79928064-Skripsi-Desin-Kontroler-Menggunakan-Metode-Linear-Quadratic-Regulator-Lqr.pdf

DESAIN KONTROLER

MENGGUNAKAN METODE LINEAR QUADRATIC REGULATOR (LQR)

UNTUK PENGONTROLAN SUHU UAP PADA

SOLAR BOILER ONCE TROUGH MODE

S K R I P S I

Diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Teknik

Disusun oleh :

NOVI ANGGRAINI NIM. 0001060355 – 63

DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL

UNIVERSITAS BRAWIJAYA FAKULTAS TEKNIK

JURUSAN TEKNIK ELEKTRO M A L A N G

2005

DESAIN KONTROLER




S K R I P S I

Diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Teknik

Disusun oleh :


DOSEN PEMBIMBING :

Ir.Retnowati NIP. 131 124 656

Ir.Erni Yudaningtyas, MTNIP. 131 879 035

DESAIN KONTROLER




Disusun oleh :


Skripsi ini telah diuji dan dinyatakan lulus pada Tanggal 11 Juli 2005

MAJELIS PENGUJI

Ir. Chairuzzaini NIP. 130 682 589

Ir. Soeprapto, MT NIP. 132 837 968

Ir. Bambang Siswojo NIP. 132 759 588

Ir. Purwanto, MT NIP. 131 574 847

Mengetahui Ketua Jurusan Teknik Elektro

Ir. Purwanto, MT NIP. 131 574 847

i

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas segala petunjuk dan

pertolonganNya sehingga skipsi yang berjudul “Desain Kontroller Menggunakan

Metode Linear Quadratic Regulator (LQR) untuk Pengontrolan Suhu Uap pada Solar

Boiler Once Trough Mode”ini bisa terselesaikan dengan baik.

Penulis menyadari dalam menyelesaikan skripsi ini tidak lepas dari bantuan

berbagai pihak. Pada kesempatan ini penulis menyampaikan terima kasih kepada :

1. Bapak Ir. Purwanto, MT selaku Ketua Jurusan Teknik Elektro dan Bapak Ir.

2. Heri Purnomo selaku Sekretaris Jurusan Teknik Elektro atas semua sarana dan

prasarananya.

3. Bapak Dipl. Ing. Ir. M. Rusli selaku Ketua kelompok Pengajar Keahlian Teknik

Kontrol.

4. Ibu Ir. Retnowati selaku dosen pembimbing atas arahan, bimbingan, dan nasehat

yang bermanfaat dalam penyusunan skripsi ini.

5. Ibu Ir. Erni Yudaningtyas,MT selaku dosen pembimbing atas arahan,

bimbingan, dan nasehat yang bermanfaat dalam penyusunan skripsi ini.

6. Bapak dan Ibu Dosen Jurusan Teknik Elektro Universitas Brawijaya serta

segenap staf dan karyawan atas segala yang telah diberikan kepada penulis.

7. Ibu tercinta, mbak, dan mas, serta adik-adikku, atas semua dukungan dan

do’anya pada penulis.

8. Teman-teman Elektro ’00, khususnya Mbak Yana, Rizqa, serta teman-teman

paket D serta semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu persatu sehingga

skripsi ini dapat diselesaikan dengan baik.

Masih banyak kekurangan dalam penyusunan skripsi ini, oleh karena itu penulis

berbesar hati menerima kritik dan saran sehingga bisa menyempurnakan skripsi ini.

Harapan penulis semoga skripsi ini bermanfaat dan bisa memberikan masukan yang

berarti bagi yang membaca.

Malang, Juni 2005

Penulis

ii

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR.................................................................................................i

DAFTAR ISI ...............................................................................................................ii

DAFTAR TABEL .......................................................................................................v

DAFTAR GAMBAR...................................................................................................vi

DAFTAR LAMPIRAN...............................................................................................viii

ABSTRAK ...................................................................................................................ix

BAB I. PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang............................................................................................1

1.2. Rumusan Masalah.......................................................................................2

1.3. Tujuan …….. ..............................................................................................2

1.4. Batasan Masalah…………………………………………………………..3

1.5. Sistematika dan Penulisan ..........................................................................3

BAB II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Solar Boiler.................................................................................................5

2.1.1 Definisi Solar Boiler.......................................................................5

2.1.2 Macam-macam Solar Boiler ...........................................................5

2.1.2.1 Once Trough Mode ............................................................5

2.1.2.2 Injection Mode ...................................................................5

2.1.2.3 Recirculation Mode............................................................5

2.1.3 Komponen Dasar Solar Boiler........................................................6

2.1.3.1 Feed Pump ........................................................................6

2.1.3.2 Solar Collector..................................................................7

2.1.4 Proses Pada Solar Boiler ................................................................7

2.2 Sistem Kontrol Loop Tertutup....................................................................9

2.3 Respon Dinamis Sistem..............................................................................10

2.4 Konsep State Dalam Sistem Kontrol ..........................................................11

2.5 Keterkendalian dan Keteramatan................................................................14

2.5.1 Keterkendalian (Controllability).......................................................14

2.5.2 Keteramatan (Observability) ............................................................14

2.6 Konsep Sistem Kontrol Optimal Menggunakan

iii

Metode Linear Quadratic Regulator (LQR) ...............................................14

2.6.1 Teori Regulator Optimal...................................................................16

2.6.2 Linear Quadratic Regulator (LQR) ..................................................16

2.6.2.1 Controller Algebraic Ricatti Equations (CARE) .................17

BAB III. METODOLOGI

3.1. Rancangan Penelitian...................................................................................19

3.1.1 Pengumpulan Data............................................................................19

3.1.2 Pemodelan Matematis Sistem...........................................................19

3.1.3 Analisis Optimal Sistem ...................................................................19

3.1.4 Simulasi Sistem ................................................................................20

3.2. Cara Kerja Penelitian ...................................................................................20

BAB IV. PEMODELAN SISTEM BERDASARKAN DATA PLANT

4.1. Definisi ........................................................................................................21

4.2. Pemodelan Sistem........................................................................................21

4.2.1. Model Matematis Sensor dan Transmitter......................................23

4.2.2. Model Matematis Katup (valve) .....................................................23

4.2.3. Model Matematis Dead Time .........................................................24

4.2.4. Model Matematis Solar Collector ..................................................25

4.2.4.1 Solar Collector bagian Injection Line................................25

4.2.4.2 Solar Collector bagian Feed Line ......................................28

4.3. Uji Keterkontrolan dan Keteramatan Sistem...............................................31

4.4. Respon Sistem .............................................................................................32

4.4.1 Respon Sistem Tanpa Gangguan ......................................................32

4.4.2 Respon Sistem Dengan Gangguan....................................................33

BAB V. DESAIN KONTROLER DAN SIMULASI SISTEM

5.1. Desain Kontroler Menggunakan Metode

Linear Quadratic Regulator (LQR) ............................................................34

5.1.1 Metode Linear Quadratic Regulator (LQR) .....................................34

5.2. Perancangan Regulator Optimal ..................................................................35

5.2.1. Pembuktian Keterkendalian Sistem (Controllability)......................35

5.2.2. Pembuktian Keteramatan Sistem (Observability)............................36

5.2.3. Penentuan Matriks Bobot ................................................................36

5.2.4. Hasil Perhitungan Nilai Umpan Balik Optimal ...............................36

5.3 Simulasi Sistem Kontrol Optimal dengan Paket Program Matlab ...............39

iv

5.3.1 Simulasi Sistem Optimal Dengan Gangguan....................................46

BAB VI. KESIMPULAN DAN SARAN

6.1 Kesimpulan ..................................................................................................48

6.2 Saran ............................................................................................................48

DAFTAR PUSTAKA..................................................................................................50

LAMPIRAN ................................................................................................................51

v

DAFTAR TABEL

Tabel 5.1. Hasil Optimasi Sistem Untuk Berbagai Matriks Bobot Q dan R ............37

Tabel 6.1. Perbandingan Waktu Pencapaian Keadaan Mantap

(time Settling) dan Error Steady State ...................................................48

Tabel 4 Specific enthalpy of the fluid....................................................................52

Tabel 5 Thermal loss factor Ul in LS-3 collectors................................................53

Tabel 6 Average temperature values used in the FFfv controller

for three operating points of the DISS test loop .....................................53

Tabel 7 Design of the FFfv ...................................................................................53

Tabel 8 Outlet steam temperature control with injector valve .............................53

vi

DAFTAR GAMBAR

No.

Gambar 2.1

Gambar 2.2

Gambar 2.3

Gambar 2.4

Gambar 2.5

Gambar 2.6

Gambar 2.7

Gambar 2.8

Gambar 4.1

Gambar 4.2

Gambar 4.3

Gambar 4.4

Gambar 4.5

Gambar 4.6

Gambar 4.7

Gambar 5.1

Gambar 5.2

Gambar 5.3

Gambar 5.4

Gambar 5.5

Gambar 5.6

Gambar 5.7

Gambar 5.8

Gambar 5.9

Gambar 5.10

Gambar 5.11

Gambar 5.12

Judul

Jenis-jenis solar boiler

Konsentrasi sunlight menggunakan parabolic trough collector

Proses pada solar boiler mode once trough mode

Respon system kurang teredam (underdamped)

Sistem dinamika

Representasi sistem dalam bentuk persamaan ruang keadaan

Luasan control area untuk sistem diredam lebih

Sistem kontrol optimal dengan umpan balik keadaan (state

feedback)

Skema loop tertutup solar boiler

Diagram blok sensor-transmitter

Diagram blok control valve

Diagram blok dead time

Diagram blok keseluruhan sistem

Respon solar boiler tanpa gangguan

Respon solar boiler dengan gangguan

Respon solar boiler untuk q =0,9x10-4 dan r = 90












Hal

6

7

8

11

11

15

15

18

22

23

24

25

31

33

33

39

39

40

40

41

41

42

42

43

43

44 44

vii

Gambar 5.13

Gambar 5.14

Gambar 5.15

Gambar 5.16

Gambar 5.17




Blok diagram sistem dengan gangguan

Respon solar boiler terhadap gangguan untuk q =0,945x10-4

dan r = 100

45

45

46

46

47

viii

DAFTAR LAMPIRAN

Lampiran A. Nomenclature

Lampiran B. Blok diagram Solar Boiler

Lampiran C. Grafik Perhitungan dead time

ix

ABSTRAK

NOVI ANGGRAINI, 2005. Desain Kontroler Menggunakan Metode Linear Quadratic Regulator (LQR) untuk Pengontrolan Suhu Uap Pada Solar Boiler Once Trough Mode. Skripsi Jurusan Teknik Elektro, Fakultas Teknik Universitas Brawijaya. Dosen Pembimbing : Ir. Retnowati dan Ir. Erni Yudaningtyas, MT.

Solar boiler adalah suatu suatu peralatan yang dapat dimanfaatkan untuk menyerap energi panas matahari dan energi panas tersebut diteruskan ke pipa-pipa yang berisi air sehingga terjadi peningkatan suhu dari air yang berada di dalam pipa tersebut. Pada solar boiler once trough mode, air dari preheater dipanaskan, dievaporasi, dan diubah menjadi uap melalui proses sirkulasi. Pada mode ini injektor air diletakkan di depan kolektor terakhir (last collector). Feed preheater bekerja menghasilkan air dengan suhu 1800-2100C. Air ini kemudian dipanaskan di dalam kolektor melalui feed line dan injector line sehingga dihasilkan uap dengan suhu 3000C.

Pengontrolan suhu uap pada solar boiler once trough mode bertujuan untuk

mengontrol kerja solar boiler once trough mode agar dapat menghasilkan uap dengan suhu mendekati nilai setting, sehingga suhu uap yang sesuai dapat diperoleh dalam waktu singkat dan dengan mempergunakan energi yang sedikit serta menghemat biaya produksi.

Respon sistem mencapai keadaan mantap ts (error 0%) sebesar 2216.5 detik.

Sedangkan respon sistem dengan adanya gangguan, mencapai keadaan mantap ts(error 0%) sebesar 2223 detik. Oleh karena itu, diperlukan adanya pengendalian optimal agar respon sistem menjadi lebih baik.

Dari hasil analisis dan simulasi diperoleh kesimpulan hasil yang paling optimal

pada nilai matrik bobot Q = 0.945x10-4 dan matrik bobot R = 100. Respon sistem optimal tanpa gangguan mencapai keadaan mantap ts(error 0%) sebesar 1582 detik. Respon sistem optimal dengan adanya gangguan mencapai keadaan mantap ts (error 0%) sebesar 1511.2 detik. Jadi penerapan pengendalian optimal terhadap solar boiler once trough mode dapat dilakukan dengan baik, ditandai dengan respon sistem yang lebih baik.

x

1

BAB I

PENDAHULUAN

I. 1. Latar Belakang

Energi fosil khususnya minyak bumi, merupakan sumber energi utama dan sumber

devisa negara. Kenyataan menunjukkan bahwa cadangan energi fosil jumlahnya terbatas.

Sementara itu, konsumsi energi terus meningkat sejalan dengan laju pertumbuhan ekonomi

dan pertambahan penduduk. Oleh karena itu diperlukan pengembangan dalam pemanfaatan

dan penerapan sistem energi surya.

Sumber energi matahari adalah energi radiasi yang dipancarkan secara langsung

dari matahari ke bumi, berupa energi thermal akibat temperatur permukaan matahari yang

sangat tinggi. Energi matahari mempunyai beberapa keuntungan, yaitu bebas polusi (bersih

dan ramah lingkungan), terdapat dimana saja, tersedia dengan cuma-cuma, intensitas

ketersediaannya cukup besar dan bersifat terbarukan.

Efektifitas pemanfaatan energi matahari secara langsung dapat ditingkatkan dengan

menggunakan pengumpul-pengumpul energi, yang biasa disebut kolektor. Dengan konversi

fotothermal, maka energi panas matahari dapat dimanfaatkan untuk memanaskan air.

Sebuah kolektor surya, yaitu suatu peralatan yang dapat dimanfaatkan untuk menyerap

energi panas matahari dan energi panas tersebut diteruskan ke pipa-pipa yang berisi air

sehingga terjadi peningkatan suhu dari air yang berada di dalam pipa tersebut. Dengan

menggunakan alat semacam ini diharapkan penyerapan panas dari matahari semakin besar

dan efektif sehingga dapat digunakan untuk pemanfaatan yang lebih besar.

Kolektor surya yang paling banyak dikembangkan untuk proses direct steam

generation ini adalah jenis “parabolic trough collector”. Kolektor surya ini merupakan

jenis kolektor yang bisa beroperasi pada suhu sampai dengan lebih kurang C dengan

konsentrasi radiasi matahari langsung ke pipa melalui fluida yang dipompa dan dipanaskan.

Saat ini teknologi “parabolic trough collector” yang bekerja dalam range suhu antara 200-

C menggunakan air sebagai fluida yang bekerja dalam pipa penyerap. Fluida yang

dipanaskan dan melewati pipa penyerap dari kolektor surya lalu mengkonversi radiasi

langsung matahari menjadi energi panas..

0400

0400

2

Sistem kontrol merupakan sebuah sistem yang terdiri atas satu atau beberapa

peralatan yang berfungsi untuk mengendalikan sistem lain yang berhubungan dengan

sebuah proses. Pada sistem kontrol dasar, telah dikenal sistem kontrol proporsional,

integral, dan diferensial. Dalam perkembangannya, ketiga sistem kontrol tersebut digabung

menjadi satu, yaitu menjadi sistem kontrol Proporsional-Integral-Differensial (PID).

Untuk mengendalikan sistem proses yang kompleks, seperti solar boiler ini, sistem

kontrol PID mempunyai banyak kelemahan. Sistem kontrol PID hanya dapat digunakan

untuk sistem proses yang linier, dengan satu masukan dan satu keluaran. Untuk mengatasi

masalah tersebut, maka dikembangkan sistem kontrol yang lebih canggih, yaitu sistem

kontrol optimal.

Sistem kontrol optimal dapat digunakan baik untuk sistem linier, maupun sistem

non linier, dengan satu atau banyak masukan dan keluaran. Selain itu, pada sistem kontrol

optimal, kondisi dan gangguan pada sistem sangat diperhatikan untuk dapat mencapai hasil

yang paling baik.

Oleh sebab itulah, dalam penulisan skripsi ini, sistem kontrol optimal dipilih

sebagai metode yang digunakan untuk mengendalikan suhu uap pada solar boiler.

Dengan harapan, dengan digunakannya metode ini, akan dihasilkan kinerja sistem yang

paling baik

I. 2. Rumusan Masalah

Rumusan masalah ditekankan pada:

1. Bagaimana merancang dan menentukan parameter kontroler pada pengontrolan suhu

uap yang keluar dari solar boiler, dengan menggunakan metode Linier Quadratic

Regulator (LQR) sehingga sistem dapat bekerja secara optimal untuk menghasilkan

suhu uap sesuai dengan nilai setting yang diinginkan.

2. Bagaimana respon solar boiler sebelum dan sesudah diterapkannya sistem

pengendalian optimal ini.

I. 3. Tujuan

Tujuan penulisan skripsi ini adalah untuk mendesain kontroler dengan metode

Linear Quadratic Regulator dalam penalaan kontroler sehingga sistem kontrol suhu uap

pada solar boiler dapat bekerja secara optimal.

3

I. 4. Batasan Masalah

Pada penyusunan skripsi ini, dilakukan pembatasan-pembatasan masalah sebagai

berikut:

1. Parameter sistem yang digunakan berdasarkan data-data sekunder yang diperoleh dari

jurnal Platforma Solar de Almeria (PSA).

2. Pembahasan hanya mengenai penerapan sistem kontrol optimal pada solar boiler model

Once Through.

3. Model matematika plant bersifat linier dan time invariant.

4. Pengujian sistem menggunakan simulasi dengan memakai software matlab

5. Tidak membahas proses konversi energi yang terjadi selama proses produksi uap.

6. Hanya membahas perancangan sistem kontrol optimal dengan menggunakan metode

Linear Quadratic Regulator (LQR).

7. Gangguan (disturbance) pada sistem hanya berupa gangguan deterministik yang terjadi

akibat adanya kecepatan aliran masukan (feed) yang melalui feed valve, suhu air pada

feed valve, dan suhu air pada injector.

9. Analisis hasil perancangan hanya berdasarkan hasil simulasi sistem.

I. 5. Sistematika Penulisan

Sistematika penulisan yang dipakai pada pembuatan skripsi ini adalah:

Bab I PENDAHULUAN

Bab ini berisi latar belakang masalah, perumusan masalah, tujuan, batasan

masalah, dan sistematika penulisan.

Bab II DASAR TEORI

Pada bab ini dijelaskan mengenai dasar-dasar teori sistem kontrol optimal,

diantaranya mengenai sistem kontrol loop tertutup, keterkendalian dan

keteramatan, konsep sistem kontrol optimal, dan penyajian ruang-keadaan

sistem.

Bab III METODOLOGI

Bab ini berisi penjelasan mengenai metode yang digunakan dalam

menyelesaikan permasalahan yang diangkat dalam skripsi ini.

4

Bab IV PEMODELAN DAN OPTIMASI SISTEM

Bab ini berisi pembahasan mengenai penurunan rumus untuk komponen-

komponen penyusun solar boiler berikut bentuk persamaan ruang-

keadaan, serta analisis optimalnya.

Bab V PENGUJIAN DAN SIMULASI SISTEM

Bab ini berisi pengujian dan simulasi sistem.

Bab VI KESIMPULAN DAN SARAN

Bab ini berisi kesimpulan dan saran dari keseluruhan penyusunan skripsi

ini.

5

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Solar Boiler

2.1.1 Definisi Solar Boiler

Solar boiler adalah suatu suatu peralatan yang dapat dimanfaatkan untuk menyerap

energi panas matahari dan energi panas tersebut diteruskan ke pipa-pipa yang berisi air

sehingga terjadi peningkatan suhu dari air yang berada di dalam pipa tersebut. Untuk

memanfaatkan energi matahari secara efektif dan maksimal maka digunakan pengumpul

panas yang disebut kolektor. Prinsip dasar dari kolektor adalah jika terdapat energi

gelombang pendek yang dipancarkan oleh sinar matahari diserap oleh suatu benda

berwarna hitam, maka sebagian besar energi radiasi diserap dan diubah menjadi energi

panas (Kreider,1982).

2.1.2 Macam-macam Solar Boiler

Berdasarkan cara kerjanya solar boiler dibedakan menjadi tiga macam, yaitu

(L.Valenzuela,2004) :

2.1.2.1 Once Trough mode

Pada tipe ini, cairan yang akan diproses berupa liquid disebut feedwater. Feedwater

ini dipanaskan di dalam preheater, kemudian dievaporasi sehingga menjadi superheated

steam melalui proses di dalam kolektor surya. Keuntungan dari sistem ini adalah sistem

yang paling sederhana, tetapi parameter-parameter dari uap kering yang merupakan outlet

dari kolektor sulit untuk dikontrol. Pada mode ini injector airnya diletakkan di depan

kolektor terakhir bertujuan untuk mengontrol suhu uap outletnya.

2.1.2.2 Injection mode

Pada mode ini air diinjeksi pada beberapa tempat di sepanjang kolektor. Sistem

pengukuran yang diperlukan untuk proses kontrol pada mode ini tidak bekerja dengan baik

selama eksperimen.

2.1.2.3 Recirculation mode

6

Merupakan mode paling konservatif dari ketiganya, separator antara uap dan air

ditempatkan diakhir bagian penguapan dari kolektor surya. Jumlah air yang masuk ke

separator lebih besar daripada jumlah air yang bisa dievaporasi. Pada intermediate

separator, luapan air disirkulasi ke dalam loop kolektor dan dicampur dengan air di

preheater. Ketiga mode tersebut dapat dilihat pada gambar 2.1.

Gambar 2.1. jenis-jenis solar boiler

Sumber : IEEE Control System Magazine, 2004

Ketiga mode tersebut mempunyai kelebihan dan kekurangan. Biaya operasional dan

kompleksitas dari Once Trough mode adalah yang paling rendah. Mode ini mempunyai

performansi yang terbaik, tetapi sulit untuk dikontrol (memerlukan sistem kontrol yang

lebih kompleks).

2.1.3 Komponen Dasar Solar Boiler

Bagian-bagian utama pada solar boiler :

2.1.3.1. Feed pump (pompa fluida)

Pompa yang digunakan adalah jenis pompa sentrifugal. Pompa sentrifugal

mempunyai sebuah impeller (baling-baling) untuk mengangkat zat cair dari tempat yang

lebih rendah ke tempat yang lebih tinggi. Impeller pompa berfungsi memberikan kerja

kepada zat cair sehingga energi yang dikandungnya menjadi bertambah besar. Jadi pompa

sentrifugal dapat mengubah energi mekanik dalam bentuk kerja poros menjadi energi

fluida. Energi inilah yang mengakibatkan pertambahan head tekanan, head kecepatan, dan

head potensial pada zat cair yang mengalir secara kontinyu.

7

2.1.3.2 Solar Collector

Parabolic trough collector terdiri dari luasan kaca lengkung dengan konsentarasi

sinar matahari ke titik api. Parallel collector dibangun antara 300-600 meter sepanjang

collector row.Pada sistem ini, aliran fluida panas melewati absorber tube (tabung

penyerap). Tabung ini kemudian memanaskan fluida hingga 3000C sehingga dihasilkan

uap air untuk diteruskan ke steam separator. Gambar permukaan kolektor surya bisa dilihat

pada gambar 2.2.

Gambar 2.2 Konsentrasi sunlight menggunakan parabolic trough collector


2.1.4 Proses Pada Solar Boiler

Cairan yang akan diproses berupa liquid disebut feedwater. Awalnya feedwater ini

dipompa menju pipa-pipa pembawa. Kemudia air dalam pipa akan dialirkan ke kolektor

surya untuk dipanaskan sehingga menjadi uap..

Proses Pada Parabolic Trough Collector merupakan proses pemanasan fluida secara

radiasi untuk menghasilkan uap panas. Uap yang dihasilkan sebagai hasil proses dari

kolektor surya tersebut masih merupakan uap basah dan ditampung di dalam steam

separator. Untuk memperoleh uap yang kering, uap basah tersebut dipanaskan kembali di

8

dalam Super Heater untuk menghasilkan uap kering dengan tekanan dan suhu tertentu. Uap

tersebut digunakan untuk memutar turbin. Uap bekas memutar turbin kemudian dialirkan

ke kondensor yang dikondensasikan agar menjadi air kembali. Proses ini ditunjukkan pada

gambar 2.3.

Gambar 2.3 proses pada solar boiler mode once trough


2.1.4.1 Cara Kerja Solar Boiler Once Trough mode

Pada solar boiler once trough mode, air dari preheater dipanaskan, dievaporasi,

dan diubah menjadi uap kering melalui proses sirkulasi dari inlet sampai outlet kolektor.

Pada mode ini injektor air diletakkan di depan kolektor terakhir (last collector).

Feed preheater bekerja menghasilkan air dengan suhu 1800-2100C. Air ini

kemudian dipanaskan di dalam kolektor melalui feed valve dan injector sehingga

menghasilkan uap basah dengan suhu 3000C.

Keseimbangan energi pada kolektor menggunakan kaidah:

{enthalpy out}-{enthalpy in}= {energy collected}-{losses}

9

ELAhmhm colcolcolinjinjoutinj η=−

dengan : minj = aliran air melalui injektor (kg/s)

h = enthalpy (kJ/kg)

ηcol = efisiensi kolektor

Acol = celah kolektor (m)

Lcol = panjang kolektor (m)

E = intensitas radiasi matahari (W/m2)

2.2 Sistem Kontrol Loop Tertutup

Sistem merupakan kombinasi dari beberapa komponen yang bekerja bersama-sama

dan mempunyai suatu tujuan tertentu (Ogata, 1997:4). Sistem kontrol merupakan suatu

sistem yang terdiri dari beberapa sub sistem yang berfungsi mengendalikan suatu

plant/proses. Sistem kontrol sudah berkembang sejak awal abad ke-20, yaitu dengan

diketemukannya kontroler proporsional, integral dan differensial. Dalam

perkembangannya, ketiga sistem tersebut digabung menjadi kontroler PID. Dalam

prakteknya, sistem kontrol itu sendiri mengalami gangguan. Gangguan (disturbance) adalah

sinyal yang tidak diinginkan tetapi mempunyai pengaruh keluaran yang merugikan pada

keluaran sistem (Ogata, 1997:4).

Untuk mengendalikan proses yang kompleks, seperti proses pada industri semen,

industri kimia, dan lain-lain maka kontroler PID mempunyai banyak kelemahan.

Sistem kontrol PID hanya dapat digunakan untuk proses yang berbentuk linier dengan satu

masukan dan satu keluaran (SISO). Untuk mengembangkan hal ini dikembangkan sistem

kontrol yang lebih baik, yaitu sistem kontrol optimal.

Teori kontrol modern berbeda dengan teori kontrol konvensional. Teori kontrol

modern dapat diterapkan pada sistem multi masukan multi keluaran, yang kondisinya linier

ataupun tak linier, dengan parameter sistem konstan atau berubah terhadap waktu.

Sedangkan teori kontrol konvensional hanya dapat diterapkan pada sistem satu masukan

satu keluaran dengan parameter konstan.

Teori kontrol konvensional menggunakan metode desain coba-coba yang pada

umumnya tidak menghasilkan solusi yang optimal. Sebaliknya teori kontrol modern

memungkinkan sistem yang mempunyai beberapa masukan dan keluaran, yang dapat saling

10

berkaitan. Berdasarkan pandangan ini maka pendekatan yang paling sesuai untuk analisis

sistem adalah pendekatan ruang keadaan (state space).

Teori kontrol konvensional berdasarkan pada hubungan masukan-keluaran

(fungsi alih), sedangkan teori kontrol modern berdasarkan pada deskripsi persamaan sistem.

Persamaan sistem yang dimaksud adalah persamaan differensial orde n yang telah tereduksi

menjadi n buah persamaan differensial berorde satu.

2.3 Respon Dinamis Sistem

Dalam berbicara mengenai sistem kontrol, masalah yang menjadi pokok perhatian

adalah :

a. Kestabilan dan kemampuan sistem meredam gangguan. Sistem yang stabil

mempunyai akar-akar persamaan karakteristik di sebelah kiri bidang s.

b. Delay time (td) : waktu yang dibutuhkan oleh respon untuk mencapai ½ harga akhir

pada saat lonjakan pertama.

c. Rise time (tr): waktu yang dibutuhkan oleh respon untuk naik dari 10% menjadi

90%, 5% menjadi 95%, atau 0% menjadi 100% dari nilai akhir. Untuk sistem orde

dua redaman kurang (underdamped), biasanya digunakan waktu naik 0-100%,

sedangkan untuk sistem redaman lebih (overdamped), biasanya digunakan waktu

naik 10-90%.

d. Settling time (ts) : waktu yang dibutuhkan oleh respon untuk mencapai harga

tertentu dan tetap dalam nilai akhir (biasanya 5% atau 2%).

e. Maximum overshoot (Mp) : harga puncak maksimum dari kurva respon yang

diukur dari satu. Jika harga keadaan mantap respon tidak sama dengan satu, maka

dapat digunakan persen maximum overshoot.

f. Peak time (tp) : waktu yang diperlukan sistem untuk mencapai lonjakan maksimum.

g. Steady – state error : sinyal kesalahan yang merupakan selisih dari nilai reference

dengan nilai sebenarnya pada waktu tak terhingga.

Contoh ini bisa dilihat secara jelas pada gambar 2.4.

11

Gambar 2.4. Respon Sistem Kurang Teredam (Underdamped) ---------------------------------------------------------------------------

Sumber : Ogata K, 1997:286

Mp = overshoot maximum tp = peak time td = delay time ts = settling time tr = rise time

2.4 Konsep State dalam Sistem Kontrol

Untuk menganalisa sistem pengendalian optimal, terlebih dahulu harus didapatkan

persamaan (model matematika) dari sistem yang akan mewakili unjuk kerja dari sistem

tersebut. Dari persamaan ini kemudian direpresentasikan ke dalam persamaan ruang

keadaan (state space).

Gambar 2.5 Sistem dinamika

--------------------------------------- Sumber : Ogata K., 1997:66

Sistem

y(t) u(t)

12

Pada sistem dinamika yang ditunjukkan Gambar 2.5., keluaran y(t) untuk t > t1

tergantung pada nilai y(t1) dan masukan u(t) untuk t > t1. Sistem dinamika harus melibatkan

elemen-elemen yang mengingat nilai masukan untuk t > t1. Karena integrator dalam sistem

kontrol waktu kontinyu bekerja sebagai alat pengingat (memory device), maka keluaran dari

integrator demikian dianggap sebagai variabel yang menentukan kedudukan internal dari

sistem dinamika. Jadi, keluaran dari integrator bekerja sebagai variabel keadaan. Jumlah

variabel keadaan untuk menentukan dinamika sistem secara lengkap adalah sama dengan

jumlah integrator yang terlibat dalam sistem (Ogata, 1997:67).

Anggap sistem dengan banyak masukan, banyak keluaran melibatkan n integrator.

Anggap juga bahwa terdapat r masukan u1(t),u2(t),…,ur(t) dan m keluaran

y1(t),yx2(t),…,ym(t). Tetapkan n keluaran integrator sebagai variabel keadaan

x1(t), x2(t),…,xn(t). Sehingga sistem dapat dinyatakan dalam persamaan (2.1).

)tuuuxxxftx rn ;,,,;,,,()( 212111 ΚΚ=•

(2.1)

)tuuuxxxftx rn ;,,,;,,,()( 212122 ΚΚ=•

ΜΜ

)tuuuxxxftx rnnn ;,,,;,,,()( 2121 ΚΚ=•

Keluaran y1(t), y2(t),…,ym(t) diberikan oleh persamaan (2.2).

)tuuuxxxgty rn ;,,,;,,,()( 212111 ΚΚ=

(2.2)

)tuuuxxxgty rn ;,,,;,,,()( 212122 ΚΚ=

ΜΜ

)tuuuxxxgty rnmm ;,,,;,,,()( 2121 ΚΚ=

jika didefinisikan

13

x(t) = ; f(x,u,t) = ; u(t) =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

)(

)()(

2

1

tx

txtx

n

Μ

))

)⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

tuuuxxxf

tuuuxxxftuuuxxxf

rnn

rn

rn

;,,,;,,,(

;,,,;,,,(;,,,;,,,(

2121

21212

21211

ΚΚΜ

ΚΚΚΚ

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

)(

)()(

2

1

tu

tutu

r

Μ

y(t) = dan g(x,u,t) =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

)(

)()(

2

1

ty

tyty

m

Μ

))

)⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

tuuuxxxg

tuuuxxxgtuuuxxxg

rnm

rn

rn

;,,,;,,,(

;,,,;,,,(;,,,;,,,(

2121

21212

21211

ΚΚΜ

ΚΚΚΚ

maka persamaan (2.1) dan (2.2) menjadi persamaan (2.3).

),,()(),,()(

tuxgtytuxftx

==

•

(2.3)

dengan Persamaan (2.3) adalah persamaan keadaan dan persamaan keluaran. Bila fungsi

vektor f dan/atau g eksplisit terhadap waktu t, maka sistem disebut sistem yang bervariasi

terhadap waktu.

Bila Persamaan (2.3) dilinearkan terhadap keadaan operasi, maka diperoleh

persamaan keadaan terlinearkan dan persamaan keluaran menjadi persamaan (2.4).

)()()()()()()()()()(tutDtxtCtytutBtxtAtx

+=+=

•

(2.4)

dengan A(t) disebut matriks keadaan, B(t) matriks masukan, C(t) matriks keluaran, dan

D(t) matriks transmisi langsung.

Bila fungsi vektor f dan g tidak eksplisit terhadap waktu t, maka sistem disebut sistem invarian waktu. Dalam hal ini, Persamaan (2.3) dapat disederhanakan menjadi permaan (2.5).

),()(),()(

uxgtyuxftx

==

•

(2.5)

Persamaan (2.4) dapat dilinearkan di sekitar kedudukan operasi menjadi persamaan (2.6).

)(.)(.)()(.)(.)(tuDtxCtytuBtxAtx

+=+=

•

(2.6)

14

2.5 Keterkendalian dan Keteramatan 2.5.1 Keterkendalian (Controllability)

Suatu sistem dikatakan dapat dikendalikan jika dimungkinkan untuk mendapatkan suatu vektor kendali (u) yang dalam waktu berhingga dapat membawa sistem tersebut dari suatu kondisi awal x(0) ke kondisi lain x(f).

Matriks keterkendalian: [ B | AB | …..A(n-1)B ] (2.7) Agar sistem dapat dikendalikan maka : 1. Tidak ada kolom yang merupakan kelipatan kolom lainnya. 2. Nilai determinan tidak sama dengan nol.

2.5.2 Keteramatan (Observability)

Suatu sistem dikatakan dapat teramati apabila setiap keadaan awal x(0) dapat

ditentukan oleh pengamatan y(kT) selama periode waktu terhingga.

Matriks keteramatan: [ CT | ATCT | ….. | (AT)n-1CT ] (2.8)

Agar sistem dapat dikendalikan maka :

1. Tidak ada kolom yang merupakan kelipatan kolom lainnya.

2. Nilai determinan tidak sama dengan nol.

2.6 Konsep Sistem Kontrol Optimal Menggunakan Metode Linear Quadratic

Regulator (LQR)

Sistem optimal adalah sistem yang mempunyai unjuk kerja terbaik (best

performance) terhadap suatu acuan tertentu. Sistem kontrol optimal memerlukan adanya

suatu kriteria optimasi yang dapat meminimumkan hasil pengukuran dengan deviasi

perilaku sistem terhadap perilaku idealnya (Sumber: Frank L.Lewis, 1996).

Pengukuran tersebut dilakukan dengan menentukan indeks performansi, yang

merupakan suatu fungsi dari suatu harga yang dapat dianggap menunjukkan seberapa besar

kinerja sistem yang sesungguhnya sesuai dengan kinerja yang diinginkan. Indeks

performansi merupakan tolak ukur suatu sistem kontrol optimal. Sistem akan optimal bila

nilai indeks performansinya adalah minimum.

∫=tf

ti

dttuxLJ ),,( bila J minimum, maka sistem optimal. (2.9)

Supaya sistem tersebut dapat dikontrol, maka perlu dibuat model matematis yang

menghubungkan antar masukan (input) dan keluaran (output). Pada sistem kontrol optimal

15

model yang banyak digunakan adalah persamaan keadaan. Representasi system dalam

bentuk persamaan ruang keadaanbisa dilihat pada gambar 2.6. Dalam persamaan keadaan

persamaan diferensial berorde satu secara simultan, dan ditulis dalam notasi vektor matriks:

[X]’ = [A][X] + [B][U] (2.10)

[Y] = [C][X] + [D][U]

Gambar 2.6. Representasi sistem dalam bentuk persamaan ruang keadaan. ------------------------------------------------------------------------------------------- Sumber : Ogata, 1997 :68

Hubungan persamaan keadaan dengan fungsi alih sistem :

T (s) = C(SI – A) -1B + D (2.11)

Dengan menggunakan model persamaan keadaan maka sistem kontrol optimal dapat

diterapkan pada sistem atau proses yang lebih kompleks.

Cara untuk mengukur kualitas respon transien pada sistem kontrol yang diberi input

unit step yaitu dengan control area. Performansi sistem terbaik ditandai apabila harga

keluaran y(t) mendekati nilai setting r(t), sehingga luasan error E = Y – C (mendekati nol).

Pengendali deterministik membutuhkan variabel keadaan secara lengkap untuk

membangkitkan sinyal kontrol optimal dengan jalan meminimumkan suatu fungsi yang

disebut cost function. Cost function ini mewakili indeks performasi yang berfungsi sebagai

tolak ukur untuk meminimumkan luasan error. Contoh luasan control area bisa dilihat pada

gambar 2.7.

Gambar 2.7. Luasan control area untuk sistem diredam lebih.

----------------------------------------------------------------------------- Sumber : D’Azzo Houpis, 1988:546

16

2.6.1 Teori Regulator Optimal

Dalam beberapa proses, variabel yang dikontrol akan mengalami deviasi karena

adanya gangguan. Regulator kontrol dirancang untuk melakukan kompensasi terhadap

gangguan.

Linear Quadratic Control merupakan salah satu metode dalam perancangan sistem

kontrol optimal. Plant diasumsikan bersifat sistem linier, dalam bentuk persamaan keadaan,

dan fungsi obyektif adalah fungsi kuadratik dari keadaan plant dan sinyal input kendali.

Permasalahan dapat dirumuskan dan dipecahkan pada kawasan frekuensi menggunakan

fungsi alih.

Kelebihan penggunaan formula Linear Quadratic adalah pada kemudahan analisa

dan pengimplementasiannya. Beberapa masalah yang biasa diselesaikan dengan metode ini

adalah masalah minimisasi waktu, minimisasi bahan bakar, dan lain-lain.

∫∞

=0

2dteJ (2.12)

[ ]∫∞

+=02

1 RUUQXXJ TT dt (2.13)

Q = matriks simetris, semi definit positif, real (Q > 0)

R = matrik simetris, definit positif, real (R > 0)

Permasalahannya adalah bagaimana meminimumkan suatu cost function J. Hal ini

dikenal dengan permasalahan optimasi sistem dengan metode Linear Quadratic Regulator

(LQR). Jika sistem tersebut skalar, maka cost function menjadi persamann (2.14).

[ ]dtruuqxxJ TT∫∞

+=02

1 (2.14)

J merupakan representasi dari jumlah energi dan sinyal kontrol.

2.6.2 Linear Quadratic Regulator (LQR)

Metode optimasi dengan linear quadratic regulator (LQR) adalah dengan

menentukan sinyal masukan yang akan memindahkan suatu state sistem linier dari kondisi

awal x(t0) menuju ke suatu kondisi akhir x(t) yang meminimumkan suatu indeks unjuk kerja

performansi kuadratis. Cost functional yang dimaksud adalah waktu integral dari bentuk

kuadratis pada vektor keadaan (state) x dan vektor masukan u seperti pada persamaan :

17

[ ]RUUQXX TT + dimana Q adalah matriks semi definit positif dan R adalah matriks

definit positif. Dengan dasar seperti diatas, variasi parameter dari masalah perancangan

linear quadratic regulator dapat ditentukan, juga untuk kondisi akhir, yang mungkin dapat

berpengaruh pada cost function.

Prinsip penggunaan metode LQR adalah memperoleh sinyal kendali optimal dari

umpan balik keadaan (state feedback) u= -[k].[x]. Matrik umpan balik k diperoleh dengan

memecahkan persamaan Riccati. Salah satu kendala penggunaan metode LQR adalah

pemecahan persamaan Riccati yang tidak mudah jika diselesaikan secara manual, karenaya

dibutuhkan bantuan komputer, dalam hal ini dengan paket program Matlab.

2.6.2.1 Controller Algebraic Ricatti Equations (CARE)

Untuk sistem linier, time-invariant, dapat diturunkan persamaan Aljabar Riccati

untuk mencari solusi optimal sebagai berikut:

[∫∞

+=02

1 RUUQXXJ TT ] dt (2.15)

H(x,u, λ ,t) = g(x,u,t) + λ T f(x,u, λ ,t) (2.16)

H(x, λ ,t) = 21 (xTQx + uTRu) + λ T(Ax + Bu) (2.17)

Kondisi optimal: 0=∂∂UH (2.18)

Persamaan state: λ∂

∂=

• Hx (2.19)

Persamaan costate: xH∂∂

−=•

λ (2.20)

Dengan menggunakan aturan diferensiasi matriks dan vektor, persamaan berikut

menjadi:

BuAxx +=•

(2.21)

λλ TAQx +=−•

(2.22)

u* = - R -1BT λ dengan u* merupakan vektor kontrol optimal.

Sepasang persamaan differensial diatas membentuk dua nilai syarat batas, karena

kondisi pencampuran syarat batas tersebut, maka persamaan tersebut untuk diselesaikan

18

secara numerik. Dengan mensubstitusikan persamaan kontrol optimal ke dalam persamaan

state, kita dapatkan:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −

λλλx

Hx

AQBBRAx

T

T1

''

(2.23)

H disebut matriks Hamiltonian dan sangat berperan penting dalam teori LQR.

Dengan menggunakan substitusi λ = Px, kemudian dilakukan diferensiasi pada kedua ruas

diperoleh:

PxAQxPxBPBRPAxxdtdP

dtdxPx

dtdP

dtd TT −−=−+=+= −1λ (2.24)

Persamaan (3.24) harus dapat memenuhi untuk semua nilai x. Syarat cukup untuk kontrol

optimal matriks P harus memenuhi:

01 =−++= − PBPBRQPAPAdtdP TT (2.25)

Persamaan diatas dikenal sebagai Persamaan Riccati (Riccati Equation). Persamaam

Riccati merupakan persamaan differensial orde pertama yang bersifat non linier. Formulasi

dan solusi masalah LQR pada waktu berhingga (finite), dengan nilai umpan balik keadaan.

u(t) = -[k].x(t) (2.26)

k(t) = R -1BTP (2.27)

dengan syarat matriks A dan B, controllable dan observable. Blok diagram system kontrol

optimal dengn umpan balik keadaan dapat dilihat pada gambar 2.8.

Gambar 2.8. Sistem kontrol optimal dengan umpan balik keadaan (state feedback)

----------------------------------------------------------------------------------------------------- Sumber : D’Azzo Houpis, 1988:553

19

BAB III

METODOLOGI

3. 1. Rancangan Penelitian

Untuk merealisasikan tujuan yang ingin dicapai dalam penulisan skripsi ini,

langkah-langkah yang akan dilakukan adalah sebagai berikut:

3.1.1. Pengumpulan Data

Data yang dikumpulkan diperoleh dari jurnal IEEE Control System Magazine.Data-

data tersebut meliputi sistem yang akan diteliti, parameter-parameter, dan komponen-

komponen yang menyusun sistem tersebut.

3.1.2. Pemodelan Matematik Sistem

Langkah-langkah yang dilakukan untuk mendapatkan model matematis sistem

antara lain adalah sebagai berikut:

- menentukan sistem yang akan diteliti dan komponen-komponen yang menyusun

sistem tersebut

- Setelah diketahui komponen-komponen penyusun sistem beserta parameter-

parameternya, maka sistem dapat dimodelkan menjadi sebuah persamaan

matematis. Dengan memasukkan data-data sistem pada persamaan matematis

tersebut, dan mentransformasi-Laplacekannya, maka akan didapatkan fungsi alih

sistem. Fungsi alih sistem ini, kemudian diubah ke bentuk persamaan ruang-

keadaan.

3.1.3. Analisis Optimal Sistem

Analisis optimal bertujuan untuk mendapatkan gain kontrol dan estimator yang

memenuhi syarat-syarat pengontrolan optimal.

1. Dari fungsi alih sistem yang telah diubah ke bentuk persamaan keadaan, dilakukan

pemeriksaan, apakah sistem memenuhi syarat keteramatan dan keterkontrolan. Jika

tidak maka berarti sistem tidak dapat dikontrol. Jika ya, maka proses dapat dilanjutkan.

2. Menentukan indeks performansi sistem. Indeks performansi adalah suatu tolok ukur

yang menyatakan seberapa baik kinerja sistem. Semakin mendekati kinerja suatu sistem

dengan indeks performansi, maka semakin baik sistem tersebut.

20

3. Menentukan matriks bobot Q dan R. Penentuan matriks bobot Q dan R ini dilakukan

dengan cara coba-coba (trial and error), yang pemilihannya berdasarkan nilai sisa

relatif paling sedikit. Perhitungan nilai sisa relatif ini menggunakan program MATLAB.

4. Mendapatkan matriks umpan balik LQR

• Menentukan matriks Riccati dari matriks bobot Q dan R yang telah ditentukan

sebelumnya.

• Matriks umpan balik LQR digunakan untuk memperoleh hukum kontrol optimal

yang menghasilkan sinyal kontrol u(k)

3.1.3 Simulasi Sistem

Simulasi sistem dilakukan dengan menggunakan fasilitas-fasilitas yang tersedia

pada perangkat lunak program MATLAB, antara lain simulink dan control toolbox. Dari

hasil simulasi tersebut, dapat dibandingkan respon sistem tanpa dan dengan sinyal kendali

optimal.

3. 2. Cara Kerja Penelitian

Dalam usaha untuk mencapai tujuan dan menjawab rumusan masalah dalam skrpsi

ini, dilakukan tahap-tahap pengerjaan sebagai berikut:

1. Studi Literatur

Untuk menganalisa masalah kontrol optimal pada plant, dilakukan dengan

menghimpun informasi dari buku dan jurnal-jurnal yang berkaitan. Buku dan jurnal-jurnal

tersebut sebagian besar diperoleh dari perpustakaan pusat Universitas Brawijaya,

perpustakaan jurusan Teknik Elektro Universitas Brawijaya dan beberapa di antaranya

diperoleh dari internet.

2. Membuat dan menganalisa hasil simulasi sistem

3. Menarik kesimpulan

21

BAB IV

PEMODELAN SISTEM BERDASARKAN DATA PLANT

4.1. Definisi

Pemodelan adalah upaya untuk menyatakan sistem dari bentuk fisik menjadi

bentuk persamaan matematika. Untuk tujuan itu, dilakukan upaya dengan menyusun

hubungan-hubungan fisik dari sistem sesungguhnya dengan menggunakan hukum-

hukum ilmu alam (fisika dan/atau kimia).

Bagian terpenting dari model matematis sistem adalah persamaan karakteristik.

Persamaan karakteristik sistem menentukan kelakuan (respon) sistem tersebut.

Kelakuan (respon) sistem dapat diamati dari kurva hasil simulasi model matematis

sistem. Langkah berikutnya adalah proses validasi, yang bertujuan untuk membuktikan

valid atau tidaknya model matematis tersebut. Pada tahap ini, data hasil simulasi

tersebut dibandingkan dengan data dari sistem sebenarnya. Jika kedua data tersebut

tidak signifikan perbedaannya, maka dapat dianggap bahwa model matematis dapat

mewakili sistem fisik yang sebenarnya. Sehingga sistem dapat dianalisis melalui model

matematisnya.

Dalam proses penurunan model matematis sistem, terdapat tiga macam cara

pendekatan yang dapat dipergunakan. Yang pertama adalah menyajikan model

matematis sistem dengan menggunakan persamaan diferensial. Yang kedua adalah

dengan menggunakan pendekatan fungsi alih (transfer function), dan yang ketiga adalah

pendekatan ruang-keadaan (state-space). Dalam masalah kendali optimal, akan lebih

menguntungkan jika menggunakan pendekatan ruang-keadaan.

4.2. Pemodelan Sistem

Sistem solar boiler terdiri dari beberapa komponen yang menyusunnya.

Komponen-komponen tersebut antara lain adalah kontroler, valve, sensor/transmitter

dan pengumpul panas (solar collector). Skema loop tertutup sistem ditunjukkan pada

Gambar 4.1.

Penjelasan dari skema loop tertutup tersebut adalah sebagai berikut: Solar

collector terdiri dari sebelas (11) parabolic trough collector yang yang tersusun seri,

dengan total panjang 500m dan reflektor permukaan kaca seluas 2760m2. Kolektor ini

terdari dari 2 bagian, yaitu:

22

1. Bagian proses penguapan air melalui feed valve, bagian ini terdiri dari 10

kolektor pertama dimana feed preheater dipanaskan menjadi uap tersaturasi

(saturaterd steam).

2. Bagian proses penguapan air melalui injection line. Masukan (feed

preheater) dengan suhu 1800C dimasukkan ke solar collector melalui

injection line. Variabel suhu ini diterima oleh sensor transmitter TT.

Variabel yang terukur pada TT dibandingkan dengan Tset. Bila variabel yang

dikontrol ini menyimpang dari setpoint, sensor akan mengirimkan sinyal

lewat transmitter untuk diubah besarannya dari besaran suhu menjadi sinyal

listrik, untuk selanjutnya diterima oleh kontroler. Kontroler akan

memberikan sinyal error dari transmitter ke elemen pengendali akhir (katup

pengatur) untuk mengatur bukaan katup, agar diperoleh kuantitas fluida yang

tepat.

Gambar 4.1. Skema Loop Tertutup Solar Boiler

--------------------------------------------------------------------- Sumber: perancangan

Model matematis sistem diperlukan untuk simulasi yang bertujuan untuk

mendapatkan respon dinamik sistem. Langkah pertama untuk mendapatkan model

matematis sistem adalah dengan menurunkan persamaan matematis untuk setiap

komponen yang menyusun sistem tersebut.

23

4.2.1 Model Matematis Sensor dan Transmitter

Pada industri proses dan kebanyakan industri lain, komponen sensor dan

transmitter umumnya terdapat dalam satu kesatuan. Sensor-transmitter adalah suatu

elemen/alat yang langsung mengadakan kontak dengan variabel yang diukur dan

mampu menerima sinyal dalam bentuk suatu besaran dan mengubahnya menjadi

besaran lain. Pada pengontrolan suhu ini digunakan temperature sensor-transmitter.

Gain penguatan sensor-transmitter didefinisikan sebagai input

output

spanspan

K = .

(Guntherus, 1994:4-35)

Dari data yang diketahui, diperoleh bahwa T∆ (span) adalah bahwa suhu 380 –

1800C memberi kesetaraan arus listrik 4 – 20 mA.

Sehingga : span masukan = (380 –180) 0C = 2000 C

span keluaran = (20 – 4) mA = 16 mA

didapatkan CmAKt o

08.020016

== (4.1)

dan diagram blok transmitter menjadi seperti pada gambar 4.2.

T I

0.08

Gambar 4.2 Diagram blok sensor-transmitter

4.2.2 Model Matematis Katup (valve)

Katup (valve) digunakan sebagai elemen pengendali akhir yang langsung

mengubah variabel manipulasi berdasarkan sinyal yang diterima dari kontroler. Fungsi

alih dari valve dapat dinyatakan sebagai sistem orde satu seperti pada persamaan (4.2).

1)(

)(+

=sT

GsUsm

CV

T (4.2)

----------------------------------------------- Sumber: Coughanowr, Donald R. Process System Analysis and Control. 1991. Halaman: 124 – 127

dimana m(s) = laju aliran massa, kg/s

U(s) = Sinyal kendali elektrik, mA

GT = Gain total valve

TCV = konstanta waktu dari valve

Konstanta waktu valve dapat ditentukan dengan persamaan (4.3):

24

( )VVCV RVTT +∆=

dengan TV = time stroke=2 detik

∆V = fraksi perubahan posisi valve

= 5625,08.0

35,08.0

max

minmax =−

=−

flowflowflow (4.3)

RV = perbandingan konstanta waktu dengan time stroke

(RV=0,3 untuk aktuator piston dan RV=0,03 untuk aktuator diafragma)

Karena sinyal kendali elektrik, sedangkan katup kendali hanya menerima sinyal

pneumatik, sehingga untuk menjalankan valve tersebut sinyal keluaran melalui

tranduser I/P diubah dari 4-20 mA menjadi 3-15 Psi atau 0,2-1 kg/cm2. Maka didapat

gain tranduser sebagai berikut:

KT = 75,0420315

=−−

=mAPsi

SpanSpan

input

output Psi/mA (4.4)

Penguatan valve untuk karateristik aliran linier adalah: KV = Psidtkg

Psiskg

Perubahanflow

masukan

./067,012

/8.0max == (4.5)

Sehingga penguatan total valve:

mAdtkgKKG VTT ./05025,0067,075,0 =×=×= (4.6)

dan konstanta waktu valve:

( ) ( ) 185,103,05625,02 =+=+∆= VVCV RVTT (4.7)

Maka fungsi alih valve adalah :

1185,105025,0

1)()(

+=

+=

ssTG

sUsm

CV

T (4.8)

Dalam bentuk diagram blok adalah seperti pada gambar 4.3.

Gambar 4.3 Diagram blok control val

U (mA) 1185,1

05025,0+s

m (kg/s)

4.2.3 Model Matematis Dead Time

Perhitungan dead time dan L

(Guntherus, 1994:4-35)

1+

−

se sD

τ

τ

dengan :

Dτ = dead time (dengan τ

τ = lag time (dengan τ =

ve

ag time didapatkan dari penskalaan tabel pipa

(4.9)

D =0.4 detik)

0.64detik)

25

Persamaan dead time ( )sDe τ− dapat didekati dengan persamaan Pade sehingga

bentuk persamaan dead time dan lag time menjadi persamaan (4.10).

11

1

11

2

2++

−

+ ⋅=−

sse

sDs

DsD

ττ τ

ττ

(4.10)

164.01

4.024.02

++− ⋅= ss

s

Dalam bentuk diagram blok adalah seperti pada gambar 4.4.

output

input 4.024.02

+−

ss164.0

1+s

Gambar 4.4 Diagram blok dead time

4.2.3 Model Matematis Solar Collector

Untuk memperoleh fungsi alih dari masukan dan keluaran solar collector, maka

perlu dibuat asumsi-asumsi bahwa kondisi pada keadaan steady state adalah sebagai

berikut:

a. Pressure drop dari feed preheater diabaikan sehingga tekanan dari bagian

bawah sampai bagian atas kolektor adalah konstan.

b. Sifat-sifat fluida tidak berubah selama melewati solar collector.

Dinamika proses pengendalian temperatur dapat dinyatakan dengan hukum

kesetimbangan energi, yaitu laju energi panas yang masuk ke sistem dikurangi dengan

laju energi yang meninggalkannya sama dengan laju energi akumulasinya.

4.2.3.1 Solar Collector bagian Injection Line

Dinamika Energi Internal dalam Kolektor

Fluida panas yang mengalir dalam kolektor yaitu air hasil proses dari preheater akan

menyerap panas dari permukaan dalam absorbser. Kalor yang diberikan merupakan

energi masukan yang dinyatakan dengan persamaan 4.11.

)( inoutcpinjcoldtdT TTPmSEC out −−=η (4.11)

Sumber: Tor A. Johansen Gain Scheduled Control of a Solar Power Plant,2000

[ ])(0 inoutSPm

dtdT

SC TTE cpinjout −+=η (4.11a)

dimana : C = kapasitas panas jenis air (J/kg0C)

Tout = suhu outlet (0C)

26


S = permukaan efektif kolektor (m2)


pcp = hasil bagi antara product dengan karakteristik magnitudes

(kJ/kg0C)

minj = injeksi aliran air pada inlet kolektor (kg/s)

Tin = suhu inlet (0C)

Energi terkumpul di dalam kolektor melalui injector diperoleh dari rumus

kesetimbangan energi, yaitu:

{Enthalpy out}-{Enthalpy in}= {Energy collected}-{Losses}

Persamaan untuk kesetimbangan energi secara sederhana bisa dituliskan sebagai

persamaan 4.12.

( ) ( ) ELAhmhmhmm colcolcolinjinjcincinoutinjcin η=+−+ −__ (4.12)

Aliran injeksi air pada keadaan steady state persamaan (4.13.)

injref

cinrefcincolcolcolhh

hhmELAinjm −

−−= )( __η (4.13)

Sumber: Loreto Valenzuela Direct Steam Generation in Solar Boiler,2004.

dimana : minj = injeksi aliran air pada inlet kolektor (kg/s)


Acol = collector aperture (celah kolektor) (m)



min_c = massa aliran air pada inlet kolektor (kg/s)

href = enthalpy referensi uap pada outlet kolektor (kJ/kg)

hin_c = enthalpy air pada inlet kolektor (kJ/kg)

hinj = enthalpy air injeksi pada inlet kolektor (kJ/kg)

href = hout = a1 + a2 Tout (4.14)

Substitusi persamaan (4.14) ke persamaan (4.13) menghasilkan persamaan (4.15).

injref

cinoutcincolcolcolhh

hTaamELAinjm −

−+−= )( _21_η (4.15)

27

injref

cincinoutcincincolcolcolhh

hmTmamaELAinjm −

−−−= ___2_1η (4.15a)

Substitusi persamaan (4.11a) ke persamaan (4.15a):

injref

cincinoutcincininoutinjScpp

dtoutdT

SC

colcol

hh

mhTmamaTTmLA

injm −

+−−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+

=___2_1 ))(

(4.16)

dengan : injcin mm ≈_

injcin hh ≈_

hhh injref ∆=−

Sehingga persamaan (4.16) bisa dituliskan menjadi persamaan (4.17).

injhh

outinjha

injha

ininjhSP

colcolinjouthSP

colcoldtdT

hSC

colcolinj

mTm

mTmLAmTLALAminj

cpcpout

∆∆

∆∆∆∆

+−

−−+=2

1

(4.17)

Persamaan (4.17) tidak linier, dengan menerapkan deret ekspansi Taylor diperoleh

persamaan linier pada persamaan (4.18).

injhh

injoutha

outinjha

injha

ininjcolcolhSP

injinhSP

colcol

injoutcolcolhSP

outinjcolcolhSP

dtdT

hSC

colcolinj

mmT

TmmTmLAmTLA

mTLATmLALAm

iinj

cpcp

cpcpout

∆∆

∆∆∆∆

∆∆∆

+−

−−−−

++=

2

21

(4.18)

Transformasi Laplace dari persamaan (4.18) adalah persamaan (4.19).

)()(

)()()()(

)()()()(

2

21

smsmT

sTmsmsTmLAsmTLA

smTLAsTmLAssTLAsm

injhh

injoutha

outinjha

injha

ininjcolcolhSP

injinhSP

colcol

injoutcolcolhSP

outinjcolcolhSP

outhSC

colcolinj

iinj

cpcp

cpcp

∆∆

∆∆∆∆

∆∆∆

+−

−−−−

++=

(4.19)

Persamaan (4.19) bisa disusun menjadi persamaan (4.20).

[ ][ ]

)()(

)(1

)(21

2

sTmLA

smTTLATLA

sTmmLAsLA

ininjcolcolhSP

injhh

outha

ha

inhSP

colcoloutcolcolhSP

outinjha

injcolcolhSP

hSC

colcol

cp

injcpcp

cp

∆

∆∆∆∆∆

∆∆∆

+

−+++−

=−+

(4.20)

Persamaan (4.20) disederhanakan menjadi persamaan (4.21).

)()()(11

3

11

2 sTsmsT inysy

injysy

out ++ += ττ (4.21)

28

Dimana :

38.148.30427642005076.5

1 === ∆ xxx

hSC

colcol LAτ detik

ikkgxxx

mmLAyxx

xxxxx

injha

injcolcolhSPcp

det1026276.510667.610269.5 363108.304

8.054.2108.304276

8.05076.519241 33

2

−−−

∆∆

=−=

−=−=

[ ]

2033108.30430054.2

108.3042225

108.3042763005076.51934

108.30427618019245076.5

22

detik C5806.88.8105.2102999.7976.11856.11

11

3333

1

−=−++−+

=++−+

=−++−+=

−−

∆∆∆∆∆

−

xx

TTLATLAy

xx

xxxxxx

xxxxx

hh

outha

ha

outhSP

colcolinhSP

colcolinjcpcp

CikkgxmLAyxx

xxxinjcolcolhS

Pcp 03108.304276

8.05076.519243 det/10269.53

−∆ ===

Sehingga persamaan temperatur air melalui injector adalah persamaan (4.22).

)()()( 005263.038.17005269.0

005263.038.175806.8 sTsmsT insinjsout ++

− += (4.22)

4.2.3.2 Solar Collector bagian Feed Line

Energi terkumpul di dalam kolektor melalui feed line diperoleh dari rumus

kesetimbangan energi, yaitu:

{Enthalpy out}-{Enthalpy in}= {Energy collected}-{Losses}

Persamaan untuk kesetimbangan energi secara sederhana bisa dituliskan sebagai

persamaan (4.23).

( ) ( ) )( ambvabslcolcolcolinjinjininoutinjin TTSUELAhmhmhmm −−=+−+ η (4.23)

Aliran air melalui feed valve bisa dituliskan menjadi persamaan (4.24).

inref

injrefsetinjambavabslloopcolloop

hhhhmTTSuELA

fvm −

−−−−= )()( _η (4.24)

Sumber: Loreto Valenzuela Direct Steam Generation in Solar Boiler,2004

Dengan : minj = injeksi aliran air pada inlet kolektor (kg/s)

ηloop = efisiensi loop kolektor

Acol = collector aperture (celah kolektor) (m)



ul = factor yang berhubungan dengan rugi panas

Sabs = area penyerap kolektor (m2)

Tav = suhu rata-rata fluida di dalam kolektor (0C)

Tamb = suhu kolektor (0C)

minj_set= massa aliran air pada inlet kolektor (kg/s)

29

href = enthalpy referensi uap pada outlet kolektor (kJ/kg)

hin = enthalpy air pada inlet kolektor (kJ/kg)

hinj = enthalpy air injeksi pada inlet kolektor (kJ/kg)

Dinamika energi internal dalam kolektor :

)()( ambavlinoutcpfvcoldtdT TTHTTpmSEC out −−−−=η (4.25)

)()( inoutHp

fvHSE

dtdT

HC

ambav TTmTTl

cp

l

colout

l−++=− η (4.25a)

Sumber: Tor A. Johansen Gain Scheduled Control of a Solar Power Plant,2000

dimana : C = kapasitas panas jenis air (J/kg0K)

Tout = suhu outlet (0C)

η0 = efisiensi kolektor

S = permukaan efektif kolektor (m2)


pcp = hasil bagi antara product dengan karakteristik magnitudes

(kJ/kg0C)

mfv = massa aliran air pada inlet kolektor melalui feed valve (kg/s)

Pada keadaan steady state didapatkan : )( inoutfvabscol TTmES −=η (4.26)

Substitusi persamaan (4.25a) dan (4.26) ke persamaan (4.24) :

fvhh

infvhHPSU

outfvhHPSU

infvhHSU

outfvhHSU

dtdT

hHCSU

infvhSLA

outfvhSLA

fv

mTmTm

TmTmTmTmm

l

cpabsl

l

cpabsl

l

absl

l

abslout

l

abslloopcolloopcol

2

1∆∆

∆∆

∆∆∆∆∆

−−+

+−+−= (4.27)

Persamaan (4.27) tidak linier, dengan menerapkan deret ekspansi Taylor diperoleh

persamaan linier seperti pada persamaan (4.28).

fvhh

fvinhHPSU

infvhHPSU

fvouthHPSU

outfvhHPSU

fvinhHSU

infvhHSU

fvouthHSU

outfvhHSU

dtdT

hHCSU

fvinhSLA

infvhSLA

fvouthSLA

outfvhSLA

fv

mmTTmmT

TmmTTmmTTm

mTTmmTTmm

l

cpabsl

l

cpabsl

l

cpabsl

l

cpabsl

l

absl

l

absl

l

absl

l

absl

out

l

abslloopcolloopcolloopcolloopcol

2

1∆∆

∆∆∆

∆∆∆∆∆

∆∆∆∆∆

−−−+

+++−−

+−−+=

(4.28)

Transformasi Laplace dari persamaan (4.28) adalah persamaan (4.29).

)()()()()(

)()()()()(

)()()()()(

2

1 smsmTsTmsmTsTm

smTsTmsmTsTmssT

smTsTmsmTsTmsm

fvhh

fvinhHPSU

infvhHPSU

fvouthHPSU

outfvhHPSU

fvinhHSU

infvhHSU

fvouthHSU

outfvhHSU

outhHCSU

fvinhSLA

infvhSLA

fvouthSLA

outfvhSLA

fv

l

cpabsl

l

cpabsl

l

cpabsl

l

cpabsl

l

absl

l

absl

l

absl

l

absl

l

absl

loopcolloopcolloopcolloopcol

∆∆

∆∆∆∆

∆∆∆∆∆

∆∆∆∆

−−−++

++−−+

−−+=

(4.29)

30

Persamaan (4.29) bisa disusun menjadi persamaan (4.30).

[ ]

[ ] )(

)(1

)(

2

1

sTmmm

smT

TTTTT

sTmmsm

infvhHPSU

fvhHSU

fvhSLA

fv

hh

inhHpSU

inhHSU

outhHpSU

outhHSU

inhSLA

outhSLA

outfvhHPSU

fvhHSU

hHCSU

fvhSLA

l

cpabsl

l

abslloopcol

l

cpabsl

l

absl

l

cpabsl

l

abslloopcolloopcol

l

cpabsl

l

absl

l

abslloopcol

∆∆∆

∆∆

∆

∆∆∆∆∆

∆∆∆∆

+−+

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

++

−−++−

=+−+

(4.30)

Persamaan (4.30) disederhanakan menjadi persamaan (4.31).

)()()(12

3

12

2 sTsmsT inzsz

injzsz

out ++ += ττ

dengan: ikxx

xxhHCSU

l

absl det16.123102.208805.1420027603.2

2 === ∆τ

ikkgxx

mmmz

xxxxx

xxxx

xxxx

fvhHPSU

fvhHSU

fvhSLA

l

cpabsl

l

abslloopcol

det9486.19496.1100133.11075.1 37102.208805.1

35.0192427603.2102.208805.135.027603.2

102.2088276035.050076.5

1

333

=+−=

+−=

+−=

−−

∆∆∆

20

33102.208805.1

180192427603.2

102.208805.118027603.2

102.208805.1300192427603.2

102.208805.130027603.2

102.2088276018050076.5

102.2088276030050076.5

2

det094.66616586.1002521.0

1.16718685.01008995.0101499.011

1

)(1

3

33333

2

1

ikC

xx

smT

TTTTTz

xxxxx

xxxx

xxxxx

xxxx

xxxx

xxxx

fv

hh

inhHpSU

inhHSU

outhHpSU

outhHSU

inhSLA

outhSLA

l

cpabsl

l

absl

l

cpabsl

l

abslloopcolloopcol

−=++−

−++−=++

−−++−=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

++

−−++−=

−−

∆∆

∆

∆∆∆∆∆

Cikkgxx

mmmz

xxxxx

xxxx

xxxx

fvhHPSU

fvhHSU

fvhSLA

l

cpabsl

l

abslloopcol

037102.208805.1

35.1924027603.2102.208805.135.027603.2

102.2088276035.050076.5

3

/det9486.19496.1100133.11075.1

333

=+−=

+−=

+−=

−−

∆∆∆

Sehingga persamaan temperatur air melalui feed valve adalah:

)()()( 9486.115975.129486.1

9486.115975.12094.666 sTsmsT insfvsout ++

− += (4.31)

31

Dan diagram blok keseluruhan sistem adalah seperti pada gambar 4.5.

Gambar 4.5 Diagram Blok Keseluruhan Sistem Sumber : Perancangan

4.3 Uji Keterkontrolan dan Keteramatan Sistem

Hal pertama yang harus dilakukan dalam mendesain sistem melalui metode ruang

keadaan adalah memeriksa keteramatan dan keterkontrolan dari sistem tersebut.

Untuk sistem yang mempunyai keterkontrolan lengkap, matriks kontrolabilitasnya

adalah:

CT = [A | AB | …A(n-1)B ]

harus mempunyai rank matriks-n. Rank matriks adalah jumlah baris/kolom yang bebas.

Sedangkan matriks keteramatannya adalah:

[CT | ATCT | … | (AT)n-1 CT ]

juga harus mempunyai rank n. (Dwi Wahyu Agung Prasetyo. Analisis dan Disain

Sistem Kontrol dengan MATLAB. Hal.284 – 286.) Karena matriks keterkontrolan dan

keteramatan sistem adalah matriks 2 x 2, maka rank matriks pun harus 2.

Untuk mengetahui rank-matrik, terlebih dulu kita harus mengubah bentuk fungsi

alih sistem menjadi bentuk persamaan ruang-keadaan (state-space). Dengan paket

program MATLAB, didapatkan bentuk ruang-keadaan sistem adalah seperti persamaan

(4.32).

32

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −−−−

=

0100001000010003.01074.05212.14914.2

A (4.32)

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

0001

B

[ ]0034.00406.000 −=C

D = [ 0 ]

Sehingga bentuk umum persamaan keadaan menjadi persamaan (4.33).

BuAxx +=&

u

xxxx

xxxx

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −−−−

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

0001

0100001000010003.01074.05212.14914.2

4

3

2

1

4

3

2

1

&&&&

(4.33)

y=Cx + Du

[ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

4

3

2

1

0034.00406.000

xxxx

y

Karena bentuk persamaan ruang-keadaan sistem telah diketahui, maka

rank_matrik dapat dicari. Dengan paket program MATLAB, didapatkan bahwa

rank(co)=4 dan rank(ob)=4. Yang berarti bahwa nilai rank_matrik sama dengan orde

sistem, sehingga dapat dikatakan bahwa sistem memenuhi syarat keterkontrolan dan

keteramatan.

4.4. Respon Sistem

4.4.1. Respon Sistem Tanpa Gangguan

Menurut data yang ada, set point sebesar 3000C. Sehingga diperoleh grafik

respon sistem tanpa gangguan terhadap sinyal uji step seperti pada gambar (4.6).

33

Suhu(0C)

Waktu (detik)

Gambar 4.6. Respon solar boiler tanpa gangguan. Pada Gambar 4.6. dapat diamati, sistem memiliki waktu keadaan mantap (error

0%) sebesar 2284.5 detik dan ts (error 2%) sebesar 1901.6 detik.

4.4.2. Respon Sistem Dengan Gangguan

Gamb

(error

Suhu(0C)

)

ar 4.7. Respon solar boil Pada Gambar 4.7. dap

0%) sebesar 2203.8 detik

Waktu(detik

er dengan gangguan at diamati, sistem memiliki waktu keadaan mantap ts dan ts (error 2%) sebesar 1810.4 detik.

34

BAB V DESAIN KONTROLER DAN SIMULASI SISTEM

5.1. Desain Kontroler Menggunakan Metode Linear Quadratic Regulator (LQR)

Bagian ini membahas desain kontroler menggunakan metode linear

quadratic regulator (LQR) pada plant solar boiler yang digunakan untuk menghasilkan

uap pada proses pembangkit tenaga listrik.

5.1.1. Metode Linier Quadratic Regulator (LQR)

Metode optimasi linear quadratic regulator (LQR) bertujuan untuk

mendapatkan sinyal pengendali u(t) yang akan memindahkan suatu state sistem linier

dari kondisi awal x(t0) menuju ke suatu kondisi akhir x(t) yang akan meminimumkan

suatu indeks performansi kuadratik. Indeks performansi kuadratik dituliskan seperti

pada persamaan (5.1).

[∫∞

+=02

1 RUUQXXJ TT ]dt (5.1)

Pemilihan matriks Q dan R, dilakukan dengan cara coba-coba (trial and error). Syarat

matriks Q adalah matriks simetris, semidefinit positif dan real (Q > 0), sedangkan

matriks R adalah matriks simetris, definit positif dan real (R > 0).

Prinsip penggunaan metode LQR adalah memperoleh sinyal kendali optimal dari

umpan balik keadaan (state feedback) u*[x(t)]= -[k][x]. Matrik umpan balik k diperoleh

dengan memecahkan persamaan Riccati.

Persamaan CARE (Controller Algebraic Ricatti Equation) :

ATP + PA – PBR -1BTP + Q = 0

Matriks P merupakan solusi persamaan Riccati

Hukum pengendalian optimal : u*[x(t)]= -[k][x]

Dengan solusi k = R -1 BTP

Solusi dari problem regulator optimal menyertakan batasan-batasan sebagai

berikut :

Tidak ada error aktuator

Tidak ada gangguan random pada plant

Seluruh informasi plant dapat diindra oleh sensor

Seluruh parameter plant dapat diketahui dengan pasti

35

5.2 Perancangan Regulator Optimal

Dari perhitungan pada bab empat, diperoleh model matematis sistem seperti

pada persamaan (5.2).

Fungsi alih sistem tanpa ada beban dinyatakan sebagai persamaan (5.2).

006808.03406.216.33307.54798.2107385.0844.0234 ++++

+−=ssss

sTToutset

out (5.2)

Jika fungsi alih model matematika pada persamaan (5.2) dinyatakan sebagai persamaan

state space menjadi:

Persamaan state space Matriks keadaan sistem:

(5.3)

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −−−−

=

0100001000010003.01074.05212.14914.2

A

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

0001

B

Matriks keluaran sistem:

[ ]0034.00406.000 −=C (5.4)

D = [ 0 ]

5.2.1. Pembuktian Keterkendalian Sistem (Controllability) Matriks keterkendalian (controlability matrix):

C = [ B | AB | …..A(n-1)B ] (5.5) Dengan menggunakan program Matlab matriks keterkendalian diperoleh dengan

cara sebagai berikut : C = ctrb (A,B); Rank (C) Ans = 4 Det C = 1 Nilai determinan tidak sama dengan nol karena matriks keterkendalian memiliki

full rank yaitu sebesar 4. Dengan demikian dapat disimpulkan sistem dapat dikendalikan (controllable).

36

5.2.2. Pembuktian Keteramatan Sistem (Observability)

Matriks keteramatan (observability matrix): O = [ CT | ATCT | ….. | (AT)n-1CT ] (5.6)

Dengan menggunakan program Matlab matriks keteramatan diperoleh dengan cara sebagai berikut:

O = obsv (A,C); Rank (O) Ans = 4 Det O = 5.7948x10-8

Nilai determinan tidak sama dengan nol karena matriks keteramatan memiliki full rank yaitu sebesar 4. Dengan demikian dapat disimpulkan sistem dapat diamati (observable).

5.2.3. Penentuan Matriks Bobot Matriks bobot adalah matriks Q dan R. Pemilihan matriks Q dan R dilakukan

dengan cara coba-coba (trial and error). Dengan syarat, matriks Q adalah matriks simetris, semidefinit positif dan real (Q > 0). Matriks Q merupakan matriks berordo4×4 yang ditulis sebagai persamaan (5.7).

Q = (5.7)

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

qq

qq

000000000000

Matriks Q adalah matriks diagonal dengan komponen-komponennya q, dan bila diadakan pemisahan akan diperoleh matriks identitas yang dikalikan dengan konstanta q.

Sedangkan matriks R adalah matriks simetris, definit positif dan real (R > 0). Matriks R merupakan matriks berordo 1×1 yang ditulis sebagai persamaan (5.8).

R = [ (5.8) ]r

Matriks R adalah matriks diagonal dengan komponen-komponennya r, dan bila diadakan pemisahan akan diperoleh matriks identitas yang dikalikan dengan konstanta r.

Untuk menghitung besarnya nilai penguatan (gain) optimal K digunakan bantuan

program Matlab. Untuk mendapatkan gain K terlebih dulu harus memilih matriks bobot

Q dan R. Pemilihan matriks bobot Q dan R ini berdasarkan nilai sisa relatif yang paling

kecil. Perhitungan nilai sisa relatif tersebut dapat dilakukan dengan cara coba-coba (trial

and error). Yaitu dengan mengubah-ubah nilai matriks Q, sedangkan matriks R tetap

bernilai 90. Dari tabel dapat dilihat bahwa nilai sisa relatif terkecil dihasilkan oleh

matriks Q=0.945x10-4. Proses selanjutnya, nilai matriks R yang diubah-ubah dengan

37

nilai matriks Q tetap. Dan nilai sisa relatif terkecil dihasilkan oleh matriks R=100.

Sehingga dapat ditetapkan bahwa kombinasi matriks bobot Q dan R yang menghasilkan

nilai sisa relatif terkecil adalah

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

−

−

−

−

4

4

4

4

10945.0000010945.0000010945.0000010945.0

xx

xx

Q ; dan R=[100].

Dengan melakukan pemilihan nilai sisa relatif paling kecil, diharapkan akan

memperoleh perbaikan karakteristik sistem.

Berikut ini adalah tabel yang menunjukkan nilai sisa relatif untuk berbagai nilai

matriks bobot Q dan R.

No Q R Nilai Sisa Relatif 1 0.9x10-4 90 1.8080e - 015 2 0.925x10-4 90 2.3144e - 015 3 0.935x10-4 90 1.4106e - 015 4 0.945x10-4 90 9.4040e - 016 5 0.95x10-4 90 3.8271e - 015 6 0.945x10-4 100 6.1238e - 016 7 0.945x10-4 110 7.6705e - 016

Tabel 5.1. Nilai sisa relatif untuk berbagai matriks bobot Q dan R.

--------------------------- Sumber: Hasil Perhitungan

5.2.4. Hasil Perhitungan Nilai Umpan Balik Optimal Tujuan dari optimasi dengan menggunakan metode LQR adalah mendapatkan

nilai umpan balik (K) optimal, yang mampu meminimumkan cost function J. Perhitungan ini dilakukan dengan jalan memasukkan persamaan Riccati yang telah diturunkan pada bab sebelumnya. Sedangkan matrik pembobotan Q dan R ditentukan secara sembarang, dengan syarat seperti yang telah dijelaskan sebelumnya. Dari persamaan Riccati tersebut, akan dapat diketahui matrik P.

Matrik P adalah matrik solusi dari persamaan Ricccati. Jika nilai-nilai matrik P telah diketahui, kemudian disubstitusikan ke persamaan K=R -1BTP. Sehingga dapat diketahui nilai matrik umpan balik optimal (K) yang meminimumkan cost function J.

Dikarenakan banyaknya data yang ada, pada perhitungan nilai vektor kontrol optimal K, dibutuhkan bantuan program komputer, dalam hal ini digunakan paket program MATLAB versi R-12. Perhitungan dengan menggunakan paket program MATLAB ini dapat diketahui nilai umpan balik optimal K sistem yang optimal berdasarkan model sistem.

38

Dari perhitungan tersebut diperoleh nilai matriks penguatan (gain) umpan balik optimal untuk sistem tersebut seperti pada tabel (5.1).

Tabel 5.1 Hasil optimasi system untuk berbagai matriks bobot Q dan R

No q r [K] ts (kriteria 2%) (detik)

ts(kriteria 0%) (detik)

Error steady state(ess)(0C)

1. 0.9x10-4 90 0.0066 0.0165 0.0101 0.0007

1451.8 1796.5 2.7

2. 0.925x10-4 90 0.0067 0.0168 0.0103 0.0007

1492 2162.8 4.1

3. 0.935x10-4 90 0.0068 0.0169 0.0104 0.0008

1481.5 2101.2 5

4. 0.945x10-4 90 0.0068 0.0170 0.0104 0.0008

1454.2 1867.6 5.3

5. 0.95x10-4 90 0.0068 0.0171 0.0105 0.0008

1403 1672.8 5.8

6. 0.9x10-4 100 0.0062 0.0154 0.0095 0.0007

1449.2 1986.2 2.4

7. 0.925x10-4 100 0.0063 0.0157 0.0096 0.0007

1430 1896.5 1.19

8. 0.935x10-4 100 0.0063 0.0158 0.0097 0.0007

1353.6 2037.2 0.6

39

9. 0.94x10-4 100 0.0064 0.0159 0.0097 0.0007

1362 1621.8 0.2

10. 0.945x10-4 100 0.0064 0.0159 0.0098 0.0007

1410.8 1816 0.02

11. 0.95x10-4 100 0.0064 0.0160 0.0098 0.0007

1371 1656.4 0.3

12. 0.9x10-4 110 0.0058 0.0145 0.0089 0.0006

1500 2263.2 7.3

13. 0.925x10-4 110 0.0059 0.0148 0.0091 0.0007

1402.8 1692.4 5.5

14. 0.935x10-4 110 0.0060 0.0149 0.0091 0.0007

1417 1747.2 5.1

15. 0.945x10-4 110 0.0060 0.0150 0.0092 0.0007

1432.5 1815.8 3.3

5.3 Simulasi Sistem Kontrol Optimal dengan Paket Program MATLAB Simulasi sistem dilakukan pada berbagai nilai bobot Q dan R, dengan

menggunakan paket program MATLAB. Menurut data yang ada, sinyal uji berupa sinyal step sebesar 3000C. Sehingga diperoleh grafik respon sistem terhadap sinyal uji step seperti pada gambar (5.1).

40

Suhu (0C)

Waktu (detik)

Gambar 5.1. Respon solar boiler untuk q=0.9x10-4 dan r =90. Pada Gambar 5.1 dapat diamati, dengan nilai matrik bobot Q = 0.9x10-4 dan R =

90 sistem akan memiliki waktu keadaan mantap (time settling (kriteria error 2%))

sebesar 1451.8 detik dan ts ( kriteria error 0%) sebesar 1796.5 detik.

Suhu(0C)

Waktu (detik)

Gambar 5.2. Respon solar boiler untuk q=0.925x10-4 dan r =90. Pada Gambar 5.2 dapat diamati, dengan nilai matrik bobot Q = 0.925x10-4 dan R

= 90 sistem akan memiliki waktu keadaan mantap (time settling (kriteria error 2%)) sebesar 1492 detik dan ts (kriteria error 0%) sebesar 2162.5 detik.

41

Suhu (0C)

Waktu (detik) Gambar 5.3. Respon solar boiler untuk q=0.935x10-4 dan r =90 Pada Gambar 5.3 dapat diamati, dengan nilai matrik bobot Q = 0.935x10-4 dan R

= 90 sistem akan memiliki waktu keadaan mantap (time settling (kriteria error 2%))


Suhu (0C)

Waktu (detik)


= 90 sistem akan memiliki waktu keadaan mantap (time settling (kriteria error2%))


42

Suhu (0C)

Waktu (detik)



sebesar 1403 detik dan ts (kriteria error0%) sebesar 1672.8 detik.

Suhu (0C)

Waktu (detik)

Gambar 5.6. Respon solar boiler untuk q=0.9x10-4 dan r =100. Pada Gambar 5.6 dapat diamati, dengan nilai matrik bobot Q = 0.9x10-4 dan R =

100 sistem akan memiliki waktu keadaan mantap (time settling (kriteria error2%))

sebesar 1449.2 detik dan ts (kriteria error 0%) sebesar 1986.2 detik.

43

Suhu (0C)

Waktu (detik)



sebesar 1430 detik dan ts (kriteria 0%) sebesar 1896.5 detik.

Suhu (0C)

Waktu (detik) Gambar 5.8. Respon solar boiler untuk q=0.935x10-4 dan r =100. Pada Gambar 5.8 dapat diamati, dengan nilai matrik bobot Q = 0.935x10-4 dan R


sebesar 1353.6 detik dan ts (kriteria error 0%) sebesar 2037.2 detik.

44

= 1

sebe

= 1

sebe

Suhu (0C)

Waktu (detik)


00 sistem akan memiliki waktu keadaan mantap (time settling (kriteria error2%))

sar 1362 detik dan ts (kriteria error 0%) sebesar 1621.8 detik.

Suhu (0C)

waktu (detik)

Gambar 5.10. Respon solar boiler untuk q=0.945x10-4 dan r =100 Pada Gambar 5.10 dapat diamati dengan nilai matrik bobot Q = 0.94x10-4 dan R

00 sistem akan memiliki waktu keadaan mantap (time settling (kriteria error 2%)

sar 1410.8 detik dan ts ( kriteria error 0%) sebesar 1816 detik.

45

Suhu (0C)

Waktu (detik)



sebesar 1371 detik dan ts (kriteria error 0%) sebesar 1656.4 detik.

Suhu (0C)

Waktu (detik)



sebesar 1500 detik dan ts (kriteria error 0%) sebesar 2263.2 detik..

46

Suhu (0C)

Waktu (detik)

Gambar 5.13. Respon solar boiler untuk q=0.925x10-4 dan r =110. Pada Gambar 5.13 dapat diamati, dengan nilai matrik bobot Q = 0.925x10-4 dan

R = 110 sistem akan memiliki waktu keadaan mantap (time settling (kriteria error2%)) sebesar 1402.8 detik dan ts (kriteria error 0%) sebesar 1692.4 detik..

Suhu (0C)

Waktu (detik)

Gambar 5.14. Respon solar boiler untuk q=0.935x10-4 dan r =110. Pada Gambar 5.14 dapat diamati, dengan nilai matrik bobot Q = 0.935x10-4 dan

R = 110 sistem akan memiliki waktu keadaan mantap (time settling (kriteria error2%))

sebesar 1417 detik dan ts (kriteria error 0%) sebesar 1747.2 detik..

47

Suhu (0C)

Waktu (detik)

Gambar 5.15. Respon solar boiler untuk q=0.945x10-4 dan r =110. Pada Gambar 5.15 dapat diamati dengan nilai matrik bobot Q = 0.945x10-4 dan

R = 110 sistem akan memiliki waktu keadaan mantap (time settling (kriteria error2%))

sebesar 1432.5 detik dan ts (kriteria error 0%) sebesar 1815.8 detik..

5.3.1. Simulasi Sistem Optimal dengan Gangguan

Menurut data yang ada, gangguan (disturbance) yang masuk ke dalam solar

boiler berupa aliran masukan (feed) sebesar 0.35 kg/s dan suhu pada preheater sebesar

1500C. Blok diagram sistem secara keseluruhan adalah seperti pada gambar (5.16).

Gambar 5.16. Blok diagram sistem dengan gangguan

Sumber : perancangan

48

Dari keseluruhan hasil simulasi, hanya diambil respon sistem optimal terhadap

gangguan yang memiliki performansi terbaik, yaitu dengan nilai matrik bobot Q =

0.945x10-4 dan R = 100 dan responnya ditunjukkan pada gambar 5.17.

Suhu (0C)

Waktu (detik)

Gambar 5.17 Respon solar boiler terhadap gangguan untuk q = 0.945x10-4 dan

r = 100 Pada Gambar 5.17 dapat diamati dengan nilai matrik bobot Q = 0.945x10-4 dan

R =100 sistem akan memiliki waktu keadaan mantap (time settling (kriteria error 2%))

sebesar 1353.6 detik dan ts (kriteria error 0%) sebesar 1705 detik.

49

BAB VI KESIMPULAN DAN SARAN

6.1. Kesimpulan

Dari hasil keseluruhan hasil analisa yang telah dilakukan pada skripsi ini, maka

dapat disimpulkan bahwa penerapan pengendalian optimal terhadap solar boiler,

khususnya pada penguapan air melalui once trough mode dapat dilakukan dengan baik.

Dengan melihat hasil simulasi yang telah dilakukan, dapat diambil beberapa kesimpulan

sebagai berikut:

1.Hasil optimasi dengan menggunakan metode LQR memiliki respon solar

boiler yang paling optimal pada nilai matrik bobot Q = 0.945x10-4 dan R = 100

2.Pengaruh pengendalian optimal dengan metode LQR pada pengontrolan suhu

uap solar boiler menghasilkan respon waktu yang lebih cepat dan error steady state

yang lebih kecil. Perbandingan waktu pencapaian keadaan mantap (time settling) dan

error steady state sistem sebelum dan sesudah menggunakan umpan balik LQR, dapat

dilihat pada tabel 6.1.

Tabel 6.1. Perbandingan waktu pencapaian keadaan mantap (time settling) dan error steady state sistem.

ts (error 2%) (detik)

ts (error 0%) (detik)

ess (0C)

Tanpa umpan balik

1901.6 2284.5 106.55

Menggunakan umpan balik LQR

1410.8 1816 0.02

Tanpa umpan balik dengan gangguan

1802.4 2222.5 139

Menggunakan umpan balik LQR dengan gangguan

1353.6 1705 23.45

6.2 Saran

1. Pemilihan matrik bobot Q dan R pada skripsi ini dilakukan dengan cara

coba-coba (trial and error), yang membutuhkan waktu yang cukup lama

untuk mendapatkan hasilnya. Oleh sebab itu perlu dikembangkan metode

yang lebih baik untuk mendapatkan nilai matrik bobot Q dan R tersebut.

50

2. Metode optimasi LQR memiliki kekurangan tidak dapat mengatasi gangguan

acak (noise) pada sistem. Untuk mengatasi hal tersebut digunakan metode

optimasi LQG yang memperhitungkan gangguan acak.

3. Perhitungan sistem dalam skripsi ini diperoleh dengan asumsi bahwa valve

bersifat linier dan dalam pengembangan selanjutnya perlu dipertimbangkan

karakteristik riilnya.

51

DAFTAR PUSTAKA

1. A.Smith, Carlos dan B. Corripio, Armando. 1985. Principles and Practice of Automatic Process Control. Kanada: John Wiley & Sons, Inc.

2. Gopal, M. 1987. Modern Control System Theory. Singapura: John Wiley & Sons

(SEA) Pte.Ltd. 3. Gunterus, Frans. 1994. Falsafah Dasar : Sistem Pengendalian Proses. Jakarta: PT

Elex Media Komputindo. 4. Houpis, D’Azzo. 1988. Linier Control Systems Analysis and Design. USA:

McGraw-Hill,Inc. 5. Lewis, F.L. 1996. Optimal Control. Kanada: John Wiley & Sons, Inc.

6. Ogata, Katsuhiko. 1997. Teknik Kontrol Automatik (Sistem Pengaturan) Jilid 1

Edisi Kedua. Jakarta: Erlangga. 7. Tor A. Johansen.2000. Gain Scheduled Control of a Solar Power Plant.Scotland 8. Valenzuela Loreto.2004 Direct Steam Generation in Solar Boilers.IEEE Control

System Magazine 9. Wahyu, Thomas dan Agung, Wahyu. 2003. Analisis dan Desain Sistem Kontrol

dengan MATLAB. Yogyakarta : Penerbit ANDI.

52

Nomenclature Acol Collector aperture [m] E Solar irradiance [W/m2] K Proportional gain (PID) Lcol Collector length [m] Lloop Collector loop length [m] P Pressure [bar] T Temperature [.C] Tamb Ambient temperature [.C] Tav Average fluid temperature in the collector loop [.C] Ti Integral time constant (PID) [s] Tin Water temperature at collector loop inlet [.C] Tin c Water/steam temperature at collector inlet [.C] Tinj Injection water temperature [.C] Tout Steam temperature at collector row outlet outlet [.C] Tref Steam temperature reference [.C] Sabs Absorber pipe area of the collector loop [m2] afv Feed valve aperture demanded [%] aiv Injector valve aperture demanded [%] apv Steam pressure valve aperture [%] em in Inlet mass flow error [kg/s] eT Temperature error [.C] hin Specific enthalpy of water at collector row inlet [kJ/kg] hin c Specific enthalpy of water at collector inlet [kJ/kg] hinj Specific enthalpy of injection water at collector inlet [kJ/kg] hout Specific enthalpy of steam at collector row outlet [kJ/kg] href Specific enthalpy reference of steam at collector row outlet [kJ/kg] min Mass water flow at collector row inlet [kg/s] min c Mass water/steam flow at collector inlet [kg/s] minj dem Injection water flow demanded at collector inlet [kg/s] minj set Injection water flow reference at collector inlet [kg/s] minj Injection water flow at collector inlet [kg/s] w Feed pump power [%] _ Increment Parameter Value Collector row length 500 m Collector type Modified LS-3 Collector aperture 5.76 m Number of collectors 9 50-m-long collectors 2 25-m-long collectors Orientation of the solar collectors North-South Absorber pipe outer diameter 70 mm Absorber pipe inner diameter 50 mm Optical efficiency of solar collectors 73% Total mirror surface 2760 m2 Maximum pressure at the field outlet 100 bar Maximum outlet temperature 400 .C Maximum steam production 0.85 kg/s Table 2. Operating points studied in the DISS solar field. Solar Field Inlet Conditions Temperature Outlet Conditions Temperature Conditions Pressure [bar] [.C] Pressure [bar] [.C] Mode 1 40 210 30 300

53

54

Grafik perhitungan dead time: Dari grafik dapat diketahui bahwa untuk panjang pipa = 50 meter, maka dead time = 0.4 dan lag time =0.64

Documents

79928064-Skripsi-Desin-Kontroler-Menggunakan-Metode-Linear-Quadratic-Regulator-Lqr.pdf