7.5-01-03-01 기기교정_불확도_최종.pdf

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계측기기 교정시험의 불확도 해석 발효일자 2014

개정 01

목 차

1. 기준의 목적 2

2. 범위 2

3. 일반사항 3

4. 선형 회귀분석 5

4.1 선형 회귀분석의 기본사항 5

4.2 선형 회귀분석의 기본사항 6

4.3 교정시험 이론 8

4.4 가설검증과 이상 값 11

4.4.1 기울기와 절편을 알 때의 가설검증 12

4.4.2 반복교정의 가설검증 13

4.5 비선형 방정식 15

5. 힘 교정시험 17

6. 펄스 수의 불확도 20

7. 직접 수치 교정시험 22

8. 요약 24

9. 참고 문헌 25

개정 승인

27차 ITTC 품질시스템 그룹

27차 ITTC (2008)

일자 2014/03 일자 2014/09

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개정 01

불확도 해석: 계측기기 교정시험

1. 기준의 목적

본 기준의 목적은 95% 신뢰수준에서 계측기기 교정시험의 불확도 산정방법을 제시하는 데 있다. ITTC (1999)에는 교정시험과 그 결과의 기록 방법을 기술하고 있다.

2. 범위 (SCOPE)

요즈음 실험실들은 디지털 방식의 자료취득 장치들로 자료를 취득한다. 이러한 수치자료들을 공학적 또는 물리적 단위로 환산하려면 이 측정 장치들과 연결된 계측 기기들을 반드시 교정하여야 한다. 본 기준에서는 이러한 교정시험의 불확도를 추정하는 방법을 기술하고 있다. 대부분 계측기기는 높은 선형성을 가지므로 결국 교정시험은 자료를 선형 맞춤하는 과정을 포함한다. 보통, 대부분의 불확도는 이러한 회귀 맞춤서의 자료 분산과 연관된다. 본 기준은 또한 비선형적인 곡선 맞춤의 불확도 추정도 기술하는 데, 이러한 불확도는 보통 프로펠러 성능에서의 추력계수와 전진 비 사이의 관계처럼 자료의 해석적 모형과 연관되어 있다.

토크 변환기, 검력계, 블록게이지는 전형적으로 교정시험대에서 질량을 사용하여 교정한다. 질량을 사용하여 힘과 토크를 교정할 때의 불확도 해석 절차를 검토한다.

마지막으로 몇몇의 경우에, 회전하는 프로펠러나 예인전차의 속도교정용 바퀴 등의 회전기구에 부착된 펄스신호 발생장치의 신호는 본질적으로 디지털 방식이다. 바퀴의 회전속도와 예인전차 속도의 불확도 추정방법을 기술한다.

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개정 01

3. 일반 사항 ITTC 회원기관의 실험실은 세계 수준으로 인정되기 때문에, 모든 계측결과들은 각 국가의 해당 국가표준기관(National Metrology Institutes: NMI)의 적절한 기준표준(reference standard)으로 인증할 수 있어야 한다. 통상적으로 기준표준의 불확도는 교정시험에서 측정된 자료의 분산에 비하여 작아야 한다. 모든 교정시험은 실제 실험에서 사용하는 것과 동일한 자료취득 시스템과 소프트웨어를 사용한 시스템 통합 교정시험 또는 종단간(E2E) 교정시험이어야 한다. 만일 교정시험을 종단간으로 수행하지 않는다면 아날로그 신호를 디지털로 변환하는 AD를 여기에서 설명하는 절차에 따라 교정하여야 한다. AD의 불확도에는 전압계 또는 여타 컴퓨터 장치등과 같은 다른 시스템을 기기교정 시험할 때 발생하는 불확도를 반드시 포함시켜야 한다.

종단간 교정시험 절차를 그림 1에 개략도로 나타내었다.

그림 1 종단간(E2E) 교정시험의 개략도

이미 알고 있는 측정된 입력 물리량을, 일례로 횡 동요각을 기기 시스템에 입력하는 경우를 살펴보자. 이때 입력 물리량은 NMI나 그 대행기관이 인증한 계측수단

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개정 01

으로 측정한다. 전자계기를 사용하여 물리적 입력량을 전압으로 변환한다. 이때 예상되는 전압 범위가 AD 변환기의 사용범위와 부합하도록 전압출력 신호를 증폭한다. 증폭기에서 나온 출력을 다시 전자계기의 주파수 범위에 부합되는 저역통과 필터 또는 주파수 중복방지 필터로 처리한다. 필터링된 신호는 AD 변환기에서 Nyquist 표본화 이론에 따른 자료 추출속도로 수치화된다 (Otnes and Enochson, 1972, and Bendat and Piersol, 2000). 최종적으로 자료는 소프트웨어를 통하여 AD 변환기의 전압 단위로 표시된 자료로 출력된다.

원칙적으로, 물리적 입력을 컴퓨터 제어로도 수행할 수 있다. 그럴 경우에는, 전체 과정을 컴퓨터 제어로 자동화할 수 있으나 그 상세한 적용방법은 그림 1에 보인 종단간 교정시험에 대한 개략도와는 달라질 것이다.

앞에서 설명한 종단간 교정시험에 대한 대안이 되는 전형적 예를 그림 2에 나타내었다.

a) 계기 교정시험 b) 컴퓨터시스템 교정시험

그림 2 자료취득시스템의 분할 교정

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즉, 이 경우에는 교정시험 과정을 두 부분으로 분할하여 수행한다. 첫 번째 부분에서는 실험대에 올린 계기들을 전압계 또는 전압계 역할을 하는 다른 컴퓨터 시스템으로 교정시험 한다. 컴퓨터 시스템은 정밀 DC 전원 공급장치와 정밀 전압계로 별도로 교정한다. 일반적으로 16 비트 AD 변환기가 쓰이므로 컴퓨터 시스템의 불확도가 합성불확도에 기여하는 부분은 기기 교정시험에 비해 작을 듯하다.

계측 기기들은 사용범위를 10등분 정도의 공학 또는 물리적 단위로 분할하고 이를 증분으로 하여 교정시험을 수행한다. 교정시험에서 얻어지는 가장 큰 값과 가장 작은 값은 AD 범위를 벗어나서는 안 된다. 명목상, 불확도는 전 교정시험 범위에 걸쳐 물리적 단위로 상수가 될 것이다.

대부분 계기에서, 불확도는 전체 눈금의 백분율로 나타낸다. 교정시험을 거친 후 계기의 불확도를 나타내는 물리적 단위의 상수를 시험용 소프트웨어에 입력한다. 적절한 불확도 값이 상수로 제대로 입력되었는지를 검증하려면 시스템 작동범위의 높은 값과 낮은 값 그리고 중간 값 등의 3점에서 시스템을 자세히 살펴야 한다.

교정시험에 사용되는 자료점들은 AD를 통하여 대략 100 내지 1,000 개의 표본을 수집하여 결정한다. 출력신호는 변환기의 주파수 응답과 부합되는 값으로 여과하여야 한다. 표본추출 속도는 최소한 저역통과 주파수 중복방지 필터의 차단주파수의 2.5배 이상이 되어야 한다. 평균 값, 표준편차, 표본 수를 기록하여야 한다. 이 정보는 JCGM 불확도 가이드 (2008) 또는 GUM에 따라 Type A 방법에 의한 불확도를 계산할 때 필요하다.

4. 선형 회귀분석

4.1 선형 회귀분석의 기본사항 <원본에 공란으로 남아 있음>

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개정 01

4.2 선형 회귀분석의 기본사항

선형 회귀분석의 기본사항은 Ross (2004)과 Devore (2008)과 같은 통계학 이론을 다루는 여러 교과서에서 다루고 있다. 또한 많은 상용코드들을 이용할 수 있다. 기본량 중에서 몇몇은 스프래드시트에서 계산할 수 있다. 기본 식은 다음과 같이 주어진다.

(1)

여기에서 y 는 전압계의 전압 또는 AD의 디지털 전압을 나타내는 종속변수이며,

는 기준표준으로 정의되는 물리단위로 정의되는 독립변수이다. a는 절편이고 b는 기울기이다. 따라서 선형 회귀이론으로부터 절편과 기울기는 다음의 식들로 나타낼 수 있다.

(1a)

(1b)

(1c)

(1d)

일반적으로, 교정시험 자료들은 식(1)로 표시하여 왔다. 선형도가 높은 교정시험 자료일 때에는 모든 자료가 직선 위에 놓일 것이다. 교정 시험 자료의 통계적 특성을 보다 잘 표현하는 것이 잔차도(residual plot)이며 잔차는 다음과 같이 정의 된다:

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개정 01

(2)

잔차는 측정 자료와 곡선맞춤 사이의 차이이다. 본 기준에서 잔차도의 예를 보일 것이다.

잔차의 제곱합은 다음식과 같다.

(3)

선형 회귀분석에서 표준편차의 척도는 표준 추정오차이다.

(4)

Ross (2004)에 의하면, 표준화된 잔차는 식(2)를 로 나눈 값이다. 표준화된 잔차도는 이상값을 확인하는 데에 유용하다.

기울기와 편차의 불확도가 유용할 것이다. Ross (2004)에 의하면, 표준편차 또는 절편과 기울기의 표준불확도는 각각 다음과 같다.

(5a)

(5b)

수치 자료를 물리적 단위로 변환하는 과정에 회귀분석을 적용할 때에는 곡선맞춤의 불확도는 다음과 같은 예측한계로 결정된다.

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개정 01

± (6)

여기서 JCGM (2008)에 의하면 t 는 α/2 신뢰한계에서의 Student- 역 확률밀도함수이다. 표에서 이 값을 결정할 때 주의를 하여야 한다. 왜냐하면 표는 단측(1-tail) 분포를 나타낼 수도 있고 양측(2-tail) 분포를 나타낼 수도 있기 때문이다. 양측분포인 경우 통상 95% 신뢰한계에서는 α=0.05 또는 α/2=0.025 이다. 표본 수가 무한대일 때 Student-는 Gaussian 분포가 되므로 95% 신뢰수준에서 t =1.96이 된다.

계측 값을 물리적 단위로 변환하는 다음 식이 자료처리 코드에 포함되어 있다.

′ ′ (7)

여기서 y′은 물리적 단위로 나타낸 종속변수이고, x′은 디지털 전압으로 독립변수이며, 식 (1)에 의하면 기울기와 절편은 다음과 같다.

(7a)

′

4.3 교정시험 이론

Scheffe (1973)는 교정시험에 관한 통계이론을 개발하였다. Carroll, et al. (1988)은 단순화된 방법을 상세한 예제와 함께 제안하였다. 신뢰한계 95%일 때의 예측한계는 다음과 같이 주어진다.

≤ ≤ (8)

여기서 이고 F는 역 피셔(Fisher) 확률밀도함수이다.

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식 (7)로부터 선형 식에서 x의 불확도를 물리적 단위로 표현하면, Scheffe (1973)에 의하여 다음 식들과 같이 표시된다.

× ×

(9a)

(9b)

× (9c)

여기서 h=1과 2는 각각 상한과 하한이다.

역 Student 와 피셔 확률밀도함수(pdf)는 Ross (2004)와 Devore (2008)와 같은 표준 통계학 참고문헌과 수학편람에 수록된 표에서 찾을 수 있다. 또한 이들 함수는 마이크로소프트 엑셀과 같은 스프레드시트와 여러 계산코드에서 이용할 수 있다.

기울기(a), 절편(b), 평균 (x̅), 표준추정오차()와 같은 다른 통계 함수들도 이들 코드에서 이용할 수 있다.

그림 3에 보인 예는, Chirozzi and Park (2005)에서 다룬 횡동요 중인 상용 수직 자이로스코프의 교정시험에 대한 그림이다. 기준 각은 95% 신뢰한계에서 ±0.2°의 측정 불확도를 갖는 전자각도계를 사용하였다. 제조사는 이 자이로스코프가 ±1.0°의 불확도를 가지는 것으로 평가하고 있다.

그림 3a를 보면 모든 자료 점들은 직선상에 놓여 있다. 이러한 그림에서는 오차 막대는 기호의 크기보다도 작다. 그림 3b의 잔차도는 자료의 통계적 특성에 대한 훨씬 더 많은 정보를 제공한다. 그림에서 각도가 증가할 때의 자료는 감소할 때와 체계적으로 다르다. 따라서 그림은 자료에 약간의 이력현상(hysteresis)이 있음을 나타내는데, 선형도에서는 이러한 현상이 뚜렷하게 보이지 않는다.

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a) 선형도

b) 잔차도 c) 표준화 잔차도

그림 3 횡동요 중인 수직 자이로스코프의 교정시험 자료

또한 오차막대는 잔차도에서 쉽게 알아볼 수 있다. 이 경우에 오차막대는 95% 신뢰한계(±0.2°)에서의 기준 측정표준의 불확도이다.

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개정 01

잔차도(그림 3b)에서 파선은 95% 신뢰수준에서 곡선맞춤의 예측한계이다. 푸른색 파선은 식(5)에 의한 통상적인 예측한계이고 붉은색 파선은 교정이론 (8)로 추정된 값이다. 그림을 보면 교정이론에 의한 불확도가 제조사가 주장하는 값과 비슷하다. 다음 그림들에서의 붉은색 파선은 교정이론에 의한 95% 예측한계이다.

마지막으로, 그림 3c에 교정시험 자료를 표준화 잔차로 나타내고 있다. 이 경우에, SEE는 선형 회귀식 (6)으로 계산되므로 SEE는 각도 단위를 갖는다. 그림이 나타내듯이, 95% 신뢰수준에서 교정이론에 의한 예측한계가 3×SEE인 반면에, 통상의 방식에 의한 예측한계는 2×SEE에 가깝다. 만일 SEE를 불확도 추정 값으로 사용한다면, 3×SEE를 95% 신뢰수준에서의 불확도로 권장한다. 본 절에서 기술한 통계량들은 표준 상용 스프레드시트 또는 통계프로그램으로 계산할 수도 있다.

4.4 가설검증과 이상 값

표준화된 잔차도는 이상 값을 확인하는 데 아주 유용하다. 이상 값을 제외시키기 위한 포함인자나 한계값(threshold)은 Coleman & Steele(1999)의 Chauvenet 판정기준 또는 가설검증을 통한 Student 에 의해서 결정할 수 있다.

그림 4는 Strano and Park (2005)에서 다룬 종동요 중인 수직 자이로스코프의 교정시험에 대한 하나의 예이다. 그림 4a에서도 역시 붉은색 기호로 표시한 이상 값을 포함한 모든 자료가 직선상에 놓인다. 표준화 잔차도에서는 표시된 자료점이 이상 값인 것이 보다 분명하게 나타난다. 이 그림에 대한 통계는 이상값을 제거한 후의 값을 나타내고 있다.

자료점을 제거하기 전의 표준 추정오차는 0.465°이었다. 이 점에 대한 표준화된 잔차는 2.76이었다. 27개 자료점에 대한 Chauvenet의 판정기준에 의한 한계 값은 2.36이었으며 Student 의 한계값은 2.06이었다. 두 판정기준 모두에 의하면, 이 점은 이상 값에 해당한다. 이상값을 배제한 후의 표준추정오차는 0.373°이고 이상 값에 대한 표준화 잔차는 3.56이 된다.

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개정 01

어떤 자료점이 이상값이라고 하면, 물리적인 원인을 확인하여 수정하여야 한다. 이 경우에는 어떤 것도 분명하지가 않다. 그러나, 시험 도중에 -50°라는 큰 종동요각과 마주 칠 가능성은 매우 적다. 자료점이 충분히 많은 경우에는, 그 중 한 점을 제거하여도 기울기는 심하게 변화시키지 않겠지만, 불확도에는 아마도 영향을 미칠 것이다.

A) 선형 회귀식 표기 B) 표준잔차 표기

그림 4 종동요 중인 수직 자이로스코프의 교정시험 자료

4.4.1 기울기와 절편을 알 때 가설검증

교정시험에 따라서는 알고 있는 기울기와 절편과 비교하는 것이 도움이 될 수 있다. 일부 계측기기의 교정시험은 직접 물리적 단위로 수행된다. 그럴 경우에 계기의 계측 범위에 전체에 걸친 직선맞춤은 기울기가 1이고 절편이 0인 직선을 만들어 낸다. Ross (2004)과 Devore (2008)에서 보인 귀무가설 (null hypothesis) H0는 절편의 경우에는 (10)식의 관계가, 기울기의 경우에는 (11)식의 관계가 있을 때 성립된다.

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개정 01

≤ (10)

≤ (11)

여기에서 α와 β는 각각 이론적으로 알고 있는 절편과 기울기이다.

4.4.2 반복교정을 위한 가설검증

일반적으로 동일한 기기들로 후속시험을 수행한다. 따라서 교정시험 이력을 기록으로 남겨두는 것이 중요하다. 교정시험이 재현성을 가진다면, 기울기와 절편은 통계적으로는 같아야 한다. 재현성은 가설검증으로 판단할 수 있다. Kleinbaum, et al. (1988)에 의한 기울기에 대해서 만일 (12) 식의 관계가 있으면 귀무가설이 성립된다.

≤ (12)

여기에서 b1과 b2는 서로 다른 두 교정시험에서 얻어진 기울기이고 Sb1-b2는 두 기울기 차이의 표준편차이다. 기울기 차이의 분산(variance)은 (13)식으로 표시된다.

(13)

여기에서 통합 추정값(pooled estimate)은 (14)식으로 표시된다.

(14)

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식 (11)과의 비교를 위한 Student 의 자유도는 [n1 + n2 - 4] 이다.

절편의 -검증에서는, 기울기가 같다고 가정한다. 이 경우에, Armitage et al.(2002)에 의하면

≤ (15)

여기서 는 절편의 차이로

(16)

이고 두 교정시험에 대한 통합기울기 b는 (17)식으로 표시된다.

(17)

의 분산은 (18)식과 같이 표시된다.

(18)

그리고 직선에 대한 잔차 제곱평균(residual mean square)은 (19)식과 같다.

(19)

이 경우에 Student 비교를 위한 자유도 수는 [n1+n2-3]이다.

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개정 01

4.5 비선형 방정식

앞 절의 원리들을 비선형 함수에로 확장할 수 있다. 이러한 계산에 상용 전산 코드를 이용할 수 있으며 선박유체역학 분야에도 많은 예들이 있다. 이들 비선형 곡선맞춤이나 순정에 대한 불확도의 척도로서 예측한계가 적용된다. Park, et al. (2005)에 있는 한 예를 그림 5에 보였다.

이 자료는 펌프 속도에 따른 관측부에서의 물 터널 속도에 관한 것이다. 관측부 속도는 레이저 도플러 속도계(LDV)로 측정한 것이다. 이 자료 또한 잔차도의 중요성을 보여주는 또 다른 예가 된다.

그림 5a를 보면, 모든 자료 점은 직선상에 놓여있다. 그러나, 그림 5b에 보인 직선맞춤에 대한 잔차도에서는 자료가 영(0)을 중심으로 체계적인 편차를 보이고 있다. 잔차도에서는 자료가 영(0)을 중심으로 무작위하게 분포되어야 한다. 이러한 그림 형태로부터 직선맞춤보다는 좀 더 잘 맞는 추정식이 있으리라 판단하여 비선형 맞춤을 시도하였다. 더욱이 그림은 속도를 별도의 두 식으로 나타낼 수 있음을 보여준다. 즉, 2m/s 이하에서는 기울기가 다른 선형 맞춤이 적절하다. 2m/s (6.8 rpm) 이상에서는 멱법칙(power law) 식이 더 잘 맞는다. 여기서 멱법칙은 (20)식과 같다.

(20)

이 식에서 상수 a, b, c는 상용코드에서 최소자승법으로 계산하였다. 멱법칙 곡선맞춤에 대한 SEE는 0.88 m/s로 전체 속도영역에 걸쳐 선형맞춤을 하는 경우의 0.88 m/s과 비교된다.

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a) 선형 회귀식 표기

b) 잔차의 선형 표기 c) 잔차의 비선형 표기

그림 5 워터 터널의 관측부 속도에 관한 교정 데이터

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5. 힘 교정시험

체적력, 모멘트, 그리고 프로펠러 추력과 토오크와 같은 힘의 교정은 통상적으로 교정시험기에서 질량을 가지고 교정시험 하게 된다. 그럴 경우에, ASTM E74-02에 의하면 힘은 질량과 다음의 관계가 있다:

aw (21)

여기서 m은 질량, g는 국부 중력가속도, ρa는 공기의 밀도, ρw는 추의 밀도이다. 교정시험기에는 힘을 증가시키기 위한 지렛대를 갖출 수 있으며, 그 경우에는 식 (21)과 불확도 추정에 힘의 승수를 포함시켜야 한다.

식 (21)의 마지막 항은 부력 보정 항이다. 국부 중력은 표준중력 9.80665 m/s와 0.1% 대의 차이가 날 수 있으며 부력 보정은 대략 0.017%가 된다. 힘 교정시험에서 일반적으로 사용하는 질량세트로는 OIML Class M1, NIST Class F, ASTM Class 6와 같은 공차 규격 ±0.01% 대의 제품이 있다. 이 추 등급들의 특성은 각각 OIML R 111 (2004), NIST (2003), 그리고 ASTM E617-97에 자세히 기술되어 있다. 결론적으로, 국부중력에 대한 보정은 기준질량 불확도의 10배 수준이 될 수 있다. <역자주 : 7.6-02-08과 상충요인 있음 검토 필요> 교정시험을 수행하는 도중 추를 추가하거나 제거하면 힘이 바뀌게 된다. 이 때 식 (21)에서 사용하는 질량은

(22)

추 세트는 일반적으로 동일한 기준표준으로 동시에 교정시험을 거치게 된다. 그렇게 함으로서 추의 불확도는 완벽하게 상관관계를 가지도록 보정되었다고 가정한다. 이 때 전체 질량의 표준 불확도는 (23)식과 같다.

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개정 01

(23)

국가표준기관 또는 그 대행기관에서 인증한 실험실 보고서는 실제로 계측된 각 추의 질량과 확장불확도를 포함하여야 한다. 요구되는 확장불확도는 (24)식과 같다.

≤ (24)

여기에서 ± δm은 최대 허용오차 또는 OIML (2004)이나 ASTM E74-02에 따른 공차이다. OIML R 111-1 (2004)에서는 이러한 불확도 추정 값을 권장하고 있다. 그러나 각 질량의 실제 교정시험과 그 불확도를 기록하기보다는 실제적인 문제로서 δm 또는 보통 전체 질량의 ±0.010%를 확장불확도로 적용한다.

로드 셀은 이력현상을 피하기 위해서 임의의 하중을 가하여 교정시험을 수행하여야 한다. 교정시험을 시작하기 전에 최대하중을 적어도 2번 걸어주어야 한다. 교정시험 중에는 총 30회 힘을 가하여야 하고 그 중에서 10회의 힘은 서로 달라야 한다. 로드 셀의 교정시험에 관한 추가적인 세부내용은 ASTM E74-02에 기술되어 있다.<역자주 : 7.6-02-09와 상충요인 있음 검토필요> 상용 토크 계측 로드 셀의 교정시험 결과를 그림 6에 보이고 있다. 토크 변환기에는 스트레인 게이지가 감지소재로 들어 있다. 토크를 증가시키면서 로드 셀을 교정시험하였다. 최대 토크에 도달한 후 하중을 증가시킬 때와 동일한 값들로 감소시켰다. 이 장치가 본래 아주 높은 선형 특성을 갖고 있어서, 그림 6a에 보인 통상적인 선형 선도에서는 하중을 증가시켰을 때의 값들을 나타내는 기호들이 하중을 감소시켰을 때의 값들을 나타내는 기호에 바로 겹친다. 자료 전체가 직선상에 놓여 있다.

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개정 01

a) 선형 회귀식 표기 b) 잔차의 선형 표기

그림 6 상용 토오크 로드 셀에 대한 교정시험 자료

동일한 자료를 사용한 잔차도가 그림 6b 이다. 이 그림에서는 로드 셀의 이력현상이 뚜렷하게 나타나 있다. 그림에 표시되어 있는 오차막대는 제조자가 제시한 기준표준의 불확도를 나타낸다. 파선으로 표기한 선은 선형 회귀식을 사용하였을 때에 대한 교정시험 이론에 따르는 불확도를 나타낸다. 로드 셀의 교정시험은 교정시험 결과를 바로 읽을 수 있는 직접 판독법으로 수행되었으나 그림에서 보듯이 기울기 값과 절편 값을 구하는데 약간의 수정이 필요하였다.

4.4.1 절의 가설검증을 적용하면 1의 기울기와 0의 절편에 대한 t-값은 각각 2.44와 0.065이다. 결국 기울기는 1이 아니고 절편은 통계적으로 0과 같다고 볼 수 있다.

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6. 펄스 수의 불확도

회전속도는 선박유체역학에서 자주 측정하는 변수이다. 특히, 프로펠러 성능을 결정하는 축 회전속도를 측정하는 경우와 정밀한 금속판의 회전속도로부터 예인전차의 속도를 계측하는 경우가 2가지 적용사례이다. 회전속도는 광학 부호기나 자석 신호검출기가 붙여진 강철제 기어와 같은 펄스 발생장치로 계측한다. 이들 장치는 본질적으로 디지탈 신호 발생장치이다. 자료취득카드에는 일반적으로 16비트 AD 변환기, 계수단자, 정밀 시간장치를 포함하고 있다. 회전속도는 다음 식에 의해서 측정된다.

(25)

여기서 ω는 회전속도, n은 펄스의 개수, p는 1회전 당 펄스의 개수, t는 시간이다.식 (24)으로부터, 회전속도의 불확도는 (26)식이 된다.

(26)

또는 상대불확도는 (27)식과 같다.

(27)

1 회전 당 펄스 수 p가 정확하게 알려져 있다고 가정하므로 불확도는 영(0)이다. AD는 NMI 또는 대행기관의 인증 교정시험을 받아야 하며 보증서에는 발급시점의 불확도가 기록되어 있어야 한다.

자료 취득 시에는 시간간격이 정해져 있거나 지정된 표본추출 속도에서 취득하는 디지털 표본의 수가 정해진다. 따라서 전체 시간간격은 T로 고정된다.

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개정 01

∆ s (28)

여기서 n은 표본 수이고 fs는 표본추출 주파수이다.

이 경우에, JCGM (2008)에 따라 펄스 수의 불확도는 구간 ±a 에 걸쳐서 식 (29a)와 같은 표준편차를 가지고 균일하게 분포되어 있다고 가정한다.

(29a)

이 경우에, a=1/2 펄스 또는

(29b)

따라서 95% 신뢰수준에서 펄스 수의 확장불확도는 0.58 펄스이다. 최소 펄스 수로 1,000개를 권장하고 있다. 그러한 경우 상대불확도는 0.058%이 된다.

또한 식 (29b)를 AD의 비트 해상도의 불확도로 적용할 수 있다. 그러나 AD 교정시험의 불확도는, 특히 16-비트 AD의 경우, 보통 비트 불확도의 몇 배가 된다.

표본추출 시간간격을 고정하기보다는 펄스 수를 고정하여 계측시간이 첫 번째 펄스에서 시작하여 마지막 펄스에서 끝나는 방식을 사용할 수 있다. 그러면 펄스 수를 정확히 알 수 있어서 펄스 수의 불확도는 영(0)이라고 가정할 수 있다. 이 때 불확도에 기여하는 것은 오직 시간의 불확도뿐이다.

일부 동적 프로세스의 경우에는, 회전속도를 주파수-전압 변환기(FV)를 사용하여 계측할 수도 있다. FV의 교정시험은 AD의 직접 관통 교정시험으로 수행하

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여야 한다. 회전속도는 4절에서 서술한 방법에 따라 프로펠러 성능시험에서 프로펠러 축의 회전속도와 같은 회전속도의 변화로 결정하여야 한다. 그런 이유로 FV의 교정시험에서 함수발생기를 사용하는 것은 바람직하지 않다. 관통 시스템 교정시험에서는 펄스 발생장치의 성능을 포함한다. FV가 표류할 수 있기 때문에 더 나은 불확도 추정치를 얻기 위하여 반복 교정시험이 권장된다.

7. 직접 수치 교정시험

자료취득카드(DAC)는 보통 계수단자를 갖고 있어서 주파수를 직접 계측할 수 있기 때문에 FV 변환기를 필요로 하지 않는다. 카드는 NMI 또는 그 대행기관에서 검증된 주파수 계수기로 측정된 주파수를 입력한 파형 함수 발생기로 교정할 수 있다. 이 때 불확도는 4.2절에 설명된 선형회귀법으로 추정할 수 있다. 이 경우 기울기와 절편은 각각 1과 0이 되어야 하며 그 결과는 4.3절의 가설검증으로 확인되어야 한다.

두 번째 방법은 기준 측정치와 DAC으로 얻은 값 사이의 직접적 차이이다. 이 경우 차이의 평균 값은 영(0)이 되어야 한다. 차이 영(0)에 대한 t-검증은 Devore (2008)로부터

≤ (30)

여기에서 d는 기준 주파수와 DAC에서 계측된 주파수의 차이이고 n은 측정 수, s는 평균 차이의 표준편차이다. 따라서 확장불확도는 Devore(2008)에 의한 평균 값의 예측한계로서 식 (31)과 같다.

(31)

직접 수치 교정시험의 예로서 Reynolds et al.(2013)의 수상선 모형시험에서의

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광학부호기에 의한 축 속도를 그림 7에 보였다. 이 경우, 입력은 방형 파 발생기로 구현하였다. 입력 값은 광학부호기 일 회전 당 p=200 펄스로 교정하였다. NMI 또는 대행기관에서 인증한 주파수 측정의 정격 불확도는 10-6×측정 값이다. 다음 표에는 두 방법에 의한 결과가 요약되어 있다. 표에서 선형회귀식의 불확도는 최대 합성 확장불확도이지 절편 a의 불확도가 아니다.

b. 차이

그림 7. 수상선 모형 프로펠러 축 속도 교정시험 자료

a.선형회귀

표 1: 수상선 모형 프로펠러 축 속도 교정시험의 가설 검증 결과

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이 예에서는 기울기와 절편이 가설검증을 통과하고 그 값이 더 크기 때문에 교정이론에 의한 불확도를 적용하여야 한다. 최대 축 속도는 1535.999±0.013rpm이다. 만약 두 방법에 의한 가설검증이 모두 실패하였다면 공학적인 판단으로 측정 값을 교정하지 않았을 때의 불확도를 선정하여야 한다. 아니면 기울기, 절편, 그리고 불확도 추정값들을 교정이론으로 결정하여야 한다.

8. 요약 (SUMMARY)

본 기준은 교정시험 자료의 불확도를 통계학적 방법으로 결정하는 과정을 기술하고 있다. 일반적으로 AD로 얻어진 수치 전압을 물리적인 단위로 변환하는 과정에 대한 교정시험이 필요하다. 대부분의 아날로그 계기들에 대한 교정곡선은 선형성이 매우 높게 나타난다. 또한 계측자료의 분산으로 인한 불확도와 비교하면 기준표준의 불확도는 작다. 권장기준을 요약하면 다음과 같다.

• 시스템 통합 교정시험에서는 실제 실험에서 사용하는 것과 동일한 하드웨어와 소프트웨어를 사용하여 전체 범위를 대략 10등분하여 교정시험을 실시한다.

• 교정시험 인증서로 모든 기준표준이 국가 표준기관 또는 그 대행기관의 인증을 받았는지 확인한다. 교정 인증서에는 불확도가 기술되어 있어야 한다.

• 각 자료점에 대한 평균값이나 표준편차 그리고 표본 수를 계산한다. 표본 수는 적어도 100 내지 1,000개가 되어야 한다.

• 계기 잡음의 척도가 되는 표준편차가 적절한지를 검증하고 JCGM (2008)의 Type A 방법에 따라 불확도를 계산한다.

• 표본 추출 속도, 차단 주파수, 개별 자료 점에 대한 표본 수, 그리고 기준표준에 대한 정보를 기록한다. 추가적으로 기록해야할 사항에 대해서는 ITTC 기준 7.6-01-01을 참고하기 바란다.

• 기울기, 절편, SEE, 상관계수 등을 결정하기 위해서 교정시험 자료의 선형 회귀 분석을 실시한다.

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• 표준화 잔차도를 작성하고, 자료의 우연성을 검토하여 이상값을 찾아내고, 그 발현원인을 조사하여 해당 이상값을 제거하는 것이 적절하다고 판단되면 이를 제거한다. 만일 자료가 체계적인 성향을 가지면 자료에 적합한 비선형 곡선맞춤을 고려한다.• 발견된 이상값을 제거한 후 회귀분석을 다시 실시하되 새로 나타나는 이상 값은 되풀이 하여 제거하지 않는다. • 교정시험 이론으로 불확도를 계산한다.• 이전에 실시한 교정시험 결과가 있으면 그와 비교한다. • 실험 소프트웨어에 기울기와 절편을 입력한다. • 교정시험 결과를 높은 값, 중간 값 그리고 낮은 값 등의 3 점에서 관통 시스템 교정시험으로 확인한다.

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Documents

7.5-01-03-01 기기교정_불확도_최종.pdf