DISTRIBUSI CHI-KUADRAT

Disusun untuk memenuhi tugas Statistik Matematika 2

Oleh:

Weindy Pramita A. (070210101088)

Dimas Ariwibowo (080210101033)

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS JEMBER

2011

DISTRIBUSI CHI-KUADRAT

DEFINISI

Peubah Acak X dikatakan berdistribusi Chi-Kuadrat dengan derajat kebebasan r,

dinotasikan ᵡr2, jika ia berdistribusi Gamma dengan parameter α = r2 dan β = 2.

Ingat, distribusi Gamma

f(x) = xα−1 . e

−xβ

Γ (α )βα , untuk α, β > 0

maka, distribusi Chi-Kuadrat dengan parameter α = r2

dan β = 2 adalah

f(x) = xr2−1. e

−x2

Γ ( r2)2

r2

, untuk α = r2

, β = 2 > 0 dan 0 ≤ x ≤ ∞

Distribusi Chi-Kuadrat merupakan pdf. Syarat suatu distribusi merupakan pdf, yaitu:

a) f(x) ≥ 0

b) ∫−∞

∞

f (x ) = 1

Bukti bahwa distribusi Chi-Kuadrat merupakan pdf.

a) Apakah f(x) ≥ 0?

YA, karena α = r2

> 0, β = 2 > 0 dan 0 ≤ x ≤ ∞ sehingga f(x) = xr2−1. e

−x2

Γ ( r2)2

r2

≥ 0

b) Apakah ∫−∞

∞

f (x ) = 1?

f(x) = xr2−1. e

−x2

Γ ( r2)2

r2

Misal, x = y2

dx = dy2

: Γ()

Γ(r2

) = ∫0

∞

( y2)r2−1. e

− y2 .dy2

Γ(r2

) = ∫0

∞

( y )r2−1. e

− y2 .( 1

2)r2−1.( 1

2)

1

dy

Γ(r2

) = ∫0

∞

( y )r2−1e

− y2 .( 1

2)r2 dy

Γ(r2

) = ∫0

∞e

− y2 .( y )

r2−1

2r2

dy

Γ(r2

) = ∫0

∞e

− y2 .( y )

r2−1

2r2

dy

Γ ( r2)

Γ (r2) = ∫

0

∞e

− y2 .( y )

r2−1

2r2

.1

Γ ( r2)dy

1 = ∫0

∞e

− y2 .( y )

r2−1

Γ ( r2 ) .2r2

dy

Oleh karena x = y, maka ∫0

∞e

− x2 .(x)

r2−1

Γ ( r2 ) .2r2

dx = 1

Jadi, YA ∫−∞

∞

f (x ) distribusi Chi-Kuadrat = 1

Fungsi Pembangkit Momen (M(t)) dari distribusi Chi-Kuadrat adalah

M(t) = (1 –2 t)−r2 , t<

12

Bukti:

M(t) = E(e tx)

= ∫0

∞

etx . f ( x )dx

= ∫0

∞

etx . e

−x2 .(x)

r2−1

Γ ( r2 ) .2r2

dx

= ∫o

∞e tx . e

−x2 . (x)

r2−1

Γ ( r2 ) .2r2

dx

= ∫o

∞e

− x2

(1−2 t ).( x)

r2−1

Γ ( r2 ) .2r2

dx

Misal, z = x2

(1 – 2t)

x = 2 z

(1−2t)

dx = 2

(1−2t) dz

maka, ∫o

∞e

− x2

(1−2 t ).( x)

r2−1

Γ ( r2 ) .2r2

dx

= ∫o

∞ e− z .( 2 z

(1−2 t))r2−1

Γ ( r2 ) .2r2

.( 2(1−2 t )

) dz

=

1

Γ ( r2 ) .2r2 ∫

o

∞

e−z .( 2 z(1−2t)

)r2−1.( 2

(1−2 t )) dz

=

1

Γ ( r2 ) .2r2 ∫

o

∞

e−z .(z)r2−1.( 2

(1−2 t))r2−1.( 2

(1−2t ))

1

dz

=

1

Γ ( r2 ) .2r2 ∫

o

∞

e−z .(z)r2−1.( 2

(1−2 t))r2 dz

=

1

Γ ( r2 ) .2r2

.( 2(1−2 t)

)r2

∫o

∞

e−z .(z)r2−1

dz

= 1

Γ ( r2 ) .2r2

.2r2

(1−2t )r2 . Γ ( r2 )

= 1

(1−2t)r2

= (1 –2 t)−r2

Jadi, terbukti bahwa M(t) = (1 –2 t)−r2 , t<

12

Mean (µ) distribusi Chi-Kuadrat

Mean untuk distribusi Chi-Kuadrat (χ 2) adalah turunan pertama M(t) pada saat

(t=0).

M(t) = (1-2t)-r/2 , t < ½M’(t) = (-r/2).(1-2t)-r/2-1 . (-2) , t < ½ = r.( 1-2t)-r/2-1 , t < ½

M’(t=0) = r.( 1-2.0)-r/2-1

= r

µ = r

Varians (σ2) distribusi Chi-KuadratVarians untuk distribusi Chi-Kuadrat (χ 2) adalah turunan kedua M(t) dikurangi

kuadrat turunan pertama pada saat (t=0).

M(t) = (1-2t)-r/2 , t < ½M’(t) = r.(1-2t)-r/2-1 , t < ½M’’(t) = r.(-r/2-1) .(1-2t)-r/2-1-1 . (-2) , t < ½ = (r2 + 2r). (1-2t)-r/2-2 , t < ½

M’’(t=0) = (r2 + 2r). (1-2.0)-r/2-2 , t < ½

= r2 + 2r

σ2 = M’’(t=0) – (M’(t=0)2) = r2 + 2r - r2

= 2r