6205-GASES_IDEALES (1)

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Dr. A. Ozols 1

Dr.Dr. AndresAndres OzolsOzols

MECÁNICAMECÁNICAESTADÍSTICAESTADÍSTICA

GASES IDEALESGASES IDEALES

Facultad de IngenieríaUBA

2007

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Dr. A. Ozols 2

MECÁNICA ESTADÍSTICAMECÁNICA ESTADÍSTICA

•Resulta de la aplicación de la teoría de la probabilidad al campo dela mecánica.

•Emplea las herramientas matemáticas para tratar los movimientosde poblaciones de partículas u objetos muy grandes.

•Provee el marco para relacionar las propiedades de átomos y moléculasindividuales con las propiedades de los materiales .

•Explica la termodinámica como resultado de la estadística y mecánica(clásica y cuántica) a nivel microscópico.

•Permite calcular las propiedades termodinámicas a partir de datosespectroscópicos.

•Las predicciones macroscópicas están gobernadas por la segunda ley dela termodinámica a través de la entropía del medio.

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Dr. A. Ozols 3

Postulado fundamentalPostulado fundamental

Un sistema aislado en equilibrio tiene microestados accesibles de

la misma probabilidad

Si existen Ω microestados ⇒ la probabilidad de cada estado p = 1/ Ω

El sistema en equilibrio está constituido por el estado termodinámico(macroestado) más probable

MECÁNICA ESTADÍSTICAMECÁNICA ESTADÍSTICA

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Dr. A. Ozols 4

CONJUNTO MICROCANÓNICO:CONJUNTO MICROCANÓNICO:

Conjunto integrado por copias de un sistema aislado.

Hipótesis 1: Cada sistema tiene una energía fija E.

Cada sistema puede tener varios microestados de energía E

Hipótesis 2: Cada microestado con la misma energía es equiprobable.

Ώ(E) = número de microestados para el valor de energía E

1/ Ώ(E) es la probabilidad de cada microestado

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Dr. A. Ozols 5

lnS k = Ω

Es un sistema aislado que cumple la segunda ley de la termodinámica:

La entropía del sistema, S , crece

Estado de equilibrio del sistema Ξ entropía máxima

ENTROPÍA

Ώ = número o multiplicidad de microestados en el conjunto

Definición

( ) /, , S k U V N eΩ =

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Dr. A. Ozols 6

CONJUNTO CANÓNICOCONJUNTO CANÓNICO

La probabilidad P i correspondiente del microestado con energía E i

i

máx

j

E

i j E

j

eP

e

β

β

−

−=

∑

1

kT β =con

1máxi

i

i

P =∑máx

j

j E

j

Z e β −= ∑El factor de normalización esla función de partición

i E kT

i

eP

Z

−

=

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Dr. A. Ozols 7

CÁLCULO de los VALORES MEDIOS en un CONJUNTO CANÓNICOCÁLCULO de los VALORES MEDIOS en un CONJUNTO CANÓNICO

El valor medio o esperado de cualquier propiedad microscópica puede relacionarse con variables macroscópicas.

La es interpretada como la definición microscópica de la variabletermodinámica Energía Interna U

1i E

ii E e

Z

dZ E

Z d

β

β

−

= = −∑

1 lni E

ii dZ d Z E

Z d d

E e

Z

β

β β

−

− = −= =∑

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Dr. A. Ozols 8

VALORES MEDIOS en un CONJUNTO CANÓNICOVALORES MEDIOS en un CONJUNTO CANÓNICO

La dispersión de la energíadispersión de la energía E E correspondiente a la distribución desistemas:

( ) ( )2 2 22 2 22 E E E E E E E E E Δ = − = + − = −

22

2

j j j E E E

j j

j j j

E e E e e β β β

β β

− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂= − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑ ∑ ∑Pero

2

22

2

1 1 E Z Z E E

Z Z β β β β

∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂= + = − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( )2

2

2

ln E Z E

β β

⎛ ∂ ⎞ ∂Δ = − =⎜ ⎟

∂ ∂⎝ ⎠

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Dr. A. Ozols 9


En general si J es una propiedad su valor medio

i E

ii ii

i

e J J J p

Z

β −

= =

∑ ∑La vinculación con la función de partición se

realiza considerando el efecto sobre la energía

de la variación sobre el parámetro exterior J

i i

i i

E E i

i i

E E

i i

J i

E E

d

e e dJ J

e eW

β β

β β

− −

− −

∂

∂

= =

Δ∑ ∑

∑ ∑

J

E E dJ

J

∂=Δ

∂

El trabajo realizado por el sistema como resultado

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Dr. A. Ozols 10


1 1 1i

i i

i

E i

E E i i

E

i ii

E e dJ

E dW

J e dJ e dJ

e Z J Z J

β

β β

β β

−

− −−

∂⎛ ⎞∂ ⎛ ⎞∂⎛ ⎞∂

= = = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

∑∑ ∑

∑1 1 1 ln

i E

i

Z Z e dJ dJ dJ

Z d

J Z J J W

β

β β β

−∂ ∂ ∂⎛ ⎞= − = − = −⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠∑

Pero

1 ln J

Z d F dJ d

J

W J

β

∂= =

∂ F J fuerza generalizada

E dJ J dJ

J dW

∂= − =

∂

También1 ln Z J

J β ∂= ∂

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Dr. A. Ozols 11

CONECCIONES con la TERMODINÁMICACONECCIONES con la TERMODINÁMICA

Las magnitudes físicas importantes pueden expresarse en función de Z( β, J)

lln

n ln Z Z d Z J d J d β β

∂ ∂= +∂ ∂

ln Z dW dJ

J β

∂=

∂ln dW E d d Z β β = −

ln E

Z d d β β

β −

∂=

∂

( )ln dW E d d dE d Z E β β β β = − + −

( ) ( )ln E dW dE d Z β β = ++

( )ln E Z Qd β βδ =+

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Dr. A. Ozols 12

CONECCIONES con la TERMODINÁMICACONECCIONES con la TERMODINÁMICA

La entropíaQ

dS T

δ =

( )ln E Z Qd β βδ =+

( )lndS k Z E β = +

Otra forma para obtener S a partir de la teoría de la información

( )ln ln lni i i E E E

i i i

i i i

e e eS k p p k k E Z Z Z Z

β β β

β

− − −

⎛ ⎞= − = − = +⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∑ ∑

ln ln

i i E E

i

i i i

E e eS k k Z k E k Z Z Z

β β

β β

− −

= + = +∑ ∑ ∑

lnU

S k Z

T

= +

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Dr. A. Ozols 13

CONECCIÓN TERMODINÁMICACONECCIÓN TERMODINÁMICA

( )ln ln lni i i E E E

i i i

i i i

e e eS k p p k k E Z

Z Z Z

β β β

β − − −⎛ ⎞

= − = − = +⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑ ∑

ln lni i E E

i

i i i

E e eS k k Z k E k Z

Z Z

β β

β β − −

= + = +∑ ∑ ∑

lnU

S k Z T

= +

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Dr. A. Ozols 14

GAS IDEALGAS IDEAL

Gas idealGas ideal ΞΞ Sistema Macrosc Sistema Macrosc óó pico de Part pico de Part í í culasculas oo Cuasipart Cuasipart í í culasculasconcon interacci interacci óón despreciablen despreciable

Gas ideal Ξ Estado de cada partícula independiente de las demás

El estado de equilibrio se alcanza por medio por intercambio deenergía durante los choque entre las mismas.

El número de estas interacciones es muy pequeño para estosgases de densidad baja

Gas ideal Ξ Distancia media entre partículas que la distanciamínima de interacción (10 Å)

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Dr. A. Ozols 15

GAS IDEALGAS IDEAL

El espectro de energías de cada partícula o clase de partículas Ei

Estado del gasΞ

Especificado por el número de partículasindistinguibles de una clase en cada nivel Ei: n1, n2, n3,…..

Estado del equilibrio Ξnúmero medio departículas de cada nivel

es independiente deltiempo

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Dr. A. Ozols 16

GAS IDEALGAS IDEAL

Estado del sistema dado por los números de ocupación Ξ n1, n2 , n3,…..

El gas está integrado por N partículas idénticas sin estructura y

encerradas en volumen V

Q son las coordenadas colectivas de cada partícula (3 componentesde la posición y el spin)

si designa al estado cuántico (3 componentes del impulso, direcciónde orientación del spin) de cada partícula

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Dr. A. Ozols 17

GAS IDEALGAS IDEAL

El estado cuántico de todo el gas está definido por el conjunto denúmeros cuántico

{ }1 2, ,......, N s s s

La función de onda{ } ( )1 2 1 2, ,......, , ,........ N N s s s Q Q QΨ = Ψ

GAS CLASICO (Estadística de MaxwellGAS CLASICO (Estadística de Maxwell BoltzmannBoltzmann))

Partículas idénticas y distinguibles y pueden estar en el mismoestado cualquier número de partículas. Esta estad´stica representauna situación límite del gas cuántico

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Dr. A. Ozols 18

Existen requisitos sobre la simetría de función de onda del sistema,cuando un par de partículas son intercambiadas

El intercambio no produce un nuevo estado o cambio de la función deonda

El número de estados accesibles del gas requiere considerar a laspartículas como indistiguibles

GAS IDEALGAS IDEAL GAS CUÁNTICOGAS CUÁNTICO

Solo interesa la cantidad de partículas en cada estado

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Dr. A. Ozols 19


Los requisitos de simetría de la función de onda están relacionadoscon el spin de las partículas, existiendo dos casos

a) Partículas dea) Partículas de spinspin entero (Estadística deentero (Estadística de BoseBose -- EinsteinEinstein) BE) BECada partícula tiene spin total, en unidades ħ, enteros 0, 1, 2,….(átomos de He4, fotones, protones)

La función de onda debe ser simétrica (no cambia con el intercambiode cualquier par de partículas)

( ) ( )1 1,... ,...., ,.... ,... ,...., ,.... j i N i j N Q Q Q Q Q Q Q QΨ = Ψ

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Dr. A. Ozols 20


b) Partículas deb) Partículas de spinspin semisemi--entero (Estadística de Fermientero (Estadística de Fermi -- DiracDirac))

( ) ( )1 1,... ,...., ,.... ,... ,...., ,.... j i N i j N Q Q Q Q Q Q Q QΨ = −Ψ

Cada partícula tiene spin total, en unidades ħ, semi-enteros 1/2, 3/2,….

(átomos de He3, electrones, neutrones)

La función de onda debe ser antisimétrica (cambia con el intercambio

de cualquier par de partículas)

0Ψ = Si las partículas i y j están enel mismo estado

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Dr. A. Ozols 21

GAS IDEAL Formulación del problema estadísticoGAS IDEAL Formulación del problema estadístico

El gas de partículas idénticas en un volumen V, en equilibrio a latemperatura T

•Los estados cuánticos posibles de una partículas r (o s)

•La energía de una partícula en el estado r, r

•El número de partículas en el estado r, nr

•Los estados cuánticos posibles de todo el gas, R

Notación:

Hipótesis:

La interacción entre partículas es despreciable

1 1 2 2 3 3 ......... R r r r

E n n n nε ε ε ε = + + + = ∑ La suma se realiza sobre todoslos estados de una partícula

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Dr. A. Ozols 22


El número total de partículas es Nr

r

n N =∑

La función de partición1 1 2 2( ........) R E n n

R R Z e e

β β ε ε − − + +

= =∑ ∑La suma se realiza sobre todos los estados del gas total, para todoslos valores posibles de n1, n2, n3,…..

1 1 2 2( ........)n ne β ε ε − + +

Es la probabilidad relativa de que el gas seencuentra en un estado particular con n1partículas en el estado 1, n2 partículas en el

estado 2 …….., etc

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Dr. A. Ozols 23


El número medio de partículasen el estado s es:

1 1 2 2

1 1 2 2

( ........)

( ........)

n n

s

Rs n n

R

n e

ne

β ε ε

β ε ε

− + +

− + +=

∑

∑

1 1 2 2( ........)1

1

n n

R s

s

s

e Z

n

Z Z

β ε ε

β ε

ε

− + +⎛ ⎞∂−⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠= = −

∂

∑

1 lns

s

Z n

ε

∂= −

∂

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Dr. A. Ozols 24


Estadística de MaxwellEstadística de Maxwell BoltzmannBoltzmann

Las sumas son realizadas sobre todos los números posibles de

partículas en cada estado: 0,1,2,......r n =Los n1, n2, n3,….. sujetos a

1

r

r

N n=

= ∑Las partículas son distinguibles

El intercambio o permutación de dos partículas entre estados distintospuede considerarse como un nuevo estado distinto de todo el gas apesar que los números nr permanezcan invariantes

Es necesario especificar el número de partículas en cada estado ycuales están en el mismo

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Dr. A. Ozols 25


Estadística deEstadística de BoseBose -- EinsteinEinstein

Las sumas son realizadas sobre todos los números posibles departículas en cada estado: 0,1, 2,......r n =

Los n1, n2, n3,….. sujetos a1

r

r

N n=

= ∑

Las partículas son indistinguibles

El intercambio o permutación de dos partículas entre estados distintos

no genera un nuevo estado distinto de todo el gas

{ 1 2 3, , ,....n n nBasta especificar para definir el estado del gas

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Dr. A. Ozols 26


Estadística de FermiEstadística de Fermi -- DiracDirac

Las sumas son realizadas sobre

0,1r n =

Los n1, n2, n3,….. sujetos a1

r

r

N n=

= ∑

Las partículas son indistinguibles

El intercambio o permutación de dos partículas entre estados distintos

no genera un nuevo estado distinto de todo el gas

{ 1 2 3, , ,....n n nBasta especificar para definir el estado del gas

No puede haber más deuna partícula por estado

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Dr. A. Ozols 27

GAS IDEAL Funciones de Distribución CuánticasGAS IDEAL Funciones de Distribución Cuánticas

El número medio de partículas en el estado s es:

1 1 2 2

1 1 2 2

( ........)

( ........)

n n

s Rs n n

R

n e

ne

β ε ε

β ε ε

− + +

− + += ∑∑

1 1 2 2

1 2

1 1 2 2

1 2

( ........)

, ,.....

( ........)

, ,.....

s s

s s

s

n n n

s

n n n n

s n n

n n n

n e e

ne

β ε β ε ε

β ε ε

− − + +

≠

− + +

≠

=∑ ∑

∑

Se puede separar como el producto

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8/18/2019 6205-GASES_IDEALES (1)

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Dr. A. Ozols 29

GAS IDEALGAS IDEAL Estadística de FermiEstadística de Fermi -- DiracDirac

( ) ( ) ( )

( )ln

ln ln lns

s s s s

Z N Z N N Z N N Z N N

N α

∂− Δ = − Δ = − Δ

∂

( )

( 1)ss

s

Z N e

Z N

α =−( ) ( ) s

N

s s Z N N Z N e

α − Δ− Δ =

Como existen un estado posible sα α = ( )ln Z N

N α

∂=

∂

11s

sne

α βε += +

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Dr. A. Ozols 30

GAS IDEALGAS IDEAL Estadística de FermiEstadística de Fermi -- DiracDirac

El parámetro alfa está determinadopor la condición

r

r

N n= ∑

1 ln Z

kT N kT

μ α βμ

∂= − = − = −

∂

( )

1

1ssn e β ε μ −= +

Es obtenido a partir de

Finalmente

8/18/2019 6205-GASES_IDEALES (1)

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Dr. A. Ozols 31

1 1 2 2

1 2

1 1 2 2

1 2

( ........)

, ,.....( ........)

, ,.....

s s

s s

n n n

s

n n n ns n n

n n

n e e

ne

β ε β ε ε

β ε ε

− − + +

≠− + +=

∑ ∑

∑

0,1,2,...r n =

r

r

N n= ∑

El número medio de partículas en el estado s es:

( ) ( )( ) ( ) ( )

2

2

0 1 2 2 .....

1 2 .....

s s

s s

s s

s

s s s

e Z N e Z N n

Z N e Z N e Z N

βε βε

βε βε

− −

− −

+ − + − +=

+ − + − +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

2

1 / 2 2 / .....

1 1 / 2 / .....

s s

s s

s s s s s

s

s s s s s

Z N e Z N Z N e Z N Z N n

Z N e Z N Z N e Z N Z N

βε βε

βε βε

− −

− −

⎡ ⎤− + − +⎣ ⎦=⎡ ⎤+ − + − +⎣ ⎦

GAS IDEALGAS IDEAL Estadística deEstadística de BoseBose -- EinsteinEinstein

Las sumas se pueden desarrollar en la forma

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Dr. A. Ozols 32


( ) ( ) s N s s Z N N Z N e α − Δ− Δ =Pero la relación entre Zetas

2 2

2 2

2 .....

1 .....

s s

s ss

e e e en

e e e e

βε βε α α

βε βε α α

− −− −

− −− −⎡ ⎤+ +⎣ ⎦=

⎡ ⎤+ + +⎣ ⎦

( )

( )

1 1

r s

r s r

r s r r s

n

n n r s s

r

r s s ss n n n

r s r s

e Z n e

ne Z e

βε α

βε α

βε α βε α

β ε β ε

− +

− − ≠

≠− − − +

≠ ≠

∂ ∂− −∂ ∂

= = =∑∑

∑ ∑

ln1 ss

s

Z n

β ε

∂= −

∂

Reemplazando

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Dr. A. Ozols 33


( )

( )

1

1

r s

s

n

s

r s

Z ee

βε α

βε α

− +

− +≠

= =−

∑Como

( ) 1s β ε μ − 〉Donde se asegura la convergencia de la serie si

ln1 1

1ss

s

s

Z n

e βε α

β ε +

∂= − =∂ −

( )11s

sne

β ε μ −= −

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Dr. A. Ozols 34

GAS IDEALGAS IDEAL Estadística deEstadística de BoltzmannBoltzmann

1 1 2 2( ........) R E n n

R R

Z e e β β ε ε − − + += =∑ ∑

La función de partición del gas ideal hecha sobre todas lasconfiguraciones posibles

Las partículas ahora son distingubles

1 2 3

!! ! !.........

N n n n

Las formas posibles de distribuir las partículas en los estados departícula simple: n1 partículas en el estado 1, n2 partículas en elestado 2, etc será

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Dr. A. Ozols 35


Cada una de estas configuraciones corresponde a estados posiblesdebido a la distinguibilidad, de modo:

{ }

1 1 2 2

1 2 3

( ........)

, , ,..... 1 2 3

!

! ! !.........

n n

n n n

N Z e

n n n

β ε ε − + += ∑

Sometido a la condición r r

N n= ∑

( ){ }

( ) ( )31 2

31 2

1 2 3, , ,..... 1 2 3

!.....

! ! !.........

nn n

n n n

N Z e e e

n n n

βε βε βε −− −= ∑

Reescribiendo Z

Cada término de la suma corresponde al desarrollo de la suma

( )31 1 ......... N

Z e e e βε βε βε −− −= + + +

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Dr. A. Ozols 36


Cada término de la suma corresponde al desarrollo de la suma

( )31 1 ......... r

N N

N

r

Z e e e e βε βε βε βε

ξ −− − −⎛ ⎞= + + + = =

⎜ ⎟⎝ ⎠∑La suma entre paréntesis es la función de partición de una

partícula simple

El cálculo de esa función requiere de hacer una aproximación avariable continua, es decir la aplicación del límite clásico

8/18/2019 6205-GASES_IDEALES (1)

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Dr. A. Ozols 37

GAS IDEALGAS IDEAL – – Límite ClásicoLímite Clásico

Las componentes del vector de onda de una partícula confinadaen una caja cúbica de dimensiones Lx, Ly y Lz

( )

22 22 2 22 2 2

2 2 2

2

2 x y z y x z

n n n x y z x y z

nn nk k k

m m L L L

π

ε

⎛ ⎞= + + = + +

⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

2 2 2, ,

x x y y z z x y z

k n k n k n L L L

π π π = = =

La energía de una partícula

El número de valores de K en un intervalo K2 2 2

, , x x y y z z x y z

k n k n k n L L L

π π π Δ = Δ Δ = Δ Δ = Δ

Los valores posibles de k son más próximos entre sí cuanto mayor es elVolumen macroscópico!! El número de estados crece con la energía!!

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Dr. A. Ozols 38


( ) ( )

3 3

3 32 2 2 2 2

y x y z x z x y z x y z x y z

L L L L L L V d k n n n dk dk dk dk dk dk d k ρ

π π π π π = Δ Δ Δ = = =

El número de estados de traslación para los en

( )3 3

32

V d k d k ρ

π =

3

d k

Elemento de volumen en el espacio k

El número de estados de traslación para los p en

,k k dk ⎡ ⎤+⎣ ⎦

[ ], p p dp+

( )

3 33 3

3 3 32

p

V d p d pd p d k V

h ρ ρ

π = = =

En cambio, el número de estados [ ], p p dp+

( )3 23 4 pV

d p p dph

ρ π =

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Dr. A. Ozols 39


( ) ( ) ( )3 3 31

4 2 2 4 2 22

p

V V d p m d m m m d

h h ρ π ε ε π ε ε

ε = =

( ) ( )3/ 2 3/ 23

3 2 32 2 2

4 p

V V d p m d m d d

h ε ρ π ε ε ε ε ρ ε π

= = =

Para una partícula libre de un gas monoatómico2

2

p

mε =

( )3/ 2

2 32

4

V d m d ε ρ ε ε ε

π

=

El número de estados en intervalo de energía [ ], d ε ε ε +

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Dr. A. Ozols 40

GAS IDEALGAS IDEAL – – Cálculo de la Función de ParticiónCálculo de la Función de Partición

r

N

N

r

Z e βε

ξ −⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠∑

Volviendo al cálculo de la función de partición en el límite clásico será

La función de partición de una partícula

( )2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 x y z x y z

r

x y z

k k k k k k m m m m

r r k k k

e e e e e β β β β

βε ξ

− + + − − −− ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

Los términos sucesivos de la suma corresponden a incrementosmuy pequeños pues2k

L

π Δ =

2 2

2 22 22 x xk k m m

x x

e ek L

β β π − −⎡ ⎤∂ ⎢ ⎥∂ ⎢ ⎥⎣ ⎦

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Dr. A. Ozols 41

GAS IDEALGAS IDEAL – – Cálculo de la Función de ParticiónCálculo de la Función de Partición

Esta condición permite reemplazar la suma por una integral

2 22 2

2 22

2

2 2

x x

x

k k x xm m

x x

k

L L me e dk

β β

ξ π

π π β

∞∞ − −

=−∞ −∞

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ≈ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑

∫

( )

( )

33/ 2

3/ 2

32 32 2 2

2 2 2 2

y x z x y z

L L L m V m V mkT

h

ξ ξ ξ ξ π π π

π π π β β π

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟= ≈ = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

s

s

s

en N e e

βε βε α

ξ

− −−== s s

s

s s

N N n e e e

βε βε α

ξ

− −−= = =∑ ∑

El número de partículas a una energía

El número total de partículas

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Dr. A. Ozols 42

GAS IDEALGAS IDEAL – – Distribución de BoltzmannDistribución de Boltzmann

( )2 2 22

3

1. . . . .

x y y

x y z

p p pm

x y z

V p p p

N e e dx dy dz dp dp dph

β

α − + +−= ∫ ∫ ∫ ∫

Aplicando la aproximación clásica se calcula el número departículas

( )2 2 2 323

. . x y y

x y z

m v v v

x y z

v v v

e V N e m dv dv dv

h

β α −− + +

= ∫ ∫ ∫

( )2 2 23 23

. . x y y

x y z

m v v v

x y z

v v v

NV N m e dv dv dv

h

β

ξ

− + += ∫ ∫ ∫

( )

( )2 2 23 23/ 2 3

3

. .

2

x y y

x y z

m v v v

x y z

v v v

NV N m e dv dv dv

V mkT h

h

β

π

− + += ∫ ∫ ∫

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Dr. A. Ozols 43


( ) ( )2 2 2

3/ 2

2 . . , , . .2

x y y

x y z x y z

m v v v

x y z x y z x y z

v v v v v v

m N N e dv dv dv n v v v dv dv dvkT

β

π

− + +⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( )2 2 2

3/ 2

2, ,2

x y ym v v v

x y z

mn v v v N e

kT

β

π

− + +⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

Así es posible definir la distribución de partículas en el intervalo[ ],v v dv+

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Dr. A. Ozols 44


( )2

2 2 23/ 2 3/ 2

22 2. . 4

2 2

x y y

x y z

mvm v v v

x y z

v v v v

m m N N e dv dv dv N e v dv

kT kT

β β

π

π π

− + + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫ ∫ ∫

Otra forma de función de distribución es por intervalo del módulo de lavelocidad [v, v + dv]

23/ 2

22( ) 4

2

mvm

n v N e v

kT

β

π

π

−⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

El número de partículas de velocidad v por intervalo de velocidad dv

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