6725915-Matematica-Financeira

7/31/2019 6725915-Matematica-Financeira

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Unidade IUnidade IMatemtica FinanceiraMatemtica Financeira


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Introduo:Introduo:O valor do dinheiro no tempoO valor do dinheiro no tempo

O dinheiro possui valores distintos no tempo. Exemplo: O que voc prefere: R$ 100,00 hoje ou

R$ 100,00 daqui a 4 meses.

Qualquer pessoa poderia aplicar o capital (R$

100,00) durante os 4 meses e obter maior valorao final do perodo.

100,00

160,00

N=4

meses

i=0,15


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1. Juros simples1. Juros simples

Aplicao muito limitada. Tem algum sentido emcontextos no-inflacionrios e no curtssimoprazo.

Conceitos bsicos:juros, remunerao docapital e taxa de juros

Juros pode ser definido como a remunerao docapital empregado.

Quando se aplica o capital durante umdeterminado perodo de tempo, ao final o capital

se transformar em um valor (montante) que igual ao capital aplicado, acrescido daremunerao obtida durante o perodo daaplicao (juros).


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diferena entre montante (S) e a aplicao (P)denomina-se juros ganhos ou rendimentos.

Juros ganhos (J) = montante (S) aplicao ouprincipal (P).

(1)

Os juros so o produto da taxa de juros vezes oprincipal.

(2)iPJaplicaoP

ganhosjurosJi .)()( ==

PSJ =


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Substituindo (2) em (1), tem-se:

Mercado financeiro Taxa de juros

percentual. Ex. 20% a.m. Realizao dos clculos Taxa de juros

fracionria. Ex. 0,20 a.m. Prazo da operao considerando anos

constitudos por meses com 30 dias, osjuros so chamados comerciais (360 dias).

Nmero de dias correspondente ao ano civil(365 dias), os juros so chamados exatos.

)1(. iPSiPPS +==


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Exemplos: 1) Suponha que voc realizou uma aplicao de

R$ 3.000,00 por um ano taxa de juros simplesde 25% a.a. Qual o valor dos juros ?

2) Qual o montante a ser obtido por umaaplicao de R$ 1.600,00 por um ano taxasimples de 50% a.a.?

3) Qual a taxa simples que transforma R$

4.500 em um montante de R$ 8.100 em um ano.


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Regime de juros simplesRegime de juros simples

Nesse regime, os juros de cada perodo socalculados sempre sobre o mesmo principal.No h capitalizao de juros nesse regime,

pois os juros de um determinado perodo noso incorporados ao principal para que essasoma sirva de base de clculo do perodoseguinte. Assim, o capital cresce taxa linear ea taxa de juros ter um comportamento linear

ao longo do tempo.


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Clculo do rendimento a juros simplesClculo do rendimento a juros simples

Juros de uma aplicao pelo prazo de um nicoperodo de tempo a que se refere a taxa dejuros:

J = P . i

Devido ao comportamento linear dos clculos dejuros simples, se aplicarmos o capital durante nperodos de tempo a que se refere a taxa dejuros, tem-se:

J = P . i . n


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ExemploExemplo

Se for aplicado um capital de R$ 100,00 taxasimples de 15% a.a. durante trs anos, tem-seos seguintes juros ganhos em cada ano:

J1 = P . i = R$ 100,00 . 0,15 = R$ 15,00

J1 = P . i = R$ 100,00 . 0,15 = R$ 15,00

J1 = P . i = R$ 100,00 . 0,15 = R$ 15,00

Total = R$ 45,00

Calculo direto: J = P . i . n =R$ 100,00.0,15.3 = R$ 45,00


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Expresso para o clculo dos jurosem funo do montante:

ni

niS

Jni

J

SJ

PSJ

ni

J

PniPJ

.1

..

.

...

+==

===


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Perodos no-inteirosPerodos no-inteiros

Muitas vezes o perodo de investimento somente uma frao do perodo expresso nataxa de juros. Como as unidades de tempo dataxa de juros e do perodo de investimento sodiferentes, necessrio homogeneiz-las por

meio de um ajuste na taxa. A) Se a taxa de juros for mensal e o prazo de

aplicao referir-se a dias

(juro comercial)niPJ .30

.

=


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B) Se a taxa de juros for anual e o prazo de aplicao

referir-se a meses

(juro comercial)

C) Se a taxa de juros for anual e o prazo de aplicaoreferir-se a dias

(juro comercial)

(juro exato)

ni

PJ .

360

.

=

ni

PJ .365

.

=

ni

PJ .12

.

=


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Exemplos: 1) Qual o rendimento de R$ 10.00

aplicados por um ms taxa

simples de 36% ao ano (a.a)? Dados: P=R$ 10.000, n=1 ms,

i=36% a.a., J= ?


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Resoluo: J=P.i.n = R$ 10.000.(0,36/12).1=R$

300


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2) Determinar a taxa simples para22 dias de aplicao, equivalente taxa de 3,05% a.m..


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Resoluo: Dados: n = 22 dias, i = 3,05% a.m.,

i22dias=?

i22dias = (0,0305/30).22=0,0224=2,24%

em 22 dias.


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Capitalizao e desconto a juros simples:Capitalizao e desconto a juros simples:clculo do montante e do principalclculo do montante e do principal

Montante (S) ou valor do resgate de uma aplicao ocapital inicialmente investido (principal P) acrescido desua remunerao no perodo (juros ganhos):

Montante = principal + juros

).1(

..

niPS

niPPS

+=

+=Montante Principal Juros


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O cluculo do principal a partir do montante:

).1( ni

SP

+

=


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Diagrama do fluxo de caixaDiagrama do fluxo de caixa

Serve para mostrar graficamente as transaesfinanceiras em um perodo de tempo.

As entradas so representadas por setas verticaisapontadas para cima, e as sadas ou pagamentos sorepresentados por setas verticais apontadas parabaixo.

).1( niPS +=

0............................................................n Tempo

).1( ni

SP

+

=


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Desconto: consiste em calcular ovalor presente do capital.

Capitalizao: consiste em calcular

o valor futuro.


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ExemploExemplo

1) Qual o valor de resgate de R$500 aplicados por 16 meses taxasimples de 12% a.t.?

2) Em dois meses R$ 5.050transformaram-se em R$ 5.600. Quala taxa de juros simples ganha?


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Resoluo do 1 exemplo : P = R$ 500, n = 16 meses, i = 12% a.t.,

S=? S=P(1+i.n) = R$ 500.(1+0,12/3 . 16) = $

820

Resoluo do 2 exemplo: S= R$ 5.600, n = 2 meses, P = R$ 5.050, i

= ? a.a. S=P(1+i.n)

R$ 5.600= R$ 5.050 (1+i/12 . 2) i=(R$5.600/R$ 5.050 1).12/2 =

65,35%a.a.


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Equivalncia de capitais a juros simplesEquivalncia de capitais a juros simples

Dois capitais so equivalentes quando tm o

mesmo valor em uma determinada data deavaliao (data focal).

Exemplo: Equivalncia (na data focal 2) a jurossimples de 10% de dois capitais 1 de R$

3.636,35 que ocorre na data 1 e outro de R$5.600,00 na data 6.

0 1 2 3 4 5 6 Tempo

R$ 5.600

R$ 3.636,35 R$ 4.000=RS 3.636,35 (1+0,1 x 1)

R$ 5.600(1+0,1 x 4)-1=R$4.000


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Exemplo: Uma pessoa deve pagar R$ 200 daquia dois meses e R$ 400 daqui a cinco meses. Ajuros simples de 5% a.a., determinar o valor deum pagamento nico a ser efetuado daqui a trs

meses que liquide a dvida. Dados: i = 5% a.m., S2 = R$ 200, S5 = R$ 400, X

=?.

0 1 2 3 4 5 6 Tempo

R$ 400

R$ 200

X = ?


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Como o pagamento nico ser efetuadono terceiro, definimos esse ms comodata focal. Por equivalncia de capitais,os dois planos devem serfinanceiramente equivalentes naqueladata. Logo, temos:

Valor no 3 ms do plano com pagamento

nico (X) = Valor no 3 ms do plano comdois pagamentos (R$ 200.(1+0,05.1)+R$400/(1+0,05.2) => X = R$ 573,64.


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2. Juros compostos2. Juros compostos

Regime de capitalizao composta ouexponencial.

Regime comumente utilizado no dia-a-dia.

Os juros gerados a cada perodo so

incorporados ao principal para o clculo dosjuros do perodo seguinte.

Os juros so capitalizados. Capitalizao podeser definido como o momento em que os juros

so incorporados ao principal. No regime de juros simples no h

capitalizao.

C j i l


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Comparao juros simples eComparao juros simples ecompostoscompostos

Aplicao de R$ 1.000,00 durante 3 meses taxa de20%a.m.

1.2001.000x0,2=2001.2001.000x0,2=2001

1.4401.200x0,2=2001.4001.000x0,2=2002

1.7281.440x0,2=2001.6001.000x0,2=2003

MontanteRendimentoMontanteRendimentoMs

Juros compostosJuros simples


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Capitalizao e desconto a juros compostos:Capitalizao e desconto a juros compostos:clculo do montante e do principalclculo do montante e do principal

Montante de um capital aplicado a juros compostos em3 meses:

Trmino do ms 1: S = P . (1+i)

Trmino do ms 2: S = P . (1+i) (1+i)

Trmino do ms 2: S = P . (1+i) (1+i) (1+i)

Generalizando para n perodos, pode-se calcularmontante (S) da aplicao do principal (P) durante nperodos a uma taxa de juros composta i:

niPS )1( +=


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Utilizando os dados da tabela anterior: S= R$1000,00, i = 0,2a.m., n=3 meses, S=?

O clculo do valor presente de um montanteou pagamento nico :

00,728.1$)20,01(00,000.1$ 3 RRS =+=

niSP += )1(


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ni)1( +

S

P

0 1 2... n

ni + )1(


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ExemplosExemplos

1) A juros compostos de 20% a.m., qual omontante de R$ 3500 em 8 meses?

Dados: n=8 meses, i= 20%a.m., P = R$ 3.500, S =?

Diagrama de fluxo:

0 1 2... 8

S = ?

P = R$ 3 500 (1+0,20)8


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S=P(1+i)n = R$ 3500(1+0,20)8 = R$ 15 049,37.

2) A que taxa de juros um capital de R$ 13 200,00pode transforma-se em R$ 35 112,26,

considerando um perodo de aplicao de setemeses?

Dados: P = 13 200, S = 35 112,26, n = 7, i = ?

Resoluo:

S=P(1+i)nR$ 35 112,26 = 13 200(1+i)7

i = (R$ 35 112,26/ R$ 13 200) 1/7 - 1=0,15=15%


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3. Sries Peridicas Uniformes3. Sries Peridicas Uniformes

As sries peridicas uniformes podem serdivididas em sries postecipadas, sriesantecipadas e sries diferidas.

Sries uniformes postecipadas:

Na srie postecipada, os pagamentos ocorremno final de cada perodo:

0 1 2 3 4 ........................ n Tempo

R


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Sries uniformes antecipadas: Na srie antecipada, os pagamentos ocorrem no

incio de cada perodo:

0 1 2 3 4 ........................ n-1 Tempo

R


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Sries uniformes diferidas: Srie diferida antecipada

0 c c+1 c+2 c+3 ........................ c+n Tempo

carncia

R


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Srie diferida postecipada

0 c c+1 c+2 c+3 ........................ c+n+1 Tempo

carncia

R


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Valor presente de sries peridicas uniformes: O valor presente representa a soma das parcelas

atualizadas para a data inicial do fluxo (data 0),considerando a mesma taxa de juros.

Para uma srie uniforme e postecipada (termos

vencidos), o valor presente corresponde soma dosvalores atuais dos termos da srie:

[ ]nn

iiiiRP

i

R

i

R

i

R

i

RP

++++++++=

+++

++

++

+=

)1(...)1()1()1(

)1(...

)1()1()1(321

32


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P

1

2

3

4

)1(

)1(

)1(

)1(

)1(

+

+

++

+

iR

iR

iR

iR

iR n

R R R R R

0 1 2 3 4 ........................ n


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O somatrio entre colchetes representa a soma dostermos de uma progresso geomtrica finita. Usando afrmula conhecida da soma das progressesgeomtricas, pode-se desenvolver a seguinte expressopara o valor presente de uma srie uniforme com ntermos postecipados capitalizados taxa efetiva i:

.i)(1i)(1a,i)(1a

1

1-n-n1-1

1

+=+=+=

=

qequeem

q

qxaaRP n


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%n

n

%n

n

1-

-1-n-1

.i)(1

1i)(1

.i)(11i)(1

.i)(11

i)(1.i)(1i)(1

in

in

a

P

i

PR

axRi

RP

RP

=

+ +

=

= + +=

+

+++=


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As duas frmulas anteriores permitem calcular ovalor presente (P) de sries uniformespostecipadas e o valor unitrio da srie (R). Aexpresso entre colchetes recebe o nome de

fator de valor presente de sries uniformes.

Montante de uma srie peridicaMontante de uma srie peridica


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Montante de uma srie peridicaMontante de uma srie peridicauniformeuniforme

O montante de uma srie de pagamentos ourecebimentos uniformes postecipados ser igual soma dos montantes de cada prestao em umadeterminada data futura, calculados pela mesmataxa de juros.

+

+=

ix

PR

i)(1

1i)(1n-

n-

1 2 3............... N tempo

SP

R


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%n

%

n

n-

n

n

1i)(1

1i)(1

i)(1..i)(1

1i)(1

)1(

in

in

n

s

S

i

S

R

sxRi

RS

iRS

iPS

=

+=

=

+=

+

+

+=

+=


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Valor do montante nos diversos anos para pagamentosValor do montante nos diversos anos para pagamentosuniformes postecipadosuniformes postecipados

R$ 360,00360(1,1)003605

R$ 2.197,84Total

R$ 435,60360(1,1)223603

R$ 396,00360(1,1)113604

R$ 479,16360(1,1)333602

R$ 527,08360(1,1)443601

Montante no5 msClculoPer. deCapitalizaoDepsitoMs

84,197.2$1051,360610,0

1)10,1(360

5

RS ==

=

Clculo da taxa de juros em sriesClculo da taxa de juros em sries


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Clculo da taxa de juros em sriesClculo da taxa de juros em sriesperidicas uniformesperidicas uniformes

A taxa de juros (taxa interna de retorno) de um fluxouniforme de n pagamentos ou recebimentos a taxaque capitaliza os termos da srie. O clculo dessataxa requer resolver para i* a seguinte equao:

0*)1(...*)1(*)1(*)1( 321 =++++= niR

i

R

i

R

i

RP

R

P

0 1 2 3............... N tempo


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O Calculo manual de i* em fluxosmultiperidicos um processo demorado ecansativo.

Calculadoras financeiras realizam o clculo.

Mtodos foram desenvolvidos para obteraproximaes.


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ExemplosExemplos

Apostila: Bertolo. MatemticaFinanceira. Pg. 42. Ex. 1.


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Referncias BibliogrficasReferncias Bibliogrficas

BERTOLO, . Matemtica Financeira. (Apostila)2005. 126p. Disponvel em:http://www.bertolo.pro.br/MatFin/ZIP/MATFIN.zip

(Fevereiro, 2006).

SAMANZ, Carlos Patrcio. Matemticafinanceira: aplicaes anlise deinvestimentos. 3. ed. So Paulo: Prentice Hall,2002. 364p. ISBN 8587918079 captulos 1, 2 ,3 e5.
http://www.bertolo.pro.br/MatFin/ZIP/MATFIN.ziphttp://www.bertolo.pro.br/MatFin/ZIP/MATFIN.zip

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