ESTADSTICA I

MEDIDAS DE

VARIACIN O DE

DISPERSIN

Lic. Mariza Crdenas Pineda

VARIACIN O

DISPERSIN

Varianza Desviacin Estndar

o Tpica

Coeficiente

de Variacin

Varianza de

la Poblacin

Varianza de

la Muestra

Desviacin

Estndar de

la Poblacin

Alcance o

rango

Alcance Intercuartil

Desviacin

Estndar de

la Muestra

MEDIDAS DE DISPERSIN

Las medidas de centralizacin proporcionan una informacin

incompleta del conjunto de datos.

Ejemplo: sean X e Y las notas de dos grupos de cuarenta alumnos,

con distribuciones de frecuencias:

xi ni

0 20

20 20

yi ni

9 3

10 34

11 3

Para ambas variables la media es

10, pero en el segundo caso 10 es

un valor ms representativo de los

datos que en el primero.

Las medidas de dispersin nos permiten valorar si el valor de la medida

de tendencia central es , o no es , representativo.

Alcance o Rango

Diferencia entre la mayor y la menor de las

observaciones

Alcance = xmayor xmenor

No toma en cuenta la forma en que estn

distribuidos los datos.

7 8 9 10 11

12

Alcance: 12 - 7 = 5

7 8 9 10 11

12

Alcance: 12 - 7 = 5

minmax xxr

Cuartiles

Los datos se ordenan de menor a mayor.

El alcance intercuartil es la distancia entre el tercer cuartil Q3 y el primer cuartil Q1.

25% 25% 25% 25%

1Q 2Q 3Q

Observacin

Menor

Observacin

Mayor

Medida de Variacion

Diferencia entre el primero y tercer Cuartil

No es afectado por valores extremos

3 1Interquartile Range 17.5 12.5 5Q Q

Rango Intercuartil

Data in Ordered Array: 11 12 13 16 16 17 17 18 21

Es uno de los parmetros ms importantes en estadstica

paramtrica, se puede decir que, teniendo conocimiento de la

varianza de una poblacin, se ha avanzado mucho en el

conocimiento de la poblacin misma.

La varianza nos mide la mayor o menor representatividad de la

media aritmtica

- Si la varianza es grande nos indica gran dispersin, la media

aritmtica no es representativa.

- Si casi todos los valores estn muy cercanos a la media

aritmtica entonces la varianza se acercar a cero, con lo que se

dice que la serie es concentrada.

VARIANZA

VARIANZA S2

2

2 1

N

i

i

X

N

Importante Medida de Variacion

MuestraVariacion respecto a la media

Varianza de una Muestra:

Varianza de una Poblacin:

2

2 1

1

n

i

i

X X

Sn

Desviacin cuadrtica promedio con relacin a la media de la Poblacin

Varianza de la Poblacin

N

fx 22 )(

clase de marcax

VARIANZA DE LA

POBLACINDatos Agrupados

2

2 1

N

i

i

X

N

VARIANZA DE LA MUESTRADatos agrupados

clase de marcax

2

2 1

1

n

i

i

X X

Sn

Simbologa

S2 :Varianza de la muestra

2 : Varianza de la Poblacin

VARIANZA

1

1

2

2

n

xx

s

n

i

i

N

xxN

i

i

1

2

2

1

1

2

2

n

fxx

si

m

i

i

N

fx i

m

i

i

1

2

2

Datos No Agrupados Datos Agrupados

DESVIACION ESTANDAR Es la ms Importante Medida de Variacin

MuestraVariacion respecto a la Media

Tiene la misma unidad que los datos originales

Desviacin Estandar de una muestra :

Desviacin Estandar de una poblacin:

2

1

1

n

i

i

X X

Sn

2

1

N

i

i

X

N

La desviacin estndar o tpica siempre es positiva porque la

varianza tambin lo es.

La desviacin estndar o tpica es la medida de dispersin ptima,

ms exacta, ms estable y ms utilizada, sirviendo de base para las

medidas de asimetra, estadsticos tpicas y correlacin.

Cuanto ms se acerca a cero la desviacin ms concentrada es la

serie.

Suele decirse que cuando la desviacin estndar o tpica es

menor que la media aritmtica la serie es concentrada y s la

desviacin estndar o tpica es mayor que la media aritmtica la

serie es dispersa.

DESVIACIN ESTNDAR O

TPICA

Desviacin Estndar de la Poblacin

Datos Agrupados

N

fxf 22 )(

clase de marcax

Desviacin Estndar de la Muestra

Datos Agrupados

1

)( 22

n

fxxfss

clase de marcax

Ejemplo Desviacin Estndar

de Datos Agrupados

CLASE MARCA FRECUENCIA M X FREC. (Marca - Media)2

x Frecuencia

1 - 3 2 1 2 66.94 66.94

4 - 6 5 3 15 26.85 80.55

7 - 9 8 5 40 4.76 23.80

10 - 12 11 7 77 0.67 4.69

13 - 15 14 4 56 14.58 58.31

16 - 18 17 2 34 46.49 92.98

22 224 327.27

MEDIA 10.18 VARIANZA 15.584

DESV. ESTAND. 3.948

COEFICIENTE DE

VARIACIN

El coeficiente de variacin es la razn de la desviacin estndar a la media aritmtica, expresada como

porcentaje:

%)100(x

sCV

4-17

Interpretacin y usos de la

Desviacin Estndar

Teorema de Chebyshev: para cualquier conjunto de observaciones, la proporcin mnima de valores que est dentro de k desviaciones estndar desde la media es al menos 1 - 1/k2 , donde k es una constante mayor que 1.

4-14

Interpretacin y usos de la

Desviacin Estndar Regla emprica: para una distribucin de

frecuencias simtrica de campana:

Cerca de 68% de las observaciones estar dentro

de 1 de la media ();

Cerca de 95% de las observaciones estar dentro

de 2 de la media ();

Casi todas (alrededor de 99.7%) las observaciones

estarn dentro de 3 de la media ().

4-15

Muestra el tipo de distribucin de una serie de datos mediante

un indicador ms representativo que se le conoce como el ndice

de Asimetra.

El ndice de asimetra de Pearson se define como

MEDIDAS DE ASIMETRIA

s

MexAs

)(3

Interpretacin:Si As = 0, La distribucin es simtrica, esto es

Si As > 0, La distribucin es asimtrica positiva, esto es

Si As < 0, La distribucin es asimtrica negativa, esto es

MoMex

xMeMo

MoMex

ASIMETRIA:

la curva que forman los valores de la serie

presenta la misma forma a izquierda y derecha de

un valor central (media aritmtica).

N AccidentesDas

.10 25

.11 28

.12 29

.14 32

.15 29

.18 28

.20 23

N AccidentesDas

.10 30

.11 25

.12 22

.14 20

.15 18

.18 16

.20 12

N AccidentesDas

.10 5

.11 8

.12 9

.14 10

.15 12

.18 15

.20 18

MEDIDAS DE CURTOSIS

Compara la dispersin de los datos observados

cercanos al valor central con la dispersin de los datos

cercanos a ambos extremos de la distribucin

Se aplica cuando la distribucin es simtrica.

Se calcula mediante:

MEDIDAS DE CURTOSIS

5.01090

2575

PP

PPK

Interpretacin:Si K tiende a 0 la distribucin es normalSi K tiende a 0.5 es leptocrticaSi K tiende a -0.5 es platicrtica

CURTOSIS : Analiza el grado de concentracin que presentan los

valores alrededor de la zona central de la distribucin.

Para detectar tanto asimetra como curtosis, es til dibujarel histograma. Adems, para asimetra se comparan lasmedidas de posicin, Media, Mediana y moda.

Histograma del nmero de accidentes de

trnsito por da en Cal, 2000

0

10

20

30

40

.10 .11 .12 .14 .15 .18 .20

N accidentes

Da

s

Histograma del nmero de accidentes por das en

Bogot, ao 2002

0

5

10

15

20

.10 .11 .12 .14 .15 .18 .20

N accidentes

Da

s

Histograma del nmero de accidentes de

trnsito en Pereira, ao 2002

0

10

20

30

40

.10 .11 .12 .14 .15 .18 .20

N accidentes

Da

s

Curva de Distribucin

Normal

-3 -2 -1 +1 +2 +3

-3 -2 -1 +1 +2 +3

34.13%34.13%

13.60%13.60%

2.135%2.135%

0.135%0.135%

68.26%

95.46%

99.73%

-3 -2 -1 +1 +2 +3

xZRe

Resultado Estndar

-3 -2 -1 +1 +2 +3

120

10080 ZRe

Z

x

Re?

160

20

100

oZ

x

Re?

80

20

100

320

100160ZRe

100 16080

Ejemplo de Dispersin

Relativa

2

10x

An Distribuci

s 5

100x

Bn Distribuci

s

Cul de las dos tiene menor dispersin?

%2010010

2

An Distribuci

CV %5100100

5

Bn Distribuci

CV

La distribucin B tiene menor dispersin

Ejemplo de Dispersin

Relativa

Muestra el tipo de distribucin de una serie de datos mediante

un indicador ms representativo que se le conoce como el ndice

de Asimetra.

El ndice de asimetra de Pearson se define como

MEDIDAS DE ASIMETRIA

s

MexAs

)(3

Interpretacin:Si As = 0, La distribucin es simtrica, esto es

Si As > 0, La distribucin es asimtrica positiva, esto es

Si As < 0, La distribucin es asimtrica negativa, esto es

MoMex

xMeMo

MoMex

Medidas de dispersin

Caracterizar una distribucin solamente a travs de unamedida central no es apropiado.

Las distribuciones del ingreso de dos provincias con elmismo ingreso medio por hogar son muy distintas siuna de ellas tiene extremos de pobreza y de riqueza,mientras que la otra tiene poca variacin de ingresosentre familias.

Estamos interesados en la dispersin o variabilidad de losingresos, adems de estarlo en sus centros.

Ejemplo de dos conjuntos de datos con igual media

Datos con alta dispersinDatos con baja dispersin

Medidas de dispersin

Distribucin normal estandarizada

Si x es una observacin de una distribucin de media y

de desviacin estndar , el valor estandarizado de x es:

La distribucin normal estandarizada es la distribucin

normal N(0,1): su media es 0 y su desviacin estndar es 1.

Si una variable x tiene una distribucin normal N( , ),

entonces z posee una distribucin normal estandarizada.

xz

-3 -2 -1 +1 +2 +3

120

10080 ZRe

Z

x

Re?

160

20

100

oZ

x

Re?

80

20

100

320

100160ZRe

100 16080