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Números racionales e irracionales

Un número racional es todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros, con denominador distinto de cero. Se representa por

.

 

Operaciones con números racionales

Suma y resta de números racionales

Con el mismo denominador

Se suman o se restan los numeradores y se mantiene el denominador.

2

Con distinto denominador

En primer lugar se reducen los denominadores a común denominador, y se suman o se restan los numeradores de las fracciones equivalentes obtenidas.

Propiedades de la suma de números racionales

1. Interna:

a + b

2. Asociativa:

(a + b) + c = a + (b + c) ·

3. Conmutativa:

a + b = b + a

3

4. Elemento neutro:

a + 0 = a

5. Elemento opuesto

a + (−a) = 0

El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número.

Multiplicación de números racionales

Propiedades de la multiplicación de números racionales

1. Interna:

a · b

2. Asociativa:

(a · b) · c = a · (b · c)

4

3. Conmutativa:

a · b = b · a

4. Elemento neutro:

a ·1 = a

5. Elemento inverso:

6. Distributiva:

a · (b + c) = a · b + a · c

7. Sacar factor común:

a · b + a · c = a · (b + c)

División de números racionales

5

.

Operaciones con números racionales

Calcula las siguientes operaciones con números racionales:

1

2

3

4

Efectúa las divisiones de números racionales:

1

6

2

3

Realiza las operaciones con números racionales:

1

2

Efectúa las operaciones con números racionales:

7

Potencias de números racionales

Potencias de exponente entero y base racional

Propiedades

1.

2.

3. Producto de potencias con la misma base:

8

4. División de potencias con la misma base:

5. Potencia de una potencia:

6. Producto de potencias con el mismo exponente:

7. Cociente de potencias con el mismo exponente:

Ejercicios de operaciones combinadas de números racionales

9

Primero operamos con las productos y números mixtos de los paréntesis.

Operamos en el primer paréntesis, quitamos el segundo, simplificamos en el tercero y operamos en el último.

Realizamos el producto y lo simplificamos.

Realizamos las operaciones del paréntesis.

Hacemos las operaciones del numerador, dividimos y simplificamos el resultado.

Opera:

10

Efectúa operaciones combinadas

11

Los números irracionales

Un número es irracional si posee infinitas cifras decimales no periódicas, por tanto no se pueden expresar en forma de fracción.

El número irracional más conocido es , que se define como la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro.

= 3.141592653589...

Otros números irracionales son:

El número e aparece en procesos de crecimiento, en la desintegración radiactiva, en la fórmula de la catenaria, que es la curva que podemos apreciar en los tendidos eléctricos.

e = 2.718281828459...

El número áureo, , utilizado por artistas de todas las épocas (Fidias, Leonardo da Vinci, Alberto Durero, Dalí,..) en las proporciones de sus obras.

φ=1+√52

=1 .618033988749. . .