68668823 Libro OFICIAL Trigonometria 1

COLEGIO EL SALVADOR

SAN VICENTE T.T.

Colegio El Salvador-Trigonometría

JUAN CRISTÓBAL DÍAZ OLEA

JUAN PABLO LOBOS MADARIAGA

NICOLÁS ANDRÉS SILVA ABARCA

BYRON ANDRÉ RIQUELME VÁSQUEZ

GUILLERMO RENÉ MORALES YÉVENES

SERGIO IGNACIO SALINAS ROZAS

JUAN EDUARDO AMADO HINOJOSA


Índice

1) Introducción

2) Prólogo

3) Reseña Histórica de la trigonometría

4) Ángulos orientados

5) Sistemas de medición de ángulos

6) Razones trigonométricas y sus recíprocas en el triángulo rectángulo

7) Razones trigonométricas de ángulos complementarios

8) La circunferencia goniométrica

9) Razones trigonométricas de ángulos notables: 30º, 45º y 60º

10) Razones trigonométricas de ángulos cuadrantales

11) Resolución de triángulos rectángulos

12) Ángulos de elevación y de depresión

13) Resolución de problemas

14) Signo de la razones trigonométricas

15) Reducción al primer cuadrante

16) Grafica de la funciones trigonométricas

17) Identidades trigonométricas básicas y pitagóricas

18) Identidades trigonométricas para la suma y diferencia de ángulos

19) Identidades trigonométricas para el doble de un ángulo

20) Identidades trigonométricas para el valor medio de un ángulo

21) Ecuaciones trigonométricas

22) Teoremas fundamentales para resolución de triángulos oblicuángulos

23) Facsímil de PSU trigonometría N°1

24) Facsímil de PSU trigonometría N°2

25) Bibliografía


1.- Introducción

El texto “Introducción al Calculo

Infinitesimal” ha sido creado para

ayudar a los estudiantes a reforzar

sus conocimientos en dicho tema;

además, puede servir como

respaldo a trabajos escolares y

podrá responder a diferentes

inquietudes que pudieren

presentarse a los alumnos.

Este proyecto ayuda a

comprender de variadas formas

los métodos posibles para

desarrollar los temas sobre la

trigonometría. Personalmente, nos

permitió reestudiar la materia vista

este año, para no olvidar

fácilmente lo aprendido.

Al entender la

trigonometría, fácilmente

podemos notar cómo aplicarla a

la vida real.

Al determinar el ángulo

dado por el extremo de una

pirámide, por ejemplo, vemos que

son 4 triángulos rectángulos unidos

por uno de sus catetos, de

manera que usando una función

trigonométrica podemos obtener

el valor buscado. Así como en

otros casos, es necesario saber los

temas que este libro abarca.

Ser un buen estudiante

implica ser de los mejores, realizar

las actividades y sobre todo tener

las ganas. Esto dará todos los

instrumentos necesarios para

lograr tal objetivo.


2.- Prólogo

El estudio de la matemática

es, sin duda, un factor

fundamental en el desarrollo de

las habilidades básicas necesarias

para el ser humano post-moderno,

tales como la rápida

comprensión, análisis,

interpretación e inferencia, entre

otras. Ellas son imprescindibles

para enfrentar cualquier situación

de nuestras vidas.

La ciencia deductiva de los

entes abstractos entrega

instrumentos cognitivos

imprescindibles al momento de

enfrentarse a las dificultades

propias del diario vivir, más aun la

trigonometría, que tiene una

aplicación mucho más concreta y

aparentemente más cercana a la

realidad cotidiana.

Es por los motivos

anteriormente señalados, que es

primordial manejar contenidos

relacionados con la trigonometría,

para lo cual se entregarán en este

texto de manera metódica y clara

los conocimientos considerados

de mayor importancia por los

entendidos en el tema.

El trabajo de recopilación y

adaptación de la información

obtenida está hecho de tal forma,

que los conocimientos transmitidos

por este medio serán

probablemente asimilados sin

mayores dificultades, incluso, con

más facilidad que un texto

científico de mayor complejidad.

Esto se respalda en el hecho de

que los autores de la obra son

justamente estudiantes, pares de

los receptores, lo cual genera

rápidamente una favorable

empatía.

Finalmente, es necesario

dar a conocer que el objetivo de

este texto es lograr que los


estudiantes de enseñanza media

logren, a través del correcto uso

de este material y

complementándolo con la labor

de un guía, internalizar de manera

satisfactoria lo más elemental de

la trigonometría para su posterior

correcto uso en las situaciones

que sean necesarias bajo

cualquier ámbito del saber.

3.- Historia de la trigonometría

La historia de la trigonometría comienza con los Babilonios y los

Egipcios. Estos últimos establecieron la medida de los ángulos en grados,

minutos y segundos. Sin embargo, en los tiempos de la Grecia clásica, en el

siglo II a.C. el astrónomo Hiparco de Nicea construyó una tabla de cuerdas

para resolver triángulos. Comenzó con un ángulo de 71° y yendo hasta

180° con incrementos de 71°, la tabla daba la longitud de la cuerda

delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una

circunferencia de radio r. No se sabe el valor que Hiparco utilizó para r.

300 años después, el astrónomo Tolomeo utilizó r = 60, pues los

griegos adoptaron el sistema numérico (base 60) de los babilonios.

Durante muchos siglos, la trigonometría de Tolomeo fue la

introducción básica para los astrónomos. El libro de astronomía el

Almagesto, escrito por él, también tenía una tabla de cuerdas junto con la

explicación de su método para compilarla, y a lo largo del libro dio

ejemplos de cómo utilizar la tabla para calcular los elementos

desconocidos de un triángulo a partir de los conocidos. El teorema de

Menelao utilizado para resolver triángulos esféricos fue autoría de Tolomeo.

Al mismo tiempo, los astrónomos de la India habían desarrollado

también un sistema trigonométrico basado en la función seno en vez de

cuerdas como los griegos. Esta función seno, era la longitud del lado

opuesto a un ángulo en un triángulo rectángulo de hipotenusa dada. Los

matemáticos indios utilizaron diversos valores para ésta en sus tablas.

A finales del siglo VIII los astrónomos Árabes trabajaron con la función

seno y a finales del siglo X ya habían completado la función seno y las otras

cinco funciones. También descubrieron y demostraron teoremas

fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos planos como

esféricos. Los matemáticos sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60, y

esto dio lugar a los valores modernos de las funciones trigonométricas


El occidente latino se familiarizó con la trigonometría Árabe a través

de traducciones de libros de astronomía arábigos, que comenzaron a

aparecer en el siglo XII. El primer trabajo importante en esta materia en

Europa fue escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller,

llamado Regiomontano.

A principios del siglo XVII, el matemático Jhon Napier inventó los

logaritmos y gracias a esto los cálculos trigonométricos recibieron un gran

empuje.

A mediados del siglo XVII Isaac Newton inventó el cálculo diferencial

e integral. Uno de los fundamentos del trabajo de Newton fue la

representación de muchas funciones matemáticas utilizando series infinitas

de potencias de la variable x. Newton encontró la serie para el sen x y

series similares para el cos x y la tg x. Con la invención del cálculo las

funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía

hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras

como en las aplicadas.

Por último, en el siglo XVIII, el matemático Leonhard Euler demostró

que las propiedades de la trigonometría eran producto de la aritmética de

los números complejos y además definió las funciones trigonométricas

utilizando expresiones con exponenciales de números complejos.

Hiparco de Nicea

(c. 190-120 a.C), Hiparco de Nicea fue astrónomo griego, el más

importante de su época. Nació en Nicea, Bitinia (hoy Iznik, Turquía). Fue

extremadamente preciso en sus investigaciones, de las que conocemos

parte por comentarse en el tratado científico Almagesto del astrónomo

alejandrino Tolomeo, sobre quien ejerció gran influencia. Comparando sus

estudios sobre el cielo con los de los primeros astrónomos, Hiparco

descubrió la precisión de los equinoccios .Sus cálculos del año tropical,

duración del año determinada por las estaciones, tenían un margen de

error de 6,5 minutos con respecto a las mediciones modernas. También

inventó un método para localizar posiciones geográficas por medio de

latitudes y longitudes. Catalogó, hizo gráficos y calculó el brillo de unas mil

estrellas. También recopiló una tabla de cuerdas trigonométricas que

fueron la base de la trigonometría moderna.

Tolomeo


(c. 100-c. 170), Claudio Tolomeo, astrónomo y matemático que

dominó el pensamiento científico hasta el siglo XVI por sus teorías y

explicaciones astronómicas. Posiblemente nació en Grecia, pero su

verdadero nombre, Claudius Ptolemaeus, dice lo que realmente se sabe

de él: 'Ptolemaeus' indica que vivía en Egipto y 'Claudius' que era

ciudadano romano. Contribuyó con sus estudios en trigonometría y aplicó

sus teorías a la construcción de astrolabios y relojes de sol.

Euler

(1707-1783), Leonhard Euler fue un matemático suizo, sus trabajos se

centraron en el campo de las matemáticas puras, Euler nació en Basilea y

se licenció a los 16 años. En 1727, fue miembro del profesorado de la

Academia de Ciencias de San Petersburgo. Fue nombrado catedrático de

física en 1730 y de matemáticas en 1733. En 1741 fue profesor de

matemáticas en la Academia de Ciencias de Berlín. Euler regresó a San

Petersburgo en 1766, donde permaneció hasta su muerte. Aunque tuvo

una pérdida parcial de visión antes de cumplir 30 años y una ceguera casi

total al final de su vida, produjo obras matemáticas importantes, como

reseñas matemáticas y científicas.

En su Introducción al análisis de los infinitos (1748), trató la

trigonometría y la geometría analítica. Entre sus obras se encuentran

Instituciones del cálculo diferencial (1755), Instituciones del cálculo integral

(1768-1770) e Introducción al álgebra (1770).

John Napier

(1550-1617), Napier fue un matemático escocés nacido en

Merchiston, cerca de Edimburgo. Estudió en la Universidad de San Andrés y

allí fue seguidor del movimiento de la Reforma en Escocia, después de

unos años tomó parte en los asuntos políticos de los protestantes y es autor

de la primera interpretación importante en Escocia de la Biblia.

Principalmente es conocido por introducir el primer sistema de

logaritmos, (1614). Además, fue uno de los primeros, si no el primero, en

utilizar la moderna notación decimal para expresar fracciones decimales

de una forma sistemática.

Pitágoras de Samos


(siglo VI A.C.). Se dice que fue discípulo de Tales, pero apartándose

de la escuela jónica fundo en trotona, italia, la escuela pitagórica.

Los egipcios conocieron la propiedad del triangulo rectángulo cuyos

lados miden 3,4 y 5 unidades, en los que se verifica la relación 5² = 3² + 4²,

pero el descubrimiento de la relación a² = b² +c¹ para cualquier triangulo

rectángulo y su demostración de deben indiscutiblemente a Pitágoras.

Se atribuye también ala escuela pitagórica la demostración de la

propiedad de la suma de los ángulos internos de un triangulo y la

construcción geométrica del polígono estrellado de cinco lados.

Euclides

(siglo IV A.C.) escribió una de las obras más famosas de todos los

tiempos llamada Elementos, que constan de trece capítulos titulados

“libros”. De esta obra se han hecho tantas ediciones que solo la aventaja

La Biblia

Euclides construyó la geometría partiendo desde definiciones,

postulados y otros teoremas.

El edificio geométrico construido por Euclides ha sobrevivido hasta nuestros

días. El contenido de los 13 libros es el siguiente:

a) Libro I: Relación de igualdad de triángulos. Teoremas sobre paralelas.

Suma de los ángulos de un polígono. Igualdad de las áreas o

paralelogramos de igual base y altura. Teorema de Pitágoras.

b) Libro II: Conjuntos de relaciones de igualdad entre área de rectángulos

que conducen a la resolución geométrica de la ecuación de segundo

grado.

c) Libro III: Circunferencia, ángulo inscrito

d) Libro IV: Construcción de polígonos regulares inscritos o circunscritos a

una circunferencia

e) Libro V: Teorema general de la medida de magnitudes bajo formas

geometría, hasta los números irracionales

f) Libro VI: Proporciones. triángulos semejantes.pr

g) Libro VII, VIII y IX: Aritmética: proporciones, máximo común divisor y

números primos

h) Libro X: Números inconmensurables bajo forma geométrica a partir de

los radicales cuadráticos


i) Libro XI y XII: Geometría del espacio y, en particular, relación entre

volúmenes de prismas y pirámides; cilindro y cono; proporcionalidad de un

volumen de una esfera al cubo del diámetro.

j) Libro XIII: Construcción de los cinco poliedros regulares

Platón

(Siglo IV A.C.). En la primera mitad de este siglo, se inició en Atenas un

movimiento científico a través de la academia de platón. Para él, la

matemática no tiene finalidad práctica sino simplemente se cultiva con el

único fin de conocer. Por esta razón, se opuso alas aplicaciones de la

geometría. Dividió la geometría en elemental y superior. La geometría

elemental comprendía todos lo problemas que se podía resolver con regla

y compas. La geométrica superior estudiaba los 3 problemas más famosos

de la geometría antigua no resolubles con regla y compas

1. la cuadratura del círculo. Se trata , como indica su nombre de

construir el lado de un cuadrado que tenga la misma área que un

circulo dado , utilizando solamente la regla y el compas

2. la trisección del ángulo. El problema de dividir un ángulo en tres

partes iguales utilizando solamente la regla y el compas no es , mas

que en casos particulares, resolubles

3. la duplicación del cubo. Este problema consiste en hallar , mediante

una construcción geométrica , en la que se utilice solo la regla y el

compas , un cubo que tenga un volumen doble de el de un cubo

dado

Estos tres problemas se puede resolver con la regla y el compas con

toda la aproximación que se desee. Y se resuelven exactamente utilizando

curvas especiales. No se trata por consiguiente de problemas que no se

hayan resuelto en la práctica, sino de problemas de importancia

puramente teórica.

Así pues, se pretendía clarificar la historia de la trigonometría para tener

una visión mucho más amplia de su desarrollo y de igual manera un mayor

entendimiento acerca del tema.


Fue así, como la trigonometría avanzó, hasta convertirse en una rama

independiente que hace parte de la matemática. Pero esto no quiere

decir que los avances, descubrimientos e investigaciones no hayan

continuado. El estudio de la trigonometría actualmente no se limita a las

relaciones entre los elementos de un triángulo y a sus aplicaciones. Hoy en

día, la trigonometría es parte de la matemática y se emplea en muchos

campos del conocimiento tanto teóricos como prácticos, e interviene en

toda clase de investigaciones geométricas y algebraicas en las cuales

aparecen las llamadas funciones trigonométricas, de gran aplicación

además en la electricidad, termodinámica, investigación atómica etc.

No está demás aclarar que la palabra trigonometría deriva de dos

raíces griegas: trigon, que significa triángulo, y metra, que significa medida,

entonces, se tiende a creer su aplicación solo se limita o refiere a las varias

relaciones entre los ángulos de un triángulo y sus lados.

Sin embargo, el hombre la ha empleado para calcular áreas,

distancias, trayectorias y en el estudio de la mecánica etc., con base en la

resolución de triángulos.

La trigonometría, que al principio aparece como parte de la geometría,

ocupada de formular relaciones entre las medidas angulares y las

longitudes de los lados de un triángulo, y que surgió para resolver

inicialmente problemas de exactitud en la navegación y en el cálculo del

tiempo y los calendarios por parte de los griegos, posteriormente se ha

convertido también el fundamento de los cálculos astronómicos. Por

ejemplo, la solución del llamado triángulo astronómico se utiliza para

encontrar la latitud y longitud de un punto, la hora del día, la posición de

una estrella y otras magnitudes.

Así pues, esta misma trigonometría se dividió en dos ramas

fundamentales, que son la trigonometría plana, que se ocupa de figuras

contenidas en un plano, y la trigonometría esférica, que se usa sobre todo

en navegación y astronomía y estudia triángulos esféricos, es decir,

triángulos que forman parte de la superficie de una esfera.


4.-Ángulos orientados

Un ángulo es la porción de plano comprendida entre dos semirrectas

que se cortan en un punto denominado vértice; a las semirrectas se le

llama lados. Para designar a los ángulos se utilizan tres letras: dos para los

lados y uno para el vértice, o bien con una sola letra colocada en el

vértice, normalmente del alfabeto griego.

Diremos que un ángulo está orientado

en sentido positivo, si dicho ángulo está en

sentido contrario a las agujas del reloj. En caso contrario se dice de sentido

negativo.

Ángulo BOC es positivo


Ángulo BOA es negativo

5.- Sistemas de Medición de Ángulos

Para medir ángulos pueden adoptarse distintas unidades. Los sistemas más

usados son:

sistema centesimal, la circunferencia se divide en 400 partes iguales,

cada una de ellas llamada grado centesimal (g). cada grado tiene 100

minutos centesimales (m) y cada minuto tiene 100 segundos

centesimales (s).

Sistema sexagesimal, cuya unidad de medida angular es el grado

sexagesimal, que es la noventa-ava parte del ángulo recto y se

simboliza 1º. La sesenta-ava parte de un grado es un minuto (1’) y la

sesenta-ava parte de un minuto es un segundo (1”).

"'

' 160

11

60

º1º1

90

rectoángulo

Un ángulo llano mide 180º y un giro completo mide 360º.

Sistema circular o radial, cuya unidad de medida es el radián. La

proporcionalidad que existe entre la longitud s de los arcos de dos

circunferencias concéntricas cualesquiera determinados por un ángulo

central α y los radios r correspondientes, permite tomar como medida

del ángulo el cociente rs

radioarco . Un ángulo central de 1 radián es

aquel que determina un arco que tiene una longitud igual al radio.

s = r, por lo tanto 1

rs .

Un radián es la medida del ángulo con

vértice en el centro de la circunferencia y

s3

s1 s2

r2

r3

r1


Ejemplo:

Si determina un arco de 6 cm en una circunferencia de 2 cm de radio,

entonces la medida en radianes de β es: 3cm2

cm6

rs

. En el sistema circular, β

mide 3 radianes, o decimos que mide 3, sin indicar la unidad de medida.

La medida en radianes de un ángulo de un giro es 22r

r.. .

La medida en radianes de un ángulo llano, que es la mitad de un giro, es

2

2 ..

La medida en radianes de un ángulo recto es 2 .

Para relacionar un sistema de medición con otro, observamos la siguiente

tabla:

Ángulo Sistema

sexagesimal

Sistema

circular

1 giro 360º 2

llano 180º

recto 90º /2

¿A cuántos grados sexagesimales equivale un radián?

Haciendo uso de las proporciones y teniendo en cuenta la medida del

ángulo llano, tenemos


π 180º

1 "'ºº 4517571801

Nota: es aproximadamente igual a 3,14. Un ángulo de radianes

equivale a un ángulo de 180º. Pero 180.

Actividad:

1) Expresar en radianes las medidas de los ángulos, si es posible, utilizando

fracciones de :

a) 30º b) 45º c) 60º d) 120º

2) Expresar en grados sexagesimales los siguientes ángulos medidos en

radianes:

2 1/2 /2 2

3) Efectuar las siguientes operaciones.

a) Hallar el ángulo complementario de 56º 41’ 27’’

b) Hallar el ángulo suplementario de 102º 25’

c) ¿Cuánto mide el ángulo que supera en 12º 33’ a la quinta parte

de 39º 40’ ?

d) El minutero de un reloj es de 12 cm de largo. ¿Qué recorrido

realiza la punta de la manecilla en 20 minutos?

4) Expresa en grados sexagesimales:

i) 3π/5 ii)5π/3 iii) 4π/5 iv) 5π/6 v) 9π/10 vi) π/12

5) Expresa en radianes:

i) 310° ii) 75° iii) 600° iv) 12° v)35° vi) 220°


6.- Razones Trigonométricas y sus recíprocas en el

triángulo rectángulo

De un triángulo rectángulo ABC como se muestra en la figura:

Seno

Seno del ángulo B: es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la

hipotenusa.

Se denota por sen B.

Coseno


Coseno del ángulo B: es la razón entre el cateto contiguo al ángulo y la

hipotenusa.

Se denota por cos B.

Tangente

Tangente del ángulo B: es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el

cateto contiguo al ángulo.

Se denota por tan B.

Cosecante

Cosecante del ángulo B: es la razón inversa del seno de B.

Se denota por cosec B.

Secante

Secante del ángulo B: es la razón inversa del coseno de B.

Se denota por sec B.


Cotangente

Cotangente del ángulo B: es la razón inversa de la tangente de B.

Se denota por cotg B.

Guía de ejercicios:

1) Calcular las demás razones trigonométricas sabiendo que:

i) cosA= 4/5

ii) senA= 1/√5

iii) tanA= √2/4

iv) cotgA= 2

v) cscA= 2

vi) senδ= 0,3

vii) cotgφ= 1,2

viii) senθ= 5/12

ix) tanB= 1/3

x) cosC= 7/25

2) Encuentre el valor de:

i) senγ – cosγ, si tanγ= 1/b

ii) cos2ω -1, si secω= (1+a)/(1-a)


7.- Razones trigonométricas de ángulos

complementarios

Podemos desarrollas las funciones trigonométricas de ángulos

complementarios mediante triángulos rectángulos, ya que los ángulos que

no son rectos son complementarios entre si: a + b = 90º entonces b = 90º-a

tg (90 - a) = cotg a

cotg (90 - a) = tg a

sec (90 - a) = cosec a

cosec (90 - a) = sec a

Ejemplo:


8.- Circunferencia goniométrica

Circunferencia goniométrica, circunferencia de radio unidad sobre

la cual se representan los ángulos para que se puedan visualizar sus

razones trigonométricas.

Sobre un sistema de ejes coordenados con centro en el origen, O, se

traza una circunferencia de radio unidad:

El vértice del ángulo se sitúa en O, el primero de sus lados, a, sobre la

parte positiva del eje de las X, y el segundo lado, b, se abre girando en

sentido contrario a las agujas del reloj. Este segundo lado corta a la

circunferencia goniométrica en un punto P cuyas coordenadas son

c = cos a y s = sen a. La tangente t se sitúa sobre la recta r tangente a la

circunferencia en U y queda determinada por el punto T, en el que el lado

b, o su prolongación, corta a r.

La circunferencia goniométrica – Ángulos orientados

Cuando trabajamos en radianes, las medidas de los ángulos son

números reales. Si definimos ángulos orientados esta medida puede tomar

valores negativos. Al trabajar con un ángulo en un sistema de

coordenadas cartesianas, éste está generado por la rotación de una

semirrecta o rayo que parte del semieje positivo de las x.

http://es.encarta.msn.com/encyclopedia_961533921/Circunferencia.html

http://es.encarta.msn.com/encyclopedia_761566043/%C3%81ngulo.html


I cuadrante II cuadrante

P1

III cuadrante IV cuadrante

P0

P2

P3

δ

P1

Si el lado gira en sentido contrario a las agujas del reloj, se dice que

el ángulo es positivo. Y es negativo cuando está generado en sentido

horario. Puede, además, realizar más de un giro completo.

Para referirnos a su ubicación, consideramos el plano cartesiano

divido en cuatro sectores, llamados cuadrantes y una circunferencia con

centro en el origen y radio 1 que llamaremos circunferencia goniométrica.

Para hallar el segmento asociado al sen , se construye en el

segundo cuadrante el triángulo rectángulo con las componentes de P1 y

el segmento de ordenadas corresponde a seno de . Análogamente

sucede con los ángulos del tercer y cuarto cuadrante, donde el segmento

de ordenada se asocia con el seno del ángulo y el segmento de abscisa,

con el coseno del ángulo.

Los signos de los valores de las relaciones trigonométricas de los

distintos cuadrantes dependen de los signos de las coordenadas del punto

sobre el lado terminal del ángulo.Esta información se resume en la siguiente

tabla, que se debe completar:

Actividad:

sen cos tg cosec sec cotg

I + + +

II

III

En la figura, como r = 1 tenemos que:

0

00

1y

y

r

ysen el segmento de

ordenadas está relacionado con el

sen .

0

00

1x

x

r

xcos El segmento de

abscisas está relacionado con el


IV

9.- Razones trigonométricas de ángulos notables

(30º, 45º y 60º)

Si dibujamos un triángulo equilátero ABC, cada uno de sus tres

ángulos mide 60º y, si trazamos una altura del mismo, h, el ángulo del

vértice A por el que la hemos trazado queda dividido en dos iguales de 30º

cada uno. Recurriendo al Teorema de Pitágoras, tenemos que la altura es:

Seno, coseno y tangente de 45


10.- Razones trigonométricas de ángulos cuadrantales

II I

III IV

270°

0° 90° 180° 270° 360°

Seno 0 1 0 -1 0

Coseno 1 0 -1 0 1

Tangente 0 0 0

Cosecante 1 -1

Secante 1 -1 1

Cotangente 0 0

: No existe

Ejercicios:

180° 0°

360°

90°


i) sen30° + tan 45°

ii) 3Tan260° - 3/4sen270°

iii) (Csc270° - sen30°)2

iv) ½Cos60° - 1/4tn30° + 1

v) cos30°cos60° - sen30°sen60°

vi) sen30°cos60° + cos30° sen60°

vii) Sen90° • cos45° - 3cos45° - 3cos90° • sen60°

viii) (tan60° - tan30°) : (1 + tan30°tan60°)

ix) (tan60° - sen45°) : -(1 + sen45° + cos45°)

x) (csc30° + csc 60° + csc90°) : (sec0° + sec30° + sec60°)

xi) 2sec45° - 3 sec230°

xii) 3tan2 30° + 4/3(cos230°) - (sec245°)/2 – 1/3 (sen260°)

xiii) ( 1 + sec230°) : (tan60° + sec30°) – tan245°

xiv) sen180° + 2 cos180° + 3csc270° + 5 cos270° - 5sec180° - 6 csc270°

xv) (sen30° - cos20° + tan260°) : (3sec30° + cos245°)

xvi) [sen60° - cos30° + tan245°] : 3cosec30°

xvii) (tan30°sen30°cos30°) : (tan45°cos45°)

xviii) (sen45° + tan45°) : (cos45° - cotg45°)

xix) sen30° + cos245° - 2tan230°

xx) 5cos245° - 2cos20° + cotg 30° - 2 cotg90° + 2/3(sen180°) – sen30°cos260°

11.- Resolución de triángulos rectángulos

Resolver un triángulo es conocer el valor de sus tres lados y sus tres

ángulos. Una de las aplicaciones más inmediatas de la trigonometría es la


resolución de triángulos. También veremos como resolver triángulos no

rectángulos por descomposición en triángulos rectángulos.

El uso de las razones trigonométricas junto con el teorema de

Pitágoras, nos permiten resolver cualquier triángulo rectángulo conociendo

dos datos, uno de ellos ha de ser un lado.

i) Se conocen la hipotenusa y un cateto

*Resolver el triángulo conociendo:

1) a = 415 m y b = 280 m.

2) sen B = 280/415 = 0.6747 B = arc sen 0.6747 = 42° 25′

3) C = 90° - 42° 25′ = 47° 35′

4) c = a cos B c = 415 · 0.7381 = 306. 31 m

ii) Se conocen los dos catetos



1) b = 33 m y c = 21 m.

2) tg B = 33/21 = 1.5714 B = 57° 32′

3) C = 90° - 57° 32′ = 32° 28′

4) a = b/sen B a = 33/0.5437 = 39.12 m

iii) Se conocen la hipotenusa y un ángulo agudo


1) a = 45 m y B = 22°.

2) C = 90° - 22° = 68°

3) b = a sen 22° b = 45 · 0.3746 = 16.85 m

4) c = a cos 22° c = 45 · 0.9272 = 41.72 m

iv) Se conocen un cateto y un ángulo agudo



1) b = 5.2 m y B = 37º

2) C = 90° - 37° = 53º

3) - a = b/sen B a = 5.2/0.6018 = 8.64 m

4) - c = b · cotg B c = 5.2 · 1.3270 = 6. 9 m

12.- Ángulos de elevación y depresión

Los ángulos de elevación y de depresión, son los que se forman por

la línea visual y la línea horizontal.

Se llama línea visual (o de visión) a la recta imaginaria que une el ojo

de un observador con el lugar observado.


En la imagen, A observa a B

Ángulo de elevación

Llamamos ángulo de elevación al que forman la horizontal del

observador y el lugar observado, cuando éste está situado arriba del

observador.

En la imagen, A observa a B.

: ángulo de elevación

H : horizontal del observador

Ángulo de depresión

Cuando el observador está más alto lo llamaremos ángulo de depresión.

En la imagen, el observador ahora está en la torre, hablaremos entonces

de un ángulo de depresión.


En la imagen B observa a A.

: ángulo de depresión

H : horizontal del observador

Ejemplo:

Una piedra que está en el suelo se encuentra a 20 metros de un árbol con

un ángulo de elevación de 60°. ¿Cuál es la altura del árbol?

Solución: El árbol es perpendicular al suelo, entonces su dibujo es:

Los datos corresponden a los catetos del triángulo rectángulo y la función

trigonométrica que los relaciona es la tangente, entonces:


Ejemplo 2:

Una persona se encuentra en la parte superior de un faro de 30 metros de

altura y observa un gato que se encuentra en el techo de una casa de 5

metros de altura, con un ángulo de depresión de 30º. ¿Cuál es la distancia

entre el gato y la persona?

Los datos que se tienen corresponden al cateto opuesto y a la hipotenusa,

del triángulo rectángulo formado. La función trigonométrica que los

relaciona es el seno, entonces:


Ejercicios

1) Desde un punto al nivel del suelo y a 135 metros de la base de una torre,

el ángulo de elevación a la parte más alta de la torre es 57°. Calcular la

altura de la torre. [R=207,88]

2). Un cable está sujeto a lo alto de una antena de radio y a un punto en el

suelo horizontal que está a 40m de la base de la antena. Si el alambre

hace un ángulo de 58° con el suelo, encuentre la longitud del alambre.

[R=75,48]

3) Para medir la altura de una capa de nubes, un estudiante de

meteorología dirige la luz de un faro verticalmente hacia arriba desde el

suelo. Desde un punto P situado a 1000m del faro, se mide el ángulo de

elevación de la imagen de la luz en las nubes, siendo esta de 59°. Hallar la

altura de la capa de nubes. [R=1 664,28]

4) Calcular el ángulo de elevación al sol, si una persona que mide 165cm

de estatura proyecta una sombra de 132cm de largo a nivel del suelo.

[R=51°]

5) Un constructor desea construir una rampa de 8m de largo que se

levanta a una altura de 1.65m sobre el nivel del suelo. Encuentre el ángulo

de la rampa con la horizontal. [R=12°]

13.- Resolución de Problemas

A continuación, una serie de ejemplos para resolver distintos tipos de

problemas sobre lo aprendido.


Nota: Todas las operaciones están aproximadas con dos o tres decimales.

Ejemplo 1:

Calcula las razones trigonométricas del ángulo α :

Los tres lados del triángulo son conocidos, así que

para calcular las razones trigonométricas sólo

tenemos que aplicar las fórmulas y sustituir. Para el

ángulo α el cateo opuesto es 9, el contiguo 12 y la

hipotenusa 15.

Ejemplo 2:

Calcula las razones trigonométricas del ángulo C

del siguiente triángulo

Ahora en este ejercicio ya no tenemos los tres

lados, falta uno de los catetos y para calcularlo

vamos a utilizar el Teorema de Pitágoras.

Lo primero ponerle nombre a los lados. Vamos a llamarle con letras

minúsculas a los lados que están enfrente del ángulo con la

correspondiente letra mayúscula; es decir a = 14 m, b = 8 m y c es el lado

que queremos calcular.

Aplicando el Teorema de Pitágoras tenemos:


a2 = b2 + c 2

142= 82 + c2

196 = 64 + c2

196 - 64 = c2

132 = c2 y aplicando las fórmulas

11,49 = c tenemos:

Luego c = 11, 49 m.

Ejemplo 3:

Determina los ángulos del ejercicio anterior

Obviamente ya sabemos que el ángulo A es el ángulo recto y por

tanto A = 90º. Para calcular los otros dos vamos a hacerlo con las razones

trigonométricas y con la ayuda de la calculadora.

Si queremos calcular el ángulo C con los datos que parto, lo primero

es identificar los lados que conozco respecto al ángulo C, que en este

caso son cateto contiguo e hipotenusa y pienso en qué razón

trigonométrica intervienen esos lados. La respuesta es el coseno, así que

calculo cos C.

Cos C = 8 / 14 = 0,57. Ahora con la calculadora sacamos cuál es el

ángulo, utilizando la función inversa de la tecla "cos", y el resultado es C =

55,25º.

Para calcular B puedo hacer lo mismo, pensar qué razón puedo

calcular, o como ya tengo dos ángulos, sacarlo de que la suma de los

ángulos de cualquier triángulo es 180º ( A + B + C = 180). Por cualquier

camino el resultado es B = 34,75º.

Ejemplo 4:

De un triángulo rectángulo se sabe que uno de sus ángulos agudos

es 40º y que el cateto opuesto a éste mide 10m. Calcula el ángulo y los

lados que faltan.


Lo primero es hacer un dibujo que

nos aclare la situación y ponerle nombre

a los lados y ángulos. Esta sería nuestra

situación.

Para empezar los más fácil es sacar

el ángulo que falta, y aplicando que la

suma de los tres es 180, el ángulo B vale

50º.

Vamos a calcular ahora por ejemplo el lado "b". Si me fijo en el

ángulo C, el lado que sé es el cateto opuesto y el que pretendo calcular es

el contiguo. Como la razón trigonométrica en la que intervienen estos es la

tangente, voy a calcularla con la calculadora y despejar a partir de ahí:

Por tanto ya tenemos el lado "b". Para calcular el lado "a" podríamos

aplicar Pitágoras o sacarlo por alguna razón. Vamos a seguir este camino

que será más corto.

Por ejemplo, fijémonos en el lado "c" y el ángulo "C", aunque ya se

podría utilizar cualquiera de los datos. Para el ángulo "C", tenemos cateto

opuesto y necesitamos la hipotenusa; así que habrá que utilizar el seno:

Ejemplo 5:

Calcula la altura de la torre si

nuestro personaje está a 7 m de la base


de la torre, el ángulo con el que está observando la cúspide es de 60º y

sostiene el artilugio a una altura de 1,5 m.

Para comenzar, vamos a hacer un dibujo que aclare un poco la

situación poniendo los datos que conocemos.

Si nos fijamos en el triángulo, el lado c mide 7 m y una vez que

tengamos calculado el lado b, para calcular la altura de la torre sólo

tendremos que sumarle los 1,5 m. Así pues, vamos a calcular el lado b.

Para el ángulo 60º, el lado que conozco es el cateto contiguo y el

que quiero calcular es el cateto opuesto, así pues planteo la tangente de

60º.

Por tanto la altura de la torre es 12,11 m +

1,5 m = 13, 61 m.

Ejemplo 6:

El seno de cierto ángulo α del segundo cuadrante vale 0,45. Calcula el coseno y la tangente.

Para resolver este ejercicio tenemos que recurrir a las relaciones

trigonométricas. De la primera sacaremos el valor del coseno y una vez

que lo tengamos sacaremos la tangente: Sacamos el valor del coseno

despejándolo de la fórmula:

sen2α + cos2α = 1.

Como nuestro

ángulo está en el segundo

cuadrante y en ese

cuadrante el coseno es

negativo, tenemos que quedarnos con el signo -, por tanto cos α = - 0,893.


Para calcular el valor de la tangente, aplicamos la segunda fórmula:

Ejemplo 7:

Sabiendo que cos 42º = 0,74. Calcula:

sen 222º, tg 138º, cos 48º y sen 318º

sen 222º

El ángulo 222º pertenece al tercer cuadrante. Vamos a ver con que

ángulo del primero se relaciona: α = 222º - 180º = 42º. Por tanto y teniendo

en cuenta que el seno en el tercer cuadrante es negativo, sen222º = - sen

42º = - 0,669 (Para calcular el sen 42º seguimos el mismo procedimiento que

en el ejercicio 6).

tg 138º

138º está en el segundo cuadrante y se relaciona del primero con α =

180º - 138º = 42º, que vuelve a ser el ángulo que conocemos. Como la

tangente es negativa en el segundo cuadrante, tg 138º= - tg 42º= -0,9 (tg

42º lo calculamos igual que en el ejercicio 6)

cos 48º

48º es del primer cuadrante, pero cumple que es el complementario

del ángulo que conozco 42º. Entonces cos 48º = sen 42º = 0,669.

sen 318º

318º está en el cuarto cuadrante y se relaciona con 360º - 318º = 42.

Entonces sen 318 º= - sen 42º = - 0,669

Ejercicios:

1) En un triángulo rectángulo isósceles la hipotenusa es igual a 7 cm.

¿Cuánto miden los catetos?

2) Un triángulo rectángulo tiene un ángulo B=37°45’28”. Calcula el ángulo

C.


3) En un triángulo rectángulo ABC se conocen la hipotenusa a=15 cm y el

ángulo B=20°. Halla los restantes elementos.

4) En un triángulo rectángulo ABC se conocen el lado b=102,4 m y el

ángulo B=55°, Resuelve el triángulo.

5) La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide a=25 m y el cateto B=20

m. resuelve el triángulo.

6) Los catetos de un triángulo miden b= 8 cm y c=24 cm. Halla los restantes

elementos del triángulo.

7) Calcula el radio y el apotema de un octógono de lado 10 cm.

8) Los catetos de un triángulo rectángulo son 3 y 4 m. Halla la altura

correspondiente a la hipotenusa

9) Halla el radio de la circunferencia sabiendo que una cuerda de 24,6 m

tiene como arco correspondiente uno de 70°.

10) La base de un triángulo isósceles miden 10 m y el ángulo opuesto 50°.

Halla el área.

11) Una moneda de 25 pesetas mide 2,5 cm de diámetro. Halla el ángulo

que forman las tangentes a dicha moneda desde un punto situado a 6 cm

del centro.

12) Un ángulo de elevación de la veleta de la torre es de 45°15’’, a una

distancia de 172 m de la torre. Si el observador se encuentra a 1,10 metros

sobre el suelo, calcula la altura de la torre.

13) Se desea calcular la altura de una torre de lanzamiento de cohetes;

para ello se hacen dos observaciones desde los puntos A y B, obteniendo

como ángulos de elevación 30° y 45°, respectivamente. La distancia AB=30

m. Halla la altura de la torre.

14) Pedro y Ana ven desde las puertas de sus casas una torre de televisión,

bajo los ángulos de 45° y 60°. la distancia entre las casas es de 126 m y la

antena está situada entre sus casas. Halla la altura de la torre.

15) Dos amigos han creído ver un OVNI, desde dos puntos situados a 800

m, con ángulos de elevación 30° y 75°, respectivamente. ¿Sabrías hallar la

altura a la que se encuentra el OVNI?

16) halla el área de u pentágono regular de lado 10 m.


17) Halla el área de un octógono regular de lado 1o m.

18) En un ∆ABC se conoce el lado a=BC=10 m., el ABC=105° y el

ACB = 30°. Halla los lados y el área del triángulo.

19) Los catetos de un triángulo rectángulo son iguales y miden 10 m. Halla

la altura sobre la hipotenusa.

20) Calcula el lado del pentágono regular inscrito en una circunferencia

de radio 10m.

14.- Signo de las razones trigonométricas

De acuerdo con el cuadrante en que se halle el lado terminal del

ángulo y teniendo en cuenta que la distancia de un punto cualquiera al

origen de coordenadas es siempre positiva, y aplicando la " ley de los

signos", las razones trigonométricas pueden ser positivas o negativas.


Sea P = (a,b) punto sobre el círculo unitario que corresponde al

ángulo . Si sabemos en que cuadrante está el punto P, entonces

podemos determinar los signos de las funciones trigonométricas de . Por

ejemplo, si P = (a,b) esta en el cuarto cuadrante, entonces sabemos que

a >0 y que b<0.

Guía de ejercicios:

En los siguientes problemas diga en que cuadrante esta el ángulo .

1) sen > 0, cos < 0

2) sen < 0, cos > 0

3) sen < 0, tan < 0

4) cos > 0, tan > 0

5) cos > 0, tan < 0

6) cos < 0, tan > 0

7) sec < 0, sen > 0

8) csc < 0, cos < 0

15.- Reducción al primer cuadrante

Es conveniente reducir una función trigonométrica de un ángulo

cualquiera a su equivalente de un ángulo del primer cuadrante. Para tal

efecto, vamos a deducir las fórmulas para calcular las funciones

trigonométricas de (180° - a), (180° + a) y (360° - a). También, vamos a

constatar que "las funciones trigonométricas de un ángulo, en el primer

cuadrante, son iguales a las cofunciones del ángulo complementario".


Además, vamos a calcular las funciones trigonométricas del negativo de

un ángulo.

Ángulos Complementarios

Ángulos Suplementarios


Ángulos que difieren en 180°

Ángulos Opuestos


Ángulos Negativos


Mayores de 360°



Ángulos que suman en 270°




Ejercicios:

I. Reduce al primer cuadrante cada una de las expresiones siguientes.

i) sec (-830º)

ii) csc(-1.200º)

iii) tg2.295º

iv) sen (2 ) – cos( - ) + cot g( - )

v) sen195º+sec195º+csc345º

vi) csc1.590º

vii) sec(-945º)

viii) ctg600º

ix) sen225º+cos225º - tg225º

x) sec(-30º)

xi) cosec315º + sec 315º - cos( -315º)

xii) cosec(-45º) + cot g(-60º)

xiii) sen120º-2 ×cos120º

xiv) tg(-60º) + cot g(-420º)

II. Relaciona las razones trigonométricas de un ángulo de 210º con las de

un ángulo del primer cuadrante.

III. Considera un ángulo de 850º. Redúcelo a un ángulo menor a 360º y

relaciona las razones trigonométricas con las de un ángulo del primer

cuadrante.

16.- Gráfica de la funciones trigonométricas


Funciones trigonométricas

Las funciones trigonométricas son funciones muy utilizadas en las

ciencias naturales para analizar fenómenos periódicos tales como:

movimiento ondulatorio, corriente eléctrica alterna, cuerdas vibrantes,

oscilación de péndulos, ciclos comerciales, movimiento periódico de los

planetas, ciclos biológicos, etc.

En aplicaciones de las funciones trigonométricas relacionadas con

fenómenos que se repiten periódicamente, se requiere que sus dominios

sean conjuntos de números reales. Para la obtención de valores de las

funciones trigonométricas de números reales con una calculadora por

ejemplo, se debe usar el modo radián.

La función seno

La función seno es la función definida por: f(x)= sen x.

Características de la función seno

1. Dominio: IR

Recorrido: [-1, 1]

2. El período de la función seno es 2 .

3. La función y=sen x es impar, ya que sen(-x)=-sen x, para todo x en IR.

4. La gráfica de y=sen x intercepta al eje X en los puntos cuyas abscisas

son: x =n π. para todo número entero n.

5. El valor máximo de senx es 1, y el mínimo valor es -1. La amplitud de la

función

y=senx es 1.

y = sen x

La función coseno


La función coseno es la función definida por: f(x)= cos x.

Características de la función coseno

1. Dominio: IR

Recorrido: [-1, 1]

2. Es una función periódica, y su período es 2 .

3. La función y=cosx es par, ya que cos(-x)=cos x, para todo x en IR.

4. La gráfica de y=cosx intercepta al eje X en los puntos cuyas abscisas son:

,para todo número entero n.

5. El valor máximo de cos x es 1, y el valor mínimo valor es -1. La amplitud

de la función y=cosx es 1.

y = cos x

Función Tangente

Características de la función tangente


1. Dominio:

Recorrido: IR

2. La función tangente es una función periódica, y su período es π.

3. La función y=tan x es una función impar, ya que tan(-x)=-tan x.

4. La gráfica de y=tan x intercepta al eje X en los puntos cuyas abscisas

son: x =n , para todo número entero n.

y = tan x

17.- Identidades trigonométricas básicas y pitagóricas

Una identidad trigonométrica es una relación de igualdad entre

expresiones trigonométricas que son verdaderas para todas las medidas

angulares para las cuales están definidas.


Ejemplo: sen2+ cos2 = 1

Las identidades trigonométricas son útiles para reducir, simplificar o

transformar otras expresiones trigonométricas como también para

demostrar nuevas identidades

Identidades trigonométricas básicas:

Identidades trigonométricas pitagóricas:

Relaciones pitagóricas:

C A

B

b

c a

sen

sen

1csc

csc

1

cos

1sec

sec

1cos

tan

1cot

cot

1tan

costan

sen

sen

coscot

Sen •csc = 1

Csc •sen = 1

Cos •sec = 1

Sec •cos = 1

Tan •cot = 1

Cot •tan = 1

22

22

22

csccot1

sec1tan

1cos

sen

B

¿

B

a c


De acuerdo al Teorema de Pitágoras:

Dividiendo entre c2

De donde

Por tanto

Ejercicios:

1. 1csc xsenx

2. xxsenx tansec

3. 1seccot xsenxx

4. xxx

xsenseccos

cos

2

5. xxsen 22 cos1

6. xsenxxsen 222 1cot

7. xsenxsenx 2cos)1)(1(

8. xsenxsenx 222 21cos

9. xsenxxsenx cos21)cos( 2

10. 1cotcsc 22 xx

18. Razones trigonométricas de la suma

y diferencia de ángulos

222 cba

2

2

2

2

2

2

c

c

c

b

c

a

1

22

c

b

c

a

1cos22 sen

A

C b


Ejemplo:

Ejercicios:

i))cos(

)()tan(

yx

yxsenyx

ii) xyxseny

yxtancot

cos

)cos(


iii) ?º15 sen

iv) ?º165cos

v) ?º120tan

vi) yxxseny

yxtantan

cos

)cos(

vii) yyxsenyxsen

yxyxtan

)()(

)cos()cos(

viii)yx

yxsenyx

coscos

)(tantan

ix) ?º135tan

x) ?º15sec

19.- Identidades trigonométricas del ángulo doble

Ejemplo:


Ejercicios:

i) xxsenx 2tan2cos1

ii) xsenxsenx 21)cos( 2

iii) )2cos1)((tan2 xxxsen

iv) xx

xtancot

22tan

v) x

xx

cot2

1cot2cot

2

vi) 2

tancot2cot

xxx

vii) )sec2)(2(secsec 22 xxx

viii) xxsen

x 2sec2

tan2

ix) 1cot

cot22tan

2

x

xx

x) x

xx

tan

tan12csc2

2

20.- Identidades trigonométricas del valor medio

de un ángulo


Ejemplo:

Ejercicios:

i) sen15° + cos165°

ii) tan 120° - cos22,5°

iii) csc 105°cos135°

iv) senXsecX = tanX

v) (1 – sen2A)(1 + sen2A) = 1

vi) 1 + tan2X = sec2X

vii) [√(1 + tan2A)] : tanA = cscA

viii) tanB + cotgB = cscB/cosB

ix) (1 – sen2θ)(1 + tan2θ) = 1

x) tanβ – cscβsecβ(1 – 2cos2β) = cotgβ

xi) (tanΔ – senΔ) : sen3Δ = secΔ/(1 + cosΔ)

xii) tan2Θcsc2Θcotg2Θsen2Θ = 1


xiii) (1 – 2cos2γ) : senγcosγ = tanγ - cotgγ

xiv) tanXsenX + cosX = secX

xv) senAcosA(tanA+ cotgA) = 1

xvi)senB : (senB + CosB) = secB : (secB+ cscB)

xvii) (Rsenθcosφ)2 + (Rsenθsenφ)2 + (Rcosθ)2 = R2

xviii) (xsenA – ycosA)2 + (xcosA + ysenA)2 = x2 + y2

xix) cotgX + senX : (1 + cosX) = cscX

xx) (secδ + cscδ) : (tanδ + cotgδ) senδ + cosδ

xxi) 2 : (sec2B) = (1 – tan2B) : (1 + tan2B) + 1

xxii) (2senXcosX) : (1 + cos2X - sen2X) = tanX

xxiii) tany + cotgy = secycscy

xxiv) (tan3a – cotg3a) : (tana- cotga) = tan2a + cotg2a

xxv) (1 –cos2A) : sen2A = tanA

xvi) 2tanc : (1 + tan2c) = sen2c

xvii) sen(45° + B) – sen(45° - B) = √2senB

xviii) sen(x+y) : cos(x-y) = (tanx + tany) : (1 + tanxtany)

xxix) sen(a+b)sen(a-b) = sen2a – sen2b

xxx) 2tan2X = (cosX + senX) : (cosX - senX) – (cosX – senX) : (cosX + senX)

21.- Ecuaciones trigonométricas

Una ecuación trigonométrica es aquella ecuación en la que

aparecen una o más funciones trigonométricas. En las ecuaciones

trigonométricas la incógnita es el ángulo común de las funciones

trigonométricas.

No puede especificarse un método general que permita resolver

cualquier ecuación trigonométrica; sin embargo, un procedimiento

efectivo para solucionar un gran número de éstas consiste en transformar,

usando principalmente las identidades trigonométricas, todas las funciones

que aparecen allí en una sola función (es recomendable pasarlas todas a

senos o cosenos).

Una vez expresada la ecuación en términos de una sola función

trigonométrica, se aplican los pasos usuales en la solución de ecuaciones

algebraicas para despejar la función; por último, se resuelve la parte


trigonométrica, es decir, conociendo el valor de la función trigonométrica

de un ángulo hay que pasar a determinar cuál es ese ángulo.

En las soluciones pueden aparecer valores extraños (debido a la

manipulación de las ecuaciones al tratar de reducirlas), por ejemplo: nos

puede resultar un cosx = 2, el que debemos descartar, obviamente, pues

el codominio del coseno se limita a [-1, 1]. También, debemos verificar

todas las respuestas obtenidas y aceptar sólo aquellas que satisfacen la

ecuación original.

Como las funciones trigonométricas repiten su valor y signo en dos de

los cuadrantes, hay que tener presente que siempre habrá por lo menos

dos ángulos distintos en la solución de una ecuación trigonométrica.

Ejemplo 1:


Ejem

plo 2:

Ejemplo 3:


Ejercicios:

e) Senx = sen2x

f) Csc2x = 4/3

g) Secx + tanx = 0

h) Cosx + cos2x + cos3x = 0

i) 2cosx = 1 – senx

22.- Teoremas fundamentales para la resolución de

triángulos oblicuángulos


Triángulos oblicuángulos: Definición y propiedades

Se denomina triángulo oblicuángulo a cualquier tipo de triángulo,

siendo el triángulo rectángulo un caso particular de esta denominación.

Para construir un triángulo es necesario conocer estas dos

importantes propiedades:

1ª.- En todo triángulo, la suma de los tres ángulos vale 180º.

2ª.- En todo triángulo, la suma de las longitudes de dos de sus lados es

mayor que la longitud del tercero.

22.1 .- Teorema del seno y el coseno

La herramienta fundamental para resolver triángulos cualesquiera

son los llamados Teoremas del Seno y el Coseno.

Teorema del seno

Si ABC es un triángulo oblicuángulo con los ángulos y lados marcados en la forma

acostumbrada entonces:


c

sen

b

sen

a

sen

La ley de los senos consta de las

siguientes tres fórmulas:

Por lo tanto: En cualquier triángulo, la razón entre el seno de un ángulo y el lado

opuesto a ese ángulo es igual a la razón entre el seno de otro ángulo y el lado

opuesto a ese ángulo.

El teorema del seno se puede aplicar cuando se conocen los siguientes datos del

triángulo

1. Dados dos ángulos y el lado opuesto a uno de ellos.

2. Dados dos lados y un ángulo entre ellos.

3. Dados dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.

c

sen

b

sen

c

sen

a

sen

b

sen

a

sen


Demostración Teorema del seno

Teorema del coseno

a

sen

b

sen

bsenasen

asenha

hsen

RECTÁNGULODBC

bsenhb

hsen

RECTÁNGULOADC

AlturahCD

LOOBLICUÁNGUABC

c

sen

b

sen

bsencsen

bsenhb

hsen

RECTÁNGULOECA

csenhc

hsen

RECTÁNGULOABE

AlturahAE

11

11

c

sen

b

sen

a

sen


Si ABC es un triángulo oblicuángulo, el teorema del coseno queda expresado

como:

1. cos2222 bccba

2. cos2222 accab

3. cos2222 abbac

Por lo tanto: El cuadrado de la longitud de cualquier lado de un triángulo es igual

a la suma de las longitudes de los otros dos lados, menos el doble del producto de

las longitudes de los mismos lados por el coseno del ángulo entre ellos.

El teorema del coseno se puede aplicar cuando se conocen los siguientes datos

del triángulo

1. Dados dos lados y el ángulo que forman entre ellos

2. Dados los tres lados


Demostración teorema del coseno

2222222

222

2222

222222

222

222

cos22

coscos

2

bcbcahADADcca

bADb

AD

bhAD

RECTÁNGULOADC

hADADcca

hADcahDBa

DBADc

DBADc

DBADAB

hDBa

CDDBBC

RECTÁNGULOBDC

AlturahCD

cos2222 bccba


Podemos ahora comenzar los problemas relativos a triángulos

oblicuángulos.

1. Supongamos que queremos resolver un triángulo, del cual conocemos dos ángulos α y β y el lado comprendido c γ se calcula inmediatamente

porque α + β + γ = 180◦, luego γ = 180◦ − (α + β)

El teorema del seno nos permite calcular a y b

Ejemplo 1:

Dos estaciones de radar, separadas por una distancia de 25 Km. detectan

un avión que vuela justo sobre la recta que une a las dos estaciones. La

primera lo ve con una elevación de 35◦, la segunda con elevación de 60◦.

Calcular la distancia del avión a la primera estación.

Solución: Hay que resolver un triángulo como el de figura y calcular b:


Ejemplo 2:

Queremos ahora resolver un triángulo del cual sólo conocemos los tres

lados a, b, y c.

Tenemos que calcular los tres ángulos, por el teorema del coseno

obtenemos

c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ

b2 = a2 + c2 − 2ac cos β

De aquí:

Una vez hallados β y γ en las tablas, calculamos a. α :

Ejercicios:


Resolver los triángulos ABC, si:

i) 5,10,º77,º41 a

ii) 210,º31,º20 b

iii) 4,32,'10º52,'40º27 a

iv) 537,'30º70,'50º50 c

v) 24,20;31,17;º01,73 ca

vi) 195,248,'10º113 cb

vii) 30,20,º60 cb

viii) 15,10,º45 ab

ix) 87,14,'50º73 ac

x) 12,15,10 cba

xi) 60,80,25 cba

xii) 10,20,20 cba

23.- Facsímil PSU trigonometría N° 1


1) Sen30º + cos 60º=

a) 2

b) 1/2

c) 3/2

d) 1

e) N.A.

2) Sen90º + 5cot90º + 5sec60º - 2csc30º

a) 1/2

b) 2

c) 7

d) 3

e) Ninguna de las anteriores

3) Tan30º x tan60º - cos30º x sen60º

a) 2

b) 1/4

c)7/2

d)5/4

e)1

4) Al reducir al primer cuadrante: Cot420º - cot225º = X

X es igual a:

a) 1/2

b) cos 20º

c) 2

d) sen70º

e) 3 + 1

5) Al reducir al primer cuadrante: Sec225º x sen225º

a) 4

b) 2

c) 3/2


d) 0

e) 1

6) Sen = X

X es igual a:

a) Cos

b) 1

c) 1/Csc

d) 1/Cos

e) Sec

7) En un triángulo rectángulo se cumple que 2 cos = cot, entonces el

valor de es:

a) 0º

b) 30º

c) 45º

d) 60º


8) Expresar 160º en radianes el resultado es:

a) 5π/36 rad o 0,4363 rad

b) 151π/360 rad o 1,3177 rad c) 169π/270 rad o 1,9664 rad

d) 0,2130 rad. e) 8π/9 rad o 2,7925 rad

9) Expresar e) 12º12´20´´ en radianes el resultado es:

a) 5π/36 Rad. o 0,4363 Rad. b) 8π/9 Rad. o 2,7925 Rad. c) 151π/360 Rad. o 1,3177 Rad.

d) 0,2130 Rad.


e) 169π/270 Rad. o 1,9664 Rad.

10) La expresión equivalente a 22 )tg1()tg1( es:

a) 4tg2

b) cos2

c) 2

d) 2sec2

e) Ninguna de las Anteriores

11) Calcular el valor de x con tres cifras significativas

a) 4,21

b) 2,64

c) 2,18

d) 7,45

e) 2,29

12) El vigía de un barco pirata observa el punto más alto de un acantilado

bajo un ángulo de 60º. Si el barco se aleja 100 m se observa bajo un ángulo

de 45º. Calcula la altura del acantilado.

a) 150 50√3 metros.

b) 150 + 25√3

c) 150 + √8

d) 150 + 100√3

e) 150 + √18


13) sen 30 = x,¿ x es?

a) 1/2

b) 1/3

c) 6/3

d) √3/2

e) √2/2

14) Expresar π/4 Rad., en grados el resultado es:

a) 126º

b) 150º

c) 14º19´26´´

d) 80º 12´51´´

e) 45º

15) Expresar ¼ Rad., en grados el resultado es:

a) 14º19´26´´

b) 45º

c) 126º

d) 150º

e) 80º 12´51´´

16) sen 90° x cos 45° - 3cos45°-3cos90 x sen60°

a) 1/2

b) 2/3

c) √2/2

d) √3/2

e) √3/3

17) Expresa en grados sexagesimales π/3

a) 171° 53’ 14’’

b) 180°

c) 0°

d) 171° 55’ 46’’

e) 54° 44’ 02’’



a) 8,08

b) 7,09

c) 7,59

d) 8,18

e) 8.65

19) Expresar 7/5 Rad., en grados el resultado es:

a) 45º

b) 126º

c) 150º

d) 80º 12´51´´

e) 14º19´26´´

20) Exprese 45º en radianes el resultado es: a) π/12 b) 5π/6 c) 5π/3 d) 5π/4 e) π/4

21) En una semi circunferencia se inscribe un triángulo isósceles de base

AB, igual al diámetro. La tangente del ángulo ABC es:

a) 1

b) ½

c) 3

3

d) 3 e) Falta Información

22) Una colina mide 420 metros de altura. Se encuentra que el ángulo de

elevación a la cima, vista desde el punto A, es de 45º. Determinar la

distancia desde A hasta la cima de la colina.

a) 420 m.

b) 2420

c) 840

d) 2840




a) 7,71

b) 7,01

c) 7,53

d) 7,49

e) 7,33

24) ABCD trapecio. AD = 10 cm. y BC = 13 cm. Si sen = 0,5, entonces cos

es:

a) 5

12

b) 12

13

c) 13

12

d) 12

5

e) 13

5

25) Un triángulo isósceles tiene 8 cm. de base y el coseno del ángulo

adyacente a ella es 3

2. El perímetro del triángulo es:

a) 12cm

b) 18cm

c) 20cm

d) 24cm

D

A B

C


e) 26cm

26) Un triángulo isósceles tiene 8 cm. de base y el coseno del ángulo



a) 12 cm.

b) 18 cm.

c) 20 cm.

d) 24 cm.

e) 26 cm.

27) En una semi circunferencia se inscribe un triángulo isósceles de base AB,

igual al diámetro. La tangente del ángulo ABC es:

a) 1

b) 2

1

c) 3

3

d) 3

e) Falta Información

28) En un triángulo rectángulo se cumple que 2 cos = cot , entonces el

valor de es:

a) 0°

b) 30°

c) 45°

d) 60°


29) El triángulo de la figura es rectángulo en Q. PQ = 3 cm y sen = 1/2.

Entonces PR mide:

a) 32 cm.

b) 3 cm.

c) 2 cm.

P

R

Q


d) 2

3cm.

e) 6 cm.

30) En la figura, el triángulo ABC es rectángulo en C, AB = 5 cm. y tg = 2

3,

entonces BC =

a) 3 cm.

b) 13

15 cm.

c) 13

10 cm.

d) 2

15 cm.

e) 2 cm.

31) Si sen = 13

5, donde a es el ángulo agudo de un triángulo rectángulo,

entonces el valor de cos es:

a) 12

13

b) 5

12

c) 13

12

d) 12

5

e)

5

13

32) Los valores según la figura de sen, cos y tg, respectivamente son:

a) 4/3 ; 4/5 ; 3/5

b) 4/5 ; 3/5 ; 4/3

c) 3/5 ; 4/3 ; 4/5

d) 4/3 ; 3/5 ; 4/5

e) 4/5 ; 4/3 ; 3/5

A

B

C


33) Expresar 25º en radianes el resultado es: a) 5π/36 rad o 0,4363 rad b) 8π/9 rad o 2,7925 rad c) 151π/360 rad o 1,3177 rad d) 169π/270 rad o 1,9664 rad

e) 0,2130 rad.

34) Expresar 75º30´ en radianes el resultado es: a) 5π/36 rad o 0,4363 rad b) 151π/360 rad o 1,3177 rad c) 8π/9 rad o 2,7925 rad d) d) 169π/270 rad o 1,9664 rad

e) 0,2130 rad.




a) 420 m.

b) 2420 c) 840

d) 2840


36) Expresar 7π/10 Rad., en grados el resultado es:

a) 126º

b) 45º

c) 150º

d) 14º19´26´´

e) 80º 12´51´´

37) Una escalera apoya su pie a 3 m. de un muro. La parte superior se

apoya justo en el borde del muro. El ángulo formado entre el piso y la

escala mide 60º. El largo de la escalera es:

a) 32 m.

b) 23 m

c) 6 m

d) 8 m.

e) No se puede determinar


38) En la figura, el triángulo ABC es rectángulo en C, AB = 5 cm. y tg = 2

3,

entonces BC =

a) 3 cm

b) 13

15 cm.

c) 13

10 cm

d) 2

15 cm

e) 2 cm.

39) Expresar 5π/6 Rad., en grados el resultado es:

a) 45º

b) 126º

c) 14º19´26´´

d) 80º 12´51´´

e) 150º


a) 4 tg2

b) 2 cos2

c) 2

d) 2 sec2



Entonces PR mide:

a) 32 cm.

b) 3 cm

c) 2 cm.

d) 2

3cm.

e) 6 cm.

A

B

C

P

R

Q


42) Si sen= 13


entonces el valor de coses:

a) 12

13

b) 5

12

c) 13

12

d) 12

5

e) 5

13

43) Expresar 112º40´en radianes el resultado es:

a) 5π/36 rad o 0,4363 rad b) 8π/9 rad o 2,7925 rad

c) 151π/360 rad o 1,3177 rad

d) 0,2130 rad. e) 169π/270 rad o 1,9664 rad

44) Expresar 225º en radianes, el resultado es:

a) π/4 b) π/12 c) 5π/6 d) 5π/3

e) 5π/4



a) π/4 b) π/12 c) 5π/6 d) 5π/3

e) 5π/4

46) Expresar 300º en radianes, el resultado es: a) 5π/3 b) π/4 c) π/12 d) 5π/6

e) 5π/4


a) π/4

b) π/12

c) 5π/6

d) 5π/3

e) 5π/4

48) expresar -60º en radianes, el resultado es: a) –π/3 a) π/4 b) π/12

c) 5π/6 d) 5π/3

e) 5π/4

49) Exprese 15º en radianes, el resultado es: a) π/4 b) 5π/6 c) 5π/3 d) π/12

e) 5π/4

50) Expresar -135º en radianes, el resultado es: a) -π/4 b) π/12 c) -3π/4


c) -5π/6 d) 5π/3

e) -π/3

51) El valor de la expresión sen245º + cos230º es:

a) 232

b)

4

322

c) 4

5

d) 4

5


52) Si sen = 13


entonces el valor de cos es:

a) 12

13

b) 5

12

c) 13

12

d) 12

5

e) 5

13

53) Sabiendo que sen = 5

3, entonces el valor de cos + tg - sen es:

a) 1,55

b) 0,95

c) 1,45

d) 1,95


54) ¿En qué ángulo de elevación está el sol si un edificio proyecta una

sombra de 25 m y tiene una altura de 70 m?

a) 19,6º

b) 20,9º

c) 69º

d) 70,3º


e) N.A.

55) Si sen =7

3, entonces el valor de la tg es:

a) 3

7

b) 7

102

c) 20

103

d) 3

102

e) N.A.

56) ¿Qué altura tiene un árbol si proyecta una sombra de 20 m, cuando el

ángulo de elevación del sol es de 50º?

a) 23,8 m

b) 12,8 m

c) 15,3 m

d) 16,8 m

e) 1,53 m

57) Si sen = 7

5 y es un ángulo agudo, entonces de las siguientes

afirmaciones son verdaderas:

I) cos = 7

32 II) sec =

6

3 III) cosec =

5

7

a) Sólo I

b) Sólo II

c) Sólo III

d) I y III

e) Todas

58) Tan90° = X, X es:


a) 1

b) 0

c) -1

d) No existe


59) Sen2+ cos2 = X, ¿X es?

a)1

b) sen

c) cos

d) tan

e) cot

60) Sec(-945)= X ¿X es igual a?

a) 2

b) 1

c) 0

d) 2

e) 3

61) 1 + tan2 =

es igual a

a) Sec2

b) sec

c) cos2

d) cos

e) cot2


62) En la figura, el triangulo MNP es rectángulo en P, NP = 1 cm y su área es

2/3 cm2, entonces tg =

63) Si los catetos de un triangulo rectangulo miden 5 cm y 12 cm, entonces

el coseno del angulo menor es:

64) Si es un angulo agudo de un triangulo rectangulo y sen 3/5,

entonces tg α cos α =

65) Con los datos de la figura, la expresion sen α – cos α es igual a:


66) Es un ejemplo de identidad trigonométrica:

a) sen2 + cos2 = -1

b) sen2 - cos2 = -1

c) sen = cos

d) sec =

e) tg2 = 1 + sec2

67) Sabiendo que sen = 5

3, entonces el valor de cos + tg - sen es:

a) 1,55

b) 0,95

c) 1,45

d) 1,95

e) N.A.

68) Según la información dada en la figura, CD mide:

cos

1


69) En el triángulo ABC isósceles de base AB, calcula la medida de su base

si uno de sus lados mide 10 cm y uno de sus ángulos basales mide 30º.

a) 0,05 cm

b) 0,17 cm

c) 12,3 cm

d) 17,32 cm

e) N.A.

70) Para determinar la medida del lado AB es necesario saber:

(1)

(2) triángulo rectángulo en C.

a) (1) por sí sola

b) (2) por sí sola

c) Ambas juntas

d) Cada una por sí sola

e) Falta información

Soluciones

1) D

2) C

3) B

4) E


5) B

6) C

7) B

8) E

9) D

10) D

11) C

12) A

13) A

14) E

15) A

16) C

17) A

18) A

19) D

20) E

21) A

22) B

23) A

24) C

25) C

26) A

27) B

28) D

29) B

30) B

31) C

32) B

33) A

34) B

35) B

36) A

37) C

38) B

39) E

40) D

41) A

42) C

43) E

44) E

45) C

46) A

47) C

48) A

49) D

50) C

51) D

52) C

53) B

54) D

55) C

56) A

57) C

58) D

59) A

60) A

61) A

62) E

63) A

64) A

65) A

66) D

67) B

68) E

69) D

70) E

24.- Facsímil PSU trigonometría N°2

1) ¿Cuál(es) de las siguiente(es) relación(es) es(son) verdadera(s):


I. 1cos 22 xsenx

II. 1seccoscsccottan xxxsenxxx

III. x

xsenxsec

1cot

a) Sólo II

b) Sólo II y III

c) Sólo I y III

d) Sólo III

e) Todas

2) De la figura se desprende que cotx – tanx =

a) –12/7

b) –7/12

c) 7/12

d) 12/7


3) De la figura anterior se desprende que senx=

a) 3/10

b) 3/7

c) 3/6

d) 6/8

e) 9/15

4) De la figura del ejercicio 2 se desprende que cos x- senx=

a) 1/5

b) 2/5

c) 6/8

d) 4/3



5) De la figura del ejercicio 2 se desprende que 1cos22 xxsen

a) 1

b) 0

c) ½

d) 1/5


6) De acuerdo a la figura. ¿Cuál es el valor de la hipotenusa?

a) 4

b) 16

c) 12

d) 10

e) 6

7) De acuerdo a la figura siguiente ¿Cuál es el valor del área?

a) 2

838

b) 8

c) 838

d) 8·6

e) 238


8) De las siguientes afirmaciones, ¿cuál es la incorrecta?

a) x

senxcsc

1

b) 1cos22 xxsen

c) x

senxx

costan

d) gxsenxx cotcos

e) 1cos xsenx

9) De acuerdo a la siguiente figura. ¿Cuál es el valor de su perímetro?

a) 299

b) 18

c) 27

d) 29

e) 12

10) Respecto a la figura anterior. ¿Cuál es el valor de su área?

a) 81/4

b) 81/2

c) 9/2

d) 18/4



11) De acuerdo a la siguiente figura. ¿Cuál es el valor de CB

a) 2h

b) 2h 2

c) h 2

d) 2 2

e) 4h

12) De acuerdo a la figura anterior. ¿Cuál es el valor de AC ?

a) 4h

b) 3h

c) 2h

d) 2h 3


13) De acuerdo a la figura del ejercicio 11. ¿Cuál es su perímetro?

a) )322( hh

b) )3222( h

c) 322 hh

d) 2hh


14) ¿Cuál de las siguientes igualdades es la incorrecta?

a) 1cos xsenx

b) 1sectan 22 xx

c) xx 22 csccot1

d) xsenx 22 1cos


e) xsenx 2cos1

15) En el siguiente rectángulo. ¿Cuál es el valor de su diagonal?

a) 12

b) 10

c) 13

d) 11

e) 9

16) ¿Cuál es el valor del perímetro del rectángulo anterior?

a) 20

b) 25

c) 22

d) 21 3

e) 10310

17) De acuerdo a la figura del ejercicio 15. ¿Cuál es el valor de su área?

a) 320

b) 225

c) 22

d) 325



a) 4tan2 α

b) 2cos2 α

c) 2

d) 2sec2 α




Entonces PR mide:

a) 32 cm.

b) 3 cm

c) 2 cm.

d) 2

3cm.

e) 6 cm.

20) En un triángulo rectángulo se cumple que 2 cos β = cot β, entonces el

valor de β es:

a) 0º

b) 30º

c) 45º

d) 60º


21) Una escalera apoya su pie a 3 m. de un muro. La parte superior se

apoya justo en el borde del muro. El ángulo formado entre el piso y la

escala mide 60º. El largo de la escalera es:

a) 32 m.

b) 23 m.

c) 6 m.

d) 8 m.


22) Si sen α = 13


entonces el valor de cos α es:

a) 12

13

P

R

Q


b) 5

12

c) 13

12

d) 12

5

e) 5

13




a) 420 m.

b) 2420

c) 840

d) 2840


24) ABCD trapecio. AD = 10 cm. Y BC = 13 cm. Si senβ = 0,5, entonces cosβ es:

a) 5

12

b) 12

13

c) 13

12

d) 12

5

e) 13

5

25) Un triángulo isósceles tiene 8 cm. De base y el coseno del ángulo



a) 12 cm.

b) 18 cm.

c) 20 cm.

D

A B

C


d) 24 cm.

e) 26 cm.

26) En la figura, el triángulo ABC es rectángulo en C, AB = 5 cm. Y tg α = 2

3,

entonces BC =

e) 2 cm

27) En una semi circunferencia se inscribe un triángulo isósceles de base AB,

igual al diámetro. La tangente del ángulo ABC es:

a) 1

b) 2

1

c) 3

3

d) 3

e) Falta Información

28) Según la información dada en la figura, CD mide

a) 1

b) 2

1

c) 2

a) 3 cm.

b) 13

15 cm

c) 13

10 cm.

d) 2

15 cm.

A

B

C


d) 3

e) 2

3

29) En un triángulo se cumple que 2cosβ = cotgβ. Encontrar el valor de β.

a) 60°

b) 30°

c) 45°

d) 15°

e) 75°

30) ¿Cuál(es) de las siguientes igualdades es(son) igual(es) a sen60º ∙

csc60º?

I) √3/√3 II) √3/2 III) tg 45

a) Sólo I

b) Sólo II

c) Sólo III

d) Sólo II y III

e) Sólo I y III

31) Señale cuál es la alternativa FALSA.

a) Si uno de los ángulos interiores de un triángulo rectángulo es 45º y

uno de sus catetos mide 2 cm es posible conocer el valor de la

tangente de 45º.

b) La cosecante α equivale a 1/sen α

c) La tangente de 45º equivale a la cotangente de 45º.

d) Si el seno de un triángulo rectángulo es 30/50 el coseno es 40/50

e) Conocidos los tres ángulos interiores de un triángulo es posible

resolver el triángulo.

32) Al mirar la cumbre del cerro San Cristóbal desde un punto en plaza

Baquedano se observa que el ángulo de elevación es de 30º. Al acercarse

horizontalmente 580√3/3 metros, el ángulo es ahora 60º. ¿Cuál es la altura

del cerro San Cristóbal?


a) 290 metros

b) 580 metros

c) 1160 metros

d) 1160 √3 metros

e) 580 √3 metros

33) cotg 45º + cosec 30º =

a) 1

b) 3

c) √3/2

d) 2/√3

e) No se puede calcular

34) α y β corresponden a los ángulos internos agudos de un triángulo

rectángulo, si sen α = 6/10 , sen β =

a) 4/5

b) 8/6

c) 10/8

d) 8

e) 6/10

35) Si 3 + 3cot²x = 4 ¿Cuál podría ser el valor de x/3?

a)10°

b)60°

c)20°

d)15°

e)30°

36) en un triángulo rectángulo ABC rectángulo en c, tan β = 0.2. ¿Cuál

puede ser la medida de la hipotenusa?

a)4

b)√26

c)5.5


d)√47/2

e)5

37) La expresión tan β + cotg β equivale a:

a)1

b)senβ

c) cos2 β

d) sen β + cos a

e)sec β * csc β

38) la expresión sen a, aplicada a un triángulo rectángulo en C, equivale a:

I) cos β II) cos (90°-a) III) tan a * cos a

a) sólo I

b) sólo II

c) II y III

d) I y III

e) Todas

39) En la figura, el triangulo ABC es rectángulo en C, BC = 3 y AB = 5,

entonces el seno de es:

a) 3/5

b) 4/5

c) 5/4

d) 4/3

e) 5/3

40) En la figura el triangulo ABC es rectángulo e B. el coseno de es:

a) 10

1

b) 5

1


c) 5

3

d) 10

3

e) ninguno de los valores anteriores.

41) En la figura, AB = 20 5 y BC = 40, entonces la tangente de es:

a)10

20

b) 2

c) 5

2

d) 2

1

e) 20

10

42) Si tg = 5/12, entonces la cosecante de es:

a) 13/5

b) 13/12

c) 12/13

d) 5/13

e) ninguno de los valores anteriores.

43) Si cos = 6/10, entonces la cotangente de es:

a) 10/6


b) 8/6

c) 10/8

d) 6/8

e) 6/10

44) Los catetos de un triángulo rectángulo miden 12 cm. Y 16 cm.,

entonces el seno del ángulo menor es:

a) 20/12

b) 16/12

c) 16/20

d) 12/16

e) 12/20

45) Si tg = 2.4, entonces ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es(son)

verdadera(s)?

I) sec 5/13

II) sen 13/5

III) cotg 12/5

a) sólo I

b) sólo I Y II

c) sólo I Y III

d) sólo II Y III

e) I, II, III

46) Si a = sen y b = cos2 , entonces el valor de 3(a2 +b) es

a) 1

b) 3

c) 6

d) 9

e) 11

47) Cos2 50° + Cos2 40° =


a) 1

b) 2

c) 2 cos 50° + 2 sen 50°

d) 2 cos 50° + 2 cos 40°

e) (cos 50° + cos 40°)2

48) Un helicóptero despega del helipuerto con un ángulo de elevación de

30°. Si el helicóptero alcanza una altura de 3000 m., entonces ¿a que

distancia se encuentra el helicóptero del punto de despegue?

a) 1500 m.

b) 1500 3 m.

c) 3000 3 m.

d) 6000 m.

e) 5500 m.

49) Un árbol perpendicular al suelo proyecta una sombra de 2,8 metros,

con un ángulo de elevación de 60°. ¿Cuál es la altura del árbol?

a) 5,6 metros.

b) 2,8 3 metros.

c) 2,8 metros.

d) 1,5 metros.

e) 1,4 metros.

50) La distancia entre un papel que se encuentra en el suelo y la punta de

un poste perpendicular a él es de 8 metros. Si el ángulo de elevación es de

30°, ¿a que distancia se encuentra el papel del poste?

a) 8 3 m.

b) 8 m.

c) 4 3 m.

d) 4 m.

e) 5 m.


51) Si cos a = 5/13, entonces ctg a vale

a) 5/13

b) 5/12

c) 12/13

d) 13/12

e) 13/5

52) En un bote, los ángulos de elevación hacia los puntos más alto y más

bajo del asta de una bandera de 9 metros de altura situada sobre un

acantilado son 60 y 30 respectivamente. Determina la altura del

acantilado.

a) 9 3 m.

b) 9m.

c) 6 m.

d) 4,5 m.

e) 3m.

53) Calcula sen30° + cos60° + tg45°

a) 1/3

b) 1/2

c) 1

d) 3/2

e) 2

54) En la siguiente figura la

función

a)

b)

c)

d)


e)

55) En el triángulo ABC, rectángulo

en C. . Calcular

a)

b)

c)

d)

e)

56) Calcular:

a)

b)

c)

d)

e)

57) El largo de la sombra que proyecta una torre de 150m de alto, cuando

el sol se encuentra a 30º por encima del horizonte.

a) 150m

b) 180m

c) 150

d) 150

e) 30


58) Cos60° = x

X equivale a:

a) 1

b) No existe

c) 0

d) 4

e)1/2

59) 27º54`18``, expresado en grados sexagesimales =

a) 27º

b) 29,8º

c) 30º

d) 25º

e) 27,905º

60) Dado que . =

a) 1

b) 2

c) 3

d) 1/2

e) 1.5

61) sea γ un ángulo tal que 0°<γ<90°. Si cosγ = 3/8, entonces senγ =

a) 5/8

b) 9/64

c) 8√55

d) 3√55/8

e) √55/8


62) Dado un Δ ABC rectángulo en C, donde cos a = 5/6 entonces sen2a +

cos2a es igual a:

a) 25/36

b) √11 + 5

c) 1

d) √11/6


63) senβ – tanβcosβ = ¿

a) 0

b) 1/2

c) 1

d) – sen β

e) -2 sen β

64) Se puede resolver un triángulo rectángulo, con γ=90°, si:

(1) el ángulo α mide 60°

(2) la hipotenusa mide √10 dm.

a) 1 por sí sola

b) 2 por sí sola

c) ambas juntas (1 y 2)

d) cada una por sí sola (1 ó 2)

e) se requiere información adicional


65) Es posible determinar senβ en un triángulo rectángulo en C, si se sabe

que:

(1) α = 30°

(2) la hipotenusa mide 15 m.

a) 1 por sí sola

b) 2 por sí sola

c) ambas juntas (1 y 2)

d) cada una por sí sola (1 ó 2)

e) se requiere información adicional

66) En una circunferencia de 100m de radio se unen dos puntos con una

cuerda. Para determinar la medida del ángulo central, es necesario saber:

(1) la medida de la cuerda

(2) el perímetro de la circunferencia

a) (1) por sí sola

b) (2) por sí sola

c) Ambas juntas (1 y 2)

d) Cada una por sí sola (1 ó 2)


67) Para encontrar la altura del árbol, que el hombre observa, es necesario

saber:

(1) Que el observador del árbol mide 5 metros

(2) Que el ángulo de elevación de su parte cambia de 20º a 40º cuando el

observador avanza 75 pies a la base del árbol.

a) (1) por sí sola

b) (2) por sí sola





68) Se puede determinar la medida de los catetos de un triángulo

rectángulo si:

(1) se sabe que es isósceles

(2) se conoce el valor de la hipotenusa

a) (1) por sí sola

b) (2) por sí sola



e) Se requiere información adicional

69) Es posible conocer el valor del coseno de un ángulo agudo de un

triángulo rectángulo si:

(1) se conoce el coseno y el valor de su complemento

(2) se conoce el valor del ángulo

a) (1) por sí sola

b) (2) por sí sola




70) Es posible calcular la apotema de un polígono cualquiera si:

(1) Se conoce el número de lados del polígono

(2) se sabe que su área es el triple de su perímetro

a) (1) por sí sola

b) (2) por sí sola




Soluciones:


1) B

2) C

3) E

4) A

5) B

6) B

7) A

8) E

9) A

10) B

11) C

12) C

13) B

14) A

15) B

16) E

17) D

18) D

19) A

20) B

21) C

22) C

23) B

24) C

25) C

26) B

27) A

28) E

29) B

30) E

31) E

32) A

33) B

34) A

35) C

36) B

37) E

38) E

39) B

40) D

41) B

42) A

43) D

44) E

45) C

46) B

47) A

48) D

49) B

50) E

51) B

52) D

53) E

54) A

55) A

56) B

57) D

58) C

59) E

60) A

61) E

62) C

63) A

64) C

65) A

66) A

67) A

68) C

69) D

70) E

25.- Bibliografía


- Libro “Geometría Plana y del espacio y trigonometría” de Baldor

- Libro “Álgebra y trigonometría” de Raymond A. Barnet

- Libro “Matemática general” de Procshle

- Facsímiles preuniversitario “Cepech”

- Facsímiles preuniversitario “Pedro de Valdivia”

- Diccionario de la Real Academia Española

- Página web www.vitutor.com

- Página web http://matematicasies.com

- Página web www.juntadeandalucia.es

- Página web www.rmm.cl

- Página web http://usuarioslycos.es/calculo21

- Página web http://descartes.cnice.mec.es/

- Página web http://www.aritor.com/trigonometria/reduccion_angulos.html

- Página web www.educarchile.cl

- Página web www.sectormatematica.cl

- Página web www.slideshare.net

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http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Razones_trigonometricas_jec/Razones_trigonometricas.htm

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68668823 Libro OFICIAL Trigonometria 1