Vektorrechnung, Analytische Geometrie
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7. VEKTORRECHNUNG, ANALYTISCHE GEOMETRIE
7.1. Vektoren
(a) Definition
Schiebt man einen Punkt P1 im Koordinatensystem in eine andere Lage P2, so ist diese Schiebung durch
Angabe des Urpunktes P1 und des Bildpunktes P2 eindeutig festgelegt. Dieses geordnete Punktepaar
bestimmt die orientierte (gerichtete) Strecke P1P2, einen Pfeil von P1 nach P2. Pfeile, die durch dieselbe
Schiebung entstehen, sind gleich lang, zueinander parallel und gleich orientiert.
Eine Klasse gleich langer, paralleler und gleich orientierter Pfeile des Raumes heit ein
Vektor des Raumes.
Ein Vektor des Raumes ist die Klasse aller zu einem gegebenen Pfeil parallelgleicher
Pfeile.
Vektoren sind gleich, wenn sie dieselbe Klasse von Pfeilen darstellen. Vektoren werden mit deutschen
Kleinbuchstaben bezeichnet, oder es wird das Pfeilsymbol ber den Buchstaben geschrieben (r r ra b c, , ,... ).
Whlt man im Raum (oder in der Ebene) einen festen Punkt O (Ursprung), so ist jeder von O verschiedene
Punkt P des Raumes (der Ebene) durch den Pfeil OP eindeutig festgelegt. Der Pfeil OP wird als Ortsvektor
des Punktes P bezglich des Ursprunges O bezeichnet.
Interpretiert man die nderung der Koordinaten vom Punkt P1 zum Punkt P2 als die Koordinaten des
Vektors, so lassen sich diese als Differenz der Koordinaten der Punkte angeben.
Die Koordinaten eines Vektors sind: ra P P
x xy y
aa
x
y= =
=
1 22 1
2 1
Es gilt also die Merkregel: Spitze minus Schaft. Die Koordinaten eines Ortsvektors sind somit die
Koordinaten der Spitze des Vektors.
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Den Abstand der Punkte P1 und P2 bezeichnet man als den Betrag des Vektors.
Der Betrag eines Vektors ra
aa
x
y=
ist:
ra a ax y= +
2 2
Durch Ergnzen der Koordinate az sind die obigen Aussagen ber Vektoren der Ebene auf den Raum
erweiterbar.
Vektoren im Raum: ra PP
x xy yz z
aaa
x
y
z
= =
=
1 2
2 1
2 1
2 1
ra a a ax y z= + +
2 2 2
(b) Rechenoperationen mit Vektoren
Vektoren werden addiert bzw. subtrahiert, indem die jeweiligen Koordinaten addiert bzw. subtrahiert werden.
r ra
aa
bbb
x
y
x
y=
=
,
r ra b
a ba b
x x
y y+ =
++
r ra b
a ba b
x x
y y =
Graphisch ist die Addition von Vektoren als eine aufeinanderfolgende Verschiebung eines Punktes zu
verstehen. Die Subtraktion ist dann eine Verschiebung in die entgegengesetzte Richtung des Vektors. Das
Ergebnis der Addition bzw. der Subtraktion ist wieder ein Vektor.
Vektoren werden mit einer reellen Zahl multipliziert, indem die jeweiligen Koordinaten mit dieser Zahl
multipliziert werden.
ra
aa
x
y=
t a
t at a
x
y =
r t R
Die Multiplikation ist graphisch als wiederholte Verschiebung eines Punktes zu verstehen. Ein negativer
Faktor bewirkt eine Richtungsnderung des Vektors in die entgegengesetzte Richtung. Das Ergebnis der
Multiplikation mit einer Zahl ist wieder ein Vektor.
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Beispiel: Bestimmen Sie die Summe und die Differenz von r ra und b=
=
34
21
.
r ra b+ =
+
=
3 24 1
53
, r ra b =
+
=
3 24 1
15
Beispiel: Bestimmen Sie das fnfache des Vektors rc =
35
.
5 53
55 3
5 515
25 =
=
=
rc
( )
Die graphische Addition erfolgt nach der Parallelogrammregel. Man verschiebt den Schaft des einen Vektors
in die Spitze des anderen Vektors; die Summe der beiden Vektoren ist dann die Diagonale des
entstehenden Parallelogramms vom Schaft des ersten zur Spitze des zweiten Vektors. Auch die Subtraktion
ist so durchfhrbar; schiebt man die Spitze des einen Vektors in die Spitze des anderen, so ist der
Differenzvektor die Diagonale des entstehenden Parallelogramms von Schaft des ersten zum Schaft des
zweiten Vektors.
Vektoren und deren Vielfaches sind zueinander parallel, abhngig vom Vorzeichen haben sie gleiche oder
entgegengesetzte Richtung (Orientierung).
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(c) Spezielle Vektoren
Der Vektor ro =
00
heit Nullvektor.
Der Nullvektor ist das neutrale Element bezglich der Addition von Vektoren.
Ein Vektor mit dem Betrag 1 heit Einheitsvektor. Einen zu ra gehrenden Einheitsvektor
ra0 erhlt man, indem man die Koordinaten des Vektors durch seinen Betrag dividiert:
r
rr
aa
a01
=
Beispiel: Berechnen Sie den zu ra =
34
gehrenden Einheitsvektor.
r
r r
a
a a
= + =
= =
3 4 5
15
2 2
0
3545
Die Einheitsvektoren r ri j=
=
10
01
, in der Ebene bzw. r r ri j k=
=
=
100
010
001
, , im Raum
heien Basisvektoren des kartesischen Koordinatensystems.
Die Basisvektoren fhren - vom Ursprung aus aufgetragen - zu den Einheitspunkten auf den
Koordinatnenachsen.
Sind r r r ra a a an1 2 3, , ,..., Vektoren und t t t tn1 2 3, , ,..., reelle Zahlen, dann heit ein Vektor der
Form t a t a t a t an n1 1 2 2 3 3r r r r
+ + + +... eine Linearkombination der Vektoren ra i ni ( )1 .
Jeder Vektor lt sich daher als Linearkombination der Basisvektoren darstellen.
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Beispiel: Der Vektor von P1(2|1) nach P2(6|3) ist durch Basisvektoren darzustellen.
r
r r r
a P P
a i j
= =
=
= +
= +
1 2
6 23 1
42
410
201
4 2
(d) Lineare Abhngigkeit von Vektoren
Ein System von Vektoren r r r ra a a an1 2 3, , ,..., heit linear abhngig, wenn sich mindestens
einer von ihnen als Linearkombination der brigen Vektoren darstellen lt. Vektoren, die
nicht linear abhngig sind, heien linear unabhngig.
Vektoren sind also linear abhngig, wenn gilt: r r r r ra t a t a t a t an n n= + + + + 1 1 2 2 3 3 1 1...
Vektoren ( )ro heien kollinear, wenn jeder Vektor ein reelles Vielfaches eines beliebigen
anderen Vektors des System ist.
Vektoren sind also kollinear, wenn fr je zwei Vektoren gilt: r r r rb t a c t a= = 1 2, , ...
Beispiel: Untersuchen Sie, ob die Vektoren rr
a und b= =
26
515
kollinear sind.
r rb t a t
t tt t
=
=
= == =
,
, ,, ,
515
26
5 2 2 515 6 2 5
Die Vektoren sind also kollinear.
Zwei oder mehrere Vektoren heien also kollinear, wenn sie zu ein und derselben
Geraden parallel sind.
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Vektoren ( )ro heien komplanar, wenn sich jeder Vektor eindeutig als Linear-
kombination zweier Vektoren des Systems darstellen lt.
Vektoren sind komplanar, wenn fr je drei Vektoren gilt: r r rc t a s b= + , ...
Beispiel: Untersuchen Sie, ob die Vektoren rr r
a b und c=
=
=
221
35
1
111
,
komplanar sind.
r r rc t a s b t s
I t s II t s III t st s
w A
= +
=
+
= = = += =
= +
,
: , : , :,
. .
111
221
35
11 2 3 1 2 5 1
2 11 2 1
Die Vektoren sind komplanar.
Die oben genannten Stze lassen sich auch folgendermaen formulieren:
Zwei Vektoren sind genau dann kollinear, wenn sie linear abhngig sind.
Drei oder mehr als drei Vektoren heien komplanar, wenn sie zu ein und derselben Ebene
im Raum parallel sind.
Der Nullvektor ist zu jedem Vektor kollinear und zu jedem Paar von Vektoren komplanar.
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7.2. Multiplikation von Vektoren
(a) Das skalare Produkt
Das skalare Produkt der Vektoren rr
a und b ist definiert durch:
r ra baa
bb
a b a bxy
x
yx x y y =
= +
r ra baaa
bbb
a b a b a ax
y
z
x
y
z
x x y y z y =
= + +
Das skalare Produkt zweier Vektoren liefert also eine reelle Zahl als Ergebnis, ein sogenanntes Skalar.
Sonderflle: r r r ra a a a = =2 2 rr
a o = 0
Betrachtet man zwei Vektoren r ra und b und die vektorielle Projektion von
r rb auf a , so kann man folgende
Zusammenhnge feststellen:
A a a B b b S s sx y x y x y( | ), ( | ), ( | )
r r ra
aa
bbb
sss
x
y
x
y
x
y=
=
=
, ,
r ra a a b b b s s sx y x y x y
2 2 2
