Upload
others
View
0
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
99
7. FRACCIONES FACTORIALES
7.1 INTRODUCCION
Si el número de factores a estudiar no es reducido los planes factoriales equilibrados (por ejemplo,
los planes 2k) exigen un número muy elevado de pruebas. Por ejemplo, en un estudio para mejorar
el proceso de activación de un catalizador con el fin de aumentar su productividad en el reactor.
Factores potencialmente interesante (Asociados sobre todo a diferentes parámetros del perfil de
temperatura en el activador): 11 Factores, lo que nos da un numero de combinaciones de 211
=
2048. Realizar 2048 pruebas resulta un numero muy grande de pruebas, mas sin embargo es
posible realizar este experimento solo realizando 16 pruebas adecuadamente escogidas entre las
2048 posibles, con lo que se podrá estimar los efectos simples de los once factores. Para esto, se
recomienda emplear los diseños fraccionados.
7.2 DISEÑOS FRACCIONADOS
En principio un plan 2k permite estudiar un número muy elevado de posibles efectos. Por ejemplo a
partir de los 64 resultados de un diseño 26 es posible estudiar:
6 Efectos Simples
15 Interacciones Dobles
20 Interacciones Triples
15 Interacciones Cuádruples
6 Interacciones Quíntuples
1 Interacción Séxtuplo
Cada uno de estos efectos se estima con una gran precisión, como la diferencia entre las medias de
dos conjuntos de 32 observaciones cada uno. La mayor parte de estos 63 efectos serán inexistentes
(vg. muy posiblemente todas las interacciones de orden mayor que 2 y muchas de las interacciones
dobles). Además la precisión obtenida puede ser innecesariamente elevada para el estudio. El uso de
100
los diseños fraccionados, permiten reducir el tamaño de la experimentación, sacrificando la
precisión y la posibilidad de estudiar interacciones de orden elevado.
7.3 DISEÑO FRACCIÓN UN MEDIO 2k-1
El diseño fracción un medio consiste en tomar la mitad de combinaciones de un diseño 2k completo.
Se recomienda usarlo en las primeras faces de la experimentación y es útil cuando el diseño es de 4
a 6 factores.
7.3.1 PROCEDIMIENTO PARA OBTENER UN DISEÑO FRACCION UN
MEDIO
Supongamos que se quiere investigar la influencia de 4 factores en una variable de respuesta, por lo
que las combinaciones de un 24 se pueden ver en la tabla 7.1. De las 16 combinaciones de la tabla
7.1, se debe escoger adecuadamente 8 combinaciones para realizar un diseño fraccionado un medio.
Y con esas 8 combinaciones estimar los efectos simples de los 4 factores y alguna que otra
interacción doble. Para seleccionar las 8 combinaciones, no se recomienda seleccionar las primeras
ocho, ni las últimas ocho, ya que el factor D solo se estudiaría en un solo nivel y no seria posible
conocer su efecto promedio. Lo primero es que un requisito deseable que deben satisfacer las 8
pruebas seleccionadas es que todos los factores se hayan presentado en ellas 4 veces a nivel bajo ( -)
y 4 veces a nivel alto ( +), como se muestra en las filas no sombradas de la tabla 7.2. El problema
de la selección de las combinaciones que están señaladas por las filas no sombreadas es que, a pesar
de que todos los factores se estudian cuatro veces a nivel bajo ( -) y 4 veces a nivel alto ( +), los
efectos de los factores A y B (estarían) "confundidos" debido a que tendrían los mismo signos y con
esto no sería posible saber si un efecto observado se debe a uno u otro (o, incluso, si ambos fueran
igual de importantes, pero de signo contrario en el experimento no se detectaría efecto alguno). Si
sucede esto significa que el diseño no es ortogonal. Una solución de seleccionar las 8
combinaciones se puede ver en la tabla 7.3, nótese que si se seleccionan las pruebas 1, 4, 6, 7, 10,
11, 13 y 16 todos los efectos simples son ortogonales entre si y ortogonales además a las
interacciones dobles. La forma o el procedimiento con que se seleccionaron las 8 combinaciones es
como se describe en la sesión 7.3.2.
101
Prueba A B C D
1 - - - -
2 + - - -
3 - + - -
4 + + - -
5 - - + -
6 + - + -
7 - + + -
8 + + + -
9 - - - +
10 + - - +
11 - + - +
12 + + - +
13 - - + +
14 + - + +
15 - + + +
16 + + + +
Tabla 7.1 Combinaciones de un diseño 24
7.3.2. Metidos de construcción de un diseño fraccionado un medio
7.3.2.1 Primer Método
Construir el plan completo asociado a k-1 de los factores (que tendrá 2k-1
pruebas) y asociar el factor
restante a la interacción entre los k-1 primeros. En el caso de 4 factores se genera un diseño
completo 23 como se muestra en la tabla 7.4. Posteriormente el factor D es generado por los signos
de la multiplicación de los factores A, B Y C, como se muestra en la tabla 7.5.
102
Prueba Código A B C D
1 (1) - - - -
2 a + - - -
3 b - + - -
4 ab + + - -
5 c - - + -
6 ac + - + -
7 bc - + + -
8 abc + + + -
9 d - - - +
10 ad + - - +
11 bd - + - +
12 abd + + - +
13 cd - - + +
14 acd + - + +
15 bcd - + + +
16 abcd + + + +
Tabla 7.2 Los efectos de los factores A y B están confundidos
7.3.2.2 Método Dos
Construir un plan 2k y seleccionar solo las pruebas que correspondan al signo positivo ( o al signo
negativo) de la interacción de orden más elevado. En el caso de 4 factores, la interacción de orden
mayor es la interacción cuádruple, así que las combinaciones de un diseño completo 24 se pueden
ver en la tabla 7.6. Los signos de la interacción del orden cuádruple se pueden ver en la tabla 7.7. En
esta tabla las combinaciones que están sombreadas corresponden a las combinaciones seleccionadas
103
Prueba Código A B C D
1 (1) - - - -
2 a + - - -
3 b - + - -
4 ab + + - -
5 c - - + -
6 ac + - + -
7 bc - + + -
8 abc + + + -
9 d - - - +
10 ad + - - +
11 bd - + - +
12 abd + + - +
13 cd - - + +
14 acd + - + +
15 bcd - + + +
16 abad + + + +
Tabla 7.3 Las ocho combinaciones adecuadas para un diseño fraccionado.
para la construcción de un diseño fracción un medio para 4 factores, misma en la que la Interaccion
ABCD esta en nivel alto (+). Nótese que las ocho combinaciones seleccionadas en la tabla 7.7 son
las mismas que las seleccionadas en la tabla 7.5.
104
Prueba A B C
1 - - -
2 + - -
3 - + -
4 + + -
5 - - +
6 + - +
7 - + +
8 + + +
Tabla 7.4 Generando un diseño completo 23
Prueba A B C D=ABC
1 - - - -
2 + - - +
3 - + - +
4 + + - -
5 - - + +
6 + - + -
7 - + + -
8 + + + +
Tabla /.5 Combinaciones de un diseño 24-1
Una consecuencia de hacer D=ABC o de seleccionar las combinaciones donde la interacción
ABCD es solo positiva, es que la interacción ABCD no podrá ser estudiada en el análisis. En este
caso la interacción cuádruplo ABCD se convierte en el generador del diseño fraccionado. Por
construcción el factor D esta confundido con la interacción ABC. Igualmente cada uno de los
restantes efectos simples estará confundido con la interacción triple entre los otros tres factores.
105
Prueba A B C D
1 - - - -
2 + - - -
3 - + - -
4 + + - -
5 - - + -
6 + - + -
7 - + + -
8 + + + -
9 - - - +
10 + - - +
11 - + - +
12 + + - +
13 - - + +
14 + - + +
15 - + + +
16 + + + +
Tabla 7. 6 Combinaciones de un diseño 24
Prueba A B C D ABCD
1 - - - - +
2 + - - - -
3 - + - - -
4 + + - - +
5 - - + - -
6 + - + - +
7 - + + - +
8 + + + - -
9 - - - + -
10 + - - + +
11 - + - + +
12 + + - + -
13 - - + + +
14 + - + + -
15 - + + + -
16 + + + + +
Tabla 7. 7 Combinaciones de un diseño 24-1
Análogamente la interacción doble entre cada par de factores estará confundida con la existente
entre la otra pareja de factores. Al efecto utilizado para construir la fracción (es decir, al que tiene el
mismo signo en todas las pruebas, en el ejemplo ABCD) se denomina generador de la fracción. El
número de letras del generador se denomina resolución de la fracción expresándose en números
romanos, en el ejemplo el diseño es de resolución IV.
106
7.3.2.3 REQUISITOS PARA UN FRACCION ADECUADA
Una fracción factorial permite estudiar el efecto de k factores con el menor número de pruebas que
el que exigiría un plan factorial completo (la reducción en el número de pruebas puede ser muy
importante)
A cambio de:
1.- No poder estudiar ciertos efectos (los generadores de la fracción que son en general interacciones
de orden elevado).
2.-Confundir entre si algunos efectos de los que se pueden estudiar (por ejemplo, el efecto simple de
A con la interacción BCD o la interacción AB con la CD).
Una "buena" fracción factorial debe:
1.- No confundir nunca efectos simples entre si
2.-Procurar no confundir efectos simples con interacciones dobles.
3.-De ser posible, no confundir tampoco interacciones dobles entre si.
Regla practica para estudiar la confusión de efectos.
1.-Al efecto utilizado para construir la fracción (es decir, al que tiene el mismo signo en todas las
pruebas) se denomina generador de la fracción. El número de letras del generador se denomina
resolución de la fracción expresándose en números romanos.
2.-Los planes 2k-1
tiene un sólo generador que normalmente es la interacción de orden más elevado.
Los planes 2k-p
, cuyo número de pruebas es menor que la mitad del plan completo (por ejemplo la
cuarta o la octava parte), tiene varios generadores.
107
3.-El efecto asociado al generador no puede estudiarse.
4.-Cualquier otro efecto esta confundido con el que resulta de multiplicar las letras del efecto por las
del generador y tachar los cuadrados.
En ejemplo: generador ABCD (resolución IV)
A se confunde con: A*ABCD=A2BCD=BCD
AB con: AB*ABCD = A2B
2CD = CD
De acuerdo con esta regla:
En las fracciones de resolución III por lo menos un efecto simple estará confundido con alguna
interacción doble.
En las fracciones de resolución IV los efectos simples no estarán confundidos con interacciones
dobles.
En las fracciones de resolución V (generadores de cinco letras) las interacciones dobles no estarán
confundidas entre sí.
7.4 EJEMPLO DE UN DISEÑO FRACCION UN MEDIO
Con el objetivo de mejorar el rendimiento de un proceso de manufactura de un circuito
integrado, se investigaron 5 factores un diseño 5 1
2
. Los cinco factores fueron A=apertura del
diafragma (pequeña, grande), B=tiempo de exposición (20% abajo y arriba del nominal),
C=tiempo de revelado (30,45 seg), D= Dimensión de la pantalla (pequeña, grande), E=tiempo de
corrosión selectiva (14.5 y 15.5 seg). A continuación se presenta la construcción del diseño 5 1
2
, los resultados del diseño de experimentos se pueden ver en la tabla 7.8.
108
corrida A B C D E RENDIMIENTO
1 -1 -1 -1 -1 1 8
2 1 -1 -1 -1 -1 9
3 -1 1 -1 -1 -1 34
4 1 1 -1 -1 1 52
5 -1 -1 1 -1 -1 16
6 1 -1 1 -1 1 22
7 -1 1 1 -1 1 45
8 1 1 1 -1 -1 60
9 -1 -1 -1 1 -1 6
10 1 -1 -1 1 1 10
11 -1 1 -1 1 1 30
12 1 1 -1 1 -1 50
13 -1 -1 1 1 1 15
14 1 -1 1 1 -1 21
15 -1 1 1 1 -1 44
16 1 1 1 1 1 63
Tabla 7.8 Resultados del diseño para el rendimiento de un proceso.
7.4.1 SOLUCION ESTADISTICA DEL DISEÑO FRACCION UN MEDIO
Primeramente se obtienen los efectos promedios hasta el segundo orden, a partir de estos
diseños ya no se estudiaran las interacciones triples hacia adelante (ver tabla 7.9), los cuales son
graficados en el diagrama de Pareto Normal de la figura 7.1. Al igual como se vio en los diseños
no replicados, no hay suficientes grados de libertad para estimar el error y por consecuencia no
es posible saber cuales efectos son significativos. Pero siguiendo las mismas indicaciones como
se vio en los diseños no replicados encontramos que el mejor anova o mejor Pareto
estandarizado del diseño son los que se encuentran en la tabla 7.9 y en la figura 7.2,
respectivamente.
109
Efectos estimados para Rendimiento
Efecto Estimado
promedio 30.3125
A:Aper Diafragma 11.125
B:T exposicion 33.875
C:T revelado 10.875
D:Dim pantalla -0.875
E:T corrosion 0.625
AB 6.875
AC 0.375
AD 1.125
AE 1.125
BC 0.625
BD -0.125
BE -0.125
CD 0.875
CE 0.375
DE -1.375
Tabla 7.9 Efectos promedios
Figura 7.1 Diagrama de Pareto Normal
Diagrama de Pareto para Rendimiento
0 10 20 30 40
Efecto
BDBEACCE
E:T corrosionBC
D:Dim pantallaCDADAEDEAB
C:T reveladoA:Aper Diafragma
B:T exposicion+
-
110
Figura 7.2 El mejor Pareto estandarizado
Análisis de Varianza para Rendimiento
Fuente Suma de Cuadrados Gl Cuadrado Medio Razón-F Valor-P
A:Aper Diafragma 495.063 1 495.063 193.20 0.0000
B:T exposicion 4590.06 1 4590.06 1791.24 0.0000
C:T revelado 473.063 1 473.063 184.61 0.0000
AB 189.063 1 189.063 73.78 0.0000
Error total 28.1875 11 2.5625
Total (corr.) 5775.44 15
R-cuadrada = 99.5119 porciento R-cuadrada (ajustada por g.l.) = 99.3345 porciento
Tabla 7.9 El mejor anova para rendimiento
Para un α=0.05, los efectos significativos son los efectos simples de Apertura de Diafragma, el
Tiempo de Exposición y El tempo de revelado. Además, también es significativa la interacción
de la Apertura de Diafragma y Tiempo de Exposición (ver tabla 7.9)
Diagrama de Pareto Estandarizada para Rendimiento
0 10 20 30 40 50
Efecto estandarizado
AB
C:T revelado
A:Aper Diafragma
B:T exposicion+
-
111
7.4.1 ANALISIS COMPLEMENTARIOS DEL DISEÑO FRACCION UN
MEDIO
7.4.1.2 GRAFICAS DE LOS EFECTOS PROMEDIO E INTERACCIONES
SIGNIFICATIVAS
Figura 7.3 Grafica de efectos promedio para
Apertura del Diafragma
Figura 7.4 Grafica de efectos promedio para
Tiempo de Exposición
Figura 7.5 Grafica de efectos promedio para
Tiempo de Revelado
-1.0
24.75
1.0-1.01.0
Gráfica de Efectos Principales para Rendimiento
24
26
28
30
32
34
36
Rendim
iento
Aper Diafragma1.0
35.875
-1.0
13.375
1.0-1.01.0
Gráfica de Efectos Principales para Rendimiento
13
23
33
43
53
Rendim
iento
T exposicion1.0
47.25
-1.0
24.875
1.0-1.01.0
Gráfica de Efectos Principales para Rendimiento
24
26
28
30
32
34
36
Rendim
iento
T revelado1.0
35.75
112
Con base a las graficas de efectos promedio de las figuras 7.3, 7.4, y 7.5, se puede concluir que
para maximizar el rendimiento se debe trabajar el proceso en un nivel alto (+) de la Apertura del
Diafragma, en un nivel alto (+) del Tiempo de Exposición y un nivel alto (+) para el Tiempo de
revelado.
Figura 7.6 Grafica de interacción de Apertura de Diafragma y Tiempo de Exposición
Con base a la grafica de interacción de la Apertura del Diafragma y el Tiempo de Exposición,
para maximizar el rendimiento se recomienda usar un nivel alto (+) de Apertura del Diafragma y
un nivel alto (+) de Tiempo de Exposición.
Con base a las recomendaciones de los efectos promedio y las recomendaciones de la grafica de
interacción, se puede concluir que para maximizar el rendimiento de un proceso, se debe trabajar
la Apertura de Diafragma en el nivel alto (+), el Tiempo de Exposición en el nivel alto (+) y un
Tiempo de Revelado en nivel alto (+).
-1.0
T exposicion=-1.0
T exposicion=1.0
Gráfica de Interacción para Rendimiento
0
10
20
30
40
50
60
Rendim
iento
Aper Diafragma1.0
T exposicion=-1.0
T exposicion=1.0
113
7.4.1.3 MODELO DE REGRESION Y GRAFICA DE RESPUESTA
La expresión 7.1 corresponde al modelo de regresión para el rendimiento del proceso. En la
figura 7.7 esta la grafica de respuesta para el rendimiento. Sustituyendo los valores de la
Apertura de Diafragma en el nivel alto (+), el Tiempo de Exposición en el nivel alto (+) y un
Tiempo de Revelado en nivel alto (+) en la expresión 7.1, encontramos el promedio de máximo
rendimiento que se ilustra en la figura 7.7.
Rendimiento = 30.3125 + 5.5625*Aper Diafragma + 16.9375*T exposición + 5.4375*T revelado + 3.4375*Aper Diafragma*T exposición
(7.1)
Figura 7.7 Grafica de Respuesta para Rendimiento de un proceso
Gráfica de Cubo para RendimientoDim pantalla=0.0,T corrosion=0.0
Aper Diafragma
T exposicion
T r
evela
do
-1.01.0
-1.0
1.0
-1.0
1.0
5.812510.0625
50.812532.8125
16.687520.9375
61.687543.6875
114
7.4.1.4 SUPUESTOS DEL DISEÑO
SUPUESTO DE VARIANZA CONSTANTE
En las figuras 7.8, 7.9, 7.10, están las gráficas de verificación de la varianza constante de los
efectos Apertura de Diafragma, Tiempo de Exposición y Tiempo de Revelado, respectivamente.
Nótese que en ninguna grafica se presenta algún patrón inusual, por lo que podemos concluir que
se cumple el supuesto de varianza constante.
Figura 7.8 Varianza constante de Apertura de
Diafragma
Figura 7.9 Varianza constante de Tiempo de
Exposición
Figura 7.10 Varianza constante de Tiempo de
Revelado
Gráfica de Residuos para Rendimiento
-1 -0.6 -0.2 0.2 0.6 1
Aper Diafragma
-2.9
-1.9
-0.9
0.1
1.1
2.1
3.1
resid
uo
Gráfica de Residuos para Rendimiento
-1 -0.6 -0.2 0.2 0.6 1
T exposicion
-2.9
-1.9
-0.9
0.1
1.1
2.1
3.1
resid
uo
Gráfica de Residuos para Rendimiento
-1 -0.6 -0.2 0.2 0.6 1
T revelado
-2.9
-1.9
-0.9
0.1
1.1
2.1
3.1
resid
uo
115
SUPUESTO DE INDEPENDECIA Y NORMALIDAD DE RESIDIOS
En la gráfica de la figura 7.11 se puede ver la grafica de independência de residuos, en la cual se
pude ver que no hay ningún problema. Tampoco se presenta ningún patrón inusual en la
normalidad de los resíduos (ver figura 7.12).
Figura 7.11 Independencia de Residuos Figura 7.12 Normalidad de los Residuos
Gráfica de Residuos para Rendimiento
0 4 8 12 16
número de corrida
-2.9
-1.9
-0.9
0.1
1.1
2.1
3.1
resid
uo
Gráfico de Probabilidad Normal para Residuos
-2.9 -1.9 -0.9 0.1 1.1 2.1 3.1
residuos
0.1
1
5
20
50
80
95
99
99.9
porcentaje