6. Higidura oszilakorra

1. Sarrera Partikula baten higidurarik berezienetako bat.

Periodikoak

Naturan prozesu fisiko ugari dira ERREPIKAPENEKOAK ZIKLIKOAK: tarte finko batean errepikatu.

τ: periodoa “denbora beharrezkoa ziklo oso bate errepikatzeko”.

f, ν: mazitasuna “denbora-unitateko zikloen kopurua”.

s

Hz= s-11

f

Higidura periodiko eta harmonikoa daukagunean (desplazamendu sinusoidala) maiztasun

angeluarra erabili: 2 f

Partikulak oreka posizio egonkor baten inguruan oszilatzen duenean:- Ibilbide berdina noranzko batean eta kontrakoan- Ziklo osoa: partikula batek oreka posizioa bi aldiz zeharkatzen duenean.- Ia edozein sistemak , oreka posiziotik desplazatzean, oszilazio harmonikoak

deskribatu: Indar berreskuratzailearen ondorioz.

xki kxF

Hooke-ren Legea

oreka posizioarekiko desplazamendua

2. Osziladore harmoniko sinplea2.1. Adierazpen matematikoa.

Sistema mekaniko sinple bat kontsidera dezagun:

mk

xMalgukia konprimitzean indar berreskuratzaileak bere jatorrizko posiziora bueltatuko du eta alderantziz.F

a

Baldin izendatzen badugu: m

k0 0xx 2

0 Osziladore harmoniko sinplearen higidura ekuazioa

Ekuazio diferentzialaren soluzioa: 0( ) sinx t A t (Frogatu)

Hasierako baldintzen menpekoakAdibidez:

denean0

20

20

20 xx

A

0 0

0

arctgx

x

2. Osziladore harmoniko sinplea

A eta δ–ren interpretazio fisikoa:

)tsin( 0 (-1, 1) tartean beti A: x-en elongazio maximoaOszilazioaren amplitudea

0 t Denborarekin hazten den angelu bat: Fasea. Beraz, δ hasierako fasea izango da.

Higidura mota

Abiaduraren anplitudea

Azelerazioaren anplitudea

0( ) sinx t A t Higidura periodiko bat deskribatu.

Periodoa:

Frog:

2. Osziladore harmoniko sinplea

0( ) sinx t A t

δ = 0 denean.

2. Osziladore harmoniko sinplea

2.2. Adibideak

m

+ o 2 = 0

o = g l

l I MZ

l

+ o 2 = 0

o = mg l

I MZ + m l 2 m

Pendulu sinplea Pendulu balistikoa

m masa baten bibrazioa m masa bat flotatzen

x

T T

m

2 l

o = 2T l m

x + o 2 x = 0 A

x

m

x + o 2 x = 0

o = A g m

Steiner-en teoremaInertzia momentua masa zentroan

2 eta 3 ariketak

2. Osziladore harmoniko sinplea

2.3. Kontsiderazio energetikoak

Indar disipatiboak arbuiatuz Osziladorearen Energia Mekanikoa KONTSERBATZEN DA!!!(marruskadura, …)

Ep Ez energia aldaketa egongo da

max maxp z p zE E E E E v = 0 elongazio maximoan: x = A

v= vmax elongazio nuluan: x = 0

Ep(x=0) = 0 suposatuz:

Beraz…

2 2 2 2 2 2 2 2 20 0 0 0

1 1 1 1 1cos sin

2 2 2 2 2E mx kx mA t t mA kA

Ax 2maxp kA

2

1E max 2 2 2 2 2 2 2

0 0 0maxmax

1 1 1 1cos

2 2 2 2zE mx mA t mA kA denean

2. Osziladore harmoniko sinplea

2.3. Kontsiderazio energetikoak

Pendulu sinplean:

A = θmax eta k=mω02=mg/l

3. Osziladore harmoniko indargetua Osziladore erreal guztiek marruskaduraren bat jasan.

Q moduan sistemari energia kendu.

Azkenean osziladorea oreka egoerara bueltatu.

Kasu berezia: - - fF v x marruskadura indarra

marruskadura koefizienteahigiduraren aurkakoa

Newton-en 2.legea aplikatuz:

m

k0

m2

Osziladore harmoniko indargetuaren

higidura ekuazioa

γ = 0 higidura oszilakor askea (berezko periodoa)

γ < 0 higidura sasi-periodikoa0

0

2

Ekuazioaren soluzioa: nonsin( )tx Ae t 220 -

3. Osziladore harmoniko indargetua

sin( )tx Ae t

10. ariketa

Anplitudea (ez ktea) esponentzialki gutxitu: A1 = Ae-γτ.

Sistema Ω maiztasunarekin oszilatzen da:

γ ≥ ω0 denean higidura aperiodikoa (Ω ez existitu).

220 -

4. Osziladore behartua. Erresonantzia.Sistema indargetu batek oszilazioak mantendu ditzake kanpotik behartua bada.

F0coswtk

ρ

m

Indar behartzailea

Newton-en 2.legea aplikatuz:

2 002 cos

Fx x x t

m non

m

k0

m2

Soluzioa korapilatsua, baina existitzen da t zeinetatik aurrera: sistema egoera iraunkorrean

oszilazio iraunkorrak

Egoera honen soluzioa: ( ) cos x t X t Sistemak harmonikoki oszilatzen du.

egoera iragankorren ondoren…

4. Osziladore behartua. Erresonantzia.

Kasu honetan X eta δ ez dira hasierako baldintzen menpekoak baizik eta sistemaren karakteristiken menpekoak (F0, ω, m, k, ρ).

( ) cos x t X t

γ << denean indargetze txikia

Xmax ω ≈ ω0 ERRESONANTZIA