Anales de Mecnica de la Fractura 25, Vol. 2 (2008)

PANDEO DE UNA COLUMNA CORTA DE CHAPA

A. Martn-Meizoso1, J.M. Martnez-Esnaola1

1CEIT y TECNUN (Universidad de Navarra), Paseo de Manuel Lardizbal 15, 20018 San Sebastin. Espaa.

E-mail: ameizoso@ceit.es E-mail: jmesnaola@ceit.es

RESUMEN

Cual es la forma de la seccin de una chapa doblada para dotarla de la mxima resistencia a compresin? Se demuestra que una seccin en forma de parbola abierta de 4 grado es un 41% ms resistente que una seccin tubular de igual espesor y peso.

ABSTRACT

What is the optimum cross-section for a compression member built/bent from a plate of a given thickness and area? It is shown that a 4th degree parabolic shape is 41% better than a tubular section of the same thickness and weight. PALABRAS CLAVE: Pandeo, columnas, elementos compresivos, momentos de inercia. 1. INTRODUCCIN El pandeo es un serio problema de ingeniera, fundamentalmente porque es un modo de fallo catastrfico: el pandeo es una forma de fallo no estable; por lo que se le ha prestado una especial atencin desde tiempos muy remotos. El diseo de una columna, cargada en compresin, no debera ser un problema si la columna es lo suficientemente gorda (y pesada) como para evitar el fallo a compresin (en este caso slo importa el rea de la seccin y su forma es irrelevante), y lo suficientemente corta como para evitar el pandeo (ahora la forma de la seccin importa). Sin embargo los arquitectos e ingenieros necesitan columnas y pilares cada da ms ligeros y baratos. Una columna cilndrica y esbelta biarticulada en sus extremos, cargada en compresin paralela a su eje de revolucin, pandea con una carga crtica calculada por Euler [1,2]:

2

2

HEIPcrit

= (1) en donde E es el mdulo elstico o modulo de Young del material de la columna, H es su altura e I el menor de los momentos de inercia de su seccin transversal, a travs de su centroide. Si el material de que se hace la columna (E) y su altura (H) son condiciones impuestas, la nica forma de aumentar la resistencia a compresin de la columna es aumentando el mnimo momento de inercia de su seccin transversal. Mejor an si lo hacemos mximo. En aquellos casos en los que las condiciones de los

extremos de la columna no sean biarticulados, la expresin (1) se modifica, cambiando H por una Heff (como se describe en cualquier texto de Resistencia de Materiales, por ejemplo [3]). Si la seccin transversal de columna debe ser convexa (columnas macizas), no hay duda de que la mejor eleccin para la seccin es un tringulo equiltero (como conjetur Keller [4] ). Su mnimo momento de inercia es un 20% mayor que la correspondiente a la seccin circular (y muy frecuente en la prctica). Tambin es posible optimizar la distribucin de un volumen dado de columna, variando la seccin con la altura a lo largo de la columna. La columna ptima tiene la mayor seccin en su mitad y se afina hacia los extremos, acabando en unos extremos redondeados (vase Keller [4]). Esta es por tanto la mejor columna posible: la ms resistente a compresin, si se require una columna convexa. Pero, por qu convexa? Pues porque el mnimo momento de inercia, I, de una seccin no convexa (cncava) puede hacerse tan grande como se desee. Por ejemplo: un tubo hueco (no convexo) puede expandirse, incrementando su radio y adelgazando la pared (si su seccin est impuesta) y, de esta manera, su mnimo momento de inercia, I, se hace tan grande como se desee. O, por ejemplo, dividiendo la seccin en 3 4 patas separadas, como puede verse en cualquier torre elctrica. Por tanto Keller afirma que: el problema de encontrar la columna ms resistente slo tiene sentido si se limita la bsqueda a las formas convexas. 2. SECCIONES NO CONVEXAS

617

Anales de Mecnica de la Fractura 25, Vol. 2 (2008)

Los autores discrepan de la anterior afirmacin. Por ejemplo, tiene sentido preguntarse cul sea la mejor columna que puede conformarse doblando una chapa, de espesor constante y anchura dada. En resumen, hay otras formas de acotar las formas cncavas (por ejemplo, Cox y Overton [5] proponen acotar el permetro de la seccin). Y adems son formas mucho ms eficientes que las macizas. Por ejemplo, Cox y Overton [5] proponen una seccin, con forma de estrella de cuatro puntas, que es tres veces ms eficiente que el tringulo equiltero de igual rea. Las paredes delgadas presentan problemas adicionales de pandeo local y arrugado que limitan sus aplicaciones prcticas, pero permtasenos de momento limitar nuestras indagaciones a: cul sea la seccin ptima para un rea dada. La primera respuesta que se nos puede ocurrir es un tubo, en donde toda el rea se sita lo ms lejos posible del centroide de la seccin. Su mnimo (y a la vez mximo) momento de inercia es:

( )[ ]444

tRRI = (2) en donde t representa el espesor de la pared y R el radio exterior del tubo. Obsrvese que si abriramos el tubo a lo largo de una generatriz, no habra ninguna diferencia en lo concerniente a los momentos de inercia de la seccin transversal. Podra ser un problema si pretendemos flexionar el tubo, pues no seramos capaces de transmitir esfuerzos cortantes a travs de esa generatriz abierta. Pero en lo concerniente a la teora de Euler sobre pandeo de formas esbeltas, no hay ninguna diferencia. Obsrvese que al abrir el tubo tambin se destroza su comportamiento a torsin, pero esto tambin es un problema distinto. Permtasenos abrir el tubo, formando una columna con forma de C. A primera vista parece una idea desafortunada, pues los extremos abiertos pandearn locamente (flamean), pero de acuerdo con las ecuaciones de Roark [6], se tiene:

( )

++

+

+=

2

2

2

22

2

3

3

2

23

max

61

/23sen

sen2cossen42

31

Rt

Rt

RtRt

Rt

Rt

RttRI

(3)

( ) cossen42

31 33

2

23

min +

+=

Rt

Rt

RttRI

en donde es el semingulo abarcado por el arco de circunferencia (como muestra la figura 1). Si

imponemos la condicin de que el rea de la seccin sea dada, e igual a A, tendremos:

RtA = (4) En donde el radio y el (semi)ngulo abarcado son ahora variables ligadas (no independientes). La figura 1 muestra, para la condicin (4), que el mayor mnimo momento de inercia (lnea continua inferior) se presenta para un semingulo de unos 150. No es mucho ms grande que para el tubo cerrado, pero lo es. La razn que lo explica es que al abrir el tubo hemos aumentado su radio y el rea de la seccin se sita ligeramente ms lejos del centroide. En la figura 1, los momentos de inercia se muestran normalizados de la siguiente manera:

32tLII anormalizad = (5)

Figura 1. Mximo (en lnea a trazos, por arriba) y

mnimo (en lnea continua, debajo) momentos de inercia de arcos de una circunferencia. Desde una chapa plana,

de espesor y anchura constantes, doblada hasta conformar un tubo cerrado.

donde t es el espesor de la chapa y L su semianchura (o semilongitud de la seccin transversal). Las razones para esta normalizacin se harn evidentes ms adelante. Al abrir el tubo tambin hemos abierto la caja de Pandora: por qu no seguir desplazando los dos extremos abiertos an ms lejos del centroide, para incrementar su momento mnimo de inercia (abandonando la geometra de sectores de circunferencia). El problema podramos rescribirlo como: Cul es la mejor forma que podra adoptar un segmento de longitud (2L) para tener el mayor mnimo momento de inercia? Podemos imaginarlo como un collar de perlas o un rosario de cuentas (puntos donde se concentra el rea), situados a una distancia constante entre ellas. La pregunta ahora es dnde deberemos situar las cuentas para maximizar su (mnima) inercia.

x

y

L

t

618

Anales de Mecnica de la Fractura 25, Vol. 2 (2008)

Keller [4] demuestra que la seccin ptima tiene iguales el mnimo y el mximo momento de inercia. Si no fuera el caso, bastara con redistribuir el rea para perder un poco de la mxima inercia en benefici de la mnima; de esta manera incrementaramos la mnima inercia de la seccin. Por tanto, buscamos una seccin que tiene su elipsoide de inercia con la forma de un crculo. En otras palabras, cumple que I = I. En donde I representa el mximo momento de inercia, e I el mnimo. Obsrvese que la seccin circular maciza, que sin duda es muy frecuente en postes, troncos de rbol, columnas en edificios, etc. an verificando la condicin de tener un crculo como elipsoide de inercia (isoinercia), es la peor de las soluciones posibles (toda el rea concentrada lo ms cerca posible del centroide). Sin duda las caas y las columnas tubulares (como se observa en los huesos largos) son soluciones mucho ms eficientes frente al pandeo. Es importante darse cuenta que la isoinercia no implica una doble simetra de la seccin. Las secciones doblemente simtricas (como la estrella de 4 brazos propuesta por Cox y Overton [5] u otras dobles simetras: Datta y Deb [7]) sin duda verifican la isoinercia, pero otras secciones tambin son posibles. Hasta donde los autores somos capaces de imaginar, una simetra polar (antisimetra) no ayuda en absoluto a hacer mxima la mnima inercia de la seccin: si la seccin es continua siempre habr algo de rea situada en el centroide y cerca de l, mejor sera si esta rea estuviera lo ms alejada posible. Mejor buscaremos en secciones simplemente simtricas. Para simplificar las cosas situaremos el centro de la cadena (rosario de cuentas) en el origen de coordenadas y doblaremos los brazos hacia arriba simtricamente. Los momentos principales de inercia sern:

=

=L

sy dsxtI

0

22 , =

=L

sgx dsyytI

0

2)(2 (6)

en donde yg representa la ordenada del centro de gravedad:

=

=L

sg ydsL

y0

1 (7)

La condicin de isoinercia implica:

= ==

=

L

s

L

s

L

s

dsydsL

ydsx0

2

00

2 01 (8)

El problema parece sencillo, pero los autores han sido incapaces de resolverlo analticamente. Sin embargo una resolucin numrica siempre es posible. Volviendo sobre la analoga del collar de perlas, podemos elegir el nmero de perlas/cuentas, n, que situaremos a uno y otro lado (brazos izquierdo y derecho). La

ordenada/altura del centroide es:

=

= ni

ig yny

1

1 (9)

y los momentos principales de inercia:

=

= ni

iy xntLI

1

22 , ( )=

= ni

gix yyntLI

1

22 (10)

La inercia propia de cada cuenta se ha despreciado, pues pretendemos calcular un gran nmero de cuentas (calcularemos n = 25 000 cuentas), con lo que la inercia propia de cada cuenta resultar despreciable. Se pueden elegir las coordenadas de cada cuenta xi e yi, (tenemos entonces 2n grados de libertad) pero la distancia entre cada dos cuentas consecutivas viene impuesta:

( ) ( )2121 iiii yyxxnL += ++ (11)

y para la primera cuenta de cada rama, i = 1, la condicin de contorno es la mitad de esa distancia al origen de coordenadas:

21

212

yxn

L += (12). Las ecuaciones (11) y (12) representan una condicin por cuenta, con lo que el nmero de grados de libertad se reduce a n. Si elegimos como variables independientes las pendientes de cada segmento, que une dos cuentas consecutivas, con la horizontal, tendremos:

=

= ij

jji FnLx

1cos ,

== i

jjji Fn

Ly1

sen ,

==1 1

1 if 2/1j

jF j (13).

La ordenada del centroide y los momentos principales de inercia quedan ahora:

= =

= ni

i

jjjg Fn

Ly1 1

2 sen (14),

= =

= ni

i

jjjy Fn

tLI1 1

223

3

cos2 (15)

= =

= n

ig

i

jjjx yL

nFntLI

1

2

13

3

sen2 (16) Las ecuaciones (15) y (16) hacen evidente el motivo de la normalizacin de los momentos de inercia por el

619

Anales de Mecnica de la Fractura 25, Vol. 2 (2008)

factor 2tL3. En estos momentos de inercia normalizados, la inercia de un tubo redondo (vase la figura 1) vale:

0507.02

12 23

== tLI tubo (17)

Obsrvese que la longitud desarrollada del tubo completamente abierto es 2L. 3. ANGULARES DE LADOS IGUALES Permtasenos ahora continuar con unos ejemplos sencillos. Cul es la mejor forma (ngulo) para una seccin con forma de V? En este caso el ngulo i es una constante, , luego: ( )

nLixi

cos5.0= , ( )nLiyi

sen5.0= (18) La ordenada del centroide es:

2senLyg = (19)

y los momentos principales de inercia son

23

sen12

2tLI x = , 23

cos3

2tLI y = (20)

Figura 2. Momentos principales de inercia (normalizados) de secciones abiertas en V.

La figura 2 representa ambos momentos. Si ambos momentos deben ser iguales, entonces: = arc tan 2 = 63.435 = 1.1071 radianes, y el ngulo formado entre ambos brazos es - 2arc tan 2 = 53.130 = 0.9273 radianes. Esta V optimizada tiene los siguientes momentos principales de inercia:

60.022 33

)==tLI

tLI yx (21)

Claramente superior (en un 31.6%) a un tubo de idntico rea de la seccin transversal (recordemos que era 0.0507, vase la expresin (17)). Obsrvese que las

secciones en V muestran isomorfismo: es decir, las alas pueden prolongarse mantenindose la geometra. Tambin las derivadas de los momentos de inercia con respecto a la longitud de los brazos son constantes

2 4.0 tLds

dIdsdI yx == (22).

sta sera la mejor opcin para un aumento en el tamao del perfil, incrementando simultneamente y en la misma medida ambos momentos de inercia. sta sera la forma ideal de crecer una brizna de hierba, que debe crecer muy alta, sin flexionarse en ninguna direccin. Representa de alguna manera el comportamiento asinttico: cualesquiera que sea la solucin ptima, los extremos de dicha seccin deberan recordar las puntas de la seccin optimizada en V. Como mera curiosidad, si analizamos los mdulos de colapso plstico de la seccin en V optimizada obtenemos:

sen2

2tLZ x = , cos2tLZ y = (23). Si queremos que resista igual en ambas direcciones, entonces debern ser iguales y obtenemos de nuevo = arc tan 2. En consecuencia, la seccin en V optimizada tambin es la seccin ms resistente al colapso plstico. Podramos pensar que esta columna optimizada con forma de V es la mejor solucin posible para la seccin de una columna: crecimos la seccin desde su esquina de forma equilibrada y ptima en todos los instantes de su crecimiento. Pues no, pronto veremos secciones mejores. Un camino ptimo no garantiza alcanzar el ptimo.

Figura 3. Momentos principales de inercia de canales

con forma de C, en funcin de la proporcin de alma en la longitud total del perfil de la seccin.

4. CANALES EN C La figura 3 muestra la situacin de las secciones con forma de canal en C (caja rectangular sin uno de los

531

268% 2w

620

Anales de Mecnica de la Fractura 25, Vol. 2 (2008)

lados). La mxima inercia normalizada es 0.0594, que es mejor que la correspondiente a la geometra cerrada de tubo (recordemos que vala 0.0507), pero es peor que nuestra mejor seccin en V (0.0667). Las secciones en canal podemos hacerlas variar desde las secciones en V (sin alma entre ambos brazos que se encuentran en la esquina) hasta canales abiertas rectangulares, si variamos el ngulo entre los brazos y aadimos un alma entre ambos de longitud variable. Tendremos dos grados de libertad: la longitud del alma entre los brazos y el ngulo entre ambos.

Figura 4. Momentos mnimos de inercia normalizados

para canales abiertas simplemente simtricas, con diferentes longitudes de almas y ngulos de las alas.

Desde la izquierda hacia la derecha, las curvas corresponden a w/L = 0, 0.1, 0.2... 1.

La figura 4 recorre todas las estas secciones. La mejor seccin (se muestra en el inserto) tiene un pequeo chafln en la base w = 0,096L y el ngulo entre los brazos y el alma es = 68.8. Por supuesto que es mejor que sus secciones precursoras (la seccin en V y la canal en C, de las figuras 2 y 3). Su inercia normalizada es de 0.0690. 5. SECCIONES CURVAS Una vez que hemos introducido dos codos en la seccin, la pregunta es: Por qu no probar con 3 4 o infinito nmero de codos (y grados de libertad)? En esencia, lo que esto significa es que podemos probar con cualquier funcin continua. Para las formas potenciales:

n

Lx

ALy

= (24),

el mejor resultado (mayor mnima inercia) se obtiene para:

4.2

8949.8

=

Lx

Ly (25)

La figura 5 nos muestra esta seccin potencial ptima.

Su inercia normalizada es de 0.0713. La mejor parbola de 2 grado es:

2

7258.5

=Lx

Ly (26)

Cuya inercia normalizada es 0.0711.

Figura 5. Seccin potencial ptima. Su inercia

normalizada vale: I/(2tL3) = 0.0713. Para las secciones con forma de coseno hiperblico, su ptimo resulta ser:

= 1cosh345.11Lx

Ly (27)

apenas ligeramente mejor que la parbola: 0.07115.

Figura 6. Seccin optima para una chapa doblada de espesor constante. Tiene una inercia: I/(2tL3) =

0.07132. La ordenada del centroide es 0.3955L. Su altura total es ymax = 0.8741L, su anchura 2xmax =

0.7473L. Su relacin alto/ancho de 1.17.

Si empleamos polinomios con un gran nmero de

w

L - w

4.2

8949.8

=

Lx

Ly

42

76.1692.3

+

=Lx

Lx

Ly

621

Anales de Mecnica de la Fractura 25, Vol. 2 (2008)

coeficientes; estos deberan aproximar casi a cualquier forma posible. Por ejemplo, el mejor polinomio de grado doce es:

42

76.1692.3

+

=Lx

Lx

Ly (28)

En la expresin (28) de trece coeficientes se conservan nicamente dos, porque todos los dems resultan mucho menores y despreciables. Tiene la mejor inercia normalizada 0.07132. Es la seccin que se muestra en la figura 6 y es casi indistinguible de la mostrada en la figura 5. No podemos demostrar que es la mejor seccin posible para una chapa, pero los autores no han encontrado nada mejor. En cualquier caso, la forma ptima apenas podra diferenciarse de la propuesta. 6. DISCUSIN Se han intentado mltiples formas de optimizar la seccin de una columna: algoritmos micro genticos [8], algoritmos evolucionantes multi-objetivo [7] la mayora son demasiados prximos a los cdigos de diseo: considerando pandeo locales, arrugas locales (crippling) [9,10] buscan paneles permisibles desde un punto de vista ingenieril, en todos los aspectos (bi- o multi-objetivos) por los cdigos de diseo [11,12]. Otros son demasiado cortos de imaginacin, como para considerar secciones simplemente simtricas y la mayora de los ingenieros y arquitectos estaran aterrorizados con la sola idea de abrir una columna tubular, que trabaja a compresin (por supuesto que es una psima idea si la columna es larga y esbelta, y la chapa fina). 7. CONCLUSIN Se propone una seccin abierta y simplemente simtrica, vase la figura 6, como la mejor solucin para el diseo de una columna corta a partir de una chapa de espesor constante (de acuerdo con la expresin (28)). Su carga crtica de pandeo es un 41% superior al tubo de igual espesor y rea (y peso). La chapa que conforma la columna deber ser lo suficientemente gorda como para evitar los pandeos locales (flameo de las alas) o la columna lo suficientemente corta. Es la mejor solucin para obtener la mayor (mnima) inercia posible para una longitud y espesor dados. En consecuencia se obtiene la mayor rigidez a flexin en cualquier direccin, lo que es interesante para un poste, o un mstil, o una ua, un pico, etc. Por el contrario, siendo la seccin ptima en rigidez a flexin o en colapso plstico, dista de ser razonable en aplicaciones que requieran resistencia a torsin. Tampoco es la mejor solucin de cara al lmite del comportamiento elstico (plastificacin), pues las tensiones son proporcionales a las distancia al plano neutro, que pasa por el centroide.

AGRADECIMIENTOS

Los autores desean agradecer la financiacin recibida del Ministerio de Educacin y Ciencia a travs del proyecto MAT2004-01227.

REFERENCIAS

[1] Euler, L., 1744, Methodus inveniendi lineas [], Apndice I, De curvis elasticis, Bousquet, Lausanne y Ginebra, Suiza.

[2] Euler, L., 1757, Sur la force des colonnes,

Published in Memoires de LAcadmie, Vol. 13, Berlin, Alemania, 1759. pp. 252-282.

[3] Gere, J.M., Timoshenko, S.P., 1984, Mechanics of

Materials, 2nd edition, PWS Publishers. [4] Keller, J.B., 1960, The Shape of the Strongest

Column, Archive for Rational Mechanics and Analysis 5, 275-285.

[5] Cox, S.J. and Overton, M.L., 1992, On the

optimal design of columns against buckling, SIAM J. Math. Anal. 23, 287-325.

[6] Young, W.C., 1989, Roarks Formulas for Stress

& Strain, McGraw-Hill, Inc., p. 69. [7] Datta, D. and Deb, K., 2004, Design of optimum

cross-sections for load-carrying members using multi-objective evolutionary algorithms, Kanpur Genetic Algorithms Laboratory, KanGAL Report No. 2004014, (October).

[8] Lee, J., Kim, S.-M., Park, H.S., 2006, Optimum

design of cold-formed steel columns by using micro genetic algorithms, Thin-Walled Structures 44, 952-960.

[9] Kasperska, R., Ostwald M. and Rodak, M., 2004,

Bi-criteria optimization of open cross-section of the thin-walled beams with flat flanges, Proc. Appl. Math. Mech. 4, 614-615.

[10] Tian, Y.S., Lu, T.J., 2004, Minimum weight of

cold-formed steel sections under compression, Thin-Walled Structures 42, 515-532.

[11] Magnucki, K., Makiewicz, M., Lewiski, J.,

2006, Optimal design of a mono-symmetical open cross-section of a cold-formed beam with cosinusoidal corrugated flanges, Thin-Walled Structures 44, 554-562.

[12] Magnucki, K., Rodak, M., Lewiski, J., 2006,

Optimization of mono- and anti-symmetrical I-sections of cold-formed thin-walled beams, Thin-Walled Structures 44, 832-836.

622