62686929-sổ-tay-cdt-Chuong-31-Dk-Thich-Nghi-Va-Phi-Tuyen

7/14/2019 62686929-sổ-tay-cdt-Chuong-31-Dk-Thich-Nghi-Va-Phi-Tuyen

http://slidepdf.com/reader/full/62686929-so-tay-cdt-chuong-31-dk-thich-nghi-va-phi-tuyen 1/14

31Thiết kế điều khiểnthích nghi và phi tuyến

Maruthi R.AkellaT he University of Texas at Austin

31.1 Giới thiệu ............................................................1

31.2 Lý thuyết Lyapunov về hệ bất biến với thời gian ..........................................................................................2

31.3 Định lý Lyapunov đối với hệ biến đổi theo thời gian .................................................................................. .3

31.4 Lý thuyết điều khiển thích nghi ......................... .4

31.5 Các hệ thống điều khiển thích nghi phi tuyến .. ..7

31.6 Ví dụ về điều chỉnh thích nghi tư thế bay cho tàu vũ trụ .................................................................... ........ ....9

31.7 Điều khiển thích nghi phản hồi đầu ra ..............11

31.8 Các bộ quan sát thích nghi và điều khiển phản hồi đầu ra ........................................................................12

31.9 Nhận xét ............................................................13

31.1 Giới thiệu

Thách thức lớn nhất cho lý thuyết điều khiển hiện đại là đem lại sự thực hiện có thể chấp nhậnđược trong khi giải quyết các mô hình không rõ, độ phi tuyến cao, và các cảm biến giá rẻ dưới mộtsố điều kiện hoạt động khác nhau. Các khó khăn không chỉ gặp ở các lớp đơn lẻ của hệ thống vàchúng xuất hiện không rõ trong các ứng dụng công nghiệp. Lúc nào cũng vậy, các hệ thống nàyluôn chứa một số lượng lớn mô hình và tham số không xác định (luôn thay đổi) vì vậy bộ điềukhiển “cố định” không thể tiếp tục đạt được sự ổn định và các chỉ tiêu chất lượng. Không có lờigiải hợp lý nào cho bài toán như vậy mà đem lại sự hòa hợp giữa lý thuyết điều khiển phi tuyến,các thành phần thích nghi, và xử lý thông tin. Các thừa số đằng sau sự xuất hiện và phát triển của

lĩnh vực điều khiển thích nghi, thúc đẩy mạnh mẽ các ứng dụng thực tế như là điều khiển quá trìnhhóa học và thiết kế máy lái tự động cho máy bay, chúng hoạt động ổn định, được chứng tỏ qua sựđa dạng của tốc độ và độ cao.

Một định nghĩa được chấp nhận rộng rãi đối với hệ thống thích nghi là: nó là một hệ vật lýđược thiết kế trên quan điểm thích nghi [1]. Tất cả tính ổn định hiện nay và các kết quả hội tụ,

1



Sổ tay Cơ điện tử

trong lĩnh vực lý thuyết điều khiển thích nghi, xoay quanh giả thiết chính đó là các tham số chưa biết phải xuất hiện tuyến tính trong mô hình chứa các đặc tính phi tuyến đã biết. Dựa trên các kháiniệm, trong suốt quá trình tạo nên tham số tự ước lượng như là các biến trạng thái, vì vậy sẽ mở rộng chiều không gian trạng thái của hệ thống ban đầu. Một cách tự nhiên, lời giải cho bài toánđiều khiển thích nghi đối với cả hệ động học tuyến tính và phi tuyến đều dẫn đến công thức biếnđổi theo thời gian một cách phi tuyến trong đó sự ước lượng của các tham số chưa biết được cậpnhật sử dụng dữ liệu vào ra. Một phương pháp thích nghi tham số (chủ yếu là phi tuyến) được sửdụng để cập nhật các tham số trong luật điều khiển. Thậm chí tính phi tuyến dựa vào phản hồithích nghi, cần chắc chắn rằng tính ổn định của hệ kín được duy trì. Vì vậy một thực tế hiển nhiênlà lĩnh vức điều khiển thích nghi và tính ổn định của hệ phi tuyến thực chất đều liên quan đến mộtvấn đề và mọi kết quả nghiên cứu trong lĩnh vực này đều thuận lợi cho việc nghiên cứu lĩnh vựckia. Nhiều công thức trong lý thuyết về tính ổn định phi tuyến có thể được tận dụng như là phương

pháp trực tiếp Lyapunov và các phương pháp dựa trên thụ động (passivity-based methods). Chúngta sẽ trình bày các kiến thức toán học quan trọng và các công cụ phân tích trước để nghiên cứu tínhổn định của hệ động học phi tuyến.

31.2 Lý thuyết Lyapunov về hệ bất biến với thời gian

Phương pháp trực tiếp Lyapunov là một trong những phương pháp phổ biến nhất được chấpnhận rộng rãi để chứng minh tính ổn định của hệ kín trong phạm vi điều khiển thích nghi. Nó

không bị hạn chế về phạm vi hệ thống( ), (0) 0 x f x f = =& (31.1)

Rõ ràng ( ) 0 x t = là một nghiệm. Điều kiện đủ để tồn tại duy nhất nghiệm phương trình (31.1)

là ( ) f x bị chặn (locally Lipschitz), tức là,

( ) ( ) f x f y L x y− ≤ − (31.2)

với mọi x và y trong lân cận điểm ban đầu. Chúng ta cần nghiệm phương trình (31.1) ổn định vớisự có mặt của nhiễu. Trước khi trình bày về định lý định của Lyapunov, ta trình bày một số địnhnghĩa quan trọng.

Định nghĩa: Ổn định Lyapunov

Nghiệm x(t) = 0 của phương trình (31.1) được gọi là ổn định theo tiên chuẩn Lyapunov nếu vớimọi 0ε > , luôn tồn tại ( ) 0δ ε > sao cho tất cả các điều kiện thỏa mãn (0) x δ < ta luôn có

(0) x ε < với [0, )t ∈ ∞ . Nghiệm là ổn định tiệm cận nếu nó là ổn định tại đó và luôn tồn tại

0δ > sao cho tất cả các điều kiện đầu thỏa mãn (0) x δ < ta luôn có tính chất

lim ( ) 0t

x t →∞

=

Nghiệm là ổn định tiệm cận toàn cục nếu nó ổn định tiệm cận tại tất cả các điều kiện đầu. Cácđịnh nghĩa này liên quan đến sự ổn định của các nghiệm riêng của phương trình (31.1) với điềukiện đầu và không ổn định với các phương trình vi phân.

Định nghĩa: Hàm xác định dương và hàm bán xác định dương

Một hàm liên tục V: n R R− > được gọi là hàm xác định dương nếu (i) (0) 0V = và (ii)( ) 0V x > với mọi 0 x ≠ . Một hàm là bán xác định dương nếu điều kiện (ii) được thay bằng

( ) 0V x ≥ với mọi 0 x ≠ .

Định lý: Định lý về tính ổn định của Lyapunov cho hệ bất biến với thời gian

2



Thiết kế điều khiển thích nghi và phi tuyến

Nếu luôn tồn tại một hàm xác định dương V: n R R− > sao cho đạo hàm theo thời gian của V

với nghiệm ( ) x f x=g

được cho bởi

( )T T

d V V V x f x

dt x x

∂ ∂ = = ∂ ∂

&

là bán xác định âm, khi đó nghiệm ( ) 0 x t = của phương trình (31.1) là ổn định. Trong trường hợp

này, nghiệm đó hội tụ trong miền n{x R : ( ) 0}V x∈ =g

. Nếu V •

là xác định âm, khi đó nghiệm sẽ

là ổn định tiện cận. Hơn nữa, nếu V •

là xác định âm và ( )V x − > ∞ khi x− > ∞ , khi đó nghiệm là

ổn định tiệm cận toàn cục. Hàm ( )V x được gọi là hàm Lyapunov cho hệ được miêu tả trong phương trình (31.1).

Nhận xét: Định lý Lyapunov, mặc dù đi từ trạng thái đơn giản, nhưng có ứng dụng rất lớntrong việc phân tích tính ổn định của hệ phi tuyến. Tuy nhiên, vì định lý này chỉ cung cấp điềukiện đủ dưới dạng hàm Lyapunov, nên chúng ta thường gặp phải vấn đề khó trong việc đi tìm hàmLyapunov phù hợp. Trong trường hợp đặc biệt khi phương trình (31.1) là một hệ tuyến tính ổnđịnh,

m x A x=&

một hàm Lyapunov toàn phương T V x Px= tồn tại khi P là một ma trận xác định dương đối xứngthỏa mãn phương trình được gọi là phương trình Lyapunov

T

m m A P PA Q+ = − (31.3)

với Q là một ma trận xác định dương đối xứng bất kỳ. Ngoài ra, không còn cách tổng quát nào đểxây dựng hàm Lyapunov cho hệ phi tuyến. Giống như quy tắc ngón tay cái, trong trường hợp làcác hệ cơ khí, đầu tiên cần xác định các đại lượng “kiểu năng lượng”.

31.3 Định lý Lyapunov đối với hệ biến đổi theo thời gian

Bây giờ chúng ta xét tính ổn định của nghiệm phương trình vi phân biến đổi theo thời gian

(nonautonomous)( , ), (0, ) 0 0 x g x t g t t = = ∀ ≤& (31.14)

Hàm g được giả thiết là liên tục trên từng đoạn đối với t và bị chặn Lipschitz (locally Lipschitz)với lân cận nghiệm ( ) 0 x t = . Điều này đảm bảo sự khởi tạo trạng thái cân bằng của phương trình(31.4). Để nghiên cứu về tính ổn định cân bằng của hệ thống không dừng (nonautonomous), phảinhận ra rằng mọi nghiệm của phương trình (31.4) không những phụ thuộc vào thời gian t mà còn

phụ thuộc vào thời gian khởi tạo 0t . Vì vậy, chúng ta cần xem lại định nghĩa về tính ổn định trướcđây.

Định nghĩa: Tính ổn định bất biến Lyapunov

Nghiệm x(t)=0 của phương trình (31.4) là ổn định bất biến nếu với mọi 0ε > , luôn tồn tại

( ) 0δ ε > không phụ thuộc vào thời gian khởi tạo t0 tức là:

0 0( ) ( ) 0 x t x t víi t t δ ε < ⇒ < ∀ ≥ ≥

3




Nghiệm là ổn định tiệm cận bất biến nếu nó là ổn định bất biến và một hằng số dương ρ

không phụ thuộc vào t0 tức là ( ) 0 x t − > khi t − > ∞ với mọi 0( ) x t ρ < . Nghiệm là ổn định tiệm

cận bất biến toàn cục nếu nó là ổn định tiệm cận bất biến với mọi điều kiện đầu.

Định lý về tính ổn định cho hệ phi tuyến không dừng yêu cầu xác định lớp hàm K xác định.

Định nghĩa: Lớp hàm K

Một hàm liên tục :[0,a) [0, )α → ∞ được gọi là thuộc lớp hàm K nếu nó đơn điệu tăng và

(0) 0α = . Nó được gọi là thuộc lớp hàm K ∞ , hay tiến tới vô cùng, nếu a = ∞ luôn tồn tại( )r α → ∞ khi r → ∞ .

Định lý: Định lý về sự ổn định của Lyapunov cho hệ biến đổi với thời gian

Xét miềnn{x R : } D x R= ∈ ≤ cân bằng với (0) 0 x = của phương trình (31.4). Nếu luôn tồn

tại một hàm vô hướng :nV R xR R

+

→ với các đạo hàm riêng liên tục tức là

i. 1 2( ) ( , ) ( ) x V x t xα α ≤ ≤ xác định dương và giảm

ii. 3( , ) ( )T

V V V g x t x

t xα

∂ ∂ = + ≤ ∂ ∂

&

với mọi 0t ≥ , trong đó 1α , 2α và 3α là lớp hàm K, khi đó điểm cân bằng 0 x = là ổn định tiệm

cận bất biến. Nhận xét : Chú ý rằng để trình bày tính ổn định của hệ phí tuyến không dừng, cần giới hạn hàm

( , )V x t bởi các lớp hàm K không phụ thuộc vào thời gian t. Một cách giải quyết chi tiết của tất cảcác định nghĩa và chứng minh của định lý này bạn đọc có thể xem trong Slotine và Li [2] và Khalil[3].

Nhận xét: Trong những năm gần đây, định lý đảo Lyapunov đã đạt được một số kết quả tốt. Cụthể là tất cả các hệ thống ổn định bất biến (hoặc ổn định tiệm cận bất biến), luôn tồn tại một hàmLyapunov xác định dương có đạo hàm theo thời gian là bán xác định âm (xem Sastry và Bodson[4]). Các kết quả này rất hữu ích cho chất lượng của hệ kín bởi vì nó cho phép ước lượng một cáchrõ ràng các tốc độ hội tụ cho nhiều trường hợp của hệ điều khiển thích nghi phi tuyến.

Ứng dụng của định lý ổn định của Lyapunov cho hệ không dừng vượt ra khỏi điều khiển thíchnghi, nó thường dẫn đến đạo hàm bán xác định âm của hàm Lyapunov. Vì vậy, việc phân tích tínhổn định tiệm cận là một bài toán khó hơn nhiều và kết quả sau đây, được coi như là bổ đề Barbalat,rất hữu ích cho trường hợp này.

Bổ đề: Barbalat

Xét một hàm liên tục bất biến : R Rφ → tập xác định là tất cả các giá trị thức 0t ≥ . Nếu

0lim ( )

t

t s dsφ

→∞ ∫

tồn tại và có giới hạn, thì ( ) 0t φ → khi t → ∞ .

Nhận xét: Một hệ quả của bổ đề này là nếu 2 Lφ ∈ và Lφ ∞∈ , thì ( ) 0t φ → khi t → ∞ (XemSlotine và Li [2] và Tao [3] để xem trình bày và chứng minh).

31.4 Lý thuyết điều khiển thích nghiKhác với một bộ điều khiển cố định (fixed) hay bộ điều khiển truyền thống, một bộ điều khiển

thích nghi là một bộ điều khiển có các tham số có thể chỉnh được và một cơ chế điều chỉnh. Sauđây là các khái niệm cơ bản cần cho mọi trình bày về lý thuyết điều khiển thích nghi.

4




Bài toán điều chỉnh và bài toán điều khiển bám

Mục đích của mọi bài toán điều khiển là duy trì giá trị đầu ra luôn giữ một giá trị mong muốnhoặc nằm trong giải xác định (có thể chấp nhận được) của giá trị mong muốn. Nếu các giá trịmong muốn này là hằng số với thời gian, thì chúng ta có bài toán điều khiển điều chỉnh, còn lại là

bài toán điều khiển bám.

Nguyên lý tương đương chắc chắn (Certainty Equivalence Principle)

Nguyên tắc này là nền tảng của hầu hết các phương pháp thiết kế điều khiển thích nghi và đãnhận được vị trí to lớn trong hai thập kỷ qua [4, 6, 7]. Bộ điều khiển thích nghi dựa trên phương

pháp này có được bằng cách thiết kế một luật điều khiển độc lập để đạt được mục đích điều khiểngiả thiết là đã biết tất cả các tham số của mô hình chưa biết (trường hợp tiền định), cùng với mộtluật cập nhật tham số, đó thường là một phương trình vi phân để tạo ra các ước lượng tham số trựctuyến sử dụng để thay thế các tham số chưa biết trong luật điều khiển. Như là một bộ điều khiển đãhoàn thiện với khả năng bám đầu ra trong trường hợp các tham số mô hình biết chính xác. Hiện tạichưa xác định được các tham số, cơ cấu chỉnh định sẽ chỉnh các tham số bộ điều khiển sao chomục đính bám được thiết kế một cách tiệm cận. Vấn đề chủ yếu trong thiết kế bộ điều khiển thíchnghi là để tạo ra cơ cấu chỉnh định (luật cập nhật tham số) nó sẽ đảm bảo rằng hệ thống điều khiểnvẫn ổn định và sai lệch bám đầu ra hội tụ về 0 khi các giá trị tham số được cập nhật.

Điều khiển thích nghi trực tiếp và thích nghi gián tiếpCó hai phương pháp khác nhau trong điều khiển thích nghi cho các mô hình có chứa các tham

số chưa biết hay chưa xác định. Phương pháp thứ nhất được gọi là phương pháp trực tiếp, cáctham số của bộ điều khiển được chỉnh trực tiếp bởi cơ cấu thích nghi bằng cách tối ưu các chỉ tiêuchất lượng đã xác định được trước dựa trên đầu ra. Phương pháp thứ 2 là phương pháp gián tiếp,các tham số mô hình được ước lượng trực tiếp và được cập nhật bằng luật thích nghi và các giá trịđược ước lượng này thì được sử dụng để tính toán các tham số bộ điều khiển. Điều khiển thíchnghi trực tiếp không cần thêm sự tính toán này. Do đó, điều khiển thích nghi gián tiếp là thích nghitham số mô hình, ngược lại điều khiển thích nghi trực tiếp là thích nghi kết quả đầu ra. Quá trìnhnhận dạng tham số mô hình trong phương pháp gián tiếp là “hiện” (explicit) trong khi đó trong

phương pháp trực tiếp là ngầm (không rõ ràng). Vì vậy, chúng còn được gọi là phương pháp ngầmvà phương pháp hiện. Trong cả hai trường hợp này thì cấu trúc bộ điều khiển vẫn giống nhau và

được xác định từ nguyên tắc cân bằng điều hoà.

Điều khiển thích nghi có mô hình tham chiếu

Cấu trúc bài toán điều khiển MRAC (Model Reference Adaptive Control) gồm 4 phần: (i) môhình chứa các tham số chưa biết, (ii) mô hình theo dõi phù hợp để xác định các đặc tính đầu ramong muốn, (iii) một luật điều khiển phản hồi chứa các tham số có thể điều chỉnh, và (iv) một cơ cấu thích nghi để cập nhật các tham số có thể chỉnh với luật điều khiển trên. Như hình 31.1.

Mô hình đối tượng được giả thiết là có cấu trúc đã biết với các tham số chưa biến. Trongtrường hợp các hệ tuyến tính, nghĩa là số điểm cực và điểm không giả thiết là đã biết, nhưng vị tríchính xác của các điểm cực và điểm không thì chưa biết. Đối với hệ phi tuyến, cấu trúc của các

phương trình ảnh hưởng đến chuyển động được giả thiết là đã biết, nhưng một vài tham số xuấthiện tuyến tính trong các phương trình này thì chưa biết. Mô hình theo dõi xác định đầu ra lý

tưởng nhận được từ mô hình là một kết quả của đầu vào tham chiếu ngoài. Nó cung cấp đáp ứngcủa mô hình lý tưởng cho cơ cấu thích nghi tìm để bám theo trong khi cập nhật tham số ước lượng.

Chọn mô hình theo dõi là trọng tâm của thiết kế MRAC và mọi sự lựa chọn có thể chấp nhậnvề cơ bản phải thoả mãn hai yêu cầu. Yêu cầu thứ nhất là mô hình theo dõi đó phải phản ánh chínhxác các chỉ tiêu chất lượng của hệ kín. như là rise time, setting time, độ quá điều chỉnh (overshoot)

5




và các chỉ tiêu chất lượng khác. Yêu cầu thứ hai được giả thiết là cấu trúc động học mô hình, hoạtđộng đầu ra mô hình tham chiếu nên được thiết kế tiệm cận bởi hệ thống điều khiển thích nghi dẫnđến phải cần thêm các điều kiện về quan hệ của mô hình tham chiếu và các điều kiện kích thíchliên tục trên đầu vào tham chiếu. Cấu trúc bộ điều khiển được ra lệnh bằng nguyên lý tương đươngchắc chắn và cả 2 thủ tục cập nhật tham số trực tiếp và gián tiếp đều có thể được chọn với mô hìnhđiều khiển MRAC. Phương pháp này đã giải quyết được rất nhiều bài toán với hệ liên tục.

Hình 31.1 Cấu trúc điều khiển thich nghi có mô hình tham chiếu

Hình 31.2 Cấu trúc của bộ điều khiển tự chỉnh

Bộ điều khiển tự chỉnh (STC)

Trái với điều khiển MRAC, không có mô hình trong thiết kế bộ điều khiển tự chỉnh. Biểu đồcủa thiết kế STC như hình 31.2. Trong công thức này, các thông số của tham số hệ thống được ướclượng trong thời gian thực, phụ thuộc vào nó là phương pháp trực tiếp hay gián tiếp. Các ướclượng này vì thế mà được sử dụng như là chúng đã bằng các tham số thực (thiết kế tương đươngchắc chắn). Việc ước lượng tham số bao hàm việc tìm ra bộ tham số phù hợp nhất dựa trên dữ liệuvào/ra của hệ thống. Điều này thì khác với kiểu thích nghi tham số MRAC ước lượng tham sốđược cập nhật bằng cách thiết kế bám tiệm cận sai lệnh giữa hệ thống thật và mô hình theo dõi.

Trong nhiều trường hợp phương pháp ước lượng STC, cũng có thể đánh giá tiêu chuẩn chấtlượng của việc ước lượng tham số, nó được sử dụng trong thiết kế bộ điều khiển. Nhiều sự kết hợp

khác nhau của các phương pháp ước lượng được chấp nhận và cung cấp cho cả hệ liên tục và hệrời rạc. Do có sự “tách biệt” giữa ước lượng tham số và điều khiển trong STC, nên linh hoạt hơntrong thiết kế. Tuy nhiên, tính ổn định và sự hội tụ thì khó chứng minh và các điều kiện khắt khehơn về yêu cầu của các tín hiệu đầu vào (kích thích liên tục) để đảm bảo hội tụ tham số. Như đãnói ở trên, thiết kế STC đã xuất hiện trong việc nghiên cứu bài toán điều chỉnh ngẫu nhiên vànhiều lý thuyết dành cho hệ rời rạc sử dụng phương pháp gián tiếp. Mặc dù dường như có sự khác

6




nhau giữa MRAC và STC, nhưng một sự tương ứng trực tiếp tồn tại giữa các bài toán từ 2 miềntrên.

31.5 Các hệ thống điều khiển thích nghi phi tuyến

Đối với hầu hết các trường hợp tổng quát của hệ phi tuyến, có rất nhiều lý thuyết bị giới hạn bởi lĩnh vực điều khiển thích nghi. Thậm chí lĩnh vực này rất được quan tâm nhờ vào các ứng

dụng tiềm năng trong sự đa dạng của các hệ cơ phức tạp. Nhiều khó khăn trong nghiên cứu lýthuyết tồn tại bởi vì thiếu các công cụ phân tích tổng quát. Tuy nhiên, các trường hợp đặc biệtquan trọng sẽ được trình bày ở đây, và chúng ta tổng kết các điều kiện mà các lớp hệ thống đó thỏamãn:

1. Các tham số chưa biết trong hệ phi tuyến được tham số hoá một cách tuyến tính

2. Vec tơ trạng thái hoàn toàn đo được

3. Khi các tham số chưa biết được giả thiết là đã biết, đầu vào điều khiển có thể bỏ qua tấtcả các tính chất phi tuyến theo hướng tuyến tính hóa phản hồi và các thành phần độnghọc bên trong còn lại phải ổn định. Sau đó thiết kế thích nghi thực hiện được bằngnguyên lý tương đương tuyệt đối.

Bây giờ chúng ta giới thiệu một phương pháp MRAC điển hình để giải quyết trường hợp môhình hệ phi tuyến không biết các tham số bên trong nó. Xét hệ phi tuyến

( ) x f x uθ = +& (31.5)

trong đó θ là một tham số ma trận hằng chưa biết, và f là một hàm vec tơ phi tuyến có đạo hàm vàđã biết. Tương tự với phương pháp MRAC, chúng ta giả sử rằng nó là lý tưởng để có trạng thái x

bám tiệm cận với trạng thái xm của hệ tham chiếu thỏa mãn

m m m x A x r = +& (31.6)

trong đó r(t) là đầu vào tham chiếu được giới hạn và liên tục trên từng đoạn và A m là ma trậnHurwitz. Đưa vào một vec tơ sai số me x x= − vì vậy động học của sai lệch có thể được thiết lập

bằng cách trừ hai phương trình (31.5) và (31.6) như sau:

( ) m me f x A x r uθ = − − +& (31.7)

Nếu tham số θ được giả thiết là đã biết, chọn đầu vào điều khiển ( )mu A x r f xθ = + − làm chođộng học của sai lệch có cấu trúc sau:

me A e=&

lẽ ra đã thiết kế được mục tiêu điều khiển. Tuy nhiên, không thể chọn được luật điều khiển vì θ chưa biết. Do đó chúng ta vẫn giữ lại cấu trúc này đề tìm luật điều khiển, thay θ bằng ước lượng

biến đổi với thời gian do vậy luật điều khiển thích nghi dựa trên nguyên lý tương đương tuyệt đốithì cho bởi công thức

ˆ ( )mu A x r f xθ = + − (31.8)

Ghép vào luật điều khiển trong phương trình (31.7) cho ta động học của hệ kín như sau:

( )m

e A e f xθ = − %& (31.9)

trong đó chúng ta đã đưa ra biến~

( )t θ để miêu tả sai lệch ước lượng tham số~

( )t θ θ − . Có 2 việc

còn lại phải làm là: (i) chỉ rõ tính ổn định và độ hội tụ tiệm cận của ( )e t tiến tới 0 khi t → ∞ , (ii)

7




đưa ra một cơ cấu chỉnh định tham số cho~

( )t θ . Chúng ta hoàn thành cả hai việc trên bằng cách

chọn phương pháp Lyapunov. Giả thiết m A là Hurwitz, đối với mọi cách chọn ma trận xác định

dương và đối xứng Q, luôn tồn tại một ma trận xác định dương, đối xứng P thỏa mãn phương trìnhLyapunov cho bởi (31.3). Chọn hàm Lyapunov dưới dạng một ma trận P,

1[ ]T T V e Pe tr θ θ −= + Γ % % (31.10)

trong đó Γ là ma trận tỷ lệ học xác định dương đối xứng. Đạo hàm V theo thời gian và kết hợpvới nghiệm của phương trình (31.9) ta có

1( ) 2 ( ) 2 [ ]T T T T

m mV e PA A P e e P f x tr θ θ θ −= + − + Γ &% % %& (31.11)

Sử dụng các phép đồng nhất vết ma trận, [9] ta được biểu thức sau

( ) [ ( ) ] [ ( ) ] [ ( )]T T T T T e P f x tr P f x e tr f x e P tr Pef xθ θ θ θ = = =% % % %

vì vậy chúng ta có thể kết hợp 2 biểu thức bên vế phải của phương trình (31.11) như sau:

1( 2 [ { ( )}]T T T

m m

Q

V e PA A P e tr Pef xθ θ −

−

= + + Γ −&% %&

1 4 2 4 3 (31.12)

Với θ là hằng số, 0θ •

= và ^ ~

θ θ • •

= . Vì vậy, nếu luật thích nghi để cập nhật~

θ được chọn là:

ˆ ( )T Pef xθ = Γ & (31.13)

thì đạo hàm của hàm Lyapunov trong phương trình (31.12) trở thành

T V e Qe= −& (31.14)

nó là hàm bán xác định âm, nhưng nó không xác định âm. Điều này dẫn đến ( ) (0)V t V ≤ với mọi

0t ≥ và vì thế e và^

θ phải được giới hạn. Điều này dẫn đến m x e x= + cũng được giới hạn.

Ngoài ra ( ) 0V t ≥ và (0) 0V ≤ , nghĩa là lim ( )t V t V →∞ ∞= tồn tại và có giới hạn.

0 0( ) ( ) ( ) (0)T V d e Qe d V V τ τ τ τ τ

∞ ∞

∞= − = −∫ ∫ &

dẫn đến 2 1e L L∈ ∩ . Từ phương trình (31.9), hiển nhiên rằng e L•

∞∈ . Vì vậy, chúng ta có thể dùng

bổ để Barbalat để chứng minh ( ) 0e t → khi t → ∞ . Lưu ý rằng, mặc dù, sai lệch tham số~ ^

θ θ θ = − không cần thiết phải hội tụ về 0. Nhưng việc hội tụ của tham số thật có thể chỉ xuất hiện

khi đầu vào tham chiếu r(t) thỏa mãn tính quan sát bất biến và các điều kiện kích thích liên tục [4].

Nhận xét: Chú ý trong thiết kế MRAC ở trên trong khi sự ổn định và sự hội tụ của sai lệch bámđược đảm bảo cho mọi giá trị của m A , Q và Γ , chất lượng của bộ điều khiển sẽ phụ thuộc rấtnhiều vào tỷ lệ học (learining rate) Γ . Tỷ lệ học nhỏ hơn nghĩa là sự thích nghi sẽ chậm hơn dẫnđến sai lệnh bám lớn và sự tạm thời lớn (transients). Ngược lại, giới hạn trên của tỷ lệ học được

giới hạn bởi sự có mặt của động học phi mô hình. Bởi vì một giá trị quá lớn cho tỷ lệ học sẽ dẫntới ước lượng tham số dao động cao, nó có thể kích thích bất lợi cho động học đối tượng phi môhình tần số cao.

Nhận xét: Phương pháp thiết kế bộ điều khiển được dựa trên 3 bước chủ yếu trên: (i) tìm cấutrúc bộ điều khiển thích hợp với tư tưởng (spirit) tuyến tính hóa phản hồi, (ii) đạo hàm động học

8




sai lệch bám thành phần phụ thuộc vào phạm vi sai lệch tham số, và (iii) tìm một hàm Lyapunov phù hợp, sử dụng để nhận được luật cập nhập tham số sao cho sai lệch bám sẽ về 0. Trong trườnghợp xác định cấu trúc bộ điều khiển tham số đã biết thì bước chủ yếu nhất nằm trong thiết kế thíchnghi nào đó bởi vì phần lớn quan điểm cho rằng tuyến tính hóa phản hồi thich nghi không thể luônluôn ứng dụng được vào các hệ thống đã tuyến tính hóa phản hồi trong trường hợp tham số đã biết.Điều này xẩy ra bởi vì các đạo hàm bậc cao của ước lượng tham số xuất hiện trong luật điều khiểnvới hệ thống bậc cao hơn, làm khó ứng dụng nguyên tắc tương đương tuyệt đối. Các phương phápmới khác không giống với nguyên tắc tương đương tuyệt đối như cuốn chiếu (backstepping) tích

phân, suy giảm phi tuyến, và các hàm chỉnh [10]. Trong các phương pháp này, các luật thích nghiước lượng các tham số đối tượng chưa biết một cách trực tiếp, do đó cho phép tận dụng toàn bộkiến thức trước và vì vậy loại trừ khả năng tràn tham số hóa đã giới thiệu trong phương phápMRAC trực tiếp truyền thống. Phương pháp thiết kế và kiểm chứng ổn đinh đạt được thông quaquá trình đệ quy [10, 11], Tổng quan về vấn đề này có thể thấy từ Kokotovic [12] và các kết quảcủa nhóm nghiên cứu của ông sau này.

Nhận xét: Với thực tế là luôn tồn tại các sai lệch mô hình và các hiệu ứng của nhiễu chưa biết,cùng với các tham số chưa biết, các giải pháp điều khiển thích nghi phải hướng tới bài toán bềnvững. Sai lệch tham số luôn không biết, đạo hàm theo thời gian hàm Lyapunov luôn bán xác địnhâm. Điều này dẫn đến phương trình hệ kín không ổn đinh theo hàm mũ, thậm chí cũng không ổn

định tiệm cận bất biến. Nhiễu phi mô hình hoặc nhiễu ngoại làm V •

bất định ngay lập tức, và hầu

hết các phương pháp biến đổi để chứng minh bền vững ổn định được cố định để đảm bảo V

•

là âmngoài khoảng lân cận của trạng thái cân bằng. Bằng việc đưa vào thêm một số hạng trong luật điềukhiển thích nghi trong phương trình (31.13), (xem như là bộ biến đổi σ ), Ioannou [7] thực hiệntính ổn định bền vững. Phương pháp này, mặc dù rất phổ biến, nhưng có nhiều mặt hạn chế khi cácnhiễu đã bị loại bỏ, sai lệnh bám không thể hội tụ về 0. Để vượt qua vấn đề này, các hướng khácnhư thay đổi ε [6] đã được đề xuất để bảo đảm bền vững trong thiết kế thích nghi.

31.6 Ví dụ về điều chỉnh thích nghi tư thế bay cho tàu vũ trụ

Xét bài toán của tàu vũ trụ với một tư thế ban đầu khác không và vec tơ vận tốc góc của vật đãđược đưa về vec tơ vị trí 0. Bài toán điều chỉnh tư thế thích nghi đối tượng cứng này dựa trên

phương pháp tuyến tính hóa phản hồi đã được giải quyết bởi Schaub, Akella, và Junkins [13]. Các phương trình chủ yếu được miêu tả bởi phương trình quay Euler của sự chuyển động và động họchệ kín tuyến tính mong muốn (LCLD – linear closedloop dynamics) có thể hoặc như là dạng PDhoặc dạng PID[13, 14]. Giả thiết chỉ có ước lượng thô mô men của ma trận quán tính được là đã

biết. Luật điều khiển thích nghi được trình bày bao gồm một số hạng phản hồi nguyên trong độnghọc của hệ kín mong muốn và thiết kế ổn định tiệm cận ngay khi có nhiễu ngoại phi mô hình.

Kết quả mô phỏng được minh họa như hình 31.3. vec tơ tư thế (attitude vector) được xác địnhdưới dạng tham số Rodrigues biến đổi (MRP – modified Rodrigues parameter) mà thành phần củanó i

σ như hình 31.3(a). Chưa có bộ chỉnh định, hệ hở vẫn ổn định tiệm cận. Tuy nhiên, sai lệch tưthế tức thời không tốt bằng LCLD mong muốn. Khi có cơ cấu chỉnh định, chất lượng rất gần vớiLCLD lý tưởng.

9




(a) vec tơ tư thế MRP σ (b) Biên độ vec tơ tư thế σ

(c) vec tơ điều khiển u (Nm) (d) Ước lượng mô men ngoại thích nghi (Nm)

(e) Sai lệch r σ σ − (f) Sai lệch t

σ σ −g g

Hình 31.3 Sự ổn định của vật cứng khi thực hiện LCLD trong điều kiện quán tính lớn và không biết nhiễu bên ngoài

Hình 31.3 (b) minh họa biên độ của vec tơ sai lệch tư thế MRP σ trên đồ thị logarit. Sai số tứcthời lớn của hệ hở, luật điều khiển thích nghi tự do được hiện thị trong vòng 20s đầu của quá trình

10




cùng với các đặc tính hội tụ cuối cùng tốt. Sự biểu diễn động học hệ kín tuyến tính lại được chỉ ra bằng đường chấm chấm. Hai phiên bản của luật điều khiển thích nghi được so sánh ở đây, chúngchỉ khác là có và không có nhiễu ngoại cũng được ước lượng thích nghi. Trong hình này cả 2 luậtthích nghi xuất hiện để làm cho động học hệ kín tuyến tính rất tốt trong 40s giây đầu của quá trình.Sau đó luật thích nghi không học nhiễu bắt đầu suy yếu ở một tỷ lệ chậm hơn, thậm chí hơn cả giải

pháp hệ hở (không thích nghi). Mặc dù có nhiễu ngoài, nhưng sự thích nghi cải thiện đáng kể tỷ lệhội tụ cuối cùng. Lưu ý, mặc dù, cũng không phải trường hợp thích nghi bắt đầu nhận được từtrường hợp động học hệ kín tuyến tính lý tưởng nhưng biên độ sai lệch tư thế MRP đã bị suy giảmxuống xấp xỉ 10-3. Điều này tương ứng với sai lệch góc quay chủ yếu khoảng xấp xỉ 0.230. Với sựthích nghi nhiễu ngoài, sai lệch bám so với LCLD xuất hiện gần với bậc 2 của biên độ nhỏ hơn.

Hiệu suất của luật điều khiển thích nghi có thể bị thay đổi lớn bằng việc chọn tỷ lệ học khácnhau. Tuy nhiên, từ khi ma trận quán tính khởi tạo lớn và sai lệch mô hình nhiễu ngoài xuất hiện,tỷ lệ học đã bị giảm để tránh các mô men chuyển tiếp lớn. Các thành phần vec tơ mô men điềukhiển iu cho vài trường hợp thì như hình 31.3(c). Các mô men hệ hở không đến gần mô menLCLD lý tưởng trong khoảng thời gian tức thời. Các mô men được yêu cầu bởi trường hợp thíchnghi khác thì rất giống nhau. Sự khác nhau đó chỉ là trường hợp học nhiễu ngoài gây ra vài daođộng của điều khiển trường hợp động học hệ kín tuyến tính. Tuy nhiên, chú ý rằng với tỷ lệ họcthích nghi được chọn thì luật điều khiển hoặc chứng tỏ các mô mên từ trễ tức thời gần với mô menLCLD lý tưởng. Hình 31.3(d) minh họa ước lượng nhiễu ngoại thích nghi đó e F thật vậy tiệm cậnnhiễu ngoại sinh thực bằng cách giảm tỷ lệ học thích nghi nhiễu ngoại và giữ các sai lệch ướclượng thích nghi tức thời trong dải hợp lý.

Hình 31.3(f) minh họa sai lệch thực hiện tuyệt đối (absolute performance error). Cả 2 trườnghợp có cơ cấu chỉnh định và không có cơ cấu chỉnh định. Ta thấy trong trường hợp có cơ cấu thíchnghi sai lệch giảm đáng kể so với trường hợp không có cơ cấu thích nghi.

Mục đích của điều khiển thích nghi đã trình bày trong ví dụ này là để tiến tới LCLD mongmuốn. Các hình trên minh họa rằng kết quả toàn bộ phần còn lại của hệ thống ổn định tiệm cận.Hình 31.3 (e) minh họa sai lệch hiệu suất tuyệt đối giữa chuyển đổng thật ( )t σ và chuyển động

tham chiếu tuyến tính lý tưởng ( )r t σ . Hình này minh họa lại sai lệch hiệu suất lớn kết quả này từviệc sử dụng luật điều khiển hệ hở với mô hình hệ thống chưa chính xác. Thêm cơ cấu thích nghicải thiện việc thực thi tức thời bám đếm bậc 2 của biên độ. Không có việc học nhiễu ngoài, tỷ lệsuy giảm sai lệch thực hiện cuối cùng trải phẳng. Sai lệch này sẽ suy giảm về 0. Tuy nhiên, với các

hệ số học đã cho nó làm tỷ lệ này chậm hơn cả khi không dùng cơ cấu thích nghi. Thêm việc họcnhiễu ngoài cải thiện đáng kể sự suy giảm sai lệch thực hiện cuối cùng từ khi hệ thống đạt đượcmột mô hình chính xác của nhiễu hằng thực. Nếu ước lượng mô hình ban đầu càng chính xác, tỷ lệhọc thích nghi càng cao, kết quả thậm chí còn tốt hơn hiệu suất theo rõi của LCLD. Với sự mô

phỏng này nó có thể bám LCLD mong muốn rất tốt ngay cả với hệ thống lớn có mô hình không rõ.

31.7 Điều khiển thích nghi phản hồi đầu ra

Trái với các phương pháp không gian trạng thái, phương pháp vào-ra coi đối tượng như là mộthộp đen biến đổi các đầu vào được cung cấp sang không gian đầu ra tương ứng. Lý thuyết ổn địnhcho hệ phi tuyến nhìn từ góc độ vào-ra thì rất quan trọng trong trường hợp thiết kế điều khiển phảnhồi đầu ra thích nghi. Giải pháp cho bài toán thiết kế bộ quan sát thích nghi cần phải ước lượngtrạng thái của hệ thống với các tham số chưa biết đang đạt được tiến bộ theo cách giải quyết bài

toán điều khiển phản hồi đầu ra. Gần đây đã có những sự tiến bộ trong giải pháp này ở đó thủ tụcthiết kế bộ quan sát thích nghi phi tuyến đã được mở rộng hơn với trường hợp tổng quát các hệ sốkhuyếch đại của các tham số chưa biết phụ thuộc vào toàn bộ trạng thái, và không hiệu chỉnh đượctrên phần đo [15].

11




Trong phạm vi lớn, các kết quả hữu hiệu đã được làm bằng cách kết hợp các điều kiện “như là bị động” (passivitylike) với các điều kiện kích thích liên tục thông thường. Nội dụng chủ yếu trongmục này là khái niệm của tính bị động, nó gần như là một trình bày vắn tắt về ý tưởng tiêu thụnăng lượng trong cả hệ thống tuyến tính và phi tuyến. Hệ bị động có hầu hết trong các ứng dụngcơ khí và kỹ thuật điện. Một hệ thống cơ khí gồm khối lượng, tính đàn hồi và giảm chấn nhớt làmột ví dụ điển hình cho hệ bị động. Sau đây là các định nghĩa.

Định nghĩa: Chặt tín hiệu

Cho Y là miền xác định của hàm giá trị thực được định nghĩa trong khoảng [0, )∞ . x là một phần tử của Y. Khi đó hàm chặt của x tại T>0 được định nghĩa

( ) 0( )

0T

x t t T x t

t T

≤ ≤=

>

Định nghĩa: Không gian mở rộng

Nếu X là một tập con tuyến tính của Y, thì không gian mở rộng e X được định nghĩa bởi tập

{ : 0}T x Y x X T ∈ ∈ ≥ với vài giá trị T

Tập mở rộng 2 L được bao hàm bởi 2e L

Định nghĩa: Tích vô hướng của 2 tín hiệuTính vô hướng của 2 tín hiệu biến đổi theo thời gian 2, e x y L∈ được định nghĩa là

0 0( ) ( ) ( ) ( )

T T T x y x y d x y d τ τ τ τ τ τ

∞⟨ ⟩ = =∫ ∫

Định nghĩa: Hệ thống thụ động

Một hệ thống với đầu vào ( )u t và đầu ra ( ) y t là thụ động nếu

0 y u⟨ ⟩ ≥

Hệ là thụ động tuyệt đối đầu vào nếu 0ε ∃ > thỏa mãn

2 y uє u⟨ ⟩ ≥

Hệ được gọi là thụ động tuyệt đối đầu ra nếu 0ε ∃ > thỏa mãn

2 y uє y⟨ ⟩ ≥

31.8 Các bộ quan sát thích nghi và điều khiển phản hồi đầu ra

Bây giờ chúng ta trình bày bài toán quan sát thích nghi phi tuyến theo công thức của Besancon[15]:

( , , ) ( , , )

( )

x f x u t g x u t

y h x

θ = +

=

&(31.15)

trong đó hàm f và g là C ∞ đối với tất các tham số của nó và θ là một tham số hằng chưa biết. Các biến x, u và y theo thứ tự biểu thị vec tơ trạng thái, vec tơ đầu vào, vec tơ đầu ra. Các tín hiệu đầuvào có thể được giả sử phụ thuộc vào một số hàm đo được và bị giới hạn. Bằng một bộ quan sát

thích nghi, chúng ta đưa đến bài toán khôi phục ước lượng trạng thái^

( ) x t sử dụng đầu vào u và

12




đầu ra y với sự có mặt của tham số chưa biết θ vì vậy^

lim ( ) ( ) 0t x t x t →∞ − = . Điều kiện để tồn tại

một bộ quan sát thì sẵn có, [15] nó có thể được phát biểu như sau. Nếu tồn tại một bộ quan sát phùhợp trong trường hợp mà θ đã biết, và nếu trong trường hợp xác định bộ quan sát như là sai lệchcủa tham số được tạo ra và hệ thống sai lệch ước lượng trạng thái là bị động giữa “đầu vào” và sai

lệch đầu ra^

( )h x y− , thì có thể thiết kế bộ quan sát trạng thái tiệm cận thận chí chưa biết θ . Thêm

nữa, sự đòi hỏi thụ động, hội tụ sai lệch tham số này, như bình thường, cần kích hoạt liên tục hơnđối với u.

Kết quả tuyệt vời này có các ứng dụng ngay lập tức trong bài toán theo dõi định vị tàu khônggian mà không có giá trị đo vận tốc góc [16]. Hiện nay nổi tiếng về phương trình của bài toán điềukhiển định vị vật rắn dưới dạng điều kiện thụ động thỏa mãn vec tơ MRP [17, 18] giữa vec tơ vậntốc góc và vec tơ MRP. Một kết quả rất thụ động quan trọng trong trường hợp này là trong thực tếluật điều khiển phản hồi cho điều khiển định vị được thực hiện bằng cách xây dựng dựa trênLyapunov không cần đo vận tốc góc. Kết quả luật điều khiển cung cấp hầu hết sự ổn định tiệm cậntoàn cục trong hướng đi của Tsiontras [18].

31.9 Nhận xét

Như đã nói, việc phát triển và ứng dụng của lý thuyết điều khiển thích nghi hiện đại cho hệ phituyến tổng quát đã thông qua hướng tiếp cận triết học của các phương pháp luận hệ tuyến tínhđang tồn tại rộng rãi. Trong nhiều trường hợp bị giới hạn như là lý thuyết tự chỉnh, cách tiếp cậncủa các phương pháp tuyến tính song song này đã thành công lớn. Tuy nhiên, đạt được độ thànhcông như trong các lĩnh vực nghiên cứu khác như là bám quỹ đạo, tổng hợp bộ điều khiển, và khôi

phục trạng thái thì rất khó.

Các hệ thống phi tuyến xuất hiện trong sự biến đổi theo các cách đa dạng, và không phải tất cảchúng đều có thể điều khiển được bằng cách mở rộng đơn giản tới phương pháp điều khiển thíchnghi tuyến tính. Một phương pháp hứa hẹn cho mục đích nghiên cứu xa hơn là để chuẩn hóa việcnghiên cứu các hệ thống cơ khí, do đó giới hạn lớp các hệ phi tuyến đã nghiên cứu, và vì vậy cóthể giới thiệu “cấu trúc” và các điều kiện ràng buộc thêm. Ngược lại trong trường hợp điều khiển

phản hồi đầu ra cho hệ phi tuyến tổng quát, các thiết kế riêng của bộ quan sát trạng thái và bộ điềukhiển không cần đảm bảo tính ổn định như trong thiết kế tích hợp. (không theo nguyên lý tách),

các phương pháp có cấu trúc sử dụng biến đổi trạng thái đã được đưa ra giúp lấy lại các tính chấtriêng biệt trong nhiều trường hợp [15]. Với kết quả này, các phương pháp có cấu trúc đã nói ở trêncũng đã có thể tính bộ điều khiển bám toàn cục và bán toàn cục dựa trên phản hồi đầu ra (trạngthái từng phần). Theo cách tiếp cận này rất có thể có tiềm năng để cung cấp “chìa khóa” để giảquyết vài bài toán khác xuất hiện không thuộc các hệ cơ điện các mà chúng ta còn chưa biết.

Tài liệu tham khảo

[1] Narendra, K. S., “Parameter adaptive control—The End … or The Beginning?,”Proceedings of the 33rd Conference on Decision and Control . Lake BuenaVista, Florida, December 1994.

[2] Slotine, J. E. and Li, W., Applied Nonlinear Control . Prentice-Hall, EnglewoodCliffs, NJ, 1991.

[3] Khalil, H. K., Nonlinear Systems . Macmillan, New York, NY, 1992.[4] Sastry, S. and Bodson, M., Adaptive Control: Stability, Convergence and

Robustness . Prentice-Hall, 1989.

[5] Tao, G., “A simple alternative proof to the Barbalat Lemma,” IEEE Transactions on Automatic Control, Vol. 42, No. 5, May 1997, p. 698.

13




[6] Narendra, K. S. and Annaswamy, A. M., Stable Adaptive Systems . Prentice-Hall,1989.

[7] Ioannou, P. A. and Sun, J., Stable and Robust Adaptive Control . Prentice-Hall,Upper Saddle River, NJ, 1995, pp. 85–134.

[8] Astrom, K. J. and Wittenmark, B., Adaptive Control . Addison-Wesley, Reading, MA,1995.

[9] Gantmacher. The Theory of Matrices, Vol I. Chelsea Publishing Company, NY, 1977,

pp. 353–354.[10] Krsti , M., Kanellakopoulos, I., and Kokotovi , P. V., “Transient performance improvement

with a new class of adaptive controllers,” Systems & Control Letters, Vol. 21, 1993, pp. 451–461.

[11] Krti , M., Kanellakopoulos, I., and Kokotovi , P. V., “Nonlinear design of adaptivecontrollers for linear systems,” IEEE Transactions on Automatic Control, Vol. 39,1994, pp. 738–752.

[12] Kokotovic, P. V., “The joy of feedback: nonlinear and adaptive control,” IEEE ControlSystems Magazine, Vol. 12, No. 3, 1992, pp. 7–17.

[13] Schaub, H., Akella, M. R., and Junkins, J. L., “Adaptive control of nonlinear attitudemotions realizing linear closed loop dynamics,” Journal of Guidance, Control and

Dynamics, Vol. 24, No. 1, Jan.–Feb. 2001.[14] Akella, M. R., Schaub, H., and Junkins, J. L., “Adaptive realization of linear closed looptracking dynamics in the presence of large system model errors,” Journal of Astronautical Sciences, Vol. 48, No. 4, 2000.

[15] Besançon, G., “Global output feedback tracking control for a class of Lagrangian systems,” Automatica,Vol. 36, 2000, pp. 1915–1921.

[16] Akella, M. R., “Rigid body attitude tracking without angular velocity feedback,” Systems& Control Letters, Vol. 42, No. 4, 2001.

[17] Lizarralde, F. and Wen, J. T., “Attitude control without angular velocity measurement: a passivity approach,” IEEE Transactions on Automatic Control, Vol. 41, No. 3,1996, pp. 468–472.

[18] Tsiotras, P., “Further passivity results for the attitude control problem,” IEEE

Transactions on Automatic Control, Vol. 43, No. 11, 1998, pp. 1597–1600.

14

Documents

62686929-sổ-tay-cdt-Chuong-31-Dk-Thich-Nghi-Va-Phi-Tuyen