Anlisis de estabilidad de sistemas en tiempo discreto

Discretizacin de sistemas con mantenedor de orden cero (z.o.h)Ing. Vctor Hugo MosqueraRepresentacin en espacio de estados de un sistema dinmico.Ventajas de la Representacin en Variables de Estado

La representacin de sistemas de mltiples entradas y mltiples salidas es ms sencillaToda la dinmica del sistema se representa por ecuaciones diferenciales de diferencia de primer orden.Simulacin con mtodos computacionales ms eficientesNueva perspectiva sobre la dinmica de los sistemasAlgunas de las tcnicas de control moderno se basan en este tipo de representacin.Variables de estado

Las variables de estado son el conjunto ms pequeo de variables que pueden representar al sistema dinmico completo en un tiempo cualquiera

Variables de estadoPara sistemas dinmicos lineales invariantes en el tiempo (LTI), de mltiples entradas y mltiples salidas (MIMO), la representacin general del sistema en espacio de estados es:

Para sistemas dinmicos lineales invariantes en el tiempo (LTI), de simple entrada y simple salida (SISO), p = q =1.Solucin de la ecuacin de estados

Ejercicio: Respuesta de un integrador a entrada escaln unitariok/sR(s)Y(s)

Variables de estado:

Rep. SSEjercicio: Respuesta de un integrador a entrada escaln unitario

kttr(t)y(t)k/sx(0)Se muestrear la solucin de la ecuacin de estadosDiscretizacin con zoh

x(t)tkh+hkhDiscretizacin con zohSe muestrea la solucin de la ecuacin de estados cada h segundos, y se evaluar esta ecuacin para el intervalo de tiempo kh < t < kh+h

Discretizacin con zoh

LuegoDonde:Haciendo w = kh + h - s , se tiene:

Se muestrea la ecuacin de salida cada h segundos, y se evaluar esta ecuacin para el intervalo de tiempo kh < t < kh+hDiscretizacin con zoh

Luego la representacin general de sistemas discretos representados en espacio de estados es:

Ecuaciones en diferencias

Discretizacin con zohLa discretizacin de sistemas dinmicos representados en espacio de estados se centra en el calculo de las matrices y .

Clculo de y :

Expansin en series.Mediante transformada de Laplace.Clculo numrico (MatLab).Matemtica Simblica.Clculo de y : Expansin en series.

Por expansin en series se tiene:Luego:Discretizar con zoh, el siguiente sistema:Ejemplo 1. Discretizacin por aproximacin.

Aplicando la expansin en series.

Ejemplo 1. Discretizacin por aproximacin.

Luego el sistema en tiempo discretos es:Ejemplo 1. Discretizacin por aproximacin.

Clculo de y : Trasformada de Laplace.

Para esto mtodo se inicia con la aplicacin de la Transformada de Laplace a la ecuacin de estados de un sistema dinmico en tiempo continuo

LClculo de y : Trasformada de Laplace.

L

LSe concluye-1Ejemplo 2: Discretizacin por Laplace

Discretizar con zoh, el siguiente sistema:

Se encuentra la transformada de Laplace de la exponencial

LL-1-1

Luego

Ejemplo 2: Discretizacin por Laplace

Clculo de

Luego el sistema en tiempo discretos es:

Ejemplo 2: Discretizacin por Laplace

Expansin de seno y coseno en series de Taylor

Si solo tenemos en cuenta los dos primeros trminos de la serie y se cambia la variable t por h, se tiene

Expansin de seno y coseno en series de Taylor (comparacin resultados)

Por seriesPor LaplaceReemplaza en la rta por Laplace, la aproximacin de series

Taylor de y Conclusin?

Ejercicio 3. Discretizacin de un controlador en adelanto.Discretizar con mantenedor de orden cero el siguiente controlador en adelanto

Encontrar representacin en espacio de estados

Ejercicio 3. Discretizacin de un controlador en adelanto.

Aplicando transformada inversa de Laplace Realizando operaciones sobre X(s)

Ecu. deEstadosAplicando transformada inversa de Laplace a Y(s)

Ecu. deSalidaEjercicio 3. Discretizacin de un controlador en adelanto.3. Sistema en tiempo discreto

2. Discretizar controlador

Ejercicio 3. Discretizacin de un controlador en adelanto.4. Resultados de simulacin% sistema en tiempo continuoA =-2B =1;C =-0.5;D =0.5; % sistema en tiempo discretoh =0.1; % periodo de muestreoAd =exp(-2*h);Bd =0.5*(1-exp(-2*h));Cd =-0.5;Dd =0.5;% Simulacinsim('control',20)plot(y.time, y.signals.values), hold onplot(y1.time, y1.signals.values, 'r.-')legend('T. continuo','T. Discreto'), grid onEjercicio 3. Discretizacin de un controlador en adelanto.

Ejercicio 3. Discretizacin de un controlador en adelanto.

h=0.1h=0.05

h=1Ejercicio 3. Discretizacin de un controlador en adelanto.