В6.

1. В треугольнике  ABC угол C равен 900, sin A=7/25. Найдите cos A, tgA, sin B, cos B, tg B.

Найдем чему равняется cos A. sin2A+cos2A=1cos A=√(1- sin2A)= √(1- (7/25)2)cos A=√ (1-49/625)= √(576/625)cos A=±24/25Косинус угла меньше нуля в случае, если угол тупой (больше 900). Однако, это невозможно в прямоугольном треугольнике. Следовательно, cos A=24/25.  Тангенс угла равен отношению синусtg A=sin A/cos A=(7/25)/(24/25)=7/24Следовательно, тангенс угла А равен 7/24.Теперь найдем чему равняется sin B, cos B, tg B.Итак, сумма всех углов треугольника равна 1800:А+В+С=1800

Поскольку, угол С прямой, тоА+В=900

В=900-АВоспользовавшись формулами приведения,sin B=sin (900-А)=cos A=24/25cos B=cos(900-А)=sin A=7/24Тангенс угла В равенtg B=sinB/cosB=(24/25)/(7/25)=24/7Следовательно, синус угла В равен 24/25, косинус равен 7/25, а тангенс 24/7.

2. В треугольнике ABC угол C равен 900, tg A=2. Найдите sinA, cos A, sinB, cosB, tg B.

 Вспомним определение тангенса углаtg A=sin A/cos A=2Но тогда,tg2 A=(sin A/cos A)2=22

sin2 A/cos2 A=4Воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством, запишем:(1-cos2 A)/cos2 A=41/cos2 A-1=41/cos2 A=5cos A=±√(1/5)В прямоугольном треугольнике не может быть тупого угла, следовательно А - острый угол. Следовательно, его косинус равен 1/√5.Синус угла можно найти с помощью основного тригонометрического тождества:sin A=±√(1-cos2 A)= ±√(4/5)=2/√5(поскольку угол острый, синус угла положителен)Воспользовавшись формулами приведения,sin B=sin (900-А)=cos A=1/√5cos B=cos(900-А)=sin A=2/√5Тангенс угла В равенtg B=sinB/cosB=(1/√5)/( 2/√5)=1/2Следовательно, синус угла В равен 1/√5, косинус равен 2/√5, а тангенс 1/2.

3.В треугольнике ABC угол C равен 900, AB=5, sin A=7/25. Найдите AC.

Синус угла можно упрощенно определить как отношение противолежащего углу катета прямоугольного треугольника к гипотенузе прямоугольного треугольника.Косинус угла соответственно, отношение прилежащего углу катета прямоугольного треугольника к гипотенузе прямоугольного треугольника.Из основного тригонометрического тождества,cos A=√(1-sin2 A)=24/25То есть,sin A=BC/ABcos A=AC/ABСоответственно, при известных АВ и синусе угла А катет АС найти несложно:АС=АВ∙ cos AАС=5∙24/25=24/5=4,8ответ: катет АС равен 4,8.

4. В треугольнике ABC угол C равен 900, AB=7, tgA=4√(33)/33. Найдите AC.

катет АС может быть найден как:АС=АВ∙ cos AНайдем чему равен косинус угла Аtg A=sin A/cos A=4√(33)/33Но тогда,tg2 A=(sin A/cos A)2=(4√(33)/33)2

sin2 A/cos2 A=16/33Воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством, запишем:(1-cos2 A)/cos2 A=16/331/cos2 A-1=16/331/cos2 A=49/33cos A=±√(33/49)cos A=√(33)/7(поскольку угол острый, косинус  угла положителен)Следовательно,АС=АВ∙ cos A=7∙√(33)/7=√33ответ : катет прямоугольного треугольника равен √33

5.Втреугольнике ABC угол C равен 900,СН- высота, AB=27, cosA=2/3. Найдите AH.

Рассмотрим прямоугольный треугольник АСН. Гипотенузу АН можно найти как:AH=AC∙cos AОднако, нам неизвестна чему равняется сторона АС. Но, сторону АС можно найти из прямоугольного треугольника АВС:АС=АВ∙cos A=27∙2/3=18Теперь из треугольника АСН можно найти АН:АН= AC∙cos A=18∙2/3=12Следовательно, ответ к задаче: АН равняется 12.

6. Основания равнобедренной трапеции равны 6 и 12. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Найдите боковую сторону.

ВС=6, АD=12, sin A=0,8Построим высоты ВН.Очевидно, чтоAH=(AD-BC)/2=(12-6)/2=3Найдем чему равняется тангенс угла А.tg A=sin A/cos Atg2 A=sin2 A/cos2 A= sin2 A/(1-sin2 A)tg2 A=0,82/(1-0,82)=0,64/0,36=16/9tg A=4/3(у острого угла синус, косинус, а следовательно и тангенс положительны)Рассмотрим прямоугольный треугольник АВН. Катет ВН может быть найден как:ВН=АН∙tg A=3∙4/3=4По теореме Пифагора, гипотенуза АВ в прямоугольном треугольнике АВН равняется:АВ=√(AH2+BH2)= √(32+42)= √25=5Следовательно, ответ к задаче: боковая сторона в равнобедренной трапеции, описанной в условиях задачи, равняется 5.