Variable aléatoire discrète (prenant un nombre infini de valeurs) _________________________________________________

1 Notations mathématiques utilisées a) À tout entier naturel k, on associe un réel noté αk ,

∑+∞

=0k

kα est par définition la limite de ∑=

n

k

k

0

α lorsque n tend vers +∞.

b) Application à une variable aléatoire discrète (prenant un nombre infini de valeurs) On suppose que l’on a une suite infinie de réels α0 , α1, α2, …., αk,… et que X est une variable aléatoire ne prenant ses valeurs que parmi les nombres réel de cette suite. On dit que X est une variable aléatoire discrète (prenant un nombre infini de valeurs) dont la loi de probabilité est donnée par la fonction f définie en tout point de { α0 , α1, α2, …., αk,…}

par f(αk) = Pr( X= αk ) pour tout k de �.

� On a ici 1= ∑+∞

=0

)(k

kf α .

� L’espérance E(X) de X est définie par E(X) = ∑+∞

=0

)(k

kk f αα .

� Si E(X) est défini comme un réel, la variance de X, notée V(X), est définie par

V(X) = ∑+∞

=

−

0

2 )())(E(k

kk fX αα , soit encore par V(X) = ∑+∞

=0

2 )(k

kk f αα – [E(X)] 2 .

Dans ce cas V(X) peut être égal à +∞ ou un réel positif ; la variance de X, notée σX, est

définie par σX = )(V X .

2 Loi de Poisson Soit λ un réel strictement positif et X une variable aléatoire. On dit que X suit la loi de Poisson de paramètre λ, notée P(λ), si X ne prend ses valeurs que

dans � avec : Pr(X=k) = !

.k

ek

λλ− pour tout k de �.

3 Espérance, variance et écart type X étant une variable aléatoire suivant la loi de Poisson P(λ), on peut vérifier que :

E(X) = λ ; V(X) = λ et σX = λ . 4 Loi binomiale et loi de Poisson On considère une variable aléatoire X suivant la loi binomiale ℬ(n, p), q = 1–p. Pour n grand et p petit, on peut remplacer la loi binomiale de probabilité ℬ(n, p) par la loi

de Poisson P(λ) où λ=np. p ≤ 0,1 On admet comme conditions de légitimité de l’approximation : et n p q≤ 10

et 30≤ n. On fait ce remplacement lorsqu’on veut utiliser directement les tables numériques de la loi de Poisson pour faire des calculs de probabilité

Extrait de formulaire

Loi de Poisson

Pr(X=k) = !

.k

e

kλλ−

E(X) = λ

V(X) = λ

k λ 1 1,5 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 0,368 0,223 0,135 0,050 0,018 0,007 0,002 0,001 0,000 0,000 0,000

1 0,368 0,335 0,271 0,149 0,073 0,034 0,015 0,006 0,003 0,001 0,000

2 0,184 0,251 0,271 0,224 0,147 0,084 0,045 0,022 0,011 0,005 0,002

3 0,061 0,126 0,180 0,224 0,195 0,140 0,089 0,052 0,029 0,015 0,008

4 0,015 0,047 0,090 0,168 0,195 0,175 0,134 0,091 0,057 0,034 0,019

5 0,003 0,014 0,036 0,101 0,156 0,175 0,161 0,128 0,092 0,061 0,038

6 0,001 0,004 0,012 0,050 0,104 0,146 0,161 0,149 0,122 0,091 0,063

7 0,000 0,001 0,003 0,022 0,060 0,104 0,138 0,149 0,140 0,117 0,090

8 0,000 0,001 0,008 0,030 0,065 0,103 0,130 0,140 0,132 0,113

9 0,000 0,003 0,013 0,036 0,069 0,101 0,124 0,132 0,125

10 0,001 0,005 0,018 0,041 0,071 0,099 0,119 0,125

11 0,000 0,002 0,008 0,023 0,045 0,072 0,097 0,114

12 0,001 0,003 0,011 0,026 0,048 0,073 0,095

13 0,000 0,001 0,005 0,014 0,030 0,050 0,073

14 0,000 0,002 0,007 0,017 0,032 0,052

15 0,001 0,003 0,009 0,019 0,035

16 0,000 0,001 0,005 0,011 0,022

17 0,001 0,002 0,006 0,013

18 0,000 0,001 0,003 0,007

19 0,000 0,001 0,004

20 0,001 0,002

21 0,000 0,001

22 0,000

k λ 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

0 0,9048 0,8187 0,7408 0,6703 0,6065 0,5488

1 0,0905 0,1637 0,2222 0,2681 0,3033 0,3293

2 0,0045 0,0164 0,0333 0,0536 0,0758 0,0988

3 0,0002 0,0011 0,0033 0,0072 0,0126 0,0198

4 0,0000 0,0001 0,0003 0,0007 0,0016 0,0030

5 0,0000 0,0000 0,0001 0,0002 0,0004

6 0,0000 0,0000 0,0000

5 Exemples de sujets concernant la loi de Poisson ① Une fabrication en série présente en moyenne 5% de produits défectueux. On prélève au hasard un lot de 100 produits. Soit X la variable aléatoire donnant le nombre de produits défectueux dans ce lot.

1. Déterminer la loi suivie par X et les paramètres de cette loi. 2. Calculer directement Pr( X < 5 ) en donnant le résultat à 10-4 près. 3. Justifier l’approximation par la loi de Poisson de la loi suivie par X ; en utilisant les

tables de la loi de Poisson, calculer P(X < 5). _______________________________________

1. On a une suite de 100 épreuves :

� Chaque épreuve consiste à tirer au hasard un produit dans l’ensemble des produits, à donner un résultat dans l’alternative [« produit défectueux », « produit en bon état »], on remet alors cette pièce dans l’ensemble des produits.

� p= 0,05 est la probabilité d’obtenir le résultat « produit défectueux» dans chacune des épreuves.

� Ces 100 épreuves se déroulent de façon indépendante. 1–p=0,095

À la fin de cette suite de 100 épreuves, X donne le nombre de fois que l’on a trouvé le résultat « produit défectueux ». Ainsi X suit la loi binomiale ℬ(100 ; 0,05) ; la loi de probabilité est donnée de la manière suivante : X peut prendre toutes les valeurs entières de 0 à 100 ; pour tout entier k compris entre 0 et 100 : P(X=k)= k

C100 0,05k. 0,95100–k.

E(X) = 100×0,05 = 5 ; V(X)= 100×0,05×0,95=4,75 et σX = 4,75 ≈ 2,1795.

2. L’événement (X<5) est la réunion des 5 événements incompatibles deux à deux (X=0), (X=1), (X=2), (X=3) et (X=4), et ainsi P(X<5) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) P(X=3) + P(X=4) et d’après la question précédente : P(X<5) = 0,95100 + 100×0,05×0,9599 + 2

100C 0,052. 0,9598 + 3100C 0,053. 0,9597

+ 4100C 0,054. 0,9596.

À la calculette on trouve ainsi : P(X<5) ≈ 0,4360 . 0,05 ≤ 0,1 , 3. X suit la loi binomiale ℬ(100 ; 0,05)où 100×0,05×0,95 ≤ 10 , 30≤ 100 . On peut considérer qu’approximativement X suit la loi de Poisson d’espérance 5 et avec les tables de la loi de Poisson : P(X<5) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) P(X=3) + P(X=4) donne approximativement P(X<5) = 0,007+0,034+0,084+0,140+0,175. D’où P(X<5) ≈ 0,440 . À 10 -3 près on obtient le même résultat qu’à la question 2.

② Dans un service public, on s’intéresse à l’événement : “ Une personne se présente au

guichet au cours d’une minute, c'est-à-dire entre la minute t et la minute t+1, t étant entier”.

On a observé que la probabilité de cet événement est de 0,1. On admet que la probabilité pour

que deux personnes se présentent au guichet au cours d’une minute est négligeable et que

l’arrivée d’une personne est indépendante de l’arrivée des autres personnes.

On désigne par X la variable aléatoire égale au nombre de personnes qui peuvent se présenter

au guichet en une heure.

1) Quelle est la loi de probabilité suivie par X ? Calculer l’espérance mathématique et l’écart

type de X.

2) Justifier une approximation de la loi précédente par une loi de Poisson.

Déterminer P (X=3), puis P(X ≤ 6) en utilisant les tables du formulaire.

Résolution

1) On a une suite de 60 épreuves en faisant varier t entier de 0 à 59 :

� Chaque épreuve consiste à examiner le déroulement d’une minute [t ; t+1[ et à donner

un résultat dans l’alternative [ une personne se présente au guichet ; aucune personne

ne se présente au guichet]

� p= 0,1 est la probabilité d’obtenir le résultat “ une personne se présente au guichet ”

dans la minute [t ; t+1[.

� Les 60 épreuves analogues et indépendantes.

X donne dans cette suite de 60 épreuves, le nombre de résultats “ une personne se présente au

guichet ”obtenus. X suit alors la loi binomiale ℬ ( 60 ; 0,1).

On obtient E(X) = 60×0,1 = 6 ; V(X) = 60×0,1×0,9= 5,4 et σ(X) = 4,5 ≈ 2,32 .

2) Dans cette situation : le nombre d’épreuves, 60, est supérieur à 30 ; p=01 ;

V(X) = 60×0,1×0,9 < 10.

On a E(X) = 6 et une approximation de la loi suivie par X est donnée par la loi de Poisson

P(6).

∗ Avec les tables de la loi de Poisson, on prend P (X=3) ≈ 0, 089 .

∗ L’événement (X ≤ 6) est la réunion des événements incompatibles (X=i) pour i variant de 1

à 6, alors P(X ≤ 6) = ∑=

=

6

0

)(i

iXP , ce qui donne avec les tables de la loi de Poisson :

P(X ≤ 6) ≈ 0,002 + 0,015 + 0,045 + 0,089 + 0,134 + 0,161 + 0,161, d’où P(X ≤ 6) ≈ 0,61 .

③ Un grand magasin propose en location des nettoyeurs à haute pression. Une enquête statistique portant sur plusieurs années antérieures montre que l’on peut estimer à p= 0,02 la probabilité pour que pendant une année donnée, un nettoyeur pris en location soit remis au magasin en mauvais état de fonctionnement. À chaque centaine d’appareils loués pendant l’année, on associe la variable aléatoire X indiquant le nombre d’appareils parmi cette centaine qui sont rendu en mauvais état de fonctionnement. 1- Quelle est la loi de probabilité suivie par X ? Quels sont les paramètres suivis par cette loi ? 2- Calculer la probabilité pour que sur la centaine d’appareils, deux d’entre eux au plus soient rendus en mauvais état de fonctionnement. On donnera une valeur décimale approchée à 10-2 près. 3- Déterminer l’espérance de X, la variance de X. 4- On admet que la loi de probabilité de X peut être approchée par une loi de Poisson. Justifier cette approximation. Quelle est le paramètre λ de cette loi de Poisson ? En utilisant la table fournie dans le formulaire, calculer la probabilité pour que cinq appareils au moins sur la centaine soient rendus en mauvais état de fonctionnement. Résolution 1- À l’examen d’une centaine d’appareils loués pendant l’année, on a une suite de 100 épreuves indépendantes : � Chaque épreuve consiste à examiner un nettoyeur pour donner un résultat dans l’alternative [mauvais état ; bon état]. On passe ensuite éventuellement au nettoyeur suivant. � À n’importe laquelle de ces épreuves, p = 0,02 est la probabilité du résultat “ mauvais état”. X donne dans cette suite de 100 épreuves le nombre de résultats “ mauvais état” obtenus. Alors X suit la loi binomiale ℬ (100 ; 0,02) où 0,98 =1–0,02.

La loi de probabilité suivie par X donne P(X = k) = kkkC

−100100 98,002,0 pour k variant dans �

de 0 à 100. 2- L’événement (X≤ 2) est la réunion des événements incompatibles (X =0), (X=1) et (X=2) et P(X ≤ 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2), soit :

P(X ≤ 2) = 10000100 98,002,0C + 9911

100 98,002,0C + 9822100 98,002,0C ou encore :

P(X ≤ 2) = 10098,0 + 100× 9998,002,0 × + 9822100 98,002,0C d’où P(X ≤ 2) ≈ 0,68 .

3- E(X) = 100×0,02 et V(X) = 100×0,02×0,98, soit E(X) = 2 et V(X) = 1,96 . 4- On a bien 30≤ 100 où 100 est le premier paramètre de la loi binomiale suivie par X ; le second paramètre 0,02 est inférieur à 0,1 et finalement V(X) < 10. 2= E(X). Cela justifie le fait que la loi de probabilité de X peut être approchée par la loi de poisson P (2). L’événement (5≤ X) est l’événement contraire de l’événement (X < 5) qui est la réunion des événements incompatibles (X= 0), (X= 1), (X= 2), (X= 3), (X= 4). Ainsi : P(5≤ X) = 1 – P(X <5) = 1– [P(X =0) + P(X =1) + P(X =2) + P(X =3) + P(X =4)] et , avec les tables de la loi de Poisson : P(5≤ X) ≈ 1 – [ 0,135+0,271+0,271+0,180+0,090] = 1– 0,947 , d’où P(5≤ X) ≈ 0,05 .