693.введение в анализ практикум по решению задач

Федеральное агентство по образованию

Вятский государственный гуманитарный университет

П. М. Горев

И. И. Подгорная

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ

ПРАКТИКУМ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

Учебное пособие

для студентов I курса,

обучающихся по специальности

050201.65 Математика

Киров

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

2

Издательство ВятГГУ

2006


3

ББК 22.161.0я73

Г68

Печатается по решению редакционно-издательского совета

Вятского государственного гуманитарного университета

Рецензенты:

доктор физико-математических наук, профессор

Е. М. Вечтомов

кандидат физико-математических наук, доцент

В. И. Варанкина

учитель высшей категории

физико-математического лицея г. Кирова

М. А. Прокашева

Г68 Горев, П. М. Введение в анализ: практикум по решению задач [Текст]:

учебное пособие / П. М. Горев, И. И. Подгорная. – Киров: Изд-во ВятГГУ,

2006. – 66 с.: ил.

Учебное пособие посвящено основным разделам курса «Введение в анализ» и содержит ма-

териал к 15 тематическим занятиям, включающий примеры с готовыми решениями, задачи

для обсуждения в аудитории и самостоятельной работы, тесты «Проверь себя». В пособии

приведены примерные варианты двух контрольных работ по изучаемой тематике.

Книга предназначена для студентов младших курсов физико-математических специально-

стей педагогических вузов, а также может быть адресована в качестве дополнительной лите-

ратуры старшеклассникам школ и классов с углубленным изучением предмета.

© Издательство ВятГГУ, 2006

© Горев П.М., Подгорная И.И., 2006


4

Предисловие

Предлагаемое учебное пособие составлено в соответствии с требованиями

Государственного стандарта высшего профессионального образования и рабочей

программы дисциплины «Математический анализ» для специальности 050201.65

Математика. Оно содержит материал к практикуму по курсу «Введение в ана-

лиз», который изучается в течение первого семестра.

Работа первокурсника с учебным пособием опирается на методический

подход, предполагающий отработку каждого занятия на четырех основных эта-

пах: подготовка к занятию, аудиторная, самостоятельная и контрольная работы.

При подготовке к занятию студент изучает теоретический материал, обо-

значенный в вопросах к обсуждению, разбирает примеры решения задач. Как

правило, практические занятия проводятся после прочтения соответствующих

вопросов в лекционном курсе, поэтому для подготовки достаточно изучения

лекций, однако для углубления знаний можно обратиться к рекомендованным

учебным пособиям. При разборе задач следует сначала попытаться самостоя-

тельно решить их и свериться с предложенным решением. Если задачу решить

не удается, необходимо не просто прочесть решение, но и разобраться, почему

задача решается именно так; подобрать похожую задачу (например, из задач

аудиторной работы) и попытаться решить ее.

Аудиторная работа направлена на обсуждение основных теоретических

вопросов и ключевых задач темы занятия. Она проводится, как правило, фрон-

тально с использованием непродолжительных самостоятельных работ для ре-

шения задач. Цель аудиторной работы заключается в предоставлении студенту

возможности получить наиболее полные представления о способах решения за-

дач и их теоретическом обосновании.

На этапе самостоятельной работы студент решает предложенные задачи

и выявляет пробелы в знаниях при помощи теста «Проверь себя», ответы к ко-

торому приведены в конце пособия. Количество задач в домашних заданиях

обусловлено требованиями учебных программ нового поколения, предполага-

ющих большой объем самостоятельной работы; возникает также необходи-

мость расширить спектр задач, определить их место и значение во всем курсе

«Ведение в анализ», что обеспечивается включением заданий, связывающих

тему занятия с предыдущим материалом.

Новое занятие начинается с контрольного теста по изученному ранее ма-

териалу, дающего оценку знаниям и умениям студента. Таким образом, в тече-

ние семестра каждый первокурсник получает около 20 отметок, включая оцен-

ки за тесты к каждому занятию, контрольные работы, домашние контрольные

работы, семинары и т. п. Такая система оценки очень близка к школьной и

обеспечивает работу студентов с учебным материалом в течение семестра и в


5

значительной степени облегчает работу преподавателя при выставлении итого-

вой оценки за семестр.

В учебном пособии также приведены примерные варианты двух контроль-

ных работ. При подготовке к контрольной работе необходимо решить пример-

ный вариант, обращаясь к изученному ранее материалу.

Заметим, что для достаточно обширного материала первого семестра отво-

дится не так много аудиторных часов, поэтому практически каждое занятие

предполагает изучение новой темы, что еще раз подчеркивает необходимость

систематической самостоятельной работы студента над учебным материалом.

Кроме первокурсников математического факультета пособие может быть

рекомендовано в качестве дополнительной литературы студентам, обучающим-

ся на специальностях, предполагающих достаточно большой объем занятий по

математическому анализу, а также старшеклассникам школ и классов с углуб-

ленным изучением математики.

Авторы считают своим долгом выразить благодарность декану математиче-

ского факультета ВятГГУ, кандидату физико-математических наук доценту

В.И. Варанкиной за внимательное прочтение рукописи и ценные замечания по

совершенствованию изложения материала в пособии.


6

Программа вводного минимума

Ниже приведен список вопросов, знание которых в объеме школьной программы необходи-

мо для успешного освоения курса «Введение в анализ». При составлении заданий предпола-

галось, что студенты хорошо владеют этими вопросами, а при необходимости могут само-

стоятельно повторить материал, используя для этого действующие школьные учебники по

алгебре и началам анализа.

Выражения и преобразования

Многочлены от одной переменной. Формулы сокращенного умножения. Формула

корней квадратного трехчлена, нахождение рациональных корней многочленов

высоких степеней. Разложение многочленов на множители. Деление «уголком».

Модуль действительного числа, его свойства.

Корень n-й степени и его свойства. Степень с рациональным показателем, свой-

ства степеней. Логарифм и его свойства. Тождественные преобразования ирра-

циональных, степенных, логарифмических выражений.

Арифметическая прогрессия, формулы общего члена, суммы первых членов

арифметической прогрессии. Геометрическая прогрессия, формулы общего

члена, суммы первых членов геометрической прогрессии, суммы бесконечной

убывающей геометрической прогрессии.

Тригонометрия

Синус, косинус, тангенс и котангенс числового аргумента. Соотношения между

тригонометрическими функциями одного аргумента. Формулы сложения аргу-

ментов, сложения функций, произведения функций, двойного угла, понижения

степени, приведения. Универсальная тригонометрическая подстановка.

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числового аргумента. Основ-

ные соотношения для обратных тригонометрических функций.

Тождественные преобразования тригонометрических выражений.

Функции

Область определения функции, множество значений. Нули функции, промежут-

ки знакопостоянства. Свойства функций: четность (нечетность), периодичность,

монотонность. Экстремумы. Наибольшее и наименьшее значения функции.

Элементарные функции, их свойства и графики: линейная, квадратичная, дроб-

но-линейная, степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические,

обратные тригонометрические.

Основные приемы преобразования графиков функций: сдвиги, растяжения,

отображения относительно осей. Построение графиков функций, содержащих

знак модуля.

Метод координат на плоскости

Координаты точки на плоскости. Расстояние между точками. Взаимное распо-

ложение двух прямых на плоскости: параллельность, перпендикулярность.

Угол между прямыми. Уравнение окружности.


7

Занятие 1

Соответствия и отображения

Вопросы к обсуждению

Соответствия. Область определения и множество значений при соответствии. Образы и про-

образы элементов и множеств при соответствии, полный прообраз элемента и множества.

Функциональное соответствие. Отображения. Виды отображений: сюръективное, инъектив-

ное, биективное (взаимно однозначное). График отображения.

Примеры решения задач

Пример 1.1. Пусть X – множество всех выпуклых четырехугольников на плоскости,

Y – множество точек этой плоскости. Выясните, какие из нижеприведенных со-

ответствий между множествами X и Y являются отображениями, а какие не яв-

ляются таковыми. Найдите их области определения.

Четырехугольнику соответствует:

1) точка пересечения его диагоналей;

2) множество центров всех окружностей, не пересекающихся с его сторонами;

3) центр вписанной в него окружности. ► 1) Так как у каждого выпуклого четырехугольника существует единственная точка пере-

сечения диагоналей, то данное соответствие является функциональным, всюду определен-

ным соответствием, то есть отображением. 2) Поскольку существует бесконечно много

окружностей, не пересекающихся со сторонами данного четырехугольника, то заданное со-

ответствие (всюду определенное) не является отображением. 3) Соответствие является

функциональным, но, так как не в любой четырехугольник можно вписать окружность, оно

не всюду определено: его область определения – множество таких четырехугольников, в ко-

торые можно вписать окружность. Следовательно, это не отображение.

Пример 1.2. Отображение RRf : задается формулой

xxf sin . Определите образ Af множества ;0A и

полный прообраз Bf 1 множества

21

21 ;B .

► На промежутке ;0 синус принимает все значения из промежутка

]1;0[ , значит, ]1;0[)( Af . Синус принимает значения из промежутка

21

21 ;B , если аргумент лежит в объединении промежутков вида

nn

66; , Zn (рис. 1). Это и есть полный прообраз множества B.

Пример 1.3. Определите, какие из приведенных ниже соответствий являются всюду

определенными, функциональными, сюръективными, инъективными и биективны-

ми:

1) каждому автомобилю ставится в соответствие регистрационный номер;

2) каждому квадрату на плоскости ставится в соответствие точка пересечения

его диагоналей (область отправления – множество всех квадратов на плоско-

сти; область прибытия – множество всех точек плоскости);

3) соответствие, заданное формулой xy cos1 .

► 1) Соответствие не всюду определено, так как есть автомобили без регистрационных но-

меров (например, новые); функционально, так как каждому автомобилю ставится в соответ-

ствие ровно один номер; не сюръективно, так как существуют регистрационные номера, не

принадлежащие никакой машине; инъективно, поскольку разным автомобилям соответству-

ют разные номера; не взаимно однозначно. 2) Соответствие всюду определено и функцио-

21

2

1

6

6

6

5

6

7

Рис. 1


8

нально, так как у каждого квадрата есть точка пересечения его диагоналей, то есть это отоб-

ражение; сюръективно, так как любой точке плоскости соответствует какой-либо квадрат,

точкой пересечения диагоналей которого она является; не инъективно, так как существуют

квадраты, у которых одна и та же точка пересечения диагоналей; не взаимно однозначно.

3) Соответствие не всюду определено, так как в точках Znn ,2

косинус обращается в

ноль и дробь не существует; функционально, так как каждому допустимому значению аргу-

мента ставится в соответствие единственное значение зависимой переменной; не сюръектив-

но, так как в точки интервала (–1; 1) ничего не отображается; не инъективно, в силу перио-

дичности косинуса, следовательно, не взаимно однозначно.

Пример 1.4. Пусть X – множество букв {г, р, ф, к} а Y – множество букв {а, и}. Со-

ответствие сопоставляет каждой букве из множества X ту букву из множества

Y , которая стоит следующей за ней в слове «график». Является ли данное соот-

ветствие отображением? Укажите его свойства. Запишите прямое произведение

YX и график данного соответствия. ► Данное соответствие является функциональным, но не всюду определенным. Это не отоб-

ражение, так как его область определения – {р, ф} X . {YX (г, а), (р, а), (ф, а), (к, а),

(г, и), (р, и), (ф, и), (к, и)}, график – {(р, а), (ф, и)}.

Задачи для обсуждения в аудитории

1.1. Каждому параллелограмму сопоставляется его площадь (область отправления –

множество всех параллелограммов на плоскости, область прибытия – множе-

ство действительных чисел). Является ли это соответствие отображением? Ка-

ковы его область определения и множество значений?

1.2. Каждой окружности сопоставляется ее касательная (область отправления – мно-

жество всех окружностей на плоскости; область прибытия – множество всех пря-

мых на плоскости). Является ли это соответствие функциональным?

1.3. Существует ли отображение, область определения которого состоит из четы-

рех, а множество значений – из пяти элементов? из трех элементов?

1.4. Отображение каждой букве русского алфавита сопоставляет ее порядковый но-

мер. Найдите образ множества };;{ иеа . Найдите полный прообраз множества

}4;3;2;1{ . Запишите несколько элементов графика данного отображения.

1.5. При заданном отображении f найдите образ Af множества A и полный про-

образ Bf 1 множества B :

1) 2xxf ; 2;1A ; 4;1B ; 2) xxf ; NA ; NB ;

3) xDxf ; 1;0A ; ;5,0B ; 4) xxf sgn ; ;0A ; ;2B

1.6. Найдите образы множеств 3;2;11 A и NkkA ,22 при заданном отобра-

жении

нечетно;,2

четно;,2/

n

nnnf

n Nn . Запишите множество, являющееся гра-

фиком отображения множества 1A . Изобразите его на координатной плоскости.

1.7. Каждому студенту в группе сопоставляется его имя. Является ли данное соответ-

ствие функциональным, всюду определенным, сюръективным, инъективным, вза-

имно однозначным? Возможно ли, что такое соответствие не будет отображением?

Функция

Всюду

опреде-

ленная

Сюръек-

тивная

Инъек-

тивная

Биек-

тивная


9

1.8. Заполните таблицу для функций из R в R:

1) 2xy , 2)

3xy , 3) xy sin , 4) xy tg ,

5) xDy , 6) x

y1

.

Задачи для самостоятельного решения

1.9. Каждой окружности сопоставляется вписанный в нее квадрат (область отправле-

ния – множество всех окружностей на плоскости, область прибытия – множество

всех квадратов на плоскости). Является ли это соответствие отображением? Явля-

ется ли отображением соответствие, при котором каждой окружности сопоставля-

ется вписанный в нее квадрат, стороны которого параллельны осям координат?

Каковы область определения и множество значений заданных соответствий?

1.10. Является ли отображением соответствие, при котором каждому треугольнику со-

поставляется центр описанной около него окружности (область отправления –

множество всех треугольников на плоскости; область прибытия – множество всех

точек плоскости)? Каковы его область определения и множество значений? Явля-

ется ли данное соответствие всюду определенным, сюръективным, обратимым,

взаимно однозначным?

1.11. Отображение NNf : каждому натуральному числу от 2 до 10 ставит в соот-

ветствие число всех его натуральных делителей (включая единицу). Является

ли данное отображение всюду определенным, сюръективным, инъективным,

взаимно однозначным? Запишите множество, являющееся графиком данного

отображения. Изобразите его на координатной плоскости.

1.12. При заданном отображении найдите образ Af и полный прообраз Bf 1 :

1) ;;02

A ; 2

;0 A ; 1;0B ; ;0B при xxf tg ;

2) 11,10,9A ; 5,| nNnnA ; 21;0B ; 1B при

;10,/1

;10,2

nn

nnnf Nn .

1.13. Заполните таблицу (см. 1.8) для функций из R в R : 1) xy , 2) xy ,

3) x

ysin

1 , 4)

2

1

xy , 5)

1

12

x

y , 6) xy sgn .

Тест «Проверь себя»

В тесте «Проверь себя» две части: в части А предполагается выбор одного или нескольких вариан-

тов из предложенных; в части В требуется дать ответ в виде числа, функции, графика и т. п.

Часть А

А1. Отметьте соответствия, являющиеся отображениями:

1) отрезку соответствует его середина;

2) отрезку соответствует центр окружности, построенной на нем как на радиусе;

3) шару соответствует его объем;

4) треугольнику соответствует центр описанной около него окружности.

А2. Образом множества 3

23

; A при отображении RRf : , заданным формулой

xy tg , является множество


10

1) 3;3 ; 2) ;33; ; 3) 3;00;3 ; 4) ; .

А3. Прообразом множества 2;;1 при отображении RRf : , заданным формулой

xxf sgn , является множество

1) ;0 ; 2) ;0 ; 3) 0; ; 4) ; .

А4. Отображение из множества книг во множество натуральных чисел ставит в со-

ответствие книге количество страниц в ней. Оно обладает свойствами:

1) всюду определено; 2) сюръективно; 3) инъективно; 4) биективно.

А5. Сюръективными из приведенных отображений из R в R являются

1) 5 xy ; 2) xey ; 3) xy tg ; 4) xy 2log .

А6. Инъективными из приведенных отображений из R в R являются

1) xy ; 2) xy 5 ; 3) 3 xxy ; 4) xy arctg .

Часть B

В1. Отображение RZf : каждому целому числу ставит в соответствие его оста-

ток от деления на 5. Какое множество является прообразом отрезка 1;0 ?

В2. Каждому натуральному числу промежутка 7;2 ставится в соответствие 1, если

оно нечетно, и 0, если четно. Запишите график этого отображения.

В3. Задайте какое-нибудь соответствие между множествами X и Y , график которо-

го совпадает с декартовым произведением YX этих множеств.

В4. Приведите пример, заданный формулой, не сюръективного, но инъективного

отображения RRf : .

Занятие 2

Числовые функции


Числовая функция. Область определения функции. Сужение функции. Композиция функций.

График функции. Равные функции.


Пример 2.1. Найдите области определения каждой из функций:

1) 1

1

2

xxf , 2) 25arcsin xxf , 3) 2

1 4log xxf x .

► 1) Функция существует тогда и только тогда, когда знаменатель выражения не обращается

в нуль и подкоренное выражение неотрицательно. Учитывая условия, составляем неравен-

ство 012 x , решение которого задает область определения функции

;11;fD . 2) Арксинус существует, если его аргумент принадлежит промежут-

ку 1;1 . Решая двойное неравенство 1251 x , получаем 53

51 ;fD . 3) Существование

функции определяется одновременным выполнением трех условий: 04 2 x , 01x и

11x или 22 x , 1x , 0x , что задает область определения 2;00;1 fD .

Пример 2.2. Являются ли равными функции xxf )( и xxxxg tgtg)( ? Явля-

ется ли одна из них сужением другой?


11

► Данные функции не равны, поскольку имеют разные области определения: RD f ,

ZnnRDg ,2

\ . Функция g является сужением функции f на множество

ZnnR ,2

\ .

Пример 2.3. Для числовых функций 1)( xxf и xxg sin)( составьте функции

gf и fg .

► Чтобы составить функцию gf , нужно в формулу )(xf вместо аргумента подставить

)(xg . Получаем: ))(( xgfxgf 1sin x . Аналогично,

1sin))(( xxfgxfg .

Пример 2.4. Постройте графики функций ))(( xgfy и ))(( xfgy

для функций

2если,

,2если,1)(

2 xx

xxxf и xxg 4)( .

► 1) Функция ))(( xgfy будет задаваться формулой

,2)(если,))((

,2)(если),(1))((

2 xgxg

xgxgxgf

то есть 3)4( xxf при 24 x и 2)4()4( xxf при 24 x ..

Итак, ))(( xgfy 3)4( xxf при 2x и

)4())(( xfxgfy2)4( x при 2x . Тогда

,2если,4

,2если,3))((

2xx

xxxgf (рис. 2).

2) Функцию ))(( xfgy найдем следующим образом:

)(4))(( xfxfg

,2если,4

,2если),1(4

2 xx

xx

,2если,4

,2если,3

2 xx

xx (рис. 3).

Пример 2.5. Решите уравнение 24)4( xxxf , если функция

.2если,

,2если,1)(

2 xx

xxxf

► Функция )4( xf уже была найдена в предыдущей задаче: y 3)4( xxf при 2x и

y 2)4()4( xxf при 2x . Нужно рассмотреть два уравнения: 243 xxx при 2x и

22 4)4( xxx при 2x . Первое уравнение имеет корни 21321

2,1 x , но только один из

них удовлетворяет условию 2x : 21321 x . Второе уравнение имеет корни 2 и 4, из них

подходит только значение 4. Ответ: 21321 ; 4.

Пример 2.6. Найдите функцию, удовлетворяющую условию xx

xf

1

32 для всех 2,1 xx .

► Обозначим 1

32

x

xt и выразим x : 32xtxt

2

3

t

tx при 2t . Значит, уравнение можно

переписать в виде: 2,2

3)(

t

t

ttf . Переобозначим переменную снова буквой x : 2,

2

3)(

x

x

xxf .


y

x

Рис. 2

2 2

4

4

y

x

Рис. 3

2 2

4

4


12

2.1. Найдите 1f , 0f , 21f , 1f , 5,1f для функции

.21,

,10,

,02,23

2

xx

xx

xx

xf

2.2. Укажите области определения каждой из функций:

1) 21cos)( xxf ; 2) xxxf ][ ; 3)

3

2arccos)(

2

x

xxf ;

4) 8 xxxf ; 5) 42

2

1

)3()2()(

x

xxxf .

2.3. Равны ли данные функции? Является ли одна из них сужением другой?

1) xxf )( ; 2)()( xxg ; 2) )2ln(ln)( xxxf ; )2(ln)( xxxg ;

3) xx eexf )( ; 1)( xg .

2.4. Найдите области определения функций, заданных графически на рисунке 4 (а-г).

2.5. Запишите аналитически функции ))(( xgfy и ))(( xfgy и постройте их графики,

если функции f и g заданы формулами: 12 xxf ;

.2,

;2,1

xx

xxg

2.6. Пусть xxf sgn ; xxg sin . Постройте графики функций gf и fg .

2.7. Известно, что 32)13( 2 xxf для всех Rx . Найдите )(xfy .


2.8. Найдите 1f , 0f , 21f , 2f , f для функции

].3;(,1

),;3(,1

),0;(,

),;0[,2

Jxx

Jxx

Qxx

Qxx

xf

2.9. Для квадратичной функции )(xfy известны значения в нескольких точках:

21 f , 61 f и 92 f . Восстановите аналитическую запись этой функции.

2.10. Укажите области определения функций:

1) xxf 5logsinlg)( ; 2) 22

arccos)( 2 xxx

xf ;

3) x

xxf

1

2arcsin)( ; 4)

1

136

3

1arctg)( 2

xx

xxf .

2.11. Равны ли данные функции? Является ли одна из них сужением другой?

1) 1)( xxf ; 44 )1()( xxg ;

y

x

а)

1

y

x

Рис. 4

1

y

x 1

y

x 1

б) в) г)


13

2) )2ln()1ln()( 22 xxxxf ; ))2)(1ln(()( 22 xxxxg ;

3) xxxxf arcsinarcsin)( 2 ; 2xxg

2.12. Запишите области определения функций, заданных графически на рис. 5 (а-г).

2.13. Решите уравнения: 1) 3)( xf ; 2) 2)( xf ; 3) 4)( xf , если

.1если,1

,1если,3)(

2 xx

xxxf

2.14. Составьте композиции ))(( xgf и ))(( xfg для заданных функций f и g :

1) xxxf 2)( 2 , xxg 2)( , 2)1

1)(

xxf , xtgxg 2)( .

2.15. Заданы функции

1если,1

,1если,3)(

2 xx

xxxf и xxg 1)( . Запишите аналитиче-

ски и постройте графики функций ))(( xgfy и ))(( xfgy .

2.16. Постройте графики композиций gf и fg для функций:

1)

;0,

;0,2

;0,2

xx

x

x

xf 21 xxg ; 2) xxf sgn ; 42 xxg .

2.17. Найдите функцию, удовлетворяющую условию 132

2 2

x

x

xf для всех 1,2 xx .

2.18. Заданы функции

1если,2

,1если,23)(

xx

xxxf и 13)( 2 xxxg . Решите уравне-

ние )2()3( xgxf .

2.19. Решите неравенство 0)()(4 xgxf , если функции gf , для всех x R удо-

влетворяют системе уравнений

.0)1(22)12(

,)1()12(

2 xgxxf

xxgxf




Часть А

А7. Областью определения функции 12

2log

2

23

2

xx

xxy является множество

1) ;2;01;21 ; 2) 02;1;

2

1 ; 3) ;2;121 ; 4) ;2;00;1

21 .

а)

Рис. 5

б) в) г)

y

x 1

y

x 1

y

x 1

y

x 1


14

А8. Функции 2xy равна функция

1) xy ; 2) 44 xy ; 3) 2xy ; 4) xy .

А9. Если xxg 24 , 232 xxxf , то областью определения композиции

xfg является множество

1) ;30; ; 2) ; 3) 3;0 ; 4) R .

А10. Функция xy является сужением функции

1) xy ; 2) xy ; 3) 4 2xy ; 4) 2xy .

А11. Условию 5321

1

x

x

xf удовлетворяет функция

1) x

xy

21

1

2)

12

1

x

xy ; 3)

12

27

x

xy ; 4)

12

87

x

xy .

А12. Даны функции 3 xxf и

3,1

3,2

xx

xxxg . Их композицию fg задает формула

1)

3,1

3,2

xx

xxxfg ; 2)

0,1

0,2

xx

xxxfg ; 3)

3,2

3,32

xx

xxxfg ; 4)

0,2

0,32

xx

xxxfg .

Часть B

В5. Приведите пример функции, заданной аналитически, областью определения ко-

торой является множество 3 .

В6. Запишите композицию fgf , если xxf и xxg 2 .

В7. Функция 962 xxxh является композицией некоторых двух нетождественных

функций. Запишите эти функции.

В8. Запишите аналитическое выражение функции, являющейся сужением функции

1y на промежуток ;0 .

Занятие 3

Обратная функция


Обратимые и необратимые функции. Обратимые сужения необратимой функции. Обратная

функция и ее график.


Пример 3.1. Функция RRf : задана формулой 21 xxf . Яв-

ляется ли она обратимой? Выберите три множества, на котором

она обратима. Найдите функции, обратные к сужениям заданной

функции на множества ;0 и ]0;( , и постройте их графики.

► Функция обратима на любом множестве, которое не содержит противо-

положных чисел, то есть чисел вида x и x , 0x . Примером могут слу-

жить множества 0; ; 2;1 ; ;2;2;1 . Для нахождения обратной функ-

ции к сужению заданной функции на множество ;0 выразим x через y .

y

x

1

1

2

2

f(x)

f–1(x)

y

x

Рис. 6

1

1

2

2

f(x)

f–1(x)

а)


15

Учитывая, что ;0x , получаем yx 1 , где 1y . Переобозначив переменные, находим функ-

цию xxf 11 (рис. 6а). Подобным образом для сужения заданной функции на множество ]0;( по-

лучим xxf 11 (рис. 6б).

Пример 3.2. Докажите, что функция

1,13

,1,3)(

xx

xxxf обратима. Запишите обрат-

ную для нее функцию )(1 xfy и постройте ее график. Сравните с графиком

исходной функции. ► Докажем, что функция f инъективна. Возьмем две произвольные различные точки Rxx 21, . До-

кажем, что их образы 1xf и 2xf не совпадают. Рассмотрим все возмож-

ные случаи. 1) Пусть 1;, 21 xx . Тогда из условия 21 xx следует, что

1313 21 xx , то есть 21 xfxf . 2) Пусть ;1, 21 xx . Тогда условие

21 xx влечет 33 21 xx , то есть 21 xfxf . 3) Пусть 1;1 x ,

;12x . Предположим, что 21 xfxf , то есть 313 21 xx . Так как

11 x , то 123 12 xx , что противоречит условию 12 x . Следовательно,

21 xfxf . Таким образом, различным значениям аргумента соответству-

ют различные значения функции, и функция инъективна. Построим график

данной функции. Если 1x , то 43 xy , значит, 3 yx при 4y .

Аналогично, при 1x имеем 413 xy , значит, 131 yx при 4y .

Переобозначив переменные, находим функцию:

.4,1

,4,3

3

11

xx

xxxf Графики исходной и обратной

функций симметричны относительно прямой xy (рис. 7).

Пример 3.3. При каких значениях a и b функция xbeaxf совпадает с обратной к себе?

► По определению обратной функции для любых x должно выполняться равенство

xxff ))((1 . Если функция совпадает со своей обратной функцией, то это равенство прини-

мает вид xxff ))(( . Значит, должно быть xbebeaxaxbeaxx )( для любых x . При 0x

получаем 0 bab . Значит, либо 0b , либо 1a . Если 0b , то получаем xxa 2 , 1a .

Обе функции xyxy , действительно совпадают со своими обратными. Если 1a , но

0b , то получаем xbebexxbexx , т. е.

xbexx ee xbexx . При 0x получаем

0b , значит, вариант « 1a , но 0b » невозможен. Ответ: 1a , 0b .

Пример 3.4. Пусть функция f необратима, а функция g обратима. Является ли

композиция fg обратимой функцией?

► Композиция fg может быть как обратимой, так и необратимой функ-

цией. Приведем примеры. 1) Пусть 2)( xxf – необратимая функция,

xxg )( – обратимая функция. В этом случае композиция 2))(( xxfgy –

необратимая функция. 2) Пусть

,0,1

,0,1

1

)(

xx

xxxf

(рис. 8). Эта функция

необратима (например, в точках 21x и 1x она принимает значение

21 ). Пусть xxg )( , тогда композиция )(xfy определена только в

тех точках, в которых функция )(xfy не отрицательна, т. е. на проме-

жутке ]1;( . Но сужение функции )(xfy на это множество является

обратимой функцией, поэтому композиция ))(( xfgy обратима.

y

x

Рис. 8

1 1

2

2

f(x)

f–1(x)

y

x

Рис. 7

2

2

4

4

б)


16

Пример 3.5. Известно, что функция f с областью определения RD f обратима. Взяли

функцию 1) )(xfy ; 2) )(tg xfy ; 3) ))(sgn( xfy . Является ли она обратимой?

► 1) Функция )(xfy может быть как обратимой, так и необратимой. Приведем примеры. Пусть

xxf )( (обратимая функция), для нее функция xxfy )( необратима. Пусть xexf )( (обра-

тимая функция), при этом функция xexfy )( также обратима. 2) Функция )(tg xfy может

быть как обратимой, так и необратимой. Приведем примеры. Пусть xxf )( (обратимая функция),

тогда функция xxfy tg)(tg необратима. Пусть xxf arctg)( (обратимая функция, 22

; fE ),

тогда функция xxxfy )tg(arctg)(tg , 22

; x обратима. Итак, композиция получается обра-

тимой, если внешняя функция обратима на множестве значений внутренней функции. 3) Функция

))(sgn( xfy всегда необратима. Действительно, функция xy sgn обратима только на множе-

ствах, состоящих не более чем из трех точек: положительной, отрицательной и нуля. Но не суще-

ствует обратимой функции, определенной на всей числовой прямой, с таким множеством значений.


3.1. Отображение задано графиком (рис. 9). На каком множестве

оно определено, какие значения принимает? Является ли оно

обратимым, и, если да, на каком множестве определено

обратное отображение и какие значения оно принимает?

3.2. Какие из заданных функций являются обратимыми на своей

области определения (ответ обоснуйте, пользуясь определением

обратимости): 1) 5xy ; 2) )(xDy ; 3) xy ; 4) 1

1

xy ?

3.3. Докажите, что функции 2

)(xx ee

xf

и )1ln()( 2xxxg взаимно обратны.

3.4. Функция RRf : задана формулой 342 xxxf .

1) Выберите три множества, на которых она обратима, и три множества, на

которых она необратима.

2) Найдите функции, обратные к сужениям функции f на множества 2; и

;2 , и постройте их графики.

3.5. Докажите, что функция

.1,22

;1,3

1

3

xx

xx

xf обратима. Запишите аналитически

и постройте график обратной к ней функции.

3.6. Для функции xy sin , 5,3;5,2x . Найдите аналитическое выражение

обратной функции и постройте ее график.

3.7. Приведите примеры нескольких функций, для которых xfxf 1 для всех

x из области определения.


3.8. Известно, что функция f обратима и .3;14;2 f Может ли быть 1)2(1 f ?

3.9. Докажите, что взаимно обратны функции )0;(,1)( 2 xxxf и

,1)( xxg );1( x .

1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

6

7

x

y

Рис. 9


17

y

x 1

1

y

x 1

1

y

x 1

1

y

x 1

1

3.10. При каких значениях a и b функция baxxf )( совпадает со своей обратной?

3.11. Для функции 322 xxxf , выберите множества, на которых она

обратима. Запишите аналитические выражения и постройте графики обратных

функций для указанных сужений.

3.12. Обоснуйте обратимость, запишите аналитические выражения и постройте

графики обратных для функций: 1) xy tg , 22

3 ; x ; 2)

.0,1

;0,12

xx

xxy

3.13. Опишите множества, на которых обратима функция Дирихле.

3.14. Верно ли, что сумма двух обратимых функций является обратимой функцией?

3.15. Верно ли, что композиция обратимых функций обратима?

3.16. На рисунке задан график функции )(xfy (рис. 10).

Подберите функцию )(xgy в аналитической форме,

такую, что композиция ))(( xfgy является обратимой.

3.17. Известно, что функция )(xfy не обратима. Сформулируйте

возможно более общее условие на функцию g , достаточное для

того, чтобы функция ))(( xfgy была обратимой.

3.18. Известно, что функция )(xfy , RD f обратима. Взяли функцию 1) )(2 xfy ;

2) )(sin xfy ; 3) ))(( xfDy . Является ли она обратимой? Сформулируйте

возможно более общее условие на функцию g , достаточное для того, чтобы

функция ))(( xfg была обратимой.

3.19. Об обратимой функции известно, что она отображает любое положительное число

в положительное. Обладает ли этим свойством обратная к ней функция?

3.20. Об обратимой функции известно, что она отображает любое натуральное число

в натуральное. Обладает ли этим свойством обратная к ней функция?




Часть А

А13. На всей своей области определения обратимы функции:

1) 5 xy ; 2) xxy sgn ; 3) xDy ; 4) xy arctg .

А14. Отображение Νf:Ζ задано формулой 2xxf . Данное отображение не

обратимо на множестве

1) 3;1;5 ; 2) 3;1;3 ; 3) 5;1 ; 4) 4;21 .

А15. Функция 12 xxf задана на отрезке 2;1 . Обратная к ней функция показана на графике

1)

2)

3)

4)

y

x

Рис. 10

1 1

2


18

А16. Отображение RRf : задано формулой

5,82

5,3

xx

xxxf . Тогда обратное

к нему отображение можно записать в виде

1)

5,

2

8

5,3

xx

xx

xf ; 2)

2,

2

8

2,3

xx

xx

xf ; 3)

2,82

2,3

xx

xxxf ; 4)

5,

2

8

5,3

xx

xx

xf .

А17. Обратной к функции xx

xx

ee

eexg

является функция

1) xx

xx

ee

eexf

; 2)

xx

xx

ee

eexf

; 3)

x

xxf

1

1ln

21 ; 4)

x

xxf

1

1ln

21 .

А18. Обратной к сужению функции xy sin на промежуток 2

32

; является функция

1) xy arcsin ; 2) xy arcsin ; 3) xy arcsin ; 4) 2

arcsin xy .

Часть B

В9. Приведите пример функции, определенной на R и обратимой на любом подмно-

жестве ее области определения.

В10. Приведите пример нелинейной функции, совпадающей со своей обратной.

В11. При каких значениях параметров будет обратимой функция cbxaxy 2 ?

В12. Приведите пример определенных на R функций f и g , таких, что f необра-

тима, а композиция gf обратима.

Занятие 4

Свойство ограниченности функции


Ограниченные и неограниченные функции. Ограниченность функции на множестве.


Пример 4.1. Какие из функций 1)x

y2cos

1 , 2)

xy

1

1, 3)

34

12

xx

y ограни-

чены сверху, ограничены снизу, ограничены?

► 1) Так как 0cos

12

x

для всех x из yD , то функция ограничена снизу. Докажем, что она не огра-

ничена сверху:

M

xDxM y 20

cos

10 . Для произвольного 0M рассмотрим неравенство

MxM

x

1cos

cos

12

. Если 10 M , то неравенство выполняется в любой точке yDx 0. Если

1M , то в точке M

x2

1arccos0

имеем MMx

2cos

12

и функция не ограничена сверху.

2) Функция x

y

1

1 ограничена и снизу, и сверху, так как 11

10

x для всех Rx .

3) Докажем, что функция не ограничена сверху:

M

xxDxM y

34

10

20. Решая неравен-

ство Mxx

34

12

на луче ;3 , получаем Mx 1123 . Пусть Mx 21120 . Тогда


19

MMxy 20 и функция не ограничена сверху. Покажем, что она также не ограничена снизу:

M

xxDxM y

34

10

20. Решая неравенство M

xx

34

12

на интервале 3;1 , получаем

3112 xM . Пусть Mx 21120 . Тогда MMxy 20 и функция не ограничена снизу.

Пример 4.2. Покажите, что функция 5cos3 xy ограничена. Укажите такое 0C ,

что неравенство Cx 5cos3 выполняется для любого Rx .

► Пользуясь свойствами числовых неравенств, выполним на R равносильные преобразования:

25cos383cos331cos1 xxx . Значит, все значения выражения 5cos3 x

содержатся в промежутке ]2;8[ , а значит, и в более «широком» промежутке ]8;8[ . Следова-

тельно, для любого 8C выполняется неравенство Cx 5cos3 для всех Rx .

Пример 4.3. Покажите, что функция x

xf1

)( не ограничена, то есть для нее выпол-

няется условие неограниченности CxfDxC f 0 .

► Для произвольного значения 0C возьмем C

x2

1 . Тогда С

Cfxf 2

2

1

и CC

Cf

2

2

1 .

Таким образом, для любого 0C нашлось значение C

x2

1 , при котором Cxf )( .

Пример 4.4. Докажите, что если функция f ограничена на множестве fDX , то

она ограничена и на любом подмножестве множества X. ► Функция f ограничена на X: СxfXxС 0 . Любое подмножество XX 1

, а значит,

неравенство Сxf выполняется в любой точке множества 1X , и функция ограничена на нем.

Пример 4.5. Докажите, что если ограничены функции f и g , то ограничена и функция gf .

► Функции f и g ограничены, т. е. 11 0 СxfDxС f и 22 0 СxfDxС g .

Пусть 21 CCM . Возьмем произвольное

gfgf DDDx . Тогда xgxfxgf )(

MCCxgxf 21, что и означает ограниченность функции gf .

Пример 4.6. Дана ограниченная функция f и неограниченная функция g . Являются

ли функции gf и fg ограниченными? Сформулируйте условие на функцию

g , необходимое и достаточное для того, чтобы функция fg была ограниченной.

► Функция gf всегда ограничена. Так как функция f ограничена, то существует число С та-

кое, что для всех fDx выполняется неравенство Cxf )( . Тогда для всех

gfDx выполня-

ется неравенство Cxgf ))(( . Функция fg может быть как ограниченной, так и неограничен-

ной. Приведем примеры. Пусть xxf sin)( – ограниченная функция, x

xg1

)( – неограниченная

функция. При этом x

xfgsin

1))(( – неограниченная функция. Пусть xxf 2sin1)( – ограничен-

ная функция, x

xg1

)( – неограниченная функция. При этом 1;sin1

1))((

21

2

xxfg – ограни-

ченная функция. Чтобы функция fg была ограниченной, необходимо и достаточно, чтобы

функция g была ограничена на области значений функции f .

Пример 4.7. Дана ограниченная функция f и неограниченная функция g , причем

их области определения совпадают. Докажите, что их сумма является неогра-


20

ниченной функцией. Покажите на примере, что условие gf DD существенно:

без него утверждение уже не будет верным. ► Рассмотрим функцию gfh ,

gfh DDD . Тогда fhg . Предположим, что h

ограничена. Тогда неограниченная функция g является суммой ограниченных функций h и

f , что невозможно. Значит, функция h неограниченная. Если gf DD , то утверждение не-

верно. Приведем пример. Пусть ]1;1[,arcsin)( fDxxf – ограниченная функция, RDxxg g ,)( –

неограниченная функция. Рассмотрим функцию xxxh arcsin)( , ]1;1[hD . Эта функция являет-

ся ограниченной. Действительно, для любого ]1;1[x выполняется неравенство 22

1arcsin1 xx .

Заметим, что функция xxxfh arcsinarcsin не совпадает с функцией xxg )( , у них разные

области определения.


4.1. Какие из приведенных функций ограничены сверху, ограничены снизу,

ограничены: 1)2xy ; 2)

3xy ; 3) xy ; 4) xDy ; 5) xy tg ; 6)2

1

xy .

4.2. Покажите, что функция 5sgn xy ограничена, и для нее укажите значение

0C , для которого Cx 5sgn для всех Rx .

4.3. Покажите, что функция 75)( xxf не ограничена.

4.4. Докажите, что если функция ограничена на подмножествах 1X и 2X области

определения, то она ограничена и на их объединении.

4.5. Дана ограниченная функция f , причем BxfA )( для всех fDx . Определите,

какие из приведенных функций ограничены сверху, ограничены снизу, ограничены,

и укажите соответствующие границы:

1) )(xfy ; 2) )(2 xfy ; 3))(

1

xfy ; 4)

)(1

12 xf

y

.

4.6. На каких из множеств 1) 1;0 ; 2) 2;1 ; 3) Znn ,3

; 4) 0\,2

Znn

ограничена функция xy tg ?

4.7. Нарисуйте эскиз графика функции:

1) ограниченной на 1; , но не ограниченной снизу на 0;1 и не ограни-

ченной сверху на ;0 ;

2) ограниченной на ZR \ ; не ограниченной на R ;

3) ограниченной на NnRn

,\ 1 ; не ограниченной на R .

4.8. Приведите пример функции, определенной на отрезке 2;0 и не ограниченной на нем.

4.9. Приведите пример функции, которая удовлетворяет данному условию, и пример

функции, которая ему не удовлетворяет (если такие функции существуют):

1) BxfDxB f ; 2) BxfDxB f ;

3) BxfDxB f ; 4) BxfDxB f .

4.10. Что нужно потребовать от обратимой функции, чтобы обратная к ней функция

была ограничена?



21

4.11. Какие из приведенных функций ограничены сверху, ограничены снизу, ограничены:

1)21 xy ; 2)

xy

sin3

1

; 3)

xy

sin3

1

; 4)

xDy

3

1; 5)

xy

2tg1

1

.

4.12. Дана ограниченная функция f , причем BxfA )( для всех fDx . Определите,

какие из приведенных функций ограничены сверху, ограничены снизу, ограничены,

и укажите соответствующие границы:

1) 5)(3 xfy ; 2) xfy ; 3) )(sgn xfy ; 4) 12 )(1

xfy .

4.13. Покажите, что функция 5 xDy ограничена, и для нее укажите значение

0C , для которого CxD 5 для всех Rx .

4.14. Покажите, что функция 73)( xxf не ограничена. Укажите значение 0C ,

для которого Cxf для всех Rx .

4.15. Покажите, что сумма двух неограниченных функций может быть как

ограниченной, так и неограниченной.

4.16. На каких множествах 1) 1; , 2) ;1 , 3) Z , 4) Nnn

,3 1 ограничена

функция 3

1

xy ?

4.17. Нарисуйте эскиз графика функции, ограниченной на 3; , ;1 и не

ограниченной ни сверху, ни снизу на R.

4.18. Приведите пример функции, которая удовлетворяет данному условию, и

пример функции, которая ему не удовлетворяет (если такие функции

существуют): 1) CxfDxC f )( ; 2) CxfCDx f )()0( .

4.19. Приведите пример функции, не ограниченной ни на каком отрезке длины 1.

4.20. Даны неограниченные функции f и g , определенные на R. Является ли функция

0),(

0),()(

xxg

xxfxh ограниченной? Сформулируйте условие на функции f и g ,

необходимое и достаточное для того, чтобы функция h была ограниченной.

4.21. Дана ограниченная функция f . Является ли функция f1 ограниченной?

Сформулируйте условие на функцию f , необходимое и достаточное для того,

чтобы функция f1 была ограниченной.

4.22. Докажите, что если функция f принимает все значения из некоторого интервала

CС; , где 0C , то функция f1 не ограничена.

4.23. Функция f неограниченная. Будут ли ограниченными функции 1) }0),(max{)( xfxg ;

2) }0),(min{)( xfxh ? Сформулируйте условия на функцию f , необходимые и

достаточные для того, чтобы эти функции была ограниченными.

4.24. Существует ли функция, ограниченная на множестве 10...,,1,0\R и не

ограниченная на R?





22

Часть А

А19. Ограниченными сверху на множестве R являются функции

1) 322 xxy ; 2) x

y2sin

1 ; 3) xy 2 ; 4)

xy

sgn2

1

.

А20. Функция 1log 2 xy ограничена на множестве

1) 3;1 ; 2) 4;2 ; 3) ;5 ; 4) ZR \ .

А21. Для функции xy выполняется следующее условие

1) BxfDxB f ; 3) BxfDxB f ;

2) BxfDxB f ; 4) BxfDxB f .

А22. Чтобы была ограничена на R функция xgf , где 2xxf , функция xg должна быть

1) ограниченной; 2) обратимой; 3) постоянной; 4) всюду определенной.

А23. Функции xf и xg ограничены на R . Тогда будут ограничены и функции

1) xgf ; 2) xfg ; 3) xgf ; 4) xgxf .

А24. Для функции

,\,11

,,

21 ZRx

Zxxy

x график которой

изображен на рисунке, из утверждений будут верными

1) функция не ограничена на R ; 3) функция ограничена на Z ;

2) функция ограничена на NR \ ; 4) функция не ограничена на ZR \ .

Часть B

В13. Приведите пример множества, на котором любая определенная на нем функция

является ограниченной.

В14. Приведите пример неограниченной функции f и ограниченной функции g ,

сумма которых ограничена.

В15. Приведите пример функции, не ограниченной ни на каком интервале,

содержащем точку .

В16. Нарисуйте эскиз графика функции, ограниченной на 2;1\R и не ограниченной на R .

Занятие 5

Свойство монотонности функции


Монотонная на промежутке функция. Возрастающие и убывающие на промежутке функции.

График монотонной функции.


Пример 5.1. Функция f убывает на R . Решите неравенство xfxf 22 .

► Так как функция f убывает, то из заданного неравенства следует соотношение аргументов

xx 22 . Решая это неравенство, получаем ответ: 2;1x .

Пример 5.2. Докажите по определению, что функция 34)( 2 xxxf является

убывающей на промежутке ]2;( и немонотонной на промежутке 5;2 .

y

x 1

1


23

► 1) Возьмем произвольные точки 21, xx ]2;( такие, что 21 xx , и покажем, что

21 xfxf . Составим разность 21

xfxf 34 121 xx 34 2

22 xx 2

1x )(4 2122 xxx

)4)(( 2121 xxxx . Так как 21, xx ]2;( , то 221 xx , значит, 421 xx . Поэтому

0421 xx и, по условию, 021 xx , отсюда 21 xfxf .

2) Подберем точки 321 ,, xxx ]5;2[ такие, что 321 xxx и при этом 21 xfxf и

32 xfxf , что противоречит определениям и невозрастающей, и неубывающий функций.

Например, можно взять ;21 x 22 x ; 43 x . При этом 151 xf ; 12 xf ; 33 xf .

Пример 5.3. Функция f возрастает на каждом из промежутков 2;1 и 5;2 . Верно

ли, что она возрастает и на промежутке 5;1 ?

► Пусть 5;1, 21 xx и 21 xx . Если при этом 2;1, 21 xx , то неравенство 21 xfxf вы-

полняется в силу возрастания функции на этом промежутке. Аналогично, если 5;2, 21 xx , то

21 xfxf . Если же 2;11 x , а 5;22 x , то для возрастающей функции f выполняются

одновременно оба неравенства 21 fxf и 22 xff , а значит, и неравенство 21 xfxf .

Следовательно, для любых 5;1, 21 xx , 21 xx выполняется неравенство 21 xfxf и

функция f возрастает на промежутке 5;1 .

Пример 5.4. Докажите, что сумма двух убывающих на одном и том же промежутке

функций есть функция убывающая. ► Пусть на некотором промежутке функции f и g убывают. Это означает, что для любых

21 xx из этого промежутка выполняются неравенства 21 xfxf и 21 xgxg , а значит, и

неравенство 2211 xgxfxgxf , которое в силу определения суммы функций равно-

сильно неравенству 21 xgfxgf , что и означает убывание суммы gf .

Пример 5.5. Пусть f – возрастающая на R функция. Докажите, что уравнения

xxf и xxff равносильны.

► Очевидно, что если xxf , то xxff . Предположим, что xxf . Тогда либо xxf ,

что в силу возрастания функции f влечет xxfxff , то есть xxff , либо xxf ,

что влечет xxfxff , и так же xxff . Итак, все корни уравнения xxf являются

и корнями уравнения xxff и ни одно число, не являющееся корнем уравнения xxf , не

является и корнем уравнения xxff , следовательно, уравнения равносильны.


5.1. Функция f возрастает на R . Решите неравенство 652 fxxf .

5.2. Докажите по определению, что

1) 342 xxxf возрастает на ;2 ;

2) 162 xxxf убывает на 3; ;

3) 3

1

xxf убывает на 3; .

5.3. Пусть f и g – возрастающие положительные функции. Докажите, что gf –

возрастающая функция. Покажите, что произведение двух произвольных воз-

растающих функций не обязано быть возрастающей функцией.

5.4. Приведите примеры двух возрастающих функций, разность которых

1) возрастает, 2) убывает, 3) немонотонна.

5.5. Приведите пример (можно графически) функции


24

1) возрастающей на каждом промежутке 1; nn , Zn и немонотонной ни на

каком промежутке длины больше 1;

2) возрастающей на множестве Z и убывающей на множестве ZR \ ;

3) определенной на R и немонотонной ни на каком промежутке.

5.6. Сформулируйте условие, при котором функция немонотонна на некотором множестве X .

5.7. Приведите пример (можно графически) функции, удовлетворяющей условиям:

1) не является постоянной и 1x 12 xx 12 xfxf ;

2) не является монотонной и fDx 1 12 xx 12 xfxf ;

3) 1x 12 xx 13 xx 213 xfxfxf ;

4) 1x 12 xx 213 ; xxx 2313 xfxfxfxf ;

5) 1x 12 xx 213 ; xxx 321 xfxfxf .


5.8. Докажите по определению монотонность функций на заданных промежутках:

1) 542 xxy на ;2 ; 2) 2

1

xy на ;2 ; 3) 3xy на R .

5.9. Верно ли, что функция f возрастает на R , если она удовлетворяет условию:

1) для любого Rx 1 существует точка Rx 2 такая, что 21 xx и 21 xfxf ;

2) для любых Rxx 21, 21 xx существует точка 213 ; xxx такая, что

231 xfxfxf ;

3) существует точка Rx 0 такая, что для всех 01 xx и для всех 02 xx

21 xfxf .

5.10. Докажите, что композиция монотонных функций является монотонной функцией.

5.11. Функция f возрастает на каждом из промежутков ba; и cb; cba .

Следует ли отсюда, что она возрастает на отрезке ca; ?

5.12. Докажите, что функция, определенная и монотонная на отрезке, является на нем

ограниченной. Покажите, что для интервала аналогичное утверждение неверно.

5.13. Пусть f – монотонная на R функция. Может ли для любого Rx выполняться

равенство xxff ?

5.14. Пусть функция f строго монотонна на R . Найдите все пары yx; , являющиеся

решениями системы уравнений:

.

,1

yfxf

xy

5.15. Функция f : 1;01;0 является монотонной. Докажите, что существует

точка 1;0c такая, что ccf .

5.16. Последовательность состоит из двух возрастающих подпоследовательностей.

Является ли она возрастающей?




Часть А

А25. На всей области определения монотонны функции


25

1) xxy 3 ; 2) 1

1

xy ; 3) xy x 331 ; 4) xy .

А26. Функция xy ctg не является монотонной на промежутке

1) 3;2 ; 2) 4;3 ; 3) 19;18 ; 4) 20;19 .

А27. Функция xfy 2 является возрастающей на области определения, если xf равна

1) xxf )( ; 2) xxf )( ; 3) xxf 1)( ; 4) 3)( xxf .

А28. Функция 12 bxaxy возрастает на промежутке 1; при

1) 2;1 ba ; 2) 2;1 ba ; 3) 2;1 ba ; 4) 2;1 ba .

А29. Функция a , ставящая в соответствие вектору с координатами 2; aa его

длину, возрастает, если a принимает значения из множества

1) ; ; 2) 0; ; 3) ;0 ; 4) N .

А30. Для функции x

xy12 справедливы следующие утверждения:

1) функция монотонна на N ; 3) функция монотонна на Z ;

2) функция немонотонна на R ; 4) функция немонотонна.

Часть B

В17. Приведите пример неограниченной функции, возрастающей на каждом из про-

межутков 1; nn , где Zn , и немонотонной на множестве Z .

В18. Приведите пример двух аналитически заданных немонотонных функций, сум-

ма которых является монотонной функцией.

В19. Приведите пример функции, заданной графиком, удовлетворяющей условию

1x 12 xx 13 xx 1312 xfxfxfxf .

В20. Приведите пример обратимой, но немонотонной функции.

Занятие 6

Четные и нечетные функции


Четные и нечетные функции. Продолжение функции «по четности» и «по нечетности». Разло-

жение функции с симметричной областью определения в сумму четной и нечетной функций.


Пример 6.1. Определите, какие из заданных функций являются четными или нечетными:

1) 2xxxy ; 2) xxy ; 3)

22 )1()1( xxy ; 4) x

xy ; 5) 11 xxy .

► 1) RDy – симметричное относительно нуля множество. Найдем значения функции в

симметричных точках, например в –1 и 1: 2)1( y , 0)1( y . Эти числа и не равны и не яв-

ляются противоположными. Это означает, что функция не является ни четной, ни нечетной.

2) Область определения );0[ yD – множество, не симметричное относительно начала

координат, поэтому функция не является ни четной, ни нечетной. 3) RDy , заменяя x на

x , получаем )()1()1()( 22 xfxxxf . Функция является четной. 4) }0{\)( RfD –


26

множество, симметричное относительно нуля. Заменяя x на x , получаем

x

xxf )( )(xf

x

x . Функция является нечетной.

Пример 6.2. При 0x задана функция xxxf 3)( 2 . Какой формулой нужно до-

определить функцию )(xf при 0x , чтобы полученная функция была 1) не-

четной, 2) четной? Постройте графики полученных функций. ► 1) При 0x должно выполняться равенство xfxf ))(3)(( 2 xx xx 32 (рис.

11а). 2) При 0x должно выполняться равенство xfxf xxxx 33)( 22 . (рис. 11б).

Пример 6.3. При каких значениях a будет

нечетной функция 2

1

2

1

axxy ?

► Область определения этой функции

a

RfD2

;2\)( при 0a и }2{\)( RfD при

0a . Мы видим, что необходимая симметрия

области определения будет только при 1a . Подставим это значение: 2

1

2

1)(

xxxf ,

2

1

2

1)(

xxxf )(xf . Ответ: 1a .

Пример 6.4. Докажите, что функция, одновременно четная и нечетная, имеет область

определения, симметричную относительно 0, и тождественно равна нулю на ней. ► Пусть f – функция четная и нечетная одновременно. Тогда ее область определения симметрична

относительно 0. При этом для любых fDx одновременно выполняются равенства )()( xfxf

(условие четности) и )()( xfxf (условие нечетности). Сложив правые и левые части этих ра-

венств, получим, что для всех fDx 0)(0)(2 xfxf , что и требовалось доказать.

Пример 6.5. Пусть f – функция с областью определения, симметричной относи-

тельно начала координат. Проверьте, что функция xfxfx 21 четная, а

функция xfxfx 21 нечетная. Докажите, что функцию f можно пред-

ставить единственным образом в виде суммы четной и нечетной функций с той

же областью определения.

► Очевидно, fDDD . В произвольной точке

fDx имеем

)(2

xxfxf

x

, что

означает, что – четная функция. Аналогично,

2

xfxfx

)(

2x

xfxf

, что

означает, что – нечетная функция. При этом

2)(

xfxfxx

2

xfxf )(xf для

всех fDx . Остается доказать, что данное представление единственно. Пусть f можно

представить в виде суммы других четной и нечетной функций: четной функции 1 и нечет-

ной функции 1 с той же областью определения. Тогда

11 , значит,

11 . Так как разность двух четных функций – четная функция, а двух нечетных –

нечетная, то функция 11 – одновременно четная и нечетная, следовательно, рав-

на нулю, отсюда 11, , и единственность разложения доказана.


а) б)

y

x

Рис. 11

1

1

2

2

y

x 1

1

2

2


27

6.1. Определите, какие из следующих функций являются четными или нечетными:

1) 2

22 xx

xf

; 2) 2

2

21

1log

x

xy

; 3)

13

13

x

x

y ; 4) 3 xxf .

6.2. Представьте в виде суммы четной и нечетной функций следующие функции:

1) xxxxf cossin , 2) 12 xxxxf , 3) 32 xxf .

6.3. Продолжите функцию xxf , 3;2x четным образом на множество R.

Постройте график заданной и полученной функций.

6.4. Продолжите функцию xxf , 1;2 x нечетным образом на множество R.

Постройте графики заданной и полученной функций.

6.5. При каких значениях параметра функция 1

22

axf

xax

является нечетной?

6.6. Докажите, что на общей части областей определения произведение четной и

нечетной функций – нечетная функция.

6.7. Докажите, что четная функция обратима тогда и только тогда, когда ее область

определения состоит из единственной точки 0.


6.8. Какие из перечисленных функций являются четными, нечетными:

1) xxxxy 22 22 ; 2) xxxy 32 ; 3) 2

3

2

3

x

x

x

xy ;

4) 23

3

x

xy ; 5)

1

1ln

x

xxf ; 6) xxxf ctg2 ;

7) )1sin( xxf ; 8) 1cos2 4 xxxf ; 9) 1log 2 xxxf a ?

6.9. Представьте в виде суммы четной и нечетной функций функции:

1) 32 23 xxxxf , 2) xxf 3 , 3) xxf 3sin .

6.10. Продолжите функцию xxf )( на R так, чтобы полученная функция была

1) нечетной, 2) четной? Постройте графики полученных функций.

6.11. Продолжите функцию 2xxf с областью определения 0;2fD на

промежуток ]2;0( 1) четным, 2) нечетным образом. Постройте графики

заданной и полученных функций.

6.12. При 0x задана функция 34)( 2 xxxf . Какой формулой нужно

доопределить функцию )(xf при 0x , чтобы полученная функция была

1) нечетной, 2) четной? Постройте графики полученных функций.

6.13. Докажите, что композиция четных функций – четная функция. Является ли

четной или нечетной композиция 1) двух нечетных функций; 2) четной и

нечетной функции?

6.14. Может ли четная функция быть монотонной? Строго монотонной?

6.15. При каких значениях параметров функции baxxf , cbxaxxf 2 ,

dcx

baxxf

являются четными (нечетными)?


28




Часть А

А31. Четными из перечисленных являются функции

1) x

y1

; 2) xDy ; 3) xy ; 4) xy 3 .

А32. Нечетными из перечисленных являются функции

1) xy sgn ; 2) xy ; 3) 3 xy ; 4) xDy .

А33. График нечетной функции изображен на рисунке

1)

2)

3)

4)

А34. Четным продолжением функции 1 xxf является функция

1) 1 xy ; 2) 1 xy ; 3) 1 xy ; 4) 1 xy .

А35. Функция 142

2

axax

xy является четной, если a принадлежит промежутку

1) ;0;41 ; 2) ;0;

41 ; 3) 0;

41 ; 4) ;00; .

А36. Чтобы функция xf 1 была нечетной, необходимо, чтобы функция xf была

1) нечетной; 2) обратимой; 3) обратимой нечетной; 4) Определенной на R.

Часть B

В21. Приведите пример функции, одновременно являющейся нечетной, ограничен-

ной и возрастающей.

В22. Разложите функцию 12 23 xxy в сумму четной и нечетной.

В23. Приведите пример функции f, для которой композиция ff – нечетная функция.

В24. Приведите пример множества, на котором любая определенная на нем функция,

является четной.

Занятие 7

Периодические функции


Периодические функции. Наименьший положительный (основной) период. Периодичность

тригонометрических функций. Нахождение периода функции. Непериодические функции.


Пример 7.1. Докажите, что не являются периодическими функции

1) x

xf1

, 2) 652 xxxf .

y

x

y

x

y

x

y

x


29

► 1) Для функции x

xf1

достаточно рассмотреть область определения. Пусть 0T – про-

извольное число. Для данной функции fDT , а

fDTT 0 . Следовательно, T не период.

2) Предположим, что 0T – период функции 652 xxxf , тогда для всех Rx

6)(5)( 2 TxTx 652 xx , или 0252 TxTT для любых Rx , в частности для

0x . Отсюда получаем 5T . Но, например, при 1x получаем 3T , следовательно, перио-

да этой функции не существует.

Пример 7.2. Функция )(xfy периодическая с периодом 3 и на отрезке ]3;0[ зада-

на формулой )(xf )3( xx . Постройте график этой функции. Вычислите зна-

чения )5,20(),100( ff . Решите уравнение 2)( xf .

► График приведен на рис. 12. Так как в силу периодичности

для любого целого n )()3( xfnxf , то

2)1()99100()100( fff и )215,20()5,20( ff )5,0(f 25,1 .

Решим уравнение 2)( xf при ]3;0[x :

2)3( xx 0232 xx , 1,2 xx . Так как функция перио-

дическая, то к полученным точкам можно прибавить любое чис-

ло, кратное периоду: ,31 nx Zknkx ,,32 .

Пример 7.3. Функция f является периодической с периодом 2 и на промежутке

)2;0[ задана формулой 1)( xxf . Решите уравнение 02

)(

xfxf .

► Решим уравнение 0)( xf на промежутке )2;0[ : 1,01 xx . Учитывая период 2T , по-

лучаем серию решений ,21 nx Zn . Проверим, какие из этих точек входят в ОДЗ. Для

этого подставим их в подкоренное выражение: nf 21 . Здесь можно получить два значения:

при четных значениях kn 2 получаем nf 21 kf 2

21

21

21 f , при нечетных значени-

ях 12 kn 1221 kf

21

2

3 f . Значит, в ОДЗ входят только точки Znnx ,21 с не-

четными значениями n : Zkkx ,43 . Из уравнения 021 xf получаем nx 21

21 ,

Zn , или nx 42 , Zn . Ответ: Zkkx ,43 , nx 42 , Zn .

Пример 7.4. Приведите пример непериодической функции f такой, что функция

f является периодической.

► Например, функция

0,1

0,1)(

x

xxf . Очевидно, она не является периодической, так как

значение –1 она принимает только в одной точке. А функция 1)( xf является периодиче-

ской, ее период – любое число, не равное нулю.

Пример 7.5. Пусть функция f определена на всей числовой прямой и существует

такое число 0A , что xfAxf 1)( для всех Rx . Докажите, что f явля-

ется периодической функцией. Приведите пример такой функции.

► Число AT 2 является периодом этой функции: )()(

1)2( xf

AxfAxf

для всех Rx ,

что доказывает ее периодичность. Для примера возьмем функцию

)2;[,3/1

);0[,3

AAx

Axy и про-

должим ее по периодичности на всю числовую прямую с периодом 2А.


y

x

Рис. 12

3 1

1


30

7.1. Докажите, что следующие функции являются периодическими, и укажите, если

возможно, их основной период 1) xxf 2sin , 2) xxf , 3) 1xf , 4) xD .

7.2. Докажите, что следующие функции не являются периодическими

1) xxf 5 , 2) 2sin xxf .

7.3. Функция xxf задана на промежутке 4;1 . Продолжите функцию до

периодической так, чтобы она была 1) четной; 2) нечетной. Постройте графики

полученных функций.

7.4. Функция )(xfy периодическая с периодом 2 и на отрезке ]0;2[ задана

формулой )(xf )2( xx . Постройте график этой функции. Вычислите

значения )5,11(),100( ff . Решите уравнение 5,0)( xf .

7.5. Функция f является периодической с периодом 8 и на промежутке ]8;0[

задана формулой 28)( xxxf . Решите уравнение )(523)162( xfxf .

7.6. Пусть функция f определена на всей числовой прямой и существует такое

число 0A , что 1)(

1)()(

xf

xfAxf для всех Rx . Докажите, что она является

периодической функцией. Приведите пример такой функции.

7.7. Существуют ли функции (ответ обоснуйте):

1) периодические и четные (нечетные);

2) периодические и неограниченные;

3) периодические и монотонные;

4) периодические и обратимые?

7.8. Докажите, что две периодические функции, имеющие соизмеримые периоды,

имеют общий период (два числа, не равные нулю, называются соизмеримыми,

если их отношение является рациональным числом).

7.9. Докажите, что для двух функций, имеющих общий период, сумма,

произведение и частное также являются периодическими функциями.

7.10. Приведите пример периодической и непериодической функций, таких, что 1) их сумма;

2) их произведение является периодической функцией и имеет основной период.


7.11. Исследуйте каждую из функций на периодичность и обоснуйте свои выводы:

1) xxf sinln , 2) 2

cosx

xf , 3) 12 xxf , 4) 1

1

xDxf .

7.12. Докажите, что данные функции являются периодическими и найдите их

основной период:

1) )sin( xxtgxf ; 2)

a

xxf )( ; 3) xrxrxf 21 coscos)( , }0{\, 21 Qrr .

7.13. Функция f является нечетной, периодической с периодом 4 и на промежутке ]2;0[

задана формулой 11)( xxf . Постройте график этой функции. Найдите значения

)5,51(),50( ff . Решите уравнения: 1) 5,0)( xf ; 2) 02)12(5)8()(2 xfxfxf .

7.14. Функция f является нечетной, периодической с периодом 4 и на промежутке


31

]2;0[ задана формулой 224)( xxxf . Постройте график функции и решите

уравнение 04)(5)8()( xfxfxf .

7.15. Ф Функция f является периодической с периодом 2 и на промежутке ]2;0[

задана формулой 1)( xxf . Решите уравнение 5,0)9( xf и постройте

график. Решите уравнение )2()( xfxf .

7.16. Ф Функция f является периодической с периодом 1 и на промежутке )1;0[

задана формулой 2)( xxf . Решите уравнение 1)(2)52( xfxf .

7.17. Пусть функция )(xfy определена на всей числовой прямой, и ее график

симметричен относительно прямых ax и )( babx . Докажите, что она

периодическая с периодом )(2 baT . Приведите пример такой функции.

7.18. Пусть функция )(xfy определена на всей числовой прямой, и ее график

симметричен относительно прямой ax и точки )0,( 0x , не лежащей на этой

прямой. Докажите, что она периодическая с периодом )(4 0xaT . Приведите

пример такой функции.

7.19. Пусть функция f определена на всей числовой прямой и существует такое

число 0A , что для всех Rx 1) )()( xfAxf ; 2))(1

1)(

xfAxf

;

3) 2

21 ))(()()( xfxfAxf . Докажите, что она является периодической

функцией. Приведите пример такой функции.

7.20. Функция f является нечетной, периодической с периодом 4 и на промежутке

]0;2[ задана формулой )2(2)( xxxf . Решите уравнение 0

24

3

2

3)3(2

xf

xf.

7.21. При каком значении a функция xaxxf является периодической?

7.22. Докажите, что неограниченная на R и ограниченная на любом отрезке функция

не является периодической.

7.23. Существует ли периодическая функция, для которой все иррациональные числа

являются периодами, а все рациональные – не являются?




Часть А

А37. Из перечисленных функций периодическими являются

1) x

ysin

1 ; 2) xy sgn ; 3) xy 3 ; 4) xy 1 .

А38. Если функция имеет периоды 1T и 2T , то ее периодом также является число ( Nmn , )

1) 1Tmn ; 2) 21 TT ; 3) 21 mTnT ; 4) 22T .

А39. Если функция f периодическая, то при 0a периодической будет и функция

1) axfy ; 2) xfy a ; 3) xafy ; 4) axfy .


32

А40. Если f определенная на R периодическая функция, то периодическая и функция

1) xfy ; 2) xfy 2 ; 3) xfy sin ; 4) xfy .

А41. Известно, что f – периодическая функция с периодом 3 и 2

2)( xxf на )3;0[ . Решени-

ем уравнения 16)13( xf является множество

1) Znn 3 ; 2) Znn 31 ; 3) Znn 33 ; 4) Znn 32 .

А42. Отношение двух многочленов различных нечетных степеней является функцией

1) периодической; 2) непериодической; 3) немонотонной; 4) ограниченной.

Часть B

В25. Приведите пример четной неограниченной периодической функции, областью

определения и множеством значений которой не является все множество R .

В26. Изобразите эскиз графика периодической нечетной функции с периодом 1T ,

убывающей на промежутке 2;1 .

В27. Приведите пример двух непериодических функций, таких, что их произведение

является периодической функцией и имеет основной период.

В28. Сконструируйте функцию, которая была бы одновременно периодической с

периодом 2T , неограниченной, четной и 11 f .

Занятие 8

Последовательности


Последовательность, ее график. Рекуррентно заданные последовательности. Подпоследова-

тельности. Ограниченные и монотонные последовательности.


Пример 8.1. Дана последовательность ...;;;;21

54

41

32 . Из следующих формул выбери-

те формулу ее общего члена:

1) 2

)1(

n

nx

n

n ; 2) 2

2)1(

n

nx

n

n ; 3) 2

)1( 1

n

nx

n

n .

► Находим 1x для всех данных последовательностей: 1) 01 x , значит, эта формула не под-

ходит; 2) 32

1 x ; 3) 32

1 x . Находим 2x для оставшихся последовательностей: 2)

45

2 x , зна-

чит, эта формула не подходит; 3) 41

2 x . Вычислим по формуле 3) остальные данные нам

члены: 54

3 x , 21

4 x . Итак, 2

)1( 1

n

nx

n

n.

Пример 8.2. Дана последовательность ...;;0;;0;;041

31

21 . Из данных формул выбери-

те формулу ее общего члена:

1) 1

)1(1

nx

n

n ; 2) 2

)1(

n

nx

n

n ; 3) 2

)1(1

nx

n

n ; 4) 2

)1(1 1

nx

n

n .

► Так как числители при нечетных номерах должны равняться нулю, то формулы 2) и 4) не подхо-

дят, а формулы 1) и 3) этому условию удовлетворяют. При четных номерах kn 2 в формуле 1) по-

лучаем 12

2

kxn

, а в формуле 3) 12/

1

22

2

nkxn

, что совпадает с видом членов последовательности.


33

Пример 8.3. Дана последовательность 3922 nnxn . Найдите разность между

31-м и 30-м членами этой последовательности. ► Составим разность 3031 xx )3931231( 2 )3930230( 2 )3031(2)3031( 22 592161 .

Пример 8.4. При каких значениях a последовательность 23

2

n

anxn является убывающей?

► Составим разность

2)1(3

)1(21

n

naxx nn

23

2

n

an

)23)(53(

3651025346 22

nn

annananaann

)23)(53(

62

nn

a .

Так как знаменатель этой дроби всегда положительный, то дробь будет отрицательной при

062 a , т. е. при 3a .

Пример 8.5. Приведите пример последовательности, удовлетворяющей условию

]5)[0)(( nxNn , и пример последовательности, ему не удовлетво-

ряющей (если такие существуют). ► Условие означает, что для некоторого номера n величина 5nx меньше любого положи-

тельного числа. Но это возможно только тогда, когда она равна нулю, т. е. в последовательности

должен быть хотя бы один член, равный 5. Итак, данному условию удовлетворяет, например,

последовательность ...,1,1,5 , и не удовлетворяет, например, последовательность ...,1,1,1 .


8.1. Дана последовательность ...;;1;;1;032

21 . Из данных формул выберите формулу

ее общего члена: 1) 1

1)1(

n

nx

n

n ; 2) 1

)1( 1

n

nx

n

n ; 3) 1

)1( 1

n

nx

n

n .

8.2. Дана последовательность ...;0;8;0;6;0;4;0;2 . Изобразите график этой по-

следовательности. Из данных формул выберите формулу ее общего члена:

1) nx nn ))1(1( ; 2) nnx n

n )1(4 ; 3) 2

cos2n

nxn

;

4) 2

sin)1(n

nxn

; 5)

2tg

nnxn

.

8.3. Найдите пятый член последовательности nx , заданной соотношениями

11 x , 22 x , 11 5,0 nnn xxx .. Изобразите ее график.

8.4. Докажите, что последовательность nnxn 2 является возрастающей.

8.5. Приведите пример последовательности, которая не являлась бы монотонной, но

возрастала начиная с третьего члена.

8.6. Последовательность nx задана соотношениями 11 x , 5,05,11 nn xx . До-

кажите, что она возрастает.

8.7. Дана последовательность 20102 nnxn . Начиная с какого номера она явля-

ется возрастающей?

8.8. Последовательность nx задана соотношениями 11 x , 21 nn xx . Дока-

жите, что она ограничена.


34

8.9. Известно, что у данной последовательности члены с четными номерами и чле-

ны с нечетными номерами образуют ограниченные подпоследовательности.

Верно ли, что сама последовательность также является ограниченной?

8.10. Привести пример последовательности, удовлетворяющей данному условию, и

пример последовательности, ему не удовлетворяющей (если такие существуют):

1) ])[0)(( axn n ; 2) ])[)(0( axn n ; 3) ])[)(0( axn n ?


8.11. Дана последовательность1

n

nxn . Изобразите ее график. Найдите разность

между 21-м и 20-м членами.

8.12. Дана последовательность ...;12;6;2;0 . Из данных формул выберите формулу ее

общего члена: 1) nnxn 22 ; 2) nnxn 2 ; 3) 22 nnxn .

8.13. Дана последовательность ...;0;14;0;10;0;6;0;2 . Из данных формул выберите

формулу ее общего члена: 1) nx nn ))1(1( ; 2) nnx n

n )1(4 ;

3) 2

cos1n

nxn

; 4)

2sin

nnxn

; 5)

2tg

nnxn

.

8.14. Найдите сотый член последовательности, задаваемой соотношениями 21 x , 21 nn xx .

8.15. Докажите, что последовательность 12

1

nxn является убывающей.

8.16. Дана последовательность 4112

12

nn

xn . Начиная с какого номера она явля-

ется убывающей?

8.17. Известно, что у данной последовательности члены с четными номерами и чле-

ны с нечетными номерами образуют возрастающие подпоследовательности.

Верно ли, что сама последовательность также является возрастающей?

8.18. Приведите пример последовательности, которая не является ограниченной, но

имеет ограниченную подпоследовательность.

8.19. Даны ограниченные последовательности nx и ny . Докажите, что последова-

тельность },max{ nnn yxz также является ограниченной.

8.20. Дана ограниченная последовательность nx . Верно ли, что последовательность

nnx является неограниченной?

8.21. Даны последовательности nx и ny , имеющие ограниченные подпоследова-

тельности. Обязана ли последовательность nnn yxz также иметь ограни-

ченную подпоследовательность?

8.22. Приведите пример такой ограниченной последовательности nx , что последо-

вательность ...,1,,1, 4321 xxxx является 1) неограниченной; 2) ограниченной.

8.23. Приведите пример последовательности, удовлетворяющей данному условию, и

пример последовательности, ему не удовлетворяющей (если такие существуют):

1) ])[0)(( axn n ; 2) ])[)(0( axn n ; 3) ])[)(0( axn n .



35



Часть А

А43. Последовательность ;...0;;0;;0;72

52

32 задается формулой

1) 1

)1(1

nx

n

n ; 2) 2

)1(

n

nx

n

n; 3)

2

)1(1

nx

n

n ; 4) 2

)1(1 1

nx

n

n.

А44. Последовательность n

nxn

1

1) не ограничена; 2) возрастает; 3) немонотонна; 4) ограничена.

А45. Наибольшей из разностей между членами последовательности nnxn 52 будет

1) 12 xx ; 2) 23 xx ; 3) 34 xx ; 4) 45 xx .

А46. Последовательность

1

12

n

nx

n

n в некоторых точках принимает значения

1) 0; 2) 21 ; 3)

265 ; 4)

52 .

А47. Сотый член последовательности, заданной соотношениями 21 x , 231 nn xx равен

1) 223 100 ; 2) 1299 ; 3) 23100 ; 4) 1399 .

А48. Последовательность 1

3

n

anxn возрастает при значениях a из промежутка

1) ;3 ; 2) ;3 ; 3) 3;0 ; 4) 0;3 .

Часть B

В29. Приведите пример последовательности (если такая существует), удовлетворя-

ющей условию ]1)[0)(( nxNn .

В30. Приведите пример последовательности, заданной формулой n -го члена, такой,

что она принимает значение 0 ровно два раза и 125 x .

В31. Начиная с какого номера все члены последовательности n

nnxn

25

72

не меньше 6?

В32. Приведите пример рекуррентно заданной ограниченной убывающей последовательности.

Занятие 9

Предел последовательности


Определение конечного и бесконечного предела последовательности. Сходящиеся и расхо-

дящиеся последовательности.


Пример 9.1. Докажите по определению, что 21

2lim

n

n

n.

► Возьмем произвольное положительное 0 и составим неравенство

21

2

n

n . Преобразуем

это неравенство:

1

2

1

1

2

1

222 n

nn

nn . Опускаем знак модуля, так как величина под зна-


36

ком модуля положительна, и получаем равносильное неравенство 12

n . Обозначим 21

20

n .

Тогда при всех 0nn неравенство

2

1

2

n

n будет выполняться, что и требовалось доказать.

Пример 9.2. Докажите по определению, что

27lim nn

.

► Возьмем произвольное число М и составим неравенство Mn 27 . Решим это неравен-

ство: 7

2

Mn . Обозначим 1

7

20

Mn . Тогда при всех

0nn неравенство Mn 27

будет выполняться, что и требовалось доказать.

Пример 9.3. Докажите по определению, что

1lim

4

n

nn

n.

► Возьмем произвольное число М и составим неравенство Mn

nn

1

4

. Для поиска 0n введем вспо-

могательное неравенство, из которого следовало бы составленное. Для этого подберем выражение,

зависящее от n , меньшее, чем 1

4

n

nn , более простое, и также стремящееся к бесконечности. Напри-

мер, 121

3

21

44

n

n

nn

n

nn . Тогда неравенство Mn

nn

1

4

действительно следует из неравенства

Mn 13

21 . Последнее неравенство легко решается: 33

21 121 MnMn . Обозначим

11230 Mn . Тогда при всех

0nn будет выполняться неравенство Mn 13

21 , а значит, и

неравенство Mn

nn

1

4

, что и требовалось доказать.

Пример 9.4. Последовательность ...,,...,,,,, 2211 nn yxyxyx составлена из двух по-

следовательностей nx и ny , причем cxnn

lim , dynn

lim , dc . Докажите,

что данная последовательность не имеет предела. ► Предположим, что число b является пределом данной последовательности. Возьмем окрест-

ность этого числа радиуса, например, dc 41 . Длина этой окрестности равна dc

212 . Пока-

жем, что в такую окрестность не могут попасть все члены последовательности начиная с некото-

рого номера. Рассмотрим отрезок bb ; . В него не могут попасть обе точки c и d одновре-

менно, так как расстояние между ними больше длины этого отрезка. Пусть, для определенности,

bbc ; . Тогда существует окрестность точки c , не пересекающаяся с этим отрезком:

bbcU ; . Начиная с некоторого номера все члены последовательности nx попадут

в окрестность cU , а значит, не попадут в окрестность bb ; . Тогда вне этой окрестности

окажется бесконечно много членов последовательности ...,,...,,,,, 2211 nn yxyxyx . Следовательно,

предположение о том, что число b является пределом данной последовательности, неверно. Бес-

конечно удаленная точка также, очевидно, не может быть пределом этой последовательности.

Пример 9.5. Известно, что последовательность nx сходится. Составили последо-

вательность ...,2,,2, 4321 xxxx . Является ли она сходящейся?

► Последовательность ...,2,,2, 4321 xxxx может как сходиться, так и расходиться. Например, если

nxn

1 , то соответствующая последовательность ...;;;;;;1

62

51

42

31

22 стремится к нулю, значит, схо-

дится. А, например, если 1nx , то последовательность ...;2;1;2;1;2;1 расходится. Если 0lim

nn

x ,


37

то также 02lim

nn

x , и последовательность ...,2,,2, 4321 xxxx имеет предел, равный нулю. Если же

0lim

bxnn

, то bbxnn

22lim , и последовательность ...,2,,2, 4321 xxxx является расходящейся.

Пример 9.6. Известно, что последовательность nx сходится. Составили последователь-

ность nxD . Является ли она сходящейся?

► Последовательность nxD может как сходиться, так и расходиться. Возьмем, например,

сходящуюся последовательность 1nx . Тогда последовательность ...,1,1,1:nxD также схо-

дится. С другой стороны, возьмем, например, сходящуюся последовательность, в которой чере-

дуются рациональные и иррациональные числа: ...;;;;;;7

2

61

5

2

41

3

2

21 . Она имеет нулевой пре-

дел, но ...,0,1,0,1:nxD является расходящейся. Чтобы последовательность nxD оказа-

лась сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы в последовательности nx начиная с некото-

рого номера были либо только рациональные, либо только иррациональные числа.



1) 5,122

31lim

n

n

n; 2)

n

n34lim ; 3)

n

n

n1lim .


1) 01

1lim

3

nnn; 2)

12lim 23 nnn

n; 3)

1

1lim

4

n

n

n.

9.3. Приведите пример расходящейся последовательности, 1) не имеющей сходящейся

подпоследовательности; 2) имеющей сходящуюся подпоследовательность.

9.4. Последовательность nx с неотрицательными членами такова, что в каждом из

промежутков вида 1; nn , Nn содержится ровно n членов последовательности.

Найдите предел этой последовательности. Приведите пример такой последовательности.

9.5. Последовательность ...,,,,,, 243121 yxxyxx составлена из двух последователь-

ностей nx и ny , причем 1lim

nn

x , 2lim

nn

y . Докажите, что данная

последовательность не имеет предела.

9.6. Известно, что последовательность nx сходится. Составили последовательность

,,,, 4321 xxxx . Является ли она сходящейся?



1) 33

lim2

2

nn

n

n; 2)

24lim nnn

; 3)

2lim

2

5

n

nn

n;

4) 01

lim2

nn

n

n; 5)

22lim nnn

; 6)

24 31lim nnn

n.

9.8. Дана последовательность, имеющая бесконечно много членов, больших 1, и

бесконечно много членов, меньших 0,5. Докажите, что она не имеет конечного

предела. Может ли она иметь бесконечный предел?

9.9. Последовательность nx такова, что в каждом из непересекающихся отрезков

ba; и dc; содержится бесконечно много членов последовательности. Может


38

ли такая последовательность сходиться? Иметь бесконечный предел?

Изменится ли ответ, если отрезки заменить интервалами?

9.10. Дана сходящаяся последовательность nx . Можно ли переставить ее члены

так, чтобы полученная последовательность расходилась?

9.11. Последовательность nx такова, что в каждом из промежутков длины 1 содержится

конечное число членов последовательности. Найти предел этой последовательности.

9.12. Последовательность ...,,...,,,,, 2211 nn yxyxyx составлена из двух сходящихся

последовательностей nx и ny . Является ли она сходящейся?

9.13. Последовательность nx сходится. Составили последовательность nxsgn .

Является ли она сходящейся?

9.14. Последовательность nx сходится. Составили последовательность 0,max nn xy .

Является ли она сходящейся?

9.15. Известно, что последовательность nx Zkkxn , сходится. Составили

последовательность n

nx

ysin

1 . Является ли она сходящейся?

9.16. Известно, что последовательность nx Zkkxn ,2

сходится. Составили

последовательность nxtg . Является ли она сходящейся?

9.17. Известно, что последовательность nx содержит подпоследовательность, стремящуюся

к 0, и подпоследовательность, стремящуюся к 1. Докажите, что она не монотонна.




Часть А

А49. Все члены последовательности 12

n

nxn попадают в окрестность точки

21

радиуса 0,1 начиная с номера

1) 3; 2) 4; 3) 5; 4) 6.

А50. Если последовательность nx сходится к 2, то последовательность nxn

1) также сходится к 2; 3) сходится к 0;

2) расходится; 4) сходится к числу, зависящему от вида nx .

А51. Если axnn

lim , то последовательность nx будет ограниченной при a из множества

1) ; ; 2) 0 ; 3) ;0 ; 4) нет таких a .

А52. Условие nnxNn 1 может выполняться для последовательности,

1) неограниченной снизу; 3) сходящейся к n ;

2) имеющей в пределе бесконечность; 4) возрастающей.

А53. Известно, что начиная с некоторого номера все члены последовательности nx

попадают в отрезок 32

31 ; . Тогда последовательность nx

1) сходится; 2) расходится; 3) ограничена; 4) не ограничена.

А54. Равенство 21

12lim

2

2

an

n

n возможно при значении a , равном


39

1) 0; 2) 1; 3) 2; 4) 4.

Часть В

В33. Приведите пример возрастающей последовательности, сходящейся к 3.

В34. Приведите пример последовательности, не имеющей предела, но содержащей

сходящуюся подпоследовательность.

В35. Приведите пример неограниченной последовательности, не имеющей беско-

нечного предела.

В36. Приведите пример двух неограниченных последовательностей, сумма которых

имеет конечный предел.

Занятие 10

Предел функции


Предел функции на языке . Предел функции (конечный и бесконечный, в точке и на бес-

конечности) на языке неравенств. Предел по множеству. Односторонние пределы.


Пример 10.1. Докажите по определению, что 1207lim3

xx

.

► Возьмем произвольное 0 и составим неравенство 2171207 xx

713x . Возьмем

71 , тогда при 30 x выполняется неравенство 1207x ,

что и требовалось доказать.

Пример 10.2. Докажите по определению:

xx

35lim .

► Возьмем произвольное число М и составим неравенство MxMx 53531 . Возьмем

MK 531 , тогда при Kx выполняется неравенство Mx 35 , что и требовалось доказать.

Пример 10.3. Докажите по определению, что 5,032

1lim

x

x

x.

► Возьмем произвольное 0 и составим неравенство

32

5,25,0

32

1

xx

x

5,232x . Заметим, что по свойству модуля 3232 xx . Поэтому из неравенства

5,232x будет следовать неравенство

5,0

32

1

x

x . Неравенство

5,2

32x преобразуем

к виду 5,125,1

x . Возьмем 5,125,1

K , тогда при Kx выполняется неравенство

5,232x , следовательно, и неравенство

5,0

32

1

x

x , что и требовалось доказать.

Пример 10.4. Докажите по определению, что 65lim 2

2

xx

x.

► Возьмем произвольное 0 и составим неравенство 652 xx 32 xx .

Чтобы оценить сомножитель 3x , возьмем окрестность точки 2 радиуса, например, 1:

3;121 U . На этом промежутке 23 x , значит, 2232 xxx . Если 212x , то на этом

промежутке выполняется неравенство 32 xx . Итак, можем взять 21;1min , тогда при

20 x выполняется неравенство 652 xx , что и требовалось доказать.


40

Пример 10.5. Докажите по определению, что 25,2

1lim

3

xx.

► Возьмем произвольное 0 и составим неравенство

25,2

1

x

5,2

32

x

x . Чтобы

оценить сомножитель 5,2

1

x, возьмем окрестность точки 3, в которой данное выражение

было бы ограниченным, например радиуса, равного 0,25: 25,3;75,2325,0 U . На этом про-

межутке 75,0;25,05,2 x , а значит, 4;5,2

134

x. Таким образом, в этой окрестности

45,2

1

x и

385,2

32

x

x

x . Если 813x , то на этом промежутке выполняется неравен-

ство

25,2

1

x. Итак, можем взять

81;25,0min , тогда при 3x выполняется не-

равенство

25,2

1

x, что и требовалось доказать.

Пример 10.6. Пусть функция f в любой окрестности точки a принимает как значе-

ние 1y , так и значение 2y , отличное от 1y . Докажите, что функция не имеет

предела в этой точке. ► Предположим, что число b является пределом данной функции при ax . Возьмем окрест-

ность этого числа радиуса, например 214

1 yy . Длина этой окрестности равна 212

12 yy .

В такую окрестность не могут попасть все значения функции из некоторой окрестности точки a .

В нее не могут попасть обе точки 1y и

2y одновременно, так как расстояние между ними больше

длины окрестности. Это и означает, что число b не является пределом данной функции при

ax . Покажем, что функция также не стремится к бесконечности при ax . Возьмем, напри-

мер, 1yM , тогда в любой окрестности точки a существуют значения функции, не превосходя-

щие по модулю M , что противоречит определению бесконечного предела.


10.1. Какие из перечисленных условий выполняются для функции xxf tg :

1) MxfxDxM f 2

00 ;

2) xfxDx f 000 ;

3) MxfxDxM f 2

300 ;

4) xfxDx f 000 ?

10.2. Какие из условий выполняются для функции, заданной графиком на рис. 13:

1)

xfx 0lim , 2)

xf

x 01lim , 3)

xf

x 3lim ,

4) 3lim

xfx

, 5) 3lim

xfx

, 6) 0lim

xfx

.


1) 915lim2

xx

; 2)

157lim xx

; 3) 02

1lim

xx;

4) 34lim 2

3

xx

x; 5)

51

3 2

1lim

xx.

y

x 1

1

3

Рис. 13


41

10.4. Известно, что для некоторой функции выполняются условия 1lim

xfx

;

xfx 0lim

и

xfxlim . На каком из рисунков изображен эскиз ее графика (рис. 14 (а-г))?

10.5. Изобразите график функции, удовлетворяющей условиям:

1)

xfxlim ,

xf

x 1lim , 3lim

0

xf

x;

2) 2lim

xfx

,

xfx 1lim ,

xf

x 0lim ;

3)

xfxlim , 0lim

01

xf

x,

xf

x 01lim , 1lim

xf

x.

10.6. Постройте график и найдите по нему односторонние пределы в тех точках, в

которых не существует предел функции

.0,2

,01,1

,1,0

,1,3

x

xx

x

xx

xf

10.7. Для функции xy sin укажите множество, по которому предел этой функции

при x равен единице.

10.8. Известно, что функция f при ax имеет конечный предел b . Составили

функцию

.,3

,,

ax

axxfxg Каково должно быть значение b , чтобы xg

axlim

существовал?

10.9. Какова должна быть функция xfy с областью определения R , чтобы

xfx

sgnlim0

существовал? Постарайтесь сформулировать наиболее общее условие.


10.10. Приведите пример аналитически заданной функции, удовлетворяющей условию

xfKxDxK f0 .


1) 713lim2

xx

; 2)

54lim xx

; 3) 012

1lim

xx;

4) 34lim 2

1

xx

x; 5)

7

3

3 12

3lim

xx; 6)

21lim xx

.

10.12. Изобразите график функции, удовлетворяющей условиям

1) 2lim

xfx

,

xfx 1lim ,

xf

x 0lim ;

2) 3lim

xfx

,

xfx 2lim ,

xf

xlim ;

а)

1

1

y

x 1

1

y

x 1

1

y

x 1

1

y

x

Рис. 14

б) в) г)


42

3)

xfxlim , 2lim

1

xf

x,

xf

x 0lim ;

4) 0lim

xfx

; 1lim2

xfx

; 1lim02

xfx

;

xfx 02lim ;

xf

xlim .

10.13. Постройте график и найдите по нему односторонние пределы в тех точках, в

которых не существует предел функции

.0,1

,20,1

,2,

xx

xx

xx

xf

10.14. Приведите пример функции, для которой предел при x по множеству

N равен 2, а по множеству NR \ равен 0.

10.15. Приведите пример функции, для которой предел при 3x по множеству

Nnn

,1

3

равен 2, по множеству

Nnn

,1

3 равен –2, а по множеству

Nnn

R ,1

3\ равен 0.

10.16. Известно, что bxfax

lim , причем xgax

lim , где

axa

axxfxg

,

,,

2,

существует. Найдите значение b .

10.17. Какова должна быть функция xfy с областью определения R , чтобы

xDfx 0lim

существовал? Постарайтесь сформулировать наиболее общее условие.

10.18. Пусть функция f в любой окрестности точки принимает как значения,

большие 2, так и значения, меньшие 1. Докажите, что функция не имеет

предела в этой точке. Приведите пример такой функции.




Часть А

А55. Выражение MxfKxDxКM f выполняется для функции

1) xy ctg ; 2) 3 xy ; 3) xy ; 4) xey .

А56. Выражение MxfaxDxM f 00 является определением для

1) axfx

lim ; 2)

xfxlim ; 3)

xf

axlim ; 4)

xf

axlim .

А57. Отметьте условия, которые выполняются для функции xxf arcctg .

1) 0lim

xfx

; 2) 0lim

xfx

; 3) 0lim0

xfx

; 4) 20

lim

xf

x.

А58. Какие из условий выполняются для функции, заданной гра-

фиком на рисунке?

1)

xfx 0lim ; 2)

xf

x 01lim ;

3) 3lim

xfx

; 4) 3lim0

xfx

.

А59. Из построенных графиков функций выберите тот, который


43

удовлетворяет условию 10 xfKxDxK f .

1)

2)

3)

4)

А60. Значение предела x

xD

x lim равно

1) 0; 2) 1; 3) ; 4) не существует.

Часть B

В37. Приведите пример аналитически заданной функции, удовлетворяющей условию

xfKxDxK f0 .

В38. Приведите пример графически заданной функции xf , для которой выполняется

условие 1012 xfKxDxK f , при этом число 2 не является

пределом заданной функции при x .

В39. Изобразите эскиз графика функции, удовлетворяющей условиям

0lim

xfx

; 1lim2

xfx

; 1lim02

xfx

;

xfx 02lim ;

xf

xlim .

В40. Приведите пример аналитически заданной функции xf , для которой правый и

левый пределы в каждой точке fDZx различны.

Занятие 11

Вычисление пределов


Теоремы о пределе суммы, произведения и частного функций, имеющих конечный предел, и

дополнения к ним (сумма функций, стремящихся в данной точке к ; сумма беско-

нечно большой и ограниченной функций; произведение бесконечно больших функций; про-

изведение бесконечно малой на ограниченную функцию; связь между бесконечно большой и

бесконечно малой функциями). Неопределенности 0

0 ; ; ; 0 . Предел отношения двух

многочленов. Пределы иррациональных выражений.


Пример 11.1. Найдите 22

65lim

23

2

2

xxx

xx

x.

► Данное выражение при 2x представляет собой неопределенность типа 0

0 , так как пре-

делы числителя и знаменателя равны нулю. Раскладываем числитель и знаменатель на

сомножители, после сокращения на 2x неопределенность исчезает:

22

65lim

23

2

2

xxx

xx

x )1)(2(

)3)(2(lim

22

xx

xx

x31

22 1

3lim

x

x

x

.


1lim

1

m

n

x x

x, Nmn , .

1

1

y

x 1

1

y

x 1

1

y

x 1

1

y

x

y

x 1

1

3


44


0 , так как пре-

делы числителя и знаменателя равны нулю. Раскладываем числитель и знаменатель на

сомножители: )1...)(1(1 21 xxxxx nnn , )1...)(1(1 21 xxxxx mmm . После

сокращения сомножителя 1x неопределенность исчезает:

1

1lim

1

m

n

x x

x

m

n

xxx

xxxmm

nn

x

1...

1...lim

21

21

1

.


25lim

23

3

xxx

xx

x.

► Выражение представляет собой неопределенность типа при x . Поделим числитель и

знаменатель на старшую степень переменной 3x , получим

32

32

23

3

1121

215

lim12

25lim

xxx

xx

xxx

xx

xx

.

Данное отношение выражение при x уже не представляет собой неопределенность, так как

521

5lim32

xxx

; 1112

1lim32

xxxx

. Отсюда 512

25lim

23

3

xxx

xx

x

.


42lim

3 5

nn

nnn

n.

► Выражение представляет собой неопределенность типа при n . Поделим числитель и

знаменатель на 3

5

n : 123

42lim

3 5

nn

nnn

n

3/53/23/103/7

3/53/23 4

23

421lim

nnnn

nnn

n

. Замечаем, что предел

числителя равен 1, предел знаменателя равен 0, следовательно, предел частного – бесконечность.


21lim

3

x

x

x.


0 . Для ее

устранения умножим числитель и знаменатель на выражение 21x , получим

3

21lim

3 x

x

x )21)(3(

)21)(21(lim

3

xx

xx

x )21)(3(

4)1(lim

2

3

xx

x

x )21)(3(

3lim

3

xx

x

x4

1

3 21

1lim

xx

.


1lim

1

m

n

x x

x, Nmn , .


0 . Введем новую перемен-

ную nmxt

1

, тогда mn tx , nm tx , причем 1t при 1x . Получим

1

1lim

1 m

n

x x

x

n

m

t

tn

m

t

1

1lim

1

.

Пример 11.7. Найдите x

x

x e

e2

3

3ln

2lnlim

.

► Имеем неопределенность типа . Преобразуем выражение:

x

x

x e

e2

3

3ln

2lnlim

13ln

12lnlim

22

33

xx

xx

x ee

ee

xe

xex

x

x 231ln

321lnlim

2

3

231ln1

321ln1

lim2

3

x

x

xe

x

ex

2

3 .


45

Пример 11.8. Найдите 3cos4

1sinsin2lim

2

2

6

x

xx

x.

► Имеем неопределенность типа 0

0 . Введем новую переменную xt sin , при 6x

21t .

Получим

3cos4

1sinsin2lim

2

2

6

x

xx

x 2

2

41

12lim

21 t

tt

t

)21)(21(

)1)(12(lim

21 tt

tt

t

4

3

)21(

)1(lim

21

t

t

t

.

Пример 11.9. Докажите, что сумма сходящейся и расходящейся последовательно-

стей является расходящейся последовательностью. Может ли сумма двух рас-

ходящихся последовательностей сходиться? ► Пусть последовательность nx сходится, а ny расходится. Обозначим их сумму

nnn yxz .

Предположим, что последовательность nz сходится, тогда последовательность nnn xzy сходится

как разность сходящихся последовательностей. Получили противоречие с условием. Сумма двух рас-

ходящихся последовательностей может сходиться: например, возьмем расходящиеся последователь-

ности nnx )1( и 1)1( n

ny , их сумма 0nz для всех n является сходящейся последовательностью.


11.1. Вычислите пределы

1) 1

15lim

3

2

1

x

xx

x; 2)

4

13lim

22

x

x

x; 3)

252

65lim

2

2

2

xx

xx

x;

4) 1

1lim

5

7

1

x

x

x; 5)

xxx

xx

x

25

3

7

24lim ; 6)

3512

3lim

2

2

3

x

x

x

x

x;

7) 25

12lim

1

x

x

x; 8)

x

xxx

33

0

11lim

; 9) xx

xx

x

4 2

2

1

1lim ;

10) 17

lim6 10

3 55 3

xx

xxx

x; 11) 1lim 2

xxx

x; 12)

)!1(

)!2()!1(lim

nn

nn

n.

11.2. Дана сходящаяся последовательность nx . Что можно сказать о сходимости

последовательности: 1) nnx1 ; 2) n

nx )1( ; 3) nnx )1( ?

11.3. Пусть последовательности nx и ny содержат сходящиеся подпоследова-

тельности. Верно ли, что их сумма nn yx также содержит сходящуюся под-

последовательность?

11.4. Известно, что bxfax

)(lim 2, 0b . Верно ли, что bxf

ax

)(lim ?


11.5. Вычислите пределы:

1) 6

932lim

2

2

3

xx

xx

x; 2)

33

122lim

23

23

1

xxx

xxx

x; 3)

1

1lim

3

11

1

x

x

x;

4) 12

32lim

x

x

x; 5)

27279

127lim

23

2

3

xxx

xx

x; 6)

21lim

2

3

4

x

x

x

x

x;


46

7) xx

x

x 2

39lim

20

; 8)

33

2

4 35

16lim

xx

x

x; 9)

330 11

11lim

xx

xx

x

;

10) )319(lim 2 xxx

; 11) 11

11lim

30

x

x

x; 12)

xxx

x

x

lim ;

13) 12lim

nn

nxxn ; 14)

!

)!1(!lim

n

nn

n

; 15)

1sin3sin2

1sinsin2lim

2

2

6

xx

xx

x

;

16) 223 )1432(

)16)(15)(14)(13)(12)(1(lim

xxx

xxxxxx

x.

11.6. Пусть последовательность nx является бесконечно малой. Докажите, что су-

ществует такая бесконечно большая последовательность ny , что последова-

тельность nn yx является бесконечно малой.

11.7. Верно ли, что если функция f не имеет в точке a конечного предела, предел )(lim xgax

существует и конечен, то предел ))()((lim xgxfax

также существует и конечен?

11.8. Пусть функция f не имеет в точке a ни конечного, ни бесконечного предела.

Каким свойством должна обладать функция g , чтобы существовал конечный

предел ))((lim xfgax

? Постарайтесь сформулировать наиболее общее условие.

Приведите пример такой функции (не являющейся постоянной на всей число-

вой прямой), если xxf sin)( , a .

11.9. Пусть функции 11 ,,, ggff всюду определены и имеют в точке a конечные

пределы, причем

)(lim xfax

)(lim 1 xfax

и

)(lim xgax

)(lim 1 xgax

. Можно ли утвер-

ждать, что 1) )(

)(lim

xg

xf

ax )(

)(lim

1

1

xg

xf

ax; 2) ))()((lim 1 xfxf

ax

))()((lim 1 xgxg

ax

?

11.10. Дана сходящаяся последовательность nx , 0nx . Является ли последователь-

ность nx1 сходящейся?

11.11. Известно, что последовательность nx , 0nx сходится. Составили последователь-

ность ,...1,,1, 4321 xxxx Является ли она сходящейся?

11.12. Верно ли, что последовательность вида nnx , где nx – некоторая сходящаяся

последовательность, расходится?

11.13. Известно, что bxnn

2lim , 0b . Верно ли, что bxnn

lim ?

11.14. Дана сходящаяся последовательность nx , 0nx . Определите, является ли сходя-

щейся последовательность

.1если,1

,1если,

nn

nnn

xx

xxy





47

Часть А

А61. Функция 12

x

xy имеет конечный предел в точке расширенной числовой прямой

1) 0; 2) –1; 3) ; 4) 21 .

А62. Значение предела 23

1lim

3

23

1

xx

xxx

x равно

1) 0; 2) 32 ; 3) 1; 4) .

А63. Значение предела функции 25

212

x

xy в точке 5x равно

1) 301 ; 2)

401 ; 3) 0; 4) .


1lim

3

3

xx

x

x равно

1) –1; 2) 0; 3) 21 ; 4) .

А65. Предел 2lim

xxx

имеет значение

1) 0; 2) 2

1 ; 3) ; 4) .

А66. Предел функции xy cos при x

1) 0; 2) 1; 3) ; 4) не существует.

Часть B

В41. Найдите значение предела

xxx

xx

x

2233

22lim .

В42. Приведите пример функции f , не имеющей в точке a конечного предела, но

при этом )(lim 2 xfax

существует и конечен.

В43. Приведите пример функций gf , , не имеющих в точке a конечных пределов,

но таких, что ))()((lim xgxfax

существует и конечен.

В44. Приведите пример функций gf , , имеющих в точке a конечные пределы, но таких,

что условие gfDa не выполняется, и, следовательно, ))()((lim xgxfax

не существует.

Занятие 12

Замечательные пределы и их следствия


Первый замечательный предел. Число е. Второй замечательный предел. Раскрытие неопреде-

ленностей с помощью замечательных пределов. Следствия второго замечательного предела.



48

Пример 12.1. Найдите xx

xx

x 5arctg2arcsin

sin3tglim

0

.


0 . Чтобы применить первый замечательный предел, пре-

образуем выражение следующим образом:

xx

xx

x 5arctg2arcsin

sin3tglim

0

x

x

x

xx

x

x

x

x

5

5arctg5

2

2arcsin2

sin3

tg

lim0

.

Так как x

x

x

sinlim

0

x

x

x

tglim

0

x

x

x

arcsinlim

01

arctglim

0

x

x

x

, то

x

x

x

xx

x

x

x

x

5

5arctg5

2

2arcsin2

sin3

tg

lim0

3

4

52

31

.


)tg-(1lim1

xx

x

.

► Имеем неопределенность типа 0 . Введем новую переменную xt 1 , причем

01 tx . Получим 2

)tg-(1lim1

xx

x

)1(

2tgtlim

0t

t

tc

t 2tgtlim

0

t

t

t

2tg

22lim

0

2 .

Пример 12.3. Найдите dxcx

bxax

x coscos

coscoslim

0

, где dc .


0 . Применим формулу разности косинусов:

dxcx

bxax

x coscos

coscoslim

0

2

)(sin

2

)(sin2

2

)(sin

2

)(sin2

lim0 xcdxdc

xabxba

x

. Делим числитель и знаменатель на 2x .

Так как x

x

x

sinlim

0 x

x

x

sinlim

0

, то

2

)(sin

2

)(sin2

2

)(sin

2

)(sin2

lim0 xcdxdc

xabxba

x

22

22

cd

ab

.

Пример 12.4. Найдите

x

x bx

ax

lim , где ba .

► Имеем неопределенность типа 1 . Преобразуем выражение: x

x bx

ax

lim

x

x bx

babx )(lim

x

x bx

ba

1lim

bx

ba

ba

bxx

x bx

ba

1lim

babx

bxax

xee

lim .


xx 2tg)tg(lim

4

.

► Имеем неопределенность типа 1 . Введем новую переменную xt tg , причем

14

tx . Так как x

xx

2tg1

tg22tg

, то получим x

x

x 2tg

4

)tg(lim

21

2

1lim t

t

tt

21

2

1))1(1(lim t

t

tt

11

2

1

1

1))1(1(lim

et t

t

t

t

.


xxcoslim

0.


49

► Имеем неопределенность типа 1 . Введем новую переменную xt , причем 00 tx .

Получим x

xxcoslim

0

2

1

0)(coslim t

tt

2

1

0))1(cos1(lim t

tt

1cos

11cos

0

2))1(cos1(lim

tt

t

tt . Отдельно вы-

числим

20

1coslim

t

t

t

2

2

0

2sin2

limt

t

t 2

12sin

2

1lim

2

2

1

2

0

t

t

t

. В результате получаем 2

1

0coslim

exx

x

.

Пример 12.7. Найдите xx

xx

x 37

23lim

0

.

► Здесь неопределенность 0

0 ; применим следствие второго замечательного предела ax

a x

xln

1lim

0

.

Для этого преобразуем выражение следующим образом:

xx

xx

x 37

23lim

0

)13()17(

)12(13lim

0

xx

xx

x

xx

xxxx

xx

x 1317

1213

lim0

3ln7ln

2ln3ln

2

3log

3

7 .

Пример 12.8. Найдите ))1ln()5(ln(lim 222

nnnnnn

.

► Имеем неопределенность типа 0 . Преобразуем выражение:

))1ln()5(ln(lim 222

nnnnnn

1

5lnlim

2

22

nn

nnn

n

1

41lnlim

2

2

nnn

n

2

1

41lnlim

2

n

n nn

1

4

4

1

2

2

22

1

41lnlim

nn

nnn

n nn

4ln 4 e .



1) x

xx

x 2

sintglim

0

; 2)

22

3sinlim

0 x

x

x; 3)

14

)21arcsin(lim

2

2

1

x

x

x

;

4) xx

xx

x 8cos2cos

5coscoslim

0

; 5)

x

x

x

sinlim

; 6)

2

52

5lim

2

2x

x x

x

;

7)

25

2

2

23

13lim

x

x x

x

; 8)

x

x

xx 1

11lim

0; 9)

x

x

x

101lglim

0

.

12.2. Вычислите односторонние пределы в указанных точках:

1) x

x

x

sinlim

0; 2)

x

x

x

sinlim

0; 3)

4lim

202 x

x

x;

4) 4

lim202 x

x

x; 5)

4lim

202 x

x

x; 6)

4lim

202 x

x

x.




50

1)

3arctg5arcsin

lim2

0 xx

x

x; 2)

x

xx

x sin

2sin7sinlim

0

; 3)

24

5sinlim

0 x

x

x;

4) )39(3ctglim0

xxx

; 5) ax

ax

ax

secseclim ; 6)

x

x

x

2sinlim

2

;

7)

x

x x

x7

32

52lim

; 8)

x

x

x

x36

0 51lim

; 9)

x

x xx

xx

43

5lim

2

2

;

10)

12

2

2

732

152lim

x

x xx

xx; 11)

x

x

x x

x

1

2

2

3

52

13lim ; 12) x

xx 2

12

0tg1lim

;

13) x

x

x tg

2

)(sinlim

; 14) 30

sin1tg1lim

x

xx

x

.

12.4. Вычислите односторонние пределы в указанных точках:

1) x

x

x tglim

02

; 2) x

x

x tglim

02

; 3) 5

1

4

3

05 1

1lim

x

x x

x;

4) 5

1

4

3

05 1

1lim

x

x x

x; 5)

39

5arcsinlim

/1

0

x

ex x

x; 6)

39

5arcsinlim

/1

0

x

ex x

x.




Часть А


cos1lim

x

x

x

равно

1) 0; 2) 21 ; 3) 1; 4) .

А68. Функция

2

12

1x

x

xy

при x имеет пределом

1) 0; 2) 21 ; 3) ; 4) не существует.

А69. Значение предела

x

x x

x5

3

2lim

равно

1) 25е ; 2) 5e ; 3) 25 e ; 4) 5e .


coslnlim

x

x

x равно

1) 21 ; 2) 0; 3) e ; 4) 2

1e .


51

А71. Предел nn

u

lim , где nnnu 11 , существует и конечен потому, что

1) это число e ;

2) последовательность nu имеет сходящуюся подпоследовательность;

3) последовательность nu монотонна и ограничена;

4) для всех n выполняется неравенство 3nu .

А72. Правый и левый пределы в точке 0x существуют и совпадают у функции

1) xy sgn ; 2) xy ; 3) xxy sgn ; 4) xy sin .

Часть B

В45. Найдите значение предела ex

x

ex 22

lnlnlim

.

В46. Найдите односторонние пределы функции

x

xy

cos1 в точке .

В47.Приведите пример функции, произведение односторонних пределов которой в

точке a равно a .

В48. Изобразите график функции, имеющей в некоторой точке бесконечные односторонние

пределы разного знака, а в другой точке – различные конечные односторонние пределы.

Занятие 13

Ограниченные множества и точные грани


Ограниченность снизу, сверху, ограниченность числового множества. Точные грани. Аксиома не-

прерывности множества действительных чисел (в форме утверждения о существовании точных гра-

ней ограниченного числового множества). Теорема Кантора о вложенной системе отрезков.


Пример 13.1. Является ли данное числовое множество ограниченным снизу, сверху,

ограниченным? Если да, то найдите соответствующие точные грани. Содержит

ли данное множество свои точные грани?

1)

Nnnn

nX

1

22

2

; 2) ]3;( JX .

► 1) Так как для всех Nn выполняется неравенство )1(22 22 nnn , то 21

20

2

2

nn

n ,

следовательно, данное множество ограничено и сверху, и снизу, и является ограниченным. Так

как 1

22

2

nn

n2111

2

nn

, то последовательность 1

22

2

nn

nxn

возрастает, и 32

1 x – ее

наименьший элемент и точная нижняя грань. Вычисляя, получаем 21

2lim

2

2

nn

n

n

. Докажем, что

2sup X . Решая неравенство 21

22

2

nn

n относительно n , получаем 01n – выполнено для

всех Nn . В силу определения предела для любого 0 существует такое Nn 0, для которо-

го 22 nx . Значит, 2sup X , но число 2 не принадлежит множеству X.


52

2) Множество X не ограничено снизу, так как для любого 0M существует иррациональное

Mx . Множество X ограничено сверху, так как 3x для всех Xx . При этом 3sup X .

Действительно, для любого 0 в силу плотности множества I в R существует Ix , для которо-

го 33 x . Множество не содержит свою точную верхнюю грань.

Пример 13.2. Докажите, что для ограниченных сверху множеств YX , выполняется

равенство },sup{supsup YyXxyxYX .

►Обозначим YXZ },{ YyXxyx . Докажем, что число YXM supsup является верхней

границей множества Z . Действительно, для любых YyXx , выполняется неравенство

MYXyx supsup . Докажем, что число YXM supsup является наименьшей верхней

границей множества Z . Возьмем произвольное 0 и подберем числа YyXx , такие, что

2/sup Xx и 2/sup Yy . Тогда MYXyx supsup . Это показывает, что ZM sup .

Пример 13.3. Известно, что числовое множество Х ограничено снизу, не содержит

своей точной нижней грани и 2inf X . Докажите, что существует бесконечно

много точек Xx таких, что 2x . ► Обозначим Xm inf . По условию 2m и mx для всех Xx . Из определения точной

нижней грани следует, что 2;inf mX не пусто. Предположим, что оно конечно. Тогда его

наименьший элемент будет больше m и будет являться точной нижней гранью множества X.

Полученное противоречие показывает, что таких элементов бесконечно много.

Пример 13.4. Каким свойством должна обладать определенная на R функция g ,

чтобы для любой определенной на R функции f выполнялось бы условие

1)

))((sup xfgRx

)(sup xgRx

; 2)

))((sup xgfRx

)(sup xfRx

?

► 1) Докажем, что необходимым и достаточным условием является постоянство функции.

Очевидно, для постоянной функции это условие выполнено. Пусть функция g не постоянна,

тогда существует точка 0x такая, что )(sup)( 0 xgxg

Rx

. Возьмем функцию 0)( xxf , тогда

))((sup xfgRx

)(sup 0xgRx

)(sup)( 0 xgxgRx

.

2) В данном случае необходимо и достаточно, чтобы функция g была сюръективной. Если

это так, то })),(({ Rxxgf }),({ Rxxf и

))((sup xgfRx

)(sup xfRx

. Если функция g не прини-

мает значения d , то подберем функцию f , принимающую наибольшее значение в един-

ственной точке d . Для нее

)())((sup dfxgfRx

)(sup xfRx

.

Пример 13.5. Обязана ли последовательность вложенных интервалов иметь общую точку?

►Нет. Например,

)/1;0(1

nn

.


13.1. Является ли данное числовое множество ограниченным снизу, сверху, ограни-

ченным? Если да, то найдите соответствующие точные грани. Содержит ли

данное множество свои точные грани?

1)

Nnn

X1

; 2) )3;2(QX ; 3)

1221 5

1;

5

1nnn

X ;


53

4)

Nn

nX

n1

1 ; 5)

4;

3cos xxX .

13.2. Выберите верный ответ. Объединение ограниченных множеств 1) ограничено;

2) если набор множеств конечный, то ограничено; для бесконечного набора

может быть и не ограниченным; 3) если набор множеств конечный, то ограни-

чено; для бесконечного набора всегда не ограничено; 4) для двух множеств

ограничено, для n множеств не ограничено.

13.3. Даны определенные на R ограниченные функции f и g . Верно ли, что

1) )(sup)(sup})()(sup{ xgxfRxxgxf ; 2) },)()(sup{ Rxxxgxf

)(sup)(sup xgxf ? Приведите графические иллюстрации.

13.4. Известно, что yx для любых YyXx , и 5inf,2sup YX . Найдите

},inf{ YyXxxy .

13.5. Приведите пример (можно графический) ограниченной последовательности, не до-

стигающей своих точных граней (то есть не имеющей ни наибольшего, ни наимень-

шего элемента). Докажите, что такая последовательность не является монотонной.

13.6. Найдите ошибку в следующем рассуждении. «Докажем, что ограниченная

сверху числовая последовательность содержит бесконечно много различных эле-

ментов. Возьмем точную верхнюю грань М этой последовательности. Выберем

член последовательности );( 11Mxxn , затем член последовательности

);(12

Mxx nn , и т. д. Очевидно, они различны».

13.7. Докажите, что последовательность вложенных отрезков, имеющая единственную

общую точку, является стягивающейся, т.е. их длины стремятся к 0.


13.8. Является ли данное числовое множество ограниченным снизу, сверху, ограни-

ченным? Если да, то найдите соответствующие точные грани. Содержит ли

данное множество свои точные грани?

1)

Nnn

nX

1; 2) ]3;2[ JX ; 3) )3;3( 212 nn

ZnX

.

4)

Nn

nX

n1

1 ; 5)

4

3;

3sin xxX .

13.9. Приведите пример числового множества, у которого все бесконечные подмно-

жества 1) ограничены; 2) не ограничены.

13.10. Известно, что последовательность nx достигает своей точной верхней грани.

Достигает ли своей точной верхней грани последовательность ,...,0,,0, 531 xxx ?

13.11. Функция f достигает на множестве Х своей точной верней грани. Верно ли,

что функция 1) f2 , 2)2f также достигает на этом множестве своей точной

верхней грани? Сформулируйте условие на функцию g , достаточное для того,

чтобы функция fg достигала своей точной грани.


54

13.12. Имеется последовательность числовых множеств nX таких, что xx для

всех nXx , 1 nXx при любом Nn . Можно ли утверждать, что объеди-

нение всех этих множеств не ограничено сверху?

13.13. Если YX , то какие неравенства выполняются для XX sup,inf , YY sup,inf ?

13.14. Докажите, что для ограниченных снизу множеств YX , выполняется равен-

ство },inf{infinf YyXxyxYX .

13.15. Докажите, что для ограниченных множеств YX , выполняется равенство

XYYyXxxy infsup},sup{ .

13.16. Докажите, что сходящаяся последовательность достигает хотя бы одной из

своих точных граней.

13.17. Дана последовательность nx . Известно, что cxn sup , Rc и cxn для

всех Nn . Докажите, что последовательность nx содержит подпоследователь-

ность, стремящуюся к точке c . Покажите, что в том случае, когда nxsup достига-

ется, такой подпоследовательности может не быть.

13.18. Даны определенные на R ограниченные функции f и g . Верно ли, что

)(sup)(sup})()(sup{ xgxfRxxgxf ?

13.19. Даны всюду определенные ограниченные функции f и g , причем

Rxxxgxf ,),()( . Верно ли, что )(inf)(sup xgxf ?

13.20. Найдите ошибку в следующем рассуждении. «Докажем, что каждая ограничен-

ная числовая последовательность содержит хотя бы два различных элемента.

Рассмотрим ее точные грани }inf{},sup{ nn xmxM . Пусть с – середина про-

межутка между этими числами, тогда существует член последовательности,

меньший, чем с, и член последовательности, больший, чем с. Очевидно, они различ-

ны». Приведите пример, показывающий, что данное утверждение неверно.

13.21. Найдите ошибку в следующем рассуждении. «Докажем, что для возрастающей

ограниченной функции обратная функция также является ограниченной. Пусть f –

возрастающая ограниченная функция. Обозначим ),(sup xfM )(inf xfm .

Найдем точки 21 , xx такие, что Mxf )( 1 , mxf )( 2 . Так как для любых

Mxfmx )( и функция 1f возрастает, то )())(()( 111 Mfxffmf ,

или )()()( 111 Mfyfmf для всех y из области определения обратной функ-

ции. Что и означает, что обратная функция ограничена». Приведите пример, по-

казывающий, что данное утверждение неверно.

13.22. Обязана ли последовательность вложенных лучей иметь общую точку? Может ли

последовательность вложенных лучей иметь общую точку? Может ли последова-

тельность вложенных лучей иметь единственную общую точку?

13.23. Дана стягивающаяся последовательность вложенных отрезков. Верно ли, что се-

редины этих отрезков стремятся к их общей точке при n ?




Часть А


55

А73. Ограниченным является

1) множество длин всех отрезков, содержащихся в отрезке длины 1;

2) множество всех целых чисел, меньших 100;

3) множество всех чисел вида 12 n

n, Nn ;

4) множество всех положительных действительных чисел, не превосходящих числа .

А74. Верхней гранью множества чисел вида 12

13

3

n

n, Nn является число

1) 1; 2) 1,8; 3) 2; 4) 3.

А75. Своей точной нижней грани достигает множество чисел

1) 1;0Q ; 2) 1;0I ; 3) 12;2

nn

Zn; 4) 1

12;2

nn

n.

А76. Точной нижней гранью множества YyXxyx ,|/ , где 0,0 yx и

0inf aX , 0sup bY , является число

1) ba ; 2) a

b ; 3) ab ; 4) не определено.

А77.Для множеств X и Y таких, что yx для всех YyXx , выполняется неравенство

1) XY supinf ; 2) XY supinf ; 3) XY supinf ; 4) XY supinf .

А78. Система вложенных отрезков

1) всегда имеет хотя бы одну общую точку; 3) всегда имеет ровно одну общую точку;

2) может не иметь общих точек; 4) имеет бесконечно много общих точек.

Часть B

В49. Укажите точную нижнюю грань множества чисел вида 15

12

2

n

n, Nn .

В50. Приведите пример числового множества, у которого имеются как ограничен-

ные, так и неограниченные бесконечные подмножества.

В51. Приведите пример множества M такого, что MM supinf .

В52.Найдите точные верхнюю и нижнюю грани множества, задаваемого значениями

некоторой последовательности, сходящейся к нулю и принимающей каждое свое

значение бесконечно много раз.

Занятие 14

Непрерывность функции в точке


Определение функции, непрерывной в точке. Классификация точек разрыва. Сумма, произ-

ведение, частное непрерывных функций. Непрерывность сложной функции.


Пример 14.1. Докажите по определению, что функция 12 2 xxf непрерывна в

каждой точке своей области определения. ► Пусть

0x – произвольная точка. Рассмотрим предел функции в этой точке:

)(12)12(lim 020

2

0

xfxxxx

, что означает, что функция непрерывна в этой точке.


56

Пример 14.2. Используя определение непрерывности функции на языке последова-

тельностей, докажите, что функция Дирихле )(xDy терпит разрыв в любой

точке числовой прямой. ►Пусть Rx 0

. Рассмотрим последовательность иррациональных чисел nx , сходящуюся к

0x . Тогда 0)(lim0

nxn

xD . Рассмотрим последовательность рациональных чисел nx , сходящуюся

к 0x . Тогда 1)(lim

0

nxn

xD . По определению предела на языке последовательностей, заключаем,

что )(lim0

nxn

xD

не существует.

Пример 14.3. Приведите пример всюду определенной функции, непрерывной ровно

в одной точке. ► Рассмотрим функцию )(xDxy . В любой точке 0x она имеет разрыв, так как ее пре-

дел в этой точке по множеству рациональных чисел равен x , а по множеству иррациональ-

ных чисел равен 0. В точке 0 она непрерывна, так как в этой точке предел по множеству ра-

циональных чисел и по множеству иррациональных чисел равен 0.

Пример 14.4. Пусть функция f непрерывна на отрезке ];[ ba . Докажите, что fba );(

inf fba ];[

inf .

► Очевидно, что fba );(

inf fba ];[

inf . Предположим, что fba );(

inf fba ];[

inf . Тогда fba );(

inf fba ];[

inf , т. е.

fba );(

inf не является нижней границей значений функции на отрезке ];[ ba . Значит, найдется

значение функции, меньшее fba );(

inf . Очевидно, это одно из значений на концах отрезка, для

определенности, пусть fafba );(

inf)( . Теперь выберем последовательность );( baxn такую,

что axn . Тогда по непрерывности )()( afxf n и при этом )( nxf fba );(

inf . Но тогда

должно быть )(af fba );(

inf . Мы получили противоречие.


14.1. Докажите по определению, что следующие функции непрерывны в любой точ-

ке своей области определения: 1) xy 2cos ; 2) 12 xy .

14.2. Используя определение непрерывности функции на языке последовательно-

стей, докажите, что функция xy sgn терпит разрыв в точке 0.

14.3. Можно ли доопределить следующие функции по непрерывности, если да, то

укажите соответствующее значение:

1)x

xxxf

sin3sin)(

в точке 0; 2)

4

35)(

x

xxf в точке 4x ;

3) x

axf

x 1)(

в точке 0; 4)

1

1)(

x

xxf в точке 1x .


57

14.4. Для каждой из функций, представленных графиком на рис. 15 (а-з), определите

точки непрерывности, точки разрыва и их тип.

14.5. Найдите точки разрыва функции, если они существуют, определите тип разры-

ва. Схематично изобразите график функции в окрестности точки разрыва.

1) 4

12

x

xf ; 2) 102

532

xx

xxf ; 3)

xxf

1arcctg ; 4) xxxf 3lg 2 .

14.6. Найдите точки разрыва функции, если они существуют, определите их тип и

постройте график:

1)

;2,

;2,2

2

1

xx

xxxf 2)

;5,2,72

;5,21,24

;10,2

xx

xx

xx

xf 3)

.1,1

;1,52

xx

xx

14.7. Приведите пример всюду определенной функции, непрерывной только в точках 1 и 3.

14.8. Пусть функция f определена на всей числовой прямой, причем для любых

Rxx , выполняется неравенство xxxfxf )()( . Докажите, что

функция f непрерывна на всей числовой прямой.

14.9. Известно, что функции gf , с общей областью определения терпят разрыв в точке

0x . Может ли 1) их сумма быть непрерывной в этой точке; 2) их сумма быть не-

прерывной, если одна функция имеет устранимый разрыв, а вторая – скачок?


14.10. Покажите, что непрерывны на области определения функции: 1) xxf ;

2) 9

12

x

xf ; 3) x

xfsin

1 . Приведите примеры функций, для которых это не так.

14.11. Можно ли доопределить следующие функции по непрерывности, если да, то

укажите соответствующее значение:

1)2

11)(

3

x

xxf в точке 2x ; 2) 2

1

)( xexf в точке 2x ;

3) x

xxf

)1ln()(

в точке 0; 4)

1

1cos)(

xxf в точке 1x .

г)

1

1

y

x 1

1

y

x 1

1

y

x 1

1

y

x

Рис. 15

1

1

y

x 1

1

y

x 1

1

y

x 1

1

y

x

а) б) в)

д) е) ж) з)


58

14.12. Найдите точки разрыва функции и определите их тип:

1)x

xxxf

sin

arctg4arctg)(

; 2)

1

32

x

xxxf ; 3) )()1()( 2 xDxxf ; 4)

x

xxf

cos .

14.13. Исследуйте на непрерывность функцию:

1)

,2,3

,20,

,0,

3

x

xx

xx

xf 2)

.,1

,,sin2

,,2

2

22

2

x

xx

x

xf

14.14. При каком значении a будет непрерывной в любой точке функция

2,13

2,)(

2

xx

xaxxf ?

14.15. Приведите пример всюду определенной функции, непрерывной в точке 0 и имею-

щей в любой ее окрестности устранимые разрывы.

14.16. Пусть функция f определена на всей числовой прямой и в любой точке удовлетворяет

неравенствам xxfx 2)( . Может ли она терпеть разрыв в точке 0? В других точках?

14.17. Пусть функция f определена на всей числовой прямой, а функция g непрерывна,

причем выполняется неравенство )()()()( xgxgxfxf для любых

Rxx , . Докажите, что функция f также непрерывна на всей числовой прямой.

14.18. Докажите, сумма функции, непрерывной в данной точке, и функции, терпящей

разрыв в этой точке, также терпит разрыв в этой точке.

14.19. Приведите пример непостоянной функции f такой, что функция )(sgn xfy

непрерывна в точке 0.

14.20. Пусть функция f непрерывна в точке 0x , причем 0)( 0 xf , функция g ограничена в

окрестности точки 0x . Докажите, что функция )()( xgxfy непрерывна в точке 0x .

14.21. Пусть функции g и gf непрерывны в точке 0x . Возможно ли, что функция

f в этой точке терпит разрыв?




Часть А

А79. Разрывы только первого рода имеет функция

1) 1)( xxf ; 2) x

xxf )( ; 3)

xxf

1)( ; 4)

1,3

1,1

1

)(

2

x

xx

x

xf .

А80. Количество точек разрыва функции x

yln

1 равно

1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 4.

А81. В точке 0x функция 12

121

1

x

x

y имеет разрыв

1) устранимый I рода; 2) неустранимый I рода; 3) II рода; 4) непрерывна.


59

А82. В точке 0x функция x

xy

sin имеет разрыв

1) устранимый I рода; 2) неустранимый I рода; 3) II рода; 4) непрерывна.

А83. Монотонная на отрезке функция может иметь на этом отрезке

1) разрыв I рода; 3) разрывы любого рода;

2) разрыв II рода; 4) обязанная быть непрерывной.

А84. Если функция xf непрерывна в точке 0x , то в 0x непрерывна и функция

1) xf ; 2) 3 xf ; 3) xf 2 ; 4) xf1 .

Часть B

В53. Приведите пример непрерывной функции f (не равной тождественно нулю) и

функции g , терпящей разрыв, таких, что их произведение непрерывно.

В54. Приведите пример всюду определенной функции, непрерывной только в целых точках.

В55. Приведите пример всюду определенной функции, непрерывной в точке 0 и имею-

щей в любой ее окрестности разрывы типа «скачок».

В56. Укажите А и В, при которых будет непрерывна функция ,

.,cos

,sin

,,sin2

2

22

2

xx

xBxA

xx

y

Занятие 15

Свойства непрерывных функций


Свойства функции, непрерывной в точке (ограниченность и сохранение знака в окрестности

точки). Первая и вторая теоремы Вейерштрасса. Теорема Больцано-Коши о нулях непрерыв-

ной функции. Теорема о промежуточных значениях непрерывной функции.


Пример 15.1. Известно, что функции gf , непрерывны на всей числовой прямой и на

множестве рациональных чисел выполняется неравенство )()( rgrf . Докажите,

что на всей числовой прямой )()( xgxf . Покажите, что для функций, не являю-

щихся непрерывными, аналогичное утверждение неверно. ► Предположим в некоторой точке

0x выполнено неравенство )()( 00 xgxf , т.е. 0)()( 00 xgxf .

Так как функция gf непрерывна в точке 0x , то она сохраняет знак в некоторой окрестности этой

точки, т. е. существует интервал );( 00 xx , в котором )()( xgxf . Но это противоречит условию,

так как в любом интервале есть рациональные точки. Для функций, не являющихся непрерывными,

аналогичное утверждение неверно. Например, возьмем )()( xDxf , 0)( xg , тогда на множестве ра-

циональных чисел выполняется неравенство )()( rgrf , но в иррациональных точках )()( xgxf .

► Второе решение. Возьмем произвольную точку Rx и найдем последовательность рацио-

нальных чисел, стремящуюся к этой точке: xrn . Тогда по определению непрерывности на язы-

ке последовательностей )()( xfrf n и )()( xgrg n . Но )()( nn rgrf для всех n , значит, по

теореме о предельном переходе в неравенстве )()( xgxf , что и требовалось доказать.


60

Пример 15.2. Пусть функция f непрерывна на всей числовой прямой и

}0)({ xfxA . Может ли у множества А быть точка прикосновения, ему не

принадлежащая? Тот же вопрос для произвольной функции. ► Докажем, что множество А содержит все свои точки прикосновения. Пусть Ax 0

, это означает,

что 0)( 0 xf . Так как функция f непрерывна в точке 0x , то она сохраняет знак в некоторой

окрестности этой точки, то есть существует интервал );( 00 xx , в котором 0)( xf . Но это

означает, что точка 0x не является точкой прикосновения для множества А. Если же функция не яв-

ляется непрерывной, то у множества }0)({ xfxA может быть точка прикосновения, ему не

принадлежащая. Например, рассмотрим функцию

0,1

0,1)(

x

xxf , при этом

);0(}0)({ xfxA . Точка 0 является для него точкой прикосновения, но при этом ему не

принадлежит.

Пример 15.3. Пусть функция )(xfy непрерывна на всей числовой прямой. Являются ли не-

прерывными функции

2,1

,2,)(

xfxf

xfxfxg и

.1,1

,1,)(

xfxf

xfxfxh

► Функция )(xg не обязана быть всюду непрерывной. Возьмем, например, функцию xxf )( ,

тогда

2,/1

2,)(

xx

xxxg . В точке 2x эта функция имеет различные односторонние пределы.

Функция )(xhy будет всюду непрерывной. Докажем это. Для любой точки 0x такой, что

1)( 0 xf , в силу непрерывности функции f , неравенство 1)( xf выполняется также в неко-

торой окрестности этой точки, значит, в этой окрестности )()( xfxh . Следовательно, функция

)(xhy непрерывна в точке 0x . Аналогично, для любой точки

0x , такой, что 1)( 0 xf , в силу

непрерывности функции f , неравенство 1)( xf выполняется также в некоторой окрестности

этой точки, значит, в этой окрестности )(/1)( xfxh . Следовательно, функция )(xhy непре-

рывна в точке 0x . Остается доказать непрерывность в тех точках, где 1)( 0 xf . Но 1)( xf и

1)(/1 xf при 0xx , отсюда следует непрерывность функции h на R.

Пример 15.4. Известно, что функции hgf ,, непрерывны на всей числовой прямой и в

любой точке выполняется неравенство )()()( xgxhxf . Известно, что

0)()( 21 xgxf . Докажите, что между точками 1x и 2x лежит ноль функции h .

► Будем считать 21 xx . По условию 0)()( 11 xfxh и 0)()( 22 xgxh , т. е. на концах отрез-

ка ];[ 21 xx функция h принимает значения разных знаков, следовательно, по теореме Больцано-

Коши в некоторой точке отрезка она обращается в ноль.


15.1. Докажите, что уравнение xx 5,0sin имеет решение на промежутке ;2

.

15.2. Докажите, что уравнение xx 42 имеет по крайней мере два корня.

15.3. Докажите, что уравнение 1

1

x

a

2

2

x

a0

3

3 x

a, где 0,, 321 aaa , 321 ,

имеет корни в интервалах );( 21 , );( 32 .

15.4. Может ли функция, определенная на всей числовой прямой, иметь множество зна-

чений ]4;3[}1{ ? Тот же вопрос для непрерывной функции.


61

15.5. Пусть функция f непрерывна на всей числовой прямой. Может ли она прини-

мать 1) во всех рациональных точках отрицательные значения, а во всех ирра-

циональных точках положительные значения; 2) во всех рациональных точках

значения, не большие нуля, а во всех иррациональных точках положительные

значения; 3) во всех рациональных точках значения, не большие нуля, а во всех

иррациональных точках значения, не меньшие нуля?

15.6. Приведите пример функции, не ограниченной ни на каком промежутке длины,

большей 1. Может такая функция быть непрерывной 1) на некотором интерва-

ле длины 1; 2) на некотором отрезке длины 1?

15.7. Пусть функция f непрерывна на отрезке ];[ ba и принимает на его концах рав-

ные значения. Докажите, что внутри отрезка найдется точка c такая, что значение

)(cf – либо наибольшее, либо наименьшее значение функции на данном отрезке.

Покажите, что условие непрерывности функции существенно.


15.8. Докажите, что уравнение bxax sin , где 10 a , 0b имеет по крайней

мере один корень на промежутке ];0[ ba .

15.9. Докажите, что уравнение 22 1 xx имеет по крайней мере два корня.

15.10. Докажите, что уравнение 133 xx имеет по крайней мере три корня.

15.11. Пусть функция f непрерывна на всей числовой прямой и в любом промежутке есть

ноль этой функции. Докажите, что эта функция тождественно равна нулю. Покажите,

что для функции, не являющейся непрерывной, аналогичное утверждение неверно.

15.12. Пусть функция f непрерывна на всей числовой прямой и ограничена на мно-

жестве всех рациональных чисел. Докажите, что она ограничена.

15.13. Пусть функция f непрерывна на всей числовой прямой, обратима и множество

ее значений равно R . Является ли непрерывной на R функция )(xg , равная )(xf

при 0x и равная )(1 xf (обратной функции) при 0x . Каким свойством

должна обладать функция f , чтобы функция g была всюду непрерывной?

15.14. Может ли для функции f , непрерывной на отрезке ];[ ba , выполняться условие:

для любой точки ];[1 bax существует точка ];[2 bax , такая, что )()( 21 xfxf ?

Изменится ли ответ, если отрезок заменить интервалом?

15.15. Пусть функция f непрерывна на всей числовой прямой. Является ли непрерывной

на R функция )(xg , равную )/1( xf при 0x и равную 0 при 0x . Каким свой-

ством должна обладать функция f , чтобы функция g была всюду непрерывной?

15.16. Может ли функция, непрерывная на всей числовой прямой, иметь множество зна-

чений ]4;3[]2;1[ ?

15.17. Найдите ошибку в следующем рассуждении. Докажем, что любая функция,

непрерывная и ограниченная на интервале, достигает на нем своего наиболь-

шего значения. Пусть М – точная верхняя грань значений функции f на ин-

тервале );( ba . Тогда для любого натурального числа n существует значение

функции в промежутке ];/1( MnM .Обозначим соответствующую точку

интервала );( ba через nx . Так как последовательность nx ограничена, то по


62

теореме Больцано-Вейерштрасса из нее можно выбрать сходящуюся подпо-

следовательность knx . Обозначим через с предел этой подпоследовательно-

сти. Тогда по непрерывности функции получаем )()( cfxfkn . С другой сто-

роны, для всех к MxfnMknk )(1 , значит, )(,)( cfMMxf

kn .

15.18. Функция f определена на интервале );( ba и для некоторой последовательности

nx точек этого интервала выполняется условие nxf n )( для всех Nn . Может

ли при этом функция быть непрерывной на этом интервале? Изменится ли от-

вет, если интервал заменить отрезком?

15.19. Функция f определена и непрерывна на интервале );( ba , и для некоторой по-

следовательности nx точек этого интервала выполняется условие 0)( nxf

при n . Следует ли отсюда, что функция обращается в ноль в некоторой точ-

ке интервала? Изменится ли ответ, если интервал заменить отрезком?

15.20. Если функция положительна и непрерывна на отрезке, может ли она принимать

значения, сколь угодно близкие к 0? Тот же вопрос для интервала.



тов из предложенных; в части В требуется дать ответ в виде числа, функции, графика и т.п.

Часть А

А85.Уравнение 133 xx имеет хотя бы один корень на отрезке

1) 1;2 ; 2) 0;1 ; 3) 1;0 ; 4) 2;1 .

А86. Если функция f непрерывна, для любого Rx 1 xffxf и 9991000 f ,

то 500f равно

1) 499; 2) 500; 3) 1; 4) 0,002.

А87. Если xf – непрерывная на отрезке 5;2 функция, принимающая только ра-

циональные значения и 5,04 f , то f равно

1) 3,5; 2) 0,5; 3) 0,375; 4) указать нельзя.

А88. Утверждение «если функция f непрерывна на данном промежутке, то эта

функция ограничена на нем»

1) верно;

2) будет верным, если добавить, что промежуток – отрезок;

3) будет верным, если добавить, что промежуток ограниченный;

4) будет верным, если добавить, что функция сохраняет знак.

Часть B

В57. Приведите пример функции, непрерывной на интервале, но не ограниченной на нем.

В58. Приведите пример функции, определенной на отрезке 1;1 , принимающей на его

концах значения разных знаков и не обращающейся в 0 на этом отрезке.

В59. Найдите все непрерывные функции, удовлетворяющие условию xfxf 2 для всех Rx .

В60. Приведите пример непрерывной на R функции, не равной тождественно нулю, удовле-

творяющей условию yfxfyxf для всех Ryx , .


63

Примерные варианты контрольных работ

Ниже приведены примерные задания аудиторных контрольных работ. Предполагается, что

каждая работа будет выполнена в течение двух академических часов и оформлена с полным

решением заданий и обоснованием всех выводов.

Контрольная работа № 1

Функции и их основные свойства

1. Функция задана формулой

2,3

2,3)(

xx

xxxf . Найдите

а) образ множества 3;0A ;

б) прообраз множества 2;1B ;

в) образ и прообраз множества натуральных чисел.

2. Запишите аналитически и постройте график функции, обратной для функции, за-

данной формулой

1,13

1,3)(

3

xx

xxxf .

3. Постройте графики композиций fg и gf функций 1)( 2 xxf ,

2,

2,1)(

xx

xxg .

4. Найдите области определения аналитически заданных функций:

а) 4 2 2

2

xxx

xy ; б)

3

13arcsin

x

xy ; в)

1cos2sin2

arccos

xx

xy .

5. Может ли функция ))(( xDfy , где )(xD – функция Дирихле, быть неограничен-

ной? Ответ поясните.

6. Докажите, что функция 442 xxy является монотонной на промежутке

]2;( и немонотонной на множестве действительных чисел.

7. Докажите, что композиция двух четных функций является четной функцией.

8. Исследуйте на периодичность каждую из функций, свои выводы поясните:

а) xxy 3cossin ; б) 22 xy .

9. Может ли композиция быть обратимой, если внешняя функция обратима, а внут-

ренняя необратима? Тот же вопрос для случая, когда внешняя функция определе-

на на R. Ответ поясните.


64

Контрольная работа № 2

Предел, непрерывность, точные грани

1. Используя определение предела, докажите, что

а) 21

2

2

32

1lim

n

n

n; б)

225lim xx

; в) 23

43lim

2

x

x

x.

2. Постройте эскиз графика функции xfy , удовлетворяющего условиям

xfxlim ; 2lim

02

xf

x;

xf

x 02lim ; 1lim

xf

x.

3. Вычислите пределы:

а) 820143

43lim

23

23

2

xxx

xx

x; б)

8

16lim

33

8

x

xx

x; в)

7 23

35

1352

21lim

xxx

xx

x;

г)

21

6

6

sinlim

x

x

x

; д)

12

2

22

3

2lim

x

x x

x.

4. Исследуйте на непрерывность и укажите характер точек разрыва для функций:

а)

13

13

2

1

2

1

x

x

y ; б)

.45,2,72

,5,21,24

,10,2

xx

xx

xx

y

5. Определите точные грани множества чисел вида

32

12

2

n

n, Nn . Обоснуйте свой выбор.

6. Какова должна быть функция f RD f , чтобы функция )sgn( xfy имела при

0x конечный предел? Постарайтесь сформулировать наиболее общее условие.

7. Докажите, что на промежутке 2;0 уравнение 016238 xx имеет хотя бы

один действительный корень.

8. Докажите, что для ограниченных снизу множеств YX , выполняется равенство

},inf{infinf YyXxyxYX .


65

Ответы к тестам «Проверь себя»

Часть А А01 А02 А03 А04 А05 А06 А07 А08 А09 А10 А11 А12 А13 А14 А15 А16 А17 А18 А19 А20 А21 А22

1 + + + + + +

2 + + + + + + + + + +

3 + + + + + + +

4 + + + + + + + +

А23 А24 А25 А26 А27 А28 А29 А30 А31 А32 А33 А34 А35 А36 А37 А38 А39 А40 А41 А42 А43 А44

1 + + + + + + + + +

2 + + + + + + + + +

3 + + + + + + + + + + + + + +

4 + + + + + +


1 + + + +

2 + + + + + + + + +

3 + + + + + + +

4 + + + + + + + + + +


1 + + + + + + + + + + +

2 + + + + + +

3 + + + + + + +

4 + + + + + +

Часть В

В01. 15;5 nn , Zn .

В02. 1;7;0;6;1;5;0;4;1;3;0;2 .

В03. NX , 2Y , 2xf .

В04. Например, xxf arctg .

В05. Например, xxy 33 .

В06. xfgf 2 .

В07. Например, xgfxh , где

182 xf , 3 xg .

В08. Например, x

xy

ln

ln .

В09. Например, ху .


y1

.

В11. При 0a , 0b , Rc .

В12. Например, 2xxf , xxg .

В13. Любое одноэлементное множество.

В14. Например, xxf , xxg arcsin .

В15. Например,

x

y1

.

В16. См. рис. 15.

В17. Например, xxf .

В18. Например, xxf , xxg 2 .

В19. См. рис. 16.


y1

.

В21. Например, xxf arctg .

В22. Четная 121 xy , нечетная

32 2xy .

В23. Например, 3xy .

В24. Одноэлементное множество 0 .

y

x

Рис. 15

1 2

y

x

Рис. 16

1x 3x

2x


66


xf2sin

1 .

В26. См. рис. 17.

В27. Например, xxxf sin , x

xg1

.

В28. Например, 1ctg2

xy .

В29. Например, nnx 1 .

В30. Например, 21 nnxn .

В31. Начиная с номера 2.

В32. Например, 21 a , 21 nn aa .

В33. Например, n

xn

13 .


nx

n

n

1 .

В35. Например, nxn

n 11 .

В36. Например, nxn и 5 nyn .

В37. Например, xy 2 .

В38. См. рис. 18.

В39. См. рис. 19.

В40. Например, xy .

В41. Значение предела равно 33

22 .


.,1

,,1

Ix

Qxxf

В43. Например, xD и

.,0

,,1

Ix

Qxxg

В44. Например, 1

x

xxf и

1

x

xxg .

В45. Значение предела равно e21

.

В46. 22

0

cos1Lim

x

x

x.


ax

axay

sin.

В48. См. рис. 20.

В49. 51

2

2

15

1Inf

n

n

Nn.

В50. Например, множество чисел вида

nn 11 , Nn .

В51. Любое одноэлементное множество.

В52. 0infSup XX .

В53. Например, xxf , xxg sgn .


.,1

,,0

Ixx

Qxxf


.,0

,,

Ix

Qxxxf

В56. 1A , 1B .

В57. Например, xy tg на 22

; .


.0,1

,0,1

x

xxf

В59. Любая постоянная функция.

В60. Например, xy 2 .

y

x

Рис. 17

1 2 –1

y

x

Рис. 18

2

2,1

1,9

y

x

Рис. 19

1 2 –2

y

x

Рис. 20

1


67

Библиографический список

Литература для изучения курса «Введение в анализ»

1. Архипов, Г.И. Лекции по математическому анализу [Текст]: учебник для вузов /

Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков; под. ред. В.А. Садовничего. –

Изд. 3, перераб. и доп. – М.: Дрофа, 2003.

2. Виленкин, Н.Я. Математический анализ. Введение в анализ [Текст]: учеб. посо-

бие / Н.Я. Виленкин, А.Г. Мордкович. – М.: Просвещение, 1983.

3. Кудрявцев, Л. Д. Курс математического анализа [Текст]: в 2 т. Т. 1 / Л.Д. Куд-

рявцев. – М.: Высш. шк., 1981.

4. Райков, Д.А. Одномерный математический анализ [Текст] / Д.А. Райков. – М.:

Высш. шк., 1982.

5. Фихтенгольц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления

[Текст]: в 3 т. Т. 1 / Г.М. Фихтенгольц. – М.: Наука, 1966.

6. Фихтенгольц, Г.М. Основы математического анализа [Текст]: в 2 ч. Ч. 1 /

Г.М. Фихтенгольц. – Изд. 4, стер. – СПб.: Лань, 2004.

Сборники задач к курсу «Введение в анализ»

7. Берман, Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа [Текст]: учеб. по-

собие / Г.Н. Берман. – 22-е изд., перераб. – СПб.: Профессия, 2005.

8. Бутузов, В.Ф. Математический анализ в вопросах и задачах [Текст]: учеб. посо-

бие / В.Ф. Бутузов, Н.Ч. Крутицкая [и др.]; под ред. В.Ф. Бутузова. – 4-е изд.,

испр. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.

9. Виноградова, И.А. Задачи и упражнения по математическому анализу [Текст]:

пособие для университетов и пед. вузов: в 2 ч. Ч. 1. Дифференциальное и инте-

гральное исчисление / И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий; под

ред. В.А. Садовничего. – 3-е изд., испр. – М.: Дрофа, 2001.

10. Демидович, Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу

[Текст]: учеб. пособие для вузов / Б.П. Демидович. – М.: Астрель, 2004.

11. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов [Текст]: учеб. по-

собие для студентов высш. тех. учеб. заведений / Г.С. Баранников, Б.П. Демидо-

вич, В.А. Ефименко [и др.]; под ред. Б.П. Демидовича. – М.: Астрель, 2001.

12. Задачник по курсу математического анализа: в 2 ч. Ч. 1 / Под ред.

Н.Я. Виленкина. – М.: Просвещение, 1971.

13. Калинин, С. И. Задачи и упражнения по началам математического анализа

[Текст] / С. И. Калинин, Е. С. Канин, М. Г. Маянская [и др.]; сост. Е. С. Канин,

С. И. Калинин; под ред. Е. С. Канина. – М.: Московский лицей, 2002.

14. Канин, Е. С. Упражнения по началам математического анализа в 9 – 10 классах

[Текст]: книга для учителя / Е. С. Канин, Е. М. Канина, М. Д. Чернявский. – М. :

Просвещение, 1986.

15. Мордкович, А.Г. Сборник задач по введению в анализ и дифференциальному ис-

числению функций одной переменной [Текст]: учеб. пособие / А.Г. Мордкович,

А.Е. Мухин. – М.: Просвещение, 1985.

16. Подгорная, И.И. Экзамен по математическому анализу: отвечаем на дополни-

тельный вопрос [Текст]: учеб. пособие / И.И. Подгорная. – Киров, 1997.


68

Содержание

Предисловие ........................................................................................................................ 3

Программа вводного минимума ..................................................................................... 5

Занятие 1. Соответствия и отображения ....................................................................... 6

Занятие 2. Числовые функции ........................................................................................ 9

Занятие 3. Обратная функция ....................................................................................... 13

Занятие 4. Свойство ограниченности функции .......................................................... 17

Занятие 5. Свойство монотонности функции ............................................................. 21

Занятие 6. Четные и нечетные функции ...................................................................... 24

Занятие 7. Периодические функции............................................................................. 27

Занятие 8. Последовательности .................................................................................... 31

Занятие 9. Предел последовательности ....................................................................... 34

Занятие 10. Предел функции......................................................................................... 37

Занятие 11. Вычисление пределов ............................................................................... 42

Занятие 12. Замечательные пределы и их следствия ................................................. 46

Занятие 13. Ограниченные множества и точные грани ............................................. 49

Занятие 14. Непрерывность функции в точке ............................................................. 54

Занятие 15. Свойства непрерывных функций ............................................................. 57

Примерные варианты контрольных работ

Контрольная работа № 1. Функции и их основные свойства .................................... 61

Контрольная работа № 2. Предел, непрерывность, точные грани ........................... 62

Ответы к тестам «Проверь себя» .................................................................................. 63

Библиографический список ........................................................................................... 65


69

Учебное издание

Горев Павел Михайлович

Подгорная Ирина Иссаковна

Введение в анализ Практикум по решению задач

Учебное пособие

Редактор Т.Н. Котельникова

Технический редактор П.М. Горев

Серийное оформление обложки П.М. Горев

Подписано в печать 17.02.2006. Формат 60x84/16. Гарнитура «Таймс».

Бумага офсетная. Усл. п. л. 4,1.

Тираж 100 экз. Заказ .

Издательство Вятского государственного гуманитарного университета,

610002, г. Киров, ул. Красноармейская, 26

Отпечатано с готового оригинал-макета

в типографии ООО «Лобань»

6100046, г. Киров, ул. Ленина, 198


70


Documents

693.введение в анализ практикум по решению задач