всецело только изменениями взаимной энергии W₁₂. В частности, именно так ведет себя энергия системы двух точечных заря-дов при изменении расстояния между ними.

3. В отличие от вектора Е энергия электрического поля – величина не аддитивная, т.е. энергия поля Е, являющаяся суммой Е₁ и Е₂, вообще говоря, не равна сумме энергий обоих полей из-за взаимной энергии W₁₂. В частности, при возрастании всюду Е в n раз энергия поля увели-

чивается в n² раз. 4.5. Силы при наличии диэлектрика Электризация. Опыт показывает, что на диэлектрик в электриче-

ском поле действуют силы (их иногда называют пондеромоторными). Эти силы возникают и в тех случаях, когда диэлектрик в целом не заря-жен. Причиной их возникновения является в конечном счете действие неоднородного электрического поля на дипольные молекулы поляризо-ванного диэлектрика (как известно, на диполи в неоднородном электри-ческом поле действует сила, направленная в сторону возрастания дан-ного поля). Причем эти силы обусловлены неоднородностью не только макрополя, но и микрополя, создаваемого в основном ближайшими мо-лекулами поляризованного диэлектрика.

Под действием указанных электрических сил поляризованный ди-электрик деформируется. Это явление называется электрострикцией. Вследствие электрострикции в диэлектрике возникают механические напряжения.

Все это приводит к тому, что на проводник, находящийся в поляри-зованном диэлектрике, действует не только электрическая сила, зави-сящая от зарядов на проводнике, но и дополнительная механическая си-ла со стороны диэлектрика.

В общем случае влияние диэлектрика на результирующую силу, ис-пытываемую проводником, не может быть учтено никакими простыми соотношениями, и задача вычисления сил с одновременным исследова-нием механизма их возникновения, как правило, оказывается весьма сложной. Однако во многих случаях эти силы можно вычислить доста-


60

точно просто без детального анализа их происхождения – с помощью закона сохранения энергии.

Энергетический метод определения сил. Этот метод является наи-более общим. Он позволяет, отвлекаясь от причин возникновения сил, автоматически учитывать все силовые взаимодействия (электрические и механические) и поэтому приводит к правильному результату.

Покажем, в чем суть энергетического метода расчета сил. Наиболее просто обстоит дело в случае, когда заряженные проводники отключены от источников напряжения.

В этом случае заряды на проводниках остаются постоянными, и мы можем утверждать, что работа А всех внутренних сил системы при мед-ленных перемещениях проводников и диэлектриков совершается цели-ком за счет убыли электрической энергии W системы (или ее поля). Здесь предполагается, что при указанных перемещениях не происходит преобразование электрической энергии в другие формы, или, точнее, считается, что такие преобразования пренебрежительно малы. Таким образом, для бесконечно малых перемещений можно записать:

δА = - dWq, (4.15) где символ q подчеркивает, что убыль энергии системы должна

быть вычислена при постоянных зарядах на проводниках. Уравнение (4.15) является исходным для определения сил, дейст-

вующих на проводники в электрическом поле. Делается это, например, так. Пусть нас интересует сила, действующая на данное тело (провод-ник или диэлектрик). Совершим бесконечно малое поступательное пе-ремещение dx этого тела в интересующем нас направлении X. Тогда ра-бота искомой силы F на перемещение dx есть δА = Fхdx, где Fх – про-екция силы F на положительное направление оси Х.

После подстановки последнего выражения для δА в (4.15) и деления на dx получим:

Fх = - dW/dxq. (4.16) Следует обратить внимание вот на что. Сила, как известно, зависит

только от положения тел и распределения зарядов в данный момент. Она не может зависеть от того, как будет развиваться энергетический процесс в том случае, если система придет в движение под действием сил. А это значит, что для величины Fх по формуле (4.16) нет надобно-сти подбирать такой режим, при котором обязательно все заряды про-водников остались бы постоянными (q = const).

Надо просто найти приращение dW при условии, что q = const, а это – чисто математическая операция.


61

Заметим, что если перемещение проводить при постоянном потен-циале на проводниках, то соответствующий расчет приводит к другой формуле для силы: Fх = - ∂W/∂xϕ.

Однако – и это важно – результат расчета Fх по этой формуле или по (4.16) оказывается одинаковым, как и должно быть. Поэтому мы ог-раничимся в дальнейшем использованием только формулы (4.16) и бу-дем принимать ее для любых условий, включая и такие, где при малых перемещениях q ≠ const. Нас это не должно смущать: произвольную ∂W/∂x мы в подобных случаях будем вычислять при q = const.

Силы в жидком диэлектрике. Сила взаимодействия обкладок плос-кого конденсатора в жидком диэлектрике в ε раз меньше, чем в вакууме (где ε = 1). Этот результат, как показывает опыт, можно обобщить: при заполнении всего пространства, где есть электрическое поле, жидким или газообразным диэлектриком, силы взаимодействия между заряжен-ными проводниками (при неизменных зарядах на них) уменьшаются в ε раз:

F = F₀/ε. (4.17)

Отсюда следует, что два точечных заряда q₁ и q₂, находящиеся на расстоянии r друг от друга внутри безграничного жидкого или газооб-разного диэлектрика, взаимодействуют с силой F (4.18), т.е. тоже в ε раз меньше, чем в вакууме.

Эта формула выражает закон Кулона для точечных зарядов в безгра-ничном диэлектрике.

Следует обратить особое внимание на то, что в последнем законе под точечными подразумеваются сторонние заряды, сосредоточенные на макроскопических телах, размеры которых малы по сравнению с рас-стояниями между ними:

.4

1221

0 rqq

Fεπε

= (4.18)

Таким образом, закон (4.18) в отличие от закона Кулона в вакууме имеет весьма ограниченную область применения: диэлектрик должен быть однородным, безграничным, обязательно жидким или газообраз-ным, а взаимодействующие тела – точечными в макроскопическом смысле.

Интересно, что в однородном жидком или газообразном диэлектри-ке, заполняющем все пространство, где есть поле, как напряженность Е, так и сила F, действующая на точечный заряд q, в ε раз меньше Е₀ и F₀ при отсутствии диэлектрика. А это значит, что сила F, действующая на


62

заряд q, определяется в этом случае такой же формулой, как и в вакуу-ме:

F = qE , (4.19) где Е - напряженность поля в диэлектрике в том месте, куда поме-

щают сторонний заряд q. Только в этом случае по силе F формула (4.19) позволяет определить поле Е в диэлектрике.

Следует обратить внимание, что на сам сторонний заряд – он сосре-доточен на каком-то небольшом теле – будет действовать другое поле – не то, что в самом диэлектрике. И тем не менее формула (4.19) дает, как это ни удивительно, верный результат.

Поверхностная плотность силы. Речь пойдет о силе, действующей на единицу поверхности заряженного проводника в жидком или газооб-разном диэлектрике. Рассмотрим с этой целью плоский конденсатор в жидком диэлектрике.

Пусть конденсатор заряжен и отключен от источника напряжения - чтобы заряд конденсатора и поле Е внутри него не менялось при раз-двигании обкладок.

Энергия конденсатора – это энергия поля внутри него. Согласно (4.16) сила, действующая на верхнюю обкладку:

Fх = - ∂W/∂xq = - ½ EDS. откуда поверхностная плотность силы:

.Fед 2ED

= (4.20)

Мы получили интересный и важный результат, имеющий общий ха-рактер (в жидком или газообразном диэлектрике). Оказывается, поверх-ностная плотность силы, действующей на проводник, равна объемной плотности электрической энергии поверхности. Направлена эта сила всегда по нормали к поверхности, причем наружу проводника (стремясь его растянуть) независимо от знака поверхностного заряда.


63

5. ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК 5.1. Плотность тока. Уравнение непрерывности Электрический ток. В этой главе мы ограничимся рассмотрением

тока проводимости в проводящей среде, главным образом в металлах. Электрический ток, как известно, представляет собой перенос зарядов через ту или иную поверхность S (например, через сечение проводника).

Носителями тока в проводящей среде могут быть электроны (в ме-таллах), либо ионы (в электролитах), либо другие частицы. При отсут-ствии электрического поля носители тока совершают хаотические дви-жения и через любую воображаемую поверхность S проходит в обе сто-роны в среднем одинаковое число носителей того и другого знака, так что ток через поверхность S равен нулю. При включении же электриче-ского поля на хаотическое движение носителей накладывается упорядо-ченное движение с некоторой средней скоростью u и через поверхность S появляется ток. Таким образом, электрический ток – это, по существу, упорядоченный перенос электрических зарядов.

Количественной мерой электрического тока служит сила тока I, т.е. заряд, переносимый сквозь рассматриваемую поверхность S в единицу времени:

I = dQ / dt. (5.1) Единицей силы тока является ампер (А). Плотность тока. Электрический ток может быть распределен по

поверхности, через которую он протекает, неравномерно. Поэтому для более детальной характеристики тока вводят вектор плотности тока j. Модуль этого вектора численно равен отношению силы тока dI через элементарную площадку, расположенную в данной точке перпендику-лярно направлению движения носителей, к ее площади dS⊥:j = dI/dS⊥. За направление вектора j принимают направление вектора скорости u упо-рядоченного движения положительных носителей (или направление, противоположное направлению вектора скорости упорядоченного дви-жения отрицательных носителей). Если носителями являются как поло-жительные, так и отрицательные заряды, то плотность тока определяет-ся формулой:

j = ρ₊u₊ + ρ₋u₋, (5.2)

где ρ₊ и ρ₋ - объемные плотности положительного и отрицательного

зарядов-носителей; u₊ и u₋ - скорости их упорядоченного движения. В

проводниках же, где носителями являются только электроны (ρ₋< 0 и u₊ = 0), плотности тока:


64

j = ρ₋u₋. (5.3) Поле вектора j можно изобразить графически с помощью линий то-

ка (линий вектора j), которые проходят так же, как и линии вектора Е. Зная вектор плотности тока в каждой точке интересующей нас по-

верхности S, можно найти и силу тока через эту поверхность как поток вектора j:

I = ∫ j dS. (5.4) Сила тока I является величиной скалярной и алгебраической. Ее

знак, как видно из формулы (5.4), определяется, кроме всего прочего, выбором направления нормали в каждой точке поверхности S, т.е. вы-бором направления векторов dS. При изменении направления всех век-торов dS на противоположные величина I меняет знак.

Уравнение непрерывности. Представим себе в некоторой проводя-щей среде, где течет ток, замкнутую поверхность S. Для замкнутых по-верхностей векторы нормалей, а следовательно, и векторы dS принято

брать наружу, поэтому интеграл ∮j dS дает заряд, выходящий в единицу времени наружу из объема V, охватываемого поверхностью S. В силу закона сохранения заряда этот интеграл равен убыли заряда в единицу времени внутри объема V:

∮ .tq

ddd −=Sj (5.5)

Это соотношение называют уравнением непрерывности. Оно явля-ется, по существу, выражением закона сохранения электрического заря-да.

В случае стационарного (постоянного) тока распределение зарядов в пространстве должно быть неизменным, т.е. в правой части (5.5) dq / dt = 0. Следовательно, для постоянного тока:

∮ 0d =Sj , (5.6) иначе говоря, линии вектора j в этом случае нигде не начинаются и

нигде не заканчиваются. Мы говорим, что в случае постоянного тока поле вектора j не имеет источников.

Дифференциальная форма уравнения непрерывности. Преобразуем последние два выражения к дифференциальной форме. Для этого пред-ставим заряд q как ∫ ρ dV и правую часть (5.5). Получим:

∮ .Vt

d-d∂∂

=ρSj


65

Дальнейшее следует проделать так же, как это было сделано для по-тока вектора Е. В результате получим, что дивергенция вектора j в не-которой точке равна убыли плотности заряда в единицу времени в той же точке.

∇ ⋅ j = − ∂ρ/∂t. (5.7) Отсюда следует условие стационарности (когда ∂ρ/∂t = 0):

∇ ⋅ j = 0. (5.8) Оно означает, что в случае постоянного тока поле вектора j не име-

ет источников. 5.2. Закон Ома для однородного проводника Закон Ома, открытый экспериментально, гласит: сила тока, про-

текающего по однородному проводнику, пропорциональна разности потенциалов на его концах (напряжению U):

I = U/R, (5.9)

где R – электрическое сопротивление проводника. Единицей электрического сопротивления служит ом (Ом). Сопротивление R зависит от формы и размеров проводника, от его

материала и температуры, а также – это следует помнить – от конфигу-рации (распределения) тока по проводнику. В случае провода смысл со-противления не вызывает сомнений. В более общем случае объемного распределения тока уже нельзя говорить о сопротивлении, пока не ука-заны или расположение подводящих к интересующему нас проводнику проводов, или конфигурация тока. В простейшем случае однородного цилиндрического проводника сопротивление выражается формулой:

,S

R lρ−= (5.10)

где l – длина проводника; S – площадь его поперечного сечения; ρ - удельное электрическое сопротивление. Последнее зависит от материа-ла проводника и его температуры. Выражают ρ в ом-метрах (Ом⋅м). Значения удельного электрического сопротивления для наиболее хоро-ших проводников (медь, алюминий) составляют при комнатной темпе-ратуре несколько единиц на 10⁻⁸ Ом⋅м.

Закон Ома в дифференциальной форме. Найдем связь между плот-ностью тока j и полем Е в той же точке проводящей среды. Ограничим-


66

ся случаем изотропного проводника, в котором направления векторов j и Е совпадают.

Выделим мысленно в окрестности некоторой точки проводящей среды элементарный цилиндрический объем с образующими, парал-лельными вектору j, а значит, и вектору Е. Если поперечное сечение цилиндра dS, а его длина dl, то на основании (5.9) и (5.10) можно запи-сать для такого элементарного цилиндра:

./lldSd

dEdSjρ

=

После соответствующих сокращений получим (уже в векторном ви-де):

,EEj σρ

==1

(5.11)

где σ = 1/ρ - удельная электропроводимость среды. Единицу, об-ратную ому, называют сименсом (См), поэтому единицей σ является сименс на метр (См/м).

Соотношение (5.11) и выражает закон Ома в дифференциальной форме. Оно не содержит дифференциалов (производных), а свое назва-ние получило потому, что в нем устанавливается связь между величи-нами, относящимися к одной и той же точке проводника. Иначе говоря, соотношение (5.11) выражает локальный закон Ома.

Способы вычисления сопротивления R. Существует несколько таких способов, и все они в конечном счете основаны на использовании соот-ношений (5.9) – (5.10). Целесообразность применения того или иного способа в каждом случае зависит от конкретной постановки задачи и от характера ее симметрии.

О заряде внутри проводника с током. Если ток постоянный, то из-быточный заряд внутри однородного проводника всюду равен нулю. В самом деле, для постоянного тока справедливо уравнение (5.6). Пере-пишем его с учетом закона (5.11) в виде:

∮ 0,d =SEσ где интеграл взят по произвольной замкнутой поверхности S внутри

проводника. Для однородного проводника величину σ можно вынести из-под интеграла:

σ∮ 0.d =SE (5.12)


67

Оставшийся интеграл, согласно теореме Гаусса, пропорционален алгебраической сумме зарядов внутри замкнутой поверхности S, т.е. пропорционален избыточному заряду внутри этой поверхности. Но из последнего равенства сразу видно, что этот интеграл равен нулю (ибо σ ≠ 0), а значит, равен нулю и избыточный заряд. В силу произвольности поверхности S мы заключаем, что избыточный заряд в этих условиях всюду внутри проводника равен нулю.

Избыточный заряд может появиться только на поверхности одно-родного проводника, в местах соприкосновения с другими проводника-ми, а также там, где проводник имеет неоднородности.

Электрическое поле проводника с током. Итак, при протекании тока на поверхности проводника (область неоднородности) выступает избы-точный заряд, а это означает, согласно (2.2), что снаружи проводника имеется нормальная составляющая вектора Е. Далее, из непрерывности тангенциальной составляющей вектора Е мы приходим к выводу о на-личии и тангенциальной составляющей этого вектора вблизи поверхно-сти проводника. Таким образом, вектор Е вблизи поверхности провод-ника составляет (при наличии тока) некоторый неравный нулю угол α (рис 5.1); при отсутствии тока α = 0.

Рис. 5.1 Если токи стационарны, то распределение электрических зарядов в

проводящей среде (вообще говоря, неоднородной) не меняется во вре-мени, хотя и происходит движение зарядов: в каждой точке на место уходящих зарядов непрерывно поступают новые. Эти движущиеся за-ряды создают такое же кулоновское поле, что и неподвижные заряды той же конфигурации. Стало быть, электрическое поле – поле потенци-альное.

Вместе с тем, электрическое поле в случае стационарных токов су-щественно отличается от электрического – кулоновского поля непод-вижных зарядов. Последнее внутри проводников при равновесии заря-дов равно нулю. Электрическое поле у стационарных токов есть также кулоновское поле, однако заряды, его возбуждающие, находятся в дви-жении. Поэтому поле Е у стационарных токов существует и внутри проводников с током.

Еn Е α Еτ I


68

5.3. Обобщенный закон Ома Сторонние силы. Если бы все действующие на носители силы сво-

дились к силам электростатического поля, то под действием этих сил положительные носители перемещались бы из мест с большим потен-циалом к местам с меньшим потенциалом, а отрицательные носители двигались бы в обратном направлении. Это вело бы к выравниванию потенциалов, в результате все соединенные между собой проводники приобрели бы одинаковый потенциал и ток прекратится. Иными слова-ми, при наличии лишь кулоновских сил стационарное поле должно быть полем статическим.

Чтобы этого не произошло, в цепи постоянного тока наряду с участ-ками, где положительные носители тока движутся в сторону уменьше-ния потенциала ϕ, должны иметься участки, на которых перенос поло-жительных носителей происходит в сторону возрастания ϕ, т.е. против сил электрического поля. Перенос носителей на этих участках возможен лишь с помощью сил не электрического происхождения. Это так назы-ваемые сторонние силы.

Таким образом, для поддержания постоянного тока необходимы сторонние силы, действующие либо на отдельных участках цепи, либо во всей цепи. Физическая природа сторонних сил может быть различ-ной. Они могут быть обусловлены, например, химической и физической неоднородностью проводника – такие силы возникают при соприкосно-вении разнородных проводников (гальванические элементы, аккумуля-торы) или проводников различной температуры (термоэлементы) и др.

Обобщенный закон Ома. Для количественной характеристики сто-ронних сил вводят понятие поля сторонних сил с напряженностью Е∗. Этот вектор численно равен сторонней силе, действующей на единич-ный положительный заряд.

Теперь обратимся к плотности тока. Если под действием электриче-ского поля Е в проводнике возникает ток плотности j=σЕ, то, очевидно, что под совместным действием поля Е и поля сторонних Е∗ сил плот-ность тока:

j = σ (Е + Е∗ ). (5.13) Это уравнение обобщает закон (5.11) на случай неоднородных уча-

стков проводящей среды. Оно выражает обобщенный закон Ома в ло-кальной форме.

Закон Ома для неоднородного участка цепи. Неоднородным назы-вают участок цепи, на котором действуют сторонние силы.

Рассмотрим частный, но практически важный случай, когда элек-трический ток течет вдоль тонких проводов. В этом случае направление


69

тока будет совпадать с направлением оси провода и плотность тока j может считаться одинаковой во всех точках сечения провода.

Разделим обе части уравнения (5.13) на σ, полученное выражение умножим скалярно на элемент оси провода dl, взятый по направлению от сечения 1 к сечению 2 (его мы примем за положительное), и затем проинтегрируем по длине провода от сечения 1 до сечения 2:

.lElElj *ddd 2

1

2

1

2

1∫ ∫∫ +=

σ (5.14)

Преобразуем подынтегральное выражение у первого интеграла: за-меним σ на 1/ρ и j dl на jl dl, где jl - проекция вектора j на направление вектора dl. Далее учтем, что jl - величина алгебраическая; она зависит от того, как направлен вектор j по отношению к dl: если jdl, то jl>0, если же jdl, то jl<0. И последнее: заменим jl на I/S, где I – одинаково во всех сечениях цепи, эту величину можно вынести за знак интеграла.

В результате получим:

.SlI ∫∫ =

2

1

2

1

dd ρσ

lj (5.15)

Выражение ρ dl/dS определяет не что иное, как сопротивление уча-стка цепи длиной dl, а интеграл от этого выражения – полное сопротив-ление R участка цепи между 1 и 2.

Теперь обратимся к правой части (5.14). Первый интеграл здесь – это разность потенциалов ϕ₁ − ϕ₂, а второй интеграл представляет собой

электродвижущую силу (э.д.с.) ℰ, действующую на данном участке це-пи:

ℰ₁₂ .* lE d2

1∫= (5.16)

Эта величина, как и сила тока 1, является алгебраической: если э.д.с. способствует движению положительных носителей тока в выбранном направлении, то ℰ₁₂>0, если же препятствует, то ℰ₁₂<0.

После всех указанных преобразований уравнение (5.14) будет иметь следующий вид:

RI = ϕ₁ − ϕ₂ + ℰ₁₂. (5.17)


70

Это уравнение выражает интегральную форму закона Ома для не-однородного участка цепи, в отличие от уравнения (5.13), представ-ляющего тот же закон в локальной форме.

Из (5.17) следует, что для замкнутой цепи точки 1 и 2 совпадают, ϕ₁

= ϕ₂ и оно приобретает более простой вид:

RI = ℰ, (5.18) где R представляет собой уже полное сопротивление замкнутой це-

пи, а ℰ - алгебраическую сумму отдельных э.д.с. в данной цепи. Далее представим себе участок цепи, содержащий сам источник

э.д.с., - между его клеммами 1 и 2. Тогда в уравнении (5.17) для выбран-ного нами участка ϕ₁ − ϕ₂ - разность потенциалов на его клеммах. Если

источник разомкнут, то I = 0 и ℰ = ϕ₁ − ϕ₂, т.е. э.д.с. источника можно определить как разность потенциалов на его клеммах в разомкнутом со-стоянии.

5.4. Разветвление цепи. Правила Кирхгофа Расчет разветвленных цепей, например нахождение токов в отдель-

ных ее ветвях, значительно упрощается, если пользоваться двумя прави-лами Кирхгофа.

Первое правило Кирхгофа – оно относится к узлам цепи, т.е. к точ-кам ее разветвления: алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю:

.I 0k =∑ (5.19) При этом токи, идущие к узлу, и токи, исходящие из узла, следует

считать величинами разных знаков, например: первые – положительны-ми, вторые – отрицательными (или наоборот – это несущественно). Применительно к рис. 5.2 уравнение (5.19) запишется так:

I₁ – I₂ + I₃ = 0.

I₂

I₃ I₁


71

Рис. 5.2 Уравнение (5.19) является следствием стационарности (5.8); если бы

это было не так, в узле изменялся бы заряд и токи не были бы стацио-нарными.

Второе правило Кирхгофа – относится к любому выделенному в разветвленной цепи замкнутому контуру: алгебраическая сумма произ-ведений сил токов в отдельных участках произвольного замкнутого контура на их сопротивления равна алгебраической сумме э.д.с., дейст-вующей в этом контуре:

∑ IkRk = ∑ ℰk. (5.20) Для доказательства этого правила достаточно рассмотреть случай,

когда выделенный контур состоит из трех участков. Зададим направле-ние обхода, например, по часовой стрелке. Затем применим к каждому из трех участков закона Ома (5.17):

R₁I₁ = ϕ₂ − ϕ₃ + ℰ₁,

R₂I₂ = ϕ₃ − ϕ₁ + ℰ₂,

R₃I₃ = ϕ₁ − ϕ₂ + ℰ₃. Сложив эти равенства, приходим после сокращения всех потенциа-

лов к формуле (5.20), т.е. ко второму правилу Кирхгофа. Таким образом, уравнение (5.20) является следствием закона Ома

для неоднородных участков цепи. Составление системы уравнений. Правила Кирхгофа в каждом кон-

кретном случае позволяют написать полную систему алгебраических уравнений, из которой могут быть найдены, например, все неизвестные токи.

Уравнений (5.19) и (5.20) надо составлять столько, чтобы их число было равно числу искомых величин. При этом надо следить, чтобы одни уравнения не являлись следствием других:

1) если в разветвленной цепи имеется N узлов, то независимые уравнения типа (5.19) можно составить лишь для N –1 узлов; уравнение для последнего узла будет следствием предыдущих;

2

1 3 4

3 2 4 1


72

Рис. 5.3 Рис. 5.4

2) если в разветвленной цепи можно выделить несколько замкнутых контуров, то независимые уравнения типа (5.20) можно составить толь-ко для тех контуров, которые не получаются в результате наложения уже рассмотренных. Например, для цепи (рис. 5.3) такие уравнения для контуров 124 и 234 будут независимы. Уравнение же для контура 1234 является следствием двух предыдущих. Можно составить независимые уравнения для других контуров, например, для контуров 124 и 1234, но тогда уравнение для контура 234 будет следствием двух первых. Число независимых уравнений типа (5.20) оказывается равным наименьшему числу разрывов, которые следует сделать в цепи, чтобы нарушить все контуры. Это число, кстати, равно числу областей, ограниченных про-водниками, если схему удастся изобразить на плоскости без перечисле-ний.

Например, для цепи (рис. 5.4), содержащей четыре узла, надо соста-вить три уравнения типа (5.19) и три уравнения типа (5.20), ибо мини-мальное число разрывов (они помечены крестиками), нарушающее все контуры, равно трем (трем равно и число областей). Если неизвестными являются токи, то их число равно шести – по числу отдельных участков между узлами, что соответствует числу независимых уравнений.

При составлении уравнений типа (5.19) и (5.20) необходимо руково-дствоваться следующими указаниями:

1. Обозначить стрелками предположительные направления токов, не задумываясь над тем, куда эти стрелки направлены. Если в результате вычислений окажется, что какой-то ток положителен, то это значит, что его направление выбрано правильно. Если же ток окажется отрицатель-ным, то его истинное направление противоположно направлению стрелки.

2. Выбрав произвольно замкнутый контур, все его участки следует обойти в одном направлении, например по часовой стрелке. Если пред-положительное направление некоторого тока совпадает с выбранным направлением обхода, то соответствующее слагаемое IR в уравнении (5.20) надо брать со знаком плюс, если же эти направления противопо-ложны, то со знаком минус. Аналогично следует поступать и с ℰ: если какая-то э.д.с. ℰ повышает потенциал в направлении обхода, ее надо брать со знаком плюс, в противном случае – со знаком минус.

5.5. Закон Джоуля – Ленца


73

С прохождением тока через проводник, обладающий сопротивлени-ем, неразрывно связано выделение теплоты (нагревание проводников). Наша задача – найти количество теплоты, выделяющееся за единицу времени на определенном участке цепи. Здесь возможны два случая, ко-торые мы и рассмотрим последовательно, - однородный и неоднород-ный участки цепи. В основу решения этого вопроса мы возьмем закон сохранения энергии и закон Ома.

Однородный участок цепи. Пусть интересующий нас участок за-ключен между сечениями 1 и 2 проводника (рис. 5.5). Найдем работу, которую совершают силы поля над носителями тока на участке 12 за время dt.

Рис. 5.5

Если сила тока в проводнике равна I, то за время dt через каждое се-чение проводника пройдет заряд dq = Idt.

В частности, такой заряд dq войдет внутрь участка сечения 1 и такой же заряд выйдет из этого участка через сечение 2. Так как распределе-ние зарядов в проводнике остается при этом неизменным (ток постоян-ный), то весь процесс эквивалентен непосредственному переносу заряда dq от сечения 1 к сечению 2, имеющих потенциалы ϕ₁ и ϕ₂.

Поэтому совершаемая при таком переносе работа сил поля:

δА = dq (ϕ₁ − ϕ₂) = I (ϕ₁ − ϕ₂) dt. Согласно закону сохранения энергии эквивалентная этой работе

энергия должна выделяться в иной форме. Если проводник неподвижен и в нем не происходят химические превращения, то эта энергия должна выделяться в форме внутренней (тепловой) энергии, в результате чего проводник нагревается. Механизм этого превращения достаточно прост: носители тока (например, электроны в металлах) в результате работы сил поля приобретают дополнительную кинетическую энергию и затем расходуют ее на возбуждение колебаний решетки при столкновении с ее узлами-атомами.

2 I

1 ϕ₂ ϕ₁


74

Итак, согласно закону сохранения энергии элементарная работа δА = ϑ dt, где ϑ - теплота, выделяемая в единицу времени (тепловая мощ-ность). Сравнивая последнее равенство с предыдущим, получаем:

ϑ = I (ϕ₁ − ϕ₂). А так как по закону Ома ϕ₁ − ϕ₂ = RI, то:

ϑ = RI². (5.21) Эта формула выражает известный закон Джоуля - Ленца. Получим выражение этого закона в локальной форме, характери-

зующей выделение теплоты в различных местах проводящей среды. Для этой цели выделим в данной среде элементарный объем в виде

цилиндрика с образующими, параллельными вектору j – плотности тока в данном месте.

Пусть поперечное сечение цилиндрика dS, а его длина dl. Тогда на основании закона Джоуля - Ленца в этом объеме за время dt выделится количество теплоты:

( ) ,tVjtSjS

tRIQ ddddd

dld 222 ρρδ ===

где dV = dS dl – объем цилиндрика. Разделив последнее уравнение на dVdt, получим формулу, которая определяет количество теплоты, выделяющееся за единицу времени в единице объема проводящей сре-ды, - удельную тепловую мощность тока:

ϑуд = ρj². (5.22) Эта формула выражает закон Джоуля - Ленца в локальной форме:

удельная тепловая мощность тока пропорциональна квадрату плотно-сти электрического тока и удельному сопротивлению среды в данной точке.

Уравнение (5.22) представляет собой наиболее общую форму закона Джоуля - Ленца, применимую к любым проводникам независимо от их формы, однородности и от природы сил, возбуждающих электрический ток. Если на носители тока действуют только электрические силы, то на основании закона Ома (5.11):

ϑуд = jЕ = σЕ². (5.23) Таким образом, последнее уравнение имеет менее общий характер,

нежели (5.22). Неоднородный участок цепи. Если участок цепи содержит источник

э.д.с., то на носители тока будут действовать не только электрические силы, но и сторонние. В этом случае выделяемое в неподвижном про-воднике тепло будет равно по закону сохранения энергии алгебраиче-


75

ской сумме работ электрических и сторонних сил. Это же относится и к соответствующим мощностям: тепловая мощность должна быть равна алгебраической сумме мощностей электрических и сторонних сил. Проще всего в этом можно убедиться, умножив выражение (5.17) на I:

RI² = (ϕ₁ − ϕ₂) I+ ℰT. (5.24) Здесь в левой части стоит выделяющаяся на участке тепловая мощ-

ность ϑ; при наличии сторонних сил величина ϑ определяется той же формулой (5.21), что и для неоднородного участка цепи. Последнее же слагаемое в правой части представляет собой мощность, развиваемую сторонними силами на данном участке. Заметим еще, что последняя ве-

личина (ℰT) является алгебраической: в отличие от RI² она изменяет знак при направлении тока I.

Таким образом, уравнение (5.24) означает, что тепловая мощность, выделяемая на участке цепи между точками 1 и 2, равна алгебраической сумме мощностей электрических и сторонних сил. Сумму этих мощно-стей, т.е. правую часть (5.24), называют мощностью тока на рассмат-риваемом участке цепи. Тогда можно сказать, что в случае неподвижно-го участка цепи мощность выделяемой на этом участке теплоты равна мощности тока.

Применив (5.24) ко всей неразветвленной цепи (тогда ϕ₁ = ϕ₂), по-лучим:

ϑ = ℰI, (5.25) т.е. общее количество выделяемой за единицу времени во всей цепи

джоулевой теплоты равно мощности только сторонних сил. Значит, те-плота производится только сторонними силами. Роль же электрического поля сводится к тому, что оно перераспределяет эту теплоту по различ-ным участкам цепи.

Получим теперь уравнение (5.24) в локальной форме. Для этого ум-ножим обе части уравнения (5.12) на j, а также учтем, что σ = 1/ρ и ρj² = ϑуд. Тогда удельная тепловая мощность тока в неоднородной проводя-щей среде:

ϑуд = ρj² = j(E + E*). (5.26) 5.6. Переходные процессы в цепи с конденсатором О переходных процессах. Так называют процессы при переходе от

одного установившегося в цепи режима к другому. Примером таких процессов является зарядка и разрядка конденсатора, на них мы и оста-новимся более подробно в этом параграфе.


76

До сих пор мы рассматривали только постоянные токи. Оказывает-ся, однако, что полученные законы во многих случаях можно применять и к изменяющимся токам. Это касается всех тех случаев, когда измене-ние тока происходит не слишком быстро. В этих случаях мгновенное значение тока будет практически одно и то же во всех поперечных се-чениях цепи. Такие токи и соответствующие им поля называют квази-стационарными.

Именно квазистационарные токи можно описать законами постоян-ного тока, если применять их только к мгновенным значениям величин.

А теперь обратимся к процессам разрядки и зарядки конденсатора, предполагая токи в этих процессах квазистационарными.

Разрядка конденсатора. Если обкладки заряженного конденсатора емкости С замкнуть через сопротивление R, то через него течет ток. Пусть I, q, U – мгновенные значения тока, заряда положительной об-кладки и разности потенциалов между обкладками (напряжения).

Считая ток I положительным, когда он течет от положительной об-кладки к отрицательной (рис. 5.6), запишем I = −dq/dt. Согласно закону Ома для внешнего участка цепи, содержащего сопротивление R:

RI = U.

Рис. 5.6

Рис. 5.7

Рис. 5.8 Учитывая, что I = - dq/dt и U = q/C, преобразуем предыдущее выра-

жение к виду:

.RCq

tq 0

dd

=+ (5.27)

В этом дифференциальном уравнении переменные разделяются, и после интегрирования мы получим:

q = q₀e-t/τ , (5.28)

где q₀ - начальный заряд конденсатора, а τ - постоянная, имеющая разность времени:

τ = RC. (5.29)

C +

q q₀

0 t

K

R

I R

2 C

ℰ 1

K


77

Эту постоянную называют временем релаксации. Из (5.28) видно, что τ есть время, за которое заряд конденсатора уменьшается в е раз.

На рис. 5.7 показан график зависимости q (t) – заряда на конденсато-ре от времени. График зависимости l (t) имеет такой же вид.

Зарядка конденсатора. Рассмотрим цепь, содержащую последова-тельно соединенные конденсатор С, сопротивление R и источник э.д.с. ℰ (рис. 5.8). Первоначально конденсатор не заряжен (ключ К разомкнут). В момент t = 0 ключ замкнули, и в цепи пошел ток, заряжающий кон-денсатор. Увеличивающие заряды на обкладках конденсатора будут все в большей степени препятствовать прохождению тока, постепенно уменьшая его.

Теперь ток в цепи будем считать положительным, когда он течет в направлении к положительно заряженной обкладке конденсатора: I = dq/dt. Применим закон Ома для неоднородного участка цепи к участку

1ℰR2: RI = ϕ₁ − ϕ₂+ ℰ, где под R понимается полное сопротивление

источника э.д.с. Учитывая, что I = dq/dt и ϕ₁ − ϕ₂ = U = q/C, перепишем предыдущее уравнение в виде:

dq dt

ℰ - q/C R .

Разделив переменные с учетом начального условия (q = 0 при t = 0), получим:

RC ln 1 −

q

ℰ C

= − t,

откуда:

q = qm(1 - e-t/τ). (5.30)

Здесь qm = ℰ C – предельное значение заряда на конденсаторе (при t→∞), τ = RC.

Закон перенесения тока со временем:

,eItqI /t τ−== 0d

d (5.31)

где I₀ = ℰ /R.


78

6. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ 6.1. Сила Лоренца. Поле В Сила Лоренца. Опыт показывает, что сила F, действующая на то-

чечный заряд q, зависит в общем случае не только от положения этого заряда, но и от его скорости v. Соответственно этому силу F разделяют на две составляющие – электрическую Fэ (она не зависит от движения заряда) и магнитную Fм (она зависит от скорости заряда). В любой точ-ке пространства направление и модуль силы зависят от скорости v заря-да, причем эта сила всегда перпендикулярна вектору v; кроме того, в любом месте магнитная сила перпендикулярна определенному в данном месте направлению и, наконец, ее модуль пропорционален той состав-ляющей скорости, которая перпен-дикулярна этому выделенному на-правлению.

Все эти свойства магнитной силы можно описать, если ввести поня-тие магнитного поля. Характеризуя это поле вектором В, определяю-щим выделенное в каждой точке пространства направление, запишем выражение для магнитной силы в виде:

Fм = q[vB]. (6.1) Тогда полная электромагнитная сила, действующая на заряд q:

F = qE + q[vB]. (6.2) Ее называют силой Лоренца. Последнее выражение является универ-

сальным: оно справедливо как для постоянных, так и для переменных электрических магнитных полей, причем при любых значениях скоро-сти v заряда.

По действию силы Лоренца на заряд можно в принципе определить модули и направления векторов Е и В. Поэтому выражение для силы Лоренца можно рассматривать как определение электрического и маг-нитного полей.

Следует подчеркнуть, что на покоящийся электрический заряд маг-нитное поле не действует. В этом существенное отличие магнитного поля от электрического. Магнитное поле действует только на движу-щийся заряд.

Вектор В характеризует силовое действие магнитного поля на дви-жущийся заряд и, следовательно, является в этом отношении аналогом вектора Е, характеризующего силовое действие электрического поля.

Важной особенностью магнитной силы является то, что она всегда перпендикулярна вектору скорости заряда, поэтому работы над заря-дом не совершает. Это значит, что в постоянном магнитном поле энер-гия движущейся заряженной частицы всегда остается неизменной, как бы частица ни двигалась. В нерелятивистском приближении сила Ло-


79

ренца (6.2), как и любая другая сила, не зависит от выбора системы от-счета (инерциальной). Вместе с тем магнитная составляющая силы Ло-ренца меняется при переходе от одной системы отсчета к другой (из-за v). Поэтому должна меняться и электрическая составляющая qE. Отсю-да следует, что разделение полной силы F – силы Лоренца – на электри-ческую и магнитную зависит от выбора системы отсчета. Без указания системы отсчета такое разделение не имеет смысла.

Магнитное поле равномерно движущегося заряда. Опыт показыва-ет, что само магнитное поле порождается движущимися зарядами (то-ками). В результате обобщения экспериментальных данных был полу-чен элементарный закон, определяющий поле В точечного заряда q, движущегося с постоянной нерелятивистской скоростью v. Этот закон записывается в виде*

[ ] ,r

q3

0

4vrB

πµ

=

:

(6.3)

где µ₀ - магнитная постоянная; коэффициент

µ₀/4π = 10⁻⁷Гн/м; r – радиус-вектор, проведенный от заряда q к точке наблюдения.

Конец радиус-вектора r неподвижен в данной системе отсчета, а его на-чало движется со скоростью v (рис. 6.1), поэтому вектор В в данной системе отсчета зависит не только от положения точки наблюдения, но и от времени.

В

Рис. 6.1 В соответствии с формулой (6.3) вектор В направлен перпендику-

лярно плоскости, в которой расположены векторы v и r, вращение во-круг вектора v в направлении вектора В образует с направлением v пра-

* Формула (6.3) справедлива и в случае, когда заряд движется с ускорением, однако

только на достаточно малых расстояниях r от заряда (малых настолько, что за время r/c скорость v заряда заметно не меняется).

r q v


80

вовинтовую систему (рис. 6.1). Отметим, что вектор В является акси-альным (псевдовектором).

Величину В называют магнитной индукцией. Электрическое поле точечного заряда q, движущегося тем же законом, есть (1.2). Поэтому выражение (6.3) можно представить как:

В = ε₀µ₀[vE] = [vE]/c² , (6.4)

где с – электродинамическая постоянная ( 00/1c µε= ), она равна скорости света в вакууме (совпадение, как потом выяснилось, не слу-чайное).

6.2. Закон Био - Савара Принцип суперпозиции. Опыт дает, что для магнитного поля, как и

для электрического, справедлив принцип суперпозиции: магнитное по-ле, создаваемое несколькими движущимися зарядами или токами, равно векторной сумме магнитных полей, создаваемых каждым зарядом или током в отдельности:

В = ∑Вi. (6.5) Закон Био-Савара. Рассмотрим вопрос о нахождении магнитного

поля, создаваемого постоянными электрическими токами. Этот вопрос будем решать, исходя из закона (6.3), определяющего индукцию поля В равномерно движущегося точечного заряда. Подставим в (6.3) вместо q заряд ρ dV, где dV – элементарный объем, ρ - объемная плотность заря-да, являющегося носителем тока, и учтем, что ρv = j согласно (5.3). То-гда формула (6.3) приобретет следующий вид:

[ ] .r

V3

0 d4

d jrBπµ

= (6.6)

Если же ток I течет по тонкому проводу с площадью поперечного сечения ∆S, то:

jdV = j ∆S dl = I dl, где dl – элемент длины провода. Введя вектор dl в направление тока

I, перепишем предыдущее равенство так: j dV = I dl. (6.7)

Векторы jdV и Idl называют соответственно объемным и линейным элементами тока. Произведя в формуле (6.6) замену объемного эле-мента тока на линейный, получим:

[ ] .r

I3

0 d4

d rl,Bπµ

= (6.8)

Формулы (6.6) и (6.8) выражают закон Био-Савара.


81

Полное поле В в соответствии с принципом суперпозиции опреде-ляется в результате интегрирования выражений (6.6) и (6.8) по всем элементам тока:

[ ] [ ].d4

d4 3

03

0 ∫∫ ==r

Ir

V rl,BjrBπµ

πµ

(6.9)

Расчет по этим формулам индукции магнитного поля тока произ-вольной конфигурации, вообще говоря, сложен. Однако расчет значи-тельно упрощается, если распределение тока имеет определенную сим-метрию.

6.3. Основные законы магнитного поля Магнитное поле обладает, как и электрическое поле, двумя важней-

шими свойствами. Эти свойства, связанные также с потоком и циркуля-цией вектора поля, и выражают основные законы магнитного поля.

Прежде чем перейти к их изучению, несколько слов о графическом представлении поля В. Как и любое другое векторное поле, поле В мо-жет быть представлено наглядно с помощью линий вектора В. Их про-водят обычным способом – так, чтобы касательная к этим линиям в ка-ждой точке совпадала с направлением вектора В, а густота линий была бы пропорциональна модулю вектора В в данном месте.

Полученная таким образом геометрическая картинка позволяет лег-ко судить о конфигурации данного магнитного поля и сильно облегчает анализ некоторых ситуаций.

Теперь обратимся к основным законам магнитного поля – теореме Гаусса и теореме о циркуляции.

Теорема Гаусса для поля В. Поток вектора В сквозь любую замкну-тую поверхность равен нулю:

∮В dS = 0. (6.10) Эта теорема является, по существу, обобщением опытов. Она выра-

жает собой в постулативной форме тот экспериментальный факт, что линии вектора В не имеют ни начала, ни конца. Поэтому число линий вектора В, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой по-верхностью S, всегда равно числу линий, входящих в этот объем.

Отсюда вытекает важное следствие, которым мы будем пользовать-ся в дальнейшем неоднократно. А именно: поток вектора В сквозь по-верхность S, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зави-сит от формы поверхности S.

Это легко объяснить с помощью представления о линиях вектора В: так как они нигде не прерываются, их число сквозь поверхность S, огра-


82

ниченную данным контуром (т.е. поток вектора В), действительно не должно зависеть от формы поверхности S.

Закон (6.10) выражает также и тот факт, что в природе нет магнит-ных зарядов, на которых начинались бы или заканчивались линии век-тора В. Иначе говоря, магнитное поле не имеет источников в противо-положность полю электрическому.

Теорема о циркуляции вектора В (для магнитного поля постоянных токов в вакууме). Циркуляция вектора В по произвольному контуру Г равна произведению µ₀ на алгебраическую сумму токов, охватываемых контуром Г:

∮В dl =µ₀ I, (6.11)

где I - ∑Ik, причем Ik – величины алгебраические. Ток считается по-ложительным, если его направление связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного направления считается отрицательным. Это правило иллюстрирует рис. 6.2: здесь то-ки I₁ и I₃ положительные, ибо их направления связаны с направлением

обхода по контуру правилом правого винта, а ток I₂ – отрицательный. Теорема о циркуляции (6.11) может быть доказана исходя из закона

Био-Савара. В общем случае произвольных токов это доказательство достаточно кропотливо, и мы не будем приводить его здесь. Мы будем рассматривать утверждение (6.11) как постулат, подтвержденный экс-периментально.

Рис. 6.2

Еще одно замечание. Если ток I в (6.11) распределен по объему, где расположен контур Г, то его можно представить как:

I = ∫ j dS. (6.12) Интервал здесь берется по произвольной поверхности S, натянутой

на контур Г. Плотность тока j под интегралом соответствует точке, где


83

расположена площадка dS, причем вектор dS образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему.

Итак, в общем случае уравнение (6.11) можно записать так:

∮В dl =µ₀ ∫ jdS =µ₀ ∫ jndS. (6.13) Тот факт, что циркуляция вектора В, вообще говоря, не равна нулю,

означает, что поле В не потенциально (в отличие от электростатическо-го поля). Такое поле называют вихревым, или соленоидальным.

Так как циркуляция вектора В пропорциональна току I, охватывае-мому контуром, то магнитному полю в общем случае нельзя приписать скалярный потенциал, который был бы связан с вектором В соотноше-нием, аналогичным Е = - ∇ϕ. Этот потенциал был бы неоднозначным: при каждом обходе по контуру и возвращении в исходную точку он по-лучал бы приращение, равное µ₀ I. Впрочем, в той области пространст-ва, где токов нет, магнитный потенциал ϕm вводят и достаточно эффек-тивно используют.

Роль теоремы о циркуляции вектора В. Эта теорема играет пример-но ту же роль, что и теорема Гаусса для векторов Е и D. Мы знаем, что поле В определяется всеми токами, циркуляция же вектора В - только теми токами, которые охватывает данный контур. Несмотря на это, в некоторых случаях – при наличии специальной симметрии – теорема о циркуляции оказывается весьма эффективной, позволяя очень просто находить В.

Это бывает в тех случаях, когда вычисление циркуляции вектора В можно свести, выбрав разумно контур, к произведению В (или Вl) на длину контура или его часть. Если этого нет, расчет поля В приходится проводить иными способами, например, с помощью закона Био - Савара или путем решения соответствующих дифференциальных уравнений, и расчет становится значительно сложнее.

6.4. Дифференциальная форма основных законов маг-

нитного поля Дивергенция поля В. Теорема Гаусса (6.10) для поля В в дифферен-

циальной форме имеет вид: ∇ ⋅ В = 0, (6.14)

т.е. дивергенция поля В всюду равна нулю. Это означает, повторя-ем, что магнитное поле не имеет источников (магнитных зарядов). Маг-нитное поле порождают не магнитные заряды (которых в природе нет), а электрические токи.


84

Закон (6.14) является фундаментальным: он справедлив не только для постоянных, но и для переменных магнитных полей.

Ротор поля В. Важное свойство магнитного поля, которое выражает теорема о циркуляции вектора В, побуждает представить и эту теорему в дифференциальной форме, расширяющей ее возможности как инстру-мента исследования и расчета.

С этой целью рассмотрим отношение циркуляции вектора В к пло-щади S, ограниченной контуром.

Оказывается, это отношение стремится к некоторому пределу при S→0, причем этот предел зависит от ориентации контура в данной точке пространства. Ориентация контура задается вектором n нормали к плос-кости контура, причем направление n связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.

Предел, получаемый при указанной операции, представляет собой скалярную величину, которая ведет себя как проекция некоторого век-тора на направление нормали n к плоскости контура, по которому бе-рется циркуляция. Этот вектор называют ротором поля В и обозначают символом rot B.

Таким образом:

( ) ,rotS

lim nSB

lB=∫

→

d0

(6.15)

где справа стоит проекция вектора rot B на нормаль n. Итак, в каждой точке векторного поля В имеется вектор rot B, на-

правление и модуль которого связаны со свойствами самого поля в дан-ной точке.

Направление вектора rot B определяется тем направлением нормали n площадки S, при котором достигается максимальное значение величи-ны (6.15), являющееся модулем вектора rot B.

В алгебре получено выражение для rot B в координатном представ-лении. Для наших целей важно другое: оказывается, формально rot B можно рассматривать как векторное произведение оператора ∇ на век-тор В, т.е. как ∇×В с помощью определителя:

∇×В = еx еy еz ∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z, Вx Вy Вz

, (6.16)

где еx, еy, еz – орты осей декартовых координат. Данное выражение справедливо для ротора не только поля В, но и для любого другого век-торного поля, в частности и для поля Е. Обратимся теперь к циркуляции вектора В. Согласно (6.15) уравнение (6.13) можно представить в виде:


85

nSj

Slim 00

dµ=∫

→

lB (6.17)

или (∇×В)n = µ₀jn. Отсюда:

∇×В = µ₀j. (6.18) Это и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора

В. Видно, что ротор поля В совпадает по направлению с вектором j – плотностью тока в данной точке, а модуль ∇×В равен µ₀j.

В электрическом поле циркуляция вектора Е равна нулю, поэтому: ∇×Е = 0. (6.19)

Векторное поле, ротор которого всюду равен нулю, является потен-циальным, в противном случае поле является соленоидальным. Значит, электрическое поле есть поле потенциальное, магнитное же поле – со-леноидальное.

6.5. Сила Ампера Закон Ампера. Каждый носитель тока испытывает действие магнит-

ной силы. Действие этой силы передается проводнику, по которому за-ряды движутся. В результате магнитное поле действует с определенной силой на сам проводник с током. Найдем эту силу.

Пусть объемная плотность заряда, являющегося носителем тока (электроны в металле, например), равна ρ. Выделим мысленно элемент объема dV проводника. В нем находится заряд – носитель тока, равный ρdV. Тогда сила, действующая на элемент dV проводника, может быть записана по формуле (6.1) в виде:

dF = ρ [uB] dV. Так как j = ρu, то:

dF = [jB] dV. (6.20) Если ток течет по тонкому проводнику, то согласно (6.7) получим:

dF = I [dl,B] , (6.21) где dl – вектор, совпадающий по направлению с током и характери-

зующий элемент длины тонкого проводника. Формулы (6.20) и (6.21) выражают закон Ампера. Интегрируя эти

выражения по элементам тока (объемным или линейным), можно найти магнитную силу на тот или иной объем проводника или его линейный участок.

Силы, действующие на токи в магнитном поле, называют амперо-выми, или силами Ампера.


86

И последнее. Нетрудно убедиться в том, что токи, одинаково на-правленные, притягиваются, а противоположно направленные – оттал-киваются. Здесь речь идет только о магнитной силе. Не следует, однако, забывать, что кроме магнитной имеется еще и электрическая сила – си-ла, обусловленная избыточными зарядами на поверхности проводника. Поэтому если говорить о полной силе взаимодействия между провода-ми, то она может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания – все зависит от соотношения магнитной и электрической составляю-щих полной силы.

Сила, действующая на контур с током. Результирующая амперова сила, которая действует на контур с током в магнитном поле, определя-ется в соответствии с (6.21) как:

F = I ∮[dl,B], (6.22) где интегрирование проводится по данному контуру с током I. Если магнитное поле однородно, то вектор В можно вынести из-под

интеграла и задача сводится к вычислению векторного интеграла ∮dl. Этот интеграл представляет собой замкнутую цепочку элементарных векторов dl, поэтому он равен нулю. Значит, и F = 0, т.е. результирую-щая амперова сила равна нулю в однородном магнитном поле.

Если же магнитное поле неоднородно, то результирующая сила (6.22), вообще говоря, отлична от нуля и в каждом конкретном случае она определяется с помощью выражения (6.22). Для дальнейшего осо-бый интерес представляет случай, когда контур с током плоский и его размеры достаточно малы.

Такой контур с током называют элементарным. Поведение элементарного контура с током удобно описать с помо-

щью магнитного момента рm. По определению: рm = I Sn, (6.23)

где I – ток; S – площадь, ограниченная контуром; n – нормаль к кон-туру, направление которой связано с направлением тока в контуре пра-вилом правого винта (рис. 6.3). В магнитном отношении элементарный контур с током вполне характеризуется его магнитным моментом рm.

Рm

n S

I


87

Рис. 6.3 Довольно кропотливый расчет по формуле (6.22) с учетом малости

контура приводит к следующему выражению для силы, действующей на элементарный контур с током в неоднородном магнитном поле:

,n

pm ∂∂

=BF (6.24)

где рm – модуль магнитного момента контура; ∂В/∂n – производная вектора В по направлению нормали n или по направлению вектора рm.

Из формулы очевидно, что, как и в случае электрического диполя: 1) в однородном магнитном поле F = 0, ибо ∂В/∂n =0; 2) направление вектора F, вообще говоря, не совпадает ни с векто-

ром B, ни с вектором рm; вектор F совпадает лишь с направлением эле-ментарного приращения вектора В, взятого в направлении вектора рm в месте расположения контура. Сказанное иллюстрирует рис. 6.4, где по-казаны три расположения контура в магнитном поле тока I₀. Здесь же показан и вектор результирующей силы F, которая действует на контур в каждом случае (полезно самостоятельно убедиться, что это действи-тельно так).

Если нас интересует проекция силы F на некоторое направление Х, то достаточно записать выражение (6.24) в проекциях на это направле-ние, и мы получим:

,nBpF x

mx ∂∂

= (6.24)

где ∂Вx/∂n – производная соответствующей проекции вектора В опять же по направлению вектора n к контуру (или по рm).

I₀

I

₀ I


88

6.6. Момент сил, действующих на контур с током Рассмотрим плоский контур с током I в однородном магнитном поле

В. Выше мы выяснили, что результирующая сила (6.22), которая дейст-вует на контур с током в однородном магнитном поле, равна нулю. А из механики известно, что если результирующая сил, действующих на лю-бую систему, равна нулю, то суммарный момент этих сил не зависит от точки О, относительно которой определяют момент этих сил. Раз так, можно просто говорить о результирующем моменте амперовых сил в нашем случае.

По определению, результирующий момент амперовых сил:

М =∮[r,dF], (6.25) где dF дается формулой (6.21). Если провести расчет по формуле

(6.25) – он довольно громоздок и мало интересен, поэтому мы не будем его проводить, - то оказывается, что для произвольной формы контура с током этот момент сил можно представить как:

М = [рmВ], (6.26) где рm – магнитный момент контура с током (для плоского контура

рm = ISn)*

* Если виток не плоский, то его магнитный момент рm = I ∫ dS, где интеграл берется

по поверхности S, натянутой на контур с током. Этот интеграл не зависит от выбора по-верхности S, а зависит только от контура, на который она натянута.

. Из (6.26) видно, что момент М амперовых сил, действующих на контур с током в однородном магнитном поле, перпендикулярен как

Рис. 6.4

Рm

Р

m Р

m

F F F =0


89

вектору рm, так и вектору В. Модуль вектора М равен М = рmВ sin α, где α - угол между векторами рm и В. В тех случаях, когда рm↑↑В, мо-мент сил М = 0, нетрудно убедиться в том, что положение контура бу-дет устойчивым. Если рm↑↓В, то тоже М = 0, но такое положение кон-тура является неустойчивым: малейшее отклонение от этого положения приведет к появлению момента сил, стремящегося отклонить контур еще больше от начального положения.

В заключение необходимо отметить, что выражение (6.26) верно и для неоднородного магнитного поля. Надо только, чтобы размеры кон-тура с током были достаточно малы. Тогда влиянием неоднородности на вращающийся момент М можно пренебречь.

Именно это относится к элементарному контуру с током. Во внеш-нем неоднородном магнитном поле элементарный контур с током ведет себя аналогично тому, как и электрический диполь во внешнем неодно-родном электрическом поле: он будет поворачиваться к положению ус-тойчивого равновесия (при котором рm↑↑В) и, кроме того, под действи-ем результирующей силы F втягиваться туда, где индукция В больше.

6.7. Работа при перемещении контура с током Когда контур с током находится во внешнем магнитном поле (мы

будем предполагать, что оно постоянное), на отдельные элементы кон-тура действуют амперовы силы, а поэтому при перемещении контура эти силы будут совершать работу. В этом параграфе мы покажем, что работа, которую совершают амперовы силы при элементарном переме-щении контура с током I, определяется как:

δА = I dФ, (6.27) где dФ – приращение магнитного потока сквозь контур при данном

перемещении. Доказательство этой теоремы проведем в три этапа: 1. Сначала рассмотрим частный случай: контур (рис. 6.5) с подвиж-

ной перемычкой длины l находится в однородном магнитном поле, пер-пендикулярном плоскости контура и направленном за плоскость рисун-ка. На перемычку согласно (6.21) действует амперова сила F = IlB. При перемещении перемычки вправо на dx эта сила совершает положитель-ную работу:

δА = F dx = IBl dx = IB dS, (6.28) где dS – приращение площади, ограниченной контуром.

I

F B

,n


90

Рис. 6.5 Для определения знака магнитного потока Ф условимся всегда брать

нормаль n к поверхности, ограниченной контуром, так, чтобы она обра-зовала с направлением тока в контуре правовинтовую систему (см. рис. 6.5). При этом ток I будет всегда величиной положительной. Поток же Ф может быть как положительным, так и отрицательным. Но в нашем случае как Ф, так и dФ = В dS являются величинами положительными (если бы поле В было направлено на нас или перемычка перемещалась бы влево, то в обоих случаях dФ<0). Как бы то ни было, в любом из этих случаев выражение (6.28) можно представить в виде (6.27).

2. Полученный результат справедлив и для произвольного направ-ления поля В. Чтобы убедиться в этом, разложим вектор В на три со-ставляющие: В = Вn + Вl + Вx.

Cоставляющая Вl – вдоль перемычки – параллельна току в ней и по-этому не оказывает на перемычку силового действия. Составляющая Вx – вдоль перемещения – дает силу, перпендикулярную перемещению, работы она не совершает. Остается лишь составляющая Вn, перпенди-кулярная плоскости, в которой перемещается перемычка. Поэтому в формуле (6.28) вместо В надо брать только Вn. Но ВndS = dФ, и мы сно-ва приходим к формуле (6.27).

3. Теперь перейдем к рассмотрению любого контура при произ-вольном перемещении его в постоянном неоднородном магнитном поле (контур может при этом произвольным образом деформироваться). Ра-зобьем мысленно данный контур на бесконечно малые элементы тока и рассмотрим бесконечно малые перемещения их.

4. В этих условиях магнитное поле, в котором перемещается каж-дый элемент тока, можно считать однородным. Для такого перемещения к каждому элементу тока применимо выражение δА = I d’Ф для элемен-тарной работы, где под d’ надо понимать вклад в приращение потока сквозь контур вдоль данного элемента контура. Сложив такие элементы, получим выражение (6.27), где dФ есть приращение магнитного потока сквозь весь контур.

Чтобы найти работу амперовых сил при полном перемещении кон-тура с током от начального положения 1 до конечного 2, достаточно проинтегрировать выражение (6.27):

∫=2

1

d .ФIА (6.29)


91

Если при этом перемещении поддерживать ток I постоянным, то:

А = I (Ф₂ − Ф₁), (6.30)

где Ф₂ и Ф₁ - магнитные потоки сквозь контур в начальном и ко-нечном положениях. Таким образом, работа амперовых сил в этом слу-чае равна произведению силы тока на приращение магнитного потока сквозь контур. Выражение (6.30) дает не только величину, но и знак со-вершаемой работы.


92

7. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВЕЩЕСТВЕ 7.1. Намагничивание вещества, намагниченность J. Поле в магнетике. Если в магнитное поле, образованное токами в

проводах, ввести то или иное вещество, поле изменится. Это объясняет-ся тем, что всякое вещество является магнетиком, т.е. способно под действием магнитного поля намагничиваться – приобретать магнитный момент. Намагниченное вещество создает свое магнитное поле B′, кото-рое вместе с первичным полем В₀, обусловленным токами проводимо-сти, образует результирующее поле

В = В₀ + B′. (7.1) Здесь под B′ и В имеются в виду поля, усредненные по физически

бесконечно малому объему. Поле B′, как и поле В₀ токов проводимости, не имеет источников

(магнитных зарядов), поэтому для результирующего поля B при нали-чии магнетика справедлива теорема Гаусса:

∮В dS = 0.

(7.2)

Это означает, что линии вектора В и при наличии вещества остают-ся всюду непрерывными.

Механизм намагничивания. В настоящее время установлено, что мо-лекулы многих веществ обладают собственным магнитным моментом, обусловленным внутренним движением зарядов. Каждому магнитному моменту соответствует элементарный круговой ток, создающий в окру-жающем пространстве магнитное поле. При отсутствии внешнего маг-нитного поля магнитные моменты молекул ориентированы беспорядоч-но, поэтому обусловленное ими результирующее магнитное поле равно нулю. Равен нулю и суммарный магнитный момент вещества. Послед-нее относится и к тем веществам, молекулы которых при отсутствии внешнего поля не имеют магнитных моментов.

Если же вещество поместить во внешнее магнитное поле, то под действием этого поля магнитные моменты молекул приобретают пре-имущественную ориентацию в одном направлении и вещество намагни-чивается – его суммарный магнитный момент становится отличным от нуля. При этом магнитные поля отдельных молекул уже не компенси-руют друг друга, в результате возникает поле B′.

Иначе происходит намагничивание веществ, молекулы которых при отсутствии внешнего поля не имеют магнитного момента. Внесение та-ких веществ во внешнее поле индуцирует элементарные круговые токи


93

в молекулах, и молекулы, а вместе с ними и все вещество приобретают магнитный момент, что также приводит к возникновению поля B′.

Большинство веществ при внесении в магнитное поле намагничи-ваются слабо. Сильными магнитными свойствами обладают только ферромагнитные вещества: железо, никель, кобальт, многие их сплавы и др.

Намагниченность. Степень намагничивания магнетика характери-зуют магнитным моментом единицы объема. Эту величину называют намагниченность и обозначают J. По определению

(7.3) где ∆V – физически бесконечно малый объем в окрестности данной

точки, рm – магнитный момент отдельной молекулы. Суммирование проводится по всем молекулам в объеме ∆V.

Аналогично тому как это было сделано для поляризованности Р, намагниченность можно представить как

J = n< рm>, (7.4)

где n – концентрация молекул; < рm> - средний магнитный момент одной молекулы. Из последней формулы видно, что вектор J сонаправ-лен именно со средним вектором < рm>, поэтому в дальнейшем доста-точно знать поведение вектора <рm> и представлять себе все молекулы в пределах объема ∆V имеющими одинаковый магнитный момент <рm>. Это будет значительно облегчать понимание вопросов, связанных с яв-лениями намагниченности. Например, увеличение намагниченности J вещества означает увеличение вектора <рm>: если J = 0, то и <рm> = 0.

Если во всех точках вещества вектор J одинаков, говорят, что веще-ство намагничено однородно.

Токи намагничивания I′. Намагничивание вещества, как уже было сказано, обусловлено преимущественной ориентацией или индуцирова-нием магнитных моментов отдельных молекул в одном направлении. Это же можно сказать и об элементарных круговых токах, связанных с каждой молекулой, их называют молекулярными токами. Такое поведе-ние молекулярных токов приводит, как мы сейчас увидим, к появлению макроскопических токов I′, называемых токами намагничивания. Обычные токи, текущие по проводникам, связаны с перемещением в веществе носителей тока, их называют токами проводимости I.

Чтобы понять, как возникают токи намагничивания, представим се-бе сначала цилиндр из однородного магнетика, намагниченность J кото-

, p V 1 J m ∑ ∆

=


94

рого однородна и направлена вдоль оси. Молекулярные токи в намагни-ченном магнетике ориентированны, как показано на рис. 7.1.

У соседних молекул молекулярные токи в местах их соприкоснове-ния текут в противоположных направлениях и макроскопически взаим-но компенсируют друг друга. Некомпенсированными остаются только те молекулярные токи, которые выходят на боковую поверхность ци-линдра. Эти токи и образуют макроскопический поверхностный ток на-магничивания I′, циркулирующий по боковой поверхности цилиндра. Ток I′ возбуждает такое же макроскопическое магнитное поле, что и мо-лекулярные токи, вместе взятые.

Теперь представим себе другой случай: намагниченный магнетик является неоднородным. Пусть, например, молекулярные токи располо-жены так, как на рис. 7.2, где толщина линий соответствует силе моле-кулярных токов. Эта картина означает, что вектор J направлен за плос-кость рисунка и растет по модулю при увеличении координаты х.

Здесь видно, что компенсации молекулярных токов внутри неодно-родного магнетика уже нет, и в результате возникает объемный макро-скопический ток намагничивания I′, текущий в положительном направ-лении оси Y. Соответственно говорят о линейной i′ и поверхностной j′ плотности тока, i′ (А/м) и j′ (А/м²).

О расчете поля В в магнетике. Можно утверждать, что вклад от на-

магниченного магнетика в поле В равен вкладу, который был создан тем же распределением токов I′ в вакууме. Иначе говоря, установив распре-деление токов намагничивания I′, можно с помощью закона Био-Савара найти соответствующее им поле B′ и по формуле (7.1) вычислить ре-зультирующее поле В.

Однако неприятность состоит в том, что распределение токов I′ за-висит не только от конфигурации и свойств магнетика, но и от самого

Рис. 7.1

Рис. 7.2

I’

I’

Y

X


95

искомого поля В. Поэтому задача о нахождении поля В в магнетике в общем случае непосредственно решена быть не может.

Остается попытаться найти иной путь подхода к решению этого во-проса. И первым шагом на этом пути является установление важной связи между током намагничивания I′ и определенным свойством поля вектора J, а именно его циркуляцией.

7.2. Циркуляция вектора J Оказывается – в этом мы сейчас убедимся, - для стационарного слу-

чая циркуляция намагниченности J по произвольному контуру Г равна алгебраической сумме токов намагничивания I′, охватываемых конту-ром Г:

∮J dl = I', (7.5)

где I′ = ∫ j′ dS, причем интегрирование производится по произволь-ной поверхности, натянутой на контур Г.

Для доказательства этой теоремы вычислим алгебраическую сумму молекулярных токов, охватываемых контуром Г. Натянем на контур Г произвольную поверхность S дважды: раз в одном направлении, второй раз - в другом. Поэтому такие токи не вносят никакого вклада в резуль-тирующий ток намагничивания через поверхность S.

Рис. 7.3

Но те молекулярные токи, которые обвиваются вокруг контура Г,

пересекают поверхность S только один раз. Такие молекулярные токи и создают макроскопический ток намагничивания I′, пронизывающий по-верхность S.

Пусть каждый молекулярный ток равен Iм и площадь, охватываемая им, Sм. Тогда, как видно из рис. 7.3, элемент dl контура Г обвивают те

S

dl

I

α


96

молекулярные токи, центры которых попадают внутрь косого цилиндра с объемом dV = Sм cos α dl, где α - угол между элементом dl контура и направлением вектора J в данном месте. Все эти молекулярные токи пе-ресекают поверхность S один раз, и их вклад в ток намагничивания dI′ = Iмn dV, где n – концентрация молекул. Подставив сюда выражение для dV, получим

dI′ = Iм Sм cos α dl = J cos α dl = J dl; здесь учтено, что Iм Sм = рm – магнитный момент отдельного моле-

кулярного тока, а Iм Sмn – магнитный момент единицы объема вещест-ва.

Проинтегрировав полученное выражение по всему контуру Г, полу-чим (7.5). Теорема доказана.

Остается заметить, что если магнетик неоднородный, то ток намаг-ничивания I′, вообще говоря, пронизывает всю поверхность, а не только у ее границы, прилегающей к контуру Г. В приведенном же доказатель-стве нам удалось весь ток I′ как бы «согнать» к границы поверхности S – прием, единственной целью которого является упростить вычисление этого тока.

Дифференциальная форма уравнения (7.5): ∇ × J = j′, (7.6)

т.е. ротор намагниченности J равен плотности тока намагничивания в той же точке пространства.

Замечание о поле вектора J. Свойства поля вектора J, выраженные уравнениями (7.5) и (7.6), разумеется, не означают, что само поле J (оно ограничено только той областью пространства, которое заполнено маг-нетиком) зависит от всех токов – как от тока намагничивания I′, так и от тока проводимости I. Однако в некоторых случаях с определенной сим-метрией дело обстоит так, как будто поле вектора J определяется только токами I′.

7.3. Вектор Н Теорема о циркуляции вектора Н (для магнитного поля постоянных

токов). В магнетиках, помещенных во внешнее электрическое поле, возникают токи намагничивания, поэтому циркуляция вектора В теперь будет определяться не только токами проводимости, но и токами намаг-ничивания, а именно:

∮В dl = µ₀(I +I′), (7.7)

где I и I′ – токи проводимости и намагничивания, охватываемые за-данным контуром Г.


97

Ввиду того, что определение токов I′ в общем случае задача слож-ная, формула (7.7) становится малопригодной в практическом отноше-нии. Оказывается, однако, можно найти некоторый вспомогательный вектор, циркуляция которого будет определяться только токами прово-димости, охватываемыми контуром Г.

Действительно, мы уже знаем, что с током I′ связана циркуляция намагниченности:

∮J dl = I′. (7.8)

Предполагая, что циркуляция векторов В и J берется по одному и тому же контуру Г, выразим I′ в уравнении (7.7) по формуле (7.8) тогда:

(7.9) Величину, стоящую под интегралом в скобках, обозначают буквой

Н. Итак, мы нашли некоторый вспомогательный вектор Н:

(7.10) циркуляция которого по произвольному контуру Г равна алгебраи-

ческой сумме токов проводимости I, охватываемых этим контуром:

∮Н dl = I. (7.11)

Эта формула выражает теорему о циркуляции вектора Н: цирку-ляция вектора Н по произвольному замкнутому контуру равна алгеб-раической сумме токов проводимости, охватываемых этим контуром.

Правило знаков для токов то же, что и в случае циркуляции вектора B.

Заметим, что вектор Н представляет собой комбинацию двух со-вершенно различных величин В/µ₀ и J. Поэтому вектор Н – это дейст-вительно вспомогательный вектор, не имеющий сколько-нибудь глубо-кого физического смысла*

Однако важное свойство вектора Н, выраженное в теореме о цирку-ляции, оправдывает введение этого вектора: во многих случаях он зна-

.

* Величину H часто называют напряженностью магнитного поля, однако мы не бу-

дем пользоваться этим термином, чтобы лишний раз подчеркнуть вспомогательный ха-рактер вектора H.

. I. dl J B 0

=

∮

−

µ

- J, B H 0 µ

=


98

чительно упрощает изучение поля в магнетиках. И еще, соотношения (7.10) и (7.11) справедливы для любых магнетиков, в том числе и анизо-тропных.

Из формулы (7.11) видно, что модуль вектора Н имеет размерность силы тока, деленной на длину. В связи с этим единицей величины Н яв-ляется ампер на метр (А/м).

Дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора Н: ∇ × Η = j, (7.12)

т.е. ротор вектора Н равен плотности тока проводимости в той же точке вещества.

Связь между векторами J и Н. Мы уже знаем, что намагниченность J зависит от магнитной индукции В в данной точке вещества. Однако J принято связывать не с В, а с вектором Н. Мы ограничимся пока рас-смотрением только таких магнетиков, для которых зависимость J и Н имеет линейный характер, а именно:

J = χН, (7.13) где χ - магнитная восприимчивость, безразмерная величина, харак-

терная для каждого данного магнетика (безразмерность χ следует из то-го, что согласно (7.10) размерности Н и J одинаковы).

В отличие от диэлектрической восприимчивости, которая всегда положительна, магнитная восприимчивость бывает как положительной, так и отрицательной.

Соответственно магнетики, подчиняющиеся зависимости (7.13), подразделяются на парамагнетики, (χ>0) и диамагнетики (χ<0). У па-рамагнетиков J↑↑Н, у диамагнетиков J↑↓H.

Заметим, что кроме этих магнетиков существуют ферромагнетики, у которых зависимость J(Н) имеет весьма сложный характер: она не ли-нейная и, помимо того, наблюдается гистерезис, т.е. зависимость J от предыстории магнетика.

Связь между В и Н. Для магнетиков, которые подчиняются зависи-мости (7.13), выражение (7.10) принимает вид (1+χ)Н=В/µ₀. Отсюда

В = µµ₀Н, (7.14)

где µ - магнитная проницаемость среды, µ =1+ χ. (7.15)

У парамагнетиков µ>1, у диамагнетиков µ<1, причем как у тех, так и у других µ отличается от единицы весьма мало, т.е. магнитные свой-ства этих магнетиков выражены очень слабо.

Замечание о поле вектора Н. Обратимся к вопросу, с которым свя-зано довольно часто встречающееся заблуждение: от каких токов зави-


99

сит поле вектора Н? Поле Н зависит, вообще говоря, от токов намагни-чивания (как и поле вектора В). Об этом говорит уже формула (7.14).

Однако в некоторых случаях поле Н определяется только токами проводимости – именно для таких случаев вектор Н является весьма по-лезным. Вместе с тем это дает повод ошибочно думать, что поле векто-ра Н якобы зависит всегда только от токов проводимости и неверно трактовать теорему о циркуляции вектора Н и уравнение (7.12). Указан-ная теорема выражает только определенное свойство поля вектора Н, само же поле этого вектора она не определяет.

Когда внутри магнетика j′=0? Мы сейчас покажем, что токи на-магничивания внутри магнетика будут отсутствовать, если: 1) магнетик однородный и 2) внутри него нет токов проводимости (j = 0). В этом случае при любой форме магнетика и при любой конфигурации магнит-ного поля можно быть уверенным, что объемные токи намагничивания равны нулю и остаются только поверхностные токи намагничивания.

Для доказательства этого воспользуемся теоремой о циркуляции вектора J по произвольному контуру Г, взятому целиком внутри магне-тика. В случае однородного магнетика можно заменить J на χН, выне-сти в уравнении (7.5) χ из-под интеграла и записать

I′ = χ∮Н dl. (7.16)

Оставшийся интеграл равен согласно (7.11) алгебраической сумме токов проводимости I, охватываемых контуром Г, поэтому для одно-родного магнетика

I′ = χI. (7.17) Это соотношение токов I′ и I справедливо для любого контура

внутри магнетика, в частности и для очень малого контура, когда I′→dI′ = j′ndS и I→dI = jndS. Тогда j′ndS = χjndS, и после сокращения на dS мы получим j′n = χjn. Последнее равенство выполняется при любой ориен-тации малого контура, т.е. при любом направлении нормали n к нему. А это значит, что таким же равенством связаны и сами векторы j′ и j:

j′ = χj. (7.18) Отсюда следует, что в однородном магнетике j′ = 0, если j = 0. Это и

требовалось доказать. 7.4. Граничные условия для В и Н Речь идет об условиях для векторов В и Н на границе раздела двух

однородных магнетиков. Эти условия, как и в случае однородного ди-электрика, мы получим с помощью теоремы Гаусса и теоремы о цирку-ляции. Для векторов В и Н эти теоремы, напомним, имеют вид


100

∮В dS = 0, ∮Н dl = I. (7.19)

Условие для вектора В. Представим себе очень малой высоты ци-линдрик, расположенный на границе раздела магнетиков, как показано на рис. 7.5. Тогда поток вектора В наружу из этого цилиндрика (пото-ком через боковую поверхность пренебрегаем) можно записать так:

В₂n∆S + B₁n∆S = 0. Взяв обе проекции вектора В на общую нормаль n, получим В₁n’ = ‒

B₁n, и предыдущее уравнение после сокращения на ∆S примет следую-щий вид:

В₂n = B₁n, (7.20) т.е. нормальная составляющая вектора В оказывается одинаковой по

обе стороны границы раздела. Эта величина скачка не испытывает. Условия для вектора Н. Для большей обширности будем предпола-

гать, что вдоль поверхности раздела магнетиков течет поверхностный ток проводимости с линейной плотностью i. Применим теорему о цир-куляции вектора Н к очень малому прямоугольному контуру, высота которого пренебрежительно мала по сравнению с его длиной l, распо-ложив этот контур так, как показано на рис. 7.4.

Рис. 7.4

Рис. 7.5

Пренебрегая вкладом в циркуляцию на боковых сторонах контура,

запишем для всего контура: Н₂τl + H₁τl = iNl,

n ∆S n’

l 2 τ µ₂

µ₁ 1 τ’

N

n

2 1


101

где iN – проекция вектора i на нормаль N к контуру (вектор N обра-зует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему). Взяв обе проекции вектора Н на общий орт касательной τ (в среде 2), полу-чим Н₂τ = − H₁τ, и после сокращения на l предыдущее уравнение при-мет вид

Н₂τ − H₁τ = iN, (7.21) т.е. тангенсальная составляющая вектора Н, вообще говоря, при пе-

реходе границы раздела магнетиков претерпевает скачок, связанный с наличием поверхностных токов проводимости.

Однако если на границе раздела магнетиков токов проводимости нет (i = 0), то тангенсальная составляющая вектора Н оказывается оди-наковой по обе стороны границы раздела:

Н₂τ = H₁τ. (7.22) Итак, если на границе двух одинаковых магнетиков токов прово-

димости нет, то при переходе этой границы составляющие Bn и Hτ из-меняются непрерывно, без скачка. Составляющие же Bτ и Hn при этом претерпевают скачок.

Заметим, что на границе раздела вектор В ведет себя аналогично вектору D, а вектор Н – аналогично вектору Е.

Преломление линий вектора В. На границе раздела двух магнетиков линии вектора В испытывают преломление (рис 7.6). Как и в случае ди-электриков, найдем отношение тангенсов углов α₁ и α₂:

tg α₂ tg α₁

В₂τ /В₂n

В₁τ /В₁n

В₁ α₁ В₁n

В₁τ

В₂τ В₂n α₂ В₂


102

Рис. 7.6

Ограничимся случаем, когда на границе раздела тока проводимости нет. В этом случае согласно (7.22) и (7.20):

В₂τ/µ₂ = В₁τ/µ₁, В₂n = B₁n. С учетом последних соотношений получим закон преломления ли-

ний В (и значит, и линий Н):

.tgtg

1

2

1

2

µµ

=αα

(7.23)

7.5. Поле в однородном магнетике Как уже отмечено, нахождение результирующего магнитного поля

В при наличии произвольных магнетиков представляет собой, вообще говоря, весьма сложную задачу. Действительно, для этого необходимо согласно (7.1) к полю В₀ токов проводимости добавить макрополе В′, создаваемое токами намагничивания. Неприятность состоит в том, что нам заранее неизвестна конфигурация токов намагничивания. Мы мо-жем лишь утверждать, что распределение этих токов зависит от приро-ды и конфигурации магнетика, а также от конфигурации внешнего поля В₀ – поля токов проводимости. А поскольку мы не знаем распределение токов намагничивания, мы не можем рассчитать и поле В′.

Исключение составляет случай, когда все пространство, где имеется поле В, заполнено однородным изотропным магнетиком. Рассмотрим этот случай более подробно. Но прежде всего обратимся к явлениям, возникающим при протекании тока проводимости по однородному про-воднику в вакууме. Так как каждый проводник является магнетиком, то в нем будут протекать и токи намагничивания – объемные согласно (7.18) и поверхностные. Возьмем контур, охватывающий наш провод-ник с током. По теореме о циркуляции вектора J, поскольку во всех точках контура J = 0, алгебраическая сумма токов намагничивания (объемных и поверхностных) равна нулю: I′ = − I′об + I′пов = 0. Отсюда − I′об= −I′пов, т.е. объемные и поверхностные токи намагничивания равны и противоположны по направлению.

Таким образом, можно утверждать, что в обычных случаях, когда токи текут по достаточно тонким проводам, магнитное поле в окру-жающем пространстве (в вакууме) зависит только от токов проводимо-


103

сти, ибо поля от токов намагничивания компенсируют друг друга (за исключением, может быть, очень близких к проводу).

Теперь заполним окружающее проводник пространство однород-ным непроводящим магнетиком (пусть для конкретности это будет маг-нетик, χ>0). На границе этого магнетика с проводом появляется поверх-ностный ток намагничивания I′, имеющий, как нетрудно сообразить, то же направление, что и ток проводимости I (это при χ>0).

В результате мы будем иметь ток проводимости I, объемный и по-верхностный токи намагничивания в проводнике (магнитные поля этих токов компенсируют друг друга, поэтому их можно не учитывать в дальнейшем) и поверхностный ток намагничивания I′ на непроводящем магнетике. При достаточно тонких проводах магнитное поле В в магне-тике будет определяться как поле тока I + I′.

Таким образом, задача сводится к нахождению тока I′. С этой целью окружим проводник контуром, расположенным в поверхностном слое непроводящего магнетика. Пусть плотность контура перпендикулярна оси провода, т.е. токам намагничивания. Тогда, принимая во внимание, что i′ = J и J=χН, можно записать:

I′ = ∮i′ dl = ∮J dl = χ∮H dl. Отсюда согласно (7.11) следует, что I′ = χI. Конфигурации тока намагничивания I′ и тока проводимости I прак-

тически совпадают (провода тонкие), поэтому индукция B′ поля токов намагничивания отличается от индукции В₀ поля токов проводимости во всех точках только по модулю и эти векторы связаны друг с другом так же, как и соответствующие токи, а именно:

B′ = χ В₀. (7.24)

Тогда индукция результирующего поля В = В₀ +B′ = (1 + χ) В₀, или В = µ В₀. (7.25)

Это значит, что В при заполнении пространства однородным магне-тиком возрастает в µ раз. Иначе говоря, величина µ показывает, во сколько раз увеличится магнитная индукция В при заполнении магнети-ком всего пространства, занимаемого полем.

Если разделить обе части равенства (7.25) на µµ₀, то получим Н = Н₀ (7.26)

(в рассматриваемом случае поле Н оказывается таким же, как и в вакууме).


104

Формулы (7.24) – (7.26) справедливы и в тех случаях, когда одно-родный магнетик заполняет весь объем, ограниченный поверхностями, которые образованы линиями вектора В₀ (поля тока проводимости). И в этих случаях магнитная индукция В внутри магнетика будет в µ раз больше В₀.

В указанных случаях магнитная индукция B′ поля токов намагничи-вания связана простым соотношением с намагниченностью J магнетика:

B′ = µ₀ J. (7.27)

Это выражение можно легко получить из формулы В = В₀ + B′, если

учесть, что B′ = χВ₀ и В = µµ₀Н, где Н = J/χ. В других случаях, как уже было сказано, дело обстоит значительно

сложнее и формулы (7.24) – (7.27) оказываются несправедливыми. 7.6. Ферромагнетизм Ферромагнетики. В магнитном отношении все вещества можно

разделить на слабомагнитные (парамагнетики и диамагнетики) и сильно магнитные (ферромагнетики). Пара- и диамагнетики при отсутствии магнитного поля, как мы знаем, не намагничены и характеризуются од-нозначной зависимостью намагниченности J от Н.

Ферромагнетиками называют вещества (твердые), которые могут обладать спонтанной намагниченностью, т.е. намагничены уже при от-сутствии внешнего магнитного поля. Типичные представители ферро-магнетиков – это железо, кобальт и многие другие сплавы.

Основная кривая намагничивания. Характерной особенностью фер-ромагнетиков является сложная нелинейная зависимость J(H) или В(Н). На рис. 7.7 кривая намагничивания ферромагнетика, намагниченность которой при Н = 0, тоже равна нулю, ее называют основной кривой на-магничивания. Уже при сравнительно небольших значениях Н намагни-ченность J достигает насыщения Jнас. Магнитная индукция В также рас-тет с увеличением Н, а после достижения состояния насыщения В про-должает расти с увеличением Н по линейному закону: В=µ₀Н+const, где

const=µ₀ Jнас. На рис. 7.8 приведена основная кривая намагничивания на диаграмме В – Н.

Рис. 7.8

J

J

нас

В


105

Рис. 7.7 Ввиду нелинейной зависимости В(Н) для ферромагнетиков нельзя

ввести магнитную проницаемость µ как определенную постоянную ве-личину, характеризующую магнитные свойства каждого данного фер-ромагнетика. Однако по-прежнему считают, что µ = В/µ₀Н, при этом µ является функцией Н (рис 7.9). Магнитная проницаемость µмакс для ферромагнетиков может достигать очень больших значений. Так, на-пример, для чистого железа – 5 000, для сплава суперметаллов – 800 000.

Заметим, что понятие магнитной проницаемости применяют только к основной кривой намагничивания, ибо, как мы сейчас увидим, зави-симость В(Н) неоднозначна.

Магнитный гистерезис. Кроме нелинейной зависимости В(Н) или

J(Н) для ферромагнетиков характерно также явление магнитного гисте-резиса: связь между В и Н или J и Н оказывается неоднозначной, а оп-ределяется предшествующей историей намагничивания ферромагнети-ка. Если первоначально не намагниченный ферромагнетик намагничи-вать, увеличивая Н от нуля до значения, при котором наступает насыщение (точка 1 на рис 7.10), а затем уменьшать Н от Н₁ до –Н₁, то кривая намагничивания В(Н) пойдет не по вертикальному пути 10, а

Рис. 7.9 Рис. 7.10

0 Н 0 Н

µ µмакс 1 0 Н

В 1 2

3 6 0 Н

5 4


106

выше – по пути 1234. Если дальше изменять Н в обратном направлении от – Н₁ до +Н₁, то кривая намагничивания пойдет ниже – по пути 4561.

Получившуюся замкнутую кривую называют петлей гистерезиса. В том случае, когда в точках 1 и 4 достигается насыщение, получается максимальная петля гистерезиса. Когда же в крайних точках (1 и 4) на-сыщения нет, получаются аналогичные петли гистерезиса, но меньшего размера, как бы вписанные в максимальную петлю гистерезиса.

Из рис. 10 видно, что при Н = 0 намагничивание не исчезает (точка 2) и характеризуется величиной Br, называемой остаточной индукцией. Ей соответствует остаточная намагниченность Jr. С наличием такого остаточного намагничивания связано существование постоянных маг-нитов. Величина В обращается в нуль (точка 3) лишь под действием по-ля Н, имеющего направление, противоположное полю, вызвавшему на-магничивание. Величина Нс называется коэрцитивной силой.

Значения Br и Нс для разных ферромагнетиков меняются в широких пределах. Для трансформаторного железа петля гистерезиса узкая (Нс мало), для ферромагнетиков, используемых для изготовления постоян-ных магнитов, - широкая (Нс велико, например, для сплава Нс = 50 000 А/м, Br = 0.9 Тл).

На этих особенностях кривых намагничивания основан удобный практический прием для размагничивания ферромагнетика. Намагни-ченный образец помещают в катушку, по которой пропускают перемен-ный ток, и амплитуду его постепенно уменьшают до нуля. При этом ферромагнетик подвергается многократным циклическим перемагничи-ваниям, в которых петли гистерезиса постепенно уменьшаются, стяги-ваясь к точке О, где намагниченность равна нулю.

Опыт показывает, что при перемагничивании ферромагнетик нагре-вается. Можно показать, что в единице объема ферромагнетика выделя-ется при этом теплота Qед, численно равная «площади» Sn петли гисте-резиса:

Qед = ∮Н dB = Sn. (7.28)

Температура Кюри. При повышении температуры способность ферромагнетиков намагничиваться уменьшается, в частности, уменьша-ется намагниченность насыщения. При некоторой температуре, назы-ваемой температурой или точкой Кюри, ферромагнитные свойства ис-чезают.

При температурах, более высоких, чем температура Кюри, ферро-магнетик превращается в парамагнетик.


107

О теории ферромагнетизма. Физическую природу ферромагнетиз-ма удалось понять только с помощью квантовой механики. При опреде-ленных условиях в кристаллах могут возникать так называемые объем-ные силы, которые заставляют магнитные моменты электронов устанав-ливаться параллельно друг другу. В результате возникают области (размером 1 – 10 мкм) спонтанного, т.е. самопроизвольного, намагничи-вания – эти области называют доменами. В пределах каждого домена ферромагнетик намагничен до насыщения и имеет определенный маг-нитный момент. Направления этих моментов для разных доменов раз-личны, поэтому при отсутствии внешнего поля суммарный момент об-разца равен нулю, и образец в целом представляется макроскопически не намагниченным.

При включении внешнего магнитного поля домены, ориентирован-ные по полю, растут за счет доменов, ориентированных против поля. Такой рост в слабых полях имеет обратный характер. В более сильных полях происходит одновременная переориентация магнитных моментов в пределах всего домена. Этот процесс является необратимым, что и служит причиной гистерезиса и остаточного намагничивания.


108

8. ЭЛЕКТОРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ 8.1. Закон электромагнитной индукции. Правило

Ленца Мы установили, что существует электромагнитное поле, соотноше-

ние между «компонентами» которого – электрическим и магнитными полями – в решающей степени зависит от системы отсчета. Другими словами, обе компоненты электромагнитного поля связаны друг с дру-гом. В этой главе мы увидим, что существует еще более глубокая связь между Е- и В-полями и обнаруживается она в явлениях электромагнит-ной индукции.

Открытие Фарадея. В 1831 г. Фарадеем было сделано одно из наи-более фундаментальных открытий в электродинамике – явление элек-тромагнитной индукции. Оно заключается в том, что в замкнутом про-водящем контуре при изменении магнитного потока (т.е. потока векто-ра В), охватываемого этим контуром, возникаем электрический ток – его назвали индукционным.

Появление индукционного тока означает, что при изменении маг-нитного потока в контуре возникает э.д.с. индукции ℰi. При этом весьма замечателен тот факт, что ℰi совершенно не зависит от того, каким об-разом осуществляется изменение магнитного потока Ф, и определяются лишь его изменения, т.е. величиной dФ/dt приводит к изменению знака или «направления» ℰi.

Рис. 8.1 Фарадей обнаружил, что индукционный ток можно вызвать двумя

различными способами. Дальнейшее поясняет рис. 8.1, где изображены катушка К с током I (она создает магнитное поле) и рамка Р с гальвано-метром Г – индикатором индукционного тока.

Г


109

1-й способ – перемещение рамки Р (или отдельных ее частей) в поле неподвижной катушки К.

2-й способ – рамка Р неподвижна, но изменяется магнитное поле – или за счет движения катушки К, или следствие изменения силы тока I в ней, или в результате того и другого вместе.

Во всех этих случаях гальванометр Г будет показывать наличие ин-дукционного тока в рамке Р.

Привило Ленца. Направление индукционного тока (а значит, и знак э.д.с. индукции) определяется правилом Ленца: индукционный ток все-гда направлен так, чтобы противодействовать причине, его вызвав-шей. Иначе говоря, индукционный ток создает магнитный поток, пре-пятствующий изменению магнитного потока, вызывающего э.д.с. ин-дукции. Если, например, рамку Р (рис. 8.1) приближать к катушке К, то магнитный поток сквозь рамку возрастает. При этом в рамке возникает индукционный ток, направленный по часовой стрелке (если смотреть справа на рамку). Этот ток создает магнитный поток, «направленный» влево, он и препятствует возрастанию магнитного потока, вызывающего этот ток. То же произойдет, если увеличивать силу тока в катушке К, оставляя катушку и рамку Р неподвижными. При уменьшении же силы тока в катушке К индукционный ток в рамке Р изменит свое направле-ние на противоположное (против часовой стрелки, если смотреть спра-ва). Правило Ленца выражает существенный физический факт – стрем-ление системы противодействовать изменению ее состояния (электро-магнитная инерция).

Закон электромагнитной индукции. Согласно этому закону, какова бы ни была причина изменения магнитного потока, охватываемого замкнутым проводящим контуром, возникающая в контуре э.д.с. индук-ции определяется формулой

ℰi tddФ

−= . (8.1)

Знак минус в этом уравнении связан с определенным правилом зна-ков. Знак магнитного потока Ф связан с выбором нормали к поверхно-сти S, ограниченной рассматриваемым контуром, а знак э.д.с. индукции ℰi – с выбором положительного направления обхода по контуру.

Здесь предполагается (как и ранее), что направление нормали n к поверхности S и положительное направление обхода контура связаны друг с другом правилом правого винта*

* Если бы оба эти направления были связаны правилом левого винта, знака минус в

уравнении (8.1) просто не было бы.

(рис. 8.2). Поэтому, выбирая


110

(произвольно) направление нормали, мы определяем как знак потока Ф, так и знак (а значит, и «направление») э.д.с. индукции ℰi.

При сделанном нами выборе положительных направлений – в соот-ветствии с правилом правого винта – величина ℰi и dФ/dt - противопо-ложные знаки. Единицей магнитного потока является вебер (Вб). При скорости изменения магнитного потока 1 Вб/с в контуре индуцируется э.д.с., равная 1В.

Рис. 8.2 Полный магнитный поток (потокосцепление). Если замкнутый

контур, в котором индуцируется э.д.с., состоит не из одного витка, а из N витков (например, катушка), то ℰi будет равна сумме э.д.с., индуци-руемых в каждом из витков. И если магнитный поток, охватываемый каждым витком, одинаков и равен Ф₁, то суммарный поток Ф сквозь поверхность, натянутую на такой сложный контур, можно представить как

Ф = N Ф₁. (8.2) Эту величину называют полным магнитным потоком или пото-

косцеплением. В этом случае соответствующая э.д.с. индукции в конту-ре определяется согласно (8.1) формулой

ℰi tddФN 1−= , (8.3)

8.2. Природа электромагнитной индукции Теперь мы должны разобраться в тех случаях, которые приводят к

возникновению э.д.с. индукции, и попытаться вывести закон индукции (8.1) из того, что нам уже известно. Рассмотрим последовательно два случая.

Контур движется в постоянном магнитном поле. Прежде всего, обратимся к контуру с подвижной перемычкой длиной l (рис. 8.3). Пусть он находится в однородном магнитном поле, перпендикулярном

+


111

плоскости контура и направленном за плоскость рисунка. Начнем дви-гать перемычку вправо со скоростью v. С такой же скоростью начнут двигаться и носители тока в перемычке – электроны. В результате на каждый электрон начнет действовать магнитная сила F = − e[vB] и элек-троны начнут перемещаться по перемычке вниз – потечет ток, направ-ленный вверх. Это и есть индукционный ток. Перераспределившиеся заряды (на поверхности проводников) создают электронное поле, кото-рое возбудит ток и в остальных участках контура.

Магнитная сила F играет роль сторонней силы. Ей соответствует поле E* = F/(−e) = [vB]. Заметим, что это выражение можно получить и с помощью формул преобразования полей.

Рис. 8.3 Циркуляция вектора E* по контуру дает по определению величину

э.д.с. индукции. В нашем случае ℰi = − υВl, (8.4)

где знак минус поставлен в связи с принятым правилом знаков: нормаль n к поверхности, натянутой на наш контур, мы выбрали за плоскостью рис. 8.3 (в сторону поля В), и поэтому по правилу правого винта положительное направление обхода контура – по часовой стрелке, как показано на рисунке. При этом стороннее поле E* направлено про-тив положительного направления обхода контура и ℰi – величина отри-цательная.

Произведение υl в (8.4) есть приращение площади, ограниченной контуром, в единицу времени (dS/dt), поэтому υВl = B dS/dt = dФ/dt, где dФ – приращение магнитного потока сквозь площадь контура (в нашем случае dФ>0). Таким образом,

ℰi = − dФ/dt. (8.5)

В v

E* = [vB]


112

Можно в общем виде доказать, что закон (8.1) справедлив для лю-бого контура, движущегося произвольным образом в постоянном неод-нородном магнитном поле.

Итак, возбуждение э.д.с. индукции при движении контура в посто-янном магнитном поле объясняется действием силы ∾ [vB], которая возникает при движении проводника.

Заметим попутно, что идея схемы (рис. 8.3) лежит в основе действия всех индукционных генераторов тока, в которых ротор с обмоткой вра-щается во внешнем магнитном поле.

Контур покоится в переменном магнитном поле. Возникновение индукционного тока и в этом случае свидетельствует о том, что изме-няющееся во времени магнитное поле вызывает в контуре появление сторонних сил. Но что это за силы? Какова их природа? Ясно, что это не магнитные силы ∾ [vB]: привести в движение покоящиеся (v=0) заряды эти силы могут. Но других сил, кроме qE и q[vB], нет! Остается заклю-чить, что индукционный ток обусловлен возникающим в природе элек-трическим полем Е. Именно это поле и ответственно за появление э.д.с. индукции в неподвижном контуре при изменении во времени магнитно-го поля.

Максвелл предположил, что изменяющееся во времени магнитное поле приводит к появлению в пространстве электрического поля неза-висимо от наличия проводящего контура. Последний лишь позволяет обнаружить по возникновению в нем индукционного тока существова-ние этого электрического поля.

Таким образом, согласно Максвеллу изменяющееся со временем магнитное поле порождает электрическое поле. Циркуляция вектора Е этого поля по любому неподвижному контуру определяется как

(8.6) Здесь символ частной производной по времени (∂/∂t) подчеркивает

тот факт, что контур и натянутая на него поверхность неподвижны. Так как поток Ф=∫ВdS (интегрирование проводится по произвольной по-верхности, натянутой на интересующий нас контур), то

В этом равенстве мы поменяли местами операции дифференцирова-

ния по времени и интегрирования по поверхности, поскольку контур и поверхность неподвижны. Тогда уравнение (8.6) можно представить в виде

. t Ф d ∮

Е

∂ ∂ − = l

. dS. t B dS B

t ∫ ∫ ∂ ∂ =

∂ ∂


113

(8.7) Данное уравнение имеет ту же структуру, что и уравнение (6.13),

причем роль вектора j играет вектор ∂В/∂t. Стало быть, оно может быть преобразовано в дифференциальную форму так же, как и уравнение (6.18). И в результате мы получим

∇×Е = − ∂В/∂t. (8.8) Это уравнение выражает локальную связь между электрическим и

магнитным полями: изменение поля В во времени в данной точке опре-деляет ротор поля Е в этой же точке. Отличие же ∇×Е от нуля свиде-тельствует о наличии самого электрического поля.

Тот факт, что циркуляция электрического поля, возбуждаемого из-меняющимся со временем магнитным полем, отлична от нуля, означает, что это электрическое поле не потенциально. Оно, как и магнитное по-ле, является вихревым. Таким образом, электрическое поле может быть как потенциальным (в электростатике), так и вихревым.

В общем случае электрическое поле Е может слагаться из электро-статического поля и поля, обусловленного изменяющимся во времени магнитным полем. Поскольку циркуляция электростатического поля равна нулю, уравнения (8.6) – (8.8) оказываются справедливыми и для общего случая, когда поле Е представляет собой векторную сумму этих двух полей.

Заключение. Итак, закон электромагнитной индукции (8.1) справед-лив, когда магнитный поток сквозь контур меняется за счет движения контура или за счет изменения магнитного поля со временем (или когда происходит и то и другое). Вместе с тем для объяснения закона в этих двух случаях пришлось использовать два совершенно разных явления: для движущегося контура – действие магнитной силы ∾ [vB], а для ме-няющегося во времени поля ∂В/∂t – представление о возникающем вих-ревом электрическом поле Е.

Ввиду того что никакого глубокого единого принципа, объединяю-щего оба явления, не видно, мы должны вспомнить закон электромаг-нитной индукции как совместный эффект двух совершенно различных явлений. Оба эти явления, вообще говоря, независимы друг от друга, и тем не менее – что удивительно – э.д.с. индукции в контуре всегда равна скорости изменения магнитного потока сквозь контур.

Иначе говоря, в тех случаях, когда меняется и поле В во времени, и конфигурация или расположение контура в поле, э.д.с. индукции надо рассчитать по формуле (8.1), где справа стоит полная производная dФ/dt

. dS. t B dl E ∫ ∂ ∂ − = ∮


114

по времени, автоматически учитывающая оба фактора. В связи с этим закон (8.1) можно представить в таком виде:

(8.9) Выражение, стоящее в правой части этого равенства, представляет

собой полную производную – dФ/dt. Здесь первое слагаемое связано с изменением магнитного поля во времени, второе – с движением конту-ра.

Возможные затруднения. Иногда приходится сталкиваться с ситуа-циями, где закон электромагнитной индукции (8.1) оказывается непри-менимым (в основном из-за трудностей, связанных с выбором самого контура). В этих случаях необходимо обращаться к основным законам – силе Лоренца qE + q[vB] и закону ∇×Е = − ∂В/∂t. Именно они во всех случаях выражают физическое содержание закона электромагнитной индукции.

О кажущемся парадоксе. Мы знаем, что сила, испытываемая элек-трическим зарядом в магнитном поле, перпендикулярна его скорости и потому никакой работы не совершается. Между тем при движении про-водника с током (движущиеся заряды!) сила Ампера, несомненно, со-вершает работу (электромотор!). В чем здесь дело?

Это кажущееся противоречие исчезает, если учесть, что движение проводника в магнитном поле неизбежно сопровождается явлением электромагнитной индукции. И именно потому, что в проводнике инду-цируется э.д.с., совершающая работу над зарядами, полная работа сил магнитного поля (работа силы Ампера и работа э.д.с. индукции) равна нулю. В самом деле, при элементарном перемещении контура с током в магнитном поле силы Ампера совершают работу

δАА = I dФ, (8.10) а э.д.с. индукции за это время выполняет работу

δАi = ℰi I dt = − I dФ, (8.11)

где учтено, что ℰi = − dФ/dt. Из последних двух формул видно, что полная работа

δАА + δАi = 0. (8.12) Итак, в работу сил магнитного поля входит не только механическая

работа (обусловленная силами Ампера), но и работа э.д.с., индуцируе-мой при движении контура. Обе работы равны по модулю и противопо-ложны по знаку, поэтому их сумма и равна нулю.

[ ] . dl. vB dt d Ф dl E ∮ + − = ∮


115

Работа сил Ампера совершается не за счет энергии внешнего маг-нитного поля, а за счет источника, поддерживающего ток в контуре. При этом источник совершает дополнительную работу против э.д.с. ин-дукции δАдоп= − ℰiI dt = I dФ, которая оказывается одинаковой с рабо-той δАА сил Ампера.

Работа δА, которая совершается при перемещении контура против тормозящих амперовых сил (они возникают благодаря появлению ин-дуцированного тока в соответствии с правилом Ленца), преобразуется в работу э.д.с. индукции:

δА = − δАА = δАi. (8.13) С энергетической точки зрения в этом заключается сущность дейст-

вия всех индуцированных генераторов тока. 8.3. Явление самоиндукции Электромагнитная индукция возникает во всех случаях, когда изме-

няется магнитный поток сквозь контур. При этом совершенно неважно, чем вызывается это изменение потока. Если в некотором контуре течет изменяющийся во времени ток, то магнитное поле этого тока также бу-дет изменяться. Это влечет за собой изменение магнитного потока через контур, а следовательно, и появление э.д.с. индукции.

Таким образом, изменение тока в контуре ведет к возникновению э.д.с. индукции в этом же самом контуре. Данное явление называется самоиндукцией.

Индуктивность. Если в пространстве, где находится контур с током I, нет ферромагнетиков, поле В, а значит, и полный магнитный поток Ф через контур будут пропорциональны силе тока I, и можно написать

Ф = LI, (8.14) где L – коэффициент, называемый индуктивностью контура. В со-

ответствии в принятым правилом знаков для величин Ф и I оказывается, что Ф и I всегда имеют одинаковые знаки. Это означает, что индуктив-ность L – величина существенно положительная.

Индуктивность L зависит от формы и размеров контура, а также от магнитных свойств окружающей среды. Если контур жесткий и побли-зости от него нет ферромагнетиков, индуктивность является величиной постоянной, не зависящий от силы тока I.

Единицей индуктивности является генри (Гн). Согласно (8.14) ин-дуктивностью 1 Гн обладает контур, магнитный поток сквозь который при токе 1 А равен 1 Вб, значит, 1 Гн = 1 Вб/А.

О некоторых трудностях. Отметим, что определение индуктивно-сти по формуле L = Ф/I связано с определенными трудностями. Как бы ни был тонок провод, его сечение конечно, и мы просто не знаем, как


116

надо провести в теле проводника геометрический контур, необходимый для вычисления Ф. Результат оказывается неоднозначным. Для доста-точно тонкого провода эта неоднородность существенна: здесь из-за не-определенности выбора геометрического контура результат вычисления L может содержать большую ошибку. Об этом нельзя забывать.

Э.д.с. самоиндукции. При изменении силы тока в контуре согласно (8.1) возникает э.д.с. самоиндукции ℰs:

ℰs ),(dd

ddФ LI

tt−=−= (8.15)

Если при изменении тока индуктивность L остается постоянной (не меняется конфигурация тока и нет ферромагнетиков), то

ℰs = − L I

t

(L = const). (8.16)

Здесь знак минус показывает, что ℰs всегда направлена так, чтобы препятствовать изменению силы тока – в соответствии с правилом Лен-ца. Эта э.д.с. сохраняет ток неизмененным: она противодействует току, когда он увеличивается, и поддерживает ток, когда он уменьшается. В явлениях самоиндукции ток обладает «инерцией», потому что эффекты индукции стремятся сохранить магнитный поток постоянным, точно так же, как механическая инерция стремится сохранить скорость тела неиз-менной.

Примеры появления самоиндукции. Характерные проявления само-индукции наблюдаются при замыкании и размыкании тока в цепи. Ус-тановление тока при замыкании цепи и убывание тока при размыкании цепи происходит не мгновенно, а постепенно. Причем эти эффекты за-медления тем значительнее, чем больше индуктивность в цепи.

Любой большой электромагнит обладает большой индуктивностью. Если его обмотку отсоединить от источника, ток быстро уменьшается до нуля и в процессе уменьшения создает огромную э.д.с. самоиндук-ции. Это часто приводит к образованию вольтовой дуги между контак-тами выключателя и является весьма опасным, причем не только для обмотки электромагнита, но и для человека, размыкающего цепь. По этим причинам параллельно обмотке электромагнита обычно включают лампочку с сопротивлением того же порядка, что и сопротивление об-мотки. В этом случае ток в обмотке спадает медленно и опасности не представляет.


117

О сохранении магнитного потока. Пусть в произвольном внешнем магнитном поле – постоянном или переменном – движет и деформирует контур с током. При этом в контуре индукции ток

I = ℰi + ℰs

R

Если сопротивление контура R = 0, то должно быть и dФ/dt = 0, по-скольку сила тока I не может быть бесконечно большой. Отсюда следу-ет, что Ф = const.

Таким образом, при движении сверхпроводящего контура в магнит-ном поле пронизывающий его магнитный поток остается постоянным. Такое сохранение потока обеспечивают индукционные токи, которые согласно правилу Ленца препятствуют всякому изменению магнитного потока сквозь контур.

Тенденция к сохранению магнитного потока сквозь контур имеется в любом случае, но наиболее полно она проявляется в контурах из сверхпроводников.

8.4. Взаимная индукция Взаимная индуктивность. Рассмотрим два неподвижных контура 1

и 2 (рис. 8.4), расположенные достаточно близко друг к другу. Если в контуре 1 течет ток I₁, он создает через контур 2 полный магнитный по-

ток Ф₂, пропорциональный (при отсутствии ферромагнетиков) току I₁: Ф₂ = L₂₁I₁. (8.17)

Совершенно так же, если в контуре 2 течет ток I₂, он создает через контур 1 полный магнитный поток

Ф₁ = L₁₂I₂. (8.18)

Коэффициенты пропорциональности L₁₂ и L₂₁ называют взаимной индуктивностью контура. Очевидно, взаимная индуктивность численно равна магнитному потоку сквозь один из контуров, создаваемому еди-ничным током в другом контуре. Коэффициенты L₁₂ и L₂₁ зависят от формы, размеров и взаимного расположения контуров, а также от маг-нитной проницаемости окружающей контуры среды. Выражаются эти коэффициенты в тех же единицах, что и индуктивность L.

. dt

d R 1 − =

I

1

2

Ф


118

Рис. 8.4 Теорема взаимности. Соответствующий расчет дает (и опыт его

подтверждает), что при отсутствии ферромагнетиков коэффициенты L₁₂

и L₂₁ одинаковы: L₁₂ = L₂₁. (8.19)

Это замечательное свойство взаимной индуктивности принято на-зывать теоремой взаимности. Благодаря этой теореме можно не делать различия между L₁₂ и L₂₁ и просто говорить о взаимности индуктивно-сти двух контуров. Смысл равенства (8.19) в том, что в любом случае магнитный поток Ф₁ сквозь контур 1, созданный током I в контуре 2,

равен магнитному потоку Ф₂ сквозь контур 2, созданному таким же то-ком I в контуре 1. Это обстоятельство нередко позволяет сильно упро-щать решение вопроса о нахождении, например, магнитных потоков.

Однако наличие ферромагнетиков меняет дело, и теорема перестает выполняться.

Взаимная индукция. Наличие магнитной связи между контурами проявляется в том, что при всяком изменении тока в одном из контуров в другом контуре возникает э.д.с. индукции. Это явление и называют взаимной индукцией.

Согласно закону электромагнитной индукции э.д.с., возникающие в контуре 1 и 2, равны соответственно:

ℰ1 tIL

t2

dd

ddФ

121 −=−=

(8.20)

ℰ2 tIL

t1

dd

ddФ

212 −=−=

Здесь предполагается, что контуры неподвижны и ферромагнетиков поблизости нет.

С учетом явления самоиндукции ток, например, в контуре 1 при из-менении токов в обоих контурах определяется по закону Ома как


119

R₁I₁ = ℰ₁ tIL

tIL 21

dd

dd

121 −− ,

где ℰ₁ − сторонняя э.д.с. в контуре 1 (помимо индукционных э.д.с.);

L₁ - индуктивность контура 1. Аналогичное уравнение можно записать

и для определения силы тока I₂ в контуре 2. Отметим, что на явлении взаимной индукции основано действие

трансформаторов – устройств, служащих для преобразования токов и напряжений.

Замечание о знаке L₁₂. В отличие от индуктивности L, которая, как было сказано, является существенно положительной величиной, взаим-ная индуктивность L₁₂ − величина алгебраическая (в частности, равная нулю). Это связано с тем обстоятельством, что, например в (8.17) вели-чины Ф₂ и I₁ относятся к разным контурам. Из рис. 8.4 сразу видно, что

знак магнитного потока Ф₂ при данном направлении тока I₁ будет зави-сеть от выбора нормали к поверхности, ограниченной контуром 2 (или от выбора положительного направления обхода этого контура). Поло-жительные направления для токов (и э.д.с.) в обоих контурах всегда можно выбрать произвольно (а с положительным направлением обхода контура однозначно – правилом правого винта – связано направление нормали n к поверхности, ограниченной контуром, т.е. в конечном счете знак магнитного потока). Раз эти направления выбраны, величину L₁₂ мы должны считать положительной, когда при положительных токах магнитные потоки взаимной индукции через контуры оказываются так-же положительными, т.е. совпадают по знаку с потоками самоиндукции.

Положительные направления для токов (и э.д.с.) в обоих контурах всегда можно выбрать произвольно (а с положительным направлением обхода контура однозначно – правилом правого винта – связано направ-ление нормали n к поверхности, ограниченной контуром, т.е. в конеч-ном счете знак магнитного потока). Раз эти направления выбраны, вели-чину L₁₂ мы должны считать положительной, когда при положительных токах магнитные потоки взаимной индукции через контуры оказывают-ся также положительными, т.е. совпадают по знаку с потоками самоин-дукции.


120

Другими словами, L₁₂ > 0, если при положительных токах в обоих

контурах они «подмагничивают» друг друга, в противном случае L₁₂ < 0. В частных случаях можно заранее так установить положительное на-правление обхода контуров, чтобы получить желательный нам знак ве-личины L₁₂ (рис. 8.5).

8.5. Энергия магнитного поля Магнитная энергия тока. Замкнем неподвижную цепь, содержа-

щую индуктивность L и сопротивление R, на источник тока с э.д.с. ℰ₀.

Согласно закону Ома RI = ℰ₀ + ℰs, откуда ℰ₀ = RI − ℰs. (8.21)

Найдем элементарную работу, которую совершают сторонние силы (т.е. источник ℰ₀) за время dt. Для этого умножим предыдущее равенст-во на I dt:

ℰ₀I dt = RI² dt − ℰsI dt. (8.22)

Учитывая смысл каждого слагаемого и соотношение ℰs= −dФ/dt, за-пишем

δАстор = δQ + I dФ. (8.23) Мы видим, что в процессе установления тока, когда поток Ф меня-

ется и dФ > 0 (если I > 0), работа, которую совершает источник ℰ₀, ока-зывается больше выделяемой в цепи джоулевой теплоты. Часть этой ра-боты (дополнительная работа) совершается против э.д.с. самоиндукции.

Рис. 8.5

L₁₂ > 0

L₁₂ < 0 б)


121

Заметим, что после того как ток установился, dФ = 0 и вся работа ис-точника ℰ₀ будет идти только на выделение джоулевой теплоты.

Итак, дополнительная работа, совершаемая сторонними силами против э.д.с. самоиндукции в процессе установления тока:

δАдоп = I dФ. (8.24)

Это соотношение имеет общий характер. Оно справедливо и при наличии ферромагнетиков, так как при его

выводе не вводилось никаких предложений относительно магнитных свойств окружающей среды.

Теперь (и далее) будем считать, что ферромагнетики отсутствуют. Тогда dФ = L dI и

δАдоп = LI dI. (8.25)

Проинтегрировав это уравнение, получим Адоп = LI²/2. По закону сохранения энергии любая работа идет на приращение какого-то вида энергии. Мы видим, что часть работы сторонних сил (ℰ₀) идет на увели-чение внутренней энергии проводников (с ней связано выделение джо-улевой теплоты) и другая часть – в процессе установления тока – на что-то еще. Это «что-то» есть не что иное, как магнитное поле, именно его появление и связано с появлением тока.

Таким образом, мы приходим к выводу, что при отсутствии ферро-магнетиков контур с индуктивностью L, по которому течет ток I, обла-дает энергией

(8.26) Эту энергию называют магнитной энергией тока, или собственной

энергией тока. Она может быть целиком превращена во внешнюю энер-гию проводников, если отключить ℰ₀.

Энергия магнитного поля. Формула (8.26) выражает магнитную энергию тока через индуктивность и ток (при отсутствии ферромагне-тиков). Однако и здесь, как и в случае электрической энергии заряжен-ных тел, энергию можно выразить непосредственно через магнитную индукцию В.

Убедимся, что это так сначала на простейшем примере длинного со-леноида, пренебрегая искажением поля на его торцах (краевыми эффек-тами).

Подстановка в формулу (8.26) выражения L=µµ₀n²V дает

. L 2

Ф I Ф 2 1 LI 2 1 W 2 = = =


122

W = ½ LI² = ½ µµ₀n²I²V. А так как nI = H = B/µµ₀, то

(8.27) Эта формула справедлива для однородного поля, заполняющего

объем V (как в нашем случае с соленоидом). В общей теории показывается, что энергию W можно выразить че-

рез векторы В и Н в любом случае (но при отсутствии ферромагнети-ков) по формуле

(8.28) Подынтегральное выражение в этом уравнении имеет смысл энер-

гии, заключенной в элементе объемом dV. Отсюда, как и в случае элек-трического поля, мы приходим к выводу, что магнитная энергия также локализована в пространстве, занимаемом магнитным полем. Из фор-мул (8.27) и (8.28) следует, что магнитная энергия распределена в про-странстве с объемной плотностью

(8.29) Отметим, что полученное выражение относится лишь к тем средам,

для которых зависимость В и Н линейная, т.е. µ в соотношении В = µµ₀Н не зависит от Н. Другими словами, выражения (8.28) и (8.29) от-носятся только к пара- и диамагнетикам. К ферромагнетикам они не применимы*

Еще об основании формулы (8.29). Убедимся в справедливости этой формулы, рассуждая в «обратном» порядке, а именно покажем, что если

. Отметим также, что магнитная энергия – величина суще-ственно положительная. Это легко усмотреть из последних двух фор-мул.

* Это обусловлено, тем, что в конечном счете выражения (8.28) и (8.29) являются

следствиями формулы δАдоп = I dФ и того факта, что при отсутствии гистерезиса работа δАдоп идет только на приращение магнитной энергии dW. Для ферромагнитной среды де-ло обстоит иначе: работа δАдоп идет еще и на приращение внутренней энергии среды, т.е. на ее нагревание.

. V 2

BH V 2 B W

0

2 =

µµ =

∫ = . dV 2

BH W

. 2 B

2 BH

0

2

µµ = = ω


123

формула (8.29) справедлива, то магнитная энергия контура с током W = LI²/2.

С этой целью рассмотрим магнитное поле произвольного контура с током I (рис. 8.6). Представим себе поле, разделенное на элементарные трубки, образующие которых являются линиями вектора В. Выделим в одной из таких трубок элементарный объем dV = dldS. В соответствии с формулой (8.29) в этом объеме локализована энергия ½ ВН dldS.

Теперь найдем энергию dW в объеме всей элементарной трубки. Для этого проинтегрируем последнее выражение вдоль оси трубки. Поток dФ = В dS сквозь сечение трубки постоянен вдоль всей трубки, поэтому dФ можно вынести за знак интеграла:

где использована теорема о циркуляции вектора Н (в нашем случае

проекция Нl = Н). И наконец, просуммируем энергию всех элементарных трубок:

где Ф – полный магнитный поток, охватываемый контуром с током

Ф =

LI. Это и требовалось доказать. Теперь найдем энергию dW в объеме всей элементарной трубки. Для

этого проинтегрируем последнее выражение вдоль оси трубки. Поток dФ = В dS сквозь сечение трубки постоянен вдоль всей трубки, поэтому dФ можно вынести за знак интеграла:

Рис. 8.6

, 2

d Ф d H 2

d Ф ∮ = = l

/ LI 2 / I Ф d Ф I 2 1 W 2

∫ = = = 2,

, 2

d Ф I d H 2 d Ф W = = l ∮

dW

dl

dS


124

где использована теорема о циркуляции вектора Н (в нашем случае проекция Нl = Н).

И наконец, просуммируем энергию всех элементарных трубок:

где Ф – полный магнитный поток, охватываемый контуром с током

Ф = LI. Это и требовалось доказать. Определение индуктивности из выражения энергии. Мы ввели ин-

дуктивность L как коэффициент пропорциональности между магнитным потоком Ф и током I.

Существует, однако, и другая возможность расчета L из выражения энергии. В самом деле, из сопротивления формул (8.26) и (8.28) следует, что при отсутствии ферромагнетика

(8.30)

Нахождение L таким путем свободно от неопределенности, связан-ной с вычислением магнитного потока Ф в формуле (8.14).

8.6. Магнитная энергия двух контуров с током Собственная и взаимная энергии. Возьмем два неподвижных конту-

ра 1 и 2, расположив их достаточно близко друг к другу (чтобы была магнитная связь между ними).

Предполагая, что в каждом контуре есть свой источник постоянной э.д.с. Замкнем в момент t = 0 каждый из контуров. Как в том, так и в другом контуре начнет устанавливаться свой ток и, следовательно, поя-вятся э.д.с. самоиндукции ℰs и э.д.с. взаимной индукции ℰi. Дополни-тельная работа, совершаемая при этом источниками постоянной э.д.с. против ℰs и ℰi идет, как мы уже знаем, на создание магнитной энергии.

Найдем эту работу за время dt: δАдоп= − (ℰs₁ + ℰi₁) I₁ dt − (ℰs₂ + ℰi₂) I₂ dt = dW.

Преобразуем эту формулу, учитывая, что ℰs₁ = − L₁ dI₁/dt, ℰi₁ = − L₁₂ dI₂/dt и т.д.:

dW = L₁I₁ dI₁ + L₁₂I₁ dI₂ + L₂I₂ dI₂ + L₂₁I₂ dI₁. Имея в виду, что L₁₂ = L₂₁, представим последнее уравнение в виде

, / LI 2 / I Ф d Ф I 2 1 W 2

∫ = = = 2

. dV B I 1 L

0

2 2 ∫ µµ

=


125

dW = d(L₁I₁²/2) + d(L₂I₂²/2) + d(L₁₂I₁I₂), откуда

(8.31) Здесь первые два слагаемых называют собственной энергией тока I₁

и тока I₂, последнее слагаемое – взаимной энергией обоих токов. Взаим-ная энергия токов – величина алгебраическая в отличие от собственных энергий токов. Изменение направления одного из токов приводит к из-менению знака взаимной энергии – последнего слагаемого в (8.31).

Полевая трактовка энергии (8.31). Есть несколько важных вопро-сов, которые мы сможем решить, вычислив магнитную энергию двух контуров еще иначе – с точки зрения локализации энергии в поле. Пусть В₁ – магнитное поле тока I₁, а В₂ – поле тока I₂. Тогда по принципу су-

перпозиции поле в каждой точке В=В₁+В₂ и согласно (8.28) энергия по-

ля этой системы токов W=∫(B²/2µµ₀)dV. Подставив сюда

В²=В₁²+В₂²+2В₁В₂, получим

(8.32) Соответствие друг другу отдельных слагаемых в формулах (8.31) и

(8.32) не вызывает сомнения. Формулы (8.31) и (8.32) приводят к таким важным следствиям. 1. Магнитная энергия системы двух (и более) токов – величина все-

гда положительная, W > 0. Это вытекает из того факта, что W ∾ ∫ В² dV, где под интегралом стоят положительные величины.

2. Энергия токов – величина не аддитивная (из-за наличия взаимной энергии).

3. Последний интеграл в (8.32) пропорционален произведению то-ков I₁I₂, так как В₁∾I₁ и В₂∾ I₂. Коэффициент же пропорциональности (т.е. оставшийся интеграл) оказывается симметричным относительно индексов 1 и 2, а поэтому его можно обозначить L₁₂ или L₂₁ [в соответ-ствии с формулой (8.31)]. Таким образом, действительно L₁₂ = L₂₁.

4. Из выражения (8.32) вытекает другое определение индуктивности L₁₂. В самом деле, сопоставление выражений (8.32) и (8.31) показывает,

. I I L 2 I L

2 I L W 2 1 12

2 2 2

2 1 1 + + =

. dV B B dV 2 B dV

2 B W

0 2 1

0

2 2

0

2 1 ∫ ∫ ∫ µµ

+ µµ

+ µµ

=


126

что

(8.33) 8.7. Энергия и сила в магнитном поле Наиболее общим методом определения сил в магнитном поле явля-

ется энергетический. В этом методе используют выражение для энергии магнитного поля.

Ограничимся случаем, когда система состоит из двух контуров с то-ками I₁ и I₂. Магнитная энергия такой системы может быть представле-на в виде

W = ½ (I₁Ф₁ + I₂Ф₂), (8.34)

где Ф₁ и Ф₂ - полные магнитные потоки, пронизывающие контуры 1 и 2 соответственно. Это выражение нетрудно получить их формулы (8.31), если представить последнее слагаемое как сумму ½ L₁₂I₁I₂ + ½

L₂₁I₂I₁, а затем учесть, что Ф₁ = L₁I₁ + L₁₂I₁, Ф₂ = L₂I₂ +

L₂₁I₁. (8.35

)

Согласно закону сохранения энергии работа δА*, которую совер-шают источники тока, включенные в контуры 1 и 2, идет на теплоту δQ, на приращение магнитной энергии системы dW (из-за движения конту-ров или изменения токов в них) и на механическую работу δАмех (вследствие перемещения или деформации контуров):

δА* = δQ + dW + δАмех. (8.36) Мы предположили, что емкость контуров пренебрежимо мала, и по-

этому электрическую энергию учитывать не будем. В дальнейшем нас будет интересовать не вся работа источника тока

δА*, а только та ее часть, которая совершается против э.д.с. индукции и самоиндукции (в каждом контуре). Эта работа (мы назвали ее дополни-тельной) равна δАдоп=−(ℰs₁+ℰi₁)I₁dt−(ℰs₂+ℰi₂)I₂dt. Учитывая что для ка-ждого контура ℰs + ℰi = − dФ/dt, перепишем выражение для дополни-тельной работы в виде

. dV B B I I 1 L

0 2 1

2 1 12 ∫ µµ =


127

δАдоп = I₁ dФ₁ + I₂ dФ₂. (8.37) Именно эта часть работы источников тока (работа против э.д.с. ин-

дукции и самоиндукции), связанная с изменением потоков Ф₁ и Ф₂, и идет на приращение магнитной энергии системы и на механическую ра-боту:

I₁ dФ₁ + I₂ dФ₂ = dW + δАмех. (8.38) Эта формула является основной для расчета механической работы

δАмех, а из нее - и сил в магнитном поле. Из формулы (8.38) можно получить и более простые выражения для

δАмех, если считать, что в процессе перемещения остаются неизменны-ми или все магнитные потоки сквозь контуры, или токи в них. Рассмот-рим это более подробно.

1. Если токи постоянны, Фk = const, то из (8.38) сразу следует, что δАмех= − dWФ, (8.39)

где символ Ф подчеркивает, что приращение магнитной энергии системы должно быть вычислено при постоянных потоках через контур.

2. Если потоки постоянны, Ik = const, то δАмех= dWI. (8.40)

Действительно, при Ik = const из формулы (8.34) следует, что dWI = ½ (I₁dФ₁ + I₂dФ₂), (8.41)

т.е. в этом случае приращение магнитной энергии системы равно согласно (8.37) половине дополнительной работы источников э.д.с. Другая половина этой работы идет на совершение механической рабо-ты, иначе говоря, при постоянстве δАмех= dWI, что и требовалось пока-зать. Необходимо подчеркнуть, что оба полученные нами выражения (8.39) и (8.40) определяют механическую работу одной и той же силы, т.е. можно написать:

F dl = − dWФ = dWI. (8.42) Для вычисления силы с помощью этих формул, конечно, нет необ-

ходимости подбирать такой режим, при котором обязательно остава-лись бы постоянными или магнитные потоки, или токи. Надо просто найти приращение dW магнитной энергии системы при условии, что ли-бо Фk = const, либо Ik = const, а это является чисто магической операци-ей.


128

Ценность полученных выражений (8.39) и (8.40) в их общности: они пригодны для системы, состоящей из любого числа контуров – од-ного, двух и т.д.

Магнитное давление. Если магнитное поле по разные стороны по-верхности с током разное − В₁ и В₂, то в этом случае, оказывается, маг-нитное давление

(8.43) причем дело обстоит так, как если бы область с большей плотно-

стью магнитной энергии была бы областью большего давления. Соотношение (8.43) является одним из основных в магнитогидро-

динамике, изучающей поведение электропроводящих жидкостей (в электротехнике и астрофизике).

, 2 H B

2 H B P 2 2 1 1 − =


129

9. УРАВНЕНИЕ МАКСВЕЛЛА. ЭНЕРГИЯ ЭЛЕК-ТОРМАГНИТНОГО ПОЛЯ

9.1. Ток смещения Открытие Максвелла. Теория электромагнитного поля, начала ко-

торой заложил Фарадей, математически была завершена Максвеллом. При этом одной из новых важнейших идей, выдвинутых Максвеллом, была мысль о симметрии во взаимодействии электрического и магнит-ного полей. А именно, поскольку меняющееся во времени магнитное поле (∂В/ ∂t) создает электрическое поле, следует ожидать, что меняю-щееся во времени электрическое поле (∂Е/ ∂t) создает магнитное поле.

К этой идее о необходимости существования по сути нового явле-ния индукции можно прийти путем, например, следующих рассужде-ний. Мы знаем, что согласно теореме о циркуляции вектора Н

∮Н dl = ∮j dS. (9.1)

а) б)

Рис. 9.1 Применим эту теорему к случаю, когда предварительно заряжен-

ный плоский конденсатор разряжается через некоторое внешнее сопро-тивление (рис. 9.1, а). В качестве контура Г возьмем кривую, охваты-вающую провод. На контур Г можно натянуть разные поверхности, на-пример S и S′. Обе поверхности имеют «равные права», однако через поверхность S течет ток I, а через поверхность S′ не течет никакого то-ка!

Получается, что циркуляция Н зависит от того, какую поверхность мы натягиваем на данный контур (?!), чего явно не может быть (в слу-чае постоянных токов этого и не происходило).

А нельзя ли как-то изменить правую часть (9.1), чтобы избежать этой неприятности? Оказывается, можно, и вот как. Первое, что мы за-мечаем, это то, что поверхность S′ «пронизывает» только электрическое

I

- + S’ S I Г

S’ S n Г

n’ n


130

поле. По теореме Гаусса поток вектора D сквозь замкнутую поверхность

∮D dS = q, откуда

(9.2) С другой стороны, согласно уравнению непрерывности

(9.3) Сложив отдельно левые и правые части уравнений (9.2) и (9.3), по-

лучим

(9.4) Это уравнение аналогично уравнению непрерывности для постоян-

ного тока. Из него видно, что кроме плотности тока проводимости j имеется еще одно слагаемое ∂D/∂t, размерность которого равна размер-ности плотности тока. Максвелл назвал это слагаемое плотностью тока смещения:

jсм = ∂D/∂t. (9.5)

Сумму же тока проводимости и тока смещения называют полным током. Его плотность

(9.6) Согласно (9.4) линии полного тока являются непрерывными в отли-

чие от линий тока проводимости. Токи проводимости, если они не замкнуты, замыкаются токами смещения.

Сейчас мы убедимся в том, что введение полного тока устраняет трудность, связанную с зависимостью циркуляции вектора Н от выбора поверхности, натягиваемой на контур Г. Оказывается, для этого доста-точно в правой части уравнения (9.1) вместо тока проводимости ввести полный ток, т.е. величину

(9.7) В самом деле, правая часть (9.7) представляет собой сумму тока

проводимости I и тока смещения Iсм: Iполн = I + Iсм. Покажем, что пол-

. t q dS

D ∂ ∂ =

∂ ∂

. t q dS j ∂ ∂

. 0 dS t D j =

∂ ∂ +

. t D j j полн ∂ ∂ + =

. dS. t D j I полн ∫

∂ ∂ + =

∮

∮

∮


131

ный ток Iполн будет одинаков и для поверхности S′, и для поверхности S, натянутых на один и тот же контур Г. Для этого применим (9.4) к замк-нутой поверхности, составленной из поверхностей S и S′ (рис. 9.1, б). Учитывая, что для замкнутой поверхности нормаль n направлена нару-жу, запишем

Iполн(S′) + Iполн(S) = 0. Теперь, если обернуть нормаль n′ для поверхности S′ в ту же сторо-

ну, что и для S,то первое слагаемое в последнем уравнении изменит знак и мы получим

Iполн(S′) = Iполн(S), что и требовалось доказать. Итак, теорему о циркуляции вектора Н, которая была установлена

для постоянных токов, можно обобщить для произвольного случая и за-писать

(9.8) В таком виде теорема о циркуляции вектора Н справедлива всегда,

свидетельством чему является согласие этого уравнения с результатами опыта во всех без исключения случаях.

Дифференциальная форма уравнения (9.8):

(9.9) т.е. ротор вектора Н определяется плотностью тока проводимости j

и тока смещения ∂D/∂t в той же точке. Несколько замечаний о токе смещения. Следует иметь в виду, что

ток смещения эквивалентен току проводимости только в отношении способности создавать магнитное поле.

Токи смещения существуют лишь там, где меняется со временем электрическое поле. В диэлектриках ток смещения состоит из двух су-щественно различных слагаемых. Так как вектор D = ε₀ Е + Р, то отсю-да видно, что плотность тока смещения ∂Е/∂t складывается из «истин-ного» тока смещения ε₀ ∂Е/∂t и тока поляризации ∂Р/∂t – величины, обусловленной движением связанных зарядов. В том, что токи поляри-зации возбуждают магнитное поле, нет ничего неожиданного, ибо эти токи по природе своей не отличаются от токов проводимости. Принци-пиально новое содержится в утверждении, что и другая часть тока сме-щения (ε₀ ∂Е/∂t), которая не связана ни с каким движением зарядов, а

. dS. t D j dl H ∫

∂ ∂ + =

, t D j H ∂ ∂ + = × ∇

∮


132

обусловлена только изменением электрического поля, также возбуждает магнитное поле. Даже в вакууме всякое изменение во времени электри-ческого поля возбуждает в окружающем пространстве магнитное поле.

Открытие этого явления – наиболее существенный и решающий шаг, сделанный Максвеллом при построении теории электромагнитного поля. Это открытие вполне аналогично открытию электромагнитной индукции, согласно которому переменное магнитное поле возбуждает вихревое электрическое поле. Следует также отметить, что открытие Максвеллом тока смещения – чисто теоретическое открытие, причем первостепенной важности.

9.2. Система уравнений Максвелла Уравнения Максвелла в интегральной форме. С введением тока

смещения макроскопическая теория электромагнитного поля была бле-стяще завершена. Открытие тока смещения (∂D/∂t) позволило Максвел-лу создать единую теорию электрических и магнитных явлений. Теория Максвелла не только объяснила все разрозненные явления электричест-ва и магнетизма (причем с единой точки зрения), но и предсказала ряд новых явлений, существование которых подтвердилось впоследствии.

До сих пор мы рассматривали отдельные части этой теории. Теперь можно представить всю картину в виде системы фундаментальных уравнений электродинамики, называемых уравнениями Максвелла в не-подвижных средах. Этих уравнений четыре (мы уже познакомились с каждым из них в отдельности в предшествующих разделах, а сейчас просто соберем их все вместе). В интегральной форме система уравне-ний Максвелла имеет следующий вид:

(9.10)

(9.11) где ρ - объемная плотность сторонних зарядов, j – плотность тока

проводимости. Эти уравнения в сжатой форме выражают всю совокупность наших

сведений об электромагнитном поле. Содержание этих уравнений за-ключается в следующем:

1. Циркуляция вектора Е по любому замкнутому контуру равна со знаком минус производной по времени от магнитного потока через лю-бую поверхность, ограниченную данным контуром. При этом под Е по-

∫ ∫ ρ = ∂ ∂ − = , dV dS D , dS, t B dl E ∮

∫ =

∂ ∂ + = . 0, dS B , dS, t D j dl Н

∮

∮ ∮


133

нимается не только вихревое электрическое поле, но и электростатиче-ское (циркуляция последнего, как известно, равна нулю).

2. Поток вектора D сквозь любую замкнутую поверхность равен алгебраической сумме сторонних зарядов, охватываемых этой поверх-ностью.

3. Циркуляция вектора Н по любому замкнутому контуру равна полному току (току проводимости и току смещения) через произволь-ную поверхность, ограниченную данным контуром.

4. Поток вектора В сквозь произвольную замкнутую поверхность всегда равен нулю.

Из уравнений Максвелла для циркуляции векторов Е и Н следует, что электрическое и магнитное поля нельзя рассматривать как незави-симые: изменение во времени одного из этих полей приводит к появле-нию другого. Поэтому имеет смысл лишь совокупность этих полей, описывающая единое электромагнитное поле.

Если же поля стационарны (Е = const и B = const), то уравнения Максвелла распадаются на две группы независимых уравнений:

(9.12)

В этом случае электрическое и магнитное поля независимы друг от

друга, что и позволило нам изучить сначала постоянное электрическое поле, а затем независимо от него - и постоянное магнитное поле.

Необходимо подчеркнуть, что рассуждения, с помощью которых мы пришли к уравнениям Максвелла, ни в коей мере не могут претендовать на их доказательство. Эти уравнения нельзя «вывести», они являются основными постулатами электродинамики, полученными путем обоб-щений опытных фактов. Эти постулаты играют в электродинамике та-кую же роль, как законы Ньютона в классической механике или начала термодинамики.

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме. Уравнения (9.10) и (9.11) можно представить в дифференциальной форме, т.е. в виде сис-темы дифференциальных уравнений, а именно:

(9.13)

(9.14)

= = , q dS D , 0 dl E

= = . 0 dS B , I dl H ∮

, D , t B E ρ = ⋅ ∇ ∂ ∂ − = × ∇

. 0 B , t D j H = ⋅ ∇ ∂ ∂ + = × ∇

∮ ∮

∮


134

Уравнения (9.13) говорят о том, что электрическое поле может воз-никнуть по двум причинам. Во-первых, его источником являются элек-трические заряды, как сторонние, так и связанные (это следует из урав-нения ∇ ⋅ D = ρ, если учесть, что D = ε₀E + Р и ∇ ⋅ Р = − ρ’, тогда ∇ ⋅ Е∾ (ρ + ρ’). Во-вторых, поле Е образуется всегда, когда меняется во време-ни магнитное поле (выражение закона электромагнитной индукции Фа-радея).

Уравнения же (9.14) говорят о том, что магнитное поле В может возбуждаться электрическими зарядами (электрическими токами), либо переменными электрическими полями, либо тем и другим одновремен-но (это следует из уравнения ∇ × Н =j+∂D/∂t, если учесть, что Н = В/µ₀

+ J и ∇ × J = j′, тогда ∇ × Н ∾ j + j′ + + ∂P/∂t + ε₀∂E/∂t, где j′ – плот-ность намагничивания; ∂P/∂t – плотность тока поляризации. Первые три тока связаны с движением зарядов, последний ток – с меняющимся во времени полем Е). Никаких источников магнитного поля, подобных электрическим зарядам (по аналогии их называют магнитными заряда-ми), в природе не существует, это следует из уравнения ∇ ⋅ B = 0.

Значение уравнений Максвелла в дифференциальной форме не только в том, что они выражают основные законы электромагнитного поля, но и в том, что путем их решения (интегрирования) могут быть найдены сами поля Е и В.

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме совместно с уравнением движения заряженных частиц под действием силы Лоренца

dp/dt = qE + q[vB] (9.15) составляют фундаментальную систему уравнений. Эта система в

принципе достаточна для описания всех электромагнитных явлений, в которых не проявляются квантовые эффекты.

Граничные условия. Уравнения Максвелла в интегральной форме обладают большей общностью, чем дифференциальные, ибо они спра-ведливы и в тех случаях, когда существуют поверхности разрыва – по-верхности, на которых свойства среды или полей меняются скачкооб-разно. Уравнения же Максвелла в дифференциальной форме предпола-гают, что все величины в пространстве и времени изменяются непрерывно.

Можно, однако, достигнуть такой же общности и для дифференци-альной формы уравнений, если дополнить их граничными условиями, которым должно удовлетворять электромагнитное поле на границе раз-дела двух сред. Эти условия содержатся в интегральной форме уравне-ний Максвелла и имеют уже знакомый нам вид:

D₁n = D₂n, E₁τ = E₂τ, B₁n = B₂n, H₁τ = (9.16)


135

H₂τ (здесь первое и последнее условия относятся к случаям, когда на

границе раздела нет ни сторонних зарядов, ни токов проводимости). За-метим также, что приведенные граничные условия справедливы как для постоянных, так и для переменных полей.

Материальные условия. Фундаментальные уравнения Максвелла еще не составляют полной системы уравнений электромагнитного поля. Этих уравнений недостаточно для нахождения полей по заданным рас-пределениям зарядов и токов.

Уравнения Максвелла необходимо дополнить соотношениями, в ко-торые входили бы величины, характеризующие индивидуальные свой-ства среды. Эти соотношения называют материальными уравнениями. Вообще говоря, эти уравнения достаточно сложны и не обладают той общностью и фундаментальностью, которые свойственны уравнениям Максвелла.

Материальные уравнения наиболее просты в случае достаточно сла-бых электромагнитных полей, сравнительно медленно меняющихся в пространстве и во времени. В этом случае для изотропных сред, не со-держащих сегнетоэлектриков и ферромагнетиков, материальные урав-нения имеют следующий вид (он нам уже знаком):

D = εε₀E, B = µµ₀H, j = σ (E + E*), (9.17)

где ε, µ, σ - известные нам постоянные, характеризующие электри-ческие и магнитные свойства среды (диэлектрическая и магнитная про-ницаемости и электропроводимости), Е* - напряженность поля сторон-них сил, обусловленная химическими или тепловыми процессами.

9.3. Свойства уравнений Максвелла Уравнения Максвелла линейны. Они содержат только первые произ-

водные полей Е и В по времени и пространственным координатам и первые степени плотности электрических зарядов ρ и токов j. Свойство линейности уравнений Максвелла непосредственно связано с принци-пом суперпозиции: если два каких-нибудь поля удовлетворяют уравне-ниям Максвелла, то это относится и к сумме этих полей.

Уравнения Максвелла содержат уравнение непрерывности, выра-жающее закон сохранения электрического заряда. Чтобы убедиться в этом, возьмем бесконечно малый контур Г, натянем на него произволь-ную конечную поверхность S (рис. 9.2), а затем стянем этот контур в

точку, оставляя поверхность S конечной. В пределах циркуляция ∮H dl обращается в нуль, поверхность S становится замкнутой и первое из уравнений (9.11) перейдет в


136

Отсюда следует, что

а это и есть не что иное, как уравнение непрерывности, которое ут-

верждает, что ток, вытекающий из объема V через замкнутую поверх-ность S, равен убыли заряда в единицу времени внутри этого объема V.

S

Г

Рис 9.2 Тот же закон (уравнение непрерывности) можно получить и из

дифференциальных уравнений Максвелла. Достаточно взять диверген-цию от обеих частей первого из уравнений (9.14) и воспользоваться вторым из уравнений (9.13), и мы получим ∇ ⋅ j = − ∂ρ / ∂t.

Уравнения Максвелла выполняются во всех инерциальных системах отсчета. Они являются релятивистски-инвариантными. Это есть след-ствие принципа относительности, согласно которому все инерциальные системы отсчета физически эквивалентны друг другу. Факт инвариант-ности уравнений Максвелла (относительно преобразований Лоренца) подтверждается многочисленными опытными данными. Вид уравнений Максвелла при переходе от одной инерциальной системы отсчета к дру-гой не меняется, однако входящие в него величины преобразуются по определенным правилам.

Итак, уравнения Максвелла являются правильными релятивистски-ми уравнениями в отличие, например, от уравнений механики Ньютона.

О симметрии уравнений Максвелла. Уравнения Максвелла не сим-метричны относительно электрического и магнитного полей. Это обу-словлено опять же тем, что в природе существуют электрические заря-ды, но нет магнитных зарядов (насколько известно в наше время). Вме-сте с тем в нейтральной однородной непроводящей среде, где ρ = 0 и j = 0, уравнения Максвелла приобретают симметричный вид, т.е. Е так свя-зано с ∂B/∂t, как В с ∂E/∂t:

. 0 dS t D j =

∂ ∂ +

, t q dS D t dS j ∂ ∂ − =

∂ ∂ , − = ∮ ∮

∮


137

∇ × Ε = − ∂B/∂t,

∇ ⋅ D = 0,

(9.18) ∇ × H = − ∂D/∂t,

∇ ⋅ В = 0.

Симметрия уравнений относительно электрического и магнитного полей не распространяется лишь не знак перед производными ∂B/∂t и ∂D/∂t. Различие в знаках перед этими производными показывает, что линии вихревого электрического поля, индуцированного изменением поля В, образуют с вектором ∂B/∂t левовинтовую систему, в то время как линии магнитного поля, индуцированного изменением D, образуют с вектором ∂D/∂t правовинтовую систему (рис. 9.3).

E

H

Рис. 9.3 Об электромагнитных волнах. Из уравнений Максвелла следует

также важный вывод о существовании принципиально нового физиче-ского явления: электромагнитное поле способно существовать само-стоятельно – без электрических зарядов и токов. При этом изменение его состояния обязательно имеет волновой характер. Поля такого рода называют электромагнитными волнами. В вакууме они всегда распро-страняются со скоростью, равной скорости света с.

Выяснилось также, что ток смещения (∂D/∂t) играет в этом явлении первостепенную роль. Именно его присутствие наряду с величиной ∂В/∂t и означает возможность появления электромагнитных волн. Вся-кое изменение во времени магнитного поля возбуждает поле электриче-ское, изменение же электрического поля, в свою очередь, возбуждает магнитное поле. За счет непрерывности взаимодействия они и должны сохраняться – электромагнитное возмущение распространяется в про-странстве.

Теория Максвелла не только предсказала возможность существова-ния электромагнитных волн, но и позволила установить все их основ-ные свойства, а именно: любая электромагнитная волна независимо от ее конкретной формы (это может быть гармоническая волна или элек-

∂B

∂D


138

тромагнитное возмущение произвольной формы) характеризуется сле-дующими общими свойствами:

1) ее скорость распространения в нейтральной непроводящей не-ферромагнитной среде

(9.19) 2) векторы Е, В и v (скорость волны) взаимно перпендикулярны и

образуют правовинтовую систему (рис. 9.4). Такое правовинтовое со-отношение является внутренним свойством электромагнитной волны, не зависящим ни от какой координатной системы;

3) в электромагнитной волне Е и В всегда колеблются в одинако-вых фазах (рис. 9.5, где показана мгновенная «фотография» волны), причем между мгновенными значениями Е и В в любой точке сущест-вует определенная связь, а именно Е = υВ, или

(9.20)

Это значит, что Е и Н (или В) одновременно достигают максимума, одновременно обращаются в нуль и т.д.

Понимание того, что из дифференциальных уравнений (9.18) выте-кала возможность существования электромагнитных волн, позволило Максвеллу с блестящим успехом развить электромагнитную теорию света.

v

В

Рис 9.4

v

B

Рис 9.5 9.4. Энергия и поток энергии. Вектор Пойнтинга Теорема Пойнтинга. Исходя из представления о локализации энер-

гии в самом поле и руководствуясь принципом сохранения энергии, мы должны заключить, что если в какой-то определенной области энергия уменьшается, то это может происходить только за счет ее «вытекания»

; / 1 с где , / c 0 0 µ ε = εµ , = υ

. Н Е 0 0 µµ = εε


139

через границы рассматриваемой области (среда предполагается непод-вижной).

В этом отношении существует формальная аналогия с законом со-хранения заряда. Смысл этого закона в том, что убыль заряда в данном объеме за единицу времени равна потоку вектора j сквозь поверхность, охватывающую этот объем.

Так и в случае закона сохранения энергии следует признать, что су-ществует не только плотность энергии ϖ в данной области, но и некото-рый вектор S, характеризующий плотность потока энергии.

Если говорить только об энергии электромагнитного поля, то его полная энергия в данном объеме будет изменяться как за счет вытека-ния ее из объема, так и за счет того, что поле передает свою энергию веществу (заряженным частицам), т.е. производит работу над вещест-вом. Макроскопически это уравнение можно записать так:

(9.21) где dA – элемент поверхности. Это уравнение выражает теорему Пойнтинга: убыль энергии за

единицу времени в данном объеме равна потоку энергии сквозь поверх-ность, ограниченную этим объемом, плюс работа в единицу времени (т.е. мощность Р), которую поле производит над зарядами вещества внутри данного объема.

В уравнении (9.21) W = ∫ϖ dV, ϖ - плотность энергии поля, Р = ∫ jE dV, j – плотность тока, Е – напряженность электрического поля. Приве-денное выражение для Р можно получить так. За время dt поле Е со-вершит над точечным зарядом q работу δА = qE ⋅ u dt, где u – скорость заряда. Отсюда мощность силы qE равна Р = quE. Переходя к распреде-лению зарядов, заменим q на ρ dV, ρ - объемная плотность заряда. Тогда dP = ρuE dV = jE dV. Остается проинтегрировать dP по интересующему нас объему.

Следует отметить, что мощность Р в (9.21) может быть как положи-тельной, так и отрицательной. Последнее имеет место в тех случаях, ко-гда положительные заряды в веществе движутся против направления поля Е или отрицательные – в противоположном направлении.

Пойнтинг получил выражение для плотности энергии ϖ и вектора S, воспользовавшись уравнениями Максвелла (этот вывод мы приводить не будем). Если среда не содержит сегнетоэлектриков и ферромагнети-ков (т.е. нет явлений гистерезиса), то плотность энергии электромагнит-ного поля

+ = − , P dA S dt dW ∮


140

(9.22) Заметим, что отдельные слагаемые этого выражения мы получили

ранее. Плотность же потока энергии электромагнитного поля – вектор, на-

зываемый вектором Пойнтинга, определяется как S = [EH]. (9.23)

Строго говоря, для обеих величин, ϖ и S, из уравнений Максвелла нельзя получить однозначных выражений; приведенные выражения яв-ляются простейшими из бесконечного числа возможных. Мы должны поэтому рассматривать эти выражения как постулаты, справедливость которых должна быть подтверждена согласием выводимых из них след-ствий с опытом.

9.5. Импульс электромагнитного поля Давление электромагнитной волны. Максвелл теоретически пока-

зал, что электромагнитные волны, отражаясь или поглощаясь в телах, на которые они попадают, оказывают на них давление. Это давление воз-никает в результате воздействия магнитного поля волны на электриче-ские токи, возбуждаемые электрическим полем той же волны.

Пусть электромагнитная волна распространяется в однородной сре-де, обладающей поглощением. Наличие поглощения означает, что в среде будет выделяться джоулева теплота с объемной плотностью σЕ², а поэтому σ ≠ 0, т.е. поглощающая среда обладает проводимостью.

Электрическое поле волны в такой среде возбуждает электрический ток с плотностью j = σЕ. Вследствие этого на единицу объема среды действует амперова сила Fед = [jB] = σ[EB], направленная в сторону распространения волны (рис. 9.6). Эта сила и вызывает давление элек-тромагнитной волны.

При отсутствии поглощения проводимость σ = 0 и Fед = 0, т.е. в этом случае электромагнитная волна не оказывает никакого давления на среду.

р₀

р₀’

. 2

BH 2

ED + = ϖ

Е j Fед∾[EB] В


141

Рис 9.6

Рис 9.7 Импульс электромагнитного поля. Поскольку электромагнитная

волна оказывает давление на вещество, последнее приобретает опреде-ленный импульс. Но в замкнутой системе, состоящей из вещества и электромагнитной волны, возникло бы нарушение закона сохранения импульса, если бы импульсом обладало только вещество.

Импульс такой системы может сохраняться лишь при условии, что электромагнитное поле (волна) также обладает импульсом: вещество приобретает импульс за счет импульса, передаваемого ему электромаг-нитным полем.

Введем понятие плотности импульса G электромагнитного поля как величину, численно равную импульсу поля в единице объема. Расчет, который мы не будем здесь приводить, показывает, что плотность им-пульса

G = S/c², (9.24) где S = [EH] – вектор Пойнтинга. Как и вектор S, плотность им-

пульса G является, вообще говоря, функцией времени и координат. Для электромагнитной волны в вакууме согласно (9.20)

,HE 00 µ=ε поэтому плотность энергии ϖ и модуль S вектора Пойн-

тинга равны. Отсюда следует, что ./S 00µεϖ= А так как

,с/100 =µε с – скорость света в вакууме, то S = ϖс, и из формулы (9.24) вытекает, что для электромагнитной волны в вакууме

G = ϖ/c. (9.25) Такая же связь между энергией и импульсом присуща (как показы-

вается в теории относительности) частице с нулевой массой покоя. Это и естественно, постольку согласно квантовым представлениям электро-магнитная волна эквивалентна потоку фотонов – частиц с нулевой мас-сой покоя.

Еще о давлении электромагнитных волн. Вычислим с помощью формулы (9.25) давление электромагнитной волны на тело, когда волна падает нормально на его поверхность и частично отражается в противо-положном направлении. Согласно закону сохранения импульса р₀ = р₀′ + р, где р₀, р₀′ – импульс падающей и отраженной волн, р – импульс, переданный телу (рис .9.7). Спроектировав это равенство на направле-ние падающей волны и отнеся все величины к единице площади попе-речного сечения, получим


142

р = р₀′ + р₀ = <G′>c + <G>c, где <G′> и <G> - среднее значение плотности импульса в отражен-

ной и падающей волнах. Остается учесть связь (9.25) между <G> и <ϖ> и тот факт, что <ϖ′> = ρ<ϖ>, где ρ - коэффициент отражения. В ре-зультате предыдущее выражение примет вид

р = (1 + ρ) <ϖ>. (9.26) Здесь величина р по своему смыслу есть не что иное, как давление

электромагнитной волны на тело. При полном отражении ρ = 1 и давле-ние р = 2 <ϖ>, при полном поглощении ρ = 0 и р = <ϖ>.

Остается добавить, что давление электромагнитного излучения обычно бывает очень малым (исключение составляет давление мощных пучков лазерного излучения, особенно после фокусировки пучка, а так-же давления внутри горячих звезд). Например, давление солнечного из-лучения на Земле составляет несколько единиц на 10⁻⁶ Па, что в 10¹⁰ раз меньше атмосферного давления. Несмотря на ничтожные значения этих величин, экспериментальное доказательство существования элек-тромагнитных волн – светового давления – было получено П.Н. Лебеде-вым. Результаты этих опытов оказались в согласии с электромагнитной теорией света.


143

10. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

10.1. Уравнения колебательного контура Условие квазистационарности. Когда происходят электрические

колебания, ток в цепи изменяется во времени и, вообще говоря, в каж-дый момент ток оказывается неодинаковым на разных участках цепи (из-за того, что электромагнитные возмущения распространяются хотя и с очень большой, но конечной скоростью). Однако имеется много слу-чаев, когда мгновенные значения тока оказываются практически одина-ковыми на всех участках цепи (такой ток называют квазистационар-ным). Для этого все изменения во времени должны происходить на-столько медленно, чтобы распространение электромагнитных возмущений можно было считать мгновенным. Если l – длина цепи, то на прохождение длины l электромагнитное возмущение затрачивает время порядка τ = l/с. Для периодически изменяющихся токов условие квазистационарности будет выполнено, если

τ = l/с≪Т, где Т – период изменений. В этой главе мы всюду будем предполагать, что в рассматриваемых

нами случаях условие квазистационарности выполняется, и токи будем считать квазистационарными. Это позволит нам использовать форму-лы, полученные в статических полях. В частности, мы будем использо-вать тот факт, что мгновенные значения квазистационарных токов под-чиняются закону Ома.

Колебательный контур. В цепи, содержащей катушки индуктивно-сти L и конденсатор емкости С, могут возникнуть электрические коле-бания. Поэтому такую цепь называют колебательным контуром. Выяс-ним, каким образом в колебательном контуре возникают и поддержи-ваются электрические колебания.

Пусть вначале верхняя обкладка конденсатора заряжена положи-тельно, а нижняя - отрицательно (рис. 10.1, а). При этом вся энергия ко-лебательного контура сосредоточена в конденсаторе. Замкнем ключ К. Конденсатор начнет разряжаться, и через катушку L потечет ток. Элек-трическая энергия конденсатора начнет превращаться в магнитную энергию катушки. Этот процесс закончится, когда конденсатор полно-стью разрядится, а ток в цепи достигнет максимума (рис. 10.1, б). С это-го момента ток, не меняя направления, начнет убывать. Однако он пре-кратится не сразу: его будет поддерживать э.д.с. самоиндукции. Ток бу-дет перезаряжать конденсатор, возникнет электрическое поле, стремящееся ослабить ток. Наконец ток прекратится, а заряд на конден-саторе достигнет максимума. С этого момента конденсатор начнет раз-


144

ряжаться опять, ток потечет в обратном направлении и т.д. – процесс будет повторяться.

В контуре при отсутствии сопротивления проводников будут со-вершаться строго периодические колебания. В ходе процесса периоди-чески изменяется заряд на обкладках конденсатора, напряжение на нем и ток через катушку. Колебания сопровождаются взаимными превраще-ниями энергии электрического и магнитного полей.

Если же сопротивление проводников R ≠ 0, то помимо описанного процесса будет происходить преобразование электромагнитной энергии в джоулеву теплоту.

К

а)

К С

б)

R

C 1 L q 2 ℰ

Рис. 10.1 Рис. 10.2

Сопротивление проводников цепи R принято называть активным сопротивлением.

Уравнение колебательного контура. Найдем уравнение колебаний в контуре, содержащем последовательно соединенный контур С, катушку индуктивности L, активное сопротивление R и внешнюю переменную э.д.с. ℰ (рис. 10.2).

Прежде всего выберем положительное направление обхода контура, например по часовой стрелке. Обозначим через q заряд той обкладки конденсатора, направление от которой к другой обкладке совпадает с выбранным положительным направлением обхода контура. Тогда ток в контуре определяется так

I = dq/dt. (10.1) Следовательно, если I > 0, то и dq > 0, и наоборот (знак I совпадает

со знаком dq). Согласно закону Ома для участка цепи 1RL2

RI = ϕ₁ - ϕ₂ + ℰs + ℰ, (10.2)

где ℰs – э.д.с. самоиндукции. В нашем случае

ℰs = - L dI/dt и ϕ₂ - ϕ₁ = q/C

L − − −

−

С L


145

(знак q должен совпадать со знаком разности ϕ₂ - ϕ₁, ибо С > 0). Поэтому уравнение (10.2) можно переписать в виде

=++CqRI

tIL

dd ℰ (10.3)

или с учетом (10.1) как

=++ qCI

tqR

tqL 2 d

ddd2

ℰ. (10.4)

Это и есть уравнение колебательного контура – линейное диффе-ренциальное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Найдя с помощью этого уравнения q(t), мы можем легко вычислить напряжение на конденсаторе как Uc = ϕ₂ - ϕ₁ = q/C и силу тока I по формуле (10.1).

Уравнению колебательного контура можно придать иной вид:

ℰ / L, (10.5) где введены обозначения

2β = R /L,

ω₀² = 1 / LC.

(10.6)

Величину ω₀ называют собственной частотой контура, β - коэф-фициентом затухания. Смысл этих названий мы выясним ниже.

Если ℰ = 0, то колебания принято называть свободными. При R = 0 они будут незатухающими, при R ≠ 0 – затухающими. Рассмотрим по-следовательно все эти случаи.

10.2. Свободные электрические колебания Свободные незатухающие колебания. Если в контуре нет внешней

э.д.с. ℰ и активное сопротивление R = 0, то колебания в таком контуре являются свободными незатухающими. Их уравнение – частный случай уравнения (10.5), когда ℰ = 0 и R = 0;

(10.7) Решением этого уравнения является функция

q = qmcos (ω₀t + α), (10.8)

= ω + β + q q 2 q 2 0

. 0 q q 2 0 = ω +


146

где qm – амплитудное значение заряда на обкладках конденсатора;

ω₀ − собственная частота контура; α - начальная фаза. Значение ω₀ оп-ределяется только свойствами самого контура, значение qm и α − на-чальными условиями. В качестве таковых можно взять, например, зна-чения заряда q и тока I = q в момент t = 0.

Согласно (10.6) ,LC/10 =ω поэтому период свободных незату-хающих колебаний

(10.9) (формула Томсона). Найдя ток I (дифференцированием (10.8) по времени) и имея в виду,

что напряжение на конденсаторе находится в фазе с зарядом q, нетрудно убедиться, что при свободных незатухающих колебаниях ток I опережа-ет по фазе напряжение на конденсаторе на π/2.

При решении некоторых вопросов можно использовать и энергети-ческий подход.

Свободные затухающие колебания. Каждый реальный контур обла-дает активным сопротивлением, и энергия, запасенная в контуре, посте-пенно расходуется на нагревание. Свободные колебания будут зату-хающими.

Уравнение данного колебательного контура мы получим, положив в (10.5) ℰ = 0. Тогда

(10.10) Можно показать (но мы не будем этого делать, поскольку нас инте-

ресует другая сторона вопроса), что при β² < ω₀² решение этого диффе-ренциального уравнения имеет вид

q = qme-βtcos(ωt + α), (10.11) где

(10.12) qm и α − произвольные постоянные, определяемые из начальных

условий.

LC 2 T 0 π =

. 0 q q 2 q 2 0 = ω + π +

, L 2

R LC 1 2

2 2 0

− = β − ω = ω


147

Величину Т = 2π/ω называют тем не менее периодом затухающих колебаний:

(10.13) где Т₀ – период свободных незатухающих колебаний. Множитель qme-βt в (10.11) называют амплитудой затухающих ко-

лебаний. Зависимость ее от времени показана штриховой линией на рис. 10.3.

q t

Рис. 10.3

Напряжение на конденсаторе и ток в контуре. Зная q(t), можно найти напряжение на конденсаторе и ток в контуре.

Напряжение на конденсаторе:

(10.14) Ток в контуре

Преобразуем выражение в квадратных скобках к косинусу. Для это-

го умножим и разделим это выражение на ,022 ω=β−ω а затем вве-

дем угол δ по формулам − β / ω₀ =

cos δ, ω / ω₀ = sin δ.

(10.15)

После этого выражение для I примет вид I = ω qme-βt cos (ωt + α + δ). (10.16)

( ) ,

/ 1 T 2 T

2 0

0 2 2

0 ω β − =

β − ω π =

( ) .. t cos e C q

C q U t m

C α + ω = = β −

( ) ( ) [ ] .. t sin t cos e q dt dq I t

m α + ω ω − α + ω β − = β −

qe-βt


148

Из (10.15) следует, что угол δ лежит во второй четверти (π/2 < δ < π). Это означает, что при наличии активного сопротивления R ток в конденсаторе опережает по фазе напряжение (10.14) на конденсаторе более чем на π/2. Заметим, что при R = 0 опережение δ = π/2. Графики зависимостей Uc(t) и I (t) имеют вид, аналогичный показанному на рис. 10.3 для q (t).

Величины, характеризующие затухание. 1. Коэффициент затухания β и время релаксации τ - время, за ко-

торое амплитуда колебаний уменьшится в е раз. Из формулы (10.11) не-трудно видеть, что

τ = 1/β. (10.17) 2. Логарифмический декремент затухания λ. Он определяется как

натуральный логарифм отношения двух значений амплитуд, взятых че-рез период колебаний Т:

(10.18) где а – амплитуда соответствующей величины (q, U. I). Иначе:

λ = 1 / Nе, (10.19) где Nе – число колебаний за время τ, т.е. за время, в течение которо-

го амплитуда колебаний уменьшается в е раз. Это легко получить из формул (10.17) и (10.18).

Если затухание мало (β²≪ω₀²), то LC/10 =ω≈ω и согласно (10.18)

(10.20) 3. Добротность Q колебательного контура. По определению

Q = π/λ = π Nе, (10.21) где λ - логарифмический декремент затухания.

Чем меньше затухание, тем больше Q. При слабом затухании (β² ≪

ω₀²) согласно (10.20) добротность

(10.22) И еще одна полезная формула для Q в случае слабого затухания

( ) ( ) , T T t

t ln β = + = λ a a

. L / C R / 2 0 π = ω π ⋅ β ≈ λ

. C L

R 1 Q ≈


149

(10.23) где W – энергия, запасенная в контуре, δW – уменьшение этой энер-

гии за период колебания Т. В самом деле, энергия W пропорциональна квадрату амплитуды заряда конденсатора, т.е. W ∾ e-2βt. Отсюда отно-сительное уменьшение энергии за период δW/W = 2βТ = 2λ. Остается учесть согласно (10.21), что λ = π/Q.

В заключение отметим, что при β²≥ω₀² вместо колебаний будет происходить апериодический разряд конденсатора. Активное сопротив-ление контура, при котором наступает апериодический процесс, назы-вают критическим:

(10.24)

10.3. Вынужденные электрические колебания Установившиеся колебания. Вернемся к уравнению колебательного

контура (10.3) и (10.4) и рассмотрим случай, когда в контур включена внешняя переменная э.д.с. ℰ, зависящая от времени по гармоническому закону:

ℰ = ℰm cos ωt. (10.25) Этот закон занимает особое положение благодаря свойствам самого

колебательного контура сохранять гармонический вид колебаний при действии внешней гармонической э.д.с.

В данном случае уравнение колебательного контура записывается как

=++CqRI

tIL

dd ℰm cos ωt, (10.26)

или =++ qqq 2

0ω2 β (ℰ / L) cos ωt. (10.27) Решение этого уравнения, как известно из математики, представляет

собой сумму общего решения однородного уравнения (без правой час-ти) и частного решения неоднородного уравнения. Нас будут интересо-вать только установившиеся колебания, т.е. частное решение этого уравнения (общее решение неоднородного уравнения экспоненциально затухает, и по прошествии некоторого времени оно практически исчеза-ет, обращается в нуль). Нетрудно убедиться, что это решение имеет вид

q = qm cos (ωt − ψ), (10.28)

, W W 2 Q δ

π ≈

. C / L кр =

2


150

где qm – амплитуда заряда на конденсаторе; ψ - разность фаз между колебаниями заряда и внешней э.д.с. ℰ (10.25). Как мы увидим, qm и ψ определяются только свойствами самого контура и вынуждающей э.д.с. ℰ, причем оказывается, что ψ > 0, поэтому q всегда отстает по фазе от ℰ.

Чтобы определить постоянные qm и ψ, надо подставить (10.28) в ис-ходное уравнение (10.27) и преобразовать полученное выражение. Мы же поступим несколько иначе (в целях достижения большей простоты): сначала найдем ток I и затем его выражение подставим в исходное уравнение (10.26). Попутно будет решен и вопрос с постоянными qm и ψ.

Продифференцировав (10.28) по t, найдем I = − ω qm sin (ωt − ψ) = ω qm cos (ωt − ψ + π/2).

Запишем это выражение так: I = Im cos (ωt − ϕ), (10.29)

где Im – амплитуда тока; ϕ - сдвиг по фазе между током и внешней

э.д.с. ℰ, Im = ω

qm, ϕ = ψ − π/2. (10.30)

Наша задача найти Im и ϕ. С этой целью мы поступим следующим образом. Представим исходное уравнение (10.26) в виде

UL + UR + UC = ℰm cos ωt, (10.31) где слева записана сумма напряжений на индуктивности L, сопро-

тивлении R и емкости C. Таким образом, мы видим, что сумма этих на-пряжений равна в каждый момент внешней э.д.с. ℰ. Учитывая соотно-шения (10.30), запишем:

UR = RI = R Im cos (ωt − ϕ), (10.32)

UC = q/C = qm/C cos (ωt − ψ) = Im/ωC cos (ωt − ϕ − π/2),

(10.33)

UL = L dI/dt =−ωLImsin (ωt − ϕ) = ωLImcos (ωt−ϕ+π/2).

(10.34)

Векторная диаграмма. Из последних трех формул видно, что UR находится в фазе с током I, UC отстает по фазе от I на π/2, а UL опере-жает I на π/2. Все это можно наглядно представить с помощью вектор-ной диаграммы, изобразив амплитуды напряжений


151

URm = R Im,

UCm = Im/ωC,

ULm = ωLIm

и их векторную сумму, равную согласно (10.31) вектору величины ℰm (рис. 10.4).

Из прямоугольного треугольника этой диаграммы легко получить следующие выражения для Im и ϕ:

Im =

ℰm

√R² + (ωL – 1/ωC)² (10.35)

tg ϕ = ωL – 1/ωC R . (10.36)

Задача, таким образом, решена. Заметим в заключение, что полу-ченная нами векторная диаграмма оказывается весьма полезной при решении многих конкретных вопросов. Она позволяет наглядно, легко и быстро анализировать различные ситуации.

Резонанс. Явление резонанса в нашем случае – это возбуждение сильных колебаний при частоте внешней э.д.с. или напряжения, равной или близкой к собственной частоте колебательного контура. Резонанс используется для выделения из сложного напряжения нужной состав-ляющей. На этом основана вся техника радиоприема. Для того чтобы радиоприемник принимал интересующую нас радиостанцию, его необ-ходимо настроить, т.е. изменением C и L колебательного контура до-биться совпадения его собственной частоты с частотой электромагнит-ных волн, излучаемых радиостанцией.


152

С явлением резонанса связана и опасность: внешняя э.д.с. или на-

пряжения могут быть малы, однако при этом напряжения на отдельных элементах контура (на емкости или индуктивности) могут достигать опасного для жизни значения. Об этом необходимо всегда помнить!

10.4. Переменный ток Полное сопротивление (импеданс). Установившиеся вынужденные

колебания можно рассматривать как протекание в цепи, обладающей емкостью, индуктивностью и активным сопротивлением R, переменного тока.

Под действием внешнего напряжения (оно играет роль внешней э.д.с. ℰ)

U = Um cos ωt (10.37) ток в цепи изменяется по закону

I = Im cos (ωt − ϕ), (10.38) где

(10.39)

(10.40)

Задача сводится к определению амплитуды силы тока и сдвига тока по фазе относительно U.

ϕ

ψ RIm Ось тока

Рис. 10.4

Im

0 ω₀ ω

Рис. 10.5

( ) ,

C / 1 L R U I

2 2 m

m ω − ω +

=

. R

C / 1 L tg ω − ω = ϕ

ωLIm

Im

ℰm

(ωL – 1/ωC)


153

Полученное выражение для амплитуды силы тока Im(ω) можно формально толковать как закон Ома для амплитудных значений тока и напряжения. Стоящую в знаменателе этого выражения величину, имеющую размерность сопротивления, обозначают буквой Z и называ-ют полным сопротивлением, или импедансом:

(10.41) Видно, что при LC/10 =ω=ω это сопротивление минимально и

равно активному сопротивлению R. Величину, стоящую в круглых скобках формулы (10.41), обозначают Х и называют реактивным со-противлением:

Х = ωL – 1/ωC. (10.42) При этом величину ωL называют индуктивным сопротивлением, а

величину 1/ωC – емкостным сопротивлением. Их обозначают соответ-ственно ХL и ХC. Итак,

(10.43) Заметим, что индуктивное сопротивление растет с увеличением час-

тоты ω, а емкостное – уменьшается. Когда говорят, что в цепи отсутствует емкость, то это надо понимать

в смысле отсутствия емкостного сопротивления, которое равно 1/ωС и, следовательно, обращается в нуль, если С →∞ (при замене конденсато-ра закороченным участком).

И последнее. Хотя реактивное сопротивление измеряют в тех же единицах, что и активное, между ними существует принципиальное различие.

Оно заключается в том, что только активное сопротивление опреде-ляют необратимые процессы в цепи, такие, например, как преобразова-ние электромагнитной энергии в джоулеву теплоту.

Мощность, выделяемая в цепи переменного тока. Мгновенное зна-чение мощности равно произведению мгновенных значений напряже-ния и тока:

Р(t) = UmIm cos ωt cos (ωt − ϕ). (10.44) Воспользовавшись формулой cos (ωt − ϕ) = cos ωt cos ϕ + sin ωt cos

ωt sin ϕ, преобразуем (10.44) к виду Р(t) = UmIm (cos² ωt cos ϕ + sin ωt cos ωt sin

ϕ).

( ) . C / 1 L R Z 2 2 ω − ω + =

. X R Z , X X X , C / 1 X , L X 2 2 C L C + = − ω = ω =


154

Практический интерес имеет среднее за период колебания значение мощности. Учитывая, что < cos² ωt > = ½ и < sin ωt cos ωt > = 0, полу-чим:

(10.45) Это выражение можно привести к иному виду, если принять во

внимание, что из векторной диаграммы (рис. 10.4) следует U cos ϕ = RIm. Поэтому

(10.46) Такую же мощность развивает постоянный ток .2/II m= Величи-

ны

(10.47) называют действующими (или эффективными) значениями тока и

напряжения. Все амперметры и вольтметры градуированы по дейст-вующим значениям тока и напряжения.

Выражение средней мощности (10.45) через действующие значения напряжения и тока имеет вид

<P> = UI cos ϕ, (10.48) где множитель cos ϕ принято называть коэффициентом мощности.

Таким образом, выделяемая в цепи мощность зависит не только от на-пряжения и силы тока, но еще и от сдвига фаз между током и напряже-нием.

При ϕ = π/2 значение <P> = 0, каковы бы ни были величины U и I. В этом случае энергия, передаваемая за четверть периода от генератора во внешнюю цепь, в точности равна энергии, передаваемой из внешней цепи в генератор в течение следующей четверти периода, и вся энергия бесполезно «колеблется» между генератором и внешней цепью.

Зависимость мощности от cos ϕ необходимо учитывать при проек-тировании линий электропередачи на переменном токе. В этих случаях для передачи потребителю нужной мощности (при данном напряжении генератора) необходимо увеличить ток I, а это приводит к возрастанию бесполезных потерь энергии в проводящих проводах. Поэтому всегда нужно стремиться распределять нагрузки индуктивности и емкости так, чтобы cos ϕ был по возможности близок к единице. Для этого достаточ-но сделать реактивное сопротивление Х как можно меньше, т.е. обеспе-чить равенство индуктивного и емкостного сопротивлений (ХL = ХC).

. cos 2 I U P m m =

. RI 2 1 P 2 =

2 / U U 2 / I I m m = =


155

В заключение заметим, что понятие активного сопротивления шире, чем понятие электрического сопротивления проводников, образующих цепь. Последнее обусловливает переход энергии тока только в джоулеву теплоту, но возможны и другие превращения этой энергии, например в механическую работу (электромоторы). Активное сопротивление тогда уже не сводится к электрическому сопротивлению, а обычно значитель-но превышает его.


156

11. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 11.1. Электрическое поле в вакууме Задача 1. Очень тонкий диск равномерно заряжен с поверхностной

плотностью σ >о. Найти напряженность Е электрического поля на оси этого диска в точке, из которой диск виден под телесным углом Ω.

Из соображений симметрии ясно, что вектор Е на оси диска должен совпадать с направлением этой оси (рис. 11.1). Поэтому достаточно найти составляющую dEz в точке А от элемента заряда на площади dS и затем проинтегрировать полученное выражение по всей поверхности диска. Нетрудно сообразить (рис. 11.1), что

(11.1)

Рис. 11.1

В данном случае dS Ω=ϑ dr/cos 2 − телесный угол, под которым площадка dS видна из точки А, и выражение (11.1) можно переписать так:

Отсюда искомая величина

d

0

d

Ω

E dEz ϑ dE

. cos r dS

4 1 dE 2

0 z ϑ σ

πε =

. 4

1 dE 0

Ω σ πε

=


157

Заметим, что на больших расстояниях от диска ,r/S 2=Ω где S –

площадь диска, и 20r4/qE πε= как поле точечного заряда .Sq σ= В

непосредственной же близости от точки О телесный угол .2/Eи2 0εσ=π=Ω

Задача 2. Тонкое непроводящее кольцо радиусом R заряжено с ли-нейной плотностью ,cos0 ϕλ=λ где λ0 – положительная постоянная, ϕ - азимутальный угол. Найти напряженность Е электрического поля в центре кольца.

Заданное распределение заряда показано на рис. 11.2. Из симметрии этого распределения ясно, что вектор Е в точке О направлен вправо и модуль этого вектора равен сумме проекций на направление Е вектора dE – от элементарных зарядов dq. Проекция вектора dE на вектор Е есть

(11.2) где .dcosRdRdq 0 ϕϕλ=ϕλ= Проинтегрировав (11.2) по ϕ от 0 до

2π, найдем модуль вектора Е:

Рис. 11.2

. R 4 d cos R 4 Е

0 0

2

0

2 0 0

ε λ = ϕ ϕ

πε λ = ∫

π

4

1 E 0 σ

πε = Ω.

, cos R dq

4 1 cos dE 2

0 ϕ

πε = ϕ

+ − + − + − + − + − + − + −

dq

ϕ R

0 E dE


158

Заметим, что этот интеграл проще всего вычислить, зная, что

.21cos2 =ϕ Тогда

11.2. Проводник в электрическом поле Задача 1. Точечный заряд q находится на расстоянии r от центра

О незаряженного сферического проводящего слоя, внутренний и на-ружный радиусы которого равны соответственно а и b. Найти по-тенциал в точке О, если r<a.

В результате электростатической индукции на внутренней поверх-ности слоя выступят, допустим, отрицательные заряды, а на наружной – положительные (рис. 11.3). Согласно принципу суперпозиции искомый потенциал в точке О можно представить как

где первый интеграл берется по всем индуцированным зарядам на

внутренней поверхности слоя, а второй интеграл – по всем зарядам на внешней поверхности слоя. Из этого выражения следует:

Рис. 11.3

+ + − + + − + + − + + − + + − + + − + + + + +

+ + −

r q 0 b a

. 2 cos d cos 2 2

0

2 π = π ϕ = ϕ ϕ ∫ π

, dS dS r q

4 1

0

σ + σ +

πε = ϕ ∫ ∫ + − b a

. 1 1 r 1

4 q

0

+ − πε

= ϕ b a


159

Заметим, что так просто потенциал в плоскости можно найти только в точке О, поскольку от этой точки все индуцированные заряды одного знака находятся на одинаковом расстоянии и их распределение (нам не-известное) не играет роли.

Задача 2. Система состоит из двух концентрических проводящих сфер, причем на внутренней сфере радиусом R₁ находится заряд q₁. Ка-

кой заряд q₂ следует поместить на внешнюю сферу радиусом R₂ ,чтобы потенциал внутренней сферы стал равен нулю? Как будет за-висеть при этом потенциал ϕ от расстояния r до центра системы? Изобразить примерный график этой зависимости, если q₁<0.

Запишем выражение для потенциала вне системы (ϕ₁₁) и в области

между сферами (ϕ₁):

где ϕ₀ − некоторая постоянная. Ее значение легко найти из гранич-

ного условия: при r=R₂ потенциал ϕ₁₁=ϕ₁. Отсюда

Рис. 11.4

Из условия ϕ₁ (R₁)=0 находим q₂= −q₁R₂/R₁. Зависимость ϕ(r) будет иметь вид (рис. 11.4):

ϕI ϕII

0 R₁ R₂ r

, r

q 4

1 , r q q

4 1

0 1

0 1

2 1 0

11 ϕ + πε = ϕ +

πε = ϕ

. R 4 / q 2 0 2 0 πε = ϕ

ϕ


160

11.3. Электрическое поле в диэлектрике Задача 1. Точечный сторонний заряд q находится в центре сфери-

ческого слоя неоднородного изотропного диэлектрика, проницаемость которого изменяется только в радиальном направлении по закону

,/ rα=ε где α − постоянная, r – расстояние от центра системы.

Найти объемную плотность ρ′ связанных зарядов как функцию r внут-ри слоя.

Воспользуемся уравнением (3.6), взяв в качестве замкнутой поверх-ности сферу радиусом r, центр которой совпадает с центром системы. Тогда

где q′(r) – связанный заряд внутри этой сферы. Запишем дифферен-циал этого выражения:

(11.3) Здесь dq′ – связанный заряд в тонком слое между сферами радиусов

r и r+dr. Имея в виду, что ,drr4''dq 2πρ= преобразуем (11.3) к виду

откуда

(11.4) В нашем случае

и выражение (11.4) после соответствующих преобразований будет иметь вид

. R 1

r 1

4 q ,

r R / R 1

4 1

1 0 1

1 1 2

0 11

−

πε = ϕ −

πε = ϕ

( ), r ' q P r 4 r 2 − = ⋅ π

( ) '. dq P r d 4 r

2 − = π

r ' dr rP 2 dP r 2 r r

2 ρ − = +

. P r 2

dr dP ' r

r

+ − = ρ

, r 4

q 1 D 1 E P 2 r r 0 r π ε

− ε = ε − ε = χε =

dr,


161

Это и есть искомый результат. Задача 2. Сферический конденсатор с радиусами обкладок а и b,

где а<b, заполнен изотропным, но не однородным диэлектриком, про-ницаемость которого зависит от расстояния r до центра системы как

r,/α=ε где α - постоянная. Найти емкость такого конденсатора. Согласно определению емкости конденсатора (С=q/U) задача сво-

дится к нахождению разности потенциалов U при заданном заряде q:

(11.5) где предполагается, что внутренняя обкладка имеет заряд q>0. Оп-

ределим Е с помощью теоремы Гаусса для вектора D:

После подстановки последнего выражения в (11.5) и соответствую-щего интегрирования найдем:

11.4. Энергия электрического поля Задача 1. Два небольших металлических шарика радиусами R₁ и R₂

находятся в вакууме на расстоянии, значительно превышающем их размеры, и имеют некоторый определенный суммарный заряд. При ка-ком отношении q₁/q₂ зарядов на шариках электрическая энергия сис-темы будет минимальной? Какова при этом разность потенциалов между шариками?

Электрическая энергия данной системы

. r q

4 1 '

2 πα = ρ

∫ = b

a E U dr,

. r

4 1

r

4 D E , q D r 4

0 2 0 0

2 α πε

= ε πε

= εε

= = π

( ) . ln 4

C , ln 4

q U 0 0 b/a a

b α πε = α πε =

, q q R 2 q

R 2 q

4 1 W W W W 2 1

2

2 2

1

2 1

0 3 2 1

+ +

πε = + + = l


162

где W₁ и W₂ − собственные электрические энергии шариков (qϕ/2);

W₁₂ − энергия их взаимодействия (q₁ϕ₂ или q₂ϕ₁); l – расстояние между

шариками. Так как q₂=q−q₁, где q – суммарный заряд системы, то

Энергия W будет минимальной при .0q/W 1 =∂∂ Отсюда

где учтено, что R₁ и R₂ значительно меньше l и

Потенциал каждого шарика (их можно рассматривать как изолиро-ванные) ϕ~q/R, поэтому из предыдущего равенства следует, что ϕ₁=ϕ₂, т.е. разность потенциалов при таком распределении равна нулю.

Задача 2. Имеется плоский воздушный конденсатор, площадь каж-дой обкладке которого равна S. Какую работу А’ против электрических сил надо совершить, чтобы увеличить расстояние между обкладками от х₁ до х₂, если при этом поддерживать неизменным: 1) заряд конден-сатора, равный q; 2) напряжение на конденсаторе, равное U? Чему равно приращение электрической энергии конденсатора в обоих случа-ях?

1. Искомая работа

где Е₁ − напряженность поля, создаваемого одной обкладкой ( ).2/Е 0εσ= Именно в этом поле перемещается заряд, находящийся на другой обкладке. Данная работа целиком идет на приращение электри-ческой энергии: ∆W=A′.

2. В этом случае сила, действующая на каждую обкладку конденса-тора, будет зависеть от расстояния между ними. Запишем элементарную работу силы, действующую на обкладку при ее перемещении на dx от-носительно другой обкладки:

( ) ( ) . q q q

R 2 q q

R 2 q

4 1 W 1 1

2

2 1

1

2 1

0

− + − + πε = l

, R R

R q q и R R

R q q 2 1

2 2

2 1 1

1 + ≈ +

≈

. R / R q / q 2 1 2 1 =

( ) ( ) ., x x S 2 q x x qE ' A 1 2

0

2 1 2 1 −

ε = − =


163

где учтено, что q=CU,E₁=U/2x и C=ε₀S/x. После интегрирования по-лучим

Приращение электрической энергии конденсатора

Заметим, что ∆W= −A’. Таким образом, раздвигая обкладки, мы совершим положительную

работу (против электрических сил), энергия же конденсатора при этом уменьшится. Чтобы понять, в чем тут дело, надо обратиться к источни-ку, поддерживающему неизменной разность потенциалов на конденса-торе. Этот источник тоже совершает работу Аист, причем согласно зако-ну сохранения энергии Аист+A′=∆W, откуда видно, что Аист=∆W−A′=−2A′<0.

Задача 3. Конденсатор состоит из двух неподвижных пластин, имеющих форму полукруга радиусом R, и расположенной между ними подвижной пластины из диэлектрика с проницаемостью ε. Пластина может спокойно поворачиваться вокруг оси О (рис. 11.5), ее толщина h, что практически равно расстоянию между неподвижными пласти-нами. Между пластинами конденсатора поддерживается постоянное напряжение U. Найти момент сил М относительно оси О, действую-щий на подвижную пластину в положении, показанном на рисунке.

Работа, которую совершает момент сил М при повороте пластины на элементарный угол dα, равна убыли электрической энергии системы при q=const [см. (4.16)]:

где .C2/qW 2= Поэтому

(11.6)

, x dx

2 SU dx qE ' A 2

2 0

1 ε = δ

. 0 1

x 1

2 SU ' A

2 1

2 0 >

− ε =

( ) . 0

x 1

x

2 SU

2 U C C W

1 2

2 0

2 1 2

− ε = − = ∆

, W d d M q z − = α

. C / C

2 q W M 2

2

q z

α ∂ ∂ = α ∂ ∂ − =

α

0


164

Рис. 11.5 В данном случае ,CCC 1 ε+= где εCиC1 − емкость частей

конденсатора без диэлектрика и с диэлектриком. Площадь сектора с уг-лом α определяется как ,2/RS 2

0αε= поэтому

Отсюда ( ).1h2RC 2

0 ε−ε

=α∂∂ Подставим это выражение в формулу

(11.6) и учтем, что C=q/U, тогда

Отрицательное значение Mz показывает, что момент этих сил дейст-вует по часовой стрелке (против положительного направления отсчета угла α; см. рис. 11.5).Этот момент стремится втянуть диэлектрик внутрь конденсатора.

Заметим, что Mz не зависит от угла α. Однако в положении равнове-сия, когда α=0, момент Mz=0. Это расхождение связано с тем, что при малых углах α нельзя пренебрегать угловыми коэффициентами, как мы делали при решении этой задачи.

11.5. Постоянный электрический ток Задача 1. Два металлических шарика одинакового радиуса а нахо-

дятся в однородной слабо проводящей среде с удельным сопротивлени-ем ρ. Найти сопротивление среды между шариками при условии, что расстояние между шариками значительно больше их размеров.

Мысленно зарядим шарики +q и −q. Поскольку шарики находятся далеко друг от друга, электрическое поле вблизи поверхности каждого из них определяется практически только зарядом прилегающего шари-ка, причем этот заряд можно считать распределенным равномерно по поверхности. Окружив шарик с положительным зарядом концентриче-

( ) . h 2 / R h 2 R C 2 0

2 0 α − π εε + α ε =

( ) ( ) . 0 h 4 U R 1 1

h 2 R

2 U M

2 2 0

2 0 2

z < ε − ε − = ε − ε =


165

ской сферой, непосредственно прилегающей к его поверхности, запи-шем выражение для тока, протекающего через эту сферу:

где j − плотность тока. Воспользовавшись законом Ома (j=E/ρ) и

формулой ,4/qE 20aπε= получим

Теперь найдем разность потенциалов между шариками:

Искомое сопротивление

Этот результат справедлив независимо от значения диэлектриче-

ской проницаемости среды. Задача 2. Длинный проводник круглого сечения площадью S сделан

из материала, удельное сопротивление которого зависит только от расстояния r до оси проводника как ,/ 2rα=ρ где α − постоянная. По проводнику течет ток I. Найти: 1) напряженность Е поля в проводни-ке; 2) сопротивление единицы длины проводника.

1. Напряженность Е поля по закону Ома связана с плотностью тока j, a j − c током I, поэтому можно записать

( ) .drr2/Edrr2I πρ=π= ∫ ∫j

Напряженность Е одинакова во всех точках сечения данного про-водника, т.е. не зависит от r. В этом легко убедиться, взяв прямоуголь-ный контур внутри проводника так, чтобы одна сторона контура совпа-дала, например, с осью проводника, и затем применив к этому контуру теорему о циркуляции вектора Е.

Таким образом, Е можно вынести из-под интеграла и мы получим в результате интегрирования

2. Сопротивление единицы длины проводника можно определить с

помощью формулы R=U/I. Поделив обе части этого равенства на длину l участка проводника, к которому относится R и U, найдем

, 4 I 2 j a π =

. / q I 0 ε =

. 4 / q 2 U π ≈ ϕ − ϕ = − +

. 2 / I / U R a π

ρ = =

. S / I 2 E 2 πα =

. S / 2 I / E R 2 ед πα = =


166

Задача 3. В схеме (рис. 11.6) известны э.д.с. ℰ и ℰ₀ источников, со-

противления R и R₀ , а также емкость С конденсатора. Внутренние сопротивления источников пренебрежимо малы. Найти заряд на об-кладке 1 конденсатора.

В соответствии с законом Ома для замкнутой цепи, содержащей со-противления R и R₀, запишем

=+ 0RR ℰ−ℰ₀,

Рис. 11.6 где положительное направление выбрано по часовой стрелке. С дру-

гой стороны, для неоднородного участка аRib цепи +ϕ−ϕ= baRI ℰ, а для участка аCob ℰ .12 ab ϕ−ϕ=ϕ−ϕ+

Решив совместно эти три уравнения, получим 0

21 RRR+

=ϕ−ϕ (ℰ

−ℰ₀). Заряд на обкладке 1 определяется формулой ( ).Cq 211 ϕ−ϕ=

Поэтому окончательный результат 0

1 RRRCq+

= (ℰ −ℰ₀). Видно, что

при ℰ >ℰ₀ заряд q₁>0, и наоборот. Задача 4. Стеклянная пластина целиком заполняет зазор между

обкладками конденсатора, емкость которого при отсутствии пласти-ны равна С₀ . Конденсатор подключен к источнику постоянного на-пряжения U. Найти механическую работу, которую необходимо со-вершить против электрических сил, чтобы извлечь пластину из конден-сатора.

ℰ R

ℰ 1 2 a в ℰ R₀


167

Согласно закону сохранения энергии

(11.7) где Амех – совершенная внешними силами механическая работа

против электрических сил; ∆W – соответствующее приращение энергии конденсатора (мы считаем, что участие других видов энергии в измене-нии энергии системы пренебрежимо мало).

Найдем ∆W и Аист. Из формулы для энергии конденсатора

( )2/qU2/CUW 2 == следует, что при U=const

(11.8) Так как емкость конденсатора при извлечении пластины уменьша-

ется (∆С<0), то уменьшается и заряд конденсатора (∆q<0). Последнее означает, что заряд прошел через источник против направления дейст-вия сторонних сил и источник совершил отрицательную работу:

(11.9) Из сравнения формул (11.9) и (11.8) следует

После подстановки последнего выражения в (11.7) получим

( ) .UC121Аили,WA 2

0мехмех −ε=∆−=

Таким образом, извлекая пластину из конденсатора, мы (внешние силы) совершаем положительную работу (против электрических сил), при этом источник э.д.с. совершает отрицательную работу и энергия конденсатора уменьшается .0W,0А,0А истмех <∆<>

Задача 5. Цепь состоит из источника тока постоянной э.д.с. ℰ и последовательно подключенных к нему сопротивления R и конденсато-ра C. Внутреннее сопротивление источника пренебрежимо мало. В мо-мент t=0 емкость конденсатора быстро (скачком) уменьшили в η раз. Найти ток в цепи как функцию времени.

, W А А ист мех ∆ = +

. 2 / qU 2 / CU W 2 ∆ = ∆ = ∆

. qU. А ист ∆ =

. W 2 А ист ∆ =


168

Рис. 11.7

Запишем закон Ома для неоднородного участка цепи 1ℰR2 (рис. 11.7):

−ϕ−ϕ= 21RI ℰ = U − ℰ . Учтем, что U=q/C′, где c′=C/η, тогда

RI = ηq /C − ℰ . (11.10) Продифференцируем это равенство по времени, принимая во вни-

мание, что в нашем случае (q уменьшается) dq/dt= −I:

Интегрирование последнего уравнения дает

где I₀ определяется условием (11.10). Действительно, −η= C/qRI 00 ℰ, причем q₀=ℰ C – заряд конденсатора до изменения

его емкости. Поэтому I₀ = (η − 1)ℰ /R. Задача 6. Конденсатору емкостью С сообщили заряд q₀ и затем в

момент t=0 его замкнули на сопротивление R. Найти зависимость от времени t количества теплоты, выделившегося на сопротивлении.

Искомое количество теплоты

,dtRIQt

0

2∫= (11.11)

откуда видно, что прежде всего надо найти зависимость I(t). Вос-пользуемся с

RC I

dI , I C dt dI R η − = η − = Dt.

, e I I , RC

t I I ln RC / t

0 0

η − = η − =

I

1 C ℰ 2 R


169

Рис. 11.8 этой целью законом Ома для участка цепи 1R2 (рис. 11.8):

или

(11.12) Продифференцируем (11.12) по времени:

Проинтегрировав последнее уравнение, получим

(11.13)

где I₀ определяется условием (11.12) при q=q₀, т.е. I₀=q₀/RC. После подстановки (11.13) в (11.11) и соответствующего интегриро-

вания получим

11.6. Магнитное поле в вакууме Задача 1. Ток I течет по тонкому проводнику, изогнутому, как по-

казано на рис. 11.9. Найти магнитную индукцию В в точке О. Необхо-димые данные указаны на рисунке.

Искомая величина ,ВВВ ∪− += где В− − магнитное поле от прямо-линейного участка контура; В∪ − от его криволинейной части. Согласно закону Био−Савара

q 1 C R 2

, U RI 2 1 = ϕ − ϕ =

/ q RI =

. RC dt

I dI , I C

1 dt dI R = =

, e I I , RC t

I I ln RC / t

0 0

− = =

( ) . e 1 C 2

q Q RC / t 2 2 0 − − =

C.


170

В результате

Полезно убедиться, что при α₀→0 мы приходим к выражению

Задача 2. Небольшая катушка с током, имеющая магнитный мо-

мент рm, находится на оси кругового витка радиусом R, по которому течет ток I. Найти силу F, действующую на катушку, если ее рас-стояние от центра витка равно l, а вектор pm ориентирован, как пока-

Рис. 11.9

Рис. 11.10

, tg 2

I cos 4

d cos I 2 В 0 0

0 0 0

0 α

π µ =

α π α α µ = ∫

α

− a a

( ) ( ) . 2

I 2 2 I 4

В 0 0

2 0 0 α − π

π µ = α − π

π µ = ∪ a a

a

( ) 2 / I

B 0 0 0 π µ α + α − π = a.

. I 2 4 В 0

a π

π µ =

2α₀ а 0 I

R l pm I


171

зано на рис. 11.10. Искомая сила согласно (6.24) определяется так:

(11.14) где В – магнитная индукция поля, создаваемого витком в месте на-

хождения катушки. Выберем ось Z в направлении вектора pm, тогда проекция (11.14) на эту ось будет иметь вид ,z/Bpz/BpF mzmz ∂∂=∂∂= где учтено, что при заданном направле-нии тока в витке Bz=B. Магнитная индукция В определяется формулой

откуда

Вследствие того что ∂В/∂z < 0, проекция силы Fez < 0, т.е. вектор F направлен в сторону витка с током I. В векторном виде полученный ре-зультат можно представить так:

Заметим, что если бы вектор pm (а значит, и ось Z) был направлен в противоположную сторону, то Bz= −B и ∂Вя/∂z > 0, а следовательно, Fz > 0 и вектор F был бы направлен вправо, т.е. опять против вектора pm.

Задача 3. Вдоль длинного тонкостенного круглого цилиндра радиу-сом R течет ток I. Какое давление испытывают стенки цилиндра?

n, / B p F m ∂ ∂ =

( ) ,

R z I R 2

4 В 2 / 3 2 2

2 0

+ π

π µ =

( ) . p

R 2 I R

2 3

z B

m 2 / 5 2 2

2 0

+ µ − =

∂ ∂

l l

( ) . p

R 2 I R

2 3 F m 2 / 5 2 2

2 0

+ µ − =

l l

j δh δB dS


172

Рис. 11.11

Рис. 11.12 Рассмотрим поверхностный элемент тока i dS, где i – линейная

плотность тока, dS – элемент поверхности. Найдем связь между поверх-ностным и объемным элементами тока:

.dSdhdV ilbjj =δ⋅δ= Смысл входящих сюда величин пояснен на рис. 11.11. В векторном

виде

(11.15) Сила Ампера, действующая на поверхностный элемент тока, в этом

случае определяется формулой, полученной из (6.20) путем замены (11.15):

(11.15) где B′ – магнитная индукция поля в месте нахождения данного эле-

мента тока от всех других элементов тока, исключая данный. Чтобы найти B′, поступим аналогично тому, как это было сделано для электри-ческой силы. Пусть Вi – магнитная индукция поля, создаваемого самим поверхностным элементом тока в точках, очень близких к его поверхно-сти (см. рис. 11.12, где предполагается, что ток течет от нас).

Далее, воспользовавшись теоремой о циркуляции вектора В и сооб-ражениями симметрии, легко установить, что магнитная индукция поля снаружи цилиндра у его поверхности ,R2/IB 0 πµ= а внутри цилиндра

поле отсутствует. Последнее означает, что поле B′ от всех элементов тока в двух очень близких к поверхности цилиндра точках 1 и 2 (см. рис. 11.12) должно быть одинаково и удовлетворять следующим усло-виям внутри и вне поверхности цилиндра

'.BB'BBиB'B 2ii =+== Отсюда следует, что

? Bi

B’ 2 B’ 1 Bj

. dS, dV i j =

, dS, ] ' B [ dF i =

. 2 1 B 0 i i µ =


173

./B'B 2= (11.17) Подставив этот результат в (11.15), получим следующее выражение

для искомого давления:

.B'B'B'BSF

0

2

0 μ2μ2i

ddp ====

Учитывая (11.16), найдем окончательно .R/I 222

0 π8μp = Из формулы (11.15) видно, что цилиндр испытывает боковое сжа-

тие. 11.7. Электромагнитная индукция Задача 1. Внутри длинного соленоида находится катушка из N

витков с площадью поперечного сечения S. Катушку поворачивают с постоянной угловой скоростью ω вокруг оси, совпадающей с ее диа-метром и перпендикулярной оси соленоида. При этом магнитное поле в соленоиде меняется во времени как .tsinВВ 0 ω= Найти э.д.с. индук-ции в катушке, если в момент t=0 ось катушки совпадала с ось соле-ноида.

В момент t полный магнитный поток сквозь катушку

.tSNBttSNBtNBSФ 2ωsin21ωcosωsinωcos 00 =⋅==

Согласно закону электромагнитной индукции

ℰi .tSNBtSNBt/Ф 2ωcosω2ωcos2ω21dd 00 −=⋅−=−=

Задача 2. Квадратная проволочная рамка со стороной а и прямой длинный проводник с постоянным током I₀ лежат в одной плоскости (рис. 11.13). Индуктивность рамки L, ее сопротивление R. Рамку повер-нули на 180° вокруг оси ОО’ и остановили. Найти количество электри-чества, протекшее в рамке. Расстояние b между осью OO’ и прямым проводником с током предполагается известным.

Согласно закону Ома в процессе поворота рамки ток I в ней опреде-ляется по формуле

.tIL

tФRI

dd

dd

−−=


174

Рис. 11.13

Поэтому искомое количество электричества

( ) ( ).ILФR

ILФR

tIq ∆+∆−=+−== ∫∫1dd1d

Поскольку рамку после поворота остановили, ток в ней прекратился и, следовательно, ∆I=0. Остается выяснить, чему равно приращение то-ка ∆Ф сквозь рамку (∆Ф=Ф₂-Ф₁).

Выберем нормаль n к плоскости рамки, например, так, чтобы в ко-нечном положении n было направлено за плоскость рисунка (в сторону В). Тогда нетрудно видеть, что в конечном положении Ф₂>0, а в началь-ном Ф₁<0 (нормаль направлена против В), и ∆Ф оказывается равным просто потоку через площадь, ограниченную конечным и начальным положениями рамки:

∫+

=+=∆ab

a-b12 da ,rBФФФ

где В является функцией r, вид которой легко найти с помощью теоремы о циркуляции.

Окончательно получим, опуская знак минус:

.RI

RФq

a-babln

π2a 00 +

=∆

=µ

Найденная величина, как видим, от индуктивности контура не зави-сит (в случае если бы контур был сверхпроводящим, дело бы обстояло иначе).

b O I₀ a 1 2 a O’


175

11.8. Электрические колебания Задача 1. Колебательный контур состоит из катушки с индуктив-

ностью L и незаряженного конденсатора емкости С. Активное сопро-тивление контура R=0. Катушка находится в постоянном магнитном поле так, что полный магнитный поток, пронизывающий все ее витки, равен Ф. В момент t=0 магнитное поле резко выключили. Найти ток в контуре как функцию времени t.

При резком выключении внешнего магнитного поля в момент t=0 появится индуктивный ток, но конденсатор будет еще не заряженным. Поэтому согласно закону Ома

.tIL

tФRI

dd

dd

−−=

В данном случае R=0 и, значит, .0ILФ =+ Отсюда Ф=LI₀, где I₀ − начальный ток (непосредственно после выключения поля).

После выключения внешнего поля процесс будет описываться урав-нением

.tIL

Cq

dd0 −−= (11.18)

Продифференцировав это уравнение по времени, получим

.ILCt

I 01dd

2

2

=+

Это уравнение гармонических колебаний, его решение ищем в виде ( ).tII m α+= ωcos

Постоянные Im и α находим из начальных условий

( ) ( ) 00dd0 0 ==

tI,II

(второе условие следует из уравнения (11.18), ибо в начальный мо-мент t=0 конденсатор был не заряжен). Из этих условий найдем α=0, Im=I₀. В результате

( ) ,tcosL/ФtcosII 000 ωω == где .LC

10 =ω

Задача 2. В колебательном контуре имеется конденсатор емкости С, катушка с индуктивностью L, активное сопротивление R и ключ. При разомкнутом ключе конденсатор зарядили, а затем ключ замкнули. Найти отношение напряжения на конденсаторе к его амплитудному значению в начальный момент (сразу после замыкания ключа).

Напряжение на конденсаторе будет зависеть от времени так же, как и заряд, поэтому запишем


176

( ).tcoseUU tm αωβ += − (11.19)

В начальный момент t=0 напряжение U(0)=Um cos α, где Um − ам-плитуда в этот момент. Нам надо найти U(0)/ Um, т.е. cos α.

Рис. 11.14

Для этого воспользуемся другим начальным условием: в момент t=0 ток I=q=0. Так как q=CU, то достаточно продифференцировать (11.19) по времени и полученное выражение при t=0 приравнять к нулю. Получим ,0sincos =αω−αβ− откуда ./tg ωβ−=α Поэтому искомое отношение

( )( )

./tg

cosU

Um

22 1

11

10

ωβαα

+=

+== (11.20)

Величины U(0) и Um показаны на рис. 11.14. Принимая во внимание, что ,22

02 β−ω=ω преобразуем (11.20) к

виду

( ) ( ) ,L/CR/U/U m 4110 220 −=−= ωβ

где учтено, что .LC/1иL2/R 20 =ω=β

Задача 3. Катушку с индуктивностью L и активным сопротивле-нием R подключили в момент t=0 к внешнему напряжению

.tcosUU m ω= Найти ток в цепи как функцию времени t.

В данном случае ,ILURI −= или

( ) ( ) .tcosL/UIL/RI m ω=+

U Um U(0) 0 t


177

Решение этого уравнения есть общее решение однородного уравне-ния плюс частное решение неоднородного:

( ) ( ) ( ),tcosLR

UAetI mtL/R ϕωω

−+

+= −

222

где А – произвольная постоянная, а угол ϕ определяется условием (10.36): .R/Ltg ω=ϕ

Постоянная А находим из начального условия I(0)=0. Отсюда

.cosLR/UA 222m ϕ

ω+−= В результате

( ) ( ) ( )[ ]ϕϕωω

cosetcosL/R

UtI tL/Rm −−−+

=222

.

При достаточно большом t второе слагаемое в квадратных скобках становится пренебрежительно малым, и мы получаем установившееся решение ( )tI ~ ( ).tcos ϕ−ω

Задача 4. Цепь, состоящую из последовательно соединенных бе-зындук-ционного сопротивления R и катушки с некоторым активным сопротивлением, подключили к сети с действующим напряжением U. Найти тепловую мощность, выделяемую в катушке, если действующее напряжение на сопротивлении R и катушке равны соответственно U₁ и U2.

Воспользуемся векторной диаграммой, которая дана на рис. 11.15. Из этой диаграммы согласно теореме косинусов имеем

.cosUUUUU Lϕ2122

21

2 2++= (11.21) Мощность же, выделяемая на катушке:

,cosIUP Lϕ22 = (11.22) где .R/UI 1= Из уравнений (11.21), (11.22) получим

( ) .R/UUUP 222

21

22 −−=

ϕ

L U₂ U U₁


178

Рис. 11.15

12. ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯ-

ТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Вариант 1


179

Задача 1. Найти силу притяжения между ядром атома водорода и электроном. Радиус атома водорода 0,5⋅10-8 см, заряд ядра равен по ве-личине и противоположен по знаку заряду электрона.

Задача 2. Две длинные одноименно заряженные нити расположены на расстоянии а=10 см друг от друга. Линейная плотность заряда на ни-тях τ₁=τ₂=10-7 Кл/см. Найти величину и направление напряженности ре-зультирующего электрического поля в точке, находящейся на расстоя-нии 10 см от каждой нити.

Задача 3. На расстоянии r₁=4 см от бесконечно длинной заряженной нити находится точечный заряд q=2 СГСq. Под действием поля заряд перемещается до расстояния r₂=2 см; при этом совершается работа А=50 эрг. Найти линейную плотность заряда нити.

Задача 4. Пучок электронов, ускоренных разностью потенциалов U=300 В, при прохождении через незаряженный горизонтальный пло-ский конденсатор параллельно его пластинам дает светящееся пятно на флюоресцирующем экране, расположенном на расстоянии l₁=12 см от конца конденсатора. При заряде конденсатора пятно на экране смещает-ся на y=3 см. Найти разность потенциалов U₁, приложенную к пласти-нам конденсатора. Длина конденсатора l=6 см и расстояние между его пластинами d=1,4 см.

Задача 5. Сила тока I в проводнике меняется со временем t по урав-нению I=4+2t, где I выражено в амперах и t − в секундах 1. Какое коли-чество электричества проходит через поперечное сечение проводника за время от t₁=2 сек до t₂=6 сек? 2. При какой силе постоянного тока через поперечное сечение проводника за это же время проходит такое же ко-личество электричества?

Задача 6. Имеется предназначенный для измерения токов до 10 А амперметр сопротивлением в 0,18 Ом, шкала которого разделена на 100 делений. 1. Какое сопротивление надо взять и как его включить, чтобы этим амперметром можно было измерить силу тока до 100 А? 2. Как из-менится при этом цена деления амперметра?

Задача 7. На плитке мощностью 0,5 кВт стоит чайник, в который налит 1 л воды при температуре 16°С. Вода в чайнике закипела через 20 мин. после включения плитки. Какое количество тепла потеряно при этом нагревании самого чайника на излучение и т.д.?

Задача 8. Реакция образования воды из водорода и кислорода про-исходит с выделением тепла 2Н2 + О2 = 2Н2О + 5,75⋅105 Дж. Найти наи-меньшую разность потенциалов, при которой будет происходить разло-жение воды электролизом.


180

Задача 9. Определить падение потенциала в сопротивлениях R1, R2 и R3 (рис. 12.1), если амперметр показывает 3 А; R1=4 Ом, R2=2 Ом и R3=4 Ом. Найти I2 и I3 − силу тока в сопротивлениях R2 и R3.

Рис. 12.1 Задача 10. Во сколько раз катод из тарированного вольфрама при

его рабочей температуре в 1800°К дает большую удельную эмиссию, чем катод из чистого вольфрама при той же температуре? Эмиссионную постоянную В для чистого вольфрама считать равной 30 А/см2⋅град2.

Задача 11. Найти напряженность магнитного поля в точке, отстоя-щей на 2 см от бесконечно длинного проводника, по которому течет ток в 5 А.

Задача 12. Катушка длиною 30 см состоит из 1 000 витков. Найти напряженность магнитного поля внутри катушки, если ток, проходящий по катушке, равен 2 А. Диаметр катушки считать малым по сравнению с ее длиной.

Задача 13. Поток магнитной индукции сквозь соленоид (без сердеч-ника) равен 5⋅10-6 Вб. Найти магнитный момент этого соленоида. Длина соленоида равна 25 см.

Задача 14. Найти кинетическую энергию протона, движущегося по дуге радиусом 60 см в магнитном поле, индукция которого равна 104 гс.

Задача 15. Написать уравнение гармонического колебательного движения с амплитудой в 5 см, если в 1 мин. совершается 150 колеба-ний и начальная фаза колебаний равна 45°. Начертить график этого движения.

Вариант 2

Задача 1. Два точечных заряда, находясь в воздухе на расстоянии 20 см друг от друга, взаимодействуют с некоторой силой. На каком рас-стоянии нужно поместить эти заряды в масле, чтобы получить ту же си-лу взаимодействия?

Задача 2. С какой силой (на единицу площади) отталкиваются две одноименные заряженные бесконечно протяженные плоскости с одина-ковой поверхностной плотностью заряда в 3⋅10-8 Кл/см2?

R2 R1 R3


181

Задача 3. Электрическое поле образовано положительно заряжен-ной бесконечно длинной нитью. Двигаясь под действием этого поля от точки, находящейся на расстоянии х₁=1 см от нити, до точки х₂=4 см, α-частица изменила свою скорость от 2⋅105 до 3⋅106 м/сек. Найти линей-ную плотность заряда от нити.

Задача 4. Электрон движется в плоском горизонтальном конденса-торе параллельно его пластинам со скоростью 3,6⋅104 км/сек. Напря-женность поля внутри конденсатора 37 В/см. Длина пластин конденса-тора 20 см. На сколько сместится электрон в вертикальном направлении под действием электрического поля за время его движения в конденса-торе?

Задача 5. Ламповый реостат состоит из пяти электрических лампо-чек, включенных параллельно. Найти сопротивление реостата: 1) когда горят все лампочки, 2) когда вывинчиваются: а) одна, б) две, в) три, г) четыре лампочки. Сопротивление каждой лампочки равно 350 Ом.

Задача 6. Имеется предназначенный для измерений разности потен-циалов до 30 В вольтметр сопротивлением в 2 000 Ом, шкала которого разделена на 150 делений. 1. Какое сопротивление надо взять и как его включить, чтобы этим вольтметром можно было измерять разности по-тенциалов до 75 В? 2. Как изменится при этом цена деления вольтмет-ра?

Задача 7. Намотка в электрической кастрюле состоит из двух оди-наковых секций. Сопротивление каждой секции 20 Ом. Через сколько времени закипит 2,2 л воды, если 1) включена одна секция, 2) обе сек-ции включены последовательно, 3) обе секции включены параллельно? Начальная температура воды 16°С, напряжение в сети 110 В, к.п.д. на-гревателя 85%.

Задача 8. Вычислить эквивалентную электропроводность для очень слабого раствора азотной кислоты.

Задача 9. Считая сопротивление вольтметра бесконечно большим, определяют сопротивление реостата R по показаниям амперметра и вольтметра в схеме рис. 12.2. Посчитать относительную погрешность найденного сопротивления, если в действительности сопротивление вольтметра равно Rv. Задачу решить для Rv=1000 Ом и R, равного: 1) 10 Ом, 2) 100 Ом, 3) 1000 Ом.

Задача 10. Какой ток пойдет между электродами ионизационной камеры площадью каждого электрода каждого 100 см2 и расстояние ме-жду ними 6,2 см, если к электродам приложена разность потенциалов 20 В? Подвижность ионов u+=u−=1 см2/В⋅сек и коэффициент рекомбина-ции α=10-6. Какую долю тока насыщения составляет найденный ток? Ионизатор образует в 1 см3 ежесекундно 109 ионов каждого знака. Ионы считать одновалентными.


182

Задача 11. Найти напряженность магнитного поля в центре круго-

вого проволочного витка радиусом 1 см, по которому течет ток 1 А. Задача 12. Обмотка катушки сделана из проволоки диаметром

0,8 мм. Витки плотно прилегают друг к другу. Считая катушку доста-точно длинной, найти напряженность магнитного поля внутри катушки при силе тока в 1 А.

Задача 13. Замкнутый железный сердечник длиною 50 см имеет об-мотку в 1 000 витков. По обмотке течет ток силой 1 А. Какой ток надо пустить через обмотку, чтобы при удалении сердечника индукция оста-лась прежней?

Задача 14. Протон и электрон, двигаясь с одинаковой скоростью, попадают в однородное магнитное поле. Во сколько раз радиус кривиз-ны траектории протона R1 больше радиуса кривизны траектории элек-трона R2?

Задача 15. Написать уравнение гармонического колебательного движения с амплитудой в 0,1 м, периодом 4 сек. и начальной фазой, равной нулю.

Вариант 3

Задача 1. Постойте график зависимости силы взаимодействия меж-ду двумя зарядами от расстояния между ними в интервале 2 ≤ r ≤ 10 см через каждые 2 см. Заряды равны соответственно 2⋅10-8 Кл и 3⋅10-8 Кл.

Задача 2. Медный шарик диаметром 1 см помещен в масло. Плот-ность масла ρ=800 кг/м3. Чему равен заряд шара, если в однородном электрическом поле шар оказался взвешенным в масле? Электрическое поле направлено вертикально вверх и его напряженность Е=36 000 В/см.

ℰ R

Рис. 12.2


183

Задача 3. Электрическое поле образовано положительно заряжен-ной бесконечной нитью с линейной плотностью заряд в 2⋅10-9 Кл/см. Какую скорость получит электрон под действием поля, приблизившись к нити с расстояния в 1см до расстояния 0,5 см от нити?

Задача 4. Протон влетает в плоский горизонтальный конденсатор параллельно его пластинам со скоростью 1,2⋅105 м/сек. Напряженность поля внутри конденсатора 30 В/см; длина пластин конденсатора 10 см. Во сколько раз скорость протона при вылете из конденсатора будет больше его начальной скорости?

Задача 5. Сколько витков нихромовой проволоки диаметром 1 мм надо навить на фарфоровый цилиндр радиусом 2,5 см, чтобы получить печь сопротивлением 40 Ом?

Задача 6. Миллиамперметр со шкалой от 0 до 15 мА имеет сопро-тивление, равное 5 Ом. Как должен быть включен прибор в комбинации с сопротивлением (и каким) для измерения: 1) силы тока от 0 до 0,15 А, 2) разности потенциалов от 0 до 150 В?

Задача 7. Электрический чайник имеет две обмотки. При включе-нии одной из них вода в чайнике закипит через 15 мин. при включении другой − через 30 мин. Через сколько времени закипит вода в чайнике, если включить обе обмотки: 1) последовательно, 2) параллельно?

Задача 8. Через раствор азотной кислоты пропускается ток I=2 А. Какое количество электричества переносится за одну минуту ионами каждого знака?

Задача 9. Считая сопротивление амперметра бесконечно малым, оп-ределяют сопротивление реостата R по показаниям амперметра и вольтметра в схеме рис. 12.3. Найти относительную погрешность най-денного сопротивления, если в действительности сопротивление ам-перметра равно RА. Задачу решить для RА=0,2 Ом и R, равного: 1) 1 Ом, 2) 10 Ом, 3) 100 Ом.

Задача 10. В схеме рис. 12.4 V1 и V2 − два вольтметра, сопротивле-ния которых равны соответственно R1=3000 Ом и R2=2000 Ом; R3=3000 Ом, R4=2000 Ом, ℰ=200 В. Найти показания вольтметров V1 и V2 в случаях: 1) ключ К разомкнут и 2) ключ К замкнут. Сопротивлени-ем батареи пренебречь. Задачу решить, применяя законы Кирхгофа.

Задача 11. Два прямолинейных проводника расположены парал-лельно на расстоянии 10 см друг от друга. По проводникам текут токи I1=I2=5 А в противоположных направлениях. Найти величину и направ-ление напряженности магнитного поля в точке, находящейся на рас-стоянии 10 см от каждого проводника.

Задача 12. Из проволоки диаметром 1 мм надо намотать соленоид, внутри которого напряженность магнитного поля должна быть равна 300 э. Предельная сила тока, которую можно пропускать по проволоке,


184

равна 6 А. Из какого числа слоев будет состоять обмотка соленоида, ес-ли витки наматывать плотно друг к другу? Диаметр катушки считать малым по сравнению с ее длиной.

Задача 13. Железный сердечник длиною 50,2 см с воздушным зазо-ром длиною 0,1 см имеет обмотку из 20 витков. Какой ток должен про-текать по этой обмотке, чтобы в зазоре получить индукцию в 1,2 Вб/м2?

Задача 14. Протон и электрон, ускоренные одинаковой разностью потенциалов, влетают в однородное магнитное поле. Во сколько раз ра-диус кривизны траектории протона R1 больше радиуса кривизны траек-тории электрона R2?

Задача 15. Амплитуда гармонических колебаний равна 50 мм, пери-

од 4 сек. и начальная фаза .4π 1. Написать уравнение этого колебания.

2. Найти смещение колеблющейся точки от положения при t=0 и при t=1,5 сек. 3. Начертить график этого движения.

ℰ R

Рис. 12.3


185

Вариант 4

Задача 1. Во сколько раз сила ньютоновского притяжения между двумя протонами меньше силы их кулоновского отталкивания? Заряд протона численно равен заряду электрона.

Задача 2. В плоском горизонтально расположенном конденсаторе заряженная капелька ртути находится в равновесии при напряженности электрического поля Е=600 В/см. Заряд капли равен 2,4⋅10-9 СГСq. Най-ти радиус капли.

Задача 3. Около заряженной бесконечно протяженной плоскости находится точечный заряд q=2 СГСq. Под действием поля заряд пере-мещается по силовой линии на расстояние 2 см; при этом совершается работа А=50 эрг. Найти поверхностную плотность заряда на плоскости.

Задача 4. Между пластинами плоского конденсатора, находящими-ся на расстоянии 5 мм друг от друга, приложена разность потенциалов 150 В. К одной из пластин прилегает плоскопараллельная пластина фарфора толщиной 3 мм. Найти напряженность электрического поля в воздухе и фарфоре.

Задача 5. Катушка из медной проволоки имеет сопротивление R=10,8 Ом. Вес медной проволоки равен Р=3,41 кг. Сколько метров проволоки и какого диаметра d намотано на катушке?

Задача 6. Имеется 120-вольтовая лампочка мощностью 40 Вт. Какое добавочное сопротивление надо включить последовательно с лампоч-кой, чтобы она давала нормальный накал при напряжении в сети 220 В? Сколько метров нихромовой проволоки диаметром 0,3 мм надо взять, чтобы получить такое сопротивление?

Задача 7. Для нагревания 4,5 л воды от 23°С до кипения нагреватель потребляет 0,5 кВт⋅ч электрической энергии. Чему равно к.п.д. нагрева-теля?

Задача 8. Эквивалентная электропроводность раствора KCl при не-которой концентрации равна 122 см2/Ом⋅г⋅экв, удельная электропровод-

V1 V2

ℰ R4 K R3

Рис. 12.4


186

ность его при той же концентрации равна 0,00122 Ом-1⋅см-1 и эквива-лентная электропроводность его при бесконечном разведении равна 130 см2/Ом⋅г⋅экв. Найти: 1) степень диссоциации KCl при данной кон-центрации, 2) эквивалентную концентрацию раствора, 3) сумму под-вижностей ионов К+ и Cl−.

Задача 9. В схеме рис. 12.5 сопротивление R=1,4 Ом, ℰ1 и ℰ2 − два элемента, э.д.с. которых одинаковы и равны 2 В. Внутренние сопротив-ления этих элементов равны соответственно r₁=1 Ом и r₂=1,5 Ом. Найти силу тока в каждом из элементов во всей цепи.

Задача 10. Найти показания миллиамперметра mА в схеме рис. 12.6, если ℰ1=ℰ2=1,5 В, r₁=r₂=0,5 Ом, R1=R2=2 Ом и R3=1 Ом. Сопротивление миллиамперметра равно 3 Ом.

Задача 11. По длинному вертикальному проводнику сверху вниз идет ток I=8 А. На каком расстоянии r от него напряженность поля, по-лучающегося от сложного за емного магнитного поля и поля тока, на-правлена вертикально вверх? Горизонтальная составляющая земного поля Нг=0,2 э.

Задача 12. Требуется получить напряженность магнитного поля, равную 12,6 э, в соленоиде длиною 20 см и диаметром 5 см. Найти: 1) число ампер-витков, необходимое для этого соленоида, 2) разность потенциалов, которую надо приложить к концам обмотки, если для нее употребляется медная проволока диаметром 0,5 мм. Считать поле соле-ноида однородным.

Задача 13. Железное кольцо средним диаметром 11,4 см имеет об-

мотку из 200 витков, по которой течет ток силой 5 А. 1. Какой ток дол-жен проходить через обмотку, чтобы индукция в сердечнике осталась прежней, если в кольце сделать прорезь шириной в 1 мм? 2. Найти маг-нитную проницаемость материала сердечника при этих условиях.

Рис. 12.5

ℰ1 ℰ2 R

mA

R1 ℰ1 ℰ2 R3 R2

Рис. 12.6


187

Задача 14. На фотографии, полученной в камере Вильсона, поме-щенной в магнитное поле, траектория электрона представляет собой ду-гу окружности с радиусом 10 см. Индукция магнитного поля 10-2 мл. Найти энергию электрона в электрон-вольтах.

Задача 15. Написать уравнение гармонического колебательного

движе-ния, если начальная фаза колебаний равна: 1) 0, 2) ,2π 3) π,

4) ,23π 5) 5π. Амплитуда колебаний 5 см и период колебаний 8 сек. На-

чертить график колебаний во всех этих случаях.

Вариант 5 Задача 1. Вычислить силу электрического отталкивания между

ядром атома натрия и бомбардирующим его протоном, считая, что про-тон подошел к ядру атома натрия на расстоянии 6⋅10-12 см. Заряд ядра натрия в 11 раз больше заряда протона. Влиянием электронной оболоч-ки атома натрия пренебречь.

Задача 2. Показать, что электрическое поле, образованное заряжен-ной нитью конечной длины, в предельных случаях переходит в элек-трическое поле 1) бесконечно протяженной нити и 2) точечного заряда.

Задача 3. Разность потенциалов между пластинами плоского кон-денсатора равна 90 В. Площадь каждой пластины 60 см2 и заряд 10-9 Кл. На каком расстоянии друг от друга находятся пластины?

Задача 4. Найти емкость земного шара. Радиус земного шара при-нять равным 6 400 км. На сколько изменится потенциал земного шара, если ему сообщить количество электричества, равное 1 Кл?

Задача 5. Найти сопротивление железного стержня диаметром 1 см, если вес этого стержня 1 кг.

Задача 6. Имеются три электрические лампочки, рассчитанные на напряжение 110 В каждая, мощности которых равны соответственно 40, 60 и 80 Вт. Как надо включить эти лампочки, чтобы они давали нор-мальный накал при напряжении в сети 220 В? Найти силу тока, текуще-го через лампочки при нормальном накале. Начертите схему.

Задача 7. Для отопления комнаты пользуются электрической печью, включенной в сеть напряжением в 120 В. Комната теряет в сутки 20 800 ккал тепла. Требуется поддерживать температуру комнаты неиз-менной. Найти: 1) сопротивление печи; 2) сколько метров нихромовой проволоки надо взять для обмотки такой печи, если диаметр проволоки 1 мм; 3) мощность печи.

Задача 8. Определить сопротивление 0,1N раствора AgNO3, запол-няющего трубку длиной 84 см и площадью поперечного сечения 5 мм2, если 81% всех молекул AgNO3 диссоциирован на ионы.


188

Задача 9. В схеме рис. 12.7 сопротивление R=0,5 Ом, ℰ1 и ℰ2 − два элемента, э.д.с. которых одинаковы и равны 2 В. Внутренние сопротив-ления этих элементов равны соответственно r₁=1 Ом и r₂=1,5 Ом. Найти разность потенциалов на зажимах каждого элемента.

Задача 10. В схеме рис. 12.8 ℰ1=ℰ2, R2=2R1. Во сколько раз ток, те-кущий через вольтметр R1, больше тока, текущего через R2? Сопротив-лением генераторов пренебречь.

Задача 11. Вычислить напряженность магнитного поля, создаваемо-го отрезком АВ прямолинейного проводника с током, в точке С, распо-ложенной на перпендикуляре к середине этого отрезка на расстоянии 5 см от него. По проводнику течет ток 20 А. Отрезок АВ проводника ви-ден из точки С под углом 60°.

Задача 12. Чему должно быть равно отношение длины катушки к ее диаметру, чтобы напряженность магнитного поля в центре катушки можно было найти по формуле для напряженности поля бесконечно длинного соленоида? Ошибка при таком допущении не должна превы-шать 5%.

Задача 13. Требуется построить электромагнит, дающий индукцию магнитного поля в межполюсном пространстве, равную 1 400 гс. Длина железного сердечника 40 см, длина межполюсного пространства 1 см, диаметр сердечника 5 см. Найти: 1) какую э.д.с. надо взять для питания обмотки электромагнита, чтобы получить требуемое поле, если в распо-ряжении имеется медная проволока площадью поперечного сечения в 1 мм2; 2) какая будет при этом наименьшая толщина намотки, если счи-тать, что предельная допустимая плотность тока 3 А/мм2.

Рис. 12.7

Задача 14. Заряженная частица движется в магнитном поле по ок-ружности со скоростью 106 м/сек. Индукция магнитного поля равна 0,3 мл. Радиус окружности 4 см. Найти заряд частицы, если известно, что ее энергия равна 12 кэВ.

ℰ R1 R2


189

Задача 15. Начертить на одном графике два гармонических колеба-ния амплитудами (А1=А2=2 см) и одинаковыми периодами

(Т1=Т2=8 сек), но имеющими разность фаз: 1) ,4π 2) ,

2π 3) π, 4) 2π.

Вариант 6

Задача 1. Два одинаковых металлических заряженных шарика весом 0,2 кг каждый находятся на некотором расстоянии друг от друга. Найти заряд шариков, если известно, что на этом расстоянии их электростати-ческая энергия в миллион раз больше их взаимной энергии.

Задача 2. Длина заряженной нити равна 25 см. При каком предель-ном расстоянии от нити (для точек, лежащих на перпендикуляре к сере-дине нити) электрическое поле можно рассматривать как поле беско-нечно заряженной нити? Ошибка при таком допущении не должна пре-вышать 5%.

Задача 3. Плоский конденсатор может быть применен в качестве чувствительных микровесов. Внутри горизонтально расположенного плоского конденсатора, расстояние между пластинами которого d=3,84 мм, находится заряженная частица с зарядом q=1,44⋅10-9 СГСq. Для того чтобы частица находилась в равновесии, между пластинами конденсатора нужно было приложить разность потенциалов U=40 В. Найти массу частицы.

Задача 4. Шарик радиусом 2 см заряжается отрицательно до потен-циала 2 000 В. Найти массу всех электронов, составляющих заряд, со-общенный шарику при заряде.

Задача 5. Два цилиндрических проводника, один из меди, а другой из алюминия, имеют одинаковую длину и одинаковое сопротивление. Во сколько раз медный провод тяжелее алюминиевого?

Задача 6. В лаборатории, удаленной от генератора на 100 м, вклю-чили электрический нагревательный прибор, потребляющий 10 А. На сколько понизилось напряжение на зажимах электрической лампочки, горящей в этой лаборатории? Сечение медных подводящих проводов равно 5 мм2.

Задача 7. Температура водяного термостата емкостью 1 л поддер-живается постоянной при помощи нагревателя мощностью 26 Вт; на на-гревание воды тратится 80% этой мощности. На сколько градусов пони-зится температура воды в термостате за 10 мин. если нагреватель вы-ключить?

Задача 8. Найти сопротивление 0,05N раствора KNO3, заполняюще-го трубку длиной l=2 см и площадью поперечного сечения S=7 см2, если известно, что эквивалентная электропроводность этого раствора 1,1⋅10-

3 м2/Ом⋅кг⋅экв.


190

Задача 9. В схеме рис. 12.8 ℰ1=ℰ2=110 В, R2=R1=200 Ом, сопротив-ление вольтметра 1 000 Ом. Найти показания вольтметра. Сопротивле-нием батарей пренебречь.

Задача 10. В схеме рис. 12.8 ℰ1=ℰ2, R2=R1=100 Ом. Вольтметр пока-

зывает 150 В, сопротивление вольтметра равно 150 Ом. Найти э.д.с. ба-тарей. Сопротивлением батарей пренебречь.

Задача 11. Отрезок прямолинейного проводника с током имеет дли-ну 30 см. При каком предельном расстоянии от него до точек, лежащих на перпендикуляре к его середине, магнитное поле можно рассматри-вать как поле бесконечного длинного прямолинейного тока? Ошибка при таком допущении не должна превышать 5%.

Задача 12. Найти распределение напряженности магнитного поля вдоль оси соленоида, длина которого равна 3 см и диаметр 2 см. Сила тока, текущего по соленоиду, равна 2 А. Катушка имеет 100 витков. Со-ставить таблицу значений Н для значений х в интервале 0≤х≤3 см через каждые 0,5 см и построить график с нанесением масштаба.

Задача 13. Между полюсами электромагнита создается однородное магнитное поле, индукция которого равна 1 000 гс. По проводу длиной в 70 см, помещенному перпендикулярно силовым линиям, течет ток си-лой 70 А. Найти силу, действующую на провод.

Задача 14. Протон и α-частица влетают в однородное магнитное поле. Скорость частиц направлена перпендикулярно линиям поля. Во сколько раз период обращения протона в магнитном поле больше пе-риода обращения α-частицы?

ℰ1 R2 R1 ℰ2

Рис. 12.8


191

Задача 15. Через сколько времени от начала движения точка, со-вершающая гармоническое колебание, сместится от положения равно-весия на половину амплитуды? Период колебаний равен 24 сек. началь-ная фаза равна нулю.

Вариант 7

Задача 1. Во сколько раз энергия электростатического взаимодейст-вия двух частиц с зарядом q и массой m больше энергии их гравитаци-онного взаимодействия? Задачу решить для: 1) электронов и 2) прото-нов.

Задача 2. Напряженность электрического поля на оси заряженного кольца имеет максимальное значение на расстоянии L=Lmax от центра кольца будет меньше максимальной напряженности?

Задача 3. В плоском, горизонтально расположенном конденсаторе, расстояние между пластинами которого d=1 см, находится заряженная капелька массой m=5⋅10-11 г. При отсутствии электрического поля ка-пелька вследствие сопротивления воздуха падает с некоторой постоян-ной скоростью. Если к пластинам конденсатора приложена разность по-тенциалов U=600 В, то капелька падает вдвое медленней. Найти заряд капельки.

Задача 4. Восемь заряженных водяных капель радиусом 1 мм и за-рядом в 10-10 Кл каждая сливаются в одну общую водяную каплю. Най-ти потенциал большой капли.

Задача 5. Сопротивление вольфрамовой нити электрической лам-почки при 20°С равно 35,8 Ом. Какова будет температура нити лампоч-ки, если при включении в сеть напряжением в 120 В по нити идет ток 0,33 А? Температурный коэффициент сопротивления вольфрама равен 4,6⋅10-3 град-1.

Задача 6. От батареи, э.д.с. которой равна 500 В, требуется передать энергию на расстояние 2,5 км. Потребляемая мощность равна 10 кВт. Найти минимальные потери мощности в сети, если диаметр медных подводящих проводов равен 1,5 см.

Задача 7. Сколько надо заплатить за пользование электрической энергией в месяц (30 дней), если ежедневно по 6 часов горят две элек-трические лампочки, потребляющие при 120 В ток 0,5 А? Кроме того, ежедневно кипятится 3 л воды (начальная температура воды 10°С). Стоимость 1 кВт⋅ч энергии принять равной 4 коп. К.п.д. нагревателя принять равным 80%.

Задача 8. Трубка длиной 3 см и площадью поперечного сечения 10 см2 наполнена раствором, содержащим 0,1 кмоля CuSO4 в 1 м3. Со-противление раствора равно 38 Ом. Найти эквивалентную электропро-водность раствора.


192

Задача 9. Определить силу тока, показываемую амперметром в схе-ме на рис. 12.9. Напряжение на зажимах элемента в замкнутой цепи равно 20,1 В; R1=5 Ом, R2=6 Ом и R3=3 Ом. Сопротивлением ампермет-ра пренебречь.

Задача 10. В схеме рис. 12.10 ℰ1 и ℰ2 − два элемента с одинаковой э.д.с. в 2 В и с одинаковым внутренним сопротивлением, равным 0,5 Ом. Найти силу тока, текущего: 1) через сопротивление R1=0,5 Ом, 2) через сопротивление R2=1,5 Ом, 3) через элемент ℰ1.

Задача 11. Вычислить напряженность магнитного поля, создавае-

мого отрезком АВ прямолинейного проводника с током, в точке С, рас-положенной на перпендикуляре к середине этого отрезка на расстоянии 6 см от него. По проводнику течет ток 30 А. Отрезок АВ проводника ви-ден из точки С под углом 90°.

Задача 12. Конденсатор емкостью в 10-5 Ф периодически заряжается от батареи, э.д.с. которой равна 100 В, и разряжается через катушку. Ка-тушка имеет форму кольца диаметром 20 см с 32 витками, причем плос-кость кольца совпадает с плоскостью магнитного меридиана. Помещен-ная в центре катушки горизонтальная магнитная стрелка отклоняется на угол 45°. Переключение конденсатора происходит 100 раз в секунду. Найти из данных этого опыта горизонтальную составляющую напря-женности магнитного поля Земли.

Задача 13. Два прямолинейных длинных параллельных проводника находятся на расстоянии 10 см друг от друга. По проводникам течет ток в одном направлении I1=20 A и I2=30 А. Какую работу надо совершить (на единицу длины проводников), чтобы раздвинуть эти проводники до расстояния 20 см?

Задача 14. α-частица, кинетическая энергия которой равна 500 эВ, влетает в однородное магнитное поле, перпендикулярное скорости ее движения. Индукция магнитного поля 1 000 гс. Найти: 1) силу, дейст-

ℰ R1 R2 R3

Рис. 12.9

ℰ1 ℰ2 R1 R2 Рис. 12.10


193

вующую на частицу, 2) радиус окружности, по которой движется части-ца, 3) период обращения частицы.

Задача 15. Начальная фаза гармонического колебания равна нулю. Через какую долю периода скорость точки будет равна половине ее максимальной скорости?

Вариант 8 Задача 1. Построить график зависимости потенциальной электро-

статиче-ской энергии двух точечных зарядов от расстояния между ними в интервале 2 ≤ r ≤ 10 см через каждые 2 см. Заряды q₁=10-9 Кл и q₂=3⋅10-

9 Кл; ε =1. График построить для случаев: 1) заряды одноименные и 2) заряды разноименные.

Задача 2. Показать, что электрическое поле, образованное заряжен-ным диском, в предельных случаях переходит в электрическое поле 1) бесконечно протяженной плоскости и 2) точечного заряда.

Задача 3. Между двумя вертикальными пластинами, находящимися на расстоянии 1 см друг от друга, на нити висит заряженный бузиновый шарик, масса которого равна 0,1 г. После того как на пластины была по-дана разность потенциалов 100 В, нить с шариком отклонилась на угол 10°. Найти заряд шарика.

Задача 4. Шарик, заряженный до потенциала 792 В, имеет поверх-ностную плотность заряда, равную 3,33⋅10-7 Кл/м2. Чему равен радиус шарика?

Задача 5. Реостат из железной проволоки, миллиамперметр и гене-ратор тока включены последовательно. Сопротивление реостата про 0°С равно 120 Ом, сопротивление миллиамперметра 20 Ом. Миллиампер-метр показывает 22 мА. Что будет показывать миллиамперметр, если реостат нагреется на 50°? Температурный коэффициент сопротивления железа 6⋅10-3 град-1. Сопротивлением генератора пренебречь.

Задача 6. От генератора, э.д.с. которого равна 110 В, требуется пе-редать энергию на расстояние 2,5 км. Потребляемая мощность равна 1 кВт. Найти минимальное сечение медных подводящих проводов, если потери мощности в сети не должны превышать 1%.

Задача 7. Электрический чайник с 600 см3 воды при 9°С, сопротив-ление обмотки которого равно 16 Ом, забыли выключить. Через сколько времени после включения вся вода в чайнике выкипит? Напряжение в сети 120 В, к.п.д. чайника 60%.

Задача 8. Удельная электропроводность децинормального раствора соляной кислоты равна 0,035 Ом-1⋅см-1. Найти степень диссоциации.


194

Задача 9. В схеме рис. 12.11 ℰ1=2ℰ2, R1=R3=20 Ом, R2=15 Ом и R4=30 Ом. Амперметр показывает n 1,5 А (ток через него идет снизу вверх ). Найти величины ℰ1 и ℰ2, а также силы токов I2 и I3, идущих со-ответственно через сопротивления R2 и R3. Сопротивлением батарей и амперметра пренебречь.

Задача 9. В схеме рис. 12.12 R2=20 Ом, R3=15 Ом и сила тока, те-

кущего через сопротивление R2, равна 0,3 А. Амперметр показывает 0,8 А. Найти сопротивление R1.

Задача 10. В точке С, расположенной на расстоянии 5 см от беско-нечно длинного прямолинейного проводника с током, напряженность магнитного поля равна 400 А/м. 1. При какой предельной длине про-водника это значение напряженности будет верным с точностью до 2%? 2. Чему будет равна напряженность магнитного поля в точке С, если проводник с током имеет длину 20 см? Точка С расположена на перпен-дикуляре к середине этого проводника.

Задача 11. Конденсатор емкостью в 10 мкФ периодически заряжа-ется от батареи, дающей разность потенциалов 120 В, и разряжается че-рез соленоид длиной 10 см с 200 витками. Среднее значение напряжен-ности магнитного поля внутри соленоида 3,02 э. Сколько раз в секунду

А

R1 R2 R3

Рис.

ℰ1 ℰ2 R3 R2 R4 R1

Рис.


195

происходит переключение конденсатора? Диаметр соленоида считать малым по сравнению с его длиной.

Задача 12. Два прямолинейных длинных параллельных проводника находятся на некотором расстоянии друг от друга. По проводникам те-кут токи, равные по величине и по направлению. Найти силу тока, те-кущего по каждому из проводников, если известно, что, для того чтобы раздвинуть эти проводники на вдвое большее расстояние, пришлось со-вершить работу (на единицу длины проводника), равную 5,5 эрг/см.

Задача 13. α-частица, момент количества движения которого равен 1,33⋅10-22 кг⋅м2/сек, влетает в однородное магнитное поле, перпендику-лярное скорости ее движения. Индукция магнитного поля равна 2,5⋅10-

2 мл. Найти кинетическую энергию α-частицы. Задача 14. Через сколько времени от начала движения точка, со-

вершающая колебательное движение по уравнению х=7 sin 0,5 πt, про-ходит путь от положения равновесия до максимального смещения?

Вариант 9

Задача 1. Найти напряженность электрического поля в точке, лежа-щей посередине между точечными зарядами q₁=8⋅10-9 Кл. Расстояние между зарядами равно r= 10 см; ε =1.

Задача 2. Диаметр заряженного диска равен 25 см. При каком пре-дельном расстоянии от диска по нормали к его центру электрическое поле можно рассматривать как поле бесконечно протяженной плоско-сти? Ошибка при таком допущении не должна превышать 5%.

Задача 3. Мыльный пузырь с зарядом 2,22⋅10-10 Кл находится в рав-новесии в поле горизонтального плоского конденсатора. Найти разность потенциалов между пластинами конденсатора, если масса пузыря рав-на 0,01 г и расстояние между пластинами 5 см.

Задача 4. Площадь каждой пластины плоского воздушного конден-сатора 1 м2, расстояние между пластинами 1,5 мм. Найти емкость этого конденсатора.

Задача 5. Обмотка катушки из медной проволоки при температуре 14°С имеет сопротивление 10 Ом. После пропускания тока сопротивле-ние обмотки стало равно 12,2 Ом. До какой температуры нагрелась об-мотка? Температурный коэффициент сопротивления меди равен 4,15⋅10-

3 град-1. Задача 6. В цепь включены последовательно медная и стальная про-

волоки равной длины и диаметра. Найти: 1) отношение количеств тепла, выделяющегося в этих проволоках, 2) отношение падений напряжений на этих проволоках.


196

Задача 7. В ртутном диффузионном насосе ежеминутно испаряется 100 г ртути. Чему должно быть равно сопротивление нагревателя насо-са, если нагреватель включать в сеть напряжением 127 В? Теплоту па-рообразования ртути принять равной 2,96⋅105 Дж/кг.

Задача 8. Найти число ионов каждого знака, находящихся в единице объема раствора соляной кислоты с удельной электропроводимостью 0,035 Ом-1⋅см-1.

Задача 9. В схеме рис. 12.13 ℰ − батарея с э.д.с., равной 100 В,

R1=R3=40 Ом, R2=80 Ом и R4=34 Ом. Найти: 1) силу тока, текущего че-рез сопротивление R2, 2) падение потенциала на этом сопротивлении. Сопротивлением батареи пренебречь.

Задача 10. В схеме рис. 12.11 ℰ1=ℰ2=100 В. R1=20 Ом, R3=40 Ом, R2=10 Ом и R4=30 Ом. Найти показание амперметра. Сопротивлением батарей и амперметра пренебречь.

Задача 11. Ток в 20 А идет по длинному проводнику, согнутому под прямым углом. Найти напряженность магнитного поля в точке, лежа-щей на биссектрисе этого угла и отстоящей от вершины угла на рас-стоянии 10 см.

Задача 12. В однородном магнитном поле, напряженность которого 1 000 Э, помещена квадратная рамка. Ее плоскость составляет с направ-ле-нием магнитного поля угол 45°. Сторона рамки 4 см. Определить магнитный поток, пронизывающий рамку.

Задача 13. Из проволоки длиной 20 см сделаны контуры: 1) квадратный и 2) круговой. Найти вращающийся момент сил, дейст-вующий на каждый контур, помещенный в однородное магнитное поле, индукция которого равна 1 000 гс. По контурам течет ток силой 2 А. Плоскость каждого контура составляет угол в 45° с направлением маг-нитного поля.

Задача 14. Однозарядные ионы изотопов калия с атомными весами 39 и 41 ускоряются разностью потенциалов в 300 В; затем они попадают

ℰ R1 R2 R3 R4

Рис. 12.13


197

в однородное магнитное поле, перпендикулярное направлению их дви-жения. Индукция магнитного поля 800 гс. Найти радиусы кривизны траектории этих ионов.

Задача 15. Амплитуда гармонического колебания равна 5 см, пери-од - 4 сек. Найти максимальную скорость колеблющейся точки и ее максимальное ускорение.

Вариант 10

Задача 1. В центре квадрата, в вершинах которого находится по за-ряду в 7 СГСq, помещен отрицательный заряд. Найти величину этого за-ряда, если результирующая сила, действующая на каждый заряд, равна нулю.

Задача 2. Шарик массой в 40 мг, заряженный положительным заря-дом в 10-9 Кл, движется со скоростью 10 см/сек. На каком расстоянии может приблизиться шарик к положительному точечному заряду, рав-ному 4 СГСq?

Задача 3. Расстояние между пластинами плоского конденсатора 4 см. Электрон начинает двигаться от отрицательной пластины в тот момент, когда от положительной пластины начинает двигаться протон. На каком расстоянии от положительной пластины они встретятся?

Задача 4. Требуется изготовить конденсатор емкостью в 2,5⋅10-

4 мкФ. Для этого на парафинированную бумагу толщиной в 0,05 мм на-клеивают с обеих сторон кружки станиоля. Каков должен быть диаметр этих кружков?

Задача 5. Найти падение потенциала на медном проводе длиной 500 м и диаметром 2 мм, если сила тока в нем равна 2 А.

Задача 6. В цепь включены параллельно медная и стальная прово-локи равной длины и диаметра. Найти: 1) отношение количества тепла, выделяющегося в этих проволоках, 2) отношение падений напряжений на этих проволоках.

Задача 7. В цепь, состоящую из медного провода площадью попе-речного сечения S₁=3 мм2, включен свинцовый предохранитель площа-дью поперечного сечения S₂=1 мм2. На какое повышение температуры проводов при коротком замыкании цепи рассчитан этот предохрани-тель? Считать, что при коротком замыкании вследствие кратковремен-ности процесса все выделившееся тепло идет на нагревание цепи. На-чальная температура предохранителя t₀=17°С.

Задача 8. При освещении сосуда с газом рентгеновскими лучами в каждом миллиметре его объема ежесекундно ионизуется 1010 молекул. В результате рекомбинации в сосуде установилось равновесие, причем в


198

1 см3 находится 108 ионов каждого знака. Найти коэффициент рекомби-нации.

Задача 9. В схеме рис. 12.14 ℰ1=25 В падение потенциала на сопро-тивлении R1, равное 10 В, равно падению потенциала на R3 и вдвое больше падения потенциала на R2. Найти величины ℰ2 и ℰ3. Сопротив-лением батарей пренебречь. Токи I1 и I3 направлены справа налево, ток I2 − сверху вниз.

Задача 10. В схеме рис. 12.14 ℰ1=ℰ2=ℰ3, R1=20 Ом, R2=12 Ом и па-

дение потенциала на сопротивление R2 (ток через R2 направлен сверху вниз) равно 6 В. Найти силу тока во всех участках цепи. Найти сопро-тивление R3. Внутренним сопротивлением элементов пренебречь.

Задача 11. Ток I=20 А, протекая по проволочному кольцу из медной проволоки сечением S=1,0 мм2, создает в центре кольца напряженность магнитного поля Н=2,24 э. Какая разность потенциалов приложена к концам проволоки, образующим кольцо?

Задача 12. В магнитном поле, индукция которого равна 0,05 мл, вращается стержень длиною 1 м. Ось вращения, проходящая через один из концов стержня, параллельна силовым линиям магнитного поля. Найти поток магнитной индукции, пересекаемый стержнем при каждом обороте.

Задача 13. Алюминиевый провод, площадь поперечного сечения ко-торого равна 1 мм2, подвешен к горизонтальной плоскости перпендику-лярно магнитному меридиану, и по нему течет ток (с запада на восток) силой 1,6 А. 1. Какую долю от веса проводника составляет сила, дейст-вующая на него со стороны земного магнитного поля? 2. На сколько из-

R1 R3 R2 ℰ1 ℰ2 ℰ3

Рас. 12.14


199

менится вес 1 м провода вследствие этой силы? Горизонтальная состав-ляющая земного магнитного поля 0,2 э.

Задача 14. Найти отношение q/m для заряженной частицы, если она, влетая со скоростью 108 см/сек, в однородное магнитное поле напря-женностью в 2 500 Э, движется по дуге окружности радиусом 8,3 см. Направление скорости движения частицы перпендикулярно направле-нию магнитного поля. Сравнить найденное значение со значением q/m для электрона, протона и α-частицы.

Задача 15. Уравнение движения точки дано в виде

.см4

t2

sin2

π

+π

=х Найти: 1) период колебаний, 2) максимальную

скорость точки, 3) ее максимальное ускорение.

Вариант 11 Задача 1. В вершинах правильного шестиугольника расположены

три положительных и три отрицательных заряда. Найти напряженность электрического поля в центре шестиугольника при различных комбина-циях в расположении этих зарядов. Величина каждого заряда q=4,5 СГСq. Сторона шестиугольника 3 см.

Задача 2. На какое расстояние могут сблизиться два электрона, если они движутся навстречу друг другу с относительной скоростью, равной 108 см/сек?

Задача 3. Расстояние между пластинами плоского конденсатора рав-но 1 см. От одной из пластин одновременно начинают двигаться протон и α-частица за то время, в течение которого протон пройдет весь путь от одной пластины до другой?

Задача 4. Радиус центральной жилы коаксиального кабеля 1,5 см, радиус оболочки 3,5 см. Между центральной жилой и оболочкой при-ложена разность потенциалов 2 300 В. Вычислить напряженность элек-трического поля на расстоянии 2 см от оси кабеля.

Задача 5. Элемент с э.д.с. в 1,1 В и внутренним сопротивлением в 1 Ом замкнут на внешнее сопротивление 9 Ом. Найти: 1) силу тока в цепи, 2) падение потенциала во внешней цепи, 3) падение потенциала внутри элемента, 4) с каким к.п.д. работает элемент.

Задача 6. Элемент, э.д.с. которого равна 6 В, дает максимальную силу тока 3 А. Найти наибольшее количество тепла, которое может быть выделено во внешнем сопротивлении за 1 мин.

Задача 7. Найти количество тепла, выделяющееся ежесекундно в единице объема медного провода при плотности тока в 30 А/см2.

Задача 8. К электродам разрядной трубки приложена разность по-тенциалов 5 В, расстояние между ними 10 см. Газ, находящийся в труб-ке, однократно ионизован и число пар ионов в 1 м3 равно 108, причем


200

u+=3⋅10-2 м2/В⋅сек и u−=3⋅102 м2/В⋅сек. Найти: 1) плотность тока в трубке, 2) какая часть полного тока переносится положительными ионами.

Задача 9. В схеме рис. 12.14 ℰ1=2 В, ℰ2=4 В, ℰ3=6 В, R1=4 Ом, R2=6 Ом и R3=8 Ом. Найти силу тока во всех участках цепи. Сопротив-лением элементов пренебречь.

Задача 10. В схеме рис. 12.15 ℰ − батарея с э.д.с., равной 120 В; АВ – потенциометр, сопротивление которого равно 120 Ом, и М – электриче-ская лампочка. Сопротивление лампочки меняется при нагревании от 30 до 300 Ом. На сколько меняется при этом разность потенциалов на кон-цах лампочки, если подвижный контакт С стоит на середине потенцио-метра? На столько меняется при этом мощность, потребляемая лампоч-кой?

Задача 11. Найти напряженность магнитного поля на оси кругового контура на расстоянии 3 см от его плоскости. Радиус контура 4 см, сила тока в контуре 2 А.

Задача 12. Рамка, площадь которой равна 16 см2, вращается в одно-родном магнитном поле, делая 2 об/сек. Ось вращения находится в плоскости рамки и перпендикулярна линиям магнитного поля. Напря-женность магнитного поля равна 7,96⋅104 А/м. Найти: 1) зависимость магнитного потока, пронизывающего рамку, от времени, 2) наибольшее значение магнитного потока.

Задача 13. Катушка гальванометра, состоящая из 400 витков тонкой проволоки, намотанной на прямоугольный каркас длиной в 3 см и ши-риной в 2 см, подвешена на нити в магнитном поле, индукция которого

ℰ С А В М

Рис.


201

1 000 гс. По катушке течет ток силой 10-7 А. Найти вращающий момент, действующий на катушку гальванометра, если: 1) плоскость катушки параллельна направлению магнитного поля, 2) плоскость катушки со-ставляет 60° с направлением магнитного поля.

Задача 14. Магнитное поле напряженностью Н=8⋅103 А/м и элек-трическое поле напряженностью Е=10 В/см направлены одинаково. Электрон влетает в такое электромагнитное поле со скоростью υ=105 м/сек. Найти нормальное аn, тангенциальное аt и полное а ускоре-ния электрона. Задачу решить для случаев: 1) скорость электрона на-правлена параллельно силовым линиям и 2) скорость электрона направ-лена перпендикулярно силовым линиям полей.

Задача 15. Уравнение движения точки дано в виде .t6

sin π=х Най-

ти моменты времени, в которые достигаются максимальная скорость и максимальное ускорение.

Вариант 12

Задача 1. В вершинах правильного шестиугольника расположены положительные заряды. Найти напряженность электрического поля в центре шестиугольника. Величина каждого заряда q=4,5 CГCq. Сторона шестиугольника 3 см.

Задача 2. Протон (ядро атома водорода) движется со скоростью 7,7⋅108 см/сек. На какое наименьшее расстояние может приблизиться этот протон к ядру атома алюминия? Заряд атомов алюминия q=Ze₀, где Z − порядковый номер атома в таблице Менделеева и е₀ − заряд прото-на, численно равный заряду электрона. Массу протона считать равной массе атома водорода. Протон и ядро атома алюминия считать точеч-ными зарядами. Влиянием электронной оболочки атома алюминия пре-небречь.

Задача 3. Электрон, пройдя в плоском конденсаторе путь от одной пластины до другой, приобретает скорость 108 см/сек. Расстояние меж-ду пластинами 5,3 мм. Найти: 1) разность потенциалов между пласти-нами, 2) напряженность электрического поля внутри конденсатора, 3) поверхностную плотность заряда на пластинах.

Задача 4. Воздушный цилиндрический конденсатор имеет радиус внутреннего цилиндра r=1,5 см, радиус внешнего цилиндра R=3,5 см. Между цилиндрами приложена разность потенциалов U=2300 В. Какую скорость получит электрон под действием поля этого конденсатора, двигаясь с расстояния l₁=2,5 см до расстояния l₂=2 см от оси цилиндра?

Задача 5. Построить график зависимости падения потенциала во внешней цепи от внешнего сопротивления для цепи от внешнего сопро-


202

тивления для цепи предыдущей задачи. Внешнее сопротивление взять в пределах 0 ≤ R ≤ 10 Ом через каждые 2 Ом.

Задача 6. Определить: 1) общую мощность, 2) полезную мощность и 3) к.п.д. батареи, э.д.с. которой равна 240 В, если внешнее сопротив-ление равно 23 Ом и сопротивление батареи 1 Ом.

Задача 7. Какая разность потенциалов получается на зажимах двух элементов, включенных параллельно, если их э.д.с. равны соответст-венно ℰ₁= В и ℰ₂=1,2 В и внутреннее сопротивление r₁=0,6 Ом и r₂=0,4 Ом?

Задача 8. Площадь каждого электрода ионизационной камеры 100 см2 и расстояние между ними 6,2 см. Найти ток насыщения в такой камере, если известно, что ионизатор образует в 1 см3 ежесекундно 109 ионов каждого знака. Ионы считать одновалентными.

Задача 9. В схеме рис. 12.16 ℰ − батарея с э.д.с., равной 120 В, R3=20 Ом, R4=25 Ом и падение потенциала на сопротивлении R1 равно 40 В. Амперметр показывает 2 А. Найти сопротивление R2. Сопротивле-нием батарей и амперметра пренебречь.

Задача 10. 1. Какую силу тока показывает амперметр в схеме рис. 12.16, если ℰ=10 В, r=1 Ом и к.п.д. 0,8? 2. Чему равно падение потен-циала на сопротивлении R2, если известно, что падение потенциала на сопротивлении R1 равно 4 В и на сопротивлении R4 равно 2 В?

Задача 11. Напряженность магнитного поля в центре кругового вит-ка радиусом 11 см равна 0,8 э. Найти напряженность магнитного поля на оси витка на расстоянии 10 см от его плоскости.

Задача 12. Железный образец помещен в магнитное поле, напря-женность которого 10 э. Найти магнитную проницаемость железа при этих условиях.

Задача 13. На расстоянии 20 см от длинного прямолинейного вер-тикального провода на тонкой нити длиной 102 см и диаметром 0,1 мм висит короткая магнитная стрелка, магнитный момент которой равен 10-

2 А⋅м2. Стрелка находится в плоскости, проходящей через провод и нить. На какой угол повернется стрелка, если по проводу пустить ток силой 30 А? Модуль сдвига материала нити 600 кГ/мм2. Система экра-нирована от магнитного поля Земли.


203

Задача 14. Магнитное поле, индукция которого В=5 гс, направлено

перпендикулярно электрическому полю, напряженность которого Е=10 В/см. Пучок электронов, летящих с некоторой скоростью υ, влета-ет в пространство, где расположены эти поля, причем скорость электро-нов перпендикулярна плоскости, в которой лежат векторы Е и В. Найти: 1) скорость электронов υ, если при одновременном действии обоих по-лей пучок электронов не испытывает отклонения, 2) радиус кривизны траектории электронов при условии включения одного магнитного по-ля.

Задача 15. Точка совершает гармоническое колебание. Период ко-лебаний 2 сек, амплитуда 50 мм, начальная фаза равна нулю. Найти скорость точки в момент времени, когда смещение точки от положения равновесия равно 25 мм.

Вариант 13

Задача 1. Расстояние между двумя точечными зарядами q₁=22,5 СГСq и q₂=−44,0 СГСq равно 5 см. Найти напряженность электрического поля в точке, находящейся на расстоянии 3 см от положительного заря-да и 4 см от отрицательного заряда.

Задача 2. При бомбардировке неподвижного ядра натрия α-частицей сила отталкивания между ними достигла 14 кГ. 1. На какое наименьшее расстояние приблизилась α-частица к ядру атома натрия? 2) Какую скорость имела α-частица? Влиянием электронной оболочки атома натрия пренебречь.

Задача 3. Электрическое поле образовано двумя параллельными пла-стинами, находящимися на расстоянии 2 см друг от друга; разность

Рис. 12.16

ℰ R1 R2

R1

R3


204

потенциалов между ними 120 В. Какую скорость получит электрон под действием поля, пройдя по силовой линии расстояние в 3 мм?

Задача 4. Цилиндрический конденсатор состоит из внутреннего ци-линдра радиусом r=3 мм, двух слоев изолятора и внешнего цилиндра радиусом R=1 см. Первый слой изолятора толщиной d₁=3 мм примыкает к внутреннему цилиндру. Найти отношение падений потенциала в этих слоях.

Задача 5. Элемент с э.д.с. в 2 В имеет внутреннее сопротивление 0,5 Ом. Определить падение потенциала внутри элемента при силе тока в цепи 0,25 А. Найти внешнее сопротивление цепи при этих условиях.

Задача 6. Найти внутреннее сопротивление генератора, если извест-но, что мощность, выделяемая во внешней цепи, одинакова при двух значениях внешнего сопротивления R₁=5 Ом и R₂=0,2 Ом. Найти к.п.д. генератора в каждом из этих случаев.

Задача 7. За какое время при электролизе водного раствора хлорной меди (CuCl₂) на катоде выделится 4,74 г меди? Сила тока равна 2 А.

Задача 8. Найти возможное наибольшее число пар ионов в 1 см3 ка-меры площадью каждого электрода 100 см2, при расстоянии между ни-ми 6,2 см в условиях, когда коэффициент рекомбинации равен 10-6. Ио-низатор образует в 1 см3 ежесекундно 109 ионов каждого знака. Ионы считать одновалентными.

Задача 9. Какую силу тока показывает миллиамперметр mA в схеме рис. 12.17, если ℰ1=2 В, ℰ2=1 В, R1=103 Ом, R2=500 Ом, R3=200 Ом и со-противление амперметра равно RА=200 Ом? Внутренним сопротивлени-ем элементов пренебречь.

Задача 10. Какую силу тока показывает миллиамперметр mA в схе-ме рис. 12.17, если ℰ1=2 В, ℰ2=3 В, R3=1500 Ом, RА=500 Ом и падение потенциала на сопротивлении R2 (ток через R2 направлен сверху вниз) равно 1 В? Сопротивлением элементов пренебречь.

Задача 11. Два круговых витка радиусом 4 см каждый расположены в параллельных плоскостях на расстоянии 0,1 м друг от друга. По вит-кам текут токи I1=I2=2 А. Найти напряженность магнитного поля на оси витков в точке, находящейся на равном расстоянии от них. Задачу ре-шить для случаев: 1) токи в витках текут в одном направлении, 2) токи в витках текут в противоположных направлениях.

Задача 12. Сколько ампер-витков потребуется для того, чтобы внут-ри соленоида малого диаметра и длиной 30 см объемная плотность энергии магнитного поля была равна 1,75 Дж/м3?

Задача 13. Катушка гальванометра, состоящая из 600 витков прово-локи, подвешена на нити длиной в 10 см и диаметром 0,1 мм в магнит-ном поле напряженностью в 16⋅104 А/м так, что ее плоскость параллель-


205

на направлению магнитного поля. Длина рамки катушки а=2,2 см и ши-рина b=1,9 см. Какой ток течет по обмотке катушки, если катушка по-вернулась на угол, равный 0,5°? Модуль сдвига материала нити 600 кГ/мм2.

Задача 14. Электрон, ускоренный разностью потенциалов U=6 кВ, влетает в однородное магнитное поле под углом α=30° к направлению поля и начинает двигаться по винтовой линии. Индукция магнитного поля В=1,3⋅10-2 Вб/м2. Найти: 1) радиус витка винтовой линии и 2) шаг винтовой линии .

Задача 15. Написать уравнение гармонического колебательного дви-жения, если максимальное ускорение точки 49,3 см/сек2., период колебаний 2 сек. и смещение точки от положения равновесия в началь-ный момент времени 25 мм.

Вариант 14

Задача 1. Два шарика одинакового радиуса и веса подвешены на ни-тях так, что их поверхности соприкасаются. После сообщения шарикам заряда q₀=4⋅10-7 Кл они оттолкнулись друг от друга и разошлись на угол 60°. Найти вес шариков, если расстояние от точки подвеса до центра шарика равно 20 см.

Задача 2. Два шарика с зарядами q₁=20 СГСq находится на расстоя-нии r₁=40 см. Какую надо совершить работу, чтобы их до расстояния r₂=25 см?

Задача 3. Электрон, находящийся в однородном электрическом по-ле, получает ускорение, равное 1014 см/сек2.. Найти: 1) напряженность электрического поля, 2) скорость, которую получит электрон за 10-6 сек. своего движения, если начальная его скорость равна нулю, 3) работу

R2 R1 ℰ1 ℰ2 R3

Рис. 12.17


206

сил электрического поля за это время, 4) разность потенциалов, прой-денную при этом электроном.

Задача 4. Чему будет равен потенциал шара радиусом 3 см, если: 1) сообщить ему заряд 10-9 Кл, 2) окружить его другим шаром радиусом 4 см, концентрическим с первым и соединенным с землей?

Задача 5. Электродвижущая сила элемента равна 1,6 В и внутреннее его сопротивление 0,5 Ом. Чему равен к.п.д. элемента при силе тока в 2,4 А?

Задача 6. Элемент замыкают сначала на внешнее сопротивление R₁=2 Ом, а затем на внешнее сопротивление R₂=0,5 Ом. Найти э.д.с. элемента и его внутреннее сопротивление, если известно, что в каждом из этих случаев мощность, выделяемая во внешней цепи, одинакова и равна 2,54 Вт.

Задача 7. Медная пластинка общей площадью 25 см2 служит като-дом при электролизе медного купороса. После пропускания в течение некоторого времени тока, плотность которого в течение некоторого времени тока, плотность которого равна 0,02 А/см2, масса пластинки увеличилась на 99 мг. Найти: 1) сколько времени пропускался ток, 2) какой толщины образовался при этом слой меди на пластинке.

Задача 8. Найти сопротивление трубки длиною 84 см и площадью поперечного сечения 5 мм2, если она наполнена воздухом, ионизован-ным так, что в 1 см3 его находится при равновесии 107 пар ионов. Ионы одновалентны. Подвижность ионов равна u+=1,3⋅10-4 м2/В⋅сек.

Задача 9. В схеме рис. 12.18 ℰ − батарея с э.д.с., равной 100 В, R1=100 Ом, R2=200 Ом и R3=300 Ом. Какое напряжение показывает вольтметр, если его сопротивление равно 2 000 Ом? Сопротивлением батареи пренебречь.

Задача 10. В схеме рис. 12.18 R1=R2=R3=200 Ом. Вольтметр показы-вает 100 В; сопротивление вольтметра RV=1 000 Ом. Найти э.д.с. бата-реи. Сопро-тивлением батареи пренебречь.

Задача 11. Два круговых витка радиусом 4 см каждый расположены в параллельных плоскостях на расстоянии 5 см друг от друга. По виткам текут токи I1=I2=4 А. Найти напряженность магнитного поля в центре одного из витков. Задачу решить для случаев: 1) токи в витках текут в одном направлении, 2) токи текут в противоположных направлениях.


207

Задача 9. Сколько ампер-витков потребуется для создания магнит-

ного потока в 42 000 мкс в соленоиде с железным сердечником длиною 120 см и площадью поперечного сечения 3 см2?

Задача 10. Квадратная рамка подвешена на проволоке так, что сило-вые линии магнитного поля составляют угол 90° с нормалью к плоско-сти рамки. Сторона рамки равна 1 см. Магнитная индукция поля равна 1,37⋅10-2 мл. Если по рамке пропустить ток силой I=1 А, то она повора-чивает на угол 1°. Найти модуль сдвига материала проволоки. Длина проволоки 10 см, радиус нити 0,1 мм.

Задача 11. Протон влетает в однородное магнитное поле под углом α=30° к направлению поля и движется по винтовой линии, радиус кото-рой равен 1,5 см. Индукция магнитного поля равна 103 гс. Найти кине-тическую энергию протона.

Задача 12. Уравнение колебания материальной точки массой

m=1,6⋅10-2 кг имеет вид .м4

t8

sin1,0

π

+π

=х Построить график зави-

симости от времени t (в пределах одного периода) силы F, действующей на точку. Найти значение максимальной силы.

Вариант 15

Задача 1. Два шарика одинакового радиуса и веса подвешены на двух нитях так, что их поверхности соприкасаются. Какой заряд нужно сообщить шарикам, чтобы натяжение нитей стало равным 0,098 Н? Рас-стояние от точки подвеса до центра шарика равно 10 см. Вес каждого шарика равен 5⋅10-3 кг.

Задача 2. Шар радиусом 1 см, имеющий заряд 4⋅10-8 Кл, помещен в масло. Начертить график зависимости U=f(x) для точек поля, отстоящих от поверхности шара на расстоянии х, равных 1, 2, 3, 4 и 5 см.

Рис. 12.18

ℰ R1 R2 R3


208

Задача 3. Электрон летит от одной пластины плоского конденсатора до другой. Разность потенциалов между пластинами равна 3 кВ; рас-стояние между пластинами 5 мм. Найти: 1) силу, действующую на элек-трон; 2) ускорение электрона, 3) скорость, с которой электрон приходит ко второй пластине, 4) поверхностную плотность заряда на пластинах конденсатора.

Задача 4. Конденсатор емкостью в 20 мкФ заряжен до потенциала 100 В. Найти энергию этого конденсатора.

Задача 5. Электродвижущая сила элемента равна 6 В. При внешнем сопротивлении, равном 1,1 Ом, сила тока в цепи равна 3 А. Найти паде-ние потенциала внутри элемента и его сопротивление.

Задача 6. Элемент с э.д.с. в 2 В и внутренним сопротивлением в 0,5 Ом замкнут на внешнее сопротивление R. Построить графики зави-симости от сопротивления: 1) силы тока в цепи, 2) разности потенциа-лов на концах внешней цепи, 3) мощности, выделяемой во внешней це-пи, 4) полной мощности. Сопротивление R взять в пределах 0 ≤ R ≤ 4 Ом через каждые 0,5 Ом.

Задача 7. При электролизе медного купороса за один час выдели-лось 0,5 г меди. Площадь каждого электрода равна 75 см2. Найти плот-ность тока.

Задача 8. Какой наименьшей скоростью должен обладать электрон для того, чтобы ионизовать атом водорода? Потенциал ионизации атома водорода 13,5 В.

Задача 9. В схеме рис. 12.19 ℰ1 и ℰ2 − два элемента с равными э.д.с. в 2 В. Внутренние сопротивления этих элементов равны соответственно r1=1 Ом и r2=2 Ом. Чему равно внешнее сопротивление R, если сила то-ка I1, текущего через ℰ1, равна 1 А? Найти силу тока I2, идущего через ℰ2. Найти силу тока IR , идущего через сопротивление R.

Задача 10. Решить задачу 9, если ℰ1=ℰ2=4 В, r1=r2=0,5 Ом и I1=2 А.


209

Задача 11. Найти распределение напряженности магнитного поля

вдоль оси кругового витка диаметром 10 см, по которому течет ток си-лой 10 А. Составить таблицу значений Н для значений х в интервале 0≤х≤10 см через каждые 2 см и построить график с нанесением масшта-ба.

Задача 12. Длина железного сердечника тороида равна 2,5 м, длина воздушного зазора 1 см. Число витков в обмотке тороида равно 1000. При силе тока в 20 А индукция магнитного поля в воздушном зазоре равна 1,6 мл. Определить магнитную проницаемость железного сердеч-ника при этих условиях. (Зависимость В от Н для данного сорта железа неизвестна.)

Задача 13. Круговой контур помещен в однородное магнитное поле так, что плоскость контура перпендикулярна силовым линиям поля. На-пряженность магнитного поля 2 000 Э. По контуру течет ток силой 2 А. Радиус контура 2 см. Какую работу надо совершить, чтобы повернуть контур на 90° вокруг оси, совпадающей с диаметром контура?

Задача 14. Электрон влетает в плоский горизонтальный конденса-тор параллельно его пластинам со скоростью υ0=107 м/сек. Длина кон-денсатора l=5 см; напряженность электрического поля конденсатора Е=100 В/см. При вылете из конденсатора электрон попадает в магнит-ное поле, силовые линии которого перпендикулярны силовым линиям электрического поля. Индукция магнитного поля В=10-2 Тл. Найти: 1) радиус винтовой траектории электрона в магнитном поле и 2) шаг винтовой траектории электрона.

Задача 15. Начальная фаза гармонического колебания равна нулю. При смещении точки от положения равновесия, равного 2,4 см, ско-рость точки равной 3 см/сек, а при смещении, равном 2,8 см, скорость равна 2 см/сек. Найти амплитуду и период этого колебания.

R ℰ1 ℰ2

Рис. 12.19


210

Вариант 16 Задача 1. Найти плотность материала двух шариков одинакового

радиуса и веса, подвешенных на нитях так, что их поверхности сопри-касаются. После сообщения шарикам заряда q₀=4⋅10-7 Кл они оттолкну-лись на угол 60°. Известно, что расстояние от точки подвеса до центра шарика равно 20 см, а при погружении этих шариков в керосин угол расхождения нитей стал равен 54°.

Задача 2. Определить потенциал точки поля, находящейся на рас-стоянии 10 см от центра заряженного шара радиусом в 1 см. Задачу ре-шить при следующих условиях: 1) задана поверхностная плотность за-ряда на шаре, равная 10-11 Кл/см2, 2) задан потенциал шара, равный 300 В.

Задача 3. Электрон с некоторой начальной скоростью υ₀ влетает в плоский конденсатор параллельно пластинам на равном расстоянии от них. К пластинам конденсатора приложена разность потенциалов U=300 В. Расстояние между пластинами d=2 см, длина конденсатора l=10 см. Какова должна быть предельная начальная скорость υ₀ элек-трона, чтобы электрон не вылетел из конденсатора? Решить эту же за-дачу для α-частицы.

Задача 4. В каких пределах может меняться емкость системы, со-стоящей из двух конденсаторов переменной емкости, если емкость каж-дого из них может меняться от 10 до 450 пФ?

Задача 5. Какую долю э.д.с. элемента сопротивления разность по-тенциалов на его концах, если сопротивлении элемента в n раз меньше внешнего сопротивления. Задачу решить для: 1) n=0,1, 2) n=1, 3) n=10.

Задача 6. Элемент, э.д.с. которого ℰ и внутреннее сопротивление r, замкнут на внешнее сопротивление R. Наибольшая мощность во внеш-ней цепи равна 9 Вт. Сила тока, текущего при этих условиях по цепи, равна 3 А. Найти величины ℰ и r.

Задача 7. Найти электрохимический эквивалент водорода. Задача 8. При какой температуре атомы ртути имеют среднюю ки-

нетическую энергию поступательного движения, достаточную для ио-низации? Потенциал ионизации атома ртути 10,4 В.

Задача 9. В схеме рис. 12.20 ℰ − батарея, э.д.с. которой равна 120 В, R3=30 Ом, R2=60 Ом. Амперметр показывает 2 А. Найти мощность, вы-деляющуюся в сопротивлении R1. Сопротивлением батареи и ампермет-ра пренебречь.

Задача 10. Найти показания амперметра в схеме рис. 12.20. Э.д.с. ба-тареи равна 100 В, ее внутреннее сопротивление равно 2 Ом. Сопротив-ления R1 и R3 равны соответственно 25 Ом и 78 Ом. Мощность, выде-


211

ляющаяся на сопротивлении R1, равна 16 Вт. Сопротивлением ампер-метра пренебречь.

Задача 11. Два круговых витка расположены в двух взаимно-перпендикулярных плоскостях так, что центры этих витков совпадают. Радиус каждого витка 2 см и токи, текущие по виткам, I1=I2=5 А. Найти напряженность магнитного поля в центре витков.

Задача 12. Длина железного сердечника тороида равна 1 м, длина воздушного зазора − 1 см. Площадь поперечного сечения равна 25 см2. Найти, сколько ампер-витков потребуется для создания магнитного по-тока в 1,4⋅105 мкс, если известно, что при этих условиях магнитная про-ницаемость материала сердечника равна 800. (Зависимость В от Н для данного сорта железа неизвестна.)

Задача 13. В однородном магнитном поле, индукция которого равна

0,5 Вб/м2, движется равномерно проводник длиной 10 см. По проводни-ку течет ток силой 2 А. Скорость движения проводника 20 см/сек и на-правлена она перпендикулярно к направлению магнитного поля. Найти: 1) работу перемещения проводника за 10 сек. движения, 2) мощность, затраченную на это движение.

Задача 14. Электрон, ускоренный разностью потенциалов U=3000 В, влетает в магнитное поле соленоида под углом α=30° к его оси. Число ампер-витков соленоида равно 5 000. Длина соленоида 25 см. Найти шаг винтовой траектории электрона в магнитном поле со-леноида.

Задача 15. Материальная точка массой 10 г колеблется по уравне-

нию .см45

tsin5

π

+π

=х Найти максимальную силу, действующую на

точку, и полную энергию колеблющейся точки.

А

ℰ R1 R2

R3

Рис. 12.20


212

Вариант 17 Задача 1. Два заряженных шарика одинакового радиуса и веса, под-

вешенные на нитях одинаковой длины, опускаются в жидкий диэлек-трик, плотность которого ρ₁ и диэлектрическая проницаемость ε. Какова должна быть плотность ρ материала шариков, чтобы углы расхождения нитей в воздухе и в диэлектрике были одинаковыми?

Задача 2. Какая совершается работа при перенесении точечного за-ряда в 2⋅10-8 Кл из бесконечности в точку, находящуюся на расстоянии 1 см от поверхности шара радиусом 1 см с поверхностной плотностью заряда σ=10-9 Кл/см2?

Задача 3. Электрон влетает в плоский горизонтальный конденсатор параллельно пластинам со скоростью 9⋅106 м/сек. Найти полное, нор-мальное и тангенциальное ускорение электрона через 10-8 сек. после на-чала его движения в конденсаторе. Разность потенциалов между пла-стинами равна 100 В, расстояние между пластинами 1 см.

Задача 4. Шар радиусом в 1 м заряжен до потенциала 30 000 В. Найти энергию заряженного шара.

Задача 5. Элемент, реостат и амперметр включены последователь-но. Элемент имеет э.д.с. 2 В и внутреннее сопротивление 0,4 Ом. Ам-перметр показывает силу тока 1 А. С каким к.п.д. работает элемент?

Задача 6. Разность потенциалов между двумя точками А и В равна 9 В. Имеются два проводника, сопротивления которых равны соответ-ственно 5 и 3 Ом. Найти количество тепла, выделяющегося в каждом из проводников в 1 сек, если проводники между А и В включены: 1) последовательно, 2) параллельно.

Задача 7. Амперметр, включенный последовательно с электролити-ческой ванной с раствором AgNO3, показывает силу тока в 0,90 А. Ве-рен ли амперметр, если за 5 мин. прохождения тока выделилось 126 мг серебра?

Задача 8. Потенциал ионизации атома гелия 24,5 В. Найти работу ионизации.

Задача 9. На рис. 12.21 ℰ1=110 В, ℰ2=220 В, R1=R2=100 Ом, R3=500 Ом. Найти показания амперметра. Сопротивлением батареи и амперметра пренебречь.

Задача 10. В схеме рис. 12.21 ℰ1=2 В, ℰ2=4 В, R1=0,5 Ом и падение потенциала на сопротивлении R2 (ток через R2 направлен сверху вниз) равно 1 В. Найти показания амперметра. Внутренним сопротивлением элементов и амперметра пренебречь.

Задача 11. Из проволоки длиной 1 м сделана квадратная рамка. По этой рамке течет ток силой 10 А. Найти напряженность магнитного по-ля в центре рамки.


213

Задача 12. Определить магнитную индукцию в замкнутом железном сердечнике тороида длиною 20,9 см, если число ампер-витков обмотки тороида равно 1 500. Найти магнитную проницаемость материала сер-дечника при этих условиях.

Задача 13. Электрон, ускоренный разностью потенциалов 1 000 В, влетает в однородное магнитное поле, перпендикулярное направлению его движения. Индукция магнитного поля равна 1,19⋅10-3 мл. Найти: 1) радиус кривизны траектории электрона, 2) период обращения его по окружности, 3) момент количества движения электрона.

Задача 14. Через сечение S=ab медной пластинки толщиной а=0,5 мм и высотой b=10 мм идет ток I=20 А. При помещении пластин-ки в магнитное поле, перпендикулярное ребру b и направлению тока, возникает поперечная разность потенциалов U=3,1⋅10-6 В. Индукция магнитного поля В=1 Тл. Определить 1) концентрацию электронов про-водимости в меди и 2) их среднюю скорость при этих условиях.

Задача 15. Уравнение колебания материальной точки массой в 16 г

имеет вид .см44

tsin2

π

+π

=х Построить график зависимости от вре-

мени (в пределах одного периода) кинетической, потенциальной и пол-ной энергии точки.

Вариант 18

Задача 1. Определить напряженность электрического поля на рас-стоянии 2⋅10-8 см от одновалентного иона. Заряд иона считать точеч-ным.

Задача 2. Шарик массой 1 г и зарядом 10-8 Кл перемещается из точ-ки А, потенциал которой равен 600 В, в точку В, потенциал которой ра-

ℰ2 R2 R3 ℰ1 R1

Рис. 12.21


214

вен нулю. Чему была равна его скорость в точке А, если в точке В она стала равной 20 см/сек?

Задача 3. Протон и α-частица, двигаясь с одинаковой скоростью, влетают в плоский конденсатор параллельно пластинам. Во сколько раз отклонение протона полем конденсатора будет больше отклонения α-частицы?

Задача 4. Шар, погруженный в керосин, имеет потенциал 4 500 В и поверхностную плотность заряда 3,4 СГСq/см2. Найти: 1) радиус, 2) заряд, 3) емкость и 4) энергию шара.

Задача 5. Имеются два одинаковых элемента с э.д.с. в 2 В и внут-ренним сопротивлением в 0,3 Ом. Как надо соединить эти элементы (последовательно или параллельно), чтобы получить большую силу то-ка, если: 1) внешнее сопротивление равно 0,2 Ом, 2) внешнее сопротив-ление равно 16 Ом? Вычислить силу тока в каждом из этих случаев.

Задача 6. Две электрические лампочки включены в сеть параллель-но. Сопротивление первой лампочки 360 Ом, сопротивление второй - 240 Ом. Какая из лампочек поглощает большую мощность? Во сколько раз?

Задача 7. Две электролитические ванны с растворами AgNO3 и Cu-SO4 соединены последовательно. Сколько меди выделится за время, в течение которого выделилось 180 мг серебра?

Задача 8. Какой наименьшей скоростью должны обладать свобод-ные электроны в 1) цезии и 2) платине, для того чтобы они смогли по-кинуть металл?

Задача 9. В схеме рис. 12.21 ℰ1=30 В, ℰ2=5 В, R2=10 Ом, R3=20 Ом. Через амперметр идет ток в 1 А, направленный от R3 к R1. Найти сопро-тивление R1. Сопротивлением батареи и амперметра пренебречь.

Задача 10. Найти силу тока в отдельных ветвях мостика Уитстона (рис. 12.22) при условии, что сила тока, идущего через гальванометр, равна нулю. Э.д.с. генератора 2 В, R1=30 Ом, R2=45 Ом, R3=200 Ом. Со-противлением генератора пренебречь.


215

Задача 11. В центре кругового проволочного витка создается маг-

нитное поле Н при разности потенциалов U на концах витка. Как нужно изменить приложенную разность потенциалов, чтобы получить такую же напряженность магнитного поля в центре витка вдвое большего ра-диуса, сделанного из той же проволоки?

Задача 12. Длина железного сердечника тороида l2=1 м, длина воз-душного зазора l1=3 мм. Число витков в обмотке тороида N=2000. Найти напряженность магнитного поля Н1 в воздушном зазоре при силе тока I=1 А в обмотке тороида.

Задача 13. Электрон, ускоренный разностью потенциалов 300 В, движется параллельно прямолинейному длинному проводу на расстоя-нии 4 мм от него. Какая сила подействует на электрон, если по провод-нику пустить ток 5 А.

Задача 14. Через сечение S=ab алюминиевой пластины (а − толщина и b − высота пластины) пропускают ток I=5 А. Пластина помещена в магнитное поле, перпендикулярное ребру b и направлению тока. Опре-делите возникающую при этом поперечную разность потенциалов, если индукция магнитного поля В=0,5 Тл и толщина пластины а=0,1 мм. Концентрацию электронов проводимости считать равной концентрации атомов.

Задача 15. Чему равно отношение кинетической энергии точки, со-вершающей гармоническое колебание, к ее потенциальной энергии для

моментов времени: 1) .;12

секTt = 2) .;8

секTt = 3) ..6

секTt = На-

чальная фаза колебаний равна нулю.

Вариант 19

R1I1 R2I2 R3I3 R4I4

I ℰ

Рис.


216

Задача 1. С какой силой электрическое поле заряженной бесконеч-ной плоскости действует на каждый метр заряженной длинной нити, помещенной в это поле? Линейная плотность заряда на нити 3⋅10-8 Кл/см и поверхностная плотность заряда на плоскости 2⋅10-9 Кл/см2.

Задача 2. Найти скорость υ электрона, прошедшего разность потен-циалов U, равную 1, 5, 10, 100, 1 000 В.

Задача 3. Протон и α-частица, ускоренные одинаковой разностью потенциалов, влетают в плоский конденсатор параллельно пластинам. Во сколько раз отклонение протона полем конденсатора будет больше отклонения α-частицы?

Задача 4. Между пластинами плоского конденсатора вложена тон-кая слюдяная пластина. Какое давление испытывает эта пластина при напряженности электрического поля в 10 кВ/см?

Задача 5. Элемент, амперметр и некоторое сопротивление включе-ны последовательно. Сопротивление сделано из медной проволоки в 100 м и имеет поперечное сечение в 2 мм2, сопротивление амперметра 0,05 Ом; Амперметр показывает 1,43 А. Если же взять сопротивление из алюминиевой проволоки длиной в 57,3 м и с поперечным сечением в 1 мм2, то амперметр покажет 1 А. Найти э.д.с. элемента и его внутрен-нее сопротивление.

Задача 6. Сколько воды можно вскипятить, затратив 3 гВт⋅ч элек-трической энергии? Начальная температура воды 10°С. Потерями тепла пренебречь.

Задача 7. При получении алюминия электролизом раствора Al2O3 в расплавленном криолите проходил ток 2⋅104 , а при разности потенциа-лов на электродах в 5 В. 1. Найти время, в течении которого будет вы-делено 103 кг алюминия. 2. Сколько электрической энергии при этом будет затрачено?

Задача 8. Во сколько раз изменится удельная термоэлектронная проводимость эмиссия вольфрама, находящегося при температуре 2400°К, если повысить температуру вольфрама на 100°?

Задача 9. В схеме рис. 12.23 ℰ − батарея, э.д.с. которой равна 120 В, R1=25 Ом, R2=R3=100 Ом. Найти мощность, выделяющуюся на сопро-тивлении R1. Сопротивлением батареи пренебречь.

Задача 10. В схеме рис. 12.23 сопротивление R1=100 Ом, мощность, выделяющаяся при этом сопротивлении, Р=16 Вт. К.п.д. генератора 80%. Найти э.д.с. генератора, если известно, что падение потенциала на сопротивлении R3 равно 40 В.

Задача 11. По проволочной рамке, имеющей форму правильного шестиугольника, идет ток силой I=2 А. При этом в центре рамки обра-


217

зуется магнитное поле напряженностью Н=33 А/м. Найти длину L про-волоки, из которой сделана рамка.

Задача 12. Длина железного сердечника тороида равна 50 см, длина воздушного промежутка - 2 мм. Число ампер-витков в обмотке тороида равно 2 000. Во сколько раз уменьшится напряженность магнитного по-ля в воздушном зазоре, если при том же количестве ампер-витков уве-личить длину воздушного зазора вдвое?

Задача 13. Поток α-частиц (ядер атома гелия), ускоренных разно-

стью потенциалов в 1 МВ, влетает в однородное магнитное поле напря-женностью 15 000 э. Скорость каждой частицы направлена под прямым углом к направлению магнитного поля. Найти силу, действующую на каждую частицу.

Задача 14. Катушка длиной 0,2 см и диаметром 3 см имеет 400 витков. По катушке идет ток силой 5 А. Найти: 1) индуктивность катушки, 2) магнитный поток, пронизывающий площадь ее поперечного сечения.

Задача 15. К пружине подвешен груз 10 кг. Зная, что пружина под влиянием силы в 1 кг растягивается на 1,5 см, определить период верти-кальных колебаний груза.

Вариант 20

Задача 1. С какой силой (на единицу длины) отталкиваются две од-ноименно заряженные бесконечные длинные нити с одинаковой линей-ной плотностью заряда в 3⋅10-8 Кл/см, находящиеся на расстоянии 2 см друг от друга? Какую работу (на единицу длины) надо совершить, что-бы сдвинуть эти нити до расстояния в 1 см?

Рис.

ℰ R2 R3

R1


218

Задача 2. При радиоактивном распаде из ядра атома полония выле-тает α-частица со скоростью 1,6⋅109 см/сек. Найти кинетическую энер-гию этой α-частицы и разность потенциалов поля, в котором можно ра-зогнать покоящуюся α-частицу до такой же скорости.

Задача 3. Электрон влетает в плоский горизонтальный конденсатор параллельно его пластинам со скоростью υх=107 м/сек. Напряженность поля в конденсаторе Е=100 В/см, длина конденсатора l-5 см. Найти ве-личину и направление скорости при вылете его из конденсатора.

Задача 4. Площадь пластин плоского воздушного конденсатора 100 см2 и расстояние между ними 5 мм. Найти, какая разность потен-циалов была приложена к пластинам конденсатора, если известно, что при разряде конденсатора выделилось 4,19⋅10-3 Дж тепла.

Задача 5. Амперметр, сопротивление которого 0,16 Ом, зашунтиро-ван сопротивлением в 0,04 Ом. Амперметр показывает 8 А. Чему равна сила тока в магистрали?

Задача 6. 1. Сколько ватт потребляет нагреватель электрического чайника, если 1 л воды закипает через 5 мин? 2. Каково сопротивление нагревателя, если напряжение в сети равно 120 В? Начальная темпера-тура воды 13,5°С. Потерями тепла пренебречь.

Задача 7. Какое количество электрической энергии надо израсходо-вать, чтобы при электролизе раствора AgNO3 выделилось 500 мг сереб-ра? Разность потенциалов на электродах равна 4 В.

Задача 8. При какой температуре торированный вольфрам будет да-вать такую же удельную эмиссию, какую дает чистый вольфрам при Т=2500°К? Эмиссионную постоянную В для чистого вольфрама считать равной 60 А/см2⋅град2 и для торированного вольфрама 3 А/см2⋅град2.

Задача 9. Калориметр К имеет спираль, сопротивление которой R1=60 Ом. Спираль R1 включена в цепь, как показано на схеме рис. 12.24. На сколько градусов нагреется 480 г воды, налитой в калориметр, за 5 мин. пропускания тока, если амперметр показывает 6 А? Сопротив-лением генератора и амперметра потерями тепла пренебречь.

Задача 10. В схеме рис. 12.25 ℰ − батарея с э.д.с. 120 В, R2=10 Ом, В − электрический чайник. Амперметр показывает 2 А. Через сколько времени закипит 0,5 л воды, находящейся в чайнике при начальной температуре 4°С? Сопротивлением батареи и амперметра пренебречь. К.п.д. чайника равен 76%.


219

Задача 11. Бесконечно длинный провод образует круговую петлю,

касательную к проводу. По проводу идет ток силой 5 А. Найти радиус петли, если известно, что напряженность магнитного поля в центре пет-ли равна 41 А/м.

Задача 12. Внутри соленоида длиной 25,1 см и диаметром 2 см по-мещен железный сердечник. Соленоид имеет 200 витков. Построить для соленоида с сердечником график зависимости магнитного потока Ф от силы тока I в пределах 0≤ I ≤5 А. По оси ординат откладывать Ф⋅104 Вб.

Задача 13. Электрон влетает в однородное магнитное поле перпен-дикулярно силовым линиям. Скорость электрона υ=4⋅107 м/сек. Индук-ция магнитного поля равна 10-3 мл. Чему равны тангенсальное и нор-мальное ускорения электрона в магнитном поле?

Задача 14. Из какого числа витков проволоки состоит однослойная обмотка катушки, индуктивность которой 0,001 Гн? Диаметр катушки 4 см, диаметр проволоки 0,6 мм. Витки плотно прилегают друг к другу.

Задача 15. Медный шарик, подвешенный к пружине, совершает вертикальные колебания. Как изменится период колебаний, если к его пружине подвесить вместо медного шарика алюминиевый такого же ра-диуса?

Литература

ℰ R2

R1

Рис. 12.24

ℰ

R2

R1

Рис. 12.25

В


220

1. Антонов А.И., Деденко А.Г., Матвеев А.Н. Методика решения задач по электричеству. М.: Из-во Моск. ун-та, 1982. 168 с.

2. Калашников С.Г. Электричество. М.: Наука, 1970. 668 с. 3. Матвеев А.Н. Электричество и магнетизм: Учеб. пособие. М.:

Высшая школа, 1983. 463 с. 4. Савельев И.В. Курс общей физики: Учеб. пособие: В 3 т. Т. 2:

Электричество и магнетизм. Волны. Оптика. М.: Наука, 1988. 496 с.

5. Сивухин Д.В. Электричество: Учеб. пособие. М.: Наука, 1983. 688 с.

6. Тамм И.Е. Основы теории электричества. М.: Наука, 1976. 616 с.

7. Трофимова Т.И. Курс физики: Учеб. пособие для вузов. М.: Высшая школа, 1999. 542 с.

8. Трофимова Т.И., Павлова З. Г. Сборник задач по курсу физики с решениями: Учеб. пособие. М.: Высшая школа, 1999. 591 с.


Оглавление ВВЕДЕНИЕ......................................................................................................... 3 1. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ................................................ 7 1.1. Электрическое поле……….......................................................................... 7 1.2. Теорема Гаусса...................……................................................................. 10 1.3. Теорема Гаусса в дифференциальной форме........................................... 12 1.4. Циркуляция вектора Е. Потенциал........................................................... 14 1.5. Связь между потенциалом и вектором Е…….......................................... 17 1.6. Электрический диполь………………………………............................... 19 2. ПРОВОДНИК В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ........................................ 22 2.1. Поле в веществе………………………...................................................... 22 2.2. Поле внутри и снаружи проводника………………................................. 23 2.3. Силы, действующие на поверхность проводника................................... 24 2.4. Свойства замкнутой проводящей оболочки………................................ 26 2.5. Общая задача электростатики. Метод изображений.............................. 27 2.6. Электроемкость. Конденсаторы……………………………………..…. 30 3. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ДИЭЛЕКТРИКЕ…............................... 33 3.1. Поляризация диэлектрика……………………………............................. 33 3.2. Поляризованность Р..……………………................................................ 35 3.3. Свойства поля вектора Р........................................................................... 36 3.4. Вектор D……………………………......................................................... 40 3.5. Условия на границе……………............................................................... 42 3.6. Поле в однородном диэлектрике........................................................…. 45 4. ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ….......................................... 47 4.1. Электрическая энергия системы зарядов……………........................... 47 4.2. Энергия заряженного проводника и конденсатора............................... 50 4.3. Энергия электрического поля.................................................................. 51 4.4. Система двух заряженных тел…………………..................................... 53 4.5. Силы при наличии диэлектрика……………………………………..… 54 5. ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК........................................ 58 5.1. Плотность тока. Уравнение непрерывности.......................................... 58 5.2. Закон Ома для однородного проводника............................................... 60 5.3. Обобщенный закон Ома…………………………….............................. 62 5.4. Разветвление цепи. Правила Кирхгофа..........……………………….…64 5.5. Закон Джоуля - Ленца……………………………………………….…. 67 5.6. Переходные процессы в цепи с конденсатором………………..……. 69 6. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ……………................................ 72 6.1. Сила Лоренца. Поле В……………………………………………….… 72 6.2. Закон Био - Савара……………………………………………..……..... 74 6.3. Основные законы магнитного поля………………………………..…. 75


6.4. Дифференциальная форма основных законов магнитного поля….... 77 6.5. Сила Ампера………………………………………………………….... 78 6.6. Момент сил, действующих на контур с током…………………….… 81 6.7. Работа при перемещении контура с током…………………….…….. 82 7. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВЕЩЕСТВЕ………………………….…….. 85 7.1. Намагничивание вещества, намагниченность J…………………….... 85 7.2. Циркуляция вектора J…………………………………………….…… 88 7.3. Вектор Н………………………………………………………..…….... 89 7.4. Граничные условия для В и Н……………………………….……….. 92 7.5. Поле в однородном магнетике……………………………….……..... 94 7.6. Ферромагнетизм………………………………………………..…....... 96 8.ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ……………………………. 100 8.1. Закон электромагнитной индукции. Правило Ленца……………… 100 8.2. Природа электромагнитной индукции………………………..…….. 102 8.3. Явление самоиндукции………………………………………..……... 106 8.4. Взаимная индукция……………………………………………..……. 108 8.5. Энергия магнитного поля…………………………………….……… 111 8.6. Магнитная энергия двух контуров с током.......…………….……… 115 8.7. Энергия и сила в магнитном поле......……………………….……… 116 9. УРАВНЕНИЕ МАКСВЕЛЛА. ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТ- НОГО ПОЛЯ............................................................................................... 119 9.1. Ток смещения……………………………………………………..…... 119 9.2. Система уравнений Максвелла…………………………………..….. 122 9.3. Свойства уравнений Максвелла…………………………………..…. 125 9.4. Энергия и поток энергии. Вектор Пойнтинга…………………….... 128 9.5. Импульс электромагнитного поля………………………………..…. 129 10. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ…………………………….….. 132 10.1. Уравнения колебательного контура………………………….……. 132 10.2. Свободные электрические колебания…………………………..…. 134 10.3. Вынужденные электрические колебания…………………….…… 138 10.4. Переменный ток ……………………………………………….…… 140 11. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ………………………………...…. 143 11.1. Электрическое поле в вакууме………………………………….…. 143 11.2. Проводник в электрическом поле……………………………….… 145 11.3. Электрическое поле в диэлектрике……………………………..…. 146 11.4. Энергия электрического поля…………………………………..….. 148 11.5. Постоянный электрический ток……………………………………. 151 11.6. Магнитное поле в вакууме…………………………………………. 155 11.7. Электромагнитная индукция……………………………………….. 158 11.8. Электрическое колебания……………………………………….….. 160


12. Варианты задания для самостоятельного решения …………..…… 164 ЛИТЕРАТУРА................................................................................................. 202


Учебное издание

Рудь Николай Алексеевич Сергеев Александр Николаевич

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ

Редактор, корректор В.Н. Чулкова

Подписано в печать 01.12.2004. Формат 60х84/16. Бумага тип. Усл. печ.л.7,7. Уч.-изд. л. 8.7.

Тираж 200 экз. Заказ 847.

Оригинал-макет подготовлен В редакционно-издательском отделе

Ярославского государственного университета

Отпечатано ООО «Ремдер» ЛР ИД 06151 от 26.10.2001

г.Ярославль, пр.Октября, 94, оф.37 тел (0852) 73-35-03


Documents

609.электричество и магнетизм учебное пособие