!!!!

FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE SVEUČILIŠTA U ZAGREBU

Auditorne vježbe

APV - 1

!"#!$%&'()!*')+,'-+.%&

PODLOGE ZA AUDITORNE VJEŽBE

Pripremili:

Dubravko Majetić Danko Brezak

!!!!

PODLOGE ZA VJEŽBE IZ OSNOVA AUTOMATIZACIJE - Smjer: Proizvodno strojarstvo

Auditorne vježbe: Laplaceova transformacija, obratna Laplaceova transformacija, prijenosna funkcija, težinska funkcija i prijelazna funkcija

APV - 2

1. Odrediti Laplaceovu transformaciju sustava zadanih slijedećim diferencijalnim jednadžbama:

a) uii x24x3x !!!! ====++++++++

b) )t(xx ii δδδδ====++++!

c) t4uiii exxxx3 ====++++−−−− !!!

d) ∫∫∫∫++++++++++++====++++++++ −−−− dtx2e3x2ex4x ut2

ut2

ii !!!!

e) uuiiii x)4t(x3x2xxx4 ++++−−−−====−−−−++++−−−− !!!!!!

Početni uvjeti se zanemaruju (P.U.=0). 2. Odrediti diferencijalnu jednadžbu slijedećih sustava:

a) s

)s(x3)s(xs2)s(sx u

ii ====++++++++

b) )s(sx3)s(x)s(xs313s

2uui

3 ++++====++++++++++++

c) )2s(x32)s(xs)s(sx

2s3

31

ui2

i ++++====−−−−−−−−−−−−

++++

3. Odrediti prijenosnu funkciju slijedećih sustava:

a) uiii x2x2x3x ====++++++++ !!!! , P.U.=0

b) uuiiii xx3x8x12x6x ++++====++++++++++++ !!!!!!! , P.U.=0

c) ∫∫∫∫====−−−− dtxx2x uii! , P.U.=0

d) uuuii x8x10x2x4x ++++++++====++++ !!!!!! , P.U.=0

4. Zadana je prijenosna funkcija sustava

6s7s3s)s(G 3

2

++++−−−−++++==== .

Potrebno je odrediti odziv sustava na Diracovu funkciju uzbude.

5. Sustav je opisan slijedećom diferencijalnom jednadžbom

uuiiii x2xx4x4xx ++++====−−−−−−−−++++ !!!!!!!! . Potrebno je naći prijenosnu funkciju sustava i odrediti odziv na Diracovu funkciju uzbude (tj. naći težinsku funkciju sustava). Početni uvjeti se zanemaruju (P.U.=0).

6. Za zadanu prijenosnu funkciju sustava treba naći diferencijalnu jednadžbu, koja opisuje sustav i prijelaznu funkciju sustava

)1s)(4s(1s)s(G 2 −−−−−−−−

++++==== .

7. Sustav je opisan diferencijalnom jednadžbom

uiiii xx8x12x6x ====++++++++++++ !!!!!! . Naći prijenosnu i prijelaznu funkciju sustava. Početni uvjeti se zanemaruju (P.U.=0).

8. Odrediti Laplaceovu transformaciju izlaznog signala za sustav zadan diferencijalnom jednadžbom

t2iii exxx −−−−====++++−−−− !!! . Početni uvjeti: .0)0t(x,2)0t(x ii ================!

9. Poznata je prijenosna funkcija sustava

2s2s2s)s(G 2

2

++++−−−−−−−−==== . Odrediti diferencijalnu jednadžbu sustava i

prijelaznu funkciju.

!!!!

PODLOGE ZA VJEŽBE IZ OSNOVA AUTOMATIZACIJE - Smjer: Proizvodno strojarstvo

Auditorne vježbe: Hurwitzov kriterij stabilnosti, Routhov kriterij stabilnosti

APV - 3

1. Provjeriti pomoću Hurwitzovog kriterija stabilnost regulacijskog sustava koji je zadan slijedećom prijenosnom funkcijom

3sss2s2)s(G 234 ++++++++++++++++

==== .

2. Pomoću Hurwitzovog kriterija provjeriti stabilnost sustava čija

karakteristična jednadžba glasi 04s3s2 ====++++++++ .

3. Pomoću Hurwitzovog kriterija odrediti stabilnost sustava

regulacije koji je zadan prijenosnom funkcijom

3ss3)s(G 3 ++++++++

==== .

4. Karakteristična jednadžba sustava glasi

0ss4s 23 ====++++++++ . Provjeriti pomoću Hurwitzovog kriterija stabilnost sustava.

5. Za regulacijski sustav zadan prijenosnom funkcijom

7s4ss2s3s3ss)s(G 2345

23

++++++++++++++++++++++++++++==== treba provjeriti stabilnost

korištenjem Hurwitzovog kriterija.

6. Za regulacijski sustav zadan prema slici

����_ RK 1s

1++++

ux

1s1++++

1s1++++

ix

potrebno je odrediti graničnu vrijednost pojačanja regulatora, obzirom na stabilnost regulacijskog kruga, korištenjem Hurwitzova kriterija.

7. Karakteristična jednadžba regulacijskog sustava glasi 03s2sss 234 ====++++++++++++++++ . Pomoću Routhovog kriterija provjeriti

stabilnost sustava.

8. Prijenosna funkcija sustava glasi

)6s5s)(1s(3)s(G 2 ++++++++++++

==== . Pomoću Routhovog kriterija provjeriti

stabilnost sustava.

9. Korištenjem Routhovog kriterija odrediti stabilnost sustava čija karakteristična jednadžba glasi

08s12s6s3s 234 ====++++++++++++++++

10. Pomoću Rothovog kriterija odrediti iznos pojačanja KR za kojeg je sustav stabilan.

_3K 1s3

2++++

ux1s2

1++++

ix����

1s21++++

!!!!!!!!

PODLOGE ZA VJEŽBE IZ OSNOVA AUTOMATIZACIJE - Smjer: Proizvodno strojarstvo

Auditorne vježbe: Analiza u frekvencijskom području !!!! Nyquistov dijagram i Bodeovi dijagrami

APV - 4

1. Prikazati osnovne članove regulacijskih sustava u Nyquistovim dijagramima.

2. Za regulacijsku stazu na slici, potrebno je izračunati frekvencijske

karakteristike i dati prikaz amplitudno-frekvencijske karakteristike (AFK) i fazno-frekvencijske karakteristike (FFK) u Nyquistovom dijagramu.

K 1sT1

1 ++++ux

1sT1

2 ++++ix

K=3; T1= T2=1 [s]

3. Regulacijska staza se sastoji od integralnog i proporcionalnog

člana, a zadana je slijedećom prijenosnom funkcijom

)3s(sK)s(G++++

==== . Odrediti pojačanje K staze, tako da za frekvenciju

ωωωω=1 [rad/s] pojačanje amplitude izlaznog signala iznosi 10 . Izračunati AFK i FFK i dati prikaz u Nyquistovom dijagramu.

4. Za sustav prikazan blok-dijagramom, odrediti AFK i FFK i dati prikaz u Nyquistovom dijagramu.

2s3

K++++

ux1s

1++++

ix1s2

1++++

K=10

5. Prikazati u Bodeovim dijagramima osnovne članove regulacijskih sustava.

6. Za sustav opisan prijenosnom funkcijom

)1s5)(1s10)(1s(10)s(G

++++++++++++==== potrebno je nacrtati Bodeove

dijagrame.

7. Zadane su asimptote AFK dijagrama otvorenog kruga. Naći prijenosnu funkciju sustava zatvorenog s jediničnom negativnom povratnom vezom.

G

ωωωω

.dekdB20

.dekdB20

1,0 2,0 1

2

!!!!!!!!

PODLOGE ZA VJEŽBE IZ OSNOVA AUTOMATIZACIJE - Smjer: Proizvodno strojarstvo

Auditorne vježbe: Analiza stabilnosti u frekvencijskom području, Točnost

APV - 5

1. Prijenosna funkcija regulacijskog sustava za otvoreni krug glasi

s2s3sK)s(G 23

Ro

++++++++==== . Pomoću Nyquistovog kriterija odrediti

veličinu pojačanja regulatora KR za koje će zatvoreni krug biti stabilan.

2. Pokazati vezu između provjere stabilnosti u Nyquistovom

dijagramu i Bodeovim dijagramima. 3. U Bodeovim dijagramima pokazati stabilnost sustava s

jediničnom negativnom povratnom vezom, čija je prijenosna funkcija otvorenog kruga

)5s)(4s)(3s(s21s2)s(Go ++++++++++++

++++==== . Pokažite amplitudnu i faznu

rezervu sustava. 4. U Nyquistovom dijagramu provjerite stabilnost sustava

prikazanog blok-dijagramom

������

_ s11−−−−

ux ix

sT1 d−−−−

a) Td= 0 b) Td= - 1 c) Td= - 2

1. Za sustav prikazan blok-dijagramom potrebno je izračunati trajno regulacijsko odstupanje za slučaje: 1.1 GR=KR

a) w(t)=1(t) b) w(t)=t

1.2 sT

1Gi

R ====

a) w(t)=1(t) b) w(t)=t.

�����

_ RG sGW ix

2. Odrediti trajno regulacijsko odstupanje sustava zadanog blok-

dijagramom , ako je: a) w(t)=3t b) w(t)=2.

����������

_K

1s2s1

2 ++++++++

W ix

1s1++++