7. Unvollständige Information

Erster Hauptsatz der Wohlfahrtstheorie:In einer Ökonomie mit bestimmten Voraussetzungen ist jedes Marktgleichgewicht bei vollkommener Konkurrenz eine Pareto-effiziente Allokation.

Eine Voraussetzung ist Vollkommene Markttransparenz: Jeder Marktteilnehmer kann die Qualität der gehandelten Güter kostenlos beobachten.

Diese Annahme ist auf privaten Versicherungsmärkten verletzt, wenn der Versicherer (Anbieter einer Versicherung) den Umfang des zu versichernden Risikos weniger gut abschätzen kann als der Versicherungsnehmer (Nachfrager der Versicherung).

⇒ Asymmetrische Information

Gründe:

a) Versicherer kann gegebene Größe nicht beobachten, die der Versicherungsnehmer kennt (Erbanlagen, frühere Krankheiten etc.)

⇒ Adverse Selektion

b) Versicherungsnehmer kann das Risiko durch eine Handlung, die derVersicherer nicht beobachten kann, selbst beeinflussen.

⇒ Verhaltensrisiko (Moral Hazard)

Folgende Analyse von Versicherungsmärkten bezieht sich auf die Versicherung allgemein aller Lebensrisiken (Krankheit, Arbeitslosigkeit, Pflegebedürftigkeit, Erwerbsunfähigkeit, Langlebigkeit).

Solche Risiken sind typischerweise durch eine Sozialversicherungabgedeckt, was in einer freiheitlich verfassten Gesellschaft einer Begründung bedarf, da Sozialversicherungen mit Zwang ausgeübt werden, und nicht auf freiwilligen Verträgen wie bei einer Privatversicherung beruhen.

7.1. Versicherungsmärkte unter vollständiger Information

Terminologie:

• Einkommen ohne Schaden

• Schaden (z.B. Arztkosten bei Krankheit, so dass

weniger Einkommen für Konsum übrigbleibt)

• Ohne Versicherung sind die Einkommen

im guten Zustand der Welt

im schlechten Zustand der Welt

• Wahrscheinlichkeit für Schadensfall (Krankheit)

• Wahrscheinlichkeit für guten Zustand

• Erwartetes EinkommenSG ππ −=1

y

yyG =

[ ] SSGG yyyE ππ +=

L

LyyS −=

Sπ

Neumann-Morgenstern Nutzenfunktion:Eigenschaften

- wächst monoton in W: - streng konkav:

Risikoaversion: Individuum bevorzugt den sicheren Erwartungswert zweier Einkommen gegenüber der unsicheren Chance, ein hohes statt ein niedriges Einkommens zu erhalten:

( )yu

( )yEy

u

Gy

( )[ ]yuE

( )[ ] [ ] ( ) ( ) ( )[ ]yuEyuyuyyuyEu SSGGSSGG =+>+= ππππ

( ) 0'' <yu

( )yu

( ) 0' >yu

( )[ ]yEu

Sy

( )Syu

( )Gyu

Versicherung:

• Entschädigung im Schadensfall (Deckungssumme)

• Prämie pro Euro Entschädigung

• Mit Versicherung sind die Einkommen

im guten Zustand der Welt

im schlechten Zustand der Welt

Der Konsument entscheidet, in welchem Umfang er versichert sein will, d. h. wie viel Entschädigung V er im Schadensfall erhalten will. Wird er bei gegebener Prämie p eine Deckungssumme V* wählen, die seinen gesamten potentiellen Schaden L abdeckt?Durch Wahl der Entschädigung kann der Konsument Einkommen zwischen gutem und schlechtem Zustand der Welt transferieren:

Überlegen Sie, warum nur 0 < p < 1 sinnvoll ist.

V

pVyyG −=)1(

pp

dydy

G

S −−=

1

p

( )VpLyVpVLyyS

−+−=+−−=

1)2(

Durch Kauf von Deckung (oder Entschädigung) V kann man sich vom ursprünglichen Punkt A zum Preis (1–p)/p wegtauschen. Man gibt etwas Einkommen im guten Zustand auf und erhält dafür mehr Einkommen im schlechten Zustand.

y

Sy

ALy −

Gy

Sicherheitslinie

Versicherungsgerade

pp−

−1 :Steigung

45°

• Die Versicherungsgerade (Budgetbedingung des Haushalts) erhält man auch, indem man für V in Gleichung (2) aus (1) einsetzt:

=> Für jeden aufgegebenen Euro im guten Zustand erhält man (1–p)/p Euro im schlechten Zustand.

• Welche Auswirkung hat eine Erhöhung der Versicherungsprämie p?

Steigung der Indifferenzkurven des Erwartungsnutzens• Erwartungsnutzen:

• Indifferenzkurven: Wie muss sich das Einkommen im schlechten Zustand bei Änderung des Einkommens im guten Zustand ändern, so dass der Nutzen konstant bleibt?

• Steigung:

( )GS yyp

pLyy −−

+−=1

( ) ( )SSGG yUyUEU ππ +=

( ) ( ) 00

'' =+⇔

=

SSSGGG dyyUdyyUdEU

ππ

( )( )SS

GG

G

S

yUyU

dydy

'

'

ππ

−=

Wieviel Versicherung fragt der Konsument nach?

Maximierung des Erwartungsnutzens:

Bedingung erster Ordnung:

Steigung der Indifferenzkurve gleich Steigung der Versicherungsgerade

• Nun kennen wir zwar die Optimalbedingung für den Konsumenten, wissen aber immer noch nicht, ob er sich vollständig oder nur partiell versichert.

( ) ( ) ( )( ) ( )( )VpLyUpVyU

yUyUVEUMax

SG

SSGGV

−+−+−=

+=

1ππ

ππ

( ) ( ) ( )( )( )

( )( ))3(1

1

011

'

'

''

pp

VpLyUpVyU

VpLyUppVypU

S

G

SG

−−=

−+−−

−⇔

=−+−−+−−

ππ

ππ

• Das hängt schließlich davon ab, wie hoch die Versicherungsprämie ist; genauer: ob die Versicherungsprämie fair oder unfair ist.

• Mit einer fairen Prämie bezeichnet man einen Versicherungstarif, der das erwartete Einkommen des Versicherten unverändert lässt.

• Das erwartete Einkommen beträgt

• Bei welcher Prämie p wird das erwartete Einkommen von der Versicherung nicht verändert?

Dann folgt:

GS pp ππ =−⇒= 1

( ) ( )( )VpLypVy SG −+−+− 1ππ

( ) ( )( )( )

( )LyyVLyVy

VpLypVy

SG

GSSSGG

SG

−+=+−+−=−+−+−

ππππππππ

ππ 1

Versicherung bei fairer Prämie– Wir setzen in (3) die Bedingung für eine faire Prämie ein und erhalten:

Bei fairer Prämie fragt der Konsument also so viel Versicherung nach, dass der Grenznutzen in beiden Zuständen der Welt gleich ist.

• Das erfordert (bei strikter Konkavität des Nutzens):

Ergebnis: Bei fairer Versicherung wählt der Konsument Volldeckung.

( )LVoder

VpLypVy=

−+−=−*:

1

Sp π=

( )( )( )

( ) ( )( )VpLyUpVyU

pp

VpLyUpVyU

S

G

−+−=−⇔

−−=

−+−−

−

1

11

''

'

'

ππ

y

ALy −

Gy

SicherheitslinieVersicherungsgerade

pp−

−1 :Steigung

45°

Sy

pLy −

BpLy −

Indifferenzkurve

Vollgedeckte Versicherung bei fairer Prämie

Versicherung bei unfairer Prämie• Verlangt die Versicherung einen Aufschlag auf die faire

Versicherungsprämie, gilt:

• Da nun , kann die Optimalitätsbedingung (3) nur erfüllt sein, wenn

• d. h. der Grenznutzen im schlechten Zustand der Welt muss größer sein als der Grenznutzen im guten Zustand.

• Das erfordert wegen der Konkavität der Nutzenfunktion, dass das Einkommen im guten Zustand höher ist:

• Da das Einkommen im schlechten Zustand niedriger bleibt, hat derKonsument nur eine Teildeckung erworben:

( )VL

VpLypVy>⇔

−+−>− 1

SG yy >

GS pp ππ <−⇒> 1

( ) SGpp ππ<−1

( ) ( )( )VpLyUpVyU −+−<− 1''

y

ALy −

Gy

SicherheitslinieVersicherungsgerade

45°

Sy

*Gy

B*Sy

Indifferenzkurve

C

Teilgedeckte Versicherung bei unfairer Prämie

• Welche Prämie wird sich auf perfekten Versicherungsmärkten herausbilden?

Gleichgewichtskonzept nach Rothschild und Stiglitz (1976):Ein R-S-Gleichgewicht bezeichnet eine Menge von Vertragsangeboten

seitens der Versicherungsunternehmen mit den folgenden Eigenschaften:

1. Jeder einzelne Vertrag bringt seinem Anbieter im Erwartungswert einen nichtnegativen Gewinn ein.

2. Es gibt keinen potentiellen Vertrag außerhalb der Gleichgewichtsmenge, der mit einem positiven erwarteten Gewinn verbunden wäre.

3. Unter allen Verträgen, die die Bedingungen 1 und 2 erfüllen, werden diejenigen realisiert, bei denen die Individuen den höchsten Erwartungsnutzen erreichen.

• Unterstellen wir, dass die Risiken der einzelnen Konsumenten stochastisch unabhängig sind oder dass die Versicherungen risikoneutral sind (so dass Risiko perfekt versicherbar wird).

• Der erwartete Gewinn eines Versicherungsunternehmens pro Versicherungsnehmer beträgt

• Wettbewerb zwischen Versicherungsunternehmen führt dazu, dass sich die Unternehmen durch Wahl der Prämie auf Nullgewinne herunterkonkurrieren:

• Perfekter Wettbewerb im Versicherungsmarkt führt zu fairen Prämien und damit Vollversicherung der Konsumenten.

( )VppV SG 1−+ππ

( )S

SG

pVppV

GewinnErwartete

πππ

=⇔−=⇔=

10

Das R-S-Gleichgewicht ist zugleich eine Paretooptimale Risikoallokation, denn bei gegebenem maximalem erwarteten Gewinn des Versicherers in Höhe von Null kann der Versicherungsnehmer nicht besser gestellt werden.

Dieses Ergebnis für Paretooptimalität kann auf den Fall mehrerer Typen von Versicherten j mit unterschiedlicher Schadenswahrscheinlichkeit und gleichem potentiellem Schaden verallgemeinert werden:Hier erhält jeder Typ j eine Versicherung mit der Entschädigung (Deckungssumme) und der Prämie Ein solches Optimum ist ein First-Best-Optimum.

jSπ

*VjS ⋅π

L

LV =*

y

ALy −

Gy45°

Sy

Ly BSπ−

BB

Ly ASπ−

AB

Zwei Versicherungstypen mit BS

AS ππ >

AS

AS

ππ−

−1 :Steigung

BS

BS

ππ−

−1 :Steigung

Ergebnis:

Bei symmetrischer Information erhält im Gleichgewicht jedes Individuum einen Versicherungsvertrag mit einer fairen Prämie.

Jeder Versicherungsnehmer versichert sich voll gegen sein Risiko.

Dieses Gleichgewicht ist Pareto-effizient.

7.2. Adverse SelektionDas Grundproblem der Adverse SelectionAdverse Selektion liegt vor, wenn aufgrund nicht beobachtbarer

Eigenschaften nur die schlechteste Qualität im Markt übrig bleibt.Akerlofs (1970) klassisches Beispiel des Gebrauchtwagenmarktes (Market for

Lemons):• Weil die Qualität der Gebrauchtwagen unbeobachtbar ist, orientiert sich

der Preis an der durchschnittlichen Qualität der gehandelten Fahrzeuge. (Die Käufer kennen zwar die Verteilung der Qualitäten, wissen aber nicht, ob ein einzelnes Auto von guter Qualität ist oder unbeobachtbare Macken hat.)

• Das führt aber dazu, dass nur solche Autos angeboten werden, deren Wert (aufgrund der Qualität) niedriger ist als der Marktpreis. Autos die besser sind, behält man als potentieller Verkäufer lieber selbst.

• In der Folge sinken die durchschnittliche Qualität und damit der Preis. Am Ende werden nur noch die schlechtesten Autos (Lemons) am Gebrauchtwagenmarkt angeboten.

Modell• Zwei Typen von Personen unterscheiden sich nun exogen in ihren

Schadensfallrisiken.• Falls der Schadensfall eintritt, beträgt bei allen der Schaden L. Einige

werden aber mit größerer Wahrscheinlichkeit vom Schaden betroffen als andere.

• Die Versicherung kann den Risikotyp des Versicherungsnehmers jedoch nicht beobachten.

Terminologie:• Zwei Risikotypen A und B mit

hoher und niedriger Schadenswahrscheinlichkeit• Anteil der hohen Risiken an der Bevölkerung• Beide Typen haben dasselbe Anfangseinkommen und dieselben

Schadenshöhen , d.h. ohne Versicherung befinden sich beide Personen in Punkt A der Graphik

• Durch Versicherung kann man Einkommen zwischen den Zuständen der Welt transferieren (Notation wie bisher)

• Versicherungsleistung im Schadensfall• Prämie

10 << βy

VpP ⋅=

L

V

BS

AS ππ >

• Die Einkommen betragen

im guten Zustand

im schlechten Zustand

• Erinnerung: Die Steigung der Indifferenzkurven ist:

• Wie verlaufen die Indifferenzkurven von guten und schlechten Risiken?

pVyyG −=

( ) ( )( )S

G

dEUG

S

yUyU

dydy

'

'

0

1⋅⋅−

−== π

π

( )VpLyVpVLyyS

−+−=+−−=

1

A

( )ASEU π

( )BSEU π

y

Ly −

Sy

Gy

Sicherheitslinie

Das Problem der Versicherung• Die Versicherung könnte versuchen, zwei separate Tarife für die beiden

Risikotypen anzubieten.

• Bietet sie Versicherungskontrakte zu fairen Prämien an, so könnte jeder Haushalt Vollversicherung erreichen – die schlechten Risiken in BA, die guten Risiken in BB – und die Versicherung würde Nullgewinn erzielen.

• Welche Anreize bestehen für die schlechten Risiken?

Die Individuen der Risikogruppe A werden vorgeben, ein gutes Risiko aus Gruppe B zu besitzen, um die niedrigere Prämie bei gleichem Versicherungsschutz zu zahlen.

• Welche Folgen hat das für die Versicherung?

Die Versicherung kann in der Folge ihre Versicherungsleistungen nicht mehr mit den erzielten Prämien finanzieren:

Versicherung macht Verlust!

LBS ⋅π

( )( ) ( ) LPL BS

BS

AS πββπββπ =−+>−+ 11

y

ALy −

Gy45°

Sy

Ly BSπ−

BB

Ly ASπ−

AB

Adverse Selektion mit Typen BS

AS ππ >

( )Bs

B pEU π=( )A

sA pEU π=

( )Bs

A pEU π=

• Da die Versicherung gute und schlechte Risiken nicht unterscheiden kann, selektieren sich die besser informierten Nachfrager auf dem für die Versicherung nachteiligen Vertrag.

• Die Versicherung kann dann nur die Prämie erhöhen: , wodurch aber die guten Risiken aus dem Markt ausscheiden werden.

• Für die Versicherung gibt es nun zwei Lösungsmöglichkeiten dieses Problems:

(1) Sie bietet einen gemeinsamen Tarif für beide Risikotypen an, so dass sie keinen Verlust macht, wenn beide diesen Tarif wählen (Pooling-Kontrakt)

(2) Sie bietet einen Tarif an, bei dem sich die beiden Typen freiwillig auf die für sie vorgesehenen Versicherungsverträge selektieren (Separating-Kontrakt)

• Wir wollen in den folgenden beiden Abschnitten untersuchen, wie jeder dieser Kontrakte aussieht und ob er im Marktgleichgewicht Bestand haben kann.

BSp π>

Pooling-Verträge• Kann eine Versicherung die Qualität (z.B. Krankheitsrisiko) der Kunden

nicht beobachten, so wird sie u. U. in einer Mischkalkulation eine Prämie verlangen, die sich an der mittleren Qualität orientiert.

• Solche Versicherungen bezeichnet man als Pooling-Kontrakte, da gute und schlechte Risiken „gepoolt“ werden.

Pooling-Kontrakte

• Das Versicherungsunternehmen bietet zu einer einheitlichen Prämie Verträge für beide Risikogruppen an. Seien und die zu dieser Prämie jeweils von den Risikogruppen nutzenmaximierendnachgefragten Versicherungsleistungen, dann sind die Prämien

• Da im Gleichgewicht die Nullgewinnbedingung erfüllt sein muss (erwartete Prämieneinnahmen = erwartete Versicherungsauszahlung), gilt für jeden Vertrag:

AV

( ) ( ) )2(11 BBSA

ASBA VVPP πββπββ −+=−+

BV

)1(, BBAA VpPVpP ⋅=⋅=

p

• Einsetzen von (1) in (2) und auflösen nach p ergibt:

• Wegen und , folgt

• Wenn man also 1 Euro Prämie an die Versicherung im guten Zustand der Welt zahlt, bekommt man

im schlechten Zustand ausbezahlt (betragsmäßige Steigung der Versicherungsgeraden).

pp

dydy

G

S −=−

1

( )( ) BA

BBSA

AS

VVVVp

⋅−+⋅⋅⋅−+⋅⋅

=ββ

πβπβ11

10 << βBS

AS p ππ >>

BS

AS ππ >

y

ALy −

Gy45°

Sy

BB

AB

Einheitliche Prämie: BS

AS p ππ >>

AS

AS

ππ−

−1 :Steigung

BS

BS

ππ−

−1 :Steigung

pp−

−1 :Steigung

C( )A

SAEU π

( )pEU A ( )BS

BEU π

D

( )pEU B

• Die Versicherungskontrakte, die für die Versicherung Nullgewinn erzeugen würden, wenn beide Typen sich versichern, sind durch die Gerade ADC angegeben.

• Diese Versicherungsgerade verläuft flacher als eine Versicherungs-gerade, die nur die guten Risiken enthält, und steiler als die Versicherungsgerade, die nur die schlechten Risiken enthält. Warum?

• Welche Verträge wollen gute und schlechte Risiken abschließen?

Das schlechte Risiko kauft eine Überversicherung. Denn der Pooling-Kontrakt bietet ihm zu günstige Versicherungsbedingungen, so dass es den Punkt C wählen wird.

Das gute Risiko wird sich nur teilversichern (Teildeckung). Der Pooling-Vertrag bietet ihm keine fairen Prämien mehr und entsprechend wird es seine Versicherungsdeckung reduzieren.

• Welchen Pooling-Kontrakt wird die Versicherung anbieten?

Da beide Verträge (der guten Risiken mit Teilversicherung und der schlechten Risiken mit Überversicherung) die Nullgewinnbedingung im Erwartungswert erfüllen, könnte die Versicherung die Überversicherung der schlechten Risiken tragen.

Da jedoch ein Individuum mit schlechtem Risiko noch einen Gewinn bei Eintritt des Schadens machen würde (Deckungssumme ist größer als Schadenssumme), besteht das Problem des moralischen Risikos in hohem Maße.

Das Versicherungsunternehmen wird deshalb die Versicherungs-leistung (die Deckungssumme) für die schlechten Risiken nach oben begrenzen, z.B. auf den Umfang der Versicherungsleistung, den die guten Risiken im Punkt D erhalten ( ) .

Beide Risikotypen bekommen dann eine Versicherung angeboten mit der Entschädigung (Deckungssumme) und der Prämie

BV

BVBVp ⋅

y

ALy −

Gy45°

Sy

BB

AB

Pooling-Vertrag mit einheitlicher Leistung: ( )BB VpV ⋅,

( )AS

AEU π ( )pEU A

( )BS

BEU π

D

( )pEU B

BVpy −

D bevorzugenRisiken schlechteattraktiv,Risiken gutefür

F

Warum Pooling-Verträge keinen Bestand haben

• Ein Pooling-Vertrag wie D kann kein Marktgleichgewicht sein.

• Wenn alle Versicherungsunternehmen D anbieten, dann kann ein Versicherer stets einen Kontrakt F anbieten, der nur für die guten Risiken attraktiv ist und dem Versicherer einen (positiven) Gewinn bringt:

F liegt oberhalb der Indifferenzkurve und wird damit von allen Individuen des guten Risikotyps B nachgefragt.

F liegt unterhalb der Indifferenzkurve und wird damit von keinem der Individuen des schlechten Risikotyps A nachgefragt (die D vorziehen)

F liegt unterhalb der Versicherungsgerade und sichert damit dem Versicherungsanbieter einen positiven erwarteten Gewinn, wenn nur gute Risiken sich bei ihm versichern (Versicherungsgerade liefert gerade Nullgewinn für B-Typen)

• Damit kann im Punkt D kein Gleichgewicht vorliegen.

• Dieses Argument, dass man von einem Pooling-Vertrag stets profitabel abweichen kann, hängt nicht vom Ausgangspunkt D ab. Warum?

BABBAB

( )pEU B

( )pEU A

Ergebnis (Nicht-Existenz von Pooling-Gleichgewichten):Bei Unbeobachtbarkeit der Risiken kann es kein Gleich-gewicht am Versicherungsmarkt mit Pooling-Kontraktengeben. Eine solche Vertragssituation kann stets von einem konkurrierenden Versicherungsunternehmen angegriffen werden und hat deshalb keinen Bestand.

Separierende Verträge• Falls es kein Gleichgewicht mit Pooling-Kontrakten gibt, wie muss dann ein

Gleichgewicht mit separierenden Kontrakten aussehen?

• Folgende Bedingungen müssen im Gleichgewicht erfüllt sein:

– Jeder Vertrag für sich macht Nullgewinn (keine Quersubvention).

– Die guten und schlechten Risiken selektieren sich selbst auf die angebotenen Verträge gemäß ihrer Risikotypen (Anreizkompatibilität).

• Ein solches Paar von separierenden Verträgen ist in der folgenden Abbildung mit den Punkten BA und G illustriert:

Nullgewinn jedes Vertrags:

Alle Verträge im Gleichgewicht, die vom Risiko-A-Typ nachgefragt werden, müssen auf der Vertragsgerade ABA liegen und alle Verträge, die von Risiko-B-Typ nachgefragt werden, müssen auf Vertragsgerade ABB liegen.

Selbstselektion:

A-Typ wählt den Vertrag in Punkt BA (Nutzenmaximum: Vollversicherung)

B-Typ bekommt Vertrag in Punkt G angeboten (Teilversicherung)

y

ALy −

Gy45°

Sy

BB

AB

Separierende Verträge:

( )AS

AEU π

( )LVEU BS

B <,π

( )LVEU BS

B =,π

G

• Verträge für Risiko-A-Typ auf Vertragsgerade ABA können nicht links oberhalb von Punkt G liegen, da dieser Vertrag auch von allen Individuen des Risiko-B-Typs gekauft würden (die wegen privater Information über das Risiko nicht diskriminiert werden können). Damit würde der Anbieter aber ein negativen Erwartungsgewinn erhalten.

• Punkt G wird vom A-Typ gegenüber allen zulässigen Verträgen in Punkten auf der Versicherungsgerade rechts unterhalb von G vorgezogen.

• Ein sogenanntes trennendes Gleichgewicht ist also durch 2 Verträge charakterisiert:Vertrag mit festgelegter Prämie aber freier Wahl der Deckungssumme, den Typ A wählen wird:

Vertrag mit festgelegter Prämie und (Teil-)Deckungssumme, den Typ B wählen wird:

⇒ A-Typ muss zwischen diesem und dem für A bestimmten Vertrag indifferent sein.

( )[ ] ( ) [ ] [ ]LyuVpyuVpLyuLVp

ASBB

ASBB

AS

BBSB

ππππ

−=−−+−+−<=

11:;

LyyyLVp AS

AS

AGA

ASA ππ −==== ;;

Ergebnis: Kennzeichen eines separierenden Gleichgewichts ist, dass die schlechten Risiken Volldeckung erhalten und die guten Risiken Teildeckung. Die Teildeckung schreckt die schlechten Risiken davon ab, die günstige Prämie zu wählen.

Warum selbst Separating-Kontrakte möglicherweise keinen Bestand haben• Liegt jetzt ein Gleichgewicht vor?• Damit die oben ermittelte Kombination von Kontrakten ein Gleichgewicht

darstellt, darf es für die Versicherungsunternehmen keinen Anreiz geben, einen anderen (profitablen) Vertrag anzubieten.

• Einen anderen separierenden Vertrag, der Nachfrager attrahiert, gibt es sicher nicht. Warum?

• Falls es eine Alternative zu den Kontrakten in BA und G gibt, kann das nur ein Pooling-Kontrakt sein. Gibt es einen Pooling-Kontrakt, der (ausgehend von den separierenden Kontrakten) gute wie schlechte Risiken attrahiert und für die Versicherung mindestens Nullgewinn schafft?

• Das hängt davon ab, wie die Versicherungsgerade bei Pooling verläuft:Wenn die Indifferenzkurve des B-Typs, die durch Punkt G geht, vollständig oberhalb der Pooling-Versicherungsgerade liegt, dann bilden separierende Verträge ein Gleichgewicht: es gibt keinen besseren Pooling-Vertrag.Wenn die Indifferenzkurve des B-Typs teilweise unterhalb der Pooling-Versicherungsgerade verläuft, dann gibt es einen Punkt auf dieser Gerade, einen Pooling-Vertrag, der von beiden Typen gegenüber den Verträgen im trennenden Gleichgewicht vorgezogen wird. Auch dieser Vertrag gewährleistet Nullgewinn.

y

ALy −

Gy45°

Sy

BB

AB

Separierende Verträge sind nicht immer ein Gleichgewicht:

( )AS

AEU π

( )BS

BTEU π

( )BS

BEU π

( )pEU BG

H( )pEU A

• Bei gegebenen Präferenzen ist die Existenzbedingung eines separierenden Gleichgewichts umso eher nicht erfüllt, je steiler die Pooling-Versicherungsgerade verläuft.

Die Pooling-Versicherungsgerade verläuft umso steiler, je geringer der Anteil der schlechten Risiken an der Gesamtbevölkerung ist:

Übung: Zeigen Sie, dass die Steigung der Pooling-Vertragsgerade AH folgende Steigung besitzt:

• Von den Pooling-Kontrakten wissen wir aber schon, dass sie kein Gleichgewicht sein können. Denn es gibt ausgehend von den Pooling-Kontrakten stets lohnende Separating-Kontrakte.

⇒ Der Versicherungsmarkt hat dann gar kein Gleichgewicht.

• Diese wichtige Erkenntnis über mögliches Marktversagen in Versicherungsmärkten geht auf Rothschild und Stiglitz (1976) zurück.

β

( ) ( )( )( ) B

SAS

BS

AS

πββππβπβ

−+−−+−

−1

111

Ergebnis• In einem Versicherungsmarkt, bei dem die Risikotypen nicht

identifiziert werden können, gibt es keinen gleichgewichtigen Pooling-Kontrakt mit Quersubventionen von den guten zu den schlechten Risiken.

• Wenn ein Gleichgewicht existiert, muss es ein separierendes Gleichgewicht sein, bei dem die schlechten Risiken Volldeckung und die guten Risiken Teildeckung zu jeweils fairen Prämien bekommen.

• Möglicherweise gibt es in einem kompetitivenVersicherungsmarkt mit Adverse Selection überhaupt kein Gleichgewicht. Dieser Fall tritt ein, wenn der Anteil der schlechten Risiken an der Gesamtbevölkerung hinreichend klein ist.

• Andersherum existiert ein separierendes Gleichgewicht um so eher, je größer der Anteil der schlechten Risiken.

WohlfahrtBeachte: Bei asymmetrischer Information erreichen die guten Risiken im

trennenden Gleichgewicht ein niedrigeres Nutzenniveau als bei symmetrischer Information im trennenden Gleichgewicht (perfekteVersicherungsmärkte). Deshalb ist das trennende Gleichgewicht bei asymmetrischer Information Pareto-schlechter als bei symmetrischer Information.

=> Wenn also ein separierendes Gleichgewicht existiert, dann erzeugt dies bei asymmetrischer Information einen Wohlfahrtsverlust. Das liefert unter Umständen einen Grund für den Eingriff einer staatlicher Zwangsversicherung in den privaten Versicherungsmarkt, um den Wohlfahrtsverlust zu mindern.

y

ALy −

Gy

45°SyBB

AB

Pareto-Verbesserung durch staatliche Zwangsversicherung bei Existenz eines trennenden Gleichgewichts

( )AS

AEU π

( )BS

BEU π

G

XPy −

XX PVLy−+

−

X

YZ

W

y

ALy −

Gy

45°SyBB

AB

Pareto-Verbesserung durch staatliche Zwangsversicherung bei Existenz eines trennenden Gleichgewichts

( )AS

AEU π

( )BS

BEU π

G

XPy −

XX PVLy−+

−

X

YZ

• Kostendeckende staatliche Zwangsversicherung: liegt auf der Pooling-Versicherungsgerade für die Bevölkerung insgesamt

• Für private Versicherungsverträge ist dann Punkt X die neue „Anfangsausstattung“, von der aus die Versicherungsgeraden für gute und schlechte Risiken ausgehen mit den Steigungen

und .

• Schlechte Risiken vom Typ A kommen durch solche privaten Zusatzverträge auf Punkt Y mit Vollversicherung und einem höheren Nutzenniveau als in BA. Grund: Für den Zwangsteil der Versicherung wird eine Einheitsprämie berechnet, bei der die schlechten von den guten Risiken subventioniert werden.

• Gute Risiken vom Typ B erhalten durch die private Zusatzversicherung wiederum eine Teildeckung in Punkt Z, der auf derselben Indifferenz-kurve der schlechten Risiken (Typ A) liegt wie Punkt Y. In Punkt Z zahlen die guten Risiken zwar eine höhere als die faire Prämie, können sich aber die Versicherung XZ hinzukaufen, ohne dass die Konditionen durch den Verkauf der gleichen Versicherung an die schlechten Risiken „verdorben“ werden.

AS

AS

ππ−

−1

BS

BS

ππ−

−1

• Für die guten Risiken steigt die Gesamtdeckung der Versicherung von AG auf AZ. Bei genügend großer Risikoaversion wird die Verschlechterung des Gesamtpreises kompensiert und sie stellen sich besser als in Punkt G.

• Da beide Risikogruppen sich besser stellen, ist eine Pareto-Verbesserung erreicht.

Ergebnis

Wenn ein trennendes Gleichgewicht auf den privaten Versicherungsmärkten existiert, dann kann eine staatliche Zwangsversicherung, die nur einen Teil des möglichen Schadens versichert und dafür einen einheitlichen Betrag verlangt, zu einer Pareto-Verbesserung führen.

Voraussetzungen: Anteil der schlechten Risiken nicht zu großund Höhe der staatlichen Zwangsversicherung nicht zu hoch. (Punkt X liegt dicht bei Indifferenzkurve des B in Z)

Korridor für wohlfahrtserhöhenden Eingriff:

Ein trennendes Gleichgewicht existiert nur, wenn der Anteil der schlechten Risiken am Versichertenpool hinreichend großist.

Eine staatliche partielle Zwangsversicherung ist nur dann Pareto-verbessernd, wenn

1. ein trennendes Gleichgewicht auf dem privaten Versicherungsmarkt existiert,

2. der Anteil der schlechten Risiken am Versichertenpool nicht zu groß ist (so dass die Pooling-Gerade dicht an der Indifferenzkurve der guten Risiken entlang läuft),

3. die Höhe der staatlichen Zwangsversicherung nicht zu hoch ist.