Universidade do Sul de Santa Catarina

PalhoaUnisulVirtual

2012

Fsica IIIDisciplina na modalidade a distncia

Design instrucional

Flavia Lumi Matuzawa

Altamiro Quevedo Schervenski

Fsica IIILivro didtico

PalhoaUnisulVirtual

2012

Edio Livro Didtico

Professor ConteudistaAltamiro Quevedo Schervenski

Design InstrucionalFlavia Lumi Matuzawa

Assistente AcadmicoDaniela Siqueira de Menezes

ISBN978-85-7817-147-6

Projeto Grfico e CapaEquipe UnisulVirtual

DiagramaoFernanda Fernandes

RevisoAmaline B. I. Mussi

Ficha catalogrfica elaborada pela Biblioteca Universitria da Unisul

Copyright UnisulVirtual 2012

Nenhuma parte desta publicao pode ser reproduzida por qualquer meio sem a prvia autorizao desta instituio.

537S34 Schervenski, Altamiro Quevedo

Fsica III : livro didtico / Altamiro Quevedo Schervenski ; design instrucional Flavia Lumi Matuzawa. Palhoa : UnisulVirtual, 2012.

238 p. : il. ; 28 cm.

Inclui bibliografia.ISBN 978-85-7817-147-6

1. Fsica. 2. Eletrosttica. 3. Circuitos eltricos. 4. Sistemas de energia eltrica.I. Matuzawa, Flavia Lumi. II. Ttulo.

Sumrio

Apresentao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

Palavras do professor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

Plano de estudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

UNIDADE 1 - Carga eltrica: fora eltrica, campo eltrico e a lei de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

UNIDADE 2 - Potencial eltrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

UNIDADE 3 - Capacitncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

UNIDADE 4 - Corrente eltrica: resistncia eltrica, circuitos de corrente contnua e fora eletromotriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

UNIDADE 5 - Campo magntico: lei de Ampre e a lei da induo de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

Para concluir o estudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

Referncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

Sobre o professor conteudista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

Respostas e comentrios das atividades de autoavaliao . . . . . . . . . . . . . 213

Biblioteca Virtual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

7Apresentao

Este livro didtico corresponde disciplina Fsica III.

O material foi elaborado visando a uma aprendizagem autnoma e aborda contedos especialmente selecionados e relacionados sua rea de formao. Ao adotar uma linguagem didtica e dialgica, objetivamos facilitar seu estudo a distncia, proporcionando condies favorveis s mltiplas interaes e a um aprendizado contextualizado e eficaz.

Lembre-se que sua caminhada, nesta disciplina, ser acompanhada e monitorada constantemente pelo Sistema Tutorial da UnisulVirtual, por isso a distncia fica caracterizada somente na modalidade de ensino que voc optou para sua formao, pois na relao de aprendizagem professores e instituio estaro sempre conectados com voc.

Ento, sempre que sentir necessidade entre em contato; voc tem disposio diversas ferramentas e canais de acesso tais como: telefone, e-mail e o Espao Unisul Virtual de Aprendizagem, que o canal mais recomendado, pois tudo o que for enviado e recebido fica registrado para seu maior controle e comodidade. Nossa equipe tcnica e pedaggica ter o maior prazer em lhe atender, pois sua aprendizagem o nosso principal objetivo.

Bom estudo e sucesso!

Equipe UnisulVirtual.

Palavras do professor

Caro(a) aluno(a),

Voc est iniciando o estudo da disciplina Fsica III. Com o apoio deste livro didtico, voc viajar pelo fascinante mundo da Fsica, em especial, no ramo da eletricidade e do magnetismo.

Para incio de estudo, a eletricidade ser analisada de modo a permitir que voc entenda uma grande variedade de fenmenos muito presentes em nossa vida cotidiana, pois a todo instante estamos nos relacionando com fatos de natureza eltrica e magntica. Com o avano da tecnologia, torna-se indispensvel a qualquer estudante da rea tecnolgica, o conhecimento dos fenmenos eltricos e magnticos, que, aplicado s modernas tecnologias, contempla as necessidades de todos os segmentos da sociedade.

Esta disciplina conduz o aluno da rea tecnolgica a analisar e estudar detalhadamente as causas e as consequncias dos fenmenos naturais e, tambm, a desenvolver novas tecnologias que tm a eletricidade e o magnetismo como base fundamental para o funcionamento de equipamentos com as mais variadas aplicaes industriais.

Bom estudo!

Prof Altamiro Quevedo Schervenski

Plano de estudo

O plano de estudos visa a orient-lo(a) no desenvolvimento da disciplina. Possui elementos que o(a) ajudaro a conhecer o contexto da disciplina e a organizar o seu tempo de estudos.

O processo de ensino e aprendizagem na UnisulVirtual leva em conta instrumentos que se articulam e se complementam, portanto, a construo de competncias se d sobre a articulao de metodologias e por meio das diversas formas de ao/mediao.

So elementos desse processo:

o livro didtico;

o Espao UnisulVirtual de Aprendizagem (EVA);

as atividades de avaliao (a distncia, presenciais e de autoavaliao);

o Sistema Tutorial.

Ementa

Carga eltrica. Campo eltrico. Lei de Gauss. Potencial eltrico. Capacitncia. Corrente e resistncia. Fora eletromotriz e circuitos eltricos. Campo magntico. Lei de Ampre. Lei da induo de Faraday.

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Objetivos

Geral

Fundamentar o conhecimento das leis e fenmenos fsicos importantes formao cientfica e tecnolgica do engenheiro, a fim de permitir a relao de conhecimentos tericos com aplicao na sua vida cotidiana.

Especficos

Aplicar a lei de Coulomb para calcular a fora eltrica de interao entre cargas eltricas puntuais.

Desenhar as linhas de fora de um sistema simples de cargas eltricas e obter, a partir deste desenho, informaes sobre a direo e a intensidade do campo eltrico.

Analisar e determinar a existncia de campo eltrico para sistemas discretos e contnuos de cargas eltricas.

Relacionar a lei de Coulomb com a lei de Gauss, e mostrar que o campo eltrico, a carga e o fluxo eltrico podem ser obtidos quando a superfcie tem alto grau de simetria.

Determinar a diferena de potencial eltrico entre dois pontos a partir do campo eltrico numa regio do espao.

Determinar o potencial eltrico num ponto do espao devido a uma distribuio contnua de cargas.

Determinar a energia potencial eletrosttica de um sistema de cargas eltricas puntuais.

Determinar a capacitncia de capacitores esfricos, cilndricos e com placas planas e paralelas.

Resolver circuitos com capacitores associados em srie e em paralelo.

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Fsica III

Determinar a corrente eltrica em circuitos srie com resistores associados em srie e em paralelo.

Determinar a potncia eltrica em circuitos eltricos srie com corrente contnua.

Calcular a fora magntica sobre um elemento de corrente e sobre uma carga em movimento num campo magntico.

Calcular o momento magntico de uma espira de corrente e o torque exercido sobre a espira pelo campo magntico.

Aplicar a lei de Ampre e a lei da Induo de Faraday para resolver problemas envolvendo fenmenos eletromagnticos.

Carga horria

A carga horria total da disciplina 60 horas-aula.

Contedo programtico/objetivos

Veja, a seguir, as unidades que compem o livro didtico desta disciplina e os seus respectivos objetivos. Estes se referem aos resultados que voc dever alcanar ao final de uma etapa de estudo. Os objetivos de cada unidade definem o conjunto de conhecimentos que voc dever possuir para o desenvolvimento de habilidades e competncias necessrias sua formao.

Unidades de estudo: 5

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Unidade 1 Carga Eltrica: fora eltrica, campo eltrico e a lei de Gauss

Esta unidade inicia com o estudo da carga eltrica em condio esttica e suas propriedades fundamentais, que do origem fora eltrica, campo eltrico. A lei de Gauss estabelece uma relao entre carga eltrica numa superfcie e o campo eltrico.

Unidade 2 Potencial eltrico

O potencial eltrico gerado por uma carga eltrica representa a capacidade de um corpo eletrizado realizar trabalho ao atrair ou repelir cargas eltricas, deslocando-as desde uma posio inicial at uma posio final do sistema eltrico.

Unidade 3 Capacitncia

A capacitncia uma propriedade fsica que permite determinar a quantidade de energia eltrica que pode ser armazenada num dispositivo denominado capacitor, submetido a uma diferena de potencial eltrico.

Unidade 4 Corrente eltrica, resistncia eltrica, circuitos de corrente contnua e fora eletromotriz

As cargas eltricas em movimento, devido a uma diferena de potencial, constituem uma corrente eltrica. Um caminho fechado, formado por elementos tais como resistores, geradores, integram um circuito eltrico onde as cargas eltricas em movimento (corrente eltrica) iro transformar a energia potencial eltrica em outras formas de energia.

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Fsica III

Unidade 5 Campo Magntico Lei de Ampre e a Lei da Induo de Faraday

As cargas eltricas, alm de estabelecerem um campo eltrico ao redor delas, ao entrarem em movimento, do origem tambm a um campo magntico. A lei de Ampre determina o campo magntico num condutor simtrico. Um campo magntico varivel d origem a uma fora eletromotriz induzida, determinada pela lei da Induo de Faraday.

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Agenda de atividades/Cronograma

Verifique com ateno o EVA, organize-se para acessar periodicamente a sala da disciplina. O sucesso nos seus estudos depende da priorizao do tempo para a leitura, da realizao de anlises e snteses do contedo e da interao com os seus colegas e professor.

No perca os prazos das atividades. Registre no espao a seguir as datas com base no cronograma da disciplina disponibilizado no EVA.

Use o quadro para agendar e programar as atividades relativas ao desenvolvimento da disciplina.

Atividades obrigatrias

Demais atividades (registro pessoal)

1UNIDADE 1Carga eltrica: fora eltrica, campo eltrico e a lei de GaussObjetivos de aprendizagem

Saber aplicar a lei de Coulomb, para calcular a fora eltrica entre cargas eltricas.

Saber aplicar a lei de Coulomb, para determinar a existncia de campo eltrico para sistemas discretos e contnuos de cargas eltricas.

Desenhar as linhas de fora de um sistema simples de cargas eltricas, identificando a direo e a intensidade do campo eltrico.

Fazer uso adequado da distribuio esferossimtrica de carga em uma superfcie esfrica.

Saber encontrar o campo eltrico, a carga e o fluxo para uma superfcie com alto grau de simetria, atravs da lei de Gauss.

Sees de estudo

Seo 1 Carga eltrica

Seo 2 Fora eltrica

Seo 3 Campo eltrico

Seo 4 Lei de Gauss

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Para incio de estudo

Os fenmenos de natureza eltrica so conhecidos de longa data. As primeiras observaes foram feitas na antiguidade pelo filsofo e matemtico Thales, que vivia na cidade de Mileto, no sculo VI a.C.

O termo eletricidade se origina da palavra elektron, nome grego do mbar, resina de cor amarelada, petrificada sculos depois de ser expelida por rvores. Essa resina tinha a propriedade de atrair pequenos corpos, tais como sementes de grama, palha, etc.

Inicialmente, conhecia-se o efeito produzido pelo mbar de atrair os corpos; posteriormente, foi comprovado que o efeito poderia ser tanto atrativo quanto repulsivo.

Para entendermos esses efeitos, necessrio estudar os corpos microscopicamente, a partir de um modelo o qual tem em sua configurao, cargas eltricas que interagem umas sobre as outras, formando os tomos que constituem a estrutura da matria, conforme mostra a figura 1.1.

Voc ver, nas prximas sees, as interaes que ocorrem nos tomos e, por conseguinte, entre os corpos.

Figura 1.1Modelo atmico com partculas elementares no ncleo e na eletrosferaFonte: Elaborao do autor (2011).

Antes de aprofundarmos a leitura, importante voc conhecer alguns conceitos bsicos. A matria constituda por tomos estruturados por aproximadamente duzentas partculas elementares. Para o nosso estudo, veremos apenas trs partculas: eltrons, prtons e nutrons.

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Fsica III

Unidade 1

A estrutura atmica divide-se em duas regies: o ncleo e uma regio perifrica denominada eletrosfera.

Em um modelo simplificado, possvel imaginar o ncleoparte mais pesada do tomo, onde esto os prtons e nutrons. Girando em torno do ncleo esto os eltrons, distribudos em sete camadas. Cada camada (nvel de energia) armazena um determinado nmero de eltrons que esto dotados de energia correspondente a esse nvel, conforme mostra a figura 1.2. Devido descoberta de novos elementos qumicos, alguns pesquisadores admitem na ltima camada 8 eltrons, o que permite a distribuio eletrnica de elementos com nmero atmico entre 112 e 118.

Ncleo

K(2e-)

Q(2e-)

P(18e-)

O(32e-)

N(32e-)

M(18e-)

L(8e-)

Figura 1.2Modelo atmico. Ncleo com prtons e nutrons e a eletrosfera com eltronsFonte: Elaborao do autor (2011).

Aps inmeras experincias, definiu-se um modelo atmico simplificado (figura 1.2) para analisar o comportamento das partculas que integram a estrutura atmica e comprovar que prton repele prton, eltron repele eltron e prton atrai eltron.

Com relao ao nutron, nenhum desses efeitos foi observado, independente de qual partcula fosse aproximada dele. possvel concluir, ento, a partir dessas experincias, que essa propriedade denominada carga eltrica.

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Devido ao comportamento apresentado pela interao entre essas partculas carregadas, convenciona-se que os prtons possuem carga eltrica positiva, Q+, e os eltrons, carga eltrica negativa, Q. Em materiais cristalinos, tomos de elementos qumicos diferentes se agrupam de forma equidistante, formando uma estrutura rgida, conhecida como rede cristalina, conforme mostra a figura 1.3 (O desenho no est em escala).

Na+1

Cl1

Figura 1.3Rede cristalina do cloreto de sdio (sal de cozinha) [NaCl]Fonte: Elaborao do autor (2011).

A estrutura mostrada na figura da substncia cloreto de sdio (sal de cozinha) [NaCl], cujos raios atmicos so, respectivamente, 116.10-12m e 167.10-12m. Esses tomos de elementos qumicos diferentes se agrupam devido interao atrativa que surge em funo de suas cargas eltricas. O on sdio tem carga eltrica positiva, e o on cloreto, carga eltrica negativa.

Voc conheceu nesta introduo alguns conceitos bsicos. Estas informaes serviro como referncia para aprofundarmos os contedos da presente unidade. Veja, na prxima seo, o conceito de carga eltrica e como determinamos a quantidade de carga eltrica de um material.

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Fsica III

Unidade 1

Seo 1 Carga eltrica

A quantidade de partculas elementares de um corpo define se ele est eletricamente neutro, ou no. A quantidade de prtons e eltrons de um corpo define sua eletrizao, ou seja, a sua quantidade de carga eltrica atravs da equao 1.1,

Q=n e (1.1)

Onde:

Q a quantidade de carga eltrica de um corpo;

e=1,6 . 1019C o valor da carga eltrica elementar;

n um nmero inteiro e representa a diferena entre a quantidade de prtons e eltrons de um corpo, isto , n=nP nE.

No Sistema Internacional de Unidades, S.I., a unidade de carga eltrica o Coulomb [C], mas, como 1 C uma quantidade de carga eltrica muito grande, comum a utilizao de seus submltiplos. Os submltiplos mais utilizados so:

1mC (milicoulomb) = 103C1C (microcoulomb) = 106C1nC (nanocoulomb) = 109C1pC (picocoulomb) = 1012C

Prtons e eltrons tm cargas eltricas iguais em mdulo, cujo valor 1,6 . 1019C.

Por conveno, os prtons tm carga eltrica positiva, QP=+1,6.1019C, e os eltrons, carga eltrica negativa, QE=1,6.1019C.

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A partir da equao 1.1, possvel analisar a carga eltrica de um corpo da seguinte forma:

Se um corpo perder eltrons, e a quantidade de prtons que permanece em seu ncleo estiver em maior quantidade, a carga eltrica do corpo ser positiva. Como nP > nE, logo Q > 0. Se um corpo receber eltrons e a quantidade de prtons que permanece em seu ncleo estiver em menor quantidade, a carga eltrica do corpo ser negativa. Como nP < nE, logo Q < 0. Se um corpo tem prtons e eltrons em igual quantidade, a carga eltrica ser nula. Como nP = nE, a diferena entre eles zero, n = nP nE = 0 . Nesse caso tem-se Q = 0, e o corpo est sem carga eltrica ou carga nula, ou ainda, no eletrizado.

Por conveno, a atrao e repulso dos corpos eletrizados dependem do sinal de suas cargas eltricas. Dessa forma, corpos com cargas eltricas de sinais iguais se repelem, e corpos com cargas eltricas de sinais diferentes se atraem.

Vamos aplicar na prtica esse raciocnio.

Exemplo

Um corpo est eletrizado com uma quantidade de carga eltrica Q = 6,4 . 1010C. a) O corpo apresenta excesso ou falta de eltrons? Resposta: Como Q < 0, logo nP < nE significa que ele tem excesso eltrons. b) Qual a quantidade de eltrons correspondente? Resposta: Q = n e

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Fsica III

Unidade 1

Processos de eletrizao

A eletrizao implica transferir eltrons de um corpo para outro, fazendo com que eles recebam ou cedam eltrons, o que ir determinar uma quantidade de carga eltrica lquida nesse corpo.

A eletrizao pode ocorrer de trs formas:

a) por atrito;

b) por contato;

c) por induo.

Vamos estudar separadamente cada processo.

Processo de eletrizao por atrito

O processo de eletrizao por atrito tambm conhecido como triboeletrizao.

A eletrizao por atrito s ocorre entre corpos feitos de materiais diferentes, isto , entre corpos que no tenham a mesma tendncia de ganhar ou perder eltrons. Um corpo pode ganhar eltrons ficando eletrizado negativamente, ou perder eltrons, ficando eletrizado positivamente.

O sinal da carga adquirida pelo corpo depende do outro corpo que participa do processo. Em Qumica, essa tendncia denominada de eletroafinidade.

Aps vrios experimentos de eletrizao por atrito, foi possvel estabelecer uma sequncia de materiais denominada srie triboeltrica, conforme mostra a figura 1.4.

A srie triboeltrica leva em considerao a facilidade que os materiais apresentam em trocar cargas eltricas. Atravs da srie triboeltrica, possvel conhecer os sinais das cargas eltricas dos corpos aps o atrito.

Tribos, em grego, significa ao de esfregar.

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Vidro

Mica

L

Pele deGato

Seda

Algodo

Madeira

mbar

Resinas

Metais

Figura 1.4Srie triboeltricaFonte: Elaborao do autor (2011).

De acordo com a figura 1.4, importante voc saber que, quando dois corpos so atritados entre si, aquele que estiver posicionado acima, na srie triboeltrica, ficar eletrizado positivamente, pois perde eltrons para o outro. O corpo que estiver abaixo ficar eletrizado negativamente, porque, devido ao atrito, recebeu eltrons. Note que um determinado corpo pode ficar eletrizado tanto positivamente quanto negativamente, dependendo de sua posio em relao ao outro corpo atritado. Consultando a srie triboeltrica, observe os exemplos a seguir.

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Fsica III

Unidade 1

Exemplo

O atrito entre vidro e algodo. O vidro (acima) ficar eletrizado positivamente, e o algodo (abaixo) ficar eletrizado negativamente. O atrito entre algodo e metal. O algodo (acima) ficar eletrizado positivamente, e o metal (abaixo) ficar eletrizado negativamente.

Processo de eletrizao por contato

O processo de eletrizao por contato muito comum entre materiais condutores, devido grande mobilidade de eltrons presentes nesses materiais.

Em nosso estudo, vamos considerar que os corpos tenham as mesmas dimenses. Consideremos, inicialmente, que um dos corpos esteja eletrizado com uma determinada quantidade de carga, positiva ou negativa e, em seguida, seja posto em contato com o outro corpo, inicialmente neutro.

Durante o contato fsico entre eles, ocorre uma troca de eltrons que depender da carga do corpo carregado. O fluxo de eltrons pode ocorrer em dois sentidos, conforme as situaes descritas a seguir.

Se o corpo estiver carregado com carga eltrica positiva, o fluxo de eltrons ser do corpo B, inicialmente neutro, para o corpo A, inicialmente carregado, conforme mostra a figura 1.5(a).

Se o corpo estiver carregado com carga eltrica negativa, o fluxo de eltrons ser do corpo A, inicialmente carregado, para o corpo B, inicialmente neutro, conforme mostra a figura 1.5(b).

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Antes do contato

Antes do contato

Durante o contato

Durante o contato

Aps o contato

Aps o contato

A A A

A A A

B B B

B B B

Fluxo de eltrons do corpo B para o corpo A (a)

Fluxo de eltrons do corpo A para o corpo B (b)

QA > 0 QB = 0 QA = QB > 0

QA < 0 QB = 0 QA = QB < 0

Figura 1.5Etapas de um processo de eletrizao por contatoFonte: Elaborao do autor (2011).

Aps o contato entre os corpos A e B, ambos ficam com carga eltrica de igual mdulo e sinal, ou seja, ambos positivos ou ambos negativos. A quantidade de carga eltrica que cada corpo armazenar aps o contato determinada pela equao 1.2, considerando a soma algbrica das cargas eltricas:

QINDUTOR=QINDUZIDO = QINDUTOR+QINDUZIDO (1.2)2

Pelo princpio da conservao da carga eltrica, para um sistema isolado eletricamente, a quantidade de carga antes do contato igual quantidade de carga aps o contato, conforme a equao 1.3. As figuras 1.5(a) e 1.5(b) ilustram a conservao da carga eltrica e, em especial, as caractersticas desse processo.

QA+QB= QA+QB (1.3)

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Fsica III

Unidade 1

Exemplo

Trs esferas idnticas constituem um sistema isolado eletricamente. As esferas A, B e C possuem cargas eltricas QA = 6,4 . 1010C, QB = 0 e QC = 2,4 . 1010C. Com a esfera A so realizados contatos, isoladamente, duas a duas, iniciando pela esfera B, e, finalmente, com a esfera C. Determine a quantidade de carga eltrica lquida em cada uma das esferas, aps o contato.

A B QA = 3,2 . 1010CQB = 3,2 . 1010C

A C

QA = 4,0 . 1011CQC = 4,0 . 1011C

As novas cargas eltricas das esferas so QA = 4,0 . 1011C, QB = 3,2 . 1010 e QC = 2,4 . 1010C. Pelo princpio da conservao da carga eltrica, a carga eltrica total de um sistema isolado eletricamente antes dos contatos igual carga eltrica total aps os contatos. QA + QB + QC = QA + QB + QC 4,0 . 1011C = 4,0 . 1011C

Processo de eletrizao por induo

No processo de eletrizao por induo, dois corpos integram o processo: o indutor e o induzido.

Consideremos, inicialmente, o indutor eletrizado com uma determinada quantidade de carga positiva, e o induzido, eletricamente neutro, separados espacialmente, de acordo com a figura 1.6(a).

Aproximando-se o indutor do induzido, ocorre, primeiramente, uma separao de cargas no induzido, conforme figura 1.6(b). Mantendo-os prximos, sem contato fsico, liga-se ao induzido, um fio-terra o qual permitir que os eltrons em falta no induzido cheguem at ele, vindos da terra, neutralizando os tomos positivos, conforme mostra a figura 1.6(c). Na figura

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1.6(d), o fio-terra desconectado do induzido, e ambos os corpos so separados, mantendo, cada um, sua carga eltrica.

AFASTADOS

Indutor Induzidoa)

AFASTADOS

Indutor Induzidod)

PRXIMOS

Indutor Induzidob)

aterramento

PRXIMOS

Indutor Induzidoc)

aterramento

Figura 1.6Etapas de um processo de eletrizao por induoFonte: Elaborao do autor (2011).

Nessa seo, voc viu que a carga eltrica armazenada em um corpo depende da quantidade de eltrons em falta ou em excesso no mesmo. Viu, tambm, que a eletrizao depende da troca de cargas eltricas de um corpo para outro e pode ocorrer de trs formas: por atrito, por contato e por induo. importante lembrar que as cargas eltricas que migram de um corpo para outro so os eltrons.

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Fsica III

Unidade 1

Seo 2 Fora eltrica

No incio desta unidade, falamos sobre os fenmenos eltricos observados desde a antiguidade. As experincias realizadas permitiram observar que objetos leves eram atrados por um pedao de mbar. Alguns anos depois dessas observaes, concluram que as interaes podiam ser tanto atrativas quanto repulsivas. A essa ao (atrao-repulso) temos associado o conceito de fora eletrosttica.

Voc j estudou, tambm, as cargas eltricas e suas propriedades. Agora, vamos qualificar e quantificar os efeitos que surgem entre cargas eltricas. A fora eletrosttica que surge entre as cargas eltricas determinada pela lei de Coulomb.

Vamos analisar as cargas eltricas sem levar em considerao suas dimenses, pois estamos interessados apenas em quantificar a intensidade da fora eltrica estabelecida entre duas cargas eltricas. Para isso, vamos adotar o conceito de carga eltrica puntiforme ou puntual.

As foras de atrao ou repulso oriundas das interaes entre cargas eltricas so obtidas pela lei de Coulomb. A intensidade da fora eltrica entre duas cargas eltricas puntiformes dada pela equao 1.4 (Lei de Coulomb),

(1.4)

Onde:

k a constante dieltrica do meio;

Q1 e Q2 so as cargas eltricas;

r a distncia entre as cargas eltricas 1 e 2;

o vetor unitrio na direo da reta que une as duas cargas eltricas 1 e 2.

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Universidade do Sul de Santa Catarina

A unidade da constante dieltrica k no S.I. .

A constante dieltrica do meio definida por , onde

(Constante de permissividade do vcuo).

A influncia do meio interfere na intensidade da fora eltrica entre as cargas eltricas. Dessa forma, em cada meio a constante dieltrica tem um valor. A fora eltrica torna-se menor, quando o sistema for mergulhado em um meio lquido, como gua, leo, glicerina, etc. Vamos mencionar os valores de k para o vcuo e para a gua.

O mdulo da fora eltrica, , entre duas cargas eltricas puntiformes obtido pela equao 2.2. O mdulo da fora eltrica obtido, considerando apenas o mdulo das cargas eltricas. Assim, podemos dizer que a fora eltrica s ocorre aos pares, onde cada carga eltrica exerce uma fora eltrica sobre a outra. A lei de Coulomb uma aplicao da 3 lei de Newton (Ao e Reao), em que a carga eltrica Q1 exerce uma fora de ao sobre a carga eltrica Q2, e esta reage sobre a carga Q1 com uma fora eltrica de reao com mesmo mdulo, mesma direo, porm, sentidos contrrios, conforme as figuras 1.7 e 1.8.

(1.5)

Vejamos, a partir deste momento, outra qualidade da fora eltrica, determinada unicamente pelo sinal das cargas eltricas que participam da interao.

A fora eltrica entre duas cargas eltricas pode ser atrativa ou repulsiva, determinada pelo sinal de cada carga eltrica integrante do par.

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Fsica III

Unidade 1

Fora repulsiva

Em cargas eltricas com sinais iguais, a fora eltrica de repulso, conforme mostra a figura 1.7.

Figura 1.7Fora repulsiva entre duas cargas eltricas puntiformesFonte: Elaborao do autor (2011).

Fora atrativa

Em cargas eltricas com sinais diferentes, a fora eltrica de atrao, conforme mostra a figura 1.8.

Figura 1.8Fora atrativa entre duas cargas eltricas puntiformesFonte: Elaborao do autor (2011).

A partir da lei de Coulomb, definida pela equao 1.5, possvel estabelecer algumas relaes de proporcionalidade com as grandezas fsicas: cargas eltricas, constante dieltrica do meio e distncia entre as cargas eltricas.

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F kA fora eltrica diretamente proporcional ao valor da constante dieltrica do meio. Por exemplo, se as cargas eltricas encontram-se no meio vcuo (ou ar), a fora eltrica ser diretamente proporcional a .

Se as cargas eltricas estiverem no meio gua, a fora eltrica ser diretamente proporcional a .

Comparando os valores das duas constantes dieltricas, tem-se que a constante dieltrica do vcuo , aproximadamente, 81 vezes maior que a constante da gua. Para isso fazemos

. Assim, quando o sistema estiver

no meio vcuo (ou ar), a fora eltrica ser, aproximadamente, 81 vezes maior que a fora eltrica do mesmo sistema, quando medido na gua.

F Q1Q2A fora eltrica diretamente proporcional ao produto das cargas eltricas Q1 e Q1. Por exemplo, se triplicarmos o valor da carga eltrica Q1, o valor da fora eltrica ficar trs vezes maior. Se o valor da carga eltrica Q2 for reduzido pela metade, a fora eltrica ter a metade do valor.

A fora eltrica inversamente proporcional ao valor do quadrado da distncia entre as cargas eltricas Q1 e Q1. Por exemplo, se duplicarmos a distncia entre as cargas Q1 e Q2, a fora eltrica ser quatro vezes menor.

Se reduzirmos pela metade a distncia entre as cargas eltricas Q1 e Q2, a fora eltrica torna-se quatro vezes maior.

Com base nos contedos que estudou at o momento, voc convidado(a) a fazer uma pausa e observar o seguinte exemplo!

33

Fsica III

Unidade 1

Exemplo

A figura a seguir ilustra um sistema formado por duas cargas eltricas puntiformes, A e B, cujos valores so Q1 = 6,4 . 1010C e Q1 = 6,4 . 1010C e que se encontram no ar.

40 cm

Determine: a) O mdulo da fora eltrica entre as cargas. Resoluo:

b) A direo e o sentido da fora eltrica. Resoluo:A direo horizontal e o sentido dado pela figura. c) O mdulo da fora eltrica entre as cargas, considerando, agora, que o sistema encontra-se na gua. Resoluo:Como kAGUA aproximadamente 81 vezes menor do que o kVACUO, ento a fora fica 81 vezes menor.

d) O nmero de eltrons em falta ou excesso em cada uma das cargas eltricas. Resoluo: Q1 = n1e em falta.

Q2 = n2e em excesso.

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Em um sistema de cargas eltricas puntuais com n partculas (cargas) carregadas, as partculas interagem independentemente, sempre aos pares. A fora eltrica resultante sobre uma dessas cargas dada pela soma vetorial de todos os pares de foras formados sempre com a participao da carga em questo. Esse clculo feito pela equao 1.6.

(1.6)

Veja o seguinte exemplo.

Exemplo

Trs cargas eltricas, QA = 2 . 106C, QB = 3 . 106C e QC = 4 . 106C esto dispostas em um sistema de eixos coordenados xy, conforme mostra a figura a seguir. Considere que o sistema se encontra na gua. Determine o mdulo, a direo e o sentido da fora eltrica resultante sobre a carga eltrica QA. y(m)

0,2

x(m)0,40,20

ResoluoPara determinarmos a fora eltrica resultante sobre a carga eltrica A, devemos, inicialmente, determinar o mdulo da fora eltrica de cada

par de cargas formado por A. Temos, ento, dois pares de foras, e .

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Fsica III

Unidade 1

As foras que agem sobre a carga A so bidimensionais, o que torna necessrio determinar, isoladamente, as componentes em cada uma das direes, x e y. Sobre a carga A, colocar um sistema de eixos coordenados, o qual permite visualizar a direo e o sentido de cada componente dos pares de foras, conforme mostra a figura a seguir.

y(m)

x(m)

Para determinar o mdulo da fora eltrica resultante sobre QA, necessrio calcular a resultante das foras sobre a carga A em cada direo, x e y.

A direo da fora eltrica resultante sobre a carga A obtida por:

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O sentido da fora eltrica resultante indicado na figura abaixo.

y(N)

x (N)

Nessa seo, voc estudou a lei de Coulomb, a qual permite calcular o mdulo, a direo e o sentido da fora eltrica sobre um par de cargas eltricas puntiformes. A aplicao da lei de Coulomb para um sistema formado por duas ou mais cargas eltricas ocorreu no exemplo acima. Nesse exemplo, o sistema formado por trs cargas eltricas. A fora eltrica resultante foi obtida a partir dos pares de foras formados pela carga eltricaA. Como esses pares de foras so bidimensionais, isto , com componentes vetoriais nas direes x e y, foi necessrio calcular as foras eltricas resultantes sobre a carga eltrica A nas direes x e y separadamente. Determinadas as foras eltricas resultantes em x e y, determinou-se o mdulo, a direo e o sentido da fora eltrica resultante sobre a carga eltrica A.

Seo 3 Campo eltrico

O conceito de campo no restrito apenas ao estudo dos fenmenos eltricos. Podemos, ento, dizer que em torno da Terra (ou em torno de qualquer material) existe um campo gravitacional, pois uma massa m, colocada em qualquer ponto do espao em torno da Terra, fica submetida ao de uma fora exercida pela massa da Terra, MT, denominada de fora gravitacional.

Da mesma forma, em um ambiente qualquer, por exemplo, numa sala de aula, existe um campo de temperatura, pois, em cada ponto (local) do ambiente, teremos uma temperatura especfica, prpria daquele ponto. Dessa forma, podemos dizer que campo

37

Fsica III

Unidade 1

eltrico uma regio do espao onde h foras eltricas atuando a distncia, ou seja, num ponto qualquer do espao em que exista um campo eltrico, uma carga eltrica q, ao ser colocada nessa regio, ficar sujeita ao de uma fora eltrica.

Vetor campo eltrico

Os campos de temperatura e presso so campos escalares que se caracterizam por associar um valor escalar a cada ponto do espao. Por exemplo, numa sala de aula, a cada local no interior dessa sala temos um valor especfico de temperatura e presso. O campo eltrico um campo vetorial, constitudo por uma distribuio de vetores em torno de uma carga eltrica que o gera, denominada cargafonte. Um corpo eletrizado com carga positiva ou negativa tem, em torno dele, uma regio de influncia onde uma carga eltrica de prova q colocada nessa regio sofrer a ao de uma fora eltrica atrativa ou repulsiva.

Quando deslocamos uma carga numa regio onde existe um campo eltrico, esta carga,denominada carga de provafica sujeita ao de foras eletrostticas com intensidades diferentes, as quais variam com a distncia entre a carga-fonte, Q, e a carga de prova q. Dessa forma, para cada regio do espao em torno da carga-fonte, definimos um vetor campo eltrico dado pela equao 1.7,

(1.7)

Onde:

o vetor campo eltrico;

a fora eltrica entre carga-fonte, Q, e carga de prova, q;

q a carga de prova ou ainda denominada carga teste.

A unidade de medida para o campo eltrico, no Sistema Internacional, S.I., o .

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Linhas de fora ou linhas de campo eltrico

No sculo XIX, Michael Faraday desenvolveu um mtodo geomtrico para representar o campo eltrico. As caractersticas do campo eltrico (direo e sentido) so invisveis, porm possvel senti-lo.

Para identificar um campo eltrico, Faraday desenvolveu um mtodo geomtrico denominado linhas de fora ou linhas de campo eltrico.

Para que possamos entender essa representao, consideremos uma carga eltrica puntual, Q , a qual gera um campo eltrico em torno dela. Conforme definimos na seo anterior, a intensidade do campo eltrico varia com a distncia entre a carga eltrica (carga-fonte), Q , e o lugar qualquer no espao que vamos denominar de ponto P. Por conveno, as linhas de campo eltrico gerado por uma carga eltrica puntual tero direo radial, conforme mostra a figura 1.9. O Sentido das linhas de campo depender do sinal da carga eltrica.

Se a carga eltrica for positiva, as linhas de campo sero divergentes, (figura 1.9 (a)), e para a carga eltrica negativa, sero convergentes, (figura 1.9 (b)). Observe que, para cada ponto, P1 e P2, tem-se um campo eltrico com intensidade determinada em cada posio, e respectivamente.

Q Q

a) b)

Conveno para a direo e sentido das linhas de campo eltrico

Figura 1.9Linhas de campo eltrico criado por uma carga eltrica puntual, (a) positiva e (b) negativa Fonte: Elaborao do autor (2011).

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Fsica III

Unidade 1

Para fixar estes conceitos, observe o exemplo a seguir.

Exemplo

Na superfcie da Terra, h um campo eltrico com direo vertical e sentido para baixo, conforme mostra a figura a seguir. Uma carga de prova de 6C colocada nessa regio e sofre a ao de uma fora eltrica repulsiva de 2,5 . 104N na direo y. Qual o mdulo desse campo eltrico?

Terra

Superfcie da Terra

Resoluo:O sentido do campo eltrico para baixo, ao longo da direo y, as linhas do vetor campo eltrico esto apontadas para baixo e, dessa forma, chegam at Terra, o que indica que a carga eltrica na Terra tem sinal negativo. Como as cargas eltricas da Terra e da carga de prova so negativas, surge entre elas uma fora eltrica de repulso com sentido para cima. O mdulo do campo eltrico dado por:

Nesse exemplo, fica evidente a necessidade de saber aplicar o sentido das linhas de campo eltrico para determinar o sinal da carga eltrica do corpo que o gera. Atravs do sentido das linhas de campo, possvel definir o sentido da fora eltrica que age sobre uma carga eltrica. Como a fora eltrica ocorre sempre aos pares, nesse exemplo, o par de cargas eltricas com mesmo sinal resulta numa fora eltrica repulsiva.

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Sentido dos vetores fora eltrica e campo eltrico

Uma carga eltrica de prova, q, quando colocada numa regio onde existe um campo eltrico, experimenta uma fora eltrica de atrao ou repulso. O sentido dos vetores fora eltrica e campo eltrico so definidos a partir do sinal das cargas eltricas. Aplicando as linhas de campo eltrico ao conjunto cargateste e carga de prova, podemos estabelecer o sentido dos vetores fora eltrica e campo eltrico.

Observe nas figuras a seguir o sentido dessas grandezas vetoriais.

Se a carga fonte, Q, e carga de prova (ou cargateste) so positivas, a fora eltrica e o campo eltrico tm o mesmo sentido, conforme mostra a figura 1.10.

Figura 1.10Carga-fonte e carga de prova positivasFonte: Elaborao do autor (2011).

Se a carga fonte, Q , for negativa, e carga de prova (ou cargateste) positiva, a fora eltrica e o campo eltrico tero o mesmo sentido, conforme mostra a figura 1.11.

Figura 1.11 Carga-fonte e carga de prova positivasFonte: Elaborao do autor (2011).

Se a carga fonte, Q , for positiva e a carga de prova (ou cargateste) negativa, a fora eltrica e campo eltrico tero sentidos contrrios, conforme mostra a figura 1.12.

Figura 1.12Carga-fonte positiva e carga de prova negativaFonte: Elaborao do autor (2011).

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Fsica III

Unidade 1

Se a carga fonte, Q, for negativa e carga de prova (ou cargateste) negativa, a fora eltrica e campo eltrico tero sentidos contrrios, conforme mostra a figura 1.13.

Figura 1.13 Carga-fonte positiva e carga de prova negativaFonte: Elaborao do autor (2011).

Quando a carga de prova for positiva, os vetores fora eltrica e campo eltrico tero o mesmo sentido e, quando a carga de prova for negativa, os vetores tero sentidos contrrios.

Campo eltrico produzido por uma carga eltrica puntual

No incio desta seo, definimos uma expresso para obter a intensidade do campo eltrico para quaisquer que sejam as cargas eltricas que criam este campo.

Agora, vamos obter uma expresso a partir dessa definio, para determinarmos o campo eltrico gerado por uma carga eltrica puntual, em um determinado lugar do espao em torno dela.

Consideremos, na lei de Coulomb, Q = q, para simplificar a notao.

Temos, ento, e, substituindo na equao 1.7, obtemos a equao 1.8, que permite determinar a intensidade do campo eltrico gerado por uma carga eltrica puntual num ponto P do espao em torno da carga-fonte, conforme mostra a figura 1.14,

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(1.8)

Onde:

o vetor campo eltrico;

k a constante dieltrica (ou constante eletrosttica) do meio;

Q a carga-fonte ou carga geradora de campo eltrico;

r a distncia entre a carga-fonte e o ponto P (lugar no espao em torno dela);

o vetor unitrio que aponta na direo do campo onde est o ponto P.

Figura 1.14Uma carga eltrica puntual estabelece um campo eltrico no ponto PFonte: Elaborao do autor (2011).

Da mesma forma que a fora eltrica, o campo eltrico, dado pela equao 1.8, depende das grandezas fsicas carga eltrica, constante dieltrica do meio e distncia entre carga eltrica e ponto P. As relaes de proporcionalidade do campo eltrico ocorrem da seguinte forma:

E kO campo eltrico diretamente proporcional ao valor da constante dieltrica do meio. Por exemplo, se a carga eltrica encontra-se no meio vcuo (ou ar), o campo eltrico ser diretamente proporcional a .

Se a carga eltrica estiver no meio gua, o campo eltrico ser diretamente proporcional a .

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Fsica III

Unidade 1

Com os valores das duas constantes dieltricas, possvel verificar que a constante dieltrica do vcuo (ou ar) aproximadamente 81 vezes maior que a constante da gua. Assim, quando o sistema estiver no meio vcuo (ou ar), o campo eltrico ser aproximadamente 81 vezes maior que o campo eltrico do mesmo sistema, quando medido na gua.

E Q O campo eltrico diretamente proporcional carga eltrica Q. Por exemplo, se triplicarmos o valor da carga eltrica Q, o valor do campo eltrico ficar trs vezes maior. Se o valor da carga eltrica Q for reduzido pela metade, o campo eltrico ter a metade do valor.

O campo eltrico inversamente proporcional ao quadrado da distncia entre a carga eltrica Q e o ponto P do espao. Por exemplo, se duplicarmos a distncia entre a carga Q e o ponto P, o campo eltrico ser quatro vezes menor.

Se reduzirmos pela metade a distncia entre a carga eltrica Q e o ponto P, o campo eltrico tornar-se quatro vezes maior.

Observe que o campo eltrico numa regio do espao no depende da carga de prova. A equao 1.8 ratifica essa afirmao, em que o campo eltrico depende, apenas, da carga-fonte. A carga de prova serve para verificar se, num determinado ponto do espao em torno de uma carga eltrica, existe um campo eltrico. Observe o seguinte exemplo:

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Exemplo

Determine o mdulo, a direo e o sentido do campo eltrico gerado por uma carga eltrica de 8nC num ponto P, que dista 60 cm desta, conforme mostra a figura abaixo. Considere que o sistema se encontra no ar.

60 cm

Resoluo

Mdulo: Direo: Horizontal Sentido: Para a direita

Este exemplo evidencia que a existncia de um campo eltrico depende apenas da carga geradora de campo. A carga-teste, quando colocada numa regio onde h um campo eltrico, serve apenas para determinar se h, ou no, campo eltrico numa dada regio do espao. O teste fica caracterizado pela ao da fora eltrica sobre a carga-teste, quando existe um campo eltrico.

Campo eltrico produzido por um sistema de cargas eltricas puntuais

O campo eltrico gerado por um sistema de cargas eltricas puntuais num ponto P do espao, conforme mostra a figura 1.15, dado pela soma vetorial de todos os campos eltricos individuais calculados em relao a P, conforme a equao 1.9:

(1.9)

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Fsica III

Unidade 1

P

Figura 1.15Sistema formado por cargas eltricas puntuais estabelecem um campo eltrico no ponto P do espao Fonte: Elaborao do autor (2011).

Podemos explicitar a equao 1.9, reescrevendo-a, conforme a equao 1.10:

(1.10)

Exemplo

Determine o mdulo, a direo e o sentido do campo eltrico resultante no ponto P, gerado pelas cargas eltricas Q1 = 2. 106C e Q2 = 3. 106C, conforme mostra a figura abaixo. O sistema se encontra no ar.

y(m)

0,2

0,2 0,40 x(m)

Resoluo Inicialmente, devemos determinar o campo eltrico estabelecido no ponto P devido a cada uma das cargas eltricas do sistema. Logo

temos dois campos eltricos, e .

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Os campos eltricos estabelecidos pelas cargas eltricas 1 e 2 no ponto P so bidimensionais, o que torna necessrio determinar, isoladamente, as componentes em cada uma das direes, x e y. Desenhar um sistema de eixos coordenados no ponto P facilita a visualizao das componentes vetoriais, o que permite definir, de forma correta, o sentido das componentes para cada um dos campos eltricos estabelecido em P, conforme mostra a figura abaixo.

y(m)

x(m)

y

x

0

Para determinar o mdulo do campo eltrico resultante em P, necessrio calcular o campo eltrico resultante no ponto P em cada direo, x e y.

A direo do campo eltrico resultante no ponto P obtida por:

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Fsica III

Unidade 1

O sentido do campo eltrico resultante em P indicado na figura abaixo:

y(N/C)

(N/C)

Neste exemplo, o sistema formado por duas cargas eltricas, e cada carga estabelece um campo eltrico numa regio do espao em torno delas, denominado ponto P. Nesse local, o campo eltrico resultante obtido mediante a soma dos campos eltricos devido a cada uma das cargas. Pela posio das cargas eltricas em relao ao ponto P, os campos eltricos so bidimensionais, isto , tm componentes vetoriais nas direes x e y. Para obter o campo eltrico resultante, foi necessrio calcular os campos eltricos sobre o ponto P nas direes x e y separadamente. Determinados os campos eltricos resultantes em x e y, determinou-se o mdulo, a direo e o sentido do campo eltrico numa regio especfica do espao denominado ponto P.

Campo eltrico produzido por um dipolo eltrico

Um dipolo eltrico um sistema formado por duas cargas eltricas de mesmo mdulo q, separadas entre si por uma pequena distncia d, conforme mostra a figura 1.16, em que cd o centro do dipolo.

O campo eltrico estabelecido num ponto P do espao, prximo ao sistema, obtido pela soma vetorial dos campos eltricos individuais gerados por cada uma das cargas eltricas que constituem o dipolo eltrico.

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cd P

x

Figura 1.16Dipolo eltrico com campos eltricos gerados em P, na direo da reta que os uneFonte: Elaborao do autor (2011).

O campo eltrico resultante no ponto P devido ao dipolo obtido pela soma vetorial dos campos individuais . O mdulo do campo eltrico resultante em P obtido conforme a equao 1.11:

(1.11)

As distncias das cargas so definidas em relao ao ponto P e o centro do dipolo para cada uma das cargas. Tm-se para as cargas q1 e q2 as distncias e . Definidas as distncias para cada uma das cargas eltricas, podemos reescrever a equao 1.11 conforme a equao 1.12 ou, ainda, explicitando a constante dieltrica atravs da equao 1.13:

(1.12)

(1.13)

O campo eltrico produzido por um dipolo eltrico s significativo quando a distncia entre o sistema for consideravelmente maior que a distncia entre as cargas do dipolo, isto , . Reagrupando os termos da equao 1.13, podemos reescrev-la conforme a equao 1.14. Os termos que envolvem distncias podem ser expandidos atravs do teorema binomial.

(1.14)

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Fsica III

Unidade 1

Aps expandir os termos que envolvem distncia na equao 1.14 e desprezar os termos que trazem contribuies cada vez menores, tem-se, ento, a equao 1.15:

(1.15)

Num dipolo eltrico, dois parmetros fundamentais definem sua estrutura: as cargas eltricas e a distncia que as separa.

Assim, o produto da carga eltrica pelo vetor deslocamento, , que vai desde o centro das cargas negativas para o centro das

cargas positivas, denominado momento de dipolo, , conforme a equao 1.16.

O momento de dipolo eltrico tem mdulo dado por cd, com sentido que vai da carga negativa para a carga positiva. A unidade de momento de dipolo, no S.I., o (coulomb-metro) [C.m].

(1.16)

O mdulo do campo eltrico gerado por um dipolo eltrico (equao 1.15) pode ser obtido em relao ao mdulo do momento de dipolo eltrico, atravs da equao 1.17,

(1.17)

Exemplo

Considere um dipolo eltrico formado pelas cargas eltricas q1 = 2pC e q2 = 2pC, separadas por 4m. Considere que o sistema se encontra no ar e determine:

P

x

a) O momento de dipolo do sistema. Resoluo: Como o momento de dipolo uma grandeza vetorial, indicamos atravs da notao de vetores unitrios.

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b) O campo eltrico no ponto P, o qual dista 40 cm do centro do dipolo. Resoluo:O campo eltrico dado por

No exemplo acima, o campo eltrico foi determinado para um ponto P localizado ao longo do eixo do dipolo, na direo x. Embora a equao 1.17 seja vlida para pontos distantes sobre o eixo do dipolo, para todos os pontos distantes que estejam ou no sobre o eixo do dipolo, o valor do campo eltrico proporcional a , onde r a distncia entre o centro do dipolo e o ponto P considerado. A distncia representada por r denotar um ponto P no espao que pode situar-se em qualquer das trs direes, x, y e z.

Campo eltrico produzido por uma distribuio contnua de cargas

Na seo anterior, obtivemos uma expresso para o campo eltrico gerado por uma carga eltrica puntual (equao 1.8). Voc viu que um sistema de cargas puntuais estabelece um campo eltrico num ponto P do espao, cuja expresso dada pela soma vetorial de todos os campos eltricos individuais do sistema.

Nesta seo, vamos obter o campo eltrico gerado por uma distribuio contnua de carga, isto , por um corpo onde suas dimenses so relevantes e, por isso, no podem ser desprezadas.

Em um corpo, existe uma grande quantidade de cargas eltricas distribudas em sua estrutura, onde cada carga eltrica tem associada uma distncia fixa em relao a um ponto no espao. Vamos considerar que a distribuio de cargas no corpo ocorre de forma homognea. Assim, para obtermos uma expresso para o campo eltrico, consideramos cada carga eltrica como um elemento de carga que gera um elemento de campo eltrico. Integrando esses elementos de campo eltrico, obtm-se a expresso para o campo eltrico gerado pela distribuio contnua

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Fsica III

Unidade 1

de cargas. Alm de considerarmos os elementos de carga, usamos, tambm, a densidade de carga. As densidades de cargas so utilizadas em situaes distintas. De acordo com a geometria da distribuio contnua, as densidades de carga podem ser:

Densidade de carga Quantidade de carga Unidade no S.I.

Densidade Linear de CargaQuantidade de carga por unidade de comprimento Coulomb por metro

Densidade Superficial de CargaQuantidade de carga por unidade de superfcie Coulomb por metro quadrado

Densidade Volumtrica de CargaQuantidade de carga por unidade de volume Coulomb por metro cbico)

Quadro 1.1 Densidade de carga de acordo com a geometria da distribuio contnua Fonte: Elaborao do autor (2011).

A expresso para o campo eltrico, por definio, depende das mesmas grandezas fsicas, tanto para o caso discreto como para o caso contnuo. A diferena nas expresses para os casos discretos (carga puntual ou puntiforme) e contnuos (barras, anis, discos e esferas) est em obter as distncias entre as cargas (ou elementos de cargas) geradoras de campo e o local onde se deseja determinar o valor do campo eltrico. Nos casos contnuos, a densidade de carga auxilia na determinao da expresso do campo eltrico, porque relaciona o tamanho de um pequeno elemento de carga com sua respectiva distncia a um determinado ponto no espao.

Campo eltrico produzido por uma linha de carga

Consideremos uma barra uniformemente carregada com uma carga Q, conforme mostra a figura 1.17. A densidade linear de carga, , constante. Nessa situao, o campo eltrico ser unidimensional, pois a barra est localizada ao longo do eixo x, e, dessa forma, a expresso para o campo eltrico ter apenas a varivel x.

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y

L

dq P

0 dL x

Figura 1.17Barra homogeneamente carregadaFonte: Elaborao do autor (2011).

Em uma distribuio contnua de cargas, podemos imaginar cada um dos elementos de carga como se fosse uma carga eltrica puntual gerando, ento, um elemento de campo eltrico, dEX.

O campo eltrico total, EX, ir depender dos campos eltricos elementares, dEX, devido a cada um dos elementos de carga, conforme a equao 1.18. Devemos observar que todos os elementos de carga dq tm o mesmo valor, diferindo apenas na distncia desses at o ponto P, que vai desde x = 0 at x = L, que o comprimento total da barra.

Podemos escrever a integral que definir a expresso para o campo eltrico estabelecido em P, na direo x, conforme mostra a equao 1.18:

(1.18)

A distncia de cada elemento de carga at o ponto P varia ao longo do eixo x e define-se conforme a diferena entre as distncias (x0 x). Reescrevendo a equao 1.18, considerando que um elemento diferencial de carga dado por dq = dx, tem-se, ento, a equao 1.19, que formar o integrando da expresso para o campo eltrico total, EX, no ponto P.

(1.19)

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Fsica III

Unidade 1

Integrando os dois membros da equao 1.19 e substituindo os limites que compreendem o comprimento da barra, ou seja, que determinam as distncias dos elementos de cargas desde o incio at o final da barra, obtemos a equao 1.20:

(1.20)

Reagrupando a equao 1.20, podemos reescrev-la conforme a equao 1.21. Como a densidade de carga dada por , a carga eltrica obtida por Q = L, o que permite expressar a equao 1.21 de acordo com a equao 1.22:

(1.21)

(1.22)

Se o ponto P estiver muito afastado da origem, ou seja, se x0>>L, podemos desprezar o comprimento da barra fazendo L=0 na equao 1.22, que resultar na equao 1.23. Nesta situao, a uma grande distncia da barra, o campo eltrico estabelecido no ponto P igual ao campo eltrico gerado por uma carga eltrica puntual, conforme a equao 1.23:

(1.23)

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Exemplo

A barra mostrada na figura 3.9 tem comprimento de 20cm e est carregada, uniformemente, com uma carga eltrica de 8 . 106C. Considere que a barra se encontra no ar e determine o mdulo, a direo e o sentido do campo eltrico no ponto P, que dista 80 cm origem do sistema de eixos coordenados. Resoluo: O mdulo dado por:

Como a barra e o ponto P esto sobre o eixo x, o campo eltrico ter direo horizontal e sentido para a direita, conforme figura abaixo.

y

L

P

0 x

Observe que, neste exemplo, a barra est eletrizada homogeneamente com carga eltrica positiva. Cada elemento de carga eltrica, dq, tem sua distncia, dx, at o ponto P varivel, de acordo com sua posio na barra. Na extremidade direita da barra, prxima ao ponto P, um elemento de carga est a uma distncia menor que um elemento de carga situado na extremidade esquerda da barra. Todos os elementos de carga tm o mesmo valor de carga eltrica, e assim, o campo eltrico estabelecido no ponto P, devido a cada um deles, dependente de sua posio varivel.

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Unidade 1

Campo eltrico produzido por um anel de carga

Um anel de carga eletrizado homogeneamente com uma quantidade de carga positiva Q produz um campo eltrico ao longo de seu eixo, conforme mostra a figura a seguir.

x P x

dq

y

Figura 1.18A expresso para o campo eltrico ao longo do eixo xFonte: Elaborao do autor (2011).

Considerando que um pequeno elemento de carga produz um pequeno elemento de campo eltrico, temos que:

Em pontos muito afastados do centro do anel, a distncia do ponto P torna-se muito maior que o raio do x >> R, R 0, e o campo eltrico produzido por esse anel torna-se igual ao campo eltrico produzido por uma carga eltrica puntual.

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Exemplo

Um anel, cujo raio 50 cm, est uniformemente carregado com carga eltrica 5 . 106C. Determine o mdulo, a direo e o sentido do campo eltrico no ponto P que est 40 cm ao longo do eixo do anel. O sistema se encontra no ar. Resoluo: O mdulo do campo eltrico resultante no ponto P dado por:

A direo horizontal, pois as componentes do campo eltrico na direo y se cancelam por simetria. As componentes na direo x se somam, logo o campo eltrico resultante est na direo x (horizontal). O sentido do campo eltrico resultante da esquerda para a direita ou do centro do anel para a direita, conforme mostra a figura abaixo.

y

R P 0 x

z

No exemplo acima, o campo eltrico resultante estabelecido no ponto P, ao longo do eixo do anel, est na direo x. Por simetria, as componentes do vetor campo eltrico na direo y se cancelam. Por exemplo, na parte superior do anel, o campo eltrico tem uma componente na direo y negativa e, na parte inferior do anel, o campo eltrico tem uma componente na direo y positiva. O mesmo cancelamento ocorre tambm na direo z. Esse cancelamento das componentes do anel nas direes y e z ocorrem ao longo de todo o anel, e, por isso, o campo eltrico resultante ocorre ao longo do eixo do anel, somente na direo x.

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Campo eltrico produzido por um disco carregado

O campo eltrico gerado por um disco com raio R, uniformemente carregado, conforme mostra a figura 1.19(a), pode ser obtido a partir do campo eltrico de um anel uniformemente carregado. Podemos imaginar um disco sendo formado por vrios anis concntricos com raios diferentes. Para obtermos uma expresso para o campo eltrico gerado por um disco, vamos, inicialmente, considerar um anel e definir suas dimenses em termos de elementos diferenciais, conforme mostra a figura 1.19(b). Se abrirmos um anel (crculo), obteremos um retngulo cujo comprimento dado por 2a, e largura igual a da. Dessa forma, podemos expressar a rea desse anel como dA=2ada.

R da 2 a da a

a) b)

Figura 1.19(a) Disco homogeneamente carregado. (b) Anel aberto (Elemento diferencial de carga)Fonte: Elaborao do autor (2011).

Considerando A = R2 a rea do disco e a sua densidade superficial de carga, podemos definir um elemento de carga representada por um anel como dq = dA. Substituindo nesse elemento de cargas a rea do anel, temos dq = 2ada.Resgatando as relaes trigonomtricas que estabelecem a distncia entre cada anel e um ponto P situado sobre o eixo do disco, conforme mostra a figura 1.20, temos r2 = a2 + x2 ou

.

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y

dq r

a x P x

R z

Figura 1.20Disco carregado formado por anis de carga homogeneamente carregados. Cada anel estabelece um elemento de campo eltrico em P Fonte: Elaborao do autor (2011).

O elemento de campo eltrico dEX obtido por , em que . Os elementos de carga geram campos eltricos elementares bidimensionais em torno do ponto P, o que permite obter a resultante desses elementos de campo nas direes x e y. So dEX e dEY. Na direo y haver resultante nula para o campo eltrico, consequncia da simetria dessas componentes que tm sentidos contrrios. Os anis de carga tero apenas componentes na direo x, e, por isso, o campo eltrico resultante gerado pelo disco ser na direo x.

A expresso para o campo eltrico gerado pelo disco no ponto P obtida pela integrao da componente na direo x do elemento de campo gerado por um anel, conforme a equao 1.24:

(1.24)

59

Fsica III

Unidade 1

A integral da equao 1.24 pode ser facilmente resolvida, fazendo u = a2 + x2 e n = 3/2, onde os limites de integrao vo de a = 0 at a = R. A expresso para o campo eltrico dada pelas equaes 1.25 ou 1.26:

(1.25)

(1.26)

possvel se obter o campo eltrico nas vizinhanas de um plano infinito de carga, fazendo-se R e x 0 na equao 1.25. Podemos concluir que o campo eltrico de uma distribuio infinita de carga, plana, uniforme, ou seja, no depende de x. Para essa situao, o campo eltrico dado pela equao 1.27. Explicitando a constante dieltrica, , podemos reescrever a equao 1.27, conforme a equao 1.28.

E = 2k (1.27)

(1.28)

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Campo eltrico produzido por uma esfera macia carregada

O campo eltrico gerado por uma esfera macia pode ser obtido de forma semelhante ao campo eltrico obtido para o disco, onde consideramos vrios anis concntricos. Para a esfera macia, podemos adotar o mesmo desenvolvimento, considerando, agora, a esfera formada por vrias cascas esfricas concntricas.

Consideremos a figura 1.21, com uma casca esfrica que servir de base para que possamos obter uma expresso para o campo eltrico de uma esfera macia.

O campo eltrico no centro de uma casca esfrica nulo, e no exterior da mesma. Em pontos situados no exterior esfera macia de carga, cada casca esfrica estabelece um campo eltrico idntico ao campo gerado por uma carga eltrica puntual.

A densidade volumar de carga para uma esfera dada por onde o volume da esfera. A carga no interior da casca esfrica dada por q.

PR

Casca esfrica

Figura 1.21Esfera macia carregada formada por cascas esfricas concntricas carregadas homogeneamente Fonte: Elaborao do autor (2011).

Vamos considerar um ponto P no interior da casca esfrica, isto , em que r < R e a carga nesse interior dada por q = . Considerando que a densidade de carga seja uniforme, podemos explicitar a carga eltrica conforme a relao , e

dessa forma, . O campo eltrico num

61

Fsica III

Unidade 1

pontoP devido carga eltrica q o mesmo que seria provocado se q na origem. O restante da carga provoca um campo eltrico nulo no ponto P. Esta parte pode ser considerada como um conjunto de cascas esfricas e, para cada uma delas, o ponto P um ponto interno a elas. O campo eltrico devido a uma esfera macia carregada, estabelecido num ponto P, a uma distncia

r

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Seo 4 Lei de Gauss

Iniciamos nosso estudo sobre eletrosttica, abordando os conceitos de carga eltrica, fora eltrica e campo eltrico. Uma carga eltrica gera um campo eltrico em torno dela e, quando outra carga eltrica colocada na regio onde existe um campo eltrico, ambas as cargas eltricas do origem a um par de foras eltricas (ao-reao). A existncia de um campo eltrico determinada, unicamente, por uma carga eltrica denominada de carga-fonte.

Nesta seo, voc ver a lei de Gauss que consiste em uma forma diferente de descrever a relao entre a carga eltrica e campo eltrico em situaes estticas. A lei de Gauss relaciona os campos eltricos nos pontos de uma superfcie gaussiana (superfcie fechada imaginria, que envolve uma distribuio de cargas) carga eltrica total envolvida pela superfcie.

Fluxo eltrico

O fluxo eltrico uma grandeza matemtica relacionada ao nmero de linhas de fora ou de campo eltrico , que atravessam uma superfcie A, conforme mostra a figura 1.23.

A

Figura 1.23Linhas de fora ou de campo eltrico uniforme atravs de uma superfcie AFonte: Elaborao do autor (2011).

Quando estamos interessados em relacionar carga eltrica e campo eltrico atravs de uma superfcie fechada (de uma superfcie que separa espao em duas regies, uma interna e outra externa), o vetor unitrio define-se como dirigido em cada ponto para fora.

63

Fsica III

Unidade 1

Em um ponto onde uma linha de campo sai da superfcie, est apontando para fora, logo o produto escalar entre a componente do campo eltrico e o vetor normal superfcie positivo. Nesta situao, as componentes so paralelas, onde termos que cos00=+1. Porm, num ponto onde a linha de campo entra na superfcie, o produto escalar negativo, visto que as componentes do campo eltrico so antiparalelas ao vetor normal superfcie, e, nesse caso, cos1800=1.

O fluxo eltrico lquido atravs de uma superfcie fechada obtido representando a rea total como a soma de elementos diferenciais de rea dA, que tendem a zero, conforme a equao 1.30, a qual pode ser representada, tambm, conforme a equao 1.31:

(1.30)

(1.31)

Explicitando o produto escalar para o fluxo eltrico dado pela equao 1.31, tem-se a equao 1.32, onde o ngulo formado entre o vetor campo eltrico e o vetor normal superfcie:

(1.32)

Quando o vetor campo eltrico for constante e paralelo ao vetor unitrio normal, dado pela integral da equao 1.32, obtido conforme a equao 1.33:

(1.33)

Atravs da equao 1.33, se obtm o fluxo eltrico mximo, considerando os vetores campo eltrico e vetor normal paralelos entre si. Fluxo eltrico apresenta as seguintes dependncias:

Diretamente proporcional ao mdulo do campo eltrico. Quanto mais intenso for o campo eltrico, maior ser o nmero de linhas de campo eltrico.

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Diretamente proporcional rea. Quanto maior for a rea, maior ser o nmero de linhas de campo que atravessaro a superfcie (rea).

Diretamente proporcional ao cosseno do ngulo formado entre o vetor normal superfcie e as linhas de campo eltrico. Dessa forma, quanto menor for o ngulo formado entre eles maior ser o fluxo eltrico, e quanto maior for o ngulo menor ser o fluxo eltrico, visto que o cosseno de um ngulo ser tanto maior quanto menor for o valor do ngulo e ser tanto menor quanto maior for o valor do ngulo.

O fluxo eltrico uma grandeza escalar e sua unidade, no S.I., o Newton.metro quadrado por coulomb, .

Exemplo

Determine o fluxo eltrico atravs da superfcie quadrada mostrada na figura abaixo, cujos lados medem 5,8 mm. A superfcie est imersa numa regio onde existe um campo eltrico uniforme, com mdulo , cujas linhas de campo formam um ngulo de 35 com a normal. Considere que essa superfcie quadrada seja a tampa de uma caixa.

A

Resoluo:Considerando que o campo eltrico uniforme em todas as regies da superfcie, o fluxo eltrico obtido integrando a equao 3.3.

65

Fsica III

Unidade 1

Lei de Gauss

A lei de Gauss estabelece a relao entre o fluxo eltrico total (ou lquido) de um campo eltrico carga eltrica total (ou lquida) envolvida por uma superfcie, conforme mostra a equao 1.34.

Usando a definio de fluxo eltrico, podemos escrever a lei de Gauss conforme a equao 1.35. Voc j viu que as linhas de campo eltrico saem de uma carga positiva e chegam a uma carga negativa. Essas linhas de campo eltrico so usadas para estabelecer o conceito de fluxo eltrico total (ou lquido) atravs de uma superfcie. A partir desses, a lei de Gauss pode ser aplicada para quaisquer superfcies e quaisquer distribuies de cargas.

Quando as superfcies apresentarem um alto grau de simetria, possvel obter, a partir da lei de Gauss, o clculo do campo eltrico. O nmero de linhas de campo determina a intensidade do campo eltrico, o qual proporcional carga eltrica lquida no interior dessa superfcie:

(1.34)

(1.35)

onde 0 a constante de permissividade do vcuo. No S.I., seu valor definido:

Exemplo

Um campo eltrico para y > 0 e para y < 0. Um cilindro com comprimento de 60 cm e raio igual a R=8 cm est com centro na origem e o eixo coincidente com o eixo dos y, de modo que uma base est a y=+30 cm e a outra y=-30 cm. Determine: a) o fluxo eltrico atravs de cada uma das bases do cilindro;

b) o fluxo eltrico atravs da superfcie lateral do cilindro; c) o fluxo eltrico total atravs do cilindro;

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d) a carga eltrica lquida no interior do cilindro.

y(cm)

30

x(cm) 30

Resoluo: a) Aplicando para cada uma das tampas a equao 3.3, temos:

b) Como o ngulo entre as linhas de campo eltrico e o vetor normal superfcie so ortogonais, temos que cos900 = 0, logo no h fluxo eltrico atravs da superfcie lateral do cilindro.

ou

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Fsica III

Unidade 1

c) O fluxo eltrico total atravs do cilindro obtido pela doma dos fluxos das tampas mais o fluxo da superfcie lateral.

d) A carga eltrica total (ou lquida) dentro do cilindro obtida, aplicando a lei de Gauss, (Eq. 3.5).

Aplicaes da lei de Gauss

Para obtermos o campo eltrico no interior de um corpo atravs da lei de Gauss, necessrio que o mesmo apresente um alto grau de simetria. A simetria permite que se idealize uma superfcie denominada superfcie gaussiana, e que as integrais de fluxo eltrico possam ser somadas comodamente.

Vamos considerar alguns problemas, iniciando pela relao existente entre a lei de Gauss e a lei de Coulomb que ser abordada a seguir.

Relao entre as leis de Gauss e Coulomb para obter o campo eltrico

Para demonstrarmos a relao existente entre essas duas leis, vamos considerar uma carga eltrica puntual (ou puntiforme), cujas linhas de campo eltrico tm simetria esfrica radial, e, por isso, podemos envolv-la com uma superfcie gaussiana esfrica, conforme mostra a figura 1.24.

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Superfcie gaussiana

r

Q

Figura 1.24Uma superfcie gaussiana esfrica concntrica com uma carga eltrica puntualFonte: Elaborao do autor (2011).

Vamos dividir a rea desta superfcie gaussiana esfrica em pequenos vetores rea , os quais, em qualquer ponto, so perpendiculares superfcie gaussiana e com sentido apontado para fora.

Por definio, sabemos que as linhas de campo eltrico geradas por uma carga eltrica puntual so divergentes, ou seja, apontam para fora da carga, consequentemente o sentido do vetor campo eltrico tambm ser apontado para fora da superfcie. Para essa configurao, temos os vetores e paralelos, e a lei de Gauss pode ser escrita conforme a equao 1.36, onde a carga eltrica envolvida equivale carga eltrica lquida.

Embora o campo eltrico varie radialmente com a distncia em todos os pontos da superfcie gaussiana o campo eltrico ter o mesmo valor.

(1.36)

A equao 1.36 pode ser integrada, considerando que o campo eltrico constante em todos os pontos da superfcie, e a soma de todos os elementos de rea resultam na rea total da esfera. A lei de Gauss para a geometria esfrica dada pela equao 1.37.

(1.37)

A partir da equao 1.37 (Lei de Gauss), obtm-se a equao para o campo eltrico, , que exatamente a mesma

equao obtida pela lei de Coulomb.

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Fsica III

Unidade 1

Campo eltrico para uma simetria cilndrica obtido pela lei de Gauss

O campo eltrico para um fio retilneo infinito pode ser obtido atravs da Lei de Gauss, devido simetria cilndrica radial. Como a lei de Gauss s vlida para determinar o campo eltrico quando a geometria exibir um alto grau de simetria, podemos, ento, construir uma superfcie gaussiana cilndrica, com comprimento L, e envolver o fio retilneo, conforme mostra a figura 1.25.

rL

Figura 1.25Uma superfcie gaussiana cilndrica concntrica, com um fio retilneo de tamanho infinito Fonte: Elaborao do autor (2011).

O vetor campo eltrico constante e aponta para fora em todos os pontos da superfcie cilndrica, sendo paralelo ao vetor rea . Dessa forma, o campo eltrico para uma geometria cilndrica, obtido pela lei de Gauss, dado pela equao 1.38.

(1.38)

Podemos expressar o campo eltrico, considerando a densidade linear de carga, , logo a equao 1.38 pode ser reescrita conforme a equao 1.39:

(1.39)

Vimos, ao longo desta seo, que possvel obter a expresso para o campo eltrico atravs da lei de Gauss, somente para corpos que apresentem acentuado grau de simetria.

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Sntese

Nesta unidade, voc estudou os conceitos de carga eltrica, fora eltrica, campo eltrico e a lei de Gauss. Tais conceitos so fundamentais para as demais unidades integrantes deste livro, que estuda a eletricidade e o eletromagnetismo. Voc estudou que os corpos, formados por tomos, quando no esto no estado neutro, apresentam carga eltrica que depende da quantidade de eltrons em falta ou em excesso em sua estrutura, e, assim, quando o corpo apresentar certa quantidade de eltrons em falta, sua carga eltrica ser positiva, e, quando certa quantidade de eltrons estiver em excesso, a carga eltrica do corpo ser negativa.

Voc tambm estudou o conceito de campo eltrico, propriedade oriunda da existncia de carga eltrica em um corpo. O campo eltrico estabelece uma regio de influncia que atua sobre uma carga eltrica ou sobre outro corpo colocado nessa regio, e, como consequncia, a carga de prova ou um corpo de prova ficam submetidos ao de uma fora eltrica que pode ser atrativa ou repulsiva, dependendo do sinal da carga eltrica de cada carga, quantificada pela lei de Coulomb.

Alm da lei de Coulomb, voc estudou a lei de Gauss, que permite determinar a quantidade de carga eltrica contida numa superfcie com alto grau de simetria, denominada de superfcie gaussiana. Atravs dessa lei, tambm possvel determinar a intensidade do campo eltrico que atravessa uma superfcie gaussiana, conhecendo a intensidade do fluxo eltrico. Nas prximas unidades deste livro, voc estudar o comportamento de cargas eltricas em movimento e suas consequncias, as quais constituem a base do eletromagnetismo.

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Fsica III

Unidade 1

Atividades de autoavaliao

1) Na figura desta questo, as trs esferas tm cargas eltricas de igual mdulo. Sabe-se que as esferas A e C esto em equilbrio esttico e que todas as esferas tm massas iguais, 120 g. Considere que o sistema se encontra no ar e determine:

TY A B C

15cm 15cm

Adote para os clculos: ; 9,8 m/s2; cos500 = 0,64 e sen500 = 0,77)

a) o mdulo das cargas eltricas em cada uma das esferas;

b) a quantidade de eltrons em cada uma das esferas.

2) Trs cargas eltricas, QA = 2.106 . C, QB = 3.106 . C e QC = 4.106.C, esto dispostas num sistema de eixos coordenados xy, conforme mostra a figura abaixo. Considere que o sistema se encontra no ar e determine o mdulo, a direo e o sentido da fora eltrica resultante sobre a carga eltrica QB.

y(m)

0,2 0 x(m)

0,1 0,2

0,2

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3) Sobre uma mesa lisa, isolante, nos vrtices de um quadrado com lados iguais a 10 cm esto fixadas as cargas puntuais Q1 = 8.n.C, Q2 = 8.n.C e Q3 = 8.n.C, conforme mostra a figura abaixo. No vrtice restante do quadrado abandonada, a partir do repouso, uma pequena esfera com massa m=200 g e eletrizada com uma carga eltrica igual a q = 4.n.C. Considere que o sistema se encontra no ar.

q

a) Qual o mdulo, a direo e o sentido da acelerao adquirida pela esfera com carga q?

b) Qual o mdulo, a direo e o sentido da acelerao adquirida pela esfera com carga q, se a mesma for colocada no centro do quadrado?

c) Qual a velocidade adquirida pela esfera aps 15 s, quando a mesma parte do vrtice e do centro do quadrado?

d) Qual o mdulo, a direo e o sentido da acelerao adquirida pela esfera com carga q quando nas posies vrtice e centro do quadrado, sabendo que o meio em que o sistema, agora, se encontra o leo?

Adote .

4) Trs cargas eltricas, Q1 = 4.109 . C, Q2 = 3.109 . C e Q3 = 5.109.C. esto localizadas num sistema de eixos, conforme mostra a figura desta questo. Considere que o sistema se encontra no ar e determine o mdulo, a direo e o sentido do vetor campo eltrico no ponto P, representando-o num sistema de eixos coordenados da questo.

y(m)

P 0,5

0,2

0,20 0 0,20 x(m)

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Fsica III

Unidade 1

Saiba mais

Para aprofundar seus estudos sobre eletrosttica e compreender melhor os fenmenos naturais que envolvem eletricidade e eletromagnetismo, recomendo a leitura dos livros:

Princpios de Fsica, de autoria de Raymond A. Serway e John W. Lewett Jr., editado em 2004 pela Pioneira Thonson Learning. No captulo 19, voc encontrar uma descrio fsica detalhada do fenmeno.

Fundamentos de Fsica, de autoria de David Halliday, Robert Resnick e Jearl Walker, editado em 2009 pela LTC- Livros Tcnicos e Cientficos S.A. No captulo 22, voc encontrar uma descrio fsica de como ocorre uma descarga eltrica na atmosfera.

2UNIDADE 2Potencial eltricoObjetivos de aprendizagem

Saber calcular a energia potencial eltrica de um sistema de cargas eltricas puntiformes.

Saber encontrar a diferena de potencial entre dois pontos, dado o campo eltrico na regio.

Desenhar as superfcies equipotenciais de um sistema de cargas eltricas puntiformes e identificar o sinal das cargas.

Saber encontrar o potencial eltrico de distribuies discretas e contnuas de cargas.

Sees de estudo

Seo 1 Energia potencial eltrica

Seo 2 Potencial eltrico

Seo 3 Superfcies equipotenciais

Seo 4 Potencial eltrico gerado por cargas eltricas puntuais

Seo 5 Potencial eltrico gerado por distribuies contnuas de cargas

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Para incio de estudo

Iniciaremos essa unidade, definindo o conceito de energia potencial eltrica. Em mecnica, estudamos os corpos levando em considerao o seu estado de movimento ou de repouso. condio de um corpo estar em movimento ou em repouso tem-se associada uma quantidade de energia mecnica. Por exemplo, um tijolo situado a 10 m de altura em relao ao solo tem associada a ele uma energia denominada energia potencial gravitacional. Essa energia associada ao tijolo surge devido ao tijolo estar numa regio onde existe um campo gravitacional. O tijolo, ao se deslocar para o solo, durante sua trajetria, ter associada a ele uma energia de movimento, denominada energia cintica. Assim, em cada situao em que um corpo se encontra, podemos associar a ele uma quantidade de energia.

De forma semelhante, uma carga eltrica tem associada a ela uma energia potencial eltrica devido sua posio dentro de um campo eltrico.

Leia com ateno o contedo que segue e obtenha uma melhor compreenso sobre os conceitos de energia potencial eltrica e potencial eltrico.

Seo 1Energia potencial eltrica

Vamos considerar um sistema em que uma carga de prova q colocada numa regio onde existe um campo eltrico. O sistema (carga de prova e campo eltrico) fica dotado de energia potencial eltrica, ou seja, a fora eltrica adquire condies de realizar trabalho.

Vamos inicialmente analisar o trabalho sobre uma carga eltrica puntiforme num campo eltrico. Aps, faremos a relao do trabalho realizado pela fora eltrica com a energia potencial eltrica.

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Fsica III

Unidade 2

Trabalho realizado pela fora eltrica num deslocamento retilneo

O trabalho realizado por uma fora eltrica sobre uma carga eltrica puntiforme numa trajetria retilnea ao longo da linha de campo eltrico obtido levando-se em considerao a distncia que separa as cargas eltricas. Considerando que a distncia entre as cargas eltricas varia, a intensidade da fora eltrica varivel, conforme mostra a figura 2.1.

A B

Figura 2.1 Sistema formado por uma carga geradora de campo e uma carga de provaFonte: Elaborao do autor (2011).

De acordo com o sistema mostrado na figura 2.1, o trabalho realizado pela fora eltrica sobre a carga de prova para desloc-la da posio A at a posio B dado pela equao 2.1. Nesse descolamento, a carga de prova recebe do campo eltrico uma grande quantidade de energia atravs da fora eltrica.

(2.1)

Relao entre trabalho e energia potencial eltrica

A partir da equao 2.1, possvel obter o trabalho realizado sobre uma carga de prova para qualquer tipo de trajetria, ou seja, para uma trajetria qualquer.

A energia potencial eltrica corresponde ao trabalho que pode ser realizado pelas foras eltricas, desde a configurao que o sistema

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tem at uma configurao de referncia. Assim, considerando que uma carga Q estabelece um campo eltrico em torno do espao em que ela se encontra, ento esse espao ter diferentes valores de campo eltrico para diferentes posies. Portanto a fora eltrica tem valores diferentes para cada uma dessas regies onde o campo tambm varia, dependentemente da distncia.

Vamos considerar que a carga eltrica geradora de campo Q est fixa numa posio qualquer e permitir que uma carga eltrica de prova q se desloque desde a posio inicial rA at uma posio infinitamente distante rB(). O trabalho realizado pela fora eltrica nesse deslocamento dado pela equao 2.2.

(2.2)

Podemos, agora, estabelecer a relao entre o trabalho realizado pela fora eltrica num campo eltrico com a energia potencial eltrica do sistema.

Por convenincia, em geral usamos como configurao de referncia de um sistema de partculas carregadas (cargas puntiformes ou puntuais), com distncia entre as cargas infinita. Assim, se a configurao do sistema muda de um estado inicial para um estado final, a fora eltrica realiza trabalho sobre as partculas. A interao da fora eltrica sobre as cargas eltricas do sistema permite associar uma energia potencial eltrica U ao mesmo. A fora eltrica que age no sistema uma fora conservativa, ou seja, no dependente da trajetria do deslocamento das cargas.

A energia potencial eltrica numa condio inicial para um sistema dada pela equao 2.3.

(2.3)

A energia potencial eltrica para um sistema de cargas eltricas puntuais igual ao trabalho necessrio para deslocar as cargas eltricas em repouso desde as posies iniciais at as posies finais que configuram o sistema. Na configurao final do sistema, as cargas eltricas esto separadas duas a

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Fsica III

Unidade 2

duas por uma distncia Para um sistema, a energia potencial obtida pela soma algbrica das energias potenciais obtidas em cada par de cargas eltricas que constituem o sistema, USIST=U12+U13+U23+...+UNN. A relao trabalho e energia potencial eltrica pode ser expressa pela equao 2.4.

(2.4)

Resgatando as relaes estabelecidas na definio de campo eltrico, , podemos representar a fora eltrica como

. A variao de energia potencial eltrica do sistema pode ser analisada, considerando um deslocamento infinitesimal realizado pela carga de prova q, devido ao da fora eltrica, conforme mostra a equao 2.5:

(2.5)

onde ds o deslocamento infinitesimal realizado pela carga de prova q.

Com base nos contedos que estudou at o momento, voc convidado(a) a fazer uma pausa e observar o seguinte exemplo:

A figura a seguir ilustra um sistema formado por trs cargas eltricas puntuais, Q1 = 1.109C, Q2 = 3.109C e Q3 = 2.109C colocadas nos vrtices de um tringulo equiltero com lados iguais a 0,3 m, e que se encontra no ar. Determine a energia potencial eltrica associada a este sistema.

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Resoluo:

A energia potencial eltrica desse sistema obtida pela soma algbrica das energias potenciais eltricas em cada par de cargas, ou seja, U12, U13 e U23.

Observe que o resultado negativo significa que um trabalho negativo teria que ser realizado para trazer as cargas desde uma distncia infinita at suas posies finais.

Seo 2Potencial eltrico

O potencial eltrico V de um ponto P no espao definido como sendo a quantidade de energia potencial eltrica U por unidade de carga de prova q, colocada nesse ponto, conforme a equao 2.6:

(2.6)

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Fsica III

Unidade 2

A unidade de potencial eltrico ou simplesmente potencial, no S.I. o Volt [V], definido por , o que significa a energia de 1 joule por 1 coulomb de carga. A diferena de potencial eltrico, entre dois pontos A e B, ou seja, inicial e final igual diferena de potencial entre os dois pontos, conforme a equao 2.7:

(2.7)

A equao 2.7 pode ser reescrita conforme a equao 2.8, a qual relaciona a diferena de potencial eltrico com o trabalho sobre uma carga eltrica de prova q. A diferena de potencial eltrico entre dois pontos do espao , portanto, o negativo do trabalho realizado pela fora eltrica para deslocar uma carga unitria de um ponto para outro do espao. Assim, a diferena de potencial pode ser positiva, negativa ou nula, dependendo dos sinais e dos valores absolutos da carga q e .

(2.8)

Se considerarmos a energia potencial inicial nula no infinito, como referncia, Ui = 0, o potencial eltrico V no infinito tambm ser nulo, e a equao 2.8 pode ser reescrita conforme a equao 2.9, para definir o potencial eltrico em qualquer ponto do espao.

(2.9)

Em sistema formados por partculas cujas dimenses so atmicas, a unidade de energia pode ser representada de forma conveniente por meio de eltron-volt (eV), que a energia igual ao trabalho necessrio para deslocar uma carga elementar como a do prton ou do eltron, atravs de uma diferena de potencial de 1V. Visto que , o valor absoluto desse trabalho obtido por .

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Seo 3Superfcies equipotenciais

Superfcies equipotenciais so formadas por um conjunto de posies equidistantes no espao em relao a uma carga eltrica. Os pontos ou posies que pertencem a uma superfcie equipotencial possuem o mesmo potencial eltrico. O trabalho realizado sobre uma carga de prova para desloc-la de uma superfcie equipotencial para outra no depende da localizao dos pontos (posies) inicial e final e nem da trajetria entre esses pontos.

O vetor campo sempre perpendicular superfcie equipotencial correspondente. Por simetria, as superfcies equipotenciais produzidas por uma carga eltrica puntiforme ou qualquer distribuio de cargas com simetria esfrica so uma famlia de esferas concntricas, conforme mostra a figura 2.2(a). Se considerarmos uma distribuio de cargas com simetria plana, as superfcies equipotenciais sero planas e paralelas em relao distribuio de cargas para um campo eltrico uniforme, conforme mostra a figura 2.2(b).

Linha de campo eltrico

Superfcie equipotencial

Linha de campo eltrico

Superfcie equipotencial

a) b)

Figura 2.2 Superfcies equipotenciais (a) para uma carga puntiforme e (b) para um campo eltrico uniforme Fonte: Elaborao do autor (2011).

As superfcies equipotenciais constituem um conjunto de posies onde uma carga eltrica tem energia potencial eltrica especfica. O potencial eltrico pode ser obtido a partir do campo eltrico numa regio do espao, atravs das superfcies equipotenciais associadas s linhas de campo eltrico. Veremos a seguir o desenvolvimento necessrio para estabelecer essa