6.1 - Teoria_Dualidad

8/3/2019 6.1 - Teoria_Dualidad

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Investigacin Operativa

Teora de la Dualidad Pgina 1 de 23

TEMA 4. TEORA DE LA DUALIDAD.

TEMA 4. TEORA DE LA DUALIDAD. .....................................................................11. INTRODUCCIN ............................................................................................12 ALGORITMO DUAL DEL SIMPLEX ............................................................. 2

2.1 EJEMPLO 1 .............................................................................................. 22.2 EJEMPLO 2 .............................................................................................. 32.3 EJEMPLO 3 .............................................................................................. 3

3 TEORA DE LA DUALIDAD ..........................................................................33.1 PROBLEMA PRIMAL Y PROBLEMA DUAL ........................................33.2 PROPIEDADES BSICAS.......................................................................33.3 TEOREMA DE EXISTENCIA..................................................................33.4 EJEMPLO .................................................................................................3

4 INTERPRETACIN ECONMICA................................................................. 34.1 EJEMPLO .................................................................................................3

1. INTRODUCCIN

Dado un problema de programacin lineal, denominado problema primal, existe otroproblema de programacin lineal, denominado problema dual, ntimamente relacionadocon l. Se dice que ambos problemas son mutuamente duales.

Bajo ciertas hiptesis, los problemas primal y dual dan lugar al mismo valor ptimo dela funcin objetivo, y por tanto se puede resolver indirectamente el problema primalresolviendo el problema dual.

Adems nos permite utilizando el algoritmo dual del simplex el resolver problemas que

por la forma estndar nos seran irresolubles. Adems permite facilitar otros clculoscomo los de las variables artificiales.


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2 ALGORITMO DUAL DEL SIMPLEX

El algoritmo dual del simplex ser utilizado cuando se llegue mediante el mtodoclsico del simplex a la siguiente situacin:

-

Alguna componente de la solucin es menor que cero.- Para todas las variables no bsicas el ltimo rengln son mayores o iguales quecero.

Tambin es til cuando la introduccin de variables artificiales complica demasiado elproblema.

Con este algoritmo podemos encontrarnos varias circunstancias:

- En el ltimo rengln todos los valores son positivos (no vara conforme a lasituacin inicial) y los valores negativos de la solucin han desaparecido. Esentonces cuando encontramos la solucin ptima.

- Si en el ltimo rengln tiene valores negativos la solucin no es ptima.o Si la solucin tiene valores negativos el problema no tiene solucin.o Si la solucin no tiene valores negativos para obtener la solucin ptima

se utilizar el mtodo clsico del simplex.

- Si adems de tener una componente negativa tenemos que los elementos de sufila asociada no son tambin negativos tenemos que no hay solucin alproblema.

El mtodo de resolucin es muy similar al del simplex con las siguientes diferencias:

o La variable bsica que sale es la que posee un valor negativo ms alto.o En este caso la prueba para encontrar la variable que entra es lasiguiente:

2.1 EJEMPLO 1

Calcular la solucin optima, si existe, del siguiente problema. Realizar los clculosmediante el desarrollo tabular del mtodo dual del Simplex.

Minimizar: 321 6830 xxxz ++=

Restricciones:

++

+

++

252

1343531

1234

321

321

321

xxx

xxx

xxx

Con ixi 0

ij

jj

y

CZmax


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Para resolver este problema introduciremos variables de holgura, ymultiplicaremos la segunda restriccin por 3 para que los clculos nos sean mssencillos, quedando las ecuaciones de la siguiente manera:


Maximizar: 321 6830 xxxz =

Restricciones:

=+++

=++

=+++

252

345

1234

6321

5321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

Comenzaremos con el desarrollo tabular del mtodo dual del Simplex, recordarque partimos de una solucin bsica no factible.

Las variables que forman la base son: 654 ,, xxx .

BC BX 1y 2y 3y 4y 5y 6y B0 14 =x -4 3 2 1 0 0 1

0 35 =x 1 5 -4 0 1 0 3

0 26 =x -1 2 5 0 0 1 -2

iZ 0 0 0 0 0 0

iiCZ 30 8 6 0 0 0

Aunque i0 ii

CZ la solucin es bsica no factible por lo cual tendremosque hacer un cambio de variables en la tabla.

Escogemos de la columna BX la variable cuyo valor es el ms negativo y staser la que deje de formar parte de la base. En este caso es 6x , veamos por cual lavamos a sustituir:

301

30max0quetalimax 3

3


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BC BX 1y 2y 3y 4y 5y 6y B

0 94 =x 0 -5 -18 1 0 -4 9

0 15 =x 0 7 1 0 1 1 1

-30 21 =x 1 -2 -5 0 0 -1 2

iZ -30 60 150 0 0 30

iiCZ 0 68 156 0 0 30

Como ( )0,1,0,9,0,0,2i0 ii

CZ es la solucin ptima del problema.

2.2 EJEMPLO 2

Calcular la solucin optima, si existe, del siguiente problema. Realizar los clculos

mediante el desarrollo tabular del mtodo dual del Simplex.


Restricciones:

++

+

++

252

1343531

1234

321

321

321

xxx

xxx

xxx

Con ixi

0

Para resolver este problema introduciremos variables de holgura y sin modificarlas restricciones quedando las ecuaciones de la siguiente manera:

Minimizar: 321 6830 xxxz ++= Maximizar: 321 6830 xxxz =

Restricciones:

=+++

=++

=+++

252

1343531

1234

6321

5321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

Con ixi

0

Comenzaremos con el desarrollo tabular del mtodo dual del Simplex, recordarque partimos de una solucin bsica no factible.


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0 14 =x 4 3 2 1 0 0 1

0 15 =x 31 35 34 0 1 0 -1

0 26 =x -1 2 5 0 0 1 -2

iZ 0 0 0 0 0 0

iiCZ 30 8 6 0 0 0

Aunque i0 ii CZ la solucin es bsica no factible por lo cual

tendremos que hacer un cambio de variables en la tabla. Escogemos de la columna BX la variable cuyo valor es el ms negativo y sta ser la que deje de formar parte de labase. En este caso es 6x , veamos por cual la vamos a sustituir:

305

6,

2

8,

1

30max0quetalimax 3

3


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2.3 EJEMPLO 3

Calcular la solucin ptima, si existe, del siguiente problema. Realizar los clculosmediante el desarrollo tabular del mtodo dual del Simplex.

Minimizar: 321 32 xxxZ ++= (Maximizar Z = -2x1 x2 3x3)

Restricciones:

++

1425

2653

321

321

xxx

xxx

Con ixi

0

Introducimos variables de holgura para poder solucionar el problema mediante elmtodo del simplex.

=

=+++

14252653

5321

4321

xxxxxxxx

No podemos utilizar an el algoritmo del simplex ya que no tenemos las suficientesvariables bsicas, por lo que habra que introducir variables artificiales.

Tambin existe otra alternativa, cambiar de signo la segunda restriccin y partir de unatabla simplex no factible y encontrar la solucin ptima mediante el algoritmo dual delsimplex. Las restricciones quedaran como sigue:

=+++

=+++

1425

2653

5321

4321

xxxx

xxxx

Las variables que forman la base son: 54 ,xx .

BC BX 1y 2y 3y 4y 5y B

0 24 =x -3 5 6 1 0 2

0 15 =x -5 2 4 0 1 -1

iZ 0 0 0 0 0

iiCZ 2 1 3 0 0

Aunque i0 ii

CZ la solucin es bsica no factible por lo cual tendremos

que aplicar el algoritmo dual y hacer un cambio de variables en la tabla.


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Escogemos de la columna BX la variable cuyo valor es el ms negativo y staser la que deje de formar parte de la base. En este caso es 5x , veamos por cual vamos a

sustituir:

5

2

5

2max0quetalimax 2

2


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Como i0 ii

CZ y la solucin es bsica no factible no podemos solucionar

el problema mediante el algoritmo dual del simplex y tendremos que recurrir a utilizar

variables artificiales.Minimizar: 6321 32 MxxxxZ +=

Restricciones:

=+++

=+

1425

2653

65321

4321

xxxxx

xxxx



0 24 =x -3 -5 -6 1 0 0 2

-M 16 =x -5 2 4 0 -1 1 1

iZ 5M -2M -4M 0 M -Mii CZ 5M+2 -2M+1 -4M+3 0 M 0

Como 00 333 >CZ la solucin no es ptima, pero al tener que00

iiiyCZ el problema no tiene solucin.


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3 TEORA DE LA DUALIDAD

3.1 PROBLEMA PRIMAL Y PROBLEMA DUAL

Cada problema de programacin lineal lleva asociado un problema dual con el que

prcticamente est muy relacionado.

Para calcular el problema dual, partimos del problema de programacin lineal expresadode la forma siguiente (habitual en todos nuestros problemas):

- Maximizar la funcin objetivo: Z = c1x1 + c2x2 + + cnxn- Poner las restricciones en la forma siguiente:

a11x1 + a12x2 + + a1nxn = cn

o El sistema de restricciones del dual tiene tantas inecuaciones ligadas porel signo >= como variables tiene el primal.

o Los coeficientes de las inecuaciones del sistema de restricciones delproblema dual son los mismos que los del sistema de restricciones del

problema primal cambiando filas por columnas.o Los trminos independientes de las inecuaciones del sistema de

restricciones del dual son los trminos de la funcin objetivo del primal.


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njx

bxa

minesrestriccio

xcZMax

j

n

jiiij

n

j

jj

,...,10

)..,2,1(:

)(

1

1

=

=

=

=

=

miy

cya

njnesrestriccio

ybyMin

i

n

jjiij

m

i

jio

,...,10

)..,2,1(:

)(

1

1

=

=

=

=

=

PROBLEMA PRIMAL PROBLEMA DUAL

Un ejemplo de transformacin primal/dual sera el que sigue:

0,

1823

1220

40

:

53)(

21

21

21

21

21

+

+

+

=

xx

xx

xx

xx

nesrestriccio

xxZMax

PROBLEMA PRIMAL PROBLEMA DUAL

0,,

5220

330

:

18124)(

321

321

321

3210

++

++

++=

yyy

yyy

yyy

nesrestriccio

yyyyMin

Para hallar la correspondencia entre ambos problemas se suele utilizar la tabla primal-dual o de Tucker. En ella se puede observar el problema primal por filas, es decirverticalmente. Por columnas, es decir horizontalmente, se observa el problema dual.

PROBLEMA PRIMALx1 x2 xn Term. Ind.

y1 a11 a21 a1n 1b y2 a21 a22 a3n 2b ym am1 am2 amn mb C

oeficientes

F.O.min

>=

>=

>=

>=

Term.

ind.

c1 c2 cmPROBLEMADUAL

Coeficientes F.O. max.


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Para el ejemplo anterior tendramos lo siguiente:

PROBLEMA PRIMAL

x1 x2 Term. Ind.

y1 1 0 4

y2 0 2 12 y3 3 2 18

Coef.

F.O

.

min

>=

>=

PROBLEMA

DUAL

Term.

ind.

3 5

Coef.F.O.max.

Como conclusin la transformacin del problema primal en el dual (y viceversa) seracomo sigue:


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3.2 PROPIEDADES BSICAS

Dada la relacin existente entre el problema dual y el primal se pueden enumerar lassiguientes propiedades que nos permitirn el uso de esta dualidad para resolverdiferentes aspectos de los problemas de optimizacin.

- Propiedad de la dualidad dbil: Cualquier solucin factible en el primal tieneun valor menor o igual que una solucin factible en el dual. Matemticamente:cX


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3.3 TEOREMA DE EXISTENCIA

Las relaciones entre el primal y el dual se pueden establecer en tres puntos:

1. Si un problema tiene soluciones factibles y funcin objetivo acotada, entonces elotro tambin y los valores de la funcin objetivo en el ptimo son iguales.

2. Si uno de los problemas tiene soluciones factibles y funcin objetivo no acotada,entonces el otro es no factible.

3. Si un problema no tiene soluciones factibles, entonces el otro no tiene solucionesfactibles o tiene la funcin objetivo no acotada.

El Teorema de Existencia se enunciara como sigue:Dados un par de problemasduales, una y slo una de las siguientes afirmaciones es verdadera:

- Ninguno de los dos problemas posee soluciones factibles.- Uno de los problemas no tiene solucin factible y el otro s, pero no

posee solucin ptima.

- Los dos problemas poseen solucin ptima.Esto puede resumirse diciendo que entre dos problemas duales nicamente se puedendar las siguientes alternativas:

1. Ambos poseen soluciones factibles, entonces los valores de las funcionesobjetivo Z y Z son 2 conjuntos de nmeros. El punto P la solucin simultneade los problemas dual y primal.

PZ = cx Y = ybPZ = cx Y = yb

2. La funcin Z no alcanza un mximo, por lo tanto no existe una solucin ptimapara el problema dual (no hay punto P).

3. La funcin objetivo dual Y no est acotada inferiormente y por esto no haypunto P. El problema primal no tendr solucin ptima.

4. No hay conjunto de soluciones factibles para Z ni para Y, entonces ninguno deesos dos problemas tiene soluciones factibles.

A partir de las cuatro alternativas podemos establecer dos reglas prcticas:

1. Todo problema de programacin lineal puede resolverse aplicando el algoritmodel simplex a su problema dual asociado.

2. Los lemas de la dualidad son claves en la resolucin de algunos problemas (Ej.Si X e Y son soluciones de un problema dual y primal correspondiente y cX =Yb, X e Y sern ptimos).


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3.4 EJEMPLO

Sea el problema de programacin lineal expresado en forma primal:

0

12725634Re

587)(

321

311

321

++

+

+=

ix

xxx

xxxsstriccione

xxxZMax

1) Expresar el problema dual asociado a ste.2) Resolver el problema primal aplicando el algoritmo del simplex y calcular

las soluciones del problema dual.3) Calcular aplicando el algoritmo del simplex el problema dual antes

expresado y resolver tambin el problema primal.

1) Expresin del problema dual:

0

576

83

74

Re

1225)(

21

21

21

21

+

+

+=

iy

yy

yy

yy

sstriccione

yyYMin

2) Resolucin del problema primal.

Introducimos las variables de Holgura

0

127

25634Re

587)(

5321

4321

321

=+++

=++

+=

ix

xxxx

xxxxsstriccione

xxxZMax

Construimos la tabla simplex inicial. Las variables bsicas son x4, x5


0 254 =x 4 -3 6 1 0 25

0 125 =x -1 1 7 0 1 12

iZ 0 0 0 0 0

iiCZ 7 -8 5 0 0

Como ( )12,25,0,0,000 222 >


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La variable de la base que va a entrar a la base es 2x , veamos por cual lohacemos mediante la prueba del cociente mnimo obviando los valores negativos:

{ } 1212min1

12,

325

min,min23

5

22

4

y

x

y

x

Hemos comprobado que la variable 2x pasar a formar parte de la base en lugar

de 5x . Por lo tanto el pivote ser el nmero que est en la casilla sombreada de la tabla

anterior. Ahora, a partir del pivote calcularemos la nueva tabla.



0 614 =x 1 0 27 1 3 61

8 122 =x -1 1 7 0 1 12

iZ -8 8 56 0 8ii CZ -1 0 61 0 8

Como ( )0,61,0,12,000 111 >


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2) Resolucin del problema dual.

Minimizar: 21 1225 yyz +=

Restricciones:

+

+

576

83

74

21

21

21

yy

yy

yy

Para resolver este problema introduciremos variables de holgura, y cambiamosde signo las inecuaciones con el fin de que podamos aplicar el algoritmo dual delsimples sin tener que introducir variables artificiales. Al final las ecuaciones quedan dela siguiente manera:


(Max 21 1225 yyz = )

Restricciones:

=+

=+

=++

576

83

74

521

421

321

yyy

yyy

yyy

Construimos la tabla simplex inicial. Las variables bsicas son y3,y4, y5

BC BY 1y 2y 3y 4y 5y B

0 73 =y -4 1 1 0 0 7

0 84 =y 3 -1 0 1 0 -8

0 55 =y -6 -7 0 0 1 5

iZ 0 0 0 0 0ii

CZ 25 12 0 0 0

Aunque i0 ii CZ la solucin es bsica no factible por lo cual tendremos

que aplicar el algoritmo dual del simplex.

Escogemos de la columna BY la variable cuyo valor es el ms negativo y staser la salga de la base. En este caso es 4y , veamos por cual la vamos a sustituir:

121

12,

3

25max0quetalimax 3

4


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Las variables que forman la base son: 523 ,, yyy .

BC BY 1y 2y 3y 4y 5y B

0 13 =y -1 0 1 1 0 -1

-12 82 =y -3 1 0 -1 0 8

0 615 =y -27 0 0 -7 1 61

iZ 36 -12 0 12 0

iiCZ 61 0 0 12 0



Escogemos de la columna BY la variable cuyo valor es el ms negativo y staser la salga de la base. En este caso es y3, veamos por cual la vamos a sustituir:

611

12,1

61max0quetalimax 3

3


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4 INTERPRETACIN ECONMICA

Un problema de programacin lneal est destinado a la optimizacin de determinadosrecursos econmicos. Los problemas primales consisten en maximizar una funcinobjetivo sometida a un conjunto de restricciones representadas por inecuaciones. La

interpretacin econmica de estos valores es la siguiente:

- Las variables xi pueden interpretarse como los trminos desconocidos delos productos que fabricaremos.

- Los bi son las cantidades disponibles de recursos para elaborar losproductos.

- Los trminos aij son las cantidades necesarias del recurso i para produciruna unidad del producto j.

- Las restricciones representarn la limitacin de los recursos disponiblespara fabricar los productos.

- El objetivo del fabricante ser obtener un beneficio mximo, o sea,maximizar los beneficios, con lo cual cj sern los beneficios por cadaunidad producida del producto j.

A partir de las relaciones primal-dual interpretaremos econmicamente los trminos delanterior:

- yi: Contribucin a la ganancia por cada unidad del recurso i. Estas variables delproblema dual reciben el nombre de precios de sombra.

- yi>=0: La ganancia por cada unidad del recurso i, debe ser no negativa, de locontrario sera mejor no utilizar este recurso en absoluto.

- F.Objetivo: Es la minimizacin total del valor implcito de los recursosconsumidos por las actividades.

En general el precio sombra de una restriccin proporciona el cambio en el valor de lafuncin objetivo como resultado de un cambio unitario en el trmino independiente dela restriccin, suponiendo que el resto de parmetros del problema permaneceninalterados.

En muchos problemas de programacin lineal los precios sombra son tan importantescomo la solucin del problema, ya que proporcionan informacin sobre el efecto en lafuncin objetivo de cambios en los recursos disponibles.


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4.1 EJEMPLO(Procedente Escuela Tcnica Superior de Ingeniera Industrial de Ciudad Real)

Un carpintero modesto fabrica dos tipos de mesas de madera. Cada mesa del tipo 1necesita 4 horas de mecanizado primario (preparacin de piezas) y 4 horas de

mecanizado secundario (ensamblado y barnizado). Anlogamente, cada mesa del tipo 2necesita 3 horas de mecanizado primario y 7 horas de mecanizado secundario.

Las disponibilidades diarias de mecanizados primario y secundario son respectivamentede 40 y 56 horas-mquina. La venta de una mesa del tipo 1 reporta un beneficio de 70euros, mientras que la venta de una mesa del tipo 2 de 90 euros.

Siendo x1 y x2 son las cantidades diarias de mesas a fabricar de los tipos 1 y 2respectivamente el problema de programacin lineal quedara como sigue:

Maximizar: 21 9070 xxz +=

Restricciones: 05674

4034

21

21

+

+

ixxx

xx

Introducimos las variables de Holgura

0

5674

4034Re

9070)(

421

321

21

=++

=++

+=

ix

xxx

xxxsstriccione

xxZMax

Construimos la tabla simplex inicial. Las variables bsicas son x4, x5

BC BX 1y 2y 3y 4y B

0 403 =x 4 3 1 0 40

0 564 =x 4 7 0 1 56

iZ 0 0 0 0

ii CZ -70 -90 0 0

Como ( )56,40,0,000 222>


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BC BX 1y 2y 3y 4y B

0 163 =x 16/7 0 1 -3/7 16

90 82 =x 4/7 1 0 1/7 8

iZ 360/7 90 0 90/7

iiCZ -130/7 0 0 90/7

Como ( )0,16,8,000 111 >


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La solucin puede obtenerse mediante Anlisis de Sensibilidad utilizando losmecanismos vistos en el tema anterior y el algoritmo dual del simplex si procede.

=

8

4

72

40*

4/14/1

16/316/7

En este caso la solucin ptima es x1 = 4 y x2 = 8 con un beneficio mximo diario de1000 euro.

Este solucin indica que el beneficio diario crece en 150 euros y la capacidad demecanizado secundario crece en 72 - 56 = 16 horas mquina.

El ratio 1000-850/16=150/16=75/8 euros, al que la funcin objetivo crece al crecer lacapacidad de mecanizado secundario 1 hora, se denomina sensibilidad o precio sombra(tambin precio dual) de la capacidad de mecanizado secundario.

En general el precio sombra de una restriccin proporciona el cambio en el valor de lafuncin objetivo como resultado de un cambio unitario en el trmino independiente dela restriccin, suponiendo que el resto de parmetros del problema permaneceninalterados. En muchos problemas de programacin lineal los precios sombra son tanimportantes como la solucin del problema, ya que proporcionan informacin sobre elefecto en la funcin objetivo de cambios en los recursos disponibles. Los preciossombra pueden obtenerse resolviendo el problema dual.

El problema dual del problema del carpintero se formula a continuacin.



7044

21

21

+

+

iyyy

yy

Introducimos variables de holgura cambiando de signo las restricciones:


Maximizar: 21 5640 yyz =


7044

421

321

=+

=+

iyyyy

yyy


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La tabla simplex inicial quedara

BC BY 1y 2y 3y 4y B

0 703 =y -4 -4 1 0 -70

0 904 =y -3 -7 0 1 -90

iZ 0 0 0 0

ii CZ 40 56 0 0



Escogemos de la columna BY la variable cuyo valor es el ms negativo y staser la salga de la base. En este caso es y4, veamos por cual la vamos a sustituir:

3/407

56,

3

40max0quetalimax 3

3


23/23



La solucin ptima de este problema es y1 = 65/8, y2 = 75/8, y el valor ptimo de lafuncin objetivo es 850. Obsrvese que y1 y y2 son los precios sombra de lascapacidades de mecanizado primario y secundario, respectivamente, y que los valoresptimos de la funcin objetivo de los problemas primal y dual coinciden.

El problema dual puede interpretarse de la siguiente manera. Considrese que el

objetivo es vender tiempo de mecanizado primario y secundario y supngase que deesta forma se obtienen al menos el mismo nivel de beneficios que haciendo mesas. Enesta situacin vender tiempo de mecanizado y hacer mesas han de ser actividadesigualmente lucrativas. Las variables y1 y y2 variables representan los precios de venta deuna hora de mecanizados primario y secundario respectivamente. Para preservar lacompetitividad del negocio, el beneficio diario ha de minimizarse, esto es minimizar lafuncin 40y1 + 56y2, donde 40 y 56 representan respectivamente la disponibilidad diariaen horas de mecanizado primario y secundario respectivamente. Las restricciones delproblema dual establecen que el coste de las horas de mecanizado primario y secundariopara producir una mesa de cada tipo no debe superar el beneficio que se obtiene porventa de la misma; y que los precios son cantidades no negativas.

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