GRAFIK KOORDINAT DAN CARTECIUS

PADA SUMBU SIMETRI

DOSEN : SUBALI NOTO S.Si., M.Si.

MAKALAH

Diajukan untuk memenuhi salah satu syarat

Mata kuliah Geometri Analitis

Kelompok 1

Kelas 2i

Anggota:

Naskah Fuani (109070000)

Astary Pinasti (109070117)

Micky Zulyapondah (109070000)

Anna Supriani (109070000)

Oban M. Sobari (109070000)

UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

PRODI MATEMATIKA

2011

KATA PENGANTAR

Segala puji adalah milik Allah yang telah memberikan pertolongan,

perlindungan serta ampunan-Nya. Shalawat serta salam kepada junjungan Nabi

Muhammad SAW beserta para keluarga, sahabat dan kita selaku umatnya sampai

akhir jaman.

Dengan petunjuk dan pertolongan Allah, akhirnya penulis dapat

menyelesaikan makalah yang berjudul “GRAFIK KOORDINAT DAN CARTECIUS

PADA SUMBU SIMETRI” ini. Penyusunan makalah ini berdasarkan hasil pencarian

dari berbagai sumber yang penulis miliki dan beberapa refrensi pustaka mengenai

masalah yang terkait dan beberapa materi yang diberikan oleh dosen Mata Kuliah

Geometri Analitik, Bapak Subali Noto S.Si., M.Si.

Pada kesempatan kali ini penulis ingin berterimakasih kepada:

1. Bapak Subali Noto S.Si., M.Si.. selaku pembimbing dan dosen Mata Kuliah

Geometri Analitik.

2. Orang tua yang telah memberikan dukungan moril maupun materiil.

3. Semua pihak yang telah memberikan bantuan baik secara langsung maupun

tidak langsung kepada penulis.

Harapan penulis, makalah ini tidak hanya menjadi wacana bagi para

pembaca, namun juga dapat memberikan pengetahuan sehingga makalah ini dapat

bermanfaat bagi kita semua.

Penulis menyadari makalah ini masih jauh dari sempurna karena masih

terdapat beberapa kekurangan, baik dari segi materi maupun segi penyajiannya.

Oleh karena itu, penulis mengharapkan kritik dan saran dari para pembaca

agar makalah ini dapat lebih baik lagi kedepannya dan semoga apa yang telah kita

lakukan mendapat ridho dari Allah swt.. Amin.

Cirebon, Juli 2011

Penyusun

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR ........................................................................................ i

DAFTAR ISI ....................................................................................................... iii

BAB I PEMBAHASAN ............................................................................... 3

A. Definisi Istilah – Istilah Proses Pembelajaran ......................................... 3

B. Macam – Macam Metode Pembelajaran ................................................. 3

BAB II PENUTUP ........................................................................................ 25

A. Kesimpulan ...............................................................................................25

DAFTAR PUSTAKA

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

B. Tujuan Penyusunan

C. Rumusan Masalah

BAB I

PEMBAHASAN

A. Koordinat titik

Untuk menentukan letak suatu titik pada bidang datar diperlukan patokan

awal. Patokan awal ini dibuat dari dua garis bilangan riel yang berpotongan saling

tegak lurus di titik nolnya, yang satu mendatar (horizontal) dan yang lain tegak

(vertikal). Garis yang mendatar dinamakan sumbu X, dan garis yang tegak diberi

nama sumbu Y. Dua sumbu yang saling tegak lurus itu dinamakan sistem koordinat

Kartesius tegak lurus atau cukup disebut koordinat Kartesius.

Letak titik P (gambar 1.1) dikaitkan dengan dua bilangan, yaitu bilangan yang

menyatakan jarak O ke P1 dan bilangan yang menyatakan jarak O ke P2, masing-

masing disebut absis titik P dan ordinat titik P, selanjutnya pasangan terurut dari dua

jarak tersebut disebut koordinat titik P.

Untuk mempermudah perhatikan gambar berikut (gambar 1.2)

Pada gambar 1.2 dapat dikatakan bahwa titik P berabsis 4 dan berordinat 2.

Selanjutnya dikatakan koordinat titik P adalah (4 , 2).

Sumbu-sumbu koordinat, yaitu sumbu X dan sumbu Y, membagi bidang datar

menjadi 4 daerah yang masing-masing disebut kuadran, yaitu kuadran I, kuadran II,

kuadran III, dan kuadran IV, seperti gambar 1.3

B. Jarak dua titik

Perhatikan dua titik P1(x1 , y1) dan P2(x2 , y2) pada gambar berikut

Selanjutnya dengan menggunakan teorema Pythagoras, diperoleh:

Contoh:

Misalkan P1(1 , 1) dan P2(-3 , 4), maka jarak P1 dan P2 adalah:

C. Koordinat titik diantara dua titik

Diberikan tiga titik P(x1 , y1), Q(x2 , y2), dan T diantara P dan Q dengan

perbandingan , seperti gambar berikut

Perhatikan gambar 1.5, karena ,

Maka :

, sehingga

Dengan cara seperti di atas, maka diperoleh:

Dari uraian di atas, kita dapat menyimpulkan: Apabila diketahui titik-titik P(x1 , y1)

dan Q(x2 , y2), dan titik T pada ruas garis PQ sedemikian sehingga ,

maka koordinat titik T adalah:

, dan

Contoh :

Apabila diketahui titik-titik P(1 , 3) dan Q(-2 , -5), dan titik T pada ruas garis PQ

sedemikian sehingga , maka koordinat titik T adalah ;

dan

D. Koordinat titik tengah diantara dua titik

Apabila diketahui titik-titik P(x1 , y1) dan Q(x2 , y2), dan titik T adalah titik

tengah ruas garis PQ, maka , sehingga koordinat titik T adalah:

dan

Contoh :

Apabila diketahui titik-titik P(1 , 3) dan Q(-2 , -5), dan titik T adalah titik

tengah pada ruas garis PQ, maka , sehingga koordinat titik T adalah:

dan

Dalil : Grafik dari fungsi – fungsi linear ( linear artinya pangkat satu atau straight )

adalah suatu garis lurus.

E. GARIS LURUS MELALUI TITIK ASAL (0,0)

F. BENTUK UMUM PERSAMAAN GARIS LURUS

Tarik Garis dari titik O ke titik P dimana OP terletak pada garis g. Titik Q juga terletak pada garis g. Buktikan bahwa persamaan garis lurus melalui titik

Bukti Perhatikan segitiga OPP’ dan segitiga OQQ’

QQ’: PP’ = Q’O : P’Oy : b = x : a

ay = bxy = b/a x ; jika b/a = m

Bukti

BO : PP’ = AO : AP’

B : y = -a : (-a + x )

-ay = b ( -a + x )

-ay = -ab : bx

y = -(b/a) x – b (terbukti)

atau y = mx + b, persamaan garis lurus yang memotong sumbu y (0,b)

G. SYARAT 3 BUAH TITIK TERLETAK PADA SEBUAH GARIS

LURUS

Sesuai dengan dalil, bahwa grafik dari setiap fungsi linear adalah sebuah garis

lurus;

Garis 1 memotong sumbu X di titik A (-a,0)Dan titik B(0,b) Titik P terletak pada garis 1, sehingga PP’//BO

Bukti bahwa persamaan umum garis lurus adalah

y = (b/a) x + b

Misalkan fungsi linear itu y = ax + bTitik A, B, dan C terletak pada grafik y = ax + b A(x1,y1) terletak pada grafik y1 = ax1 + b B(x2,y2) terletak pada grafik y2 = ax2 + b –

y1 – y2 = a(x1 – x2) …(i)

A(x1,y1) terletak pada grafik y1 = ax1 + b C(x3,y3) terletak pada grafik y3 = ax3 + b –

y1 – y2 = a(x1 – x3) …(ii)

titik A, B, C terletak pada suatu garis lurus

Syarat bahwa (x1,y1) , (x2,y2),

dan (x3,y3) terletak pada sebuah garis

lurus

Sehingga pengertian dari (2.1) sampai dengan (2.3) dapatlah disimpulkan sebagai berikut :

1. Persamaan garis lurus melalui pusat y =mx dimana m = tg α dengan m merupakan koefisien arah / gradient / bilangan arah / kemiringan / kecendrungan garis .

2. Persamaan umum garis dalam bentuk eksplisit y = mx + b, dengan m = tg α dan garis ini melalui titik (0,b) tg α adalah sudut perpotongan garis lurus dengan sumbu X positif.

3. Persamaan umum garis lurus dapat juga dinyatakan dalam bentuk implisit

ax + b + c = 0

Persamaan garis lurus dapat juga dinyatakan oleh : Jarak antara titik O dengan salah

satu titik pada garis itu dan sudut yang dibentuk oleh jarak itu dengan sumbu X positif

Perhatikan segitiga OBP

H. Persamaan garis melalui titik P(x1,y1), dengan gradien m

Kita sudah mengetahui bahwa persamaan garis umum y = mx + n

Titik P(x1, y1) dilalui oleh garis y = mx + n .............(i)

y1 = mx1 + n .............(ii)

y = y1

mx + n = mx1 + n

y - y1 = m(x – x1)

Persamaan garis lurus melalui titik P(x1, y1) dengan

gradien m

Persamaan garis kutub atau persamaan garis polar

I. PERSAMAAN GARIS MELALUI DUA TITIK

Persamaan melalui titik A(x1, y1) dan B(x2, y2)

Persamaan garis lurus y = mx + n

Persamaan garis melalui A(x1, y1) y - y1 = m(x – x1) ................... (i)

Titik B(x2, y2) terletak pada garis y - y1 = m(x – x1)

y – y2 = m(x – x2) ...................................... (ii)

J. PERSAMAAN GARIS MELALUI P(a,0) DAN Q(0,b)

Persamaan garis melalui titik P(a,0) dan Q(0,b)

Persamaan garis melalui dua titik

Persamaan garis melalui P(a,0) dan Q(0,b)

K. Persamaan Garis Hesse (Persamaan Garis Normal)

Perhatikan OPA, siku – siku di P

Karena garis g memotong ABX dititik A (a,0) dan B (0,b),

maka persamaan garis g adalah

(i) dan (ii) subtitusikan ke (iii)

Catatan :

Tarik garis melalui titik O garis g OPKarena OP g disebut persamaan garis normal. Kita misalkan n dan sudut yang dibentuk dengan X positif = Perhatikan segitiga OPB, siku – siku di P

1. karena n positif (jarak titik O (0,0) ke garis g ) maka suku ke-3 selalu negatif

2. koefisien x = cos

koefisien y = sin cos2 + sin 2

= 1

mengingat kedua syarat diatas, maka setiap persamaan Ax + By + C = 0 dapat

dirubah ke persamaan normal Hesse .

Contoh :

Rubahlah persamaan -3x -4y + 10 = 0 ke dalam persamaan normal Hesse

Penyelesaian :

-3x -4y + 10 = 0 x (-1)

L. HUBUNGAN ANTAR GARIS (SIKAP 2 GARIS LURUS)

1. Garis yang Berpotongan

Garis l1 a1x + b1y + c1 = 0 (dikalikan dengan b2)

Garis l2 a2x + b2y + c2 = 0 (dikalikan dengan b1)

a1x + b1y + c1 = 0

a2x + b2y + c2 = 0

a1b2x+b1b2+b2c1=0a1b2x+b1b2+b2c1=0 -

(a1b2 – a2b1)x + (b2c1- b1c2 )=0

2. Garis yang Berpotongan

Jika l1 dan l2 tidak berpotongan atau sejajar, berarti tidak ada titik potongnya

Dimana syaratnya : a1b2 - a2b1 = 0

b2c1 – b1c2 ≠ 0

3. Garis yang Berhimpit

Dimana syaratnya : a1b2 - a2b1 = 0

M. SUDUT ANTARA DUA GARIS

Garis (dikalikan dengan

)

Garis (dikalikan dengan

)a1a2x+a2b1+a2c1=0a1a2x+a1b2+a1c2=0 -(a2b1 – a1b2)x + (a2c1- a1c2 )=0

Kemungkinan – kemungkinan :a. Jika a1b2-a2b1 ≠ 0

a1b2 ≠a2b1

Syarat 2 garis berpotongan

b. Jika a1b2-a2b1 = 0

Tapi b2c1 – b1c2 ≠ 0 sehingga

Syarat garis sejajar

Syarat garis berhimpit

N. JARAK DARI TITIK O (0,0) KE GARIS Ax + By + C = 0

Diketahui : l ax + by + c = 0

Ditanya : Jarak titik O ke garis l ax + by + c = 0

Penyelesaian

Jika l1 y = m1x + b1

l2 y = m2x + b2

sudut perpotongan = φtg α1 = m1

tg α2 = m2

α1 = α2 + φ

φ =

tg φ = tg φ

= atau tg φ =

φ = arc. tg Kemungkinan – kemungkinan :

a. Untuk = 90o tg 90o =

1+m1m2 =

1+m1m2 = 0m1m2 = - 1

b. Untuk = 0o tg 0o = 0

m1 – m2 = 0

m1 = m2

Syarat garis sejajar

Maka d =

O. Jarak Antara Dua Garis Sejajar

P. Jarak dari Titik P(x1,y1) ke Garis Ax + By + C = 0

Karena

Maka

d =

Jarak titik ke garis

Ditanya : jarak

Penyelesaian :

jarak antara dua garis sejajar

Q. SYARAT 3 GARIS MELALUI SEBUAH TITIK YANG SAMA

Jika memotong dititik P, maka akan diperoleh koordinat titik

melalui titik

P(x1,y1)

Ditanya :

Penyelesaian :

, ini berarti c1 = - (ax1+by1)

Karena

jarak dari titik ke garis

R. BERKAS GARIS