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69.01 Hidráulica General
Presentación de las
Ecuaciones Fundamentales
de la Hidráulica
Realizado por
Ing. Alejandro Norberto Pardo
Facultad de Ingeniería - Universidad de Buenos Aires (FIUBA)
Departamento de Hidráulica
4 Ecuaciones Fundamentales de la Hidráulica
Ecuaciones de Estado
Ecuación de Continuidad
Ecuación de Equilibrio Dinámico (Navier-Stokes)
Ecuación de la Acción Dinámica (Cantidad de Movimiento)
1
2
3
4
Ecuaciones de EstadoLas ecuaciones, en general, de estado vinculan la presión absoluta, el volumen específico y la temperatura absoluta. En la hidráulica los procesos son isotérmicos, por lo que la temperatura deja de ser una variable.
Ecuación de estado de un líquido en función del volumen
Ecuación de estado de un líquido en función de
coeficiente de compresibilidad volumétrica.
f i f ip p ( ( ))1 por diferencias finitas
f i f ip p ( ( ))1 por diferencias finitas
En la práctica :
f i
p pe f i ( )por integración
f i
p pe f i ( )por integración
Fluído Ideal Medio contínuo de viscosidad nula - =0
Líquido Perfecto Fluído Ideal + Incompresible = cteEc. Estado
4 Ecuaciones Fundamentales de la Hidráulica
Ecuaciones de Estado
Ecuación de Continuidad
Ecuación de Equilibrio Dinámico (Navier-Stokes)
Ecuación de la Acción Dinámica (Cantidad de Movimiento)
1
2
3
4
Vinculan la presión abs., el volumen esp. y la temperatura abs. Líquido Perfecto= cteEc. Estado
Ecuación de Continuidad
Principio de Conservación de la Masa
Ecuación de Continuidad en un punto : ( )m m msaliente entrante i 0
miinicialmi final
mentrantemsaliente
( ) v
dy dx dz dttdt dx dy dz
y0
v dx dz dtv
dy dx dz dt v dx dz dt dx dy dztdt dx dy dz dx dy dz
( )
y0
Análisis según el eje y
Simplificando (según el eje y)
Extendiendo a los demás ejes y eliminando los diferenciales
( ) ( ) ( ) u v w
tx y z0 div V
t( )
0o bien
Cant. neta masa que atraviesa sup. vol. de control en la
unidad de tiempo
Var.masa contenida en vol. de control en unidad de tiempo
+ =0
div Vt
( )
0( )m m msaliente entrante i 0
Si =cte 0)( Vdiv (Cond. de Compresibilidad)
Ecuación de Continuidad
Principio de Conservación de la Masa
Ecuación de Continuidad en un punto :
Cant. neta masa que atraviesa sup. vol. de control en la
unidad de tiempo
Var.masa contenida en vol. de control en unidad de tiempo
+ =0
Ecuación de Continuidad en un Tubo de Corriente
div Vt
( )
0( )m m msaliente entrante i 0
Ecuación Continuidadpara una vena liquida compresibley mov. con impermanencia total
( ) ( ) ( ) U
l
U
t
dt
dl t
0
Simplificaciones
Aporte de Men el tiempo
Balance M.en el tiempo
• Si fluido incompresible (=cte)
• Si mentrante no varía con t :
• Si =cte y Q no varía respecto del tiempo, ni del recorrido:
( ) ( ) ( )U
l
U
t
dt
dl t
0
.UcteQ
( ) ( ) U
l t
0
Si =cte 0)( Vdiv (Cond. de Compresibilidad)
dl
mime
ms
Aporte de Men el recorrido
4 Ecuaciones Fundamentales de la Hidráulica
Ecuaciones de Estado
Ecuación de Continuidad
Ecuación de Equilibrio Dinámico (Navier-Stokes)
Ecuación de la Acción Dinámica (Conservación de la Cantidad de Movimiento)
1
2
3
4
Principio de Conservación de la Masa
Ecuación de Continuidad en un punto
div Vt
( )
0( )m m msaliente entrante i 0
Extensión Ec. Cont. a un Tubo de Corriente
( ) ( ) ( ) Ul
Utdtdl t
0
Vinculan la presión abs., el volumen esp. y la temperatura abs. Líquido Perfecto= cteEc. Estado
Ecuación de Equilibrio Dinámico (Navier - Stokes)
Ecuación de Equilibrio Dinámico de las Fuerzas F F F F F Fm p E i 0
No se tienen en cuenta las fuerzas elásticas (fluido incompresible, =cte), ni las fuerzasdebidas a energía superficial.
F F F Fm p i 0
F F F F mV
tgrad
Vrot V Vm p i
[ ( ) ( ) ]2
2
Fuerzas de masa debido a las acciones exteriores _ Fm
• Se considera la acción del campo gravitatorio.
• Son proporcionales al volumen y se suponen aplicadas en el centro de gravedad
• Se considera un elemento fluido de dim. diferenciales, siendo X, Y, Z las fuerzas de masa por unidad de masa.
X dx dy dz
Y dx dy dz
Z dx dy dz
Fuerzas debido a la viscosidad _ F• Son fuerzas de superficie.
• Se considera caso gral. velocidades según dos ejes.
xw
y
v
z
( ) yu
z
w
x
( ) zu
y
v
x
( )
Ecuación de Equilibrio Dinámico (Navier - Stokes)
Ecuación de Equilibrio Dinámico de las Fuerzas F F F F F Fm p E i 0
No se tienen en cuenta las fuerzas elásticas (fluido incompresible, =cte), ni las fuerzasdebidas a energía superficial.
F F F Fm p i 0
F F F F mV
tgrad
Vrot V Vm p i
[ ( ) ( ) ]2
2
Fuerzas de masa debido a las acciones exteriores _ Fm
Fuerzas debido a la viscosidad _ F
X dx dy dz.......
xw
y
v
z
( ).......
Fuerzas de presión _ Fp
• Son fuerzas de superficie.
• La presión es proporcional a la velocidad de deformación lineal
• Se considera que un alargamiento según un eje provoca una contracción según los otros dos.
px pu
x
2
py pv
y
2
pz pw
z
2
Ecuación de Equilibrio Dinámico (Navier - Stokes)
Ecuación de equilibrio dinámico según el eje y-y :
Y dx dy dzy
dx dy dzz
dx dy dzx
dx dy dz dx dy dzpy x z ay
Yy
v
y z
w
y
v
z x
u
y
v
xp ay( ) ( ) ( )2
Yy
v
y
w
z y
v
z
u
x y
v
x
p ay22
2
2 2
2
2 2
2[ ] ][
Yy
v
x
v
y
v
z y
u
x
v
y
w
z
p ay[( ) ( )]2
2
2
2
2
2
Yy z x
py x z ay
Reeplazando :
Operando :
2v div V( )
F grad p V grad div V a
1 2
( ) [ ( ( ))]
F grad p V
V
tgrad
Vrot V V
1 2
2
2( ) ( ) ( )
En forma vectorial :
Se ha considerado al fluido incompresible (=cte) y según Ec. de Continuidad div(V)=0 :
Yy y
div Vp v ay
1 2
[ ( ( ))]
Ecuación de Equilibrio Dinámico (Navier - Stokes)
Simplificaciones :
F grad p V
V
tgrad
Vrot V V
1 2
2
2( ) ( ) ( )
g grad pV
tgrad
V
1 2
2( ) ( )
• Se considera al fluido en reposo (V=0) => Ec. de CLAIREAUT
g grad p
10
( )
gp
z
10
Si se calcula el trabajo de las fuerzas
zp
cte
Ec. Fund. Hidrostática
( ( )) g grad p dl
10
EcuaciónCLAIREAUT
g dz dp1
0
Ecuación escalar
• Se aplica al fluido perfecto, no viscoso (=0), con movimiento irrotacional (rot(V)=0) y se considera de las fuerzas de masa, solo la gravitatoria F=(0,0,-g) :
Ecuación de Equilibrio Dinámico (Navier - Stokes)
Simplificaciones :
• Se aplica al fluido perfecto, no viscoso (=0), con movimiento irrotacional (rot(V)=0) y se considera de las fuerzas de masa, solo la gravitatoria F=(0,0,-g) :
F grad p V
V
tgrad
Vrot V V
1 2
2
2( ) ( ) ( )
g grad pV
tgrad
V
1 2
2( ) ( )
• Si se considera mov. permanente (dV/dt=0) => Ec. de EULER
g grad p grad
V
1 2
2( ) ( )
Integración de la Ec. de EULER => EC. de BERNOULLI
Ecuación de Equilibrio Dinámico (Navier - Stokes)
Ecuación de BERNOULLI
Se plantea el trabajo de las fuerzas : ( ( )) ( ) g grad p dl grad
Vdl
1 2
2
g dz dp dV1 1
22
• Fluido perfecto =cte.
• Fluido no viscoso =0.
• Mov. irrotacional rot(V)=0.
• Fuerzas de masa, solo la gravitatoria F=(0,0,-g).
• Mov. Permanente dV/dt=0.
Escalarmente :
Operando se obtiene un diferencial de trabajo por unidad de peso :
dp V
gz( )
2
20
Indica que el trabajo total realizado es
nulo
La energía es constante a lo largo del recorrido dl
z p V
gcte
2
2Ec. de BERNOULLI en la
Línea de corriente
Ecuación de Equilibrio Dinámico (Navier - Stokes)
F grad p V
V
tgrad
Vrot V V
1 2
2
2( ) ( ) ( )Ecuación de
Navier - Stokes
Un concepto importante...
Se le aplica, ademas, la acción del campo gravitacional terrestre => F=(0,0,-g). Operando :
Se aplica la ec. N-S a un fluido con características similares a las del agua : =cte, 0 y =0.
Terna intrínseca Lp
lV
V
t l
V
1 22
2 ( ) (componente tangencial)
Ecuación de BERNOULLIGeneralizada
l
p V
g
V
g
V
tz( )
2 2
20
1
Conclusión : No puede admitirse, en un líquido con las características del agua, transporte de masa, sino a costa de un consumo de energía.
Ec. de Bernoulli Indica una pérdida de
energía
Movimiento impermanente
Ecuación de Equilibrio Dinámico (Navier - Stokes)
Extensión de Ec. de BERNOULLI a un tubo de corriente
Energía Potencialpor unidad de tiempo
Energía por unidad de peso ( )z p Vg
2
2
dQg
VdQ
pzN ..
2..
2
Energía Cinéticapor unidad de tiempo
La energía de un filamento de área d ( )z p Vg dQ dt
2
2Energía por unidad de tiempo, Potencia dNp V
gdQz
( )
2
2Integrando a toda la sección
dQ
g
VpzN ..
2
2
Para que la primer integral sea perfecta el término
( )z p debe ser constante a lo largo de la normal.
a zn n
p V
R
( )
2
0=>
Se cumple si (reglas de Bresse) :
• Movimiento rectilíneo.
• Radio de curv grande - R • Velocidad baja - V0
Para resolver esta integral es necesario conocercomo varía la velocidad en la sección
UQ
NC fictU
g Q 2
2
N
NC
C
real
fict
En la práctica se evalúa la Potencia real en función
de y del coef. de Coriolis
siendo la Potencia ficticia :
z p U
gcte
2
2Con lo que la
expresión final para la sección queda
Ecuación de Equilibrio Dinámico (Navier - Stokes)
Aplicaciones de la Ecuación de BERNOULLI en la Línea de Corriente
• Distribución de presiones en un escurrimiento irrotacional.
• Erogación por orificio (Teorema de Torricelli).
• Medición de presiones en conductos.
- Tubo Pitot.
- Tubo Venturi (aplicación al tubo de corriente)
4 Ecuaciones Fundamentales de la Hidráulica
Ecuaciones de Estado
Ecuación de Continuidad
Ecuación de Equilibrio Dinámico (Navier-Stokes)
Ecuación de la Acción Dinámica (Cantidad de Movimiento)
1
2
3
4
Principio de Conservación de la Masa
Ecuación de Continuidad en un punto
div Vt
( )
0( )m m msaliente entrante i 0
Extensión Ec. Cont. a un Tubo de Corriente
F F F F m am p i
Fluido en reposo (V=0) => Ec. de CLAIREAUTg grad p 1 0 ( )
g grad p grad V 1 22 ( ) ( )Fluido =cte, =0, rot(V)=0, M. Perm. y F=-g => EULER
z p V g cte 2 2Integración - Trabajo de fuerzas => Ec. BERNOULLI
BERNOULLI - Extensión al tubo de corriente
Limitaciones - Reglas de BRESSE
z p U g cte 2 2
( ) ( ) ( ) U
lU
tdtdl t
0
Vinculan la presión abs., el volumen esp. y la temperatura abs. Líquido Perfecto= cteEc. Estado
Ecuación de la Acción Dinámica
Ecuación de la Cantidad de Movimiento
• No se estudia el movimiento íntimo de las partículas, sino el comportamiento global (Vcontrol).
• Se aplica la segunda ecuación de Newton a un volumen de control.
• Esta ecuación es aplicable aún en aquellos casos, los cuáles no pueden ser estudiados con las ecuaciones locales del movimiento.
dtVmdF /.
dQ V dm
gasto elemental de masa
d m V V V d( )
1
Variación de la cant. de mov. elem.por efecto del desplazamiento V.
V d
masa elemental
d m Vt
V d( ) ( )
2
Variación de la cant. de mov. de una masa elemental.
V (-)
V (+)
d
dcontrol
control
d
d
control : Volumen control
control : Superficie control
d : Dif. de Sup. de control
d : Dif. de Vol. de control
Var. Cantidad Movimiento de la masa que
atraviesa la control
Var. Cantidad Movimiento de la masa contenida
en el control
+
Variación de laCantidad deMovimiento
Total
=
Ecuación de la Acción Dinámica
Ecuación de la Cantidad de Movimiento
V V d
t
V d( )
F
tm V
tm V
( ) ( )1 2
dF V V dt
V d
( )
UQdVQdVVF ........ 2
l
c dlQt
UQRfF .....
Sumatoriade fuerzasdel fluído
Fuerzasque no sondel fluído
Var. cant. de mov.de la masaque atraviesa la Scontrol
Variación de la cant. de mov. de la masa contenida en Vcontrol
Variación de la cantidad de movimiento en el tiempopara todo el volumen de control
Vectores velocidad aprox. normales a la sección
integrando
UQQdVdVV ........ 2
V (-)
V (+)
d
dcontrol
control
d
d
Ecuación de la Acción Dinámica
Extensión de la Ec. de la Cantidad de Movimiento al tubo de corriente
F f R Q U Ue f f i i ( )
Acción Dinámica de la corriente (sobre un borde sólido)
A Q U U fi i f f e ( )
A RSiendo
Resultante de las fuerzas debidas a las velocidades medias que actúan en las secciones final e inicial
del volumen de control.
Fuerzas delfluído (excepto A)debidas a :
- Presiones secciones.
- Peso masa vol. Control.
- Fricción entre el fluído y el contorno sólido.
Aplicaciones de esta ecuación
4 Ecuaciones Fundamentales de la Hidráulica
Ecuaciones de Estado
Ecuación de Continuidad
Ecuación de Equilibrio Dinámico (Navier-Stokes)
Ecuación de la Acción Dinámica (Cantidad de Movimiento)
1
2
3
4
Principio de Conservación de la Masa
Ecuación de Continuidad en un punto
div Vt
( )
0( )m m msaliente entrante i 0
Extensión Ec. Cont. a un Tubo de Corriente
F F F F m am p i
Fluido en reposo (V=0) => Ec. de CLAIREAUTg grad p 1 0 ( )
g grad p grad V 1 22 ( ) ( )Fluido =cte, =0, rot(V)=0, M. Perm. y F=-g => EULER
z p V g cte 2 2Integración - Trabajo de fuerzas => Ec. BERNOULLI
BERNOULLI - Extensión al tubo de corriente
Limitaciones - Reglas de BRESSE
z p U g cte 2 2
( ) ( ) ( ) U
lU
tdtdl t
0
Vinculan la presión abs., el volumen esp. y la temperatura abs. Líquido Perfecto= cteEc. Estado
Ecuación de la Cantidad de Movimiento dtVmdF /).(
Acción Dinámica de la corriente (sobre un borde sólido) A Q U U fi i f f ( )
l
c dlQt
UQRfF .....
Fin