8. Bab

KONSEP DASAR PROBABILITAS

Bahan Ajar “Statistik Teknik” 2008 8-1

BAB VIII


1.1. Pendahuluan

Dalam pertemuan ini Anda akan mempelajari beberapa pandangan tentang

permutasi dan kombinasi, fungsi dan metode perhitungan probabilitas, dan

menghitung probabilitas. Pada akhir perkuliahan ini Anda diharapkan dapat; (1)

Memahami permutasi dan kombinasi, (2) Memahami fungsi dan metode perhitungan

probabilitas, (3) Menjelaskan arti dari kejadian/peristiwa dan notasi himpunan, (4)

Menghitung probabilitas. Dari beberapa pandangan ini akan membantu anda dalam

mengikuti perkuliahan berikutnya tentang distribus probabilitas.

1.2. Penyajian

Sebelum mempelajari konsep dasar probabilitas, kita pelajari dulu analisis

kombinatorial yang akan sangat membantu dan banyak digunakan dalam konsep

dasar probabilitas, yaitu analisis bilangan faktorial, permutasi, dan kombinasi.

1. Bilangan Faktorial

Bila n bilangan bulat positif, maka bilangan faktorial ditulis dengan n! dan

didefinisikan sebagai:

Rumus 9.1 1!11!0

321).....2)(1(!

dan

nnnn

Contoh 9.1

3! = 3.(3-1)(3-2) = 3.2.1 = 6

5! = 5.(5-1)(5-2)(5-3)(5-4) = 5.4.3.2.1 = 120

6! = 6.(6-1)! = 6.120 = 720

Contoh 9.2

Pembagian bilangan faktorial dengan bilangan faktorial dilakukan dengan cara

menyederhanakan pembilang dan penyebut, yaitu:



1. 426.71.2.3.4.5

1.2.3.4.5.6.7

!5

!7

2. 27216.17!15

!15.16.17

!15

!17

Terlihat bahwa semakin besar bilangan n, maka bilangan faktorial n! membesar

dengan cepat.

2. Permutasi

Pandanglah himpunan {a,b,c} yang mempunyai tiga anggota, yaitu a,b,dan c!

Oleh karena banyaknya anggota himpunan tersebut n=3, maka kita dapat mengambil

seluruhnya atau sebagian dari anggota himpunan tersebut. Katakanlah kita ambil

seluruhnya r = 3, kita ambil dua r = 2, kita ambil satu r = 1, atau tidak diambil r = 0.

Dari anggota-anggota yang diambil itu kemudian kita buat suatu susunan atau

rangkaian dengan memberi arti pada urutan letak anggota pada susunan tersebut.

Dengan demikian, kita peroleh jenis-jenis susunan yang ditentukan oleh urutan letak

anggota himpunan tersebut pada setiap susunan.

Bila diambil 1 anggota, r = 1, tentu susunan itu ada tiga, yaitu:

a b c

Bila diambil 2 anggota, r = 2, kita peroleh susunan yang terdiri atas dua anggota,

yaitu:

ab ac bc

ba ca cb

Kita peroleh sebanyak 6 susunan.

Jenis susunan ab berbeda dengan jenis susunan ba, baab , sebab letak a pada

susunan pertama berbeda artinya dengan letak a pada susunan kedua, yaitu a terletak

pada urutan pertama dari susun ab dan a terletak pada urutan kedua dari susunan ba.

Begitu juga ac berbeda dengan susunan ca, dan susunan bc berbeda dengan susunan

cb. Dengan demikian, keenam susunan itu berbeda satu sama lain.



Bila diambil 3 anggota, r = 3, kita peroleh susunan yang terdiri atas 3 anggota,

yaitu:

abc bac cab

acb bca cba

Kita peroleh sebanyak 6 susunan.

Susunan-susunan yang dibentuk dari anggota-anggota suatu himpunan

dengan mengambil seluruh atau sebagian anggota himpunan dan memberi arti pada

urutan anggota dari masing-masing susunan tersebut disebut permutasi yang ditulis

P. Bila himpunan itu terdiri atas n anggota dan diambil sebanyak r, tentu saja r < n,

maka banyaknya susunan yang dapat dibuat dengan permutasi tersebut adalah:

Rumus 9.2)!(

!

rn

nPrn

Contoh 9.3

1. Bila n =4 dan r = 2

Maka 121.2

1.2.3.4

!2

!4

)!24(

!424

P

2. Bila n =5 dan r = 3

Maka 601.2

1.2.3.4.5

!2

!5

)!35(

!535

P

3. Bila n = 7 dan r = 7

Maka 040.51

!7

!0

!7

)!77(

!777

P

Contoh 9.4

Perhatikan himpunan {a,b,c}, di mana n = 3.

1. Bila diambil 1, r = 1, maka banyaknya susunan yang diperoleh adalah



3!2

!3

)!13(

!313

P susunan

Tiga susunan itu adalah a b c (lihat uraian di atas).

2. Bila diambil r = 2, maka banyaknya susunan yang diperoleh adalah

61

2.3

!1

!3

)!23(

!323

P susunan

(Keenam jenis susunan dapat dilihat pada uraian di atas).

3. Bila diambil r = 3, maka banyaknya susunan yang diperoleh adalah

61

1.2.3

!0

!3

)!33(

!333

P susunan

Keenam jenis susunan dapat dilihat pada uraian di atas.

Contoh 9.5

Bila suatu himpunan terdiri atas n anggota dan diambil sebanyak n, semuanya

dipermutasikan, maka banyaknya susunan yang diperoleh adalah;

!!0

!

)!(

!n

n

nn

nPnn

3. Beberapa Jenis Permutasi

a. Permutasi Melingkar (Keliling)

Permutasi melingkar adalah suatu permutasi yang dibuat dengan menyusun

anggota-anggota suatu himpunan secara melingkar. Banyaknya permutasi dari n

anggota yang disusun secara melingkar sebagai berikut.

Rumus 9.3 Banyaknya permutasi = (n – 1)!

b. Permutasi dari Sebagian Anggota yang Sama Jenisnya

Bila kita mempunyai himpunan yang terdiri atas n anggota, maka ada

kemungkinan sebagian dari anggotanya mempunyai jenis yang sama. Katakanlah

jenis 1 terdiri atas n, yang sama, jenis 2 terdiri atas n2 yang sama, jenis 3 terdiri



atas n3 yang sama, ..., jenis k terdiri atas nk yang sama, maka banyaknya

permutasi yang dapat dibuat adalah:

Rumus 9.4!!.....!.!.

!

,...,,, 321321 kn nnnn

n

nnnn

n

di mana n1 + n2 + n3 + ... +nk = n

Contoh 9.6

Berapa banyak susunan yang dapat dibuat dari kalimat "AKU SUKA KAMU"?

Jawab:

Semuanya ada n = 11 huruf, yang terdiri atas:

jenis 1, huruf A, yang banyaknya adalah n1 = 3

jenis 2, huruf K, yang banyaknya adalah n2 = 3

jenis 3, huruf U, yang banyaknya adalah n3 = 3

jenis 4, huruf S, yang banyaknya adalah n4 = 1

jenis 5, huruf M, yang banyaknya adalah n5 = 1

Jadi, banyaknya permutasi yang dapat dibuat adalah:

800.1842.3.2.3

4.5.6.7.8.9.10.11

1.1.1.2.3.1.2.3.1.2.3

.1.2.3.4.5.6.7.8.9.10

!1!1!3!3!3

!11

1,1,3,3,3

11

4. Kombinasi

Pandanglah kembali himpunan {a,b,c}!. Dengan permutasi kita peroleh

susunan yang terdiri atas dua anggota, yaitu:

ab ba ac ca bc cb

Dalam permutasi urutan anggota pada susunan itu mempunyai arti, sehingga:

ab ba, ac ca, dan be cb



Bila sekarang urutan anggota pada susunan itu tidak mempunyai arti atau

tidak diperhatikan, maka susunannya:

ab = ba, ac = ca, dan bc = cb

Dengan demikian, banyaknya susunan yang diperoleh menjadi 3. Dengan cara

ini kita peroleh definisi kombinasi, yaitu sebagai berikut.

Rumus 9.5)!(!

!

rnr

n

r

nCrn

Contoh 9.7

1. 15!4.1.2

!4.5.6

!4!.2

!6

)!26(!2

!6

2

626

C

2. 151.2!.4

!4.5.6

!2!.4

!6

)!46(!4

!6

4

646

C

3. 120!7.1.2.3

!7.8.9.10

!7!.3

!10

)!310(!3

!10

3

10310

C

Contoh 9.8

Bila dari (a, b, c, d) diambil 3 obyek, maka banyaknya permutasi dan kombinasi yang

diperoleh ialah:

Kombinasi

Permutasi

abc

abd

acd

bcd

abc

abd

acd

bcd

acb

adb

adc

bdc

bac

bad

cad

cbd

bca

bda

cda

cdb

cab

dab

dac

dbc

cba

dba

dca

dcb

4 4x6 = 24

Banyaknya:

Permutasi 241.2.3.4!1

!4

)!34(

!434

P



Kombinasi 4!1!.3

!3.4

)!34(!3

!4

3

434

C

Contoh 9.9

Ada 4 orang bernama A, B, C, dan D. Bila dipilih 2 orang, ada berapa banyak pilihan

yang diperoleh?

jawab:

Banyaknya pilihan = 6!2!.2

!4

)!24(!2

!4

2

424

C , yaitu AB, AC, AD, BC, BD,

CD.

Contoh 9.10

Bila dalam suatu kelompok terdapat 4 kimiawan dan 3 fisikawan, buatlah panitia 3

orang yang terdiri atas 2 kimiawan dan 1 orang fisikawan!

jawab:

Misalkan, kimiawan = {K1, K2, K3, K4}, fisikawan = {F1, F2, F3}

2 kimiawan dipilih dari 4 kimiawan = 6!2!.2

!4

)!24(!2

!4

2

424

C

1 fisikawan dipilih dari 3 fisikawan = 3!2!.1

!3

)!13(!1

!3

1

313

C

Banyaknya seluruh cara untuk membuat panitia tersebut adalah 6 x 3 = 18 cara atau

18 jenis panitia.

Konsep Dasar Probabilitas

1. Pengantar Menuju Pemahaman Konsep Probabilitas

Banyak kejadian dalam kehidupan sehari-hari yang sulit diketahui dengan

pasti, apalagi kejadian di masa yang akan datang, misalnya sebagai berikut.

1. Apakah nanti malam akan datang hujan?

2. Apakah Pesawat Garuda akan berangkat tepat waktu?



3. Apakah tahun depan harga minyak mentah di pasaran dunia akan naik?

Begitu juga dalam percobaan statistika, kita tidak bisa mengetahui dengan

pasti hasil-hasil yang akan muncul, misalnya:

1. pada pelemparan sebuah uang logam, kita tidak tahu dengan pasti hasilnya,

apakah yang akan muncul sisi muka atau sisi belakang dari uang logam itu;

2. pada pelemparan sebuah dadu, kita tidak tahu dengan pasti hasilnya, apakah yang

akan muncul muka dadu 1, 2, 3, 4, 5 atau 6; dan

3. pada penarikan sebuah kartu bridge dalam kotak yang berisi 52 kartu, kita juga

tidak tahu dengan pasti, apakah yang akan muncul kartu as, king, atau yang lain?

Derajat/tingkat kepastian atau keyakinan dari munculnya hasil percobaan

statistik disebut probabilitas atau peluang. Suatu probabilitas dilambangkan dengan

P.

2. Perumusan Probabilitas

Perumusan konsep dasar probabilitas dilakukan dengan dua cara, yaitu dengan

cara klasik dan cara frekuensi relatif. Bila kejadian-kejadian pada contoh di atas kita

lambangkan dengan huruf besar E, maka kita dapat merumuskan probabilitas

kejadian E, yaitu P(E).

a. Perumusan Klasik

Bila kejadian E terjadi dalam m cara dari seluruh n cara yang mungkin terjadi

dan masing-masing n cara itu mempunyai kesempatan atau kemungkinan yang sama

untuk muncul, maka probabilitas kejadian E yang ditulis P(E) dirumuskan sebagai

berikut.

Rumus 9.6n

mEP )(

Contoh 9.11

Sebuah uang logam dilemparkan. Misalkan sisi pertama kita sebut muka = m, dan sisi

kedua kita sebut belakang = b. Maka ada dua kejadian yang mungkin, yaitu kejadian



munculnya muka m kita sebut E = {m) atau kejadian munculnya belakang b kita

sebut E = {b}. Oleh karena sisi uang logam terdiri atas dua sisi (n = 2) dan kedua sisi

itu mempunyai kesempatan yang sama untuk muncul, maka probabilitas munculnya

kejadian E = {m} atau E= {b} adalah:

2

1}][{)(

n

mmPEP atau

2

1}][{)(

n

bbPEP

Lebih singkat ditulis P(E) = P(m) =2

1dan P(E) = P(b) =

2

1

Contoh 9.12

Sebuah dadu dilemparkan. Muka dadu ada 6, yaitu: 1,2,3,4,5,6. Semua muka dadu

mempunyai kesempatan yang sama untuk muncul. Yang akan muncul salah satu dari

muka-muka dadu itu (m = 1) yaitu muka 1, muka 2, muka 3, muka 4, muka 5, atau

muka 6. Kita misalkan:

E = {1} bila muncul muka 1

E = {2} bila muncul muka 2

E = {3} bila muncul muka 3, dan seterusnya.

Maka probabilitas kejadian E adalah:

P(E) = P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) = 6

1

n

m

Contoh 9.13

Hitunglah probabilitas memperoleh kartu hati bila sebuah kartu diambil secara acak

dari seperangkat kartu bridge yang lengkap.

Jawab:

Jumlah seluruh kartu; n = 52

Jumlah kartu hati; m = 13

Misalkan E = kejadian munculnya kartu hati. Semua kartu h mempunyai

kemungkinan yang sama untuk muncul, maka:



52

13)(

n

mEP

b. Perumusan dengan Frekuensi Relatif

Jika kejadian E terjadi banyak f kali dari keseluruhan pengamatan sebanyak

n, di mana n meendekati tak berhingga (n maka probabilitas kejadian E -rumuskan

sebagai:

Rumus 9.7n

fLimEPn

)(

Contoh 9.14

Pada suatu percobaan statistik, yaitu pelemparan sebuah dadu y diulang sebanyak n =

1.000 kali, frekuensi munculnya muka dadu adalah seperti pada Tabel 9.1 berikut ini.

Tabel 9.1

Muka dadu (X) 1 2 3 4 5 6

Frekuensi (f) 164 165 169 169 166 167

Bila E menyatakan kejadian munculnya muka-muka dadu tersebut, maka E = (1), (2),

(3), (4), (5), atau (6), sehingga probabilitas kejadian E untuk masing-masing

kemungkinan munculnya muka dadu tersebut adalah:

,1000

169)3()(,

1000

165)2()(,

1000

164)1()( PEPPEPPEP

1000

167)6()(,

1000

166)5()(,

1000

169)4()( PEPPEPPEP

Sifat-Sifat Probabilitas Kejadian A

Dengan pengetahuan kejadian A, ruang sampel S, dan peluang kejadian A

pada S, yaitu n

m

Sn

AnAP

)(

)()( , maka dapat diselidiki sifat- Sifat dari P(A).

Sifat 1 0 < P(A) < 1

A merupakan himpunan bagian dari S, yaitu A S, maka banyaknya



anggota A selalu lebih sedikit dari banyaknya anggota S, yaitu n(A)

n(S), sehingga

0 < )(

)(

Sn

An< 1 atau 0 < P(A) < 1, ……… (1)

Sifat 2 Dalam hal A = , himpunan kosong, artinya A tidak terjadi pada S, maka

n(A) = 0, sehingga

00

)(

)()(

nSn

AnAP

Sifat 3 Dalam hal A = S, maksimum banyaknya anggota A sama dengan

banyaknya anggota S, maka n(A) = n(S) = n, sehingga

1)(

)()(

n

n

Sn

AnAP

Bila hasil (1), (2), dan (3) digabung maka diperoleh sifat:

0 < P(A) < 1

1.3 Penutup

Berdasarkan uraian di atas dapat diambil suatu kesimpulan bahwa untuk

mengetahui probabilitas suatu peristiwa maka perlu dipahami dengan baik tentang

analisis bilangan faktorial, permutasi, dan kombinasi . Dengan mempelajari konsep

probabilitas maka kita dengan mudah mengetahui ataupun menghitung peluang dari

suatu kejadian

Soal Latihan

1. Hitunglah

a. 310 P b. 1520 P C. 130 P

2. Hitunglah

a.

3

10b.

15

20C.

5

25



3. Untuk nilai n berapa berlaku persamaan-persamaan berkikut;

a. 431 PPn n b.

2

73

13

nn

4. Ada beberapa banyak cara 6 orang dapat didudukan pada sebuah sofa jika yang

tersedia hanya 4 tempat duduk?

Ada berapa banyak cara 7 buku dapat disusun pada rak jika:

a. sembarang susunan dimungkinkan;

b. 3 buku tertentu harus selalu berdiri berdampingan;

c. 2 buku tertentu harus menempati Ujung-Ujung?

5. Empat jenis buku matematika, 6 buku fisika, dan 2 buku kimia harus disusun di

rak buku. Ada berapa banyak penyusunan yang berbeda-beda yang mungkin

terjadi jika:

a. buku-buku pada tiap jenis harus semuanya berdiri berkumpul;

b. hanya buku matematika yang berdiri berkumpul?

6. Ada berapa banyak cara untuk 3 pria, 5 wanita, 4 pemuda, dan 4 gadis dapat

dipilih dari 7 pria, 9 wanita, 5 pemuda, dan 5 gadis jika:

a. semua orang bebas dipilih pada masing-masing kelompok;

b. seorang pria dan wanita tertentu harus terpilih;

c. seorang pria, 1 orang wanita, 1 orang pemuda, dan 1 orang gadis tidak boleh

dipilih?

7. Ada suatu kelompok yang terdiri atas 12 orang. Ada berapa banyak cara untuk

membagi kelompok orang itu:

a. bila kelompok itu dibagi menjadi dua kelompok yang terdiri atas 8 orang dan 4

orang;

b. bila kelompok itu dibagi menjadi tiga kelompok yang terdiri atas 5, 4, dan 2

orang?



8. Perusahaan Garuda mempunyai suatu jenis kendaraan yang berisi 6 tempat duduk

(3 menghadap ke muka dan 3 menghadap ke belakang).

a. Dengan berapa cara 6 karyawan yang dijemput dapat menempati tempat

duduk yang tersedia?

b. Bila ada 2 karyawan yang tidak mau duduk menghadap ke belakang, ada

berapa cara 6 karyawan itu menempati

tempat duduk yang tersedia?

Documents

8. Bab