6to basico santillana parte 2 - profesor

Empleo de potencias de 10 en ladescomposición canónica de un númeronatural, simplificación de la escritura denúmeros grandes expresándolos comoproducto en que uno de sus factores esuna potencia de 10, e interpretación delas unidades de área como el productode una unidad de longitud por sí misma.

• Descomponer números utilizandopotencias de 10.

• Escribir grandes números como unproducto en que uno de sus factoreses una potencia de 10.

• Escriben grandes números utilizandopotencias de 10.

• Expresan números como productos en donde uno de los factores es unapotencias de 10.

• Interpretan unidades de área como elproducto de una unidad de longitudpor sí misma.

70 Guía Didáctica Matemática 6

Propósito de la unidad

En esta unidad se propone que los y las estudiantes comprendan e interpreten el concepto depotencia como una multiplicación iterada. Los contenidos de esta unidad estarán centrados enaquellas potencias con base y exponente natural, donde los alumnos y alumnas podrán calcularpotencias e interpretar su significado dependiendo del contexto. Además, aprenderán amultiplicar y dividir potencias, y en relación a este contenido serán presentadas y enseñadas laspotencias de base 10, como un caso particular de las potencias, cuya utilidad radica, entre otras, en la expresión de grandes números con potencias de 10, en la multiplicación y división porpotencias de 10, etc.

La resolución de problemas permitirá conectar todos los contenidos enseñados en la unidad con lapresencia de las potencias en diferentes contextos, cotidianos y más científicos como por ejemplobiológicos y económicos, como una forma de motivar y acercar este contenido matemático a lavida real, y con esto lograr que los alumnos y alumnas obtengan aprendizajes más significativos y profundos.

A continuación, se presenta un cuadro que vincula los Contenidos Mínimos Obligatorios, losAprendizajes Esperados y los Indicadores de la unidad, que le permitirán evaluar los aprendizajesde sus alumnos y alumnas.

PotenciasUNIDAD

2

Contenidos MínimosObligatorios (CMO)

Aprendizajes esperados

Indicadores

Interpretación de potencias de basenatural y exponente natural, multiplicacióny división de una potencia de 10 porotra potencia de 10, multiplicación ydivisión de un número natural o decimalpositivo por una potencia de 10.

• Interpretar potencias comomultiplicación iterada.

• Escribir multiplicaciones comopotencias.

• Calcular potencias de base yexponente natural.

• Multiplicar y dividir por potencias de 10.• Utilizar las potencias de 10 en la

escritura de grandes números.

• Interpretan potencias como unamultiplicación iterada.

• Escriben multiplicaciones comopotencias.

• Calculan potencias de base yexponente natural.

• Multiplican y dividen por potencias de 10.

Unidad 2 Guia 6:Maquetación 1 30/10/08 18:10 Página 70

• Comprender el significado y calcular potencias que tienen base entera y exponente natural, y aplicar suspropiedades.

• Modelar situaciones o fenómenos en los que se dan relaciones de proporcionalidad o porcentaje, verificarproposiciones simples y aplicar habilidades básicas del proceso de resolución de problemas en contextosdiversos y significativos, evaluar la validez de los resultados obtenidos y el empleo de dichos resultados parafundamentar opiniones, tomar decisiones y aumentar la confianza en sí mismo.

• Interpretar potencias de exponente natural y cuya base es un número fraccionario o decimal positivo ypotencias de 10 con exponente entero, efectuar multiplicaciones con este tipo de potencias y aplicarlas ensituaciones diversas.

• Comprender el significado y calcular la raíz cuadrada de un número entero positivo y aplicarla en laresolución de problemas.

• Emplear formas simples de modelamiento matemático, aplicar habilidades básicas del proceso de resoluciónde problemas en contextos diversos y significativos utilizando los contenidos del nivel, y analizar la validez delos procedimientos utilizados y de los resultados obtenidos.

8ºBásico

5ºBásico

6ºBásico

7ºBásico

Relación entre los aprendizajes de la unidad y los de otros años

71Unidad 2

• Leer y escribir números naturales de más de seis cifras, fracciones y números decimales positivos,representarlos en la recta numérica, establecer relaciones entre ellos, reconocer algunas de sus propiedades,interpretar información expresada a través de dichos números y utilizarlos para comunicar información.

• Utilizar procedimientos de cálculo mental y escrito, empleando herramientas tecnológicas para efectuaradiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones con números naturales, y adiciones y sustraccionescon fracciones y números decimales positivos.

• Formular y verificar conjeturas simples y aplicar las habilidades básicas del proceso de resolución deproblemas en contextos diversos que requieren el uso de los contenidos del nivel.

• Comprender el significado de potencias de base natural y exponente natural, multiplicar y dividir porpotencias de 10, y aplicar la notación de potencias en situaciones diversas.

• Formular conjeturas, verificar proposiciones simples y aplicar habilidades del proceso de resolución deproblemas en contextos diversos utilizando los contenidos del nivel.

Esquema de la unidad

AplicaciónRepresentación

Diagrama de árbol

Operatoria

Potencias

Potencias de 10

Grande números

Par Impar

Multiplicación DivisiónBase

Factor

Exponente

Resolución de problemas

Multiplicación iterada


BIBLIOGRAFÍA

• Guzmán R., Ismenia. (2002). Didáctica de la Matemática como disciplina experimental. Pontificia Universidad Católica de Chile.• Rencoret B., María del Carmen. (2002). Iniciación matemática. Un modelo de jerarquía de enseñanza. Editorial Andrés Bello, Chile.

Sitios websTodo sobre potencias y sus propiedades. http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/potencia/index.htm

El portal de la educación.www.educarchile.cl

El paraíso de las matemáticas.www.matematicas.net

Recuerde que el contenido de estos sitios puede cambiar.

Errores frecuentes


El concepto de potencia suele provocar confusión en losalumnos y alumnas, ya que en un comienzo creen quetiene el mismo comportamiento que la multiplicación, por ejemplo piensan que 32 es equivalente a 3 · 2.

• Para evitar este tipo de error es conveniente presentar alos y las estudiantes el concepto de potencia a través desituaciones reales que sean familiares para ellos, pues deeste modo es más fácil comprender el concepto. Tambiénresultaría de gran utilidad emplear material concretocomo fichas, botones, etc. y, de este modo, ilustrardiversos casos.

Errores frecuentes Cómo subsanarlos

La operatoria combinada produce dificultades por el maluso de las prioridades de las operaciones, especialmenteahora que se agregan las potencias.

• Se sugiere presentar ejercicios que presentan errores enlos procedimientos de resolución y explicar por qué esincorrecto. También pedirles que identifiquen los erroresen ejercicios resueltos y que luego sean desarrolladoscorrectamente.

En la resolución de problemas que involucran potencias sepueden presentar los siguientes inconvenientes:• Dificultades en la comprensión lectora, impidiendo una

buena interpretación y posterior resolución.• Utilización incorrecta de los datos que entrega un

problema.• Entregar sólo una respuesta numérica, sin incluir una

unidad asociada.• Análisis de las estrategias utilizadas y soluciones

encontradas.

• Para evitar este tipo de inconvenientes es fundamentalque todos los contenidos de la unidad estén relacionadoscon una situación problemática apropiada, para que susestudiantes se familiaricen con la resolución deproblemas.

• Es importante incentivar la resolución de problemasutilizando los pasos: comprender, planificar, resolver yrevisar. Con esto sus estudiantes identificarán los datosdisponibles, lo que deben encontrar, la estrategia autilizar, ejecutar la estrategia de resolución, dar soluciónal problema y analizar la solución.


73Unidad 2

Referencias teóricas y consideraciones sobrealgunos contenidos

El crecimiento y decrecimiento exponencial son aplicaciones de las potencias que sepueden representar con mayor precisión utilizando un procesador de textos o planilla de cálculo. A continuación, mostramos, paso a paso, cómo representar el crecimientode una población de bacterias utilizando la herramienta graficar, usando un procesadorde textos.La siguiente tabla muestra, por períodos de 20 minutos, la cantidad de bacterias de unapoblación cualquiera.

1. Con el mouse seleccionar insertar, luego imagen y después gráfico. En tipo degráfico, seleccionar un gráfico de líneas y luego, el primer subtipo de gráfico. Borrar toda la información que está contenida en el ejemplo, para poder ingresar los nuevos datos.

Período de 20 minutos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Número de bacterias 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512

2. Ingresar los períodos de tiempo (del 1 al 10) partiendojusto donde comienza la columna A. A su vez, escribirla frase “número de bacterias” y las cantidadespartiendo desde la primera posición de la fila 1.En la pantalla se observará lo siguiente:

3. Ahora, en opciones de gráfico, ingresar en títulográfico: Crecimiento de una población de bacterias;en el eje de categorías (X): Período de 20 minutos y enel eje de valores (Y): Número de bacterias. Observar lasopciones que muestra el programa para poder hacerlelas modificaciones correspondientes al gráfico. Porúltimo, en pantalla se verá:



La introducción a la unidad queaparece en el Texto para elEstudiante, tiene como propósitoconectar a los alumnos y alumnas con las potencias a través de grandesnúmeros, ya que con ellas es posibleexpresarlos de forma simplificada.Para ello, son utilizados ejemplos delmundo astronómico como la cantidadde estrellas que hay en la Vía Láctea y la masa de la Tierra, y del ámbitoeconómico a través del presupuestode Chile. Con estas situaciones losalumnos y alumnas pueden conocer la presencia y aplicación real de laspotencias en la vida cotidiana, comolas mencionadas anteriormente yotras relacionadas con el ámbitocientífico (biológico, físico y químico),estadístico, etc. Además, este preámbulopermitirá tener información sobre losconocimientos y experiencias previasde sus estudiantes.

ACTIVIDAD INICIAL

Comente con los y las estudiantes lassituaciones planteadas en la introducción.Puede guiar la conversación con preguntascomo las siguientes:

• ¿En qué situaciones has visto oescuchado sobre grandes números?

• ¿Has escuchado hablar sobre potencias? • ¿Qué sabes de las potencias?• ¿Sabes como se representa una potencia?• ¿Sabes qué significa cada parte de una

potencia?

Para ampliar la información y las preguntasdel Texto para el Estudiante puedeconversar sobre las bacterias y su directarelación con las potencias. Para apoyaresta conversación y motivar a susestudiantes podría mostrar imágenes ofotografías de diversos tipos de bacterias, y más aún bacterias en proceso dereproducción, para que puedan ver yanalizar su comportamiento exponencial.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES

• Para favorecer la comprensión del problema y potenciar a los alumnos con máshabilidades visuales, puede pedir que representen la situación a través de algúndiagrama o esquema.

• Como una forma de desarrollar habilidades superiores, pida a sus estudiantesque expliquen el método utilizado para organizar la información y cómoencontraron las respuestas a las preguntas planteadas.

• Es importante enfatizar en el orden en que se organiza la información, porejemplo en un diagrama de árbol, ya que de eso depende que el esquemadiseñado represente correctamente la situación que se quiere modelar.


75Unidad 2

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

Para complementar las actividadespresentes en el Texto puede pedir a susalumnos y alumnas que realicen lassiguientes actividades:

• Eduardo está enfermo y con un examenmédico observaron que en su estómagohabían dos bacterias que causaron unainfección estomacal. Si este tipo debacterias se duplica cada una hora,¿cuántas bacterias tendrá Eduardoestómago después de 3 horas?,¿después de 4 horas?, ¿y después de 5 horas?

(Habilidades que desarrollan: conectary representar).

• Las Potencias favorecen la conexión con otras áreas del conocimiento, como la Biología. Por ello proponga asus estudiantes investigar sobre otrosmicroorganismos que se reproduzcan de forma exponencial y presentar alcurso su investigación con fotografías o imágenes.

(Habilidad que desarrollan: conectar y analizar).INFORMACIÓN COMPLEMENTARIA AL DOCENTE

• Esta unidad presenta las potencias como una forma de expresar unamultiplicación iterada de un mismo factor. Además, son enseñadas con el objeto de ampliar y profundizar los conocimientos y habilidadesadquiridos por los alumnos y alumnas en el eje de números. El trabajo deesta unidad se centra en potencias cuya base y exponente pertenecen alconjunto de los números naturales.

• Además de fomentar en los alumnos y alumnos la resolución de problemas,en este nivel cobra gran importancia desarrollar otras habilidades superiorescomo probar, fundamentar, explicar, justificar resultados obtenidos y algunaspropiedades matemáticas, por ello es importante que constantementepromueva y facilite este tipo de instancias con sus estudiantes.

• Es importante que los alumnos adquieran aprendizajes profundos ysignificativos, ya que como se mencionó en el párrafo anterior, las potenciasvolverán a ser estudiadas en séptimo básico, pero con un nivel de complejidadsuperior, ya que se amplía el conjunto numérico donde operar y, además, seagrega el conocimiento y aplicación de nuevas propiedades.

Texto para el Estudiante 38 y 39

CONVERSEMOS DE…

ActividadHabilidades quese desarrollan

1, 2 y 3 Conectar.


Escribe el número correspondiente todas lasdescomposiciones aditivas.


EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA

Para conocer los conocimientos previos de los alumnos y alumnas, se presenta una evaluación diagnóstica con el título¿CUÁNTO SABES?, que incluye lossiguientes criterios:

Ítem 1: Escribir el número correspondientea cada descomposición aditiva.Ítem 2: Escribir la descomposición aditivacorrespondiente a cada número.Ítem 3: Resolver multiplicaciones denúmeros naturales.Ítem 4: Resolver divisiones de númerosnaturales.Ítem 5: Resolver operatorias combinadascon números naturales.Ítem 6: Escribir como multiplicación yresolver.

¿CUÁNTO SABES?

ÍtemHabilidades que

se evalúan

1 Calcular.

2 Calcular y representar.

3, 4 y 5 Calcular.

6 Calcular y representar.

Ítem Completamente logrado Logrado

1 Escribe el número correspondiente a más de tres de lasdescomposiciones aditivas.

Escribe la descomposición aditiva correspondiente a todoslos números.

2 Escribe la descomposición aditiva correspondiente de másde cuatro de los números.

Resuelven correctamente todas las multiplicaciones denúmeros naturales.

3 Resuelven correctamente más de cinco de lasmultiplicaciones de números naturales.

Resuelven correctamente todas las divisiones de númerosnaturales.

4 Resuelven correctamente más de cuatro de las divisionesde números naturales.

Resuelven correctamente todas las operatorias combinadascon números naturales.

5 Resuelven correctamente más de seis de las operatoriascombinadas con números naturales.

Escriben correctamente todas las multiplicaciones yresuelven correctamente.

6 Escriben correctamente más de dos de las multiplicacionesy resuelven correctamente.


77Unidad 2

Posibles dificultades en la evaluación y remediales

En el ejercicio 5, se podría presentar unadificultad relacionada con las prioridadesde las operaciones, ya que es posible quelos y las estudiantes no recuerden cuálesson estas. Para evitar este inconvenienteque recuérdeles cuáles son estas. Es importante que al finalizar la evaluaciónrealice una revisión individual de laevaluación para que conozca las realidadesde cada estudiante. También seríainteresante y conveniente que realizarauna revisión general en el pizarrón, paraque sus estudiantes conozcan lasrespuestas correctas y las formas deresolución. Además, con esta instancia derevisión los alumnos y alumnas puedenrealizar aportes significativos al desarrollode la corrección de la evaluación y de estaforma se pueden reforzar y potenciar susconocimientos previos.


Medianamente logrado Por lograr

Escribe el número correspondiente a tres de lasdescomposiciones aditivas.

Escribe el número correspondiente a menos de tres de lasdescomposiciones aditivas.

Escribe la descomposición aditiva correspondiente de cuatrode los números.

Escribe la descomposición aditiva correspondiente de menosde cuatro de los números.

Resuelven correctamente cinco de las multiplicaciones denúmeros naturales.

Resuelven correctamente menos de cinco de lasmultiplicaciones de números naturales.

Resuelven correctamente cuatro de las divisiones de númerosnaturales.

Resuelven correctamente menos de cuatro de las divisiones de números naturales.

Resuelven correctamente seis de las operatorias combinadascon números naturales.

Resuelven correctamente menos de seis de las operatoriascombinadas con números naturales.

Escriben correctamente dos de las multiplicaciones y resuelvencorrectamente.

Escriben correctamente menos de dos de las multiplicaciones y resuelven correctamente.



CONTENIDO MÍNIMO OBLIGATORIO

Interpretación de potencias de basenatural y exponente natural,multiplicación y división de unapotencia de 10 por otra potencia de10, multiplicación y división de unnúmero natural o decimal positivo por una potencia de 10.


• Permítales que compartan las respuestas obtenidas y los procedimientos utilizados;de esta manera podrán ver distintos procedimientos para llegar a las respuestas.

• En la actividad 4 se presentan dos problemas de aplicación de potencias, endonde se espera que los y las estudiantes lo resuelvan utilizando potenciasdirectamente, pero es posible que muchos lo hagan por medio de multiplicacionessucesivas sin comprender que están involucradas potencias. Por ello, esconveniente que pida a sus alumnos y alumnas que expresen los datos delproblema como potencias y que luego realicen los cálculos necesarios, pues deesta forma en problemas futuros identificarán con más facilidad situacionesproblemáticas que pueden ser resueltas con potencias.

• En la situación relacionada con lanzamientos de dados, sería interesante quemuestre a sus estudiantes que al lanzar dos dados se obtiene el mismo resultadoque al lanzar un dado dos veces. Lo mismo ocurre con otras cantidades delanzamientos.

ACTIVIDAD INICIAL

Las preguntas planteadas en la secciónPARA DISCUTIR tienen por objetivoexplorar y están orientadas a introducir elconcepto de razón como la comparaciónentre dos cantidades por medio de unadivisión.


1 Representar.

2 y 3 Representar y calcular.

4 Aplicar y calcular.

EN TU CUADERNO


1, 2 y 3 Analizar y justificar.

EN EQUIPO



Para complementar las actividades delTexto puede realizar las siguientesactividades:

• Al lanzar un dado equilibrado puedesobtener 6 resultados posibles: 1, 2, 3, 4, 5 y 6.

– ¿Cuántos resultados posibles hay si selanzan dos dados a la vez? Escríbelos.

– ¿Y tres dados a la vez?– ¿Qué relación tienen tus resultados

con las potencias?– ¿Cuántos resultados posibles habría si

se lanzan 8 dados a la vez?– Expresa todos los resultados

obtenidos como potencias.

(Habilidades que desarrollan: calcular y analizar).

• ¿Cuál es el valor de 24?, ¿y el de 42?,¿cómo son estos resultados?, ¿por quécrees que sucede esto?

(Habilidades que desarrollan: calcular,analizar y justificar).

• Une con una línea cada potencia con elresultado correcto.

53 1

81 8

43 12

35 243

18 125

64

15

(Habilidad que desarrollan: calcular).

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO

• Es importante que recalcar a sus estudiantes las diferencias entreenunciados como: “dos elevado a cuatro” y “cuatro elevado a dos”, pues:

34 Significa multiplicar la base 3, 4 veces por si misma, resultando 81.43 Significa multiplicar la base 4, 3 veces por si misma, resultando 64.

• Un error frecuente que cometen los y las estudiantes es pensar que unapotencia significa multiplicar la base por el exponente. Por ello, esfundamental enfatizar en que ab no es multiplicar a por b, sino que ab

es multiplicar a por si mismo “b veces”.

79Unidad 2





• Es importante que cada uno de los ejercicios planteados en el Texto seanrevisados por el curso para verificar si los alumnos y alumnas estáncomprendiendo la forma de completar este tipo de diagramas. Una formaatractiva para los niños y niñas de hacerlo es pedir que salgan al pizarrón acompletarlo. Usted podría partir con la base del árbol y luego cada uno de ellos continúa con las ramas de los distintos árboles armados para los diferentesejercicios presentados.

• Procure la participación de todos sus alumnos y aproveche de preguntarles porqué esa rama debe estar ubicada en ese lugar y no en otro, pues de esta formaconocerá los razonamientos utilizados por sus estudiantes y, además, seasegurará de que cada uno está comprendiendo el contenido.


Interpretación de potencias de base natural y exponente natural,multiplicación y división de unapotencia de 10 por otra potencia de10, multiplicación y división de unnúmero natural o decimal positivo por una potencia de 10.

ACTIVIDAD INICIAL

La actividad inicial propuesta en el Textotiene por objetivo mostrar a los y lasalumnas que situaciones problemáticasque se pueden resolver utilizandopotencias, también pueden ser abordadasutilizando un recurso visual muyclarificador: el diagrama de árbol.

Es importante que los alumnos y alumnascomprendan el comportamiento de lasbacterias. Para ello pueden analizar laforma del árbol presentado en el Texto y puede explicar lo siguiente: – Después de 1 período de 1 minutos,

hay 2 bacterias (2 = 21)– Después de 2 períodos de 1 minutos,



hay 16 bacterias (16 = 24)– etc.

Es esencial es que los alumnos y alumnasdescubran la relación entre número deperíodos de 1 minuto y exponente de lapotencia.Destaque que la base es 2, porque en cadaperíodo las bacterias se dividen en 2nuevas bacterias. Sabiendo esto, puedeplantear a sus estudiantes preguntascomo: ¿Cuál sería la base de la potencia sicada cinco minutos las bacterias se dividenen 3?, ¿y en 5?

EN TU CUADERNO


1, 2 y 3Aplicar, representar y calcular.


81Unidad 2


Para complementar y reforzar lasactividades del texto puede realizar lassiguientes actividades:

• Rodrigo baja desde Internet 4 cancionescada hora, él se conecta 4 horas diarias,4 días a la semana y cada canción dura4 minutos. Si cada mes tiene 4 semanas:

– Haz un diagrama de la situación.– ¿Cuántos minutos baja de música

al mes?– ¿A cuántas horas corresponden?

(Habilidades que desarrollan: aplicar,representar y calcular).

• Para trabajar regularidades, puedepedirles que con la ayuda de sucalculadora encuentre el valor de lascuatro primeras potencias dadas. Luego, que descubran la regularidad que en ellas se presenta y que escribanel valor de las demás potencias.

112

1112

1 1112

11 1112

111 1112

1 111 1112

(Habilidades que desarrollan: calcular,usar herramientas y conectar).



• El diagrama de árbol es una herramienta visual que sirve para representary observar el comportamiento de distintas situaciones problemáticasrelacionadas con potencias y también con otro contenido matemático que los y las estudiantes conocerán en los próximos años: probabilidades.Por ello, es fundamental que los y las alumnas se familiaricen con suconstrucción y además que noten la utilidad y la importancia de realizardiagramas de árbol o algún otro tipo de diagrama para ilustrar unasituación, ya que este tipo de recursos nos muestra cómo estamoscomprendiendo un problema.

EN EQUIPO


1, 2, 3 y 4Aplicar, usar herramientasy representar.





ACTIVIDAD INICIAL

El objetivo de esta actividad es que losalumnos y alumnas puedan descubriralgunas regularidades presentes en laspotencias dependiendo del tipo de baseque tenga cada una de ellas: par o impar.Esta actividad pretende que los alumnos y alumnas a través de la observación deregularidades numéricas puedan llegar a la conclusión, pues de esta forma lograránuna mejor comprensión de ellas.


• En las actividades propuestas es importante que los alumnos y alumnas se ayudencon ejemplos para saber si las afirmaciones son verdaderas o falsas, y no tan solodejar los ejemplos para mostrar que son falsas. Trabajar con ejemplos en estos niveleses muy clarificador para los y las estudiantes, ya que están acostumbrados a trabajarcon situaciones numéricas. Además, es importante que enfatice en lo fundamentalque es la comprensión lectora para lograr respuestas y conclusiones acertadas.

• Para concluir podría pedir a sus estudiantes que completen una tabla como lasiguiente indicando si un resultado es par o impar, dependido de la base y elexponente de la potencia.

HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS

Habilidades que sedesarrollan

Actividad

Analizar y justificar.1, 2 y 3

BaseExponente

Par Impar

Par

Impar


83Unidad 2



• Es importante que recuerde a sus estudiantes los conceptos de número par e impar. Siendo los números pares aquellos números que son divisiblespor 2, y los números impares aquellos que no son divisibles por dos. Para verificar que comprendieron estos conceptos pregunte sideterminados números son pares o impares. También puede pedir quemencionen números pares mayores que 50 y menores que 64; y númerosimpares mayores que 61 y menores que 82, etc.

• Aprovechando esta instancia podría recordar a sus estudiantes el conceptode números primos. Para ello en ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS sepropone una actividad que mezcla los conceptos de potencias y númerosprimos que permitirán ejercitar y comprender mejor estos contenidos.

• También es importante que recuerde a sus estudiantes las prioridades delas operaciones que siempre están presentes en la vida escolar de susalumnos y alumnas, sobre todo ahora que incluimos potencias que tienen un importante orden de las operaciones: paréntesis, potencias,multiplicación y división, adición y sustracción.


Para reforzar y complementar las actividadespresentadas en el texto, puede pedir a susalumnos que desarrollen la siguienteactividad:

• Escribe como potencia la factorizaciónprima de los siguientes números. Guíate por el ejemplo.

36 = 6 • 6 = 3 • 2 • 3 • 2 = 32 • 22

18 = 45 =99 = 72 = 100 = 63 =49 = 81 =

(Habilidades que desarrollan:representar y calcular).

• Resuelve las siguientes operatoriascombinadas.

52 – 5 • 3 + 1=

(7 • 3 – 15)2 : 6 =

(12 – 3) • (5 – 3)2 =


• Escribe el signo >, < ó =, segúncorresponda:

42 + 32 _________ (4 + 3)2

73 + 32 ______ (7 – 3)2

(5 • 6)2______ 52 • 32

(Habilidad que desarrollan: calcular y clasificar).



CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS

Interpretación de potencias de basenatural y exponente natural,multiplicación y división de unapotencia de 10 por otra potencia de10, multiplicación y división de unnúmero natural o decimal positivo por una potencia de 10.

Empleo de potencias de 10 en ladescomposición canónica de unnúmero natural, simplificación de laescritura de números grandesexpresándolos como producto en queuno de sus factores es una potencia de10, e interpretación de las unidades deárea como el producto de una unidadde longitud por sí misma.

ACTIVIDAD INICIAL

El objetivo de esta actividad es que losalumnos y alumnas asocien potencias deexponente 2 con áreas de cuadrados,donde la base indica la medida del ladodel cuadrado y el exponente lasdimensiones de éste.


• En el ejercicio 1 sería interesante plantear a sus estudiantes qué otras cantidadesse pueden formar con los cuadraditos dados. Por ejemplo, con 30 cuadraditos sepueden formar cuadrados de 1, 4, 9, 16 y 25 cuadraditos.

• Además, podría preguntar qué cuadrados se pueden formar en total con unacantidad de cuadraditos dada. Por ejemplo, con 30 cuadraditos se pueden formar cuadrados de 25 cuadraditos (5 por lado), cuadrados de 4 cuadraditos (2 por lado) y un cuadrado de 1 cuadradito. Observar que esto se debe a que 1 + 4 + 25 = 30 (suma de cuadrados perfectos), pero esta es solo unacombinación, así que sería buen ejercicio preguntar a sus estudiantes por todas las posibilidades existentes con un número determinado de cuadraditos.

• Para hacer más lúdica estas propuestas y el ejercicio 1 del Texto, podría utilizarmaterial concreto y pedir que formen cuadrados, de esta forma quedará másclaro cuáles son todas las opciones disponibles. Para ello podría armar cuadradoscon papel lustre u otro tipo de papel.

EN TU CUADERNO


1 Calcular.

2 Clasificar.


ESTRATEGIA MENTAL


1 Calcular.



• Es importante que los alumnos y alumnas asocien el exponente 2 de unapotencia, como la representación del área de un cuadrado. Si consideranecesario y apropiado puede hablar con sus estudiantes sobre el volumende cubos y su relación con una potencia cuyo exponente es tres, quetrabajarán en Séptimo Año Básico. Esto debido a las dimensiones del cubo (ancho, alto, fondo).

85Unidad 2



Para potenciar y reforzar los aprendizajesde sus estudiantes, puede plantearproblemas adicionales como las siguientes:

• ¿Cuántas baldosas cuadradas caben en un lado de un cuadrado si para cubrir toda la superficie se utilizan 169 baldosas?

(Habilidades que desarrollan: aplicar y calcular).

• Completa la siguiente frase:

La última cifra de un cuadrado perfectopuede ser 0, ___, 4, ____, ó 9.

(Habilidad que desarrolla: analizar).

• Alejandra leyó el número 1 933 y sinhacer ningún cálculo supo que no podíaser un cuadrado perfecto. ¿Cómo lo supo?

(Habilidad que desarrolla: aplicar).






ACTIVIDAD INICIAL

El propósito de esta actividad es introducira sus estudiantes en la descomposición denúmeros utilizando potencias de 10,basándose en lo aprendido en añosanteriores sobre la descomposiciónmultiplicativa de números naturales.

Es fundamental que los alumnos yalumnas se acostumbren a trabajar deforma ordenada y completa, realizando los procedimientos correspondientes demanera razonada, y de esta formafavorecer la comprensión y no lamecanización de procedimientos.


• Para los ejercicios 1 y 2, es importante que mencione a sus estudiantes que todonúmero natural elevado a 0 es 1. El próximo año podrá explicar a sus estudiantesesta propiedad apoyándose por ejemplo en la división de potencias de igual base.Por ahora es suficiente que ellos conozcan esta propiedad y que la apliquencuando corresponda.

• Es importante que continuamente revise el trabajo realizado por sus alumnos yalumnas, especialmente los correspondientes a la sección MI PROGRESO, pues deesta forma podrá obtener información sobre los aprendizajes de sus estudiantes y también podrá detectar debilidades en ellos, y podrá tomar decisionesimportantes para mejorar sus aprendizajes.

EN TU CUADERNO


1 Calcular.



87Unidad 2



Para apoyar el aprendizaje del contenidode estas páginas y fomentar la resoluciónde problemas, puede plantear a susestudiantes las siguientes actividades:

• Escribe los siguientes números utilizandopotencias de 10. Verifica tus resultadosutilizando una calculadora científica.

1 727 =26 250 =

205 000 =965 482 =

1 709 542 =

(Habilidades que desarrollan: calcular).

• Une con una línea cada descomposicióncon el resultado correspondiente.



• La descomposición puede provocar confusión en los alumnos y alumnasdebido a la utilización de potencias de 10. Para favorecer la comprensión yel aprendizaje de sus alumnos y alumnas puede comenzar la enseñanza deeste contenido formando las equivalencias de potencias de 10. Por ejemplo,100 = 1, 101 = 10, 102 = 100, 103 = 1 000, etc.

• La idea es que los y las estudiantes descubran que en una potencia de base10 con exponente positivo, el exponente indica la cantidad de ceros queacompañan a la unidad.

• También podría utilizar una tabla que indique las posiciones de las potenciasde 10 y pedir que ubiquen cada dígito de un número dado en la posición delas potencias correspondiente. Además, colocar dígitos en la tabla y pedir queindiquen a que número corresponde. Todo esto favorecerá la comprensión delcontenido debido a la relación entre la potencia de 10 y el número ubicadoen la misma columna.

EVALUACIÓN FORMATIVA

Habilidades quese evalúan

1 y 2 Calcular.

3 y 4 Aplicar y calcular.

MI PROGRESO

Ítem

8 · 105 + 1 · 104 + 9 · 103 +7 · 102 + 5 · 101 + 3 · 100

1 · 105 + 8 · 104 + 9 · 103 +7 · 102 + 5 · 101 + 3 · 100

8 · 105 + 1 · 104 + 9 · 103 +7 · 102 + 3 · 101 + 5 · 100

819 735

198 735

189 753

819 753

Al terminar la actividad propuesta, pida asus estudiantes que revisen las respuestasen el solucionario del Texto. Si respondieronalguna en forma incorrecta, pídales queidentifiquen cuál fue el error y que locorrijan. Además, pida que reflexionenacerca de los contenidos que aprendieronhasta acá, que hagan un listado con losconceptos que entendieron, que escriban y aclaren las dudan que aún tienen.





Empleo de potencias de 10 en ladescomposición canónica de unnúmero natural, simplificación de la escritura de números grandesexpresándolos como producto en queuno de sus factores es una potencia de10, e interpretación de las unidades deárea como el producto de una unidadde longitud por sí misma.

ACTIVIDAD INICIAL

El objetivo de la introducción presentadaen el Texto es mostrar a los y lasestudiantes que existe una forma sencilla yabreviada de representar grandes números,y para ello es necesaria la utilización depotencias de 10. Es importante que recuerde a susestudiantes algunas equivalencias deunidades, por ejemplo:

1 metro = 100 cm1 kilómetro = 1 000 metros 1 kilogramo = 1 000 gramos


• Quizás para algunos estudiantes no será tan fácil transformar un número en sudescomposición como producto entre un número natural y potencias de 10. Es recomendable que permita la realización de procedimientos intermedios,cuando lo requieran, para llegar a la respuesta correcta. De esta forma tendrámás sentido para ellos el procedimiento directo.

EN TU CUADERNO


1 y 2 Representar.

3 y 4 Clasificar.

5Reconocer, seleccionar y conectar.


89Unidad 2



• En muchas ocasiones los alumnos y alumnas se encontrarán con grandesnúmeros, es importante mencionar la relevancia que tiene expresar estetipo de números como producto entre un número natural y una potenciasde 10, no solo como una forma más simple de expresar estas cantidades,sino porque más adelante será necesario para simplificar los procedimientosrelacionados con multiplicar y dividir grandes números.


Para reforzar y potenciar los aprendizajesde sus estudiantes puede plantear lassiguientes actividades:

• Averigua las distancias pedidas ycompleta la tabla descomponiendo cada distancia como producto entre unnúmero natural y una potencia de 10.

(Habilidades que se desarrollan:aplicar y calcular).

Lugares

Luna – Tierra

Sol – Mercurio

Distancia enkilómetros

Sol – Marte

Sol – Neptuno

Distanciaen metros




Interpretación de potencias de basenatural y exponente natural,multiplicación y división de unapotencia de 10 por otra potencia de10, multiplicación y división de unnúmero natural o decimal positivo poruna potencia de 10.


ACTIVIDAD INICIAL

El objetivo de la actividad inicial queplantea el Texto es mostrar a los alumnos y alumnas una forma rápida de multiplicarun número natural o decimal por unapotencia de 10. Para ello plantea unasituación inicial donde los alumnos debenmultiplicar para llegar a las respuestascorrectas. Es conveniente que los alumnosy alumnas multipliquen de formaconvencional, y luego cuando todostengan los resultados, puede preguntarque observan entre los resultados y losfactores a multiplicar. Luego usted hagauna comparación entre los resultadosobtenidos y las potencias de 10involucradas en cada ejercicio, paraanalizar la relación entre ellos y ademáscomo una forma de formalizar y sintetizareste contenido. De este modo, susestudiantes comprenderán mejor y daránmás sentido a la regla que será enseñada.


• Para verificar que sus estudiantes están comprendiendo el proceso paramultiplicar números con potencias de 10, podría pedir que en la actividad 1escriban una multiplicación con resultado equivalente al obtenido en cada ítem.Por ejemplo: 457 · 100 = 45 700 y 4 570 · 10 = 45 700.

EN TU CUADERNO


1 y 3 Calcular.

2 Conectar.


91Unidad 2



• La aplicación de estas reglas para multiplicar números por potencias de 10 es bastante cómoda y eficiente, pues permiten obtener un resultadorápidamente. Sin embargo, es fundamental que los alumnos y alumnas no olviden la forma convencional de multiplicar, sobre todo cuando haynúmeros decimales involucrados, ya que eso suele olvidarse. Por ello, es aconsejable que pida que verifiquen las respuestas obtenidasmultiplicando de manera tradicional, por lo menos, en algunos de losejercicios dados.


Para complementar las actividadespresentes en el Texto, puede presentar lossiguientes problemas:

• La luz viaja a una velocidad de 3 · 105

kilómetros por segundo.

– ¿A cuánto equivale este número?– ¿Cuál es la velocidad de la luz en

metros por segundo? – ¿Cuál es la velocidad de la luz en

centímetros por segundo?– ¿Cuál es la velocidad de la luz en

milímetros por segundo?


• Escribe una equivalencia para lossiguientes enunciados:

– Los biólogos afirman que unapersona tiene aproximadamente 35 · 1012 células en su cuerpo.

– Los astrónomos han calculado que la masa del Sol es aproximadamente1 983 · 1030 gramos.






Empleo de potencias de 10 en ladescomposición canónica de unnúmero natural, simplificación de la escritura de números grandesexpresándolos como producto en queuno de sus factores es una potencia de10, e interpretación de las unidades deárea como el producto de una unidadde longitud por sí misma.

ACTIVIDAD INICIAL

El objetivo de la actividad inicial presentadaen el Texto para es mostrar a los alumnos y alumnas una forma rápida para dividirnúmeros naturales o decimales por unapotencia de 10. Para esto el texto planteaun problema donde es necesario dividirpara responder las preguntas planteadas.Al igual que en el caso de la multiplicación,se aconseja que los alumnos y alumnasdividan de manera tradicional y luegoanalizar con ellos los resultados obtenidospara cada división dada, es decir, haceruna comparación entre las respuestas y las potencias de 10 involucradas en cadadivisión, para poder establecer las relacionesentre ellas. Esto permitirá formalizar ysintetizar este contenido, y además susestudiantes lograrán comprender la regla y darán más sentido al procedimiento que deben realizar.

EN TU CUADERNO


1 Calcular.


• Para verificar que sus estudiantes están comprendiendo el proceso para dividirnúmeros con potencias de 10, podría pedir que en el Ejercicio 1 escriban unadivisión con resultado equivalente al obtenido en cada ítem. Por ejemplo, 392 : 1 000 = 0,392 y 3 920: 10 000 = 0,392.


93Unidad 2



• La división es una operatoria que suele provocar confusión y problemas a muchos estudiantes, especialmente cuando hay números decimalesinvolucrados. Por ello es importante que continuamente los alumnos estén realizando divisiones de manera tradicional a pesar de conocer unaforma sencilla y rápida de hacerlo. Por ello es aconsejable que pida queverifiquen las respuestas obtenidas dividiendo de manera tradicional, por lo menos, en algunos de los ejercicios dados.


Para complementar las actividadespresentes en el Texto, puede presentar lasiguiente actividad:

• Completa la siguiente tabla:


• Une cada división con el resultadocorrecto.

25 : 103 0,25250 : 102 252 500 : 10 250250 000 : 106 0,0252 500 : 102 2,5

2 500


a b a : b

25 467 10 000

1 234 1 000

89 073 102

3 663 100 000

232 106

34 475 108



1 Representar.

2 Calcular.

2 Calcular.

MI PROGRESO

Ítem

Al terminar la actividad propuesta, pida asus estudiantes que revisen las respuestasen el solucionario del Texto. Si respondieronalguna en forma incorrecta, pídales queidentifiquen cuál fue el error y que locorrijan. Además, pida que reflexionenacerca de los contenidos que aprendieronhasta acá, que hagan un listado con losconceptos que entendieron, que escriban y aclaren las dudan que aún tienen.






La resolución de problemas se trabaja en forma transversal en cada unidad delTexto; sin embargo, en estas páginas sepresenta una estrategia de resoluciónespecífica de problemas con contenidos dela unidad para que los y las estudiantes laaprendan, la practiquen en otros problemasy luego que busquen otras estrategiasdistintas, pero considerando los siguientespasos: comprender, planificar, resolver y revisar.

BUSCANDO ESTRATEGIAS


1 y 2Aplicar, calcular yverificar.


95Unidad 2



Para apoyar las actividades del texto,puede plantear el siguiente problema quedebe ser resuelto utilizando los pasosvistos para la resolución de problemas:comprender, planificar, resolver y revisar.

• La velocidad de la luz es de 300 000km/seg. Un año luz es la distancia querecorre un rayo de luz en un año. Se necesitan 100 000 años luz pararecorrer la Vía Láctea.

– Escribe en metros la distanciacorrespondiente a un año luz.

– ¿Cuántos kilómetros habría que viajarpara recorrer la Vía Láctea?

(Habilidad que desarrollan: aplicar,calcular y verificar).

Pida a sus estudiantes que inventen unproblema que involucre uno o máscontenidos de la unidad, que lointercambien con algún compañero ocompañera y que lo resuelvan utilizandolas estrategias para la resolución deproblemas aprendidos.


INDICACIONES SOBRE EL PROBLEMA RESUELTO

• Es importante que mencione a sus estudiantes que hay varias formas de resolverel problema planteado en el Texto, como por ejemplo haber calculado cadadistancia dejándola expresada como número natural y luego sumar y restar paraobtener la mayor y la menor distancia entre los planetas respectivamente. Sinembargo, este proceso es más largo y poco eficiente.

• Enfatice que si los exponentes de las potencias de 10 no son iguales no esposible operar con ellos en adiciones y sustracciones.

• Puede ocurrir que a algunos de sus estudiantes les cueste comprender elproblema. En este caso, podría resultar conveniente que realice dos esquemassencillos de cuándo se produce la mayor y la menor distancia entre los planetas, y con estos comenzar a explicar nuevamente el problema.



Habilidades que se desarrollan

Aplicar y conectar.

Esta conexión tiene como propósitomostrar que la Matemática es fuente deinspiración para otras actividades, así comomostrar la necesidad de crear nombresnuevos, a medida que cambia elconocimiento, en particular, con losavances de la tecnología.

CONEXIONES


Para potenciar la actividad propuesta en el Texto, puede pedir a sus alumnos yalumnas que busquen palabras nuevas y/o nombres de productos que esténinspirados en elementos matemáticos que ellos conozcan.Por otra parte, puede conversar con ellos sobre la noción de infinito. ¿Cuál es elnúmero más grande que pueden imaginar? ¿Qué es mayor: el número de granitosde arena en la Tierra o el número de estrellas en el Universo?

(Habilidades que se desarrollan: seleccionar y analizar).


97Unidad 2


Recordar y conectar.

SÍNTESIS


SUGERENCIAS RESPECTO DE LA SÍNTESIS DE LA UNIDAD

Para clarificar dudas y consolidar loscontenidos de la unidad realice preguntascomo las siguientes:

• ¿Qué es una potencia?• ¿Con qué relacionas una potencia de

base 2?• ¿De qué depende que el resultado de

una potencia sea par o impar?• ¿Cómo podrías descomponer el número

54 454 utilizando potencias de 10?• ¿Cuál es el resultado de 24 + 3 • 52 – 13?• ¿Cuál es el valor de 50? ¿de 70? ¿30?

¿210? ¿qué concluyes?

(Habilidades que se desarrollan:recordar y conectar).

TÉCNICAS DE ESTUDIO

A continuación te presentamos otra técnica de estudio que le puede enseñar a susalumnos y alumnas: la tabla

Esta técnica consiste en organizar los contenidos que hemos visto en la unidad enuna tabla. Puede guiar su construcción de la siguiente forma:• Hacer una tabla con 4 columnas y el número de filas según la cantidad de

contenidos que quiera ubicar en ella.• Las columnas deben incluir los contenidos, datos del contenido, definición del

contenido y un ejemplo del contenido.• Para que la tabla este completada con todos los contenidos necesarios sería

apropiado que el profesor les indique cuáles son los contenidos que debe ubicaren la primera columna.

SUGERENCIAS RESPECTO DE LA SÍNTESISDE LA UNIDAD

Los mapas conceptuales, comoherramienta visual, permite a los alumnosy alumnas organizar, jerarquizar yestablecer relaciones entre los conceptostrabajados. Esta manera de sintetizar esuna excelente técnica de estudio, pues losalumnos y alumnas consolidan, organizany clarifican sus aprendizajes. Además,permite conocer el nivel de aprendizajeque han alcanzado sus estudiantes en laUnidad.


3 y 4 Representar.

5 Calcular.

6 Analizar.

7 y 8 Calcular.

9Aplicar, representar y calcular.




• En los ejercicios 1 a 8, la información que entrega la respuesta de los y lasestudiantes es limitada, ya que sin desarrollo es difícil saber cuáles son los erroresque cometen, que puede ser por falta de conocimiento o equivocación al marcarla alternativa, entre otras. Para evitar este inconveniente en los ítemes deselección múltiple, se sugiere pedirles que realicen algún tipo de desarrollo encada pregunta, pues de este modo podemos detectar en qué se estánequivocando y ayudarlos a alcanzar los aprendizajes que se espera que logren.

• En los problemas 9 y 10 podría ocurrir algo similar, ya que los y las estudiantespodrían contestar algunas preguntas sin realizar algún desarrollo escrito, situaciónque dificulta la detección de errores. Por ello también se sugiere pedirles queresuelvan cada problema, mostrando los pasos que siguieron para llegar a lasolución.

¿QUÉ APRENDÍ?


se evalúan

1 y 2 Calcular.

EVALUACIÓN SUMATIVA

Los ejercicios y problemas presentados enesta sección permiten evaluar losaprendizajes alcanzados por susestudiantes en la unidad. Para los ejerciciosde selección múltiple (1 a 8) considere:Completamente logrado, si contestacorrectamente todas las preguntas.Logrado, si contesta correctamente seis o siete preguntas.Medianamente logrado, si contestacorrectamente cuatro o cinco preguntas.No logrado, si contesta correctamentemenos de cuatro preguntas.


99Unidad 2


EVALUACIÓN FOTOCOPIABLE

En las páginas siguientes se presenta unaevaluación fotocopiable que usted puedeutilizar como evaluación sumativa de launidad. Su objetivo es analizar cuáles sonlos conocimientos que han adquirido losalumnos y alumnas en la unidad deecuaciones lineales, y con esta informaciónseguir determinadas líneas de acción. Por ejemplo, volver a enseñar uncontenido o realizar una actividadadicional, para que adquieran todos losaprendizajes que se pretendían con eldesarrollo de esta unidad.El tiempo estimado para la realización de la prueba es 40 minutos. Este tiempopuede ser modificado según lascaracterísticas de sus estudiantes.

Para que la evaluación le permita calificar a sus estudiantes se sugiere utilizar lasiguiente pauta:

Ítem Habilidades que se evalúan Puntaje Total

I Aplicar, calcular y analizar. 2 puntos cada una. 16 puntos

II. 1 Aplicar, representar y calcular. 4 puntos. 4 puntos

II. 2 Aplicar, analizar y calcular. 4 puntos. 4 puntos

II. 3 Aplicar, analizar y calcular. 4 puntos. 4 puntos

Puntaje total de la evaluación 28 puntos



1. El resultado de 52 · 7 es:

A. 125B. 150C. 160D. 175

2. Al calcular 01 + 10 – 20 + 02, resulta:

A. 2B. 0C. 1D. 3

3. Si a · n = an, entonces 2 · 3 + 3 · 2 =

A. 12B. 17C. 24D. 27

4. El producto entre 0,234 y 102 es:

A. 0,234B. 2,34C. 23,4D. 234

5. ¿Por cuánto se tiene que dividir 46,24 para obtener4,624?

A. 101

B. 102

C. 103

D. 104

6. La mitad de 4 · (32 – 23) es:

A. 4B. 2C. 0D. 1

7. La expresión 5 · 104 + 3 · 103 + 4 · 102 es:

A. 534B. 5 340C. 53 400D. 534 000

8. El número 25 000 es equivalente a:

A. 25 • 100B. 25 • 1 000C. 2,5 • 1 000D. 250 • 1 000

EVALUACIÓNPotencias

Nombre: Curso: 6° Fecha: Puntaje: Nota:

I. Marca la alternativa correcta.


101Unidad 2

II. Resuelve los siguientes problemas mostrando el desarrollo.

1. Un restaurante ofrece un menú para la cena que consta de un aperitivo, una ensalada, un plato de fondo, un plato yun bajativo.

MENÚAperitivo: Pisco Sour, Vaina o Jugo natural.Ensaladas: Lechuga con palta, Chilena o Choclo con pimentón.Plato de fondo: Cazuela de vacuno, Pastel de Choclo o Costillar de cerdo con puré de papas. Postre: Torta helada, Tartaleta de frutas o Melón relleno.Bajativo: Café, Té o Agua de hierbas

a) Dibuja el diagrama árbol correspondiente a las opciones del menú.b) ¿De cuántas maneras distintas puede cenar una persona que va a ese restaurante?

2. En un tipo de casa hay 6 puertas. Una villa está formada por 6 manzanas y cada manzana tiene 6 casas.

a) ¿Cuántas casas hay en una manzana?b) ¿Cuántas casas hay en una villa?c) ¿Cuántas puertas se necesitaron para construir todas las casas del mismo tipo en la villa?

3. Una bacteria se reproduce cada 6 minutos. Si se coloca una bacteria en un recipiente a las 12:17 horas:

a) ¿Cuántos minutos han pasado para que en el recipiente hayan 32 bacterias?, ¿cómo lo calculaste?b) ¿A qué hora habrá 128 bacterias en el recipiente?, ¿cómo lo supiste?c) ¿Cuántas preguntas debió contestar correctamente para tener el 80% de aciertos?


Formulación y verificación de conjeturasrelativas a la suma de los ángulosinteriores y exteriores de triángulos y cuadriláteros, y su generalización alcaso de polígonos.

• Comprender y obtener la medida delos ángulos interiores y exteriores enun triángulo.

• Conjeturar y comprobar propiedadesrespecto de la suma de las medidasde ángulos interiores y exteriores, entriángulos, cuadriláteros y polígonos.

• Distinguir los polígonos regulares eirregulares.

• Comprender y obtener la medida delos ángulos interiores y exteriores enpolígonos regulares.

• Calculan la medida de los ángulosinteriores y exteriores en un triángulo.

• Aplican propiedades respecto de lasuma de las medidas de ángulosinteriores y exteriores, en triángulos,cuadriláteros y polígonos.

• Distinguen polígonos regulares eirregulares.

• Calculan la medida de los ángulosinteriores y exteriores en polígonosregulares.


Propósito de la unidad

El objetivo de esta unidad es que los alumnos y alumnas descubran regularidades presentes entriángulos, cuadriláteros y otros polígonos, relacionadas con las medidas de sus ángulos. Laintención es que puedan aplicar las propiedades presentes en diversas figuras en la resolución deproblemas provenientes de diferentes contextos.

Esta unidad es una continuación de contenidos geométricos vistos en años anteriores y, además, esuna preparación para futuros aprendizajes. Por ello, es fundamental que sus estudiantes adquierandiversas habilidades para obtener aprendizajes profundos y significativos.Al igual que en otras unidades, esta es presentada a través de variadas situaciones problemáticas,con el objeto de que los alumnos y alumnas puedan vincular este contenido matemático condiversos problemas y su correspondiente resolución.

A continuación, se presenta un cuadro que vincula los Contenidos Mínimos Obligatorios, losAprendizajes Esperados y los Indicadores de la unidad, que le permitirán evaluar los aprendizajesde sus alumnos y alumnas.

ÁngulosUNIDAD

3

Contenidos MínimosObligatorios (CMO)

Aprendizajes esperados

Indicadores

Identificación de ángulos opuestos porel vértice en rectas que se cortan en elplano y de los ángulos que forman alcortar rectas paralelas por unatransversal y verificación de lasigualdades de medida que se dan en estos casos.

• Reconocer y obtener la medida deángulos opuestos por el vértice.

• Reconocer y obtener la medida deángulos formados por dos rectasparalelas cortadas por una transversal.

• Reconocen y calculan la medida deángulos opuestos por el vértice.

• Reconocen y calculan la medida deángulos formados por dos rectasparalelas cortadas por una transversal.

Resolución de problemas en contextosdiversos relativos al cálculo de la medidade ángulos interiores y exteriores enpolígonos regulares.

• Resolver problemas en contextosdiversos relativos al cálculo de lamedida de ángulos interiores yexteriores en polígonos regulares.

• Resuelven problemas de diferentescontextos relacionados con el cálculode la medida de ángulos interiores yexteriores en polígonos regulares.


• Caracterizar y efectuar transformaciones isométricas de figuras geométricas en el plano, reconocer algunas de sus propiedades e identificar situaciones en contextos diversos que corresponden a aplicaciones de dichastransformaciones.

• Modelar situaciones o fenómenos en los que se dan relaciones de proporcionalidad o porcentaje, verificarproposiciones simples y aplicar habilidades básicas del proceso de resolución de problemas en contextosdiversos y significativos, evaluar la validez de los resultados obtenidos y el empleo de dichos resultados para fundamentar opiniones, tomar decisiones y aumentar la confianza en sí mismo.

• Caracterizar elementos lineales en triángulos y verificar algunas de sus propiedades mediante construccionesgeométricas.

• Comprender el teorema de Pitágoras y aplicarlo en situaciones concretas.• Emplear formas simples de modelamiento matemático, aplicar habilidades básicas del proceso de resolución

de problemas en contextos diversos y significativos utilizando los contenidos del nivel, y analizar la validez de los procedimientos utilizados y de los resultados obtenidos.

8ºBásico

5ºBásico

6ºBásico

7ºBásico

Relación entre los aprendizajes de la unidad y los de otros años

103Unidad 3

• Diseñar y aplicar estrategias para la obtención del área de triángulos, rectángulos y paralelogramos encontextos diversos, comunicando los resultados en las unidades de medida correspondientes.

• Formular y verificar conjeturas simples y aplicar las habilidades básicas del proceso de resolución deproblemas en contextos diversos que requieren el uso de los contenidos del nivel.

• Establecer relaciones y comprobar teoremas relativos a la medida de ángulos en polígonos y rectas paralelascortadas por una transversal.

• Formular conjeturas, verificar proposiciones simples y aplicar habilidades del proceso de resolución deproblemas en contextos diversos utilizando los contenidos del nivel.

Esquema de la unidad

AplicaciónResolución de

problemasÁngulos

Opuestos porel vértice

Correspondientes Alternos

Trayectorias ArteEntre paralelas

Triángulos Cuadriláteros Polígonos

Regulares Irregulares

Diagonales

Internos Externos

Suma de ángulos exterioresSuma de ángulos interiores

Tipos de ángulos


Errores frecuentes


Si los conocimientos sobre básicos sobre elementos degeometría: punto, recta, semirrecta, rayo, ángulo, etc.; se pueden producir complicaciones en la profundizacióndel concepto de ángulo, y su presencia en triángulos,cuadriláteros y otros polígonos regulares e irregulares.

• La evaluación diagnóstica le permitirá conocer losconocimientos y experiencias previas de sus alumnos y alumnas. Si los conocimientos no son suficientes, esimportante clarificar las dudas y errores conceptuales que presenten. Si considera necesario debería volver aexplicar los conceptos básicos de geometría, ya quepueden provocar dificultades en el aprendizaje de loscontenidos de la unidad

Errores frecuentes Cómo subsanarlos

Problemas para identificar figuras geométricas cuando sonpresentadas en posiciones no estándar o a través dedefiniciones formales.

• Para evitar este tipo de inconvenientes procure mostrarcontinuamente diversas figuras geométricas en distintasposiciones, de esta forma desarrollará mejor sushabilidades espaciales.

Dificultades para obtener información espacial, debido a lacapacidad de pensar mediante imágenes.

• Para que esta complicación no se produzca, permita quesus estudiantes realicen una representación gráfica enaquellas actividades que no presenten imágenes (si esque lo requieren). Por ejemplo, al hablar de lasdiagonales desde un vértice de un hexágono regular,para algunos no es fácil imaginarse esto, por ello eldibujo correspondiente facilitará la comprensión y laposterior resolución de un problema y el logro demejores aprendizajes.

En la resolución de problemas que involucran ángulos sepueden presentar los siguientes inconvenientes:• Dificultades en la comprensión lectora, impidiendo una

buena interpretación y posterior resolución.• Utilización incorrecta de los datos que entrega un

problema.• Entregar solo una respuesta numérica, sin incluir una

unidad asociada (grados).• Análisis de las estrategias utilizadas y soluciones

encontradas.

• Para evitar este tipo de inconvenientes es fundamentalque todos los contenidos de la unidad estén relacionadoscon una situación problemática apropiada, para que susestudiantes se familiaricen con la resolución deproblemas.

• Es importante que incentive la resolución de problemasutilizando los pasos: comprender, planificar, resolver yrevisar. Con esto, sus estudiantes identificarán los datosdisponibles, lo que deben encontrar, la estrategia autilizar, ejecutar la estrategia de resolución, dar soluciónal problema y analizar la solución.


Ángulo Agudos Recto Obtuso Extendido Completo

Medida 0° � α � 90° α = 90° 90° � α � 180° α = 180° α = 360°

Representación gráfica

Referencias teóricas y consideraciones sobrealgunos contenidos

Un ángulo es la porción del plano limitada por dos semirrectas que comparten un mismoorigen llamado vértice. Cada semirrecta recibe el nombre “lado del ángulo”.Ejemplo

El ángulo anterior se puede nombrar utilizando la notación �AOB, de medida α, siendoO el vértice del ángulo.

Clasificación de ángulos según sus medidasSegún sus medidas un ángulo se puede clasificar en:

BIBLIOGRAFÍA

• Guzmán R., Ismenia. (2002). Didáctica de la Matemática como disciplina experimental. Pontificia Universidad Católica de Chile.• Rencoret B., María del Carmen. (2002). Iniciación matemática. Un modelo de jerarquía de enseñanza. Editorial Andrés Bello, Chile.

Sitios websDiferentes recursos de Geometría.http://www.sectormatematica.cl/geometria.htm

Todo sobre Geometría.http://concurso.cnice.mec.es/cnice2006/material098/geometria/index.htm

El portal de la educación.www.educarchile.cl

El paraíso de las matemáticas.www.matematicas.net

Recuerde que el contenido de estos sitios puede cambiar.

105Unidad 3

A

OBα

α α αα α



La presentación de la unidad queaparece en el Texto tiene comopropósito conectar a los alumnos y alumnas con la geometría, enparticular con los ángulos en distintasfiguras geométricas, a través de lapresencia que tiene esta parte de lamatemática en el arte. De esta forma,los alumnos y alumnas pueden verque ambas áreas del conocimientoestán muy ligadas, aunque a veces nolo notemos. Además, esta introducciónpermitirá tener información sobre losconocimientos y experiencias previasde sus estudiantes

ACTIVIDAD INICIAL

Comente con los y las estudiantes la presencia de la Geometría en el arte, así comoen otras áreas del conocimiento. Puede guiar la conversación con preguntas comolas siguientes:

• ¿Conoces alguna obra de arte que utilice la Geometría en su creación?• ¿Qué figuras geométricas conoces?• ¿Cuáles de ellas has visto en alguna obra de arte? • ¿Recuerdas qué es un ángulo?• Dibuja los tipos de ángulos que conoces. ¿Qué nombre recibe cada ángulo?

Es importante que refuerce, complemente y corrija las respuestas que entregan susestudiantes cuando sea necesario, de este modo la actividad y activación deconocimientos previos será más productiva y permitirá que el aprendizaje de loscontenidos de la unidad sean más profundos y significativos.


107Unidad 3


• Para ampliar la información sobre losconocimientos de sus estudiantes yademás para lograr una mayormotivación, puede pedir que realicenuna “galería de arte” que incluyadeterminados elementos y figurasgeométricas, como por ejemplo:ángulos, triángulos, cuadrados,rectángulos, rombos, romboides,trapecios, etc. Para el desarrollo de esta actividad es necesario que pida:hoja de bloc, témperas o lápices decolores. También podría pedir querealicen un collage de diferentes figurasgeométricas, para lo cual necesitaránrevistas. Cuando los alumnos y alumnasterminen esta actividad realicen unapresentación de los trabajos realizados,preguntando por las diversas figurasgeométricas que ahí aparecen y suscaracterísticas.

(Habilidades que desarrollan: recordary conectar).

INFORMACIÓN COMPLEMENTARIA AL DOCENTE

• Esta unidad se centra en el estudio de ángulos y sus características,relacionadas con diferentes elementos y figuras geométricas, comoángulos entre rectas paralelas, ángulos presentes en triángulos, encuadriláteros y en polígonos regulares e irregulares.

• Tal como en las otras unidades, es fundamental poner énfasis en lafundamentación y en el desarrollo de razonamientos sistemáticos yordenados en distintas situaciones problemáticas. En años anteriores el centro de la enseñanza de la geometría estaba en el dibujo y en laconstrucción de figuras, ahora estas representaciones están dadas y el objetivo es que los y las estudiantes desarrollen conocimientos yhabilidades relacionadas con observar, analizar, comparar, fundamentar y concluir sobre diferentes situaciones geométricas planteadas y suscaracterísticas, de modo que en futuros aprendizajes los y las estudiantesestén preparados para recibir nuevas características y propiedadesgeométricas y puedan visualizar el comportamiento general de ellas.


CONVERSEMOS DE…


1 y 2 Recordar y conectar.


Explica correctamente todos los conceptos dados.


EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA

Para conocer los conocimientos previos de los alumnos y alumnas, se presenta una evaluación diagnóstica con el título¿CUÁNTO SABES?, que incluye lossiguientes criterios:

Ítem 1: Explicar los conceptos geométricosdados.Ítem 2: Identificar lados, vértices y ángulosen figuras geométricas dadas.Ítem 3: Indicar el nombre correspondientea cada ángulo dado.Ítem 4: Medir ángulos dados contransportador.Ítem 5: Dibujar figuras geométricas dadas.Ítem 6: Dibujar ángulos dados.

¿CUÁNTO SABES?


se evalúan

1, 2 y 3 Recordar e identificar.

4, 5 y 6Representar y usarherramientas.

Ítem Completamente logrado Logrado

1 Explica correctamente más de tres de los conceptos dados.

Identifica correctamente lados, vértices y ángulos en todaslas figuras geométricas dadas.

2 Identifica correctamente lados, vértices y ángulos en dosde las figuras geométricas dadas.

Indica el nombre correspondiente a todos los ángulosdados.

3 Indica el nombre correspondiente a tres de los ángulosdados.

Mide correctamente todos los ángulos dados contransportador.

4 Mide correctamente más de tres de los ángulos dados contransportador.

Dibuja correctamente todas las figuras geométricas dadas.5 Dibuja correctamente tres de las figuras geométricasdadas.

Dibuja correctamente todos los ángulos dados.6 Dibuja correctamente dos de los ángulos dados.


109Unidad 3


En el ítem 1, es importante exigir a losalumnos y alumnas la realización de undibujo de cada elemento geométrico queestá definiendo para que tenga certeza delo que sus estudiantes están pensandosobre cada elemento geométrico. Si considera necesario podría pedir queprimero dibujen y luego definan a partirdel dibujo realizado, de esta forma losalumnos y alumnas podrán explicar conmayor facilidad cada concepto. Con todoesto podrá verificar si cada estudianterecuerda y reconoce las principalescaracterísticas de los conceptos pedidos.

Es importante que al finalizar la evaluaciónrealice una revisión individual de laevaluación para que conozca las realidadesde cada estudiante. También seríainteresante y conveniente que realizarauna revisión general en el pizarrón, paraque sus estudiantes manifiesten oralmentesus conocimientos, realizando aportessignificativos al desarrollo de la correcciónde la evaluación y de esta forma se puedenreforzar y potenciar sus conocimientosprevios, y con ello prepararlos de mejorforma para el estudio de esta unidad.


Medianamente logrado Por lograr

Explica correctamente tres de los conceptos dados. Explica correctamente menos de tres de los conceptos dados.

Identifica correctamente lados, vértices y ángulos en una delas figuras geométricas dadas.

Identifica incorrectamente lados, vértices y ángulos en todaslas figuras geométricas dadas.

Indica el nombre correspondiente a dos de los ángulos dados. Indica el nombre correspondiente a menos de dos de losángulos dados.

Mide correctamente tres de los ángulos dados contransportador.

Mide correctamente menos de tres de los ángulos dados contransportador.

Dibuja correctamente dos de las figuras geométricas dadas. Dibuja correctamente menos de dos de las figurasgeométricas dadas.

Dibuja correctamente uno de los ángulos dados. Dibuja incorrectamente todos los ángulos dados.




Identificación de ángulos opuestos porel vértice en rectas que se cortan en elplano y de los ángulos que forman alcortar rectas paralelas por unatransversal y verificación de lasigualdades de medida que se dan enestos casos.


• En los ejercicios 1 y 2, para favorecer la identificación de ángulos opuestos por elvértice, puede proponer a sus estudiantes que utilicen lápices de colores paramarcarlos, de esta forma será más fácil la visualización de ellos. En ACTIVIDADES sepropone una situación relacionada con lanzamientos de dados. Sería interesanteque muestre a sus estudiantes que al lanzar dos dados se obtiene el mismoresultado que al lanzar un dado dos veces. Lo mismo ocurre con otras cantidades de lanzamientos.

• Permítales que compartan las respuestas obtenidas y los procedimientosutilizados; de esta manera podrán ver distintos procedimientos para llegar a las respuestas.

ACTIVIDAD INICIAL

La sección PARA DISCUTIR se realiza con el objeto de explorar y están orientadas aintroducir el concepto ángulos opuestospor el vértice.

La actividad EN EQUIPO tiene comopropósito que los alumnos y alumnastrabajen de forma grupal, promoviendo el trabajo colaborativo entre loscompañeros y compañeras de curso. La actividad específica presentada en el Texto está orientada a que los y lasestudiantes comprendan cuáles son los ángulos opuestos por el vértice y,además, descubran la propiedad de estos tipos de ángulos.


1 Reconocer/Identificar.

2Reconocer/Identificar y calcular.

EN TU CUADERNO


1, 2, 3 y 4Reconocer/Identificar y analizar.

EN EQUIPO



• Para complementar las actividades delTexto puede dibujar rectas en las que seformen ángulos opuestos por el vértice y pedir a sus estudiantes que verifiquenque tienen igual medida.

(Habilidades que desarrollan: usarherramientas y verificar).


• El desarrollo de una perspectiva visual es algo que provoca problemas en algunos estudiantes. Por ello es importante que en geometría, y enparticular en este tema, presente figuras con distintas orientaciones, de este modo pueden adquirir más habilidades espaciales.

111Unidad 3





• Para que los alumnos y alumnas puedan visualizar de mejor forma los ángulos, si considera necesario puede pedirles que en la actividad 2 identifiquen de unmismo color aquellos ángulos que presentan una característica específica. Por ejemplo, marcar de color rojo los ángulos alternos internos y de color azul los ángulos alternos externos. Con esta metodología, al tener un ángulo marcadocon más de un color, los alumnos y alumnas podrán ver con mayor claridad queun ángulo puede tener distintas características dependiendo de los ángulos conlos cuales se compare.

• Es importante que cada una de las actividades planteadas en el Texto, se revisecon el curso para verificar si los alumnos y alumnas están comprendiendo larelación entre los distintos tipos de ángulos.

• También podría ser atractivo para sus estudiantes que presente en el pizarrón una figura que involucre rectas paralelas y transversales, pida a ellos que salgan al pizarrón y que lo completen.


Identificación de ángulos opuestos por el vértice en rectas que se cortanen el plano y de los ángulos queforman al cortar rectas paralelas poruna transversal y verificación de lasigualdades de medida que se dan enestos casos.

ACTIVIDAD INICIAL

La actividad inicial propuesta en el Textotiene por objetivo que los alumnos yalumnas descubran las regularidadespresentes en ángulos entre paralelas. Para ello, se pide que los y las estudiantesencuentren relaciones entre ángulosutilizando un transportador y que utilicenlos conocimientos sobre ángulos opuestospor el vértice aprendidos en las páginasanteriores.

Para que sus estudiantes puedan concluirque las propiedades que se cumplen enángulos entre paralelas podría pedir a sus estudiantes que dibujen un diagramacomo el que muestra el Texto y que midan con transportador los ángulos quese forman. De esta forma los alumnos yalumnas podrán ver con mayor facilidadlas relaciones que se forman en este tipode situaciones.

EN TU CUADERNO


1 y 2 Reconocer/identificar.


113Unidad 3


Para complementar y reforzar lasactividades del Texto puede dibujar rectasparalelas cortadas por una transversal ypedir a sus estudiantes que identifiquencuáles de esos ángulos son:

• Alternos externos.

• Alternos internos.

• Correspondientes.

(Habilidad que desarrolla: reconocer e identificar.)



• Sería interesante y de mucha utilidad que pregunte a sus estudiantes qué sucedería con los ángulos entre paralelas, si la recta transversal esperpendicular a las rectas paralelas. Para que las respuestas sean másfáciles de encontrar puede pedir a sus estudiantes que realicen en elcuaderno una figura que represente esta situación. Luego, para sintetizar y concluir puede dibujar usted una figura en el pizarrón y explicar por qué cada uno de los ángulos involucrados mide 90º.




Identificación de ángulos opuestos por el vértice en rectas que se cortanen el plano y de los ángulos queforman al cortar rectas paralelas poruna transversal y verificación de lasigualdades de medida que se dan enestos casos.

ACTIVIDAD INICIAL

Las actividades presentadas en el Texto son una continuación de las presentadasen las páginas anteriores, donde elpropósito es que los y las estudiantesapliquen lo aprendido sobre ángulos entreparalelas en el cálculo de ángulos y en laresolución de problemas relacionados contrayectorias.


• Es importante que los alumnos y alumnas tengan presente en la actividad 5 quelos ángulos adyacentes suman 180º. Esta información les sirve para obtenermedidas de ángulos y también para comprobar si las medidas obtenidas soncorrectas.

• Los y las estudiantes cuando comienzan a trabajar con ángulos, como estánacostumbrados a medirlos con transportador, suelen confundirse y muchas veces miden en vez de calcular con la información dada. En relación a esto, esimportante aclarar a los alumnos y alumnas que siempre que les pidan calcularmedidas de ángulos deben basarse en la información numérica dada y no en la apariencia de los ángulos. Por ejemplo, muchas veces los y las estudiantesasumen que ángulos son rectos por su apariencia, sin considerar la informaciónque tienen.

EN TU CUADERNO


3Reconocer/identificar y analizar.

4Reconocer/identificar,analizar y usarherramientas.

5Reconocer/identificar y calcular.


115Unidad 3



• Aprovechando la enseñanza de este contenido, podría ser una buenaoportunidad mencionar a los alumnos y alumnas los conceptos de ánguloscomplementarios y suplementarios, ya que se encuentran relacionados conel tema que se está trabajando y, además, son conceptos muy utilizados engeometría, tanto en este nivel como en los siguientes.

• Sería interesante que preguntara a sus estudiantes que otras relaciones enlos ángulos entre paralelas pueden observar. Por ejemplo, podría preguntarcuáles suman 180º.


• Pida a sus estudiantes que calquen lasfiguras de la página 73 y que a partir de cortes y dobleces verifiquen susrespuestas.

(Habilidad que desarrolla: verificar).


4

2 y 3



Formulación y verificación deconjeturas relativas a la suma de los ángulos interiores y exteriores de triángulos y cuadriláteros, y sugeneralización al caso de polígonos.

ACTIVIDAD INICIAL

El objetivo de esta actividad es que losalumnos y alumnas descubran cuántosuman los ángulos interiores de cualquiertriángulo. Para ello se propone larealización de una simple actividad lúdica que permitirá motivar a los y lasestudiantes y además mostrar estaimportante propiedad. Es importante que los alumnos y alumnas dibujen los tres tipos de triángulos: acutángulo,rectángulo y obtusángulo, pues de estaforma verán con mayor facilidad que esta propiedad es válida para cualquiertipo de triángulo.


• En la actividad 1 es importante que pregunte a sus alumnos y alumnos por quéen algunos casos no es posible construir un triángulo. El propósito de esteejercicio es que calculen la suma de los ángulos interiores y concluyan que solo es posible la construcción cuando la suma obtenida es exactamente 180º.

• En la actividad 2 se propone que los y las estudiantes analicen si es posible laconstrucción de triángulos con medidas de ángulos específicos, como dosángulos rectos, dos ángulos obtusos o dos ángulos agudos. Es importante queaclare a sus alumnos que en el primer y segundo caso no es factible formartriángulos ya que la suma de los ángulos dados es 180º o más de 180º; en eltercer caso será posible si el tercer ángulo es agudo y, además, la suma de los tres ángulos agudos es 180º, en caso contrario no se puede construir.

EN TU CUADERNO


1 Calcular y analizar.

Analizar.

Aplicar y calcular.



• Podría complementar la enseñanza de estos dos nuevos contenidosaprendidos (la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º y lasuma de los ángulos exteriores de un triángulo es 360º), para mostrar quela suma de dos ángulos interiores en un triángulo es igual a la medida delángulo exterior no adyacente. Para facilitar la comprensión de esta nuevapropiedad puede pedir a sus alumnos que construyan una figura como lapresentada en la actividad 3 del Texto, luego pedir que recorten losángulos interiores y exteriores y que junten dos ángulos interiores y loscoloquen sobre el ángulo exterior no adyacente y prueben que coinciden.Repetir el procedimiento para los otros ángulos. De esta forma verificaránla validez de esta propiedad para cada ángulo exterior de la figuraconstruida.

117Unidad 3



Para potenciar y reforzar los aprendizajesde sus estudiantes, puede pedirles quedeterminen cuánto mide el ángulo quefalta en cada triángulo.

a)

b)





Formulación y verificación deconjeturas relativas a la suma de los ángulos interiores y exteriores de triángulos y cuadriláteros, y sugeneralización al caso de polígonos.

ACTIVIDAD INICIAL

El propósito de esta actividad es que susestudiantes descubran relaciones entre lasuma de los ángulos interiores y exterioresde diferentes cuadriláteros. Para ello seplantean preguntan que permitirán llegar a las propiedades mencionadasanteriormente.

Si sus estudiantes no recuerdan cuántomiden los ángulos interiores en cuadradosy rectángulos puede pedir que construyanestas figuras y que luego midan sus ánguloscon un transportador. Esta estrategia es másproductiva para sus alumnos y alumnas en vez de decirle, sin trabajo alguno, quecada ángulo en ambas figuras mide 90º.


• Fundamental es que pida a sus estudiantes que muestren un desarrollo en cada ejercicio de selección múltiple, pues de esta forma puede conocer losrazonamientos que están realizando sus alumnos y alumnas, y podrá corregiraquellos procesos y razonamientos incorrectos; además de poder potenciar loscorrectos.

• Es importante que continuamente revise el trabajo realizado por sus alumnos yalumnas, especialmente los correspondientes a la sección MI PROGRESO, pues deesta forma podrá obtener información sobre los aprendizajes de sus estudiantes ytambién podrá detectar debilidades en ellos, y podrá tomar decisionesimportantes para mejorar sus aprendizajes.


119Unidad 3



Pida que justifiquen cada una de lasrespuestas obtenidas en la sección PARA DISCUTIR dibujando en papeldistintos cuadriláteros, de manera similar a como lo hicieron con los triángulos en la página 75 del Texto.

(Habilidades que desarrollan: usarherramientas, representar, verificar y calcular).


• Con los contenidos aprendidos en estas páginas puede aprovechar deenseñar a sus estudiantes que en un rombo y un romboide los ángulosopuestos son iguales, y los contiguos suman 180º. Para que los alumnos yalumnas comprendan estas propiedades puede explicarlo basándose en loaprendido sobre ángulos entre rectas paralelas y bien construyendo estasfiguras, cortando los ángulos, comparar los opuestos (superponiéndolos) y unir los contiguos (formando ángulos extendidos).

• Del mismo modo puede pedir a sus estudiantes que descubran relacionesangulares presentes en distintos tipos de trapecios (escaleno, isósceles yrectángulo) y trapezoides (simétrico y asimétrico).



1, 2 y 3 Calcular.

MI PROGRESO

Ítem

Al terminar la actividad propuesta, pida asus estudiantes que revisen las respuestas en el solucionario del Texto. Si respondieronalguna en forma incorrecta, pídales queidentifiquen cuál fue el error y que locorrijan. Además, pida que reflexionenacerca de los contenidos que aprendieronhasta acá, que hagan un listado con losconceptos que entendieron, que escriban y aclaren las dudan que aún tienen.




Formulación y verificación deconjeturas relativas a la suma de losángulos interiores y exteriores detriángulos y cuadriláteros, y sugeneralización al caso de polígonos.

ACTIVIDAD INICIAL

El objetivo de la introducción presentada enel Texto es mostrar a los y las estudiantes lasuma de los ángulos interiores de diferentespolígonos. Para ello se propone dividir elpolígono dado en triángulos formados pordiagonales que se pueden trazar desde unvértice, y a partir de esto determinar lasuma de los ángulos interiores de cualquierpolígono. Este procedimiento resulta muyclarificador para los alumnos y alumnas, yaque ellos saben que la suma de los ángulosinteriores de un triángulo es 180º.


• Es importante que los alumnos y alumnas trabajen de forma ordenada ydetallada, para evitar errores en los cálculos y obtener conclusiones acertadas.Al finalizar la actividad, sería interesante que analizar con el curso losprocedimientos para obtener la suma de los ángulos interiores de las figuraspresentadas en la actividad 4. La idea es que sus estudiantes noten que unafigura puede dividirse de diferentes formas y obtener obviamente el mismoresultado. Además, pueden observar que una manera de dividir una figura puede ser más sencilla que otra, y por lo tanto, la suma de los ángulos interiores se puede obtener más fácilmente.

EN TU CUADERNO


1, 2 y 3 Calcular.


121Unidad 3



• Para que los alumnos y alumnas comprendan con más facilidad estecontenido puede pedir que construyan varios polígonos de distintonúmero de lados y que repitan el proceso planteado en el texto. Es importante que los alumnos y alumnas relacionen el número de lados delpolígono con la cantidad de triángulos en que se puede dividir el polígono.De esta forma pueden comprender de mejor forma que la suma de losángulos interiores de un polígono de n lados está dada por 180 (n – 2).

• Puede complementar los contenidos presentados en el Texto, explicando asus estudiantes que el número total de diagonales que se pueden trazar

en un polígono de n lados es . Esta fórmula se debe a que n – 3 es la

cantidad de diagonales desde un vértice, como son n vértices, sería n (n – 3),pero como una diagonal es la misma para dos vértices, la cantidad total se

reduce a la mitad, quedando: .n (n – 3)2

n (n – 3)2


Para reforzar y potenciar los aprendizajesde sus estudiantes pídales que dibujen trespolígonos, que los intercambien con uncompañero o compañera, que midan losángulos interiores y que verifiquen que susuma es igual a (n – 2) • 180º.

(Habilidades que se desarrollan:aplicar, verificar y calcular).




Resolución de problemas en contextosdiversos relativos al cálculo de lamedida de ángulos interiores yexteriores en polígonos regulares.

ACTIVIDAD INICIAL

El objetivo de la actividad inicial queplantea el Texto es mostrar a los alumnos y alumnas las principales diferencias entrepolígonos regulares e irregulares. Para ellose plantea una situación inicial donde losalumnos deben comparar dos grupos depolígonos en relación a las medidas de suslados, ángulos, y suma de sus ángulosinteriores. Todo esto con el propósito deampliar los conocimientos de los alumnosy alumnas y mostrar otras propiedadespresentes en los polígonos regulares.


• Al finalizar la actividad es conveniente que revise con el curso las respuestasobtenidas, los procedimientos utilizados y los razonamientos realizados. De estaforma, podrá ayudar a aquellos estudiantes con más dificultades y también podrápotenciar a los alumnos y alumnas más avanzados. Un buen ejercicio es pedir alos y las estudiantes que expliquen la forma en que resolvieron determinadoproblema o cómo llegaron a una determinada conclusión. Puede practicar estocon las preguntas presentadas en la actividad 2, luego de completar la tabla queaparece en el Texto.

EN TU CUADERNO


1Usar herramientas yanalizar.



123Unidad 3



• Para sintetizar y comparar ambos tipos de polígonos (regulares eirregulares), podría presentar a los y las estudiantes una tabla y completarlaen conjunto de acuerdo a lo que han ido descubriendo con la actividadinicial del Texto, obteniendo respuestas como las siguientes:


• Dado el hexágono regular ABCDEF,calcula:

– El número de diagonales que sepueden trazar desde el vértice A._________________________

– La suma de los ángulos interiores._________________________

– La medida de cada uno de susángulos. ______________________

– El número total de diagonales.____________

– La suma de las medidas del ángulo�ABC + �BCD + �CDE. ________


A B

C

DF

G


Aplicar y usar herramientas.





ACTIVIDAD INICIAL

El objetivo de la actividad inicial presentadaen el Texto es unir los contenidos de launidad con el uso de tecnologías, a travésde la utilización de un software geométricoen donde se pueden realizar distintasconstrucciones y calcular diversas medidas.

HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS


• Para el buen desarrollo de la actividad es importante que sus estudiantes leanatentamente y sigan cada uno de los pasos detallados en el Texto para laconstrucción de un pentágono regular. De esta forma será más fácil laconstrucción de otros polígonos.


• El uso de herramientas tecnológicas, en especial, un programa computacional,es un recurso muy potente para los alumnos y alumnas, ya que permitiráque sus estudiantes se interesen más por el aprendizaje de la matemática,y en particular con la geometría, que muchas veces suele ser una parte dela asignatura no muy querida por los y las alumnas.


125Unidad 3


• Es importante que converse con sus estudiantes sobre las ventajas de usartecnologías en matemática, en cuanto al tiempo utilizado, la precisiónentregada, la visualización permitida, etc. Mencionar la fortuna de teneresta oportunidad, ya que años atrás esto no era posible, debido a que eldesarrollo tecnológico no estaba tan avanzado. Incluso grandes cálculoscon funciones matemáticas específicas debían hacerse de forma manual(utilizando tablas) ya que las calculadoras no existían o las característicasde ellas eran muy básicas.

• Permita a sus estudiantes explorar un nuevo programa computacional, de esta forma ellos pueden descubrir de forma independiente nuevasfunciones y de esta forma se interesan más en el uso de tecnológicas para diversos ámbitos del conocimiento y no solo como un recurso deentretenimiento. Está inspección permitirá que desarrollen y descubrandistintas habilidades relacionadas con la matemática, la geometría y la computación.


Para complementar las actividadespresentes en el Texto, puede presentar la siguiente actividad:

• Utilizando el mismo programacomputacional, realiza las siguientesconstrucciones, calcula la suma de susángulos interiores y verifica que es iguala la obtenida con la fórmula 180 (n – 2).

– Construye un octágono regular y otroirregular.

– Construye un eneágono regular yotro irregular.

• Averigua que otras funciones tiene elprograma que estás utilizando paraconstruir.

(Habilidad que desarrollan: aplicar y usar herramientas).



1 y 2 Calcular y analizar.

3 y 4 Calcular.

MI PROGRESO

Ítem

Al terminar la actividad propuesta, pida a susestudiantes que revisen las respuestas en elsolucionario del Texto. Si respondieronalguna en forma incorrecta, pídales queidentifiquen cuál fue el error y que locorrijan. Además, pida que reflexionen acercade los contenidos que aprendieron hastaacá, que hagan un listado con los conceptosque entendieron, que escriban y aclaren lasdudan que aún tienen.





La resolución de problemas se trabaja en forma transversal en cada unidad delTexto; sin embargo, en estas páginas se presenta una estrategia de resoluciónespecífica de problemas con contenidos de la unidad para que los y las estudiantesla aprendan, la practiquen en otrosproblemas y luego que busquen otrasestrategias distintas, pero considerando los siguientes pasos: comprender,planificar, resolver y revisar.

BUSCANDO ESTRATEGIAS


1Aplicar, calcular yverificar.

INDICACIONES SOBRE EL PROBLEMA RESUELTO

• No olvide mencionar a sus estudiantes que un mismo problema puede serresuelto de diversas maneras, llegando con más o menos trabajo al mismoresultado. Por ejemplo, una forma sencilla y rápida de haber calculado lacantidad total de diagonales de un octágono regular habría sido dibujar elpolígono y luego trazar todas las diagonales posibles y luego contarlas. Esta forma de resolución es la que muchos de sus estudiantes habrían optado por realizar, ya que se obtiene la respuesta con un procedimiento sencillo yrápido. Sin embargo es importante que mencione a sus estudiantes que estemétodo es apropiado cuando el polígono tiene pocos lados, pero es ineficienteeste procedimiento cuando el número de lados del polígono es mayor, ya que el proceso se vuelve más engorroso. Por ello es importante inculcar a los alumnosy alumnas la generalización de procesos, ya que algo sencillo para un caso enparticular no siempre es efectivo para la generalidad.


127Unidad 3



Para apoyar las actividades del Texto,puede plantear el siguiente problema quedebe ser resuelto utilizando los pasosvistos para la resolución de problemas:comprender, planificar, resolver y revisar.

• Si en un polígono se pueden trazar 50 diagonales desde un vértice:

– ¿Cuántos lados tiene el polígono?– ¿Cuántas diagonales se pueden trazar

en total?– ¿Cuánto es la suma de todos los

ángulos interiores del polígono?– Si el polígono fuera regular, ¿cuánto

mediría cada ángulo interior?





1, 2 y 3 Aplicar y analizar.

Esta conexión tiene como propósitovincular los ángulos con nuestro mundoreal. Para ello se presenta en el Texto unanoticia actual relacionada con la creaciónde un dispositivo electrónico que permitecalcular medidas de ángulos, las queaparecen en una moderna pantalla LCD.

Este artículo permitirá que usted conversecon sus alumnos y alumnas sobre laimportancia de saber medir ángulos y de la utilidad que tienen en distintas áreas del conocimiento como la ingeniería, laconstrucción, etc. y lo necesarios yaplicables que son estos contenidosmatemáticos para el desarrollo dedeterminadas actividades.

CONEXIONES


• Para potenciar la actividad propuesta en el texto y los aprendizajes de losalumnos y alumnas, puede pedir a sus alumnos y alumnas que investiguen sobreel funcionamiento de este dispositivo, sus principales características, quienes sonlos tipos de personas que necesitan de ellos, etc. Además, podrían investigarsobre lo últimos avances tecnológicos relacionados con el mundo de las ciencias.

(Habilidad que desarrollan: conectar).


129Unidad 3


Recordar y conectar.

SÍNTESIS


SUGERENCIAS RESPECTO DE LA SÍNTESIS DE LA UNIDAD

Para clarificar dudas y consolidar loscontenidos de la unidad puedecomplementar las preguntas del texto conlas siguientes:

• ¿Si α y β son ángulos opuestos por elvértice y β mide 46º, ¿cuánto mide a?

• ¿Cuánto suman los ángulos interiores deun triángulo?, ¿de un cuadrilátero?

• ¿Cómo se puede calcular la suma deángulos interiores de cualquier polígono?

• ¿Cuánto suman los ángulos exteriores decualquier polígono?

• ¿Es posible saber cuánto mide un ángulointerior de un polígono irregular sin usartransportador y solo sabiendo que es unoctágono?, ¿por qué?

• ¿Cuánto mide cada ángulo interior de undodecágono regular?, ¿y cada ánguloexterior?

• ¿Cuántas diagonales se pueden trazardesde un vértice en un heptágono?

• ¿Cuántas diagonales en total se puedentrazar en un icoságono?

(Habilidades que se desarrollan:recordar y conectar).

TÉCNICAS DE ESTUDIO

A continuación, proponemos otra forma de estudiar los contenidos trabajados enesta unidad: el resumen.

El resumen consiste en destacar los puntos principales de cada tema trabajando en launidad, y a través de estos puntos obtener toda la información necesaria para saber dequé se trata el contenido que estudiamos, destacando las ideas fundamentales.

• La creación del resumen debe realizarse de manera individual y se sugiererealizarla en clases, para que oriente y guíe a sus estudiantes en su trabajo.

• El resumen debe incluir todos los contenidos trabajados en la unidad.• Para resumir cada contenido debe incluir lo siguiente:

– Definición del contenido.– Características del contenido.– Ejemplo numérico del contenido y su resolución.– Un problema de aplicación del contenido y su resolución utilizando los pasos

enseñados.

SUGERENCIAS RESPECTO DE LA SÍNTESISDE LA UNIDAD

Los mapas conceptuales, comoherramienta visual, permite a los alumnosy alumnas organizar, jerarquizar yestablecer relaciones entre los conceptostrabajados. Esta manera de sintetizar esuna excelente técnica de estudio, pues losalumnos y alumnas consolidan, organizany clarifican sus aprendizajes. Además,permite conocer el nivel de aprendizajeque han alcanzado sus estudiantes en laUnidad.


3 y 4 Representar.

5 Calcular.

6 Analizar.

7 y 8 Calcular.

9Aplicar, representar y calcular.




• En los ejercicios 1 a 6, la información que entrega la respuesta de los y lasestudiantes es limitada, ya que sin desarrollo es difícil saber cuáles son los erroresque cometen, que puede ser por falta de conocimiento o equivocación al marcarla alternativa, entre otras. Para evitar este inconveniente en los ítemes deselección múltiple, se sugiere pedirles que muestren sus cálculos y desarrollos decada pregunta en las figuras correspondientes o en el espacio disponible paraello. De de esta forma podemos detectar en qué se están equivocando yayudarlos a alcanzar los aprendizajes que se espera que logren.

• En la actividad 7, se sugiere que pida a sus alumnos y alumnos lo mismo que paralos ítems de selección múltiple, ya que los y las estudiantes podrían contestaralgunas preguntas sin realizar algún desarrollo escrito, situación que dificulta ladetección de errores.

¿QUÉ APRENDÍ?


se evalúan

1 y 2 Calcular.

EVALUACIÓN SUMATIVA

Los ejercicios y problemas presentados en esta sección permiten evaluar losaprendizajes alcanzados por sus estudiantesen la unidad. Para los ejercicios deselección múltiple (1 a 6) considere:

Completamente logrado, si contestacorrectamente todas las preguntas.Logrado, si contesta correctamente cuatro o cinco preguntas.Medianamente logrado, si contestacorrectamente tres preguntas.No logrado, si contesta correctamentemenos de tres preguntas.


131Unidad 3


EVALUACIÓN FOTOCOPIABLE

En las páginas siguientes se presenta unaevaluación fotocopiable que usted puedeutilizar como evaluación sumativa de launidad. Su objetivo es analizar cuáles sonlos conocimientos que han adquirido losalumnos y alumnas en la unidad deecuaciones lineales, y con esta informaciónseguir determinadas líneas de acción. Porejemplo, volver a enseñar un contenido orealizar una actividad adicional, para queadquieran todos los aprendizajes que sepretendían con el desarrollo de estaunidad.El tiempo estimado para la realización dela prueba es 40 minutos. Este tiempopuede ser modificado según lascaracterísticas de sus estudiantes.Para que la evaluación le permita calificar asus estudiantes se sugiere utilizar lasiguiente pauta:

Ítem Habilidades que se evalúan Puntaje Total

I Calcular. 2 puntos cada una. 16 puntos

II Aplicar, analizar y calcular. 4 puntos. 4 puntos

III Analizar y calcular. 4 puntos. 4 puntos

IV Analizar y calcular. 4 puntos. 4 puntos

Puntaje total de la evaluación 28 puntos


1. En la figura L1 // L2, los ángulos α y β son:

A. Alternos internosB. Alternos externosC. Correspondientes D. Opuestos por el vértice

2. ¿Cuánto mide x + y?

A. 248ºB. 96ºC. 138ºD. 132º

3. En un polígono regular de 13 lados se pueden trazaren total:

A. 130 diagonalesB. 65 diagonalesC. 130 diagonalesD. 110 diagonalesE. 55 diagonales

4. Un ángulo interior de un polígono regular de 9 ladosmide:

A. 140ºB. 70ºC. 23,4ºD. 234º

5. Si L1 // L2 // L3, el valor de los ángulos α y β es:

A. α =125º y β = 55ºB. α = 115º y β = 65ºC. α = 75º y β = 105ºD. α = 55º y β = 125º

6. La suma de los ángulos interiores de un pentágonoregular es:

A. 180ºB. 360ºC. 540ºD. 720º

7. En un octágono se pueden trazar desde un vértice:

A. 8 diagonalesB. 7 diagonalesC. 6 diagonalesD. 5 diagonales

8. Un ángulo exterior de un decágono regular mide:

A. 10ºB. 144ºC. 36ºD. 180º


EVALUACIÓNÁngulos

Nombre: Curso: 6° Fecha: Puntaje: Nota:



133Unidad 3

II. Resuelve los siguientes problemas mostrando el desarrollo.

1. Las calles Mac Iver y Miraflores son paralelas y ambas se intersectan en la calle Esmeralda. Dos personas caminanpor la calle Esmeralda desde el este hacia el oeste. Luego, cada una dobla hacia calles paralelas entre sí, comomuestra el dibujo.

a) Marca el ángulo de giro en cada caso.b) ¿Cuál es la medida del ángulo de giro en ambos casos?c) ¿Qué relación existe entre ambos ángulos?, ¿por qué?d) Si el ángulo de giro del niño mide 77º, ¿cuánto mide el ángulo de giro de la niña?

2. Completa la tabla para los valores dados. Considera que β + γ = 80º

3. Calcula la medida del ángulo señalado en cada caso.

α β γ δ

30

25

50

70



TALLER DE EVALUACIÓN 1

El objetivo de esta evaluación es obtener información sobre los aprendizajesalcanzados por los alumnos y alumnas en las últimas tres primeras unidades delTexto: Números, Potencias y Ángulos.

Los ejercicios y problemas presentados en esta sección permiten evaluar losaprendizajes alcanzados por sus estudiantes en la unidad.

Para los ejercicios del ítem I (1 a 20) considere:

Completamente logrado, si contesta correctamente todas las preguntas.Logrado, si contesta correctamente entre más de catorce preguntas.Medianamente logrado, si contesta correctamente entre diez y catorce preguntas.No logrado, si contesta correctamente menos de diez preguntas.

Ítem I Habilidades que se evalúan

1, 2, 3 y 4 Calcular.

5 y 6 Calcular y aplicar.

7, 8, 9, 10, 11 y 12

Calcular.

13 Calcular y aplicar.

14 Calcular.

15 y 16 Calcular y analizar.

17 Analizar.


19 y 20 Calcular.

Ítem II Habilidades que se evalúan

1, 2 y 3 Aplicar y calcular.

TALLER 1:Maquetación 1 30/10/08 18:16 Página 134

135Taller de evaluación 1

POSIBLES DIFICULTADES EN LA EVALUACIÓN Y REMEDIALES

En los ejercicios 1 a 20, al ser ítemes de selección múltiple, la información queentrega la respuesta de los y las estudiantes es limitada, ya que sin desarrollo esdifícil saber cuáles son los errores que cometen, que se puede deber a que no sabencómo responder la pregunta o porque se equivocaron al marcar la alternativa, entreotras. Para mejorar este inconveniente en los ítemes de selección múltiple, se sugiereque pida a sus estudiantes que realicen algún tipo de desarrollo en cada pregunta,pues de este modo podemos detectar en qué se están equivocando y posteriormentepodemos reforzar los contenidos donde presentan debilidades.

En los problemas de desarrollo podría ocurrir algo similar, ya que los y las estudiantespodrían contestar algunas preguntas sin realizar algún desarrollo escrito, situaciónque dificulta la detección de errores. Por ello también se sugiere pedirles queresuelvan cada problema, mostrando los procedimientos que realizaron para llegar ala solución de cada problema.

Después que conozca los resultados obtenidos por sus estudiantes en estaevaluación, se recomienda que revise en conjunto con ellos cada una de laspreguntas presentadas en esta evaluación, para aclarar todas las dudas y los y lasestudiantes se den cuenta de los errores que cometieron en la evaluación y novuelvan a cometerlos.

Si luego de esto considera que sus estudiantes requieren un apoyo adicional, tengapresente la opción de volver a enseñar aquellos contenidos que no alcanzaron unnivel de logro apropiado, porque en el futuro un aprendizaje no alcanzado puedeafectar la comprensión y el aprendizaje de otros.

Ítem II Completamente logrado Logrado Medianamente logrado Por lograr

1

Si responde correctamentetodas las preguntasrelacionadas conmultiplicación de númerosdecimales.

Si responde correctamentedos de las preguntasrelacionadas conmultiplicación de númerosdecimales.

Si responde correctamenteuna de las preguntasrelacionadas conmultiplicación de númerosdecimales.

Si respondeincorrectamente todas laspreguntas relacionadascon multiplicación denúmeros decimales.

2

Si responde correctamentetodas las preguntasrelacionadas conpotencias.

Si responde correctamentedos de las preguntasrelacionadas conpotencias.

Si responde correctamenteuna de las preguntasrelacionadas conpotencias.

Si respondeincorrectamente todas laspreguntas relacionadascon potencias.

3

Si responde correctamentetodas las preguntasrelacionadas con elpolígono regular dado.

Si responde correctamentemás de tres de laspreguntas relacionadas conel polígono regular dado.

Si responde correctamentetres de las preguntasrelacionadas con elpolígono regular dado.

Si responde correctamentemenos de tres de laspreguntas relacionadas conel polígono regular dado.

Para la evaluación de ítem II considere los siguientes criterios:



TALLER DE EVALUACIÓN 1


1. Cuatro quintos de dos tercios es equivalente a:

A. C.

B. D.

2. La división : es igual a:

A. 4 C.

B. 1 D.

3. La expresión 7 · ( – ) es igual a:

A. C.

B. D.

4. 0,45 kilogramos equivalen a:

A. 45.000 gramosB. 45 gramosC. 450 gramosD. 4,5 gramos

5. Si el valor del dólar es US$ 634,5, ¿cuánto deberíapagar una persona que quiere comprar 150 dólares?

A. 95.175B. 95.155C. 85.165D. 85.175

6. Al dividir una cinta de 3 metros en 8 partes iguales,¿Cuánto mide, en centímetros, cada trozo de cinta?

A. 37,5 cmB. 375 cmC. 12,5 cmD. 125 cm

7. El resultado de 32 · 5 es:

A. 30B. 45C. 75D. 225

8. Al calcular 03 – 14 + 25 – 70, resulta:

A. 6B. 34C. 24D. 30

9. Si b · n = bn, entonces 3 · 4 – 4 · 3 =

A. 17B. 0C. 24D. 145

10. El producto entre 0,753 y 102 es:

A. 75,3B. 753C. 0,753D. 7,53

11. ¿Por cuánto se tiene que dividir 83,38 para obtener8,338?

A. 102

B. 103

C. 104

D. 101

8

15

15

8

6

15

10

12

105

84

1

4

1

2

25

13

7

2

7

15

11

15

1

15


137Taller de evaluación 1

12. Un quinto de 2 · (53 + 52) es:

A. 75,3B. 753C. 0,753D. 7,53

13. ¿Alicia demora 2,5 días en armar un rompecabezas de2000 piezas. ¿A cuántas horas equivalen?

A. 24 horasB. 48 horasC. 60 horasD. 72 horas

14. La expresión 7 · 105 + 8 · 104 + 9 · 103 es:

A. 789B. 7 890C. 78 900D. 789 000

15. Si L1 // L1 // L1, el valor de los ángulos α y β es:

A. α = 51º y β = 139ºB. α = 41º y β = 139ºC. α = 139º y β = 51ºD. α = 139º y β = 41º

16. La figura L1 // L2, entonces β mide:

A. 124ºB. 66ºC. 56ºD. No se puede determinar.

17. En un triángulo se pueden trazar en total:

A. 0 diagonalesB. 1 diagonalC. 2 diagonalesD. 3 diagonales

18. ¿Cuánto miden los ángulos x e y, respectivamente?

A. 117º y 63ºB. 63º y 117ºC. 73º y 117ºD. 117º y 73º

II. Resuelve los siguientes problemas mostrando eldesarrollo correspondiente.

1. Una constructora le ofrece a Claudia un departamentoa 2 750 UF. El Estado otorga un subsidio de renovaciónurbana de 200 UF. Si Claudia decide comprar hoy alcontado la casa con el precio de cada UF a es $ 21 345,27.

a) ¿A cuánto dinero en pesos equivale el subsidio derenovación urbana?

b) ¿Cuánto tendría que pagar Claudia sin estebeneficio?

c) ¿Cuánto pagaría finalmente por la casa,considerando el subsidio del Estado?

2. Una bacteria se reproduce cada 10 minutos. Si secoloca una bacteria en un recipiente a las 17:05 horas.

a) ¿Cuántos minutos han pasado para que en elrecipiente hayan 128 bacterias?

b) ¿A qué hora habrá 256 bacterias en el recipiente?

3. La suma de los ángulos interiores de un polígonoregular es 2 340.

a) ¿Cuántos lados tiene el polígono?b) ¿Cuánto mide cada ángulo interior?c) ¿Cuánto mide cada ángulo exterior?d) ¿Cuántas diagonales se pueden trazar desde un

vértice?e) ¿Cuántas diagonales se pueden trazar en total?


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6to basico santillana parte 2 - profesor