7- sinfda ALGEBRA38-dimi.uz/wp-content/uploads/2017/11/Algebra_7-sinf...Metodik qo‘llanma 7- sinf „Algebra“ darsligiga mos keladi. Matematika o‘qituvchilari yoki qobiliyatli

SH. O. A L IM O V , O. R. H O LM U H A M E D O V , M. A. M IR Z A A H M E D O V

7- sinfda

ALGEBRA0 ‘Q ITU V C H ILA R U C H U N Q O 'L L A N M A

O zbekiston Respublikasi Xalq ta 'limi vazirligi tavsiya etgan

«0 ‘QITUVCHI» NASHRIYOT-MATBAA IJODIY UYI TOSHKENT - 2005

Ushbu qo‘ llanma „Algebra-7“ ( „ 0 ‘qituvchi“NM IU, T „ 2005) darsligiga muvoiiq yozilgan bo‘ lib, u matematika o‘qituvchilari uchun mo'ljallangan. Qo'llanmada har bir mavzuning maqsadi, o'quvchilar egallashlari lozim bo'lgan bilim va ko'nikmalar, mavzuni o'tish bo'yicha metodik tavsiyalar, masala yechish namunalari, yozma nazorat ish variantlari, davlat ta'lim standartlariga muvofiq o'quvchi bajara olishi shart bo‘lgan mashqlar namunalari, sinfdan tashqari ishlarga doir mashqlar tizimi berilgan. 0 ‘qitishning faollashtimvchi metodlari va yangi pedagofik texnologiyalarga doir ma'lumotlar yoritilgan.

Qo'llanmadan pedagogika oliy o‘quv yurtlari talabalari hamda matematikaga qobiliyati va iqtidori bor o‘quvchilar ham foydalanishlari mumkin.

4306010503 -1 3 8A ----------------------- buyurtma var. 2005.

353(04) - 2005

ISBN 5-645-04459-2 © ♦0‘qituvchi» NMIU, 2005.

Umumiy o ‘ rta ta’ limning davlat ta’ lim standartlari 0 ‘zbekiston Respublikasi Vazirlar Mahkamasining qarori bilan 1999-yil 16-avgustda tasdiqlangan edi. Xalq ta’ limi vazirligi mazkur qarordan kelib chiqib, umumiy o ‘rta ta'limning o ‘quv dasturlari va rejalarini tasdiqlagan. Respublikamiz maktablari o ‘tgan yillar davomida ta’ limning shu standartlari va dasturlari asosida ishladi.

0 ‘ zbekiston Respublikasining „2004—2009-yillarda maktab ta’ limini rivojlantirish davlat umummilliy dasturi“ da „Ta’lim tizimida qo‘llanilayotgan o ‘quv standartlari va o ‘quv dasturlarini takomillashtirish“ masalasi qo'yilgan. Mustaqil 0 ‘zbekistonimizning davlat va jamiyat qurilishidagi, fan va texnika, xo‘jalik sohasidagi yutuqlari ham ta’lim standartlari, o‘qu\ dasturlari va rejalarini qayta ko‘rib chiqish va takomil- lashtirishni taqozo etadi. Endilikda davlat ta’lim standartlari va o ‘quv dasturlarining takomillashgan varianti (hozircha loyiha maqomida) ishlab chiqildi va sinalmoqda. Ular amaliyotga bosqichma-bosqich tatbiq etiladi.

Metodik qo‘llanma 7- sinf „Algebra“ darsligiga mos keladi. Matematika o‘qituvchilari yoki qobiliyatli o ‘quvchilar ushbu qo'llanmadan foydalanayotganlarida darslik ham ular yonida bo‘lgani ma’qul.

Darslikning tuzilishiDarslik takomillashtirilgan davlat ta’lim standartlari va

dasturiga muvofiq holda yozilgan. Darslik 5 ta bob, 28 ta paragrafdan iborat. Har bir mavzuga bitta paragraf mos keladi.

Darslik mazmunini va vazifasini quyidagi talablar asosida belgiladik:

— 0 ‘zbekistonni kelajakda buyuk davlatga aylantiruvchi, erkin fikrlovchi, yuksak ma’naviyatli barkamol avlodni tarbiyalash;

— umuminsoniy qadriyatlami, milliylikni o ‘zida mujas- samlashtirish;

— mamlakatimiz mustaqilligini mustahkamlash, milliy istiqlol g'oyalarini singdirish, vatanparvarlik hislari, milliy g‘ummi tarbiyalash;

— ta’lim va tarbiyani o‘zaro chambarchas bog‘langan holda olib borish;

— ilmiy va amaliy ahamiyatga ega bo‘lgan nazariy ma’lumotlar, qonun-qoidalar, tushunchalami berish;

— qo‘ llaniladigan atama, ta’riflar, qoidalaming fanda amalda qabul qilingan va ishlatilib kelinayotgan atamalarga mos bo‘lishi;

— o ‘quvchilaming yosh va psixologik xususiyatlarini hisobga olish;

— darslikda bayon qilingan materialning dasturga, ajratilgan soatlarga mosligi;

— fanlararo bog‘lanish, boshqa fanlar bilan uyg‘unlashish;— darslikning bilim berishidan tashqari, o ‘quvchilaming

mustaqil bilim olishiga yordam berishi; mustaqil bilim olishga o ‘rgatishi;

— bilimlaming hayot va amaliyot bilan bog‘liqligi, o ‘quv- chilarda mustaqil faoliyat ko‘nikmalarini rivojlantirishi.

Darslikda o ‘quv materialini bayon qilishning ushbu tizi- miga rioya qilingan

— mavzuning (o ‘quv materialining) taqdimoti;— mavzuni rivojlantirish;— mavzudan chiqarilgan xulosa, natijalami qo‘llash,

mustahkamlash, baholash.Darslikning har bir mavzusida aytilmoqchi bo‘lgan fikr va

xulosa ilmiy jihatdan asoslangan va misollar orqali tushuntirilgan.Mavzuning taqdimotida yangi tushunchalami kiritishga

ehtiyoj borligini ko‘rsatuvchi hayotiy misol va masalalar keltirilgan. Har bir mavzu bilan bog‘ liq bo‘lgan namunaviy misol va masalalar yechimlari bilan berilgan. Oldingi egallangan bilimlarga murojaat qilingan.

Darslikdagi mavzular hajmi o ‘quv rejasida mo‘ljallangan dars soatlariga mos keladi.

Mavzulaming tartibini, ketma-ketligini belgilashda ularning uzviy bog‘langan bo‘ lishi ta’minlandi.

Mashqlar tizimi „soddadan murakkabga“ tamoyili asosida tuzilgan bo‘lib, bitta mashq ichida berilgan misollaming yechilishi bir-biriga o ‘xshash. Shuning uchun ham mashq- dagi toq tartib raqamli misollarni sinfda ishlab, shu mashqning juft tartib raqamli misollarini uy vazifasi qilib berish mumkin.

Mashqlar tizimi o ‘quvchilaming matematik qobiliyatlari turlicha bo‘lishini hisobga oladi. 0 ‘quvchilami qiziqtimvchi, kichik bir tadqiqot qilishga chorlovchi, ular qobiliyatini ochishga, namoyon etishga imkon bemvchi mashqlar ham berilgan.

Mashqlar tizimi o ‘quvchilaming mavzulami o'zlashti- rishini, mavzu ustuda mustaqil ishlashini nazaiga olib tuzilgan. Mashqlami tuzishda mustaqil 0 ‘zbekistonimizning milliy xususiyatlari, o ‘quvchi o ‘z kundalik hayotida uchratadigan voqeliklar hisobga olindi.

Mavzular, mashqlar amaliyot, tevarak-atrofdagi hodisa, voqealar bilan bog‘liq, zero, ular ayni o ‘shalardan olingan.

Masalalarda o ‘g‘ il va qiz bolalaming qiziqishlari; shahar va qishloq hayoti ham o ‘ z aksini topgan. Turli kasb yo‘nalishlarida uchraydigan mashqlar ham berilgan.

Mavzu bayoni va misollar o ‘quvchilar yoshiga, bilimiga mos qilib tanlangan, ularda zo ‘ riqish paydo qilmaydi.

Har bir bob oxirida qo‘shimcha material sifatida shu bobga doir mashqlar tizimi ham berilgan. Bu mashqlami sinfda, uyda ishlash bilan birga, ulardan bobni takrorlash, mustaqil ish uchun ham foydalanish mumkin.

Har bir bobga doir test topshiriqlari (sinov mashqlari) berilgan. Ulardan siz — muhtaram o‘qituvchi o‘quvchilaringiz bilimlarini nazorat qilishda foydalanishingiz mumkin yoki o‘quvchi o‘z-o‘zini nazorat qilishda foydalansa bo‘ladi. Har bir bobda ,,0 ‘zingizni tekshirib ko‘ring“ rukni ostida shu bobga oid topshiriqlar berilgan bo‘lib, undan o‘quvchining o‘z-o‘zini nazorat qilishi, mavzulami o‘zlashtirish qanday bo‘rayotganini bilishi uchun foydalanish tavsiyaetiladi. Binobarin, darslik mazmuni o ‘quvchilar yoshiga

va bilim darajasiga muvofiq va o ‘quvchilami mavzu ustida mustaqil ishlashga o'rgatadi. Darslikda keltirilgan barcha ma’ Iumotlar, xulosalar ilmiy jihatdan to ‘g ‘ ri yoritilgan. Darslikda „Qiziqarli masalalar“ mkni ostida nostandart masalalar ham berilgan bo‘hb, u o ‘quvchilami masala yechishning an’anaviy usullaridan tashqari boshqa usullari ham borligiga ishontiradi, shu usullami topishga undaydi, ularni mustaqil bilim olishga yo'naltiradi, ulardagi bilimlami chuqur- lashtirishga, sayqal toptirishga xizmat qiladi. Darslikda o‘quvchilaming o ‘rganilayotgan bilim, ko‘nikma va malakala- rini egallash zamrligini anglashiga, ulaming ahamiyatini tushunishiga qaratilgan faollashtimvchi materiallar berilgan.

Darslikning har bir bobida shu bobga doir „Tarixiy masalalar“ , „Tarixiy ma’lumotlar“ keltirilgan. Ularda matematika fani rivojiga ulkan hissa qo‘shgan buyuk olimlar Abu Abdulloh Muhammad ibn Muso al-Xorazmiy, Abu A li ibn Sino va boshqa olimlar haqida qisqacha ma'lumotlar berildi. Shu bilan birga darslik matnida, „Tarixiy masalalar“ mkni ostida yurt- doshlarimizning, boshqa mashhur olimlaming bir qancha qiziqarli, amaliy ahamiyatga molik, mavzuga mos masalalari ham o ‘rin olgan.

Bunday masalalar bilan tanishish o ‘quvchilaming vatanparvarlik, milliy g ‘umr, ajdodlarimizni jahonga tanitgan ish- laridan faxrlanish, tuyg‘ularini yanada mustahkamlaydi. Milliy istiqlol g‘oyasini teran idrok qilishlarida, chuqurroq anglash- larida ulaiga yordam beradi. Darslikda allomalarimiz haqidagi ma’lumotlar bilan farzandlarimizni tanishtirish imkoniga ega bo‘ lishimiz ham mustaqilligimiz sharofatidandir.

Darslik dastur doirasida algebraga oid yetarli miqdordagi ma’lumotlami, ta’lim olishning turh metodlarini o ‘zida mujas- samlashtirgan. Mavzu va masalalami tushuntirishda dizayn, rasm va chizmalardan kengroq foydalanishga, ularning mavzuga uyg‘un bo‘lishiga harakat qilindi, bu esa mavzu va masalalami aniqroq tushunishda o ‘quvchilarga yordam beradi.

Darslikda mavzular qiziqarU, zamonaviy pedagogik texno- logiyalardan foydalangan holda bayon qiUngan. Darslikdagi mavzulaming hammasi, masalalar to‘ laUgicha tushunarli,

ravon tilda bayon etildi. Darslikda 5—6-sinflarda o ‘tilgan mavzulami takrorlashga doir mashqlar tizimi, shuningdek, 7- sinf „Algebra“ kursini „Takrorlash uchun mashqlar" ham berildi.

Mashqlar, topshiriqlar va amaliy mashg‘ulotlar darslik mazmunini o ‘zlashtirish uchun yetarli darajada keltirilgan.

„Takrorlash uchun mashqlar“ dan siz nafaqat yil oxirida, yakuniy takrorlashda, balki mos mavzulami takrorlashda ham foydalanishingiz mumkin. Mashqlaming aksariyat qismi javoblar bilan ta’minlangan.

Tushunchalar va ismlar ko'rsatkichi sizga hamda o ‘quvchilaiga kerakli ma’lumotlami darslikdan tezda topish imkonini beradi.

Yuqorida darslik mazmuni, vazifasiga qo'yilgan talab- larga mos keluvchi darslik yaratish yo ‘lida taqdim etilgan „Algebra—7“ darsligining o ‘ziga xos xususiyatlari bayon etildi.

Mazkur darslikni yaratishda quyidagi didaktik tamoyil- lardan kelib chiqildi:

— ta’lim jarayonining tarbiyaviy yo‘nalganligi, ta’lim va taibiya birligi;

— ilmiy dunyoqarashni shakllantirish, ilmiylik;— tushunarlilik, qiziqarlilik, hayotiylik, tarixiylik;— ta’limning hammabopligi, muntazamligi, amaliyot

bilan bog‘liqligi;— bilimlami ongli ravishda o ‘zlashtirish;— aniq va abstrakt tushuncha hamda hayotiy xulosa, dalil-

laming birligi;— ko‘rsatmalilik, bilimlami puxta egallash;— rivojlantimvchi ta’lim;— ta’limning ijtimoiyligi;— ta’limning o ‘quvchilar yoshi, psixologik va shaxsiy

xususiyatlari va bilim saviyasiga mosligi;— ta’limning uzviyligi va uzluksizligi;— Gender tamoyili.Daislikka qo‘yilgan talab va vazifalar ayni shu tamoyillarga

asoslanishni taqozo etdi.

Metodik qo‘llanmaning tuzilishi

Metodik qo'llanmaning boblari, paragraflari (mavzulari)ning nomi, tartib raqami va ulaming soni darslikning mos boblari, paragraflarining nomlari, tartib raqami va soni bilan bir xil. Metodik qo‘llanmada har bir mavzu uchun:

— mavzuning maqsadi;— mavzuni o ‘ rganish natijasida o ‘quvchi egallashi lozim

bo‘lgan bilimlar, ko ‘nikmalar ko‘rsatilgan.Mavzuni o ‘tish, yoritish bo‘yicha metodik tavsiyalar

berilgan, unda:— asosiy e ’tibor dars o ‘tishning interfaol usullariga, zamo-

naviy pedagogik texnologiyadan foydalanishga qaratilgan;— mavzuni yoritishdagi o ‘ziga xoslikka, uning nozik,

qiyin nuqtalariga (joylariga) diqqat qaratilgan;— siz va qobiliyatli o ‘quvchilar uchun har bir bobda shu

bob mavzularini mukammalroq, yanada to‘ laroq, chuqurroq anglash, idrok qilish uchun qo‘shimcha material, masalalar tizimi berilgan.

Har bir mavzu materiali bitta paragrafga jo bo‘lgan.— Mavzuga oid masalalarni yechish namunalari

ko‘rsatilgan. Bunda mashqni bajarishning nozik, asosiy joylariga e’tibor qaratilgan. Fikrimizcha, bu jihati, ayniqsa yosh o ‘qituv- chilarga manzur bo‘ladi.

— Mavzu bo‘yicha faollashtiruvchi savol va topshiriqlar sizga o ‘quvchilar mavzuni qanday o ‘zlashtirayotganliklarini bilishingiz, ulami faollashtirishingizda foydali, deb o'ylaymiz.

— Mavzuga doir tayanch so‘z va iboralar ro ‘yxati berilganki, ulaming har birini anglash, idrok qilish, atamalar ma’nosini chaqish, joy-joyida ishlatishni o ‘quvchilar bilishlari kerak.

— Har bir mavzu uchun davlat ta’lim standartlarining talabiga muvofiq, shu mavzu o ‘tilgach, o ‘quvchi bajara olishi shart bo‘lgan mashqlar namunasi keltirilgan. Mashqlami hal qilgan o ‘quvchi shu mavzuni o ‘zlashtirgan hisoblanadi.

Har bir bobda shu bobga doir yozma nazorat ishlarining namunalari to‘ rt variantda va javoblari bilan berilgan.

x

„Birhadlar va ko‘phadlar“ [10 ta paragraf (mavzu)dan iborat], „Algebraik kasrlar“ [5 ta paragraf (mavzu), muhim, ahamiyatli bob] kabi yirik, salmoqli boblar uchun ikkita, qolgan boblar uchun bitta yozma nazorat ishi mo‘ljallandi. Shu bilan birga, „Algebra—7“ kursi bo‘yicha yakuniy yozma ishning to‘rtta varianti ham qo‘llanmadan o ‘rin oldi. Taklif qilinayotgan yozma nazorat ishlari (jami — 8 ta yozma ish, 32 ta variant, 160 ta mashq. Ba’zi mashqlarda 2—3 tadan misol bor) da 5 ta mashq berildi. Ulaming birinchi 3 tasi davlat ta’lim standartlarining minimal talablariga mos keladi.

Albatta, o ‘quv yili davomida nechta nazorat ishi o'tkazish, qachon o ‘tkazish kabi savollarga javob sizning yillik ish rejangizda bor. Nechta variant tuzish, har bir variantda nechtadan mashq bo‘lishi, ular qanday qiyinlikda bo‘lishi lozimligini ham siz o ‘z tajribangiz asosida sinfingizning „kuchi“ ga qarab hal qilaverasiz.

Biz bildirayotgan fikr-mulohazalar siz uchun maslahat, taklif, tavsiya, xolos. Har bir mavzu oxirida berilgan va o ‘quvchilar yecha olishlari shart bo‘lgan mashqlar ham, variant- lardagi misollar ham namuna deb qabul qilinishini istardik.

Metodik qo‘llanmada „Sinfdan tashqari ishlar uchun mashqlar“ tizimi ham berilganki, undan siz va qobiliyatli o ‘quvchilar to‘garak mashg‘ulotlarida, o ‘z bilimlarini mustaqil oshirishda foydalanishingiz mumkin. Undan qobiliyatli o ‘quvchi bilan alohida shug‘ullanganda, olimpiadalarga tayyorlanishda ham foydalansa bo'ladi. Qolaversa, bu masalalami yechish va tahlil qilish, birinchi navbatda, sizning o ‘zingiz uchun ham foydali.

Sizga oson bo‘lsin deb, qo‘llanmada „Algebra—7“ kursini mavzular bo‘yicha namunaviy rejalashtirish ham keltirilgan. Mavzuni o ‘tish uchun ajratilgan soatlar taxminiy, ularni o‘qituvchi o ‘z tajribasidan kelib chiqib o'zgartirishi mumkin.

Qo‘llanmada o ‘qitishning turli metodlari, yangi pedagogik texnologiyalar haqida ham ma’lumotlar berilgan. Bunda o‘quvchilar faolligini oshiruvchi metodlarga urg‘u berildi, zero, darslik mavzulari ayni shu metodlarda dars o ‘tishga mo‘l- jallangan.

9

Shu bilan birga, metodik qo‘llanmada qobiliyatli o ‘quvchilar uchun sinov (test) mashqlari hamda ulami yechish namunalari berilgan.

Sinov mahqlari dastuming barcha mavzulariga oid. Ulardan mashqlar tizimi sifatida ham foydalanish mumkin.

Siz dars o ‘tish jarayonida mavzulaming maqsadi va matematika xonasidagi „o ‘z bisotingizdan“ kelib chiqib, kompyuter imkoniyatlaridan, plakat, test, tarqatma mate- riallardan, diafilmlar, o ‘quv filmlaridan va boshqa turli vositalardan foydalanishingiz maqsadga muvofiqdir.

Sinf o ‘quvchilarini, lozim deb topilgan hollarda, guruhlaiga bo‘lishingiz, ular o'rtasida mavzuga oid bahs-munozara, savol-javoblar, masala yechish va yechimlami tahlil qilish bo‘yicha musobaqalar uyushtirsangiz ham bo‘ladi.

Mustaqil va hur 0 ‘zbekistonimiz kelajagining poydevori bo‘lgan barkamol avlodni tarbiyalashda, bilim berishda siz — muhtaram muallimlarimizga kuch-quwat, sabr-toqat va muvaffaqiyatlar tilaymiz.

10

7- SINF UC H UN „ALGEBRA“ DAN DAVLAT TA’L IM STANDARTI

( 0 ‘zbekiston Respublikasi Xalq ta'limi vazirligining „M a- tematikadan davlat ta’lim standarti“ , Toshkent — 2004-yil risolasidan mos bandlari olindi.)

• sonli va harfiy ifodalar haqida tushunchaga ega bo‘lish, harfiy hisob matematikaning formal-operativ hisobi ekanini anglash;

• harfiy ifodalami, shakl almashtirish qoidalarini bilish va ulami qo‘llay olish;

• darajalar, ko‘phadlar va algebraik kasrlar ustida asosiv amallami bajarish va shakl almashtirishda qo‘ llay olish;

• ko‘phadlami standart ko‘ rinishga keltira olish;• algebraik ifodaning son qiymatini topa olish;• qisqa ko‘paytirish ayniyatlarini bilish va qo‘llay olish;• tenglamalar — masalalar yechish apparati ekanligi ha-

qida tasawurga ega bo‘lish;• „tenglama“ , „uning ildizi“ tushunchalarining ma’nosini

bilish;• chiziqli tenglamani yecha olish;• buyuk allomalarimiz va ularning matematika rivojiga

qo‘shgan hissalari haqida tasawurga ega bo‘ lish.

0 ‘quvchilar „Algebra—7“ kursini oTganish natijasida quyidagi bilim va ko‘nikmalarni egallashlari lozim:

Bilimlar:— berilgan son tenglamaning ildizi bo‘ ladimi yoki yo‘qmi

ekanini tekshirishni bilish;— sonli va harfiy ifodalar haqida tushunchaga ega bo‘lish;— murakkab bo‘lmagan harfiy ifodalaming yig‘ indisi,

ayirmasi, ko‘paytmasi va bo'linmasini yoza bilish;— arifmetik amallaming xossalarini bilish;— qavsni ochish va qavsga olish qoidalarini bilish;— natural ko‘ rsatkichli daraja va uning asosiy xossalarini

bilish;11

— birhad va uning standart shakli haqida tushunchaga ega bo‘lish;

— umumiy ko‘paytuvchini qavsdan tashqariga chiqarishni bilish;

— qisqa ko'paytirish formulalarini bilish;— ko‘phadlarni ko‘paytuvchilarga ajratishning barcha

usullarini egallash;— algebraik kasrlami boshqa harfiy ifodalar ichidan

ajratishni bilish;— kasrlami qisqartirishda kasming asosiy xossalarini qo‘l-

lay bilish;— algebraik kasrlar ustida to‘ rt amalni bilish;— allomalarimizning fanga qo‘shgan hissalarini bilish;— tenglamani yechishga oid (tenglama, tenglamaning

ildizi, tenglamani yechish) atamalaming ma’nosi;— chiziqli tenglama va uning ildizi nimaligini bilish.

Ko ‘nikmalar:— berilgan son qiymatini o ‘miga qo‘yib, ifodaning son

qiymatini hisoblay olish;— miqdorlaming qiymatini unga mos formulalar yorda-

mida hisoblay olish;— algebraik ifoda tarkibiga kirgan harflar o ‘miga ulaming

berilgan son qiymatini qo‘yib va ko‘rsatilgan amallami bajarib, ifodaning son qiymatini hisoblay olish;

— harfiy tengliklarga misollar keltira olish;— harfiy ifodalarda o‘xshash qo‘shiluvchilami ixchamlay olish;— sonli va harfiy ifodalarda qavslami ocha olish;— natural ko‘rsatkichli darajaning xossalarini birhadlar

ustida amallar bajarishda qo‘llay olish;— berilgan ko‘phadning darajasini topa olish;— birhad va ko‘phadni standart shaklga keltira olish;— birhadlar va ko‘phadlar ustida arifmetik amallami hamda

shakl almashtirishlami bajara olish;— ko‘phadlami ko‘paytirish uchun kvadratlar ayirmasi,

yig‘ indining kvadrati, ayirmaning kvadrati formulalaridan foydalana olish;

12

— ikki algebraik kasming yig'indisini, ayirmasini ko'paytmasi, bo‘linmasini topa olish;

— tarkibida ko‘phadlar va algebraik kasrlar bo‘lgan, nisbatan soddaroq algebraik ifodalami ko‘paytish, mos almashtirishlami bajara olish;

— bir noma’lumli chiziqli tenglamalami yecha olish;— chiziqli tenglamalarga keladigan tenglamalami yecha

olish;— matnli masalalami tenglamalar tuzish usuli bilan yecha

ohsh.„Davlat ta’lim standartiga sharh“da „Matematikadan davlat

ta’lim standarti belgilaydigan majburiy talablar o ‘quvchilar tayyorgarligiga mos topshiriqlar namunalari bilan oydinlash- tiriladi“ , — deyiladi. Quyida ana shunday topshiriq namunalari beriladi.

0 ‘quvchilar qiyinlik darajasi quyidagicha bo‘lgan misol va masalalami yechish ko‘nikmalariga ega boiishlari shart:

1. Algebraik ifodaning son qiymatini toping:

1) 6a + 5b, bunda a = \ , b = 1;

2) 3a - 2b, bunda a = 1, b = i ;

3) \x ~^y, bunda x = 10, y = -7;

4 ) S i > bundaa=5- i = 4 ;

5) ■ 4Y 2 , bunda x = = 2;1+x y 2

6) -2c(f +1), bunda a = -2, b - -1.b +4

2. Avtomobil 1 soatda 80 km y o i yuradi. U t soatda necha kilometr yo‘1 yuradi?

3. Mashinaga a qop kartoshka, b qop sabzi yuklandi. Har bir qopdagi kartoshka n kg, har bir qopdagi sabzi m kg boisa, mashinaga jami necha kilogramm yuk ortil- gan?

13

4. 1) £tonna b kg ni kilogrammlarda;2) s km d m ni metrlarda;3) / kg ni tonnalarda;4) n m ni kilometrlarda ifodalang.

5. 0 ‘xshash hadlami ixchamlang:

1) 3a + 2b - a - b;2) 0,5x - 0.3.y + 0,4x + 0,1 y\

y ) l\ x * 2 \ y - l\ x - l\ y ,

4) 8o + 4b - 3a + b\5) 4,8A: + 3,2« -1 ,6m - 1,8A: + 0,8n + 2,6m\6) 6,3x - 4, ly + 0,9z + 0,7x +1, ly +1, lz.

6. Ifodani soddalashtiring:1) 2 (3x+ l)+3 (4 -3x ); 3) 5 (2x-3y)-(7x~10y);2) 4 (x -5 )-3 x + 17; 4) 0,8(1,5a+2,5Z>)-0,9(3fl+2Z>).

7. Ifodani awal soddalashtiring, keyin uning son qiymatini toping:

1) (3c + 4d ) - (c + 2d ), bunda c = 1,5, d = 2,4;2) (4a - 3b) - (6a - Ib), bunda a = -2, b = -2,5;

3) (-3 ) • (5x + 2y) - (-7x + 4y ), bunda x = 1 i , y = -0,3;O

4) (-2 ) • (3x - Ay) + (-3 ) • (3x + 2y), bunda x = 2 ,y = 1,5.

8. -1; 0; {; i,2 so n la r i orasida quyidagi tenglamalarning3 2 ildizi bormi1) 3(x - 2) = 2x - 4;

2) 4x + 3 - 2x = 2(1,5 - x);

3) 2x -1 = 2 (x -0 ,5 );

4) 3x + 4 = 6x + 3;9. Tenglamani yeching:

1) 3x + 5 = x + 2; 3) 6(4 - 3x) + 5(5 - 6x) = 0;

2) 7 - 2x = x - 2; 4) 0,5(x - 3) + 0-4(5 - x ) = 0;

5) 5x + 6 = 3(2 + x ) - 2;

6) 7(x - 3) = 5x -17;

7) 6x + 5 - x = 3x + 7;

8) 3x + 4 + x = 2x + 5 ?

14

^ 3x-2 __ 4-3x'~ 5 ~ ~T~

c\ 3-2x , 3x-l

x+3.1 T ’x+1 6 ’

7 ) 4 i x + 4 = 2 l x + 6;

8) 7,5(x - 2) = 5,5(x - 4).

10. T o ‘ g‘ri to‘rtburchakning perimetri 50 sm ga teng. Bo‘yi enidan 3 sm uzun. Shu to‘g ‘ri to‘ rtburchakning yuzini toping.

11. Uchburchakning perimetri 48 sm ga teng. Uning bir tomoni ikkinchisidan 3 sm uzun, uchinchisidan esa 6 sm qisqa. Shu uchburchakning tomonlarini toping.

12. Ikki sonning yig‘ indisi 70 ga teng. Birinchi sonning 10 %i, ikkinchi sonning 25 %iga teng. Shu sonlami toping.

13. Uchta ketma-ket toq sonning yig‘ indisi 339 ga teng. Shu sonlami toping.

14. 561 yukni 3 1 va 5 1 yuk ko‘tara oladigan mashinalar bilan tashishdi. Bunday mashinalar hammasi bo‘iib 16tabo‘lsa, ulaming nechtasi 3 t, nechtasi 5 t yuk ko‘tara oladigan mashinalar ekanini toping.

15. Savdogar matoning bir metrini 250 so'mdan sotsa, 6 000 so‘m zarar ko‘radi. Agar u shu matoning bir metrini 330 so‘mdan sotsa, 3 960 so‘m foyda ko‘radi. Savdogarda necha metr mato bor?

16. Ko‘paytmani daraja shaklida yozing:

1) a a a a a ;2) (a + b) (a + b) (a + b);^ 3 a 3 a 3 a 3 a .} T'T'T T’

4)a a a a a . b ' b ' b ' b ' b ’

5) (-2b) (-2b) (2b) (2b);6) (3a) • (3a) ■ (3a) • (3a);

7) 0a -b )(a -b ) (a -b );

17. Darajani bir xil ko‘paytuvchilaming ko‘paytmasi shaklida yozing:

1) 85; 2) (-2 )4;

5) (a + b)3;

3) (a -b )3;

6) ( - l ) 4;

!S

7 )(-< .)’ ; 8 ) ( f J ;

10) ( ^ J ; i i ) ( 2 ^ 3 4 j ; I2 )(3 £ i“ j .

18. Ko'paytmani daraja shaklida yozing:

1) 45 • 46; 5) (2a)3 • (2a)5; 9) (3c - 6)2(3a - 6)2;

2) 36 - 37; 6 ) ( x - y ) 3 ( x - y ) 2; lQ){a + 2b)\a + 2by,

3) as • a2; 7) (x + >05 ■ (jc + >03; 1D ( ^ J ■ ( ^ J ;

n 5-2,6-4-2,s 7-3,2+4-3u n 9-7,0-8-79D ? • Z > 52.95 • n .78 •

366 124 . 3306-992 . ^ 34-95' 18g 43 ’ ' 338 105 ’ ' 274

21. Birhadni standart shaklda yozing:

D 5a2 • a; 2) ab3c; 3) 52ab2(-2)a2b; 4) { -a )(-a f bb2;

5) 23 • xy2(-3)yx; 6) 0,5ab4bbaa; 7) I al4M i ab.

22. Birhadni standart shaklda yozing va uning son qiymatini hisoblang:

1) âb 6 b2 ^ a 2, bunda a = -3, b = ^;

2) ^ x 2(-0,5)>73, bunda x = -7, y = 2.

23. Birhadlami ko‘paytiring:

1) (2a?)(3a3); 4) (2,5ax) • (-4a2x);

5) Bfl2*v)K‘,x2>');J X V * ) ^ ) ; 6)

16

24. Birhadni boshqa birhadning kvadrati shaklida yozing:1) 4a2; 2) 16a4; 3) 81 a6; 4) 25x*; 5) I44f; 6) 0,04m2;

7)±b2; 8)1,96c4; 9) 0,01x2; 10) 0,49a2; 11) 0,64a2b2.

25. K o ‘phadning son qiymatini toping:

1) 3a2 + 2ab + b3, bunda a = 2, b = -1;

2) 8aA + 3ab2 - 6b2, bunda a = i , b = i .

26. Ko'phadni standart shaklga keltiring:

1) 10o2 3 + 5a - 2a2 - 3a;2) l,5x2 + 2,5x2 - 0,8x2;

3 ) j a b + a2+ ^ a b -^ a 2;

4) 3ab ac - a24bc - abc + 0,5abc.

27. K o ‘phadlaming yig‘ indisini toping:

1) 2ab + a2 - 4b2 va 3a2 + 2b2 - ab;2) 4x2 + 5xy - 3y2 va 5y2 - 3xy - x2.

28. Ko ‘phadlaming ayirmasini toping:

1) 8 a2 - 5 ab - b2 va 5 a2 - 4ab - 3 b2;2) 6x2 + 4xy - 3y2 va 2x2 - 2xy - 5y2.

29. Ko ‘phadlaming yig‘ indisini toping:

1) (12x -15y + 7z) + (S x + 20y - 9z);2) (I5a + l l b - 9c) - (10a -2 b - 7c);3) (7a2 - 18ab + llb2) - (4a2 - 10ab + 9b2);4) (3,5x2 + 3xy - 4y2) + (-5 ,6x2 - 4xy + l,5y2).

30. Ko‘paytmani toping:

1) (3a - 2b)4c; 4) (-5 ) • (2a + 3b - 1);

2) (~3x + 4y)2z;

3) (a2 -ab + b2) • c;2 - 7 - sinfda „Algebra“

(4a2 -2ab + Sb2);

6) 2b (a2 + 3ab + b2).

31. Ifodani soddalashtiring:

1) 4 (a -b )-3 (2 a -3 b );2) (-2 )(x + >0 + (2.); + x);

3) 2ab(3a2- b 2) +3ab(2b2-a 2);4) 6(5a-3b) + 5(3b-2a).

32. Ko'phadlami ko'paytiring:

1 )(a + b)(a + b); 6) (a2 +ab + b2)(a -b );2) (a + b)(a - b); 7) (a + b)(a2 - ab + b2);3) (a - b)(a - b); 8) (2a + 3b)(4a2 - 6ab + 9b2);4) (a - 2)(a - 3); 9) (2x - 5y)(4x2 + 1 0 ^ + 25y2);

5) ( i a + o - 1 ft); 10) (5 + 4b)(2a - 3

33. Algebraik ifodani soddalashtiring, keyin son qiymatini toping:1) (2a - l)(2a - 3) + (4a - 5)(a - 2), bunda a = 1;

2) (3x - 2 )(x + 4) - (1,5x - l)(2x - 3), bunda x = -2.

34. Bo‘lishni bajaring:

1) 6a: 2a; 2)%a2:4a; 3) ( - l , 8 x ) : (-2x ); 4) 15o3 : 3a2;

5) (-2,5o‘ ) : (-0,5a‘ ); 6) | o V : \a>b-

7) - 4 a V c J : 2oV<4.

35. Bo‘ lishni bajaring:

1) (8o -6b + 4):2; 2) ( -x + xy ): (-x );

3) (a2b2 + ab): (ab); 4) (~a5bA + 2a6b3) : (2a3b2);

5) (6a3b* -5a2b3) :(-2a2b3).36. Umumiy ko‘paytuvchini qavsdan tashqariga chiqaring:

1) 3a + 3b; 4) 18/ + 9 / ;

2) 12x - 6y + 6z; 5)|-x2y + Q,25xy2;

3) 4a2b + 8ab + 4ab2; 6) 9a2b2c3 - 18abc2.is

37. K o ‘paytuvchilarga ajrating:

1) 3a(a -b ) + 4b(a - b); 4) a2( 1 - x ) + 3b2(x - 1);

2) a2(2x -3 y )+ b2Q.x-3y); 5) 5(a - 3) - x(3 - a);

3) x • (a - b) + y(b - a); 6)2a(x+l)-3Z>(x+l)+c(x+l).

38. K o ‘paytuvchilaiga ajrating:

1) a(b - c) + b - c; 4) c - 3b(c - d ) - d ;2) x + y + a(x + y ); 5) x(a - b ) + ya - yb;3) a + 2 b(a + b) + b; 6) 3 ac + 3bc - 4ad - 4bd.


1) (a - b)2 +(a + b)2; 2) (a + b)2 - ( a - b)2;3) (a - b)3+(a + b)3; 4) (2x + 3 y)2 - (2x - 3y f ;5) 4(2 - x)2 - 3(3 - x)2; 6) (x - 2a)2 - 4(x + a)2.

40. Tenglamani yeching:

1) 9x2 - (3x - 2)2 = 8;

2) (2x - 1)2 - (2x - 3)2 = 8;

3) (x + 2)(x + 3 )- (x + 1)2= -4;

4) (x - lX x + 2) - (x +2)2=0;

5) 16jc2- (4x - 3)(4x + 5) = 15;

6) 25x2 - ( -5 jc - 2)2 =16.

41. Soddalashtiring:

1) (a - 2)2 - (a + 2)(a - 2); 3) (2x - 3y)(3y - 2jc) + 4x2;

2) (x - 4f - (x + 4)(4 - x); 4) (4b - 3c)(4b + 3c) + 9c2.


1) (jc + 5)2 - (jc + 1)(jc -1 ) = 36;

2) (2x + 3)2 - (2x - l)(2x +1) = 26;

3) (3x - 4)2 - (3x + l)(3x -1 ) = 9;

4) (3x + 2)2 - 9(x - l ) (x +1) = 1.

43. Hisoblang:

1) 1392 +1 39 122 + 612;

962 +2-96-36+362 .

962-36j ’3)

5)233 +3-232 -77+3-23-77+773

2 ) 1432 - 2 • 143 • 63 + 632;

242-92

242 +2-24-9+92 ’

(11,09)3+(8,91)3

4 )

6)773 -3-772 -27+3-77-272 -273 ’

44. Algebraik kasming son qiymatini toping:

(11,09)2 -11,098,91+(8,91)2

1)2a+3b~ab~ bunda a = ^ ,b = 4;

2 ) ^ = ^ , bunda c = 2,6 = - l ; o+A

bunda x = \, y = \\' 27y2 2 J 3 ’

4 ) ^ 1 , bunda n = 4, b = 3. a*+b*

45. Kasmi qisqartiring:

1)

4 )

7)

3 (o + i ) . 2) 12(0-6). r\ 3 6 (o -6 )(o -6 ).6(0+6) ’ *•) 28(a-6) ’ JJ 96(0-6) ’

3( x - y ) .5) a263 .

6)12o3+8o26 .

y - x ’ a2b-ab2 ’ 8o3+12o26 ’

o2-36 . o-6 ’ 8)

o2-4 . o+2 ’

9)4x2-8xy+4y2 .

12x2-12y2 ’

10)

13)

16-8o+o2 o-4

3ab-b . 27o3- 1 ’

11)

14)

a+3ba2+6ab+9b2 ’

/ ~ 8 . o2+2o+ 4 ’

12)

15)

x3-64 .nm~*

8^+27

4o2-6o+9

46. Kasrlami umumiy maxrajga keltiring:

1)| v a ? ;n\ x 32 ) - v a r

y 2y^ 5 63) f va

4 ) A v a i - ; S J - i - v a . 37 36 ’ 3ab 2b ’ x+y

7)2o 3A

• vao2-M fl+fc’ 8)

x -y 3 4x

2^2’ Ux*

6) 8va-2x-3y 2x+3y ’

2 .5x2+5x ’

va

9)5 o 3 6

2a+2b ’ 8a+8ftva 2 ab

6(fl2-62) '

47. Amallami bajaring:

1)

4)

4o 2o . 3(o-6) a- b ’ 2 a 5a+2 . o-3 o2-9 ’ “7 o+3

48. Kasriami ko‘paytiring:

2) ^ a2+a ab+b

5)^=2 +) - - 7 a - 3 ’

3)

6)

5+o 5-662+o6 o6+o2 ’7 5

o-5 o+5 ‘

1)

5)

10o2 14625o76

o364 c2

49. Kasrlami bo‘ ling:

4o2 . 16a2.

3o 166. ' 46 "9o ’ 3)

86 o2 3o ‘ 2p

4 ) | - 4c;

- i - ; 6)18o2 ^ - ; l)--t-2abc\ 8 ) ^ - 2 i !c. o463 9o6 7 862 4o6

1) 562 2562^x3x2 . 9x3

; 14>> ’ T ?3)212^1: (7 o2*2);

3,,24)12x2y : ^

7)x+y . xyx -y x -y

5)

8)

8o362 . 32o2627c3 ’

_____ . _4o_fl2-f>2 ‘ fl+6 ’

9c22o3

6)

8c

o2-16 . o+4 . a2-3o o2-9 ’


2>(H+2)(1+>4>(t


, 3(x+l) _ 2x-3 . ^ x+7 2x-3 _ 3x+2 .+ a in > n 2 a >1)

2(x-l)

3 ) ^ +

44x-5

8

10 4x-2

16

124x-5 , n _ 5x+8

H) = + Z t ■

21

Wk 7- sinf „A]gebra“ kursini mavzular bo‘yicha namunaviy m rejalashtirish (haftasiga 3 soatdan, jami 102 soat)

Darslar Paragraf Boblar va mavzular nomi Soat

1-3 5- va 6- sinflarda o ‘tilganlami takrorlash

3

I b o b . Algebraik ifodalar 11

4 -5 1 Sonli ifodalar 2

6 -7 2 Algebraik ifodalar 2

8-9 3 Algebraik tengliklar. Formulalar 2

10-11 4 Arifmetik amallaming xossalari 2

12-13 5 Qavslami ochish qoidalari 2

14 1- yozma nazorat ishi 1

II b o b . Bir noma'lumli birinchi darajali tenglamalar 12

15-17 6 Tenglamava uning yechimlari 2

18-21 7 Bir noma’lumli birinchi darajali tenglamalami yechish

4

22-25 8 Masalalami tenglamalar yordamida yechish

5

26 2- yozjna nazorat ishi 1

I I I b o b . Birhadlar va ko‘phadIar 25

27-28 9 Natural ko‘rsatkichli daraja 2

29-31 10 Natural ko'rsatkichli darajaning xossalari

3

22

Davomi

32-33 11 Birhad va uning standart shakli 2

34-35 12 Birhadlami ko‘paytirish 2

36-37 13 K o ‘phadlar 2


39-40 14 0 ‘xshash hadlami ixchamlash 2

41-42 15 K o ‘phadlami qo‘shish va ayirish

2

43-44 16 K o ‘phadni birhadga ko‘paytirish

2

45-47 17 Ko'phadni ko'phadga ko'paytirish

3

48-50 18 Birhad va ko'phadni birhadga bo'lish

3


IV b o b . Ko‘phadni ko‘paytuvchilarga ajratish 18

52-54 19 Umumiy ko'paytuvchini qavsdan tashqariga chiqarish

3

55-57 20 Guruhlash usuli 3

58-61 21 Y ig ‘indining kvadrati. Ayirmaning kvadrati

4

62-64 22 Kvadratlar ayirmasi formulasi 3

65-68 23 K o ‘phadni ko‘paytuvchilarga ajratishning bir necha usulini qo ‘llash

4


23

Davomi

V b o b . Algebraik kasrlar 25

70-73 24 Algebraik kasr. Kasrlami qisqartirish

4

74-77 25 Kasrlami umumiy maxrajga keltirish

4

78-82 26 Algebraik kasrlami qo'shish va ayirish

5

83 6-yozma nazorat ishi 1

84-88 27 Algebraik kasrlami ko'paytirish va bo'lish

5

89-93 28 Algebraik kasrlar ustida birgalikda bajariladigan amallar

5


95-100 7- sinf „Algebra“ kursini takroriash 6

101-102 Yakuniy yozma nazorat ishi 2

24

YANGI PEDAGOGIK TEXNOLOGIYALAR HAQIDAI

Dars o ‘ tishning turli xil uslublari bor, shuningdek, dars- ning o ‘zining ham turlari xilma-xil bo‘ ladi.

Dars o ‘tishning an’anaviy uslubi quyidagi reja-ssenariy bo‘yicha kechadi:

1. Tashkiliy qism — salom-alik, davomatni aniqlash, doskaning tozaligi, bo‘r, lattaning borligiga ishonch hosil qilish va hokazo.

2. 0 ‘tilgan mavzuni so‘rash. 0 ‘qituvchi „Aw algi darsda qanday mavzuni o ‘tgan edik, uyga qaysi misol-masalalar berilgan edi?“ , degan savolni o ‘ rtaga tashlaydi. 0 ‘ tilgan mavzuni 4—5 o ‘quvchidan so'raladi. Ular, odatda, doska oldida javob beradilar, shunda uy vazifasini bajaigan daftarlarini o‘qituvchiga ko‘rsatish uchun o ‘zlari bilan biiga olib chiqadilar. 0 ‘qituvchi o ‘quvchilaming javoblarini eshitadi va uy vazifalami ko'radi, ulami baholaydi. 0 ‘quvchilar javoblari bo‘yicha fikr- mulohaza, xulosa aytiladi.

3. Yangi mavzuni bayon qilish. Bundan oldin doskaga mavzu sarlavhasi yoziladi. Ba’zi o ‘qituvchilar shu vaqtning o ‘zidayoq yangi mavzu darslikning qaysi paragrafida, nechanchi betlarida ekanini, qaysi mashqlar uyga vazifa qilib berilishini doskaning bir chetiga (ko‘pincha o ‘ng yuqori burchagiga) yozib qo'yadilar. So‘ngra yangi mavzuni bayon qilish boshlanadi.

4. Yangi mavzuni mustahkamlash. Yangi mavzuni o‘quvchilar qanday tushundilar, darsdan ko'zlangan maqsadga erishildimi-yo‘ qmi ekanini aniqlash, mavzuning asosiy g‘oyasini, „nuqtalari“ ni mustahkamlash uchun o ‘qituvchi mavzuga oid savollar berib ko‘ radi, mashqlar ishlatadi. Bunda tajribali o ‘qituvchilar sinfning faolligini oshirish, mavzu o‘quvchi ongiga singib qolishi uchun turli uslublardan foyda- lanadilar. Masalan, tarqatma materiallar berish, o ‘quvchilami guruhlaiga ajratish, har bir gumhga awaldan tayyorlab kelingan topshiriqni berish va hokazo.

25

0 ‘qituvchi mashqlami bajarish jarayonida sinfni aylanib, kim qanday ishlayotganini kuzatadi, zarur hollarda yordam beradi. „Savollar bormi?“ — deb so‘rab turadi.

5. Darsni yakunlash, o ‘quvchilaming bilimini baholash. 0 ‘qituvchi mashqlaming bajarilishini va javoblami tahlil qiladi. Mavzuning o‘quvchilaiga „yetib bormagan“ joylarini aniqlaydi. Bu , jo y “ lami qayta tushuntiradi, izohlar beradi. Doskada faol qatnashgan, savollarga javob bergan, topshiriqni bajargan o'quvchilar baholanadi.

K o ‘p o ‘qituvchilarning kundalik dars o ‘ tish rejalarini o'iganish, tahlil qilish shuni ko‘ rsatadiki, o ‘qituvchilar yuqorida keltirilgan har bir bosqich uchun vaqt taqsimotini beradilar. Bu, ayniqsa, yosh o ‘qituvchilar uchun foydali. K o ‘rsatilgan vaqtdan biroz chetlanishlar ham bo‘lishi tabiiy hol.

Keyingi vaqtda dars o'tishning ,yangi texnologiyasi", dars o'tishning nostandart — noan’anaviy uslubi, xususan, inter- fa o l (interaktiv) uslubi degan iboralami ko‘p eshitamiz.

Bunday uslublami ilg‘or o ‘qituvchilaming o ‘zlari kashf qilganlar, bu uslublardan ko‘pgina o ‘qituvchilar foydalanib kelishmoqda.

Dars o ‘tishning zamonaviy pedagogik uslublariga oid ko‘plab qo‘llanmalar chop etilgan.

„Biror mavzu ustida qanday ishlanganda uning qancha foizi (protsenti) yodda saqlanadi?“ degan tabiiy savolgajavob topish maqsadida o ‘tkazilgan tajribalar yakuni „anglash pira- midasi“ degan nomni oldi. Unga ko‘ra, mavzu bayonini:

• faqat eshitganda uning 10—20 % i;• eshitsa va mavzuga oid ko‘rsatmali materiallar ko‘rsa,

uning 30—50 % i;• eshitsa, mavzu bo‘yicha amaliy mashg‘ulot bajarsa,

mavzuni o ‘ rtoqlariga gapirib bersa, tushuntirsa, uning 60— 90 % i yodda qoladi.

Albatta, har bir o ‘qituvchining tajribasi, bilimi, qo‘shimcha adabiyotlarining borligi, shaxsiy kutubxonasining boyligi, ko‘p jihatdan, unga mavzuni qaysi uslub bo‘yicha o'tishni „aytadi“ .

26

Bitta uslubga „bog‘ lanib“ qolish ham kerak emas. Turli uslublami o ‘ iganib, taqqoslab, hamkasblar bilan fikrlashib, o ‘z uslubingiz/ii yarata olasiz.

Qisqacha bo‘lsa-da, dars o'tishning noan’anaviy, faollash - tiruvchi uslublariga to‘xtaylik.

Amaliy mashq — mavzuda bayon qilingan nazariy bilim, qoida, formulani amalda, mashqlar ishlash jarayonida qo‘llay olish ko‘nikmasi (uquvi)ga ega bo‘ lish maqsadida tashkil qilinadi. Matematika darslarining deyarli hammasida amaliyot bilan bog‘ liq mashqlar bajariladi.

Mustaqil ishlash — ma'lum mavzular gumhi (bloki) tugagach, ulami bir tizimga solish, mustahkamlash maqsadida o‘quvchilaiga mustaqil amaliy ish, faoliyat bilan shug‘ullanish, darslik, masalalar to‘plami bilan ishlash ko‘nikmalarini hosil qilish. Masalan, mustaqil ish algebraik kasrlar ustida to ‘rt amalga oid bo‘lishi mumkin. Mustaqil ish yozilgan varaq har bir o ‘quvchiga alohida berilishi mumkin. Uni muallim awaldan tayyorlab qo‘yadi.

0 ‘quvchilamingjuft-juft muloqotda bo ‘lishi — biror mavzuga oid masalani hal etishda o ‘quvchi o ‘zining qilayotgan ishini yonida o ‘tiigan (u bilan juftlikda bo‘ lgan) o ‘quvchiga tushuntiradi. Masalan, juftlikdagi bir o ‘quvchi masalaning sharti va savolini tahlil qilishdan uni to‘la yechishga olib bomvchi barcha ishlami, mulohazalarini o ‘ rtog‘iga tushuntiradi. U , o ‘z nav- batida, masalaning yechilishini birinchi o ‘quvchiga tushuntiradi, ya’ni juftlikdagi o ‘quvchilar navbatma-navbat o ‘qituvchi vazifasini (rolini) bajaradilar.

0 ‘quvchilami guruhlarga bo ‘lib ishlash orqali o ‘rgatish — bunda sinfdagi o ‘quvchilar gumhlarga ajratiladi. Har bir gumhda 5—6 tadan 0 ‘quvchi bo‘lishi mumkin. Guruhlaiga vazifa aniq va ravshan qo'yilishi kerak. Gumhdagi o'quvchilar qo'yilgan vazifa bo'yicha fikr-mulohazalarini o ‘ rtaga tashlab, umumiy bir fikiga keladilar. Bu fikmi gumh nomidan biror o‘quvchi sinfga taqdim etadi.

0 ‘qituvchi guruhlaming faoliyatini izohlaydi va baholaydi. Bunday ishlashda o'quvchilar: bir-birlaridan o ‘rganadilar; har

27

bir guruhning nuqtayi nazarini, fikrini hurmat qilishga; o ‘z fikrlari, mulohazalarini asoslashga, ko'pchilikka yetkaza olishga o ‘ rganadilar.

0 ‘qituvchi mavzu, topshiriqlar ro‘yxatini awaldan tuzib qo‘yadi.

Rolli o ‘yinlar — mavzuga mos vaziyatni sahnalashtirish, rollaiga bo‘lib ijro etish. Ssenariy shunday tuzilishi kerakki, sahnadagi ijrochilarning bilim olishlariga, ko‘nikmalarni egallashlariga yordam bersin. 0 ‘qituvchi qaysi mavzular sahnalashtirish uchun qulayligini har tomonlama o ‘ylab ko‘radi; ular ro'yxatini tuzadi va a’ lochi o ‘quvchilar bilan birgalashib ssenariy yozadi.

Matematik diktantlar — o‘quvchi bilimini baholashning joriy nazorat shakllaridan biri. Bunda sodda mashqlar bilan bir qatorda, ma’lum bir mavzular majmuasiga oid atama va tushunchalami o ‘quvchining qay darajada o'zlashtirgani aniqlanadi.

Tanlovlar — ma’lum bir mavzular guruhi bo‘yicha olingan bilimlami, ko‘nikmalami tekshirish, baholashni maqsad qilib qo‘yiladi. Bu tadbir savol-javoblar musobaqasi, viktorina, matematik devoriy gazetalar (ro ‘znomalar), mavzu bo‘yicha yozilgan referatlar tanlovi (konkursi) ko‘rinishida o'tkaziladi.

Konferensiyalar — har chorakda o ‘tkazilishi mumkin, ulami ham oraliq nazoratning bir turi deb qarasa bo'ladi. Bunda, o ‘quvchilar o'zlari mustaqil yozgan ishlarini sinfga ma’ruza shaklida taqdim etadilar.

Ishlar ma’lum mavzularga bag‘ ishlangan bo‘ Iadi. Har bir sinfdan bir nechta maqbul deb topilgan ishlar bo‘yicha o ‘quvchilaming maktab matematika konferensiyasini o ‘tkazish ham mumkin.

„Aqliy hujum “ — tanlangan bitta muammo bo‘yicha o'quvchilami o ‘zaro muloqotga, shu muammo bo'yicha ijodiy ish olib borishga da’vat qilish, taklif etish.

Bunda o ‘quvchilar taklif qilgan turli yechimlar o ‘ rganiladi, taqqoslanadi, yaxshisi ajratib olinadi. „Aqliy hujum“ga mo‘ljallangan muammolar ro‘yxati o ‘qituvchida bo‘lgani ma’qul.

2K

Muammo sifatida, masalan, bunday mashqni qo'yish mumkin. Ikki xonali sonning raqamlari o ‘mi almashtirildi:

1. Sonlaming kattasidan kichigi ayirildi. Ayirma nega 9 ga bo'linadi?

2. Shu sonlaming yig‘indisi 11 ga bo‘ linadi. Nega?Bahs-munozara. Bunda tanlangan mavzu bo ‘yicha

o‘quvchilaming fikr-mulohazalari navbat bilan eshitiladi. Bahs-munozara o ‘tkazish tartib-qoidasi awaldan belgilab olinadi va unga rioya qilinadi. Bildirilgan fikrlar orasidan eng maqbullari olinadi, xulosalar aytiladi.

„Charxpalak“ — o ‘quvchilar faolligini oshirishning bu uslubida:

• sinf o ‘quvchilari, masalan, 6 kishilik gumhlarga bo‘linadi va har bir o'quvchiga tartib raqami beriladi: 1, 2, 3, 4, 5, 6;

• har bir gumh o ‘z topshirig‘ ini (masalan, bir gumhda yangi mavzuni mustaqil o ‘rganish topshirig‘ i berilgan bo‘lishi mumkin) oladi. Topshiriqlar turlicha bo‘lishi kerak. Guruhlar zarur jihozlar (q o ‘ llanmalar, darslik, qog ‘ oz, qalam, chizg‘ ich, sirkul va hokazolar) bilan ta’minlanadi;

• gumhlar 15—20 minut davomida topshiriqni o ‘rganadilar, uni hal qilishga kirishadilar, har bir gumh a’zosi natijani yozib boradi;

• o‘qituvchi guruhlar faoliyatini kuzatadi, savollaiga javob va maslahatlar beradi;

• vaqt tugagach (ikkinchi bosqichda), tartib raqamlari bir xil bo‘lgan o ‘quvchilar yangi gumhga birlashadilar;

• yana 15—20 minut mobaynida yangi tuzilgan gumhning har bir a’zosi shu gumhning boshqa a’zolariga o ‘zi hal qilayotgan (yoki hal qilib bo'lgan) topshiriqni tushuntiradi;

• dars oxirida o ‘quvchilar bilimi tekshiriladi va baholanadi, sinf o‘quvchilaridan o ‘rganilgan barcha topshiriqlar bo‘yicha test olinishi mumkin.

Tadqiqot — olingan bilimlar asosida kichik bir muammo, qiyin masala bo‘yicha yakka yoki 2—3 o ‘quvchi birgalashib olib boradigan izlanish. 0 ‘iganilayotgan muammo hali o ‘til- magan yoki o ‘tilmaydigan (dasturda yo ‘q) mavzu bo‘lishi

29

mumkin. Masalan, ko‘phadni ko'phadga bo‘lish. Bu mavzu dasturda yo ‘q, qo'shimcha adabiyotlarda bor. Iqtidorli, matematikaga qobiliyati bor o ‘quvchilar bu mavzuni bemalol o ‘zlashtirishlari, unga oid misollar topishlari mumkin.

Darsda o ‘quvchilar faolligini oshiruvchi usullar haqida kengroq ma’lumotlami [8, 9, 11] adabiyotlardan o ‘qishingiz mumkin.

Bulardan tashqari o ‘qitishning:• muammoli;• tabaqalashtirilgan

uslublari bor. Ular ham dars o ‘tishning faollashtimvchi uslublari sirasiga kiradi.

Bu usullar Respublikamizning matematika o ‘qituvchilariga yaxshi tanish.

Matematikani bilish — turli qoidalami.formulalamiyodlash degani emas, aslo! Shuning uchun boladan mavzu matnini, undagi ramkaga olingan biror xossa, qoida, formulani yodaki aytib berishni emas, balki ularga oid bitta sodda misolni tushuntirib ishlab berishni talab qilish joiz.

0 ‘qituvchi o ‘quvchiga „Sen buni bilishung kerak!“ degan majburlovchida\atniaytmasin. 0 ‘qituvchio‘quvchida „Menga matematika zarur ekan, men uni bilish, o ‘zlashtirishning, hayotda qo ‘llashning uddasidan chiqa olaman!“ degan ichki bir ishonch va intilish uyg‘otsin.

30

T - l j—4— !—

ALGEBRAIK IFODALARII BOBJ_1 .I

i !.

i±Algebraik ifodalar ustida matematik amallami o ‘ rganish

algebraning asosiy masalasidir. Bu bobda sonli va algebraik ifodalar, algebraik tengliklar ta’ riflanadi va o ‘ rganiladi. Miqdorlar orasidagi bog‘lanishni harflar va matematik belgilar bilan ifodalovchi algebraik yozuv — formulalar haqida ma'lumot beriladi. Algebraik ifodalar ustida bajariladigan arifmetik amallaming xossalari, qavslami ochish qoidalari bayon etiladi. Mavzulami o ‘tishga doir metodik (uslubiy) tavsiyalar aytiladi.

Sonli ifodalar

Maqsad. 0 ‘quvchilami quyidagilar bilan tanishtirish:— „Algebra“ so‘zining paydo bo‘lishi;— al-Xorazmiy haqida ma’lumot;— sonli ifoda, uning son qiymati;— sonli ifoda qiymatini hisoblashda amallami bajarish

tartibi.Bu mavzuni o ‘ rganish natijasida o ‘quvchilar ushbu bilim

va ko‘nikmalarga ega bo‘Iishlari Iozim:Bilimlar:— „Algebra“ atamasi, al-Xorazmiy haqida darslikda

berilgan ma’lumotlami bilish;— sonli ifoda qiymatini hisoblashda amallami bajarish

tartibini bilish.Ko ‘nilcmalar:— berilgan sonli ifoda qiymatini hisoblay olish.Metodik tavsiyalar. Buyuk matematik olim va astronom,

vatandoshimiz Abu Abdulloh Muhammad ibn Muso al- Xorazmiy algebra faniga asos solgan. „AIgebra“ so‘zi al- Xorazmiyning „K itob al-muxtasar fl hisob al-jabr val- muqobala“ asaridagi al-jabr so‘zidan olingan.

31

Bu haqda o ‘quvchilar bilan qis-qacha suhbat o ‘tkazishingiz maqsadgamuvofiqdir, bunda darslikning I bobioxirida berilgan tarixiy ma’lumotlardanva 5- sinf darsligidagi tarixiy ma’lumot-lardan foydalanishingiz mumkin.

0 ‘quvchilar V —V I sinflar mate-matika kurslaridan „sonli ifoda—sonlardan tuzilib, amallar belgilaribilan birlashtirilgan yozuv“ ekanini

Al-Xorazmiy (783-850) bUadUar

Siz o'quvchilardan sonli ifodaga misollar tuzishni taklif eting. Har bir o ‘quvchi 3—4 tadan misolni daftariga yozgani ma’qul. Sonli ifodaga doir misollar tuzganda ularda: 1) iloji bo ‘ lsa, to ‘ rtala amalni (q o ‘ shish, ayirish, ko‘paytirish, bo‘lish) qatnashtirish; 2) natural sonlar bilan bir qatorda oddiy kasrlar, aralash sonlar, o ‘nli kasrlar ham bor bo‘lishi maqsadga muvofiqdir. Sonli ifodaga oid misollardan namunalar beraylik:

1) 20, 25:4,5 + 8 1 -4 1 -7 ,5 6 :3 ,6 ;

2) 7 2 ,3 6 + (2 4 ,0 5 :2 ,5 -4 | - l^ )-3 ,4 .

Sonli ifodada ko‘rsatilgan amallami bajarish natijasi sonli ifodaning qiymatidir.

Bitta son ham sonli ifoda bo'lishi mumkin. Uning qiymati shu sonning o ‘zidir.

Sonli ifodaning son qiymatini topishda amallami bajarish tartibi muhimdir. Qabul qilingan tartib haqida darslikda to‘ liq ma’lumot berilgan.

Sonli ifodani tuzishda qavslar ham qatnashishi mumkin. Sonli ifodada qavsning o ‘mi nihoyatda muhimligini ko‘rsatuvchi misollami tuzish bo'yicha o ‘quvchilar orasida musobaqalar, bahslar o ‘tkazishingiz mumkin. Bunda ayni bir sonli ifodada: qavs bo‘lmasligi; agar bo‘lsa, qayerda turishiga qarab natija (javob, sonli ifodaning son qiymati) turlicha bo‘ladi. Misol keltiraylik:

32

Ifodaning son qiymatini hisoblang: 74— 4-2+25:3.

Ravshanki, bu ifodaning son qiymati 721 ga teng. Qavslami

berilgan ifodaning turii joylariga qo‘yib chiqaylik:

1) 72—4-(2+25):3; 4) (72-4-2+25):3;2) (72—4)-2+25:3; 5) 72-4-(2+25:3).3) (72—(4-2+25)):3;

Hosil qilingan sonli ifodalarning qiymatini topishni o'quvchilaringizga tavsiya qiling, aziz o ‘qituvchi. Berilgan sonli ifodadan qavslar yordamida turli-tuman boshqa ifodalami hosil qila olish misollar tuzishingizga keng imkoniyatlar ochadi.

„ = “ belgisi bilan biriashtirilgan ikkita sonli ifoda sonli tenglikni hosil qiladi.

Agar sonli tenglikning chap va o ‘ng qismlarining qiymati ayni bir son bo‘lsa, bunday tenglik to ‘g ‘ri tenglik deyiladi. Sonli ifoda, sonli tengliklardan sonlaming xossalarini yozishda foydalaniladi.

1 - m iso l . | | = tengliklar kasming

asosiy xossasini ifodalaydi.2- m iso l . 27+13=13+27 yoki 15-8=815 tengliklar,

mos ravishda, qo‘shish va ko‘paytirishning o ‘rin almashtirish qonunini anglatadi.

3- m iso l . 183+(25+17)=(183+17)+25 yoki (4-7)- 25= =7-(4-25) tengliklar, mos ravishda, qo‘shish va ko‘paytirishning gumhlash qonunini ifoda etadi.

4 - m iso l . 18-(15+12)=18* 15+18-12;(29—11)-25=29-25—11-25

tengliklar ko‘paytirishning qo'shishga (ayirishga) nisbatan taqsimot qonunini bildiradi.

Sonli ifodaning qiymatini topishga oid mashqlami o ‘quvchilarga o ‘rgatishda bu ifodalami ,jonlantirishingiz“ , ularga mos keluvchi masalalami o ‘quvchilar bilan birgalikda tuzi- shingiz mumkin. Bitta misol ko'raylik:

H i s o b l a n g : 27500-(15-200+10-175+35-600).

33

Bu misolni o ‘quvchi „shunday ham“ ishlayveradi, ammo misol ,jonlantirilsa“ , u o'quvchiga, uning miyasiga tezroq „singiydi“ , bunday misollar amaliyotda, hayotda uchrashiga bola ishonch hosil qiladiki, mana shu jihat nihoyatda muhim, diqqatga sazovordir.

Yuqoridagi sonli ifodaga mos matnli masalalardan biri quyidagicha bayon qilinishi mumkin:

M a s a l a . Murabbo tayyorlash uchun 1 kilogrami 200 so‘mdan 15 kg qulupnay, 1 kilogrami 175 so‘mdan 10 kg olcha, 1 kilogrami 600 so‘mdan 35 kg shakar olindi. Jami xarid uchun necha so‘m to‘Iandi? Murabbo uchun ajratilgan 27 500 so‘m puldan necha so‘m ortib qoladi?

Shu sonli ifodaga mos keluvchi turli mazmundagi masalalami o'quvchilaming o'zlari ham tuzishlari mumkin. Ularga dars jarayonida Sizning rahbarligingiz ostida erishsin!

Mavzu uchun 2 s o a t ajratilgan,Sinfda yechiladi: 1—7 - mashqlaming toq raqamli misol-

lari; 8~9- mashqlar.Uyga vazifa: 1—7- mashqlaming juft raqamli misollari.

E I Faollashtiruvchi savol va topshiriqlar

1. Abu Abdulloh Muhammad ibn Muso al-Xorazmiy kim bo'Igan va u qanday asarlar yozgan?

2. „Algebra“ so‘zi qayerdan paydo boMgan?3. O'nli sanoq sistemasi nima? U al Xorazmiyning qaysi asarida

bayon qilingan?4. Sonli ifoda nima? Misollarda tushuntiring.5. Sonli ifodaning son qiymati nima? U qanday topiladi? Misollarda

tushuntiring.6. Qo'shish va ayirish nechanchi bosqich amallari? Ko‘paytirish

va bo‘lish-chi?7. Qanday amallar uchinchi bosqich amallari tarkibiga kiradi?8. Sonli ifodaning son qiymatini hisoblashda amallar bajarilishining

qabul qilingan tartibini bilasizmi? Misollarda tushuntirib bering.9. Sonli ifodani hisoblashda qavslaming ahamiyatini ko‘rsatuvchi

misollar tuzing.10. Sonli tenglik nima? To‘g‘ri, noto‘g‘ri tengliklarga misollar tuzing.11. Sonlar xossalarining sonli tengliklar yordamida yozilishiga misol-

lar keltiring.34

Tayanch so‘z va atamalar: algebra; sonli ifoda; sonli ifodaning qiymati; birinchi, ikkinchi, uchinchi bosqich amallari; amallarni bajarish tartibi; sonli tenglik; to ‘g ‘ ri tenglik; noto‘g‘ ri tenglik.

Mavzuni o‘rgangach, o‘quvchi!ar ushbu qiyinlikdagi mashqlarni bajara olishlari shart:


1) 3,48+(2,5-1,48); 3 )| -3 ! +2 12-12:4;

2) 6 | - (5 , 2 - 3 | j ; 4) 26,6 - ( j ) 2 -99+7,2:0,9.

2. Amallar tartibini ko‘ rsating va hisoblang:

1) (4,8 : 0,8 - 5| • 0,3): (8,5:1,7 + 3,9 :1,3);

2) iw ! i+4'2'23-3'8:1-9-3. Sonli tenglik shaklida yozing:

1) 15 va 7 sonlari yig‘ indisining ikkilangani shu sonlar ayirmasidan 5,5 marta katta;6 2 1

2 ) y va 3 sonlari ayirmasi ular yig‘ indisining g qismini

tashkil qiladi.

4. Toshkent va Faig‘ona shaharlari orasidagi masofa Qamchiq dovoni orqali 330 km. Avtomobil soatiga 60 km/soat tezlik bilan yursa, bu masofani qancha vaqtda o ‘tadi?

Algebraik ifodalar

Maqsad. 0 ‘quvchilarni quyidagi tushunchalar bilan tanishtirish:

— algebraik ifoda;— algebraik ifodaning son qiymati.Bu mavzuni o ‘rganish natijasida, o'quvchilar quyidagi

bilim va ko'nikmalarga ega bo‘lishlari lozim:35

Bilimlar:— algebraik ifoda nimaligini bilish;— algebraik ifodaning son qiymati nimaligini bilish.Ko ‘nikmalar:— masala mazmuniga mos algebraik ifodalar tuza olish;— berilgan algebraik ifodaning son qiymatini hisoblay olish.Metodik tavsiyalar. Darslikda algebraik ifoda tushunchasiga

olib keluvchi bitta masala tushuntirib yechib ko‘rsatilgan va algebraik ifodalaming turli misollari berilgan. Sonli ifodalar ham algebraik ifodaga eng sodda misol bo‘ladi. Yana bitta masala qaraylik.

M a s a la . To ‘g ‘ri to‘rtburchakning asosi a sm ga, balandligi esa b sm ga teng (1- rasm). Shu to‘g ‘ri to‘rtburchakning perimetrini toping.

Y e c h i s h . To‘g‘ri to‘rtburchakning perimetrini P bilan belgilaylik.

b U holda P=a+b+a+b= 2a+2b= =2{a+b){s,m)

J a v o b : 2 (o + 6)sm.H osil qilingan 2 -(a+£ )ifoda

algebraik ifodaga misol bo‘la oladi.Algebraik ifoda—sonlar va harflardan tuzilib, amallar

belgilari bilan birlashtirilgan yozuv. Algebraik ifoda bitta harfdan iborat bo‘lishi ham mumkin. Agar algebraik ifodaga kirgan harflar o'rniga biror sonlar qo'yilsa va ifodada ko ‘rsatilgan amallar bajarilsa, chiqqan natija berilgan algebraik ifodaning son qiymati deyiladi. Bunda sonlar ustida amallarning bajarilish tartibi algebraik ifodaning son qiymatlarini topishga oid mashqlami bajarishda ham saqlanib qoldi.

Masalan, yuqoridagi 2-(a+b) algebraik ifodada a = 5 sm, b = 3sm deyilsa, u holda to ‘g ‘ ri to‘rtburchakning perimetri p = 2-(5+3)= 16 (sm) bo'ladi.

Amal belgilari (+ ,—, •, :) algebrada ham arifmetika (5— 6 - sinflar matematikasi)dagi kabidir. Ammo algebrada son va harflar orasiga yoki harflar orasiga ko‘paytirish belgisi qo‘yilmaydi. Masalan, 2 a yozuv 2 sonini a ga ko‘paytirilganini

36

a

□ ________________d

1- rasm.

bildiradi. Ammo biz 2-a o ‘miga 2 a deb yozamiz, bunda ham 2 sonini a ga ko‘paytirish lozimligi tushuniladi. Shuningdek, a b o ‘miga ab deb yoziladi va hokazo.

Ammo algebraik ifodaning son qiymatini hisoblashda biz sonlar orasiga mos amal belgisini qo'yishimiz lozim.

M i s o 1. (ab+c)d algebraik ifodaning a = 5, b = 4, c = —3, d = 0,5 bo'lgandagi son qiymatini hisoblang.

Y e c h i s h . Bunda (ab + c)d yozuv, aslida, (a b + c) d ekanini hisobga olishimiz kerak. Aks holda harflar o ‘miga ular orasiga ko‘paytirish belgisi ni qo‘ymay, tegishli son qiymatlamiyozsak (54+ (—3))0,5 degan yozuv paydo bo‘ladiki, ba’zi o‘quvchilar, afsuski, harflaming o‘miga ulaming son qiymatlarini qo‘yishni ana shunday tushunadilar. (ab + c)d ifodada harflar o‘miga mos son qiymatlami yozishda sonlar orasiga, agar ular orasida boshqa belgi bo‘lmasa, belgisini qo'yamiz. U holda

(ab + c)d=[5-4 + (—3)] 0,5=17 0,5=8,5. Javob: 8,5.Mavzu uchun 2 s o a t ajratilgan.Sinfda yechiladi: 10—2 7 -mashqlarning toqraqam li

misollari; 18—25- mashqlar.Uyga vazifa: 10—17- mashqlaming juft raqamli misollari.

Masala yechish namunalari

JNfe 11. 3) Algebraik ifodaning qiymatini toping:

, bunda a = 4, b = —2.

Y e c h i s ha-3b _ 4-3 (-2) _ 4+6 a+3b 4+3 (-2) " 4-6

Javob . —5.

10-2

= -5.

Na 16. 1) Algebraik ifodaning son qiymatini toping:

^ ^ ^ . b u n d a m = * = > « = * n-k 3 ’ 2

2 - I - l f I + I l 1.5Y e c h i s h . 2mn(n+k) - 3 A 2 3 J _ 3 6 _ ^

n-k I _ 1 I 3'2 3 6

J a v o b .|

37

2- rasm.

S=3-a+3,5b=3a+3,5b.

JVe 20. d) Shtrixlangan shaklning perimetri va yuzini algebraik ifoda shaklida yozing ( 2- rasmga qarang).

Y e c h i s h . p = 3 + 0 + ( 3 — —£>)+3,5+fc+(a+3,5)=(3+3+ +3,5+3,5)+a—b+b+a=l3+2a.

J a v o b : p=l3+2a; S=3a+3,5b.

JVe 28. M a’lumki, o ‘zgarmas v ---- tezlik bilan yurilsa,soat

t soat vaqt ichida bosib o'tilgan yo‘ l s= v t formulaga ko‘ra hisoblanadi. Bundan:

1) geologlaming otda yurgan yo‘ li s = c • 3 soat lOmin =

= c -3| = 3 i c (k m ) ;

2) geologlaming solda suzgan masofasi s=a 1 soat 40 min=

= f l l | = l| o (k m );

3) geologlaming piyoda yuigan yo‘ li s=b ■ 2 soat 30 min =

=b- 2^ = 2~b{km).U holda geologlar bosib o'tgan yo‘l ushbu s = 5,+ s2+s =

= 3 - c + \-a + 2 -b formulaga muvofiqhisoblanadi. Bufor-

mulada a = 3,3 , b =5,7 , c =10,5 desak, yo‘na-

lishning uzunligi s ning son qiymatini hisoblab topamiz. Demak,

s = 3±-10,5 + l| -3 ,3 + 2±-5,7 = -^-10f5 + |.3,3 + |-5,7 =

=1,75 -19 + 5,5 + 5 2,85 = 33,25 + 5,5 + 14,25 = 53(km).

J a v o b : s = 3^c + \ a + 2\b; 53 km.6 3 2

Faollashtiruvchi savol va topshiriqlar

1. Algebraik ifoda nima? Uning sonli ifodadan nima farqi bor?2. Algebraik ifodaning son qiymati nega turlicha bo‘ladi? Bu qiymat

nimaga bog‘liq?3. Algebraik ifodaning son qiymati qanday topiladi?

38

4. Harflamiiig tudi son qiymatlarida ayni bir son qiymatga ega algebraikifodalaiga misol tuzib ko‘ring-chi.

5. 1) (9a+15):3—3a; 2) ^ -(3—a)+2,5+0,5« ifodalarning son

qiymatlari nega a ning son qiymatiga bog'liq emas? 0 ‘zingiz ham shunga o'xshash misollar tuzing.

Tayanch so‘z va atamalar: algebraik ifoda, algebraik ifodaning son qiymati.

Mavzuni o‘rgangach, o‘quvchilar ushbu qiyinlikdagi mashqlarni bajara olishlari shart:

1 . 1) a = b = 1 bo‘ lsa, %a~3>b ifodaning;

2) a = — 3, b = ^ bo‘ lsa, —2a + 4b ifodaning son qiymatini toping.

3>a-2b2. 1) a = 2, b = — 3 bo‘ lsa 2a + 3b if°daning;

5a + 2b2) a = — 1, b = 4 bo‘ lsa, 2fl + ifodaning

son qiymatini toping.

3. Algebraik ifoda ko‘rinishida yozing;1) a va b sonlar yig‘ indisini;2) 2a va 3b sonlar ayirmasini;3) a ta yuzlik, b ta o ‘nlik va c ta birligi bo‘lgan sonni yozing;4) a tonna b sentner va c kilogramm necha kilogrammdan iborat?

4. 1) 3 ga; 2) 5 ga; 3) 10 ga karrali sonlar formulasini yozing.

QO‘SHIMCHA MASHQLAR

1. Xalqaro kurash musobaqalarini ko‘rish uchun har biri 700 so‘mdan k ta chipta va har biri 900 so‘mdan n ta chipta sotildi. Hamma chiptalar uchun qancha pul tushganini bildiruvchi algebraik ifoda tuzing va k = =1200, «=1440 bo‘lganda uning son qiymatini toping.

2 . 1) vt, 2) abc; 3)\ah\ 4) ^ ^ - halgebraik ifodalaiga olib keluvchi matnli masalalar tuzing.

39

3. Minutlarda ifodalang:1) k soat n minutni; 2 ) k soat n minut m sekundni.

4. Metrlarda ifodalang:1 ) s km / metrni; 2 ) s km / metr d detsimetr c santimetmi.

5. Kilometrlarda ifodalang:1) / metr d detsimetmi; 2 ) k kilometr / metr c santimetmi.

6 . To ‘g ‘ri to‘rtburchakning eni a ga, bo‘yi b ga teng. Uning eni p % ga uzaytirildi, bo‘yi esa q % ga kamaytirildi. Yangi to ‘g ‘ ri to ‘ rtburchak yuzini hisoblash uchun algebraik ifoda tuzing.

7. Mahsulotning narxi a so‘m edi. Bu narx q% ga arzonlashdi. Ma'lum vaqt o‘tgach yangi narx p % ga ko‘tarildi. Hozir o ‘sha mahsulot necha so‘mdan sotilyapti?

Algebraik tenglikJar, formulalar

Maqsad. 0 ‘ quvchilarni quyidagi tushunchalar bilan tanishtirish:

— algebraik tenglik;— formula.Mavzuni o ‘rganish natijasida o ‘quvchilar quyidagi bilim

va ko‘nikmalami egallashlari zamr:Bilimlar:— algebraik tenglik;— formula nimaligini bilish.Ko ‘nikmalar:— amallar bo'ysunadigan qonunlarni harflar yordamida

algebraik tenglik ko‘rinishida yoza olish;— so‘zlar bilan berilgan algebraik ifodaga, matnli masalaga

mos formulani tuza olish.Metodik tavsiyalar. Sonli tengliklar algebraik tengliklaming

eng sodda holidir. Algebraik tenglik ham sonli tenglik kabi ta’riflanadi. „ = “ belgisi bilan birlashtirilgan ikkita algebraik ifoda algebraik tenglik deyiladi.

40

(a + b) • c = ac +bc; (a -3 )b = a b —3b, ^ *

tengliklar algebraik tengliklaiga misol bo‘ Iadi.3x+l2a=8(x-b); 5x+3a=2x+7b tenglamalar ham

algebraik tenglik deyilishi mumkin, bunda x— noma'lum son, a\a b harflar ixtiyoriy qiymatlar qabul qiladi.

Harflar yordamida arifmetik amallar (qo ‘shish, ayirish, ko‘paytirish, bo‘ lish) bo‘ysunadigan qonun va xossalami algebraik tenglik ko‘rinishida yozish qulaydir. Masalan:

(a + b)-c =ac + bc; (a - b)-c = ac-bc; a + b = b + a;a an a: n~b~~to~T77i'a - (b+c)=a-b- c; abc =a(b• c)=b (ac).

Keltirilgan bu algebraik tengliklar qanday qonunlami ifoda- lashini o‘quvchilar idrok qilishlari zarur. Algebrada bitta harfning o‘zi turli son qiymatlami qabul qilishi mumkin, masalan,

ifodada a - ixtiyoriy son, c esa - 2 dan farqli ixtiyoriy son

bola oladi: c * - 2 ; chunki, c = - 2 bo‘lsa, c + 2= 0 , ya’ni maxraj 0 ga teng bo‘lib qoladi. 0 ga bo‘lish esa mumkin emas!

Harflardan foydalanish bir xil usulda yechiladigan ko‘pgina masalalami bitta masalaga „birlashtirish“ , „umumlashtirish“ imkonini beradi. Harflaming tayin qiymatlarida umumiy holda yechilgan masaladan xususiy hol sifatida o ‘sha „ko‘pgina masalalar“ ning yechimini olish mumkin. Bunga doir ikkita masala darslikda yechib ko‘rsatilgan. Shu fikmi tasdiqlovchi yana bitta masala ko‘raylik.

M a s a 1 a . Uchta sonning yig'indisi p ga teng. Birinchi son ikkinchisidan a ga ortiq, uchinchisidan esa b ga kam. Shu sonlami toping.

p, a, b sonlami tanlash hisobiga bu masaladan turli mazmundagi, ammo yechilishi bir xil bo‘lgan masalalami hosil qilish mumkin.

p = 38, a = 3, b = 5 deylik. Shu holning o ‘ziyoq anchagina masala tuzishga yo‘l ochadi:

1. Uchta tokchada 38 ta kitob bor. Birinchi tokchadagi kitoblar ikkinchi tokchadagiga qaraganda 3 dona ko‘p, ammo uchinchi tokchadagi kitoblardan 5 dona kam. Har bir tokchada nechta kitob bor? ( J a v o b : 12 ta; 9 ta, 17 ta.)

41

2. Sportning kurash, futbol, tennis turlariga maktabimiz- ning 7- sinflaridan jami 38 ta o ‘quvchi qatnashadi. Kurashga tennisga qaraganda 3 nafar ko‘p, ammo futbolga qaraganda 5 nafar kam o ‘quvchi qatnashadi. Sportning har bir turi bilan nechta o ‘quvchi shug‘uflanadi?

3. Uchburchakning perimetri 38 sm ga teng. Uning bir tomoni ikkinchi tomonidan 3 sm uzun, uchinchi tomonidan esa 5 sm qisqa. Shu uchburchakning tomonlari uzunliklarini toping.

Miqdorlar orasidagi bog‘lanishni sonlar, harflar va amal belgilari yordamida ifodalovchi yozuv — formuladir.

M i s o l l a r .1 . a\ab — to‘g‘ri to‘ rtburchakning tomonlari uzunliklari

bo‘lsa, u holda ab — uning yuzi. Agar shu to‘g‘ri to‘rtburchak yuzini ^harfi bilan belgilasak, u holda ushbu formulani hosil qilamiz: S = a- b.

Bu formula to‘g‘ri to'rtburchakning tomonlari bilan yuzi orasidagi bog‘ lanishni ifodalaydi, bunda a, b harflari ixtiyoriy musbat qiymatlami qabul qiladi; yuzni hisoblash formulasida amal belgilaridan — ko‘paytirish amali qatnashgan.

2. 5 ga bo‘ lganda 3 qoldiq beruvchi natural sonlar formulasini toping.

n — natural sonni 5 ga bo‘ lganda bo‘linmada natural son k hosil bo‘lib, 3 qoldiq qolgan deylik. U holda n = 5-k+3 muiiosabat o ‘rinlidir. Bu formula natural son n bilan bo‘luvchi va qoldiq orasidagi bog‘ lanishni ifodalaydi. Bunda k harfi ixtiyoriy natural sonni anglatadi. Bu formulada amal belgilaridan va „ + “ (ko‘paytirish va qo‘shish amallari) qatnashgan. k harfga 1 , 2 ,3,... qiymatlami berib, ushbu sonlar qatorini hosil qilamiz:

8 , 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43, ...

Bu sonlaming har birini 5 ga bo‘lsak, qoldiqda 3 chiqadi.Mavzu uchun 2 s o a t ajratilgan.Sinfda yechiladi: 26—27- mashqlarning toq raqamli

misollari; 28—44- mashqlar;Uyga vazifa: 26—27- mashqlaming juft raqamli misollari;

45—48- mashqlar.42


N° 36. 1-savol. Mashinaga necha kilogramm bug'doy yuklangan? km (kg).

2- savol. Mashinaga necha kilogramm aipa ortildi? cn{kg)3- savol. Mashinaga necha kilogramm don yuklangan?

(km+cn) kg.J a v o b : (km+cn) kg.No 39. (5-45+2-15+2-10):60— masalani yechish uchun

tuzilgan formula bu yerda sonli ifoda shaklida bo‘ladi. Uning son qiymati 275:60=4 soat 35 minut.

J a v o b : 4 soat 35 minut.Ns 41. Kvadrat tomonining uzunligi a bo'lsin. U holda

to‘g‘ ri to‘ rtburchakning bo‘yi (a+8 ), eni esa (a—4) bo‘ladi. To‘g‘ri to'rtburchakning perimetri p = 2(a + 8)+2 (a — 4 )= = 2a +16+2fl—8 = 4a + 8 = 4(a+2) = 2(2a + 4)(m ), yuzi esa S= (a + 8)(n - 4)(m2) bo‘ladi.

J a v o b : 2(2a + 4)m, (a + 8 )(a — 4)m2.


1. Algebraik tenglik nima? Misollar keltiring.2. „Formula“ deganda nimani tushunasiz? 2—3 ta misolda fikringizni

izohlang.3. Bitta harfning o‘zi qanday qiymatlar qabul qilishi mumkin?4. Qanday formulalarni bilasiz? Aytib bering. Yozib ko'rsating.5. 0 ‘zingiz ham yangi formula kashf qilish, topishni xohlaysizmi?6. Harflardan foydalanishning afzallik tomonlari bormi?7. Arifmetik amallar bo'ysunadigan qonunlami harflar yordamida

yozib bering.8. 1)7 ga bo'lganda 1 qoldiq; 2) 10 ga bo'lganda 9 qoldiq; 3) 15 ga

bo'lganda 13 qoldiq beradigan natural sonlar formulasini yoza olasizmi?

9. Buyumning narxi a so‘m edi. Bu narx p % ga qimmatlashdi, keyin yangi narx q % ga oshdi. Oxiigi narx d % ga arzonlashdi. 0 ‘sha buyum hozir necha so'mdan sotilyapti? Mos formula tuzing.

Tayanch so‘z va iboralar: sonli tenglik, algebraik ifoda; algebraik tenglik; formula; to‘g ‘ri to ‘ rtburchakning perimetri va yuzini hisoblash formulasi; arifmetik amallar bo‘ysunadigan qonunlar; harflardan foydalanishning afzalliklari.

43


1. Yozing: 1) a, b, 5 sonlar ko'paytmasini;2) a, b, 30 sonlar yig'indisini;3) a va b sonlar ko‘paytmasi bilan 15 ning yig‘ indisini;4) a va b sonlar ayirmasining 67 ga nisbatini.

2. Chavandoz 1 soatda 14 km yo‘l bosadi. U shunday tezlik bilan t soatda necha kilometr yuradi?

3. D o ‘konga har birida 60 kg dan guruch bo‘lgan n ta qop keltirildi. Do‘konga necha kilogramm guruch keltirilgan?

4. Har biri a so'mdan 10 ta daftar va har biri b so‘mdan 7 ta qalam sotib olindi. Jami xarid uchun necha so‘m to‘ lanishi kerak?

5. 1) Juft son; 2) toq son formulasini yozing.

Arifmetik amallaming xossalari

Maqsad. 0 ‘quvchilami arifmetik amallar xossalarining formulalar ko‘ rinishida yozilishi bilan tanishtirish.

Mavzuni o ‘rganish natijasida o ‘quvchilar quyidagi bilim va ko‘nikmalaiga ega bo‘ lishlari lozim:

Bilimlar:— qo'shish va ko'paytirishning;— ayirishning;— bo‘ lishning

asosiy xossalarini formulalar ko‘ rinishida yozishni bilish.Ko ‘nikmalar:— misollar ishlashda amallar xossalaridan foydalana olish;— hisoblashning oson, qulay usullarini amallar xossala-

ridan foydalanib topa olish.Metodik tavsiyalar. Arifmetik amallar deganda qo‘ shish,

ayirish, ko‘paytirish va bo‘lish amallari tushuniladi. Bu amallar bo‘ysunadigan xossalar bilan o ‘quvchi 5- va 6- sinflardan tanish. Bu sinflarda xossalar tayin va sodda misollarda tushuntirilgan, bayon etilgan edi. Endi ulami harflardan foydalanib, formu-

44

lalar ko‘rinishida yozish mumkin. Amallar bo‘ysunadigan asosiy xossalar, odatda, qonunlar deb ataladi. Darslikda qo‘shish va ko‘paytirishning quyidagi qonunlari formula yordamida yozilgan:

1 . 0 ‘ rin almashtirish qonuni: a+b=b+a; ab=ba.2. Guruhlash qonuni: (a+b)+c=a+(b+c); (ab)c=a(bc).3. Taqsimot qonuni: a(b+c)=ab+ac.Bu tengliklarda a, b, c — ixtiyoriy (musbat, manfiy,

butun, kasr) sonlar.Taqsimot qonuni b—c ayirma uchun a (b—c)=ab—ac kabi

yozilishi mumkin.E’tiboringizni shunga qaratmoqchimizki, taqsimot qonu-

nini „ o ‘ngdan chapga“ ab+ac=a(b+c), ab—ac=a(b—c) ko‘rinishida yozib olish hisoblash ishlarida qo‘l kelishi mumkin.

a(b+c) va a(b—c) ko'paytmalardan ab+bc yig‘ indi va ab~ac ayirmaga o ‘tish qavslami ochish deyiladi. Aksincha, ab + ac yig‘ indidan a(a+c) ko‘paytmaga, ab~ac ayirmadan a(b~c) ko‘paytmaga o ‘tish umumiy ko‘paytuvchini qavsda'n tashqariga chiqarish deyiladi.

Qo'shish va ko‘paytirishning gumhlash qonunlari harflar soni 3 tadan ko‘p bo‘ lganda ham o ‘rinlidir. Shuningdek, taqsimot qonuni qo‘shiluvchilar soni ikkitadan ko‘p bo'lganda ham to‘g ‘ridir.

Misollar ko‘raylik.Hisoblang: 85,9 • 3,8 + 85,9 ■ 6,2.Taqsimot qonunidan foydalanib, umumiy ko'paytuvchi

85,9 ni qavsdan tashqariga chiqaramiz. U holda85,9 • 3,8 + 85,9 • 6,2=85,9 • (3,8 + 6,2)=85,9 -10 = 859.Hisoblang: 4 ■ (2,5+10,1).Taqsimotqonunigamuvofiq: 4 -(2,5+10,1)= 4 • 2,5 + 4 T0,1=

=10 + 40,4=50,4.Hisoblang: (20,3—7,8 ) 8 .Taqsimot qonuniga ko‘ra, (20,3 — 7,8)8 =162,4— 62,4=100.Amallaming xossalaridan algebraik ifodalami soddalash-

tirishda ham foydalaniladi. Shunga doir bitta misol ko'ramiz.

M i s o 1. Ifodani soddalashtiring: 4(2 a + 5 b) + 3-(4o — 5 b).45

Y e c h i s h . Taqsimot va guruhlash qonunlaridan foydalanib, topamiz: 4(2a + 5b) + 3 • (4a~5b) = 8 a + 20b +12a — —15£ = ( 8a +12a) + (20b — 15£) = 20a + 15b. Bunda 8a va 12 a qo'shiluvchilar bir-biridan faqat koeffitsiyentlari bilangina farq qiladi, ya’ni ular o ‘xshash hadlardir. Xuddi shuningdek, 20 b va — 15 b qo‘shiluvchilar ham o ‘xshashdir.

Ayirish amalining xossalarini qo‘shish amali xossalari orqali asoslasa bo‘ ladi, chunki ayirishni qarama - qarshi sonni qo‘shish bilan almashtirish mumkin.

a ~ b = a + (~b).

Shunga o ‘xshash, bo‘lishning xossalarini ko‘paytirish xossalaridan keltirib chiqarsa bo‘ ladi, chunki bo‘lish bo‘ luvchiga teskari songa ko‘paytirish bilan almashtirilishi mumkin.

Amallar xossalarini mashqlar bajarish jarayonida qanday qo‘llanilishiga doir misollar darslikda keltirilgan. Undagi 6 ta masala izohlab, tushuntirib yechilgan.

Mavzu uchun 2 s o a t ajratilgan.Sinfda bajariladi: 49, 50, 52, 54- mashqlar; 51, 53- mashq-

laming toq raqamli misollari.Uyga vazifa: 51, 53- mashqlaming juft raqamli misollari.

flgfl Masala yechish namunalari

Ne 51. 0 ‘xshash hadlami ixchamlang:

= \ x - a + 2 .6

J a v o b : ^ x - a + 2.5) 2,lm + n— 3 ,2/7 + 2m+ 1,1 m— n = (2,1 + 2+\,\)m —

— 3,2« = 5,2/m — 3,2/7.

Ne 53. Ifodani soddalashtiring va son qiymatini toping: 1) 5(3x—7 )+ 2 (l—x)=15x—35+2—2x=13jt—33.

x ning o ‘ rniga x = ^ sonini qo ‘ysak: 13x—33=13-^ —

- 33= j - 3 3 = - 32^.

46

3) i ( 6 x - 3 ) + | ( 5 x - 1 5 ) = 2 j c —1 + 2 x - 6 = 4 jc- 7 , biz1 2

taqsimot qonunidan foydalanib, j ni va j ni qavs ichidagi

ifodaga ko‘paytirdik.Endi x ning o ‘miga x = 3,01 qiymatni qo‘yib, topamiz:

4 x - 7=4-3,01-7=12,04-7=5,04.J a v o b : 4jc—7; 5,04.

[H Faollashtiruvchi savol va topshiriqlar

1. Qanday arifmetik amallarni bilasiz?2. Qo'shish va ko'paytirishning: 1) o‘rin almashtirish; 2)guruhlash;

3) taqsimot qonunlarini ayting. Misollarda tushuntiring. Bu qonunlaming harflar yordamida yozilishini bilasizmi?

3. Ayirish amali nima? Nega ayirish amalining xossalarini qo'shish amali xossalaridan keltirib chiqarish mumkin?

4. Bo'lish amali nima? Bo‘lish amalining xossalari ko'paytirish amali xossalari yordamida asoslanishi mumkinmi?

5. Taqsimot qonuni bilan qavslami ochish, umumiy ko'paytuvchini qavsdan tashqariga chiqarish qanday bog‘langan?

6. Amallar xossalarining misollar yechishda foydasi qanday namoyon boiadi? Misollarda tushuntiring.

J a v o b : 13x— 33; — 32^ ;

Tayanch so‘z va iboralar: arifmetik amallar; o ‘ rin almashtirish qonuni; guruhlash qonuni; taqsimot qonuni; qavslami ochish; umumiy ko‘paytuvchi; qavsdan tashqariga chiqarish; ayirish; ayirish amalining xossalari; bo'lish; bo‘lish amalining xossalari; amal xossalaridan foydalanish.


1. Hisoblang:1) 81 • 5,2 + 19 • 5,2; 3) 8,13 - 4,39 + 11,87 - 1,61;2) 4,8 • 6,03 + 4,8 • 3,97; 4) 10,36 - 18,43 + 31,64 - 11,57.

2. 0 ‘xshash hadlami ixchamlang:1) 5a + 3b~ 2a + b\ 3) 5,3/j + 2,7/w — 4 ,3/7 + 0,3/n;

2) 3c + 2d—4c~ 3d\ 4) \ x ~ \ y~\x + \y.4 6 4 6

47

3. Ifodani soddalashtiring va son qiymatini toping:

1 ) 4(3x + 2) + 3 (2 x - l) , bunda x = ^;

2) 5 (6 -fl) + 2 (3 -2o ), bunda a = - ~ :3

4^3) - ( 6x - l ) + - 4 x - - , bunda x = 0,4;

4 ) 0,6(10fl-3) + 0,5(2fl-0,4), bunda a = - .

Qavslarni ochish qoidalari

Maqsad. 0 ‘quvchilami quyidagi tushuncha va qoidalar bilan tanishtirish:

— algebraik yig‘ indi;— qavslami ochish ( 1 - va 2 - qoidalar);— qavs ichiga olish.0 ‘quvchilar mavzuni o ‘ rganish natijasida quyidagi bilim

va ko'nikmalaiga ega bo‘lishlari lozim:Bilimlar:— algebraik yig'indi nimaligini;— qavslami ochish qoidalarini;— qavs ichiga olish qoidalarini bilish.Ko ‘nikmalar:— algebraik ifodalaiga doir mashqlar bajarishda qavslami

ochish;— qavs ichiga olish qoidalarini to‘g ‘ ri qo'llay olish.

Metodik tavsiyalar. Darslikda 6 - sinfda sodda hollarda o‘iganilgan algebraik yig'indi tushunchasi eslatiladi va algebraik yig‘ indi ta’rifi beriladi.

„ + “ va “ ishoralari bilan birlashtirilgan bir nechta algebraik ifodalardan tuzilgan yozuv algebraik yig'indi deyiladi.a - b + c - d ifodaalgebraikyig‘indigamisolbo‘ laoladi,chunki uni yig‘indi shaklida quyidagicha yozish mumkin: a + ( - b) + +c + ( - d). Bu algebraik yig‘ indida qo‘shiluvchilar at -b, c, - d bo‘ladi.

48

Darslikda qavslami ochishning ikkita qoidasi bayon qilingan va misollarda tushuntirilgan.

1- qoida. Agar algebraik ifodaga qavs ichiga olingan algebraik yig'indi qo'shiladigan bo‘lsa, u holda shu algebraik yig‘ indidagi har bir qo‘shiluvchining ishorasini saqlagan holda qavslami tushirib qoldirish mumkin.

M i s o l l a r :1 )a + b + ( c -d ) = a + b + c-d\2 ) ( a - b ) + c = a -b + c.

2- qoida. Agar algebraik ifodadan qavs ichiga olingan algebraik yig'indi ayirilsa, u holda shu algebraik yig‘ indidagi har bir qo‘shiluvchining ishorasini qarama-qarshisiga o ‘zgartirib, qavslami tushirib qoldirish mumkin.

M i s o l l a r .

1) - ( -a ) = a\ 2) - (a+b) = -a-b\

3) a - (b + c ) = a - b - c ; 4) a - ( b - c ) = a -b+c;

5) - (a -b ) + c = -a+b+c.

Ba’zan qo‘shiluvchilami qavs ichiga olish foydali bo‘ladi. Masalan, 215 - 148 + 48 sonli ifoda qiymatini shunday topish mumkin:

215-148 + 48 = 215-(148-48) = 215-100 = 115.

Bunda biz 4) misoldan foydalandik: a— b + c —a —(b~c). Bir necha qo‘shiluvchini qavs ichiga olganda qavs oldiga

„+ “ belgisi qo‘yi!gan bo‘lsa, u holda qavs ichidagi barcha qo‘shiluvchiIaming ishoralari saqlanadi.

Masalan,a + b - c + d = a + (b - c + d); a - b + c - d = a -b + (c -d ) .

Bir necha qo‘shiluvchini qavs ichiga olganda qavs oldiga belgisi qo‘yi!gan bo‘ lsa, u holda qavs ichiga olingan

barcha qo ‘shiluvchilarning ishoralari qarama-qarshisiga o'zgaradi.4 - 7 - sinfda „Aigebra“

Masalan,

a -b + c - d = a - ( b - c + d);a -b + c - d = a - ( b - c ) - d .0 ‘ quvchilarga qavslarni ochish qoidasini (ayniqsa,

2 - qoidani) o'rgatishda unga olib keluvchi turli mazmundagi masalalar qo‘l keladi. Shu masalalardan ba’zilarini ko '- raylik.

1- m a s a 1 a . Dinoraning a so‘m puli bor edi. U b so‘mga badiiy kitob, c so‘mga daftar, d so‘mga qalam sotib oldi. Dinora- ning necha so‘m puli qoldi?

Y e c h i s h .I u s u 1. Kitob, daftar va qalam uchun sarflangan jami

pul (b + c + d) so‘m ekani ravshan. U holda Dinoraning a — (b + c + d) so‘mi qoladi.

J a v o b : a — (b + c + d) so‘m.

I I u s u 1. Kitob sotib olingach, Dinorada (a — b) so‘m qoladi; daftar sotib olingach, unda (a — b— c) so‘m qoladi. Qalam sotib olingach esa Dinorada (a — b~ c — d) so‘m qoladi.

J a v o b : (a — b — c —d) so‘m.

Har ikkala holda ham qoladigan pul bir xil bo‘Igani uchun: a - (b + c+d) = a - b - c - d .

2 - m a s a la . a - ( b - c ) = a -b + c ekanini qanday tu- shuntirish mumkin?

Y e c h i s h . Butenglikningto‘g‘riligiqavslamiochishning2- qoidasidan kelib chiqadi. Bu tenglikka shunday sharh berish mumkin:

1) Ahmad ikki kunda a km yo‘ l bosishni mo'ljallagan edi. U birinchi kuni b km yo‘l yurmoqchi bo'ldi, ammo unga qaraganda c km kam yo ‘ l yurdi, ya’ni u.birinchi kuni (b — c) km yo‘ l bosdi. Ahmad ikkinchi kuni qancha yo‘l bosishi kerak?

Ravshanki, ikkinchi kuni u a — (b — c) km yo‘l yurishi kerak.

51»

2) Agar Ahmad birinchi kuni b km yo ‘ l yurganda edi, u holda ikkinchi kuni (a ~ b ) km yo‘l bosar edi. Ammo u birinchi kuni mo‘ljaldan c km kam yo‘l o ‘tgani sababli, endi u ikkinchi kuni c km yo ‘lni ko‘proq o ‘tishi lozim, ya’ni ikkinchi kuni (a — b + c) km yo‘ l yurishi kerak. Demak, a — (b — c) = a — b + c.

Bu tenglikka yana shunday mazmun berish mumkin: Xadichaning a so‘m puli bor edi. U b so‘mga muzqaymoq olmoqchi. Ammo do‘konda b so‘mlik emas, undan c so‘m arzon bo‘lgan, ya’ni (b — c) so‘mlik muzqaymoq bor ekan. Xadicha shu muzqaymoqdan bir dona oldi. Uning qancha puli qoldi? Ravshanki, uning a ~ (b — c) so‘m puli qoldi. Agar donasi b so‘ mlik muzqaymoq bo ‘ lganda edi, uning (a - b) so‘m puli qolar edi, endi esa unga qaraganda c so‘m ko‘p puli qolyapti, ya’ni (a ~ b+ c) so‘mi qolyapti.

Demak, a — (b — c) = a — b + c tenglik o ‘ rinli.Mavzu uchun 2 s o a t mo‘ljallangan.Sinfda bajariladi: 55 — 62- mashqlar; 63 — 68 mashq-

laming toq raqamli misollari.Uyga vazifa: 63 — 6 8- mashqlaming juft raqamli misollari.

Shu bilan birga, I bobga doir 69—78 raqamli mashqlaming har bir paragrafga mos misollarini dars jarayonida ishlatib borishingiz kerakligini eslatib o ‘tamiz.

^ Masala yechish namunalari

JS° 63. 3) 2a — b + 4 ifodani kamayuvchisi 2a bo‘ lgan ayirma shaklida yozing.

Y e c h i s h . 2a — b + 4 = 2a — (b —■4), bunda 2a — kamayuvchi, (b — 4 )—ayriluvchidir.

JVs 64.3) 2x2 + 5x2y - 4xy2 - y3 ifodada ikkinchi va uchinchi qo‘shiluvchilar oldiga “ ishorasini qo‘yib, qavslar ichiga oling.

Y e c h i s h . 2x2 +5x2y ~ 4 x y 2 - y 3 = 2x2 - ( - 5 x2y - -(-4 xy2) ) -y \

JVs 65. 3) m - (n -a ) = m + (...n...a) ifodada ko‘p nuqtalar o‘miga „ + “ va „ — “ ishoralarini shunday qo‘yingki, natijada to‘g‘ri tenglik hosil bo‘ lsin.

51

Y e c h i s h . m - (n -a ) = m + (-n+a), bunda awal qavslami ochishning ikkinchi qoidasidan, so'ngra birinchi qoidasidan foydalaniladi.

JVs 6 8 . 3) Ifodani awal soddalashtirib, keyin uning son qiymatini toping:

(7x + 8 y )- (5 x -2 y ), bunda x = - - , y = 0,025.4

Y e c h i s h. (Jx + %y)- (5x-2y) = l x + %y-5x + 2y = = 2x + 10 y.

U holda, 2x + l0y = 2-

= -1,5 +0,25 = -1,25.J a v o b : 2x + 10y; -1,25.

f 3^ + 10 0,025 = - - + 0,25 =2

JVs 74. 3)2m3 • (3m1 - k)2, bunda m = - - , k = 0,75, a]geb-

raik ifodaning son qiymatini toping.

Y e c h i s h . 2/w3-(3/m2-A :)2 =2

= - r ( | - ° . 7 5 ) ! = - r ° = ° - J a v o b : 0 .

f \ 2

75


1. Algebraik yig'indi nima? Misollar keltiring.2. Qavslami ochishning birinchi qoidasini ayting va misollarda tu-

shuntiring.3. Qavslami ochishning ikkinchi qoidasini ayting va misollarda

tushuntiring.4. Bir necha qo‘shi!uvchini qavs ichiga olish qanday bajariladi?

Qavs oldiga „+“ va “ belgisi qo'yilgan hollami alohida-alohida izohlang. Misollarda tushuntiring.

5. a - ( b + c) = a - b - c tenglikka olib keluvchi turli mavzudagi masalalar tuzing.

Tayanch so‘z va iboralar: algebraik yig‘ indi; qavslami ochish; qavs ichiga olish; qavslami ochishning 1-qoidasi; qavslami ochishning 2 - qoidasi;

52

Mavzuni o‘rgangach, o‘quvchi!ar ushbu qiyinlikdagi mashqlami bajara olishlari shart:

1. Algebraik yig‘ indini qavslarsiz yozing:1) (-10) + (-5 )- (-1 6 ); 3) ( - a ) - H 0 + c;2) (-3 ) + (-7 )- (-1 2 ); 4) 2a+(-b)-2c.

2. Y ig ‘ indi shaklida yozing:

1 )a -b - c \ 3 )8 - a - b + c;2) b-10-c; 4)a + b -5 -c .

3. Qavslami oching va soddalashtiring:

1) 2a - (a -b ) ; 3) 2k - ( 2k - (2k - 5));

2) 5a - (3a + 2b); 4) 3a + (2a- (4a + 3)).

4. Ifodani awal soddalashtiring, keyin uning son qiymatini toping:

1) (3a - 2b) + (a + b), bunda a = , b = - 2 ;

2) (4x + 3y) - (2x + 5y), bunda jc = 2, y = -2;3) (1,5x - 2,4y) + (0,5x + 3,4y), bunda x = 0,5, y = 4;

4)3 2 - x + - y4 5

1 1-J C + - V 4 5

, bunda x = 2, y = 5.

QOBILIYATLI 0 ‘QUVCHILAR UCHUN MASHQLAR

1. Hisoblang:

1) (8,4402:3,24-1,345)-0,25+2— :1 — +1 - - — ;17 34 4 49

2) 0 ,3 5 -(6 ,2814 :0 ,348+ 7 ,4 2 )+ 3 - - 2 — - 4 — : 1— ;1 ’ v ’ ' 7 11 13 26

3) (1,3266:1,65 +1,206) - 3,05 — 1 — -1 — + 3 — : 1 — ;' v ; 9 7 19 38

4) (8,6862:12,4 +1,2405)- 4 , 8 - 5 i : l — + 2— -2— .' V ' 7 28 21 25

2. Ifodani soddalashtiring, so‘ng son qiymatini toping:

1) l,9 - (7 fl-5 )- l,3 (1 0 fl-7 ), bunda o = 10,4;

2) 7,5• (9a + 5) - 6 ,5(1 \a- 7), bunda a = -5,2;53

3 ) 11,5(6a + 5) -13,5(4a - 9), bunda a = -4 ,8;

4) l , l (4 o - 7 )-6 (l,5 a -2 ,2 ), bundao = 3,4.

3. 1) k va n — natural sonlar bo'lsin. 13& + 4n son bilan 4A: — 5« son ayirmasining 9 ga bo'linishini ko‘rsating.

2 ) k va n — natural sonlar bo‘lsin. Ik — n son bilan 3k — 5n ga qarama-qarshi son yig‘ indisi 4 ga bo‘linishini ko‘rsating.

4. To ‘rt xonali sonda a ta minglik, bta yuzlik, c ta o‘nlikva d tabirlikborbo‘lsa:

1) shu sonni yozing;2 ) hosil bo‘lgan sonning raqamlarini teskari tartibda

yozing;3) 1) va 2) banddagi sonlar yig‘ indisini va ayirmasini

toping hamda natijani soddalashtiring;4) 1) va 2) banddagi sonlar yig ‘ indisining 11 ga,

ayirmasining 9 ga bo'linishini ko‘rsating.5. Masalani yechish formulasini tuzing:

km km1) Sayyoh v---- tezlik bilan a soat, u---- tezlik bilan

soat soatesa b soat yurdi. Uning o ‘rtacha tezligini toping.

2 ) a gektar yerdan b sr dan, c gektar yerdan esa d sr dan hosil olindi. 1 ga yerdan o‘rtacha necha sentnerdan hosil olingan?

3) 1 kg ining narxi a so‘m bo‘lgan b kg choy 1 kg ining narxi c so‘m bo‘lgan d kg choy bilan aralashtirildi. Aralashma choyning 1 kg i necha so‘m turadi?

4) Hovuzga 1- quvurdan k soatda m litr suv, 2- quvurdan esa n soatda p litr suv tushadi. Ikkala quvur baravar ochib qo‘yilsa, q soatda hovuzga qancha suv tushadi?

5) Temperaturasi p° bo‘lgan a l suv bilan temperaturasi q° bo‘lgan b l suv aralashtirildi. Aralashmaning temperaturasini toping.

1) —5) masalalarda qanday umumiylik bor?

6 . Quyidagi tasdiqlar to‘g‘rimi:1) agar ikkita natural sonning ayirmasi juft son bo‘lsa, u

holda ulaming yig‘ indisi ham juft son bo'ladi;2 ) agar ikkita natural sonning ayirmasi toq son bo‘lsa, u

holda ulaming yig‘ indisi ham toq son bo‘ ladi?54

7. Uchta ketma-ket kelgan natural sonning:1) yig'indisi 3 ga;2 ) ko‘paytmasi 6 ga bo‘linishini isbotlang;3) 4 ta ketma-ket kelgan natural sonlar yig‘ indisi 4 ga

bo‘ linadimi?8. 1) T o ‘ rtta ketma-ket kelgan toq natural sonning

yig'indisi 8 ga;2 ) to‘rtta ketma-ket kelgan juft natural sonning yig‘ indisi

4 ga bo‘linishini isbotlang.9. Do'konga 1 metri 6000 so'mlik matodan n metr,

1 metri 5000 so‘mlik matodan m metr keltirishdi. Jami matoning narxi 510 000 so‘m. n, m—natural sonlar va n > 45, m > 40 boisa, har bir matodan necha metrdan olib kelingan?

J a v o b : « = 50 metr, «7 = 42 metr.km

10. Velosipedchi A qishloqdan B qishloqqa qarab v----soat

tezlik bilan yo iga chiqdi. Qishloqlar orasidagi masofa s km. Agar u a km yo‘1 yurib qo‘ygan boisa, B ga yetib borish uchun unga yana qancha vaqt kerak boiadi?

kmAgar j = 36 km, v = 12---- , a = 3 km boisa, velosipedchi

soat2,5 soatda B qishloqqa yetib kela oladimi?

s — aJ a v o b : —— ; yetib kela olmaydi.

11. 1) 3- rasmda ko‘rsatilgan oichamlar bo‘yicha shaklning yuzini ikki xj! usulda hisoblash uchun ifodalar tuzing;

55

2) ac+d(b-c) = bd+c(a-d) tenglikning to ‘g‘ riligini ko'rsating va unga geometrik sharh bering;

3) shaklning yuzini ikkita to‘g ‘ri to‘ rtburchak yuzlarining ayirmasi sifatida qarab, uni hisoblash uchun ifoda tuzing:

4) ushbu

a b - (b - c ) (a -d ) = ac + (b-c)d\

a b - (b - c ) (a -d ) = bd + (a-b)ctengliklaming to‘g‘riligini ko'rsating va ularga geometrik sharh bering.

1 2 . 1) 4- rasmda ko‘rsatilgan oichamlar bo‘yicha shaklning yuzini hisoblash uchun ifoda tuzing.

i _ - d

a

T

f

Tc1

—— A0 —i

4- rasm.

Ikki usulni ko‘rsating.

2 ) 2bc + d(a-2c) =

= ad + 2 c(b - 2 d) tenglikning to‘g‘riligini ko‘rsating va unga geometrik sharh bering;

3) shaklning yuzini ikkita to‘g‘ ri to'rtburchak yuzlarining ayirmasi sifatida qarab, uni hisoblash uchun ifoda tuzing.

4)Ushbua b - (a - 2 c)(b - 2 c) = 2 ac + 2 c(b - 2c),a b - (a - 2 c)(b - 2 c) = 2 bc + 2 c(a - 2 c)

tengliklaming to‘g‘riligini ko'rsating va ulaiga geometrik sharh bering.

13. 1,2 tonna yem 5 ta otga 30 kunga yetadi. Yem berish me'yori shunday bo‘ lsa, 240 kg yem 10 ta otga necha kunga yetadi?

14.3 ta sayyoh 3 kunga 3 kg oziq-ovqat olishdi.1) ovqatlanish me’yori o ‘zgarmasa, 4 ta sayyoh 9 kunga

qancha oziq-ovqat olishi kerak?

2 ) 6 ta sayyoh uchun 18 kg oziq-ovqat necha kunga yetadi?3) 21 kg oziq-ovqat bilan 7 kunlik sayohatga necha kishi

borishi mumkin?

15. Zavod aksiyalarining 15%\A, Bva C firmalari orasida 4:12 : 9 kabi nisbatda bo'lingan. Qolgan 350 000 aksiyaga zavod ishchilari egalik qilishadi. Har bir firmada nechtadan aksiya bor?

J a v o b : 168 000; 504 000; 378 000.

16. Qotishmada mis, qo‘rg‘oshin va rux 4 : 15 : 6 kabi nisbatda qatnashadi. Qotishmadagi har bir metall necha protsentni tashkil qiladi?

J a v o b : 16 %; 60 %; 24 %.

17. 7- sinfda matematika fani uchun bir o ‘quv yilida 170 soat ajratilgan. Bu soatlar algebra va geometriya o ‘quv fanlari orasida 3 : 2 nisbatda bo‘lingan. Bir o ‘quv yilida necha soat algebra va necha soat geometriya darslari bo‘ ladi?

18. Uchta sonning yig‘ indisi 248 ga teng. Ikkinchi song

birinchisining — qismiga teng. Uchinchi son birinchisidan

2,6 marta katta. Shu sonlami toping.J a v o b : 60; 32; 156.

19. Ikki qishloqni bog‘lovchi yo‘lga asfalt yotqizildi. Birinchi kuni butun yo‘lning 35,5 % iga, ikkinchi kuni 23 % iga, uchinchi kuni esa 27 % iga asfalt yotqizildi. T o ‘rtinchi kuni qolgan 2,61 km ga asfalt yotqizildi. Ikki qishloqni bog‘lovchi yo‘lning uzunligini toping.

J a v o b : 18 km.

20. 1) Ikki sonning yig‘ indisi 63 ga teng. Birinchi sonning 25 % i ikkinchi sonning 20 % iga teng bo‘lsa, shu sonlami toping.

J a v o b : 28; 35.

2) Ikki sonning ayirmasi 25 ga teng. Birinchi sonning 30 % i ikkinchi sonning 26 % idan 9,5 ga ko‘p. Shu sonlami toping

J a vo b : 75; 50.57

21. Uchburchakning perimetri 6,3 dm ga teng. Uchburchak- ning bir tomoni ikkinchisidan 1 sm uzun, uchinchidan esa 1 dm qisqa. Shu uchburchakning tomonlari uzunliklarini toping.

J a v o b : 1,8 dm; 1,7 dm; 2,8 dm.

22. T o ‘g ‘ri to‘rtburchakning qo‘shni tomonlari yig'indisi 50 sm ga teng. Asosining 24 % i balandligining 30 % i dan 1,2 sm ortiq. Shu to‘g ‘ri to ‘rtburchakning yuzini toping.

J a v o b : 600 sm2.

1- YOZMA NAZORATISHI

1- variant

1. Ifodaning son qiymatini toping:

25,8-

2a + 9v3y

2.a -b

qiymatini toping

81 + 7,2:0,9.

algebraik ifodaning a = 8, b = 4 bo‘lgandagi son

3. Qavslami oching va ifodani soddalashtiring:

5jc + (8 -(9 x + 7)).4. Sayyoh piyoda 15 km, avtomobilda esa /soat yo‘l yurdi.

krtiAvtomobilning tezligi 80---- bo‘lsa, sayyoh yuigan jami s

soatyo‘lni hisoblash formulasini yozing. t = 5 soat bo‘lganda bu formuladan sayyoh necha kilometr yo ‘l yurganini aniqlang.

5. Uchburchakning bir tomoni tfsmga teng. Undan ikkinchi tomoni 4 sm qisqa, uchinchi tomoni esa 6 sm uzun. Shu uchburchakning perimetri p ni toping.

J a v o b la r : 1.24,8. 2.6,25.3.1 — 4jq 4 . s = 15 + 80/;415 km. 5. p = 3a + 2.

2- variant


(1,8)2+27-1-14,4:0 ,8 .

58

3a-82. — - algebraik ifodaning a = l , b = 3 boMgandagi

fl + pqiymatini toping.


3(6y - 5x) - 5(3y - 2x).

4. A va B shaharlar orasidagi masofa s km. „M atiz“ va „Jiguli“ avtomobillari bir vaqtda A dan B ga qarab yo‘lga chiqdi.

„Matiz“ning tezligi a , „Jiguli“niki esa b . „Matiz“ 5gasoat soat

„Jiguli“ dan t soat oldin yetib keldi. t ni hisoblash formu-

lasini yozing va 5 = 480 km, a = 80 -^ - , b = 1 5 ^ ~ bo‘l-soat soat

ganda t ni toping.

5. Uchburchakning perimetri p sm ga, bir tomoni esa15,4 sm ga teng. Uning ikkinchi tomoni birinchi tomonidan 2,1 sm qisqa. Shu uchburchakning uchinchi tomonini toping.

J a v o b l a r : 1. 0,24. 2. 1,3. 3. 3 y —5x\

4. t = 7 - - ; 0,4 soat. 5. (p — 28,7) sm.b a

3- variant


(6,48:1,8+2,5*2,4): 1 ,6 -2^-0 ,34 .

2. 2a + a : 7 -1,2 • 1,5 algebraik ifodaning a = 2 i bo‘lgan-

dagi son qiymatini toping.


5(2a+3b)-4(2b-3a).4. 1 kg i a so‘mdan 16 kg olma, 1 kg i b so‘mdan 13 kg

nok xarid qilindi. Jami xarid uchun necha so‘m to‘ langan? a=250 so‘m, b = 300 so‘m bo‘lganda jami xaridga sarflangan pulni hisoblang.

5 9

5. Teng yonli uchburchakning asosi a sm ga teng. Yon tomoni asosidan 2 sm uzun. Shu uchburchakning perimetri p ni toping.

J a v o b l a r : 1. 5. 2. 3,2. 3. 22a + 7b. 4. 16<z + 3Z>; 7 900 so‘m. 5. p = 3a + 4.

4- variant


(12,96:3,6 - 1 ,2 • 0 ,8) • 2,5+ 3JJ-0,26.

2. 14a-t f :4 + l — -0,4 algebraik ifodaning a = 1 - bo‘l-14 7

gandagi son qiymatini toping.

3. Qavslami oching va ifodani soddalashtiring:3(2w+5u)-2(4u-3w).

4. Bozordan 6 kg anjir va 5 kg uzum olindi. Jami xarid uchun q so‘m to'landi. Agar 1 kg uzum a so‘m bo‘lsa, 1 kg anjii necha so‘m turadi? q = 3 800, a = 400 bo‘lsa, 1 kg anjir narxini toping.

5. Teng yonli uchburchakning perimetri p sm ga teng. Yon tomoni asosidan 2 sm qisqa bo‘ lsa, shu uchburchakning yon tomoni uzunligini toping.

Javoblar: 1.8,6. 2 .16y. 3.12u + 7 u. 4 .^ - ^ ; 300 so‘m.

5. P - 2 3

60

ITJTTTTTII BOB iBlfeNOf

t TE JGI AMAMR_i_i—I—!—L. L j__■_L_:____L_i_i_.

Bu bobda tenglama va uning yechimlari, bir noma’lumli tenglamani yechish, masalalami ular mazmuniga mos tenglama tuzib yechish o ‘rganiladi. Bir noma’lumli chiziqli va kvadrat tenglamalami yechish usullari, ulaming masalalar yechishga tatbiqlari buyuk matematik, yurtdoshimiz Abu Abdulloh Muhammad ibn Muso al-Xorazmiyning „Kitob al-muxtasar fi hisob al-jabr val-muqobala“ asarida bayon etilgan.

Tenglama va uning yechimlari


— tenglama;— tenglamaning ildizi;— chiziqli tenglama.Mavzuni o ‘rganish natijasida o ‘quvchilar quyidagi bilim

va ko'nikmalarga ega bo‘lishlari lozim:Bilimlar:— chiziqli tenglama;— tenglamaning ildizi;— tenglamani yechish nimaligini bilish.Ko ‘nikmalar:— berilgan chiziqli tenglamani yechish;— masalalami tenglama tuzib yecha olish.Metodik tavsiyalar. 0 ‘ quvchilar tenglama va uning

yechimlari bilan 5 -6 - sinflardan tanishlar, sodda ko‘rinishdagi tenglamalami yecha oladilar. Bu mavzuda o ‘quvchilardagi tenglama, uning ildiziga oid tushunchalar kengaytiriladi va chuqurlashtiriladi.

Harf bilan belgilangan noma'lum son qatnashgan tenglik tenglama deyiladi. Tenglik belgisi „ = “ dan chap va o ‘ngda

61

turgan ifodalar tenglamaning chap va o ‘ng qismlari deyiladi. Tenglamaning chap yoki o ‘ng qismidagi har bir qo‘shiluvchi tenglamaning hadi deyiladi.

Tenglamaning ildizi — noma 'lumning shu tenglamani to‘g ‘ri tenglikka aylantiradigan qiymatidir.

1 - misol. 3jc — 7 = 8 tenglik tenglamadir, chunki bunda harf bilan (x bilan) belgilangan nomaUum son qatnashgan. 3x — 7 ifoda tenglamaning chap qismi, chunki u „ = “ belgisidan chapda turibdi; 8— tenglamaning o ‘ng qismi, chunki u „ = “ belgisidan o ‘ngda turibdi. 3x; —7; 8 — tenglamaning hadlari.

Tenglamani yechaylik: 3x — 7 = 8 , 3x = 7 + 8 , 3 x= 15, x = 5. Noma’lum x ning topilgan bu qiymati tenglamaning ildizi bo‘ladimi? Buni bilish uchun x = 5 qiymatni tenglamaga olib borib qo ‘yish va hosil bo‘ lgan sonli ifodaning son qiymatini topish kerak. Agar natija tenglamaning o ‘ng qismida turgan 8 ga teng bo‘ lsa, u holda x = 5 tenglamani qanoatlantiradi deymiz va shunda x ning bu qiymati tenglamaning ildizi bo‘ladi.

x = 5 da 3x—7 ifodaning son qiymati 3 • 5 — 7 = 15 —7 = 8 ga teng bo‘ladi, ya’ni tenglamaning chap qismi x = 5 da 8 ga teng. Demak, x = 5 da tenglama to‘g ‘ri tenglikka aylanadi: 8 = 8 .

J a v o b : x = 5.Berilgan tenglama1) 1 ta, 2 ta, 3 ta, ..., n ta;2 ) cheksiz ko‘p ildizga ega bo‘ lishi yoki;3) ildizga ega bo‘lmasligi ham mumkin.Shunga doir misollar koTaylik:

2 - m i s o 1. l ) 4 x - 7 = 5; 12-5x = 8; 2,5x + 15 = 18 + 2; 2 1- x + 8 = 5; 3 - l - x = 2 tenglamalar bitta ildizga ega. Bu

tenglamalami bevosita yechib, bunga ishonch hosil qilish mumkin.

2) (x + 3 )(x - 5) = 0 tenglama ikkita ildizga ega: x, = -3 va x2 = 5, chunki x ning bu qiymatlarida tenglama to‘g ‘ri tenglikka aylanadi. Shuningdek,

62

= 0; (2x - l)(3x - 2) = 0( x - 3 ) ( x - 7 ) = 0 ; ( x -2 ,5 )(x - -

\ * Jtenglamalar ham 2 ta ildizga ega.

l

( x - l ) ( x - 2 ) ( x - 3 ) = 0 tenglama 3 ta ildizga ega, ular x, = 1, x2 = 2, x3 = 3, chunki xning bu qiymatlari tenglamani to‘g‘ri tenglikka aylantiradi.

(2x - l)(3x - 4)(5x - 6 ) = 0; (1,5x - 3)(2,8x -1 ,4)(4x - 9) = 0 tenglamalaming har biri ham 3 tadan ildizga ega.

Xuddi shu usul bilan 4 ta, 5 ta , ..., umuman, n ta ildizga ega bo‘lgan tenglamalami tuzish mumkin.

3 - m i s o l . 1) 4 (x -3 ) = 4x-12; 2) 6 x - 7 = 2 (3x-3 ,5 ) tenglamalaming har biri cheksiz ko‘p ildizga ega, chunki noma’lum x ning istalgan qiymatida tenglamaning chap va o‘ng qismlari o ‘zaro teng bo‘ladi.

4 - m i s o l . 7x + 6 = 7x + l l tenglama ildizga ega emas, chunki x ning istalgan qiymatida bu tenglamaning chap qismi o‘ng qismidan kichik.

Bu misollardan shunday xulosaga kelamiz:Tenglamani yechish — uning barcha ildizlarini topish yoki

ulaming yo ‘qligini ko ‘rsatish demakdir.Masalalami tenglama tuzib yechish jarayonida ko‘ramizki,

ko‘pgina amaliy masalalami yechish ma’lum shakl almash- tirishlardan so‘ng ax= b ko‘rinishdagi tenglamaga keladi, bunda a\a b — berilgan sonlar, x — topilishi kerak boigan nomaium son. ax = b tenglama chiziqli tenglama deyiladi. Siz uchun uning yechimiga doir shunday maiumotni beramiz:

1) agar a± 0 boisa, bu tenglama yagona ildizga ega:

* = - yoki x = b:a :a2 ) agar a = 0 , b = 0 boisa, chiziqli tenglama cheksiz

ko‘p ildizga ega bo‘ladi. Bu holda 0 • x = 0 ifodada x ning o ‘miga istalgan son qo‘yilsa, tenglamaning chap va o ‘ng qismlari o'zaro teng boiaveradi;

3) agar a = 0, ammo b * 0 boisa, tenglama yechimga ega bo‘lmaydi. Bu holda, masalan, 0 • x = 5 tenglamani hosil qilamiz.

(>3

Ammo noma’lum x sonni 0 ga ko‘paytirish natijasi yana 0 (biroq 5 emas!), binobSrin, bu holda tenglamaning ildizi yo‘q.

Mavzu uchun 2 s o a t ajratilgan.Sinfda yechiladi:79, 80, 82, 84- mashqlaming toq raqamli

misollari; 81, 83- mashqlar.Uyga vazifa: 79, 80, 82, 84- mashqlaming jufl raqamli

misollari.

Masala yechish namunalari:

JNfs 83. 3) ildizli - 6 bo‘lgan tenglama tuzing.Y e c h i s h . Bunday tenglamalardan cheksiz ko‘p tuzish

mumkin. Masalan, 1) x + 6 = 0; 2) 2x =-12; 3) 3x+ 18 = 0; umuman, ax + 6a = 0 , a± 0 .

JVs 84. a sonni shunday tanlangki, 4x — 3 = 2x + a teng-

lama jc = - ildizga ega bo‘lsin.2

Y e c h i s h . Berilgan tenglamani soddalashtiramiz:

a = 4x - 2x - 3, a = 2x-3, ana endi jc ning x = qiymatini

shu ifodaga olib borib qo‘yamiz: a = 2 ■ i - 3; a = 1 - 3; a = -2.

Demak, 4jc — 3 = 2x — 2 tenglama x = ^ ildizga ega bo‘lishi

kerak. Haqiqatan ham, 4x - 2x = 3 - 2, 2x = 1, x = - .2

J a v o b : a=-2 .


1. Tenglama deb nimaga aytiladi?2. Tenglamaga misollar tuzing. Tenglamaning o‘ng va chap qismlari

nima? Tenglamaning hadi nima?3. Biror tenglama yozing. Shu tenglama bilan yechiladigan masala

(masalalar) tuzing.4. Tenglamaning ildizi nima? Misollarda tushuntiring.5. 2 ta, 3 ta, 4 ta ildizga ega bo'lgan 3—4 tadan tenglama tuza olasizmi?6. Bitta ham ildizga ega bo'lmagan 3 ta tenglama tuzing.

64

7. Cheksiz ko‘p ildizga ega bo‘lgan 4 ta tenglama tuzing.8. Tenglamani yechish deganda nimani tushunasiz?9. Chiziqli tenglama nima? Misollar keltiring.

Tayanch so‘z va iboralar: tenglama; tenglamaning chap va o ‘ng qismlari; tenglamaning hadi; tenglamaning ildizi; tenglamani yechish; chiziqli tenglama; tenglama bitta iJdizga ega; tenglama 2 ta, 3 ta ildizga ega; tenglamaning ildizi yo‘q; tenglama cheksiz ko‘p ildizga ega.


1. —1, 0,1 sonlaridan qaysi biri tenglamaning ildizi bo‘ Iadi:

1) 3x + 3 = 0; 5) x +1 = 0;

2) x2 = x\ 6) x -1 = 0;

3) 4 x - 4 = 0; 7 ) 1,5* = -1,5;

4 ) 2x + x = 3; 8 )^ x - - i = a?


1) 2jc — 7 = 15; 3) 2,5jc —1 = 4; 5) x ( x - l ) = 0;

2) 5 - 3x = 14; 4 ) 6 - l , 7 x = 2,6; 6 ) ( x + 1 )(jc- 5 ) = 0.

3. Ildizi: 1) 0 soni; 2) 2 soni; 3) —2 soni; 4) 5 soni;5) —5 soni;

6) 10 soni; 7) 1,5 soni; 8) —2,5 soni; 9 ) ~ soni; 10) - -6 7

soni bo‘lgan tenglama tuzing.

Bir noma’lumli birinchi darajali tenglamalarni yechish

Maqsad. 0 ‘quvchilami bir noma’lumli chiziqli tenglamalami yechish usuli (al-Xorazmiy usuli) bilan tanishtirish.

Mavzuni o ‘ rgangach, o ‘ quvchilar quyidagi bilim va ko'nikmalarga ega bo‘Iishlari lozim:5 -7 - sinfda „Algebra“ 65

Bilimlar:— bir noma’lumli chiziqli tenglamalami yechish usulini

bilish.Ko ‘nikmalar:— berilgan bir noma’lumli chiziqli tenglamani yecha olish.Metodik tavsiyalar. Bir noma’lumli chiziqli tenglamalami

yechish to‘g ‘ri tenglikning xossalariga asoslangan. Darslikda to‘g‘ri tenglikning ana shu xossalari keltirilgan jadval berilgan. Uni siz o ‘quvchilaringiz bilan biigalikda tahlil qilishingiz lozim.

Tenglamalarni yechishda to ‘g ‘ ri tenglikning jadvalda ko‘rsatilgan 1- va 2- xossalari qanday tatbiq etilishini, bu xossalar „qanday ishlashini“ ko‘rsatuvchi misollar (darslikdagi 1 -3 - masalalar) berilgan va tushuntirib yechilgan.

Shu bilan birga, tenglamalami yechishda tenglamalaming asosiy xossalaridan foydalaniladi.

1 - x o s s a . Tenglamaning istalgan hadi ishorasini qarama- qarshisiga o'zgartirib, uning bir qismidan ikkinchi qismiga o ‘tkazish mumkin. Bu xossa, aslida, al-Xorazmiyning asaridagi „al-jabr“ usuli (al-jabr almashtirishi, qoidasi)ning xuddi o ‘zidir.

2 - x o s s a . Tenglamaning ikkala qismini nolga teng bo‘ lmagan bir xil songa ko‘paytirish yoki bo‘lish mumkin.

Keltirilgan bu ikkita xossa istalgan bir noma’lumli chiziqli tenglamani yechish imkonini beradi. Buning uchun:

1) noma’lum qatnashgan hadlarni tenglikning chap qismiga, noma’lum qatnashmagan hadlarni (ozod hadlami) esa o ‘ng qismiga 1- xossaga — al-jabr qoidasiga muvofiq o ‘tkazish lozim;

2) o ‘ xshash hadlarni ixchamlash kerak. Bunda al- Xorazm iy asaridagi „val-m uqobala“ usulidan („v a l- muqobala“ almashtirishi, qoidasidan) foydalaniladi. „Val- muqobala“ usuliga ko‘ra, tenglamaning ikkala qismidagi teng hadlami tashlab yuborish (qisqartirish, ixchamlash) mumkin. Shundan so‘ng berilgan tenglama ax—b ko‘rinishga keladi;

3) tenglamaning ikkala qismini noma’lum oldida turgan koeffitsiyentga (agar u nolda teng bo‘lmasa) bo‘lish kerak.

66

Demak, chiziqli tenglama dastlab qanday ko‘rinishda bo‘lishidan qat’ iy nazar, u tenglamaning 1 - va 2- xossalari yordamida eng sodda holga — ax— b tenglamaga keltiriladi.

Agar a *0 bo‘lsa, bu tenglamadan x = - ildizni hosil qilamiz.

Darslikda, shuningdek, ildizga ega bo'lmagan (4- masala), cheksiz ko‘p ildizga ega bo‘ lgan (5- masala) tenglamaga misollar ko‘ rsatilgan.

Bu mavzuni yoritishda sizga 2- § oxirida berilgan tarixiy ma’lumotlar, tarixiy masalalardan, ayniqsa al-Xorazmiyning „Kitob al-muxtasar fi hisob al-jabr val-muqobala“ asaridan olingan masalalardan foydalanishni tavsiya etamiz. Chiziqli tenglamalami yechishni taqozo etuvchi amaliyot masalalarini ko‘proq ishlatish maqsadga muvofiqdir.

Mavzu uchun 4 s o a t ajratilgan.Sinfda yechiladi: 104— 112 mashqlar, 113 -120 -

mashqlarning toq tartib raqamli misollari, 121-124- mashqlar.

Uyga vazifa: 113— 120-mashqlarning juft raqamli misollari.


Ne 117. Tenglamani yeching:_v 9 x -5 3 + 5x 8 x -2 ~3) ---------- ---------- = 2.

’ 2 3 4

8x — 2Y e c h i s h . Uchinchi kasr —-— ning surat va maxrajini

2 ga qisqartiramiz. U holda berilgan tenglamani 9x - 5 3 + 5x 4x -1 _ 0

2 3 2kabi yozib olamiz va umumiy maxrajga keltiramiz:

3(9x - 5) - 2(3 + 5x) - 3(4x -1 ) = 12.Qavslami ochamiz va ixchamlaymiz:

2 7 x -1 5 -6 -1 0 x -1 2 x + 3 = 12,

5x-18 = 12.67

Ozod had 18 ni tenglamaning o ‘ng qismiga o'tkazamiz: 5x = 30, bundan x = 6.x ning bu qiymatini berilgan tenglamaga qo‘yib, hisoblash ishlarini bajarsak, tenglamaning ildizi ayni shu son ekaniga bevosita ishonch hosil qilamiz.

J a v o b . x = 6 .

JVffi 118. Tenglamaning ildizlarga ega emasligini ko'rsating:x - l 5jc+ 2 5 + 3x

3) + ------- = ------- .’ 3 12 4

Y e c h i s h . LTmumiy maxrajga keltiramiz:

4(x -1 ) + 5x+2 = 3(5 + 3x).

Qavslarni ochamiz: 4x - 4 + 5x + 2 = 15 + 9*, bundan

9 x - 2 = 15 + 9x, „val-muqobala“ qoidasiga ko‘ra, bu tenglamaning ikkala qismidagi teng hadlami, ya’ni 9x lami tashlab yuborish mumkin. U holda —2 = 15, ammo bu tenglik noto‘g ‘ ri.

Demak, berilgan tenglama ildizlarga ega emas.

N° 119. x ning istalgan qiymati tenglamaning ildizi bo‘ la olishini ko‘rsating:

3) 6 (l,2 x -0 ,5 )- l,3 x = 5 ,9 *-3 .

Y e c h i s h . Qavslarni ochamiz va o ‘xshash hadlarni ixchamlaymiz. U holda 7,2x - 3 -1 ,3x = 5,9x - 3, bundan

5,9x - 3 = 5,9x-3.Bu tenglik x ning istalgan qiymatida to‘g‘ri bo‘ ladi. Demak,

x ning istalgan qiymati tenglamaning ildizi bo‘ladi, ya’ni tenglama cheksiz ko‘p ildizga ega.

Ne 120. Tenglamani yeching:

3) (3x + 2 )(x -1 ) - 3(x + l ) (x - 2) = 4.

Y e c h i s h . Qavslami ochamiz va o ‘xshash hadlami ixchamlaymiz: 3x2 + 2x - 3x - 2 - 3x2 - 3x + 6x + 6 = 4, 2x + 4 = 4, bundan, „val-muqobala“ qoidasiga muvofiq 2x = 0, demak, x = 0.

J a v o b : x=0.68

N° 121. Tenglamani yeching:

3) 4 ,2 :(2 x -7 ) = 10:7^.

Y e c h i s h . 1 - u s u l . Bu tenglik—proporsiyadir. Pro-

porsiyaning asosiy xossasiga ko‘ra: 10 (2 x - 7 ) = 4 ,2 -7 - ,

bundan 10 • (2x — 7) = 30, 2x — 7 = 3, 2x = 10, x = 5. J a v o b : x = 5 .

2 - u s u l . 4 ,2 :(2 x -7 ) = 1 0 -^ , 4 ,2 :(2 x -7 ) = l,4,

bundan 2 x - 7 = 4 ,2 :l,4 , 2 x - 7 = 3, 2x = 10, x = 5. J a v o b : x = 5.


1. „Al-jabr“ almashtirishi (usuli, qoidasi) nimani bildiradi? Misol- larda tushuntiring.

2. „Val-muqobala“ almashtirishi (usuli, qoidasi) nimani bildiradi? Misollarda tushuntiring.

3. To‘g‘ri tenglikning ikkita asosiy xossasini ayting. Misollarda izohlang.

4. Tenglamaning asosiy ikkita xossasini ayting va misollarda tushuntiring.

5. Bir noma'lumli chiziqli tenglama qanday yechiladi? Yechish algoritmini sanang.

6. Chiziqli tenglama ildizga ega bo'lishi shartmi? Fikringizni asoslang.7. Chiziqli tenglama cheksiz ko‘p ildizga ega bo'lishi mumkinmi?

Misollarda izohlang.

Tayanch so‘z va iboralar: al-jabr; val-muqobala; to‘g ‘ri tenglikning xossalari; tenglamaning ikkita asosiy xossasi; chiziqli tenglamani yechish qoidasi (algoritmi); tenglama ildizga ega emas; tenglama cheksiz ko‘p ildizgaega.


1. Tenglamani yeching:1) 5x=0; 2) 3x=6; 3) 4x — 12=0;

4) 0 ,5x=^; 5) | x = | ; 6) \x=2\69

7) 3(jc+ 1)=0; 8) 2 ( x - l ) = 2 ; 9) 5 (*+ 2 )= 1 0 ;10) 2(x— l) = x + l ; 11) 3 (x f l)= x + 4 ; 12) 5(at-3 )= -5 .

2. Tenglama ildizga egami:1) 3x+7=2(x+l)+x; 2) 4(jc-2 )~ x=2x-5 + x?

3. Tenglamani yeching: , N x+l _ 2 x - l .

~2 3“ *

3) 2,5;

2)3x+8~ ~ 4 ~

4) 4 - 4

x+5 . ~2~’ 56 '

Masalalarni tenglamalar yordamida yechish

Maqsad. 0 ‘quvchilami masalalami tenglama tuzib yechishga o ‘ igatish.

0 ‘quvchilar bu mavzuni o‘ rgangach, quyidagi bilim va ko‘nikmalarga ega bo‘lishlari lozim:

Bilimlar:— masalalarni tenglama tuzib yechish bosqichlari,

yo‘ llari, usullarini bilish.Ko ‘nikmalar:— berilgan matnli masalalami tenglama tuzib yecha olish.Metodik tavsiyalar. Matnli masalalami yechish usullari

turlicha bo‘ladi. Ulardan asosiylari: 1) arifmetik usul (masalani savollar tuzib, izohlab, ma’ lum mulohazalarga asoslanib yechish); 2) algebraik usul (masalani uning mazmuniga mos tenglama tuzib yechish). Masala yechishda chizmalardan, geometrik, fizik tushunchalardan foydalanish ham yechimga tezroq olib kelishi mumkin.

Masalani tenglama tuzib yechish allomalarimiz asariarida „al-jabr val-muqobala“ usuli deb atalgan.

Matnli masalani yechish, shartli ravishda, ikkita asosiy bosqichdan iborat bo‘ladi:

1) masalaning sharti bo‘yicha tenglama tuzish;2) hosil bo‘lgan tenglamani yechish.Bu bosqichlami „maydalash“ , ulami qismlaiga bo‘lish ham

mumkin. Natijada berilgan masalaning matematik modeli tuziladi.7«

Masalaning matematik modeli — masalada bayon etilgan muammoli holatni, vaziyatni „matematika tili“ga ko‘chirish, bu holatni formulalar, tenglama va tengsizliklar orqali ifodalashdir. Masalaning matematik modelini tuzish quyidagicha bo‘ladi:

1. Masalada topilishi kerak bo‘lgan noma'lumni belgilash.2. Noma’lum kattalik (miqdor) bilan masalada berilgan

kattaliklar (miqdorlar, sonlar) orasidagi bog‘lanishni o ‘ma- tish, topish. Bu bog‘lanish tenglama, tengsizliklar yordamida ifodalanadi.

3. Izlanayotgan noma’lum qanday shartlami qanoatlan- tirishi zamrligini aniqlash.

4. 2- bandda tuzilgan tenglamani yechib, yechim berilgan masala mazmunini to‘la aks ettirishini, unga mos kelishini aniqlash.

Masala mazmuniga mos tenglama tuzish (2- band) masalaning matematik modelini tuzishdagi eng asosiy bosqichdir.

Masala mazmuniga ko‘ra javob natural son (masalan, kishilar, narsalarning nechtaligi) yoki biror musbat son (masalan, masofa, vaqt, yuz, hajm) chiqishi lozim bo‘ lsa- yu, ammo tuzilgan tenglamaning yechimi (ildizi, javobi) kasr son yoki manfiy son chiqib qolsa, demak, yoki tenglama noto‘g ‘ri tuzilgan, noto‘g ‘ri yechilgan yoki masalaning beri- lishida kamchilik boiishi mumkin.

Masalalar yechib ko‘raylik.1- m a s a l a . Ikkita javonda 180 ta kitob bor. Birinchi

javondan ikkinchisiga 10 ta kitob olib qo‘yildi. Shundan so‘ng, ikkinchi javondagi kitoblar soni birinchisidagi kitoblar soniga qaraganda ikki baravar ko‘p bo‘lib qoldi. Dastlab har bir javonda qanchadan kitob bo‘lgan?

Y e c h i s h . I usu l . 1 )birinchijavondagikitoblarsonini xbilan belgilaylik. U holda ikldnchi javondagi kitoblar soni (180— — x) ta bo‘ladi. Ravshanki, x — natural son va x > 10 boiishi kerak; birinchi javondan 10 ta kitob olingach, unda (x ~ 10) ta kitob qoladi; ikkinchijavonga o‘sha 10 ta kitob qo‘yilgach, undagi kitoblarsoni (180—x + 10)=(190 — x) ta boiadi; 2) masala shartiga ko‘ra, ikkinchi javondagi kitoblar soni birinchi javondagidan ikki marta ko‘p boiadi. Ya’ni 2(x — 10)=190 — x boiishi kerak.

71

Bu tenglama masala mazmuniga mos tenglamadir. Uni yechib, x ni topamiz:

2x — 20 = 190 — x, bundan 3x = 210, x = 70 ta (kitob). U holda ikkinchi javonda 180 — jc = 180 — 70 = 110 ta (kitob) bo'ladi.

T e k s h i r i s h . 1) 70 + 110 = 180 (ikkala javonda birgalikda 180 ta kitob bor edi); 70 — 10 = 60 birinchi javondan 10 ta kitob olingach, unda 60 ta kitob qoldi; 3) 110 +10 =120 — ikkinchi javonga 10 ta kitob qo‘yilgach, unda 120 ta kitob bo‘ldi; 4) 60 - 2=120 (yoki 120 : 60 = 2) — ikkinchi javondagi kitoblar soni birinchi javondagidan ikki baravar ko‘p. Demak, masala to ‘g ‘ri yechilgan.

J a v o b : Birinchi javonda 70 ta, ikkinchi javonda 110 ta kitob bo‘Igan.

II u s u l . 1) birinchi javondan 10 ta kitob olib, ikkinchisiga qo‘yilgan bo‘ lsin. Birinchi javondagi kitoblar sonini 1 bo‘lak (qism) deb olsak, u holda ikkinchi javondagi kitoblar soni 2 bo‘lakni tashkil etadi. Demak, jami kitoblar 1 + 2 = 3 bo‘ lakni tashkil etadi; 2) 1 ta bo‘lakka qancha kitob mos keladi? 180 : 3= 60 ta kitob mos keladi: birinchi javondagi 60 ta kitobga bu javondan olingan 10 ta kitobni qaytarib qo‘ysak, birinchi javonda dastlab nechta kitob bo‘ lganini bilamiz: 60 + 10 = 70 (ta kitob). U holda ikkinchi javonda dastlab 180 — 70 = 110 (ta kitob) bo‘lgan.

J a v o b : Birinchi javonda 70 ta, ikkinchi javonda 110 ta kitob bo‘lgan.

Mavzu uchun 5 s o a t ajratilgan.Sinfda yechiladi: 125—130-mashqlaming toq raqamli

masalalari; 136— 139hamda 146— 151-masalalar.Uyga vazifa. 125—130- mashqlaming juft raqamli masa-

lalari.


Ns 138. 1 - m a s a 1 a .Y e c h i s h . 1) ishchilar bir kunda x ta mahsulot tayyor-

lashlari kerak edi; ular har kuni (x+27) tadan mahsulot tayyorlashdi;

2) topshiriqqa ko‘ra 10 kunda lOx ta mahsulot tayyorlanishi kerak edi (bu topshiriq), ammo u 54 taga oshirib bajarildi, ya’ni (10x+ 54) ta mahsulot tayyorlandi;

3) 7 kunda 7-(x+27) ta mahsulot ishlab chiqarildi;4) 2- va 3- bandlarda aytilganiga ko‘ra, 7 kunda ishlab

chiqarilgan mahsulot soni (lOx + 54) taga teng, demak, masala mazmuniga mos tenglama lOx + 54 = 7-(x + 27) bo‘ ladi;

5) bu tenglamadan x ni topamiz:lOx +54 = 7x + 7 • 27, 3 x= 7 ■ 27 - 2 ■ 27, 3x =5 -2 7 ,

x = 5 • 9, x = 45. Dastlabki reja bo‘yicha bir kunda 45 ta mahsulot tayyorlanishi kerak edi. Aslida esa bir kunda x + 27 = 45 + 27 = 72 ta mahsulot tayyorlangan.

T e k s h i r i s h . 1) 45-10=450; 2) 450+54=504;3) 45+27=72; 4) 7-72=504; 504=504.J a v o b : 72 ta.


1. Matnli masalalar yechishning qanday usullarini bilasiz?2. Masalaning matematik modeli deganda nimani tushunasiz?3. Masalaning matematik modeli qanday tuziladi?4. Masala yechilgach, javobning tog'riligi qanday tekshiriladi?5. Ushbu masalani: 1) tenglama tuzib; 2) arifmetik usul yordamida

yeching. Uchburchakning perimetri 38 sm. Uning bir tomoni ikkinchisidan 3 sm uzun, uchinchisidan esa 5 sm qisqa. Shu uchburchakning tomonlari uzunliklarini toping.

Tayanch so‘z va iboralar: masala yechish usullari; algebraik usul; tenglama tuzish usuli; arifmetik usul; „al-javr va val- muqobala“ usuli; matematik model; masalaning matematik modeli; masala shartiga, mazmuniga mos tenglama.

Mavzuni o‘rgangach, o‘quvchilar ushbu qiyinlikdagi masalalarni yecha olishlari shart:

1. Ikki sonning yig'indisi 70 ga teng. Birinchi son ikkinchi sondan 2,5 marta kichik. Shu sonlami toping.

2. To‘g‘ri to‘rtburchakning qo‘shni tomonlari ayirmasi 8 ga, perimetri esa 36 ga teng. Uning tomonlari uzunliklarini toping.

73

3. Dinora bir sonni o'yladi. Undan 3 ni ayirib, natijani 4 ga bo‘ldi. Bo'Iinmaga 7 ni qo‘shdi. Hosil bo‘lgan yig‘indini 5 ga ko‘paytirgan edi, 50 chiqdi. Dinora qanday sonni o ‘ylagan.

4. Teng yonli uchburchakning perimetri 40 sm ga teng. Yon3

tomoni asosining - qismini tashkil etadi. Shu uchbur-

chakning tomonlari uzunliklarini toping.5. Ikkita omborda 1201 kartoshka bor. Birinchi ombordagj kar-

toshkaning 20 %i ikkinchi ombordagi kartoshkaning 10 % idan 3 1 ko‘p. Har bir omborda necha tonnadan kartoshka bor?

QOBILIYATLI 0‘QUVCHILAR UCHUN MASHQLAR

1. Tenglamalami yeching:1) 4 (x + 1 )+ 5 (x+ 2 )= 7 (jc+ 3 )—9;2 ) 7(3jc+ 2 )+ 5 (jc- 3 )—2 (jc—6 )= 8 ;3) 6 (2 ^ 1 )-7 (3 x + l l )+ 5 (1 0 -x )= 7 ;4) 5 (8 x - l )-7 (3 x + l)+ 9 (6 -5 x )= 1 6 .

2. Tenglamalami yeching:jv 3x+2 5x-8 _ 2x+l x—1 2 .’ 6 8 4 ~ ~2T 3 ’

2) ^ + ^ - ^ * = 0,5(jc- 3 ) + 0,3(x -3 );

3) = 0>2(9jc + 44) + 0>75(3jc +10);

4) 5 (3^2 )+1>5jc = 22 l + x + ^ .4 u 18

3. Tenglamalami yeching:1) 5(4jc— 1)—2,7x+0,2jc=6,5—0,5jc.2) 0,72jc—6,8=0,6-(0,4jc-1 ,2 );3) 2,4jc-5 ,375=0,25jc—1,53jc—5,425+3,7x;4) 1 1,4jc+14,4-1,71jc=68,377+6,9jc-36,4.

4. Tenglamalami yeching:

2>15-{i[5(?<x + 2> + 7)+8] + 9}=»74

3) - 2x - {2,5x - [3x - (3,5x - (4x - 9 ) ) ] } = -10;

4) - x - x - [ l, 5x - (1,75x - (2x - 2,25 ))]j = -2,5.

5. Ikkita tokchada 40 ta kitob bor. Birinchi tokchadan 5 ta kitob olib ikkinchi tokchaga qo‘yildi. Shundan so‘ng ikkinchi tokchadagi kitoblar birinchi tokchadagiga qaraganda 3 marta ko‘p bo‘ lib qoldi. Dastlab har bir tokchada nechtadan kitob bo‘lgan?

J a v o b : 15 ta; 25 ta.

6. Aravaning oldingi g ‘ ildiragi aylanasi keyingi g ‘ ildiragi aylanasidan 0,5 m qisqa. 45 m masofada oldingi g ‘ ildirak necha marta aylansa, 54 m masofada keyingi g ‘ ildirak shuncha marta aylanadi. Har bir g ‘ ildirak aylanasi uzunligini toping.

J a v o b : 2,5 m; 3 m.

7. Aravaning oldingi g‘ ildiragi aylanasi uzunligi 1,5 m ga, keyingi g‘ ildiragi aylanasi uzunligi esa 2 m ga teng. Qanday masofada oldingi g ‘ildirak keyingisiga qaraganda 50 ta ko‘p aylanadi?

J a v o b : 300 m.

8. Bir son ikkinchisidan 7 taga ko‘p. Agar sonlardan kichigini 4 ga, kattasini 5 ga bo‘lsak, birinchi bo‘linma ikkinchisidan 2 taga ortiq bo‘ladi. Shu sonlami toping.

J a v o b : 75; 68.9. Ikki sonning yig‘ indisi 59 ga teng. Agar sonlardan

kattasini kichigiga bo‘ lsak, to‘ liqsiz bo‘linma 3 ga va qoldiq 11 ga teng bo‘ladi. Shu sonlami toping.

10. Ikki sonning ayirmasi 68 ga teng. Agar sonlardan kattasini kichigiga bo‘ lsak, to ‘ liqsiz bo‘ linma 5 ga va qoldiq 8 ga teng bo‘ladi. Shu sonlami toping.

J a v o b : 83; 15.

11. Bir son ikkinchisidan 18 taga kam. Sonlardan kattasi- ning yarmi kichigidan 14 taga kam. Shu sonlami toping.

J a v o b : 46; 64.

12. Bir kilogramining narxi 300 so‘m va 420 so‘m bo‘lgan ikki xil mahsulot aralashtirilib, 1 kilogrami 330 so‘m bo‘lgan 32 kg mahsulot hosil qilindi. Har bir xil mahsulotdan necha kilogrammdan olingan?

J a v o b : 1 kg i 300 so‘mlik mahsulotdan 24 kg; 1 kg i 420 so‘mlik mahsulotdan 8 kg.

13. Matoning 1 metri 60 so‘mga arzonlashdi. Endi matoning 19 metri eski narxda olingan 18 m mato narxidan 400 so‘m arzon bo‘lib qoldi. Dastlab matoning 1 metri necha so‘m bo‘lgan?

J a v o b : 740 so‘m.

14. Birinchi xil matoning 1 metri 1800 so‘m, ikkinchi xil matoning 1 metri esa 1600 so‘m turadi. 51 200 so‘mga 1- va 2-xil matolardan birgalikda 30 m xarid qilindi. Har bir matodan necha metrdan xarid qilingan?

J a v o b : 16 m; 14 m.

15. 1) Ota 40 yoshda, o ‘g‘ li 12 yoshda. Necha yil awal otaning yoshi o ‘g‘ li yoshidan 5 marta katta bo'lgan?

J a v o b : 5 yil awal.

2) Ona qizidan 39 yosh katta. 7 yildan so‘ng onaning yoshi qizi yoshidan 4 marta katta bo‘ladi. Ona hozir necha yoshda? Qizi-chi?

J a v o b : 45 yosh; 6 yosh.

16. 1) Buyum naixining ustiga narxning 15 % ini qo‘shib, uni 5980 so'mga sotishdi. Buyumning narxi necha so‘m bo‘lgan?

2) Buyumni 8 580 so‘mga sotishdi. Bunda 2,5 % zarar qilindi. Buyumning narxi necha so‘m bo‘ lgan?

17. 0 ‘ylangan sonni 4 ga ko‘paytirib, natijaning o ‘ng tomoniga 5 yozib qo'yilsa va hosil bo'lgan sonni 81 ga bo‘ lib, bo‘linmaga 25 qo‘shilsa, o‘ylangan sondan 3 marta katta bo‘lgan son chiqadi. Qanday son o ‘ylangan edi?

J a v o b : 10.

818. kasming suratiga 14,4 soni necha marta qo‘shilgan

bo‘lsa, maxrajiga 13 soni shuncha marta qo'shildi. Natijada hosil76

bo‘lgan kasr 1 ga teng bo‘lib qoldi. Bu sonlar surat va maxrajga necha martadan qo‘shilgan?

J a v o b : 5 martadan.

19. Bir nechta ishchi 72 000 so‘m pulni teng bo‘lib olishdi. Agar ular 2 ta kam bo‘ lganda edi, har bir ishchi awalgisidan 1,5 marta ko‘p pul olardi. Ishchilar nechta bo‘lgan?

20. Arqonning yarmi va yana ^ dm, keyin qolgan

arqonning yarmi va yana dm, so'ngra bundan qolgan arqon-

ning yarmi va yana ^ dm qirqib olindi. Shundan so‘ng jami arqondan 12 dm qoldi. Dastlab arqonning uzunligi qancha bo'lgan?

J a v o b : 10 m 3 dm.

21. 1) x ning qanday qiymatida 3(x— 1)—2(3—x )— 1 ifodaning son qiymati 1 ga teng bo'ladi?

J a v o b : x = 2,2.

2) x ning qanday qiymatida va - 3 ifoda-

laming son qiymatlari teng bo‘ ladi?J a v o b : x = 7 .

22. a sonning tenglama ildizga ega bo'ladigan qiymatini toping:

1) 5 jc — 7 = 5 x — a;2) x — (2 — x) = 2 x — a; J a v o b : a = 2.

23. Tenglamadan noma'Ium x ni toping. a ning qanday qiymatlarida tenglama yechimga ega bo‘ladi:

3 ) f -f = i* -(*-8);4) | + | = (x + ! 5 ) - | x . J a v o b : a = 75.

1) 2x—3(x—a)=3+a]2 ) a + 6 ( jc— 1 ) = 2 a + x ;

ax-2 _ 3-ax.

5-ax _ 1-ax.

2 4~*77

24. Birinchi soatda sayyohlar 3,5 tezlik bilan yurishdi.

Hisoblab ko‘rishsa, bunday tezlik bilan yurilganda, manzilgakm

mo‘ljaldan 1 soat kech borilar ekan. Ular tezlikni 1,5^^- ga

oshirishdi va manzilga mo‘ljaldan yarim soat oldin yetib kelishdi. Syyohlar qancha yo‘l yurishgan?

J a v o b : 21 km.25. Ikki qishloq orasidagi masofa 9 km. Y o ‘l qiyalik va

kmtekislikdan iborat. Piyoda qiyalikdan tepaga 4 ^ ^ tezlik bilan

kmko‘tarildi, tekis yo‘lda 5 — - tezlik bilan yurdi, qiyalikdan pastgasoat

kmesa 6 tezlik bilan tushdi. Piyoda bir qishloqdan ikkinchisiga

borish va kelishga 3 soat 41 minut sarflagan bo‘lsa, yo‘ lning tekis qismi necha kilometmi tashkil qiladi?

J a v o b : 4 km.

26. Poyezd 40 tezlik bilan ketyapti. Haydovchi ro‘paradan kelayotgan va uzunligi 75 m bo‘ lgan poyezdning uning poyezdi yonidan 3 sekundda o ‘tib ketganini aniqladi. Ro‘paradan kelayotgan poyezdning tezligi qancha bo‘ lgan?

J a v o b : 5 0 ^ ; .soat27. Mis va ruxdan iborat qotishma og‘irligi 24 N bo‘ lib,

uni suvga cho‘ktirilganda o ‘z og‘irligining 2 - N ini yoqotdi.

Missuvdao‘zog'irligining l l^ % ini, ruxesa suvdao‘z o g ‘ir- 2

ligining 14 - % ini yo‘qotishi ma’lum bo‘lsa, qotishmada mis

va rux og'irliklari qanchadan?J a v o b : mis 17 N , rux 7 N.

28. ( Qadimgi masala). Ota katta og‘liga tangalarining ^

qismini, kichik o ‘g‘liga esa qolgan tangalarining ^ qismini berdi. Shundan so‘ng otada 384 ta tanga qoldi. Dastlab otada qancha tanga bo‘lgan?

J a v o b : 442 ta.78

29. ( Qadimgi masala). Asalarilaming beshdan biri oq gullaiga, uchdan biri esa qizil gullaiga qo‘ndi. Ular ayirmasining uch baravari esa sariq gullardan bol yig‘ ishmoqda. Faqat bittagina asalari gullar iforidan bahra olib, uchib yuribdi. Qani ayting-chi, gulzorda qancha asalari bor?

J a v o b : 15 ta.

30. T o ‘g ‘ri to‘ rtburchakning balandligi asosining 0,72 qismiga teng. Agar shu to‘g‘ri to‘rtburchakning asosi 5 sm ga, balandligi 3 sm ga kamaytirilsa, uning yuzi 150 sm2 ga kamayadi. To ‘g‘ri to‘rtburchak tomonlari uzunliklarini toping.

J a v o b : Asosi 25 sm, balandligi 18 sm.

^ 2- YOZMA NAZORAT ISH I

1- variant

1. Tenglamani yeching: 12* + 7 ,5=8x+ 3,5.2. Tenglamani yeching: 3(2x^3)+17=2(4x^3)—5.

3. Tenglamani yeching: + 2,5 =

4. Ikkita yashikda birgalikda 50 kg anor bor. Birinchi yashikdagi anorlaming 10% i ikkinchi yashikdagi anorlaming 15% iga teng. Har bir yashikda necha kilogrammdan anor bor?

5. T o ‘g ‘ri to‘ rtburchakning qo‘shni tomonlari yig‘ indisi 90 sm ga teng. Asosi balandligidan 1,25 marta uzun. Shu to‘g‘ri to‘rtburchakning yuzini toping.

J a v o b l a r : 1.—1. 2.9,5. 3.1,6. 4.30kg;20kg. 5.20dm2.

2- variant

1. Tenglamani yeching: 15jc+ 8,5 = l l x + 4,5.2. Tenglamani yeching: 2(3jc— 1) + 15 = 3(3jc — 4)—7.

3. Tenglamam yeching: - 3,5 =

4. Ikkita qopda birgalikda 90 kg shakar bor. Birinchi qopdagi shakarning 20 % i ikkinchi qopdagi shakarning 25 % iga teng. Har bir qopda necha kilogrammdan shakar bor?

5. T o ‘g‘ ri to ‘ rtburchakning perimetri 60 sm ga teng. Balandligi asosidan 1,5 marta qisqa. Shu to‘g‘ ri io ‘ rtburchakning yuzini toping.

J a v o b l a r : 1. — 1. 2. 10y. 3. 2,4. 4. 50 kg; 40 kg.5. 216 sm2.

3- variant

1. Tenglamani yeching: 14x+ 10,6 = 6x — 5,4.2. Tenglamani yeching: 7(2 + 3x) + 8 = 9(3x + 2) + 13.

3. Tenglamani yeching: + ~y ~ + 4,5 = .4. Matematika xonasidagi uchburchak va to'rtburchaklaming

umumiy soni 17 ta, ulaming burchaklarining umumiy soni 59 ta. Xonada nechta uchburchak va nechta to‘rtburchak bor?

5. Agar tijoratchi molining 1 kg ini 2 000 so‘mdan sotsa, 10 000 so‘m zarar ko‘ radi. Agar 1 kg ini 3 000 so‘mdan sotsa, 25 000 so‘m foyda qiladi. Tijoratchida necha kilogramm mol bor?

J a v o b l a r : 1.—2. 2 .—1,5. 3.10,75. 4 .9 tauchburchak; 8 ta uchburchak. 5.35 kg.

4- variant

1. Tenglamani yeching: 17jc+ 1 8 ,3 = 1 0 x +4 ,3 .2. Tenglamani yeching: 0,8(3—2x)+4,6=0,7 (5+2x)+12,5.

3. Tenglamani yeching: + 1,5 = 0,1 ■ (7 - x).4. Olmalami har bir yashikka 12,5 kg dan solish mo‘l-

jallangan edi. Bu yashiklar o ‘miga har biriga 15,5 kg olma sig‘adigan boshqa yashiklar olishdi. Shunda mo‘ljaldagidan 12 ta yashik kam talab qilindi. Hammasi bo‘ lib yashiklarga necha kilogramm olma joylangan?

5. Dinoradagi 3 so'mlik va 5 so‘mlik pullaming umumiy soni 43 ta va ular 167 so‘mni tashkil qiladi. Dinorada nechta 3 so‘mlik va nechta 5 so‘mlik pul bor?

J a v o b l a r : 1.—2. 2 .-3 . 3 . 5 y . 4. 775 kg. 5.24ta3 so‘mlik; 19 ta 5 so‘mlik.

80

f—!-! J J_ ,

BIRHADLAR VA KOTHADLARi_i ,i LI ._ - U

Bu bobda natural ko‘ rsatkichli daraja va uning xossalari o‘igatiladi. Birhad va ko‘phad tushunchalari kiritiladi. 0 ‘xshash hadlami ixchamlash, birhad va ko'phad ustida amallar bajariladi.

Natural ko‘rsatkichli daraja


—sonning natural ko‘rsatkichli darajasi;—sonning standart shakli.Mavzuni o ‘ rganish natijasida o ‘quvchilar quyidagi bilim

va ko'nikmalarga ega bo‘lishlari lozim:Bilimlar:— natural ko‘ rsatkichli daraja;— sonning standart shakli nimaligini bilish.Ko ‘nikmalar:— ko'paytmani daraja shaklida yoza olish:— sonni standart shaklida yoza olish;— to‘ rt amal va darajaga ko‘tarish amali qatnashgan

mashqlarda amallar tartibini to‘g ‘ri belgilash.Metodik tavsiyalar. 0 ‘quvchilarga teng sonlami qo‘shishni

ko'paytirish amali bilan almashtirilgani eslatiladi va bunga doir 2—3 ta mashq bajariladi (darslikdagi 121-122- mashqlar). Ko‘paytuvchilari bir xil sonlardan iborat ko‘paytma bo‘ lgan holda nima qilinadi? degan muammoni o'quvchilar oldiga qo‘yasiz. Bunday holda ko‘paytmani yangi amal — darajaga ko'tarish bilan almashtirish mumkinligini aytasiz va o‘quvchilar bilan misollar ko‘ rasiz. Shu tariqa uchinchi bosqich amali hisoblangan — darajaga ko‘ tarish amalini kiritish asoslanadi.

a sonning n natural ko ‘rsatkichli darajasi deb, har biri a ga teng bo‘ lgan n ta ko‘paytuvchining ko'paytmasiga aytiladi: cf= a- a- a - ... • a (n tako‘paytuvchi). a son darajaning asosi,6 - 7 - sinfda „Algebra"

n son daraja ko \'rsatkichi deyiladi. Sonning birinchi darajasi deb, shu sonning o ‘zini aytiladi: al=a. Katta sonlami yozish uchun ko‘pincha 10 sonining darajalari qo‘ llaniladi.

10 dan katta bo'lgan har bir sonni a-10" shaklida yozish mumkin, bunda 1 <u<10 va n—natural son. Bunday yozuv sonning standart shakli deyiladi.

M i s o l l a r . 1) 1 081 000=1,081 106; 2)1 938=1,938-103;3)53,18=5,31810; 4)110=1,1102; 5)99 000=9,9-104.

Mavzu uchun 2 s o a t mo‘ ljallangan.Sinfda yechiladi: 121-125- mashqlar, 126-139-

mashqlaming toq raqamli misollari; 140-145- mashqlar.Uyga vazifa: 126-139- mashqlaming juft raqamli misollari.


JVs 129. Ifodani soddalashtiring.Y e c h i s h . 3) a a+a a+a a = a2+a2+a2=3a2.JSfe 130. Ifodani soddalashtiring.

Y e c h i s h . 3) a a . . . a + b b . . . bn marta m marta =ar+br.

JV° 137. Hisoblang. Y e c h i s h .

n (-0,2)4 = (0Of_ = 0,20,20,2-0,2 = 2 222 = J6 = 16Q’ (0,1 )s (0,1)5 0,10,10,10,1-0,1 11110,1 0,1

Javob: 160.

3)(3,2)2

(U ^3,2-3,2 _ 1,61,6 J a v o b : 4.

Natural ko‘rsatkichli darajaning xossalari hali o ‘ rganil- magani uchun darajani ko‘paytma ko‘rinishida yozib olib, keyin hisobladik.

JVe 143. Y e c h i s h . T o ‘ rt xonali n natural sonda a— mingliklar soni, b — yuzliklar soni, c — o ‘nliklar soni, d— birliklar soni bo‘lsa, u holda //=fllOOO+MOO+c-10+*H bo‘ ladi, ya’ni to ‘ rt xonali son /j=fl-103+ M 0 2+c-10+d ko‘rinishda tasvirlanadi.

Masalan, 2873=2* 103+8-102+7-10+1

Nq 144. Y e c h i s h . 3) 1027305=1-106+0 105+2 104+ +7-103+2-102+0-10+5= 1* 106+2-104+7-103+3-102+5.


1. Ko'paytirish va qo'shish amallari qanday bog'langan?2. Ko'paytirish va darajaga ko'tarish amallari qanday bog‘langan?

Misollarda tushuntiring.3. a sonning n natural ko‘rsatkichli darajasi deb nimaga aytiladi?

MisoIIar tuzing4. Darajaning asosi, daraja ko‘rsatkichi, darajaning qiymati nima?

Misollarda tushuntiring.5. Darajaga ko‘tarish amali nechanchi bosqich amali?6. Agar ifodada to‘rt amal va darajaga ko'tarish amali qatnashgan

bo‘Isa, amallar qanday tartibda bajariladi? Misollar tuzing va amallar tartibini belgilang.

7. (82-t-62)3-t-24-5—37:34 ifodada amallar tartibini belgilang va hisoblang.8. Sonning birinchi darajasi nimaga teng?9. Sonning standart shakli deb nimaga aytiladi?10. Sonning standart shakli nima uchun zarur?

Tayanch so‘z va iboralar: darajaga ko‘tarish; a ning n- darajasi; darajaning asosi; daraja ko‘ rsatkichi; darajaning qiymati; sonning birinchi darajasi; uchunchi bosqich amal.

IB l Mavzuni o‘rgangach,o‘quvchilar quyidagi qiyinlikdagi mashqlarni bajara olishlari shart:

1. Ko‘paytmani daraja shaklida yozing:1) 3-3-3-3 -3; 3) (1,8) - (1,8) - (1,8); 5 ) a a a a a ;

4 ) • ( - ! ) ; 6)(a + b)(a + b).


1 ) 5 5-5 b b b\ 3 )3-3-3 a a a\

2) t * t *c *c ' c; 4 ) - - - ( a + b ) ( a + b).b b y y

83


1) a • a + b b + c • c; 3) ( a — b)(a — b)(a — b)\

2) xx-x + yy-y + zz-z; 4) (x + j>)(x + y )(x + y).4. Hisoblang

1)4»; 2 ) ( - l ) ' ° ; 3 )1 "; 4) ( I , ! )J; 5 )3J + 2J;

6 ) ( ^ ; 7 ) ( l| )J; 8 )(-0 ,l)> ; 9 )- (0 ,2 )J; 1 0 ) - ( - I ) l!.

ko‘rsatkichli darajaning xossalari

Maqsad. 0 ‘quvchilami natural ko‘ rsatkichli darajaning xossalari bilan tanishtirish.

Mavzuni o ‘ rganish natijasida o ‘quvchilar quyidagi bilim va ko‘nikmalami egallashlari lozim.

Bilimlar:— natural ko‘ rsatkichli darajaning xossalarini bilish.Ko ‘nikmalar:— mashqlami bajarish jarayonida natural ko‘ rsatkichli

darajaning xossalaridan foydalana olish, ulami tatbiq eta olish;— natural ko‘rsatkichli darajaga doir mashqlami bajara

olish.Metodik tavsiyalar. Darslikda natural ko‘ rsatkichli

darajaning 5 ta muhim xossasi keltirilgan. Ular sodda misollarda tushuntirilgan. Umumiy holda yaqqol va ravon, tushunarli qilib isbotlangan.

0 ‘quvchiga 5 -6 - sinflardan sonning kvadrati, kubi (yuz va hajmni hisoblash masalalaridan) tanish, xolos. Bu mavzuda o ‘ rganiladigan xossalar kelgusi mavzular (algebraik kasrlar ustida amallar, algebraik ifodalarni soddalashtirish va h.k) uchun ham nihoyatda zamr. Shu bois, darslikda berilgan mashqlami ham to ‘liq bajarish tavsiya etiladi. Darajaga ko‘tarish amalining quyidagi xossalari bilan tanishamiz.

1 - x o s s a . Bir xil asosli darajalami ko ‘paytirishda asos o fzgarmasdan qoladi, daraja ko‘rsatkichlari esa qo‘shiladi: ak • cf = ak+n.

84

2 - x o s s a . Bir xil asosli darajalami bo ‘lishda asos o‘zgarmasdan qoladi, daraja ko‘rsatkichlari esa ayiriladi: ak- an= ak~n, bunda k>n, a * 0.

3 - x o s s a . Darajani darajaga ko ‘tarishda asos o‘zgarmasdan qoladi, daraja ko‘rsatkichlari esa o ‘zaro ko ‘paytiriladi: (ak) n = akn.

4 - x o s s a . Ko‘paytmani darajaga ko‘tarishda har bir ko‘paytuvchi shu darajaga ko‘tariladi: (ab)n = an • b".

5 - x o c c a . Kasrni darajaga ko ‘tarishda uning surat va maxraji xuddi shu darajaga ko ‘tariladi:

( f ) = f ^ . bunda £ * 0 .

Darajaning bu xossalaridan amaliyot masalalarini hal etishda ham foydalaniladi. Bu fikming tasdig‘i sifatida darslikda yorug‘lik nuri Quyoshdan Yergacha bo‘lgan masofani qancha vaqtda bosib o ‘tishi haqidagi masala yechib ko‘rsatilgan.

Mavzu uchun 3 s o a t mo‘ljallangan.Sinfda yechiladi: 146— 190- mashqlar, 191 -221-

mashqlarning toq raqamli misollari.Uyga vazifa: 191-221- mashqlarning juft raqamli

misollari.


N° 201. Hisoblang.

. , 1x 6,2-412 _ (6-4)12 ( 6-4 Y2_112__i T u ,Y e c h i s h . 1 ) ir^rr TTcu^ I I = 1 = 1 . J a v o b : l .(3-8)1 3-8

N° 209. Kasmi daraja shaklida yozing3

J a v o bY e c h i s h . 3 ) - ^ = ( - i

N° 211. Hisoblang.

: HJY e c h i s h . 1)

\2

( 35 48

\3

('f)_ f 7-5 Y 63 82 _ 72-52-63-82 _ 63-2 _ 61 _ 6 Tq v „ u . 6

8-6 J 7 * 52 82-62-73.52 73-2 71 7 7

Ne 2 1 2 .Y e c h i s h . D2 1 0 306-1024

= ^ • 106 = 3,33 • 105 marta.

Ne 214. Ifodani daraja shaklida yozing._6n—4 _4n+l

Y , ■ . i \ « 'O _6/i-4+4n+l-5n+2 _ _5n-le c h i s h . 3) D— 5 =5— = a = a

Ne 215. Y e c h i s h . 3)22n= 45, (22)n = 4 5, 4 " = 4 5, oundan n = 5. Yoki 22" = (22)5, 22" = 210, 2n = 10, n = 5.

J a v o b : /1 = 5 bo‘lsa, berilgan tenglik o ‘rinli bo‘ ladi.

Ns 218. 3)Sonlardan qaysi biri katta: 10020 mi yoki 900010 mi?

Y e c h i s h . lO O ^ lO 2)20 40.9000=9-1000=9-103< 10-103=104.ÔOOÛO4) 10 40, demak, 10020>900010.

N2 219. Hisoblang.

Y e c h i s h .(4-322+7-321) _ 321-(4-3+7)-57 _ 321 -19-3-19 _ 1 1 1

(19-274)2 “ 192-(33' 4)2 W W 314-22 " 32 " 9 '

J a v o b :

Faollashtiruvchi savol va topshiriqlar:

1. Natural ko‘rsatkichli darajaning xossalarini ayting va misollarda tushuntiring.

2. Bir xil asosli darajalami bo‘lishda (2- xossa) a* 0 shart qo‘yiladi. Nima uchun?

3. Bir xil asosli darajalami bo‘lishda (2- xossa) k> n shart qo‘yilgan. U holda, masalan, 58:510 bo‘linmani qanday hisoblaymiz?

4. Kasmi darajaga ko‘tarishda (5- xossa) b * 0 shart qo'yilgan. Nima uchun?

5. (—l )1000 kattami yoki (—I)*001 kattami?6. 1030 kattami yoki 10010 kattami?

Tayanch so‘z va iboralar: bir xil asosli darajalarni ko‘paytirish; bir xil asosli darajalami bo‘lish; darajani darajaga ko‘tarish; ko‘paytmani darajaga ko‘tarish; kasmi darajaga ko‘tarish.

Mavzuni o'zlashtirgach, o ‘quvchilar ushbu qiyinlikdagi mashqlarni bajara olishlari shart:


1 )53-5'; 3 )(0 ,2 )‘ (0.2)1; 4

2. Asosi 2 bo‘ lgan daraja shaklida yozing:

1) 8; 2) 16; 3) 23 25 22; 4) 16 26; 5) 32 -23; 6) 42 -8 -23.3. Asosi a bo‘ lgan daraja shaklida yozing:

1) ( a 3) 4; 2 ) (a 5) 2; 3) ( fl5) 4 : (a 3) 3; 4 ) (*3)V )3: ( « 3) 5.

4. K o ‘rsatkichi 2 bo‘lgan daraja shaklida yozing:

l ) | f ; 2 ) | | ;3 )3 - L ; 4 ) 2 l ; 5)0,01; 6 ) 0,04; 7 ) 8)

5. Hisoblang.

1)25-35 43-25

3) 5) (0 ,01 )2 103.

6. Ifodaning qiymatini toping:

1 )£££, bunda 0 = 1,2; -0 ,3 ; | ; 1 ; -0 ,1 ;

(x4)W

bunda jc = —1; 1; —2; 3; —0,1.

Birhad va uning standart shakli


— birhad;— birhadning standart shakli;— birhadning koeffitsiyenti.Mavzuni o ‘ rgangach, o ‘quvchilar ushbu bilimlar va

ko'nikmalaiga ega bo‘lishlari lozim:Bilimlar:— birhad;

87

— birhadning standart shakli;— birhadning koeffitsiyenti.Ko ‘ni/cmalar:— bir necha algebraik ifodalar ichidan birhadni taniy

olish;— berilgan birhadni standart shaklda yoza olish;— birhadnmg koeffitsiyentini topa olish;— birhadning son qiymatini unga kirgan harflarning

berilgan qiymatida hisoblay olish.Metodik tavsiyalar. Birhad tushunchasiga olib keluvchi

amaliyot masalasi darslikda berilgan. Siz shunga o ‘xshash hayotiy masalalami keltirishingiz mumkin: tomonlari a va b bo‘ lgan to‘g‘ ri to‘ rtburchakning yuzi; qirralari uzunligi a, b, c bo'lgan to‘g ‘ ri burchakli parallelepipedning hajmi vah.k. Bu kattaliklaming har biri birhad orqali ifodalanadi.

Demak, birhadga ushbu ta’rifni berish tabiiy.Son va harfiy ko ‘paytuvchilar ko‘paytmasidan iborat

algebraik ifoda birhad deyiladi.

Masalan, ab, abc, (—2)a-5ab, â • (0,7)ab algebraik

ifodalar birhadlardir. Shu bilan birga, a1,4b1, ( - a2b) hamda

3 3a, b, 1, - ifodalar ham birhadlar deb hisoblanadi. j ab 4ca3

ifodada j va 4 son ko‘paytuvchilar; a, b va c harfiy

ko‘paytuvchilar bo ‘ ladi. Bu ifodani qisqaroq bunday

ko‘rinishda yozish mumkin: j ■ 4 • a ■ abc = — a2bc; bu yozuv

berilgan birhadning standart shakli bo‘ ladi.Birinchi o ‘rinda turgan faqat bitta son ko’paytuvchidan va

har xil asosli harfiy darajalardan tuzilgan birhad standart shakldagi birhad deyiladi. Har qanday birhadni standart shaklga keltirish mumkin. Standart shaklda yozilgan birhadning son ko‘paytuvchisini shu birhadning koeffitsiyenti deyiladi.

M i s o 1. 3,2abc (—5)ca2b(-^)b2c3 4 birhadni standart shaklga keltiring.

Y e c h i s h . 1 - q a d a m . Barcha son ko'paytuvchilami ozaro ko‘paytiramiz.

88

2- q a d a m . Bir xil harfiy ko‘paytuvchilar ko‘paytmasini daraja shaklida yozib o ‘tamiz: a- a2 = a2; b ■ b • Z?2= 64; c - c - c ^ c 6.

3 - q a d a m . 1- qadamda topilgan natija 12 ni birinchi o‘ ringa yoziladi; harfiy ko‘paytuvchilar, iloji boricha, alifbo tartibida joylashtiriladi. Natijada misolda berilgan birhadning standart shaklini hosil qilamiz: 12a3£4c6, bunda 12 — birhadning koeffitsiyentidir.

Mavzu uchun 2 s o a t ajratilgan.Sinfda yechiladi: 222—225, 229- mashqlar; 226-228-

mashqlaming toq raqamli misollari.Uyga vazifa: 226-228- mashqlaming jufl raqamli misollari.

| Masala yechish namunalari

N° 226. Birhadning son qiymatini toping:

3) 3abc, bunda a = 2, * = = i

Y e c h i s h . 3abc = 3• 2• i = 1. J a v o b : 1.

5) y/w2( —0,2)n, bunda m = 3,n = —35.

Y e c h i s h . y m2(~0,2)n = - I . I • 9 • (-3 5 ) = 9.

J a v o b : 9.

N° 227. Birhadni standart shaklda yozing.

Y e c h i s h . 5) 5 W H ) « p = 5 J • (-4)/^ • q'= - 100p2 .

N° 229. Y e c h i s h . Hovuzning hajmini 1 deb olamiz. To‘rtala quvur baravar ochib qo‘yilsa, ular hovuzni x vaqtda to‘Idiradi, deylik. U holda 1- quvur 1 kunda hovuzni to‘ldiradi;

2- quvur 1 kunda hovuzning ^ qismini; 3- quvur 1 kunda

| qismini; 4- quvur 1 kunda hovuzning ^ qismini to'ldiradi.

Bundan x - ( l + i + | + ^) = l , ya’ni = 1, x = ^ (k u n ).

12J a v o b : ^kun .

89


1. Birhad deb nimaga aytiladi? Misollar keltiring.2. Birhadning sonli ko'paytuvchilari, harfiy ko‘paytuvchilari nima?

Misollarda tushuntiring.3. Birhadning standart shakli nima? Biror birhad yozib, uni

standart shaklga keltiring.4. Birhadning koeffitsiyenti nima? U qanday nomlanadi? Misollarda

tushuntiring.5. Birhadning koeffitsiyenti — 1; 1 bo‘lishi mumkinmi?6. Birhad tushunchasiga olib keluvchi 2—3 ta masala tuzing.

Tayanch so‘z va iboralar: birhad; sonli ko‘paytuvchi; harfiy ko paytuvchi; birhadning standart shakli; birhadning koeffitsiyenti; birhadning son qiymati.

Mavzuni o‘zlashtirgach, o‘quvchilar ushbu qiyinlikdagi mashqlarni bajara olishlari shart:

1. Birhadni standart shaklda yozing:

1) 2a23a; 2) b2(-2)a(-\)ab;

3) i a • ( - l)aba; 4) acb(-3)a2b2(~2)b.

2. Birhadni standart shaklda yozing va son qiymatini toping:

1) ab\5ba, bunda a = ^.b = 2;

2) (—3)a2(—2)b, bunda a = 2, b = -^ ;6

3) ifl6Z>2(0,75)a3, bunda a = —2,b = ^;

4) 0,2\a2(—5)b2c, bunda a = —10, b = j , c

Birhadlarni ko‘paytirish

\7'

Maqsad. 0 ‘quvchilami birhadlami ko‘paytirish tushunchasi bilan tanishtirish.

Mavzuni o ‘ iganish natijasida o ‘quvchilar ushbu bilim va ko‘nikmalami egallashlari lozim:

90

Bilimlar:— birhadlami ko'paytirishni bilish.Ko ‘nikmalar:— birhadlami ko'paytira olish;— birhadlar ko‘paytmasini standart shaklda yoza olish. Metodik tavsiyalar. Birhadlami ko‘paytirish tushunchasiga

olib keluvchi masala darslikda tushuntirib yechilgan.Birhadlami ko ‘paytirish natijasida yana birhad hosil bo ‘ladi.

Birhadlami ko‘paytirgach, natijani standart shaklda yozish, soddalashtirish lozim.

1- m i s o l . (1 ,5a2b(?)-{2abc) ko‘paytmani toping.

Y e c h i s h . l,5o 2bc 2-2abc =(1,5- 2)(a2 ■ a)(b • b)- -(c2 • c) = =3o3£2c3. J a v o b : 7>albL<?.

Birhadning natural ko'rsatkichli darajasi yana birhaddir.

2- m i s o 1. (3a2bc)3 darajani birhad ko‘rinishida yozing. Y e c h i s h . Qa2bcji=?>\aiybs<?=ncf>bi<?.J a v o b : T1 <£&<?.Mavzu uchun 2 s o a t ajratilgan.Sinfda yechiladi: 230 -2 3 3 - mashqlar, 2 34 -244 -

mashqlaming toq raqamli misollari, 245-246- mashqlar.Uyga vazifa: 234-244- mashqlarning juft raqamli

misollari.

j| Masala yechish namunalari

JVe 236. Birhadlami ko‘paytiring.

Y e c h i s h . 3)^|ay3j^|x2y j(0 ,2 o3jc) =

'H 4 ) ( a ' ) ( x ! • ■W '■y) = 56 a<x>y>- J a v o b :^ «V / .

JV® 237. Birhadlami ko‘paytiring.

Y e c h i s h . 3) (— 1,5ab)\^bcj (2cc) (24ab) =

-l,5-^-2-24j(abbcacab) = — \Sa3b3c2. J a v o b : —18<?&&.

91

JVe 243. Amallami bajaring.

f - i | x y C-wf= f-Ur-lfll 5 y )« X 2 J 2n

x9y2c6 = i c 6* y . J a v o b : ^ c6x9y2.

Ne 245. Birhadlami ko‘paytiring va hosil bo'lgan ifodaning qiymatini toping:

3 )4c• a2b2c, bunda a = 4,b = ^ -,c = 3.16 4

Y e c h i s h . 4a • -^ a2£2c = i a3b2c = 4 • 43 • 1 ^16

= -r-3 = l- 3 = 3. J a v o b : â*b2c\ 3.

3 =


1. Birhadlami ko'paytirishga olib keluvchi masalalar tuzing.2. Birhadlar ko'paytmasi yana birhad bo'ladimi? Misollarda

tushuntiring.3. Birhadning darajasi birhad bo'lishi shartmi? Misollar kel-

tiring.4. Birhadni boshqa birhadning kvadrati yoki kubi shaklida yozsa

bo'ladimi? Javobingizni misollarda izohlang.

Tayanch so‘z va iboralar: birhad; birhadlami ko‘paytirish; birhadni darajaga ko‘tarish; birhadlar ko‘paytmasini standart shaklga keltirish.


1. Birhadlami ko'paytiring:

1 ) (2o) (5 i); 4> ( H

2 ) (4x )(2 >); 5 ) ( - 2 i a j . ( 4 i ) ( 2 c ) ;

3) (0,5a)-(4i); 6) (2,4x)(5>-)(-3z).92

2. Birhadni darajaga ko‘taring:

1) (2a f - 2) ( - 3 a)2; 3) (-2 x )3;

4) (0 ,la )2; 5) ( “ ! * ) ; 6) @a2bc)2.

3. Birhadlami ko‘paytiring va hosil bo‘ lgan ifodaning qiymatini toping:

1) lab • 5ab2, bunda a = 2, b = —1;

2) — 3arc • i a 2c, bunda a = —2, c = i ;

3) 0,7.xy • 10x2y» bunda x = 3, y = y ;

4) 5a -^ a 2b2, bunda o = 5, 6 =J

Ko‘phadlar

Maqsad. 0 ‘quvchilami ko‘phad tushunchasi bilan tanishtirish.

Mavzuni o ‘ rgangach, o ‘quvchilar uchbu bilim va ko‘nikmalarga ega bo‘lishlari lozim:

Bilimlar:— ko‘phad nimaligini;— ko'phadning hadlari nimaligini bilish.Ko ‘nikmalar:— birhadlardan ko‘phad tuza olish;— ko‘phadning har bir hadini standart shaklga keltirib,

soddalashtira olish;— ko‘phadning son qiymatini topa olish.Metodik tavsiyalar. K o ‘phad tushunchasiga olib keluvchi

geometrik mazmundagi (shakl yuzini hisoblash bilan bog‘liq) ikkita masala darslikda yechib ko'rsatilgan

Bir nechta birhadlarning algebraik yigUndisi ko‘phad deyiladi. Ko'phadni tashkil qiluvchi birhadlar shu ko ‘phadning hadlari deyiladi.

m

1- m i s o 1 3a2b + 4 ab — 2 b2 algebraik yig‘indi ko‘phaddir, uning hadlari: 3a2b, 4ab, —2b2.

Ikkita haddan tuzilgan ko‘phad ikkihad deyiladi.Uchta haddan tuzilgan ko‘phad uchhad deyiladi.

2- m i s o l . a2—b2; a2+b2\ a~b\ 2ab+3c algebraik yig‘ indilar — ikkihaddir.

a2—2ab+b2, ax2+bx+c, 3ab+4ac~2bc algebraik yig‘ indilar — uchhaddir.

Agar ko‘phadning ba’zi hadlari standart shaklda yozil- magan bo‘lsa, u holda bu ko‘phadning barcha hadlarini standart shaklda yozib, uni soddalashtirish mumkin.

3- m i s o 1.3a4b2 - 6abl, 5b + 8ac \ b ko‘phadni sodda-

lashtiring.

Y e s h i s h . 3a4#= 12A&2; — 6abl,5b = — ab2',8ac\b = 2abc. Demak, 3a4b2 — 6ab\,5b + 8ac\b =

= 12 ab2 — 9 ab2 + 2 abc = 3 ab2 + 2 abc.

J a v o b : âtf+âbc.Mavzuuchun3 s o a t ajratilgan.Sinfda yechiladi: 247 -250 - mashqlar, 251 -253 -

mashqlaming toq raqamli misollari; 313-323- mashqlar.Uyga vazifa: 251-253- mashqlarning juft raqamli

misollari.


N° 251. Ifodani uning har bir qo‘shiluvchisini standart shaklga keltirib, soddalashtiring:

3)(2ab)(\a2b2)j - (3 a 2b)l±b}.

Yechish. (2ab)^\a2b2 j = \a3b3\ — (3a2b)\^b^ = \a2b2.

U holda(2fl£) a2b2 j — (3a2b) i a3b3 + 1 a2b2.

Ne 252. Ko'phadning son qiymatini toping:

l ) 2 o 3+3ab + b2, bunda a = 0,5, b = ^ .

Y e s h i s h . 2a3 + 3ab + b2 =2 f P 3 2 J

+ 3-

8 9 4 9 36 36i u i 25J a v o b :

Ns 253. Ko‘phadni soddalashtiring va uning son qiymatini toping:

3) x2yxy — xy^xyxy, bunda x = —3, y = 2.Y e s h i s h . x2y x y = x 3y2; —xy2xy = —x2y3, u holda

tfyxy—xy xy +xy = x ^ —x^+xy = x • (xy)2 — (xy)2 • y + xy= = (-3 )- (—6)2 - (—6)2 • 2 - 6= 36 • ( - 3 - 2 ) - 6 = 36 • ( - 5) - - 6 =-186.

J a v o b : j c = — 3, y = 2 bo‘lsa, ko‘phadning son qiymati -186 bo‘ladi.


1. Ko‘phad tushunchasiga olib keluvchi 2—3 ta masala tuzing.2. Ko‘phad deb nimaga aytiladi? Misol keltiring.3. Ko'phadning hadlari deb nimaga aytiladi? Misollarda tushuntiring.4. Birhadni ham ko‘phad deyish mumkinmi? Biror birhadni

ko'phad ko‘rinishida yozish mumkinmi? Qanday qilib?5. Ko‘phadni qanday soddalashtirish mumkin? Misollarda

tushuntiring.

Tayanch so‘z va iboralar: algebraik yig‘ indi; ko‘phad; ko'phadning hadlari; ikkihad; uchhad; ko‘phadni soddalashtirish.

Mavzuni o‘rgangach, o‘quvchilar ushbu qiyinlikdagi mashqlami bajara olishlari shart:

1. Quyidagi birhadlardan ko‘phad tuzing:1) a3, —2a2 va 4a; 3) —Sc2, —2c va 6;2) 5y?, 3x va —7; 4) 8a2, 2ab va —3b1.

‘)5

2. Ko ‘phadning son qiymatini toping:1) 3a2+2ab—<Ab2, bunda a= 1, b = —2;2) 4x2—3xy+yl, bunda x = — 1, y =1.

3. Ko'phadni soddalashtiring:

1) aab(-\,S)bla + 3a2b {-^ b c + ^bcc-

2) 3xxy2x — 4xyy - jx2 + 7xy -ij>a.a\

0 ‘xshash hadlarni Lxchamlash

Maqsad. 0 ‘quvchilami quyidagilarga o ‘rgatish:— o ‘xshash hadlami ixchamlash;— ko‘phadni standart shaklda yozish.Mavzuni o'rgangach, o ‘ quvchilar quyidagi bilim va

ko‘nikmalarga ega bo'lishlari lozim:Bilimlar:— o'xshash had;— o ‘xshash hadlami ixchamlash;— ko‘phadning standart shakli.Ko ‘nikmalar:— ko'phadning o ‘xshash hadlari bo'Isa, ulami ixchamlay

olish;— ko‘phadni standart shaklga keltira olishMetodik tavsiyalar. 0 ‘ xshash hadlarni ixchamlash

mihimligini ko‘ rsatuvchi masala darslikda ikki usulda tushuntirib, yechib ko'rsatilgan.

Bir-biridan faqat koeffitsiyentlari bilan farq qiluvchi birhadlar o ‘xshash birhadlar deyiladi. Koeffitsiyentlari o ‘zaro teng bo‘lgan birhadlar ham o'xshash deb hisoblanadi.

Masalan, 3ab va 3ab birhadlar o ‘xshash; —2a2b va 3a2b birhadlar ham o ‘xshash.

0 ‘xshash hadlari bor ko'phadni qanday qilib soddalashtirish mumkinligini ko ‘ rsatuvchi masala darslikda tushuntirib berilgan. 0 ‘quvchilarga shu masalani yechishni taklif etasiz. Shunga o ‘xshash bitta mashq ko‘raylik.

*)6

1-masala. 5ab—4bc+7ac—2ab+bc+3ab ko ‘phadni soddalashtiring.

Y e c h i s h . Bu ko‘phadda o'xshash birhadlaming ikki gumhibor; 1-guruh: 5ab, ~2ab va 3ab. Ulamingtagigabittadan chiziq chizamiz; 2- guruh: —4bc va bc. Bularning tagiga ikkitadan chiziq chizamiz. lac birhadga o ‘xshash had yo‘q, uning tagiga chizmaymiz. U holda berilgan ko‘phad shunday ko‘rinishni oladi: 5ab - 4bc + 7ac - 2ab + bc + 3ab.

0 ‘xshash hadlami yonma-yon yozib, ulami qavs ichiga olamiz: (5ab— 2ab+3ab)+(—4bc+bc)+7ac. Bu ifodada qavslar ichidagi hadlami taqsimot qonuniga muvofiq shunday yoza olamiz:

5ab—2ab+3ab = (5—2+3 )ab = 6ab, —4 bc+bc == (—4+\)bc=—3bc, demak, 5ab~4bc+7ac—

—2ab+bc+3ab = 6ab+7ac~3bc.J a v o b : 6ab+7ac—3bc.Bu masalani yechish jarayonida biz o ‘xshash birhadlar

algebraik yig‘ indisini bitta birhad bilan almashtirdik. Natijada ko‘phad soddalashdi. Ko ‘phadlami bunday soddalashtirish o ‘xshash hadlami ixchamlash deyiladi.

Masalada berilgan ko‘phadni soddalashtirib, 6ab+7ac— -3bc javobini oldik. Bu ko'phadda:

— har bir had standart shaklda yozilgan;— ular orasida o ‘xshash hadlar yo‘q.Ko‘phadning bunday shakli standart shakl deyiladi. Har

qanday ko‘phadni standart shaklga keltirish mumkin. Buning uchun:

— ko‘phadning har bir hadini standart shaklda yozish;— o ‘xshash hadlami ixchamlash kerak.2- m a s a 1 a . Quyidagi:

8abl-ac — 2aca — 8a1 ■ \b + 1 0a2 l-c+ a2b — aabc 2 4 2

ko‘phadni standart shaklga keltiring.

Y e c h i s h . Yozishni qisqartirish maqsadida berilgan ko‘phadni P harfi bilan belgiladik. U holda P = 4a2bc - 2a2c - 2a2b+5a2c + a2b - a2bc = 3a2bc + 3a2c - a2b.

J a v o b : 3 a2bc + 3 a2c -a2b.7 - 7 - sinfda „Algebra“

Mavzu uchun 3 s o a t ajratilgan.Sinfda yechiladr. 254—257, 324- mashqlar. 258—261,325-

mashqlaming toq raqamli misollari.Uyga vazifa: 258—261, 325- mashqlaming juft raqamli

misollari.


Ne 259. K o ‘phadni standart shaklga keltiring.

Y e c h i s h . 3)âb + â2 - jb * + ja b -^ a 2 +^b3 =

J a v o b :ab + b3.

JV2 324. Y e c h i s h .

3) 2abc5a + l| o 2 ^bc — 2âb[--'\a = ’ 7 12 3 v 8 J

= 10a2bc + a2bc - ^ •8127 ' 12 3

J a v o b : 11 a2bc + a2b.8 Ja2b = 11 a2bc + a2b.

Ns 325. K o ‘phadning qiymatini toping: 1)—0,08x + +73xy2+ 27xy2, bunda x = 4, y = 0,2.

Y e c h i s h . —0,08x + 73xy2+ 21xy2= —0,08x + 100xy2= =-0,08 • 4 + 100 • 4 • (0,2) 2 = -0,32 + 100 ■ 4 ■ 0,04 = -0,32 + +16= 15,68.

J a v o b : 15,68.


1. 0 ‘xshash hadlami ixchamlash muhimligini ko'rsatuvchi 2—3 ta masala tuzing.

2. Qanday birhadlar o'xshash deyiladi? Misollar keltiring.3. 0 ‘xshash hadlami ixchamlash deganda nimani tushunasiz?

Misollarda tushuntiring.4. Ko‘phadning standart shakli nima?5. Qanday qilib ko‘phadni standart shaklga keltirish mumkin?

Misollarda tushuntiring.

Tayanch so‘z va iboralar: o ‘xshash birhadlar; o'xshash hadlaming yig‘indisini bitta birhad bilan almashtirish; o ‘xshash hadlami ixchamlash; ko‘phadning standart shakli.

Mavzuni o‘rgangach, oquvchilar ushbu qiyinlikdagi mashqlami bajara olishlari shart:

1. 0 ‘xshash hadlami ixchamlang:1) 2a + b + 3b — a; 3) 5c + 7d — 4d + 2c;2 ) 3x + 4 y -2 y -3 y ; 4) la - 3b - 4a + b.


1) I 8 0 2 + la — 5a — 8a2; 3) ^xxy~^xy2+^x2y-^xyy;2) 5aab + 3ab - 2cfb — ab; 4) 1,2a2 — 3ab + 0,8a2 + 1,5ab.

Ko‘phadlami qo‘shish va ayirish

Maqsad: 0 ‘quvchilami ko‘phadlami qo'shish va ayirish tushunchasi bilan tanishtirish

Mavzuni o ‘ rgangach, o ‘ quvchilar quyidagi bilim va ko'nikmalami egallashlari lozim:

Bilimlar:— ko‘phadlami qo‘shish va ayirish.Ko ‘nikmalar:— ko'phadlami qo‘shish va ayirishga doir mashqlami bajara

olish.Metodik tavsiyalar. K o ‘phadlami qo‘shishga olib keluvchi

mashq darslikda tushuntirib, yechib berilgan. K o ‘phadlami qo‘shish va ayirishning „ustun“ usuli haqida ma'lumot berilgan va bu usul yordamida ko‘phadlar ustida qo‘shish, ayirish amallari bajarilgan.

Ko‘phadlami qo‘shish va ayirish natijasida yana ko‘phad hosil bo‘ Iadi.

Ko‘phadlaming algebraik yig'indisini standart shaklga keltirish uchun:

— qavslami ochish;— o‘xshash hadlami ixchamlash kerak.

99

Ko'phadlami „ustun“ usulida qo'shish yoki ayirish uchun o'xshash hadlar birining ostiga ikkinchisi turadigan qilib yoziladi.

1- m a s a l a . 5a2b — 3ab +4bc va —2a2b + 2ab~3bc ko‘phadlar yig‘ indisini „ustun“ usulida toping:

5a2b - 3 ab + 4 bc +-2a2b + 2ab-3bc

3 a2b — ab + bc

2 - masa la . 4abc~3b2+2ac va 3abc+ac ko‘phadlar ayirmasini „ustun“ usulida toping:

4 abc — 3 b2 + 2 ac

3abc + ac abc — 3 b2 + ac

Mavzu uchun 3 s o a t mo‘ljallangan.Sinfda yechiladi: 262—265, 272-273- mashqlar; 266—

271; 326- mashqlaming toq raqamli misollari.Uyga vazifa: 266—271; 326- mashqlaming juft raqamli

misollari.


Ne 267. K o ‘phadlaming algebraik yig‘ indisini toping. Y e c h i s h . 3 K8 02- l0ab-P)+(-6a2+2ab-bl)- (a 2-Sab+

+ W )= fl2 (8 - 6 - l )+ a f t ( - 1 0 + 2 + 8 )+ ^ ( - l - l - 4 )= a2-6V.

Ne 268. K o ‘phadlar yig‘ indisini va ayirmasini toping:

3) a3-0 ,12# va 0,39a '-V .Y e c h i s h .

c 3 — 0,12b3 + a3- 0,12b'+ 0,39a3- b2 0,39c 3 - b3

l,39a3- l,1 2 6 3 0, 61a3 +0,88Z>3

Ne 270. Ko ‘phadlar ayirmasini „ustun“ usulida toping:

1) 3a2+ 8a- 4 va 38a-5fl2.

Y e c h i s h .

3a2 + 8 fl—4 —5a2 + 8a + 3

8 a2 - 7N s 272. Isbotlang: 3) to‘ rtta ketma-ket toq natural sonning

yig'indisi 8 ga bo'linadi.I s b o t i : Ixtiyoriy toq natural sonni 2n— 1 ko'rinishda

yozish mumkin, bunda n — natural son. U holda: (2n—1)+ +(2n+l)+(2/7+3)+(2«+5)= (2/i+2«+2/j+2/j)+ (—1+1+3+5)= = 8 / j+ 8 = 8 ( / j+ 1 ) .

Bu 8 (/ i+ l) ifodaning 8 ga bo‘linishi ravshan.


1. Ko‘phadlamiqo‘shishvaayirishgaoIibkeluvchi2—3tamasalatuzing.2. Ko'phadiar yig‘indisi yana ko'phad bo'Iadimi? Ayirmasi-chi?

Misollar keltiring.3. Ko‘phadlami qo'shish, ayirish „ustun“ usulida qanday bajariladi?

Misollarda tushuntiring.4. Ko'phadlar yig'indisi standart shaklga qanday keltiriladi?

Tayanch so‘z va iboralar: ko‘phadlami qo‘shish; ko‘p- hadlami ayirish; ko'phadlar yig‘ indisini standart shaklga keltirish; ko'phadlami qo'shish, ayirishning „ustun“ usuli.

ISjl Mavznni o‘rgangach, o‘quvchilar ushbu qiyinlikdagi mashqlami bajara olishlari shart:

1. Ko'phadlaming algebraik yig‘indisini toping:

1) (3n—4h)+(2o+5h); 3) ( t e - lW H - t e + P Y ,2) 4n+(—3n+2h); 4) Aa'b+Q-tfb-lab1).

2. Ko‘phadlaming yig‘ indisi va ayirmasini toping:

1) 2,4x2+l,5xy va — l,4jc2+0,5xy;

2 ) l | x 2- l y x y + 2y 2 va ^x2 - ^xy + y2.

3. Ko‘phadlaming yig'indisi va ayirmasini „ustun“ usulida toping:1) 5ab+2a1-Aab1 va 'b(F-2ab+5abl\2) 5<t-2cb+W va 2o2- 3 ^ - ^ ;

101

3) 1,8g2+1,2Z^—3C2 va l,2a2- 0 ,2&+2<?\

4) lâb — 2b2 + c2 va ^ ab~b2—c2.

Ko‘phadni birhadga ko‘paytirish

Maqsad. 0 ‘quvchilaiga ko'phadni birhadga ko'paytirishni o ‘ rgatish.

Mavzuni o ‘ rganish natijasida o ‘quvchiIar ushbu bilim va ko'nikmalami egallashlari lozim:

Bilimlar:— ko‘phadni birhadga ko‘paytirishni bilish.Ko ‘nikmalar:— ko‘phadni birhadga ko'paytirishga doir mashqlami bajara

olish.Metodik tavsiyalar. K o ‘phadni birhadga ko'paytirishga

doir hayotiy, amaliyot masalasi darslikda yechib ko‘rsatilgan: to‘g ‘ ri burchakli parallelepiped shaklidagi ko‘p qavatli uy- ning hajmi hisoblangan. Bu mashqdan shunday qoidaga kelinadi:

ko‘phadni birhadga ko‘paytirish uchun ko‘phadning har bir hadini shu birhadga ko'paytirish va hosil bo‘lgan ko ‘paytmalami qo ‘shish kerak.

Ko‘phadni birhadga ko‘paytirish natijasida yana ko‘phad hosil bo'ladi. Hosil bo‘lgan ko'phadning barcha hadlarini standart shaklda yozib, uni soddalashtirish kerak.

Birhadni ko‘phadga ko‘paytirish ham yuqoridagi qoidaga oxshash bajariladi, chunki ko'paytuvchilaming o ‘ rinlarini almashtirgan bilan ko‘paytma o'zgarmaydi.

Birhadni ko‘phadga ustun usulida ko‘paytirish ham mumkin.

M i s o l l a r :

1) 4a3 - 2 a + l

*

2) 2 ax

3a2 + a — 512fl4 — 6a2 + 3 a 6 fl3 + 2a2 — 10cr

Mavzu uchun 2 s o a t ajratilgan.Sinfda bajariladi: 274-278- mashqlar; 279-282- mashq-

laming toq raqamli misollari.Uyga vazifa: 279-282- mashqlarning juft raqamli

misollari.


Na 278. Ko'phad va birhad ko‘paytmasini toping.

Yech ish . 3) ( ly C 3x3 — 2â2x3 — 1 lax4) •(—2~ax6) =11 3 3 / 28 6\ 1 1 2 3 / 28 6\ i i 4 / 28 6\= — fl3xJ • ( - — ox6) - — fl V • ( - jy ax ) - 1 lflx’ • ( - — axb) =

= 4a 4x 9 + 7a3x9 + 28fl2Jt'°.

Ns 282. Algebraik ifodaning qiymatini topmg:

3) la b iW -W + ta b iP -W ), bunda a=10, b=~5.

Y e c h i s h . 3ab(4a2~b1)+4ab(<bl-7>a2)= 12a3b - 3 ab3 ++4ab3 - Ha^bâb3: fl^=10 ( - 5 )3= -1 0 125= -1250.

J a v o b : —1250.


1. Ko‘phadni birhadga ko‘paytirishga olib keluvchi amaliy ahamiyatga molik 2—3 ta masala tuzing.

2. Ko'phad birhadga qanday ko'paytiriladi? Birhad ko‘phadga-chi? Ko'paytirishning o‘rin almashtirish qonunini eslang. Misollarda tushuntiring.

3. Ko'phadni birhadga ko‘paytirish natijasi yana ko'phad bo'ladimi? Misollar keltiring.

4. Ko‘phadni birhadga ko‘paytirgach, ko‘paytma standart shaklda qanday yoziladi? Ko'paytma soddalashishi shartmi? Misollar tuzing.

Tayanch so‘z va iboralar: ko‘phad; birhad; ko‘phadni birhadga ko‘paytirish; standart shaklga keltirish; soddalashtirish; birhadni ko‘phadga ko‘paytirish.

103


1. Ko ‘phad va birhadlar ko‘paytmasini toping:1) (a+b) c\ 2) (3a—2b)-5c; 3) 4a-(2a-3b)\ 4) 7c (3a+5b).

2. Ifodani soddalashtiring:1) 3(4a+3b)-2(5a+4b); 3) 2-(a+2b)+3(2a+b)-4(2a+3b);2) (x2+ l )2 r - (x 2- l)-2 r , 4) 3(l,5jc+.y)-2(0,5jc+.y)+4(jr-y).

3. Algebraik ifodaning qiymatini toping:

1) 5 (4a+56)—3-(5a+86), bunda a = b=2;

2) 3 (7a~3b)+ 4(2b—5a), bunda a = 3, b = —^ .

Ko‘phadni ko‘phadga ko‘paytirish

Maqsad. 0 ‘quvchilarga ko‘phadni ko‘phadga ko'paytirishni o‘ rgatish.

Mavzuni o ‘ rganish natijasida o ‘quvchilar quyidagi bilim va ko‘nikmalaiga ega bo‘lishlari lozim:

Bilimlar:—ko‘phadni ko‘phadga ko‘paytirish.Ko ‘nikmalar:— ko‘phadni ko‘phadga ko‘paytirishga doir mashqlami

bajara olish.Metodik tavsiyalar. Mavzu ko‘phadni ko‘phadga ko‘paytirishga

olib keluvchi va amaliy ahamiyatga ega bo‘lgan hayotiy masalani hal qilish bilan boshlanadi. Darslikda bu masala tushuntirib yechib berilgan va mos rasm bilan ta’minlangan. Masalani yechish natijasida shunday xulosaga kelinadi: ko ‘phadni ko ‘phadga ko ‘paytirish uchun birinchi ko‘phadning har bir hadini ikkinchi ko‘phadning har bir hadiga ko ‘paytirish va hosil bo ‘Igan ko ‘paytmalami qo ‘shish kerak.

Ko‘phadni ko‘phadga ko‘paytirish natijasida yana ko‘phad hosil bo‘ladi. Hosil qilingan ko‘phad standart shaklda yoziladi. Xususan, ikkihadni ilddhadga ko‘paytirish ushbu qoidaga ko‘ra olib boriladi:

104(a+b)(c+d) =ac+ad+bc+bd.

5- rasui.

K o ‘phadlami ko‘paytirishga olib keluvchi bitta masala ko‘ raylik.

ABCD to ‘g ‘ ri to ‘ rtburchakda AD = a, AB = b bo‘ lsin (5- rasm). Undan EFKL to‘g‘ri to‘ rtburchak kesib olinmoqchi. Shu to‘g ‘ri to‘rtbirchakning yuzini toping.

Y e c h i s h . EL=x, EF=y deyilsa, EFKL t o ‘ g ‘ ri to‘rtburchakning yuzi j= x y bo‘ladi. xvayni shaklda ko‘rsatilgan ma‘lumotlaiga ko‘ra topa olamiz: x = a —c —d;y = b —k—l. Bundan S = (a -c-d )(b -k -l).

K o ‘phadni ko‘phadga „ustun“ usulida ham ko‘paytirish mumkin.

M i s o 11 a r :i\ 3a+4' x

7fl—221fl2— 6 a

+ 28a—821a2+ 22a—8

2) 4fl—3x

2a+5 20a—15

+8a2 —6 a

8a2+14a—15Mavzu uchun 3 s o a t mo‘ljallangan.

Sinfda yechiladi: 283-289- mashqlar; 290—294; 327— 328- mashqlaming toq raqamli misollari.

Uyga vazifa: 290—294; 327-328- mashqlarning juft raqamli misollari.


K o ‘phadlami ko‘paytiring:

Ns 289. Y e c h i s h . 3) (4x—3y+2z)(3x—3y)=l2x2—9xy+ +6xz — 12xy+9y*—6yz=l ix 2—2 lxy+9y*.

105

Ns 290. Y e c h i s h .

y)\^m-^n+^p^Q)m + 12) =

= 20m2 — 20mn + Ylpm + Am — An + y pm -

= 20m2 — 20mn + \A^pm + Am~ An.

Na 292.1) (5 x - l ) (x + 3 )- (x -2 )(5 x -4 ) ifodaning qiymati

x = 2 j bo‘lganda 49 ga tengligini isbotlang.

Y e c h i s h . Aw al ifodani soddalashtirib olamiz:(5 x — l ) ( x + 3 ) — ( x — 2 ) ( 5 x —4 ) = 5x2 + 15x - x - 3 -

-5x2 + 4x + lOx - 8 =28x~l 1.

U holda 28x -1 1 = 28 • 2 i -1 1 = 28 • y -1 1 = 4 • 15 -

-11 = 60 -11 = 49.


1. Ko‘phadni ko'phadga ko‘paytirishga olib keluvchi amaliy ahamiyatga ega 2—3 ta masala tuzing.

2. Ko'phad ko‘phadga qanday ko‘paytiriladi? Misollarda tushuntiring.3. Ko‘phadlarni o‘zaro ko‘paytirish natijasida yana ko'phad hosil

bo'ladimi? Misollar keltiring.4. Ko'phadni ko'phadga ko'paytirgach, ko'paytmani standart

shaklda qanday yoziladi?

Tayanch so‘z va iboralar: ko‘phad; ko‘phadni ko‘phadga ko‘paytirish; standart shaklga keltirish.

Mavzuni o ‘rgangach, o ‘quvchilar ushbu qiyinlikdagi mashqlarni bajara olishlari shart:

1. Ko'phadlami ko‘paytiring:

1) (a+\ )(a -l)2) (a+b)(a-b)3) (a+2)(a+2)4) (a+b)(a+b)

5) (x+y)(x+2y);6) (2 x - l)(3 x + 2 );7) (1— 2x)(3x+ 2);8) (2jc— 3)(3^c— 1).

106

2. Algebraik ifodani awal soddalashtiring, keyin qiymatini toping:

1) (a — 3 )(a — 2) — (o — 1) ( a + 2), bunda a =

2) (fl + 4)(cr + 2) —(o + 5 )(fl —4), bunda o = 2^;

3) (5fl + 2 )(3c —2) —(5fl —2)(3o + 2), bunda o = l i ;

4) (0,8c + 5)(5g — 4) — (8a — l)(0 ,5a + 2), bunda a = 2.

Birhad va ko‘phadni birhadga bo‘lish

Maqsad. 0 ‘quvchilaiga quyidagilami o'rgatish:— birhadni birhadga bo'lish;— ko‘phadni birhadga bo'lish.Mavzuni o ‘rganish natijasida o ‘quvchilar quyidagi bilim

va ko‘nikmalaiga ega bo‘lishlari lozim:Bilimlar:— birhadni birhadga;— ko‘phadni birhadga bo‘lishning nimaligini bilish.Ko ‘nikmalar— birhadni birhadga;— ko‘phadni birhadga bo‘lishga doir mashqlami bajara olish.Metodik tavsiyalar. 0 ‘quvchilarga birhad va ko‘phadlami

qo‘shish, ayirish, ko'paytirish va darajaga ko‘tarishga oid awalgi darslarda ko‘rilgan mavzularni eslatasiz va ulardan „bu mavzulardan chiqadigan asosiy natija, muhim xulosa nimadan iborat?“ deb so‘ raysiz. Muhim xulosa shuki, qo‘shish, ayirish, ko‘paytirish, darajaga ko‘tarish natijalari yana ko‘phadni beradi. Ammo bo‘lishda unday emas! Hamma vaqt ham, birhad birhadga, ko‘phad birhadga qoldiqsiz bo‘linavermaydi. Bu mavzu ikkita asosiy qismdan iborat:

1) birhadni birhadga bo‘lish;2) ko‘phadni birhadga bo‘ lish.Har bir holga doir masala darslikda tushuntirib, ishlab

ko‘rsatilgan. Yana mashqlar qaraylik.107

al + 3

— bo‘linmadagi ikkinchi had bo‘luvchiga ko‘paytiriladi va ko‘paytma birinchi qoldiqdan ayriladi, natijada ikkinchi qoldiq hosil bo‘ladi;

— bu jarajon shu tarzda davom etaveradi. Agar qoldiqning eng katta daraja ko‘rsatkichli hadi bo‘luvchining birinchi hadiga bo‘linmasa, u holda bo‘ lish qoldiqlidir.

Misollar ko‘raylik.1 - m i s o 1. K o ‘phadni ko‘phadga bo‘ling:

(15—3u3+5fl2—9o):(5—3«).

Y e c h i s h . 1) Bo‘linuvchi vab o ‘luvchini a ning daraja ko‘rsatkichi bo‘yicha tartiblab yozamiz:

—3o3 +5a2 — 9u + 15 —3^ + 5

—3 a2 + 5 a2_ - 9 u + 15

— 9o + 15 0

2 ) —3u3:(—3a)=a2 — bo‘ linmaning birinchi hadi.3) a2 ni (—3o+5) ga ko‘paytiramiz, natijani bo‘linuv-

chidan ayiramiz.4) Ayirma (birinchi qoldiq)ning birinchi hadi (—9a)ni(—3a) ga bo‘lamiz: (—9a)\(—3a)=3.Bu misolda qoldiq chiqmadi.J a v o b : a 2+3.(~3a+5)(a 2+3) ko‘paytmani bevosita hisoblab, javobning

to‘g‘riligiga ushonch hosil qilamiz.2- m i s o 1. K o ‘phadni ko‘phadga bo‘ling:

(a 4+2a 2+6):(a2—3).Y e c h i s h .

aA + 2a2 + 6

u4 — 3 a2

5 a + 6

5o2 - 1 5

a2 —3+ 5 ’

2 1 (qoldiq)

demak, (o4+2fl2+ 6 )= (o 2—3 )(o2+5)+21. Bu holda oxirgi qoldiqda a ning nolinchi darajasi qatnashyapti deyishimiz mumkin: 21=21o°. Ammo bo‘ luvchida a ning darajasi 2 ga teng. 21 soni a1 ga bo‘linmaydi. Bu misolda bo‘lish qoldiqli bo‘ldi.

Mustaqil yechish uchun qobiliyatli o ‘quvchilarga atalgan mashqlami keltiramiz.

1. (a3+P):(fl+fc).2. (a3-#):(o-Z>).3. (cfi-tfyXdt+ab+b2).4. (1—5 o + lla 2—3a3) : ( l—3o+2fl3).5. (8a '-T lVyiW +eab+W ).6. (c?—abi—a2b1+a3b).(a^—b2).7. (a^+a^b—b —a b2): (a^+b).8. ( - ^ - ^ x ^ + U x ^ x 2): (2— x2— 3X3).9. (a5-2 o 46 -4 flV + VyXa'+laV+b*.10. (2di-\5b2+6ab1-5a2b):(2a-5b).


310. Bo‘lishni bajaring.

Y e c h i s h .3)(10a2— 12crZ>+8fl):2fl=(10a2):(2fl)— —(\2ab):(2a)+(%ay(2a)=5a—6b+4.Ns 312. Algebraik ifodaning qiymatini toping.

3) (3x 3+4x 2y):x2—( 10xy+15y2): (5y), bunda x=2, y=—5. Y e c h i s h . (3x3+4x2y):x2—(10xy+15y2):5y = 3x + 4y—

—2x—3y = x + y = 2+ (—5)=—3.J a v o b . —3.

Ns 329. Bo‘lishni bajaring.

Y e c h i s h . 3 ) (-4 / «V + | / w V ): (| WV ) =

= (—4m V ) : 0 m3//2) — (^ /w V ) : ( j m V ) +

+ ( j m3n6) : (y m3n2) = —6m2 — ~mn3 + /i4.

J a v o b : —6m2 — j mn3 + /i4.

110

QOBILIYATLI 0 ‘QUVCHILAR UCHUN MASHQLAR

1. K o ‘rsatkichi 3 bo‘lgan daraja ko‘rinishida yozing:1) a6# ; 2) a9 * *bn- 3) -100066; 4) xl5f& , 5) -0 ,008xy.2. Tenglamani yeching:1) (—2)3-x+(0,4)2= (— 1 )9—(1 ~2x);2) (1,2)2—(0 ,l ) 2-(20—200x)=( 1,4)2. J a v o b : x = 0,36.3. 1) 5 ning 4- darajasi 500 ning necha protsentini tashkil

qiladi? J a v o b : 125%.2) 0,2 sonining 4- darajasi a sonining 64 % ini tashkil

qiladi. a sonni toping. J a v o b ^ .

4. Ifodani daraja ko‘rinishida yozing:

5. n ning qanday qiymatida tenglik to‘g‘ ri bo‘ladi:

1) (44)"=412; 2) (5")2=5 14; 3) 22"=45;4) 3(32)"=3U; 5) 3"-94=9u; 6) 52"-4"=10000?

6. K o ‘phadni standart ko‘ rinishda yozing:

1) a2b+ai—2a1b+abl—4abl+5ab1—?>a2b‘,

3) (2 ,7 x 2+ 0 ,7x—3 )—(0 ,8 x 2—2,3x—1,2)—(1 ,1jc 2+ 5 x —7,2 );4 ) 2>xy— (0 ,5 x 2—y 2+xy)+( 1 ,lx 2+ 2 xy)+y 2+ 1,8 x 2.

7. K o ‘phadlami qo'shing:

1) (4 fl4- 5 a 3-6 +8 fl2fc2+ 2 fi6 3) + ( - 3 f l 4- 7 f l6 3 +2a3b+2b*)++(4a3b-7a1b2+6abs) ‘,

2) (2x*+4ax3—bx1+4cx—2d)+(5xfi—7ax5+6bx1—4cx+3d)++ (—6X4—7ax3—6bx2—4cx~3d);

2) x "+2-x7 8 x 4" !; q )— ^ p i— > bunda n— natural son.

4)| l5|c3 — 8 j f l2fc + 7,8fl62 + 12j£3j +

+ ( - 8 ,5a3 +15 j a2b - 41 ab2 -1 8 ,2b3).

8. K o ‘phadni ayiring:

1) (1,8«2-4 ,47n6-18,25oc+4,75fcc)-(-l,75n2- —l,47a£+l,75ac+6,5£c);

2) (A rt+M P-lttfb -l,laV+SW-QW-la'b+ld1!)1- -8 ,lo^+3 ,4 6 4);

3) (2,S x ^ x ^ , 8x^+4,3 j^ )- (l ,2x3+2,5x?y--1 ,8x^+2 ,3^ );

4) (3,6fl3# c - 1,5(fbic1+ 1,8 n W )- ( - 0 ,4 a 3# c -

9. Qavslami oching:1) 3n -{4o-[5 fl-(6n +7 fl)]};2) 8x—{6x+[8x—( l l x —3x)]};3) 2a— {6£+[4c—■4o—(a+b)\+'$a—(2b+3c)}\4) 3x—{4y+[3r~4x—(2x+3z)]}—[3x-(2y+5^)].


1) [4fl26 + (-5 a2& )- (-2 o 2&)]-3a64c3;

2)

3)

-8 ,3 x 'y + (-6 ,7 x 'y ) ] -0 ,8 x y - (-3 jy ) ;

4a3fc4— 6|a3£4— 10â3Z>4j -|3a2Z>2 — 2 ^ a 262);

4) [—4 ,5 xV + (— l , 5 x Y ) - ( - 1,8 x V )]- (4 ,7 x y -2 ,7 x y ).

11. Ko‘phadni birhadga ko‘paytiring:

1) (8an—4a'r" ,£>+3a'r_2#")-(—0,5a,,+2£3);

2) |l j xm+2y2n~3 - 2,4xmyn - l,2 y3-2" ) • ( - 3 x 4_my 2n);

3) 2âkbn (9a5 - I2 b 3 +9a3b2 - lS a 2b3 -3 );

4) 5x3fc_Iy 2n_3(0,8x1-2* + y 3-" - | x 2-3* • y 5-2" + 0,2y").

112

12. Ko'phadlami ko‘paytiring:

1) (6A4—'iazxJr2a1y?+Aax )-{\,5o3—lcPx+Zax1—x3);2) (a2—3bx+2x2)(a2+3bx—2x2)m,3) y*)(2x-3y)\4) (3+a+a2+a2)(3—a+a2—a*)\5) (a2k-a kbn+b2'') (ak+bn);6) (fl*"+a*+<2*~1) ,(fl*+1—ak).

13. Bo‘lishni bajaring:

1) 0,6fl8M+,:(-0,2fleb*-'); 2)-5ak+n-Uc+''(? :(-2 M lt ,cy

3) 9x\a+2b)'* <?:[-3tf (a+2b))\

4) - 1 5x*yizr:(-3x*y2z'y, 5 ) - 3 3 akbnd5 :1 | a W ;

6) 15(x + y)m+n: ( - 3 1 (x + ).

14. Ko‘phadni birhadga bo‘ling:

1) [5x\a+by—3^y(a+by+2(a+b)2xy]:2x(a+b)2\2) (36fl3*-,-24a3*+ 12fl3*+,-6 a 3*+2): 12g3*->;3) [ 15tf^x—y)2—8a3(x - y)3+6a2- (x -y )4] : [— 1 Oa2-(x -y)2] ;

4) [12 (fl-A )*-6 (fl-A )"+15(fl-b )",]: [-1 2 (f l- * )" ].


1) (12-52"+,-8-52*+4*52"-,):(4*52,r-2). J a v o b : 330.2) (36-18"—8-2n-|-9"—3"+,-6'r+,):18"-1, bunda n—natural son

va«>4. J a v o b : 315.

16. Agar 2(a+\)(b+\)=(a+b)(a+b+2) bo‘lsa, o2+ ^ = 2 bo‘lishini isbotlang.

17. Avtobusda n hafar yo ‘lovchi bor edi. Birinchi ikkita bekatning har birida avtobusdan m nafardan yo‘lovchi tushdi. Uchinchi bekatda avtobusdan hech kim tushmadi, ammo bir necha yo ‘ lovchi avtobusga chiqdi. Shundan so‘ ng avtobusdagi yo‘lovchilar k nafar bo‘ ldi. Uchinchi bekatda avtobusga necha nafar yo‘ lovchi chiqqan?

113

18. To ‘g‘ri to‘rtburchakning tomonlari a\abga teng. Agar tomonlardan birini c ga, ikkinchisini d ga orttirsak, uning yuzi qanchaga ortadi?

19. To ‘ g ‘ri to‘rtburchakning tomonlari a\abga teng. Agar tomonlardan birini k ga, ikkinchisini n ga kamaytirsak, uning yuzi qanchaga kamayadi?

20. To ‘g ‘ri to‘ rtburchakning tomonlari a\abga teng.Agar tomonlardan birini c ga orttirsak va ikkinchisini d ga kamaytirsak, uning yuzi qanday o ‘zgaradi? Qachon yuz ortadi? Qachon kamayadi? Tahlil qiling.

21. l)Berilgan o ‘ l- chamlar bo'yicha shtrixlangan yuzni hisoblash formulasini chiqaring (6- rasm);

2) 2bc+2c (a~2c)= =2ac+2c(b~2c) teng-likning to‘g‘ riligini ko‘r- sating;

3) shtrixlangan yuzni ikkita to‘g ‘ ri to‘ rtburchak yuzlarining ayirmasi sifatida tasvirlang. Bundan foydalanib, ab—(b~ —2c)(a—2c)=2ac+2c ■ (b—2c) tenglikni isbotlang.

22. 0 ‘xshash hadlami ixchamlang:

1) 6ab — Ibc + Sab— \\ab~l6bc+7ab+2lbc—2ab\2) 2a* 1 2b~4ab1+S,5a2b^\Q,5ab2—l4,Sa2b+n,Sab2—2ab1',3) 3,6a2bc~0,Sabc2—2a2bc—Q,4abc1+2>,5abc2—2,4a2bc\4) 6a3S a 2b+9ab1+ 1,8fl2ft-3fl3-7 ,5o^+2 fl3-

-1 2 ,5 0 ^ + 3 ,2 ^ .


1- variant1. Ko'paytmani daraja shaklida yozing:1) 3-3-3-3-3; 2) (-4 o )- (-4 o )- (-4 o ).

2. Ko‘paytmani daraja shaklida yozing.1) 43 * *-47; 2 )(x -y ),0-(x-y)".

114

Bo‘linmani daraja shaklida yozing:

3) 91!:9'; : ( y ] 4.

3. Hisoblang:48-5828 108

4. Birhadlami ko‘paytiring va hosil bo‘ lgan lfodaning son qiymatini toping:

ja b -^ a b 2, bunda a = —^,b = 3.

5. K o ‘phadni standart shaklga keltiring: Sa&Zba+lablcPb—labba2.J a v o b l a r : 1 .1)35; 2 )(-4 a)\ 2.1)4'°; 2 )(jc-y),0+"; 3)95;

3.1. 4. j • alb5\ 2,7. 5. GaW-laW+1502?.

2- variant

1. Ko'paytmani daraja shaklida yozing:1) 4-4-4-4-4; 2 ) (-3b )(-3b ) (~3b).2. Ko ‘paytmani daraja shaklida yozing:1) 54-58; 2)(y -z )9-(y~z)m.Bo‘linmani daraja shaklida yozing:

3 ) 8“ :8»; 4 ) ( f ) ’ : ( f J .

29 (23)3. Hisoblang: , ,x3 ‘

(2 )4. Birhadlami ko‘paytiring va hosil bo‘lgan ifodaning son

qiymatini toping:

â£>2 -yâ2, bunda a=2, b=—6.


4 x 2y 2 y x 3 — 5jt^33yx2 + 9yyxx\ | xyxy2.

J a v o b l a r : 1. 1)45; 2 ) ( - 3 b)\ 2. 1) 512; 2)(y ~ z )9+m;

3) 85; 4 ) ^ j . 3. 64. 4. \a 'b 2 : 48. 5. 8xy+12xy-15xy.115

3- variant

1. K o ‘paytmani daraja shaklida yozing:1) 2-2‘2-2 2; 2 )(-5 c ) (-5 c ) (-5 c ).


1) 75*76; 2)(fl+ c )" (o+c)*

Bo‘linmani daraja shaklida yozing:

3 ) 1 1 - 1 1 - 4 ) ( f ) ’ : ( f ) ‘ .

95-273. Hisoblang:

4. Birhadlami ko‘paytiring va hosil bo‘ lgan ifodaning son qiymatini toping:

%mr? H m2, bunda m = 2,n = —5.5 16

5. Ko'phadni standart shaklga keltiring:0,8 cd4,5c2d— 4,Sccd20,5dc + 3,2c 3d 1,5d 2dc. J a v o b l a r : 1 .1)25; 2 )(-5 c )3. 2. l )7 n; 2 )(c+ c )11+*;

3) l l 3; 4 ) ( ^ ) 3.3.9. 4 .| m V ; 150.

5 .4,8c 4d4—2,4c 2d 3+3,6c 3d2.

4- variant

1. Ko‘paytmani daraja shaklida yozing:

1) 5*5*5*5*5; 2) (-2d)(~2d)(-2d).2. Ko'paytmani daraja shaklida yozing:

1) 67*63; 2) (b+d)n-(b+d)\ Bo‘linmani daraja shaklida yozing:

612 5103. Hisoblang:

3) 7,3:710; 4)(

I H>

4. Birhadlami ko‘paytiring va hosil bo‘lgan ifodaning son qiymatini toping:

bunda x = ~2, y =

5. K o ‘phadni standat shaklga keltiring:

2 ab 2 ba3 + 2,5a2£30,4a& — 2 y ab2 j aab.

J a v o b l a r : 1. 1) 54 5 * * * *; 2)(~2d)\ 2. 1) 610; 2)(b+d)l2+”;

3)73; 4 ) ^ j . 3.4. 4. 5. 6 ^ - 3 a3V+a3b\


1- variant

1. Ko'phadni standart shaklga keltiring:4 a2b— l,5ab—2,6aab+3ab.2. Ko ‘phadlami qo‘shing: 5a2—3ab—2b* va Aab— a^+b1.3. Ifodani soddalashtiring:

4. Algebraik ifodani awal soddalashtiring, keyin a= l,5 bo‘lgandagi son qiymatini toping:

(a + 4 )(4 a -5 )- (a + 2 )(3 a -3 ).

5. Bo‘ lishni bajaring va soddalashtiring: (7a3+3a2):(2a2)+(15a2+8a):(3a).

J a v o b l a r : 1.1,4db+1,5ab. 2.2d+ab — b1. 3.1,5a+45.

4. a2+8a—14; 0,25. 5. 8 ±a + 4 i .

2- variant


5x2y 2 + 4^xy — 2,4x2yy - 2^yx.

2. K o ‘phadlarni qo ‘shing: 8ab + \0bc +15c2 va 2ab — - Ib c - lO c 1.

117


4. Algebraik ifodani aw al soddalashtiring, keyin jc = 0,5 bo'lgandagi son qiymatini toping:

(3x — l ) ( x + 2 )—( jc — 2)(4jc — 3).

5. Bo‘ lishni bajaring va soddalashtiring: (8ft3-5 ^ ): (2 ^ )- (6 ^ -7 ft ): (3 Z » ).

J a v o b l a r : 1. 2,6x2y 2 + 2^xy. lâb+Zbc+Sc1.3.1 -a. 4. —JCH16JC—8; —0,25. 5. 2 Z » - i .

3- variant

1. K o ‘phadni standart shaklga keltiring: lc 2d3—3,4c 2cd-2,7c 2dd 2+4,8 cdc2.2. K o ‘phadlami ayiring: 4ah-1 ab+Ttti2 va 2a2+4atr~b2.3. Ifodani soddalashtiring:

4. Algebraik ifodani aw al soddalashtiring, keyin £>=2,5 bo‘ lgandagi son qiymatini toping:

(3£> - 5)(3£> + 4)-(3£> - 4)(2£> + 3).

5. Bo‘ lishni bajaring va soddalashtiring:(6y 4 5- 5 y 3):(2y 3)+ (12y 2+8y):(3y).

J a v o b l a r : 1. l,4 c3c/+4,3c2cf3. 2 .2a2— \\ab+4b2.

3 .7fl—7 .4. 3b2—4£>—8; 0,75. 5. 7y + 1 .

4- variant

1. K o ‘phadlami standart shaklga keltiring:

6mmn2n + 4^ m2n2m — 1,4 m2nn2 — 2 i n2m2m.

2. Ko'phadlami ayiring: 7jc 2+2 jcy-5y2 va 4jc 2—3jcy-2y2.

IIH


4. Algebraik ifodani awal soddalashtiring, keyin y=0,5 bo'lgandagi son qiymatini toping:

(4y ~ 3)(3y + 4)-(5y + 2)(2y - 3).

5. Bo‘lishni bajanng va soddalashtiring:

(8 c 4 - 7c 3):(2c3)—(lOc 2-9c):5c.

J a v o b l a r : 1. 2|/w3« 2 — 4,6/wV. 2. 3jc* + 5jcy — 3y*.

3 .0,25o + 4,25.4.2y2+ 18y- 6; 3,5.5.2c - 1,7.

; KO ‘,PHADTS'I KO‘PAYTUVr CHIUARGA AJRATISH :1 ! !; , ; | i _*

Algebraik ifodalami soddalashtirishda, kelgusida o ‘ rganiladigan algebraik kasrlar ustida amallar bajarishda ko‘phadni ko‘paytuvchilarga ajratish — uni bir necha ko‘phadlar ko‘paytmasi shaklida ifodalashga ehtiyoj seziladi. Bu bobda ko‘phadni ko‘paytuvchilarga ajratishning umumiy ko‘paytuvchini qavsdan tashqariga chiqarish va gumhlash usullari o ‘ rganiladi. „Qisqa ko‘paytirish formulalari“ deb ataladigan formulalar chiqariladi. Ulaming ba’zilariga geometrik talqin beriladi. Bu formulalarning tatbiqlariga doir mashqlar tushuntirib yechiladi.

Umumiy ko‘paytuvchini qavsdan tasjiqanga chiqarish _

Maqsad. 0 ‘quvchilami— ko‘phadni ko‘paytuvchilarga ajratish tushunchasi bilan

tanishtirish;— ularga ko‘phadni umumiy ko‘paytuvchini qavsdan

tashqariga chiqarish yo‘ li bilan ko‘paytuvchilarga ajratishni o ‘ rgatish.

Mavzuni o ‘ rgangach, o ‘quvchilar quyidagi bilim va ko‘nikmaIaiga ega bo‘lishlari lozim:

Bilimlar:— ko‘phadni ko‘paytuvchilarga ajratish;— umumiy ko‘paytuvchini qavsdan tashqariga chiqarish

nimaligini bilish.Ko ‘nikmalar:— umumiy ko‘paytuvchini topa olish;— uni qavsdan tashqariga chiqarib, ko‘phadni ko‘paytuv-

chilarga ajratishga doir misollami yecha olish.Metodik tavsiyalar. K o ‘phadni ko‘paytuvchilarga ajratish

(„yoyish“ , „parchalash“ ) ba’zi masalalarni hal qilishda muhimligini ko‘ rsatuvchi masalani o ‘quvchilar bilan birga

120

tahlil qilib yechtirasiz. Bunday masalalar darslikda berilgan. Misollar tahlilidan ushbu ta’rifga kelishimiz tabiiydir.

Ko ‘phadrti ikkita yoki bir nechta ko ‘phadlar ko ‘paytmasi shaklida ifodalash ko ‘paytuvchilarga ajratish (yoyish) deyiladi.

Murakkab sonni tub ko ‘paytuvchilarga ajratish bilan ko'phadni ko'paytuvchilarga ajratish orasida ma’lum bir o‘xshashlik, umumiylik borligi ta’kidlanadi va bu fikr misollar bilan izohlanadi.

Ko'phadni ko'paytuvchilarga ajratishning foydasi, bunday almashtirishning „ish berishi", qo‘l kelishi keyingi mavzularda ayon bo‘lib boraveradi.

Binobarin, bu mavzuni o ‘zlashtirib olish keyingi mavzulami yaxshi bilish uchun asos bo‘ladi. Mazkur mavzu algebra kursining deyarli hamma boblarida „ish beradi“ . Darslikda shunday algoritm taklif etiladi: ko‘phadni umumiy ko‘paytuvchini qavslardan tashqariga chiqarish yo‘li bilan ko‘paytuvchilarga ajratish uchun:

1) shu umumiy ko‘paytuvchini topish;2) uni qavsdan tashqariga chiqarish;3) qavs ishida berilgan ko‘phadni shu umumiy ko‘pay-

tuvchiga bo ‘lish natijasida hosil qilingan ko ‘phadni yozish kerak.M i s o 1. 35 d* b2 — 14a2lf ko‘phadni ko‘paytuvchilarga

ajrating.Y e c h i s h . 1- q a d a m . 3 5 v a l 4 koeffitsiyentlaming

eng katta umumiy bo‘luvchisini — EKUB ni topamiz. EKUB (35,14)=7 ekanligi ravshan, chunki 35 = 7-5; 14 = 7 -2. Demak, 7 umumiy ko‘paytuvchi va u qavsdan tashqariga chiqadi.

2- q a d a m . Bir xil asosli darajalar orasidan eng kichik korsatkichli darajani topib, uni ham qavsdan tashqariga chiqaramiz. Demak, qavsdan tashqariga aW chiqadi.

3 - q a d a m . Natijani yozamiz:35 - 14 a2V = 7 a2V (5a - 2b).

J a v o b : lcDb2 • (5a — 2b).Javobning to‘g‘riligini ko‘phadlami ko‘paytirish yo‘li bilan

tekshirib ko‘rsa bo‘ladi.121

Umumiy ko‘paytuvchi ko‘phad bo‘Iishi ham mumkin.

2- m i s o l . Ko ‘phadniko‘paytuvchilarga ajrating:1) 8 (a2 + V) + c (a2 + V) = (a2 + ^ ) ( 8 + c);2) (a — b) x —(b ~ a ) y = (a — b )x ~ (— 1) (a~b)y== (a ~ b) x + (a ~ b) y = (a ~ b) (x+y),bunda a ~ b = ~(b — a) ekanidan foydalaniladi.Mavzu uchun 4 s o a t ajratilgan.Sinfda bajariladi: 330—342- mashqlar; 335—354- mashq-

laming toq raqamli misollari.Uyga vazifa: 343—352- mashqlaming jufl raqamlari misol-


Ne 341. Umumiy ko‘paytuvchini qavsdan tashqariga chiqaring.

Y e c h i s h . 3 ) 4 f l 2 ^ + 36 a2& + 6aif ==2aP (2a + 9ab+W).Nfi 345. Hisoblang.Y e c h i s h .3) 0,73 + 0,7 • 9,51 = 0,7 • (0,72+ 9,51) = 0,7 • (0,49 +

+9,51)= 0,7 • 10 = 7.

Ja v o b . 7.

Ns 351. K o ‘paytuvchilaiga ajrating.Y e c h i s h . 3) & • (a — 1)— c (1— a)=& • (a~ 1)—

c • (1) • (a 1)= (a ~ 1 W + c).Ns 352. K o ‘paytuvchilaiga ajrating.

Y e c h i s h . 3)x(a~2)+y(2 —a) + (2~a )=—x(2—a) ++y (2 — a) + (2— a) = (2— a)(~x + y + 1).

Ne 353. Tenglamani yeching.

1) 8 - (x -3 ) (x + 3 )= 1 0 - (x - l )2.

Y e c h i s h .

8 - (x 2 + 3 x -3 x -9 )= 1 0 -(x 2- 2 x + l ) ,122

8 - (x 2 - 9) = 10 - x 2 + 2x -1,

8 - x2 + 9 = 10 - x2 + 2x -1 ,

17 = 9 + 2x,

2x = 8,

x = 4

T e k s h i r i s h :

8 - (4 - 3)(4 + 3) = 8 - 7 = 1,

10 - (4 - 1)2 = 10 - 32 = 10 - 9 = 1,

1 = 1.

Javob: x = 4.


1. Ko‘phadni nima uchun ko‘paytuvchilarga ajratish kerak? Bunday almashtirishning foydali ekanligini misollarda tushuntiring.

2. Ko‘phadni ko'paytuvchilaiga ajratish deganda nimani tushunasiz? Misollar keltiring.

3. Umumiy ko'paytuvchi nima?4. Uni qavsdan tashqariga chiqarsak, qavs ichida nima qoladi? Qavs

ichidagi ifoda qanday topiladi? Misollarda tushuntiring.5. Ko‘phadning umumiy ko'paytuvchisini qavsdan tashqariga

qanday ishora bilan chiqarish mumkin? Misollarda tushuntiring.

6. Bir xil asosli darajalar orasidan qaysinisi qavsdan tashqariga chiqadi? Misollar toping.

7. Ko'phad hadlarining koeffitsiyentlari natural sonlar bo‘lsa, u holda umumiy son ko'paytuvchi qanday topiladi? EKUB (m, ri) deganda nimani tushunasiz? Yodga oling.

8. Umimiy ko‘paytuvchi ko'phad bo'lishi mumkinmi?

Tayanch so‘z va iboralar: ko‘phadni ko'paytuvchilarga ajratish; umumiy ko‘paytuvchi; qavsdan tashqariga chiqarish; qavs ichidagi ko‘phad; eng katta umumiy bo‘luvchi, eng kichik ko'rsatkichli daraja.

123

Mavzuni o‘rgangach, o‘quvchilar uchbu qiyinlikdagi mashqlarni bajara olishlari shart:

1. Umumiy ko'paytuvchini qavsdan tashqariga chiqaring:

1) 15o + 106; 5) o4 +5o2;

2 ) 27o + 186; 6)27o6+36o5;

3 ) 12o + 156 + 6; 7)16o4 -8 o 2;

4) 10o-156-5c; 8)15x3-3 0 x 2.

2. Ko ‘paytuvchilaiga ajrating:

1) o(6 + c) + 6(6 + c);2) x(a + 7) - y(a + 7);

3) 2 (o - 5 ) + 6 (o -5 );4) (o - 6) + c(o - 6);

5) 3o(o + 6) - 26(a + 6);6) 56(c - d) + 2o(c - d)\7) fl(o2 + 62) - 6(o2 + 62);8) o (6 - l ) - 6 ( 1 - 6 ) .

Guruhlash usuli

Maqsad. 0 ‘quvchilami ko‘phadni ko'paytuvchilarga ajratishning guruhlash usuli bilan tanishtirish.

Mavzuni o ‘ rgangach, o ‘ quvchilar quyidagi bilim va ko‘nikmalaiga ega bo'lishlari Iozim:

Bilimlar:—ko‘phadni ko‘paytuvchi!arga ajratishning gumhlash

usuli.Ko ‘nikmalar:— ko‘phadni gumhlash usuli yordamida ko‘paytuvchilaiga

ajrata olish;— bunga doir mashqlami bajara olish.Metodik tavsiyalar. Gumhlash usulu nima va u qanday

hollarda qo‘HaniIadi? — degan savol o ‘ rtaga tashlanadi. Bu usulning g ‘oyasini ochuvchi 2—3 ta misol o'quvchilar bilan birgalikda tahlil qilinadi.

124

1- m i s o 1. a(2b + 3c) +2b + 3c ko‘phadni ko‘paytuvchilaiga ajrating.

Y e c h i s h . Bu ko‘phadda hamma hadlar uchun umumiy ko'paytuvchi yo‘q. Ammo bu misolda oxiigi ikkita hadni qavs ichiga olib, umumiy ko‘paytuvchini topish, uni „hosil qilish“ mumkin. U holda

a Qb + 3c)+ 2b + 3c=a(2b+3c) + (2b+3c) = (2b + 3c)(a + 1), bunda biz (2b + 3c) ifodani „ + “ ishorasi bilan qavs ichiga oldik.

2- m i s o 1. a(3b — 2c) — 3b + 2c = a(3b — 2c)—(3b—2c)= =(3b~2c)(a —1), bunda oxirgi ikkita hadni “ ishorasi bilan qavs ichiga oldik.

3- mi so l . a(4b — 3c) + 4bd — 3cd = a (4b~3c) + +d(4b~3c)= (4b — 3c)(a + d), bunda berilgan ko‘phadning oxirgi ikkita hadini qavs ichiga oldik va ulardagi umumiy ko‘paytuvchi d ni qavsdan tashqariga chiqardik. Guruhlash usuli bilan ko ‘phadni ko ‘paytuvchilarga ajratish uchun:

1) ko ‘phadning hadlarini, ularko ‘phad shaklidagi umumiy ko‘paytuvchilarga ega bo‘ladigan qilib, guruhlarga birlashtiriladi;

2) hosil qilingan umumiy ko ‘paytuvchini qavsdan tashqariga chiqariladi.

Guruhlash usuli qo‘shish va ko'paytirishning guruhlash, o‘ rin almashtirish va taqsimot qonunlariga asoslangan.

Berilgan ko‘phad hadlarini turli usullar bilan guruhlash mumkin. Shunga oid bir misol ko‘ raylik.

4 - m i s o 1. 5ab + 5ac — Ibd — lcd ko‘phadni ko‘paytuvchilarga ajrating.

Y e c h i s h .1 - u s u 1. 5ab + 5ac - Ibd - lcd = (5ab - Ibd) +

+ (5 ac - lcd) = b(5a - Id ) + c(5a - Id ) = (5 a - 7 d)(b + c).

2 - u s u l . 5ab + 5ac-7bd-7cd=(5ab + 5ac)~- (7 bd + 7cd) = 5 a(b + c) - 7 d(b + c) = (b + c)(5a - 7 d).

Mavzu uchun 4 s o a t mo‘ ljallangan.125

Sinfda yechiladi: 355 — 358, 364- mashqlar; 359 — 363- mashqlaming toq raqamlari misollari.

Uyga vazifa: 359 — 363- mashqlarning juft raqamli misollari.


N° 359. K o ‘paytuvchilarga ajrating.

Y e c h i s h . 3)2bx - 3ay - 6by + ax = (2bx + ax) -- (3ay + 6by) = x(a + 2b) - 3y(a + 2b) = (a + 2b) • (x - 3y).

N° 360. K o ‘paytuvchilarga ajrating.

Y e c h i s h . 1) xy2 - by2 - ax + ab + y2 - a =

(xy2 - £y2 + >>2) - (ax -ab + a) = y2(x - b + 1) - a(x - b + 1) =

= ( x - b + l ) (y 2 - a).

N° 361. Hisoblang.

Y e c h i s h . 3) 14,7 ■ 13 - 2 • 14,7 +13 ■ 5,3 - 2 • 5,3 == (14,7 1 3 - 2 14,7) + (13 • 5,3 - 2 • 5,3) = 14,7 • (13 - 2) +

+ 5,3 • (13 - 2) = 14,7 11 + 5,3 11 = 11 (14,7 + 5,3) =

= 11-20 = 220.

Ne 362. Ifodaning son qiymatini toping:

3) a2 + ab - 5a - 5b, bunda a = 6,6; b = 0,4.

Y e c h i s h .

a2 +ab-5a-5b = (a2 + ab) - (5a + 5b) = a(a + b)~ 5(a + b) = = (a + b)(a -5 ) = (6,6 + 0,4) • (6,6 - 5) = 7 • 1,6 = 11,2.


1. Guruhlash usuli yordamida ko‘phad ko‘paytuvchilarga qanday ajratiladi? Misolda tushuntiring.

2. Guruhlash usulini qo'llash qanday qonunlarga asoslangan?3. Guruhlash usuli qanday hollarda qo'llaniladi?4. Ko'phadni ko‘paytuvchilaiga ajratish uchun uni bir nechta

usulda guruhlash mumkinmi?

Tayanch so‘z va iboralar: guruhlash usuli; guruhlash usuliga asoslangan qonunlar; turii usullarda guruhlash; qavsdan tashqariga: “ ishora bilan chiqarish, „ + “ ishora bilanchiqarish.

Mavzuni o‘rgangach, o*quvchilar ushbu qiyinlikdagi mashqlarni bajara olishlari shart:

1. Ko'paytuvchilarga ajrating:

1) a - b + c(a-b)i 5 )5 a (b -c ) + c -b ;2 ) a + 3c(a + b) + b-, 6) a(3a - Ib) - 3a + Vr,

3) a + b + (a + b)2; 7) a2 + a b - la - lb \4) a(2b + c) + 2bd + cd; 8) a2 - ab - 4o + 4b.

2. Hisoblang:

1) 248 • 27 + 23 • 248 + 252 • 21 + 29 • 252;2) 21,3 - 27 - 2 • 21,3 + 28,7 • 53 - 28 • 28,7;

3) 5|.2l + W-7j+4|-34 + 4,4.«|;4) 32,7 • 21 - 6 • 32,7 + 67,3.47 - 32 • 67,3.

Yig‘indining kvadrati. Ayirmaning kvadrati

Maqsad. 0 ‘quvchilami qisqa ko‘paytirish formulalari bilan tanishtirish.

Mavzuni o ‘ rgangach, o ‘quvchilar quyidagi bilim va ko‘nikmalaiga ega bo‘ lishlari lozim:

Bilimlar:— qisqa ko‘paytirish formulalari.Ko ‘nikmalar:— qisqa ko'paytirish formulalarini misollar yechishda,

hisoblashlarda qo'llay olish, ulardan foydalana olish.Metodik tavsiyalar. Bu mavzu algebra kursining muhim

mavzularidan biri hisoblanadi. Ikki son yig‘ indisining kvadrati: (a + b)1=c + 2 ab + ^formula darslikda ikki usulda chiqarilgan, isbotlangan. 1-usu l — ko‘phadni ko'phadga ko‘paytirish

qoidasidan foydalanib isbotlash. 2 - u s u 1 — geometrik usul — sodda va o ‘quvchiga tushunarli ko‘rsatmali usul (darslikdagi 13- rasm).

Ikki son ayirmasining kvadrati (a — b)2=a2—2ab + b2 formulasi ham ikki usulda chiqarilishi mumkin. 1 - u s u 1 — ko‘phadni ko‘phadga ko'paytirish qoidalaridan foydalanish darslikda keltirilgan.

2- usul — geometrik usulni bayon qilaylik.M a s a 1 a . Tomoni a ga teng bo‘ lgan ABCD kvadratning

tomonlari b ga kamaytirildi (a > b). Qolgan kvadratning yuzini toping.

b Y e c h i s h . A6= flbo ‘lsin,B ---------------------------- c u holda ABCD kvadratning yuzi

a2 ga teng. AE=b bo‘lsa, qolgan kvadratning yuzi S = (a—b)2 bo‘ ladi, chunki BE = a —b (7- rasm). Ikkinchi tomondan, S ni topish uchun a2 dan, „kesib olingan“ shakl yuzini

----------------------------- ayirish ham mumkin. „K e -b sib olingan“ shaklning yuziA D ( a - b ) - b + a b = 2 a b - b 2

ekanligi ravshan. U holda

S=a2-(2ab-b2 ) = a2-2ab+b2.Demak, ( a -b )2 = a2 -2ab + b2.Yuzlami hisoblash yordamida darslikdagi (1), (2) formu-

lalarni isbotlash algebra va geometriyani „bog ‘ laydi“ , formulalarga yangi mazmun beradi.

Y ig ‘ indining kubi va ayirmaning kubi, ya’ni (a + b)3, (a — b)3 uchun formulalarni chiqarishda (a + b)3 = = (a + b)(a + b)2,(a - b)3 = (a - b)(a - 6)2tengliklardan, so‘ngra

(a + b)2 va (a — b)2 uchun yuqorida topilgan munosabatlardan

foydalanilgan (darslikdagi (3 ) va (4 ) formulalar). Qisqa ko‘paytirish formulalari turli tatbiqlarga ega.

1. Hisoblashlami soddalashtirish.

692 = (70 - 1)2 = 4900 - 2 - 70 1 + 1 = 4901 -140 = 4761;

812 = (80 + 1)2 = 6400 + 2 ■ 80 ■ 1 +1 = 6401 +160 = 6561;

382 + 2 • 38 • 62 + 622 = (38 + 62)2 = 1002 = 10000;

1872 - 2 • 187 • 87 + 872 = (187 - 87)2 = 1002 = 10000.

2. Taqribiy hisoblash.(1 + a)2 = 1 + 2a + c? tenglikda a son 1 ga nisbatan „ancha“

kichik (masalan, a = 0,001 yoki a = 0,003 va h.k.) bo‘lsa, u holda l + 2 o + fl2= l + 2o deyish mumkin, chunki a2 son a ga nisbatan yanada kichik bo'ladi. Qisqa ko‘paytirish formulalaridan (1) va (2) formulalaming taqribiy hisoblashga tatbiqi shu fikrga asoslangan.

(1,001)2 = (1 + 0,001)2 = 1 + 2 • 0,001 = 1 + 0,002 = 1,002;

(0,998)2 = (1 - 0,002)2 = 1 - 2 ■ 0,002 = 1 - 0,004 = 0,996;

(3,002)2= (3 + 0,002)2= 9 + 2 • 3 • 0,002=9 + 0,012 = 9,012;

(3,997)2=(4 - 0,003)2=16 -2 -4 • 0,003=16 -0,024 = 15,976

3. Yig‘indiningkvadrati va ayirmaningkvadratiformulalari ko ‘phadni ko ‘paytuvchilarga ajratishda ham qo ‘llaniladi.

\)9a2 +Wa+25 = (2>a)2 +2?>a-5 + 52 =Oa + 5)2 ;

2) a6 -4 a3b2 + 4ab4 = (a 3 ) 2 -2 • a3 -2b2 + (2b2 ) 2 =

= (a3-2b2) 2.

Mavzu uchun 4 s o a t mo‘ljallangan.Sinfda yechiladi: 365—378, 384 — 385- mashqlar; 379 —

383- mashqlaming toq raqamli misollari.Uyga vazifa.519 — 383- mashqlarning juft raqamli

misollari.Qobiliyatli o ‘quvchilaringiz uchun yana b ir qo*shim cha

m aterialni beram iz.

M a s a 1 a . ( fl + b + c)2 formulani isbotlang.9 - 7 - sinfda „Algebra“

= a2 + b2 + c2 + 2 ab + 2 ac + 2 bc

a b c

d2 ab ac

ab b2 bc

ac bc c28- rasm.

1- u s u l .

(a + b + c )2 = ((a + b) + c )2 = (a + b)2 + 2(o + 6)c + c2 = a2 +

+ + b2 + 2ac + 2 bc + c2 = c2 + A2 + c2 + 2a£ + 2oc + 2£c.2- u s u 1 .Tomoni uzunligi o+ b +c boigan kvadratni qaray-

miz (8- rasm). Uning yuzi bir tomondan (a + b + c)2 ga teng. Ikkinchi tomondan esa tomoni a + b + c boigan kvadrat 3 ta kvadrat va 6 ta to‘g‘ ri to‘ rtburchakdan tuzilgan, ya’ni

(a + b+ c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 ab + 2ac + 2 bc.Formula isbotlandi.


Ne 379. Tenglam ani yeching: 3) (x + 3 )(x + 7) — —(x + 4)2 = 0.

Y e c h i s h . Qavslami ochamiz va soddalashtiramiz:

x 2+ 7 x +3 x + 2 1 - x 2- 8 x -1 6 =0; 2x +5 =0; 2x=-5 ; x = -2,5.

J a v o b . x = —2,5.

Ns 381. x ni birhad bilan shunday almashtiringki, natijada tenglik bajarilsin:

3)(10m5 + x )2 = lOOm10 +120 nPr? + 36 m4« 6.

Y e c h i s h . lOOm10+ 120/nV+36/wV =(10w5)2+ 2 x

xlOm5- 6/wV + (6m2n3)2 =(10m5 + 6 m V )2, demak,x = 6m2« 3.prnn

Yoki 2 • 10m5 ■ x = 120/wV;2 • 10m5x = 2 • 10m5 • 6m V , bundan x = 6m2n3.

Javob. x = 6m2n\

JV° 385. Isbot qiling: 3)(-n - fe)(a + b ) = - (a + A)2.

Isboti: (_a_5)(o + />) = - ( a + b ) ( a + b ) = -(o + b)2.FaoUashtiruvchi savol va topshiriqlar.

1. Qaysi formulalar qisqa ko'paytirish formulalari deyiiadi? 0 ‘sha formulaiami yoza olasizmi?

2. ( a + b 2 \ a . ( a - b ) 2 uchun formulalarni geometrik mulohazalar yordamida chiqaring.

3. Qisqa ko'paytirish formulalari qanday tatbiqlaiga ega? MisoIIarda tushuntiring.

4. (a + A)3 va (a - b ) 3 uchun formulalaiga qanday geometnk talqin berish mumkin?

Tayanch so‘z va iboralar: yig‘indining kvadrati; ayirmaning kvadrati; yig‘ indining kubi; ayirmaning kubi; qisqa ko‘paytirish formulalari.

Mavzuni o‘rgangach, o*quvchilar ushbu qiyinlikdagi mashqlarni bajara olishlari shart:

1. Ikkihad kvadratini ko'phad ko'rinishida yozing:l ) ( o - l ) 2; 2) (2 - o )2; 3) { c - d f -

4) (x + y)1',5)(a + | )2; 6 ) ( 3 - o ) 3.

2. Hisoblang:

1) 972 ; 2J892; 3) 2012; 4) 3022 ; 5)792 +2-79*21 + 212.


1) x 2 - (x - 3)2 = 9; 3) (x + l ) (x + 4) - (x - 2)2 = 9;

2) - x2 + (x - 2)2 = 4; 4) (2x + l ) (x - 3) - (2x - 1)2 = -7.

4. Ifodani soddalashtiring:1) (a - 2)2 +(a + 2)2; 3) (1 - a)2 + (1 + a)2;2) (a + 3)2 - (a - 3)2; 4) (2a + 1)2 - (2a - 1)2.

3 3

Kvadratlar ayirmasi formulasi

Maqsad. 0 ‘quvchiIami kvadratlar ayirmasi formulasi bilan tanishtirish.

0 ‘quvchilar mavzuni o ‘ rgangach, quyidagi bilim va mala- kalarga ega bo‘lishJari kerak.

Bilimlar:— kvadratlar ayirmasi formulasi.Ko ‘nikmalar:— kvadrat ayirmasi formulasini mashqlar bajarishda

qo'llay olish.Metodik tavsiyalar. Kvadratlar ayirmasi formulasi—

a2 -b 1 = (a -b )(a+b ) formula ham qisqa ko‘paytirish formu- lasidir. Uning ko‘phadni ko‘phadga ko‘paytirish qoidasiga asoslangan osongina isboti darslikda berilgan.

a1 - b 2 = (a - b)(a + b) (1) formulani geometrik mulohazayordamida ham chiqarish mumkin. Shu usulni bayon qilaylik.

M a s a l a . Tomonlarining uzunligi a bo‘ lgan ABCD kvadratdan tomonlan uzunligi b bo'lgan yl-EFA^kvadrat qirqib olindi. Qolgan shaklning yuzini toping (9- rasm).

Y e c h i s h . 1) Qolgan shaklning yuzi S, bir tomondan, a2 — b2 ga teng, ikkinchi tomondan, BE = a -b , KD = = a -b , LD = b bo‘lganiuchunSyuzBCLEv a KFLD to‘g‘ ri

9- rasm.

132

to‘rtburchaklaryuzlariningyig‘indisigateng, yaniiS’ = a(a -b ) + + b (a -b ) = (a - b)(a + b). D e m a k , a2-b 2 =(a-b)(a+b). Formula isbotlandi. 2) CL = FL = a - b bo‘lgani uchun KFLD to‘g‘ ri to ‘rtburchakni „qirqib“ , „ko‘chirib“ BCLE to ‘g ‘ ri to‘ rtburchak yoniga CL va FL ustma-ust tushadigan qilib qo‘yish mumkin. U holda BF{ = a + bva,S = (a — b)(a + b) bo‘ladi, ya’ni a2 - b 2 = (a - b)(a + b). Formula isbotlandi.

(1) formulada a\ab istalgan son yoki algebraik ifoda bo‘lishi mumkin.

(1) tenglikning tatbiqlari.

1. Hisoblashlarni soddalashtirish:

1) 189 - 211 = (200 - 1 1)(200 + 11)= 40000 -121 = 39879;

2) 97 • 103 = (100 - 3)(100 + 3) = 10000 - 9 = 9991;

3) 632 - 372 = (63 + 37) • (63 - 37) = 100 • 26 = 2600;

4) 20052 - 19952 - (2005 + 1995)(2005 -1995) =

= 4000•10 = 40000.

2. Ko ‘phadlami ko ‘paytuvchilarga ajratish:1) a2-25 = (a + 5)(a -5 );2) 36 -b2 = ( 6 - b)(6 + b);3) 49a4 - 36b2 = (la 2 - 6b)(la2 + 6b);4) 0,01o6 -0,04fc4 = (0,la3 + 0,2b2)(0,la3 -0,262);5 ) (a -b )2-4 = (a -b -2 ) (a -b + 2);6) (2 a + 3 b)2 - ( a - 5 b)2 =(2a + 3b + a - 5b)(2a + 3 b -

-a + 5b) = (3a-2b)(a + Sb).Mavzu uchun 3 s o a t ajratilgan.Sinfda bajariladi: 386 — 393,400 -401- mashqlar; 394 —

399- mashqlaming toq raqamli misollari.Uyga vazifa: 394 — 399- mashqlarning juft raqamli

misollari.


N° 393. Ko ‘paytirishni (1) formuladan foydalanib bajaring.133

Y e c h i s h . 3) ( lab + x2y3)(7ab- x2y3) = (7ab)2 -

~(x2y3)2 = 9a2b2 - x*y6.Ne 397. Soddalashtiring.

Y e c h i s h . 3)(2x + 3y)(2x-3y) + (2x + 3y)2 =4x2 -

-9 y2 + 4x2 + 12xv + 9 y2 = 8x2 +12 xy.

Ms 398. Ifodaning qiymatini toping:

3)2(k - 7)(k + 5) - ( k - 5)2 - (k -7 ) (k + 7 ),bunda k = \.

Y e c h i s h . Qavslami ochamiz va soddalashtiramiz:

2(k - 7)(k + S ) - ( k - 5)2 - ( k - 7)(k + 7) = 2k2 - 4 k -

-70 - k 2 + 10A: - 25 - A:2 + 49 = 6A: - 46 = 6 • ( - ^ ) - 46 =

= -3 - 46 = -49.J a v o b . —49.

N® 399. Tenglamani yeching: l)(2x + 3)2 - 4 (jc - l ) (x +1) = 49.

Y e c h i s h . Qavslami ochamiz va soddalashtiramiz:4x2 + 12x + 9 - 4x2 + 4 = 49.12x +13 = 49; 12x = 36; x = 3.

Tekshirish.(2 • 3 + 3)2 - 4(3 - 1)(3 + 1) = 81 - 4 - 2 - 4 == 81-32 = 49.

49 = 49.Javob.x = 3.


1. Kvadratlar ayirmasi formulasini chiqaring.2. Kvadratlar ayirmasi formulasining tatbiqlariga doir misollar

tuzing.3. Kvadratlar ayirmasi formulasining geometrik mulohazalarga

asoslangan isbotini bilasizmi? Mos shakl chizing.

Tayanch so‘z va iboralar: kvadratlar ayirmasi formulasi; uning turli isbotlari; tatbiqlari.

134


1. Ko'paytirishni (1) formuladan foydalanib bajaring:1) (a + d)(a - d); 5) (2a - 3b)(2a + 3b);2) (a - 3){a + 3); 6) (3a + 2b)(3a - 2b);3 ) (6 - f l ) (6 + fl); 7) ( i f l - ^ i ) 4 f l + ^6);

4) (7 - o )(o + 7); 8) (0 , l f l- 0,36)(0,lfl + 0,36).

2. Soddalashtiring:

1) (a - 2)2 ~(a + 2)(2 - a); 3) (4a2 + b)2 - (2a - b)(2a + b);2) (a + l )2 - (a + l)(a - 1); 4) (5 + a)(5 - a) + (5 + a)2.

3. Hisoblang:

1) 39 • 41; 2) 71 • 69; 3) 64 ■ 56; 4) 301 ■ 299.

Ko‘phadni ko‘paytuvchilarga ajratishning bir necha Jisuljarini_qpjljas_h_

Maqsad. 0 ‘ quvchilarni ko‘phadni ko'paytuvchilarga ajratish jarayonida bir necha usullami qo‘ llashga o ‘ rgatish.

Mavzuni o ‘ rgangach, o ‘ quvchilar quyidagi bilim va ko‘nikmalaiga ega bo‘lishlari lozim:

Bilimlar:— ko‘phadni ko‘paytuvchilarga ajratishda turli usullardan

birgalikda foydalanish.Ko ‘nikmalar:— mashqlar bajarishda ko‘phadni ko'paytuvchilarga

ajratishning turli usullarini birgalikda qo'llay olish.Metodik tavsiyalar. 0 ‘ quvchilar mashqlarni bajarish

jarayonida shunday xulosaga kelishlariga erishish kerak, ya’ni ko‘phadni ko‘paytuvchilarga ajratish uchun ushbu qoidalarga amal qilish lozim:

1) agar umumiy ko‘paytuvchi bo'lsa, uni qavsdan tashqariga chiqarish;

2) iloji bo ‘Isa, qisqa ko ‘paytirish formulalarini tatbiq qilish;3) guruhlash usulini qo ‘Uashga harakat qilish.

135

Shu qoidalarga mos keluvchi misollar ko‘raylik.1- m i s o 1. 8u3—2a ko‘phadni ko‘paytuvchilarga ajrating.

Y e c h i s h . 8o3 - 2a = 2a(4a2 - 1) = 2a(2a - l)(2a + 1).

Bunda ikkita usuldan biigalikda foydalanildi:1) umumiy ko'paytuvchi qavsdan tashqariga chiqarildi;

2) kvadratlar ayirmasi formulasi qo‘ llanildi.

2- m i s o 1. (9a2 + 1)2 - 36a2 ko‘phadni ko‘paituvchilarga ajrating.

Yechish. (9a2+ 1)2- 36a2= (9a2+ 1 - 6a)(9a2+ l + 6a) =

= (3a - 1)2 • (3a + 1)2, bu yerda biz:

1) kvadratlar ayirmasi formulasidan;

2) yig‘ indi va ayirma kvadratlari formulalaridan foydalandik.

3- m i s o 1.25 a2 — + 10a + 4b ko‘phadni ko‘paytuv-chilaiga ajrating.

Y e c h i s h . 25a2 - 4 b2 +10a + 4b = (25a2 - 4 b2) ++(10u + 4b) = (5a - 2b) • (5a + 2b) + 2(5a + 2b) == (5a + 2b)(5a-2b + 2).

Bu misolni yechishda: 1) guruhlash usulidan; 2) kvadratlar ayirmasi formulasidan foydalanildi.

K o ‘phadni ko‘paytuvchilarga ajratishda qo‘ llaniladigan kublar yig‘ indisi va ayirmasi formulalarining isboti darslikda berilgan.

Mavzu uchun 4 s o a t mo‘ljallangan.Sinfda bajariladi: 402—412; 417 — 419; 422 — 426;

431 -4 4 2 - mashqlar; 4 1 3 -4 1 6 ; 4 2 0 -4 2 1 ; 4 2 7 -4 3 0 - mashqlaming toq raqamli misollari.

Uyga vazifa: 413 — 416; 420 — 421; 427 - 4 3 0 - mashqlaming juft raqamli misollari.

„ IV bobga doir mashqlar" (443 -4 5 1 - mashqlar) mos mavzularda, bobni qaytarishda ishlatiladi.

1.16


N° 416. Ko'paytuvchilarga ajrating.

Y e c h i s h . 3 )-2c2 +Sab-Sb2 =-2{a2-4ab + 4b2) =

= -2(a - 7b)2Ns 417. Ifodaning son qiymatini toping:

3) - 36a3 + 4a2b - ab2, bunda a = 4, b = 48.

Y e c h i s h . Aw al ko‘paytuvchilarga ajratamiz:

-36c3+4 a2b - 1 ab2 = -a(36a2 - 4 ab + ^b2) = -a(6a - b)2

Bu ifodaga a, b ning ko‘ rsatilgan qiymatini qo'yamiz:

-a(6a ~^b)2 = -4 • (6 • 4 - i • 48)2 = -4 • (24 - 16)2 =

= -4 • 82 = -4 • 64 = -256.

J a v o b : —256.

Ne 418. Tenglamani yeching: 3) 4x2 +4x+l = 0.

Y e c h i s h . 4x 2+ 4 x +1 = (2 x + 1 )2 =0; son nolga teng bo‘lsagina uning kvadrati 0 ga teng bo‘ladi. Demak, 2x + 1 = 0,

bundan x =2

T e k s h i r i s h . 4 - ( - ^ ) + 4 - ( - ^ ) + 1 = 1 - 2 +1 = 0;

0 = 0.

Javo b . x = - ^ .

Ne 429. Ifodaning qiymatini toping:

1) (x + 2 )(x2 - 2x + 4) - x (x - 3 )(x + 3 ),bunda x = 2.

Y e c h i s h . (x + 2 )(x2 - 2x + 4) - x (x - 3 )(x + 3) = x 3 + + 8 - x (x2 - 9 ) = x3+ 8 - x 3+9x = 8 + 9- 2 = 8 + 18 = 26.

Javob . 26.

Ns 430. Tenglamani yeching:

3) (2x - l)(4 x2 + 2x +1) - 4x(2x2 - 3) = 23 •137

Y e c h i s h . Chap qismini soddalashtiramiz:

(2x - l)(4x2 + 2x +1) - 4x(2x2 - 3) = 8x3 -1 - 8x3 + 12x= = 12x -1 , demak, 12x— 1 = 23, hundan 12x=24, x = 2.

J a v o b . x = 2 .

N° 438. Ko‘paytuvchilarga ajrating: 5) m5 — m3 + m2 — 1.

Y e c h i s h . m5 -m 3 +m2 -1 = m5(m2 - 1) + m2 -1 =

= (m2 - 1 )(m3 +1) = (m +1 )(m -1 )(m + l)(m2 - m +1) == (m - l)(m + l )2(m2 - m + 1).

N® 440. /; istalgan butun son bo ‘ lganda (In — 2 )2 ——(2/i—7)2 ifodaning qiymati 5 ga; 9 ga bo'linishini isbot qiling.

Y e c h i s h . ( 7 « - 2 )2 — (2/2 — 7)2 = 49n2 - 28n + 4 - 4n2 ++ 28n - 49. = 45n2 - 45 = 45 («2 -1 ) = 5 • 9(n2 - 1), demak, berilgan iloda n ning istalgan butun qiymatida 5 ga va 9 ga bo'linadi.


1. Ko'phadni ko'paytuvchilarga ajratishning qanday usullarini bilasiz? Misollar keltiring.

2. Umumiy ko'paytuvchini qavsdan tashqariga chiqarish va kvadratlar ayirmasi formulasini qo'llab, ko‘phadni ko‘paytuvchilarga ajratishga doir 2 — 3 ta misol tuzing.

3. Kvadratlar ayirmasi formulasidan foydalanib, ko‘phadni ko‘paytuvchilarga ajratishga doir 2 — 3 ta misol toping.

4. Guruhlash usuli va kvadratlar ayirmasi formulasini qo‘IIab, ko‘p- hadni ko'paytuvchilarga ajratishga doir 2 — 3 ta misol keltiring.

Tayanch so‘z va iboralar: ko‘phadni ko‘paytuvchilarga ajratish; bir nechta usulni qo‘llash; kublar yig‘ indisi; kublar ayirmasi.

Mavzuni o‘rgangach, o‘quvchilar ushbu qiyinlikdagi misollarni bajara olishlari shart:

1. Ko ‘paytuvchilarga ajrating:

l)9a2 -16; 2)a2b2 - 4; 3)16o2 - 25b2;4) 36o2 -49b2; 5)(1 + a)2 - b 2; 6)(a + b)2 - c 2;

138

7X3a - 2b)2 - 4c2; 8X2a + b)2 - (a - 2b)2; 9)4a2 + 4a +1;10)a2 - 4a + 4; ll)9a2 + 12ab + 4b2; 12)a2- \Qab+25b2.

2. Ko ‘paytuvchilarga ajrating.

1) 5(3 + fl) + (3 + o)2; 5)3x2+3 xy + x + y;2 ) 7(a -1 ) + (o - 1)2; 6)18a2 - 9o6 +14ac - Ibc;3) ( o - 4 ) 2- ( 4 - f l ) ; l)4a2 - b 2 - 2a-b;4) 6(a + b)2 ~(a + b)(a -b ); 8)a2-9b2 + a + 3b.

3. Hisoblang:

2)412 + 82 • 59 + 592; 4)(852 - 552) : (692 - 392).

QOBILIYAHI 0‘QUVCHILAR UCHUN MASHQLAR


1) 12a3b - \8a2b2 - 36aAb* + 42a2b;2) 15a V - 9a3b2 + 12a2b3 - 21 ab;3) 28x5yA - 21;c4y 3 + 14x3y 2 - 35x2y 2;

4 ) 81 a6bs + 72asb* - 63aAtf - 54a'b2 + 45a2b.2. Umumiy ko‘paytuvchini qavsdan tashqariga chiqaring:

1) (5a - 4ft)(3x - 2y) + (3b - a)(3x - 2y);2) (6a - 7b)(4x - 3y) - (4a - 5b)(4x - 3y);3) (8a - 5x)(3c - 4d) - (6a - 7x)(3c - 4d);4) (7a-5b)(5c+3d) - (6 a -7b)(5c + 3d) +(3a-2b)(5c+3d).

3. Ko‘paytuvchilaiga ajrating:

1) 18aAb*c2 - 24a?b4c + 12a2b2c2 - 16atfc;2) ax3 + bx3 + bx2 + ax2 + ax + bx + a + b;3) 15a2b3 - 6ab2cd - 15abc2d + 6c3d2;4) x3 + ax2 + abx + bx2 + bcx + acx + cx2 + abc.

l i d

4. Qisqa ko‘paytirish formulalaridan foydalanib, ko‘paytuvchilaiga ajrating:

1) 49o4 -81fc4;

2) 27o6 -8ft6;

3) 8o3 - 60<a2Z? +150ab2 - 125Z?3;

4) 27x3 -27x2y + 9xy2- y 3-,5) 125oV -2 1 6 ^ y 3;

6) 64a6x 9 + 3436V ;7) (2a-3b)(4a2-c 2)- (2 a - c)(4a2 -9 b2);8) (4o - 5d)2 - 25d2\9) (2a + 5b)2 - 9(2b - a)2;10) 24o4 +3ab3\11) 49a*b-64b5;12) 25 - (a2 + 10o)2.

5. 10- rasmdagi halqaning yuzini hisoblash uchun ifoda tuzing va uni ko‘paytuvchilaiga ajrating. Rasmdagi tashqi doiraning radiusi R ga, ichki doiraning radiusi esa r ga teng.

6. Kvadrat 11- rasmdagidek qilib qismlarga ajratilgan. Har bir qismning yuzini toping, so‘ngra berilgan kvadratning

10- rasm. 11- rasm.

yuzi bu qismlar yuzlarining yig'indisi ekanidan (a + b + c)2 = = a2 +b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc tenglikning to ‘g‘riligiga ishonch hosil qiling.

7. xvay ning ixtiyoriy qiymatlari uchun quyidagi tengliklaming to‘g ‘riligini isbotlang:

1) 2x + 3y)(4x2 - 9y2) = (2x - 3y)(2x + 3y)2;

2) (5x - 2y)(5x + 2y)(25x2 + 4y2) = 625x4 -1 6 / .

8. Ko'phadni ko‘paytuvchilarga ajrating:

\)mn-kn-m2+2mk-k2\2) a2-2 a + l-d 2-2 cd -c2;3) a3+7a2+4a-12;4) x 3 - 4x2 - 17x+60;

5) /4 - 4/3 +12/2 + 64t - 64;

6) a* +a2b2 +b*;7) 2x2 -2 1 x y -l 1 y2 -x + 3 4 y -3 ;

8) 2x2-10xy+x+15y-6 ;

9) (a+b+c)3 - o 3 - b3 - c 3;

10) (x + y + z f - ( x + y - z ) 3- (x -y + z ? ~ (y+Z~x)3;11) ab(a -b)+bc(b -c)+ca(c -a );12) 4x2y 2 • (2x+ y)+ 4 x 2/ (z - y) - 4x2 z2 • (2 x+ z) ■

9. Ko ‘paytuvchilarga ajrating:

1) (x 2- l ) 2 —(x 2 +2)2; 3 ) (3 x - l )2- (5 -2 x )2;

2 ) (5+x2)2- (7 + x 2)2; 4 ) (7+5x)2- (3 x -2 )2.


1) (3x - 1)2 - (3x - 2)2 = 0;

2) (y - 2)(y + 3) - (y - 2)2 = 5. Javob: y =3;

3) (x + 3)(x + 7 ) - ( x + 4)2 =0;

17. 1) Tarkibida 15% tuz bo‘lgan 80 gramm eritmaga necha gramm suv qo‘shilsa, 12 % li eritmani olish mumkin? J a v o b : 20g.

2) 200 gramm suvga tarkibida 25 % tuz bo'lgan eritmadan necha gramm quyilsa, 5 % li eritma hosil bo'ladi?J a v o b : 50 g.

18. 1) Tarkibida 6 % tuz bo‘lgan 80 gramm eritmadan necha gramm suvni bug‘ latilsa, 10 % li eritmani hosil qilish mumkin?J a v o b : 32 g.2) 30 gramm 15 % li kislota eritmasiga 75 % li kislota eritmasidan necha gramm qo‘shilsa, 50 % li eritma hosil bo‘ladi?J a v o b : 42 g.

19. Birining tarkibida 35 % kumush, ikkinchisining tarkibida 65 % kumush bo‘lgan ikkita qotishma eritilib, massasi 200 gramm va tarkibida 47 % kumush bo‘ lgan qotishma hosil qilindi. Birinchi va ikkinchi qotishmalaming massasi necha gramm?J a v o b : 120 g, 80 g.

20. Investitsiya jamg‘armasi ikkita firmaga pul o'tkazdi, bu pullardan jamg‘armaga birinchi firma bir yilda 12 %, ikkinchi firma esa 15 % foyda berishi kerak. Jamg‘arma birinchi firmaga ikkinchisiga qaraganda 300 ming so‘m ko‘p pul o ‘tkazgan, shuning uchun ham undan bir yilda ikkinchi firmaga qaraganda 6 ming so‘m ko‘p foyda oladi. Investitsiya jamg‘armasi har bir firmaga necha so‘mdan o ‘tkazgan?J a v o b : 1 300 000 so‘m; 1000 000 so‘m.

21. Kitob qo‘lyozmasini muddatida topshirish uchun Dinora bir kunda qo‘lyozmaning 20 betini kompyuterda terishi kerak. Ammo u har kuni 2 bet ortiq terdi va oxirgi kunga kelganda qo‘lyozmadan 6 betinigina terish qoldi. Qo‘Iyozma necha betli?J a v o b : 880 bet.

143

7X3a - 2b)2 - 4c2; 8X2a + b)2 - (a - 2b)2; 9)4a2 + 4a +1;10)a2 - 4a + 4; ll)9a2 + 12ab + 4b2; 12)a2- \Qab+25b2.

2. Ko ‘paytuvchilarga ajrating.

1) 5(3 + fl) + (3 + o)2; 5)3x2+3 xy + x + y;2 ) 7(a -1 ) + (o - 1)2; 6)18a2 - 9o6 +14ac - Ibc;3) ( o - 4 ) 2- ( 4 - f l ) ; l)4a2 - b 2 - 2a-b;4) 6(a + b)2 ~(a + b)(a -b ); 8)a2-9b2 + a + 3b.

3. Hisoblang:

2)412 + 82 • 59 + 592; 4)(852 - 552) : (692 - 392).

QOBILIYAHI 0 ‘QUVCHILAR UCHUN MASHQLAR


1) 12a3b - \8a2b2 - 36aAb* + 42a2b;2) 15a V - 9a3b2 + 12a2b3 - 21 ab;3) 28x5yA - 21;c4y 3 + 14x3y 2 - 35x2y 2;

4 ) 81 a6bs + 72asb* - 63aAtf - 54a'b2 + 45a2b.2. Umumiy ko‘paytuvchini qavsdan tashqariga chiqaring:

1) (5a - 4ft)(3x - 2y) + (3b - a)(3x - 2y);2) (6a - 7b)(4x - 3y) - (4a - 5b)(4x - 3y);3) (8a - 5x)(3c - 4d) - (6a - 7x)(3c - 4d);4) (7a-5b)(5c+3d) - (6 a -7b)(5c + 3d) +(3a-2b)(5c+3d).

3. Ko‘paytuvchilaiga ajrating:

1) 18aAb*c2 - 24a?b4c + 12a2b2c2 - 16atfc;2) ax3 + bx3 + bx2 + ax2 + ax + bx + a + b;3) 15a2b3 - 6ab2cd - 15abc2d + 6c3d2;4) x3 + ax2 + abx + bx2 + bcx + acx + cx2 + abc.

i.v>

5. Ko'paytuvchilaiga ajrating: (27o3 — 86*) — 26(9o2 — 4tP).J a v o b 1 a r: 1.1) 4a2( l + 2a); 2) (x - y)(a + 6). 2. (3a -

-b )(5a-2 ) ; 3. x = l. 4 . - 4 a - 2 0 ; 4.5. 9a2 • (3a- 2b).

2- variant

1. Umimiy ko'paytuvchini qavsdan tashqariga chiqarib, ko'paytuvchilarga ajrating:

1)5£2+10£3; 2) a(m + ri) + d(m + ri).2. K o ‘paytuvchilargaajrating:2c-2a-3b)-3-(3b-2 a).

3. Tenglamani yeching: (4x - 3)2 - (2 x+ 5)(2x -1 ) = -6.4. Ifodani awal soddalashtiring, keyin a = 6 bo‘lgandagi

son qiymatini toping: (2a — 5)2 +15a - (2a + 3)(2a - 3).5. K o ‘paytuvchilarga ajrating:(8o3 + 27 >3) + 3b ■ (4o2 - 9b2)J a v o b l a r : 1. \) 5b2(l + 2b); 2) (m + ri)(a + d).

2. (2a - 3b)(2c + 3). 3. x = l. 4 .-5 a + 34; 4. 5. 4a2 x x(2a + 3b).

3- variant

1. Umumiy ko‘paytuvchini qavsdan tashqariga chiqarib, ko'paytuvchilarga ajrating:

1) 3c2 + 6c3; 2) a(c - d ) - b(c - d).2. Ko'paytuvchilarga ajrating: 3a (b + 2c) + 4b + 8c.

3. Tenglamani yeching: (2 x -5 )2 - (4 x + 3 )(x -2 ) = 1.

4. Ifodani awal soddalashtiring, keyin b = — 6 bo‘lgandagi son qiymatini toping: (3b + 5)2 - 9 b - (3b - 4)(3b + 4).

5. Ko‘paytuvchilarga ajrating:(64a3 -27b3)-3b(l6a2 -9 b2).J a v o b l a r : l . l )3 c 2(l+2 )c ; 2 )(c -d )(a -b ). 2.(b ++2c)(3a + 4). 3. x = 2. 4. 66 + 41: 5. 5. 16a2- (4a- -36 ).

10 — 7- sinfda „A]gebra“

4- variant

1. Umumiy ko‘paytuvchini qavsdan tashqariga chiqarib, ko‘paytuvchilaiga ajrating:

1) 4d2 + Sd3; 2) c(x - a ) - d(x - a).2. K o ‘paytuvchilaiga ajrating: 7a(3x - 5y) -6 x + lOy.

3. Tenglamani yeching: (3x - 1)2 - (9x - 4 )(x -1 ) = 11.

4. Ifodani awal soddalashtiring, keyin c = — 3 bo‘lgandagi son qiymatini toping: (4c - l)(4c +1) + 30c - (4c + 5)2.

5. Ko ‘paytuvchilaiga ajrating:

(27o3 +64b3) + 4b(9a2 - I6b2)J a v o b l a r : l.l)4 d 2(l + 2d); 2)(x - a)(c - d). 2 .(3 x -

- 5y)(7a - 2). 3 jc = 2; 4 . - lOc - 26; 4. 5. 9a2 (3a+4b).

V BOBl T Er i

i j1 T

- iI ! 11

i- i--- 1 ■

ALGEBRAIK KASR_ i . —

• " i l x L i :111

Bu bobda algebraik kasr tushunchasi kiritiladi. Algebraik kasriami qisqartirish, umumiy maxrajga keltirish, qo'shish va ayirish, ko‘paytirish va bo'lish o ‘ rganiladi. Algebraik kasrlar ustida birgalikda bajariladigan amallar qaraladi. Kasming asosiy xossasi, oddiy kasrlar bo‘ysunadigan qonunlar algebraik kasrlar uchun ham o‘rinlidir. Bob beshta paragrafdan iborat, unga rasmiy dastur loyihasida 30 soat ajratilgan. Tajriba shuni ko‘ rsatadiki, algebraik kasrlaiga doir mavzulami 25—26 soatda o‘tish mumkin. Algebraik kasrlaiga oid mashqlami bajarishda ko‘phadIami ko‘paytuvchilaiga ajratish (IV bob)usullari yordam beradi.

Algebraik kasr. Kasrlarni qisqartirish

Maqsad. 0 ‘quvchilami algebraik kasr tushunchasi bilan tanishtirish; algebraik kasrlami qisqartirishga o ‘ rgatish.

Mavzuni o ‘ rgangach, o ‘quvchilar quyidagi bilim va ko‘nikmalaiga ega bo‘lishlari kerak:

Bilimlar:— algebraik kasr;— algebraik kasrlami qisqartirish.Ko ‘nikmalar:— algebraik kasrlami qisqartira olish.Metodik tavsiyalar. Algebraik kasr tushunchasiga olib

keluvchi fizik mazmundagi masala (darslikdagi 1- masala) izohlab yechib ko'rsatilgan.

1- masalaning javobia + ba -b

algebraik kasrga misol bo‘la

oladi. Uning surat va maxrajida algebraik ifodalar turibdi;Surat va maxraji algebraik ifodalar bo‘lgan kasr algebraik

kasr deyiladi.5a 6 a-4b (a+b)c I b ' x+3y' 2c ’ (a -b )d ifodalar ham algebraik kasrlardir.

147

Algebraik kasming surat va maxrajidagi harflar turli son qiymatlarini qabul qilishi mumkin, bunda kasr maxrajini nolga aylantiradigan qiymatlar qabul qilinmaydi, deb faraz qilinadi. Xususan, yuqoridagi misoUarda b * 0, c * 0, a*b, d*Q, x 3y bo'lishi kerak.

y = t t tenglik kasming asosiy xossasini ifodalaydi, bunda o kb

b ^ 0, k Ô.

Bu xossa berilgan kasming surat va maxraji bir xil algebraik ifodaga ko‘paytirilsa yoki bo‘linsa, unga teng kasr hosil bo‘ lishini bildiradi. Kasming asosiy xossasidan foydalanib, uning surat va maxrajiga kiruvchi umumiy ko'paytuvchiga qisqartirish mumkin. Misollar ko‘raylik:

i 18a b2 i1 .------kasmi qisqartmng.

Y e c h i s h. 18c3f>2 9ab2 -2a2 2a2 27ab3 9ab2 -3b 3b '

2.4o2 — 9b2

kasmi qisqartiring.8a +12 ab

Y e c h i s h . . ^ m a - n K 2 ^ _%a2+\2ab 4a(2a+3b) 4 a

3.7a2(3b-c)a\c-3b)

kasmi qisqartiring.

Y e c h i s h . ( ^ - 0 - 7^ (3t-c ) „ 7a 3( c -3Z>) - a 3 -(3 b-c) ~a a

0 ‘quvchilar e’tiborini shunga qaratish kerakki, aralash3 3 3

sonning, masalan, 4 - yozuvida bu 4 j = 4 + j ekanini bil-

A adiradi. Ammo algebraik kasr 4— ko‘rinishda yozilib qolsa, unib

-r- (yoki 4 y ) deb tushunish lozim. Iloji bo‘ lsa, 4 koeffitsi- b byentni kasr chizig‘i oldiga emas, balki suratga yozgan ma’qul.

148

Mavzuuchun 4 soat mo'ljaUangan.Sinfda bajariladi: 452—467, 476- mashqlar, 468-475-

mashqlaming toq raqamli misollari.Uyga vazifa: 468—475- mashqlaming jufl raqamli misollari.


JV° 471. Kasmi qisqartiring.

Y e c h i s h . 5) b A n - c 4 n n(b4-c 4) n(b2-c 2)(b2 +cJ)1

n(b2+c2) ’Ms 472. Kasmi qisqartiring:

Y e c h i s h . 3)

30x2-l2xy bx(5x-2y) 5x-2y ■

qisqartiring.

3a -6o6+362 _ 3(a2 -2ab+la )

6a2 -66 2

3 (a -b )2 a -b6 (a -b )(a+b ) 2(a+b) ‘

qisqartiring.2 2

4x -4xy+y (2 x - y )22 . 2 y -4 x

(y -2 x ) (y+2x)

(y- 2x)2 _ y -2 x(y -2 x ) (y+2x) y+2x '

JNs 476. Kasmi qisqartiring.v . . . 3a4 +c2A2 -(xPb -lb* _ (3a4 -6e^b)+(a2b2 -2&3) _

CC 1S " 9a5-ab4-\%a*b+2b* (9as-18a4b)-(ab4 - I b 5)

_ t f t f - l f y + P t f - l b ) _ (o2-2 i)(3a2+*2) _ 9a4(a -2b )-b4(a-2b) (a-2b) (9a4 - b4)

(a2-2b)(3a2+b2) _ a2-2b(a-2b)(3a2+b2)(3a2-b 2) (a-2b)(3a’2- b 2) '

14«)


1. Algebraik kasr tushunchasiga olib keluvchi 2—3 ta masala tuzing.2. Algebraik kasr nima? MisoIIar keltiring.3. Kasming asosiy xossasini ayting, yozing, misollarda tushuntiring.4. Algebraik kasmi qisqartirish deganda nimani tushunasiz? Misollar

keltiring.5. Kasmi qisqartirish qanday xossaga asoslangan?

6.

7.

yozuvlarning bir-biridan farqi nimada? Bu ifoda-lami qanday tushunish kerak?Algebraik kasrdagi harflar qanday son qiymatlar qabul qilishi mumkin?

Tayanch so‘z va iboralar: algebraik kasr; kasrning asosiy xossasi; kasmi qisqartirish.


Kasrlami qisqartiring:

9 crb1) 3 ab2CV 4 ( a + b p _ ,

1 8(a+b) '

9)

13)

17)

a2-b 2 . a-b ' a2-\

(a -l )2 '

14o+21£>2a+3b

2)

6)

10)

14)

18)

a2b ’3(b-a ) .2(a -b ) '

4a2-9b2 2a+3b

o3- 6 3

a-b ’

3 y -15 y2- 25 ’

3)

7)

11)

15)

15o 462 .

5a2b2 ’ 16o

4o+46’ o+3 a^-9 ’ o3+63 . a+b

4)

8)

i q\ 2 (o + 6 ) .

a2-b 2 '

12)

16)

20)

2 5 o W 10 a2b2c

a+2ab b+2b2 '

o+lo2+ 2 o+ 1 ’

o2-4o+4 o-2 ’

a2-2ab ab-2b2 '

Kasrlami umumiy maxrajga keltirish

Maqsad. 0 ‘quvchilami algebraik kasrlami umumiy maxrajga keltirish tushunchasi bilan tanishtirish.

Mavzuni o ‘rgangach, o ‘quvchilar quyidagi bilim va ko‘nikmalaiga ega bo‘lishlari Iozim:

Bilimlar:150

— algebraik kasrlami umumiy maxrajga keltirish.Ko ‘nikmalar:— kasrlami umumiy maxrajga keltirish mashqlarini bajara

olish.Metodik tavsiyalar. Oddiy kasrlami qo‘shish va ayirishga

doir bir necha misollami o ‘z o ‘quvchilaringizga tavsiya etasiz. Umumiy maxraj nima, u qanday topiladi, qo ‘ shimcha ko‘paytuvchi nima, degan savollarga o ‘quvchiIardan javob olasiz, ulami izohlab shunday xulosa chiqarasiz: algebraik kasrlami qo‘shish va ayirishda ham oddiy kasrlarda bo‘lgani kabi almashtirishlami bajarishga to‘g ri keladi, bu almash- tirishlar ham kasrlarni umumiy maxrajga keltirish deyiladi. Kasrlami umumiy maxrajga keltirishga doir ikkita masala darslikda batafsil tushuntirilgan. Masalalarning yechilish jarayonini o ‘quvchilar bilan birgalikda tahlil qilasiz va shunday xulosa chiqarasiz.

Kasrlami umumiy maxrajga keltirish uchun:— berilgan kasrlaming umumiy maxraji topiladi;— har bir kasr uchun qo ‘shimcha ko ‘paytuvchi topiladi;— har bir kasrning surati unga mos qo ‘shimcha ko ‘pay-

tuvchiga ko ‘paytiriladi.— har bir kasrni (yangi) topilgan surat va umumiy maxraj

bilan yoziladi.Eslatib o‘tamizki, umumiy maxrajni har bir kasrning

maxrajiga bo‘lib, shu kasming (shu kasrga mos) qo‘shimcha ko‘paytuvchisi topiladi.

Bitta misol ko‘raylik:4c 3 d 2 k

M i s o l . 5fl3^2» 10fl2 3 > X$ab kasrlamiumumiymaxrajga

keltiring.Y e c h i s h . Berilgan kasrlaming umumiy maxraji har

bir kasming maxrajiga bo‘linishi kerak.1) E K U K (5, 10, 15) = 30 ekani ravshan.2) Umumiy maxrajda maxrajlardagi hamma harflar

o‘zlarining eng katta daraja ko‘ rsatkichlari bilan qatnashadi. U holda, berilgan kasrlarning umumiy maxraji 30a3b* ga teng.

151

3) Birinchi kasr uchun q o ‘ shimcha ko'paytuvchi 30a3b3:5a3b2=6b ga; ikkinchi kasruchun 30 a3b3 :\0a2b3=3a ga; uchinchi kasr uchun esa 30a b3: 15ab = 2a2& ga teng.

4) Har bir kasming surat va maxrajini o‘zining qo‘shimcha ko‘paytuvchisiga ko‘paytiramiz:

4c-6b _ 24bc 3d-3a _ 9ad m 2k-2a2b2 _ 4a2b2k5a3b2 ■ 6b ~ 30a3b3' i0a2b3 • 3a ~ 30a3b3 ’ 15ab • la2b2 ~ 30a3b3 '

Demak, umumiy maxrajga keltirilgandan so‘ng berilgan dastlabki uchta kasr mos ravishda quyidagilarga teng bo‘ladi:

24bc . 9ad . 4a2b2k 30a3b3 ’ 30a3b3’ 30a3b3 '

Tabiiyki, bu kasrlami qisqartirsak, yana (aw alg i) berilgan kasrlami hosil qilamiz.

Mavzu uchun 4 s o a t ajratilgan.Sinfda bajariladi: 477—481-mashqlar; 482—484; 528-

mashqlaming toq raqamli misollari.Uyga vazifa: 482—484, 528- mashqlaming juft raqamli

misollari.


Kasrlami umumiy maxrajga keltiring:

i i 2JNs 483. 3 )^ - , va

71-a l+a l - aY e c h i s h . 1 — a2 = (1—a)(l+a) bo‘ lgani uchun umu-

miy maxraj 1—a2 ekani ravshan. U holda qo ‘ shimcha ko‘paytimvchi: birinchi kasruchun 1 +a\ ikkinchi kasruchun 1—a; uchunchi kasr uchun esa 1 ga teng bo‘ladi. Demak, berilgan kasrlar umumiy maxrajga keltirilgach ushbu ko‘rinishni oladi:

1+a 2a(l-a) a2----- v a —1-a2 l-a2 l-a

No 484. 3) 1 1va

1a2-4b2> 3a2 + 6ab 2ab-a2'

152

Y e c h i s h . a2-Ab2= (a -2 b )(a + 2b)\

3a2 + 6ab= 3a (a+2b), 2ab - a2 = - ( a 2 - 2ab) = -a(a - 2b). U holda

l 1 1 _ 1________1<72-4b* (a-2b)(a+2b) ’ 3a2 +6ab 3a(a+2b) ’ 2ab-a2

= a(a-2b) ’ êma > umumiy maxraj: 3a(a—2b)(a+2b) bo'ladi.

Berilgan kasrlar uchun qo'shimcha ko'paytuvchilar, mos ravishda 3a\ a — 2b\ 3(a+2b) dan iborat. Shunday qilib, kasrlar ushbu ko‘rinishni oladi:

3 a a-2b -3(a+2b)3a(a-2b)(a-2b) ’ 3a(a-2b)(a+2b) 3a(a-2b)(a+2b) •


1. EKUK (m, n) nima? Umumiy maxraj nima? MisoIIarda tushuntiring.

2. Kasrning qo'shimcha ko'paytuvchisi nima? Misollarda tushuntiring.

3. Kasrni umumiy maxrajga keltirish jarayonini misollarda tushuntirib bering.

4. Kasriardan birortasining maxraji umumiy maxraj bo'lib qolishi mumkinmi? Misol tuzing.

5. Umumiy maxraj berilgan barcha kasriar maxrajlarining ko'paytmasi bo'lib qolishi mumkinmi? Misol keltiring.

6. Umumiy maxrajda berilgan kasriar maxrajlaridagi harflar qanday darajada qatnashadi? Misolda izohlang.

Tayanch so‘z va iboralar: umumiy: maxraj; kasrning qo‘shimcha ko'paytuvchisi; umumiy maxrajga keltirish.

H Mavzuni o‘rgangach, o‘quvchilar ushbu qiyinlikdagi mashqlami bajara olishlari shart:

Kasrlami umumiy maxrajga keltiring:

l ) | v a j ; 2) j v a i ; 3 ) i i v a j ; 4) i v a l ;

153

5 )T5va55; 6 ) f vai ; 7 ) ^ va^ ; 8 )? vapr;

9 ) W m W ’ 10 )0 v a ^ ; U )i 't\\ 4b c i q\ 3c 4d12) — r va 13) - va

o-l a 2o+2fci c\ 3o 2b i \ 5a15) — rVa-T— T; 16)-----

a-b J - b 2 1 (a-b)

4a+4b’ 4by va —r

'■* o-A

3 o4(o-A)

1 *

5b2(o-fc)*

a *--- - va —x---ya+b a2-b 2

. |«t\ 5* 3c „„ 7d ’ ^ T Io 5"’^ a 36o3*2

, 0\ o 2o Jo18) r— , r— va — T.7 I-fl l+a 1 - a 2

^gebraik kasrlarni_qojshish_ va ayirish

3 o

Maqsad. 0 ‘quvchilami algebraik kasrlami qo‘shish va ayirish bilan tanishtirish.

0 ‘quvchilar mavzuni o'rgangach, ushbu bilim va ko‘nikmalarga ega bo‘ lishlari lozim:

Bilimlar:—algebraik kasrlami qo‘shish va ayirish.Ko ‘nikmalar:—algebraik kasrlami qo‘shish va ayirishga doir mashqlami

bajara olish.Metodik tavsiyalar. Darsni bahs-munozara shaklida

o ‘tkazish mumkin. Bir xil maxrajli kasrlami qo‘shish va ayirish qoidalari yodga olinadi, mos formulalar yoziladi, misollar yechiladi. So‘ngra har xil maxrajli kasrlami qo‘shish va ayirish qoidalari aytiladi

Har xil maxrajli kasrlarni qo ‘shish va ayirish uchun bu kasrlami umumiy maxrajga keltirish va birxil maxrajli kasrlami qo ‘shish yoki ayirish qoidasidan foydalanish kerak.

Bu qoidaning tatbiqiga oid misollar yechiladi, ular asosida shunday tavsiya beriladi.

Har xil maxrajli kasrlarni qo ‘shish va ayirish uchun:—berilgan kasrlaming umumiy maxraji topiladi;—kasrlarni umumiy maxrajga keltiriladi;—hosil bolgan birxil maxrajli kasrlar qo‘shiladi (ayiriladi);—natija (javob), mumkin bo ‘,Isa, soddalashtiriladi.

154

Algebraik kasrlami qo‘shish va ayirishga doir 6 ta masala darslik matnida tushuntirib, yechib berilgan.

Mavzu uchun 5 soat ajratilgan.Sinfda bajariladi: 485—491; 500-504- mashqlar; 492—

499; 529-530- mashqlaming toq raqamli misollari.Uyga vazifa: 492—499, 529-530- mashqlarning juft

raqamli misollari.


Algebraik kasrlami qo‘shing va ayiring:

x r i n n 2fl 10 2fl 109 ’ ^ 25-lOo+fl2 a2-25 “ (fl-5)2 + (fl-5)(fl+5)"

2fl(fl+5)+10(fl-5) 2fl2+10fl+10fl-50 2fl2+2Qg-50 (fl-5)2(fl+5) (o-5)2 (a+5) (a-5)2(fl+5)

Ns 502. 3) 6 o 3a+l 3c—19a2- l 3-9a 6a+2

6a(3a-l)(3a+l)

3a+l 3a-l _ 36a+2(3a+l)2 +3(3a-l)2 3(3o-l) 2(3o+l) 6(3a-l)(3o+l)

36a+18a2+12a+2+27a2 -18a+3 _ 45fl2+30a+5 6(3a-I)(3a+l) 6(3fl-l)(3a+l)

5(9o2+6a+l) _ 5(3a+l)2 _5(3a+l)6(3a-l)(3a+l) 6(3a-l)(3a+l) 6 (3a-l)'

Ns 503. 3) a+ba2- ab+b2

1 _ (a+b)2 - ( a2 -ab+b2)a+b a3+A3

_fl2+2af»+62-a2+flfc-A2 _ 3aba3+63 a3+b3'

Na 504. Ifodani soddalashtiring, so‘ngra son qiymatini toping:

l)8 a a+1

~1 T+ —1 :a -1 a +c+l, bunda a = 2.

f l r *Algebraik kasriarni ko‘paytirish va bo‘lish

Maqsad. 0 ‘quvchilami algebraik kasrlami ko‘paytirish va bo'lish bilan tanishtirish.

Mavzuni o'rgangach, o'quvchilar ushbu bilim va ko‘nikmalaiga ega bo'lishlari lozim:

Bilimlar.—algebraik kasrlami ko‘paytirish va bo‘lish.Ko ‘hikmalar.—algebraik kasrlarni ko'paytirish va bo‘ lishga doir

mashqlami bajara olish.Metodik tavsiyalar. Oddiy kasrlami ko‘paytirish va bo‘lish

qoidalari eslanadi, ulaming 5- sinfda o'tilgan umumiy holda yozilishi yodga solinadi:

a c ac a c _ a d~b ~d bd' b :d~~bc'

Bu formulalardagi harflar o'mida turli algebraik ifodalar turishi mumkin.

Algebraik kasrlami ko‘paytirish va bo ‘lish ham shu formulalar bo‘yicha bajariladi. Darslikda kasrlarni ko‘paytirish, bo‘ lishga doir 3 ta masala tushuntirib, ishlab ko‘ r- satilgan. Siz ularni o ‘quvchilaringiz bilan birga tahlil qilasiz.

Algebraik kasmi darajaga ko‘tarishda ushbu

formuladan foydalaniladi. Misollar ko'raylik.bn

1- m i s o 1. Kasrlami ko‘paytiring:1 9 o V

3ab' J6c2va 8 c3

1 5 o V '

Yechish.3 ab

9 a2b3 16 c2

8c3 = 1-9q263-8c3

15 a V 3oM 6 c2 15c463

c

10a36 '

. . f 2a~3b i/o 9b2+6ab ,2- m i s o l . 4?+6a6 (2a-3b)2 kasrlami ko‘paytiring

157

Y e c h i s h 2 a ~ 3 b 91,2+6ab - U-a-lb)-3b(3b+2a) _' 4a2 +6ab' (2a~3b)2 2a(2a+3b)(2a-3b)2_ 3 b

2a(2a-3b) ' 1

3- m i s o 1. Kasrlami darajaga ko‘taring:

Y e c h i s h . ( 3a}2 _ 9 a2 . f ( ^ ) 2l3- (a - b )6W ) 16 b* ’ l 2a J 8 a3

Mavzu uchun 5 s o a t ajratilgan.Sinfda bajariladi: 505—509; 531-532- mashqlar; 510—

517- mashqlaming toq raqamli misollari.Uyga vazifa: 510-517- mashqlaming juft raqamli misollari.


Amallami bajaring:

NTn Ti ° 2-b 2 ,a + b _a 2-b 2 3b _ (a -b )(a + b ) 3b_a -b’ 9b2 ' ~36 9b2 a+b 9b2 (a+b) 3T '

Nb 516.5) f ' hl ■ 4 4 - -x3+x2y a*-bA x2 (x+y)(ti2 -b 2 )(o2 +£2)

x-yx2(a2-b 2) ‘

a2 -49 a+b _ (a -l )(a + l)(a +b ) _ a+7Ns 517. 3) ai +2at+b2 ~a 7 (a+b)2 (a -7 ) a+b '

N° 531 1) fia-&b _ (a -b )2 (a+b)(a2-ab+b2) _a2-ab+b2 a3+b3 (a2 -ab+b2 )■ 8 • (a -b )

_ a2-b 2 8

©2.3.4.


Kasmi kasrga ko'paytirish qanday bajariladi? Misollar keltiring. Kasmi kasiga bo‘lish qanday bajarilishini misollarda tushunfiring. Kasmi darajaga ko'tarishda qaysi formuladan foydalaniladi? Kasrlarni ko'paytirish va bo‘lishga doir 4—5 ta misol tuzing va ulami yeching.

158

Tayanch so‘z va iboralar: kasrlami ko‘paytirish; kasrlami bo‘lish; kasmi darajaga ko‘tarish.


Amallami bajaring:

n 4o£2 18c2d o f 863 . f a \ 2 „ , 7 a3 16b

5) 8 ^ : 4 ^ . 6 )1 0 ^ : ^ . 7 ) 2 ( k !i : l M ;9c2 ' 3 c3 ’ ~' l l c d ' 22c2d

8) 5 ^ - 1 5 cd; 9) 3“ fl3 ab a+b 3-b ; 10)

7) 20a2b :

a+3 5o-3’ a-3’

10 ab 9 cd ’

11) 5 « 3fc2o2-4

12) 3o . 9o2fl^-62 0+6’

Algebraik kasrlar ustida birgalikda M arJadjgan amallar _

Maqsad. 0 ‘quvchilami algebraik kasrlarustida to‘rt amalga doir mashqlami bajarishga o ‘rgatish.

Mavzuni o'rganish natijasida o ‘quvchilar ushbu bilim va ko‘nikmalaiga ega bo‘lishlari lozim.

Bilimlar:— algebraik kasrlar ustida birgalikda bajariladigan amallar

(to‘rt amal)ga doir mashqlami yechish usullarini bilish.Ko ‘nikmalar.— algebraik kasrlar ustida to‘rt amalga doir mashqlami

bajara olish.Metodik tavsiyalar. Natural sonlar, oddiy kasrlar, o ‘nli

kasrlar, ratsional sonlar ustida birgalikda kelgan to‘ rt amalga doir mashqlar bajarilgan edi. Algebraik kasrlar ustida to‘ rt amal ham o'rganilgan qoidalar asosida bajariladi. Qo‘shish, ayirish, ko‘paytirish va bo'lish amallari turli kombinatsiyada kelishi mumkin. Bu mavzuda asosan mashqlar bajariladi, ularni bajarish jarayonida qoidalar yodga olinadi. Mashqlami aniq,

159

ravon, sodda va oson yo‘llar bilan bajarishga harakat qilinadi, bu borada ko‘nikma va malakalar egallanadi.

Darslikda 3 ta masala (ulardan biri, chunonchi 3- masala — matnli) tushuntirib, izohlab yechilgan. Mashqlarni bajarishda u yoki bu qoidadan foydalanilayotgani aytilib, mashqni bajarish usullari namoyon etilgan. Siz ularni o ‘quvchilar bilan birgalikda tahlil qilishingiz va bu yerda ko‘rsatilgan usullardan boshqa misollami yechishda foydalanish mumkinligini ta’kidlashingiz kerak.

Mavzu uchun 5 s o a t ajratilgan.Sinfda bajariladi: 518—519; 524—527; 533- mashqlar,

520-523- mashqlaming toq raqamli misollari.Uyga vazifa: 520-523- mashqlarning juft raqamli

misollari.


Ne 519. 3) ( b + a _ 2\ . ( \ \ \ _ a 2 + b 2 - 2 a b . a - b

\ a b ) y b a ) a b a b

_ (a -b )2 ab _ n h a-b a ■ b

J a v o b : a-b.

Ns 523. 3) o2-c2 a2-b 2a+b ac+c2

(a -c )(a+c )(a -b )(a+b )(a+b )c (a+c)

aa-c

cr (a -b )

J a v o b : a‘ <a- B>.

Ne 527. Birinchi buyumning bir donasi dinor, ikkinchi

buyumning bir donasi ^ dinor bo‘ladi.

Bir dinorga ikkala buyumdan bir xil — x miqdorda (x donadan) olingan bo‘lsin. U holda masala mazmuniga mos

tenglama x • j_ _nU 0 + 15.

5jc= l bo'ladi. Bundan, — = 1, x =6

160

J a v o b : 6 donadan.

JVe 533. Amallami bajaring:

Y e c h i s h . ( x+y x -y " ' x -y ( x+y[ x - y x+y^ x+y x -y

{x+y)2- (x -y )2 . (x -y )3+(x+>>)2 _ (x-yXx+y) ‘ (x-y)(x+y)

4xy (x-j>)(x+>>) _ 2xy(x->')(x+>') 2(x2+y2) x2+y2 ’

J a v o b :2xy

x2+ y 2 ‘


1. Algebraik kasrlar ustida qanday amallami bilasiz?2. Amallar birgalikda qanday ketma-ketlikda kelishi mumkin?

Kasrlami awal qo'shish, ayirish; keyin boiish (yoki ko'paytirish) amallari qatnashgan holga 2—3 ta misol tuzing.

3. Kasrlami boiish va ko'paytirish amallari birgalikda boigan hollarga 3—4 ta misol tuzing.

Tayanch so‘z va iboralar: algebraik kasrlar ustida birgalikda bajariladigan amallar (to ‘ rt amal).


Amallami bajaring:

1 1 -7 - sinfda ..Algebra' 161

QOBILIYATLI O'QUVCHILAR UCHUN MASHQLAR

1. Kasrlami qisqartiring:1X 2ab-b . 27o3+63. 36c-c3

^ c3+1 2 c2 + 3 6 c ’

« 2S6-4963 5. 2o4+3a3+2a+349A3-7062+256’ ^ (o2-o+l)-(2a+3) *

2. Agar c + ftÔ, Z> + c * 0, c + a * 0, va

o3 + fe3 + c3 + o£c = 0 bo‘lsa, -S-+-L+_£_ = ib+c c+a a+b

isbotlang.

3. AgaraAc * 0 va b2=ac bo‘ lsa, a2b2c2^~

= a3 + 63 + c3 ekanini isbotlang.

4. Agar c * dvacd * Obo‘ lsa,cd c(c-d )

^ = 1 ekanini isbotlang.d (d -c )

5. Kasrlami qisqartiring:

1)

2)

3)

4)

5 4 4 5x - x y - x y +y

jc4 - x 3j ' - x 2 .y 2 + .X 5 '3 ’

a/>(c2 +</2 )+cd(a2 +b2) ab(c2 -d 2)+ c</(a2 -62 )

J a v o b :2 2 X +JT

J a v o b:

X

ac+bd. ~ac bd'

a2-(x -y )a -x ya3+a2y+ax+xy

J a v o b: a-x2 ! £T+X

9a2+6a+2 J a v o b : 1(3a+l)4- l 3a(3a+2)


1) J a v o b:2(x+l)3 (x+1)2 2(x+l) ‘

2 3 2x+15 T u n2 ) 5T3 + 5 ^ + 4 ? ^ . J a v o b : ° ’

3) ^ 3 6°

2(x+l)3

3a-2 3a+2 (3c+2)y >

ekanini

162

a \ 2 3 16a—6 i . 14) -.— r+-3— r - ——5— . J a v o b:

' 4a-3 4a+3 16a2-9 4a-3


i\ 2 a-3 a2 -9a T „ „ ^ . . 44^ fl+4 a2-4a+I6 a3+64 ' b ' a3+64 ’

2 ) _ L . — J a v o b :7 2a-3b 4a2+6ab+9b2 8a3-27b3

18 b2%a3-27b3 ’

n\ a+2x 3c-a a*-cx i „ ^ u. Hfl+x .3a-3x 2a-2c a2 -ac+cx-ax 6(a -x )

a \ 1 2a-l 2a-5 T „ ,, _ . . 2' a2-7a+12 a2-4a+3 (a2 -5a+4)(a-3) fl-3

8. AmaUami bajaring:

1) ‘*2~(*~C)i + ■ J a v o b: 1;' (a+c)2-b 2 (a+b)2 -c 2 (b+c)2 -a 2

2)

3)

1 1 1(a -b )(a -c ) (b -a )(b -c ) (c -a )(c -b ) '

1 1

J a v o b: 0;

12fl(2o-36)(2a-c) 3b(3b-2a)(3b-c) c(c-2a )(c-3b)'

J a v o b:6 abc ’

4) JcZ . J a v o b : 0 .x+y y+z z+x (x+>-)(3>+z)(2+x)


i ) - 2(l+2ax)2-(2a+x)

x+xT '~Tx J a v o b:

(x -1)T »

j\ 3x2 +3xy ( x j ' 4xy+6ay âx+ay 2x+2>>

^ 3x. J a v o b:4 ay ’

3)

4)

A4 ± -a \ { « f - 4 J a v o b : - I ;4a-l ) {2a+2 J 24 a

l-a2 1-9b2 l+3i a+a2

J a v o b : 1-3 ba

( x2 . 6a 4+v2fl2 jf9al -3b2 o -4 il


1) '

2)

3)

4)

—). J a v o b[2a x j

( 2a+b 5*2-3o2 1

x 2- 2 o2

ax

4ab Sb 3 o 16o2. J a v o b: 12q

5* ’

'fV+4*2 .1/ 1 i V a2 -4b2

11 » * O I

a + Sb3. J a v o b: a;

l l 2- + - ^ - + -

1 1+—

r 1 f 1 + 1 1, 2 f 1 + 1 l l(2o+3* ) 2 [4o2 9*2 J ' (2a+3* ) 3 2a 3b)

9o2 * 2 3o+* ^3o b


1) 36a2b2

2)

~ 18o* 1 ( 9ab ) 4,5a2

J a v o b : ■3a* 3o*

J a v o b: 1;30 abc ( 20 -1 3*-l 5c-n ( j + i + n

15*c+10ac-6o* [ 2a ' 3* 5c J ^2a 3b 5cj

J a v o b: -

J a v o b: 1;

4o29 ’

r4(fl+ * )2 l6V (fl+*)2-f l*\ fl3- * 3 J a v o b . 4 M )ab4\ - m

12. Amallami bajaring.

40*^ r

ab

1) â+b-a+b

2 ab 1

a+b b-a a2-b 2

2)

3)

1 r j + n , 2 r ^ + n(a+b)2 Lo2 *2 J ( a +*)3[ o b )\

ab

J a v o b: a -b ;

J a v o b :l;j2-b2

N 3 v

a3+l 2o-------- r. J a v o b: -1 ;o3- l a- 1

4 ) a - f f l ^ + * g g + j g / | : - V ---- . J a v o b ; i5 - .1 a2-4 2-o o+2 J a(a2+4a+4) 1 -a

13. Hovuzni bir quvur a soatda, ikkinchi quvur esa bsoatda to ‘ ldiradi. Agar ikkala quvur baravar ochib qo ‘yilsa,

hovuznechasoatdato‘ladi? J a v o b : soat.a+b14. Ikkita ishchi biigalikda ishlab vazifani a soatda bajaradi.

Birinchi ishchi ayni shu vazifani bir o ‘zi b soatda bajara oladi. Ikkinchi ishchining bir o ‘zi shu vazifani necha soatda bajaradi?

J a v o b : soatda.a-b

15. 1) formuladan: \)aru b va c orqali; 2) bm

a va c orqali ifodalang.

16. 1) a2 + b2 ni;

2) a3+ b 3 ni a + b va ab orqali ifodalang.

17. Aw al ifodani soddalashtiring, so‘ngra uning jc= 1,7 bo‘lgandagi qiymatini toping:

J a vo b : | | .x2- l X+l l 2 -* x - 2 x ,

18. Aw al ifodani soddalashtiring, so‘ngra uning 0=19,8, £=23,05 bo‘lgandagi son qiymatini toping.

ab+2a b-3ab. a -1

o3+5a2+6c a2+3a+2J a vo b : 23,05.

19. Ifodani soddalashtiring, so‘ ngra uning a=2,8 bo'lgandagi son qiymatini toping:

5o , o+4 ( o -l o-3 1 T , 6-5o . 0 23(4-o)+8-3o\o+4 o-4J ' J a v o b : 3 (^ 4 ) ’ l 9'

20. a ning nechta butun qiymatida ifodaning qiymati butun son bo‘ladi:

o4-16 o3+4oT ? J a vob : 2 ta :o = l; a = -1.o -4o o+7o

Amallami bajaring: (21—31):2 1. a -bc ,2b -ac c2 -ab

(a+b)(a+c) (b+c)(b+a) (c+a)(c+b) ' J a vo b : 0;

IA5

2 1

3 .3o -b a2 +ab+b2 J a vo b : a+b.a '-b 2 ti2 +2 ab+b2

(x 2-xy x -2 xy+y2 ( 2 . \ y + 1 y

[/+xv x2+xy y x3-xy2 x+y J (x -y )2

24. (

25.

26.

27.

28.

a+b- 4ab_ a+b ) { a +a+b b-a a2-b

2 ab \2 ,2 . J a vo b : a -b .

X+1 2x+22x- 2 2x2- 2 j x+2

0 -1 0+1 'j(

12o +1

0+1 0 -1 J 2 4a yo ( 2—+- $

. Javobr-^-r.x+l

. J a vo b :o+2

Â2+oA a+b a +ab

a+b

0 § > J a v o b: 1

ab

a+b a2 - b 2

a+b

J a v o b: 1.

29. f- r ---- r ~l o -4 o2+2o ,

>'o2-2fl . o+8 T Q „ _ , 12. J a v o b:4-o o+2 o+2 ’

30.2 . 2O b

2 .2a -b

(a+b)4ab

2 V -1 (a-b)

114 ab

2 \ -+1

(a+b) -3ab(a+b). J a v o b: a-b

16(o2 -a b + b2)

31. Ifodani soddalashtiring va uning a ~\y

4c = - - bo‘ lgandagi son qiymatini toping:

a-ab+c-cbl-3b+3b2 -b 2'

J a v o b: 2.

32. Ifodani soddalashtiring va uning a = -^ , b = - )rbo‘lgandagi son qiymatini toping:

166

J a v o b : 12.3a +ab2-6a2b-2b3 9a -abA- 1%a*b+2b5

33. Ifodani soddalashtiring va uning a - — 2,5, b = 0,5 bolgandagi son qiymatini toping:

f 2 J \ a a ( 2 \ o 0

a+b a +2ab+b2 y a+b a2~b2

34. Ifodani soddalashtiring va uning x = ^, ^ = _ I ’

c = bo‘lgandagi son qiymatini toping:

ac+bx+ax+-bc T . 3— —— -— J a v o b : - . ay+2bx+2ax+by 8

35. Isbotlang:

1) a(b—c+d)—b(c—d+a)+c(a+b—d)—d(a+b—c) = 0;2) x y * (x - l ) -xyz(y-1) - * y z ( z - l ) -xyz = x y z (x -y -z ).

36. Quyidagilami isbotlang:

1) agar a+b+c = 0 boisa, o(£c—1) + b(ac—1) + c (ab— -1 ) = 3 abc\

2) agar ab+ac—bc = 0 bo isa , a (o — b)+b(b— c )+ c (c —

—a) = a^+b^+c2;3) agar a2 = b2 + c2 boisa, (bc-a)a—(ac—b)b-(ab—c) =

=-abc.

6- YOZMA NAZORATISHl

1- variant

1. Kasrlami qisqartiring: 1) 2)15

2. Kasmi qisqartiring:6a2-\5ablia2-20ab

5 a 3 b3. Kasrlami umumiy maxrajga keltiring: 2 a - 3 b va 2 a +~3 b

, 7 8 16b4. AmaUami bajaring: 2^b +

5. Ifodani soddalashtiring, so‘ngra uning a—2 bo‘Igandagi

. . . . . 5 a2 2a+3son qiymatmi toping: —,----------*-------- .

8 0 - 2 7 4o+6fl+9

J a v o b l a r : 1. 1) 2 ) ^ .

6ab-9b2 . 15 - a2+9 . 134a2-9b2 ’ 2a+b' ‘ 8fl3 _27 ’ 3 7 '

^ 3 , \Oa2+\5ab4 I Z V " 5

2- variant2

1. Kasrlami qisqartiring: 1) 2) 15 .21 20x y

2. Kasmi qisqartiring: 1) — * l2xy.12x +8xy

4x 5y3. Kasrlami umumiy maxrajga keltiring: 2x-2y va 3x+2y • 6

6 5 lOa4. Amallami bajaring: •

5. Ifodani soddalashtiring, so‘ngra uning a ~~\ bo‘ lgan-

.. . . . 10o2 3o-2dagi son qiymatim toping: ~ a 2 , , •

21a +8 9a -6a+4

Javoblar: 1. 1) 2)

4 1 5 _L + i_ . 37a~2b’ 27o3+8’ 63’

12x2+8xy

9x2 -4y2 ’15xy-10y2- 2 . 2 " 9x -4y

3- variant

1. Kasrlami qisqartiring: 1)14d . 21a2c

" W ’ }168

2. Kasmi qisqartiring: 160 2-A- .8cA-10A

3. Kasrlami umumiy maxrajga keltiring: va •

5 50 44. Amallami bajaring: 4 ^15 “ ^ 2 " " “ 4 ^ 5 •

35. Ifodani soddalashtiring, so'ngra uning a = - bo‘l-

gandagi son qiymatini toping:17o 4o+3

64o3-27 I602-12o+9

t , , - 7d 3o _ 4a+5bJ a v o b la r : 1. 1) -r-; 2) — . 2. - -o 5c 10

6c</-15rf2 4 1 c a2+9 . 5lr+5 ‘ 84'4c -25o 64o3-27 84

4- variant

3. 4c +10c</ 4c2-25</2

1. Kasriami qisqartiring: 1) 2)


20

6xy-4x2y9-4x2

18c a

3. Kasrlami umumiy maxrajga keltiring: va .

7 6 484. AmaUami bajanng:

25. Ifodani soddalashtiring, so‘ngra uning o = bo‘ l-

gandagi son qiymatini toping:10o 3o-4

27o3+64 9o2-12o+16'

J a v o b la r : 1. 1 ) ^ ; 2 ) ^ . 2. 3.

12aZ>-16*>2 1 c o2+16 0 9Sa'-lSb2 ' :

9o2+12o/> . 9o2-16/>2 ’

3x+4 * 27a3+64 * 14

7- YOZMA NAZORATISHl

J- variant

1. Kasrlami ko‘paytiring: 1) j ^ - 1 0 ab\ 2) .

22. Kasrlami bo‘ling: 20ab2:—0* - .

3cd

3. Kasrlami bo'ling:28ab . l W

33x y llx y

4. Amallami bajaring: j r j bi

. .......................... 36o2-1 (o+5)2 . 6o+l5. Amallami bajanng: - y— -• '2 o c -— ' 2 -a -25 a -25 (o-5)

J a v o b la r : 1.1) 6bc; 2)2. 2.6cV. 3. 4 . - ^ - .7 7 3Z>y a+26

5 .6 o - l.

2- variant

1.. Kasrlami ko'paytiring: l) -^ --2 1 cV ; 2 ) ^ - - ^ ^lcd

2. Kasriami bo‘ling: 1 2 j~ y :^ £ .lcd

45cd2 . 15c2d

Ixy 18xy

3. Kasrlami bo‘ling:llab2 * 18a V

3a+l3a+24. Amallami bajaring:

c „ . , . . 3ab-4A-9a+12 . 9a-12-3a6+4£5. AmaUami bajanng: • 3<, ^ 4t_9o. , 2 •

Javoblar U )1 2 jy ;2 )|. 2.14c/. 3 . ^ . 4 . ^ . 5.1.3 bc 3 f l- l

17(1

3- variant

1. Kasrlami ko'paytiring: 1 )-5 2 U 5 «6 J; 2) IZ . . ! * * * .5ab2 %y 21 x y

2. Kasrlami bo'Iing:

3. Kasrlami bo‘ ling:

« 0 2 * 14fl b 28a b : —— .

5 xy

2 6 *y .3 9 * y3 5 a^ 28A5?

4. Amallami bajaring:2o-l 4o-l \ 2 q+1 2o+l 4oJ_iJ 2o

5. Amallami bajaring:2-3o2+3o

3o+2\/2+3fl 3a-2\ 3a^2/’ \2^3a+ 3a+2/'

2

J a v o b la r : 1.1) 9xy\ 2 )| . 2 . 10xy. 3 .-^ 4 - . 4 . ^ 43 ' 156/ 2a-l

c 9fl2+4 12o '

4- variant

1. Kasrlami ko'paytiring: 1 )J ^ L .1 8 xV ; 2 ) ^ - ■ - ^ 49x y 96 32o 6

2

2. Kasrlami bo‘ling: 16m2n : ^ 4 .

„ T, , . L <t. 24a364 . 36o4623. Kasrlami bo lmg: — 4-5-. - t t .

25c fl 35c </

4. Amallami bajaring: ( ^ 4 - l ) : •\3fl-6 / 9o -6

, » „ ., . . /2x+3y 2x-3y\. (2x-3y 2x+3y\5. Amallamibajanng: ’ \2^ + 2^ j '

2 2

J a v o b la r : 1. l)10m/j; 2 )^ . 2 . 18o2Z». 3. .

4 3a+6 e 12xy) •

6a 4x +9yr m

YAKUNIY YOZMA NAZORATISHI

1- variant

1. Ifodani awal soddalashtiiing, keyin uning son qiymatini

toping: 3a + 4b - (7a + 2b), bunda a = -1,5; b = -1

2. Mahsulot ishlab chiqarish bo‘yicha buyurtmani ishchilar 12 kunda bajarishlari kerak edi. Ular har kuni rejadan tashqari 8 ta mahsulot ishlab chiqarib, 10 kunda buyurtmani bajaribgina qolmay, balki ortiqcha yana 20 ta mahsulot ishlab chiqarishdi. Ishchilar har kuni nechta mahsulot ishlab chiqargan?


(10fl3x3y - I5a2x2y2)'5a2x2y + (6a2b2x2y - 9ab2xy2):3ab2xy.

4.Tenglamani yeching:3jc-1 . 1 1(3+jc)

5 + 6IIjc+39

65. Ko'paytuvchilaiga ajrating: a6 - a5 - a2 + a.

7>a-b / l lV6. Amallami bajaring: 3flfc '\3fl+fc/*

9 a 2 + b la b

2

J a vo b la r : I. -4a + 2b; 2,5. 2 .38ta. 3. 4ax-6y. 4jc = 2.

5. a(a +1 )(a - 1)2 • (a2 + 1). 6. —3 a + b

9a 2 + b 2 '

2- variant

1. Ifodani awal soddalashtiring, keyin uning son qiymatini

toping: 7a-5b + (3a - 4b), bunda a = 0,3; b = -1 .

2. T o ‘g ‘ ri to‘ rtburchakning asosi balandligiga qaraganda

l y marta uzun. Agar uning asosini 5 sm ga uzaytirib,

balandligini 5 sm ga qisqartirilsa, yuzi 50 sm2 ga kamayadi. T o ‘g‘ri to‘rtburchakning tomonlari uzunliklarini toping.


(-35 x3y +I0x2y2 ):(-5x2y) - (IOjcV 2 -1 6x2y3 ):(2x2y2).

4. Tenglamani yeching:x - 3 jc - 4 ---------+ ----------

5x-218

172

5. Ko'paytuvchilarga ajrating: as - a3 + a2 - 1.

6. Amallami bajaring: ° q,—:(a2 - 9b2 2aS~ ~ l]-

J a v o b la r : 1 .10o-9fc; 13. 2 . 15sm; 20sm.

3. 2x + 4y. 4.x = 13. 5.(a -1 )(a + 1)2 • (a2 - a +1). 6 . ^ .l lb L

3- variant

1. Ifodani awal soddalashtiiing, keyin uning son qiymatini toping:

6b - la - (2b - 5a), bunda a = -3,5; b = 2 .

2. Ikki sonning yig‘ indisi 128 ga teng. Sonlaming kattasini kichigiga bo‘lganda bo‘ linmada 3 va qoldiqda 4 hosil bo‘ ladi. Shu sonlarni toping.

3. Ifodani soddalashtiring: (-4a2b+6ab2):(-2ab)+(-l2a3bs+l%a2b6):(3a2bs).

4. Tenglamam yeching: — -------= ~J~ ■5. Ko‘paytuvchilaiga ajrating: a5 + 2a4 + 2a3 + 2a2 + a.

( ! + 1 V a2+4b2 f l 1 'J[a 2 b j ' 2ab [ a 2b )

J a v o b la r : \.-2a+4b\ 18.2. 97;31.3.-2a+3Z>.4. x = 4.

5. a(a + 1)2 • (a2 +1). 6 . - a+2baL+4bL

4- variant

1. Ifodani awal soddalashtiring, keyin uning son qiymatini toping:

9c - Sd + (5d - 7c), bunda c = 1,5; d = -2 .

2. To ‘g ‘ri to‘ rtburchakning qo‘shni tomonlari yig‘ indisi 64 sm ga teng, asosi balandligidan uzun. Asosning 4 sm ga qisqartirilgani balandlikning 3 baravariga teng bo‘ lsa, to‘g‘ ri to'rtburchakning tomonlarini toping.

173


(48 a4b3-18a?b4):(-6a2b3)-(l6a*b3-24a2bA):(8ab3).. — . . . 8 -x x+6 5-4x4. Tenglamam yeching: ------ y - = —y —.

5. Ko ‘paytuvchilaiga ajrating: as + a3 - a 2 - 1.

9o2+3ax6. Amallami bajaring: — — :(9a - x )

(3o+x)'n r " “ l )

J a v o b la r : 1. 2c — 2>d\ 10. 2. 49 sm; 15 sm. 3.

-10 o2 + 6ab. 4. x = 5. 5. (n - l ) (a 2 + l)(f l2 + a +1 ). 6.oX

174

QOBILIYATLI 0 ‘QUVCHILAR UCHUN SINOV (TEST) MASHQLARI

Hisoblang (1—4):

t 80204002-7988 l * 2005+4002-2004 ‘

A ) 4; B) 3; C ) 1; D ) 2,5; E) 3,4.

1000-2005-10052. 4000+2005-3996

A ) 0,23; B) i ; C ) 0,3; D ) i ; E ) 0,32.

6.23- 7,85-3,28 * 5 6 7 84.23- 7,85+12,42'

A ) 0,98; B) 1,1; C ) 1; D ) 2; E) 1,5

5,79-1,38+7,45 4* 8,79-1,38+2,31'

A ) 1,6; B) 0,85; C ) 0,9; D ) 1; E) 1,2.

ab+a-b5. Soddalashtiring: •

A ) 0; B) f ; C ) b; D ) a; E) 1.

6. Soddalashtiring: •

A ) 1; B) a; C ) f ; D ) -1; E) b.

7. Soddalashtiring:abc+ac-bc

a+ab-b

A ) a; B) c; C) b; D ) E) -c.

_ _ , , , , . . (a-k)b+c8. Soddalashtiring: fl^ _ ^ +c •

A ) fc; B ) 2; C) 1; D ) a\ E ) - £ .b

T o p s h i r i q : 5 -8 - mashqlarda a, b, c lami mos ravishda tanlab, 1 -4 - mashqlami hosil qiling.

9- m + m + m =a b0‘lsa’ m + m + m Di toping

A ) 2a— 1; B) a+ 1; C ) a — 2; D ) 3 —a; E) 4—a.

10. Hisoblang:TS16- ^ 46

817+5-816

A) 0,2; B) 0,75; C) 0,32; D) -i; E)

„ TT- L1 220-274+10-49-96 11. Hisoblang: - i0 12 ffl- - 3 --

2 -3 +12 -2-3

A) j;; B) 1; C) 2; D) |; E) §.

Ifodani ko‘phadning standart shakliga keltiring (12—17):

12. ( x - 2 ) 2 + (2 * + 3 )2.

A ) 5X2 — 8x + 13; B) 5X2 + 8x + 13; C ) 4X2 +12x +13; E) 5X2 —8x —13.

13. (3x+2)2+(4x—3)2— 2 4 (x -3 )(x+ l).

A ) x2 —36x + 72; B) 36x + 85; C ) x2 + 36x + 85;D ) x2 + 36x - 59; E) x2 + 24x + 85.

14. 4x • (2x — 1) - (4 x - l ) (2 x + 1).

A ) 4x2 +1; B) 8x2 —4x+ l; C ) - 8 x - 1;D ) —6 x + l ; E) —5 x + l .

15. (1—2x)2+ (l+2x )(2x—1).

A ) —4x+ l; B) 8x2—1; C ) 4x2+8x; D ) 8x2+4x;E) 8x2—4x.

176

16. 2(x+2)3—(x+1 ) ( x - l )2+ (x+1 )2 ( x - 1).A ) 12x2+26x+16; B) 2XH12X2+20X+16;C) ^x^+lOx^+lSx+n; D ) 9x2+26x—17;E) 4X3+26X2+25X+17.17. (2x—1)(2—3x)+(2x—3)2.

A ) 2x2+5x+7; B) -2X2-5X+7; C) 2x*+5x-7;D) —2x2+5x—7; E) 2x2—6x—8.


(2a—b)(a+b—c)—(a+2b)(a—b+c)+3c(a+b).A) 2a2+b*—3bc; B) a2-W + b c; C ) a2+P+2bc;D) a^-P-^bc; E) a2-V+2bc.19. Soddalashtiring:

(a+2b)(a—b—c)—(a—b)(a+2b—c)+ 2b(2a+c).A) 4 -3bc; B) W+2bc; C) 4a2+bc; D) Atf-bc;E) 2a2+b2—bc.

Tenglamani yeching (20—38):

2x+3 3x-2 _ 4x-l3 2 - 4 '

A) 1,41; B) 1,73; C) D) 1,42; E) g. x—1 2x-5 x+8 -

U x - — + ~ r =7-

A) 10; B) 11; C) 10,8; D) 11,7; E) -10. _ x+4 , c x+3 x-22 2 .-r + 5 - x = ^ — — .

A) 5; B) 6; C) 4; D) -6; E) -4.

Z3' 5 4 20A) 2,8; B) -4; C) 2; D) -2; E) 3,4.

i2 — 7 - sinfda ,.AlKebra“

74 v 5-2x . x-2 . 4x-l = 4.4 5 20

A) -3; B) 5; C) -2; D) 3; E) 4.

25. x + - —y — = 4.

A) 5; B) -3; C) 2; D) 4; E) 3., 5x-l x-2

26. x + — ------ — = 10.4 3

A) 5; B) 4; C) -5; D) 6; E) 4,5.

n . l ^ - } i z L + x = e.

A) -3; B) 3; C) 4,4; D) 5,2; E) \6.__ 2x+3 , 5x-628. —— + x - — = 1.

A) 3,4; B) 2,4; C) 2; D) 3; E) 2,5.

29. 0,5(x-18) 0,3(x-6) _ 0,4(x+4) 0,2(x+l2)’ 6 “ 4 5 3 '

A) -104; B) -100; C) -98; D) -114; E) -110.

^ 0,2(x+2) 0,3(x-4) _ 0,4(x-6) 0,5(x+8)* 3 4 5 6 '

A) 216; B) 290; C) 300; D) 310; E) 316.31. (2xH-1)2—3(x—5)2=(x+3)(x-3).

34 * 65 ’ ^ 34 ’ 33 ’ 33 ‘

32. (3 x - l )2—8 (x + l)2= (x+2)(x~3 ).

A) B) -^; C) f ; D) E)178

33. (2 - 3 jc) 2+ (1 + 4 x ) 2= (5 x - 1 ) (5 x + 1 ).

A) 2,5; B) | ; C) §; D) 2; E) 2,8.34. (jc— 1)2+ (2 jc+ 3 )2= 5 (x —1 )(jc+ 1 ).

A) 3,5; B) -1,4; C) -3,2; D) -1,5; E) 2,5.35. (2 x+ 3 )(3 jc+ 1 )+ (5 jc+ 2 )(2 jc+ 5 )= (4 jc 1 )2.

A) 0,24; B) -|; C) §; D) E) -±.36. (4 x + 1 )(3 jc—1 )+ (2 jc—5 )2= (8 jc+ 1 )(2 jc—1).

A) B) |; C) D) j; E) - .37. (3x— 1 ) 2+ (4 x + 2 )2= (5 jc- 1 )(5 jc+ 1),A) 1,2; B) -0,6; C) 0,8; D) -0,7; E) -0,5.38. (3jc+ 1 ) 2+ (4 jc— 1 )(4 x + 1 )= (5 jt - 1 ) 2.

A) 0,12; B) i ; C) D) -£; E) -0,09.

39. (l33l|!I)!-1332|g-1330!g.

A) 1,5; B) -2; C) -1 D) 1; E) 2.

40. (20052003)2 -2004— -2006—. 2004 / 2004 2004

A) 2,5; B) -2; C) -1 D) 2; E) 1.

[2004— 1 - f 2000— 141. 1__liill__»lL

^2003 jyj -^2001^-j

A ) 2; B ) - 2 ; C ) 1 D ) | ; E ) - 5 .

J7 987652-9876l2 987642-987622 ‘

A ) -1 ; B) 2; C ) 3; D ) -2 ; E)

T o p s h i r i q : 39-42- sinov mashqlari qanday tenglikka asoslanganini toping.

43. Kater (motorli qayiq) daryo oqimi bo‘ylab 7 soat va oqimga qarshi 6 soat yurib, hammasi bo‘lib 132 km masofani o ‘tdi. Agar qayiqning turg‘un suvdagi tezligi 10 km/soat bo‘lsa, oqimning tezligini toping.

A ) 2,5 km/soat; B) 2,2 km/soat; C ) 2 km/soat; D ) 2,4 km/soat; E) to‘g ‘ri javob berilmagan.

44. Ishchi 1 soatda 20 ta mahsulot tayyorlaydi. U shunday unumdorlik bilan t soat ishladi. Keyin u soatiga awalgisiga qaraganda 3 ta ko‘p mahsulot bera boshladi. Bunday unumdorlik bilan u {t — 2) soat ishladi. Agar jami 169 ta mahsulot tayyorlagan bo‘lsa, t ni toping.

A ) 7 soat; B) 5,4 soat; C ) 4,5 soat; D ) 5 soat; E) 6 soat.

45. Jism 4 km/soat tezlik bilan t soat, 2 km/soat tezlik bilan ( t + 3) soat harakat qildi. Agar jism jami 42 km yo ‘l bosgan bo‘lsa, u qancha vaqt harakatda bo‘lgan?

A ) 6,4 soat; B) 6,5 soat; C ) 5 soat; D ) 7 soat; E) 6 soat.

46. Birinchi kvadratning tomoni ikkinchi kvadrat tomonidan 3 sm uzun, yuzi esa 21 sm2 ga ortiq. Birinchi kvadrat perimetrining ikkinchi kvadrat perimetriga nisbatini toping.

A ) 5 : 2; B) 6 : 3; C ) 21: 3; D ) 21: 9; E) 24: 21.

47. Ahmad uyidan qishloq guzarigacha avtobusda keldi. Uyiga esa piyoda qaytdi, shuning uchun u qaytishga guzarga kelishga qaraganda 1 soat 12 minut ko‘p vaqt sarfladi. Avtobusning tezligi 30 km/soat. Ahmadning uyiga qaytishdagi tezligi bu tezlikning 20 %ini tashkil qilsa, uydan guzargacha bo'lgan masofani toping.

A ) 8km; B) 9km; C ) 10 km; D ) 9,5 km; E) 11 km.

180

48. Sayyoh 3 km/soat tezlik bilan tepalikka ko‘tarildi, uning tushishdagi tezligi 5 km/soat bo'ldi. Tepalikka chiqish yo‘li tushish yo‘lidan 1 km ortiq va jami yo‘lga 3 soat sarflagan bo'lsa u qancha masofani bosib o ‘tgan?

A) 9km; B) 10 km; Q llkm ; D) 9,6 km; E) 10,5 km.

49. Velosipedning tezligi 12km/soat, piyodaning tezligi bu tezlikning 37,5 %ini tashkil qiladi.Velosipedchi vapiyoda A qishloqdan B qishloqqa qarab bir vaqtda yo‘ lga chiqdi. Velosipedchi piyodaga qaraganda B ga 5 soat oldin kelgan bo‘lsa, qishloqlar orasidagi masofani toping.

A ) 35 km; B) 42 km; Q 38 km; D ) 36 km; E) 40 km.

50. Bir omborda 185 t, ikkinchisida esa 237 t g ‘alla bor edi. Har kuni birinchi ombordan 15 t, ikkinchi ombordan esa 18 /g‘alla olinadigan bo‘ ldi. Necha kundan so‘ng ikkinchi ombordagi g ‘alla birinchisiga qaraganda 1,5 marta ko‘p bo'ladi?

A ) 7 kun; B) 10 kun; Q 11 kun; D ) 8 kun; E) 9 kun.

51. Bir omborda 211, ikkinchisida 18 t kartoshka bor edi. Har kuni birinchi omborga 9 t, ikkinchisiga 12 t kartoshka olib kelinadigan bo ‘ ldi. Necha kundan keyin birinchi ombordagi kartoshka ikkinchisiga qaraganda 1,2 marta kam bo‘ladi?

A ) 6kun; B) 5kun; Q 7kun; D) 8kun; E) lOkun.

52. Hisoblang:

(^^+lK^^+lK^^+lK^^+OC^^+lK^w+l)-j ■ 2128.

A) B) -j; C ) y 2;-, D) 2“; E) \-2M

53. Hisoblang: (S^+OCS^+OCS^+lK^'^+lK^^+l)-^ ^ 64.

IEH

A ) i - 3 64; B) -0,25; Q D ) p E ) 0,25 • 363.

54. Agar ^ 4 = 4 bo‘lsa, ifodaning son qiymatinia-b 2 2abtoping.

k\ 53. 71. 53. 53. 4751’ 53’ 49’ 45’ E 43'

55. Agar ^ 4 = 1 bo‘lsa, -% 4 ' ifodaning son qiymatinio+o 5 iflfltoping.

.. 17. 14. 15. . 15. 15®) C ) yj > D ) j^) E) g ■

56. Agar bo‘lsa, ifodaning son qiymatini

toping.A ) -2 ,9 ; B) -2 ,8 ; C ) 3,1; D ) -2,33; E) 3,7.

57. Agar ^ 4 4 bo‘lsa, a 4 ifodaning son qiymatini a—b 2 abtoping.

A\ 40. m 40. 40. 41. m 40A ) 4 1 ’ B ) 2 1 ’ 31’ 37’ E 27'

58. Agar 2a — b = 5 bo‘ lsa, 8o3 — # ifoda nimaga teng?

A ) 125 - 20o£; B) 3ab + 10; C ) 125 + 30ab\D ) 30a6; E) to‘g‘ri javob berilmagan.

59. Agar a + 2b = 4 bo‘lsa, a3 + 8b? ifoda nimaga teng?

A ) 36 - 28a£; B) 25ab\ C ) 64 + 20ab; D ) 64-24aA;E) 64 + 26ab.

K o ‘paytuvchilarga ajrating (60—62):

60. (3a + 2b + 2)(3a + 2b) - (3a - 2b)2 + 1.

A ) (2a -1 )(4 * - 1); B) (2a + 1)(3£-1);C ) (3 a + 1)(26+1); D ) (3a-l)(4Z> + 1);E) (2 a+ l)(4 £ + l).

182

61. 32o5 + 16o - 16a3 - 8o2 + 2 a + l.

A) (2a + l )3(2b - l ) 2; B) (2a - l )3(2a+l)2;

C) (2a + l )2- (26-1)3; D ) (2 o - l)3 (2a +3 )2;

E) (3 fl—1)2(46+1)3.

62. (2a + 3b)(2a + 36+2) - (2a - 3b)(2a ~3b -2 ).

A ) 6o(36+l); B) 8fl(36+l); C ) 8a(46+l);

D ) 6a (36 -l); E) 8c (4 6 -l).

Soddalashtiring (63—68):

63. (3a+ 6)2+ (3o6—l ) 2 - (3a-b )2.A ) (2ab+\)(a+b); B) (3ab-\)2 ab; C ) (3a6+1)2;

D ) (3ab~\)2; E) (3ab+\)(2ab+\).

64. (2a +b)2+(2ab - l ) 2- (2 a-b)2.

A ) (2ab +\)3ab; B) (2ab~\)(3ab+\); C ) (2a~b)2;

D ) (2ab +1 )2; E) (2ab+\)(3ab-\).

65. (0, 3o+6)2-(0,4aH),16)(0, 16-0,4a)-(0,9b-2a)(a +1,16).

A ) 2 ,4 ^ + 0 ,8 0 6 ; B) 2,5o2-0 ,7o6 ; C ) 2,25o2-0 ,8o6 ;

D ) 2,25o2+ 0,8o6; E) 2,25o2 + 0,7o6.

66. ( —0 ,5 o+ 6 )2—(0 ,2 o+0 ,3 6 )(0 ,3 6 —0 ,2 o )—

(0 ,3 6 - a)(2Jb+2a).

A) 2,29a2+ 1,1 o6+0,1 b2; B) 2,29a2-\,\ab~0,\b2;

C) 2,3a2+ 1,106+0,162; D ) 2Aa2-\,\ab+0,W;

E) 2,2902-1,206+0,162.

67. (2o-6 )2+(36+4o)(4o-36)-(4o-56)(5o+46).

A ) 4o6—1162; B) Sab+Ub2; C ) Sab-Ub2;

D ) 406+1362; E) 5ab~\W.

68. Qa+bY+Qb+5a)(5a-2b)-(2a-b)(\la+b).

A ) 21A6-362; B) 20A&+2&2; C ) 2\ab~2V;

D ) 2\ab+Z&; E) 20fl6-2tf;

Kasmi qisqartiring (69—73):

69 * fl* jc2+4flx+4fl2Xr

w x~a ■ d \ 1 . r \ x+2a. x-2aA ) x+4flx+4o ’ 4ox ’ x -2a ’ x+2o ’

- n 9x2-6ox+fl2/v« ^ T 9 •

fl2-9x2

A ) ^ ; B) C ) —6ar,

E>- - X4+X2+l/1 . —3----- ~ .

x^+x+l

A ) x2—x+1; B) x2+x—1; C ) x2+ x + l; D )

E ) to‘g‘ ri javob berilmagan.

72.x 4 - 3 x 2 +1

x2—X—1 '

A ) x2—2x—1; B) x2+ x - l ; C ) x2+ 2 x - l;

D ) x2-\ ; E) x2+\.

x4+3x2+4 73. —J---TT".x -x+2

A ) x2—2x—2; B) ^+2x+2 ; C ) x^+x+2;

D ) x2—x~2; E) x?+l.

IS4

toping.

A )

75.

toping.

toping.

— = 4 bo‘lsa >

2 2 x2 2 x -xy+y

2° . m 19. 19 * ' 18 * C ) — • w 17,

y o. «, 3y2-2xy+x2— = 3bo lsa— T7------T~x x+xy+y

22 . n\ 1919 * 22 ’ C ) — •

^ = 2 bo‘lsa4y2-3xy-hx2x2-xy+y2

2 . 4 • 3* B) 3» C ) | ; 1

ifodaning son qiymatini

F1 12D ) 13, E) 19-


D ) — ■ ' 13 '22

E ) § .


35 ;

1_3

77. o va b ning shunday qiymatlarini topingki, x ning

2-3 - bbarcha joiz qiymatlari uchun -J r* P. = ix - 1 tenglik o ‘rinli

bo'lsin.

A ) a =2, b =1; B) a=2,b=-\\ C ) a=-2,b=\\

D ) a=\,b=2\ E) a = -2 ,b = -\ .

78. a va b ning shunday qiymatlarini topingki, x ning bar-

cha joiz qiymatlari uchun — = 2x + 3 tenglik o ‘ rinli

bo'lsin.

A ) a = 2, b = 6;

C ) a = — 2, b = — 6;

E) a = 2, b = 5.

Amallami bajaring (79— 105):

x2 - 2x+l

B) a = —2, b = —6;

D ) a =\ , b = 6;

« • ( £ ) ’ ( ; 2x-X

C) x2 — 3x —1;A ) x2 + 4x — 1; B) x2 — 4x + 1;

D ) x2— 3 x + 1; E )x 2 + 3 x + l .

x2 +4x+4 V80

A ) —4x + 4;

D ) 4x — 4;

.2

-X3x j

B) 4x + 5;

E) 4x +4 .

C ) 4x —5;

«1. ( £ ) ( ^ ) -A ) 6x +9; B) —6x — 9; C ) 6x + 8 ;

A )

84.

5x — 9; E) 5x + 8 .

1 3 + 2x ’ 4x2 +4x + 6U-l X + 1 1r xJ- i •

p B )1 .2 ’ C ) D ) -

1

2 ’ E)x - 1

3

l 2X ~ 1 ) 6x2 +9x+6U -2 x+2 ) ' x*-4 '

44 b ) - 5 ; C ) i ; D )3 .4 ’ E )

2x 3 '

1 X ~ 2 \ 4x2+4x+24U -3 x+3 /• x*-9 •

A ) 4 ; B) C ) D ) 1 ; E)

85.

4 ’ ' 4

7 5 . 3x-l 3x-l 2x-l ‘ 4x2-1 ‘

A )2+10x . 3x+l » B)

10x-2. 3x-l3x-4 ’ 2x+ l’

D>U ) 3x-l ’ E)

2 - 10x 3x-l •

cn| u

>

_7_____ 5_ . 2x+380* 2x+3 2x+l ' 4x^T ‘

11-lOx. ll+10x . lOs-11.2x+3 ’ D ) 2x-3 » 2x-4 ’

D )11-lOx 2x+5 ’ E )

2x-l 2x+3 ‘

87.

A )

D )

88.

A )

5 3 . 5x-35x-2 3x-■1 ‘ 9x2- l '

2+9x .. 2-9x5x+2 ’ ti) 5x-2 ’

9x+2 9x-25x+3 ’ L ) 5x-3 •

l a + lV f l\o+2 / 1-fl2\. y

l-3u 1+2oi - 20 ; B > -i— ; cl-o ’ '

C )9x-2 5x+2 ’

1 -a lâ ’

1+aD ) < l + a ) ( l + 2 f l ) ; E )

»• & + 3 MM)-Av obA ) o2+A2

2 a b

B)2ab

a ^ ’ C )3 ab

a^b1

D )

90.

a z - b zE )

a 2 - b 2

3 a b

(2a-3b 2a+3b)|. ( 2 a + ™\2a+3b + 2a-3bjI’ \3b + 2o

8 abB )

12 ab4o2-9b2 ’ 4a2+9b2 ’

12 abE )

12 ab4a2+3b2 4a*-9b2 •

8 ab

« • (3 S I + 1) :1 - 27o2

1-9 a2

r\ 1+30 •W l-6o ’

a \ 3o . m 3o A ) l-6o ’ B ) l+6o

D ) E) T o ‘g‘ ri javob keltirilmagan.

3o+6 . ( l92.

A )

3 a-b

3 fl2

3fl-6/

3 o 3a

T ;

26-fl f i + °fl+26 V a -26 jj-

46

A ) ■3(fl-6; B)

abC)

-oD ) 2(a+b) > E ) 2(0 - 26;

4o

3(a- 6; » w 2(a-6;

ab

/2fl+i_ 2fl-n. 94* \2fl-l 2fl+6/‘

10fl .A) ISl. B)

D > d s r ; E)

95.

10fl-5

102fl-l»

8a2fl=I

C) 2o+l

1(a+by (o

2 o

1 +-6)2 J' \o+6 a - b j ’

2 bA ) a2-62 * ® ) a2+b2 ’ C) ^

abal -b2 >

D ) - ia6

o^+6z » E )

2 b *

ISS

A )

D )

A )

D )

98.

A )

D )

99.

1 0 +1 V fl ■_ 3 \U+2 1H 1 1

2a-4 o -l ’

2a+4B> a-l : '

2a+4 _ a+1 ’ E)

2o-3o+l

/ 2 ab - + b V ( i -\4a2-9b2 + 3 b-2aj* V

abB)

b3b-2a ’ 2(3b-2a) ’

abE)

a3a+2a ’ 2(36+2o)

/2a+3 2a+l \. 3o+3U «+ l 2a+3 ) ' 8a+12

C)2a-4 o+l =

2o+l . 2b+3 ’

32a

3(2o+l)

( 1

C ) 2(3b-2a) ’

3aB) 2o+I) >

32

C)32

3(2o+l)

E) 2o-l) •

1(a+b)2 (a -W

a \ ab A )

w y r n r U2 °2>

B)4 o

b(b2-a 2) ’ C)4Z)

fl(fl2-62) ’

4 4o6D ) ab ($ -a2) ; E )

100.3o+fl2 ^ / 1 _ o \

3+fl J \a+l l+2o+a2 /

A )2

a+1 ’ B)1

a-1 ’

D )o _

a+1 ’ E)1

a+l ‘

101• (2 ab

4a2-9b2 b

A ) 2(3b-2a) ’

2 ab

3b

B)

b _ \ L 2a-3b\ - 2 a ) ' \ 2a+3b)'

C)ab

D ) 2a+3b E)2(3b-2a) ’

b

3b-2a ’

a(2b-3b)

2aA > ^ ; Q s t

D ) E) -a .

A ) ^ ; B> ^ i ; c ) fl- i ;

D ) a+1; E) 2c+ l.

/l+2a 1 \ ./l+2a 1 \104* \T+<r + a ) \~a T+a ) '

A ) 1+a; B) 1 -a\ C ) 2a+ l; D ) 1; E) -1 .

™ 2a ■ f \ D)TT’ E) a2/i 2a \ ( l - ± y1 - a - — - [a + -\ o-l/ \ o/ U ° 3>

A ) - ^ ; B ) ^ ; C ) £ ;l+ a ’ ' a2 ’ 1+a

106. To'g 'ri to‘rtburchakning asosi kvadratning tomoni uzunligidan a sm uzun, balandligi esa kvadrat tomonidan b sm qisqa (a > b). Shu to‘g‘ri to‘rtburchak va kvadratning yuzlari teng bo‘lsa, kvadratning tomoni uzunligini toping.

A )aba-b B)

aba+b C)

(a+b)2D ) ^ - ; E) a-ba-b ’ ' a+b *

107. Bir qotishma tarkibida 60 %, ikkinchisida esa 40 % kumush bor. Ikkala qotishmani eritib, tarkibida 45 % kumush

l ‘XI

bo‘lgan 2 kg massali qotishma olindi. Birinchi va ikkinchi qotishmalaming massasini toping.

A ) 1 kg, 1 kg; B) 0,5 kg, 1,5 kg; C ) 0,6 kg, 1,4 kg;D ) 0,8 kg, 1,2 kg; E) topib bo‘lmaydi.

108. Mijoz 80 000 so‘m pulini ikkita bankka qo‘ydi. Bir yilda birinchi bank qo‘yilgan omonatning 24 % i, ikkinchi bank esa 18 % i miqdorida foyda beradi. Bir yildan so‘ng mijoz ikkala bankdan birgalikda 17 400 so‘m foyda oldi. M ijoz har bir bankka necha so‘mdan pul qo‘ygan?

A ) 70 000 so‘m, 10 000 so‘m; B) 60 000 so‘m, 20 000 so‘m; C) 50 000 so‘m, 30 000 so‘m; D ) 40 000 so‘m, 40 000 so‘m;E) 45 000 so‘m; 35 so‘m.

109. Tenglamani yeching: ^r~ + + 3 = 0.4 J D

A ) -5; B) -8 ; C ) 8; D ) 7; E) 6.

To‘g‘ri javoblar kaliti

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 A B C D E A B C D

1 E A B C D E A B C D

2 E A B c D E A B c D









I 9 i

SINOV MASHQLARI (TESTLAR)NI YECHISH NAMUNALARI

Sinov mashqlarida beriladigan 5 ta ,javob“dan faqatgina bit- tasi to‘g‘ri bo‘ladi. Shu to‘g‘ri javobni topishning ikkita yo‘li bor.

1- yo 7. Sinov mashqini bevosita bajarish va olingan javobning berilgan 5 ta ,javob“ ichida bor-yo‘qligini aniqlash.

2- yo 7. 1- q a d a m . Berilgan, javoblar“ ni tahlil qilib, ular ichidan noto‘g‘rilarini u yoki bu mulohazalarga ko‘ra „chiqarib“ tashlash;

2- q a d a m . Qolgan , javoblar“dan to‘g‘risini topish uchun berilgan sinov mashqidagi harf (parametr, noma’lum,...) o ‘miga uning hisoblashga oson biror qiymatni qo‘yib, ko‘rsatilgan amallami bajarish lozim. Ayni shu qiymatni qolgan, javoblar“ga ham qo‘yish kerak. Qiymat qaysi javobga qo‘yilganida natija mashq uchun olingan natija bilan bir xil bo‘lsa, o‘sha javob to‘g‘ri bo‘ladi.

Testlar yechish jarayonida bu tavsiya qanday „ishlashi“ ni ko‘raylik. o2+i

1. Soddalashtiring: •a

A )c - 1 ; B )fl2 - f l + l; C )f l2 + fl + l; D )c + 1 ; E )o 2+ f l - l .

Y e c h i s h . Berilgan ifoda a * 0 bo‘lganda ma’noga ega.

1- yo 7 (bevosita hisoblash). Ifodaning surat va maxrajini a ga ko'paytiramiz:

°2+l _ o3+1o+i-1 a2 - a +1a

(o+l)(o2-a+l)fl^-o+1

= fl + 1. Javob :D ) a+1.

Hosil qilingano2+i_____q_o+i-ia

= a + 1 tenglik — ayniyat, u a ning

barcha joiz qiymatlarida o ‘rinli.2- yo‘i a = 1 bo‘ lganda berilgan ifodaning qiymati 2 ga

teng. a ning ayni shu qiymatida faqat D ) javobdagi ifoda 2 ga teng. Demak, javob D ) a+ 1 bo‘ ladi.

192

2. Soddalashtiring:( __ 1______1 m + mf m2 -m m-1 J m+2 m2 -4

A ) ^ ; B ) - i ; C ) - ^ - ; D ) - L ; E ) lm+‘

( 1)

m2-4 m-2 m2-4 m+2 mr-4

Y e c h i s h . Berilgan (1) ifodam *0 , m * 1, /w?t±2bo‘l- ganda ma'noga ega.

7- yo 7 (bevosita hisoblash)

i) 1 1 1 1m2-m m-1 m(m-l) m-1

1

1-m m(m-1)

_1_m

2> - s - ^ =

3 )— L + mm+2’

1 mm+2 m2~ 4

_ -(m-2)+m _ 2m+2 (m-2)(m+2)

m2- 4 m2-4

Hosil qilingan (1)= mz-4

J a v o b : C ) - j- t/71

tenglik m ning barcha jo iz qiy-

matlarida o‘rinli.

2- 7. m = -1 da (1) ifoda f_J__L_V_zL_J_ =( j - ( - l ) -1 -1J -1+2 1-4

= l ( - l ) + - = - j bo'ladi. m ning m = -1 qiymatida faqat C )

javobdagi ifoda gateng. Demakjavob C ) ^ 2— bo‘ ladi.

f 46 6-2 4 63. Soddalashtinng: [ 7 3 ^ - 4 7 2 4 j ' 4 72 ' T 3 '

D )I; E)2.A ) - l ; B) | * ; C ) « ;

Y e c h i s h . Berilgan ifodada 6 = 0 deylik. U holda,

fo - j - ^ - 0 = 1. Ammo b = 0 deyilgan holga javoblardan

faqat D ) 1 mos keladi. Demak, to ‘g ‘ri javob D ) 1.

rcn13 — 7- sinfda „AIgebra'

4. Hisoblang:

A ) 10; B) 6 ; C ) 7; D ) 8 ;

: 8x'

E) 9.

Y e c h i s h . „Javoblar“ dan ko‘rinadiki, berilgan ifoda parametrlaming barcha joiz qiymatlarida ko‘rsatilgan o ‘zgarmas sonlaming birortasiga teng.

1- yo 7 (bevosita hisoblash):

1)

2)

a+x x -y _ ax+x2-ax+ay _ x2+ay.ax ax

x2+ayax = 7 ; 3 ) - : ^ - = 8 . J a v o b : D ) 8 .x*+ay x x 8x '

2-yo‘l.x = y = adeyilsa, berilgan ifoda 2 - j : 1 = 1 : ^ = 8

bo‘ ladi. Demak, to‘g ‘ ri javob D ) 8 ekan.

5. Ko‘phadni ko‘paytuvchilaiga ajrating:

2a2b — 3a+ 10 ab2— 15 b.A ) (2ab + 3)(a - 5b)\ B) (a + 5b)(2ab -3 );C) (3 +ab)(2a - 5b); D)(2a2+b)(b~5a); E)(ab+5)(2a~3b).Y e c h i s h . 1-yo‘l (bevosita hisoblash):

2a2b - 3a + I0ab2— 15b = 2ab(a +5b )~3 (a+5b )= =(a+5b)-(7ab—3). J a v o b : B) (a+5b)(2ab~3).

2- yo ‘l. b = 0 deyilsa, berilgan ko‘phad —3a ga teng bo‘Iadi. Javoblardan faqat B) dagi ifoda b=0 da - 3 a ga teng. Demak, javob B) (a+5b)(2ab— 3) bo‘ladi.

6 . Ushbu (4x—3) 2 —x (4 x + l) ifoda ko‘phadning standart shakliga keltirilsa, qaysi javob hosil bo‘ ladi?

A ) 2x2 + x -9 ; B) 12x2 - 25x+9; C ) 4x2 - 13x;D ) 8x2 —x+7; E) 12X2-23X+9.

Y e c h i s h . 1-yo‘l (bevosita hisoblash):

(4x — 3)2—x(4x + l)= 1 6 x2—24x+9—4x2—x=12x2-25x+9. J a v o b . B) \2x2—25x+9.

194

2-yo‘l. x=l deyilsa, berilgan ifodaning qiymati 1—1 x x (4 + l)= —4 bo‘ ladi. „Javoblar“ dan faqat B) dagi ko‘phad x = 1 da —4 ga teng. Demak, to‘g‘ ri javob B) 12x2—25x+9 dan iborat.

7. (854,5)2—(353,5)2=2004 • « tenglamalardan n ni toping.

A ) 303,5; B) -302; C ) 302; D ) -304; E) 302,25.

Y e c h i s h . 1-yo‘l (bevosita hisoblash):

1) (854,5 )2-(3 5 3 ,5 )2= (854,5+353,5)(854,5 -353,5 )= =1208-501;

2) 1208 • 501=2004 • n; 1208 • 501=501 • 4 • n, bundan « = 1208 : 4, «=302. J a v o b : C ) 302.

2- yo 7. a = 854,5; b = 353,5 deylik. a > b boigani uchun javob musbat son bo'lishi lozim. avab sonlaming kasr qismlari ayni bir xil son 0,5 dan iborat. Demak, a + b ham, a — b ham natural son bo iish i kerak. Shunday qilib, to ‘g ‘ ri javob C)302.

8. „Yaylovdagi otlaringiz nechta? — deb so‘ radi otliq cho‘pondan. „Agar otlarim soniga ulaming yarmi, uchdan biri, choragi, oltidan biri, nimchoragi, o ‘n ikkidan biri va sening oting qo‘shilsa, jami 60 ta bo‘ ladi“ , — dedi cho‘pon. Yaylovda nechta ot bor edi?

A ) 24; B) 48; C ) 36; D ) 59; E) 32.

Y e c h i s h . l-y o ‘l ( tenglamatuzish).

Yaylovdagi otlar soni x deyilsa, u holda masala mazmuniga mos tenglama

X X X X X X t x + — + — + — + -r + — + — + I — 602 3 4 6 8 12

bo‘ladi. Bundan 59x = 59 • 24, x = 24.2-yo‘l. Izlanayotgan x son 2, 3, 4, 6, 8, 12 ga qoldiqsiz

bo‘linishi kerak. Bunday x lar: 24,48, 72,... bo‘ lishi mumkin. Ammo masala shartini faqat 24 soni qanoatlantiradi, chunki ,javob“ dagi 48 soni uchun 48+(48:2)=72>60; „javob“ dagi 36; 59 sonlari 8 ga bo‘linmaydi; 32 esa 3 ga bo‘linmaydi. Demak, to‘g‘ri javob A ) 24.

195

9. ~ + 1 = 0 tenglamani yeching.

A ) 0; B) 0 ; C ) -3; D ) 2; E) -2.

1- yo 7 (bevosita ishlash). Umumiy maxrajga keltiramiz: 5x - 2 + 8x + 6 - 17x + 4 = 0.

Ozod hadlami tenglamaning ocng qismiga o ‘tkazamiz, o'xshash hadlami ixchamlaymiz. U holda - 4x = - 8; x = 2. J a v o b : D ) 2.

2 - yo‘l. Tenglamada x oldidagi koeffltsiyent manfiy (1,25+2-4,25 < 0), ozod had tenglamaning o‘ng qismiga o‘tka-

zilganda manfiy ^ -1 < o) ishorali bo‘lishini ko‘rish oson.

U holda x ning qiymati musbat bo‘ladi. Demak, javob: D ) 2.


I 3a _ 2a \ . 3a+16 6(o-6)\o+6 o* 2+12o+36/ o2-36 a + 6

A )6 ; B ) ^ ; C ) + j ; D ) 6; E )o - 6 .

1- yo 7 (bevosita hisoblash):

3a _ 2o _ 3a _ 2o _ 3fl2+18a-2a _ 3a2+16a.fl+6 o2+12a+36 o + 6 (a+6)2 (a+6)2 (a+6)2

3g2+16a , 3o+16 _ 3o2+16a (o-6)Jp+6y _(fl+6)2 o2- 36 (fl+6)Jp+6^ 3a+16

_ o-J>+t6y(fl-6) _ (fl-6) .(a + 6 )£ 2 a -+ t6 f o + 6 ’

3) ^ T + ? = S l< a + 6) = fl- 6- Javob;E)fl-6.2- yo 7. Berilgan ifodada a = 0 deyilsa, u - 6 ga teng

bo‘lishi ko‘rinib turibdi. a ning ayni shu qiymatida ,javoblar“ - dan faqat E) dagi ifoda -6 ga teng. Demak, to ‘g ‘ ri javob E) a - 6.

1 %

13. 2000 ■ 2001 ■ 2002 • 2003 + 1 soni biror x sonning kvadrati bo‘lishini isbot qiling va x ni toping.

14. Ko'paytuvchilarga ajrating:

1 )a2 - 2 a - 3;2)b2 - 7 b + 12;3)o3 +a2 - 12;4)x3 - Ix + 6;4)m2 - lm + 6;6)m2 - m - 2.


1)

3)

o4 + c3 + 4o2 + 3a + 3

o3- l

^2a2 -5ab + 3b2

' * 2a2 -a b -3 b 2;a2 + b3 +c2 + 2ab + 2 bc + 2ca * 16

a2 - b2 - c2 - 2bc16. Ifodani soddalashtiring va uning harflaming berilgan

qiymatlaridagi son qiymatini toping:

x3-4xy2 x2-2xy+yjcJ(jc-2y)+y2

1

2)mn

,m2-n 2 2n~2 mj

3 >5m+5n m m-----+-------- ------

m+n n-m ym-n

Amallami bajaring (77— 22):

x_2y .b u n d a x ^ - ^ , y = -5;

—— — , bunda m = 6^,w = -1,5;

2mtt , bunda m = 3^,w = - ^ .

17.11 o-l l-3fl+o2 1 a2+1

i8. i;

3o+(o-l)2 1

f 2 P * P 2

" o - l j

f 2p

• 1-fl ’

. JL ^^2/i+9 4p2+4pq+q2 J

f 2a 4o ^

\ q2-4p2^2p-q)

2 a 1--- z----=-+------

19. 1)

2)

a+b

1

a-b 2 aa2-2ab+b2 a2+2ab+b2 b~-a2 ’

.0-5 5-3o 131+2o

o2-18o+81 18a-81-o2 (9-o)2198

20. 1) W +H y+7 2y-l 7y3- i y2+>>+l ’ ' ^ ^+ ^ 'r y+2

9>2-ll>>+26y3+8

1 3x-2 18xJ> 3 x = I+ 9x2+6jc+4 + 8-27x3 •

21 nl+J__- 2) —___3- J_.XI. U X + X_1 X+1 , *+! x+2 + x-3 ’

3 _*__ 1 ■- l x- • 4\J____ 1____ 1__3 ; jc2+1 * + (x2+1 )2 ’ H ; x2 1+jc2 (1+x2)2

22. 1)4 2 1 1

1+x4 + 1+x2 + 1+* + l~x ’

2)a2-bc H2-ac c2-ab

[a+b)(a+c) + (6+c)(fl+6) + (o+c)(6+c)

23. Diametri 5 mm bo‘lgan po‘lat simdan balandligi 122 mm bo'lgan burama silindrik prujina tayyorlash kerak. Agar pmjina o'ramlari orasidagi bo'shliq yuk tushmagan vaqtda 88 mm ga teng bo‘ lishi lozim bo‘ lsa, prujina o ‘ramlari sonini toping.

24. Temir yo‘l stansiyasiga yaqin joydagi dala hovlisida yashovchi bir kishi odatda dala hovlidan 18 minutda stansiyaga poyezd jo'nashiga yetib kelardi. Bir kuni u kishi yo ‘ lga chiqishdan oldin hovlida bir necha minut ushlanib qoldi. Shundan keyin u tezligini odatdagidan 1,2 marta oshirgani bilan baribir poyezdga 2 minut kechikdi. U yo‘ lga chiqishdan oldin uyida necha minut ushlanib qolgan?

25. Hovuzni ertaga soat 16 gacha to'ldirish uchun bugun soat 13 da bitta quvumi ochishdi. Lekin hovuzni soat 12 gacha to'ldirish kerak bo‘lib qolgani uchun biror vaqtdan so‘ng xuddi shunday ikkinchi quvur ochib qo‘yildi. Ikkinchi quvumi soat nechada ochishgan?

26. Elektropoyezd svetofor yonidan 5 sekundda, uzunligi 150 m bo'lgan platforma yonidan esa 15 sekundda o ‘tdi. Elektropoyezdning uzunligi va uning tezligi qancha?

27. Fermer xo‘jaligidan shaharga boradigan yo‘ l awal tekis bo‘ lib, so‘ngra esa tepalikka ko'tariladi. Fermer xizmatchisi velosipedda yo'lning tekis qismini 12 km/soat tezlikbilan bosib o‘tdi. Tepalikka esa 3 km/soat tezlik bilan piyoda ko‘tarildi

194

va yo‘lga chiqqanidan 1 soat-u 40 minutdan keyin shaharga yetib keldi. Qaytishda tepalik yo‘ lni 15 km/soat tezlikbilan, tekis yo‘lni esa 12 km/soat tezlik bilan bosib o ‘tdi va shahardan chiqqanidan 58 minut o ‘tganidan keyin qishloqqa yetib keldi. Xo ‘jalikdan shahaigacha necha kilometr?

28. A qishloqdan fibekatga qarab piyoda kishi yo‘lga chiqdi. Oradan 1 soat-u 24 minut o ‘tgandan keyin xuddi shu yo ‘na- lishda>4 dan velosipedchi yoMgachiqdi va 1 soat o ‘tgandan keyin velosipedchining piyoda kishiga yetishigal km bor edi. Oradan yana bir soat o ‘tganidan keyin esa velosipedchi B ga yetib borishi uchun piyoda kishiga qaraganda ikki marta kam masofa qoldi. Agar AB masofa 27 km ga teng ekanligi ma’lum bo‘lsa, piyodakishining vavelosipedchining tez- liklarini toping.

29. Velosipedchi ma’lum tezlik bilan harakat qilib, A bekatdan B bekatga belgilangan vaqtda yetib keldi. Agar u shu tezligini 3 km/soat ga oshirganda edi, belgilangan joyga muddatidan bir soat oldin yetib kelardi, agar u tezligini 2 km kamaytirganida edi, u holda manzilga bir soat kechikkan bo‘lar edi. A va B bekatlar orasidagi masofani, velosipedchining tezligini va uning harakat vaqtini aniqlang.

30. Otlami boqish uchun ma’lum vaqtga pichan g ‘amlashdi. Agar otlar ikkita kam bo‘lganida edi, u holda bu pichan yana 10 kunga yetgan bo‘lar edi; agar otlar ikkita ko‘p bo‘lganida edi, u holda pichan belgilangan muddatga 6 kun qolganida tugar edi. Otlar nechta bo‘lgan va pichan necha kunga mo‘ljallangan?

231. Birinchi quvur hovuzni ikkinchi quvur uning - qis-

mini to‘ldirishga ketgan vaqtning yarmida to‘ ldiradi. Ikkinchi quvuming o ‘zi hovuzni birinchisiga qaraganda 6 soat kech to'ldiradi. Har bir quvur hovuzni alohida-alohida qancha vaqtda to‘ldiradi?

32. Mis bilan mx qotishmasida mis mxdan 640 g ortiq.

Qotishmadan undagi misning | qismini va 60% ruxni ajratib

olishganidan keyin qotishmaning massasi 200 g ga teng bo‘libqoldi. Dastlab qotishmaning massasi qancha bo‘ lgan?200

33. A qishloqdan piyoda kishi, shu vaqtning o ‘zida B qishloqdan ungaqarab velosipedchi yo ‘ lga chiqdi. Ular uchrashganlaridan keyin piyoda B ga qarab yo‘ lini davom ettirdi, velosipedchi esa orqasiga qaytib, u ham B ga qarab jo ‘nadi. Piyoda B ga velosipedchidan 2 soat kech yetib kelganligini, piyodaningtezligiesavelosipedchinikidan 3marta kam ekanligi ma’lum. Harakat boshlanganidan to piyoda bilan velosipedchi uchrashgunchaqanchavaqt o ‘tgan?

34. Suzuvchi daiyo oqimiga qarshi suzib borayotib, daryoda oqib kelayotgan bo‘sh qayiqni ko'rib qoldi. U qayiq bilan uchrashganidan keyin yana oqimga qarshi suzishni / minut davom ettirdi va orqasiga qayrilib, uchrashuv joyidan s metr masofada qayiqni quvib yetdi. Daryo oqimining tezligini toping.

35. A qishloqdan B qishloqqacha bo‘ lgan 11,5 km uzunlikdagi yo‘l awal tepalikka ko‘tariladi, keyin tekislik bo‘ylab va, nihoyat, pastlikka qarab boradi. Piyoda kishi A dan B gacha bo‘lgan yo‘ lga 2 soat-u 54 minut, qaytishidagi yo‘lga esa 3 soat-u 6 minut vaqt sarf qildi. U tepalikka 3 km/soat tezlik bilan ko‘tarildi, tekis yo‘lda 4 km/soat tezlik bilan yurdi, pastga esa 5 km/soat tezlik bilan tushdi. Y o ‘lning tekislik bo‘ylab o ‘tadigan qismi necha kilometmi tashkil qiladi?

TARIXIY MASALALAR

36. Ota o ‘g ‘liga yechish uchun 30 ta masalani taklif etdi va u bilan bunday kelishdi: har bir to ‘g ‘ri yechilgan masala uchun otasi o ‘g‘liga 7 tanga to‘laydi; har bir noto‘g‘ri yechilgan masala uchun o ‘g ‘li otasiga 12 tanga to‘laydi. Pirovardida kelishuvga muvofiq otasi o‘g‘liga 77 tanga to‘ladi. Nechta masala to‘g ‘ri yechilgan?

37. 56 ta ko‘zguni tashish uchun bir kishi aravakashni bunday shart bilan yolladi: aravakash butun yetkazib kelingan har bir ko‘zgu uchun 1 tangadan oladi, yo ‘lda sinib qolgan har bir ko‘zgu uchun 6 tanga to ‘ laydi. Hisob- kitobda aravakash hech narsa olmasligi ma’lum bo‘ldi. Nechta ko‘zgu butun qolgan?

38. Turli qishloqlarda yashovchi ikki o'rtoq ko‘rishishni istab, bir kunning o ‘zida yo‘ lga chiqish va kuniga 28 km dan

201

yurishga kelishib olishdi. Ulardan biri betobligi sabab kelishilganidan 3 kun kechikib yo ‘lga chiqdi va kechikilgan vaqtni yetkazib olish maqsadida kuniga 49 km dan yura boshladi. Shunday qilib bu o 'rtoqlar o ‘zlari mo'ljallangan kuni uchrashishdi. Qishloqlar orasidagi masofani toping.

39.5 ta lagan va 7 ta kosa sotib olindi va hammasiga 5600 so‘m to‘landi. Boshqa gal shu narxlarda 10 ta lagan va 3 ta kosa sotib olindi va 7900 so‘m to‘ landi. Har bir lagan necha so‘mdan va har bir kosa necha so'mdan sotib olingan?

40. Ona qizi bilan gilam to‘qishmoqda. Agar ular doimo biiga ishlashadigan bo‘lishsa, gilam 15 haftada tayyor bo‘lishini hisoblashdi. Aslida esa ular faqat birinchi 8 hafta davomida biigalikda ishlashdi, shundan so‘ng faqat qizi ishlay boshladi va u 28 haftadan so‘ng gilamni to‘qib bo‘ldi. Ona-bola alohida- alohida ishlaganlarida ulaming har biri gilamni necha haftada to‘qib bo‘ lishlari mumkin?

41. Xattot bir kunda 14 sahifa, uning o ‘g‘ li esa faqat 8 sahifa matnni ko‘chirib yozishi mumkin. Birinchi 6 kun davomida matnni o ‘g‘ lining yolg‘ iz o ‘zi ko‘chirdi. Shundan so‘ng ishni belgilangan muddatda tugatish maqsadida otasi ham yordam qildi. Ish tugaganidan so‘ng ulaming har biri bir xil miqdordagi sahifani ko‘chirganliklari ma’ lum bo‘ldi. Ular jami necha sahifa matn ko‘chirganlar?

202

SINFDAN TASHQARI ISHLAR UCHUN MASALALARGA JAVOBLAR

8. 3 raqami bilan. 9. 10 989.11. To‘g‘ri. 14. 2) (b — 3)(b — 4);

4) ( x - l ) ( x - 2 ) (x + 3); 6) (m + l)(m - 2). 15. 2) 16.

2) 2- 17- 2) 2P2PP+qq) • 20* 2) °- 22‘ d b ' ’ 2) ° ' 23* 10 ° ‘ram'24. 5 minut. 25. Ertalab soat 8 da. 26.75 m, 15 km/soat. 27.12 km.

28.5 km/soat, 11 km/soat. 29.60 km, 12 km/soat, 5 soat. 30. 8 ta

ot, 30 kunda. 31. 3 soat, 9 soat. 32. 1040 gramm. 33. 1 soat. 34. ^-m/s. 35. 4 km.

T A V S I Y A E T I L A D I G A N A D A B I Y O T L A R

1. I. A. Karimov. 0 ‘zbekiston XXI asrga intilmoqda. T., „0‘zbekiston“, 1999.

2. I. A. Karimov. Barkamol avlod orzusi. T., „Sharq“, 1999.3. Umumiy o‘rta ta’limning Davlat ta’lim standarti va o'quv dasturi,

„Ta’lim taraqqiyoti", 4- maxsus son, T., „Sharq“, 1999.4. Umumiy o'rta ta’limning Davlat ta'lim standarti va o'quv dasturi",

T., Respublika ta'lim markazi 2004.5. Al-Xorazmiy Muhammad ibn Muso. Tanlangan asarlar. Mate-

matika. T., „Fan“, 1983.6. AA’zamov, B. Haydarov. Matematika sayyorasi. T., „0‘qituvchi“,

1993.7. Matematikadan qo'llanma, I, II jildlar. AkademikT. A. Azlarov

tahriri ostida. T., „0‘qituvchi“, I — 1979, I I—1989.8. E. Sariqov, B. Haydarov, Q. Qambarov. Iqtisodiy bilim asoslari.

Uslubiy qo‘llanma. T., „Mehnat“, 2002.9. Yangi pedagogik texnologiya. 0 ‘qituvchilar uchun metodik tavsiyalar.

T., Respublika Ta’lim markazi, 2000.10. Yosh matematik qomusiy lug‘ati. Prof. A . A ’ zamov tahriri

ostida, Qomuslar bosh tahririyati, 1991.11. N. S. Saydahmedov. Pedagogik amaliyotda yangi texnologiyalami

qo'llash namunalari. T., Respublika Ta’lim markazi, 2000.12. Sh. O.AIimov, M.A.Mirzaahmedov, O.R.Xolmuhamedov, 9-

sinfda „Algebra“. 0 ‘qituvchilar uchun uslubiy qo‘llanma T., „0‘qituvchi“, 2002.

13. Ahadova M. O'rta Osiyoning mashhur olimlari va ularning matematikaga oid ishlari T., „0 ‘qituvchi“, 1983.

14. S. Ahmedov, B. Abdurahmonov. Beruniy asarlarida maktabbop masalalar. T., „0‘qituvchi“, 1975.

15. Sh.O.Alimov va boshqalar, Algebra, 7., T., G'ofur G ‘ulom nashriyoti, 2004.

16. Davlat Test Markazining „Axborotnoma“lari.17. Fizika, matematika, informatika. Ilmiy-uslubiy jurnal (2001-

yildan boshlab nashr etilyapti).18. „MaTeMaTHKa b uiKOJie", HayHHO-MeTOjumecKHfi xcypHar, M.,

„npocBemeHHe“ .

204

M U N D A R I J A

Kirish...................................................................................3Darslikning tuzilishi...............................................................3Metodik qo'llanmaning tuzilishi.............................................. 87- sinf uchun „Algebra“dan Davlat ta’lim standarti............... 117- sinf „Algebra“ kursini mavzular bo'yicha namunaviyrejalashtirish........................................................................ 22Yangi pedagogik texnologiyalar haqida...................................25

Jbob. Algebraik ifodalar1- §. Sonli ifodalar................................................................312- §. Algebraik ifodalar.......................................................... 353- §. Algebraik tengliklar, formulalar...................................... 404- §. Arifmetik amallaming xossalari....................................... 445- §. Qavslami ochish qoidalari..............................................48Qobiliyatli oTquvchilar uchun mashqlar....................................531- yozma nazorat ishi............................................................ 58

II bob. Bir noma'lumli birinchi darajali tenglamalar6- §. Tenglama va uning yechimlari......................................... 617- §. Bir noma'lumli birinchi darajali tenglamalarni yechish....658- §. Masalalami tenglamalar yordamida yechish.....................70Qobiliyatli o ‘quvchilar uchun mashqlar....................................742- yozma nazorat ishi............................................................ 79

III bob. Birhadlar va ko‘phadlar9- §. Natural ko'rsatkichli daraja............................................8110- §. Natural ko‘rsatkichli darajaning xossalari.......................8411- §. Birhad va uning standart shakli..................................... 8712- §. Birhadlami ko'paytirish............................................... 9013- §. Ko'phadlar..............................................................9314- §. 0 ‘xshash hadlarni ixchamlash...................................... 9615- §. Ko'phadlarni qo‘shish va ayirish....................................9916- §. Ko'phadni birhadga ko'paytirish................................. 10217- §. Ko‘phadni ko‘phadga ko‘paytirish.................................10418- §. Birhad va ko'phadni birhadga bo‘lish............................. 107Qobiliyatli o ‘quvchilar uchun mashqlar.................................. 1113- yozma nazorat ishi..........................................................1144- yozma nazorat ishi..........................................................117

JVbob Ko'phadni ko‘paytuvchilarga ajratish19- §. Umumiy ko‘paytuvchini qavsdan tashqariga chiqarish.... 12020- §. Guruhlash usuli.........................................................12421- §. Yig‘indining kvadrati. Ayirmaning kvadrati.................. 12722- §. Kvadratlar ayirmasi formulasi..................................... 13223- §. Ko‘phadni ko‘paytuvchilarga ajratishning bir necha

usullarini qo‘llash...................................................... 135Qobiliyatli o'quvchilar uchun mashqlar.................................. 1395 - yozma nazorat ishi........................................................ 144

V bob. Algebraik kasr24- §. Algebraik kasr. Kasrlami qisqartirish............................ 14725- §. Kasrlarni umumiy maxrajga keltirish.............................15026- §. Algebraik kasrlami qo'shish va ayirish..........................15427- §. Algebraik kasrlami ko'paytirish va boMish.................... 15728- §. Algebraik kasriar ustida biigalikda bajariladigan amallar.....159Qobiliyatli o ‘quvchilar uchun mashqlar.................................. 1626- yozma nazorat ishi..........................................................1677- yozma nazorat ishi..........................................................170Yakuniy yozma nazorat ishi..................................................172Qobiliyatli o'quvchilar uchun sinov (test) mashqlari............. 175Sinov mashqlari (testlar)ni yechish namunalari.....................192Sinfdan tashqari ishlar uchun masalalar...............................197Sinfdan tashqari ishlar uchun masalalarga javoblar.................203Tavsiya etiladigan adabiyotlar...............................................204

Documents

7- sinfda ALGEBRA38-dimi.uz/wp-content/uploads/2017/11/Algebra_7-sinf...Metodik qo‘llanma 7- sinf „Algebra“ darsligiga mos keladi. Matematika o‘qituvchilari yoki qobiliyatli