7. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA Parte 3 7.1 Métodos de Newton-Cotes (Rugiero) 7.2 Método de Romberg (Burden-Faires) 7.3 Quadratura Gaussiana (Burden-Faires) 7.4

7. INTEGRAÇÃO NUMÉRICAParte 3

7.1 Métodos de Newton-Cotes (Rugiero)

7.2 Método de Romberg (Burden-Faires)

7.3 Quadratura Gaussiana (Burden-Faires)

7.4 Integração Dupla (Burden-Faires)

7.5 Método de Monte Carlo (Burian)

hoje

INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7. Introdução

Na primeira aula de integração vimos as fórmulas de Newton-Cotes, ou seja, Método do Trapézio, Método de Simpson..

Thomas Simpson (1710-1761). Na segunda aula vimos o Metodo de Romberg

(1957) que é o Método do Trapézio com Extrapolação de Richardson (1927).

L.F. Richardson (1881-1953) W. Romberg (1909-2003) Hoje veremos o Método da Quadratura

Gaussiana (1814). Carl F. Gauss (1777-1855)

INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.3 Quadratura Gaussiana

Veremos nesta aula a Regra ou Fórmula da Quadratura de Gauss.

As fórmulas de Newton-Cotes integram polinômios interpoladores e os erros envolvem a (n+1)-ésima ou (n+2)-ésima derivadas. Assim, elas são exatas para polinômios de grau < n+1 ou <n+2, respectivamente.

A Fórmula da Quadratura de Gauss integra exatamente polinômios de grau<2n+2


Como nos Métodos de Newton-Cotes escrevemos uma integral como

onde os coeficientes e os pontos parai=0,1,2,..,n devem ser determinados de modo a obter a melhor precisão possível.

Característica: Partição não-regular

nn

b

axfAxfAxfAdxxfI ....)( 1100

iA ix


Note que o Método da Quadratura Gaussiana envolve a determinação de 2n+2 coeficientes e , para i=0,..,n. Como temos 2n+2 parâmetros a

ajustar, podemos esperar que este método ajuste exatamente polinômios de graus inferiores a 2n+1.

iA ix


Comecemos o desenvolvimento para dois pontos:

Por simplicidade tomemos o intervalo [-1,1]. Note que sempre é possível passar do intervalo [a,b] --> [-1,1] através da transformação:

dtabdttxdx

tabtabtx

)(2

1)(

1,1 para )(2

1)(

2

1)(

1100)( xfAxfAdxxfIb

a


Segue

onde os parâmetros devem ser determinados de modo a integral ser exata para polinômios de graus inferiores a 3.

1100

1

1

1

1

1

1

)(

)(2

1)(

2

1)(

2

1)( onde

)()())(()(

tFAtFAdttFI

abtabfabtF

dttFdttxtxfdxxfIb

a

1010 ,,, ttAA


SejamNote que qualquer polinômio de grau 3

é combinação das funções acima. Assim, impomos que a fórmula da quadratura Gaussiana seja exata para estes polinô-mios, segue:

33

2210 )(,)(,)(,1)( ttFttFttFtF

)()()()()( 33221103 tFatFatFatFatP o


como esperado, a fórmula é exata para este polinômios:

)()(

)()()()(

)()()()(

)()(

)()()(

131030

13103031210202

11101011010000

1

133

1

122

1

111

1

1003

1

1

tPAtPA

tFAtFAatFAtFAa

tFAtFAatFAtFAa

dttFadttFa

dttFadttFadttP

1100

1

1)( tFAtFAdttFI


Considerando

podemos determinar as incógnitas

através de

Que gera um sistema linear 4X4. Vejamos

3,2,1,0 para 1100

1

1 ktAtAdttI kkk

33

2210 )(,)(,)(,1)( ttFttFttFtF

1010 ,,, ttAA


Obtemos o sistema

03

3/22

01

20

311

300

311

300

1

1

3

201

200

201

200

1

1

2

11001

111

00

1

1

1

100

110

00

1

1

0

tAtAtAtAdttk

tAtAtAtAdttk

tAtAtAtAdttk

AAtAtAdttk


Resolvendo o sistema, obtemos

de modo que podemos escrever a Fórmu-la de Quadratura Gaussiana, que é exata para polinômios de graus inferiores a 3, como

3/3e1 1010 ttAA

3

3

3

3)(

1

1FFdttFIGauss


Para 3 pontos, a fórmula da quadratura gaussiana é exata para polinômios de graus inferiores e iguais a 5. Então,

Analogamente, qualquer polinômio de grau 5 pode ser escrito em termos de

221100

1

1)( tFAtFAtFAdttFI

55

44

33

2210 )(,)(,)(,)(,)(,1)( ttFttFttFttFttFtF


Agora podemos determinar as incógni- tas através do siste-ma

linear 6X6 abaixo:

Escrevendo explicitamente o sistema,

5,4,3,2,1,0 para 221100

1

1 ktAtAtAdttI kkkk

210210 ,,,,, tttAAA


05

5/24

03

3/22

01

20

522

511

500

522

511

500

1

1

5

421

411

400

422

411

400

1

1

4

322

311

300

322

311

300

1

1

3

221

211

200

222

211

200

1

1

2

2211001

221

111

00

1

1

1

2100

220

110

00

1

1

0

tAtAtAtAtAtAdttk

tAtAtAtAtAtAdttk

tAtAtAtAtAtAdttk

tAtAtAtAtAtAdttk

tAtAtAtAtAtAdttk

AAAtAtAtAdttk


Resolvendo o sistema, obtemos

de modo que podemos escrever a Fórmu-la de Quadratura Gaussiana, que é exata para polinômios de graus inferiores a 5, como

0e5

3,

9

8e

9

5120120 tttAAA

5

3

9

50

9

8

5

3

9

5)(

1

1FFFdttFIGauss


Exemplo 1: Calcule utilizando quadratura gaussiana para 2 e 3 pontos.

Solução: Temos no intervalo [1,3].Fazendo a mudança de variáveis

dxeI x33

1

xexf 3)(

2t3eF(t) e1)(

1,1 temos3,1 para

2)(2

1)(

2

1)(

dtdttxdx

tx

tabtabtx


Então, seguem os valores exato e apro-ximados para n=2 e n=3 pontos

1004.529

53

9

83

9

53

5

3

9

50

9

8

5

3

9

5)(3:3n

9309.5133

3

3

3

3)(3:2n

1018.523 :Exato

253

225

3

1

1

3

1

23

32

3

3

1

1

3

1

3

1

eee

FFFdttFIdxe

ee

FFdttFIdxe

dxeI

Gaussx

Gaussx

x


A tabela abaixo compara o Método da Quadratura Gaussiana com o Método de Simpson 1/3 para

Exato Gauss n=2

Gauss n=3

Simpsonn=3

Simpsonn=5

Simpsonn=7

Valor 52.1018 51.9309 52.1004 52.3601 52.1194 52.1053

Erro 0.1709 0.0014 0.2583 0.0176 0.0035

dxeI x33

1


Exemplo 2: Calcule utilizando quadratura gaussiana para 2 pontos.

Solução: Temos no intervalo [0,10].Fazendo a mudança de variáveis

dxeI x10

0

xexf )(

5-5t-eF(t) e5)(

1,1 temos10,0 para

55)(2

1)(

2

1)(

dtdttxdx

tx

tabtabtx


Então, seguem os valores exato e aproximado para n=2 são:

O erro verdadeiro:

O Método do Trapézio necessitaria de n=16 pontos para atingir este erro. Através de Simpson 1/3 seriam necessários n=9 pontos.

606102.055

3

35

3

35)(5:2n

999955.0 :Exato

53

355

3

35

1

1

10

0

10

0

ee

FFdttFIdxe

dxeI

Gaussx

x

393853.0606102.0999955.0Erro


Conclusão 1: As fórmulas da quadratura gaussiana produzem melhores resultados que aquelas dos métodos de Newton-Cotes com partição regulares (trapézio, Simpson,...)

Conclusão 2: Quando aumentamos o número de pontos todos métodos melhoram a precisão.

Conclusão 3: Se o intervalo for grande, com no caso Trapézio e Simpson Repetidas, podemos criar subintervalos e aplicar quadratura gaussiana em cada intervalo

Problema: Se não tivermos f(x) e sim uma tabela de dados experimentais, então o método da quadratura gaussiana não é aplicável.


:= r e( ) x2

d

0

1

e( ) x2

x 0.7468241328

d

0

1

e( ) x2

x 0.74682413281242702540

d

0

1

e( ) x2

x 0.74682413281242702540

> r := exp(-x^2);

> Int(r, x = 0..1) = evalf(Int(r, x=0..1));

> Int(r, x = 0..1) = evalf(Int(r, x=0..1, digits=20, method=_Dexp));

> Int(r, x = 0..1) = evalf(Int(r, x=0..1, digits=20, method=_Gquad));

M

A

P

L

E


Exercício: Considere a integral

a) Estime I por Trapézio quando h=1/4.b) Estime I por Simpson 1/3 quando h=1/4.c) Estime I por Romberg quando h=1/4.d) Estime I por Gauss quando n=2 e n=3.

Dado:

dxeI x21

0

74682.021

0 dxeI x

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7. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA Parte 3 7.1 Métodos de Newton-Cotes (Rugiero) 7.2 Método de Romberg (Burden-Faires) 7.3 Quadratura Gaussiana (Burden-Faires) 7.4