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2. http://carlos2524.jimdo.com/ MECNICA PARA INGENIEROS ~ ESTATICAR. c. HIBBELER ~-------- 3. http://carlos2524.jimdo.com/ 4. http://carlos2524.jimdo.com/MECNICA PARA INGENIEROS ESTTICA SEXTA EDICIN EN INGLS(TERCERA EDICIN EN ESPAOL)R.e. Hibbeler DCIMA TERCERA REIMPRESINMXICO, 2006 COMPAA EDITORIAL CONTINENTAL 5. http://carlos2524.jimdo.com/Para establecer comunicacin con nosotros puede hacerlo por:correo:Renacimiento 180, Col. San JuanTlihuaca, Azcapotzalco,02400, Mxico, D.F.fax pedidos:. (015) 561 4063 561 5231e-mail: [email protected] home page: http://www.patriacultural.com.mxTtulo original de la obra:ENGlNEERING MECHANICS: STATICS. 6TH. ED.ISBN 0-02-354685-9Traduccin autorizada de la sexta edicin:Mac Millan Publishing Company, a di vis ion of Mac Millan Inc. USA.Copyright 1992, By R.C. HibbelerTraduccin: Andrs Sestier B.Licenciado en MatemticasProfesor titular del Depto. de MatemticasUAM, IztapalapaRevisin tcnica: Ricardo Gnem e.Ingeniero FsicoM. en 1. Texas University, ArlingtonProfesor del Depto. de Mecnica del ITSM Campus Edo. de MxicoRevisin especial de: Ing. Luis Palomino Ramrez e Ing. Jos Nicols PoncianolTSM Campus Edo. de MxicoMecnica para ingenieros: EstticaDerechos reservados respecto a la edicin en espaol:1979, 1989, 1993, R.e. Hibbeler1993, Compaa Editorial Continental, S.A. de C.v.2000, GRUPO PATRIA CULTURAL, S.A. DE C.v.bajo el sello de Compaa Editorial ContinentalRenacimiento 180, Colonia San Juan Tlihuaca,Delegacin Azcapotzalco, e.P. 02400, Mxico, D.F.Miembro de la Cmara Nacional de la Industria EditorialRegistro nm. 43ISBN 968-26- 1233-0 (tercera edicin)(ISBN 968-26-0818-X segunda edicin)(ISBN 968-26-0290-4 primera edicin)(ISBN 968-26.;-0780-9 coleccin)Queda prohibida la reproduccin o transmisin total o parcial del contenido de la presenteobra en cualesquiera formas, sean electrnicas o mecnicas, sin el consentimiento previo ypor escrito del editor.Impreso en MxicoPrinted in MexicoPrimera edicin: 1979Segunda edicin: 1989Tercera edicin: 1993Dcima segunda reimpresin: 2005Dcima tercera reimpresin: 2006 6. http://carlos2524.jimdo.com/AL ESTUDIANTECon la espe.ranza de que este trabajoestimule su inters por la Ingeniera Mecnicay le proporcione una gua aceptable para su comprensin 7. http://carlos2524.jimdo.com/ 8. http://carlos2524.jimdo.com/PrlogoEn este libro nos proponemos hacer una presentacin clara ycompleta para el estudiante de la teora y las aplicaciones de laingeniera mecnica. Para lograr este objetivo el autorno ha tra-bajado solo, muy lejos de ello, pues en gran medida este libro hatomado forma gracias a los comentarios y sugerencias de ms deun centenar de revisores de la profesin docente y numerososexalumnos del autor que han usado las ediciones precedentes.Mucho es lo que se ha hecho durante la preparacin de esta nue-va edicin. Quienes ya conocan el libro encontrarn que el tra-bajo artstico se ha realzado notablemente con el fin de que elmaterial adquiera un relieve ms realista y se haga ms compren-sible. En esta edicin hay ms problemas que en las anteriores, ycasi todos son nuevos. El material que contiene el libro sigue elorden de la edicin anterior, algunos temas se han ampliado, losejemplos se han reemplazado, y las explicaciones de numerosos te-mas se han mejorado con una nueva y cuidadosa reconstruccinde frases seleccionadas. El sello distintivo del libro sigue siendoel mismo, a saber, que donde se hace necesario se recalca la importancia de trazar un diagrama de cuerpo libre y se insiste en laimportancia de elegir un sistema conveniente de coordenadas y una convencin de signos apropiados para las componentes vectoriales al aplicar las ecuaciones de la mecnica.Organizacin y planteamiento. El contenido de cada cap-tulo est organizado en secciones bien definidas. Los grupos es-peciales de secciones contienen una explicacin de temas espec-ficos, problemas ilustrativos de ejemplo y una serie de problemasde tarea. Los temas dentro de cada seccin aparecen ensubgruposdefinidos con ttulos en negritas. El propsito es presentar un m-todo estructurado para introducir cada nueva definicin o con-cepto, y adecuar el libro para referencias posteriores y repaso. 9. http://carlos2524.jimdo.com/Vlll PRLOGO Al final de numerosas secciones se da un "procedimiento de anlisis" que proporciona al estudiante un repaso o resumen del material y un mtodo lgico y ordenado para aplicar la teora. Co- mo en ediciones previas, los problemas de ejemplo se resuelven usando los lineamientos de este mtodo para dejar cIara su aplicacin numrica. Pero debe entenderse que una vez que haya dominado los principios pertinentes y adquirido suficiente criterio y confianza, el estudiante podr desarrollar sus propios mtodos para resolver los problemas. En la mayora de los casos, esti- mamos que el primer paso de un procedimiento debe ser la elaboracin de un diagrama. Hacindolo as, el estudiante-se forma el hbito de tabular los datos necesarios, al tiempo que se concentra en los aspectos fsicos del problema y su geometra. Si se supera correctamente esta primera etapa, la aplicacin de las ecuaciones pertinentes de la mecnica se vuelve metdica, pues los datos se van tomando en forma directa del diagrama. Este paso tiene particular importancia en la solucin de los problemas que implican equilibrio, razn por la que nos referimos con insis- tencia al trazado de diagramas de cuerpo libre a lo largo del todo el libro . . Dado que las matemticas proporcionan el medio de una aplicacin sistemtica de los principios de la mecnica, se espera del estudiante que tenga conocimientos de lgebra, geometra y trigonometra y, para el estudio completo, algo de clculo. El anlisis vectorial se introduce donde puede aplicarse ms. En ocasio- nes, con su ayuda se obtienen deducciones concisas de la teora, y hace posible la solucin Simple y sistemtica de numerosos problemas complicados en tres dimensiones. A veces, se resuelvenlos problemas de ejemplo por dos o tres mtodos de anlisis paraque el estudiante desarrolle la habilidad de usar las matemticascomo herramienta y aprenda a encontrar el mtodo ms directo y eficaz de resolver un problema. Problemas. Numerosos problemas del libro describen situaciones realistas que se pueden encontrar en la prctica de la ingeniera. Esperamos que este realismo sirva para estimular el inters del estudiante en la ingeniera mecnica, a la vez que le ayude a desarrollar la capacidad de reducir un problema de este tipo de su descripcin fsica a Un modelo o representacin sim- blica en donde sean aplicables los principios de la mecnica. Como en la precedente, en esta edicin se ha hecho un esfuerzo para incluir algunos problemas que se puedan resolver usando un procedimiento numrico realizable en una computadora personal o una calculadora programable de bolsillo. El apJldice B presenta tcnicas numricas apropiadas junto con sus programas de computadora asociados. Lo que se intenta con ello es ampliar la capacidad del estudiante para usar otras formas de anlisis sin saciificar el tiempo requerido para concentrarse en la aplicacin 10. http://carlos2524.jimdo.com/ PRLOGO ixde los principios de la mecnica. Los problemas de este tipo quese pueden o se deben resolver mediante la utilizacin de los m-todos numricos se identifican con el smbolo del cuadrado (.),contiguo al nV1ero de problema. El nmero de problemas que usan las unidades del sistemaSI es poco ms o menos el mismo que el correspondiente paralas unidades FPS. Adems, en cada coleccin de problemas se hatratado de seguir el orden de dificultad creciente. * Las respues-tas de todos, salvo cada cuarto problema, se encuentran al finaldel libro. Cada problema sin respuesta impresa aparece con unasterisco C) contiguo al nmero del prohlema.Contenido. El libro se divide en 11 captulos, en los que losprincipios introducidos empiezan aplicndose a situaciones sim-ples. Lo ms frecuente es que cada principio se aplique primeroa una partcula, luego a un cuerpo rgido sometido a un sistemade fuerzas copla nares y por ltimo, al caso general de los sistemastridimensionales de fuerzas que actan sobre un cuerpo rgido. El texto se inicia en el captulo 1 con una introduccin a la me-cnica y una exposicin de los sistemas de unidades. En el Gap-tulo 2 se introducen la nocin de vector y las propiedades de unsistema de fuerzas concurrentes. Esta teora se aplica en seguidaal equilibrio de las partculas en el captulo 3. El captulo 4 con-tiene una exposicin de los sistemas concentrados y distribuidosde fuerzas y los mtodos que se utilizan para simplificarlos. Enel captulo 5 se desarrollan los principios Del eq_ iliori de cuer-upos rgidos para aplicarlos, en el captulo 6, a problemas especfi-cos que involucran equilihrio de armaduras, bastidores y mqui-nas, y al anlisis de fuerzas internas en vigas y cahles, en elcaptulo 7. Las aplicaciones a problemas que involucran fuerzasde friccin se tratan en el captulo 8, y los temas relacionadoscon el centroide y el centro de gravedad se tratan en el captulo9. Si el tiempo lo permite, podrn cuhrirse las secciones sohre te-mas ms avanzados que vienen sealadas con una estrella (*).La mayora de estos temas se incluyen en el captulo 10 (rea y mo-mentos de masa de inercia) y el captulo 11 (trahajo virtual yenerga potencial). Ntese que este material tamhin se relacio-na con principios que son bsicos en cursos ms avanzados.A juicio del profesor, podr seguirse otra secuencia de trahajosin ruptura de la continuidad lgica. Por ejemplo, es posihle introducir el concepto de una fuerza y todos los mtodos necesarios del anlisis vectorial cubriendo primeramente el captulo 2 y la seccin 4.1. Luego, una vez que se haya visto el resto del captulo 4 (sistemas de fuerzas y momentos), podrn estudiarse los mtodos de equilibrio en los captulos 3 y 5. Los problemas de repaso al final de cada captUlo se presentan en orden aleatOlio. 11. http://carlos2524.jimdo.com/x PRLOGO Reconocimientos. He intentado escribir este libro de modo que suscite el inters del instructor y del alumno. Un gran nmero de personas han ayudado a desarrollarlo a lo largo de muchos aos y deseo expresarles mi agradecimiento por sus comentarios y sugerencias que mucho he apreciado. Especficamente, quiero agradecer a quienes contribuyeron a esta edicin, esto es, al profesor Jafar Al-Abdulla, University of Wisconsin; profesor Ziad Bayasi, Bradley University; profesor William A. Best, Lafayette College; profesor James Devine, University of South Florida; profesar E.S. Doderer, Trinity University, San Antonio; profeso- ra Brenda Gile, Wichita State University; profesor Zouheir Has- hcm, University of Texas at Arlington; profesor Henry Haslach, Jr., University of Maryland; Lt. Commander David Shikada, U.S. Naval Academy; profesor Larry Stauffer, University of Idaho, Moscow; profesor Ralph Stephens, University of Iowa; profesor Poojitha Yapa. Clarkson University; y profesor Kingman Yee, Lawrence Technological University. Mi agradecimiento especial a los profesores Edward Hornsey, U niversity of Missouri, Rolla y Will Lidell Jr., Auburn University at Montgomery, y a un exdisC- pulo en posgrado, el seor Kai Beng Yap, por la ayuda que me prestaron en la verificacin de las respuestas a los problemas. Muchas gracias tambin a todos mis estudiantes y a todos los miembros de la profesin docente que se tomaron la molestia y el tiempo de enviarme comentarios y sugerencias. La lista de ellos es demasiado extensa y les ruego que acepten este agradecimiento annimo. Adems, en mucho aprecio la libertad y el apoyo que me ofrecieron mis editores y el personal de MacMi- llan, especialmente David Johnstone, Gary Ostedt, Dora Rizzu- to, Anna Yip y Sandy Moare. Por ltimo, quiero reconocer aqu la ayuda de mi esposa, Conny, durante todo el tiempo de prepa-racin del manuscrito para su publicacin. Russell Charles HibbeLer 12. http://carlos2524.jimdo.com/Contenido1Principios generales1 1.1 Mecnica1 1.2 Conceptos fundamentales2 1.3 Unidades de medida 5 1.4 Sistema internacional de unidades (SI) 7 1.5 Clculos numricos 9 1.6 Procedimiento general de anlisis132Vectores de fuerza15 2.1 Escalares y vectores15 2.2 Operaciones vectoriales16 2.3 Adicin vectorial de fuerzas 18 2.4 Adicin de un sistema de fuerzas coplanares 28 2.5 Vectores cartesianos 39 2.6 Adicin y sustraccin de vectores cartesianos44 2.7 Vectores de posicin 53 2.8 Vector de fuerza dirigido a lo largo de una recta 56 2.9 El producto escalar o producto punto66 13. http://carlos2524.jimdo.com/xii CONTENIDO3Equilibrio de una partcula 773.1 Condicin para el equilibrio de una partcula773.2 El diagrama de cuerpo libre 783.3 Sistemas de fuerzas coplanares 823.4 Sistemas de fuerzas en tres dimensiones 954Resultantes de un sistema de fuerzas1074.1 El producto cruz 1074.2 Momento de una fuerza. Formulacin escalar1114.3 Momento de una fuerza. Formulacin vectorial1134.4 Transmisibilidad de una fuerza y el principio demomentospO4.5 Momento de una fuerza con respecto a un ejeespecificado1294.6 Momento de un par 1394.7 Movimiento de una fuerza en un cuerpo rgido 1494.8 Resultantes de un sistema de fuerzas y pares 1~14.9 Reduccin adicional de un sistema de fuerzas ymomentos de pares 156 4.10 Reduccin de una distribucin de cargas simple 172sEquilibrio de un cuerpo rgido185 5.1Condiciones de equilibri,o de un cuerpo rgido185Equilibrio en dos dimensiones 188 5.2Diagramas de cuerpo libre 188 5.3Ecuaciones de equilibrio 201 5.4Miembros de dos y de tres fuerzas 210Equilibrio en tres diniensiones 221 5.5Diagramas-de-euerpo libre 221 5.6Ecuaciones de equilibrIo226 5.7Restricciones para un cuerpo rgido 227 14. http://carlos2524.jimdo.com/ CONlENIDOxiii6Anlisis estructural245 6.1Armaduras simples245 6.2El mtodo de los nudos 248 6.3Miembros de fuerza cero 255 6.4El mtodo de las secciones262 * 6.5Armaduras espaciales 273 6.6Marcos y mquinas2787Fuerzas internas309 7.1Fuerzas internas desarrolladas en miembrosestructurales309 * 7.2Diagramas y ecuaciones de fuerza cortante yde momento 325 * 7.3Relaciones entre carga distribuida, fuerza cortante ymomento 334 * 7.4Cables 3458Friccin365 8.1 Caractersticas de la friccin en seco365 8.2 Problemas de friccin en seco 370 8.3 Cuas390 * 8.4 Fuerzas de friccin en tornillos 392 * 8.5 Fuerzas de friccin en bandas planas 402 * 8.6 Fuerzas de friccin en apoyos de collarn, apoyos de pivote y discos 408 * 8.7 Fuerzas de friccin en chumaceras411 * 8.8 Resistencia al rodamiento 413 15. http://carlos2524.jimdo.com/XlV CONTENIDO9Centro de gravedad y centroide423 9.1Centro de gravedad y centro de masa para un sistemade partculas423 9.2Centro de gravedad, centro de masa y centroide deun cuerpo425 9.3Cuerpos compuestos 442 * 9.4Teoremas de Pappus y Guldinus 455 * 9.5Resultante de un sistema general de fuerzasdistribuidas464 * 9.6Presin de fluidos46510Momentos de inercia 479 10.1 Definicin de los momentos de inercia paralas reas 479 10.2 Teorema de ejes paralelos para un rea 481 10.3 Radio de giro de un rea 482 10.4 Momentos de inercia para un rea porintegracin 482 10.5 Momentos de inercia para reas compuestas 490 * 10.6 Producto de inercia para un rea 497 * 10.7 Momentos de inercia para un rea con respecto a ejes in-clinados501 * 10.8 Crculo de Mohr para momentos de inercia 505 10.9 Momento de inercia de masa 51311Trabajo virtual 527 11.1 Definicin de trabajo y de trabajo virtual 527 11.2 Principio del trabajo virtual para una partcula y uncuerpo rgido 530 11.3 Principio del trabajo virtual para un sistema de cuerposrgidos conectados.531 * 11.4 Fuerzas conservativas545 * 11.5 Energa potencial546 * 11.6 Criterio de la energa potencial para el equilibrio 548 * 11.7 Estabilidad del equilibrio 549 16. http://carlos2524.jimdo.com/ CONTENIDOXV Apndices23 A Expresiones matemticas 565 B Anlisis numrico y computacional 567 Respuestas577 ndice de materias59179 17. http://carlos2524.jimdo.com/ 18. http://carlos2524.jimdo.com/1 Principios GeneralesEn este captulo se presentan numerosos conceptos fundamenta-les de la mecnica. Se incluye una discusin de los modelos oidealizaciones utilizados para aplicar la teora, un enunciado delas leyes de Newton del movimiento que son la base del tema yuna revisin general de los principios de aplicacin del sistemainternacional de unidades (SI). Despus se explican los procedi-mientos estndar de los clculos numricos. Al final del captulose ofrece una gua con lineamientos generales para resolver pro-blemas.1.1 Mecnica La mecnica puede ser definida como la rama de las ciencias fsicas que trata del estado de reposo o movimiento de los cuerpos,sujetos a la accin de fuerzas. En trminos generales, el tema se subdivide en tres ramas: mecnica de cuerpos rgidos, mecnica de cuerpos deformables, y mecnica de fluidos . Este libro trata solamente de la mecnica de cuerpos rgidos, dado que esta rama es la que se requiere para el diseo y anlisis de multiples tipos de dispositivos estructurales, mecnicos y elctricos de la ingeniera. Debe agregarse que la mecnica de cuerpos rgidos es parte de la base necesaria en el estudio de la mecnica de cuerpos deforma- bIes y la mecnica de fluidos.La mecnica de cuerpos rgidos se divide en dos reas: esttica y dinmica. La esttica trata del equilibrio de los cuerpos, es decir, de los que se encuentra~ en estado de reposo o se mueven con velocidad constante; en tantQ que la dinnlica se ocupa del 19. http://carlos2524.jimdo.com/2 CAP.1 PRINCIPIOS GENERALES movimiento acelerado de los cuerpos. Aunque la esttica puede considerarse como parte de la dinmica en la que la aceleracin sea cero, la esttica merece tratarse aparte en los estudios de ingeniera, porque muchos objetos se disean con la intencin de que permanezcan en equilibrio. Desarrollo histrico. La materia de la esttica se desarroll muy temprano en la historia, pues los principios que involucra podan formularse simplemente a partir de las medidas geomtricas y la medicin de fuerzas. Por ejemplo, los escritos de Ar- qumedes (287-212 a.e.) tratan del principio de la palanca. Do- cumentos antiguos registran tambin estudios sobre la polea, el plano inclinado, y la llave de tuerca, en una poca en que las ne- cesidades de la ingeniera se limitaban principalmente a la cons- truccin.Puesto que los principios de la dinmica dependen de la pre- a cisin ewla medida del tiempo, esta materia vino desarrollarse mucho ms tarde. Galileo Galilei (1564-1642) fue uno de los grandes pioneros en este campo. Su trabajo consisti en experi- mentos con pndulos y cuerpos en cada libre. Las contribucio- nes ms significativas a la dinmica, sin embargo, se deben a Isaac Newton (1642-1727), conocido ante todo por su formulacin de las tres leyes fundamentales del movimiento y la ley de la gravitacin universal. Poco tiempo despus de postuladas estas leyes, Euler, DAlembert, Lagrange y otros desarrollaron importantes tcnicas para sus aplicaciones.1.2 Conceptos fundamentales Antes de iniciar nuestro estudio de la mecnica de cuerpos rgidos es importante comprender el significado de ciertos conceptos y principios fundamentales. Cantidades bsicas. Las cuatro cantidades que siguen se usan en toda la mecnica de cuerpos rgidos. Longitud. La longitud es necesaria para localizar la posicin de un punto en el espacio y por este medio describir el tamao de un sistema fsico. Una vez definida una unidad de longitud pa- trn, podrn definirse cuantitativamente las distancias y propiedades geomtricas de un cuerpo como mltiplos de la longitud unitaria. Tiempo. El tiempo se concibe como una sucesin de eventos. Aunque los principios de la esttica son independientes del tiempo, esta cantidad desempea un papel importante en el estudio de la dinmica. 20. http://carlos2524.jimdo.com/SECo 1.2 CONCEPTOS FUNDAMENTALES 3Masa. La masa es una propiedad de la materia por medio de lacual podemos comparar la accin de un cuerpo con la de otro.Esta propiedad se manifiesta como una atraccin gravitacionalentre dos cuerpos y proporciona una medida cuantitativa de laresistencia de la materia a un cambio de velocidad.Fuerza. En general, llamamos fuelZa a la accin de "empujar" ode "tirar" ejercidas por un cuerpo sobre otro. Esta interaccinpuede ocurrir cuando existe contacto directo entre los cuerpos,como cuando una persona empuja una pared, o puede ocurrir atravs de una distancia cuando los cuerpos se encuentren fsica-mente separados. Como ejemplos de esto ltimo tenemos lasfuerzas gravitacionales, elctricas y magnticas. En todo caso,una fuerza queda caracterizada por su magnitud, direccin ypunto de aplicacin.Idealizaciones. En la mecnica se usan modelos O idealizacio-nes para simplificar la aplicacin de la teora. Algunas de las ideali-zaciones ms importantes se definirn ahora; otras idealizacionesnotables, por otra parte, se explicarn en el momento oportuno.Partcula. Una partcula tiene masa pero tamao despreciable.Por ejemplo, el tamao de la Tierra es insignificante comparadocon el de su rbita y, por tanto, la Tierra puede pensarse como sifuera una partcula al estudiar su movimiento orbital. Cuando uncuerpo es idealizado como partcula, los principios de la mecni-ca se reducen a una forma simplificada porque entonces la geo-metra del cuerpo quedar fuera del anlisis del problema.Cuerpo rgido. Un cuerpo rgido puede considerarse como lacombinacin de un gran nmero de partculas en la que todaslas partculas permanecen a distancias fijas entre s antes y des-pus de aplicar una carga. En consecuencia, las propiedades ma-teriales de un cuerpo cualquiera, que se considere como rgido,no tendrn ,q ue tomarse en cuenta al analizar las fuerzas que ac-tan sobre l. En la mayor parte de los casos, las deformacionesque se dan en las estructuras, mquinas, mecanismos y objetossemejantes son relativamente pequeas, siendo adecuada la hi-ptesis de cuerpo rgido para efectos del anlisis.Fuerza concentrada. La fuelZa concentrada representa el efectode una carga que se supone que acta en un punto del cuerpo.Este efecto se puede representar por medio de una fuerza con-centrada, siempre y cuando el rea de aplicacin de la carga seamuy pequea en comparacin con el tamao total del cuerpo.Las tres leyes del movimiento de Newton. La totalidadde la mecnica de cuerpos rgidos se formula con base en las tres 21. http://carlos2524.jimdo.com/4 CAP. 1 PRINCIPIOS GENERALES leyes del movimiento de Newton, cuya validez se basa a su vez en la observacin experimental. Se aplican al movimiento de una partcula medido respecto a un sistema de referencia no acelerado y pueden enunciarse brevemente como sigue:Primera ley. Una partcula inicialmente en reposo o movindose enlnea recta y a velocidad constante permanecer en este estado a con-dicin de que la partcula no se sujete a una fuerza desequilibrada:Segunda ley. Una partcula sobre la cual acta unaJuerza des-equilibrada F experimenta una aceleracin a que tiene la mismadireccin que la fuerza y una magnitud directamente proporcio-nal a la fuerza. Si se aplica F a la partcula de masa m, esta leypuede expresarse matemticamente como F = ma (1.1)Tercera ley. Las fuerzas mutuas de accin y reaccin entre dospartculas son iguales, opuestas y colineales.Ley ,de la gravitacin universal de Newton. Poco tiempodespus de haber formulado sus tres leyes del movimiento, New-ton postul una ley que rige la atraccin gravitacional entre dospartculas cualesquiela. El enunciado matemtico esmlm2F =G(1.2)r2dondeF = fuerza de gravitacin entre las partculas G = constante de gravitacin universal; de acuerdo con la evidencia experimental, G = 66.73(10-12)m3 j(kg l)mI, m2 = masa de cada una de las dos partculasr = distancia entre las dos partculasPeso. De acuerdo con la ecuacin 1.2, dos partculas o cuerposcualesquiera tienen una fuerza mutua de atraccin (gravitacio-nal) entre s. En el caso de una partcula localizada sobre o cercade la superficie de la Tierra; sin embargo, la nica fuerza gravita-cional con una magnitud de consideracin es la fuerza entre la .Tierra y la partcula. Consecuentemente, esta fuerza denomina-da peso, ser la nica fuerza gravitacional que vamos a conside-rar en nuestro estudio de la mecnica.A partir de la ecuacirl 1.2 podemos obtener una expresin apro-ximada para encontrar el peso W de una partcula con masamI = m. Si suponemos que la Tierra es una esfera no en rotacin,* Dicho de otra manera, la fuerza desequilibrada que acta sobre la partculaes proporcional a la rapidez de cambio del momento lineal respecto al tiempo. 22. http://carlos2524.jimdo.com/ SECo 1.3 UNIDADES DE MEDIDA 5con densidad constante y masa m2 entonces si r es la distanciaentre el centro de la Tierra y la partcula, tenemosmm2 W = G ---:rSi se escribe g = Gm2// se obtiene IW=mg I (1.3)Al comparar con la ecuacin 1.1, denominamos g, a la acelera-cin debida a la gravedad. En vista de que depende de r, se con-cluye que el peso de un cuerpo no es una cantidad absoluta. Msbien, su magnitud est determinada por el lugar de la medicin.Para la mayor parte de los clculos de ingeniera, sin embargo, gse determina a nivel del mar y a una latitud de 45, que se consi-dera la "situacin estndar".1.3 Unidades de medidaLas cuatro cantidades bsicas, longitud, tiempo, masa y fuerza,no son todas independientes entre s; de hecho se encuentran re-lacionadas por la segunda ley del movimiento de Newton,F = ma. De aqu que las unidades empleadas para definir fuerza,masa, longitud y tiempo no se pueden elegir todas arbitrariamen-te. La igualdad F = ma conserva su validez slo si tres de las cua-tro unidades, denominadas unidades bsicas, se definen arbitraria-mente y se deriva la cuarta unidad a partir de la ecuacin.Las unidades SI. ,El Sistema Internacional de unidades, abre-viado SI, originalmente en francs Systeme International dUnits,es una versin moderna del sistema mtrico decimal que ha me-recido el reconocimiento universaL Como se muestra en la tabla1.1, el sistema SI especifica la longitud en metros (m), el tiempoen segundos(s), y la masa en kilogramos (kg). La unidad de fuer-za, llamada newton (N), se deriva de F = ma. As, 1 newton esigual a la fuerza que se requiere para dar a un kilogramo de ma-sa una aceleracin de 1 mls 2 (N = kg . mls2)Si se desea determinar en newtons el peso de un cuerpo que seencuentre en una "situacin estndar" deber aplicarse la ecua-cin 1.3. Aqu g = 9.80665 mJs2, sin embargo, para hacer los cl-culos se usar el valor g = 9.81 m/S2. As,W = mg (g = 9.81 m/s 2)(1.4)Por lo tanto, un cuerpo cuya masa sea 1 kg tiene un peso de9.81 N; un cuerpo de 2 kg pesa 19.62 N ,etctera. 23. http://carlos2524.jimdo.com/6 CAP. 1 PRINCIPIOS GENERALESUnidades USCS. En el sistema de unidades usual de los EV.,Tablaen ingls U.S. Customary system, ms conocido como FPS (deFoot, Pound, Second), la longitud se mide en pies (ft), la fuerza Cantil.en libras (lb) y el tiempo en segundos (s), tabla 1.1. La unidad demasa llamada slug, se deriva de F = ma. Por tanto, 1 slug es igual Fuera la cantidad de materia que experimenta una aceleracin deMas;1 ft/S2 al aplicarle una fuerza de 11b (slug = lb . S2/ft).LonPara determinar la masa de un cuerpo con un peso medidoen libras debe aplicarse la ecuacin 1.3. Si las medidas se hacenen una "situacin estndar", entonces g = 32.2 ft/s2 ser el valor1.4 ~que se use en los clculos. Por tanto,El sis1 Wm =-(g =32.2 ft/s2) (1.5) que e gPor ley de esta manera, un cuerpo que pesa 32.2 lb tiene una masa desu ten1 slug; un cuerpo de 64:4 lb; una masa de 2 slug, etc.PreUpequeden rr Tabla 1.1 Sistemas de unidades zados Nombre SIFPS repreldolos Longitud metropiede un (m) (ft) ejem~ Tiempo segundo segundo newto(s) (s) SI no Masakilogramoslug* (0.01) (kg) medie (lbt) tarse (Tabla Fuerza newton*libra (N)(lb)Mlti(~)100( 100(Unidad derivada.100(Submi 0.001 0.00( O.OO(Conversin de unidades. En algunos casos puede ser nece-sario convertir de un sistema de unidades a otro. A este respecto,la tabla 1.2 proporcionaconversiones directas entre unidadesRegl:dameiFPS y unidades SI para las cantidades bsicas. Tambin, debe re-cardarse que en el sistema FPS 1 ft = 12 in (pulgadas), 5280 ft = 1mi (milla), 1000 lb = 1 klb (kilolibra), y 2000 lb = 1 ton. E 24. http://carlos2524.jimdo.com/SECo1.4 SISlEMA INlERNACIONAL DE UNIDADES 7Tabla 1.2 Factores de conversin Unidad de Equivale a Unidad deCantidadmedida (FPS) medida (SI) Fuerzalb 4.4482N Masa slug 14.5938 kg Longitud ft0.3048 m1.4 Sistema Internacional de Unidades (SI)El sistema SI de unidades se usa ampliamente en este libro por-que est destinado a ser el sistema estndar en todo el mundo.Por lo tanto, presentaremos ahora las reglas de su uso y parte desu terminologa pertinente a la mecnica.Prefijos. Cuando una cantidad numrica es muy grande o muypequea, las unidades que sirven para definir su magnitud pue-den modificarse usando un prefijo. Algunos de los prefijos utili-zados en el sistema SI pueden verse en la tabla 1.3. Cada unorepresenta un mltiplo o submltiplo de una unidad y, aplicn-dolos sucesivamente, tienen como efecto mover el punto decimalde una cantidad numrica tres lugares decimales cada vez. * Porejemplo, 4 000 000 N = 4 000 kN (kilo-newton) = 4MN (mega-newton). o, 0.005 m = 5 mm (milimetro). Ntese que el sistemaSI no contiene el mltiplo deca (10) ni el submltiplo centi(0.01), que utiliza el sistema mtrico. Con excepcin de algunasmedidas de rea y de volumen, el uso de estos prefijos ha de evi-tarse en la ciencia y la ingeniera.Tabla 1.3 PrefijosForma exponencial Prefijo Smbolo SIMltiplo 1000000000109 gigaG 1000000 106 megaM 1000103 kilokSubmltiplo 0.00110-3 milim 0.000001 10--6micra /J 0.000 000 00110-9 nanonReglas de uso. Las siguientes reglas son para utilizar apropia-damente los smbolos SI: * El kilogramo es la nica unidad bsica definida con prefijo 25. http://carlos2524.jimdo.com/8 CAP. 1 PRINCIPIOS GENERALES1. Un smbolo nunca se escribe con la "s" del plural porque po- dra confundirse con la unidad de segundo (s).2. Los smbolos siempre se escriben con minsculas exceptuan- do los siguientes: los smbolos para los dos prefijos mayores de la tabla 1.3 , giga y mega se escriben con las maysculas G y M, respectivamente; los smbolos en honor de una persona tambin se escriben con mayscula, por ejemplo, N.3. Las cantidades definidas por varias unidades que son mltiplos de otras se separaran por medio de un punto para evitar confusin con la notacin que usa prefijo, como en el caso de N = kg . m/s2 = kg . m . S-2. Otro ejemplo es m . s, que significa metro por segundo, en tanto que ms signifu;a mili-segundo.4. La potencia exponencial representada para una unidad con prefijo afecta la unidad y el prefijo. Por ejemplo, ~N2 = (~N)2=~N~N. As tambin, mm 2 representa (mm 2) = mm . mm.5. Las constantes fsicas y los nmeros que tengan varios dgitos a uno y otro lado del punto decimal debern escribirse con un espacio entre cada grupo de tres dgitos en vez de una coma; por ejemplo, 73 569.213 427. Para el caso de slo cuatro dgitos a uno u otro lado del punto decimal, el espacia- miento es opcional; por ejemplo 8357 o indistintamente 8 357. Adems, conviene usar siempre decimales y evitar las fracciones; es decir, debe escribirse 15.25 y no 15 ~.6. Al efectuar clculos, se debe representar los nmeros en trminos de sus unidades bsicas o derivadas, convirtiendo todos los prefijos a potencias de 10. El resultado final deber expresarse usando un solo prefijo. Tambin, despus del clculo es preferible tener los valores numricos entre 0.1 y 1000; de no tenerlos as, deber utilizarse un prefijo adecuado. Por ejemplo, (50 kN) t60 nm) = [50(103) N] [60(10-9)m] = 3000(10-< N m = 300-3)N . m = 3mN . m7. No deben utilizarse prefijos compuestos; por ejemplo un K.us (kilo-micro-segundo) debe expresarse como ms (mili-segundo), dado que 1 klls = 1(103)(1~) s = 1(10-3) S = 1 ms.8. A excepcin de la unidad bsica kilogramo, debe evitarse en general el uso de un prefijo en el denominador de unidades compuestas. No debe escribirse, por ejemplo, N/mm, sino kN/m; as tambin, m/mg se escribir como mm/kg. 26. http://carlos2524.jimdo.com/ SECo 1.5 CLCULOS NUMRICOS 99. Aunque no se expresan en mltiplos de 10, el minuto, la hora, etctera, seguirn considerndose como mltiplos del segundo. Adems, la medida angular en el plano,ge hace usando radianes (rad) . Sin embargo, en este libro se har uso frecuente de los grados, donde 1800 = n; rad.I.S Clculos numricosEl trabajo numrico en la prctica de la ingeniera suele realizar-se con _ calculadoras y computadoras porttiles. Sin embargo, esimportante que las respuestas de cualquier problema sean dadascon una precisin justificable, a la vez que con un nmero apro-piado de cifras significativas. En esta seccin se explican estos te-mas y se consideran otros aspectos importantes de todos los cl-culos en ingeniera.Homogeneidad dimensional. Los trminos de cualquierecuacin utilizada para describir un proceso fsico deben ser di-mensiona/mente homogneos; esto es, cada trmino debe expre-sarse en las mismas unidades. Siempre y cuando sea ste el caso,ser posible combinar todos los trminos de la ecuacin al susti-tuir valores numricos por las variables. Consideremos, porejemplo, la ecuacin s = vt + iat2, donde, en unidades SI, s es laposicin en metros, m, t es el tiempo en segundos, s, v es veloci-dad en mis, ya es aceleracin en m/s2. Independientemente de laforma de evaluarla, esta ecuacin conserva su homogeneidad di-mensional. En la forma que enunciamos cada trmino, se expre-sa en metros [m, (m/,S),S, (m/,S2)S2], 0, despejando a, a = 2slt2 - 2 vlt,vemos que cada uno de los trrrnos se expresan en unidades dem/s2 [ m/s2 m/s 2, (m/s)/s]. ,Dado que los problemas en mecnica suponen la solucin deecuaciones dimensionalmente homogneas, el hecho de que to-dos los trminos de una ecuacin estn representados por unconjunto uniforme de unidades puede usarse como verificacinparcial de las manipulaciones algebraicas de una ecuacin.Cifras significativas. La precisin de un nmero queda es-pecificada por el nmero de cifras significativas que contiene.Una cifra significativa es cualquier dgito, incluyendo un cero,, Isiempre y cuando no est para especificar la localizacin delpunto decimal para el nmero. Por ejemplo los nmeros 5604 y34.52, tienen cada uno cuatro cifras significativas. Cuando losnmeros comienzan o terminan en ceros, sin embargo, es difcildecir cuntas cifras significativas hay en el nmero. Considreseel nmero 40. Tiene ste una ~4) o tal vez dos (40) cifras signifi~cativas? Para aclarar esta situacin, el nmero,deber expresarseusando potencias de 10. Hay dos maneras de hacerlo. El formato 27. http://carlos2524.jimdo.com/10 CAP. 1 PRINCIPIOS GENERALES para la notacin cientfica especifica un dgito a la izquierda del punto decimal, dejando los dems a la derecha; por ejemplo, 40 expresado a una cifra significativa sera 4(10 1). Usando la notacin de ingeniera que aqu es preferible, el exponente aparece en mltiplos de tres para facilitar la conversin de las unidades SI a las que tengan prefijos apropiados. As, 40 expresado a una cifra significativa sera 0.04(10 Asimismo, 2500 y 0.00546 expresadosa tres cifras significativas seran 2.50(l(P) y 5.46(10-3). Redondear nmeros. Para los clculos numricos, la precisin que se obtenga de la solucin de un problema no ser en general mejor que la precisin de los datos del problema. Esto es lo que debe esperarse, pero las calculadoras y computadoras de bolsillo incluyen ms cifras en la respuesta que el nmero de cifras significativas utilizadas para los datos. Por esta razn, un resultado calculado habr siempre de redondearse a un nmero apropiado de cifras significativas.Para garantizar la precisin, se aplican las siguientes reglas al redondear un nmero a n cifras significativas: 1. Si el dgito n + 1 es menor que 5, el dgito n + 1 Ylos que le siguen sern eliminados. Por ejemplo, 2.326 y0.451 redondeados a n = 2 cifras significativas seran 2.3y 0.45. 2. Si el n + 1 dgito es gual a 5 con ceros a continuacin,entonces habr que redondear el ensimo dgito a un nme-ro par. Por ejemplo, 1245 y 0.8655 redondeados a n = 3 ci-fras significativas vienen a ser 1240 y 0.866. 3. Si el dgito n + 1 es mayor que 5 o igual a 5, siguindole *. cualquier dgito cero, entonces deber incrementarse el en-simo dgito en 1 y eliminar el n + 1 dgito y los que le sigan.Por ejemplo, 0.72387 Y 565 .500 3 redondeados a n = 3 cifrassignificativas resultan en 0.724 y 566. Clculos. Como regla general, para garantizar la precisin de un resultado final al realizar clculos con nmeros de precisiones desiguales, conviene retener siempre una cifra significativa extra en los nmeros ms precisos que en los menos precisos antes de iniciar los clculos. Despus habr que redondear el resultado final de modo que tenga el mismo nmero de cifras significativas que el menos preciso de los nmeros. De ser posible, trate de lle- var a cabo los clculos de modo que no se sustraigan entre s n- meros aproximadamente iguales, porque por un clculo semejante suele perderse precisin.Casi todos los problemas de ejemplo de este libro se resuelven en el supuesto de que cualquier dato medido tiene precisin 28. http://carlos2524.jimdo.com/ SECo 1.5 CLCULOS NUMRICOS 11a tres cifras significativas. * En consecuencia, los clculos inter-medios se efectuarn con cuatro cifras significativas y las res-puestas se presentarn por lo general con tres cifras significativas.Los siguientes ejemplos ilustran la aplicacin de los principiosantes expuestos en relacin con el uso apropiado y la conversinde unidades. Ejemplo 1.1Convierta 2 km/h a m/s. SOLUCIN Ya que 1 km = 1000 m y 1 h = 3600 s, los factores de conversin se disponen en el orden siguiente, para que puedan cancelarse las unidades:2 km/h = 2 km ( 1000 m J kmJ(---.!lLJ3600 s200m= 3600 s = 0.556 mis Resp. Ejemplo 1.2 Convierta la cantidad de 300 lb . s a las unidades SI apropiadas. SOLUCINSi usa la tabla 1.2, llb = 4.448 2 N.300 lb . s = 3001b- s ( 4.4~? N J= 1334.5 N . s = 1.33 kN . sResp.* Desde luego ciertos nmeros, como 1t, e, o nmeros que se usan en las fr-mulas deducidas son exactos y, por tanto, precisos hasta infinidad de cifras signi-ficativas 29. http://carlos2524.jimdo.com/12 CAP. 1 PRINCIPIOS GENERALESEjemplo 1.3 --------------------------11I Evale cada una de las siguientes cantidades y expreselas 1.6 ] con unidades SI con prefijos apropiados: (a) (50 mN)(6 ON), Elm( (b) (400 mm)(0.6 MN)2, (e) 45 MW/900 Og. ra rm SOLUCIello e Primero se convierte cada nmero a las unidades base, se re-orden alizan las operaciones indicadas y, finalmente, se elige un prefijo apropiado (vease la regla 6 de la pg. 8). l. 1tt Parte (a) 2. 1(50 mN)(6 ON) = [50(10-3) N][6(109) N)d6 2= 300 (10 ) N 3. P . =6300(10 )N2( {om) ({O~~) n= 300 kN2Resp. 4. Fti Observe con atencin el acuerdo kN2= (kN)2 = 106N2 (regla 4n de la pg. 8). ut; parte (b)e (400 mm) (0.6 MN)2 = [400(10-3) m] [0.6 (106) N]2 5. I= [400(10-3) m] [0.36(1012) NZ] r,= 144(109) m . N2= 144 Gm : N26. 1o Tambin podemos escribir1 144(109) m NZ = 144(109) m N2(1 ~N)(10 N1 MN106M Jf,1;= 0.144m . MNZ Resp. Parte (e) 645 MW/900 O = 45(10 N)3g 900(196) kg= 0.05(1012) W/kg3= 005 (1012) N3( 1 kN) . 103 N.lkg= 0.05(103) kN3/kg= 50 kN3/kgResp. Aqu hemos utilizado las reglas 4 y 8 de la pg. 8. 30. http://carlos2524.jimdo.com/SECo 1.6 PROCEDIMIENTO GENERAL DE ANLISIS 131.6 Procedimiento general de anlisisEl mtodo ms eficaz para aprender los principios de la ingenie-ra mecnica es el de resolver problemas. Para alcanzar el xito enello es importante presentar siempre el trabajo enforma lgica yordenada como lo sugieren los pasos enumerados a continuacin:1. Lea el problema con atencin y trate de correlacionar la situacin fsica que se presenta con la teora estudiada.2. Trace los diagramas que sean necesarios y tabule los datos del problema.3. Aplique los principios pertinentes, por lo general en forma matemtica.4. Resuelva las ecuaciones algebraicamente hasta donde resul- te prctico hacerlo as y, entonces, asegurndose de su homogeneidad dimensional, utilice un sistema consistente de unidades y complete la solucin numricamente. La respuesta se presentar con no ms cifras significativas que las que corresponden a la precisin de los datos del problema.5. Estudie la respuesta con sentido comn y criterio tcnico para determinar si parece razonable.6. Una vez obtenida la solucin, revise el problema. Piense en otras formas de obtener la misma solucin. Al aplicar estos lineamientos generales, haga el trabajo en la forma ms limpia posible. La limpieza en la escritura estimu- la el pensamiento claro y ordenado, y viceversa. 31. http://carlos2524.jimdo.com/ 14 CAP. 1 PRINCIPIOS GENERALES PROBLEMAS1-1. Redondee los nmeros que siguen a tres cifras * 1-12. Evale cada una de las siguientes cantidades y significativas: (a) 3.45555 m, (h) 45.556 s. (e) 5555 N, exprese cada respuesta en unidades SI usando un(d) 4525 kg.prefijo apropiado: (a) 354 mg(45 km)/(0.035 6 kN),(h) (.004 53 Mg)(201 ms), (e) 435 MN/23.2 mm.1-2. Si un automvil viaja a 55 mi/h, determine su ve-locidad en kilmetros por hora y en metros por se- 1-13. Haga las conversiones indicadas y exprese lagundo.respuesta usando un prefijo apropiado: (a) 175 Ib/ft3a kN/m 3, (h) 6 ft/h a mm/s, (e) 835 lb . ft a kN . m.1-3. Si un automvil tiene un peso de 3500 lb, deter-mine su masa y exprese el resultado en unidades SI. 1-14. El peso especfico (peso/volumen) del latn esde 520 lb/ft 3 Determine su densidad (masa/Volumen)* 1-4. Convierta 63 ft2 . S a m2 . s. en unidades SI. Use un prefijo apropiado. 1-5. Represente cada una de las siguientes combina- 1-15. Determine en kilogramos la masa de un objeto ciones de unidades en la forma SI correcta utilizando que tiene un peso de (a) 20 mN (h) 150 kN (e) 60 un prefijo adecuado: (a) Mglmm, (h) mN/lls, (e) 11m MN. Exprese cada respuesta usando un prefijo apro- Mg.piado.1-6. Represente cada una de las siguientes combina- * 1-16 Determine su masa personal en kilogramos, suciones de unidades en la forma SI correcta usando un peso en newtons y su estatura en metros, usando laprefijo apropiado: (a) m/ms (h) Ilkm, (e) ks/mg, (d) tabla 1.3.km IlN.1-17. Un cohete tiene una masa de 250 (103) slug so-1-7. Represente cada una de las siguientes cantidades bre la superficie de la Tierra. Especifique (a) su masaen la forma SI correcta usando un prefijo apropiado: en unidades SI, y (h) su peso en unidades SI. Si el co-(a) 0.000431 kg, (h) 35.3 (10 3) N, (e) 0.00532 km. hete est sobre la Luna, donde la aceleracin debidaa la gravedad esg", = 5.30 ft/s 2, determine (e) su peso* 1-8. Evale cada una de las siguientes cantidades a en unidades SI, y (d) su masa en unidades SI.tres cifras significativas y exprese cada respuesta. enunidades SI usando un prefijo apropiado: (a) (212 1-18. La densidad (masa/volumen) del aluminio esmN)2, (h) (52800 ms)2, (e) [548(1Q6)P/2 ms. 5.26 sluglft3. Determine su densidad en unidades SI.Use un prefijo apropiado.1-9. Evale cada una de las siguientes cantidades atres cifras significativas y exprese cada respuesta en 1-19. Una columna de concreto tiene un dimetro deunidades SI usando un prefijo apropiado: (a) 0.631 350 mm y una longitud de 2 m. Si la densidad (ma-Mm/(8.60 kg)2, (h) (35 mm)2(48 kglsa/volumen ) del concreto es de 2.45:Mglm3, determi-ne el peso de la columna en libras.1-10. Evale (204 mm)(0.004 57 kg)/(34.6N) yexpre-se la respuesta en unidades SI usando un prefijo *1-20. Dos partculas tienen una masa de 350 kg Y250apropiado.kg, respectivamente. Si estn separadas 4.m, determi-ne la fuerza de atraccin gravitcional entre ellas.1-11. Evale cada una de las siguientes cantidades yexprese cada respuesta en unidades SI usando unprefijo apropiado: (a) (684 Ilm)/43 ms, (h) (28ms)(0.0458 Mm) (348 mg), (e) (2.68 mm)(426 Mg). 32. http://carlos2524.jimdo.com/2Vectores de fuerzaEn este captulo se presenta el concepto de una fuerza concen-trada y se dan procedimientos para sumar fuerzas, resolverlas ensus componentes y proyectarlas a lo largo de un eje. Dado que lafuerza es una cantidad vectorial, al considerar fuerzas debemosutilizar las reglas del lgebra vectorial. Iniciaremos nuestro estu-dio definiendo las cantidades escalares y vectoriales, y desarro-llaremos luego las reglas bsicas del lgebra vectorial.2.1 Escalares y vectoresLa mayor parte de las cantidades fsicas de la mecnica pue-den expresarse matemticamente por medio de escalares yvectores.Escalar. Toda cantidad caracterizada por un nmero positivo onegativo se llama escalar. La masa, el volumen y la longitud soncantidades escalares frecuentes en la esttica.,En este libro, losescalares se denotan con letras cursivas, como por ejemplo, el es-calar A. Las reglas de operacin con escalares son idnticas a lasdel lgebra elemental.Vector. Vector es toda cantidad que tiene magnitud, direccin ysentido y obedece a la regla de adicin, llamada regla del parale-logramo. Esta ley, descrita ms adelante, utiliza una forma deconstruccin que toma en cuenta la magnitud y la direccin delvector. Las cantidades vectoriales comnmente usadas en la es-ttica son los vectores de posicin, de fuerza y momento. 33. http://carlos2524.jimdo.com/16CAP.2 VECTORES DE FUERZA El vector se representa grficamente por medio de qna fle-cha, que sirve para definir su magnitud, direccin y sentido. La.-.!..-- linea de accin Punta de Oecha ~>- magnitud del vector se indica por la longitud de la flecha, la di- ~reccin por el ngulo entre un eje de referencia y la lnea de ac-Punto de 20cin de la flecha, y el sentido lo indica la punta de la flecha. Poraplicacin~ejemplo, el vector A de la figura 2.1 tiene una magnitud de 4 uni-Odades, una direccin de 200 medidos en sentido contrario al de Fig.2.1las manecillas del reloj, a partir del eje horizontal, y un sentidohacia arriba y a la derecha. El punto O es el punto inicial del vec-tor y P su extremo. En forma escrita, un vector se representa usualmente pormedio de una letra sobre la que se dibuja una flecha, como en A.//La magnitud se denota IAI o simplementeA. En este libro losvectores se representarn en "negritas", por ejemplo A denota elvector de nombre "A". Su magnitud, que siempre es una canti-dad positiva, se representa en cursiva lA I o simplemente A si seFig.2.2sobreentiende queA es un escalar positivo. 2.2 Operaciones vectorialesMultiplicacin y divisin de un vector por un escalar.El producto de un vector A y un escalar a, que da el resultadoaA, se define como un vector que tiene una magnitud IaA l. Elsentido de aA es el m5mo que el de A a condicin que a sea posi-tivo; es en sentido opuesto de A si a es negativo. En consecuencia,el negativo de un vector se obtiene al multiplicarlo por el escalar(-1), figura 2.2. La divisin de un vector por un escalar se puede Multiplicacin y divisin por un escalardefinir usando las reglas de la multiplicacin, puesto queAja = (1/a)A, con a # O. En la figura 2.3 se muestran ejemplos de Fig.2.3estas operaciones.Adicin de vectores. Dos vectores A y B del mismo tipo, figura 2.4a pueden sumarse para obtener el vector "resultante" R = A + B, usando la ley del paralelogramo. Para ello, A y B se po- nen con un punto inicial comn, figura 2.4b. Se trazan las lneas paralelas segmentadas a partir del extremo de cada vector for- mando los lados adyacentes de un paralelogramo. Como en el di- bujo, el vector resultante R es la diagonal del paralelogramo, que se extiende del punto inicial comn de A y de B hasta la interseccin de las lneas segmentadas. (a) / / / ~R=A+BR=A+B / Fig.2.4 (b)(e)(d)Adicin de vectores 34. http://carlos2524.jimdo.com/SECo2.2 OPERACIONES VECfORIALES 17a fle-Tambin pueden sumarse A y B utilizando una construccinao.LatrianguLar que es un caso particular de la regla del paralelogra-la di- mo; en aquella el vector B se suma al vector A, haciendo coinci-de ac- dir el punto inicial de B con el extremo de A como en la figura a. Por2.4c. El vector resultante R se extiende del punto inicial de A al 4uni- extremo de B. El vector R podr obtenerse con una construccinal desemejante pero sumando A a B como se aprecia en la figura 2.4d.entido Por comparacin se observa que la adicin de vectores es con-el vec-mutativa, o sea que los vectores se pueden sumar en cualquier orden, es decir R= A + B = B + A. Como caso especial, tenemos que si los dos vectores son coli- neaLes, esto es, que su lnea de accin es la misma, entonces la ley del paralelogramo se reduce a una suma aLgebraica o escaLarR = A + B, como se ilustra en la figura 2.5.ARB:. R=A+Bcalar.ultado Fig.2.5 .Ela posi- encia,escalarSustraccin vectorial. La diferencia resultante entre los vec- puede tores A y B del mismo tipo puede expresarse medianteo que los deR= A- B= A + (-B) Esta suma vectoriaI se muestra grficamente en la figura 2.6. La sustraccin queda as definida como un caso particular de la adicin, de manera que las reglas de la adicin se extienden a la sustraccin. /BIIIIIII o:AFig.2.6 35. http://carlos2524.jimdo.com/18 CAP.2 VECfORES DE FUERZAResolucin de un vector. Un vector puede resolverse o des-componerse en dos "componentes" que tengan lneas de accindadas, usando la regla del paralelogramo. Por ejemplo, si R en lafigura 2.7a debe resolverse en componentes que acten a lo largode las lneas a y b, se considera el extremo de R y, desde este pun-to, se traza una paralela a la lnea a hasta intersecar la lnea b.Asimismo, desde el extremo de R nuevamente se traza una para-lela a b hasta encontrar la interseccin con a, como se muestraen la figura 2.7a. Las componentes buscadas A y B son entonceslos vectores con punto inicial en el punto inicial de R y extremoen las intersecciones obtenidas, como se aprecia en la figura 2.7b. a a---- - ------Z_L-- R - (a)_--,--_ b B (b) b Fig.2.72.3 Adicin vectorial de fuerzasPor evidencia experimental se sabe que una fuerza es una canti-dad vectorial puesto que tiene magnitud, direccin y sentido es-pecificados y se suma de acuerdo con la regla del paralelogramo.Dos problemas comunes en la esttica consisten en encontrar lafuerza resultante conociendo sus componentes o resolver unafuerza conocida en dos componentes. Como se describi en laseccin 2.2, ambos problemas requieren la aplicacin de la regladel paralelogramo. Fig.2.8 36. http://carlos2524.jimdo.com/ SECo 2.3 ADICIN VECTORIAL DE FUERZAS 19 Si se van a sumar ms de dos fuerzas, para obtener la resul-tante podr aplicarse la regla del paralelogramo varias veces su-cesivamente. Por ejemplo, si tres fuerzas F, F 2, F3 tienen el mis-mo punto de aplicacin O como en la figura 2.8, se obtendr laresultante de dos de las fuerzas, digamos F y F2 y, entonces, estaresultante se suma a la tercera fuerza para dar la resultante delas tres fuerzas; es decir, FR = (F + F2) + F3 El uso de la regla delparalelogramo para sumar ms de dos fuerzas, como aqu semuestra, requerir usualmente clculos geomtricos y trigono-mtricos bastante extensos para llegar a los valores numricos dela magnitud y la direccin de la resultante. En lugar de ello, paraproblemas de este tipo, se usar el "mtodo de las componentesrectangulares", que simplifica notablemente el trabajo y que seexplicar en la seccin 2.4.PROCEDIMIENTO DE ANALISISLos problemas que resultan de la adicin de dos fuerzas ytienen a lo ms dos incgnitas pueden resolverse usando elprocedimiento siguiente:Ley del paralelogramo. se hace un diagrama de la adicin vec- . torial por la regla del paralelogramo. Si es posible, se determina los ngulos interiores del paralelogramo a partir de la geometra del problema. Recurdese que el total de la suma de estos ngulos debe ser de 360. Los ngulos desconocidos, as como las magnitudes de fuerzas conocidas y desconoci- das, debern "etiquetarse" claramente en el diagrama. Dibu- je de nuevo una mitad del paralelogramo construido para ilustrar la adicin triangular de las componentes. Trigonometra. Mediante la trigonometra, es posible determinar las incgnitas a partir de los datos del tringulo. Si el tringulo no contiene un ngulo de 90, podr usarse la ley de los senos y/o de los cosenos para la solucin. Estas frmu- las se dan en la figura 2.9 para el tringulo que ah se muestra.Los siguientes ejemplos ilustran este mtodo numricamente. AA Ley de los senos: ..L = JL=~Bsen asen bsen e~c Ley de los cosenos: C=.,fA2+B2- 2AB cos eFig.2.9 37. http://carlos2524.jimdo.com/20CAP. 2 VECTORES DE FUERZA Ejemplo 2.1La armella roscada de la figura 2.10a est sometida a laaccin de dos fuerzas, F y F2 Determine la magnitud y la di-reccin de la fuerza resultante.FI = IOO N360- 2(65)= 115290 - 25 = 65 (a)(b)SOLUCINLey del paralelogramo. En la figura 2.lOb se muestra la ley delparalelogramo de laadicin. Las dos incgnitas son la magni-tud de FR y el ngulo () (theta). A partir de la figura 2.lOb seconstruye el tringulo vectoriaI2.10c.Trigonometra. F R se determina usando la ley de los cosenos: FR = /(100)2 + (150)2 - 2(100)(150) cos 115= /10 000 + 22500 - 30 000(-0.4226) - 212.6 N= 213N Resp.El ngulo () se determina al aplicar la ley de los senos, usandoel valor calculado de FR150212.6 (e) sen () = sen 115 150Fig.2.10 sen () = 212.6(0.9063) ()=39.8,1De esta forma, la direccin cP (fi) de F R, medida a partir de lahorizontal, es cP = 39.8 + 15.0 = 54.8 Letermine la fuerza resultante sobre sobre el avin debe dirigirse a lo largo del eje x posi-el fmur y especifique su orientacin e medida en el tivo y tener una magnitud de 10 kN, determine el n-sentido contrario de las manecillas del reloj a partir gulo e del cable sujeto al camin en B, de modo quede la parte positiva del ejex. la fuerza FB en este cable sea un mnimo. Cul es la magnitud de la fuerza en cada cable cuando esto ocu-y rra?e120N r::~~o- - -i--- - - - - x B Probs. 2.25/2.26 45. http://carlos2524.jimdo.com/28 CAP.2 VECfORES DE FUERZA2.4 Adicin de un sistema de fuerzas coplanares Cuando deba obtenerse la resultante de ms de dos fuerzas es ms fcil encontrar las componentes de cada fuerza a lo largo de ejes especificados, sumar algebraicamente estas componentes y, entonces, formar la resultante, en vez de formar la resultante de las fuerzas por aplicaciones sucesivas de la ley del paralelogramo como se trat en la seccin 2.3. En esta seccin resolveremos cada fuerza en sus componentes rectangulares Fx Y Fy que se encuentran a lo largo de los ejes x y y respectivamente, figura 2.14a.y Aunque los ejes que se muestran aqu son uno vertical y el otro- - - -- - horizontal, en general pueden tener cualquier inclinacin siempre y cuando sean mutuamente perpendiculares, figura 2.14b. En uno y otro caso se requiere, por la ley del paralelogramo, que: F0 Fy: I I I I y - - - - ., F = Fx + Fy(a) Como se ve en la figura 2.14, el sentido de cada componente se representa de manera grfica por la punta de La flecha. Para el trabajo analtico, sin embargo, debemos establecer una notacin para representar el sentido direccional de las componentes rectangulares de cada vector coplanar. Esto puede hacerse de cualquiera de dos formas. N otacin escalar. Dado que los ejes x y y tienen sentido positivo y negativo designados, la magnitud y el sentido de las componentes rectangulares de una fuerza pueden expresarse en trminos de escalares aLgebraicos. Por ejemplo, las componentes de F en la figura 2.14a pueden representarse con escalares positivos Fx YFy puesto que su sentido direccional es el del eje x positivo yF del eje y positivo, respectivamente. De manera semejante, las (b) componentes de F en la figura 2.14b son Fr Y - Fy Aqu la componente y es negativa puesto que Fy se dirige hacia la parte negativa del eje y. Debe recordarse que esta notacin escalar se usa solamente para fines de clculo y no para representaciones grfi- cas en las figuras. En todo el libro, la punta de la flecha de un vector en cualquier figura indica el sentido del vector grficamente; los signos algebraicos no se usan con este propsito. As, los vectores en las figuras 2.14a y 2.14b se designan con caracteres en "negritas".* Siempre que se escriban smbolos en cursiva cercaFig.2.14 de flechas de vectores en las figuras, indicarn la magnitud del vector que es siempre una cantidad positiva. Los signos negativos que aparezcan en las figuras donde se usa notacin en ne-gritas se usarn exclusivamente en el caso de vectores de la misma magnitud perode sentidos opuestos como en la figura 2.2. 46. http://carlos2524.jimdo.com/ SECo 2.4 ADICIN DE UN SISTEMA DE FUERZAS COPlANARES 29Notacin vectorial cartesiana. Tambin es posible repre-sentar las componentes de una fuerza en trminos de los vecto-res unitarios cartesianos. Hacindolo as, es ms fcil aplicar losmtodos del lgebra vectorial y veremos que se obtienen grandes yventajas ~l resolver problemas en tres dimensiones. En dos di-mensiones, los vectores unitarios cartesianos i y j se usan paradesignar las direcciones de los ejes x y y, respectivamente, figuraji2.15a. * Estos vectores tienen una magnitud de uno y su sentido(o punta de la flecha) ser descrito analticamente por un signoms o menos, segn apunten a la parte positiva o la negativa delos ejes x o y. Como se muestra en la figura 2.15a, la magnitud de cadaTC?JFy1I----Fx---l:----~-x --+I (a)componente de F siempre es una cantidad positiva que se repre-senta por los escalares positivos Fx Y FY Por lo tanto, habiendoestablecido la notacin para representar la magnitud y el sentido yde cada componente, podemos expresar F en la figura 2.15a co-mo un vector cartesiano, esto es,/) F. ~y~y de la misma manera, F en la figura 2.15b puede expresarse co-mo; """" / 1,........ .;,// X F = Fxi + Fy( - j) Fo simplemente (b) F = FJ - Fyj Fig.2.15Resultantes de fuerzas coplanares. Cualquiera de los dosmtodos recin descritos para representar las componentes rec-tangulares de una fuerza puede usarse para determinar la resul-tante de varias fuerzas coplanares. Para hacerlo, se resuelve cadafuerza en sus componentes x y, y luego se suman las componen-tes respectivas usando lgebra de escalares puesto que son coli-neales. La fuerza resultante se forma, entonces, sumando por laley del paralelogramo, las resultantes a lo largo del eje x y del ejey. Consideremos, por ejemplo, las tres fuerzas de la figura 2.16aque tienen componentes x, y como se ve en la figura 2.16b. Pararesolver este problema usando la notacin vectorial cartesiana,cada fuerza se representa primero como un vector cartesiano, es-to es, Fl = Fui + Flyj F2 = --F2xi + F2y j F3 = F3xi .:. . F 3yj En un manuscrito, suelen indicarse los vectores unitarios con un acento cir-cunflejo, como por ejemplo, i y j. 47. http://carlos2524.jimdo.com/30 CAP. 2 VECfORES DE FUERZA La resultante vectorial es, por lo tanto,FR = F + F 2 + F3 = FIx i + Fyj -F2, i + F 2y j + F3x i -F3y j = (F Ix - F2x + F3x )i + (Fy + F 2y - F3y)j = (FR,)i + (FR)j y Si se usa la notacin escaLar, entonces, de la figura 2.16b, como x es positiva hacia la derecha y y es positiva hacia arriba, tenemos (..)FRx = F Ix - F 2x + F3x--------~~~---------x(+ t)FRy = Fy + F 2y -F3y Estos resultados son los mismos que las componentes i y j de FR(a)antes determinadas. En el caso general, las componentes x y y de la resultante de cualquier nmero de fuerzas coplanares puede representarseysimblicamente por la suma algebraica de las componentes x, y y de todas las fuerzas, esto es, (2.1)Al aplicar estas ecuaciones es importante usar el acuerd~ sobre los signos establecido para las componentes; es decir, que las(b)componentes que tienen sentido igual al de los ejes positivos de coordenadas se consideran escalares positivos en tanto que si su sentido es el de los ejes negativos se consideran escalares negativos. Respetando este acuerdo los signos de las componentes de .J4 :" ---I la resultante especificarn el sentido de estas componentes. Por ejemplo, un resultado positivo indicar que la componente tiene el sentido direccional de la direccin de coordenadas positivas.Una vez que se determinen las componentes de la resultan-----------~~~ -------xF Rx te, se dibujan sobre los ejes x y yen su direccin apropiada y la fuerza resultante se determina por adicin vectorial como en la figura 2.16c. A partir de este bosquejo, la magnitud de FR se de-(e)termina con ayuda del teorema de Pitgoras; esto es, Tambin, el ngulo de direccin {J, que especifica la orientacin de la fuerza, se determina por trigonometra. {J = tan-I E.& IFR:; FRx = 600 cos 30 - 400 sen 45-... = 236.8 N-+.+ t FRy = rEy; FRy = 600 sen 30 + 400 cos 45 = 582.8 N tLa fuerza resultante que se muestra en la figura 2.19c tiene yuna magnitud de F =600N FR = . (236.8)2 + (582.8)2= 629N Resp.Por adicin vectorial, figura 2. 19c, el ngulo de direccin 8es (b) Resp.SOLUCIN 11Notacin vectorial cartesiana. De la figura 2.19b, cada fuerza seexpresa como vector cartesiano y esto nos da y I FRF 1 = 600 cos 300 + 600 sen 300j 582,8 N , - --- F 2 = -400 sen 45 + 400 cos 45jAs:/ 1 I : FR = (600 cos 30 - 400 sen 45).l.~-----.x+ (600 sen 30 + 400cos 45)j236,8 N= {236.8i+ 582.8D N (e)La magnitud y direccin de FR se determinan como se mostr Fig.2.19antes.Al comparar los dos mtodos de solucin, se ve que el usode la notacin escalar es ms eficiente porque las componen-tes escalares se pueden e ncontrar directamente sin tener queempezar expresando cada fuerza como un vector cartesianoantes de sumar las componentes. El anlisis vectorial cartesi-no tiene muchas ventajas, sin embargo, para la solucin deproblemas en tres dimensiones, como se ver ms adelante. 51. http://carlos2524.jimdo.com/34 Ejemplo 2.8---------------------------11CAP.2 VECTORES DE FUERZA El extremo O del aguiln de la figura 2.2Oa est sujeto atres fuerzas concurrentes y coplanares. Determnese la magni-tud y orientacin de la fuerza resultante. yy F2 = 250N--~I!J.o.....- - - - -x = 400 N (a) (b)SOLUCIN Cada fuerza se resuelve en sus componentes x y y como semuestra en la figura 2.20b. Al sumar las componentes x, tenemosF Ry = -400 + 250 sen 45- 200 (;) = - 383.2 N = 383.2 N +-El signo negativo indica que FRx acta hacia la izquierda, estoes, en sentido x negativa como indica la flecha pequea. si sesuman las componentes y se tiene+ i F Ry = rEy; F Ry = 250 cos 45 + 200 (;) = 296.8 Ni yLa fuerza resultante que se muestra en la figura 2.20c tiene FRI- - - - - - - - .296.8 Nuna magnitud deFR =.,1(- 383.2)2 + (296.8)2 =485N Resp.~It--- x De la adicin vectorial en la figura 2.2Oc, el ngulo de direcci 8es (e) .8 = t an_1(296.8) - 378383.2 - .Resp. Nos damos cuenta de que la sola fuerza FR que se ve en la Fig.2.20figura 2.2Oc crea el mismo efecto sobre el aguiln que las tres fuerzas en la figura. 2.20a. 52. http://carlos2524.jimdo.com/ PROBLEMAS3S PROBLEMAS 2.27. Exprese F y F2 como vectores cartesianos.2.31. Exprese F 1, F 2 YF 3 como vectores cartesianos.* 2.28. DeterminC;( la magnitud de la fuerza resultante y * 2.32. Determine la magnitud de la fuerza resultante y su orientacin medida en el sentido de las manecillas su orientacin medida en el sentido contrario de las del reloj a partir del eje x positivo.menecillas del reloj, desde la parte positiva del eje x . .Yy F , = 800N F, =ISkN~---------------xF 2 = 6S0N Probs.2.27/2.28 Probs.2.31/2.32 2.29. Exprese F y F2 como vectores cartesianos.2.33. Determine las magnitudes de las componentes x, y y de F y F2. 2.30. Determine la magnitud de la fuerza reftltante y su orientacin medida en el sen~ido contrario al de las manecillas del reloj, a partir del ejex positivo. F, = 80lb yy F, =40 lb -------.-----x Probs. 2.29/2.30 Prob.2.33 53. http://carlos2524.jimdo.com/ 36 CAP. 2 VECfORES DE FUERZA 2.34. Resuelva, el problema 2.3 sumando las compo- * 2.40. Exprese cada fuerza que acta sobre la mnsula nentes x y las componentes y de las fuerzas para obte- en forma vectorial cartesiana. Qu magnitud tiene ner la fuerza resultante.la fuerza resultante? 2.35. Resuelva el problema 2.4 sumando las componentes x, y o rectangulares de las fuerzas para obtener la fuerza resultante.y* 2.36. Resuelva el problema 2.9 sumando las componentes x, y o rectangulares de las fuerzas para obtener la fuerza resultante. 2.37. Resuelva el problema 2.11 sumando las compo- ~Uk:::lr-------- x nentesx, y o rectangulares de las fuerzas. 2.38. Resuelva el problema 2.25 sumando las componentes x, y o rectangulares de las fuerzas para obtener la fuerza resultante. Prob.2.40 2.39. Se requiere una fuerza de 40 lb para empujar el 2.41. Cuatro fuerzas concurrentes actan sobre una automvil A hacia delante. Determine la fuerza Fplaca. Determine la magnitud de la fuerza resultante que el jeep B deber ejercer sobre el automvil comoy su orientacin medida en el sentido contrario al de funcin del ngulo e para mantenerlo en movimien- las manecillas del reloj desde el ejex positivo. to. Grafique el resultado, F como funcin de () para O~()~ 90. y IF2 = IOOlb Prob.2.39 Prob.2.41 / 54. http://carlos2524.jimdo.com/PROBLEMAS 372.42. Una placa de unin est sujeta a cuatro fuerzas 2.45. Las tres fuerzas concurrentes que actan sobreque concurren en el punto o. Determine la magnitudla armella roscada producen una fuerza resultantede la fuerza resultante y su orientacin medida en el FR = o. Si F2 = t1 y FI debe hacer un ngulo de 90sentido contrario al de las manecillas del reloj a par- como se muestra, determine la orientacin e de F3 ytir del ejex positivo.su magnitud expresada en trminos de F l. y ----!---- x FJ Prob.2.42 Prob.2.452.43. Tres fuerzas actan sobre una mnsula. Deter- 2.46. Determine la magnitud y la orientacin e de FBmine la magnitud y orientacin e de F2, de modo que de modo que la fuerza resultante vaya dirigida por ella fuerza resultante tenga la direccin del eje u positi- eje y positivo y tenga magnitud de 1500 N.vo y su magnitud sea de 50 lb.2.47. Determine la magnitud y orientacin medida en 2.44. Si F2 = 150 lb Y e = 55, determine la magnitud y el sentido contrario de las manecillas del reloj desdeorientacin, medida en el sentido de las manecillas el eje y positivo, de la fuerza resultante que acta so-del reloj desde el eje u positivo, de la fuerza resultan- bre la mnsula, si F B = 600 N Ye = 20.te de las tres fuerzas que actan sobre la mnsula. y ... ~.::~~ -----x ::;. -0Probs. 2.43/2.44 Probs. 2.46/2.47 55. http://carlos2524.jimdo.com/ 38 CAP.2 VECTORES DE FUERZA* 2.48. El puntal est sosteniendo el muro. Al ocurrir 2.50. La caja se elevar utilizando dos cadenas. Si laesto, la clavija ejerce una fuerza horizontal Fx; y unafuerza resultante debe ser de 600 N dirigida a lo lar-fuerza vertical Fy en el punto A del puntal. Si la fuer- go del eje y positivo, determine las magnitudes de lasza resultante mxima que puede desarrollarse a lofuerzas FA y FB que actan en cada una de las cade-largo del puntal es 6 kN, Yel cociente FJFy :$; 0.5, de- nas y el ngulo de orientacin e de FB, de modo quetermine el ngulo mnimo e ~ara colocacin del puntal. la magnitud de FB sea mnima. FA acta en un ngulo de 30 del eje y, como se muestra.y- - - - --=-iD - - - - - - xProbs. 2.49/2.50 2.51. Determine la magnitud de la fuerza F de modo que la resultante FR de las tres fuerzas sea tan -peque- a como sea posible.y 20kN Prob.2.48 - - - - . - -- - xIF2.49. La caja ser elevada por medio de dos cadenas.Determine las magnitudes de las fuerzas FA y FB que12kNactan en una y la otra de las cadenas para desarro-llar una fuerza resultante de 600 N que acta a lo lar-go del eje y positivo. Suponga que (} = 45. Prob.2.51 56. http://carlos2524.jimdo.com/ SECo 2.5 VECfORES CARTESIANOS 392.5 Vectores cartesianosLas operaciones de lgebra vectorial plicadas a la solucin deproblemas en tres dimensiones se simplifican mucho si los vecto-res se expresan primero en forma cartesiana. En esta seccinpresentamos un mtodo general para hacerlo, y luego, en la sec-cin 2.6 aplicaremos este mtodo para resolver problemas queimplican adicin de vectores. Posteriormente, se ilustrarn apli-caciones semejantes para los vectores de posicin y de momento.Sistema derecho de coordenadas. En la teora del lgebravectorial por desarrollarse se usar un sistema derecho de coor-denadas. Un sistema rectangular o cartesiano de coordenadas sedice que es derecho siempre y cuando el pulgar de la mano dere-cha apunte hacia el eje positivo de las z al cerrar la mano alrede-dor de este eje, girando los dedos de la parte positiva del eje x ala parte positiva del eje y, como en la figura 2.21. Adems, segnesta regla, el eje z en un problema de dos dimensiones como enla figura 2.20, tendra direccin hacia fuera y perpendicularmen-te a la pgina.Fig.2.21Componentes rectangulares de un vector. Un vector Apuede tener una, dos o tres componentes rectangulares a lo largode los ejes x, y, z, segn la orientacin del vector respecto a estosejes. Pero, en general, cuando A est dirigido dentro de un oc-tante del marco de referencia x, y, z, figura 2.22, ser posible me-diante dos aplicaciones sucesivas de la ley del paralelogramo, re-solver el vector en componentes como A = A + Az Y entoncesA = A. + Ay. Al combinar estas ecuaciones, A se representa con lasuma vectorial de sus tres componentes rectangulares.A = A. + Ay + z(2.2) ,, A, ,, ,,,AIIIIIIIIII Ayh o - --+ - y" : /;;.... ----- - -- ~~~,I IxFig.2.22 57. http://carlos2524.jimdo.com/40 CAP. 2 VECI"ORES DE FUERZA Vector unitario. En general, un vector unitario es un vector de magnitud 1. Si A es un vector con magnitudA* O, entonces un vector unitario con la misma direccin que A se representa por(2.3)Si se escribe esta igualdad de nuevo se tiene(2.4)Dado que el vector A es de un cierto tipo, por ejemplo un vectorde fuerza, se acostumbra usar el conjunto de unidades apropiadopara su descripcin. La magnitud A tiene estas mismas unidades;por tanto, de la ecuacin 2.3 el vector unitario ser adimensionalporque las unidades se cancelan. Por tanto, la ecuacin 2.4 indi-ca que el vector A puede expresarse en trminos de su direccin,Fig.2.23sentido y magnitud, por separado; esto eS,A (escalar positivo) de-fine la magnitud de A, y UA (un vector sin dimensiones fsicas) de-fine la direccin y el sentido de A, figura 2.23.Vectores cartesianos unitarios. En tres dimensiones se usael conjunto de vectores cartesianos unitarios, i, j, k, para designarlas direcciones de los ejes x, y, z, respectivamente. Como se dijoen la seccin 2.4, el sentido (o la punta de la flecha) de estos vec-tores se describir analticamente con signo ms o menos, segnapunten a la parte positiva o la parte negativa de los ejes x, y, y z.De acuerdo con esto, la figura 2.24 muestra los vectores unitariospositivos. ,, A,k,, ,x/.I~ .-YJFig.2.24Representacin vectorial cartesiana. Si se usa vectores xcartesianos unitarios pueden escribirse las tres componentes vec-toriales de la ecuacin 2.2 en "forma vectorial cartesiana". DadoFig.2.25que las componentes actan en las direcciones i, j, Yk, positivas,figura 2.25, tenemos. 58. http://carlos2524.jimdo.com/SECo 2.5 VECTORES CARTESIANOS 41 (2.5)Existe una clara ventaja en escribir los vectores en trminos desus componentes cartesianas. Como cada una de estas compo-nentes tiene la misma forma que la ecuacin 2.4, la magnitud, ladireccin y el sentido de cada vector componente estn separadas yse ver que ello simplificar las operaciones del lgebra vectorialparticularmente en tres dnensiones.Magnitud de un vector cartesiano. Si un vector est ex-presado en forma cartesiana siempre es posible obtener la mag-nitud del vector A. Como se muestra en la figura 2.26, a partirdel tringulo rectngulo sombreado de mayor tamao,A = A2 + A~ Ydel tringulo ms pequeo y sombreado tambinA = .A; + A; . Si se combinan estas ecuaciones se obtiene (2.6)Por tanto, la magnitud de A es igual a la raz cuadrada positiva dela suma de los cuadrados de las componentes.----~;: " l : A ::A,IIIIIII "";;--"+;I;+-_yxr--Ay -----:1. Fig.2.26Direccin de un vector cartesiano. La orientacin del vec-tor A se define por los ngulos directores coordenados a (alfa), f3 (beta), y r (gamma), medidos entre el segmento inicial de A y lqs 59. http://carlos2524.jimdo.com/42 CAP.2 VECfORES DE FUERZA ejes positivos x, y y z que parten del punto inicial de A, figura 2.27. Observamos que sin importar la direccin de A, estos ngulos miden entre 0 y 180. Para determinar a, Jy Yo consideremos la proyeccin de A sobre los ejes x, y y z, figura 2.28. Con respec- to a los tringulos sombreados de la figura, tenemosAIIIIIII {J : .A Jj; " ,II I .... I I.. 1 _ _____ _ ~~/ AyJI--+-yI /x/Fig.2.27 .,"A AA cos a= A cos {J=jf cosr= Al (2.7)Estos nmeros se conocen como los cosenos directores de A. Unavez obtenidos, se obtendrn los ngulos directores coordenadosa, J, rpor medio de la funcin coseno inverso.Una manera simple de obtener los cosenos directores de Aconsiste en formar el vector unitario de direccin igual a la de A,ecuacin. 2.3. Si A se tiene expresado en forma vectorial cartesia-na A = Ax i + Ayj + Al k (Ec. 2.5), tenemos (2.8) " 60. http://carlos2524.jimdo.com/SECo 2.5 VEcrORES CARTESIANOS 43--- -- - -A--- ----1// 1 1,,/ / /1,,// , / / //1,,/(---- ___ -1 , ,I/ (----,, , ,,, , ,,, , ,I , ,I,I , , , ,, ,, ,~--y ~.....,.- ,-~ -- y /I~--Y , 1 1, 1 , 1 1, 1 , 1 , 1, 1_ ______ _ J I ____ ____ JI ________ J /x/x /x/(a)(b) (e) Fig.2.28donde . (AJ2 + (A)2 + (Ay (Ec. 2.6). Al comparar con las ecua-ciones 2.7, se ve que las componentes i, j Y k de lA representan loscosenos directores de A, es decir, lA = cos a i + cos fJ j + cos y k (2.9)Puesto que la magnitud de un vector es igual a la raz cua-drada positiva de la suma de los cuadrados de las magnitudes desus componentes, y lA tiene magnitud de 1, entonces de la ecua-cin 2.9 podemos formular una relacin importante entre los co-senos directores, a saber,cos 2 ex. + COS 2 ) + COS 2 r= 1(2.10)Si el vector A est en algn octante conocido, esta ecuacin per-mite determinar uno de los ngulos directores coordenados sa-biendo el valor de los otros dos. (Vase el ejemplo 2.10.) Finalmente, si se tienen la magnitud de A y sus ngulos di-rectores coordenados, A puede expresarse en forma vectorialcartesiana comoA=AuA = A cos a i + A cos fJ j + A cos r k(2.11) = Ar i + A)j + Az k 61. http://carlos2524.jimdo.com/44 CAP.2 VECfORES DE FUERZA2.6 Adicin y sustraccin de vectores cartesianos . x Fig.2.29Si expresamos dos o ms vectores en trminos de sus componen-tes cartesianas se vern muy simplificadas las operaciones de su-ma y adicin de los mismos. Por ejemplo, consideremos los dosvectores A y B dirigidos en el octante positivo x, y, z, positivo en lafigura 2.29. Si A = Ax i + Ayj + Az k Y B = Bx i + Byj + Bz k, enton-ces el vector resultante R, tiene componentes que representanlas sumas escalares de las componentes i, j Yk de A y B , es decir,La sustraccin de vectores, siendo un caso particular de la adi-cin, no requiere ms que una sustraccin escalar de las compo-nentes i, j, k, respectivas de A o B. Por ejemplo,R = A - B = (AT - Bx)i + (Ay-B)j + (Az-Bz)kSistemas de fuerzas concurrentes. En particular, el con-cepto precedente de adicin vectorial puede generalizarse y apli-carse a un sistema de varias fuerzas concurrentes. En este caso,la fuerza resultante es el vector suma de todas las fuerzas en elsistema y se puede escribir como (2.12)Aqu, rFx , rFy y rFz representan las sumas algebraicas de lascomponentes x, y, z, o las componentes i, j, k, respectivas de cadafuerza del sistema.Los ejemplos siguientes ilustran numricamente los mtodosque se usan para aplicar la teora anterior a la solucin de pro-blemas que implican la fuerza como cantidad vectorial. 62. http://carlos2524.jimdo.com/SECo 2.6 ADICIN Y SUSTRACCIN DE VECTORES CARTESIANOS 45Ejemplo2.9 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.. Determine la magnitud y los ngulos directores coordena-dos de la fuerza resultante que acta sobre el anillo de la figu-ra 2.30a.F, = {60j + 80k)lbF 2 = {5Oi - IOOj + IOOk)lb --,-~~~----- y f~""",:----- y(a) (b) Fig.2.30SOLUCIN Dado que cada fuerza est representada en forma vecto-rial cartesiana, la fuerza resultante, que se muestra en la figu-ra 2.30b, esF R = ~F = F, + F 2 = (60j + 80k) + (5Oi -lOOj + 100k)= {50i - 40j + 180k}lb La magnitud de FR se encuentra a partir de la ecuacin.2.6, esto es,FR = 1(50)2 + (-40)2 + (180)2 = 191.0 lb Resp.Los ngulos directores coordenados a, {J, r se determinande las componentes del vector unitario que acta en la direc-cin de FRFR50. 40. 180UFR = FR = 191.0 1 - 191.0 J + 191.0 k= 0.2617i - 0.2094j + 0.9422kde manera que cos a= 0.2617a= 74.8Resp. cos {J = -0.2094{J =: 102 Re~p. cos r= 0.9422r~ 19.6Resp.Estos ngulos se aprecian en la figura 2.30b. En particular, de-be observarse que {J> 90 puesto que la j componente de UFRes negativa. 63. http://carlos2524.jimdo.com/46CAP.2 VECTORES DE FUERZA Ejemplo 2.10 Exprese la fuerza F que se muestra en la figura 2.31 como un vector cartesiano. F = 200N --",/",- - - yI _ _ _ _ _ _ _ _ _ .J,./ " "x Fig.2.31 SOLUCIN Puesto que slo se especifican dos ngulos directores coordenados, el tercero, a, se determina con la ecuacin 2.10; esto es,cos 2 a + cos 2 f3 + cos 2 y = 1cos2 a + cos2 60 + cos 2 45 = 1cos a = .; 1 - (0.707)2 - (0.5)2 = 0.5 Por tanto, a = cos-1 (0.5) = 60 oa= cos-1 (-0.5) = 120 Si se examina la figura 2.31, sin embargo, se tiene por necesidad que eX = 60, ya que Fx est en la direccin +x. Si se usa la ecuacin 2.11, con F = 200 N, tenemos F = F cos a i + F cos f3 j + F cos y k = 20Q cos 60 i + 200 cos 60 j + 200 cos 45k0 = {lOO.Oi + 100.of + 141.4k} NResp. Al aplicar la ecuacin 2.6 se comprueba que efectivamente F = 200 N. F = ;E?: + F!: + E?: x y z = ;(100.0)2 + (100.0f + (141.4)2 - 200 N 64. http://carlos2524.jimdo.com/ SECo 2.6 ADICIN Y SUSTRACCIN DE VECTORES CARTESIANOS47Ejemplo 2.11Exprese la fuerza F que acta sobre el gancho de la figura2.32a como vector cartesiano. z F z I , F = 4kN F=4kNFxx x/ (a) (b)Fig.2.32SOLUCINEn este caso, los ngulos de 60 y 30 que definen la direc-cin de F no son ngulos directores coordenados. Porqu?Mediante dos aplicaciones sucesivas de la ley del paralelogra-mo, sin embargo, F puede resolverse en sus componentes x, yy z como en la figura 2.32b. Primero, del tringulo queaparece con menor intensidad en el sombreado.F = 4 cos 30 = 3.46 kNFz = 4 sen 30 = 2.00 kNDespus, usando F y el tringulo ms sombreado,Fx = 3.46 cos 60 = 1.73 kNFy = 3.46 sen 60 = 3.00 kNPor tanto; F = {1.73i + 3.00j + 2.00k} kNResp . .Como ejercicio, demuestre que la magnitud de F es de hecho.4 kN Yque el ngulo direccional coordenado a = 64.3. 65. http://carlos2524.jimdo.com/48 CAP.2 VECfORES DE FUERZA Ejemplo2.12 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Exprese la fuerza F que se ve en la figura 2.33a como vector cartesiano. SOLUCINComo en el ejemplo 2.11, los ngulos de 600 y 45 0 que definen la direccin de F no son ngulos directores coordenados. Las dos aplicaciones sucesivas de la regla del paralelogra- F = IOOlb mo requeridas para resolver F en las componentes x, y, z, pueden apreciarse en la figura 2.33b. Trigonomtricamente, las magnitudes de las componentes sonFz = 100 sen 600 = 86.6 lb~~;----- yF = 100 cos 600 = 50 lbFx = 50 cos 45 0 = 35.4 lbFy = 50 sen 45 0 = 35.4 lb(a)xAl constatar que Fy tiene el sentido definido por -j, se tieneF = Fx + Fy + FzF = {35.4i - 35.4j + 86.6k} lb Resp.Para demostrar que la magnitud de este vector es en efecto F=IOOlb--- -- F,100 lb, apliquemos la ecuacin 2.6,N~-- Y= ; (35.4)2 + (- 35.4)2 + (86.6)2 - 100 lbSi es necesario, los ngulos direccionales coordenados de F se (b)x pueden determinar a partir de las componentes del vectorunitario que acta en el sentido de F. Por tanto,F Fx. F.. Fu = F = pi + pJ + FZk F = IOO lb=~~rii -~~rij + ~~gk=0.354i - 0.354j + 0.866kde manera quea = cos-1 (0.345) = 69.3 0{3 = cos-1 (-0.354) = 11r(e)r = cos-1 (0.866) = 30.00xFig.2.33Estos resultados se muestran en la figura 2.33c 66. http://carlos2524.jimdo.com/ SECo 2.6 ADICIN Y SUSTRACCIN DE VECTORES CARTESIANOS 49Ejemplo 2.13 _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _-.Dos fuerzas actan sobre el gancho de la figura 2.34a.Especifique los ngulos directores coordenados de F 2 demodo que la fuerza resultante FR acte a lo largo del eje ypositivo y tenga la magnitud 800 N.SOLUCIN Para resolver este problema, la fuerza resultante y sus doscomponentes F y F 2 sern expresadas en forma cartesiana.Entonces, como se muestra en la figura 2.34b, es necesarioque FR = F + F 2Si se aplica la ecuacin 2.11, F = FUF = F cos al i + FI cos fJd + FI cos ylk ~~!H-,--~-------- Y = 300 ~os 45i + 300 cos 600j + 300 cos 1200 k = {212.li + 150j -150k} NFI =300N F 2 =F2uF, =F2xi + F 2J + Fz,kx(a)De acuerdo con el enunciado del problema, la fuerza resul-tante FR tiene 800 N de magnitud y acta en el sentido delvector +j. Por tanto, FR = (800 NX+j) = {800j} NRequerimosFR = F + F2800j = 212.1i,+ 150f - 150k + Fai + F 2yj + Fak800j = (212.1 + F2x)i + (150 + F 2y )j + (- 150 + Fz,)kPara satisfacer esta ecuacin, las componentes corresponpon-dientes i, j, Y k de los lados izquierdo y Iderecho deben seriguales. Esto equivale a decir que las componentes x, y, z, de. F2 = 700 NFR sean iguales a las componentes correspondientesx,y, z, de,,(F + F 2). Por tanto,,/3 2 = 21.8 0,F = 800 N R~~--""",,-, - y -- 0= 212.1 + F 2F2x = -212.1 N 800 = 150 + F 2 x F2y = 650 N 0 =-150+F2xFz, = 150 NxPuesto que se conocen las magnitudes de F z y sus compon-(b)entes, podemos usar la ecuacin 2.11 para determinar a, p, r.-212.1 = 700cos a lXz = COS-( -;t~1 ) = 108 Resp. 650 = 700 cos Pz; Pz = COS-(~~) = 21.8Resp. 150 = 700 cos rr2 = cos-l j~) = 77.6Resp.Fig.2.34Estos resultados se muestran en la figura 2.34b. 67. http://carlos2524.jimdo.com/ 50CAP.2 VECfORES DE FUERZA PROBLEMAS* 2.52. Exprese cada fuerza como vector cartesiano y2.54. Exprese cada vector como vector cartesiano yentonces determine la fuerza resultante FR. Encuen- entonces determine la fuerza resultante FR. Encuen-tre la magnitud y los ngulos directores coordenadostre la magnitud y los ngulos directores coordenadosde la fuerza resultante y dibuje el vector en el sistemade la fuerza resultante y dibuje el vector en el sistemade coordenadas. de coordenadas. F2 = 150 lbF = 5kN - - - - -- - - - --/ y -~----?~~~~--,~---y//////x xProb.2.52 Prob.2.54 2.53. Determine cada fuerza como un vector cartesia- 2.55. El cable al final de la viga ejerce una fuerza de no y entonces determine la fuerza resultante FR. En- 450 lb, como se muestra. Exprese F como vector car- cuentre la magnitud y los ngulos directores coorde- tesiano. nados de la fuerza resultante y dibuje el vector en el sistema de coordenadas. F 2 = 60 N---c--~~~~~~--~---yF ~ 40 N F= 450 lbxProb.2.53 Prob. 2.5S 68. http://carlos2524.jimdo.com/PROBLEMAS51 2.56. La mnsula est sujeta a las dos fuerzas que se2.58. Tres fuerzas actan sobre la armella roscada. Simuestran. Exprese cada fuerza en forma vectorial la fuerza resultante FR tiene magnitud y orientacincartesiana y entonces determine la fuerza resultante como se muestra, determine la magnitud y ngulosFR. Encuentre la magnitud y los ngulos directores directores coordenados de la fuerza F3.coordenados de la fuerza resultante. 2.59. Determine los ngulos directores coordenados de F YFR.xProbs. 2.58/2.59F, = 500 N* 2.60. Las dos fuerzas F y F2 que actan en el extremoProb.2.56del tubo tienen una fuerza resultante FR = {120i} N. Determine la magnitud y los ngulos directores coordenados de F2. 2.57. Se ejercen tres fuerzas sobre el anillo. Determi- ne la magnitud y ngulos directores coordenados de2.61. Determine los ngulos directores coordenados la fuerza resultante. de la fuerza F e indquelos en la figura.F, = OON60F , = 400N - --- yx xProb.2.57Probs. 2.60/2.61 69. http://carlos2524.jimdo.com/52 CAP.2 VEcrORES DE FUERZA 2.62. La fuerza F que acta sobre la estaca tiene una2.66. Un tubo se encuentra sujeto a la fuerza F con componente de 40 N en el plano x - y como se mues- sus componentes que actan sobre los ejes x, y, z, co- tra. Exprese F como vector cartesiano. mo se muestra. Si la magnitud de F es 12 leN,a= 120 y y= 45, determine las magnitudes de sus 2.63. Determine la magnitud y los ngulos directores tres componentes. coordenados de la fuerza F que acta sobre la estaca.2.67. Sobre el tubo se ejerce la fuerza F de compo-nentes F.= 1.5 kN, yFz = 1.25 kN. Si f3= 75" determinela magnitud de F y de Fy ,, ,", . F,,, F : - - - ---i - --/ - - y1 1//1 ,~///40Nxx yProbs. 2.62/2.63 Probs. 2.66/2.67* 2.64. La fuerza F tiene una magnitud de 80 lb Yacta * 2.68. Determine la magnitud y los ngulos directoresen el octante que se muestra, tal que a = 60 Y coordenados de F2, de manera que la resultante deJ = 45. Exprese F como vector cartesiano. las dos fuerzas acte a lo largo del eje x positivo conmagnitud de 350 N.2.65. Si Fx = 200 lb, exprese F como vector cartesiano.2.69. Determine la magnitud y los ngulos directorescoordenados de F2, de manera que la resultante delas dos fuerzas sea cero.F,__ _________,./ /1 // / 1 ///I // 1r - --F 11 11 11 1- ---y: / ~y1 //1 / - -- - -- -- -- - / x / Probs. 2.64/2.6SF I = 180NProbs.2.68/2.69 70. http://carlos2524.jimdo.com/ SECo 2.7 VECfORES DE POSIqN 532.7 Vectores de posicinEn esta seccin presentaremos el concepto de un vector de posi-cin. En la seccin 2.8 se ver que este vector tiene importanciaen la formulacin de un vector de fuerza cartesiano dirigido en-tre dos puntos cualesquiera del espacio y, despus en el captulo4, lo usaremos para encontrar el momento de una fuerza.Coordenadas x, y, z. En todo el texto usaremos un sistemaderecho de coordenadas para dar la referencia de localizacin delos puntos en el espacio. Adems, convengamos, como en mu-chos otros libros tcnicos, en que el eje z tiene direccin directa-mente hacia arriba (la direccin del cenit), de manera que midela altura de un objeto o la altitud de un punto. Siendo as, los~r7~--~~------ Yejes x, y estarn en el plano horizontal, figura 2.35. Los puntosdel espacio se localizan con respecto al origen de coordenadas 0,mediante sucesivas mediciones a lo largo de los ejes x, y, y z. Porejemplo en la figura 2.35, las coordenadas del punto A se obtienen empezando en y midiendo xA = +4 m a lo largo del eje x, 1m 6mYA = +2 -m a lo largo del ejey , y ZA = -6 m a lo largo del ejez. AsA(4, 2, -6). De manera semejante, midiendo a lo largo de los ejesx 1 x, y, z, de hasta B se obtienen las coordenadas de B, esto es,B(O, 2, O). Tambin tenemos C(6, - 1,4).AFig.2.35Vector de posicin. El vector de posicin r se define como unvector fijo que localiza un punto en el espacio con respecto aotro punto. Por ejemplo, si r se extiende del origen de coordena-das, 0, al punto P(x, y, z), figura 2.36a, entonces r se puede ex-presar en forma vectorial cartesiana como r =xi + yj + zkEn particular, ntese cmo la adicin vectorial por "punta de laflecha a punto inicial" de las tres componentes da el vector r, fi-gura 2.36b. Empezando en el origen, 0, se desplaza uno en la di-reccin +i una distancia x, luego y en la direccin +j y, finalmen-te, una distancia z en la direccin +k para llegar al punto p(x, y,z).z___ 1 _ _ ___ __ __ :;1-- - - -- -- - -- / / r P(x, y, z)I: rzk:II O _ ___ ______ _ I~---yIxi ,,/I//x/ (a)(b) Fig.2.36 71. http://carlos2524.jimdo.com/54 CAP.2 VECTORES DE FUERZA En el caso ms general, el vector de posicin puede dirigirse del punto A al punto B en el espacio, figura 2.37a. Como se hizo notar, este vector tambin se designa con el smbolo r. Conven- gamos, sin embargo, que a veces escribiremos este vector con dos subndices para indicar su punto inicial y su punto final, de modo que r tambin se puede escribir rAB Tambin debe observarse que rA Y rB en la figura 2.37a tiene slo un subndice porque su punto inicial es el origen de coordenadas. De la figura 2.37a, a causa de la adicin por punta de la flecha a punto inicial, es necesario quesi se resuelve en r y se expresa rA YrB en forma cartesiana daro (~.13)De modo que las componentes ~ j, k del vector de posicin r pue-den formarse tomando las coordenadas del punto inicial del vector,A (xA, YA. zA1 para restarlas de las coordenadas del extremo final delvector, B(XB.YB, ZB} Nuevamente debe notarse cmo la suma depunta de la flecha a punto inicial de la flecha de estas tres com-ponentes da r, esto es, yendo de A a B, figura 2.37b, primero seavanza (xs-xA) en la direccin +i y despus (YS-YA) en la direccin+j, y finalmente (ZB- ZA) en la direccin +k.yc..- - - - --- y ~-j==~====~--y x (a)(b) Fig.2.37 72. http://carlos2524.jimdo.com/SECo 2.7 VECfORES DE POSICIN55Ejemplo 2.14-------------------------II1IIDetermine la magnitud y direccin del vector de posicinque se extiende deA a B en la figura 2.38a.x x(a)SOLUCIN De acuerdo con la ecuacin 2.13, las coordenadas delpunto inicial A(l, O, - 3) se restan de las coordenadas de lapuntaB(- 2, 2, 3), dandor = (- 2 - l)i + (2 - O)j + [3 - (- 3)]k= {- 3i + 2j + 6k} m Como se aprecia en la figura 2.38b, las tres componentesde r pueden obtenerse tambin de manera ms directa, dndo-se cuenta de que para desplazarse deA a B, uno se mueve a lolargo del eje x {- 3i} m, a lo largo del eje y {2j} m y, finalmen-te, a lo largo del ejez {6k} m. La magnitud de r es por tantoResp.Si se formula un vector unitario en la direccin de r, tenemosu = - = --3. + - J + -6 kr 1 2.r7 77Las componentes de este vector unitario proporcionan losngulos directores coordenados Ba = cos-1( -i J = U5 Resp. yfJ = cos-t~J = 73.40Resp.y= cos-l~) = 31,0y0Resp.(e)Estos ngulos se miden desde la parte positiva de los ejes deun sistema localizado de coordenadas situado en el punto ini-cial de r como se ve en la figura 2.3&.Fig.2.38 73. http://carlos2524.jimdo.com/56 CAP. 2 VECTORES DE FUERZA2.8 Vector de fuerza dirigido a lo largo de una recta Con mucha frecuencia, en los problemas tridimensionales de esttica, la direccin de una fuerza se especifica por medio de dos puntos que determinan su lnea de accin. La figura 2.39 muestra una situacin tal donde la fuerza F se dirige por la cuerdaAB. Podemos formular AB como vector cartesiano, dndonos cuenta de que tiene la misma direccin y sentido que el vector de posicin r dirigido deA a B sobre la cuerda. Esta direccin comn se puede especificar con el vector unitario n = r/r. As, F = =Fu F(fJ Aun cuando hemos representado simblicamente F en la fi

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