6g EAIEE LINEE DI TRASMISSIONE 2 - people.unica.it … · M. Usai 6g_EAIEE_ LINEE DI TRASMISSIONE_2 4 Per una linea di lunghezza infinita il termine , relativo all’onda riflessa,

M. Usai 6g_EAIEE_ LINEE DI TRASMISSIONE_2 1

6g_EAIEE_LINEE DI TRASMISSIONE_2

(ultima modifica 01/12/2017)

Teoria e applicazioni delle linee di trasmissione_2


6g_EAIEE_LINEE DI TRASMISSIONE_2

Teoria e applicazioni delle linee di trasmissione_2

Dalle equazioni armoniche nel tempo delle linee di trasmissione si

possono ottenere le seguenti equazioni differenziali ordinarie di

secondo grado in V(z) e I(z) rispettivamente:

dove la costante di propagazione è

• parte reale costante di attenuazione della linea in[Np/m] e

• parte immaginaria costante di fase della linea in [rad/m].

In realtà i parametri e non sono delle costanti reali perché in generale dipendono da

in modo complesso.

-1 mj R j L G j C

zI

dz

zdI zV

dz

zdV 2

2

22

2

2


Le soluzioni delle equazioni differenziali ordinarie armoniche nel tempo

per le linee di trasmissione, sono:

• gli apici + e – di V0 e I0 indicano onde che viaggiano nelle direzioni +z

e -z rispettivamente

e

• le ampiezza delle onde (V0+, I0

+) e (V0-, I0

-) sono legate dalle equazioni

precedenti.

Si può facilmente verificare che :

γ zγ z

γ zγ z

eI eIzIzIzI

eV eVzVzVzV

00

00

LjR

I

V

I

V

0

0

0

0


Per una linea di lunghezza infinita il termine , relativo all’onda riflessa, contenente il fattore e z si annulla , non ci saranno onde riflesse e viaggeranno solo onde nella direzione z + per cui si ha:

Il rapporto della tensione V(z) = V+(z) per la corrente I(z) = I+(z), per ciascun valore di z nel caso di una linea infinitamente lunga (per la quale si può ritenere che l’onda riflessa sia nulla) è indipendente da z ed è chiamata: impedenza caratteristica della linea:

Z0 e sono proprietà caratteristiche della linea, sia nel caso di linea di lunghezza infinita che di linea di lunghezza finita.

γ z

γ z

eIzIzI

eVzVzV

0

0

C jGL jωR e

Ω C jG

L jωR

G

γ

γ

L jωRZ0

j

CjzI

zV


Per le linee di lunghezza infinita le soluzioni sono:

Queste relazioni sono valide anche per le linee di lunghezza finita che

terminano con una impedenza caratteristica, ossia per le linee adattate.

Precisazione importante

•Dalla teoria dei circuiti si ha che il massimo trasferimento di potenza

al carico, per una sorgente di tensione data, si ha in “condizioni di

adattamento” quando l’impedenza del carico è il complesso coniugato

della impedenza della sorgente:

•Nella terminologia della linea di trasmissione, una linea è adattata

quando l’impedenza del carico è uguale alla impedenza caratteristica

della linea:

γ zγ z eIzIzI eVzVzV 00

*

gLZ Z

0LZ Z


Per stabilire le condizioni di linea adattata, si consideri il caso generale

di una linea di trasmissione finita con impedenza caratteristica pari a Z0 e

con una impedenza di carico alla estremità pari a ZL :

Le soluzioni delle equazioni differenziali ordinarie armoniche nel

tempo per le linee di trasmissione, sono:

Vg

+ Zg ZL

IL

VL Vi Zi

z=0

z’=l

z’=l-z z=l

z’=0

+ +

- - - z

(,Z0)

z

z’ 0’

0

γ zγ z

γ zγ z

eI eIzIzIzI

eV eVzVzVzV

00

00


Gli apici + e – di V0 e I0 indicano onde che viaggiano nelle direzioni +z e -

z rispettivamente

Per determinare i valori di si risolvono per z=l , le equazioni

relative alle soluzioni delle equazioni delle onde nelle due incognite

lLL

lLL

γ lγ lL

γ lγ lL

eZIVV

eZIVV

eZ

V e

Z

VIlI

eV eVVlV

l z

00

00

0

0

0

0

00

2

1

2

1

)(

)(

per

Vg

+ Zg ZL

IL

VL Vi Zi

z=0

z’=l

z’=l-z z=l

z’=0

+ +

- - - z

(,Z0)

00 e VV

z

z’ 0’

0

00 e VV


lLL

γ lγ l

γ lγ l

Lγ l

Lγ l

lLL

γ lγ l

γ lγ l

γ lL

γ lL

γ lγ lL

γ lγ lL

eZIV

ee

ee

IZe

Ve

V

eZIV

ee

ee

eIZ

eV

V

eV eVIZ

eV eVV

0

00

0

00

000

00

2

1

2

1

2

:

00

eeeeeeee

ee

essendo

γ lγ lγ lγ l

γ lγ l

γ lγ l

0

0

0

0)(

00)(

γ l eZ

Vγ l eZ

V

LIlI

γ l eVγ l eVLVlV


Ponendo e sostituendo le espressioni trovate di

nelle relazioni di partenza, si ottiene (riferimento emettitore):

Introducendo la variabile z’=l-z (distanza misurata dal carico) si possono

esprimere le stesse relazioni in riferimento al carico (riferimento ricevitore):

L

LL

I

VZ

z γ0L

z γ0L

0

L

z γ0L

z γ0L

L

e ZZe ZZ2Z

IzI

e ZZe ZZ2

IzV

ll

ll

z' γ0L

z' γ0L

0

L

z' γ0L

z' γ0L

L

e ZZe ZZ2Z

Iz'I

e ZZe ZZ2

Iz'V

00 e VV

lLL

lLL

eZIVV

eZIVV

00

00

2

1

2

1

)(

)(

0

0

0

0

00

γ zγ z

γ zγ z

eZ

V e

Z

VzI

eV eVzV


)( 0

)( 0

0

)( 0

)( 0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

00

00

00

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

zlLL

zlLLL

zlLL

zlLLL

γ z

lLL

γ z

lLL

L

γ zlLL

γ zlLLL

γ zγ zL

γ zγ zL

lLL

lLL

eZZI eZZIZ

I

eZZI eZZIV

eZ

eZIV

eZ

eZIV

I

eeZIV eeZIVV

eZ

V e

Z

VI

eV eVV

eZIVV

eZIVV


Utilizzando la nuova variabile z’, le equazioni precedenti, si possono

compattare ulteriormente con le funzioni iperboliche:

da cui, mettendo in evidenza i termini in ZL e in Z0:

si ottiene:

' sinh2 e ' cosh2 ' ' ' ' zeezee zzzz

'cosh'sinh'

'sinh'cosh'

00

0

zZzZZ

IzI

zZzZIzV

LL

LL

z' γz' γ0

z' γz' γL

0

L

z' γz' γ0

z' γz' γL

L

ee Zee Z2Z

Iz'I

ee Zee Z2

Iz'V


Dalle relazioni:

facendo il rapporto tra V(z’) e I(z’) → si ottiene l’impedenza Z(z’) alla

distanza z’, vista dal carico verso la linea:

' cosh'sinh'

' sinh'cosh'

00

0

zZzZZ

IzI

zZzZIzV

LL

LL

'tanh

'tanh

'coshsinh

'sinhcosh

0

00

0

00

γzZZ

γzZZZ

γzZγz'Z

γzZγz'ZZ

z'I

z'VZ(z')

L

L

L

L


Alla estremità della linea, dal lato della sorgente per z=0 e z’=l-z=l, il

generatore vede una impedenza d’ingresso Zi:

da cui il circuito equivalente sarà:

Questo modello circuitale consente di determinare facilmente la tensione Vi

e la corrente Ii in ingresso della linea e in qualunque altro punto della linea.

Ω γlZZ

γlZZZ

γzZZ

γzZZZZZ

L

L

lz'L

Ll z'zi

tanh

tanh

'tanh

'tanh

0

00

0

000

Vg

+

Zg Ii

Vi Zi

+

- -

ig

gi

gig

ii

ZZ

VI

VZZ

ZV


La potenza media trasmessa dal generatore ai terminali di ingresso

(input) della linea è:

La potenza media trasmessa al carico:

Per una linea priva di perdite, la potenza media trasmessa dal

generatore deve essere uguale alla potenza media trasmessa al carico :

lzziiiav IVP ',0*

Re2

1

LLLL

LzlzLLLav RIR

Z

VIVP

22

0',

*

2

1

2

1Re

2

1

Laviav PP


Se la linea si chiude sulla impedenza caratteristica Zl = Z0

l’impedenza della linea vista dal carico a qualunque distanza z’ dal

carico sarà: Z(z’) = Z0, essendo:

ed essendo: per z’=l-z si ottiene:

γ z

iγ zγ l

L

γ zi

γ zγ lL

eIeeIzI

eVeeZIzV

0

'0

0

'00

0

' cosh'sinh'

0' sinh'cosh'

zL

ZZ

LL

zLZZLL

eIzZzZZ

IzI

eZIzZzZIzV

'' sinh'cosh zezz

Ω ZγlZZ

γlZZZ

γzZZ

γzZZZZ

L

Li 0

00

000

0

00

tanh

tanh

'tanh

'tanh


Le relazioni trovate dimostrano che, quando una linea di trasmissione

finita si chiude all’estremità con la sua impedenza caratteristica, ossia

quando una linea finita è adattata: ,

le distribuzioni della tensione e della corrente sulla linea sono

esattamente le stesse di una linea di lunghezza infinita, per cui non

sono presenti onde riflesse.

0cZ Z

γ z

iγ zγ l

L

γ zi

γ zγ lL

eIeeIzI

eVeeZIzV

0


Linee di trasmissione utilizzate come elementi circuitali

per ottenere il massimo trasferimento di potenza

Le linee di trasmissione possono essere usate non solo come:

1. strutture per guide d’onda per trasferire potenza e informazione da un

punto ad un’altro della linea, ma

2. anche come elementi circuitali per le altissime frequenze UHF (Ultra

High Frequency) ossia per:

frequenze: f=300MHz 3 GHz e

lunghezze d’onda: =c/f=1m 0.1m

con c=300 106m/s velocità delle onde nel vuoto.

A tali frequenze gli elementi circuitali a parametri concentrati sono

difficili da realizzare e i campi dispersi diventano importanti e quindi

non trascurabili.


La progettazione di sezioni di linee di trasmissione può essere

finalizzata ad ottenere una impedenza induttiva o capacitiva per

adattare un carico arbitrario alla impedenza interna del generatore,

condizione per la quale è massimo il trasferimento di potenza.

Le lunghezze delle linee richieste per ottenere elementi circuitali, è

realizzabile in pratica nel campo delle UHF (Ultra High Frequency).

Al di fuori di questo campo di frequenze (f=300MHz 3 GHz) il loro

uso non risulta praticabile, infatti:

• alle frequenze più basse di 300 MHz le linee richieste tendono ad

essere troppo lunghe e

• per frequenze più alte di 3 GHz le dimensioni fisiche diventano

sconvenientemente piccole per essere dimensionate, per cui sarebbe

vantaggioso usare componenti di guide d’onda.

*

gcZ Z

M. Usai 6f_EAIEE_ LINEE DI TRASMISSIONE _1 19

Per una Linea senza perdite R=0 e G=0

a) costante di propagazione

(é una funzione lineare di )

b) velocità di fase

(costante)

c) impedenza caratteristica

(costante)

LCjjβαγ

LC

1up

C

LRjXRZ 0000


In molti casi i settori di linea di trasmissione possono essere

considerati privi di perdite , R=0 e G=0 da cui risulta che :

γ=+jβ ≃ jβ, con Z0 ≃ R0 e l’impedenza di ingresso Zi diventa:

ljljlj

C

L

Cj

LCjZ

CjGZ

βlZjR

βljRZR

γlZR

γlRZZZZ

L

L

lz'zL

Llz'zi

tantanhtanh e

R : essendo

tan

tan

tanh

tanh

000

0

00

00

000


Quando i settori di linea di trasmissione possono essere considerati privi

di perdite γ=+jβ ≃ jβ, con Z0 ≃ R0 e l’impedenza di ingresso diventa:

Attraverso questa espressione di Zi è possibile verificare come:

il comportamento delle onde piane incidenti normalmente contro una

interfaccia, sia del tutto simile

↓ alla propagazione di un’onda lungo una linea di trasmissione di

lunghezza limitata.

βlZjR

βljRZR

γlZR

γlRZZZZ

L

L

lz'zL

Llz'zi

tan

tan

tanh

tanh

0

00

00

000


Per studiare l’andamento delle onde piane nelle linee in relazione alla

impedenza di uscita Zl, si possono esaminare diversi casi particolari:

1. Linea aperta ZL=∞

2. Linea in corto circuito ZL=0

3. Linea in quarto d’onda (lunghezza della linea pari l=/4)

4. Linea in metà onda (lunghezza della linea pari a l=/2)

5. Linea con l’impedenza di carico uguale all’impedenza caratteristica,

ZL=Z0 .

6. Linea con impedenza di carico arbitraria pari a:

0 0

0 0

0 0

cosh sinh tanh

sinh cosh tanhL L

L L

V z' Z γz' Z γz Z Z γzZ(z') Z Z

I z' Z γz' Z γz Z Z γz


1) Linea priva di perdite aperta ZL=

0)tan( quando capacitica o negativa reattanza una è -

anche e 0tan quando induttiva o positiva reattanza una è -

, di funzionein ossia z,l linea; della lunghezza sua

della variareal variarepuò ingresso,d' morsetti dai vista linea della impedenzaL'

... 3, 2, 1,nper 12n4

λzper

2

2 2tan quando 0

e 2

λnzper

20

2tan quando

,2

2

tan

cottan

reattiva puramente è ingresso di impedenzal’ , Se

tantantan

tan

00

00

000

0

00

βlZ

βlZ

βzβl

Z

nzz

Z

nzz

Z

zlessendoβconz

jRβljR

βl

jRjXZ

Z

Ω jX βl

jR

βlj

R

βlZjR

βljRZRZ

i

i

i

i

i

i

i

zL

Li

L


per z n e 0 per z 2n 1 n 1, 2, 3,...2 4

i iZ Z

l

Reattanza induttiva

Reattanza capacitiva


aperta. estremità dalla radiazione della

e ricezione di

punto del prossimitàin oggetti degli magnetico ntoaccoppiamedell'

:causa a frequenze

alte alle tespecialmen one, trasmissidi linea della fine alla

infinita impedenzacon caricoun ottenere possibile ènon pratica Nella

[F] valoredi capacità unacon capacitiva impedenza una è

1/

1

0

000

ClZ

Clj

lLC

CLj

βl

jRjXZ

βlper

i

ii


2) Linea in corto circuito ZL=0

L’impedenza di ingresso è puramente reattiva e in funzione del valore di

l può essere induttiva o capacitiva e in particolare:

0 per z n e per z 2n 1 n 1, 2, 3,...2 4

i iZ Z

zjRβzjRjXZ

βzjRβlZjR

βljRZRZ

isis

LZL

Li

2tantan

tantan

tan

00

0

00

00

[H] L valoredi induttiva mpedenzai una è che

tan

e 1

0

0

l

LljlLCC

LjβljRjXZ

LCβC

LRβlSe

isis


0 per z n e per z 2n 1 n 1, 2, 3,...2 4

i iZ Z

Reattanza induttiva

Reattanza capacitiva

l


3) Linea di lunghezza pari a un quarto d’onda l=/4

Quando la lunghezza della linea è un multiplo dispari di /4,

z=(2n-1) /4 per n=1,2,3,… z=[(2/ ) (2n-1) /4 ]=(2n-1) /2

tan z=tan[(2/ )(2n-1) /4 ] ± da cui:

→

Una linea senza perdite con lunghezza pari a un quarto della lunghezza

d’onda, trasforma l’impedenza ai terminali d’ingresso nel prodotto del

suo inverso per la resistenza caratteristica al quadrato. Essa agisce

come un invertitore di impedenza, in particolare:

• in un circuito aperto, la linea in quarto d’onda equivale ad un corto

circuito ai terminali di ingresso .

• in un circuito in corto circuito, la linea in quarto d’onda equivale ad un

circuito aperto .

20

i

L

RZ

Z

0 L iZ Z

0l iZ Z

tan0

0 tan0

Z jR lLZ R

i R jZ lL


In realtà se la resistenza serie della linea in quarto d’onda non è

trascurabile, l’impedenza d’ingresso della linea in quarto d’onda in

corto circuito è una impedenza di valore molto elevato simile a

quella di un circuito risonate parallelo, ma non infinita.

4) Linea con lunghezza pari a metà della lunghezza d’onda l=n /2

Quando la lunghezza della linea è un multiplo intero di /2,

z=n /2 per n=1, 2, 3,… z=[(2/ ) n /2 ]= n

tan z=tan[n ]=0

da cui

Una linea senza perdite con lunghezza pari a metà della lunghezza

d’onda trasferisce l’impedenza del carico ai terminali d’ingresso

senza variazioni.

Ciò non è verificato per una linea con lunghezza pari a metà della

lunghezza d’onda, ma con perdite.

i LZ ZZ +jR tanβl

L 0Z =Ri 0 R +jZ tanβl

0 L


L’impedenza caratteristica Z0 e la costante di propagazione della linea γ

possono essere determinate da una sezione di linea attraverso le misure

della impedenza di ingresso Zi in a) condizioni di circuito aperto Zi0 e in

b) condizioni di corto circuito Zis.

Infatti in base alla relazione:

Queste relazioni generali sono valide per linee con e senza perdite.

000

0

L io 0

L is 0

tanh

tanh

linea con circuito aperto Z Z coth

linea in corto circuito Z 0 Z tanh

moltiplicando tra di loro le relazi

Li z z' l

L

Z Z γzZ Z Z

Z Z γz

Z l

Z l

1 -10

oni trovate si ottiene:

1 e tanh mis

io is

io

ZZ Z Z

z Z


5) Linea con l’impedenza di carico uguale all’impedenza

caratteristica ZL=Z0

infatti, per qualunque valore di z: Zi(z)=Z0= costante.

In questo caso ZL=Z0 si ha che l’onda riflessa si annulla.

00 00

0

tanh

tanhL

i z z' lL

Z Z γzZ Z Z Z

Z Z γz


6) Linea con impedenza di carico arbitraria

L’espressione generica della impedenza di linea sarà:

Si tratta di una espressione generica funzione Z(z) = f ( , ZL, Z0 , z).

Quando una linea di trasmissione si richiude alla sua estremità su una

impedenza di carico ZL diversa dalla impedenza caratteristica Z0,

sono presenti nella linea sia l’onda incidente (dal generatore), che

l’onda riflessa (dal carico).

0 0

0 0

0 0

cosh sinh tanh

sinh cosh tanhL L

L L

V z' Z γz' Z γz Z Z γzZ(z') Z Z

I z' Z γz' Z γz Z Z γz


Linea terminata sull’impedenza arbitraria

Essendo:

Mettendo in evidenza il termine:

e indicando con: si ottiene:

' 2 '00

0

' 2 '0

1 2

1 2

γ z zLLL

L

γ z zLL

Z ZIV z Z Z e e

Z Z

IZ Z e e

0 0

0 0

0

2

2

γ l z γ l zLL L

γ l z γ l zLL L

IV z Z Z e Z Z e

II z Z Z e Z Z e

Z

'0

2

γ zLL

IZ Z e

0

0

jL

L

Z Ze

Z Z


Il rapporto delle ampiezze delle

onde di tensione riflessa e incidente nel carico (z’=0) è chiamato

coefficiente di riflessione della tensione relativo alla impedenza del carico

ZL***. Procedendo in maniera analoga per la corrente si ottiene:

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

*** Esso ha una espressione analoga al coefficiente di riflessione di un’onda piana incidente

normalmente su una interfaccia piana tra due dielettrici, per la quale:

1con

12

'

12

)(

' 2'

0

0

' 2'

0

zγ z

LL

zγ z

LL

eeZZZ

IzI

eeZZI

zV

0

0

jL

L

Z Ze

Z Z

2 1

1 22 1

η -η Γ= = con η e η impedenze intrinseche dei due mezzi.

η +η


Si definisce lo standing wave ratio S (SWR), rapporto d’onda

stazionaria, ossia il rapporto tra la tensione massima e la tensione

minima in valore assoluto, lungo una linea finita:

Si ha che:

= 0 S=1 quando ZL=Z0 ( carico adattato)

= -1 S quando ZL=0 ( corto circuito)

= +1 S quando ZL ( circuito aperto)

S viene espresso in dB, poiché ha un campo di definizione molto grande.

Un valore di S elevato indica una potenza persa elevata.

1

1

min

max

V

VS

1

1

S

S


Per linee senza perdite le equazioni diventano:

-

' 2'0

0

' 2' 0

0

' 2'0

' 2' 0

12

12

'

12

12

'

zj zjL

Lz zjL

L

zj zjL

Lzjz jL

L

eeRZZ

IeeRZ

Z

IzI

eeRZI

eeRZI

zV

12

'

12

)(

' 2'

0

0

' 2'

0

zγ z

LL

zγ z

LL

eeZZZ

IzI

eeZZI

zV


Ponendo VL=IL ZL e ricordando che cosh j = jcos e che

sinh j = jsin , si ottengono le equazioni semplificate:

Se l’impedenza ZL=RL le ampiezza della corrente e della tensione

rispettivamente diventano:

' sin' cos'

' sin' cos'

0

0

zR

VjzIzI

zRjIzVzV

LL

LL

2 20 L

0

2 20

' cos ' /R sin '

/

' cos ' /R sin '

L

L L

V z V z R z

con R L C

I z I z R z


In generale per le linee senza perdite :

2

12z'per ....ossia 3, 2, 1,nper )1(2' 2per verificasi che

2) condizione

12

: è )I(z' di massimo valoreil e

1 2

:è )V(z' di minimo valoreil

2

2z'per ossia .... 3, 2, 1,nper 2' 2per verificasi che

1) condizione

12

: è )I(z' di minimo valoreil e

1 2

:è )V(z' di massimo valoreil

12

'

12

'

min

00

0

max

00

0

' 2'0

0

' 2'0

nnz

RZZ

I

RZI

nnz

RZZ

I

RZI

eeRZZ

IzI

eeRZI

zV

LL

LL

LL

LL

zj zjL

L

zj zjL

L


Se la linea con impedenza di carico è priva di perdite e solo resistiva:

ZL=RL e Z0=R0

il coefficiente di riflessione diventa reale reale:

e si hanno due casi:

• RL > R0 > 0 positivo e = 0

alla estremità della linea z’=0 la condizione (1) è verificata per n=0,

ossia |Vmax| e |Imin| si verificano anche per multipli pari di :

• RL < R0 < 0 negativo e = -

alla estremità della linea z’=0 la condizione (2) è verificata per n=0

ossia |Vmin| e |Imax| si verificano anche per multipli pari di :

0

0 RR

RR

L

L

2,... 1, 0,nper /2nz' o 2 2 ' nzM

2,... 1, 0,nper /2nz'

0

0

/2

/2

0

0

jL

L

Z Ze

Z Z


Le condizioni |Vmax| e |Imin| si verificano insieme per:

(1)

e le condizioni |Vmin| e |Imax| si verificano insieme per:

(2)

2,... 1, 0,n 2 2 '

max nzθ

2,... 1, 0,n 12 2 '

min nzθ

iatiinterscamb ma precedente caso del stessi gli sono minimi e massimi

risultano correnti le e tensionile cuiin di valorii 0 Se 0RRL


• Per RL > R0 |Vmax| e |Imin| si verificano per:

• Per RL < R0 |Vmin| e |Imax| si verificano per:

'2 2 o z' n /2 per n 0, 1, 2,...z nM

z' n /2 per n 0, 1, 2,...


Carta di Smith

Il calcolo delle linee di trasmissione, la determinazione della

impedenza di ingesso, l’impedenza di carico o il coefficiente di

riflessione spesso richiedono dei calcoli tediosi con i numeri

complessi, si può ovviare a ciò usando un metodo grafico di

soluzione. Il più conosciuto e largamente usato è la carta grafica di

P.H Smith.

ztanhjZR

ztanhjRZR

γztanhZZ

γztanhZZZZZ

L0

0L0

L0

0L0l z'0zi

j

0L

0L eZZ

ZZ


La carta si Smith è una rappresentazione grafica delle funzioni

resistenza e reattanza del carico ZL, normalizzate nel piano del

coefficiente di riflessione.

Per comprendere come la carta di Smith sia stata strutturata per

le linee di trasmissione prive di perdite, si esamini il coefficiente

di riflessione di tensione della impedenza del carico:

Si consideri l’impedenza del carico ZL normalizzata rispetto

all’impedenza caratteristica R0 della linea.

Dove r e x sono la resistenza e la reattanza normalizzate

rispettivamente.

Γjθ

0L

0L eΓZZ

ZZ Γ

jxrR

Xj

R

R

R

Zz

0

L

0

L

0

LL


L’equazione precedente può essere così scritta:

dove r e i sono rispettivamente le parti reale e immaginaria del

coefficiente di riflessione . La relazione inversa è:

Moltiplicando sia il numeratore che il denominatore per il

complesso coniugato del denominatore e separando le parti reale e

immaginaria si ottiene:

1z

1zjΓΓΓ

L

Lir

ir

ir

jθ

jθ

LjΓΓ1

jΓΓ1 jx r o

eΓ1

eΓ1

Γ1

Γ1z

Γ

Γ

ΓΓ1

Γ2 e x

ΓΓ1

ΓΓ1 r

22

r

2

22

r

22

i

i

i

ir


Se si riporta la prima di queste funzioni nel piano r - i per un dato

valore di r, il grafico risultante è il luogo per questo valore di r. Il

luogo può essere ottenuto esprimendo l’equazione come:

Questa è l’equazione di un cerchio avente un raggio pari a R=1/(1+r)

e centrato in r =a= (r/(1+r) e i = 0:

Per diversi valori di r si ottengono cerchi con raggio diverso centrati

in posizioni diverse sull’asse r.

La famiglia di cerchi r è mostrata nelle figure con linee a tratto

continuo riportate di seguito.

2 22

r i

r 1Γ - +Γ =

1+r 1+r

2 2 2

r iΓ -a +Γ =R


Carta di Smith in coordinate cartesiane


Carta di Smith in coordinate polari


Poichè per le linee prive di perdite solo la

parte del grafico all’interno del cerchio unitario nel piano (r , i) è

significativa la parte esterna può non essere considerata.

Si possono notare diverse proprietà salienti dei cerchi r:

1) I centri dei cerchi r giacciono sull’asse r .

2) Il cerchio r = 0 con raggio unitario centrato sull’origine è il più grande.

3) I cerchi r diventano progressivamente più piccoli come r aumenta da 0

a fino al punto (r=1, i=0) per circuito aperto.

4) Tutti i cerchi r passano per il punto (r=1, i=0)

0

0

1 L

L

Z R

Z R


Analogamente la seconda equazione può essere espressa come:

Questa è l’equazione di un cerchio avente un raggio R=1/|x| e centrato in

r=a=1, i=b=1/x:

Per diversi valori di x si ottengono cerchi con raggio diverso centrati in

punti diversi della retta r=1.

La famiglia dei cerchi x, giacente all’intero del contorno | |=1, è

mostrata con linee tratteggiate.

2

2 2 1 11r iΓ Γ

x x

2 2 2r iΓ a Γ b R


Questi luoghi hanno le seguenti proprietà:

1) I centri di tutti i cerchi x giacciono sulla retta r=1;

• quelli per x>0 (reattanza induttiva) giacciono al di sopra

dell’asse r , e

• quelli per x <0 (reattanza capacitiva) giacciono al di sotto

dell’asse r.

2) Per x = 0 il luogo diventa l’asse r .

3) Il cerchio x diventa progressivamente più piccolo come |x|

aumenta da 0 verso , sino al punto (r=1, i=0), di corto

circuito.

4) Tutti i cerchi x passano per il punto (r=1, i=0) .

La carta di Smith è una carta di cerchi r e di cerchi x nel piano r- i

per | |1 . Si può provare che i cerchi r e i cerchi x sono

ovunque ortogonali tra di loro.


L’intersezione di un cerchio r e di un cerchio x definisce un

punto che rappresenta l’impedenza di carico normalizzata

zL= r + jx. L’impedenza del carico reale è ZL=R0(r+jx).

La stessa carta può essere utilizzata in coordinate polari così che

ogni punto del piano z sia specificato dal modulo di | | e

dall’angolo di fase . Ciò è illustrato nella figura precedente dove

diversi cerchi | | sono riportati con linee tratteggiate e diversi

angoli sono riportati intorno al cerchio =1 .

I cerchi | | non sono normalmente riportati nelle carte di Smith

commerciali, ma una volta che viene rappresentata una certa

zL=r+jx in un punto P, diventa semplice disegnare un cerchio

centrato nell’origine O con raggio OP.

• La distanza dal centro al punto è pari al modulo | | del

coefficiente di riflessione e

• la fase é l’angolo che la linea passante per OP forma con

l’asse reale.


Questa determinazione grafica consente di evitare il calcolo di

utilizzando equazioni tediose.

Riassumendo:

1) Tutti i cerchi | | sono centrati nell’origine e i loro raggi variano

uniformemente da 0 a 1

2) l’angolo misurato rispetto all’asse positivo delle x, della linea

passante per l’origine e il punto rappresentativo di zL é uguale a

.

3) il valore nel cerchio r passante per l’intersezione del cerchio

| | e l’asse reale positivo (punto PM), é uguale al rapporto d’onda

stazionaria S (*)

(*) vedi pagina successiva

ivichi resist per cariRR

RR S

Γ1

Γ1

V

VS

0L

0L

min

max


(*) Infatti il cerchio || interseca l’asse reale in due punti PM sull’asse

reale negativo e Pm sull’asse reale negativo.

Questi punti rappresentano condizioni di carico puramente resistivo

essendo sull’asse reale x=0 e ZL=RL.

In particolare:

in PM r>1 e RL > R0 e

in Pm r<1 e RL < R0.

poiché per carichi puramente ohmici RL=SR0 rR

RS

0

L


Inoltre poiché l’ammettenza di linea normalizzata:

essendo:

espressione perfettamente uguale alla espressione di z.

Per cui nella carta di Smith

i cerchi a r= cost sono pure quelli a g= cost e

i cerchi a x= cost sono pure quelli a b= cost.

La stessa sezione di linea é rappresentata allora da due punti sul

diagramma di Smith a seconda che questo si intenda letta in impedenze o

in ammettenze.

Tali punti sono sullo stesso cerchio e diametralmente opposti.

1

1

z

1

Z

Z

Y

Yy 0

0

i

ii

Γ-1

Γ1 yΓ

I

IΓ


Inoltre essendo:

risulta che spostandosi di in avanti o indietro lungo una linea

l’impedenza si trasforma nella sua inversa.

4xz

1

4xyxz

4xx i

2


Esistono dei grafici utili per estendere l’uso del diagramma di Smith alle

linee leggermente dissipative.

Infatti per linee prive di perdite:

Per una linea con perdite, l’impedenza normalizzata ha una espressione

analoga a quella trovata per un impedenza senza perdite:

Il modulo di e quindi S non cambiano con z’, quindi si può usare la carta

di Smith per determinare e per una data zLdel carico , mantenendo

costante e ruotando in senso orario da di un angolo uguale a

2z’=4z’/.

In questo modo si localizza il punto per | |ej, che determina zi, che

normalizza l’impedenza di ingresso zi dall’esame di una linea senza perdite

di impedenza caratteristica R0, lunghezza z’ e impedenza di carico

normalizzata zL.

2 '1

2 '1

j zez z i j ze

2 '2 ' 2

2 ' 2 2 '0

112

1 1

z jΦz j βz'i

i Γz j βz' z jΦ

Γ e eZ Γe ez z con Φ θ βz'

Z Γe e Γ e e


Generalmente sono riportate due scale addizionali in z’/ lungo il

perimetro del cerchio | |=1 per facilitare la lettura del variazione di

fase 2(z) dovuta alla variazione della lunghezza della linea z:

•la scala esterna in senso orario (incremento di di z’) è chiamata

“wavelengths toward generator” e

•la scala più interna in senso antiorario (decremento di z’) é

chiamata “wavelengths toward load”


Adattamento di impedenza per circuiti a costanti distribuite

Quando una linea è chiusa su un’impedenza diversa da quella

caratteristica si ha disadattamento, nascono cioè riflessioni e

stazionarietà (onde stazionarie) con:

• distorsioni dovute al fatto che il carico assorbe una potenza funzione

della frequenza di lavoro,

• disuniformità nella distribuzione del campo elettromagnetico,

l’aumento della forza elettrica in alcune sezioni può causare scariche;

la disuniformità del campo magnetico e quindi delle correnti,

provocando maggiori perdite per effetto Joule,

• variazioni della frequenza del generatore quando questa dipende

dall’impedenza su cui esso è chiuso,

• danneggiamento del generatore a causa della potenza regressiva.

Il caso peggiore di disadattamento si verifica con il carico in corto

circuito o a circuito aperto.


Allo scopo di evitare questi inconvenienti si dispone nella sezione

più vicina al carico una struttura adattante tale che, col carico

assegnato, presenti alla linea la sua impedenza caratteristica.

Nei sistemi di trasmissione l’adattamento di impedenza dovrà essere

realizzato per tutte le frequenze della banda del segnale.

Poiché l’adattamento su tutta la banda è in pratica irrealizzabile, esso

si attua per la frequenza di massima distorsione, e lasciando poi che

per frequenze diverse il rapporto d’onda stazionario si scosti più o

meno rapidamente da 1.

I principali sistemi di adattamento di questo tipo realizzati con

strutture puramente reattive sono:

a) linea in quarto d’onda

b) transizione linea bilanciata- linea sbilanciata (balun***)

c) semplice tronco di linea in derivazione (stub)

d) doppio tronco di linea in derivazione (doppio stub).

***The origin of the word balun is “balanced to unbalanced”.


Impedenza di adattamento nelle linee di trasmissione

Le linee di trasmissione sono usate per la trasmissione di potenza e di

informazione.

Per la trasmissione di potenza in radiofrequenza si vuole che la

trasmissione dal generatore al carico avvenga con la minor perdita di

potenza possibile.

Ciò richiede che il carico sia adattato alla impedenza caratteristica della

linea in modo che il rapporto d’onda stazionaria sulla linea sia più vicino

possibile alla unità.

Per la trasmissione di informazione è essenziale che la linea sia adattata,

perché le riflessioni dai carichi non adattati alle giunzioni distorcono il

segnale che contiene l’informazione.


Linea in quarto d’onda

Un tratto di linea lungo /4, considerando i valori normalizzati, presenta

un’impedenza d’ingresso pari all’inverso dell’impedenza d’uscita: zi=1/zu.

Passando dai valori normalizzati → ai valori reali si ha:

Questa proprietà può essere usata per adattare un’impedenza Zu reale ad

una linea d’impedenza caratteristica Zi (supposta normalmente reale).

Basterà infatti realizzare un tratto di linea lungo /4 con impedenza

caratteristica Z0 pari alla media geometrica fra l’impedenza caratteristica

della linea e l’impedenza del carico.

zu= Zu/Z0 zi= Zi/Z0 Z0

/4

2i i 0 0 i u

u u

1 1 z Z Z Z Z Z

z Z










della linea e l’impedenza del carico.


/4

2i i 0 0 i u

u u

1 1 z Z Z Z Z Z

z Z










della linea Zi e l’impedenza del carico Zu .


/4

2i i 0 0 i u

u u

1 1 z Z Z Z Z Z

z Z



Questo risultato può essere sfruttato per adattare una linea ma solo

nel caso in cui le due impedenze, caratteristica e di carico, siano

puramente resistive. Il sistema di adattamento che fa uso di una linea

di lunghezza λ/4 prende il nome di trasformatore in quarto d’onda.

Con le condizioni imposte (Z0=R0 ) e (Zu=Ru ) la resistenza

d’ingresso della linea di lunghezza λ/4 diventa semplicemente:

→ Ri= R20 /Ru

20

i

L

RZ

Z


La resistenza che la linea vede in uscita coincide con quella d’ingresso del tronco in

λ/4 per cui per ottenere l’adattamento con un trasformatore in quarto d’onda, è

possibile imporre la seguente uguaglianza: Ri(λ/4)= R’20 /RL =R0

Da cui si ricava il valore della resistenza del tronco di linea a λ/4 per realizzare

l’adattamento sarà:

R’20 /RL =R0 →


L’adattamento si ottiene interponendo

tra la linea disadattata e il suo carico un

tratto di linea di lunghezza /4

(trasformatore in quarto d’onda).

Se ora facciamo in modo che la

resistenza d’ingresso del trasformatore

in quarto d’onda: Ri(λ/4) = Ro, la linea

di lunghezza l vedrà un carico di valore

Ro e quindi risulta adattata.

LRRR 00'


Transizione linea bilanciata linea sbilanciata

Una linea a due conduttori si dice bilanciata rispetto a un terzo conduttore

(di massa o di terra) quando in ogni sezione della linea, l’impedenza di

ciascuno dei due conduttori rispetto a massa è la stessa.

Se la linea è alimentata da un generatore di tensione bilanciato le tensioni

risulteranno in ogni sezione bilanciate;

le correnti nei due conduttori saranno uguali e opposte e nel terzo

conduttore la corrente risulterà nulla.

+

+

V

V

Z/2

Z/2


Se tali condizioni non sono verificate la linea si dice sbilanciata ( esempi :

linea bifilare con un conduttore a massa, cavo coassiale con un conduttore

esterno a massa).Si voglia risolvere il seguente problema:

trasferire potenza da una linea bilanciata con impedenza caratteristica Za a

una linea sbilanciata con impedenza caratteristica Zb

Connettendo le due linee si ha adattamento solo se l’impedenza della linea

sbilanciata è 1/4 di quella della linea bilanciata Zb=1/4 Za.

Ma in queste condizioni la linea bilanciata non sarebbe alimentata da un

generatore bilanciato in quanto le tensioni verso massa risulterebbero

uguali in modulo ma in fase tra loro.


Per ottenere il bilanciamento è necessario prolungare di /2 un tratto

della linea bilanciata , ottenendo tensioni sfasate di 180 gradi.

Questo é il metodo di adattamento chiamato stub semplice


Adattamento a singolo stub

L'adattamento della linea può essere ottenuto mediante l'uso di uno

stub ovvero un tratto di linea di trasmissione senza perdite in

parallelo chiuso in corto circuito o in circuito aperto e di lunghezza

opportuna.

Generalmente si utilizzano circuiti corto circuitati perché è molto

difficile realizzare una impedenza di valore infinito a causa della

radiazione per una linea aperta e per gli effetti di accoppiamento

con gli oggetti vicini.

Naturalmente, la differenza di lunghezza per uno stub a circuito

aperto rispetto a uno in corto circuito è un multiplo dispari di un

quarto d'onda.


Adattamento a singolo stub

La rete di adattamento è progettata per adattare una impedenza di

carico: ZL=RL+jXL a una linea di trasmissione senza perdite con

impedenza caratteristica Z0=R0.

Ciò significa che la rete di adattamento deve trasformare:

• la parte reale dell'impedenza del carico RL nella sezione di carico,

↓

al valore Z0 =R0 nella sezione BB'

e

• trasformare la parte immaginaria da XL sul carico,

↓

al valore 0 nella sezione BB'.


Quindi per ottenere le due trasformazioni per RL e XL, la rete deve avere

almeno due gradi di libertà, ovvero almeno due parametri variabili. I due

gradi di libertà sia per lo stub in parallelo che in serie si ottengono

variando la lunghezza l dello stub e la distanza d dal punto di

collegamento dello stub al carico .

Per adattare un’impedenza di carico ZL ad una linea senza perdite che ha

un’impedenza caratteristica R0 si può quindi collegare un singolo stub in

parallelo con la linea come in figura. Occorre determinare la lunghezza

dello stub l e la distanza dal carico d tale che l’impedenza equivalente in

parallelo sia uguale a R0 e la condizione richiesta è:

Yi=YB+YS=Y0=1/R0 .

Se si dividono tutti i termini per Y0 (o si moltiplicano per R0 ) si ottiene la

relazione normalizzata :

YB+YS=Y0=1/R0 → yB+yS =1 dove

• yB=R0YB per la sezione del carico e

• yS=R0YS per lo stub di corto circuito.


Singolo stub che adatta la linea modificando opportunamente

le lunghezze dei tratti di linea di adattamento d e l


Poiché l’impedenza di ingresso dello stub di corto circuito yS è

puramente suscettiva (puramente immaginaria), si può definire la yS

utilizzando la carta di Smith.

Doppio tronco di linea in derivazione (doppio stub)

Il metodo del singolo stub richiede che lo stub sia collegato alla linea

principale in un punto specifico, che dipende dalla impedenza di carico

e dalla frequenza di funzionamento. Ciò comporta difficoltà pratiche

per spostare le giunzioni nella locazione desiderata con un metodo

meccanico.

In questi casi un metodo alternativo per l’adattamento dell’impedenza è

quello di utilizzare due stub in corto circuito collegati alla linea

principale in posizioni fisse.


Doppio stub che adatta la linea

modificando opportunamente le lunghezze dei tratti di linea d0 e lA e lB


In questo caso la distanza d0 viene scelta arbitrariamente e mantenuta

costante, mentre le lunghezze dei due stub lA e lB vengono modificate per

adattarle all’impedenza del carico, data la ZL della linea principale.

Per ottenere l’adattamento dell’impedenza, la ammettenza totale d’ingresso

ai terminali B-B1 , vista dal carico, deve essere uguale alla conduttanza

caratteristica della linea, cioè:

YI=YB+YSB=Y0=1/R0 .

In termini di ammettenza normalizzata si ha: 1=yB+ySB.

Le impedenze del doppio stub possono essere determinate con la carta di

Smith.

Inoltre l’impedenza di adattamento con il doppio stub può essere collegata

con una sezione di linea di carico aggiuntiva come mostrato in figura. Ciò

aumentare le possibilità di adattamento della linea


Doppio stub con settore di linea addizionale al carico che adatta la linea

modificando opportunamente le lunghezze dei tratti di linea d0 , lA , lB e dL


In conclusione nella pratica per tutti questi bipoli di adattamento

realizzati con tronchi li linea di trasmissione, per la quale è nota

l’impedenza o ammettenza per unità di lunghezza, è possibile

calcolare l’impedenza equivalente effettiva ai morsetti AA’in

funzione delle lunghezze dei tratti di linea con i quali si realizzano i

bipoli.

Esprimendo l’impedenza di adattamento equivalente così ottenuta, in

funzione delle lunghezze dei diversi tronchi inseriti, si può

determinare per quali valori delle lunghezze si ottiene il valore ottimo.

Maggiore è il numero di rami del bipolo di adattamento realizzato,

maggiore è la possibilità di ottenere un adattamento ottimale. Infatti

risulta possibile agire su un numero maggiore di parametri ( maggiore

numero di lunghezze dei tronchi).


Gli stubs di adattamento si possono realizzare regolabili ( con lunghezza

variabile) in modo che l’adattamento possa essere messo a punto

durante le verifiche pratiche.

Con un singolo stub si potrà ottenere un adattamento perfetto solo per una

frequenza specifica.

Per una banda larga in frequenza si possono utilizzare diversi stubs di

adattamento inseriti opportunamente distanziati lungo la linea di

trasmissione principale.

La struttura risultante è simile a un filtro e per essa sono applicate le

tecniche di progettazione di filtri.

Documents

6g EAIEE LINEE DI TRASMISSIONE 2 - people.unica.it … · M. Usai 6g_EAIEE_ LINEE DI TRASMISSIONE_2 4 Per una linea di lunghezza infinita il termine , relativo all’onda riflessa,