39
ECUACIONES DE MOVIMIENTO CINÉTICO EN EL PLANO UNIVERSIDAD CATÓLICA DE SANTA MARÍA DE AREQUIPA FACULTAD DE ARQUITECTURA Y CIENCIAS E INGENIERÍAS CIVIL Y DEL AMBIENTE PROGRAMA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL DOCENTE: ING. ENRIQUE ALFONSO UGARTE CALDERÓN

6.2 a 6.5 Cinet Cr Teo y Prob Nf

Embed Size (px)

DESCRIPTION

informaicon

Citation preview

Page 1: 6.2 a 6.5 Cinet Cr Teo y Prob Nf

ECUACIONES DE MOVIMIENTO CINÉTICO EN EL PLANO

UNIVERSIDAD CATÓLICA DE SANTA MARÍA DE AREQUIPA

FACULTAD DE ARQUITECTURA Y CIENCIAS E INGENIERÍAS CIVIL

Y DEL AMBIENTE

PROGRAMA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

DOCENTE: ING. ENRIQUE ALFONSO UGARTE CALDERÓN

Page 2: 6.2 a 6.5 Cinet Cr Teo y Prob Nf

CONTENIDO

Introducción

Ecuaciones de movimiento de un

cuerpo rígido

Cantidad de movimiento angular de un

cuerpo rígido en movimiento plano

Movimiento plano de un cuerpo rígido.

Principio de d’Alembert

Axiomas de la mecánica de cuerpos

rígidos

Problemas que implican el movimiento

de un cuerpo rígido

Problema resuelto 1

Problema resuelto 2

Problema resuelto 3

Problema resuelto 4

Problema resuelto 5

Movimiento plano restringido

Movimiento plano restringido:

rotación no centroidal

Movimiento plano restringido:

movimiento de rodamiento

Problema resuelto 6

Problema resuelto 7

Problema resuelto 8

Problema resuelto 9

Page 3: 6.2 a 6.5 Cinet Cr Teo y Prob Nf

ECUACIONES DE MOVIMIENTO CINÉTICO EN EL PLANO

• El presente capítulo trata la cinética de los cuerpos rígidos, es decir,

las relaciones entre las fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido, la

forma y la masa del cuerpo, así como el movimiento producido.

• Los resultados de este capítulo se limitarán a:

- Movimiento plano de cuerpos rígidos.

- Cuerpos rígidos constituidos de placas planas o cuerpos que son

simétricos respecto al plano de referencia.

• El enfoque será el de examinar cuerpos rígidos constituidos por un

gran número de partículas y aplicar las ecuaciones respectivas para el

movimiento de los sistemas de partículas. Es decir:

GG HMamF y

• El principio de D’Alembert se aplica para demostrar que las fuerzas

externas que actúan sobre un cuerpo rígido son equivalentes al vector

am

unidas al centro de la masa y un par de momento .I

Page 4: 6.2 a 6.5 Cinet Cr Teo y Prob Nf

ECUACIONES DE MOVIMIENTO CINÉTICO EN EL PLANO

• Consideremos un cuerpo rígido sobre

el que actúan varias fuerzas externas.

• Supongamos que el cuerpo está

integrado por un gran número de

partículas. • Para el movimiento del centro de

masa G del cuerpo con respecto al

sistema de referencia newtoniano

Oxyz:

amF

• Para el movimiento del cuerpo con

respecto al sistema de referencia

centroidal Gx’y’z’:

GG HM

• El sistema de fuerzas externas es

equipolente al sistema consistente en:

.y GHam

Page 5: 6.2 a 6.5 Cinet Cr Teo y Prob Nf

CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR DE UN CUERPO RíGIDO EN MOVIMIENTO PLANO

• Considérese una placa

rígida en movimiento

plano.

• La cantidad de movimiento angular de la placa

puede calcularse por:

I

mr

mrr

mvrH

ii

n

iiii

n

iiiiG

Δ

Δ

Δ

2

1

1

• Después de la diferenciación:

IIHG

• Los resultados son también válidos para el

movimiento plano de cuerpos que son

simétricos respecto al plano de referencia.

• Los resultados no son válidos para los cuerpos

asimétricos o movimiento tridimensional.

Page 6: 6.2 a 6.5 Cinet Cr Teo y Prob Nf

MOVIMIENTO PLANO DE UN CUERPO RÍGIDO: PRINCIPIO DE D’ALEMBERT

• El movimiento de un cuerpo rígido en movimiento

plano está completamente definido por el resultado y

el momento respecto a G resultante de las fuerzas

externas:

IMamFamF Gyyxx • Las fuerzas externas y las fuerzas colectivas eficaces

de las partículas de la placa son equipolentes

(reducen la resultante misma y el momento

resultante) y equivalentes (tienen el mismo efecto en

el cuerpo).

• Principio de d'Alembert : Las fuerzas externas que

actúan sobre un cuerpo rígido son equivalentes a las

fuerzas efectivas de las distintas partículas que

forman el cuerpo.

• El movimiento más general de un cuerpo rígido que

es simétrico respecto al plano de referencia puede ser

sustituido por la suma de una traslación y una

rotación centroidal.

Page 7: 6.2 a 6.5 Cinet Cr Teo y Prob Nf

AXIOMAS DE LA MECÁNICA DE CUERPOS RÍGIDOS

• Las fuerzas FFy actúan en diferentes

puntos de un cuerpo rígido, pero tienen la

misma magnitud, dirección y línea de acción.

• Las fuerzas producen el mismo momento

respecto a cualquier punto y, por tanto,

fuerzas externas equipolentes.

• Esto demuestra el principio de transmisibilidad,

mientras estaba establecido previamente como

un axioma.

Page 8: 6.2 a 6.5 Cinet Cr Teo y Prob Nf

PROBLEMAS QUE IMPLICAN EL MOVIMIENTO DE UN CUERPO RÍGIDO

• La relación fundamental entre las fuerzas que

actúan sobre un cuerpo rígido en el plano de

movimiento y la aceleración de su centro de

masa y la aceleración angular del cuerpo se

ilustra en la ecuación de un cuerpo libre-

diagrama.

• Las técnicas para resolver problemas de

equilibrio estático pueden aplicarse para

resolver problemas de movimiento plano

mediante la utilización de:

- El principio de d’Alembert, o

- El principio del equilibrio dinámico

• Estas técnicas también pueden aplicarse a los

problemas de movimiento plano de cuerpos

rígidos conectados mediante la elaboración de

una ecuación de cuerpo libre-diagrama para

cada cuerpo y la solución simultánea de las

ecuaciones correspondientes de movimiento.

Page 9: 6.2 a 6.5 Cinet Cr Teo y Prob Nf

PROBLEMA RESUELTO 1

A una velocidad de avance de 30 m/s,

los frenos de la camioneta se han

aplicado, haciendo que las ruedas dejen

de girar. Se observó que la camioneta

patinó 20 ft antes de detenerse.

Determinar la magnitud de la reacción

normal y la fuerza de fricción en cada

rueda cuando la camioneta patinó hasta

detenerse.

SOLUCIÓN:

• Calcular la aceleración cuando la

camioneta patinó, suponiendo una

aceleración uniforme.

• Citar la ecuación del diagrama de

cuerpo libre que expresa la equivalencia

de las fuerzas externa y efectiva.

• Aplicar las tres ecuaciones escalares

correspondientes para resolver las

fuerzas desconocidas de la rueda normal

en la parte delantera y trasera y el

coeficiente de fricción entre las ruedas y

la superficie de la carretera.

Page 10: 6.2 a 6.5 Cinet Cr Teo y Prob Nf

PROBLEMA RESUELTO 1

ft20s

ft300 xv

SOLUCIÓN:

• Calcular la aceleración cuando la camioneta

patinó, suponiendo una aceleración uniforme:

ft202s

ft300

2

2

020

2

a

xxavv

s

ft5.22a

• Citar la ecuación del diagrama de cuerpo libre que

expresa la equivalencia de las fuerzas externa y

efectiva.

• Aplicar las ecuaciones escalares correspondientes:

efyy FF 0 WNN BA

efxx FF

699.02.32

5.22

g

a

agWW

NN

amFF

k

k

BAk

BA

Page 11: 6.2 a 6.5 Cinet Cr Teo y Prob Nf

PROBLEMA RESUELTO 1

• Aplicando las ecuaciones escalares correspondientes:

effAA MM

WN

g

aWa

g

WWN

amNW

B

B

B

650.0

4512

4512

1

ft4ft12ft5

WNWN BA 350.0

WNN A 350.021

21

trasera WN 175.0trasera

WNF k 175.0690.0traseratrasera

WF 122.0trasera

WNN V 650.021

21

frontal WN 325.0frontal

WNF k 325.0690.0frontalfrontal

WF 227.0.0frontal

Page 12: 6.2 a 6.5 Cinet Cr Teo y Prob Nf

PROBLEMA RESUELTO 2

La placa delgada de 8 kg de masa se

mantiene en la posición que se ilustra.

Ignorando la masa de los eslabones,

determinar la aceleración de la placa, y

la fuerza de cada eslabón

inmediatamente después de que se corta

el alambre.

SOLUCIÓN:

• Advierta que después que se ha cortado

el alambre, todas las partículas de la

placa se mueven a lo largo de círculos

paralelos de 150 mm de radio. La placa

está en una traslación curvilínea.

• Citar la ecuación del diagrama de cuerpo

libre que expresa la equivalencia de las

fuerzas externa y efectiva.

• Resolver en ecuaciones escalares las

componentes paralela y perpendicular a

la trayectoria del centro de masa.

• Resolver las ecuaciones de componentes

y la ecuación de momentos para la

aceleración desconocida y las fuerzas de

los eslabones.

Page 13: 6.2 a 6.5 Cinet Cr Teo y Prob Nf

PROBLEMA RESUELTO 2

SOLUCIÓN:

• Advierta que después que se ha cortado el

alambre, todas las partículas de la placa se

mueven a lo largo de círculos paralelos de

150 mm de radio. La placa está en una

traslación curvilínea.

• Citar la ecuación del diagrama de cuerpo

libre que expresa la equivalencia de las

fuerzas externa y efectiva.

• Resolver la ecuación del diagrama en las

componentes paralela y perpendicular a la

trayectoria del centro de masa.

eftt FF

30cos

30cos

mg

amW

30cosm/s81.9 2a

2sm50.8a 60o

Page 14: 6.2 a 6.5 Cinet Cr Teo y Prob Nf

PROBLEMA RESUELTO 2

2sm50.8a 60o

• Resolver las ecuaciones de componentes y la

ecuación de momentos para la aceleración

desconocida y las fuerzas de los eslabones.

effGG MM

0mm10030cosmm25030sen

mm10030cosmm25030sen

DFDF

AEAE

FF

FF

AEDF

DFAE

FF

FF

1815.0

06.2114.38

efnn FF

2sm81.9kg8619.0

030sen1815.0

030sen

AE

AEAE

DFAE

F

WFF

WFF

TFAE N9.47

N9.471815.0DFF CFDF N70.8

Page 15: 6.2 a 6.5 Cinet Cr Teo y Prob Nf

PROBLEMA RESUELTO 3

Una polea de 12 lb y de 8 in. de radio de

giro se conecta a dos bloques como se

muestra. Suponiendo que no hay fricción

en el eje, determinar la aceleración angular

de la polea y la aceleración de cada bloque.

SOLUCIÓN:

• Determinar la dirección de rotación

mediante la evaluación del momento

neto sobre la polea, debido a los dos

bloques.

• Relacionar la aceleración de los

bloques a la aceleración angular de la

polea.

• Citar la ecuación del diagrama de

cuerpo libre que expresa la

equivalencia de las fuerzas externa y

efectiva en la polea del sistema de

bloques más completo.

• Resolver la ecuación de momentos

correspondientes a la polea de la

aceleración angular.

Page 16: 6.2 a 6.5 Cinet Cr Teo y Prob Nf

PROBLEMA RESUELTO 3

SOLUCIÓN:

• Determinar la dirección de rotación mediante la

evaluación del momento neto sobre la polea,

debido a los dos bloques:

lbin10in10lb5in6lb10 GM

Rotación en sentido contrario al de las manecillas

del reloj.

Nota:

2

2

2

22

sftlb1656.0

ft12

8

sft32.2

lb12

kg

WkmI

• Relacionar la aceleración de los bloques a la

aceleración angular de la polea:

ft1210

AA ra

ft126

BB ra

Page 17: 6.2 a 6.5 Cinet Cr Teo y Prob Nf

PROBLEMA RESUELTO 3

2

126

2

1210

2

sft

sft

sftlb1656.0

B

A

a

a

I

• Citar la ecuación del diagrama de cuerpo libre que

expresa la equivalencia de las fuerzas externa y

efectiva en la polea del sistema de bloques más

completo.

• Resolver la ecuación de momentos

correspondientes a la polea de la aceleración

angular.

efGG MM

1210

1210

2.325

126

126

2.3210

1210

126

1210

126

1210

126

1656.0510

ftftftlb5ftlb10

AABB amamI

2srad374.2

Entonces:

2

1210 srad2.374ft

AA ra

2sft978.1Aa

2

126 srad2.374ft

BB ra2sft187.1Ba

Page 18: 6.2 a 6.5 Cinet Cr Teo y Prob Nf

PROBLEMA RESUELTO 4

Una cuerda es enrollada alrededor de

un disco homogéneo cuya masa es de

15 kg. La cuerda es jalada hacia arriba

con una fuerza T = 180 N. Determinar

la aceleración del centro del disco, la

aceleración angular del disco, y la

aceleración de la cuerda.

SOLUCIÓN:

• Citar la ecuación del diagrama de cuerpo

libre que expresa la equivalencia de las

fuerzas externa y efectiva sobre el disco.

• Resolver las tres ecuaciones de equilibrio

escalar correspondiente para las

aceleraciones horizontal, vertical y

angular del disco.

• Determinar la aceleración de la cuerda

mediante la evaluación de la aceleración

tangencial del punto A en el disco.

Page 19: 6.2 a 6.5 Cinet Cr Teo y Prob Nf

PROBLEMA RESUELTO 4

SOLUCIÓN:

• Citar la ecuación del diagrama de cuerpo libre que

expresa la equivalencia de las fuerzas externa y

efectiva sobre el disco.

• Resolver las tres ecuaciones de equilibrio escalar:

efxx FF

xam0 0xa

efyy FF

kg15

sm81.9kg15-N180 2

m

WTa

amWT

y

y

2sm19.2ya

efGG MM

m5.0kg15

N18022

2

21

mr

T

mrITr

2srad0.48

Page 20: 6.2 a 6.5 Cinet Cr Teo y Prob Nf

PROBLEMA RESUELTO 4

0xa 2sm19.2ya

2srad0.48

• Determinar la aceleración de la cuerda mediante la

evaluación de la aceleración tangencial del punto A

en el disco.

22

cuerda

srad48m5.0sm19.2

tGAtA aaaa

2

cuerda sm2.26a

Page 21: 6.2 a 6.5 Cinet Cr Teo y Prob Nf

PROBLEMA RESUELTO 5

Una esfera uniforme de masa m y radio

r es lanzada a lo largo de una superficie

horizontal rugosa con una velocidad

lineal v0. El coeficiente de fricción

cinética entre la esfera y el piso es k.

Determinar el tiempo t1 en el cual la

esfera comenzará a rodar sin deslizarse,

y la velocidad lineal y la velocidad

angular de la esfera en el tiempo t1.

SOLUCIÓN:

• Citar la ecuación del diagrama de

cuerpo libre que expresa la equivalencia

de las fuerzas externa y efectiva en la

esfera.

• Resolver las tres ecuaciones de

equilibrio escalar correspondiente para

la reacción normal de la superficie y las

aceleraciones lineal y angular de la

esfera.

• Aplicar las relaciones cinemáticas para

el movimiento uniformemente

acelerado para determinar el momento

en que la velocidad tangencial de la

esfera en la superficie es cero, es decir,

cuando la esfera detiene su

deslizamiento.

Page 22: 6.2 a 6.5 Cinet Cr Teo y Prob Nf

PROBLEMA RESUELTO 5

SOLUCIÓN:

• Citar la ecuación del diagrama de cuerpo libre

que expresa la equivalencia de las fuerzas

externa y efectiva en la esfera.

• Resolver las tres ecuaciones de equilibrio escalar:

effyy FF

0WN mgWN

effxx FF

mg

amF

k ga k

effGG MM

2

32 mrrmg

IFr

k

r

gk

2

5

Nota: Mientras la esfera gira y se desliza, sus

movimientos lineales y angulares son

uniformemente acelerados.

Page 23: 6.2 a 6.5 Cinet Cr Teo y Prob Nf

PROBLEMA RESUELTO 5

ga k

r

gk

2

5

• Aplicar las relaciones cinemáticas para el movimiento

uniformemente acelerado para determinar el momento en

que la velocidad tangencial de la esfera en la superficie es

cero, es decir, cuando la esfera detiene su deslizamiento.

tgvtavv k 00

tr

gt k

2

500

En el instante t1, cuando la esfera detiene su deslizamiento:

11 rv

1102

5t

r

grgtv k

k

g

vt

k0

17

2

g

v

r

gt

r

g

k

kk

0

117

2

2

5

2

5

r

v01

7

5

r

vrrv 0

117

5 07

51 vv

Page 24: 6.2 a 6.5 Cinet Cr Teo y Prob Nf

MOVIMIENTO PLANO RESTRINGIDO

• La mayoría de las aplicaciones de ingeniería

involucran cuerpos rígidos que se mueven

bajo restricciones determinadas, por ejemplo,

manivelas, bielas y ruedas antideslizantes.

• Movimiento plano restringido: movimientos

con relaciones definidas entre las componentes

de la aceleración del centro de masa y la

aceleración angular del cuerpo.

• La solución de un problema que implica un

movimiento plano restringido requiere un

análisis.

• Por ejemplo, dados q, y , hallar P, NA y NB. .y yx aa

- Aplicación del principio de d’Alembert a los

rendimientos P, NA y NB.

- Análisis cinemático de los rendimientos

Page 25: 6.2 a 6.5 Cinet Cr Teo y Prob Nf

MOVIMIENTO PLANO RESTRINGIDO: ROTACIÓN NO CENTROIDAL

• Rotación no centroidal: Movimiento de un cuerpo

que está restringido a no girar alrededor de un eje

fijo que no pasa por su centro de masa.

• Relación cinemática entre el movimiento del centro

de masa G y el movimiento del cuerpo respecto a

G: 2 rara nt

• Las relaciones cinemáticas son usadas para

eliminar nt aa y de las ecuaciones derivadas

del principio de d'Alembert o del método de

equilibrio dinámico.

Page 26: 6.2 a 6.5 Cinet Cr Teo y Prob Nf

MOVIMIENTO PLANO RESTRINGIDO: MOVIMIENTO DE RODAMIENTO

• Para un disco equilibrado

restringido a rodar sin deslizarse:

q rarx

• Rodamiento sin deslizamiento:

NF s ra

Rodamiento, deslizamiento inminente:

NF s ra

Rodamiento y deslizamiento:

NF k ra, independiente

• Para el centro geométrico de un

disco sin equilibrio:

raO

La aceleración del centro de masa:

nOGtOGO

OGOG

aaa

aaa

Page 27: 6.2 a 6.5 Cinet Cr Teo y Prob Nf

PROBLEMA RESUELTO 6

La parte AOB de un mecanismo es

impulsada por el engrane D, y en el

instante que se muestra tiene una

velocidad angular en el sentido de las

manecillas del reloj de 8 rad/s y una

aceleración angular en sentido

contrario al de las manecillas del reloj

de 40 rad/s2. Determinar la fuerza

tangencial ejercida por el engrane D, y

las componentes de la reacción en la

flecha O.

kg 3

mm 85

kg 4

OB

E

E

m

k

m

SOLUCIÓN:

• Expresar la ecuación de cuerpo libre

para AOB, que indica la equivalencia de

las fuerzas externa y efectiva.

• Evaluar las fuerzas externas debidas a

los pesos del engrane E y el brazo OB,

y las fuerzas efectivas asociadas con la

velocidad angular y la aceleración.

• Resolver las tres ecuaciones escalares

derivadas de la ecuación de cuerpo

libre de la fuerza tangencial en A y las

componentes horizontales y verticales

de la reacción en la flecha O.

Page 28: 6.2 a 6.5 Cinet Cr Teo y Prob Nf

PROBLEMA RESUELTO 6

rad/s 8

2srad40

kg 3

mm 85

kg 4

OB

E

E

m

k

m

SOLUCIÓN:

• Expresar la ecuación de cuerpo libre para AOB.

• Evaluar las fuerzas externas debidas a los pesos

del engrane E y el brazo OB y las fuerzas

efectivas:

N4.29sm81.9kg3

N2.39sm81.9kg4

2

2

OB

E

W

W

mN156.1

srad40m085.0kg4 222

EEE kmI

N0.24

srad40m200.0kg3 2

rmam OBtOBOB

N4.38

srad8m200.0kg322

rmam OBnOBOB

mN600.1

srad40m.4000kg3 22

1212

121

LmI OBOB

Page 29: 6.2 a 6.5 Cinet Cr Teo y Prob Nf

PROBLEMA RESUELTO 6

N4.29

N2.39

OB

E

W

W

mN156.1 EI

N0.24tOBOB am

N4.38nOBOB am

mN600.1 OBI

• Resolver las tres ecuaciones escalares derivadas

de la ecuación de cuerpo libre de la fuerza

tangencial en A y las componentes horizontales y

verticales de la reacción en la flecha O:

ef OO MM

mN600.1m200.0N0.24mN156.1

m200.0m120.0

OBtOBOBE IamIF

N0.63F

ef xx FF

N0.24tOBOBx amR

N0.24xR

ef yy FF

N4.38N4.29N2.39N0.63

y

OBOBOBEy

R

amWWFR

N0.24yR

Page 30: 6.2 a 6.5 Cinet Cr Teo y Prob Nf

PROBLEMA RESUELTO 7

Una esfera de peso W es soltada

sin velocidad inicial y rueda sin

deslizarse sobre una pendiente.

Determinar el valor mínimo del

coeficiente de fricción, la

velocidad de G después de que

la esfera ha rodado 10 ft y la

velocidad de G si la esfera

desciende 10 ft sobre una

pendiente sin fricción.

SOLUCIÓN:

• Expresar la ecuación de cuerpo libre para la

esfera, que indica la equivalencia de las fuerzas

externa y efectiva.

• Con las aceleraciones lineales y angulares

relacionadas, resolver las tres ecuaciones

escalares derivadas de la ecuación de cuerpo

libre para la aceleración angular y las

reacciones normal y tangencial en C.

• Calcular la velocidad después de 10 ft de

movimiento uniformemente acelerado.

• Suponiendo que no hay fricción, calcular la

aceleración lineal hasta la inclinación y la

velocidad correspondiente después de 10 ft.

• Calcular el coeficiente de fricción requerido

para la reacción tangencial indicada en C.

Page 31: 6.2 a 6.5 Cinet Cr Teo y Prob Nf

PROBLEMA RESUELTO 7

SOLUCIÓN:

• Expresar la ecuación de cuerpo libre para la esfera, que

indica la equivalencia de las fuerzas externa y efectiva.

ra

• Con las aceleraciones lineales y angulares relacionadas,

resolver las tres ecuaciones escalares derivadas de la

ecuación de cuerpo libre para la aceleración angular y

las reacciones normal y tangencial en C:

efCC MM

q

2

2

52

5

2

sen

rg

Wrr

g

W

mrrmr

IramrW

r

g

7

sen5 q

7

30sensft2.325

7

30sen5

2

gra

2sft50.11a

Page 32: 6.2 a 6.5 Cinet Cr Teo y Prob Nf

PROBLEMA RESUELTO 7

• Resolver las tres ecuaciones escalares derivadas de

la ecuación de cuerpo libre para la aceleración

angular y las reacciones normal y tangencial en C:

r

g

7

sen5 q

2sft50.11 ra

efxx FF

WWF

g

g

W

amFW

143.030sen7

2

7

sen5

sen

q

q

efyy FF

WWN

WN

866.030cos

0cos

q

• Calculando el coeficiente de fricción requerido

para la reacción tangencial indicada en C:

W

W

N

F

NF

s

s

866.0

143.0

165.0s

Page 33: 6.2 a 6.5 Cinet Cr Teo y Prob Nf

PROBLEMA RESUELTO 7

r

g

7

sen5 q

2sft50.11 ra

• Calculando la velocidad después de 10 ft de

movimiento uniformemente acelerado:

ft10sft50.1120

2

2

020

2

xxavv

sft17.15v

effGG MM 00 I

• Suponiendo que no hay fricción, calculando la

aceleración lineal y la velocidad correspondiente

después de 10 ft:

effxx FF

22 sft1.1630sinsft2.32

sin

a

ag

WamW q

ft10sft1.1620

2

2

020

2

xxavv

sft94.17v

Page 34: 6.2 a 6.5 Cinet Cr Teo y Prob Nf

PROBLEMA RESUELTO 8

Una cuerda se enrolla alrededor del

tambor interno de una rueda y se jala

horizontalmente con una fuerza de

200 N. La rueda tiene una masa de

50 kg y un radio de giro de 70 mm.

Si se sabe que s = 0.20 y k = 0.15,

determinar la aceleración de G y la

aceleración angular de la rueda.

SOLUCIÓN:

• Expresar la ecuación de cuerpo libre para

la rueda, que indica la equivalencia de las

fuerzas externa y efectiva.

• Suponiendo que la rueda se desplaza sin

deslizarse y, por tanto, que está

relacionada con aceleraciones lineales y

angulares, resolver las ecuaciones

escalares para la aceleración y la reacción

normal y tangencial en el suelo.

• Comparar la reacción necesaria tangencial

a la fuerza de rozamiento máxima

possible.

• Si se produce deslizamiento, calcular la

fuerza de rozamiento cinética y luego

resolver las ecuaciones escalares de las

aceleraciones lineal y angular.

Page 35: 6.2 a 6.5 Cinet Cr Teo y Prob Nf

PROBLEMA RESUELTO 8

SOLUCIÓN:

• Expresar la ecuación de cuerpo libre para la rueda.

Suposición de rodamiento sin

deslizamiento:

m100.0

ra

2

22

mkg245.0

m70.0kg50

kmI

• Suponiendo que la rueda se desplaza sin

deslizarse, resolver las ecuaciones escalares para

la aceleración y las reacciones del suelo:

22

2

22

sm074.1srad74.10m100.0

srad74.10

mkg245.0m100.0kg50mN0.8

m100.0m040.0N200

a

Iam

efCC MM

efxx FF

N5.490sm074.1kg50

0

2

mgN

WN

efxx FF

N3.146

sm074.1kg50N200 2

F

amF

Page 36: 6.2 a 6.5 Cinet Cr Teo y Prob Nf

PROBLEMA RESUELTO 8

N3.146F N5.490N

Sin deslizamiento,

• Comparando la reacción necesaria tangencial a la

fuerza de rozamiento máxima posible:

N1.98N5.49020.0máx NF s

F > Fmáx , el rodamiento sin deslizamiento es

IMPOSIBLE

• Calculando la fuerza de fricción con

deslizamiento y resolver las ecuaciones escalares

para aceleraciones lineales y angulares:

N6.73N5.49015.0 NFF kk

efGG MM

2

2

srad94.18

mkg245.0

m060.0.0N200m100.0N6.73

2srad94.18

efxx FF

akg50N6.73N200 2sm53.2a

Page 37: 6.2 a 6.5 Cinet Cr Teo y Prob Nf

PROBLEMA RESUELTO 9

Los extremos de una barra de 4 ft y

con peso de 50 lb pueden moverse

libremente y sin fricción a lo largo

de dos correderas rectas. La barra

es soltada sin velocidad desde la

posición mostrada. Determinar la

aceleración angular de la barra, y

las reacciones en A y B.

SOLUCIÓN:

• Con base en la cinemática del movimiento

restringido, expresar las aceleraciones de

A, B y G en función de la aceleración

angular.

• Establecer la ecuación de cuerpo libre para

la barra, expresando la equivalencia de las

fuerzas externa y efectiva.

• Resolver las tres ecuaciones escalares

correspondientes para la aceleración

angular y las reacciones en A y B.

Page 38: 6.2 a 6.5 Cinet Cr Teo y Prob Nf

PROBLEMA RESUELTO 9

SOLUCIÓN:

• Con base en la cinemática del movimiento

restringido, expresar las aceleraciones de A, B y G

en función de la aceleración angular.

Expresando la aceleración de B como:

ABAB aaa

Con ,4ABa

90.446.5 BA aa

La aceleración de G se obtiene de:

AGAG aaaa

2 donde AGa

Resolviendo en las componentes x y y:

732.160sen 2

46.460 cos246.5

y

x

a

a

el triángulo vector

correspondiente y la ley de los rendimientos de

los signos:

Page 39: 6.2 a 6.5 Cinet Cr Teo y Prob Nf

PROBLEMA RESUELTO 9

• Establecer la ecuación de cuerpo libre para la

barra, expresando la equivalencia de las

fuerzas externa y efectiva.

69.2732.12.32

50

93.646.42.32

50

07.2

sftlb07.2

ft4sft32.2

lb50

12

1

2

2

2

2

121

y

x

am

am

I

mlI

• Resolver las tres ecuaciones escalares

correspondientes para la aceleración angular y

las reacciones en A y B:

2srad30.2

07.2732.169.246.493.6732.150

efEE MM

2srad30.2

efxx FF

lb5.22

30.293.645sen

B

B

R

R

lb5.22BR

45o

efyy FF

30.269.25045cos5.22 AR

lb9.27AR