7138 Eron Magno - Matematca Basica Apostila

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  • 2012

    Professor

    Eron Magno

    [email protected]

    MATEMTICA EXTENSIVO

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    1. CONJUNTOS Trata-se de uma coletnea de qualquer coisa. um conceito primitivo; no necessita, portanto, de definio. Exemplo: conjunto dos nmeros pares positivos: P = {2,4,6,8,10,12, ... }. 1.1 SO TRS AS FORMAS DE REPRESENTAR UM CONJUNTO: a) Por enumerao. Ex.:A = { 1,3,5,7} b) Por compreenso ou propriedade. Ex.: A = { x / x todo natural mpar menor que 8} c) Por diagrama. Ex.: A

    1.2 CONJUNTOS NUMRICOS

    Naturais:N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,7,... } ou N = { 1, 2 , 3 , 4 , ... }

    Inteiros: Z = { ... -3,-2,-1,0,1,2,3,...} ou =Z { ... -3, -2, -1, 1, 2, 3, ...}

    RacionaisQ = { x / b

    ax = , onde ZbZa , e ob }

    IrracionaisI = { Todo nmero que no racional } Reais R = QI 1.3 - OPERAES NOS CONJUNTOS NUMRICOS 1.3.1 - Adio e subtrao de fraes: Reduzimos ao mnimo mltiplo comum Exemplos:

    a) 20

    37

    20

    30815

    20

    3.102.43.5

    2

    3

    5

    2

    4

    3=

    +=

    +=+

    b) 12

    85

    12

    4384

    12

    1.41.37.12

    3

    1

    4

    1

    1

    7

    3

    1

    4

    17 =

    +=

    +=+=+

    1.3.2 - Multiplicao de fraes: Multiplicamos numeradores entre si e denominadores entre si.

    Ex.: 10

    1

    60

    6

    3.5.4

    2.1.3

    3

    2.

    5

    1.

    4

    3===

    1.3.3 - Diviso de fraes: Multiplicamos a 1 frao pelo inverso da 2.

    Ex.: a) 610

    60

    2

    15.

    5

    4

    15

    2

    5

    4=== b)

    3

    4

    15

    20

    3

    10.

    5

    2

    10

    35

    2

    ===

    1.3.4 - potenciao e radiciao de fraes:

    Ex.:a) 27

    8

    3

    2

    3

    23

    33

    ==

    b)

    7

    5

    49

    25

    49

    25== c)

    5

    4

    10

    8

    100

    6464,0 ===

    1.4 - RELAES IMPORTANTES DE EXPONENCIAO E RADICIAO

    1) 10 =a 0a 2) n

    n

    aa

    =1

    3) nm

    n m aa =

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    Exerccios: E01- Em um colgio, o nmero de funcionrios igual a 40% do nmero de professores, o qual, por sua vez, corresponde a 25% do nmero de alunos. Sabendo que os conjuntos dos professores, alunos e funcionrios so disjuntos dois a dois, assinale a alternativa cuja porcentagem mais se aproxima da proporo do nmero de professores e funcionrios, juntos, em relao ao total de indivduos que freqentam o referido colgio. A) 26%. B) 36%. C) 53%. D) 64%. E) 74%. E02- Um colgio oferece aos alunos da 1 srie do Ensino Mdio cursos de informtica (I), xadrez (X) e fotografia (F). Sabe-se que: 32% dos alunos se matricularam no curso I; 29%, no corso X; 30%, no curso F; 17%, nos cursos I e X; 13%, nos cursos I e F; 12%, nos cursos X e F; e 5%, nos trs cursos. A porcentagem dos alunos que no se matricularam em nenhum dos cursos igual a A) 9. B) 27. C) 38. D) 46. E) 54. E03 O algarismo da unidade do nmero A) 1. B) 3. C) 5. D) 7. E) 9. E04 Em um grupo de xpessoas, 71 so Professores/professoras e 110 so mulheres. Se 40% dasmulheres so professoras e 70% dos homens no so professores, ento onmero xde pessoas igual a A) 200. B) 190. C) 180. D) 170. E) 160. E05 - Em uma questo de concurso que apresentava trs proposiesp, q e r, os candidatos deveriam classificar cada uma em verdadeira ou falsa. Dos 2.081 candidatos quecompareceram prova, houve o seguinte nmero de classificaes verdadeira nos cartes de respostas: 800 para a proposio p, 900 para a proposies q, 600 para a proposio r,400 para as proposies p e q,330 para as proposies q e r, 170 para as proposies p e r; e 50 para as proposies p, q e r.Ento, sabendo-se que no houve casos de nenhuma ou mais de uma opo assinalada em cada questo, o nmero de candidatos que assinalaram como falsas todas as trs proposies e o nmero de candidatos que assinalaram como verdadeira apenas a proposio pso, respectivamente, A)221 e 150. B) 221 e 280. C) 471e 220. D) 631 e 220. E) 631 e 280. E06 - Se e , ento o menor valor possvel para igual a

    A) 1. B) 2. C) 4. D) 8. E) 16. 1.5 - MNIMO MLTIPLO COMUM E MXIMO DIVISOR COMUM Divisores: Dizemos que um nmero natural n divide um nmero natural m, quando m : n no deixa resto, ou seja, a diviso exata. Representamos simbolicamente: n|m. Nestas condies, n um divisor de m e m um mltiplo de n.

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    Exemplos: 2 divide 16 ou seja, 2|16 porque 16:2 = 8 e resto igual a zero. Portanto, 2 divisor de 16 e 16 mltiplo de 2. ( p 1) primo quando ele s possui dois divisores: ele prprio e a unidade. Caso contrrio, o nmero composto. Sendo o conjunto dos nmeros primos, poderemos escrever: = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 47, 53, 57, 59, 61, ..., 359, ... , } O conjunto dos nmeros primos infinito. 1.5.1- MXIMO DENOMINADOR COMUM (M.D.C.) Ex.:Vamos calcular os divisores de 2 nmeros, por exemplo 20 e 36. Os divisores de 20 so:1 - 2 - 4 - 5 - 10 - 20. Os divisores de 36 so:1 - 2 - 3 - 4 - 6 - 9 - 12 - 18 - 36. Os divisores comuns de 20 e 36 so: 1,2, 4. O maior deles o 4, ou seja o mximo dos divisores comuns de 20 e 36 4. Mtodo prtico para a determinao do M.D.C. 1) Decompor os nmeros em fatores primos. 2) Para a determinao do m.d.c. usamos apenas os nmeros que fatoraram simultaneamente os nmeros dados. Ex.: Calcule o M.D.C. de 60, 90 e 150 60,90, 150 2 30,45, 75 3 10,15, 25 5 2,3, 5 2 1,3, 5 3 1,1, 5 5 1,1, 1 Observao:Apenas os nmeros 2, 3 e 5 fatoraram simultaneamente60, 90 e 150. Logo o M.D.C(60, 90, 150) = 2 . 3 . 5 = 30 1.5.2 -MNIMO MLTIPLO COMUM (m.m.c.) Dois ou mais nmeros sempre tm mltiplos comuns a eles. Vamos achar os mltiplos comuns de 4 e 6: Mltiplos de 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, ... Mltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60,... Mltiplos comuns de 4 e 6: 12, 24, 36, 48, 60, ... Dentre estes mltiplos 12 o menor deles. Chamamos o 12 de mnimo mltiplo comum de 4 e 6. Portantom.m.c ( 4, 6 ) = 12 Processo prtico para determinao do m.m.c. (decomposio simultnea)

    Logo o m.m.c.(15, 24,60 ) = 3. 2. 2. 2. 5 = 120 Exerccios: E07 Raul, Srgio e Tadeu gastam, respectivamente, 50, 60 e 75 segundos para percorrer um circuito oval. Sabendo-se que eles partiram juntos do mesmo ponto, ento o nmero de vezes que os trs se encontram novamente, quando o primeiro completou a vigsima volta, A) 1. B) 2.

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    C) 3. D) 4. E) 5.

    E08 - O menor nmero natural x , no nulo, tal que ,3

    x,

    4

    x,

    5

    x

    6

    x e

    7

    x sejam nmeros naturais

    A) 210. B) 320. C) 420. D) 840. E) 1.260. E09 - Um decorador tem um bloco de isopor, na forma de paraleleppedo retngulo, com as seguintes dimenses: 100cm, 40cm e 16 cm. Esse decorador pretende cortar tal bloco em cubos idnticos, de modo a obter a maior aresta possvel e no gerar qualquer sobra de material. Nessas condies, o nmero de cubos obtidos igual a A) 39. B) 100. C) 156. D) 250. E) 1.000. E10 -Na organizao deum salo para um jantar, ser colocado o mesmo nmero de mesas com4, 6 e 8 lugares. Para que haja um total de 900 lugares, quantas mesas, no total, devem ser colocadas? A) 200. B) 150. C) 100. D) 50. E) 40. 2 -RAZO E PROPORO 2.1 -RAZO: o mesmo que diviso ou frao.

    Ex.:a) Qual a razo entre 6 e 2? Res. 32

    6=

    2.2 - PROPORO: a igualdade entre duas razes. Ex.: 16

    12

    4

    3= , l-se: 3 est para 4 assim como 12 est para 16.

    Exerccios: E11 Em um levantamento feito na sala de aula de Luclia, que tem K alunos, contatou-se que n crianas possuem computador. Se, em uma amostra, essa razo se mantiver e cinco alunos tiverem computador, a quantidade de alunos que no tm computador

    A) 5 .1

    n

    k

    B) 5n

    k.

    C) 5 .1

    k

    n

    D) 5 .1

    n

    k

    E) 5 .1

    k

    n

    E12 Mrio pesquisador na rea de qumica e misturou duas solues distintas (A e B) nas seguintes propores: 30 ml da soluo A e 100 ml da soluo B. Como esta e aquela tinham, respectivamente, 30% e 15% de lcool, qual a porcentagem aproximada dessa substncia encontrada na mistura feita por Mrio? A) 45%. B) 35%. C) 27%.

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    D) 22%. E) 18%. 3 - DIVISO PROPORCIONAL Dividir um nmero em partes proporcionais a outros nmeros dados, dividir o nmero em 2, 3 ou mais partes, de tal forma que guardem proporo com os nmeros dados. Definio: Chamamos de constante de proporcionalidade ( K ) , a razo entre o nmero a ser dividido e a soma das partes.

    Frmula geral para diviso diretamente proporcional: Divida o nmero N em partes proporcionais aos nmeros naaaa ,...,, 321 .

    naaaa

    NK

    ++++=

    ...321, que a constante de proporcionalidade.

    Portanto cada parte fica: Correspondente ao 1a : Ka .1

    Correspondente ao 2a : Ka .2

    Correspondente ao 3a : Ka .3 . . . . . . . . .

    Correspondente ao na : Kan . Ex.: Dividir o nmero 360 em partes proporcionais aos nmeros 2, 4 e 6.

    Soluo: 30642

    360=

    ++=K Logo 1 parte 2.K, isto , 2.30 = 60

    2 parte 4.K, isto , 4. 30 = 120 3 parte 6.K, isto , 6. 30 = 180 Observe que a soma 60 + 120 + 180 = 360. Observao: Quando a diviso for inversamente proporcional, basta inverter os nmeros aos quais se quer dividir, antes de calcular a constante de proporcionalidade. Ex.: Dividir o nmero 44 em partes inversamente proporcionais a 4 e 7.

    Soluo: 11211

    232.1

    11

    28.44

    28

    1144

    28

    4744

    7

    1

    4

    144

    ====+

    =+

    =K

    Logo1 Parte 4

    1K, isto , 28112.

    4

    1=

    2 Parte 7

    1.K, isto , 16112.

    7

    1=

    Observe que a soma 28 + 16 = 44. Exerccios : E13 Uma herana de R$ 118.800,00 foi dividida entre Cssio, Diogo e Estela em partes proporcionais a 2, 4 e 5, respectivamente. A maior diferena entre as quantias recebidas por eles foi a) R$ 1.800,00. b) R$ 5.400,00. c) R$ 10.800,00. d) R$ 21.600,00. e) R$ 32.400,00. E14 Maria tem trs irmos e deseja dividir entre eles 47 figurinhas de forma inversamente proporcional s suas respectivas idades. Sabendo que as idades dos irmos so 13, 8 e 4, quantas figurinhas receber o irmo mais novo? A) 30. B) 27. C) 26.

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    D) 13. E) 8. E15 Na organizao de um salo para um jantar, ser colocado o mesmo nmero de mesas com 4, 6 e 8 lugares. Para que haja um total de 900 lugares, quantas mesas, no total, devem ser colocadas? A) 200. B) 150. C) 100. D) 50. E) 40.

    4 - PORCENTAGEM: toda razo que tem o consequente (denominador) igual a 100.

    Assima) 30% =100

    30 b) 800% = 8

    100

    800= c) 0,4% =

    100

    4,0

    Formas de representar uma porcentagem Forma percentual Forma fracionria Forma decimal 32 %

    100

    32

    0,32

    430%

    100

    430

    4,3

    2,5 %

    100

    5,2

    0,025

    0,033%

    100

    033,0

    0,00033

    Exerccios: E16 Analise as afirmativas abaixo. I. Nas promoes do tipo leve 4 e pague 3, ou seja, levando-se um conjunto de 4 unidades, paga-se o preo de 3, o desconto sobre cada conjunto vendido de 25%.

    II. (10%) 3= 1000%.

    III. %2%10

    %20= .

    Est (o) CORRETA(S) A) Apenas a afirmativa I. B) Apenas as afirmativas I e II. C) Apenas as afirmativas I e III. D) Apenas as afirmativas II e III. E) As afirmativas I, II e III.

    E17 - A padaria Doces&Pes, que aumentara o preo dos bolos em 25%, rapidamente observou uma queda na venda desses produtos. Para reverter a situao, o dono da padaria resolveu fazer uma promoo em que os bolos sero vendidos pelo preo anterior. O desconto deve ser, ento, de A) 30%. B) 25%. C) 22%. D) 20%. E) 18%. E18 Uma loja reajustou em 25% para mais os preos de todos os seus produtos. Como as vendas decaram muito, resolveu fazer uma promoo, oferecendo 15% de desconto sobre o preo reajustado. Como essa atitude tampouco surtiu o efeito esperado, a loja concedeu mais um desconto de 5% sobre a metade do valor com o primeiro desconto. Assim, o reajuste final, em vez de 25%, foi de aproximadamente A) 3,0%. B) 3,6%. C) 4,0%.

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    D) 4,6%. E) 5,0%. 5- REGRA DE 3 SIMPLES E COMPOSTA Usamos para resolver problemas que envolvem duas ou mais grandezas que podem ser diretamente ou inversamente proporcionais. Exerccios: E19 Em um supermercado, dez caixas abertos durante 8 horas por dia so capazes de atender, em mdia, 2.400 clientes em cinco dias. Nas mesmas condies, se, em um feriado, forem abertos seis caixas, quantos clientes, em mdia, podero ser atendidos em 6 horas? A) 1.800. B) 1.440. C)480. D)216. E)96. E20 O governo pretende distribuir, em todo o pas, 4.200 outdoors explicativos sobre a Gripe H1N1. A empresa que ganhou a licitao informou que, com 10 homens trabalhando normalmente, possvel, a cada cinco dias, concluir 30 outdoors. Por questes de urgncia, solicitou-se empresa que o trabalho fosse concludo em duas semanas (i.e., 14 dias). Supondo-se que todos os homens contratados tenham o mesmo rendimento, a quantidade mnima de homens que a empresa precisar igual a A) 600. B) 500. C) 420. D) 310. E) 250. E21 Um funcionrio treinado de uma operadora de planos de sade consegue revisar, em mdia, l0 contas mdicas em 14 minutos, ao passo que um aprendiz, para conferir a mesma quantidade de contas, despende, em mdia, 49 minutos. Para revisar 180 contas mdicas, os dois juntos, mantendo o mesmo ritmo que tm quando trabalham individualmente,levaro, em mdia, A) 3 horas e 8 minutos. B) 3 horas e 16 minutos. C) 3 horas e 24 minutos. D) 3 horas e 32 minutos. E) 3 horas e 40 minutos. 6- EQUAO DO 1 GRAU

    toda sentena do tipo 0=+ bax onde ba, e 0a Exemplo:a) X + 5 = 8 Soluo: A soluo de qualquer equao o valor numrico que quando substitudo no lugar da(s) varivel torna a sentena verdadeira. Logo, soluo S = { 3 }. Exerccios: E22 - Carol faz colchas de retalhos talhando cortes de tecidos em 20 faixas do mesmo tamanho, isto , de mesmo comprimento e de mesma largura. Sua irm pediu-lhe que confeccionasse uma colcha com faixas 3 cm mais largas e, com isso, o nmero de faixas diminuiu em 20%, usando-se cortes de mesmo tamanho. Assim, o corte de tecido que Carol usa tem largura de A) 1,20m. B) 2,00m. C) 2,40m. D) 2,80m. E) 3,00m. E23 - Trs anos atrs, o nmero de funcionrios da empresa X era igual ao nmero de funcionrios que a empresa Y tem hoje. Nesses ltimos trs anos, o nmero de funcionrios de X no mudou, mas o nmero de funcionrios de Y cresceu 50%. Hoje, as duas empresas decidiram se fundir e criar a empresa Z, mantendo todos os 9.000 funcionrios das duas empresas. Assim, h trs anos, o nmero de funcionrios da empresa Y era igual a A)500. B) 1.000. C) 2.000.

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    D) 3.000. E)4.500. E24 - Joo e Pedro receberam um prmio e, de comum acordo, decidiram dividi-lo da seguinte forma: inicialmente, extraiu-se um quarto para Joo; em seguida, retirou-se um quinto do restante para Pedro; e, finalmente, distriburam-se partes iguais da quantia remanescente para cada um dos seus filhos. Sabendo que Pedro e Joo tm, respectivamente, dois e quatro filhos, assinale a alternativa que representa a frao do prmio que cada um dos filhos recebeu.

    A) 5

    3.

    B) 5

    2.

    C) 20

    3.

    D) 10

    1.

    E) 16

    1

    7 - EQUAO DO 2 GRAU

    toda sentena do tipo 02 =++ cbxax onde cba ,, e 0a

    Exemplos : a) 042 =x b) 062 = xx c) 04 2 =x d) 0432 =+ xx As equaes a) , b) c) so ditas incompletas enquanto d) dita completa. Soluo: Atravs da frmula de BHASKARA

    a

    acbbX

    2

    42 =

    7.1 - RELAO ENTRE COEFICIENTE E AS RAIZES ( Relaes de GIRARD)

    Seja a equao de 2 grau 02 =++ cbxax ,com razes 'x e ''x ento vale a relao:

    a

    cxx

    a

    bxx

    =

    =+

    '''

    '''

    Quando na equao o coeficiente de 2X for igual a 1, isto , a = 1 a relao fica:

    bxx =+ ''' cxx =''' .

    Exerccios E25 - Xavier pensou em um nmero positivo, elevou esse nmero ao quadrado, subtraiu do resultado o nmero original, dividiu o que restou pelo mesmo nmero inicial e chegou a um resultado de 15. O nmero em que pensou inicialmente foi A) 25. B) 24. C) 18. D) 16. E) 14.

    E26 - Sejam 1p e 2p preos de oferta e de demanda, respectivamente, e x a quantidade. Considerando-se que o ponto de

    equilbrio ocorre quando o preo de oferta igual ao preo de demanda e sabendo-se que x

    p8

    1 = e 22 = xp , ento se pode

    afirmar que A) o ponto de equilbrio ocorre em x = 4 e o preo 4. B) o ponto de equilbrio ocorre em x = 4 e o preo 2.

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    C) o ponto de equilbrio ocorre em x = 2 e o preo 4. D) o ponto de equilbrio ocorre em x = 2 e o preo 2. E) o ponto de equilbrio ocorre em x = 1 e o preo 8.

    E27 Se 5

    1da soma de dois nmeros positivos 3 e se

    3

    2 do produto desses mesmos dois nmeros o dobro de um deles, ento

    3

    1da diferena entre o maior e o menor deles igual a

    A) 3

    2.

    B) 5

    1.

    C)1. D) 3. E) 9. 08 - SISTEMA DE EQUAES DO 1 GRAU Um sistema de equaes do 1 grau um conjunto de equaes, todas de 1 grau, cuja soluo satisfaz todas essasequaes simultaneamente.

    Exemplo:Seja o sistema , vamos resolver atravs do mtodo da adio.

    Multiplicamos a 2 equao por 3

    Somamos termo a termo. +

    17 + 0 = 51

    Substituindo o valor x = 3 em uma das equaes, temos:

    ,Logo a soluo S = {(3, 1)}

    Exerccios: E28 - Lus, decidiu promover a "queima"de estoque da sua loja fazendo, trs kits com quantidades distintas de meias, camisetas e bermudas. Os kits so os seguintes: Kit 1: 2 camisetas, 3bermudas e 5 pares de meias. Kit 2: 3 camisetas, 2 bermudas e 5 pares de meias. Kit 3: 4 camisetas, 4 bermudas e 2 pares de meias. Sabe-se que, independentemente do kit, cada camiseta tem o mesmo preo de qualquer outra, o que, vlido tambmpara cada bermuda e para cada par, de meias. Se os kits 1,2 e 3 custam, respectivamente, R$87,00, R$ 83,00 e R$1l8,00; ento a soma dos preos de uma camiseta, uma bermuda e um par de meias igual a A) R$28,00. B) R$29,00. C) R$30,00. D) R$31,00. E) R$32,00.

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    E29 - Em uma caixa, h canetas vermelhas e canetas azuis. Se retirarmos uma caneta vermelha da caixa, entonmero de canetas vermelhas que sobram na caixa um sexto do nmero de canetas azuis. Se retirarmos uma caneta azul da caixa, ento o nmero de canetas azuis que sobramna caixa o quntuplo do nmero de canetas vermelhas. Nessas condies, CORRETO afirmar que a quantidade total de canetas e o nmero de canetas azuis que excede o nmero de canetas vermelhas so, respectivamente, A) 43 e 29. B) 43 e 27. C) 6 e 14. D) 26 e 23. E) 42 e 29. E30 - Os preos dos produtos A, B e C somados resultam em R$ 132,00. Sabe-se que o preo de B do preo de A e que o preo

    de C do preo de B. Logo, os preos, em reais, dos produtos A, B e C so, respectivamente,

    A) 68, 44, 20. B) 60, 40, 32. C) 58, 38, 36. D) 54, 42, 36. E) 50, 40, 42. 09 - FUNES 09.1 - DEFINIO: Sendo A e B dois conjuntos no vazios e uma relao f de A em B, essa relao f uma funo de A em B quando a cada elemento x do conjunto A est associado um e s um elemento y do conjunto B. Exemplos: 1) BAf : / f(x) = 3x +5, Onde A ={ 1,2 3}e B = { 6,7,8, 11,14 ,15} Representando atravs de diagramas:

    2) 103)(/: 2 += xxxff obs.: Quando no aparece o conjunto a qual se deve fazer a relao consideramos sempre o conjunto dos nmeros reais. 09.2 - FUNO DO 1 GRAU

    Denominamos funo de 1 grau a funo :f , definida pela lei y = ax + b, com a e b reais ea 0 .

    baxxf +=)( ( *a e )b Se a > 0a funo dita crescente. Se a

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    Grfico Exemplo: E31 Devido ao desgaste, o valor de um determinado bem depreciado linearmente com o tempo. A partir da funo de depreciao, estima-se que certa mquina, hoje avaliada em R$ 1.000,00, valer, daqui a cinco anos, R$ 250,00. A expresso dessa funo que relaciona o valor da mquina com o tempo de uso A) B) C) D) E) E32 - Duas confeces de biqunis, A e B, produzem, respectivamente, 150 e 60 biqunis por semana. A partir deoutubro, com a proximidade do vero, as confeces A e Baumentaro as suas produes em, respectivamente, 5 e 15 biqunis por semana. Considerando-se que os aumentos sero sucessivos, aps quantas semanas as duas produes se igualaro? A) 11. B) 10. C) 9. D) 8. E) 7. E33 - Uma empresa fabrica determinado produto a um custo fixo mensal de R$5.000,00 e um custo varivel mdio de R$50,00 por unidade. Sabendo-se quecada unidade do produto vendida por R$80,00, qual a quantidade mnima que deve ser vendida mensalmente para que a empresa no tenha prejuzo? A) 130. B) 160. C) 166. D) 167. E) 168. 9.3 - FUNO DE 2 GRAU OU QUADRTICA

    Denominamos funo de 2 grau a funo :f , definida pela lei cbxaxy ++= 2 com a, b e c reais e a 0 .

    cbxaxxf ++= 2)( ( *a e ), cb

    Exemplos: a) 22 += xxy b) 162 = xy c) xxy 82 += d) xxy 82 2 += Grfico: sempre uma parbola. Exemplos:

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    Estudo da parbola: Seja a funo dada pela expresso cbxaxy ++= 2 Se a > 0a concavidade da parbola est voltada para cima. Se a < 0a concavidade da parbola est voltada para baixo. Razes: Basta colocar y = 0. As razes so a soluo da equao de 2 grau.

    Ex.: Calcular as razes da parbola dada pela expresso 22 += xxy .

    022 =+ xx x= 1 e x= -2So as razes.( Pontos onde a parbola corta o eixo x) Vrtice da parbola: o ponto extremo da parbola. Pode ser ponto mximo ou mnimo. Se a > 0, ento o vrtice ser ponto de mnimo da parbola. Se a < 0, ento o vrtice ser ponto de mximo da parbola.

    aa

    bV

    4,

    2

    Ex.: Dada a parbola 422 += xxy . Calcule as coordenadas do vrtice.

    Soluo: 11.2

    )2(=

    =vX

    34

    12

    4

    ]12[

    4

    ]164[

    1.4

    ]4.1.4)2[( 2==

    =

    =

    =vY Logo V(1;3).

    Obs.: O vrtice neste caso um ponto de mnimo, isto , o menor valor da imagem. Exerccios: E34 - Uma sorveteria que vende sorvetes por quilo, negocia 100 Kg por dia, a R$ 12,00 por quilo. Uma pesquisa de opinio mostrou que, para cada real de aumento no preo do quilo, a sorveteria perderia 10 clientes, com um consumo mdio dirio de 500 g cada. O valor do quilo de sorvete que a sorveteria deve estabelecer para que tenha a maior receita diria possvel A) R$ 4,00. B) R$12,00. C) R$14,00. D) R$16,00. E) R$18,00. E35 - O preo de custo de um doce R$ 0,40 por unidade. O fabricante calcula que, se vender cada doce por x reais, os consumidores compraro (8-x) doces por dia. O preo unitrio de venda que maximiza o lucro e o lucro mximo dirio so, respectivamente, a) R$ 3,20 e R$ 7,84. b) R$ 3,60 e R$ 10,24. c) R$ 4,00 e R$ 12,96. d) R$ 4,20 e R$ 14,44. e) R$ 4,40 e R$ 16,00.

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    E36 Certa companhia que oferece servios de Internet estima que, com milhares de assinaturas, o faturamento e o custo (em milhares de reais) so dados, respectivamente, por: e Um valor de (em milhares) que torna o faturamento igual ao dobro do custo A) 25. B) 36. C) 57. D) 68. E) 87.

    E37 - O trinmio admite uma raiz nula e um mnimo para . Ento,

    A)

    B)

    C)

    D)

    E) 9.4 - FUNO EXPONENCIAL

    Denominamos funo exponencial a funo :f , definida pela lei xay = , com a , 0>a e 1a . xaxf =)( ( 0, > aa e )1a

    Na lei xay = , o nmero a denominado base da funo e assume valores nos intervalos reais 0 < a < 1 ou a > 1. 9.1- Grfico:

    Exemplo: xy 2= 9.2 -Estudo da funo

    Domnio: Imagem: *+ ( a imagem esta definida somente acima do eixo x, isto , estritamente positiva) . Se 0 < a 1, entoa funo exponencial crescente. Exerccios E38 A figura ao lado um esboo do grfico de uma funo

    exponencial da forma

    axb

    xf

    +

    =2

    1)( , em que e so

    constantes e . O valor de

    2

    1f igual a

    A) 3. B) 4. C) 5. D) 6. E) 7. E39 - Identifique o intervalo cujos valores de k tornam a funo exponencial decrescente.

    A) .

    B)

    C)

    D)

    E) .

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    E40 - O conjunto soluo da equao A) {0}. B) {-1}. C) {0, 1}. D) {0, -1}. E) {1, -1}. 10 - LOGARITMOS 10.1 - INTRODUO O conceito de logaritmo foi introduzido pelo matemtico escocs John Napier (1550-1617) e aperfeioado pelo ingls Henry Briggs (1561-1630). A descoberta dos logaritmos deveu-se sobre tudo grande necessidade de simplificar os clculos excessivamente trabalhosos para a poca, principalmente na rea da astronomia, entre outras. Atravs dos logaritmos, pode-se transformar as operaes de multiplicao em soma, de diviso em subtrao, potenciao em multiplicao entre outras transformaes possveis, facilitando os clculos. 10.2 - Definio: Logaritmo o expoente de uma equao exponencial.

    Escrevemos abxa xb ==log Onde: b a base a o logaritmando x o logaritmo. Assim sendo, 16log2 igual a 4, pois 162

    4 = . 10.3 - Propriedades * Logaritmo de um produto Exemplo: Dados 301,02log e 477,03log . Calcule 6log ? Soluo: 778,0477,0301,03log2log)3.2log(6log ++== * Logaritmo de um quociente

    nmn

    mbbb loglog)(log =

    Ex.:Dados 301,02log . Calcule log 5

    Soluo: 699,0301,012log10log2

    10log5log ==

    * Logaritmo de uma potncia ( Quando a potncia est no logaritmando).

    mnm bn

    b log.log = Ex.: Dado 699,05log . Calcule 125log

    Soluo: 097,2)699,0.(35log.35log125log 3 == *Logaritmo como expoente de um nmero real (Quando o expoente o logaritimo)

    caca =log

    nmnm bbb loglog).(log +=

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    Ex:Calcule o valor de k na expresso 2log3 77=k

    Soluo: 8777 8log2log2log3 73

    77 ====k Exerccios:

    E41 - Marcus estava resolvendo um problema de Matemtica Financeira quando chegou equao 9)25,1( =n . Utilizando 7,05log = e 5,03log = , ento o valor de n encontrado por Marcus foi

    A) 13. . B) 12. C) 11 D) 10. E)9. 11 - FUNO LOGARITMICA

    Denominamos funo logartmica a funo +*:f , definida pela lei xy alog= , com a , 0>a e 1a .

    xxf alog)( =

    Na lei xy alog= , o nmero a denominado base da funo e assume valores nos intervalo reais:a > 1 ou 0 < a < 1 . Exemplosa) xy log=

    b) xy 2log= c) xxf 5log)( = d) xxf ln)( =

    Obs.: xx elogln = onde e o nmero de EULLER e vale aproximadamente 2,718.

    11.1 - Grfico: Construa o grfico da funo xxf 2log)( =

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    Exerccios:

    E42 - O ndice de crescimento r da populao em certo perodo n (em anos) pode ser estimado por 10

    = n fp

    pr , em que fp e

    0p so, respectivamente, a populao final e inicial. Se o ndice de crescimento em certo perodo n for 1,56, considerando

    3,0)2log( = e 200

    =p

    p f, o perodo n , aproximadamente, igual a

    A) 2 anos. B) 3 anos. C) 4 anos. D) 5 anos. E) 6 anos. E43 Dadas as sentenas: I. II. ento o menor valor de 1. III. Um quinto de igual a . Associando-se a letra V s sentenas verdadeiras e a letra F s sentenas falsas, tm-se, respectivamente, A) V FF. B) V F V. C) V VV. D) FV F. E) FV V. 12 - PROGRESSO ARITMTICA ( PA) De modo geral, chamamos de progresso aritmtica ( P.A.) toda seqncia de nmeros reais, na qual cada termo, a partir do segundo, igual ao anterior somado a uma constante, denominada razo r.

    A representao ),...,,,( 321 naaaa onde: =1a primeiro termo

    =na ltimo termo n = nmero de termos

    r = 12312 ... === nn aaaaaa a razo 12.1 -FRMULA DO TERMO GERAL

    rknaa kn ).( += onde: na - ltimo termo da PA.

    ka - Um termo qualquer da PA

    n Nmero de termos r Razo 12.2 FRMULA DA SOMA DOS TERMOS DE UMA PA.

    naa

    S nn ).2( 1

    +=

    Obs.: )( 1 naa + pode ser substitudo por )( 12 + naa ou )( 23 + naa etc, pois todos esses pares de termos so equidistantes. Exemplo: Numa PA de 7 termos podemos calcular a soma dos termos usando:

    7.2

    717

    +=

    aaS ou 7.

    262

    7

    +=

    aaS ou 7.

    253

    7

    +=

    aaS ou 7.7.

    2 444

    7 aaa

    S =

    +=

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    Exerccios

    E44 - Dada a sequncia ,...,,...,,, 321 naaaa em que 51 =a , 92 =a e 133 =a , ento um possvel valor para 41a A) 204. B) 189. C) 165. D)95. E)79. E45 Se a sequncia forma uma progresso aritmtica no constante, ento a soma desses quatro termos igual a A) 24. B) 27. C) 30. D) 36. E) 42. E46 Certa me props ao filho que lhe daria durante o ano letivo: R$ 10,00 quando obtivesse sua primeira nota dez na prova; R$ 12,00 quando obtivesse sua segunda nota dez; R$ 14,00 quando obtivesse sua terceira nota dez, e assim por diante. Sabendo-se que, durante aquele ano, ele obteve nota dez em 20 provas, ento a me, que cumpriu com sua promessa, deu-lhe, referente a essas provas, a quantia de A) R$ 280,00. B) R$ 380,00. C) R$ 480,00. D) R$ 580,00. E) R$ 680,00. 13 - PROGRESSO GEOMTRICA ( P.G.) Progresso geomtrica (P.G.) toda sequncia de nmeros no-nulos em que cada termo, a partir do segundo, igual ao produto do seu termo precedente por uma constante,denominada razo q da progresso geomtrica.

    Exemplos: a) ( 2, 4, 8, ...) uma PG infinita, onde 21 =a e q = 2 b) ( 5, 15, 45, 135, 405) uma PG finita, onde 51 =a e q = 3 13.2 Termo geral de uma P.G.

    kn

    kn qaa= .

    onde: na o ltimo termo, ka um termo qualquer, q a razo e n o nmero de termos.

    13.3 Soma dos termos de uma P.G. finita

    1

    )1.(1

    =

    q

    qaS

    n

    n onde: nS a soma dos termos da P.G. finita, 1a o primeiro termo, q a

    razo e n o nmero de termos. 13.4 Soma dos termos de uma P.G. infinita.

    Definio: Se arazo q for um nmero entre -1 e 1, ento quanto maior for o expoente de q, tanto mais a expresso nq aproxima-

    se de zero, dessa maneira apesar da soma ser de infinitas parcelas o resultado um nmero finito k , dado pela frmula:

    q

    aS

    =1

    1 ouq

    aS

    = 1

    1 -1 < q < 1

    onde: S a soma de infinitos termos da P.G., 1a o primeiro termo e q a razo.

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    Exerccios: E47 - Um pedreiro esta construindo um muro, de modo tal que, a partir do segundo dia, a superfcie concluda a cada dia o dobro da levantada no anterior. Dessa forma, o profissional leva 10 dias para realizar a tarefa. Se, em vez de apenas um pedreiro, trabalhassem dois com o mesmo desempenho do primeiro, o tempo necessrio para realizar a mesma tarefa seria de A) 5 dias. B) 6 dias. C) 7 dias. D) 8 dias. E) 9 dias.

    E48 A expresso ....8

    1

    27

    8

    4

    1

    9

    4

    2

    1

    3

    211 ++++++++ vale

    A) 12. B) 10. C) 7. D) 6. E) 5. E49 - A expresso do termo geral de uma progresso geomtrica definida por

    Logo, a soma dos 15 Primeiros termosdessa progresso igual a

    A) .

    B) .

    C) .

    D) .

    E) 2. 14 Progresso Aritmtica e Progresso Geomtrica ( P.A e P.G) E50 Os nmeros m, p e 12 formam, nessa ordem, uma progresso geomtrica. Os nmeros 12. me p formam, nessa ordem, uma progresso aritmtica. Pode-se afirmar que um possvel valor para a somam + p A) -11. B)-9. C)-3. D)3. E)9. E51 Afonso, Bruna, Clia, Danilo e Eduardo so irmos cujos nomes formam uma seqncia segundo a ordem em que nasceram, sendo Afonso o mais velho. O fato curioso que as idades dos trs homens formam uma progresso geomtrica e as dos cinco irmos formam uma progresso aritmtica. Se a soma de todas as idades for igual a 100, a soma das idades dos trs homens a) 36 b) 44 c) 52 d) 68 e) 72 15 - ANLISE COMBINATRIA 15.1 Fatorial:Smbolo (!) Definio: n! = n.(n-1).(n-2).(n-3).....3.2.1 0! = 1 1! = 1 Exemplos:5! = 5 .4 .3. 2. 1 = 120 7! = 7.6.5! ou seja 7! = 7 .6 . 120 = 5040

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    15.2 - ARRANJO, COMBINAO E PERMUTAO

    Parte do ARRANJO: Importa a ordem . Frmula )!(

    !,

    pn

    nA pn

    =

    Conjuntos COMBINAO: No importa a ordem. Frmula !)!(

    !,

    ppn

    nC pn

    =

    Envolve todo PERMUTAO SIMPLES : Frmula !nPn =

    conjunto PERMUTAO COM REPETIO: Frmula !....!.!.

    !,....,,

    nPn =

    Exerccios: E52 Uma empresa multinacional formada por nove scios, dos quais nenhum tem dupla nacionalidade, quatro so brasileiros, dois so japoneses e trs so italianos. Decidiu-se que a prxima diretoria seria constituda de quatro scios e deveria contemplar todas as trs nacionalidades. O nmero de formas distintas de se formar essa diretoria igual a A) 36. B) 72. C) 95. D) 126. E) 144. E53 - Para montar uma pizza, os clientes de um restaurante devem obrigatoriamente escolher: I. um dentre os tipos de massa: fina, mdia e grossa; II um dentre os tamanhos: mdio e grande; III. um dentre os queijos: mussarela, prato e gorgonzola; IV. adio ou no de organo; e V. de um a trs dentre os tipos de recheio: calabresa, frango, presunto, brcolis e fil, sem possibilidade de repetio em uma mesma pizza. Dadas essas condies, o nmero de pizzas distintas que possvel montar igual a A) 3.060. B) 900. C) 206. D) 95. E) 35. E54 No novo sistema de segurana implantado em uma empresa, cada funcionrio ter uma senha de acesso constituda de quatro caracteres, dos quais trs so necessariamente letras (entre as 26 letras do alfabeto, sem distino entre maisculas e minsculas) e um necessariamente algarismo ( de 0 a 9), no havendo necessariamente uma ordem especfica para a combinao entre letras e algarismos. Sendo assim, qual o nmero de senhas que possuem trs letras iguais? A) 2.080. B) 1.040. C) 936. D) 260. E) 234. E55 Caio comprou presentes distintos para seus cinco sobrinhos: Joo, que mora na cidade A; Pedro e Luiz, que moram na cidade B e no mesmo endereo; e Jos e Antnio, que moram na cidade C e tambm no mesmo endereo. Considerando que Caio no pode visitar seus parentes no momento e que os sobrinhos ficariam felizes independentemente do presente recebido, quantas so as maneiras distintas pelas quais Caio pode enviar os presentes, sem identificao do nome do destinatrio, pelos Correios? A) 20. B) 30. C) 40.

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    D) 60. E) 120. 16 - PROBABILIDADE: Quando um evento no pode ser previsto antes do seu acontecimento dizemos que probabilstico e estudamos atravs da probabilidade. Exemplos: a) Jogando-se uma moeda, qual a face voltada para cima? b)Quais os nmeros que sero sorteados na mega-sena no prximo final de semana? 16.1 - ESPAO AMOSTRAL (S): o conjunto de todos os resultados possveis de um experimento aleatrio ocorrer. Exemplos: a) Lanamento de uma moeda. S = { C , K } b) Lanamento de duas moedas. S = { CC, CK, KC, KK} c) Lanamento de um dado. S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } d) Lanamento de uma moeda e um dado. S ={1C,1K,2C,2K,3C,3K,4C,4K,5C,5K,6C,6K} 16.2 O QUE PROBABILIDADE. Definio:A razo entre o nmero de elementos de um conjunto A , ( n(A)), favorvel a ocorrer e o nmero total de elementos do espao amostral n(S), chama-se probabilidade do evento A ocorrer.

    )(

    )()(

    Sn

    AnAP = .

    16.3 PROPRIEDADES: 16.3.1 1)(0 Ap ou %100)(%0 AP

    16.3.2 1)()( =+ APAP , onde o evento A o evento complementar de A Exerccios: E56 - Leonardo tem 50% e 60% de chance de receber uma oferta de emprego da empresa A e da empresa B, respectivamente. A probabilidade de Leonardo no receber nenhuma dessas ofertas A) 20%. B) 45%. C) 50%. D) 55%. E) 70%. E57 Joo e Jos foram indicados para fazer parte de um torneio de truco. As probabilidades de Joo e de Jos serem escolhidos para jogar so, respectivamente, 2/5 e 1/3. Sabendo que a escolha de um no afeta a escolha do outro, a probabilidade de somente Joo ser escolhido para jogar de A) 2/15. B) 3/15. C) 4/15. D) 2/5. E) 2/3. E58 Uma prova composta por duas questes de mltipla escolha, cada qual com cinco alternativas. Ento, qual a probabilidade de um indivduo acertar apenas uma questo se ele absolutamente desconhecer o contedo da prova, ou seja, se ele chutar todas as respostas? A) 0,50. B) 0,48. C) 0,32. D) 0,20. E) 0,04.

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    E59 Em uma indstria qualquer, constatou-se que, de um lote de 40 pacotes de biscoitos, 3 esto fora do peso especificado. Escolhendo-se dois pacotes desse lote ao acaso e sem reposio, a probabilidade de que ambos estejam fora do peso especificado aproximadamente igual a A) 0,85. B) 0,1. C) 0,08. D) 0,03. E) 0,004. 17 MATRIZES Denomina-se matriz do tipo m x n (m,n lN* ) a toda tabela constituda por m .n elementos dispostos em m linhas e n colunas.

    Exemplos:

    02

    14 ,

    143

    502

    17.1 Matriz genrica

    mxnmnmmm

    n

    n

    n

    aaaa

    aaaa

    aaaa

    aaaa

    A

    =

    ...

    ....

    ....

    ....

    ...

    ...

    ...

    321

    3333231

    2232221

    1131211

    Exemplos: Obtenha as matrizes dada por:

    a) jiaaA ijxij +== 2/)( 32

    b) 23

    13 /)( jibbB ijxij ==

    c) ji

    jiccC ijxij +

    == /)( 31

    17.2 Tipos de matrizes 17.2.1 Matriz quadrada: toda matriz na qual o nmero de linhas igual ao nmero de colunas.

    Ex.:

    42

    31

    17.2.2 - Matriz diagonal: Possui elementos somente na diagonal principal.

    Ex.:

    400

    030

    001

    17.2.3 - Matriz identidade: toda matriz quadrada, na qual os elementos da diagonal principal so iguais a 1 e os demais so nulos.

    Exemplos:

    =

    10

    012I

    =

    100

    010

    001

    3I

    =

    1000

    0100

    0010

    0001

    4I

    17..2.4 Matriz simtrica: toda a matriz que tem os elementos simtricos em relao a diagonal principal, isto , dado a matriz

    )( ijaA = , ento )()( jiij aa = .

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    Exemplos:a)

    =

    570

    718

    081sA b)

    =

    571

    723

    134sA

    17.2.5 Matriz transposta: a matriz que se obtm da original, trocando-se linhas por colunas e vice-versa.

    Exemplos: a)

    =

    25

    43A

    =

    24

    53tA

    b)

    =

    714

    253

    361

    B

    =

    723

    156

    431tB

    17.3 OPERAES

    17.3.1 Adio e Subtrao de matrizes: Dadas duas matrizes de mesmo tipo mxnijaA )(= e mxnijbB )(= , denomina-se matriz soma a matriz (A+ B) formada por elementos obtidos da adio dos elementos correspondentes de A e B.

    Ex.:Dadas as matrizes 32

    462

    323

    x

    A

    = e

    =

    117

    272B

    A soma ser A + B =

    =

    ++

    +++

    555

    555

    141672

    237223

    17.3.2 Multiplicao de matrizes: Dadas as matrizes mxnijaA )(= e nxpijbB )(= pode-se obter a matriz-produto P = A .B, de tipo m x p, pela soma dos produtos da cada elemento da linha i de A pelo elemento correspondente da coluna k de B. Obs.: O produto A . B s definido quando o nmero de colunas de A igual ao nmero de linhas de B. O resultado do produto de A por B dado pelo nmero de linhas de A pelo nmero de colunas de B.

    Ex:Dadas as matrizes

    2320

    21

    32

    x

    A

    = e 22

    14

    32

    x

    B

    = calcule a matriz produto A.B.

    =

    ++

    ++

    =

    ++

    ++

    ++

    =

    =

    28

    16

    916

    2080

    2382

    36124

    1.23.04.22.0

    1.23.14.22.1

    1.33.24.32.2

    14

    32.

    20

    21

    32

    .BA

    Exerccios:

    E60 - Se

    += 74

    )12(log31

    3x

    yA e sua transposta

    =

    72

    43tA , ento x - y vale

    A) 39. B) 14. C)0. D) 14. E) 16.

    E61 O trao de uma matriz definido como a soma dos elementos da diagonal principal. Se a matriz ( )33xij

    aA = definida

    por , ento o trao dessa matriz

    A) 14. B) 36. C) 90.

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    D) 104. E) 112. 18 - DETERMINANTE Dada uma matriz A, quadrada de ordem n, podemos associar a ela um nmero real denominado determinante da matriz A, obtido a partir de certas operaes realizadas com seus elementos. 18.1 Determinante de ordem 1

    Para a matriz A = [ 11a ] o determinante o prprio 11a .

    Det A = | 11a | = 11a

    Exemplo:A = [ 7] det A = 7 18.2 Determinante de ordem 2

    Dada a matriz

    =

    2221

    1211

    aa

    aaA

    Det A = 2221

    1211

    aa

    aa = 21122211 .. aaaa

    Exemplo: Calcule o determinante da matriz

    =

    21

    34A .

    O determinante 5381.32.421

    34===

    18.3 Determinante de ordem 3 A regra prtica para o clculo do determinante de uma matriz quadrada de ordem 3 denominada de Regra de Sarrus e pode ser efetuada em 2 etapas. 1 etapa Repete-se, direita da matriz, as duas primeiras colunas:

    3231

    2221

    1211

    333231

    232221

    131211

    aa

    aa

    aa

    aaa

    aaa

    aaa

    2 etapa Efetuam-se a soma dos produtos dos elementos da diagonal principalcom o produto dos elementos das diagonais paralelas principal, menos a soma dos produtos dos elementos da diagonal secundria com o produto dos elementos das diagonais paralelas a secundria:

    Det A = )......(...... 122133112332132231322113312312332211 aaaaaaaaaaaaaaaaaa ++++ Exerccios: E62 O conjunto de todos os valores de para os quais o sistema

    no tem soluo

    A) { -1, 1}. B) {-2, 2}. C) {-2, 0, 2}. D) E)

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    E63 O determinante da matriz, real definida por igual a

    A) 0. B) 21. C) 27. D) - 21. E) - 27. 19 - GEOMETRIA PLANA PERMETRO,REA E DIAGONAL DAS FIGURAS PLANAS 19.1 - Tringulo:

    rea :2

    .hbA =

    Permetro:P = a + b + c 19.2 -Quadrado:

    rea: 2LA = Permetro : P = 4L Diagonal: 2LD =

    19. 3 Retngulo:

    rea: hbA .= Permetro: )(2 hbP += Diagonal: 22 hbD += 19.4 - Losango:

    D L rea: 2

    .dDA = Permetro: LP 4=

    d 19.5 - Paralelogramo:

    rea: hBA .= Permetro: )(2 LBP +=

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    19.6 -Trapzio:

    rea: hbB

    A .2

    +=

    Permetro: LLbBP +++= 19.7 - Crculo:

    rea: 2.rA = Permetro: rC .2=

    Relao das cordas: dcba .. = Exerccios: E64 - Externo a um quadrado de lado 1cm construdo um quadrado B de lado xcmcujos pontos mdios constituem os vrtices do quadrado A. Ento, o valor de x igual a A)3. B)2. C) . D) .

    E) .

    E65 O raio de uma circunferncia dado pela expresso , em que . Se substituirmos por nessa expresso, a

    rea do novo crculo passar a medir unidades de rea. Os valores de pertencem ao intervalo A) [0, 1]. B) [1, 2). C) [2, 3]. D) [3, 4]. E) [5, 6]. E66 A rea a seguir vai ser completamente ladrilhada com pisos de 30 cm x 20 cm e tambm receber rodap.

    As quantidades aproximadas de caixas de piso (em unidades) e de rodap(em metros) que precisam ser adquiridas, respectivamente, sabendo-se que cada caixa tem 10 pisos, so A) 60 e 30 m. B) 84 e 25 m. C) 84 e 33 m. D) 84. 101e 35 m. E) 84. 101 e 33 m. E67 Um crculo est inscrito em um quadrado cuja rea mede 256 cm2. A rea do crculo igual a A)

    B)

    C)

    D)

    E)

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    REAS E VOLUMES DE SLIDOS 20 - PRISMAS Os prismas so poliedros convexos que tm duas faces paralelas e congruentes (Chamadas bases) e as demais faces em forma de paralelogramos (Chamadas faces laterais). Chama-se de aresta da superfcie prismtica a uma geratriz que passe por um vrtice da linha poligonal. Frmulas gerais para o prisma reto e regular. rea lateral rea total Volume

    hpS l .= blt SSS .2+= hSV b .=

    Onde:p = Permetro da base. lS = rea lateral. tS = rea total. bS = rea da base.

    Casos particulares 20.1 - Paraleleppedo rea lateral rea total

    )(.2 bacS l += volume

    cbaV ..= Exerccios: E68 O aqurio de Davi tem a forma de um paraleleppedo retngulo de 40 cm de comprimento, 20 cm de largura e 30 cm de

    altura, e o nvel da gua que contm atinge6

    5 de sua altura.Desprezando a espessura das paredes do aqurio, Davi quer colocar 3

    kg de enfeites confeccionados em material de densidade 1,2 g/cm. Nessas condies, pode-se afirmar que A) a gua do aqurio transbordar. B) o aqurio ficar cheio at a borda. C) o nvel de gua ficar entre 26 e 27 cm. D) o nvel de gua ficar entre 27 e 28 cm. E) o nvel de gua ficar entre 28 e 29 cm. E69 - Um empresrio recebeu um pedido para fabricar uma pea em forma de prisma reto de base pentagonal como representada ao lado. Sabendo-se que as medidas esto em centmetros e que a densidade do material a ser utilizado de ,ento a massa da pea corresponder a A) 500g. B) 600g. C) 700g. D) 6.000g. E) 7.000g.

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    20.2 - Cubo

    rea lateral rea total volume

    2.4 aS l =2.6 aS t =

    3aV = Exerccio: E70 Considere a figura abaixo, formada por cubos congruentes. Sabendo que a aresta de cada cubo mede 2 cm, pode-se afirmar que a soma de todas as diagonais dos cubos que compem a figura

    A) 39 cm .

    B) 218 cm .

    C) 318 cm .

    D) 236 cm .

    E) 372 cm . 21 - CILINDROS Denomina-se cilindro reto, ou de revoluo, o slido obtido quando giramos, em torno de uma reta, uma regio retangular. rea lateral rea total Volume

    hrS l ..2= )(.2 rhrS t += hrV ..2=

    21.1 -CILINDRO EQUILTERO Um cilindro dito eqiltero quando h = 2R E71 - Considere duas latas ( A e B) de forma cilndrica que contm o mesmo tipo de produto. A lata A, embora possua o dobro da altura da lata B, apresenta um dimetro que corresponde metade daquele da lata B. Sabendo-se que os preos das latas A e B so, respectivamente, R$ 1,80 e R$ 2,80 e considerando-se a relao entre o preo e o volume que cada uma pode armazenar, pode-se concluir que A) a lata A apresenta melhor custo-benefcio, pois o volume de A o dobro do volume de B e o preo de A menor que o preo de B. B) a lata A apresenta melhor custo-benefcio, pois o volume de A o triplo do volume de B e o preo de A menor que o preo de B. C) a lata B apresenta melhor custo-benefcio, pois o volume de B o dobro do volume de A e o preo de B menor que o dobro do preo de A. D) a lata B apresenta melhor custo-benefcio, pois o volume de B o triplo do volume de A e o preo de B menor que o dobro do preo de A. E) as duas latas (A e B) apresentam o mesmo custo-benefcio, haja vista que ambas tm preos equivalentes. 22- CONE Relao g , h e R rea lateral rea total

    222 Rhg += gRS l ..= ).(. RgRS t += Volume

    hRV ..3

    1 2=

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    E72 - Seja um cone reto com a rea da base igual a 16 2cm . Sabe-se que a altura do cone 5 cm menor que o dimetro da base; logo, sendo Al a rea lateral e V o volume do cone, pode-se afirmar que

    a) 40=Al 2cm e 48=V 3cm b) 40=Al 2cm e 16=V 3cm c) 24=Al 2cm e 48=V 3cm d) 20=Al 2cm e 32=V 3cm e) 20=Al 2cm e 16=V 3cm 23 - ESFERA realateral Volume

    2..4 RS l =3.

    3

    4RV =

    E73 - Joana vai presentear seu afilhado com uma bola. Para evitar que ele adivinhe o presente antes mesmo de abrir o pacote, ela resolveu embalar essa bola em uma caixa em forma de cone circular reto com 50 cm de geratriz e 40 cm de altura. Sabendo-se que a bola ficou inscrita nesse cone, ento o raio da bola de A) 15 cm. B) 20 cm. C) 25 cm. D) 30 cm. E) 35 cm. 24 - TRIGONOMETRIA NO TRINGULO RETNGULO

    Seno(x) igual ao cateto oposto sobre a hipotenusa a

    c

    h

    ocsenx ==

    .

    Cosseno(x) igual ao cateto adjacente sobre a hipotenusa a

    b

    h

    acx ==

    .cos

    Tangente(x) igual ao cateto oposto sobre o cateto adjacente b

    c

    ac

    octgx ==

    .

    .

    Seno(y) igual ao cateto oposto sobre a hipotenusa a

    b

    h

    ocsenx ==

    .

    Cosseno(x) igual ao cateto adjacente sobre a hipotenusa a

    c

    h

    acx ==

    .cos

    Tangente(x) igual ao cateto oposto sobre o cateto adjacente c

    b

    ac

    octgx ==

    .

    .

    Exerccios: E74 -Calcule x indicado na figura.

    a) 3100 m.

    b) 350 m.

    c) 250 m.

    d) 3200 m.

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    e) 225 m. E75 - Dois observadores, A e B, vem um balo, respectivamente, sob ngulos visuais de 20 e 40, conforme indica a figura. Sabendo que a distncia entre A e B de 200 m, calcule a altura h do balo. ( Dados: tg 20 = 0,364 e tg 40 = 0,839). a)38,56m. b)42,42m. c)46,38m. d) 50,77m. e)58,36m. E76 - Calcule o permetro do tringulo retngulo ABC da figura, sabendo que

    BC = 10 cm e 5

    3cos =x .

    a) 20cm. b) 21cm. c) 22cm. d) 23cm. e) 24cm. E77 - Um caminho sobe uma rampa que forma um ngulo de 30 com a horizontal. Aps ter andado 5 km, qual a altura em relao a horizontal ? a) 4,0Km. b) 3,0Km. c) 2,5Km. d) 2,8Km. e)2,2km. E78 - Calcule a altura de um tringulo eqiltero de lado igual a 8 m, sabendo que

    2

    360 =sen .

    a) 34 m.

    b) 38 m.

    c) 32 m.

    d) 28 m.

    e) 24 m. E79 - No tringulo retngulo issceles, a tangente de um dos ngulos agudos :

    a) 2

    1

    b) 2 c) 1

    d) 2

    1

    e) 2

    3

    25 -JUROS SIMPLES 25.1 - Juros: a remunerao do capital. O juro uma espcie de prmio ganho pela pessoa que se abstm de gastar seu dinheiro no presente para gastar no futuro. Esse prmio 0,5% ao ms.

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    Frmula: J = C .i t onde: C = capital i = taxa(unitria) t = perodo (homogneo com o perodo da taxa) J = juros 25.2 - Montante: O montante o capital aplicado acrescido dos juros ganhos noperodo. M= C + J M= C + C.i.t Frmula: M = C ( 1+ i.t) Exerccios: E80 - Calcule os juros simples anuais de R$ 6.000 a 6 % a. a. A) R$ 360,00 B) R$ 372,00. C) R$ 380,00. D) R$ 390,00. E) R$ 400,00. E81 - Calcule o juro simples mensal de R$ 40.000,00 taxa de 24 % a. a. A) R$ 680,00. B) R$ 800,00. C) R$ 960,00. D) R$ 990,00. E) R$ 1.030,00. E82 - Qual a taxa anual que um capital de R$ 1.440,00rende R$ 33,00 de juros simples em 2 meses e 15 dias ? A) 9,16% a.a. B) 10,84% a.a. C) 11% a.a D) 12,50% a.a. E)14% a.a. E83 - Para que taxa simples um capital produz 1/5 do seu valor em 2 anos ? A) 6% a.a. B) 7% a.a. C) 8% a.a. D) 9% a.a. E) 10% a.a. E84 - Calcule o tempo para que uma quantia depositada a 12% a.a., juros simples,triplique. A) 16 anos 3 meses e 10 dias B) 16 anos e 3,3 meses. C) 16 anos e 4 meses. C) 16 anos e 5 meses. E) 16 anos 8 meses. E85 - Depositei certa importncia a 5% a. a. . No fim do primeiro ano, somei os juros ao capital e depositei a soma a 6% a. a., recebendo no fim do ano o juro simples de R$ 1.260,00. Que quantia foi inicialmente depositada ? A) R$ 18.000,00 B) R$ 19.000,00. C) R$ 20.000,00. D) R$ 21.000,00. E) R$ 22.000,00. E86 - Se aplicarmos determinada quantia durante 8 meses, seu montante ser de R$ 63.000,00. Caso a aplicao durasse 13 meses, seu montante seria de R$ 74.250,00. Qual a taxa simples mensal empregada ? a) 4%. b) 5%.

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    c) 6%. d) 7%. e) 8%. E87 - Um capital foi aplicado durante 5 meses taxa de 8% a. m. . Seu montante foi retirado e aplicado a 10% a. m. durante 3 meses. Qual a taxa nica, na forma unitria, que poderia ser aplicado essecapital, durante o prazo total para que no final desse prazo o montante fosse o mesmo? a) 0,105. b) 0,1025. c) 0,10. d) 0,0092. e) 0,087. E88 - Uma pessoa coloca 2/3 dos seus haveres a 6% a. a. e o resto a 5% a. a., recebendo um juro simples anual de R$ 340,00. Calcule o capital aplicado. A) R$ 5.000,00. B) R$ 6.000,00. C) R$ 7.000,00. D) R$ 8.000,00. E) R$ 9.000,00. E89 - Um capital colocado, parte a 4% a. a. e parte a 5,5% a. a., d um juro anual de R$ 2.475,00. Se a parte colocada a 4% a. a. fosse colocada a 5,5% a. a. e vice-versa, o juro seria de R$ 2.370,00. Calcule o capital total investido. A) R$ 48.500,00 B) R$ 50.500,00 C) R$ 50.800,00 D) R$ 51.000,00 E) R$ 52.000,00 E90 - Uma pessoa possui um financiamento (taxa de juros simples de 10% a.m.). O valor total dos pagamentos a serem efetuados, juros mais principais, $ 1.400,00. As condies contratuais preveem que o pagamento deste financiamento ser efetuado em duas parcelas. A primeira parcela, no valor de setenta por cento do total dos pagamentos, ser paga ao final do quarto ms, e a segunda parcela, no valor de trinta por cento do total dos pagamentos, ser paga no final do dcimo primeiro ms. O valor que mais se aproxima do valor financiado : a)$ 816,55 b)$ 900,00 c)$ 945,00 d)$ 970,00 e)$ 995,00 E91 - Se 6/8 de uma quantia produzem 3/8 desta mesma quantia de juro simples, em 4 anos, qual a taxa unitria aplicada ? a) 0,12. b) 0,15. c) 0,125. d) 0,128. e) r.n.a E92 - Trs capitais so colocados a juro simples, o primeiro a 25% aa, durante 4 anos; o segundo a 24% a.a, durante 42 meses e o terceiro a 20% aa durante 2 anos e 4 meses, perfazendo um rendimento total de R$ 27.591,80 . Sabendo que o segundo capital o dobro do primeiro e que o terceiro o triplo do segundo, calcule o valor do terceiro capital. A) R$ 28.820,00. B) R$ 29.500,00. C) R$ 30.210,00. D) R$ 31.710,00. E) R$ 32.820,00. E93-H cinco meses passados, um capital de R$ 1.500,00 foi aplicado taxa de 7% ao ms. Se aplicarmos hoje um capital de R$ 1.800,00 taxa de 10% ao ms, daqui a quantos meses os dois capitais ter produzido juros simples iguais ? A)7 meses. B) 10 meses. C) 12 meses. D) 14 meses. E) 16 meses.

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    E94 - (CEF-2000) Um capital foi aplicado a juros simples e, ao completar um perodo de 1 ano e 4 meses, produziu um montante

    equivalente a 7

    5 de seu valor. A taxa mensal dessa aplicao foi de

    a) 2%. b) 2,2%. c) 2,5%. d) 2,6%. e) 2,8%. E95 (BRDE-2001) Uma pessoa aplicou o valor de R$ 3.000,00 no mercado financeiro e, aps 12 dias, recebeu juros de R$ 72,00. A taxa de juros simples dessa aplicao foi de a) 0,06% ao ms. b) 0,06% ao dia. c) 0,6% ao ms. d) 0,6% ao dia. e) 6% ao ms. E96 - ( Fiscal de Tributos SC ) Um investidor aplicou 1/4 do seu capital a 36% a. a.; 2/3 do mesmo a 48% a. a. e o restante a 60% a.a.Aps 1 ano e 8 meses recebeu R$ 618.930,00 de juros. O capital inicial era: a) R$ 897.000,00. b) R$ 742.716,00. c) 742.776,50. d) 807.300,00. e) 807.300,50. E97 - (CEF-2004) Eu tinha certo capital para investir. Apliquei 2/3 dele a 9% a. m. durante 1 trimestre; 1/5 dele a 8% a.m. durante dois bimestres e o restante 10% a. m. durante um certo prazo. Que prazo foi esse se o juro total obtido foi igual a 30% do capital que eu tinha para investir ? a) 6 m. b) 5 m 3 d. c) 4,5m. d) 4 m 6 d. e) 4 m 2 d. E98 - (MPU 2001) Se no houvesse inflao e se a capitalizao dos rendimentos da caderneta de poupana fosse simples, a taxa de juros seria ento de 0,5 % ao ms. Admitindo isso, o tempo t, em anos, necessrio para que um depsito em caderneta de poupana, aplicado taxa mensal de 0,5 %, produza juros simples iguais a 150% de seu valor, satisfaz condio. a) t < 10. b) 10 < t < 20. c) t = 20. d) 20 < t < 30. e) t = 30.

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    GABARITO

    01 - A

    21 - B

    41 - D

    61 - C

    81 - B

    02 D

    22 - C

    42 B

    62 - B

    82 - C

    03 E

    23 - D

    43 - A

    63 - C

    83 - E

    04 A

    24 - D

    44 - C

    64 - D

    84 - E

    05 E

    25 -D

    45 -C

    65 -C

    85 -C

    06 A

    26 - B

    46 - D

    66 - C

    86 - B

    07 - C

    27 D

    47 - E

    67 - D

    87 - B

    08 - C

    28 - D

    48 - E

    68 - E

    88 - B

    09 - E

    29 - A

    49 - A

    69 - C

    89 - D

    10 - B

    30 - B

    50 - C

    70 - E

    90 - B

    11 D

    31 - E

    51 - C

    71 - C

    91 - C

    12 C

    32 - C

    52 - B

    72 - E

    92 - C

    13 E

    33 - D

    53 - B

    73 - A

    93 - A

    14 C

    34 - D

    54 - B

    74 - B

    94 - C

    15 B

    35 D

    55 - B

    75 - D

    95 - E

    16 A

    36 - A

    56 - A

    76 - E

    96 - D

    17 - D

    37 - D

    57 - C

    77 - C

    97 - D

    18 - B

    38 - B

    58 - C

    78 - A

    98 - D

    19 - D

    39 - A

    59 - E

    79 - C

    20 - B

    40 - D

    60 - C

    80 - A