Embed Size (px)
Citation preview
Yüz
de Y
üz Y
ayın
cılık
TEST ÇÖZÜMLERİ TEST53
İntegral Test ve Çözümleri171
1. x = y − 4 denkleminde y yalnız bırakılırsa y = x2 + 4
olur.
x = y − 4 ,
y = 3x2
4 − 3x + 4
eğrileri ile x = a doğ-rusu arasında kalan sınırlı bölgenin alanı yani taralı bölgenin
alanı 203
br2 imiş.
x = y − 4
x = a
y = 3x2
4 − 3x + 4
y
xO
A
(y = x2 + 4)
Taralı bölgenin alanı = A =
a
0
x2+4−3x2
4−3x+4 dx
=
a
0
x2
4 + 3x dx
= x3
12 +
3x2
2
a
0
= a3
12 +
3a2
2 =
203
ise
a3 + 18a2 = 80 ´ a = 2 dir.
Cevap: B
2. Taralı bölgenin x’in hangi aralığına karşılık geldiğini bula-lım. Bunun için K noktasının apsisini bulalım. K noktası, y = mx2 + 1 eğrisi ve y = 3 doğrusunun kesişim nokta-sıdır. y = mx2 + 1 eğrisi ve y = 3 doğrusunun kesişim noktalarının apsisleri
mx2 + 1 = 3 ´ mx2 = 2 ´ x2 = 2m
´ x = −2m
veya x = 2m
olduğundan K noktasının apsisi 2m
dir.
y
y = mx2 + 1
y = 3
xO
AK
1
2m
y = mx2 + 1 eğrisi, y = 3 doğrusu ve Oy ekseni ile sınırlı taralı bölgenin alanı 2ñ2
3 br2 imiş.
Taralı bölgenin alanı = A =
0
2m
(3 − (mx2 + 1))dx
=
0
2m
(2 − mx2)dx
= 2x − m . x3
30
2m
= 2 . 2m
− m3
. 2ñ2
mñm
= 4ñ2
3ñm
2
= 2ñ2
3 ise
ñm = 2 ´ m = 4 tür.
Cevap: D
Yüz
de Y
üz Y
ayın
cılık
Test ÇözümleriTest – 53
İntegral Test ve Çözümleri 172
3. Taralı bölgelerin x’in hangi aralıklarına karşılık geldiğini bulalım. Bunun için y = 4a3 doğrusu ve y = 4x3 eğrisinin kesişim noktasının apsisini bulalım.
4a3 = 4x3 ´ a3 = x3 ´ x = a dır.
4a3
1 a
y = 4x3
y = 4a3
A2
A1
y
xO
❖ A1 =
1
0
4x3dx = x4
1
0
= 1 br2 dir.
❖ A2 =
a
1
(4a3 − 4x3)dx = (4a3 . x − x4)
a
1
= 3a4 − 4a3 + 1 br2 dir.
´ A1 = A2 ise
1 = 3a4 − 4a3 + 1 ´ 4a3 = 3a4a ´ a =
43
tür.
Cevap: E
4. Taralı bölgenin x’in hangi aralığına karşılık geldiğini bula-lım. Bunun için K noktasının apsisini bulalım.
y = c(4 − x2) parabolünde y = 0 için c(4 − x2) = 0
´ x = −2 veya x = 2 dir. (K noktasının apsisi)
(2, 0) noktası y = −3x + m doğrusunun da üzerinde ol-duğundan 0 = −3 . 2 + m ´ m = 6 dır.
O halde, y = −3x + m = −3x + 6 dır.
Bu doğruda x = 0 için y = 6 dır.
Taralı bölgeniny= −3x + 6 doğrusunun alt tarafında kalan kısmının alanı ile üst tarafında kalan kısmının alanı birbirine eşit imiş. (A diyelim.)2
y = −3x + 6
A
A6
K
y = c(4 − x2)
y
xO
A = Dik üçgenin alanı =
2
0
(c(4−x2) − (−3x+6))dx tir.
6 . 2
2 =
2
0
(4c − cx2 + 3x − 6)dx
6 = 4cx − c . x3
3 +
3x2
2 − 6x
2
0
6 = 16c3
− 6
16c3
4
= 123
´ c= 94
tür.
Bu soruyu “x Î [0, 2] aralığınday = c(4 − x2) eğrisi ile x ekseni arasın-
da kalan bölgenin alanının yarısı dik üçgenin alanına eşittir” denklemiyle de çözebilirsiniz.
NOT:
Cevap: E
Yüz
de Y
üz Y
ayın
cılık
Test Çözümleri Test – 53
İntegral Test ve Çözümleri173
5. I. Yol: Tanımı kullanabilirsiniz.
II. Yol: a pozitif gerçel sayı olmak üzere y = ax doğrusu ve y = 2x2 parabolünü çizip alanı verilen bölgeyi belirleyelim.
y = ax doğrusu ve y = 2x2 parabolünün kesişim noktala-rının apsisleri ax = 2x2 ´ 2x2 − ax = 0 ´ x(2x − a) = 0
x = 0 veya x = a2
dir.
a pozitif sayı olmak üzere, y = ax doğrusu ve y = 2x2 pa-rabolü şöyledir:
y = ax doğrusu ile y = 2x2 parabolü arasında kalan sınırlı bölgenin alanı yani taralı bölgenin alanı98
br2 imiş.
y = axy = 2x2y
xO a
2
A
Taralı bölgenin alanı = A =
a2
0
(ax − 2x2)dx
= ax2
2 −
2x3
30
a2
= a3
24 =
98
ise
a3 = 27 ´ a = 3 tür.
Cevap: A
6. I. Yol: Tanımı kullanabilirsiniz.
II. Yol: y = x2 − a2 ve y = a2 − x2 eğrilerini çizip alanı ve-rilen bölgeyi belirleyelim.
y = x2 − a2 ve y = a2 − x2 parabolleri şöyledir:
y = x2 − a2 vey = a2 − x2 eğrilerininsınırladığı kapalıbölgenin alanı yani taralı bölgenin
alanı 1000
3 br2 imiş.
y
−a xO a
A
y = x2 − a2
y = a2 − x2
Taralı bölgenin alanı = A =
a
−a
(a2 − x2 − (x2 − a2))dx
=
a
−a
(−2x2 + 2a2)dx
Çift fonksiyon
= 2 .
a
0
(−2x2 + 2a2)dx
= 2 . −2x3
3 + 2a2x
a
0
= 2 . 4a3
3 =
8a3
3 =
10003
ise
a3 = 125 ´ a = 5 ´ a2 = 25 tir.
III. Yol (Pratik Yol): DİKDÖRTGEN OLUŞTURALIM.
y
a2
−a2
−a xO a
A
A
A
A
2A
2A
2A
2A
Dikdörtgenin alanı
= 12A = 2a . 2a2
ise A= a3
3 br2 dir.
Taralı bölgenin alanı = 8A
= 8 . a3
3 =
8a3
3 =
10003
ise
a3 = 125 ´ a = 5 ´ a2 = 25 tir.
Cevap: B
